Оптимальное управление начально-краевыми условиями полулинейных гиперболических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Гиперболические системы с управляемыми начально-краевыми условиями, заданными в виде дифференциальных связей.

1.1. Постановка задачи и формула приращения функционала.

1.2. Принцип максимума и схема численного метода

1.3. Поиск оптимальных граничных управлений для линейных систем с линейным функционалом.

1.4. Поиск оптимальных граничных управлений для линейных систем с квадратичным функционалом

Глава 2. Гиперболические системы с управляемыми начально-краевыми условиями, заданными в виде конечномерных связей.

2.1. Постановка задачи и формула приращения.

2.2. Оценка приращения состояния.

2.3. Нестандартная вариация,- сохраняющая гладкость управления.

2.4. Интегральные ограничения на управляющие воздействия.

2.5. Схемы численных методов.

Глава 3. Численный эксперимент в задаче восстановления профиля гравитационной волны.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Разностные схемы.

3.3. Анализ результатов эксперимента.

Развитие теории оптимального управления системами дифференциальных уравнений с частными производными настоятельно диктуется потребностями науки и практики. Общепризнано, что проблема получения необходимых условий оптимальности и построения эффективных методов поиска оптимальных управлений в системах с распределенными параметрами является значительно более сложной по сравнению с аналогичной проблемой в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Причины этого заключаются, в частности, в разнообразии классов уравнений с частными производными, типов начально-краевых условий и в необходимости перехода к обобщенным решениям уравнений и систем в условиях разрывности управляющих воздействий. В силу этого большое число исследований направлено на изучение задач оптимального управления в конкретных классах задач и, вместе с тем, на поиск общих приемов и методов анализа таких задач (см. монографии и обзоры А.Г.Бутковского, Ф.П.Васильева, А.И.Егорова, Ж.-Л.Лионса, К.А.Лурье, Д.А.Овсянникова, Т.К.Сиразетдинова, А.В.Фурсикова, X.Li, S.Tzafestas, J.Yong и др. [11, 12, 18, 19, 20, 25, 26, 37, 44, 45, 46, 47, 55, 56, 66, 81, 90, 94]).

Отметим три наиболее характерные особенности исследований в области оптимального управления системами дифференциальных уравнений с частными производными.

Во-первых, теория оптимального управления в системах с распределенными параметрами развивалась как обобщение теории оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Отсюда, в частности, возникает традиционное распределенное управление, входящее в правые части систем; отсюда же вытекают и попытки прямого распространения на задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами традиционных методов исследования. Не отрицая практическую важность и значимость анализа подобных задач, отметим вместе с тем техническую сложность реализации распределенных управлений (в каждой точке пространства и в каждый момент времени) и актуальность исследования другого типа задач - при сосредоточенном управлении, входящем в начально-краевые условия дифференциальных уравнений. Меньшее число независимых переменных у управляющих функций по сравнению с функциями состояния технически упрощает реализацию управлений, но, с другой стороны, часто требует применения новых подходов, отличных от обобщений результатов, получаемых в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. В обыкновенных дифференциальных уравнениях отсутствует аналог отмеченного выше уменьшения числа независимых переменных у функций управления, так как уменьшение размерности в обыкновенных дифференциальных уравнениях сводит проблему к задаче математического программирования.

Второй характерной особенностью исследований в области задач оптимального управления системами дифференциальных уравнений с частными производными является большое число работ, посвященных конкретным достаточно узким классам проблем. Это связано с громадным разнообразием типов дифференциальных уравнений, начально-краевых условий, понятий обобщенных решений и т.п. Рост количества конкретных результатов привел к стремлению выделить наиболее широкие классы систем, для которых возможно получение условий оптимальности в общей форме. Общность результатов достигается либо путем операторного описания управляемых систем в функциональных пространствах, либо с помощью погружения задач оптимального управления в более общий класс экстремальных задач [16, 60, 75, 81, 82, 83, 96]. Отметим, что в системах обыкновенных дифференциальных уравнений для учета поточечных (амплитудных) ограничений на управления совершенно естественно расширять класс допустимых управляющих функций до измеримых и ограниченных. Действительно, кусочно-непрерывные управления как функции одной переменной, технически реализуются также легко, как и непрерывные функции. Кроме того, существуют хорошо известные обобщения классических теорем существования и единственности решения задач Коши на класс измеримых правых частей систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В уравнениях с частными производными такое расширение класса допустимых управлений вызывает дополнительные трудности, связанные с технической сложностью реализации измеримых управляющих функций многих переменных и необходимостью перехода к обобщенным решениям дифференциальных уравнений. К тому же, во многих случаях управления по смыслу являются функциями той или иной степени гладкости.

В частности, одним из достаточно распространенных приемов решения обратных задач математической физики является сведение этих задач к задачам оптимального управления. Управляющими воздействиями можно считать определяемые коэффициенты, элементы правых частей или начально-краевых условий уравнений с частными производными. Однако в ряде реальных проблем неизвестные параметры являются гладкими функциями. Это требование вытекает из физической сути исследуемых задач. Вместе с тем, достаточно мощные методы оптимального управления, основанные на использовании принципа максимума Л.С.Понтрягина, его следствий и модификаций, ориентированы на классы разрывных управлений.

Другим интересным типом задач, для которого характерно требование гладкости управлений, являются обратные задачи оптимального управления. В настоящее время наряду с обратными задачами восстановления допустимого управления по известной (полученной в результате наблюдений) траектории [57], активно исследуются проблемы восстановления параметров управляемых систем, для которых заранее заданный процесс является оптимальным [14, 84, 95]. При этом в целом ряде случаев определяемые параметры (элементы матриц коэффициентов, правых частей и т.п.) являются гладкими функциями.

Таким образом, актуальной является проблема разработки методов решения задач оптимального управления в классе гладких управляющих воздействий, с учетом таких ограничений на управления, которые характерны для обратных задач математической физики.

Наконец, в качестве третьей характерной особенности отметим чисто теоретическую направленность многих работ в области оптимального управления дифференциальными уравнениями с частными производными. Многие авторы ограничиваются получением условий оптимальности того или иного вида и, в лучшем случае, теоретическими схемами методов.

В качестве объекта исследования в диссертационной работе выбраны задачи оптимального управления системами полулинейных гиперболических уравнений первого порядка. Данный выбор вызван, с одной стороны, многочисленными приложениями подобных задач, а с другой стороны, наличием удобного математического аппарата (характеристики, интегральные представления решений и т.п.) для этого класса уравнений. К рассматриваемым системам сводятся классическое гиперболическое уравнение второго порядка, а также системы

Гурса-Дарбу и канонические системы первого порядка с двумя ортогональными семействами характеристик [15, 42]. В рамках данных систем описываются явления возбуждения и распространения волн, кристаллооптика и электромагнитные колебания [22, 42, 65, 79], динамика популяций [86, 87, 88, 91, 92], ряд химико-технологических процессов [58, 59].

Довольно большим числом авторов исследовались задачи в указанном классе систем для случая распределенных управлений, входящих в правые части систем.

По-видимому, впервые задачи оптимального управления для полулинейных и квазилинейных одномерных гиперболических систем, а также для многомерных линейных систем и одного многомерного квазилинейного уравнения были подробно исследованы в монографии [66]. Необходимое условие оптимальности типа принципа максимума получено в этой работе при условии существования и единственности непрерывного решения систем для любого допустимого управляющего воздействия. Однако для этого даже в одномерном линейном случае приходится предполагать, что управление не терпит разрывов вдоль характеристик системы. Достаточно жестким, на наш взгляд, является также предположение о существовании почти всюду классических производных вектора состояния по независимым аргументам в условиях разрывности управлений.

В [15, 16, 78] получены необходимые условия оптимальности первого порядка типа поточечного принципа максимума Л.С.Понтрягина для распределенных управлений, построен метод поиска управлений, удовлетворяющих необходимому условию оптимальности. Срочко В.А. [15, 68, 72, 73] получено неклассическое условие оптимальности для задач в специальных классах гиперболических уравнений (каноническая система первого порядка и система Гурса-Дарбу) с двумя семействами ортогональных характеристик и распределенными управлениями. На основе вариаций управления, отличных от нуля в окрестностях характеристик системы, в данных работах было доказано, что оптимальное для исходной задачи распределенное.управление доставляет максимум функционалам в двух обыкновенных задачах управления, определенных на характеристиках того или иного семейства. Полученное необходимое условие оптимальности оказалось более сильным, чем классический принцип максимума. Заметим, что по-видимому, впервые для той же задачи, что и в [72], аналогичный результат был сформулирован в [58]. Однако авторы этой работы не придали полученному условию оптимальности самостоятельного значения, а использовали его как вспомогательное на пути к доказательству классического принципа максимума. Отметим также, что на зависимость необходимых условий оптимальности в гиперболических системах от вида вариации управления указывается в [47]. В [15] доказан вариационный принцип максимума в полулинейных гиперболических системах с распределенными управлениями. В [76] этот же результат получен с помощью более общей техники, применимой и для многомерных гиперболических систем. Авторы [9, 10, 80] на основе модификации метода [24] установили справедливость вариационного принципа максимума для задач управления гиперболическими системами с дополнительными функциональными ограничениями, а также нефиксированной границей рассматриваемой области.

Не очень большое число исследователей занимались проблемами граничных управлений в рассматриваемых системах. Прежде всего, отметим, что для задач с управляемыми начально-краевыми условиями, заданными в виде конечномерных связей, несправедлив аналог классического принципа максимума Л.С.Понтрягина [97]. В [85, 89] установлена справедливость дифференциального линеаризованного принципа максимума как необходимого условия оптимальности граничных управлений в гиперболических системах первого порядка. В [2] для данного класса задач доказан вариационный принцип максимума. Оптимальное граничное управление почти в каждой точке границы доставляет максимум в задаче управления начальными условиями специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, построенной на характеристиках исходной гиперболической системы. В этой же работе показано, что полученное условие оптимальности является более сильным -по сравнению с дифференциальным принципом максимума. Ряд работ посвящен исследованию задач управления граничными условиями в классических гиперболических уравнениях второго порядка, описывающих колебательные процессы. В [29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 63, 64] получены аналитические представления для граничных управлений, обеспечивающих перевод системы, описываемой простейшим волновым уравнением, в заданное состояние. В статьях [21, 61] предложен метод решения задач управляемости для гиперболических уравнений второго порядка с управляемыми краевыми условиями первого, второго и третьего рода.

Целью диссертационной работы является получение неклассических условий оптимальности граничных и стартовых управлений в системах полулинейных гиперболических уравнений первого порядка, построение новых итерационных методов улучшения допустимых управлений, оценка эффективности методов путем проведения численных экспериментов.

Методы исследования основаны на использовании неклассических точных формул приращения целевых функционалов; нестандартных вариаций, обеспечивающих гладкость допустимых управлений.

Оценку научной новизны целесообразно провести по главам работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Исследована задача оптимального управления линейной гиперболической системой с линейным критерием качества, в которой краевые условия определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных по состоянию, с матрицей коэффициентов, зависящей от управления. Предложены неклассические точные формулы приращения целевого функционала, которые позволили свести данную задачу к задаче оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведено обобщение полученного результата на случай квадратичного целевого функционала. Установлены нестандартные точные варианты формул приращения второго порядка, которые служат основой для разработки итерационных методов улучшения допустимых управлений. Построенные процедуры улучшения имеют нелокальный характер.

2. Исследована задача оптимального управления системой одномерных гиперболических уравнений с гладкими допустимыми управлениями, входящими в начально-краевые условия, которые заданы в виде конечномерных связей общего вида. Проанализированы случаи поточечных и интегральных ограничений на управление. Получены необходимые условия оптимальности на основе неклассической вариации, обеспечивающей гладкость управляющих воздействий. На базе доказанных необходимых условий оптимальности предложены конструктивные варианты методов улучшения допустимых управлений, обоснованы утверждения о сходимости.

3. Осуществлена численная реализация методов, предложенных для задачи оптимального управления системой одномерных гиперболических уравнений с гладкими граничными управлениями, стесненными поточечными или интегральными ограничениями. В качестве иллюстративного примера выбрана обратная задача восстановления начального профиля гравитационной волны по известным данным наблюдений в конечный момент времени. Для данной задачи, рассматриваемой в качестве задачи оптимального управления, проведена серия численных экспериментов при различных входных данных, начальных приближениях и видах ограничений. Результаты расчетов показывают эффективность разработанных в диссертационной работе методов.

Автор выражает глубокую благодарность А.В.Аргучинцеву, под руководством которого была выполнена данная работа.

1. Аргучинцев А.В. К поиску оптимальных граничных управлений в двумерных полулинейных гиперболических уравнениях // Модели и методы исследования операций.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.- С.50-58.

2. Аргучинцев А.В. Неклассическое условие оптимальности в задаче управления граничными условиями полулинейной гиперболической системы // Изв. высших учебных заведений. Математика.-1994.- № 1 С. 3-11.

3. Аргучинцев А.В., Васильев О.В. Итерационные процессы принципа максимума и их модификации в системах с распределенными параметрами j j Дифференц. уравнения 1996-Т.32, №6.- С.797-803.

4. Аргучинцев А.В., Крутикова О.А. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями // Изв. высших учебных заведений. Математика. 2001. - №2. - С. 3-12.

5. Аргучинцев А.В., Крутикова О.А. Решение задач оптимального управления в классе гладких управлений для систем гиперболических уравнений первого порядка //Тез. докл. Межд. конф. по проблемам управления. Москва, 1999. - С. 106-108.

6. Аргучинцев А.В., Терлецкий В.А. К решению обратной проблемы цунами в рамках двумерной модели методами оптимального управления // Исследования цунами, № 4- М 1990.- С.52-57.

7. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные мет,оды оптимального управления, основанные- на принципе расширения. Новосибирск: Наука, 1997. - 175 с.

8. Бокмельдер Е.П., Дыхта В.А. К теории принципа максимума для управляемых систем гиперболического типа // Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. Новосибирск, 1985. - С.41-58.

9. Бокмельдер Е.П., Дыхта В.А. Принцип максимума для полулинейных гиперболических систем при функциональных ограничениях // Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск, 1986. - С.200-207.

10. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 568 с.

11. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. - 474 с.

12. Васильев О.В. Об одном алгоритме оптимизации в системах Гурса-Дарбу, основанном на принципе максимума // Проблемы оптимального управления. Минск, 1981. - С.264-277.

13. Васильев О.В., Надежкина Н.В. Об одном классе обратных задач оптимального управления // Изв. высших учебных заведений. Математика. 1996. - №3. - С.14-20.

14. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. 4.2. Оптимальное управление.- Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ие, 1990.- 151 с.

15. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1981. - Т.21, №6.- С.1376-1384.

16. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002. -824 с.

17. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1988. 552 с.

18. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1989. - 142 с.

19. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебания струны (j Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл.математика и кибернетика. 1993. - №3. - С.8-15.

20. Вольцингер Н.Е. Длинные волны на мелкой воде. JL: Гидроме-теоиздат, 1985. - 160 с.

21. Голубь Н.Н. Необходимые условия оптимальности для многомерных распределенных систем, содержащих звенья с распределенными параметрами //Дифференц. уравнения.- 1980.- Т.16, №10.-С.1878-1881.

22. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журн. вычислит, математики и мат. физики.- 1965. Т.5, №3. - С.395-453:

23. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. - 464 с.

24. Егоров А.И., Рафатов P.P. Математические методы оптимизации процессов теплопроводности и диффузииФрунзе: Изд-во Илим, 1990,- 377 с.

25. Забелло Л.Е. Необходимое условие оптимальности типа равенства для систем с запаздыванием и интегральными ограничениями на управление // Дифференц. уравнения. 1999. - Т.35, №10.- С.1429.

26. Забелло JI.E. Об условиях оптимальности в нелинейных инерционных управляемых системах с запаздыванием // Дифференц. уравнения 1990,- Т.26, № 8,- С.1309-1315.

27. Ильин В .А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференц. уравнения. 1999. - Т.35, №12. - С.1640-1659.

28. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах // Докл. РАН. 1999. - 369, №5. - С.592-596.

29. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифференц. уравнения. 1999. - Т.35, №11. - С.1517-1534.

30. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии // Докл. РАН. -2001. 376, №3. - С.295-299.

31. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на одном ее конце при закрепленном втором конце при условии существования конечной энергии // Докл. РАН. 2001. - 378, №6. - С.743-747.

32. Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара // Труды Матем. ин-та РАН. -2001. 232, С.144-155.

33. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса //Дифференц. уравнения. 1999.- Т.35, №5. - С.692-704.

34. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. JL: Изд-во Ленинград, ун-та. -1975.

35. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир, 1975. - 157 с.

36. Крутикова О.А. Оптимальное управление граничными условиями гиперболических систем в классе гладких управлений // Труды 12-й Байкальской межд. конф. "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 2001. - Т.2. - С.115-119.

37. Крутикова О.А. Решение обратной задачи восстановления профиля гравитационной волны методами оптимального управления / / Труды межд. конф. "Математика в восточных регионах Сибири". Улан-Удэ, 2000. - С. 92-93.

38. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1972. - Т.11, №1. - С.14-34.

39. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления / Журн. вычислит, математики и мат.- физики. 1962. - Т.2, №6. - С. 11321139.

40. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.- 830 с.

41. Летников А.В. Курсъ вар1ащоннаго исчислетя. М.: Императорское Московское техническое училище, 1891. - 152 с.

42. Лионе Ж.-Л. Некоторые вопросы оптимального управления распределенными системами // Успехи матем. наук. 1985.- Т.40, №4. - С.55-68.

43. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. -414 с.

44. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. - 368 с.

45. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. - 480 с.

46. Любушин А.А. Модификации и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1979. -Т.19, №6. - С.1414-1421.

47. Любушин А.А. О применении модификации метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1982. - Т.22, №1. - С.30-35.

48. Любушин А.А., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - №2. - С.147-159.

49. Методы решения задач математического программ,ирования и оптимального управления / Ащепков Л.Т., Белов Б.И., Булатов В.П. и др. Новосибирск: Наука. - 1984.

50. Морозов С.Ф., Сумин В.И. О задачах быстродействия в теории оптимального управления процессами переноса // Дифферент, уравнения. 1975. - Т.11, №4. - С.726-740.

51. Морозов С.Ф., Сумин В.И. Об одной задаче оптимального управления нестационарными процессами переноса // Дифференц. уравнения. 1972. - Т.8, №12. - С.2235-2243.

52. Новоженов М.М., Сумин М.И. Об одном подходе к численному решению задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Исследования по теории функций. Горький, 1987.- С.76-93. Деп. 18.11.87, №8122 - В 87.

53. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками.- Л.: Изд- во Ленинград, ун-та, 1980.- 228 с.

54. Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1990. - 310 с.

55. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. - 237 с.

56. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации химических реакторов. М.: Химия, 1967. - 248 с.

57. Островский Г.М., Волин Ю.М. Моделирование сложных химико-технологических систем. М.: Химия, 1975. - 311 с.

58. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве // Сиб. мат. журн. 1981. - Т.22, №6. - С. 142- 161.

59. Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для гиперболического уравнения с краевыми условиями второго и третьего рода j j Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. математика и кибернетика. 1996. - №2. - С.35-41.

60. Потапов М.М. Обобщенное решение смешанной задачи для полулинейной гипреболической системы первого порядка // Дифферент уравнения. 1983.- Т.19 - № 10.- С.1826-1828.

61. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения. 2000. - Т.36, №6. - С.806-815, 863.

62. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Граничное управление процессом колебаний на левом конце при свободном правом конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Докл. РАН. 2001. - 379, №4. - С.459-462.

63. Рождественский Б.JI., Яненко Н'.Н. Системы квазилинейных урав•ч*.нений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука - 1978.

64. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами М.: Наука, 1977. - 479 с.

65. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука.-1988. -336 с.

66. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1989. - 160 с.

67. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.:Физматлит, 2000. - 160 с.

68. Срочко В.А. Квадратично-игольчатая аппроксимация и методы улучшения в задачах оптимального управления. Иркутский университет. Серия: Оптимизация и управление. Вып.З.- Иркутск. -2001. 28 с.

69. Срочко В.А. Методы линейно-квадратичных аппроксимаций для решения задач оптимального управления // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск: ИрВЦ СО РАН, 1995. - №1. - С.110-135.

70. Срочко В.А. Принцип максимума для одного класса систем с распределенными параметрами // Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем. Иркутск, 1983. - С. 170-182.

71. Срочко В.А. Условия оптимальности типа принципа максимума в системах Гурса-Дарбу j j Сиб. мат. журн. 1984. - Т.25, №1. -С.126-133.

72. Срочко В.А., Антоник В.Г. К решению задач оптимального управления на основе методов линеаризации // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1992. - Т.32, №7. - С.979-991.

73. Сумин В.И. Функционально-операторные волътерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // Докл. АН СССР. 1989. - Т.305, №5. - С.1056-1059.

74. Терлецкий В.А. Вариационный принцип максимума в управляемых системах одномерных гиперболических уравнений // Изв. высших учебных заведений. Математика. 1999. - №12. - С.82-90.

75. Терлецкий В.А. К обоснованию сходимости одной модификации метода последовательных приближений, основанного на принципе максимума // Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1983. - С.58-69.

76. Терлецкий В.А. К оптимизации полулинейных гиперболических систем первого порядка с начальным условием Коши // Управляемые системы. Новосибирск, 1982. - №22. - С.70-79.

77. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

78. Условия экстремума и конструктивные методы решения в задачах оптимизации гиперболических систем / Бокмельдер Е.П., Дыхта В.А., Москаленко А.И., Овсянникова Н.А. Новосибирск: ВО "Наука", 1993.- 197 с.

79. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения Новосибирск: Научная книга, 1999.— 352 с.

80. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления.1.// Сиб. мат. журн.— 1977. Т.18, №3. - С.685-707.

81. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления.1. // Сиб. мат. журн,- 1978. Т.19, №2. - С.436-480.

82. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.Y. Inverse optimal control problems in ordinary and hyperbolic differential equations j/ Межд. конф. ио проблемам управления. Том 1. М.: Институт проблем управления, 1999. - С.104-105.

83. Brokate М. Necessary optimahty conditions for the control of semilmear hyperbolic boundary value problems // SIAM J. Control and Optim. 1987.-V.25.- № 5.- P.1353-1369.

84. Brokate M. Pontryagin's principle for control problems in age-dependent population dynamics // Journ. Math. Biol. 1985. - V.23.- P.75- 101.

85. Chan W.L., Guo B.Z. Optimal birth control of population dynamics // Journ. Math. Anal, and Appl. 1989. - Vol. 144, №2. - P.532-552.

86. Chan W.L., Guo B.Z. Overtaking optimal control problem of age-dependent populations with infinite horizon I j Journ. Math. Anal, and Appl. 1990. - Vol. 150, №1. - P.41-53.

87. Choo K.G., Teo K.L., Wu Z.S. On an optimal control problem involving first order hyperbolic systems with boundary controls // Numer. Funct. Anal, and Optim. 1981-1982. - Vol.4, №2. - P.171-190.

88. Li X., Yong J. Optimal control theory for infinite dimensional systems.- Boston: Birkhauser, 1995. 352 p.

89. Markus M. Semilinear hereditary hyperbolic systems with nonlocal boundary conditions, A // Journ. Math. Anal, and Appl. 1980-V.76-P.440-475.

90. Markus M. Semilinear hereditary hyperbolic systems with nonlocal boundary conditions, В // Journ. Math. Anal, and Appl. 1980-V.77 - P.l-19.

91. Mayne D.Q., Polak E. First order strong variation algorithms for optimal control // Journ. Optim. Theory and Appl. -1975. Vol.16, №3- 4. - P.277-301.

92. Tzafestas S.G. Distributed-parameter and large-scale systems: a literature overview // 11-th IMACS World Congress Sci. Comput., Vol.4. Amsterdam, 1986. - P. 195-215.

93. Vasiliev O.V. On a method of inverse optimal control problems solving // Proceedings of the 2nd Asian Control Conference, July 22-25, 1997, Seoul. V.l. - P.465-467.

94. Vasiliev O.V. Optimization methods. Atlanta: World Federation Publishers Company INC, 1996. - 276 p.

95. Wolfersdorf L. A counterexample to the maximum principle of Pontryagin for a class of distributed parameter systems // Z. Angew. Math, and mech. 1980. - Bd.6. - № 4.- S.204.