Оптимизация граничных и распределенных управлений в полулинейных гиперболических системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

о

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ. ОБРАЗОВАНИЮ ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ОПТИМИЗАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ И РАС1РВДЕЛЕННЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1991

Работа выполнена в Иркутском государственном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор О.В. Васильев

кандидат физико-математических наук, доцент В.А. Терлецкий

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Д.А. Овсянников

кандидат физико-математических наук, доцент В.А. Дыхта

Ведущая организация - Московский государственный университет

им. М,В. Ломоносова

Защита состоится " " ШОНлЛ 1991 г. в часов на

Заседании специализированного совета К 063.32.06 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Иркутском государственном университете (664003, Иркутск, бульвар Гагарина, 20, 1-ый корпус ИГУ, математический факультет)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Иркутского государственного университета (бульвар Гагарина,'¿Л)

Автореферат разослан " О « МСмЯ 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук,

доцент Н'*/ - Бельтюко:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

''■Л ü

Актуальность теми. Развитие теории оптимального управления процессами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, настоятельно диктуется потребностями науки и техники. Общепризнано, что проблема получения и конструктивного применения необходимых условий оптимальности в системах с распределенными параметрами является значительно более сложной по сравнению с аналогичной проблемой в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Большой вклад в исследование оптимизационных задач в уравнениях с частными производными внесли А.Г. Бутковский, А.И. Егоров, Ю.В.Егоров, Ж.-Л. Лионе, К.А. Лурье, Т.К. Сиразетдинов и многие другие.

Одним из основных результатов в области необходимых условий оптимальности остается принцип максимума. К настоящему времени разработан ряд эффективных способов решения задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Среди этих способов необходимо выделить конструктивные итерационные методы последовательных приближений, обладающие релаксационностью и сходимостью (работы О.В.Васильева, В.А.Срочко, В.А.Терлецкого, А.И.Тя-тюшкина и др.). Общая структура алгоритмов почти не зависит от типа управляемых систем. Допустимость применения методов определяется возможностью получения условий оптимальности вида принципа максимума и оценок остаточного члена в формуле приращения целевого функционала, обеспечивающих сходимость. Поэтому представляет интерес распространение и конкретизация данных методов для систем дифференциальных уравнений в частных производных, имеющих практическое'значение.

В диссертации рассматриваются задачи оптимального управления в системах полулинейных гиперболических уравнений первого порядка. К данным системам сводятся классическое гиперболическое уравнение второго порядка, а также системы Г^рса-Дарбу и канонические системы первого порядка с двумя ортогональными семействами характеристик. В рамках исследуемых

уравнений описываются явления возбуждения и распространения волн, электромагнитные колебания и кристаллооптика, динамика популяций, ряд химико-технологических процессов. В частности, применение полученных в работе результатов проиллюстрировано на примере обратной задачи возбуждения волн цунами.

Цель диссертационной работы состоит в получении необходимых условий оптимальности граничных управлений в одномерных полулинейных гиперболических системах, а также распределенных управлений в многомерных симметрических гиперболических системах. Доказанные условия оптимальности используются затем для конструирования итерационных методов, обладающих сходимостью и гарантирующих улучшение критерия качества.

Метод исследования основан на анализе формулы приращения целевого функционала. Преимущество использования этого метода с точки зрения реализации поставленной цели объясняется, на наш взгляд, тем, что при установлении необходимых условий оптимальности практически параллельно проводится обоснование применимости предлагаемых методов.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту Необходимые условия оптимальности первого порядка и ориентированные на эти условия конструктивные методы получены для трех типов задач:

- задачи оптимального управления одномерной системой полулинейных гиперболических уравнений первого порядка, в которой начально-краевые условия определяются как фазовые траектории управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

- задачи оптимизации системы одномерных гиперболических уравнений с управляемыми начально-краевыми условиями, заданными в виде конечномерных соотношений;

- задачи оптимального управления многомерной симметрической гиперболической системой первого порядка с распределенными управлениями.

Особенность задач оптимизации гиперболических систем с управляемыми граничными условиями, заданными в виде конеч-

номерных соотношений, заключается в невозможности в общем случае получения необходимого условия оптимальности граничного управления в виде обычного.поточечного принципа максимума. Попытка исследования отой задачи методом, основанным на анализе формулы приращения функционала, привела к неклассическому условию оптимальности вида вариационного принципа максимума. Основной сложностью изучения многомерных',си6тём' является неприменимость (за исключением частных случаев) определения обобщенного решения через характеристики дифференциальных уравнений, которое удобно использовать в одномерных гиперболических системах. Следовательно, невозможен непосредственный перенос результатов других авторов, полученных для одномерных систем, на многомерный случай. Использование другого, более универсального.понятия обобщенного решения привело к ряду новых моментов при доказательстве необходимых условий оптимальности и построении методов поиска управлений, удовлетворяющих этим условиям оптимальности.

Практическая значимость. Методы, разработанные на основе необходимых условий оптимальности, доказанных в работе, могут быть применены при решении задач оптимального управления системами гиперболических уравнений. В частности, описываемые в диссертации итерационные методы реализованы для численногр решения обратной задачи теории возбуждения волн цунами в рамках исследований, проводимых совместно Иркутским госуниверситетом и Институтом морской геологии и геофизики ДВНЦ АН СССР по проблеме ГКНТ СССР "Мировой океан".

Личным вкладом автора является получение необходимых условий оптимальности типа классического или вариационного принципа максимума и обоснование алгоритмов оптимизации в ' указанных трех типах задач оптимального управления гиперболическими системами.

Б диссертации изложены результаты, полученные автором при выполнении тем НИР кафедры методов оптимизации Иркутского государственного университета "Теория и методы оптимизации управляемых процессов" (№ГР 01870004239), "Исследование обратной проблемы цунами методами оптимального управления"

(№ГР 0I86009I242) и хоздоговорной теш №13570 ВЦ ИГУ "Методы математического моделирования процессов возбуждения гравитационных волн".

Апробация работы. Основные результаты, включенные в диссертационную работу, докладывались на ХХУ Всесоюзной студенческой конференции (Новосибирск, 1987), Всесоюзном совещании по вычислительным методам в проблеме цунами (Шушенское, .1987), У-УI конференциях молодых ученых вузов Иркутской области (Иркутск, -1987,1988), У1 Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (Львов, 1988), международном советско-польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их приложения" (Минск, 1989), УШ Сибирской школе по пакетам прикладных программ (Иркутск, 1989), международной школе-семинарс по методам оптимизации и их приложениям (Иркутск, 1989), XI конгрессе IFAC (Таллинн, 1990), семинарах кафедр методов оптимизации и вычислительной математики Иркутского госуниверситета (1907-1990), семинаре кафедры математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского госуниверситета (1991), семинаре НИИ вычислительной математики и процессов управления при Ленинградском госуниверситете (1991).

.Публикации. Но теме диссертации опубликовано I-I работ, в которых отражено ее основное содержание.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 144 страницы. Список литературы содержит 106 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование выбранного направления исследования, краткий обзор работ, посвященных исследуемым в диссертации проблемам; сформулирована цель работы, основные положения, выносимые на защиту, и кратко изложено содержание глав.

В первой главе рассматривается задача оптимального управления системой одномерных полулинейных гиперболических урав-

нений, в которой граничные условия определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

xt + A(a,t) ха = f(x,3,t), (a.t)ePi (I)

x(s,tQ) = х°(я), aeS; x'f^.t) = ^(t), teT; (2)

x+(3Q,t) = g(x+(s0,t), v(t), t), ter,

(3)

x+(ao,t0) = b;

v(t)eV; (4)

I(v) 3 jfUia.t,), a) da + J [ fQ (х~(а0, t ) , t) + + f1(x+(a1,t),t)+>)Cï:-,-(30it), v(t), t)] dt +

+ f/ф (x,a,t) da dt —»- min. (5)

p ....

Здесь P - прямоугольник, P = 3xT, 3 = [sQ,31] , T = [tQ,t1] , x = х(з,t) - n- мерная вектор-функция состояния,

v = v(t) - г- мерная вектор-функция управления, выбираемая из пространства A(s,t) - диагональная матрица со

знакопостоянными в Р элементами ^¿(a.t) ^ О, i = 1,2,.- -,ш1;

^ О, ± = п>2 .nig-t-l , ... ,п. х"= Ц.Х;,,...,^), х+= ^rn2'xm2 + 1.....xn}' V ~ компакт

из Кг, ъ - заданный вектор.

Вводится понятие характеристик s = t) систе-

мы (I), определяемых из обыкновенных дифференциальных уравнений:

da

- = з( f) .

dt 1

Под обобщенным решением начально-краевой задачи (I)—(3) понимается функция, удовлетворяющая системе интегральных уравнений, в которой интегрирование осуществляется вдоль характеристик исходной гиперболической системы (I).

При используемой в данной главе форме связи между компонентами вектора состояния, для которых ставятся граничные

условия, и управляющими воздействиями удается доказать необходимое условие оптимальности вида поточечного принципа максимума. Доказательстве основывается на исследовании формулы приращения функционала.

Как следствие из полученного необходимого условия оптимальности вытекает дифференциальный принцип максимума. Выписывается линейно-выпуклый вариант задачи (1)-(5), для которого принцип максимума является необходимым и достаточным условием оптимальности.

В параграфе 1.4 при дополнительных предположениях гладкости параметров задачи по управлению получена формула для градиента функционала о пространстве (Т).

В параграфе 1,о обосновывается возможность применения в задаче (1)-(5) эффективных сходящихся итерационных методов последовательных приближений, разработанных для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Операция оптимизации процедуры варьирования, предложенная В.А.Срочко (1989), позволяет среди всего класса рассматриваемых методов выбрать наилучший в смысле минимизации первой вариации функционала.

Во второй главе задач»'.; оптимального управления граничными условиями одномерной полулинейной гиперболической системы исследуется при обычной конечномерной форме связи между компонентами вектора состояния на границе и управлением. Система (I) рассматривается при управляемых начальных условиях

х(а,г0) = р(и(з),з), ае 3. (6)

Для уменьшения громоздкости предполагается сначала, что условия на боковых границах прямоугольника фиксированы. Цель задачи состоит в минимизации функционала

1(и)

$ «х, а,!)(.!« + сН) + (х,а,Ь) ¿н й!;, (7)

1'

1р0(х"(ои,4) , "(О, Ь£'1\ з - а0,

-^(х+(гз,,1), I), а = о., ,

.£"2 - граница прямоугольника Р, из которой исключен отрезок оси ь = ь . Допустимые управления - измеримые и ограниченные на з функции, удовлетворяющие условию

и(з) е 1Г<=

Предполагается, что уравнения системы (I) упорядочены таким образом, что

и произвольный вектор ае К "может быть разбит на два подвек-тора

а1^ (а -,а. ...),

г ч

ц " Са1 'а2.....и11_)'а11+1'"-,С1п;'

Целью данного разбиения является выделение компонент вектора, соответствующих" совпадающим диагональным элементам магрицы_Д.» равнин Л ■, \ 1 = 1 .

о рассматриваемой задаче оптимального управления доказательство обычного поточечного принципа максимума не представляется возможным. Исследование задачи с помощью анализа формулы приращения функционала привело к неклассическому условию оптимальности. Установлено, что оптимальное граничное управление доставляет максимум в задаче управления начальными уечовиями системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Георема. Пусть управление и =и(аОптимально в исследуемой задаче. Тогда почти в каждой точке выполняется условие максимума

)- V = ".ах 3(у , ? ), (8)

Уе II

?) - X -Р(в1(Г ), е г ) -/(Г1'Г1) +

1=1 I 1 л 1 У

Т1

1(а,1-)' - ФСиЧЮ.э,!;)]

I;

и

dtj , (9)

3f

11, (fi'V e{(s.t)st=t1( S^aös.,], ( ^.tj) - конечные точки характеристик a^ (^,tQ;t); ^(a.t;

1 и

определяются из сопряженной задачи, векторы а (t) получены ИЗ ,t) заменой x1(si (f,t0;t),t) на y1(t) , а

вектор-функции y^t) являются решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений

y^t) = f1(z1(t)>a. <f,t0;t),t), te[to,t1],

1-1 1 У (t0) = P (V , p, 1 = 1,2,...,q.

В идейном плане полученный результат близок к вариационному принципу максимума, установленному В.А.Срочко для специальных классов гиперболических уравнений (каноническая система первого порядка и система Гурса-Дарбу) с двумя ортогональным/ семействами характеристик и распределенными управлениями.

Далее формулируется вариационный принцип максимума для задачи, в которой управляемы также и условия на боковых границах прямоугольника.

В параграфе 2.5 осуществлено сравнение вариационного принципа максимума с классическим условием оптимальности вида дифференциального принципа максимума, доказанным, например, М. Brokate (1907). Указывается, что при доказательстве вариационного принципа максимума достаточно сделать менее жесткие предположения на параметры задачи, чем в дифференциальном принципе максимума. Показано, что для управления, удовлетворяющего вариационному принципу максимума, выполняется дифференциальный принцип максимума. Несправедливость обратного

утверждения иллюстрируется контрпримером. Таким образом, доказанное в данной главе необходимое условие оптимальности является более сильным по сравнению с дифференциальным принципом максимума.

Заключительный параграф 2.6 посвящен итерационному методу, основанному на вариационном принципе максимума. Метод не требует дополнительных предположений о дифференцируемости параметров задачи по управлению и выпуклости множества допустимых управлений, необходимых при использовании градиентных методов.

В третьей главе рассматриваются многомерные гиперболические системы первого порядка с распределенными управлениями. Задача оптимального управления имеет вид:

т

X. + И А. (а,ю = ^Х.и.з.-Ь), (з.-ОеР, (II)

г 1=1 1

х(я,г-0) = х°(п), зеЗ; В~(а,1;)х(зД)=б(а^), (з.ЮеГ, ц2)

и(о, 1;)е и, Ц2)

Ки) = (х(а,^ ) ,а) с1з + ] Ф(х,и,а,1;) аз ^ —> гп!п (14) 3 ' Р

Здесь Р - ( гд+1) -мерный параллелепипед, р = б х 1, ,

3=[з=(з1,з2,----,зт)€Ет: 1=1,2,...,т| , х=х(з,1;) -

п-мерная вектор-дикция состояния, и= и(з,Ю - х»-мерная вектор-функция управления, и - компакт из Ег , Г - боковая граница Р; матрица В~(з,1;) строится специальным' зом с помощью матрицы

Б = Г £ + £ £, А. , 1=1 .

компоненты единичного вектора внешней' нормали к поверхности параллелепипеда Р. Допустимые управления - функции из пространства (Р).

При исследовании задачи (Ш-(14) с помощью методики, примененной в первой главе, возникает ряд особенностей, связанных с многомерностью системы. В общем случае невозможен

переход от гиперболического оператора к интегральному оператору, в котором интегрирование осуществляется вдоль характеристик гиперболической системы. Анализируются частные случаи, при которых такой переход может быть осуществлен. Рассматриваются понятия обобщенного по Фридрихсу решения начально-краевой задачи (П)-(12). Слабое обобщенное решение определяется с помощью сопряженного оператора, заданного на классе гладких функций. Сильное обобщенное решение вводится как предел в 1>2 (Ю непрерывно-дифференцируемых функций. Обсуждаются способы постановки смешанных условий. На основе известных теорем существования, единственности и совпадения сильного и слабого обобщенных решений для линейного варианта системы (II) обосновывается существование и единственность обобщенного решения рассматриваемой полулинейной гиперболической системы.

Существенным моментом при доказательстве необходимого условия оптимальности является наличие почти в каждой точке области оценки приращения состояния через меру множества, на котором производится игольчатое варьирование. В отличие от одномерного случая, в многомерном варианте получить поточечную оценку не удается. Это связано с особенностями распространения возмущений в многомерных гиперболических системах.

В параграфе 3.3 для оценки остаточного члена в формуле приращения предлагается использовать специальное энергетическое неравенство

( 5 II ДхСа.Ю II 2ау),/2 ¿и { ( { |!ДгГ(х,и,а,г ) II 2аз)1/2сГГ, (1

3 С0 3

■ь е. С"Ь0. Ь^3 , и - никоторая неотрицательная константа. Подобная оценка, несколько отличная от классических энергетических неравенств, использовалась для других целей при исследовании задачи Коши в линейных гиперболических системах Мизохата (1978). Неравенство (1Ь) позволяет оценить приращение состояния на каждом слое по времени, показать, что остаточный член в формуле приращения, рассматриваемой на игольчатой вариации управления, имеет порядок О(£). Параметр £ определяет малость меры области игольчатого варьирования.

Л1ШЛИЗ формулы приращения на игольчатой вариации оптимального управления приводит к необходимому условию оптимальности типа поточечного принципа максимума.

Б линейно-выпуклом варианте задачи принцип максимума является также и достаточным условием оптимальности.

Параграф 3.5 посвящен доказательству формулы для градиента целевого функционала (14). При этом удобно использовать энергетическое неравенство классического типа:

1|1 дхСаД) || 2<1в й п 1 ] II ДгОс.и.з.г ) II 2с1

, ч йТ' (К)

to Ь

t0^t¿t1 , М ^ 0.

Неравенства такого чида обычно применяются при установлении единственности решения гиперболических систем. Отметим, что неравенство (16), в отличие от энергетической оценки (15), не позволяет доказать поточечный принцип максимума.

В параграфе З.б излагается итерационный метод поиска уп-раилений, удовлетворяющих принципу максимума. Указывается, что результаты, полученные в предыдущих параграфах главы, позволяют утверждать, что общая схема метода и теорема о сходимости остаются практически теми же, как и для задачи управления, рассмотренной в первой главе. Новые моменты, вызываемые многомерностью задачи, возникают при построении множеств варьирования управлений из условия выполнения определяющего неравенства, лежащего в основе теоремы о сходимости. Обсуждаются способы построения этих множеств варьирования.

Третья глава заканчивается конкретным примером, иллюстрирующим применение полученных результатов. Рассматривается обратная задача теории возбуждения волн цунами. Данная проблема заключается в нахождении формы подвижки дна, вызывающей в момент окончания землетрясения волну заданного профиля. Эта проблема интерпретируется как задача оптимального управления системой трех гиперболических уравнений линеаризованной модели мелкой воды. Роль управления играет скорость изменения подвижки дна. Для численного решения задачи используется метод, изложенный в предыдущем параграфе.

В заключении сформулированы основный результаты, полученные в работе.

1. Исследована задача оптимального управления системой одномерных полулинейных гиперболических уравнений первого порядка, в которой граничные условия определяются'из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказана справедливость поточечного принципа максимума, получена формула для градиента целевого функционала. Показана возможность применения итерационного метода последовательных приближений, обладающего сходимостью и гарантирующего на каждом шаге убывание функционала.

2. В задаче оптимального управления системой одномерных гиперболических уравнений с управляемыми начально-краевыми условиями, заданными в виде обычных конечномерных соотношений, установлено неклассическое условие оптимальности вида вариационного принципа максимума. Это условие заключается в том, чт;о оптимальное управление почти в каждой точке границы доставляет максимум в специальной задаче математического программирования, а именно, в задаче управления-начальными условиями системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Осуществлено сравнение с дифференциальным принципом максимума, справедливом при более жестких предположениях на параметры задачи, чем вариационный принцип максимума. Показано, что вариационный принцип максимума является более сильным условием оптимальности. Приводится схема сходящегося итерационного метода, основанного на полученном необходимом условии оптимальности.

3. Обосновывается существование и единственность обобщенного решения начально-краевой задачи для многомерной симметрической полулинейной гиперболической системы на основе известных теорем существования и единственности для линейных систем.

4. В задаче оптимального управления многомерной симметрической гиперболической системой с распределенным управлением с помощью специального энергетического неравенства установлена оценка приращения состояния через меру области игольчатого варьирования. Эта оценка дает возможность доказать необходи-

мое условие оптимальности типа поточечного принципа максимума. В задаче получена также формула для градиента целевого функционала. Построен итерационный метод, основанный на принципе максимума. Обсуждены способы выбора областей варьирования управления, обеспечивающие сходимость метода.

Ъ. Применение результатов, полученных для многомерных гиперболических систем, проиллюстрировано на конкретном примере обратной задачи возбуждения волн цунами.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Аргучинцев A.B. Оптимизация одного класса двумерных гиперболических систем // Материалы ХХУ Всесоюз. студенческой конф. - Новосибирск, 1987, - С. 3-6.

2. Аргучинцев A.B. К поиску оптимальных граничных управлений в некоторых типах гиперболических систем // Пятая конф. молодых ученых вузов Иркутской области. 4.1: Тез.докл. - Иркутск, 1987. - С. 3.

3. Аргучинцев A.B., Терлецкий В.А. О процессах возбуждения волн цунами различными подвижками дна // Всесоюз. совещание по вычислительным методам в проблеме цунами: Тез.докл. -Красноярск, 1987. - С. 7-9.

4. Аргучинцев A.B. К поиску оптимальных граничных управлений в двумерных полулинейных гиперболических уравнениях // Модели и методы исследования операций. - Новосибирск: Наука, 1988. - G. 50-58.

5. Васильев О.В., Аргучинцев A.B., Бурдуковская A.B., Болдонов A.B. Конструктивные методы оптимизации гиперболических и параболических систем // Шестая Всесоюз. конф. по управлению в механических системах: Тез.докл.- Львов, 1988. -С. 26-27.

6. Аргучинцев A.B. Комплекс программ для решения обратной проблемы цунами методами оптимального управления // Программное обеспечение ЭВМ новых поколений: Тез.докл. УШ Сибирской школы по пакетам прикладных программ. - Иркутск,1989.-С.142.

7. Аргучинцев A.B. Условия оптимальности в полулинейных гиперболических уравнениях с управляемыми граничными услови-

ями // Методы оптимизации и их приложения: Тез.докл. международной школы-семинара.- Иркутск, 1969. - С. 12.

8. Аргучинцев A.B., Терлецкий Б.А. К исследованию задач оптимального управления системами многомерных гиперболических уравнений // Математические методы оптимального управления и их приложения: Тез.докл. международного советско-польского семинара. - Минск, 1989. - С. I36—137.

9. Аргучинцев A.B., Терлецкий В.А. К решению обратной проблемы цунами в рамках двумерной модели методами оптимального управления // Исследования цунами, №4. - М., 1990. -

С. 52-57.

10. Исследование обратной проблемы цунами методами оптимального управления. Отчет о НИР / О.В.Васильев, В.А.Терлецкий, А.В.Аргучинцев и др. -№ГР 029I000357I. - Иркутск, 1990. - 34 с.

11. УазШеу O.V., Terlcbaky V.A. . Arguchintaev A.V. Iterative ргосеззеа in optimization of aemilinear hyperbolic syatems // 11-th IPAC World Congreoa, Vol.6. - Tallinn, 1990. - P. 216-220.

ßßfn

Подписано в печать 6.03.9Г. Заказ 2. Тираж 100 экз. Формат бумаги 60x90 1/16

Подраэдаланда оперативной полиграфии Иркутского государственного университета 664003, Иркутск, б.Гагарина,36.