Краевые задачи со смещением для гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов дифференциальных уравнений

Нахушева, Зарема Адамовна

Краевые задачи со смещением для гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Нахушева, Зарема Адамовна АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нальчик МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Краевые задачи со смещением для гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов дифференциальных уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Краевые задачи со смещением для гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов дифференциальных уравнений"

На правах рукописи

Нахушева Зарема Адамовна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО, ПАРАБОЛИЧЕСКОГО, ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО И СМЕШАННОГО ТИПОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Белгород - 2014

2 4 АПР 2014

005547461

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (НИИ

Официальные оппоненты:

Кожанов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, главный научный сотрудник лаборатории дифференциальных и разностных уравнений.

Хайруллин Равиль Сагитович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Казанский государственный архитектурно-строительный университет", профессор кафедры прикладной математики.

Пулькина Людмила Степановна, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Самарский государственный университет", профессор кафедры уравнений математической физики.

Ведущая организация: Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова", факультет вычислительной математики и кибернетики.

Защита состоится «¡9 "ШМА 2014 г. в /4 Ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Белгородский государственный национальный исследовательский университет" (ФГА-ОУ ВПО "Белгородский государственный национальный исследовательский университет") по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО "Белгородский государственный национальный исследовательский университет" и на сайте www.bsu.edu.ru

ПМА КВНЦ РАН)

Автореферат разослан

2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гриценко Светлана Александровна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена линейным краевым задачам со смещением для основных и смешанных типов дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, относящихся к важнейшим прежде всего благодаря своим приложениям к динамическим системам с распределенными параметрами, проблемам газовой динамики, безмоментной теории оболочек и математического моделирования нелокальных физических процессов. Трудность проблем теории уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их задания, чрезвычайно стимулировала и продолжает стимулировать интенсивные исследования в области нелокальных краевых задач, в особенности задач со смещением. Подтверждением сказанному являются многочисленные научные публикации отечественных и зарубежных авторов за последние пятнадцать лет, отмеченные в монографиях М.С. Салахитдинова и А.К. Уринова («Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром». - Ташкент: ФАН, 1997), Т.Д. Джураева и А. Сопуева («К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка». - Ташкент: ФАН, 2000), В.И. Жегалова и А.Н. Миронова («Дифференциальные уравнения со старшими производными». -Казань: Казанское математическое общество, 2001), A.M. Нахушева («Дробное исчисление и его применение». М.: Физматлит, 2003; «Задачи со смещением для уравнений в частных производных». - М.: Наука, 2006; «Нагруженные уравнения и их применение». - М.: Наука, 2012), М.С. Салахитдинова и М. Мирсабурова («Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами». - Ташкент: Universitet, 2005), A.B. Псху («Уравнения в частных производных дробного порядка». - М.: Наука, 2005), Л.И. Сербиной («Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах». - М.: Наука, 2007), O.A. Маричева, A.A. Килбаса и O.A. Репина («Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывны-

ми коэффициентами». - Самара: Изд-во СамГЭУ, 2008).

К задачам со смещением относятся такие классические задачи как задача Римана для голоморфных функций и задача Франкля для уравнений смешанного типа, которая была объектом исследования A.B. Би-цадзе, К. Моравец, Е.И. Моисеева, А.П. Солдатова. Задаче Дарбу, прямым и обратным краевым задачам с локальным и нелокальным смещением посвящены важные работы А.Н. Зарубина, Т.Ш. Кальмено-ва, А.И. Кожанова, Е.И. Моисеева, С.М. Пономарева, Н.И. Поливанова, А.И. Прилепко, JI.C. Пулькиной, К.Б. Сабитова, М.Х. Шханукова-Лафишева.

В.А. Стеклов обратил внимание, что различные задачи об охлаждении тел линейных размеров, переведенных на язык анализа, сводятся к интегрированию дифференциальных уравнений параболического типа с краевыми условиями первого и второго классов. Эти краевые условия, имеющие, по словам A.A. Самарского, нестандартный вид, являются краевыми условиями со смещением. Фундаментальную роль в развитии методов исследования нелокальных краевых и внут-реннекраевых задач сыграли работы A.B. Бицадзе и A.A. Самарского, В.А. Ильина и Е.И. Моисеева.

Об актуальности темы и ее востребованности свидетельствуют материалы и труды международных конференций и симпозиумов, посвященных нелокальным краевым задачам для уравнений смешанного типа и родственным проблемам анализа и информатики.

Научно-квалификационная работа выполнена по основному направлению научной деятельности НИИ ПМА КБНЦ РАН «Нелокальные дифференциальные уравнения и математическая физика фракталов>, утвержденному Постановлением Президиума РАН № 227 от 27.06.2006 г.

Цель работы. Главная научная цель диссертации состоит в разработке и развитии аналитических и функциональных методов поиска критериев однозначной разрешимости нелокальных краевых задач со смещением для основных типов линейных уравнений в частных про-

изводных с непрерывными и разрывными коэффициентами.

В работе доказаны теоремы единственности и существования решения краевых задач со смещением для линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического, параболического, эллиптического и смешанных (как эллиптико-гиперболических, так и параболо-гиперболических) типов, а также смешанных задач с локальным и нелокальным условиями сопряжения на многообразиях параболического вырождения соответствующих им дифференциальных уравнений. Основные усилия направлены на доказательство теорем существования и единственности решений следующих задач:

1. Обобщенной задачи Дарбу в нелокальной постановке для вырождающегося гиперболического типа уравнения второго порядка со спектральным параметром.

2. Задачи Дарбу для линеаризованного уравнения Сен-Венана.

3. Задачи Гурса в интегральной постановке для линейного гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

4. Линейной краевой задачи с нелокальным смещением для уравнения теплопроводности и задачи Самарского для нелокального диффузионного уравнения.

5. Краевых задач в интегральной постановке и задач со смешанным сдвигом для уравнений второго порядка параболического типа.

6. Краевых задач с интегральным смещением для линейных эллиптических уравнений с оператором Лапласа в главной части.

7. Нелокальной задачи Дезина, задачи Трикоми и внутреннекрае-вой задачи с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

8. Внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера и аналога задачи Дезина для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами.

Методы исследования. В основе методов исследования разреши-

мости рассматриваемых дифференциальных уравнений, описания качественных и количественных характеристик их решений лежат метод функций Римана и Грина-Адамара, метод интегральных уравнений, в том числе нагруженных и сингулярных, метод априорных оценок и необходимых краевых и внутреннекраевых условий, принципы Хопфа и Зарембы-Жиро, метод Фурье и специальные свойства функций типа Миттаг-Леффлера и Райта.

Научная новизна. В диссертации впервые разработаны следующие существенно новые теоретические положения, сформированные в виде теорем, совокупность которых можно квалифицировать как новое значимое научное достижение в области дифференциальных уравнений в частных производных:

1. Теоремы единственности и существования решения обобщенной задачи Дарбу с нелокальным условием на нехарактеристической части границы для волнового и телеграфного уравнений, для уравнения Геллерстедта и вырождающегося гиперболического уравнения с вещественным спектральным параметром.

2. Теорема единственности и существования регулярного решения обобщенной задачи Дарбу в локальной постановке для линеаризованного уравнения Сен-Венана при различных, в том числе критических, значениях числа Фруда.

3. Решение проблемы поиска условия эквивалентности задачи Гур-са в интегральной постановке системе двух линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода и метода ее редукции к локальной краевой задаче для дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка; теорема единственности решения задачи Гурса с интегральными данными.

4. Доказательство однозначной разрешимости краевой задачи с нелокальным смещением на нехарактеристической части границы; обоснование метода Фурье решения видоизмененной задачи Самарского для уравнения фрактальной диффузии и развитие метода ее эквивалент-

ной редукции к локальным краевым задачам для такого же типа уравнений или же для уравнения третьего порядка составного типа.

5. Теоремы единственности и существования решения первой, второй краевых задач в интегральной постановке и задачи со смешанным сдвигом для линейных уравнений в частных производных второго порядка параболического типа.

6. Исследование на корректность краевой задачи с интегральным смещением на двух непересекающихся гладких частях границы для линейного эллиптического уравнения с оператором Лапласа в главной части как двумерного аналога одномерной нелокальной задачи В.А. Ильина и Е.И. Моисеева для оператора Штурма-Лиувилля; теорема об экстремальных свойствах решения этой задачи.

7. Исследования краевых задач с интегральным смещением на одной и двух частях границы для уравнения Лапласа и реализация метода их редукции к локальным краевым задачам для составного типа уравнений Адамара третьего и четвертого порядков соответственно.

8. Теорема о представлении дробного интеграла М. Сайго в виде взвешенной суперпозиции операторов Римана-Лиувилля и ее применение к уравнению смешанного типа.

9. Теоремы единственности и существования решения задачи A.A. Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с разрывными коэффициентами и исследование задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным условием линейного сопряжения.

10. Исследование нелокальной внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и уравнений смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами, а также аналога задачи A.A. Дезина для такого же типа уравнений в частных производных второго порядка.

Теоретическая и практическая значимость. Основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретиче-

скую ценность и могут найти применение в теории динамических систем с распределенными параметрами и при математическом моделировании нелокальных физических процессов.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгими математическими доказательствами.

Апробация работы. Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях: научно-исследовательского семинара по проблемам современного анализа, информатики и физики НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель семинара д.ф.-м.н., профессор A.M. Нахушев); объединенного научно-исследовательского семинара кафедры Вычислительной математики (зав. кафедрой д.ф.-м.н., профессор М.Х. Шхануков-Лафишев) и кафедры Теории функций и функционального анализа (зав. кафедрой д.ф.-м.н., профессор В.А. Елеев) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова" (2010 г.); научно-исследовательского семинара кафедры Функционального анализа и его применения (руководитель семинара академик РАН Е.И. Моисеев) факультета Вычислительной математики и кибернетики Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова"; научно-исследовательского семинара кафедры Дифференциальных уравнений (руководитель семинара д.ф.-м.н., профессор A.C. Шамаев) Механико-математического факультета Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова", а также прошли апробацию на следующих научных мероприятиях:

1. Вторая Международная конференция -«Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, 2001 г.

2. Международный Российско-Узбекский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2003 г.

3. Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2004 г.

4. Международный Российско-Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2004 г.

5. Третья Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик, 2006 г.

6. Всероссийская научная конференция "Самдифф"-2007. Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара, 2007 г.

7. Международный Российско-Азербайджанский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2008 г.

8. Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики посвященная 90-летию академика A.A. Самарского. Москва, 2009 г.

9. Международный Российско-Абхазский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2009 г.

10. Шестая Всероссийская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2009 г.

11. Седьмая Всероссийская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2010 г.

12. Международный Российско-Болгарский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Хабез, 2010 г.

13. Второй Международный Российско-Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информа-

тики". Нальчик, 2011 г.

14. Международная конференция "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород, 2011 г.

15. Второй Международный Российско-Узбекский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Терскол, 2012 г.

16. ВВМШ "Современные методы теории краевых задач". Понтря-гинские чтения - XXIV. Воронеж, 2013 г.

17. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Белгород, 2013 г.

18. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Стерлитамак, 2013 г.

19. Международная конференция "Самдифф-2013". Самара, 2013 г.

20. Республиканская научная конференция с участием ученых из стран СНГ "Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения". Ташкент, 2013 г.

21. IV Международая конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик-Терскол, 2013 г.

В диссертацию вошли результаты, полученные автором как одним из исполнителей проектов 00-01-00311-а «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепло-массопереноса в средах с фрактальной структурой» (2000-2002 гг.), 06-01-96627-р_юг_а «Исследование краевых задач со смещением для канонических уравнений смешанного типа и их приложения к математическому моделированию энерго- и массооб-мена в составных средах с фрактальной структурой» (2006-2008 гг.), поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований.

Результаты диссертации внедрены соискателем в учебный процесс Третьей Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и про-

блемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик - п. Эльбрус, 2005 г.).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 46 работах автора. В том числе одна монография [10], 14 публикаций в рецензируемых журналах, включенных в перечень ВАК РФ российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации [1]-[8],

[11Н15].

Структура и объем работы. Диссертация, объемом в 241 страницу, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 157 наименований и набрана с использованием пакета ЕТеХ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Объектом исследования первой главы, состоящей из девяти параграфов, являются краевые задачи для гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. В параграфе 1.1 рассматривается уравнение

uini ~ |уГ(ии + 4Аи) = 0, т = const > 0, А = const, (1)

в области Q,m = {z : 0 < £ < Т) < г} евклидовой плоскости точек z = x + iy,

Z = x--^{-у)^, п = х+—У<о-

тп 4- ¿ Ш + í

Пусть: Qm - замыкание области Clm, = От\{л : f = 0};

Обобщенная задача Дарбу ставится следующим образом. Задача Da(m, А). В области Üm найти решение u[z] = и(х, у) уравнения (1) из C(üm) ПСг(Пти/г), удовлетворяющее краевым условиям

Y^ak(x)D^u(t)+bo(x)uy(x) = Co(x), 0 <х<г, (2) fc=0

= Q<x<r. (3)

Здесь: IT = {(х, 0) — х : 0 < х < г}; £)&. - оператор Римана-Лиувилля порядка /л с началом и концом в точках 0 и х соответственно; и(х) = = u(x,0), иу(х) = uv(x,0); ак(х), Ь0(х), Со(х), ф0(х) - заданные функции из класса С[0,г]; 0 < а0 < ai < ... < а„ = а < 1, в™(х) =

В параграфе 1.2 в области fi0 исследуется обобщенная задача Дарбу А« (0,0) для волнового уравнения

Uyy-uxx = 0. (4)

Обобщенным решением уравнения (4) в области По называется функция u(z) е С (По) П С1 (П0 U Ir), удовлетворяющая уравнению

=++*£)] - и(о)) 12

где £ = ж + у, 77 = х - у, &°(х) = х/2 - гаг/2.

Основным результатом этого параграфа являются: Теорема 1.2.1. Пусть а < 1, Цж) для всех х& [0,г], ^0(х) € еСЧО.г]. Тогда задача Д,(0,0) для уравнения (4) имеет и притом единственное обобщенное решение и(г) е С1 (ОД. Это решение и(г) е € С1 (П0) тогда и только тогда, когда функция

Лпо(х) = ^о(О) ]ГаЛ(а:)х-«7Г(1 - а,) к=0

непрерывна в точке х = 0:

ИтЛ£(*)=^(0), (5)

где Г(л) - гамма-функция Эйлера.

Теорема 1.2.2. Пусть: а= 1, а0 = 0, функция ап(х) + Ь0(х) ф О на [0, г); Ь0(х) е С^О, г], ак{х) е С^О, г] при к = 1,2,..., п. Тогда задача А(0,0) имеет единственное решение и(г) е С^ОД п С(Л0). Это решение и{г) 6 С:(П0) тогда и только тогда, когда функция

п-1

АГЧх) = ф0(0)

к=1

непрерывна в точке х = 0: Ит =

В параграфе 1.3 в области С1т рассматривается обобщенная задача Дарбу Оа(т, 0) для уравнения Геллерстедта

«» ~ Ытихх = 0. (6)

Обобщенным решением уравнения (6) в области Пт называется любая функция и(г) б С(Пт) П С1(Пт и 1Г), удовлетворяющая уравнению

= 5 ТЩ)^ ~ ^(б) +

{+^0ты]} н0{Щ] е, г]), (7)

где е = m/(2m + 4),

' vî4v - ÎYF L1 - e, ■1; J" • ^j) , »71 > e

= ГСеЬ21 r Th

- след функции Грина-Адамара H(ÇU щ; rj) второй задачи Дарбу при

= 0, F(a, b, с; z) - гипергеометрическая функция Гаусса.

В этом параграфе доказана

Теорема 1.3.1. Пусть а < 2/(ш + 2), Ъ0(х) ф 0 на [0, г], ф0(х) <Е € С1 [0, г]. Тогда задана Da(m, 0) для уравнения (6) имеет и притом единственное обобщенное решение u(z) € С^ПЦ,). Это решение u(z) е С1 (Л™) тогда и только тогда, когда соблюдено условие (5).

Здесь же исследована модельная задача Трикоми, подтверждающая, что в теории уравнений смешанного типа возникают и случаи, когда 1 < а„ = а < 2. Эта задача сводится к спектральной задаче:

D^u(t) + XD^u(t)=0, u(0) = 0, u(r) = 0.

Параграф 1.4 посвящен обобщенной задаче Дарбу для телеграфного уравнения

ихх - щу -(- ц2и = 0, ц2 = -4А. (8)

Главный результат этого параграфа -

Теорема 1.4.1. Пусть а < 1, Ь0(х) ф 0 на [0,1], ф0(х) S C^O.l]. Тогда задача Da(0, А) для уравнения (8) имеет и притом единственное решение u{z) е С(Г20) П С1 (Îîg). Это решение u(z) £ C\Ü0) тогда и только тогда, когда соблюдено условие (5).

В параграфе 1.5 предложен метод поиска решения задачи Дарбу для телеграфного уравнения как решения специальной смешанной задачи для этого же уравнения.

В параграфе 1.6 для уравнения (1) исследуется обобщенная разрешимость задачи Дарбу Da(m, Л) при тХ ф 0.

Центральное место в § 1.6 занимает

Теорема 1.6.1. Если b0(x) ф 0 всюду на [0, г] и а < 2/(то + 2), то задана Da(m; А) имеет и притом единственное обобщенное решение u(z) , которое при А = (/¿/2)2 удовлетворяет уравнению

Г(е) } Î2 — 2еЛ2£

<х) = 2ад J Е1'г ~t)2; г>1 ~ е1 u^dt+

Р^/ + ^^ [-Х(х -t)2; 1,1-е] Л,,

+ где

£>. ^МьЙг] = 2Jïv-, ; / -, , , V, Pi >0, р2 > О,

^ Г{цу + k/Pl)r((x2 + k/p2)

- функция типа Райта.

В параграфе 1.7 в области Dr = {z : 0<х<г,0<у< ж/2} для

линеаризованного уравнения Сен-Венана

d2h d2h , d2h 1 fZdh dh\

+121ыГу + W + * + W = '0 (9)

с параметрами at = 1 +1 /F, a^ = 1 -1 /F, числом Фруда F и динамической переменной h(z) = h(x, y) исследуется следующая обобщенная задача Дарбу в локальной постановке.

Задача 1.7.1. Найти регулярное в области Dr решение h(z) = = Кх> У) уравнения (9) из класса C{Dr)f\C1{DTUlT), удовлетворяющее локальным краевым условиям

a{x)hx{x) + b(x)hv(x) + c{x)h{x) = d{x), x e Ir,

/j / a' +г x | _ ^(х), x € 7r.

\ai — аг /

Главным научным достижением § 1.7 является Теорема 1.7.1. Пусть а(х), Ь(х), с(х), d{x) € С'(ТГ)Г\С1(1Г), ф0(х) G С2(/г), а(ж) - aib(x) ф 0 для всех x е 7Г. Тогда задана 1.7.1 имеет, и притом единственное, решение.

Параграф 1.8 первой главы посвящен уравнению

Uxy + a(z)ux + b{z)uy + c(z)u = 0 (10)

в области Г2 = {г: 0 < х < г, 0 < у < Т} с коэффициентами, обладающими тем свойством, что ax(z), by(z) и c(z) 6 C(Q).

Обобщенным решением уравнения (10) в области Q назовем любую непрерывную в П функцию u(z), представимую в виде

u(z) = R(x-, г)ф) + R(iy\ z)ip(y) - R(0; z)u(0)+

X у

+ /z) - R&; z)M№ + J[a(iT})R(iV; z) - zMWv, о 0

(11)

где z) = R(£, r}\ x, у) - функция Римана,

u(x, 0) = ip(x), 0 < x < r, (12)

и(0,у)=Ф(у), 0<y<T. (13)

Задачей Гурса в интегральной постановке называется Задача 1.8.1. В области П найти обобщенное решение u(z) уравнения (10), удовлетворяющее интегральным условиям: а ß

Ju{z)dx—rpa{y), у € [0,Т], Ju(z)dy=(p0{x), х G [0,г], о о

где фа(у) и <fiß{x) - заданные непрерывные функции, а и ß - заданные

числа, 0 < а < г, 0 < ß < Т.

Основные научные результаты сформулированы в виде двух теорем

Теорема 1.8.1. Задача 1.8.1 эквивалентна линейной системе двух

нагруженных интегральных уравнений Фредгольма второго рода omni ß

носительно и{х) и и{гу). Если J dxf R(0,0; z)dy Ф 0, то эта система

о о

сводится к системе двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

В уравнении (10) перейдем к новой зависимой переменной v = v (z), определяемой как решение задачи Гурса:

V (О, у) = 0, V (х, 0) = 0, 0 <у<Т, 0 < х < г (14)

для уравнения vxy = и (z) в области П. Функция v{z) такова, что

W(œ,/3) = Ф(®), v(a,y) = V(y), 0<х<г, 0<у<Т, (15)

где Ф (а?) = / tpß (О dÇ, Ф (у) = / ^ (т?) rfî?-о О

Для любого решения u(z) G С (fi) П С1 (Q) задачи 1.8.1 функция

и (г) представляет собой решение уравнения

d*v , / ч ^ , , d2v п

W + + w + = <16>

удовлетворяющее локальным условиям (14) и (15).

Положим а — г, ß = Т и рассмотрим однородную задачу Дирихле:

w(®l0) = 0, t/(0,») = 0, 0 < ж < a, 0<y<ß, (17)

v(x,ß)=0, v(a,y)= О, 0 < x < a, 0 < у < ß, (18)

для уравнения (16).

Теорема 1.8.2. Пусть а = r, ß = Т; коэффициенты уравнения (10) удовлетворяют условиям a(z),b(z) € C^fi), c(z) € C(fi), функция C(z) — c(z) — ax(z) — by(z) имеет смешанную производную Cxy(z) e C(fi);

ay(z) > 0, bx(z) > 0, Cxy(z) > 0, ay(z)bx(z) > C2(z) V г € fi. (19)

Тогда задача Дирихле (17) - (18) для уравнения (16) в области Ü имеет лишь тривиальное решение v — 0.

В последнем параграфе первой главы доказаны единственность и существование решения задачи Гурса в интегральной постановке для гиперболического уравнения с нулевым инвариантом и других специальных дифференциальных уравнений, в том числе телеграфного, не удовлетворяющих условиям теоремы 1.8.2.

Вторая глава состоит из восьми параграфов и посвящена краевым задачам со смещением для локальных и нелокальных уравнений второго порядка параболического типа.

Объектом исследования параграфа 2.1 является поиск условий однозначной разрешимости задачи S%(a, 6).

Задача S%(a, Ь). Найти регулярное в области Cí = {z: 0 < х < I, О < у < Т} и непрерывное в замыкании П решение u(z) = u(x, у) уравнения теплопроводности uy = ихх со следующими свойствами: 1) функция u(z) удовлетворяет начальному условию и(х) = <р{х), 0 < х < 1\

2) производная uy(z) является абсолютно суммируемой на сегменте

[О, /] функцией пространственной переменной х для любого момента

времени у > 0 и удовлетворяет условию Самарского & / u(z) dx = 0;

3) limu^z) = ux(r, у) € e L[0, T], r = 0,1; 4) функции u(0,y), u(l,y) при у > 0 имеют производные порядка < 1 и удовлетворяют краевому условию

aD^u(0, г,) = bD^uil, 7?) + с(у), 0 < у < Т. Здесь <,с>(х) и с(у) - заданные функции ip{x) € С2[0,1), с(у) € С[0,Т]; а, /?, а и 6 - заданные числа; -1 < 0 < а < 1; а2 + Ь2 Ф 0; при о = 0 число /3 отождествляется с числом а.

Через |Н|„ и ||^||г обозначим max|u(x,f/)| итах|^>(£)| для функций

£1 [0,г)

ф,!/)€С(П) vix¡){t) <= С[0,г].

Главным результатом этого параграфа является Теорема 2.1.1. Пусть -1 < /9 < а < 1; <р(х) € С2[0,/], с(у) е € C[0,T], D¡¿2~ac{r¡) G С]0,Т] u с{у) G C~a[Q,T) при а < 0; а ф -Ь и а<р(0) — hp(l) = lim D^c(r]) при а = /3; а Ф 0 при а > ¡3 и а<р(0) = lim Dtyac(rj); Ыр(1) = - lim D^c(t]) при а = 0. Тогда существует единственное решение и(х,у) задачи S£(a,b), и оно удовлетворяет оценкам

1М0,») +ti(U)||r < AM,, ||U||a < В (¡M|, + |¿Vc||r) , где А и В - положительные постоянные, не зависящие от <р(х) и с(у).

Доказательство теоремы 2.1.1 опирается на 5 лемм, которые могут представлять самостоятельный интерес.

Объектом исследования в параграфах 2.2 и 2.3 является видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения

Dlu{x,T]) = uxx% 0 < а < 1, (20)

в области ü = {(х, t) : 0 < х < 1,0 < t < Т}.

Задача S. Найти решение и = и(х, t) уравнения (20), удовлетворяющее условиям

limfI_aií(x, t) = т(х), 0 <х<1, (21)

it(0, t) = О, J и(х, t)dx = fit"-1, 0 < t < Т, (22)

где т(х) е С[0,1], ар- заданное действительное число.

Главным достижением этих параграфов является реализация метода Фурье решения задачи S и метода ее редукции к локальной краевой задаче:

limí1_eu(x,¿) = т+(х), limtl~aw(x,t) = т~(х), 0 < х < I, vx(0, у) = 0, vx(l, у) = 0, w(0, у) = -u(0, у), w(l, у) = v(l, у), 0 < у < Т, для системы двух нелокальных диффузионных уравнений

D°v(x,y) = vxx, Dñaw(x,y) = wxx, связанных с уравнением (20) формулами

2v(x, t) = и(х, t) + u(l — x, t), 2w(x, t) = u(x, t) — u(l —x,t); редукция задачи S к локальной краевой задаче:

hW-^x.f) = п(х) = D¿r(t), 0 < х < I, 1/(0, t) = 0, £4(0, t) = 0, U(l, t) = га-\(1), 0 < t < Т, для уравнения

~[D-tU(x,r,)-Uxx}=0. 19

В параграфах 2.4-2.8 дается постановка и исследование краевых задач с интегральным смещением для линейного уравнения параболического типа второго порядка вида

A(z)uxx + B{z)ux + C(z)u — Uy = f(z) (23)

в области fi = {z : 0 < x < a, 0 < y < T}. Предполагается, что A(z), B(z), C(z), f(z), Axx(z), Bx{z) принадлежат классу C(fi); A(z) > > Ao > 0, \A{z) - A(01 < M{\x - + \y - IB(z) - B(Ç,y)| <

< M\x - IC(z) - C&y)I < M\x - IAx(z) - AX(Ç,y)\ <

< M\x - f I«, \bx(z) - bx(Ç, y)| < M\x - Ç|'f где b(z) = B(z) - Ax{z\ M, e, S - положительные постоянные, причем 0<e<l,0<i<l.

Первая краевая задача в интегральной постановке - это Задача 2.5.1. Найти решение и = и(х,у) уравнения (23), удовлетворяющее начальному условию и(х, 0) = т(х), 0 < х < a < оо, и нелокальным условиям

д " д "

— ju(x,y)dx = g- J«(*, V)dx = ф(у), 0 < у < T,

о У ß

где т, ip и ф - заданные функции, a a и ß - заданные числа, причем 0 < a < а, 0 < ß < а, (a-a)2 + /?V 0, т(х) € С[0, а], <р(у), ф(у) е

еС[о,г].

Доказано, что при е = 1 задача 2.5.1 однозначно разрешима. Доказательство реализовано методом функции Грина первой краевой задачи для уравнения (23) в области fi. В случае уравнения теплопроводности иу — uxx задача 2.5.1 сводится к задаче Бицадзе-Самарского. В § 2.8 центральное место занимает следующая Задача 2.8.2. Найти регулярное в области fi = {z : 0 < x < а, О < у < Т} решение v(z) = v(x, у) уравнения

vxx + A(z)vx + B(z)v„ + C(z)v = F(z),

непрерывное в fi и удовлетворяющее краевым условиям

= Y, АЦуМх* + iy) + tpa(y), 0 < y < T, i= 1

v(a + iy) = Y, B*(y)v(e + iy) + fa{y), 0 < у < T, i= i

v(x) = r(x), 0 < x < a.

Здесь A{z), B{z), C{z), F(z), A?(y), ipa(y), B?(y), fa (у) - заданные непрерывные функции, a x7 и £ - фиксированные точки из ]0, о[. Доказана

Теорема 2.8.1. Пусть: A(z), B(z), C(z) € C(Ü); C(z) < 0 в П; B(z) < 0 при T - e < у < T, 0 < е = const < Т; AJ(y) > 0 при j = l,2,...,m; Bj(y) > 0 при j = l,2,...,n;

m n

о < у < т.

3=1 3=1

Тогда задача 2.8.2 не имеет, более одного решения.

Третья глава состоит из четырех параграфов и посвящена исследованию краевых задач с интегральным смещением для уравнений эллиптического типа в области ft — {z:a<x<b, 0<у< Т}.

Задача 3.2.1. Найти регулярное в области П решение u = u(z) уравнения

Uxx + uyy + Xi(y)uy + х2(у)и = f(z), (24)

непрерывное в П и удовлетворяющее краевым условиям:

^ + А 1(y)± + \2(y)\ju(z)dx +

+ + iy) = <p(y), 0 <y <T;

¿=i

+ J2 Вз(у)М¥ + iy) = 0<y<T; j=i

ii(x) = r0(x), u(x + iT) — Ti(x), a < x < 6; 21

где Ajt В5, tp(y) и ф(у) G C[0,T]; a < x1 < x2 < ... < x* = a < < ... < xm < b, a < p < £2 < ... < = $ < ... < f" < b; r0(x) и тг(х) в С1 [о, Ь].

Единственность и существование решения задачи 3.2.1 в случае, когда Лi{y) = 0, Х2(у) = 0, f(z) ~ 0, Aj{y) = 0 и В ¡{у) = 0 (см. задачу 3.1.1) доказывается в §3.1.

Уравнение (24) является частным случаем уравнения эллиптического типа

Дги + A{z)vx + B{z)vy + C(z)v = F{z) (25)

с оператором Лапласа Дг = д2/дх2 + д2/ду2 и с непрерывными в Я коэффициентами A(z), B(z), C{z) и правой частью F(z). Задача 3.2.1 инициирует следующую задачу. Задача 3.2.2. Найти регулярное в области П решение v(z) уравнения (25), непрерывное в О. и удовлетворяющее краевым условиям

v(a 4-iy) = Yl + 1У) + Vdv), 0 <y<T,

.>'=i

v(b + iy) = Yl Bf(y)v(? + iy) + Му)> 0 <y <T, i

v(x) = uo(aj)> v{x + iT) = Vi(ж), a < x < b. В § 3.2 доказана

Теорема 3.2.1. Пусть: А?(у) > 0, j = 0,1, ...,m; В?(у) > О,

т "а

j = 1,2,..., п; *£АаЛу) < 1; £Я?(у) < 1; C(z) < 0; v(z) - решение j-1 J=i

задачи 3.2.2 при <ра(у) = Фр{у) = 0u F{z) s 0. Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции v(z) на компакте П не могут достигаться в точках z = a + iy или z = b + iy. Одним из объектов исследования параграфа 3.3 является Задача 3.3.1. Найти регулярное в области D = {z : 0 < х < а, 0 < у < Ь} решение u(z) = и(х, у) уравнения Лапласа Аги = 0, непре-

рывное в D и удовлетворяющее локальным краевым условиям и(х) = тъ(аО, u(x + bi) = Ti(x), 0 < х < a, u{a + iy) = ф(у), 0 <у<Ь, и условию с интегральным смещением

J u(z)dx = <р(у), 0<y<b.

Эта задача простой заменой v(z) = Dgxu(^ + iy) редуцируется к локальной краевой задаче: v(iy) = 0, v(x) = v0(x), v(x + ib) = v1(x), v(a + iy) = <p{y), vx(a + iy) = ф(у), 0 < x < a, 0 < у < b, для уравнения Адамара dAv/dx = 0 (см. задачу 3.3.2).

Пусть ip(y) G С2[О, Ь]. Тогда задача 3.3.1 эквивалентна следующей задаче.

Задача 3.3.3. Найти регулярное в области D и непрерывное в D решение u{z) уравнения Azu = 0, удовлетворяющее краевым условиям: и(х) = т0(х), и(х + ib) = Т\(х), 0 < х < а; и(а + iy) = ф{у), ux(iy) = их(а + iy)+ +<р"(у), 0 <у<Ь.

К задаче Бицадзе-Самарского сводится важная в приложениях

Задача 3.3.4. Найти регулярное решение u(z) уравнения Лапласа Ахи — 0, непрерывное в D и удовлетворяющее условиям:

и(х) = т0(х), u(x + ib) =ъ(х), 0<х < а,

их{а + iy) = фх (у), J u(z)dx = <pi (у), 0 <y<b, О < а < а, о

где т0(х) и п(х) € С1 [0, а), а ф^у) и <рх{у) е С[0,6].

В § 3.4 исследуется краевая

Задача 3.4.1. Найти регулярное в области D решение и (z) уравнения Azu = 0, которое непрерывно в D и удовлетворяет условиям

u{a + iy)=tp{y), J и (z) dx = фа (у), 0 < у < b; о

и(х + ib) =Ti(x), J и (z) dy = <pp(x), 0 < x < a;

где n(x) G CM0, a], <p0(x) € C2[0, a], ^(y) € C[0,6], € C2[0,6].

Реализован метод редукции задачи 3.4.1 к локальной внутреннекра-евой задаче

v (0, у) = 0, и (яг, 0) = 0, 0 < у < Ь, 0 <х<а\ v (а, у) = Ф (у), у(х,/3) = Ф(х), 0 <у<Ь, 0 <х<а; v^ix + ib) = т^х), Vxy{a + iy) = гр(у), 0 <x<a, 0 <y<b;

для уравнения Адамара d2Azv/dxdy = 0. При а = а, /3 = b эта задача представляет собой локальную краевую задачу: v(0,y) = 0, v(a,y) = = Ф(2/), v(x,0) = 0, v(x,p) = Ф(х), vyx(x,P) = п(х), = ф(у)

для этого же уравнения Адамара составного типа.

Последняя IV глава диссертации, состоящая из шести взаимосвязанных параграфов, посвящена разработке и развитию методов постановки и исследования новых краевых задач для уравнений смешанного как эллиптико-гиперболического, так и параболо-гиперболического типа второго порядка в специальных смешанных областях.

Основным научным достижением § 4.1 является теорема 4.1.1 о представлении

= Dlr^D^'WO, a + /3 < 1, -a < 7 < 0,

дробного интеграла М.Сайго в виде взвешенной суперпозиции операторов Римана-Лиувилля и ее применение к уравнениям смешанного типа вида

dyi+Щ-у) дх2'

где Н(у) - функция Хевисайда, тп = const > 0.

Существенно новым теоретическим результатом в § 4.2 следует считать теоремы единственности и существования решения задачи Дезина

для уравнения

Lu = [f(z) - a(z)ux - b(z)uv - c{z)u\H{y)

с оператором Лаврентьева-Бицадзе L в главной части; принцип экстремума для оператора L и леммы 4.2.1 и 4.2.2 об априорных оценках для эллиптического оператора L+ = Az -Ь а(г)д/дх + b(z)d/dy + c(z).

В § 4.3 впервые решена задача Трикоми (задача 4.3.1) для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

sign у • Uxx + uyy = Q, 0 <х <r (26)

с нелокальным условием линейного сопряжения вида

£te<(í) = a{x)DÍb(t)u;(t) + с(х), 0 < х < г,

где а и Р - вещественные числа, а(х), Ь(х), с(х) € С[0,г], и+(х) = = ДШдЦу^), и~(х) — liniQuy(z). Важную роль в решении этой задачи сыграли следующие теоремы.

Теорема 4.3.1. Пусть а(х) и Ь(х) принадлежат пространству С[О, г] « соблюдено одно из следующих пяти условий:

1) а = 0 < 0, а(х) — const ;

2) а = 0, р = 1, а(®)Ь(я) < 0, фЩх) € С(/г);

3) а = 0, р = -1, а(®)Ь(0) > 0, 0 < а(х)Ь'(х) е С{1Т), Ь'(х) € L[0,r];

4) р < а < 0, а{х) = const, ab(0) > 0, 0 < afí(x) € C(Ir) П L[0,r];

5)а — 1</3<а<0, а(х) = const, b(x) = const, ab > 0. Тогда задана 4.3.1 не может иметь более одного решения.

Теорема 4.3.2. Пусть а < 0, -2 < Р - а < -1, Ь(х) = const, ab > 0. Тогда однородная задача 4.3.1 в пространстве Соболева W^ü) не имеет решений, отличных от тривиального.

При доказательстве существования решения задачи 4.3.1 реализована восходящая к Трикоми идея редукции смешанной задачи к сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши.

В § 4.4 рассматривается уравнение (26) в области Í2 плоскости комплексной переменной z — x+iy, ограниченной кусочно-гладкой кривой

а С {z : Im z > 0} с концами в точках z = 0, 2 = г>0и его характеристиками АС : х + у = 0 и ВС : х — у = г > 0.

Через и обозначим подобласти области Q, расположенные соответственно в верхней Im z > 0 и нижней Im z < 0 полуплоскостях.

Задача 4.4.1. Найти регулярное в областях П+ и С1~ решение u[z] = u(x,y) уравнения (26) из класса C^ft) П С(Щ, удовлетворяющее условиям:

u[z} = <p(z), V 2 € a, (27)

o(e)] = ^u[x) + ф(х), 0<x<r. (28)

Здесь E%f = - оператор Эрдейи-Кобера, a > 0, ¡3, 7 -

заданные числа, A - спектральный параметр, ip(z) и ф(х) - заданные, непрерывные на кривой сг и на сегменте [0, г] функции, соответственно.

Основные результаты § 4.4 сформулированы в виде следующих двух теорем, позволяющих доказать существование решения задачи 4.4.1 методом редукции к сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши.

Теорема 4.4.1. Пусть: 0<а = -/3-7<1, А < 0; 1р(х) = 0. Toe-da положительный максимум (отрицательный минимум) решения u\z] задачи 4.4.1 в ТГ достигается только на кривой а.

Теорема 4.4.2. Пусть: 0<а=-/?-7< 1, А < 0. Тогда задача 4.4.1 не может иметь более одного решения.

Параграф 4.5 посвящен нелокальной внутреннекраевой задаче для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа

<29>

в смешанной области Q, гиперболическая часть которой совпадает с областью П" = {z = (х,у) : 0 < х + у < х - у < г}, лежащей в полуплоскости у < 0, а параболическая - с Г2+ = П \

Область С1~ ограничена характеристиками АС : х + у = 0, ВС : х — у = = г = const > 0 уравнения (29) и отрезком АВ : у = 0,

О < x < г. Граница области fi+ состоит из отрезков AB,

АА0 = {z : х = 0, 0 < у < у0} и кусочно-гладкой кривой а0.

Предполагается, что заданные и непрерывные вП+ функции a(z), c(z), f(z) и область П+ таковы, что смешанная задача: u\alJAB = <p(z), Wi|a4o = уо{у) Для уравнения (29) в области П+ является корректной по Адамару, и ее решение u(z) таково, что lim их = limu* = fo(0).

»—»О Z-+0

Здесь а означает часть сг0, где задаются граничные условия; условие и(х) - <р(х), 0 < х < г принимается за начальное условие. Исследуемая задача ставится следующим образом. Задача 4.5.1. Найти регулярное в областях S~î+ и О" решение u[z\ уравнения (29) из класса С1 (fi) nC(fî), удовлетворяющее нелокальному условию (28) и условиям u{z] = <p(z) Vz € er, ux\AAa = ¡/0(у); где ß, 7 и А - заданные действительные числа, ¡р(х) и ф(х) - заданные функции.

Справедлива следующая

Лемма 4.5.1. Пусть 0 < а < 1, a + ß + 7>-lu D%xta+ßip(t) € e C]0,r[, f(x) = 0, Tx = i/0(0). Тогда след т(х) = u(x), 0 < x < r любого решения и = u(z) задачи 4.5.1 является решением краевой задачи: и'(0) = ти и(г) = <р(г) для уравнения

xß{u"(x)-[a(x)+l]u'(x)-c(x)u(x)}-2XD^ta+ß^u(t) = -2 D^ta+ßi)(t).

Лемма позволяет найти достаточные и близкие к необходимым условия однозначной разрешимости задачи 4.5.1, в частности, доказать теорему 4.5.1.

В параграфе 4.6 в области fi = {z : 0 < x < г, -г < у < ß} исследуется аналог задачи Дезина для уравнения смешанного типа

д2и ,,,гг/ч

g^-g^m^=f(z)H(y) (30)

с правой частью / (z) б С (fi), с условием периодичности по х

и (iy) = и(г + гу), их (iy) = ux(r + iy), -r<y<ß; (31)

условием линейного сопряжения

lim и (z) ' lim и (z), lim и„ (z) = lim uy (z), 0 < x < r (32)

и нелокальным краевым условием

иу (х — ir) — Xu (x), 0 < x < r (33)

со спектральным параметром Л.

Положим: o-z_r = {z : 0 < х <r,y = -г}; <tj0 = ■ 0 < х < г,у = 0}; - часть области £2, расположенная в полуплоскости Im z > 0; D(L) = = С (fi) ПС1 (f2+ U axо U n1)nC71(^2U(Tn,n{Im2<0} П С1 (Q3 U <тх-г) Л ПС1 (Я4 и (Toy Л {Im г < 0}); fi" =

Аналогом задачи A.A. Дезина является следующая Задача 4.6.1. Найти регулярное всюду в области i2 за исключением, быть может, {z : у = 0,0 < х < г;х + у = 0,х — у = г,0 < х < г}, решение u(z) уравнения (30) из D{L), удовлетворяющее условиям (31)-(33).

Задача 4.6.1 сводится к следующей задаче.

Задача 4.6.2. Найти регулярное в области Q+ решением (z) уравнения (30), которое непрерывно в замкнутой области TT*, имеет производную их, непрерывную вплоть до а0уиагу, производную иу, непрерывную вплоть до ах0, и удовлетворяет краевым условиям: и (iy) = и (г + iy), их (гу) = их (г + iy), 0 < у < ß, Uy (х) = Хи(х),0<х<г.

Доказана однозначная разрешимость задачи 4.6.2 при А > 0 и исследован вопрос о спектре соответствующей ей однородной задачи. Существенно новым результатом этого параграфа является Теорема 4.6.1. Задача 4.6.1 при А > 0 или А Ф А„ = -(2яn/r)2, п = 0,1,2,... имеет единственное решение u(z); числа А„ являются собственными значениями соответствующей ей однородной задачи; собственным значениям А„ отвечают собственные функции un(z), которые в области П+ представимы в виде

u„(z) -

т„(0) coscj„x + ^^ sinw„:r

Шп 28

exp(-w^),

где тп{х) ~ ип(х, 0), ып = 2жп/г, п = 0,1,2,...

В заключении формулируются главные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Основные публикации автора по теме диссертации

1. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 11. С. 171-174.

2. Нахушева З.А. Первая и вторая краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 11. С. 1982-1992.

3. Нахушева З.А. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным условием сопряжения // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, №10. С. 1426-1428.

4. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче A.A. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 2009, Т. 45, № 8. С. 1199-1203.

5. Нахушева З.А. Обобщенная задача Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка со спектральным параметром // Докл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2009. Т. 11, №1. С. 42-55.

6. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для эллиптического уравнения с двумерным оператором Лапласа в главной части // Докл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2009. Т. 11, № 2. С. 32-35.

7. Нахушева З.А. Об одном представлении дробного интеграла М. Сайго и формуле его обращения // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2010. №2 (34). С. 122-126.

8. Нахушева З.А. К теории линеаризованного уравнения Сен-Венана // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2010. № 5 (37). С. 23-30.

9. Нахушева З.А. Об одной нелокальной краевой задаче для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка со спектральным параметром // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, JV> 10. С. 1452-1465.

10. Нахушева З.А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений. Нальчик: Изд-во КБ-НЦ РАН, 2011. 189 с.

11. Нахушева З.А. Задача Гурса в интегральной постановке для специальных дифференциальных уравнений гиперболического типа // Докл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2011. Т. 13, №1. С. 98-101.

12. Нахушева З.А. Нелокальные характеристические и смешанные задачи для уравнений гиперболического типа //Докл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2011. Т.13, №2. С. 43-48.

13. Нахушева З.А. Характеристические и смешанные задачи для уравнений второго порядка гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 10. С. 1418-1427.

14. Нахушева З.А. Нелокальная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и его аналогов в теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49, № 10. С. 1332-1339.

15. Нахушева З.А. Об одной нелокальной эллиптической краевой задаче типа задачи Бицадзе-Самарского // Докл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2013. Т. 15, № 1. С. 18-23.

Краевые задачи со смещением для гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов дифференциальных уравнений

Формат 30x42. 1/4. Усл. печ.л. 1.6 Бумага офсетная. Заказ № 7. Тираж 100 экз.

Издательство М. и В. Котляровых ("Полиграфсервис и Т") Лицензия № 00003 от 27.08.99 г. 360000, КБР, г. Нальчик, ул. Кабардинская, 19. Тел./факс: (8662) 42-62-09, e-mail: elbrus@mail.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Нахушева, Зарема Адамовна, Нальчик

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук

НАХУШЕВА ЗАРЕМА АДАМОВНА

01.01.02 - «Дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление»

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

О СМ

ГО

На правах рукописи

Нальчик-2014

Оглавление

Введение 5

Глава I. Краевые задачи для гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными 32

1.1. Постановка классической и обобщенной задач Дарбу для вы-

рождающегося гиперболического уравнения второго порядка со спектральным параметром.................. 32

1.2. Обобщенная задача Дарбу для волнового уравнения..... 34

1.3. Обобщенная задача Дарбу для уравнения Геллерстедта ... 40

1.4. Обобщенная задача Дарбу для телеграфного уравнения ... 44

1.5. Об одном методе решения задачи Дарбу для телеграфного уравнения............................. 51

1.6. Обобщенная задача Дарбу для оператора Геллерстедта со спек-

тральным параметром............................................53

1.7. Задача Дарбу для линеаризованного уравнения Сен-Венана . 59

1.8. Задача Гурса в интегральной постановке для уравнений гиперболического типа..............................................68

1.9. Задача Гурса в интегральной постановке для специальных дифференциальных уравнений гиперболического типа .... 83

Глава II. Краевые задачи со смещением для локальных и нелокальных уравнений второго порядка параболического типа 90 2.1. Краевая задача с нелокальным смещением для уравнения теплопроводности .......................... 90

2.2. Видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения...................... 101

2.3. Редукция задачи Самарского для нелокального диффузион-

ного уравнения к локальным краевым задачам........107

2.4. Первая краевая задача в интегральной постановке для урав-

нения теплопроводности.....................112

2.5. Постановка краевых задач с интегральным смещением для ли-

нейного уравнения параболического типа и определение обобщенного решения......................... 116

2.6. Вторая краевая задача в интегральной постановке для урав-

нения параболического типа .................. 123

2.7. Первая краевая задача в интегральной постановке для урав-

нения параболического типа .................. 126

2.8. Задача со смешанным сдвигом для класса уравнений парабо-

лического типа.......................... 134

Глава III. Краевые задачи с интегральным смещением для эллиптических уравнений 141

3.1. Краевая задача с интегральным смещением на двух гладких

непересекающихся частях границы для уравнения Лапласа . 141

3.2. Краевая задача с интегральным смещением на двух непересе-

кающихся гладких частях границы для эллиптического уравнения с оператором Лапласа в главной части.........145

3.3. Краевая задача с интегральным смещением на одной гладкой

части границы для уравнения Лапласа и её связь с составного типа уравнением Адамара.................... 152

3.4 Краевая задача с интегральным смещением на двух гладких соприкасающихся частях границы для уравнения Лапласа и ее связь с составного типа уравнением Адамара четвертого порядка.............................. 157

Глава IV. Краевые задачи для уравнений смешанного типа 161

4.1. Об одном представлении дробного интеграла М. Сайго и его

приложении к нелокальной задаче для уравнения смешанного типа............................... 161

4.2. Нелокальная задача A.A. Дезина для уравнения смешанного

эллиптико-гиперболического типа с разрывными коэффициентами ............................... 173

4.3. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нело-

кальным условием сопряжения.................185

4.4. Нелокальная внутреннекраевая задача с оператором Эрдейи-

Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе......... 199

4.5. Нелокальная внутреннекраевая задача с оператором Эрдейи-

Кобера для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами.............206

4.6. Аналог задачи A.A. Дезина для уравнения смешанного гиперболо-

параболического типа......................211

Заключение 219

Список литературы 222

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена линейным краевым задачам со смещением для основных и смешанных типов дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, относящихся к важнейшим прежде всего благодаря своим приложениям к динамическим системам с распределенными параметрами, проблемам газовой динамики [141], [138], [3], [132], безмо-ментной теории оболочек [7], [65] и математического моделирования нелокальных физических процессов [67], [133]. Трудность проблем теории уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их задания, чрезвычайно стимулировала и продолжает стимулировать интенсивные исследования в области нелокальных краевых задач, в особенности задач со смещением. Это подтверждают многочисленные научные публикации отечественных и зарубежных авторов за последние пятнадцать лет, отмеченных в монографиях A.M. Нахушева [62], [63], [64], [66], М.С. Сала-хитдинова и А.К. Уринова [128], М.С. Салахитдинова и М. Мирсабурова [129], Т.Д. Джураева и А. Сопуева [16], В.И. Жегалова и А.Н. Миронова [21], O.A. Маричева, A.A. Килбаса и O.A. Репина [44].

К задачам со смещением относятся такие классические задачи как задачи Римана и Карлемана для голоморфных функций и задача Франк-ля для уравнений смешанного типа, которая была объектом исследования A.B. Бицадзе, К. Мораветц, Е.И. Моисеева, А.П. Солдатова. Задаче Дарбу, прямым и обратным краевым задачам с локальным и нелокальным смещением посвящены важные работы А.Н. Зарубина [24]-[26], Т.Ш. Кальменова [33], А.И. Кожанова и JI.C. Пулькиной [41], Е.И. Моисеева [57], С.М. Пономарева [114], Н.И. Попиванова [115], А.И. Прилепко [117], К.В. Сабитова

[125], [126], А.П. Солдатова и М.Х. Шханукова [135].

Об актуальности темы и ее востребованности свидетельствуют материалы и труды международных конференций и симпозиумов [45]—[56], посвященных нелокальным краевым задачам для уравнений смешанного типа и родственным проблемам анализа и информатики.

Научно-квалификационная работа выполнена по основному направлению научной деятельности Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН «Нелокальные дифференциальные уравнения и математическая физика фракталов», утвержденному Постановлением Президиума РАН № 227 от 27.06.2006 г.

В.А. Стеклов [136] обратил внимание, что различные задачи об охлаждении тел линейных размеров, переведенных на язык анализа, сводятся к интегрированию дифференциальных уравнений параболического типа с краевыми условиями первого и второго классов. Эти краевые условия, имеющие, по словам A.A. Самарского [130], нестандартный вид, являются краевыми условиями со смещением [64]. Фундаментальную роль в развитии методов исследования нелокальных краевых и внутреннекраевых задач сыграли работы A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [6], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [30], [31].

Главная научная цель диссертации состоит в разработке и развитии аналитических и функциональных методов поиска критериев однозначной разрешимости нелокальных краевых задач со смещением для основных типов линейных уравнений в частных производных с непрерывными и разрывными коэффициентами.

2. Задачи Дарбу для линеаризованного уравнения Сен-Венана.

7. Нелокальной задачи Дезина, задачи Трикоми и внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

8. Внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера и аналога задачи Дезина для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа

с разрывными коэффициентами.

В основе методов исследования разрешимости рассматриваемых дифференциальных уравнений, описания качественных и количественных характеристик их решений лежат метод функций Римана и Грина-Адамара, метод интегральных уравнений, в том числе нагруженных и сингулярных, метод априорных оценок и необходимых краевых и внутреннекраевых условий, принципы Хопфа и Зарембы-Жиро, метод Фурье и специальные свойства функций типа Миттаг-Леффлера и Райта.

Основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретическую ценность и могут найти применение в теории динамических систем с распределенными параметрами и при математическом моделировании нелокальных физических процессов.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгими математическими доказательствами.

Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях: научно-исследовательского семинара по проблемам современного анализа, информатики и физики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (руководитель семинара д.ф.-м.н., профессор Нахушев A.M.); объединенного научно-исследовательского семинара кафедры Вычислительной математики (зав. кафедрой д.ф.-м.н., профессор Шхануков-Лафишев М.Х.) и кафедры Теории функций и функционального анализа (зав. кафедрой д.ф.-м.н., профессор Елеев В.А.) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения ВПО "Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова"; научно-исследовательского семинара кафед-

ры Функционального анализа и его применения (руководитель семинара академик РАН Моисеев Е.И.) факультета Вычислительной математики и кибернетики Федерального государственного образовательного учреждения ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова"; научно-исследовательского семинара кафедры Дифференциальных уравнений (руководитель семинара д.ф.-м.н., профессор Шамаев A.C.) Механико-математического факультета Федерального государственного образовательного учреждения ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова а также прошли апробацию на следующих научных мероприятиях:

1. Всесоюзная научная конференция "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений". Алма-Ата, 1991 г.

2. Вторая Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2001 г.

3. Международный Российско-Узбекский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2003 г.

4. Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2004 г.

5. Международный Российско-Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2004 г.

6. III Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик, 2006 г.

7. Всероссийская научная конференция "Самдифф"—2007. Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара, 2007 г.

8. Международный Российско-Азербайджанский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2008 г.

9. Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики посвященная 90-летию академика A.A. Самарского. Москва, 2009 г.

10. Международный Российско-Абхазский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2009 г.

11. Шестая Всероссийская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 2009 г.

12. Седьмая Всероссийская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2010 г.

13. Международный Российско-Болгарский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Хабез, 2010 г.

14. Второй Международный Российско-Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик, 2011 г.

15. Международная конференция "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород, 2011 г.

16. Второй Международный Российско-Узбекский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Терскол, 2012 г.

17. ВВМШ "Современные методы теории краевых задач". Понтрягин-ские чтения - XXIV. Воронеж, 2013 г.

18. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Белгород, 2013 г.

19. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Стерлитамак, 2013 г.

20. Международная конференция "Самдифф-2013". Самара, 2013 г.

21. Республиканская научная конференция с участием ученых из стран СНГ "Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения". Ташкент, 2013 г.

22. IV Международая конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик-Терскол, 2013 г.

В диссертацию вошли результаты, полученные автором как одним из исполнителей проектов 00-01-00311-а «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепло-массопереноса в средах с фрактальной структурой» (20002002 гг.), 06-01-96627-р_юг_а «Исследование краевых задач со смещением для канонических уравнений смешанного типа и их приложения к математическому моделированию энерго- и массообмена в составных средах с фрактальной структурой» (2006-2008 гг.), поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в работах автора [68]-[113]. Результаты §2.2 вошли в монографию A.M. Нахушева [63, с.210].

Результаты диссертации внедрены соискателем в учебный процесс Тре-

тьей Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик - п. Эльбрус, 2005 г.).

Диссертация объемом 241 страница состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 157 наименований и набрана с использованием пакета LaTeX.

В параграфе 1.1 рассматривается уравнение

иуу ~ \у\ш(ихх + 4Аи) = 0, т = const > О, А = const, (0.1) в области Qm = {z : 0 < £ < 77 < г} евклидовой плоскости точек z = x+iy,

2 , ч m-t-2 2 , * m+2

Пусть: Qm - замыкание области = Qm\{z : £ = 0};

0?(ri) =

Z + Г]

— г

(т + 2)(ту-0

2/(то+2)

Обобщенная задача Дарбу ставится следующим образом. Задача Ц^т, А). В области Г2т найти решение и[2:] = и(х,у) уравнения (0.1) из С(0,т) П С1(ПТО и 1Г), удовлетворяющее краевым условиям

ак(х)П%£и(г) + Ъ0(х)иу(х) = со(х), 0 < х < г, (0.2)

к=0

и[в£(х)] = фо{х), 0 <х<г. (0.3)

Здесь: /г = {(х, 0) = х : 0 < х < г}; - оператор Римана-Лиувилля порядка ¡1 с началом и концом в точках 0 и гс; и{х) = и(х, 0), иу(х) = иу(х, 0);

Ь0(х), со(х), фо(х) -заданные функции из класса С[0, г]; 0 < < а.\ <

х {т + 2 \2/(т+2) < ... < ап = а < 1, в^{х) = - -г (

В параграфе 1.2 в области исследуется обобщенная задача Дарбу

А*(0,0) для волнового уравнения

иуу - ихх = 0. (0.4)

Обобщенным решением уравнения (0.4) в области По называется функция и(г) € С(Г^о) П С1 (По и 1Г), удовлетворяющая уравнению

= + + - и(0)г

где £ = х + у, г/ = х — у, 0§(ж) = ж/2 ~ гх/2.

Основным результатом этого параграфа являются: Теорема 1.2.1. Пусть а < 1, Ьо(х)фО для всехх£ [0, г], фо(х) ЕС1[0, г]. Тогда задача Ба(0,0) для уравнения (0.4) имеет и притом единственное обобщенное решение и(г) £ С1(Пд)- Это решение и(г) Е С1 (По) тогда и только тогда, когда функция

А$(х) = - ак)

к=0

непрерывна в точке х = 0;

1ппЛ^) = ^(0), (0.5)

где Г(2:) - гамма-функция Эйлера.

Теорема 1.2.2. Пусть: а = 1, с*о = 0, функция ап(х) + Ьо(х) Ф 0 на [0,г]; Ьо(х) е С1[$,г], ак{х) е С^г] п