Проекционные и итерационные методы решения обратных задач для гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Шиишмии

Шишленин Максим Александрович

ПРОЕКЦИОННЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.07 — Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2003 г.

Работа выполнена в Новосибирском Государственном Университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сергей Игоревич Кабанихин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Анатолий Фёдорович Воеводин

доктор физико-математических наук, профессор Вячеслав Иванович Максимов

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и математической геофизики (Вычислительный центр) СО РАН

Защита состоится " // " 2003 года в. ча-

сов на заседании диссертационного совета К 004.006.01 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан "_ 9 " Р/ЖЯ^Л 2003

года.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., с.н.с.

В.Д. Скарин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена развитию актуального для приложений научного направления — методам решения коэффициентных обратных задач для гиперболических уравнений. Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Искомыми коэффициентами, как правило, являются такие важные характеристики исследуемых сред, как параметры Ламе — в случае обратной задачи теории упругости, тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости и тензор проводимости — в случае обратной задачи электродинамики, скорость распространения волн в среде и плотность — в случае обратной задачи акустики и т.д. В диссертации исследованы одномерные и двумерные обратные задачи для гиперболических уравнений. Несмотря на то, что для многих многомерных обратных задач получены теоремы единственности и оценки условной устойчивости, необходимость создания и обоснования методов решения этих обратных задач является очень актуальной.

Цель работы. Создание и обоснование алгоритмов решения двумерных обратных задач для гиперболических уравнений. Проведение сравнительного анализа численных методов решения обратной задачи акустики.

Научная новизна и практическая ценность работы.

Исследован двухэтапный алгоритм решения двумерной обратной задачи. На первом этапе двумерная обратная задача на основе проекционного метода сводится к системе одномерных обратных задач, на втором этапе полученная система решается методом итераций Ландвебера. Каждый этап алгоритма обоснован. Доказано, что решение, полученное на основе проекционного метода, сходится к точному решению обратной задачи в пространстве ¿2- Доказано, что метод итераций Ландвебера для решения системы одномерных обратных задач сходится и получена оценка скорости сходимости метода в пространстве Ь2.

Реализован метод граничного управления для двумерной обратной задачи акустики.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С. Петербург ОЭ *

чГ5ЛП

Созданы программы и проведены численные расчеты по решению линеаризованной двумерной обратной задачи для волнового уравнения, обратной задачи акустики на основе метода Гельфанда-Левитана, граничного управления, метода обращения разностной схемы и метода итераций Ландвебера.

Проведен сравнительный анализ численных методов решения обратной задачи акустики: метода Гельфанда-Левитана, метода граничного управления, метода обращения разностной схемы и метода итераций Ландвебера.

Положения выносимые на защиту.

• Обоснование сходимости проекционного метода в пространстве L%.

• Обоснование сходимости итераций Ландвебера в пространстве L%.

• Сравнительный анализ прямых и итерационных методов решения'обратной задачи акустики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах под руководством академика A.C. Алексеева, академика М.М. Лаврентьева, чл.-корр. РАН В.В. Васина, чл.-корр. РАН В.Г. Романова, д.ф.-м.н. С.И. Кабанихина. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях:

1. Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотарева (г. Владивосток, 2000 г.);

2. Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(г. Екатеринбург, 2001 г.);

3. ХП Байкальской международной конференции "Методы оптимизаций и их приложения"(Иркутск, Байкал, 2001 г.);

4. Первой международной конференции "Inverse Problems: Modeling and Simulation"(Fethhiye, Turkey, 2002 г.);

5. Международной конференции "Обратные и некорректные задачи", посвященной 70-летию академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск,

• 2002 г.);

6. Международной школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения "(Ханты-Мансийск, 2002 г.);

7. Международном симпозиуме "Inverse Problems in Engineering Mechanics" (Nagano City, Japan, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11]. При выполнении совместных работ [1-4, 8,10,11] С. И. Ка-банихину принадлежит постановка задач и предложение методов решения. В работе [1] О. Scherzer предложил усовершенствованный вариант сходимости метода итераций Ландвебера. В работе [8] Г. Б. Баканов предложил и участвовал в построении дискретного аналога формулы Даламбера. В остальном работа проведена М. А. Шишлениным самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, б глав, заключения, списка обозначений, списка использованных источников. Работа оформлена в системе и содержит 154 страницы текста. Список использованных источников содержит 91 наименование.

Содержание работы

Введение. Во введении содержится обзор литературы по теме исследования и приводится краткое изложение результатов диссертации.

Общие теоретические результаты (теоремы единственности и условной устойчивости решения) исследования задач, рассмотренных в диссертации, получены М. М. Лаврентьевым, В. Г. Романовым, С. И. Ка-банихиным и многими другими авторами. Метод итераций Ландвебера развивали H.W. Engl, М. Hanke, А. Neubauer, О. Scherzer, а его применение к гиперболическим обратным задачам О. Scherzer, С. И. Каба-нихин, R. Kowar, B.B. Васин. Построенные в диссертации алгоритмы методов Гельфанда-Левитана и граничного управления используют результаты работ С. И. Кабанихина, М. И. Белишева, В.Ю. Готлиба. Построение алгоритма метода обращения разностной схемы базируется на работах A.C. Алексеева, В.И. Добринского, С.И. Кабанихина. Применение проекционного метода для решения многомерных обратных задач было впервые предложено С. И. Кабанихиным.

Перейдем к краткому содержанию главы 1. Основной целью диссертации является исследование методов решения обратных задач. Исследование любой обратной задачи содержит в себе как необходимый составной элемент исследование соответствующей прямой задачи. По-

этому, в главе 1 приведены основные теоретические результаты исследования прямых задач необходимые для исследования и дальнейшего решения обратных задач. В главе 1 рассмотрен конечно-разностный метод решения прямой задачи и метод Галеркина.

В главе 2 рассматривается метод линеаризации решения обратной задачи для волнового уравнения. Метод линеаризации в обратных динамических задачах для гиперболических уравнений применялся многими авторами, начиная с работы М. М. Лаврентьева и В. Г. Романова. Одной из основных особенностей исследованных ранее линеаризованных обратных задач являлось то обстоятельство, что дополнительную информацию (4) требовалось задавать на всей гиперплоскости z = 0.

Перейдем к краткому описанию содержания главы 2. Рассмотрим следующую начально-краевую задачу (прямую задачу)

utt = c2(z,y)Az>yu, z,feR+, у = (у1,...,уп) б Rn; (i) г4<<0 = 0, z € R+, j/eR"; (2)

U2\z=0 = r0'6(t), ye R", r0 = const, Го ф 0. (3)

Предположим, что след решения прямой задачи (1)-(3) существует и известен на границе z = 0:

и1,=о = /(У'4)' У£В-П' ieR+- (4)

Предположим, что скорость имеет следующую структуру:

c2(z,y) = c%(z) + ci{z,y)> (5)

причем функции со и Ci удовлетворяют условиям:

1) со G C2(R+), ¿(+0) = 0;

2) существуют постоянные Mi, Мг, Мз € R-). такие, что при всех z 6 R | выполнены неравенства

0 <МХ< co(z) < М2, Ы|са(к+) < М3. (6)

3) функция Ci(z,y) отлична от нуля лишь в области z G (0, h), \yj\ < V\, j = 1, n, где h > 0, V\ > 0 - фиксированные числа.

4) С1^,г/)ес2(( о,/1)х{|го|<ад,

« = 11<5111с»((0,1к)х{|»,-|<1»1})» ¿ = 17", (7)

Обратной будем называть задачу определения с(;г, у) из соотношений (1) - (4) (в предположении, что со(-г) известна, выполняется (5) и условия 1)-4)).

Используя предположение (7) о малости сх, проведем линеаризацию обратной задачи (1) - (4). С этой целью представим решение и{г,у,Ь) в виде

и(г,у,Ь) = ио(г,Ь) +щ(г,у,{), где иа(г, £) есть решение следующей начально-краевой задачи:

"он = с$(2)и0гг, г €11+, * €11+; (8)

Ч«о = 0> иогио = г<Ж*). (9)

Пренебрегая членом высшего порядка малости с\ получаем за-

дачу для определения иг{г,у,Ь)

«1« = Аг<ущ +С1{г,у)и0гх,\ (10)

Ч<0 = 0, и1г|2=0=0; (11)

«4,1=2, = (12)

Здесь х € (0,Л), \у,\ <V,te (0,ГЛ), Тн = 2Н(М1 - а)'1, V = + ТН(М2 + а). В качестве дополнительной информации для определения Со(г) можно взять

«о|ж=0 = /(»»*). * € (0,тл), |»,-|=2?. (13)

Дополнительная информация о решении задачи (10) - (12) запишется в виде

«1|а=0=в(»,«),' Ы<Т>, 4€(0,Гл), (14)

где д(у,Ь) = /(у,г) - ио(0,г).

Решение обратной задачи (1) - (4) при * € (0,7),) можно разделить на этапы:

1) решение обратной задачи (8), (9), (13) на глубину /г и определение со 00;

2) решение прямой задачи (8), (9) на глубину к и определение ио22\

3) решение обратной задачи (10) — (12), (14), т. е. задачи определения с\(г,у) по заданным и д{у,€). 1

В главе 3 на основе проекционного метода исследуется задача восстановления двумерного коэффициента в уравнении колебаний и уравнении акустики. В обоих случаях обратная задача сводится к нелинейной 4 системе интегральных уравнений Вольтерра. Доказывается сходимость проекционного метода.

Основная идея проекционного метода заключается в том, что многомерная обратная задача проектируется на конечномерное подпространство, порожденное какой-либо ортогональной системой функций. Полученная при этом конечная система одномерных обратных задач может быть решена численно, например, с использованием метода обращения разностной схемы, метода Гельфанда-Левитана, метода граничного управления или метода итераций Ландвебера. Основной проблемой на этом пути является обоснование существования решения конечной (вообще говоря, нелинейной) системы одномерных обратных задач и получение оценки скорости сходимости решения конечной системы одномерных обратных задач к точному решению исходной многомерной обратной задачи при стремлении к бесконечности параметра N — длины отрезка ряда Фурье в разложении по базисным функциям.

Обозначим А2(х,Ь) - {(£,т) : г £ (0,*),® - г + т < £ < х + г - г|. Рассмотрим задачу определения функций й(х,у),й(х,у^) из соотношений

йа = &х,уй(х, у, + и(х, у)й(х, у, г); (15)

й(х, у, 0) = <р(х, у); щ{ х, у, 0) = 0; (16)

й(х, —7Г, = й(х, 7г, £); (17)

«(0 ,»,«) = /(»,*), (18)

где (х, ¿) е Д2(0,Т), у € (—7г,7г). Предположим, что / и ¡р являются достаточно гладкими функциями. Тогда, обозначим и := йц, / :=

■ф := Ах,ур- Продолжим / четным образом по времени и, используя формулу Даламбера, получим

и(®,у,*) = Л(®.Ю.*) + Дг,«[Ди], (г,()бД3(Г,0), » е (-7г,тг) . (19)

Здесь Б,и(х, у, Ь) = иуу + й(х, у)и(х, у, *),

Н{х,у,ь) = ^[/(у,г + х) + /(у,г-х)],

х г+х-ь

вхЛи] = 5/ /

О 4-®+«

А3 (ж, 0 = {(£,т) :0<£ Сс, г~х+£<т +

При £ = 0 получаем из (19)

■ф(х, у) + й(х, у)<р(х, у) = к(х, у) + Д^Ди],

(20)

где к(х,у) = Цх,у, 0).

Обратная задача (15) - (18) нахождения й и й сводится к решению системы интегродифференциальных уравнений (19), (20), в которой требуется найти функции й(х,у) и и(х, у, Ь) по известным К{х,у,£), И(х, у), ■ф{х,у) и <р(х,у).

Предположим, что ф(х,у) — 0, <р{х, у) = —1 (для произвольных данных ф и 1р исследование проводится аналогично). От системы (19), (20) перейдем к бесконечной системе уравнений относительно коэффициентов Фурье п € Ъ\

П2ип - икип-к

, ОМ)еДзСГ,0); (21)

ип(х) = /г„(х) - Вх,0

^к^п-к

, х€(0,Т). (22)

По аналогии с (21), (22) построим и исследуем конечную систему уравнений, которую назовем -^/-приближением системы (21), (22):

г>п(ж,£) = /1„(а:,*) - Вх

п2Уп -

|к|<ЛГ

Уп{х) = Нп{х) - Вх<о

П2уп

, (х.^еДзСГ.О), (23)

, х е (О,Г), (24)

где |п| < N. Решение системы (23), (24) дает приближенное решение обратной задачи (см. теорему 3.2.1, ниже). Перепишем систему (23), (24) в виде

А(У) := V + £(У) = Я . (25)

Введем класс функций Т(р,Т). Пусть для М > 0 и р > О

НР,Т) := {(«,«) :

к

й(х,у) = 11^11^(0,Т) < Ме-'1*|| .

к '

Основным результатом главы 3 является следующая теорема.

Теорема 3.2.1. Пусть N > 0 « для некоторых р > 0 и Т > 0 коэффициенты Фурье функций (и, и) € Т(р,Т) удовлетворяют (21), (22). Тогда существует постоянная у! > 0 такая, что для всехТ' 6 (О,Т), удовлетворяющих р!Т' < р, существует единственное решение V € Ь2(Т') системы (23), (24), где Т заменено на Т'.

Более того, существует константа М\ := М\(Т',р) такая, что

тах||ип-г;п||х2(Дз(т,10)) < Т'(М1 + (26)

гаахИ^-^И^о^ < л/Т7(М1 + 1)еЛ,(",т'-"). (27)

В главе 4 рассматривается метод итераций Ландвебера для решения конечной системы интегральных уравнений (25). Общая схема метода

* = 0,1,..., (28)

где а - некоторый положительный параметр. Доказана сходимость метода и получена оценка скорости сходимости.

Уравнение (25) является нелинейным относительно V. Для его численного решения исследуем свойства операторов А, А', (А1)*.

Доказано, что оператор А : Ь2(Т) Ь2(Т) дифференцируем по Фре-ше и А' : Ь2{Т) ч- Ь2(Т). Найдены явные выражения для А' и (А1)*.

Известно, что метод итераций Ландвебера (28) локально сходится, если в некоторой окрестности

в,(?<°>) = {9 е ь2(Т): \\9 - ?<°>|и9(г> <

точного решения У^ уравнения (25) выполняется условие:

|И(Х) - А(У) - А'(?)(Х - ¥)\\щт) < т,\)А(Х) - А(?ШЧТ) , (29)

где X, У еВ*^«»),»? €(0,1/2).

Показано, что оператор А удовлетворяет условию (29), и доказала теорема о сходимости метода итераций Ландвебера.

Теорема 4.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.1. Тогда итерации Ландвебера локально сходятся к точному решению К* и выполняется

(30)

1 где 6 такое, что 0 €

( В главе 5 рассматриваются прямые методы решения двумерной об-

ратной задачи акустики: метод обращения разностной схемы, метод Гельфанда-Левитана и метод граничного управления.

Перейдем к краткому описанию содержания главы 5. Рассмотрим многомерный аналог уравнения Гельфанда-Левитана-Крейна для двумерной обратной задачи акустики, полученный С. И. Кабанихиным. Рассмотрим семейство прямых задач к € Z:

= Д,,„«(*> - Vx,v\np(x,y) • V,,„«<*>, x,t > 0, у 6 R; (31) u«|t<0sO; (32)

uW(+Q,y,t) = eiky-6(ty, (33)

u(fc)| = u<4| . (34)

Предполагаем, что след решения прямой задачи (31) - (34) существует:

u^(+0,y,t) = f^(y,t). (35)

Необходимое условие существования решения обратной задачи (31) -(35)

fW(y,+0) = -eiky.p(0,y), ye R, fcez.

Сведем задачу (31) - (35) к многомерному аналогу уравнения Гельфанда-Левитана-Крейна. Построив вспомогательное семейство прямых задач, получим следующую систему интегральных уравнений на Фт(г, t):

Х П к 2£Д*>(+0)ФтОМ) + £1 №'(t-s)*m{x,8)d8= J ^ydy, (36)

т т —X —7Г

где |i| < х, к € Z. Система (36) является многомерным аналогом уравнения Гельфанда-Левитана-Крейна. Можно вычислить скачок Фт(х, t)

п

/ pi-ray

«И" <37)

—ж

Решение обратной задачи (31) — (35) может быть найдено из (37) по формуле

Для вычисления р(х, у) на глубине хо > О необходимо решить уравнение (36) с фиксированным параметром Хо и вычислить р(хо,у) в соответствии с формулой (38).

Рассмотрим схему предложенного М. И. Белишевым метода граничного управления для решения двумерной обратной задачи акустики. Ограничимся рассмотрением 27г-периодических по переменной у функций.

и^ = Лх,уи9-Ух,1/1пр(х)у)-Ух,уи3, (39)

^|<<о = 0; (40)

г4(+0,гм) = <?(М); (41)

»'и (42)

«'(о,*,*) = /'(»>*)• (43)

Зная реакцию среды Ь) на источник вида е1ту • <5(4) для всех т 6

Ъ, можно определить реакцию среды на произвольный источник д{у, ¿) по формуле

4

«'(0,0,0 = £ I ^т)Ы-з)-дт(з)6з.

т 0

Здесь дт(£) — коэффициенты Фурье функции д(у,Ь). Задача граничного управления. Пусть

а.Ы(х,у)=6(Т-х)-е™«, ж £ [0,Т], у 6 [-тг.тг],

где Т £ (0,Ь), в(х) — тэта-функция Хевисайда и п е Ъ.

Задача граничного управления: подобрать источник д(у, £) так, чтобы

и°{х,у,Т) = а(п)(х,у), хе[0,£], 2/€[-7г,тг]. (44)

Пусть {"фк(у^)}, к — 1)0° — полная система линейно независимых функций в Ьг{[О, Г] х [—7Г, 7г]). Тогда любой источник д(у, £) можно единственным образом представить в виде ряда

сю к=1

Обозначим щ(х, у, Т) = (х,у,Т). Система функций {ик(х,у,Т)}, к = 1, оо является полной в пространстве Я, где

* ь

(а{х,у),Ъ{х,у)}н = ! ^ у)Ъ{х,у) йх¿у. (45)

-ж О

Приближенное решение задачи граничного управления в области [О, Т] х [—7г,7г] находится с помощью конечной системы источников {фк(у>^}, к = 1, N. Пусть коэффициенты «1,..., ан доставляют минимум невязке

N

к=1

Я

Минимум достигается, когда {с^Ь к = 1,М является решением системы алгебраических уравнений

N

£г,-*а1п)=ь("\ > = (46)

к=1

Здесь Г> = (и^х,у,Т),ик(х,у,Т))н, Ь<п) = (а^(х,у),и^(х,у,Т))н, где ], к = 1, ЛГ.

Приближенное решение задачи граничного управления дается формулой

N

(47)

к=1

В силу (46) имеет место равенство: ж Т

Я У У р{х,у) х У'

—я О

N

я 3

3=\

(п)Ь(п)

(48)

Можно показать, что коэффициенты матрицы Г выражаются через данные обратной задачи:

т Т-т

Т-т

т 0 0 о

7Г Г Т-Ч

-к 0 0

Т Т-т

X [У£/[^т)'(у,т + г]) + ^тУ(у,\т-т,\)] [ о т О

Компоненты вектора правой части (46) находятся по формуле

я• Т

ЯР«п» _

¿ = 1,ЛГ. (50)

-я О

Заметим, что в силу (49) и (50) все элементы системы (46) зависят от параметра Т, т.е. а[п) = а[п)(Т), Г> = 1>(Т), ъ\п) = 6? (Г), к,з = М^-

Тогда коэффициент Фурье с номером п функции [/>(Т,у)] 1 можно получить по формуле

} е™У А й /| (п) 2 ч]

я).

, пег.

(51)

Глава 6 посвящена численным методам решения линеаризованной двумерной обратной задачи для волнового уравнения, обратной задачи акустики методом обращения разностной схемы, методом итераций Ландвебера, методом Гельфанда-Левитана и граничного управления.

Основные выводы

Разработан алгоритм решения двумерной обратной задачи: двумерная обратная задача акустики сведена на основе проекционного метода к системе одномерных обратных задач, численное решение которой находится методом итераций Ландвебера. Доказано, что решение, полученное проекционным методом, сходится к точному решению обратной задачи в пространстве Доказано, что итерации Ландвебера сходятся в пространстве 1/2 и получена оценка скорости сходимости.

Метод линеаризации эффективен в случае, когда требуется определить малые добавки к априорно заданной основной структуре искомых коэффициентов.

В одномерном случае метод граничного управления и Гельфанда-Левитана определяют решение в конкретной точке хо, не используя вычислений неизвестных коэффициентов на интервале (0,хо) и примерно равны по количеству вычислений. Основное отличие методов заключается в решении многомерных обратных задач, а именно метод Гельфанда-Левитана восстанавливает решение на глубине £0> а метод граничного управления позволяет восстановить любой отдельный коэффициент Фурье решения по горизонтальной переменной у на глубине хо.

Метод обращения разностной схемы целесообразно применять в случае, когда дополнительная информация известна достаточно точно и восстанавливаемое решение достаточно гладкое. При нарушении одного из этих условий метод обращения разностной схемы становится неустойчивым. Метод граничного управления и метод Гельфанда-Левитана лучше применять, когда решение не нужно восстанавливать во всей области, а только на конкретной глубине хо. Численный расчеты показали, что методы граничного управления и Гельфанда-Левитана устойчивы к возмущениям в данных и восстанавливают даже разрывные функции. В таких случаях метод Гельфанда-Левитана и граничного управления можно применять для восстановления решения на всем интервале, несмотря на возрастающий порядок вычислений. Метод итераций Ландвебера "находит"решение даже на больших глубинах и при больших ошибках в данных, но для нахождения решения с заданной точностью требуется на порядок больше итераций, чем в методе обращения разностной схемы.

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору С. И. Кабанихину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Kabanikhin S.I., Scherzer О. and Shishlenin М. A. Iteration methods for a solving a two-dimensional inverse problem for hyperbolic equation by the iteration method // Journal of Inverse and Ш-Posed Problems.

- 2003. - Vol.11 (1). - Pp. 1-23.

2. Kabanikhin S.I. and Shishlenin M. A. Boundary control method and Gel'fand-Levitan method in inverse acoustic problem // Abstracts of ISIP2003, International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics, February 18 - 21, 2003, Nagano City, Japan. - Japan: Shinshu University, 2003. - Pp. 104-106.

3. Кабанихин С. И., Шишленин М. А. Линеаризованная многомерная обратная задача для волнового уравнения / / Обратные задачи и информационные технологии. - 2002. - Т. 1. - 2. - С. 83-114.

4. Кабанихин С. И., Шишленин М. А. Сравнительный анализ численных методов решения обратной задачи для волнового уравнения // Обратные задачи и информационные технологии. - 2002. - Т. 1.

- 1. - С. 49-72.

5. Shishlenin М. A. Comparative analysis of numerical methods for solving inverse problems for hyperbolic equations // Abstracts of the International Conference "Ш-Posed and Inverse Problems", dedicated to Prof. M.M.Lavrent'ev on the occasion of his 70th anniversary, 2002, Novosibirsk. - Novosibirsk: Sobolev Institute Press. - P. 151.

6. Шишленин M. А. Сравнительный анализ метода Гельфанда-Леви-тана и граничного управления в обратной задаче акустики / / Труды международной школы-конференции "Обратные задачи: теория и приложения", 11-19 августа, Ханты-Мансийск, 2002. - Ханты-Мансийск, 2002. - П. - С. 43.

7. Shishlenin M. A. Boundary Control Method in inverse problem for acoustic equation // Abstracts of the First International Conference "Inverse Problems: Modeling and simulations", held on July 14-21, 2002 at Fethhiye, Turkey. - Turkey: Applied Mathematical Science Reserch Center Kocaeli University, 2002. - Pp. 141-142.

8. Кабанихин С. И., Баканов Г. В., Шишленин М. А. Сравнительный анализ методов обращения разностной схемы, Ньютона-Канторовича и Ландвебера в обратной задаче для гиперболического уравнения. - Новосибирск: НГУ, 2001. - 40 с. (Препринт: 12).

9. Шишленин М. А. Сходимость проекционного метода решения двумерной обратной задачи для волнового уравнения // Тезисы докладов конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", Екатеринбург, 26 февраля - 2 марта, 2001. - Екатеринбург, 2001. -С. 121-152.

10. Кабанихин С. И., Шишленин М. А. Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики // Труды ХП Байкальской международной конференции, Иркутск, Байкал, 24 июня - 1 июля, 2001. - Иркутск, 2001. - 4. - С. 120-125.

11. Кабанихин С. И., Шишленин М. А. Итерационный метод решения обратной задачи для двумерного волнового уравнения // Труды Дальневосточной математической школы-семинара, 27 августа - 2 сентября, 2000, Владивосток. - Владивосток, 2000. - С. 51-52.

Шишленин Максим Александрович

ПРОЕКЦИОННЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени хандидата физико-математичзских наук

Подписано в печать 2.10.2003 г. Формат 60 х 841/16. Печать офсетная. Уч.-изд. л.1,3. Тираж 100 экз. Заказ №477

Лицензия ЛР Л* 021285 от 6 мая 1998 г. Редакционно-издательский центр НГУ, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова 2.

Р 15 602

Введение. Постановка задачи.

1 Прямые задачи

1.1 Введение. Постановка прямых и обратных задач.

1.2 Начально-краевая задача для уравнения акустики.

1.3 Задача Коши для уравнения колебаний.

1.4 Численные методы решения прямой задачи.

1.4.1 Конечно-разностные методы

1.4.2 Метод Галеркина.

1.4.3 Суммирование рядов Фурье.

2 Линеаризованная многомерная обратная задача для волнового уравнения с~2(х, у)ии = Ax,yU

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.3 Линеаризация.

2.4 Изучение структуры решения одномерной прямой задачи

2.5 Теорема существования решения прямой задачи.

2.6 Единственность решения обратной задачи и регуляризация

3 Проекционный метод

3.1 Введение.

3.2 Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения г% = AXjVu — q(x, у) и.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Сведение к интегральному уравнению.

3.2.3 Теорема единственности и оценка скорости сходимости проекционного метода.

3.3 Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики utt = &х,уи - Vx,y In p(:r, y)Vx,yu.

4 Метод итераций Ландвебера решения операторного уравнения C{U) = F

4.1 Введение.

4.2 Общая схема метода Ландвебера.

4.3 Метод итераций Ландвебера определения коэффициентов уравнения ии — Дх,уи ~ Я.{х-> У) ' и.

4.3.1 Свойства оператора обратной задачи С.

4.3.2 Оценка скорости сходимости итераций.

5 Прямые методы решения обратных задач

5.1 Введение.

5.2 Метод обращения разностной схемы.

5.3 Метод Гельфанда-Левитана.

5.4 Метод граничного управления.

6 Сравнительный анализ численных методов решения

6.1 Введение.

6.2 Линеаризация.

6.3 Проекционный метод.

6.4 Метод Гельфанда-Левитана.

6.5 Метод граничного управления

6.6 Сравнение методов граничного управления и Гельфанда-Левитана в одномерном случае.

6.7 Численные расчеты

Основные результаты

Список обозначений

Диссертация посвящена развитию актуального для приложений научного направления — методам решения коэффициентах обратных задач для гиперболических уравнений. Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений [19] и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Искомыми коэффициентами, как правило, являются такие важные характеристики исследуемых сред, как параметры Ламе — в случае обратной задачи теории упругости, тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости и тензор проводимости — в случае обратной задачи электродинамики, скорость распространения волн в среде и плотность — в случае обратной задачи акустики и т.д.

Обратные задачи для гиперболических уравнений относятся к некорректным задачам математической физики, теория которых была заложена в работах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева.

Различные подходы и методы исследования некорректных и обратных задач отражены в работах А.С. Алексеева, О. М. Алифанова, Д. С. Анико-нова, Ю.Е. Аниконова, А. X. Амирова, В. Я. Арсенина, А. Б. Бакушинско-го, М. И. Белишева, Ю. М. Березанского, А. С. Благовещенского, А. Л. Бух-гейма, Г. М. Вайникко, В. В. Васина, А. Б. Гончарского, A.M. Денисова,

B. И. Дмитриева, И. И. Ерёмина, Г. Н. Ерохина, А. Д. Искендерова,

C. И. Кабанихина, В. Р. Кирейтова, М. М. Лаврентьева, А. С. Леонова, Г. И. Марчука, В. И. Максимова, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, В. Н. Страхова, В. П. Тананы, С. И. Темирбулатова, В. Г. Чередниченко, В. А. Шарафутдинова, А. Г. Яголы, В. Г. Яхно и др.

По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, обратные задачи для гиперболических уравнений можно разделить на следующие основные группы: кинематические, спектральные и обратные задачи рассеяния, динамические обратные задачи.

В кинематических обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются времена прихода возмущений от источников к поверхности исследуемой среды. При этом измерения могут проводиться как на всей поверхности, так и на некоторой ее части; источники возмущений могут пробегать всю поверхность (или некоторую ее часть), либо располагаться внутри исследуемой среды.

В спектральных обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются собственные значения дифференциальных операторов и квадраты норм соответствующих собственных функций (при этом возможны и другие варианты задания дополнительной информации).

В динамических обратных задачах для гиперболических уравнений в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой, как правило, времениподобной поверхности. Первые постановки динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем были сформулированы и исследованы М. М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым, А. С. Алексеевым, А. С. Благовещенским. Систематическое исследование динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем было проведено В. Г. Романовым. Методика доказательства локальных теорем существования и единственности решения обратных динамических задач, а также теорем единственности и условной устойчивости "в целом", развитая В. Г. Романовым, была применена в исследовании широкого круга обратных задач С. И. Кабанихиным, В. Г. Яхно, С. П. Белинским и др.

Различные подходы и методы исследования обратных динамических задач для гиперболических уравнений и систем предложены и развиты в работах А. И. Прилепко, Ю.Е. Аниконова, A. JI. Бухгейма, М.В. Клибанова, Б. С. Парийского, Д. Г. Орловского, A. JI. Иванкова, А. В. Баева, Б. А. Бубнова и др. Целый ряд результатов в этом направлении получили в последние десятилетие зарубежные авторы, такие как J. G. Berryman, R. R. Green, R. Burridge, Y. M. Chen, J. Q. Liu, H.W. Engl, M. Hanke, S. He, A. Lorenzi, A. Neubauer, A. Rakesh, P. Sacks, F. Santosa, W.W. Symes, O. Scherzer, M. Yamamoto и др.

Следуя классификации С. И. Кабанихина [78], большинство имеющихся к настоящему времени работ по исследованию динамических обратных задач можно разделить по методам исследования на шесть основных групп: метод обращения разностной схемы (МОРС), метод операторных уравнений Вольтерра (МОУВ), оптимизационные методы (включая итерации Ландвебера), метод Ньютона-Канторовича (МНК) и метод линеаризации, динамический вариант метода Гельфанда-Левитана, метод граничного управления. Разумеется, приведенная классификация в известной степени условна, поскольку во многих работах используются различные комбинации указанных методов, а также комбинации динамических постановок со спектральными и кинематическими.

Проведем краткий сравнительный анализ указанных выше методов решения динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем. Решение обратных задач методом операторных уравнений Воль-терра, оптимизационными методами или методом Ньютона-Канторовича приводит к итерационным процессам, включающим в себя многократное решение соответствующих прямых задач. Это обстоятельство накладывает серьезные ограничения на применение указанных методов, особенно при численном решении многомерных обратных задач. Динамический вариант метода Гельфанда-Левитана является наиболее часто применяемым на практике, поскольку в его рамках удается сформулировать критерий существования решения обратной задачи, что особенно важно в силу нелинейности обратных задач. Основной проблемой на этом пути остается отсутствие обобщений метода на более сложные многомерные задачи. Отметим, что в диссертации (см. главу 6) предпринята попытка численно решить двумерную обратную задачу.

Первым результатом по многомерным обратным задачам для гиперболических уравнений является доказанные М. М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым [41] теоремы единственности, а позже В. Г. Романовым [57]. Обобщение теоремы единственности и условной устойчивости на операторные уравнения Вольтерра и описание некоторых классов единственности также проведено В. Г. Романовым.

Следующим важным шагом при исследовании многомерных обратных задач после доказательства теоремы единственности и получения оценок условной устойчивости является построение алгоритмов численного решения. Этот вопрос оставался открытым до середины 70-х гг. Впервые в работе С. И. Кабанихина [15] был предложен подход к построению численных алгоритмов решения многомерных обратных задач для гиперболических уравнений на основе проекционного метода. Данный подход впоследствии оказалось возможным применить к исследованию обратных задач для уравнения акустики, системы уравнений Максвелла и для кинетического уравнения переноса.

К настоящему времени развито большое количество методов решения гиперболических обратных задач, возникающих в электродинамике, сей-смике, акустике. Перечислим только несколько основных методов. Метод Гельфанда-Левитана широко применялся в сейсмике. В последнее время (благодаря работам В. А. Юрко и А. В. Баева) появилась надежда на его применение в электродинамике. Наиболее широко применяемыми были и остаются методы оптимизации [28] и методы Ньютона-Канторовича (условно говоря, методы последовательной линеаризации [25]). В последнее время к гиперболическим обратным задачам стали применяться методы решения общих операторных уравнений, такие, как метод итераций Ландвебера [73, 80] и метод граничного управления [4, 70]. В силу известной теоремы Гельфанда-Левитана, и ее динамической версии [8, 59], основная сложность в задачах такого рода заключается в отсутствии теоремы существования решения в "целом"(т.е. для произвольной глубины) для произвольных данных. Проверка условий существования решения обратных гиперболических задач является настолько трудоемкой, что в некотором смысле может быть сравнима с решением обратной задачи. Если же говорить о многомерных обратных задачах, то даже само применение метода Гельфанда-Левитана остается проблематичным в наиболее важных для практики задач. Именно поэтому обратные задачи вида (0.0.1)—(0.0.4) (и их более общие аналоги, такие как обратная задача для системы уравнений теории упругости, электродинамики, акустики) рассматривают как условно-корректные задачи (задачи, корректные по А. Н. Тихонову). Большая прикладная важность гиперболических обратных задач и их сложность объясняет значительное количество различных численных методов, развиваемых теоретиками и практиками для их решения.

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка обозначений, списка использованных источников и содержит 154 страницы текста. Список использованных источников содержит 91 наименований. Отметим, что нумерация формул и всех видов утверждений сквозная в пределах каждого раздела. Например, (1.2.3) означает формулу 3 пункта 2 главы 1. Система обозначений в каждом параграфе, как правило, независимая, если только в начале параграфа не указывается на связь с предыдущими главами. Общие обозначения, в том числе и стандартные, используемые на протяжении всей диссертации, вынесены в отдельный список в конце работы.

Основные результаты

Разработан алгоритм решения двумерной обратной задачи: двумерная обратная задача акустики сведена на основе проекционного метода к системе одномерных обратных задач, численное решение которой находится методом итераций Ландвебера. Доказано, что решение, полученное проекционным методом, сходится к точному решению обратной задачи в пространстве 1/2- Доказано, что итерации Ландвебера сходятся в пространстве L2 и получена оценка скорости сходимости.

Метод линеаризации эффективен в случае, когда требуется определить малые добавки к априорно заданной основной структуре искомых коэффициентов.

В одномерном случае метод граничного управления и Гельфанда-Левитана определяют решение в конкретной точке хо, не используя вычислений неизвестных коэффициентов на интервале (0, хо) и примерно равны по количеству вычислений. Основное отличие методов заключается в решении многомерных обратных задач, а именно метод Гельфанда-Левитана восстанавливает решение на глубине Xq, а метод граничного управления позволяет восстановить любой отдельный коэффициент Фурье решения по горизонтальной переменной у на глубине хо.

Метод обращения разностной схемы целесообразно применять в случае, когда дополнительная информация известна достаточно точно и восстанавливаемое решение достаточно гладкое. При нарушении одного из этих условий метод обращения разностной схемы становится неустойчивым. Метод граничного управления и метод Гельфанда-Левитана лучше применять, когда решение не нужно восстанавливать во всей области, а только на конкретной глубине гсо- Численный расчеты показали, что методы граничного управления и Гельфанда-Левитана устойчивы к возмущениям в данных и восстанавливают даже разрывные функции. В таких случаях метод Гельфанда-Левитана и граничного управления можно применять для восстановления решения на всем интервале, несмотря на возрастающий порядок вычислений. Метод итераций Ландвебера "находит"решение даже на больших глубинах и при больших ошибках в данных, но для нахождения решения с заданной точностью требуется на порядок больше итераций, чем в методе обращения разностной схемы.

1. Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. - 1967. М.: Наука, - С. 9-84.

2. Алексеев А. С., Добринский В. И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. - вып. 6, ч. 2. - С. 7-53.

3. Баранов В., Кюнетц Г. Синтетические сейсмограммы с многократными отражениями // Проблемы сейсмической разведки. М.: Гостоптехиз-дат, 1962. - С. 179-188.

4. Белишев М. И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения // ДАН СССР. 1987. - Т. 297. - №3. - С. 524-527.

5. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Многомерные аналоги уравнений типа Гельфанда-Левитана-Крейна в обратной задаче для волнового уравнения // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. 1992. - Новосибирск, Наука. - С. 50-63.

6. Белишев М.И., Шеронова Т. Л. Методы теории граничного управления в нестационарной обратной задачие для неоднородной струны // Записки научных семинаров ЛОМИ. Математические вопросы распространения волн, 20. 1990. - Т. 186. - С. 37-49.

7. Благовещенский А. С. Об одной обратной задаче теории распространения сейсмических волн // Проблемы математической физики. Ленинград: ЛГУ, 1966. - вып. 1. С. 68-81.

8. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. Москва, 1956. - 346 с.

9. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Москва: Наука, 1981. - 400 с.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1988. - 512 с.

11. Воеводин В. В. Линейная алгебра. Москва, 1980.

12. Гаевский X. и др. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. Москва, 1978. - 336 с.

13. Гельфанд И.М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР. Сер. мат. 1951. - Т. 15. - 4. - С. 309-360.

14. Кабанихин С. И. Конечно-разностная регуляризация обратной задачи для уравнения колебаний // Вопросы корректности задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. - С. 57-69.

15. Кабанихин С. И. Проекционный метод решения многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984. - С. 55-59.

16. Кабанихин С. И. О разрешимости обратной динамической задачи сей-смики // Условно-корректные математические задачи и проблемы геофизики / Сборник научных трудов. Новосибирск, Вычислительный Центр, 1979. - С. 43-57.

17. Кабанихин С. И. Линейная регуляризация многомерных обратных задач для гиперболических уравнений. Новосибирск, ИМ, 1988. - (Препринт ИМ СО РАН: 27).

18. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1988. - 168 с.

19. Кабанихин С. И. Методы решения обратных динамических задач для гиперболических уравнений // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1992. - С. 109-123.

20. Кабанихин С. И. О линейной регуляризации многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 309. - 4. - С. 791-795.

21. Кабанихин С. И., Абдиев К. С. Проекционно-разностный метод решения трехмерной обратной задачи геоэлектрики // Вопросы корректности задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. - С. 61-72.

22. Кабанихин С.И., Ахметов Ж. А. Конечно-разностная регуляризация обратной задачи для гиперболической системы первого порядка // Методы решения обратных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. С. 65-74.

23. Кабанихин С. И., Аяпбергенова А. Т. Метод итераций Ландвебера в обратной задаче акустики // Обратные задачи и информационные технологии. 2002. - Т. 1. - 1. С. 7-48.

24. Кабанихин С. И., Баканов Г. Б. Дискретный аналог метода Гельфанда-Левитана в двумерной обратной задаче для гиперболического уравнения // Сиб. мат. журн. 1999. - Т. 40. - 2. - С. 307-324.

25. Кабанихин С. И., Баканов Г. Б., Шишленин М. А. Сравнительный анализ методов обращения разностной схемы, Ньютона-Канторовича и Ландвебера в обратной задаче для гиперболического уравнения. Новосибирск: НГУ, 2001.- 40 с. (Препринт НГУ: 12).

26. Кабанихин С.И., Бобоев К. Конечно-разностный метод определения сечений в Pi-приближении нестационарного кинетического уравнения переноса // Методы решения некорректных задач и их приложения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982. С. 213-217.

27. Кабанихин С. И., Искаков К. Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. Новосибирск, НГУ, 2001.

28. Кабанихин С. И., Мартаков С. В. Исследование проекционно-разност-ного метода решения прямой и обратной задачи геоэлектрики. Новосибирск, 1988. - 51 с. (Препринт ИМ СО АН СССР: 13).

29. Кабанихин С. И., Сатыбаев А. Д. Конечно-разностный алгоритм решения смешаной задачи для двумерного волнового уравнения // Математический анализ и дифференциальные уравнения. Новосибирск: НГУ, 1987. - С. 45-51.

30. Кабанихин С. И., Сатыбаев А. Д. Конечно-разностная регуляризация линеаризованной обратной задачи для двумерного волнового уравнения // Условно-корректные задачи. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988. - С. 39-57.

31. Кабанихин С. И., Шишленин М.А. Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики // Труды XII Байкальской международной конференции. Иркутск, Байкал, 24 июня 1 июля, 2001. - Иркутск, 2001. - 4. - С. 120-125.

32. Кабанихин С. И., Шишленин М.А. Сравнительный анализ численных методов решения обратной задачи для волнового уравнения // Обратные задачи и информационные технологии. 2002. - Т. 1. - 1. - С. 49-72.

33. Кабанихин С. И., Шишленин М.А. Линеаризованная многомерная обратная задача для волнового уравнения // Обратные задачи и информационные технологии. 2002. - Т. 1. - 2. - С. 83-114.

34. Канторович Л. В. Акилов Г. П. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1984. - 752 с.

35. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // ДАН СССР. 1954. - Т. 94. - 6. - С. 767-770.

36. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 92 с.

37. Лаврентьев М. М. Об обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157. - 3. - С. 520-521.

38. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973.

39. Лаврентьев М. М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1981. - 74 с.

40. Лаврентьев М.М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1966. -Т. 171. - 6. - С. 1279-1281.

41. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1969. 67 с.

42. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа / М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский М.: Наука, 1980. - 286 с.

43. Лаврентьев М.М., Савельев Л. Я. Линейные операторы и некорректные задачи. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1991.

44. Лаврентьев М.М., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: ИМ, Сиб. отд-ние, 1999. - 704 с.

45. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. Москва: Наука, 1973. - 408 с.

46. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.

47. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук, думка, 1978. - 332 с.

48. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. Москва: Наука, 1983. - 424 с.

49. Овсянников Л. В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств // Доклады Академии наук СССР. 1965. - Т. 163. - 4.

50. Парийский Б. С. Обратная задача для волнового уравнения с воздействием на глубине // Некоторые прямые и обратные задачи сейсмики.- М. : Наука, 1968. С. 25-40.

51. Парийский Б. С. Экономичные методы численного решения уравнений в свертках и систем алгебраических уравнений с теплицевыми матрицами. М.: ВЦ АН СССР, 1977. - 75 с.

52. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. - 164 с.

53. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. -Новосибирск: НГУ, 1973. 252 с.

54. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Обратная кинематическая задача сейсмики. Новосибирск: НГУ, 1978.- 88 с.

55. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. Москва: Наука, 1984. - 264 с.

56. Романов В. Г. О локальной разрешимости некоторых многомерных обратных задач для уравнений гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - 2. - С. 275-283.

57. Романов В. Г. О локальной разрешимости обратных задач для гиперболических уравнений в классе функций, аналитических по части переменных // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 304. - 4. - С. 807-811.

58. Романов В. Г. О численном методе решения одной обратной задачи для гиперболического уравнения // Сибирский математический журнал. -1996. Т. 37. - 3. - С. 633-655.

59. Романов В. Г. Локальный вариант численного метода решения обратной задачи // Сибирский математический журнал. 1996. - Т. 37. - 4.- С. 904-918.

60. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики (численные методы решения). Новосибирск, 1989. - (Препринт СО АН СССР. Ин-т математики: 32).

61. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики. М.: Наука, 1991. - 304 с.

62. Романов В. Г. Обратные задачи электродинамики / В. Г. Романов, С. И. Кабанихин, Т. П. Пухначева. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.- 201 с.

63. Сатыбаев А. Д. Конечно-разностное регуляризованное решение обратных задач гиперболического типа. Ош, Кыргызстан, 2001.

64. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных // Ученые записки ЛГПИ имени А. И. Герцена. -1958. Т. 197. - С. 54-112.

65. Тихонов А. Н. Об устойчивых методах суммирования рядов Фурье // ДАН СССР. 1964. Т. 156. - 1.

66. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -Москва, Наука, 1979.

67. Azamatov J. S. and Kabanikhin S.I. Nonlinear Volterra operator equations. Z/2 ~ theory // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1959. -Vol.7(6). - Pp. 487-510.

68. Belishev M.I. Wave basises in multidimensional inverse problems // Math. USSR Sb. 1990. - 67. - No. 1. - Pp. 23-42.

69. Belishev M.I. How to see the waves under the Earth surface (the Boundary-Control method for geophysicists) // Ill-Posed and Inverse Problems. Kabanikhin and Romanov (Editors). VSP, The Netherlands, 2002.

70. Bimuratov S. Sh. and Kabanikhin S.I. The solution of one-dimensional inverse problems of electrodynamics by the Newton-Kantorovich method // Comput. Maths Math. Phys. 1992. - Vol.32. - No.12. - Pp. 1729-1743.

71. Engl H.W., Hanke M. and Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1996.

72. Eremin 1.1. Theory of Linear Optimization. VSP, The Netherlands, 2002. 248 pages.

73. Hanke M., Neubauer A. and Scherzer O. A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems // Numer. Math. -1995. 72. - Pp. 21-37.

74. He S. and Kabanikhin S.I. An optimization approach to a three-dimensional acoustic inverse problemin the time domain //J. Math. Phys. -1995. 36. - No. 8. Pp. 4028-4043.

75. Ikehata M. and Nakamura G. Inverse boundary value problem . 15 years since Calderon raised the problem // Sugaku Expositions, Am. Math. Society. 1999. - 12. - No. 1. Pp. 57-84.

76. Kabanikhin S. I. Numerical analysis of inverse problems // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1995. - 3. - No. 4. - Pp. 278-304.

77. Kabanikhin S. I., Iskakov К. T. and Yamamoto M. Hi- conditional stability with explicit Lipshitz constant for a one-dimensional inverse acoustic problem // University of Tokyo, Graduate school of mathematical sciences, Tokyo, Japan.

78. Kabanikhin S.I., Kowar R., Scherzer O. and Vasin V. V. Numerical comparison of iterative regularization methods for a parameter estimation problem in a hyperbolic PDE // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2001. - Vol.9. - No.6.

79. Kabanikhin S.I. and Lorenzi A. Identification Problems of wave Phenomena (Theory and numerics). Utrecht, The Netherlands, VSP, 1999.

80. Kabanikhin S. I., Scherzer 0. and Shishlenin M. A. Iteration methods for a solving a two-dimensional inverse problem for hyperbolic equation by the iteration method // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2003. -Vol.11. - 1. - Pp. 1-23.

81. Kunetz G. Essai d'analyse de traces sismiques // Geophysical Prospecting.- 1961. 9. - Pp. 317-341.

82. Lavrenti'ev M. M., Romanov V. G. and Shishatskii S. P. Ill-posed Problems of Mathematical Physics and Analysis. Providence: AMS, 1986.

83. Maksimov V. I. Dynamical Inverse Problems of Distributed Systems. VSP, The Netherlands, 2002. 270 pages.

84. Pestov L.N. On reconstruction of the speed of sound from a part of boundary // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. - 7. - No.5. Pp. 481-486.

85. Rakesh. An inverse problem for the wave equation in the half plane // Inverse Problems. 1993. - 9. Pp. 433-441.

86. Rakesh and Symes W. W. Uniquiness for an inverse problem for the wave equation // Commun. Part. Different. Equat. 1988. - 13. - No. 15. - Pp. 87-96.

87. Romanov V. G. and Kabanikhin S. I. Inverse Problems for Maxwell's Equations. VSP Science Press, Utrecht, The Netherlands, 1984.

88. Vasin V. V. and Ageev A. L. Ill-Posed Problems with A Priori Information.- VSP Science Press, Utrecht, The Netherlands, 1995.