Нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Бейлина Наталья Викторовна Нелокальные краевые задачи

для гиперболических уравнений

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□□3451318

Казань - 2008

003451318

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Пулькина Людмила Степановна чл.-корр. АН РБ, доктор физико-математических наук, профессор Сабитов Камиль Басирович доктор физико-математических наук, профессор

Мухлисов Фоат Габдуллович Южно-Уральский государственный университет

Защита состоится 20 ноября 2008 г. в 14 часов 20 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд.324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 14 октября 2008г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф-м.н., доцент

Липачёв Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современные проблемы естествознания приводят к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых задач, к которым можно отнести нелокальные задачи для дифференциальных уравнений. Нелокальными называют такие задачи, в которых вместо, или вместе с граничным условием ставятся условия, связывающие значения решения (и, возможно, его производных) во внутренних точках области.

Исследование таких задач представляет интерес как с точки зрения развития общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, так и с точки зрения приложений в математическом моделировании. Например, еще в 1896 году В.А.Стекловым1 были рассмотрены, в качестве математической модели охлаждения тела, задачи с нелокальными условиями, заданными как линейная комбинация значений искомой функции и ее производных в различных точках границы.

Нелокальные задачи для различных классов уравнений рассматривались А. А. Дезиным, В.А.Ильиным, Е.И.Моисеевым, А. К. Гущиным, Л. И. Камыниным, А. Л. Скубачевским, А. М. Наху-шевым, В. И. Жегаловым, Т. Ш. Кальменовым, Н. И. Ионкиным, И. С. Ломовым, К. Б. Сабитовым, О. А. Репиным, Л. С. Пулькиной и другими авторами.

Среди нелокальных задач большой интерес представляют задачи с интегральными условиями, которые являются естественным обобщением дискретных нелокальных условий. Нелокальные интегральные условия описывают поведение решения во внутренних

1В.А.Стеклов. Основные задачи математической физики. М.: «Наука», 1983

точках области в виде некоторого среднего. Такого рода условия встречаются, например, при математическом моделировании различных процессов теплопроводности, влагопереноса в капиллярно-пористых средах, процессов, происходящих в турбулентной плазме, при изучении задач математической биологии, а также при исследовании некоторых обратных задач математической физики.

Вопросы разрешимости задач с нелокальными интегральными условиями для уравнений с частными производными изучены в работах Дж. Кэннона, Л. И. Камынина, А. К. Гущина, Л. А. Муравья и А. В. Филиновского, Н. И. Юрчука, Н. И. Ионкина, А. Бузиани, Д. Г. Гордезиани и Г. А. Авалишвили, А. И. Кожанова, Л. С. Пулькиной и других авторов. Исследования показали, что наличие нелокальных условий вызывает трудности при попытке использования известных методов для доказательства разрешимости, что связано, например, с несамосопряженностью пространственного дифференциального оператора и, как следствие, неполнотой системы собственных функций. В большинстве упомянутых работ рассмотрены задачи для уравнений параболического и эллиптического типов. Гораздо менее изучен вопрос о постановке и разрешимости задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений.

В процессе изучения нелокальных задач была выявлена связь последних с обратными задачами. Обратные задачи возникают в различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, биологии, медицине, разведке полезных ископаемых и т.д., что ставит их в ряд актуальных проблем современной математики.

В большинстве работ, посвященных исследованиям обратных задач с интегральным условием переопределения, изучались задачи для уравнений параболического типа. Среди них рабо-

ты Дж. Кэннона, В. Л. Камынина, А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко, А. Б. Костина, Н. И. Иванчова, А. И. Кожанова.

Обратные задачи для гиперболических уравнений исследованы сравнительно мало. Этим задачам посвящены работы М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, А.X.Амирова, А.М.Денисова, Н. Л. Абашеевой.

Задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений, как прямые, так и обратные, тесно связаны с нагруженными уравнениями, которые наиболее точно описывают многие тепло-физические и диффузионные явления: процессы фильтрации, механику вязкоупругости, а также возникают при изучении нелинейных уравнений, задач управления, обратных задач для уравнений теплопроводности и массопереноса, численного решения краевых задач. Значительный вклад в исследования подобных задач внес А. М. Нахушев и его ученики.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы обоснована как потребностями теоретического обобщения классических задач, так и прикладным характером рассматриваемого класса задач.

Целью настоящей работы является исследование нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболического и псевдогиперболического уравнений, установление связи между задачами с нелокальными условиями и нагруженными уравнениями, исследование обратной задачи с интегральным условием переопределения для волнового уравнения с п пространственными переменными, а также разработка методов исследования разрешимости поставленных задач.

Общая методика исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных, методы функционального анализа, методы априорных оценок, метод продолжения по параметру.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Показана связь между задачей с нелокальными интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения и нагруженного уравнения параболического типа;

2. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями для уравнения

иа ~ у-хх + с(х, и - аиххЬ = /(х, £);

3. Доказана однозначная разрешимость обратной задачи с неизвестной функцией, входящей в граничное условие, с нелокальным интегральным условием переопределения для волнового уравнения с п пространственными переменными

ии - Аи + с(х, Ь)и = /(ж, £) в пространстве Соболева И^1. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач,

для применения в исследовании обратных задач для гиперболических уравнений, а также для применения в исследовании прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.

Апробация работы. Основные результаты были доложены на:

• научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета в 2006, 2007 и 2008гг. (руководитель — д.ф-м.н., профессор О. П. Филатов);

• третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2006;

• пятой молодежной научной школе - конференции «Лобачевские чтения — 2006», Казань, 2006;

• Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения СамДиф-2007», Самара, 2007.

• четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2007;

• Воронежской весенней математической школе «Понтрягин-ские чтения — XVIII», Воронеж, 2007;

• шестой молодежной научной школы - конференции «Лобачевские чтения — 2007», Казань, 2007;

• Воронежской весенней математической школе «Понтрягин-ские чтения — XIX», Воронеж, 2008;

• международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», Стерлитамак, 2008.

Публикации. Автором опубликовано десять работ по теме диссертации, которые отражают ее основные результаты. Список публикаций приведен в конце автореферата. Работа [1] опубликована в соавторстве и её результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 92 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 108 страниц машинописного текста.

Основное содержание работы

Во введении приведен обзор литературы, связанной с темой диссертации, обоснована актуальность темы, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию нелокальной задачи с интегральным условием для псевдогиперболического уравнения: в прямоугольнике <3 = (0,1) х (О,Т), 0 < Т < оо, найти решение уравнения

Си ~ ии(х,Ь) - иХ1(ж,г) + с(х,г)и(х,Ь) - аихН(х,Ь) = /(ж, (1) удовлетворяющее условиям:

и(х,0) = <р(х), щ(х,0) = ф{х), (2)

1^(0, í) - J Ki(x)u(x, t)dx = 0, (3)

o i

«x(i, t) - j K2(x)u(x, t)dx = 0. (4)

o

Основным результатом этой главы является следующее утверждение:

Если Ki{х) £ C2[0,i], c{x,t) € Сг{0), c{x,t) > 0,

/(М) е l2{q), ft(x,t) е HQ), <р{х) е w¡{Q,i) n w2{o,i),

о 1 I

ф(х) 2 (0,Z), f K?(x)dx < и выполняются условия согла-

0

1 i

сования <р'(0) — f Ki(x)ifi{x)dx = 0, <p'(l) — J K2(x)<p(x)dx = 0,

о о

l I

ф'{0) - ¡Кг(х)ф(x)dx = 0, ф'{1) - fK2(x)i>(x)dx = 0, то для

о о

почти всех (x,t) £ Q существует единственное решение задачи

(1К2ИЗИ4).

Основным методом доказательства этого утверждения является метод продолжения по параметру. Для реализации этого метода в первом параграфе исследуется вторая краевая задача для псевдогиперболического уравнения: найти в области Q решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2) и граничным условиям

ux(0,t) = ux(l,t) -0. (5)

Основным результатом первого параграфа является утверждение:

Теорема 1. Если c(x,t) е C(Q), c(x,t) > 0 в Q, f(x,t) € L2(Q), ft(x,t) e L2{Q), <p(x) E Wi{0,l)f)W2(0,l), i>(x) ew2 (o,/), то для почти всех (x, t) 6 Q существует единственное решение задачи

(1)-(2)-(5).

Во втором параграфе изучается разрешимость вспомогательной задачи: найти в области <3 решение уравнения составного типа

+ Ф(ж,£,и) = д(ж,г), (6)

удовлетворяющее условиям

ф,0) = и0(а:), = «1 (ж), (7)

«,(0,4) =««(!,*) = О- (8)

Здесь

I £ I I

у(х, ¿) = Ви = и(х, £)-1У К2(г])и(г}, У J К1(г1)и(т], Ь)<1г)(1£,

0 0 ¡т £

Ф {х,Ь,и) = ВСи~СВи.

Разрешимость этой задачи доказана методом продолжения по параметру: рассматривается семейство задач

£у(х, г) + АФ(ж, и) = д(х, £) (9)

с условиями (7) и (8). Показано, что множество Л тех чисел Л 6 [0,1], для которых задача (9)-(7)-(8) разрешима, совпадает с отрезком [0,1]. Для этого использованы результаты первого параграфа, сформулированные в теореме 1, и получены априорные оценки.

Затем показано, что решение вспомогательной задачи (6)-(7)-(8) позволяет найти и решение поставленной задачи (1)—(2)—(3)—(4).

Во второй главе в цилиндре С} — £1 х (0, Т), где О С В*1— ограниченная область с гладкой границей 5 = 50 х (0,Т), рассмотрено волновое уравнение

и« — Аи + с{х,£)и = /(х, (10)

— p(t)h(x,t), (12)

и исследована задача нахождения пары функций (u(x,t),p(t)) из условий

и(х, 0) = tp(x), щ{х, 0) = ф(х), (11)

ди

K(x)u(x,t)dx = E(t). (13)

п

В параграфе 2.1 показано, что условие (13) эквивалентно следующему условию:

p(t) = I J hKds I Е" - J ДKudx + j Kcudx - J Kfdx

\эп / L n n П

(14)

Понятие обобщенного решения задачи (10)—(11)—(12)—(13) вводится с помощью интегрального тождества: т т

J J [VuVü — utvt + cuv] dxdt — j J fvdxdt+

о il о n

T

+ J Jp(t)hvdsdt + j ip(x)v(x,0)dx. (15) о an n

Пару функций (u(x,t),p(t)) назовем обобщенным решением задачи (10)—(11)—(12)—(13), если u{x,t) G W%(Q), и(х, 0) = <р(х), p(t) G ^(OjT) и функции u(x,t),p(t) удовлетворяют, равенству (14) (в смысле равенства функций в Ь2) и тождеству (15) для любой функции v(x,t) G W2(Q)-

Основным результатом второй главы является утверждение: Теорема 3. Если К(х) £ C2(Cl), E(t) G С3[0,Т], c(x,t) G C^Q),

Ct(x,t) e C1(Q), = o, f(x,t) e l2(q), ft(x,t) e l2(Q),

9n an

<p(x) G И^(П), ф{х) G L2{tt), h(x,t) G C1«)), f h(x,t)K(x)ds ф 0,

an

то существует единственное обобщенное решение задачи (10)-

(11)-(12)-(13).

Для доказательства существования обобщенного решения в первом параграфе построена последовательность приближенных решений (ит(х,Ь),рт(1)), которая находится из соотношений:

т

IУ [ЧитУу - + с{х, ь)иту] <1хйь =

о и

Т

=11 ^ ^^+! J +! ■Ф(х)у{х,$)<1х,

0 П 0 дП и

(16)

-1 г

рт(г) = 11 Цх,г)К(х)<18 ] £"(*) - I АК(х)ит-1(х,^х+

п п

(17)

Возможность построения такой последовательности опирается на результат первого параграфа, где показано, что условие (13) эквивалентно условию (14), а во втором параграфе доказано, что для каждого рт(¿) существует единственная функция ит(х, £), удовлетворяющая тождеству (16).

В этом же параграфе получены оценки, позволяющие завершить доказательство теоремы.

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю Л.С.Пулькиной за помощь, советы и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Бейлин, С.А. Вторая краевая задача для одного псевдогиперболического уравнения третьего порядка / С.А. Бейлин, Н.В. Бейлина // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского — Казань: Казанское математическое общество, 2007. - Т. 36.- С 29-31.

[2] Бейлина, Н.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с интегральным условием / Н.В. Бейлина // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского — Казань: Казанское математическое общество, 2006. — Т. 32 .— С 28-29.

[3] Бейлина, Н.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения и ее связи с обратной / Н.В. Бейлина // Сам-Диф: всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов. — Самара: Универс-групп, 2007 - С. 33-35.

[4] Бейлина, Н.В. Об одной нелокальной задаче для уравнения колебаний струны / Н.В. Бейлина // Труды Четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3. — Самара: Изд-во СамГТУ, 2007. — С. 32-35.

[5] Бейлина, Н.В. Об одной нелокальной задаче для уравнения колебаний струны / Н.В. Бейлина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XVIII». — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007 — С 38-39.

[6] Бейлина, Н.В. Об одной нелокальной задаче для нагруженного параболического уравнения / Н.В. Бейлина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XIX». — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2008. — С. 43-44.

[7] Бейлина, Н.В. Нелокальная задача с интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения / Н.В. Бейлина // Вестник СамГУ. - 2008. - №2(61) - С. 22-28

[8] Бейлина, Н.В. Об одной нелокальной задаче для нагруженного параболического уравнения / Н.В. Бейлина // Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы». — Стерлитамак: Уфа «Гилем». — 2008.

- ТЛ. - С. 24-29.

[9] Бейлина, Н.В. Обратная задача с интегральным условием переопределения для волнового уравнения / Н.В. Бейлина // Вестник СамГУ. - 2008. - №6(65)- С. 28-39.

[10] Царькова, Н.В. Обратная задача для уравнения колебаний струны с интегральным условием переопределения /Н.В. Царькова // Труды Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3.

- Самара: Изд-во СамГТУ, 2006. - С. 221-223.

Подписано в печать 06.10.2008 Гарнитура Computer Modern. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Усл.-печ.л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 1555 Издательство «Универс-групп», 443011, Самара, ул.Академика Павлова, 1

Отпечатано ООО «Универс-групп»

Введение

Глава 1. Нелокальная задача с интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения

1.1 Вторая краевая задача для псевдогиперболического уравнения

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Доказательство единственности обобщенного решения

1.1.3 Доказательство существования обобщенного решения

1.2 Разрешимость нелокальной задачи для псевдогиперболического уравнения.

1.2.1 Разрешимость вспомогательной задачи.

1.2.2 Продолжение исследования поставленной задачи.

Глава 2. Обратная задача для волнового уравнения с интегральным условием переопределения

2.1 Постановка задачи.

2.2 Доказательство существования обобщенного решения.

2.2.1 Смешанная задача с неоднородным граничным условием

2.3 Доказательство единственности обобщенного решения.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных сформировались при решении классических задач математической физики, возникших при моделировании различных процессов, и многие ее разделы к настоящему времени приобрели законченный вид. Классические задачи для уравнений в частных производных классифицированы и хорошо изучены. При этом, для каждого класса дифференциальных уравнений достаточно полно изучены типичные постановки задач. Например, задача Коши или смешанная задача для гиперболических и параболических уравнений, задачи Дирихле, Неймана для эллиптических уравнений. Но современные проблемы естествознания приводят к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых задач. Как отметил А. А. Самарский в обзорной статье "О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений" [85], одним из таких классов качественно новых задач являются нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

Нелокальными называют такие задачи, в которых вместо, или вместе с граничным условием ставятся условия, связывающие значения решения (и, возможно, его производных) во внутренних точках области или в точках границы и каких-либо внутренних точках. Подобные задачи возникают при математическом моделировании процессов различной природы, например, влагопереноса, теплопроводности, при изучении задач математической биологии, задач управления и других [66].

За последние несколько десятилетий появился ряд работ, посвященных исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Одной из первых была статья А.В. Бицадзе и А. А. Самарского [23], в которой были предложены новые постановки задач для эллиптических уравнений и которая стала отправной точкой большинства исследований в этом направлении.

Исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных посвящены работы А. А. Дезина [31], В. А. Ильина [40], Е.И.Моисеева [42, 40], А.К.Гущина [29, 30], А.М.Нахушева [63, 64, 65], A. JI. Скубачевского [86, 87, 88], В. И. Жегалова [34], А. И. Кожанова [48, 51, 52], К.Б.Сабитова [83, 84], А.Н.Зарубина [35], О.А.Репина [77, 78, 79], Н. И. Иванчова [39], JI. С. Пулькиной [73, 74, 75, 76] и других авторов.

Одним из классов нелокальных задач являются задачи, содержащие условия, заданные в виде линейной комбинации значений искомой функции и ее производных в различных точках границы. Такие условия называют краевыми условиями со смещением. В. А. Стеклов [89] для уравнения р{х)щ = ихх — q{x)u при начальном условии и(х, 0) = т(х) выделил 2 класса задач. К первому классу относилась задача с условиями aiu(a,t) + d2Ux(a, t) + azu(b,t) + a^ux{h,t) = 0, biu(a, t) + b2ux(a, t) + &3ii(6, t) -f ЪАих{Ъ, t) = 0; а ко второму классу u(b,t) = рц ux(a,t), их(Ъ, t) = (З21 и(а, t) + Р22их(а, t).

Первый класс описывает модель охлаждения незамкнутого твердого тела линейных размеров (прямой стержень), а второй — замкнутых твердых тел линейного размера (сплошное кольцо).

Систематическое исследование нелокальных задач со смещением было положено в работах В. И. Жегалова [34], А. М.Нахушева [62]. В дальнейшем такие задачи изучались в работах Т. Ш. Кальменова [43], А. Н. Зарубина [35], О. А. Репина [77] и их учеников.

К следующему классу нелокальных задач относятся задачи, в которых условия заданы в виде линейной комбинации значений искомой функции и (или) ее производных не только в граничных точках, но и в конечном числе внутренних точек области. Такие задачи для гиперболических и параболических уравнений изучены в работах В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [40], Н. И. Ионкина и Е. И. Моисеева [42].

Среди нелокальных задач большой интерес представляют задачи с интегральными условиями, которые являются обобщением нелокальных условий, заданных в виде линейной комбинации. Подобные условия описывают поведение решения во внутренних точках области в виде некоторого среднего. Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались как для обыкновенных дифференциальных уравнений [90, 88, 7], так и для уравнений с частными производными.

Одним из первых исследований нелокальных задач с интегральным условием для уравнений в частных производных была работа Дж. Кэннона [3], опубликованная в 1963 году. В ней рассматривалась задача нахождения классического решения уравнения теплопроводности щ(ж, t) = ихх(х, t), ж > 0, t > О, при условиях и(х, 0) = (р(ж), ж > 0, x(t)

J и(ж, t)dt = E{t), > 0, t > 0 о и показана ее однозначная разрешимость. Это означает, что если задана начальная температура и полная энергия некоторой части проводника тепла, то можно однозначно определить распределение тепла в любой момент времени в любой точке проводника.

Практически одновременно с этой работой Дж. Кэннона появилась работа JI. И. Камынина "Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическим краевым условием" [46], в которой доказана разрешимость задачи для общего уравнения параболического типа с интегральным условием

J g(x,t)u(x,t)dt = E(t), Хг<Х3<Х2.

Xt(t)

Исследования задач с интегральными условиями для параболических уравнений были продолжены в работах Н. И.Ионкина [41], JI. А. Муравья и А. В. Филиновского [60, 61], Н. И. Юрчука и С.М.Алексеевой [10], А. Бузиани [2], А. И. Кожанова [50].

Разрешимость задач с нелокальными, в том числе интегральными, условиями и качественные свойства решений для эллиптических уравнений рассмотрены в работах А. К. Гущина и В. П. Михайлова [30], A. JI. Скубачевского [86].

Гиперболические уравнения стали исследоваться позже, но к настоящему времени уже имеется значительное число работ, посвященных изучению нелокальных задач для уравнений гиперболического типа. Здесь можно выделить два основных класса задач:

• интегральные аналоги задачи Гурса, в которых нелокальное условие задается в виде интеграла вдоль характеристик,

• смешанные задачи с классическими начальными данными и нелокальными условиями вместо стандартных граничных условий.

Задачи, принадлежащие первому классу, изучены в работах 3. А. Нахушевой [67], В. А. Водаховой [24], JI. С. Пулькиной [73], Н. Д. Голубевой [26], Е.Н.Климовой [47].

Задачи, отнесенные ко второму классу, рассмотрены в работах Д. Г. Гордезиани и Г. А. Авалишвили [27, 8], А. Бузиани [2], JI. С. Пулькиной [75, 76], С. А. Бейлина [1, 13], В.Б.Дмитриева [33]. В работе Д. Г. Гордезиани и Г. А. Авалишвили [27] для телеграфного уравнения utt = ихх + с2и рассмотрена задача Коши и{Q,t) = <p(x), ut{b,t) =

C2W t(0,t)=p(t) J u(x,t)dx +f(t), i(l,t) = q(t) J u(x,t)dx + g(t). с нелокальными условиями: m uio, t) = p(t4 m

V2(t) u(l, t) = m W

Показано, что в прямоугольнике D = {(ж,£) : 0 < х < I, 0 < t < Т} существует единственное классическое решение поставленной задачи.

В работе JI. С. Пулькиной [75] исследована задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения: utt - ихх + с(ж, t)u = /(ж, t), и(х, 0) = <р(ж), ut(ж, 0) = i

J К{(х)и(х, £)йж = 0, i = 1, 2. о

Показана однозначная разрешимость задачи в классе И^1 , найдены требования на функции Ki(ж), при выполнении которых имеет место однозначная разрешимость.

В работе А. И. Кожанова и J1. С. Пулькиной [53] исследована нелокальная задача для многомерного гиперболического уравнения

Lu = utt ~ —(alj(x,t)uXj) + a\x,t)ux. + a(x,t)u = f(x,t) с условиями u(x, 0) = г^о(ж), щ(х, 0) = tii(ж), ж 6 Q, tOM)l(z,t)eS = J K(x,y,t)u(y,t)dy\(Xft)GS

Доказаны существование и единственность решения, принадлежащего специальному классу.

В процессе изучения нелокальных задач была выявлена их связь с обратными задачами. Под обратными принято понимать задачи, в которых наряду с нахождением решения требуется отыскать входные данные, например коэффициенты уравнения или функции, определяющие начальные или граничные условия.

Обратные задачи определяют интересующие нас количественные характеристики явлений по результатам измерения их косвенных проявлений. К этому классу задач относится, прежде всего, обратная кинематическая задача сейсмики, впервые поставленная в начале прошлого века. Физическая ее постановка состоит в следующем: в области, ограниченной некоторой поверхностью, рассматривается волновой процесс, порожденный источниками на поверхности, в точках границы области регистрируется время пробега волн. По этой информации требуется найти скорость распространения возмущений внутри области. Своим происхождением эта задача обязана геофизике. Потребностями геофизики, а именно, гравитационной и магнитной разведки полезных ископаемых и пластов залегания нефти, вызван интерес к исследованию обратных задач для уравнений в частных производных. Большой интерес представляют обратные задачи с интегральным условием переопределения.

В большинстве работ, посвященных исследованиям в этой области, изучались обратные задачи для уравнений параболического типа. Одной из них была работа Дж.Кэннона и Я.Лина [5]. В ней ставилась следующая задача отыскания пары функций (p(t),u(x,t)) из условий: п ut(x,t) = ^T(aitj(x,t)uXi(x,t) + bi(x,t,u(x,t)))x^ + F(x,t,u(x,t),p(t)), i,j=1 г&(ж,0) = щ(х),х G n

У" (aij(x,t)uXi{xit) + bi(x,t,u(x,t))) X Vi(x) = g(x,t,u(x,t)) i,j=1 и интегрального условия переопределения

J (р(х, t)u(x, t)dx = t G [О, Т]. n

В этой работе было доказано существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных данных обобщенного решения для некоторых видов правой части уравнения.

Обратная задача нахождения свободного члена и коэффициентов, входящих в уравнение, была рассмотрена в работах А. И. Прилепко и А.Б.Костина [69, 70], Н.И.Иванчова [36, 37, 38], В.Л.Камынина [44, 45], Н. В. Музылева [59], А. И. Прилепко и Д. С. Ткаченко [71, 72], Дж. Кэннона с соавторами [4, 6].

Изучению задачи нахождения неизвестной функции, входящей в граничное условие, посвящена работа А.Б.Костина и А.И.Прилепко [55]. В ней рассмотрена задача нахождения пары функций u(x,t) и /(ж, t) из условий: ut(x, t) - Аи(х, t) = д(х, t) в Q = ^ X (0, Т], 1х(ж, 0) = а(ж) в Q, t) = h(x, £)/(ж, t) + b(ж, t) на S, l(u(x,t)) = xO) на Г, где l(u(x,t)) = u(x,ti), либо /(гг(ж,£)) — f^ u(x, r)uj(r)dr и изучаются вопросы существования и единственности решения.

Однако, во многих случаях математическая модель, описываемая уравнением гиперболического типа, является более точным приближением реальной физической задачи. Обратные задачи для гиперболических уравнений являются более трудными в изучении и не всегда удается найти решение вне некоторой области. Так, в работе В. Г. Романова [82] приводится пример обратной задачи для гиперболического уравнения, решение которой существует и единственно в малом, но не существует глобально.

Обратные задачи для гиперболических уравнений изучаются в работах В.Г.Романова [80], М.М.Лаврентьева [56], М.М.Лаврентьева и В.Г.Романова [57], А.Х.Амирова [11, 12], А.М.Денисова [32], Н. Л. Абашеевой [9], М. Ю. Кокурина и С. К. Паймерова [54].

Исследование на устойчивость решения обратной задачи для гиперболических уравнений проводилось в работах В.Г.Романова [81], Д. И. Глушковой [25].

Задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений, как прямые, так и обратные, тесно связаны с нагруженными уравнениями. Интерес к таким уравнениям связан с тем, что они наиболее точно описывают многие теплофизические и диффузионные явления: процессы фильтрации, механику вязкоупругости и т.д. Также нагруженные уравнения возникают при изучении нелинейных уравнений, задач управления, обратных задач для уравнений теплопроводности и массопереноса, численного решения краевых задач. Значительный вклад в исследования подобных задач внес А. М. Нахушев [64]. Он предложил линеаризацию уравнения влагопереноса с помощью нагруженного гиперболического уравнения. Была замечена тесная связь нагруженных уравнении с интегральными условиями вида 1 д dt

J u(x,t)dx — Ld(t). О

Применительно к модели влагопереноса это условие означает, что в слое О < х < I задана скорость расхода влаги u(t).

Связь между нелокальными и обратными задачами исследуется в работах А. И.Кожанова [49, 52]. В первой работе [52]исследуется разрешимость нелокальной по времени краевой задачи для нелинейного параболического уравнения. Доказываются теоремы существования регулярных решений и показывается, что полученные результаты могут быть использованы при исследовании разрешимости одной коэффициентной обратной задачи.

Настоящая работа является продолжением исследований смешанных задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений.

В предлагаемой работе поставлены и исследованы нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболического и нагруженного параболического уравнений на плоскости и обратная задача с интегральным условием переопределения для волнового уравнения с п пространственными переменными.

В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, а также аппарат функциональных пространств Соболева.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. показана связь между задачей с нелокальными интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения и нагруженным параболическим уравнением;

2. доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями для уравнения utt - ихх + с(ж, t)u - auxxt = /(ж, t) в пространстве Соболева;

3. доказана однозначная разрешимость обратной задачи с неизвестной функцией, входящей в граничное условие, с нелокальным интегральным условием переопределения для волнового уравнения с п пространственными переменными

Uu — Аи + с( ж, t)u = /(ж, t) в пространстве Соболева

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследовании обратных задач для гиперболических уравнений, а также при исследовании прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.

Основные результаты были доложены на:

• научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета в 2006, 2007 и 2008гг. (руководитель — д.ф-м.н., профессор О. П. Филатов);

• третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2006;

• пятой молодежной научной школе - конференции «Лобачевские чтения

2006», Казань, 2006;

• Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения СамДиф-2007», Самара, 2007;

• четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2007;

• Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения

XVIII», Воронеж, 2007;

• шестой молодежной научной школы - конференции «Лобачевские чтения — 2007», Казань, 2007;

• Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения

XIX», Воронеж, 2008;

• международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», Стерлитамак, 2008.

По теме диссертации опубликовано 10 работ [92, 14, 15, 16, 17, 22, 19, 18, 20, 21], которые отражают ее основные результаты.

Диссертационная работа изложена на 108 страницах и состоит из введения, двух глав и библиографического списка использованных источников, включающего 92 наименования.

1. Beilin S. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions. //Electronic Journal of Differential Equations. 2001. T. 2001. №76. C. 1-8.

2. Bouziani A. Solution forte d'un probleme mixte avec conditions non locales pour une classe d'equations hyperboliques. //Bull.CISci., Acad.Roy.Belg. 1997. . №8. C. 53-70.

3. Cannon J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy. //Quart.Appl.Math. 1963. T. 21. №2. C. 155-160.

4. Cannon J.R., Duchateau P. An inverse problem for an unknown sourse term in wave equation. / / SI AM J. APPL. MATH. 1983. T. 43. №3. C. 553-562.

5. Cannon J.R., Lin Y. Determination of a parameter p(t) in some quasi-linear parabolic differential equations. //Inverse Problems. 1998. T. 4. C. 35-45.

6. Cannon J.R., Lin Y., Wang S. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential equation. // J. Austral.Math. Soc. Ser. B. 1991. T. 33. C. 149-163.

7. Du Z., Lin X., Ge W. Nonlocal boundary value problem of higher order ordinary differential equations at resonance. //Rocky Mountain Journal of Mathematics. 2006. T. 36. №5. C. 1471-1486.

8. Gordeziani D., Avalishvili G. Investigation of the nonlocal initial boundary-value problems for some hyperbolic 1 equations. //Hirosima Math. J. 2001. T. 31. C. 345-366.

9. Абашеева H.JI. О линейной обратной задаче для параболического уравнения второго порядка. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2006. Т. IX. №1. С. 4-12.

10. Алексеева С.М., Юрчук Н.И. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием. //Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. Ш. С. 495-502.

11. Амиров А.Х. К вопросу о разрешимости обратных задач. // Сибирский математический журнал. 1987. Т. XXXVIII. №6. С. 3-11.

12. Амиров А.Х., Ямамото М. Времениподобная задача Коши и обратная задача. //Доклады РАН. 2005. Т. 402. №1. С. 7-9.

13. Бейлин С.А. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием. //Матем. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11. №2. С. 22-29.

14. Бейлина Н.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с интегральным условием. // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. 2006. С. 28-29.

15. Бейлина Н.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения и ее связи с обратной. // Тезисы докладов конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (СамДиф-2007). 2007. С. 33-35.

16. Бейлина Н.В. Об одной нелокальной задаче для уравнения колебаний струны. // Труды Четвертой Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 2007. С. 32-35.

17. Бейлина Н.В. Об одной нелокальной задаче для уравнения колебаний струны. // Современные методы теории краевых задач Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XVIII». 2007. С. 38-39.

18. Бейлина Н.В. Нелокальная задача с интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения. //Вестник СамГУ. 2008. №2(61). С. 2228.

19. Бейлина Н.В. Об одной нелокальной задаче для нагруженного параболического уравнения. // Современные методы теории краевых задач Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XIX». 2008. С. 43-44.

20. Бейлина Н.В. Об одной нелокальной задаче для нагруженного параболического уравнения. / / Труды между нар одной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы». 2008. С. 24-29.

21. Бейлина Н.В. Обратная задача с интегральным условием переопределения для волнового уравнения. //Вестник СамГУ. 2008. . №6(65). С. 2839.

22. Бейлина Н.В., Бейлин С.А. Вторая краевая задача для одного псевдогиперболического уравнения третьего порядка. // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. 2007. С. 29-31.

23. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач. //ДЛЯ СССР. 1969. Т. 185. Ж. С. 739-740.

24. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М.Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса. //Дифферент уравнения. 1982. Т. XVIII. №2. С. 280-285.

25. Глушкова Д.И. Оценка устойчивости решения обратной задачи об определении коэффициента поглощения. //Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. т. С. 1203-1211.

26. Голубева Н.Д., Пулькина J1.C. Нелокальная задача с интегральными условиями. //Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып.З. С. 326-329.

27. Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды. //Математическое моделирование. 2000. Т. 12. Ш. С. 94-103.

28. Гординг JL Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: ИЛ. 1961. 120 с.

29. Гущин А.К. Условие компактности одного класса операторов и его применение к исследованию нелокальных задач для эллиптических уравнений. //Мат. сборник. 2002. Т. 193. №5. С. 17-36.

30. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений второго порядка. //Мат. сборник. 1994. Т. 185. Ш. С. 121-160.

31. Дезин А.А. Простейшие разрешимые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов. //ДАН СССР. 1963. Т. 148. №5. С. 1013-1016.

32. Денисов A.M. Обратная задача для гиперболического уравнения. //Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №10. С. 1427-1429.

33. Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения. //Вестник СамГУ. 2006. . №2. С. 15-27.

34. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии. //Ученые записки Казанского университета. 1962. Т. 122. №3. С. 3-16.

35. Зарубин А.Н. Краевая задача с инволютивным сдвигом в граничном условии. //Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. №10. С. 1423-1425.

36. Иванчов Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости. // Сибирский математический журнал. 1994. Т. 35. №3. С. 612-621.

37. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении. // Сибирский математический журнал. 1998. Т. 39. №3. С. 539-550.

38. Иванчов Н.И. Об определении двух зависящих от времени коэффициентов в параболическом уравнении. // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. №2. С. 406-413.

39. Иванчов Н.И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральным условием. //Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. №4. С. 547564.

40. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках. //Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №7. С. 1198-1207.

41. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. //Дифференц. уравнения. 1977. Т. XIII. №2. С. 294-304.

42. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. //Дифференц. уравнения. 1979. Т. XV. №7. С. 1284-1295.

43. Кальменов Т.Ш. Спектр краевой задачи со смещением для волнового уравнения. //Дифференц. уравнения. 1983. Т. XIX. №1. С. 75-78.

44. Камынин B.JI. Об однозначной разрешимости обратной задачи для параболических уравнений с условием финального переопределения. //Матем. заметки. 2003. Т. 73. №2. С. 217-227.

45. Камынин B.JI. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения. //Матем. заметки. 2005. Т. 77. №4. С. 522-534.

46. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. //ЖВМиМФ. 1964. Т. 4. т. С. 1006-1024.

47. Климова Е.Н. О существовании решения задачи Гурса в интегральной постановке. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань. 2001. Т. 11. С. 145-148.

48. Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче для эллиптического уравнения. //Матем. заметки ЯГУ. 2001. Т. 8. №1. С. 33-49.

49. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи. ЦЖВМиМФ. 2004. Т. 44. №4. С. 694-716.

50. Кожанов А.И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. VII. №1. С. 51-60.

51. Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера. //Дифферент уравнения. 2004. Т. 40. №6. С. 763-774.

52. Кожанов А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче. //Матем. заметки. 2004. Т. 76. №6. С. 840-853.

53. Кожанов А.И., Пулькина JI.C. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболический уравнений. //Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. т. С. 1166-1179.

54. Кокурин М.Ю., Паймеров С.К. Об обратной коэффициентной задаче для волнового уравнения в ограниченной области. //ЖВМиМФ. 2008. Т. 48. т. С. 115-126.

55. Костин А.Б., Прилепко А.И. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболических уравнений. II. //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. №11. С. 1519-1528.

56. Лаврентьев М.М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения. //ДАН СССР. 1964. Т. 157. №3. С. 520-521.

57. Лаврентьев М.М., Романов В.Г. О трех линеаризированных обратных задачах для гиперболических уравнений. //ДАН СССР. 1966. Т. 171. т. С. 1279-1281.

58. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. — 407 с.

59. Музылев Н.В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности. //ЖВМиМФ. 1980. Т. 20. №2. С. 388-400.

60. Муравей Л.А., Филиновский А.В. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения. //Мат. сборник. 1991. Т. 182. то. С. 1479-1512.

61. Муравей Л.А., Филиновский А.В. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения. //Матем. заметки. 1993. Т. 54. №4. С. 98-116.

62. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения. //ДАН СССР. 1969. Т. 187. №4. С. 736739.

63. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. //ДАН СССР. 1978. Т. 242. №5. С. 1008-1011.

64. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложение к динамике почвенной влаги и грунтовых вод. //Дифференц. уравнения. 1982. Т. XVIII. т. С. 72-81.

65. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связь с нагруженными уравнениями. //Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. Ш. С. 92-101.

66. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. — 301 с.

67. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных. //Дифференц. уравнения. 1986. Т. XXII. №1. С. 171-174.

68. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1961. 311 с.

69. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением. //Мат. сборник. 1992. Т. 183. №4. С. 49-68.

70. Прилепко А.И., Костин А.Б. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении.II. // Сибирский математический журнал. 1993. Т. 33. №3. С. 146-155.

71. Прилепко А.И., Ткаченко Д.С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением. //ЖВМиМФ. 2003. Т. 43. №4. С. 562570.

72. Прилепко А.И., Ткаченко Д.С. Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением. //ЖВМиМФ. 2003. Т. 43. №9. С. 1392-1401.

73. Пулькина J1.C. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения. //Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №2. С. 279-280.

74. Пулькина JI.C. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения. //Матем. заметки. 2001. Т. 70. вып.1. С. 88-95.

75. Пулькина JI.C. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения. //Матем. заметки. 2003. Т. 74 вып. 3. С. 435-445.

76. Пулькина JI.C. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения. //Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. №7. С. 887-892.

77. Репин О.А. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. №1. С. 175-176.

78. Репин О.А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа. //Доклады РАН. 1999. Т. 365. №5. С. 593-595.

79. Репин О.А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова. //Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. №10. С. 1412-1417.

80. Романов В.Г. Одномерная обратная задача для телеграфного уравнения. //Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. №1. С. 87-101.

81. Романов В.Г. Об оценке устойчивости решения обратной задачи для гиперболического уравнения. // Сибирский математический журнал. 1998. Т. 39. №2. С. 436-449.

82. Романов В.Г. Пример отсутствия глобального решения обратной задачи для гиперболического уравнения. // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44. №5. С. 1110-1112.

83. Сабитов К.Б., Исянгильдин А.Х. Задача типа Трикоми с нелокальным условием сопряжения для одного уравнения смешанного типа. //Доклады РАН. 1992. Т. 326. №5. С. 787-791.

84. Сабитов К.Б., Исянгильдин А.Х. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для обобщенного уравнения Трикоми. //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. №3. С. 409-412.

85. Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений. //Дифференц. уравнения. 1980. Т. XVI. №11. С. 1221-1228.

86. Скубачевский A.J1. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач. //Мат. сборник. 1982. Т. 117(159). №4. С. 548-557.

87. Скубачевский A.JI. Нелокальные эллиптические задачи с параметром. //Мат.сборник. 1983. Т. 121(163). №2(6). С. 201-210.

88. Скубачевский A.JL, Стеблов Г.М. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в Ь2(0,1). //ДАН СССР. 1991. Т. 321. т. С. 1158-1163.

89. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983. 433 с.

90. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917. — 94 95 с.

91. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. — 496 с.

92. Царькова Н.В. Обратная задача для уравнения колебаний струны с интегральным условием переопределения. // Труды Третьей Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 2006.С. 221-223.