Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

□□3462558

Жукова Ольга Геннадьевна

ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2009

003462558

Работа выполнена на кафедре основ теории механики и автоматического управления ГОУ ВПО «Омский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Романовский Рэм Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Блохин Александр Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Чугунов Владимир Аркадьевич

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 26 марта 2009 года в 16 00 часов на заседании диссерта ционного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университет им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина.

Автореферат разослан « » февраля 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Одна из задач, возникающих в теории колебаний, теории автоматического управления, - разработка методов граничного управления процессами в сплошных средах, описываемыми краевыми задачами для уравнений с частными производными гиперболического типа. Первые результаты в этом круге проблем были получены в 60-е, 70-е годы минувшего столетия. Серьезное продвижение в связи с потребностями практики произошло в 80-е и 90-е годы в работах А.Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса, О.Ю. Эмануилова, В. Коморника, Ф.П. Васильева, М.М. Потапова и других авторов. В последнее десятилетие вышел большой цикл работ В.А. Ильина и Е.И. Моисеева, посвященный проблеме граничного управления волновыми процессами.

Наряду с работами по этой проблематике большое число исследований посвящено проблеме управления процессами теплопереноса и диффузии, моделируемыми краевыми задачами для уравнений параболического типа: работы А.Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса, А.И. Егорова, Ф.П. Васильева и других авторов. В последние десятилетия интенсивно развивается гиперболическая теория теплопроводности, устраняющая имеющий место в параболической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла. Представляет теоретический и практический интерес разработка подходов к решению задач управления процессом теплопереноса в рамках гиперболической модели с использованием методов теории гиперболических уравнений.

В цикле работ Р.К. Романовского, Е.В. Воробьевой, E.H. Стратилатовой построен математический аппарат, позволяющий с единой точки зрения исследовать краевые задачи для некоторых классов гиперболических систем.

Цель работы - разработка на основе указанного математического аппарата подхода к решению задачи граничного управления процессом теплопереноса в однородном материале в рамках гиперболической модели теплопроводности и построение классов решений этой задачи в случаях одномерных, двумерных и трехмерных сред.

В работе используется аппарат функционального анализа, теории гиперболических уравнений, гиперболической теории теплопроводности. Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты.

1. Вычислены матрицы Римана первого и второго рода гиперболической системы уравнений теплопроводности.

2. Построено явное представление решений задачи Коши для двумерной и трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности в виде суперпозиции плоских волн.

3. Разработан подход к решению задачи граничного управления процессом теплопереноса в однородном теле, состоящий в сведении к задаче начального управления процессом теплопереноса в фиктивном теле, содержащем данное, и последующем использовании развитого в пунктах 1, 2 аппарата.

4. Построены классы решений, зависящие от функциональных параметров, задачи граничного управления процессом теплопереноса:

— в полубесконечном стержне;

— в стержне конечной длины (одностороннее и двустороннее управление);

— в пластинке звездной формы;

— в пространственном теле звездной формы.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы вносят существенный вклад в теорию граничног управления процессами в сплошных средах. Они могут быть использованы специалистами по теплофизике и теплоэнергетике при решении конкретных задач управления процессом теплопереноса, а также при подготовке студентов вузов по указанным специальностям.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006, 2008), на IV Всероссийской научной конференции «Математи ческие модели и краевые задачи» (Самара, 2007), на IX Международно" Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управле ние движением» (Иркутск, 2007), на Международной конференции «Диффе

ренциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007), на VI Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2007), на Российской конференции «Математика в современном мире» (Новосибирск, 2007), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва, 2008).

Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах, список основных работ приведен в конце автореферата. Из совместных работ [1, 2, 4, 5, 11] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 80 наименований, включая работы автора. В каждой главе и во введении использована своя нумерация параграфов, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации составляет 100 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы и краткая аннотация результатов работы.

1. Глава 1 носит подготовительный характер. В §1.1 кратко излагаются используемые в работе сведения по теории гиперболических уравнений. В §1.2 сформулирована гиперболическая модель теплопроводности. В рамках этой модели процесс распространения тепла в однородном материале описывается системой уравнений

+ ^9 = 0, £■ — + к%тайТ + д =0. (1)

д ? б/

Здесь первое уравнение - закон сохранения энергии, второе - обобщенный закон Фурье, Т, д- температура и вектор теплового потока, постоянные р, с, к - плотность, удельные теплоемкость и теплопроводность, е - малый положительный параметр, имеющий смысл периода релаксации.

В рамках модели тепловой импульс распространяется со скоросты а = д/к/(еср). В §1.3 вычислены матрицы Римана одномерной гиперболическо" системы уравнений теплопроводности и матрицы Римана вспомогательны одномерных гиперболических систем, возникающих при построении решени' задачи Коши для двумерной и трехмерной гиперболической системь уравнений теплопроводности.

2. В главах 2,3 - основных - рассматривается задача граничного управлени процессом распространения тепла в однородном материале в рамках модел! (1). При произвольно фиксированных начальных значениях температурь Г0(д:) и потока д0(х) из некоторого класса ищется температурный режи на границе Г тела, обеспечивающий в заданный момент времен! /„ >0 заданную температуру 7"Дх) тела. К выбору момента Г, предъявляете требование: за это время выходящий из каждой точки хе Г тепловой импуль должен успеть достигнуть любой точки тела. В каждом рассматриваемо случае (стержень, пластинка звездной формы, пространственное тело звездно! формы) строится класс решений задачи управления, зависящий о

функционального параметра.

Подход к решению этой задачи во всех случаях состоит в приведении задач! граничного управления к вспомогательной задаче начального управления использованием результатов главы 1.

2.1. Поясним подход к решению задачи граничного управления

(Т0,д0)-±->Т, (2

для модельного случая, когда тело - круглая пластинка.

1°. Начальная вектор-функция Ь = (Т0,с/а) продолжается с большой степень произвола из круга Э, занимаемого пластинкой, в круг 2>' э 5>, выбранны так, что боковая поверхность усеченного конуса У в (х,^-пространстве с ниж ним основанием 5У в плоскости ( = 0 и верхним основанием в плоскости 1 = 1, является характеристической поверхностью для системы (1) при п = 2 (рис. 1).

2°. В усеченном конусе К рассматривается задача Коши для системы (1) с продолженной начальной вектор-функцией Ъ на нижнем основании 5)'. Развитые в главе 1 приемы позволяют вычислить решение (Т,д) этой задачи.

а х1

3°. Пусть И - ограничение на кольцо

Рис. 1

2)'\2) продолженной вектор-функции И, - компонента Т решения (Т,д) задачи Коши, указанной в пункте

2°. Ставится задача начального управления: подбора !г так, чтобы выполнялось равенство

На практике вычисление И приводится в ряде случаев к решению уравнения Вольтерра второго рода с хорошим ядром.

4°. Решению /¿д задачи начального управления (3) отвечает решение задачи граничного управления (2), вычисляемое по формуле

Аналогичная схема (в усложненном варианте) применяется в случае пластинки звездной формы, а также в одномерном и трехмерном случаях.

2.2. Изложенная в пункте 2.1 процедура решения задачи граничного управления (2) дает подход к описанию класса «допустимых» пар (Г»,<?,), при

которых разрешима задача управления (Т0, дд)——, ) с полным фазовым вектором на выходе: при заданной Т+ соответствующий вектор д, вычисляется по формуле •

(3)

(4)

о

В диссертации рассматривается задача управления (2). В пунктах 3-5 приводится краткая аннотация результатов глав 2, 3; для упрощения записей начальные данные (Г0, д0) приняты нулевыми.

3. В случае одномерного материала система (1) принимает вид

(5)

и{х,{) =

Л =

ке

О (ср) 1 О

В = £-

0 о - Ю. 1

Нетрудно получить

А = 2&а%(а,-а)2~\ г--

{Р Р 1 -1

к

ЕСр

КСр

Лемма 1.1. Матрицы Римана первого и второго рода гиперболического оператора (5) даются формулами

ик(0 = е'"(2е)гркг'\ к = 1,2,

н*М*иУ-

-1/(2*) 4 ае

1п \2£

2е

2е

Г2 ''Ьг

7-1

(6).

где г12 =1 + х1а, г = л/т1Г^е1\, /Дх) - функции Бесселя мнимого аргумента, /¡г, = й[щ(51к,д2к), - символ Кронекера.

3.1. Представим оператор I в виде

Ь = 2Э2'Х+В, £> = £)^(£,,1)2), (5')

где Ок - оператор дифференцирования по ? вдоль характеристики с номером к. Будем говорить, что функция и{х,1) со значениями в К2 принадлежит классу , если: 1) ие С (Я2); 2) для каждой компоненты г>к вектора существует производная ОкУк е С(112).

Далее в пунктах 3.2, 3.3 под решением (обобщенным) системы (5) понимается функция u(x,t) класса SL , удовлетворяющая равенству L(u) = О, где оператор L понимается в смысле (5').

3.2. Полубесконечнын стержень. Процесс распространения тепла моделируется краевой задачей в четвертьплоскости (0,оо)х (0,со):

L(u) = 0, и{х, 0) = (0,0)т, 7(0,/) = /;(/). (7)

Здесь // е С [0,ю), выполняется условие согласования нулевого порядка ju(0)= 0. Задача (7) однозначно разрешима в классе Sf .

Тепловая волна распространяется со скоростью а, поэтому влияние управления //((") за время t, сказывается на участке [0,at,) стержня. Зафиксируем

функцию Г,(х)бС[0,а(,], Т, (at,) = 0. Поставим задачу отыскания управления /i(t), обеспечивающего выполнение равенства

Г(х,0 = Г.(4 хфди]. (8)

Построим на отрезке [-о?,,0] непрерывную вектор-функцию

Цх)={я, д)т, а(о)=(о,о)т.

Рассмотрим в «усеченном конусе» У (рис. 2) задачу Коши для оператора (5)

h(x), хб[-а/„0), ^ г 1

Рис.2

¿{м)= О,

Ч=о =

о '

Решение (т,д) этой задачи вычисляется по формуле из §1.1 с учетом формул (6) для матриц Римана оператора (5). Последующее применение процедуры, указанной в пункте 2.1, дает следующий результат.

Теорема 2.1. Каждой функции деС[-а?„0], д(0) = 0 отвечает решение //(/) задачи управления (7), (8), вычисляемое по формуле

-Ч(ге)

Ж') = ^—r—W- ai)+р g (- ai)) + J(v 11(- а, t)A(a )+vl2{-a,t)g{a))da,

-at

где Л(х) — решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода -i.fee) О

-Я(х)+ Jvn(x-cj+att,t,)A,(a)d<j - f(x), хе [- at, ,0],

f{x)=T,{x+at,)~

-t.fae)

е Р

g(x)~ jv,2(x~a+att,t,) g(<r) Лх,

vy - элементы матрицы (6).

3.3. Стержень конечной длины. В этом случае процесс теплопереноса описывается краевой задачей в полуполосе (-/,/)х (о,да):

¿(м)= 0, и(х,0) = (0,0)т, Г(~/,/) = /;-(;), T(l,t) = ft+(t). (9)

Здесь //", /¿+е с[0,°о), выполняются условия согласования нулевого порядка //~(o) = /¿+(o)= 0. Задача (9) однозначно разрешима в классе SL.

Задача управления состоит в вычислении пары (двустороннее

управление) либо одной из функций /и~, ц+ при фиксированной второй (одностороннее управление), обеспечивающих во всех точках стержня выполнение равенства (8) при заданных 4 , Т, (х)е С[- /,/]. Предполагается Í* > 21/а,

в этом случае идущие от концов стержня управляющие тепловые импульсы

успевают пройти стержень хотя бы один раз. Ниже приводится результат для случая когда управление двустороннее и t, =21/а. В этой ситуации усеченный конус Y рис. з имеет вид, указанный на рис. 3.

— l — at.

Представим функцию Т» в виде

Т,=Т:+Т;, Т:,Т,+еС, 7Г(/)=7;+(-/)=0. 10

Зададимся функциями д~е С[-/-я4,-/], д+е С['/М]> 9~(-0=9+(0=о-

Поставим в соответствие паре (7Г,д~) функцию Л~(х) на отрезке [-/-а/,,-/] как решение интегрального уравнения Вольтерра

-А~(х) + \уи(х-а+а1,&)Г{сг)(1а = f (х), (11)

X

паре (гДд+) функцию Я+(.т) на отрезке [1,1+аи] как решение уравнения

-I,/(2Е) х

—--А+(х) + \чи(х-<1-аК,фЧа)с1а = /+{х\ (12)

2 I

где

е-и/{2 е)п -I

г{х)= т:(х+а^)--

х

-(./(1е)п

¡\х)=т:{х-аи) +-——--д+(*)- ^,2(х-<г-аГ. Л )д+{<т^а,

2 I

\,, - элементы матрицы (6).

Теорема 2.4. Каждому разбиению (10) функции Т, и каждой паре функций д", д+, указанных выше, отвечает решение (/1~,/и+) поставленной задачи управления, вычисляемое по формулам

= —г—И-1 - <") + ' - +

1 -1-ш

-1/{2е) , > 1+а1 ч

£-т--И' + аг)-/?д+(/ + <**))+ Ду„А+Н+

1 I

где Л~,Л+- решения интегральных уравнений (11), (12), viJ=v¡j{-l-aJ\

4. Процесс распространения тепла в пластинке моделируется краевой задачей в цилиндре Эх (0,со):

и

+ = иМ=(ОАО)Т, Т{хДхеГ=р{х,1). (13) к=1 0хк )

Здесь 5) - звездная относительно точки х = (0,0) ограниченная область вИ2с границей Г, = д =(дьд2У, х = (хих2),

\

КЕ

О

О Ы'1

1 п п

О 0 (ср)~ ООО

ке

-1

О О

\ '0 0 <Л

В=Е-Х 0 1 0

> 0 к

(14)

Предполагается Ге С", це Сю(Гх[0,со)) (символ С°° обозначает множество бесконечно гладких функций с носителем, отделенным от границы области). В этой ситуации выполняются условия согласования всех порядков, и задача (13) однозначно разрешима в классе Си.

Задача управления состоит в отыскании функции ,и(х,г), обеспечивающей

при заданных I,, 7\ (х)е Сда(5)) выполнение равенства

Г(х,4)=7,<,(Х), хбЭ. (15)

Предполагается I, >2г0/а, где г0 — радиус минимального круга с центром в точке (0,0), содержащем область 5) . За это время выходящий из каждой точки хе Г тепловой импульс успевает достигнуть любой точки пластинки. Ниже

приводится результат для случая („ = 21/а. В этой ситуации характеристический усеченный конус У в полупространстве К2х[о,сю) имеет своим верхним основанием круг !Къ = {х: \х\ < г0} в плоскости 1 = и нижним основанием - круг 31х ={х: [г| < г0 + а!,} в плоскости / = 0 (рис. 4). Требование Г, рис ^ Т, е Си принято для простоты изложения;

х2 / 5

1 -Л \

1 %) ) *

1

для того, чтобы выполняемые ниже построения были корректными, достаточно

Поставим в соответствие двумерному гиперболическому оператору (13) семейство одномерных гиперболических операторов

Матрицы Римана операторов Ьа будем называть матрицами Римана двумерной гиперболической системы (13).

Лемма 1.2. Матрицы Римана двумерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (13) даются формулами

(* = 1,з)1 и2й)(о = е-'игар2г-0)\ (17)

принять Ге С", Т» еЯ"(Э) при достаточно большом п. 4.1. Рассмотрим семейство ортов

¿а, = — + Л(й>)— + В, гуеГЗ,

д ? Зя

(16)

О р '

(18)

где + г = фуъе К, 4 = £^(<^,^,¿3*).

4.2. Рассмотрим в усеченном конусе У задачу Коши

где Ь - оператор (13). Задача (19) однозначно разрешима в классе С<ю(г).

Теорема 3.1. Пусть начальная функция представлена в виде суперпозиции плоских волн:

где со - х = о)ххх + со2х2 ■ Тогда решение задачи Коши (19) дается формулой

где - решение задачи Коши 1&(ми)= 0, мД=0 = КА5)'-

з

«®М = £ ^ ^ - «¿о + -

(а1,а2,а3) = (а,0,-а), - матрицы (17), (18).

4.3. Подход к решению задачи управления (15) состоит в построении функций таких, что решение задачи Коши (19) с начальной функцией (20) удовлетворяет требованию (15), и последующем применении формулы вида (4).

Представляя функцию Т,, продолженную нулем из 0 в К2, интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:

Аа)(я)е Сп(0.у,[-г„-Ш„гп+М,\), (20)

о

о

ж

т,(х)= х)с1<р, |х|

о

Т.а(5М^г УпТ.(га>) + еч"Т.(-га>))г&, зе[-П>Л], (21)

о

где Т. - преобразование Фурье функции Т„. Представим функцию Г.^Дз) в виде

в

соответственно г0, — г0. Зададим в кольце \ вектор-функцию

д(дг) = (д1,д2)те С°°, д = 0 при достаточно малом |*|-г0>0. (23)

Зафиксируем сое О.. Обозначим Яш,о1, - ограничения д(х) на интервалы соответственно

{х = зоз, -г0-а(, <я< -г0}, {х - бсо, г0 < < г0 + а/,}. (24)

Поставим в соответствие парам ), (/^,9®) функции Л~ (.?), ^(л') как

решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода

—2—2й(4+ ><<= /¡Г(4 -У е [-г0-оГ,,-г0],

' /<*) / (25) 2-Яа(4 + XIС^-о—О/,(ег)с/с»- = /ш (4> * е к.'го

Го

где

2 -Го

/« (4=(¿+аг,) - ^ |(/1й,), /+| (/, )д 7Ш (л) +

¡К)

7=1 л

/;(4 = С), ,+1(/.+ ), .+1 (,-а-л/.^»Лт],

га

(Уы),,»),у ~ элементы матриц (17), (18). Обозначим (^>92)Т. <5<-г0,

Лш(4 = -(0,0)т, -г0^г0, аеП. (26)

Теорема 3.3. Каждому разбиению (22) функции и каждой вектор-функции (23) отвечает решение /л{х,{) поставленной задачи управления, вычисляемое по формуле (4), где Т - первая компонента решения задачи Коши (19) с начальной функцией (20), (26).

Процедура вычисления Т описана в §3.2.

5. Процесс распространения тепла в пространственном теле описывается краевой задачей в цилиндре 3) х (0,со):

(в 3 8 }

+ В м = 0' и(*,0)=(0,0Д0)т, Т(хДхеГ*м{х,1). (27)

Vе" ¿=1 у

Здесь 5) - звездная относительно точки л: = (0,0,0) ограниченная область в И3

с границей Г, и(х,1)=(Т,д)т, ц = {ц\,цг,4ъ)Т, матрицы Ак, В строятся по

(р,с,к,е) аналогично (14). Предполагается ГеС°°, цеСт.

Задача управления состоит в отыскании функции обеспечивающей

выполнение равенства (15) при заданных , Т, (л)еСсс(э ). Предполагается

/„ > 2г0/а, г0 = тахЫ. Ниже приводится результат для случая /„ = 21 ¡а. г

5.1. Введем семейство ортов

□ = {ю = (соз<р вт^.вт^ 8т#,соз#)Т, (ре\0,л\ ^е[о,л-]}.

Поставим в соответствие оператору (27) семейство операторов (16), где

з

А(®) =]>>*4 0,0,-а)г-\

к=1

Матрица 2а вычисляется аналогично двумерному случаю.

Матрицы Римана операторов Ьс0 будем называть матрицами Римапа трехмерной гиперболической системы (27).

Лемма 1.3. Матрицы Римана трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (27) даются формулами

/, ч х \е-"^2(0Рк2:}, (к = 1,4),

-Ч(2е)

4 ае

где Рк = ,52к,5ък,5и).

(¿ = 2,3), г

(28)

Мй 0 0 V

1о

2е

0 0 0 0 0 0 0 0 Е/,

2е

Рассмотрим в усеченном конусе У задачу Коши (19), где I - оператор (27). Теорема 3.2. Пусть начальная функция представлена в виде суперпозиции

плоских волн:

а я

h(x)=\\ha(o}-x)smed(pde, K(s)e Cco(Qx[-/-0-a/,,r0+ai,]). (30)

оо

Тогда решение задачи Коши (19), (27) дается формулой

и(х,()= j ju^co ■ x,t)sin&d<pde, 00

где ua(s,t)-решение задачи Коши Lm(u(i)) = 0, =KisY

4 s-a4t

UCÜ (л t) = X Uka> (Oha, {S - akt) + \v6J (s - er, t)ha[a)da,

k-\

(аьа2,аг,аА) = {а,0,0-а), ика,1'а -матрицы (28), (29).

5.2. Решение задачи управления проводится по такой же схеме, как в пункте 4.3. Разложение функции Т, в суперпозицию плоских волн имеет вид

1С ж

Г,(х)= Цгтв>(а,-х)атвЫ^0, |д:|<г0, о о

где Г,дается формулой (21) с заменой гй?/* на г2иг и множителя (2л:)'2 на

(2тг)~3. Представим функцию ТЛ(0 в виде суммы (22). Зададим в сферическом кольце Э\ вектор-функцию

д(л')=(д1,д2,д3)те С", д = 0 при достаточно малом |х[-г0>0 (31)

и пусть д~, д* - ограничения д(х) на интервалы (24) при фиксированном со . Поставим в соответствие парам (^>9^). , д*) функции Я~ (5), как

решения интегральных уравнений (25), где

3 -П) ,

/т («. (*)+ { К ),у+| (я-^+аГ. л )д}й(о- >Лг],

7=1 .г

М Гц

(икЛ]'(Ко)у - элементы матриц (28), (29).

Теорема 3.5. Каждому разбиению (22) функции Т„а и каждой вектор-функции (31) отвечает решение поставленной задачи управления,

вычисляемое по формуле (4), где Т - первая компонента решения задачи Коши (19), (27) с начальной функцией (30), (26), где Л~, Л*-решения интегральных уравнений (25), (32).

В заключении автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Р.К. Романовскому за постановку задач, внимание, советы и замечания на протяжении всей работы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. - 2007 - Т. 43, № 5 - С. 650-654.

[2] Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Сиб. журн. индустр. математики- - 2007 - Т 10, № 4(32).-С. 32-40.

[3] Жукова, О.Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения - 2008 - Т. 44, № 1.-С. 82-88.

[4] Романовский, Р.К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / Р.К. Романовский, О.Г.

Жукова // Сиб. журн. индустр. математики - 2008 - Т 11, № 3(35).- С. 119125.

[5] Романовский, Р.К. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теплопереноса в одномерном твердом материале / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Доклады АН ВШ РФ,- 2006,- № 1 (6). - С. 69-77.

[6] Жукова, О.Г. Граничное управление трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности /О.Г. Жукова//Омский гос. техн. ун-т-Омск, 2007,-Юс.: ил.-1.-Деп. в ВИНИТИ 04.12.2007, № 1126-В2007.

[7] Жукова, О.Г. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теплопереноса в одномерном материале / О.Г. Жукова // Тез. докл. Междунар. конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10-15 июля 2006).- Владимир, 2006-С.102-103.

[8] Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса / О.Г. Жукова // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: труды IX Междунар. Четаевской конференции (Иркутск, 12-16 июня 2007).-Иркутск, 2007.-Т. 3.-С. 86-91.

[9] Жукова, О.Г. Граничное управление процессом распространения тепла в полубесконечном стержне. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова // Математика в современном мире: тез. докл. Российской конференции (Новосибирск, 17-23 сентября 2007). - Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2007. - С. 162-163.

[10] Жукова, О.Г. Граничное управление трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Тез. докл. Междунар. конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 26 июня -2 июля 2008). - Владимир, 2008.- С. 106-108.

[11] Романовский, Р.К. Граничное управление двумерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Дифференциальные уравнения и топология.: тез. докл. Междунар. конференции (Москва, 17-22 июня 2008).-Москва, 2008. - С. 179-180.

Подписано в печать 09.02.09. Формат 60x84/8. Бумага писчая. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,25 Тираж 100 экз. Заказ № 488.

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» 644050, г. Омск, пр. Мира, 11А тел. (3812) 65-23-73. Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97

Введение.

Глава I. Матрицы Римана первого и второго рода гиперболической системы уравнений теплопроводности.

§1.1. Задача Коши для гиперболической системы на плоскости (случай постоянных коэффициентов). Структура разрешающего оператора.

§1.2. Гиперболическая модель теплопроводности.

§1.3. Вычисление матриц Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности.

Глава II. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале.

§2.1. Управление процессом теплопереноса в полубесконечном стержне.

§2.2. Стержень конечной длины. Одностороннее управление.

§2.3. Стержень конечной длины. Двустороннее управление.

Глава III. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном и трехмерном материале.

§3.1. Задача Коши для двумерной и трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности. Представление решения в виде суперпозиции плоских волн.

§3.2. Граничное управление процессом теплопереноса в пластинке звездной формы.

§3.3. Граничное управление процессом теплопереноса в пространственном теле звездной формы.

Одна из задач, возникающих в теории колебаний, теории автоматического управления, - разработка методов граничного управления процессами в сплошных средах, описываемыми краевыми задачами для уравнений с частными производными гиперболического типа. К этой проблематике приводят задачи управления волновыми процессами, стабилизации колебаний струн, мембран, стержней, пластин, задачи управления переносом электроэнергии, управления колебаниями плазмы, процессами сорбции, десорбции газов, управления процессами тепломассопереноса в химических реакторах идеального вытеснения и другие задачи.

Первые результаты по граничному управлению процессами в распределенных системах указанного типа получены в 60-е и 70-е годы минувшего века в работах А.Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса, Д.Л. Рассела, В. Крабса, М. Сирина, М.М. Потапова [4, 41, 46, 71, 73, 78], где исследуются различными методами задачи оптимального граничного управления решениями смешанной задачи для подклассов гиперболических уравнений второго порядка.

В частности, в книге А.Г. Бутковского [4] для решения задачи граничного управления колебаниями струны (задачи быстродействия) применен вариант метода моментов, развитый ранее в работах Н.Н. Красовского применительно к системам, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями [37, 38]. В книге рассматриваются приближенные методы решения задач управления такого типа: метод разностной аппроксимации, метод прямых, метод гармоник. В работе [46] метод разностной аппроксимации применен для построения приближенного решения задачи оптимального управления решениями смешанной задачи для системы Гурса-Дарбу, описывающей процессы сорбции, десорбции; управление входит в правую часть дифференциального уравнения и в граничные условия.

Интенсивное развитие теории управления гиперболическими уравнениями началось во второй половине 80-х годов.

Существенный вклад в круг идей и методов этой теории внесли работы Ж.-Л. Лионса [42, 75-77]. В книге [42] методы и результаты книги [41] распространены на подклассы управляемых систем «с особенностями», когда отсутствует однозначная связь управление —> состояние. Сюда относятся, в частности, задача управления формой плазмы, задача управления энзиматическими реакциями. Развитый в книге подход к решению этого класса задач управления основан на расширении класса допустимых пар «управление - состояние». В работах [75-77] разработан метод решения задачи точной управляемости гиперболическим уравнением второго порядка (названный автором HUM-методом) сведением к задаче точной наблюдаемости для сопряженного уравнения. Этот метод (применительно к уравнениям того же класса) получил дальнейшее развитие в работах О.Ю. Эмануилова, В. Коморника и других авторов [67-69, 72, 74]. В частности, в [67, 69] развит подход к исследованию задачи точной наблюдаемости, основанный на теоремах о распространении особенностей, получены достаточные условия ее разрешимости, близкие к необходимым. В [68, 74] предложен метод исследования этой задачи, основанный на априорных оценках карлемановского типа. В работе Д. Татару [79] карле-мановские оценки применены для исследования задачи точной управляемости абстрактным эволюционным уравнением.

Существенное продвижение в этом направлении произошло в цикле работ Ф.П. Васильева, М.А. Куржанского, М.М Потапова, А.В. Разгулина [7-9, 39, 40, 47, 48]. В работе Ф.П. Васильева [9] разработана новая концепция теории двойственности для линейных систем управления, позволившая, в частности, прояснить схему HUM-метода, сформулировать его в форме, в которой он применим к анализу широкого класса задач управления распределенными системами. В [7-9, 39, 40, 47, 48] показаны на ряде примеров возможности, которые дает предложенное в [9] расширение схемы HUM-метода при решении задач точной управляемости, в том числе задач управления гиперболическими уравнениями.

В тот же период в работах Ф.П. Васильева, А.З. Ишмухаметова и М.М. Потапова существенно продвинут метод моментов решения задач оптимального управления. В книге [6], посвященной этой проблематике, содержится, в частности, подход к решению задач оптимального управления решениями краевых задач для гиперболических уравнений второго и четвертого порядков, возникающих в теории упругости.

Интенсивные исследования по граничному управлению гиперболическими уравнениями продолжились в последнее десятилетие. В работах А.В. Аргучинцева и О.А. Крутиковой [1, 2] рассматривается задача оптимального управления решениями смешанной задачи для полулинейной гиперболической системы с одной пространственной переменной; управление входит в граничные и начальные условия. Получены необходимые условия оптимальности, построен численный метод решения задачи оптимизации, получены приложения к задаче об оптимальном управлении популяцией, о восстановлении профиля гравитационной волны. Большой цикл работ В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, В.В. Тихомирова [26-29] посвящен задаче граничного управления колебательной системой, динамика которой описывается волновым уравнением и"п — и^ = 0. Задача состоит в отыскании режима на границе, обеспечивающего переход произвольно заданного начального фазового вектора (u,ut) из некоторого класса в произвольно заданный финальный фазовый вектор за заданное время t*. Эта задача ранее исследовалась различными методами в работах

А.Г. Бутковского, Ж.-JI. Лионса и других авторов. Результаты, полученные в указанном цикле работ, являются завершающими по данной тематике. В работах [30-33] установлены необходимые и достаточные условия существования требуемых управлений (двусторонних и односторонних; гладких и обобщенных) в зависимости от соотношения между длиной колебательной системы и финальным моментом времени t*, получены явные формулы для этих управлений. В работах [30-32] решается задача оптимального граничного управления: из построенных управлений отбираются управления, минимизирующие заданный квадратичный функционал, имеющий смысл кинетической или потенциальной граничной энергии системы. К этому циклу примыкают работы [25, 49, 64].

Наряду с работами по управлению волновыми процессами большое число исследований посвящено проблеме управления процессами теплопереноса и диффузии, моделируемыми краевыми задачами для уравнений параболического типа [4-6, 11, 41, 42]. В последние десятилетия интенсивно развивается гиперболическая теория теплопроводности, устраняющая имеющий место в параболической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла [3, 34-36, 43, 61, 62, 66, 70, 80]. Представляет теоретический и практический интерес разработка подходов к решению задач управления процессом теплопереноса в рамках гиперболической модели с использованием методов теории гиперболических уравнений.

Диссертационная работа посвящена этой проблематике.

В цикле работ Р.К. Романовского, Е.В. Воробьевой, Е.Н. Стратилатовой [10, 50-56, 58] построен математический аппарат, позволяющий с единой точки зрения исследовать краевые задачи для некоторых классов гиперболических систем. В частности, в [50] построено явное представление решений задачи Коши для гиперболической системы общего вида с одной пространственной переменной. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие названия матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. В частном случае постоянных коэффициентов вычисление матриц Римана приводится к вычислению контурных интегралов от аналитических матриц-функций.

Цель работы - разработка на основе указанного математического аппарата подхода к решению задачи граничного управления процессом теплопереноса в однородном материале в рамках гиперболической модели теплопроводности и построение классов решений этой задачи в случаях одномерных, двумерных и трехмерных сред.

Из сказанного выше следует актуальность темы диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Аргучинцев, А.В. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями / А.В. Аргучинцев, О.А. Крутикова //Изв. вузов. Математика. - 2001. - № 2. - С. 3-12.

2. Аргучинцев, А.В. Оптимизация гиперболических систем с интегральными ограничениями на граничные управления / А.В. Аргучинцев // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 1. - С. 10-17.

3. Бураханов, Б.М. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики / Б.М. Бураханов, Е.Н. Лютикова, С.А. Медин. М., 2002. - 28с. - (Препринт /ОИВТРАН; № 2-462).

4. Бутковский, А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1965. -476 с.

5. Бутковский, А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1975. - 568 с.

6. Васильев, Ф.П. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления / Ф.П. Васильев, А.З. Ишмухаметов, М.М. Потапов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 142 с.

7. Васильев, Ф.П. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны / Ф.П. Васильев, М.А. Куржанский, А.В. Разгулин // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычислит, математика и кибернетика. -1993.- №2.-С. 3-8.

8. Васильев, Ф.П. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны / Ф.П. Васильев, М.А. Куржанский, М.М. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. 1993. - № 3. - С. 8-15.

9. Васильев, Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения / Ф.П. Васильев // Дифференц. уравнения. 1995. - Т.31, № 11.-С. 1893-1900.

10. Воробьева, Е.В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е.В. Воробьева, Р.К. Романовский // Сиб. матем. журнал. 2000. - Т. 41, № 3. - С. 531-540.

11. Егоров, А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А.И. Егоров. М.: Наука, 1978. - 464 с.

12. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. 2007- Т. 43, № 5.- С. 650-654.

13. Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Сиб. журн. индустр. матем. 2007- Т 10, № 4(32).- С. 32-40.

14. Жукова, О.Г. Граничное управление трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Деп. в ВИНИТИ 04.12.2007, №1126-В 2007.

15. Жукова, О.Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения.-2008. Т. 44, № 1. - С. 82-88.

16. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения, (в печати).

17. Знаменская, JI.H. Управляемость колебаниями струны с одним закрепленным концом при ограничениях на управление / JI.H. Знаменская // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39, № 3. - С. 377-382.

18. Ильин, В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В.А. Ильин, В.В. Тихомиров // Дифференц. уравнения 1999. - Т.35, № 5. -С. 692-704.

19. Ильин, В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35, № 11. - С. 1517-1534.

20. Ильин, В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 11.-С. 1513-1528.

21. Ильин, В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 2000. - Т.36, № 12. - С. 1670-1686.

22. Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. РАН.-2004. Т.399, № 6. - С. 727-731.

23. Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. РАН. 2005. - Т.400, № 1. - С. 1620.

24. Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. РАН. 2005. -Т.400, №5.-С. 585-591.

25. Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В.А. Ильин // Докл. РАН. 2005. -Т.400, №6.-С. 731-735.

26. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. М.: Высш. школа, 1985. - 480 с.

27. Карташов, Э.М. Новые интегральные соотношения в теории нестационарного теплопереноса на основе уравнения гиперболического типа / Э.М. Карташов, О.И. Ремизова // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2002. -№3.-С. 146-156.

28. Корнеев, С.А. Гиперболические уравнения теплопроводности Г С.А. Корнеев // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2001. - № 4. - С. 117-125.

29. Красовский, Н.Н. К теории оптимального регулирования / Н.Н. Красовский // Автоматика и телемеханика. 1957. - Т.18, № 11. - С. 960-970.

30. Красовский, Н.Н. Об одной задаче оптимального регулирования / Н.Н. Красовский // Прикладная математика и механика. 1957. - Т.21, № 5. - С. 670-677.

31. Куржанский, М.А. О конечномерной аппроксимации задачи наблюдения и управления для гиперболической системы / М.А. Куржанский // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. -1992.-№3.-С. 28-33.

32. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972.-414 с.

33. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе. М.: Физматлит, 1987. - 368 с.

34. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. М.: Высш. школа, 1967. - 600 с.

35. Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизо-хата. М.: Мир, 1977. - 504 с.

36. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. М.: Наука, 1976. - 392 с.

37. Потапов, М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу / М.М. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. — 1978.-№2.-С. 17-26.

38. Разгулин, А.В. Применение проекционно-разностного метода в задачах наблюдения и управления для уравнения типа Шредингера / А.В. Разгулин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, математика и кибернетика. 1996. - № 1. - С. 42-52.

39. Рево, П.А. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса / П.А. Рево, Г.Д. Чабакаури // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 6. - С. 806-815.

40. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 267, № 3. - С. 577-580.

41. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Матем. сборник. 1985. - Т. 127, № 4. - С. 494-501.

42. Романовский, Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р.К. Романовский // Матем. сборник. 1987. - Т. 133, № 3. - С. 341-355.

43. Романовский, Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1987. - С. 47-52.

44. Романовский, Р.К. Усреднение гиперболических уравнений / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 306, № 2. - С. 286-289.

45. Романовский, Р.К. Анализ гиперболической модели задачи о фазовом переходе методом граничных интегральных уравнений / Р.К. Романовский, Е.Н. Стратилатова // Докл. СО АН ВШ. 2003. - № 2(8). - С. 5258.

46. Романовский, Р.К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений / Р.К. Романовский, Е.Н. Стратилатова // Сиб. журн. индустр. математики,— 2004.-Т. 7, №3(19).-С. 119-131.

47. Романовский, Р.К. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теплопереноса в одномерном твердом материале / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Доклады АН ВШ РФ. 2006. -№ 1(6).-С. 69-77.

48. Романовский, Р.К. Метод Римана для гиперболических систем / Р.К. Романовский, Е.В. Воробьева, Е.Н. Стратилатова. Новосибирск: Наука, 2007. - 172 с.

49. Романовский, Р.К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Сиб. журн. индустр. математики. 2008.- Т 11, № 3(35).-С. 119-125.

50. Соболев, С.Л. Процессы переноса и бегущие волны / С.Л. Соболев // Успехи физ. наук. 1991. - Т. 161, № 3. - С.5-29.

51. Соболев, С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса / С.Л. Соболев // Успехи физ. наук. 1997. - Т. 167, № 10. - С. 10951106.

52. Стейн, И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. М.: Мир, 1974. - 336 с.

53. Тихомиров, В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении / В.В. Тихомиров // Дифференц. уравнения. -2002. Т. 38, № 3. - С. 393^03.

54. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 1977. - 736 с.

55. Шашков, А.Г. Волновые явления теплопроводности: Системно-структурный подход / А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, С.Ю. Яновский. Минск: Наука и техника, 1993. - 279 с.

56. Эмануилов, О.Ю. Точная управляемость гиперболическими уравнениями. Ч. 1 / О.Ю. Эмануилов// Автоматика. 1990. - № 3. - С. 10-13.

57. Эмануилов, О.Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями /О.Ю. Эмануилов // Сиб. матем. журнал. 2000. - Т. 41, № 4-С. 944-959.

58. Bardos, С. Sharp sufficient conditions for the observaton, control and stabilization of wave equation from the boundary / C. Bardos, G. Lebeau, J. Rauch // SIAM J. Control Optim. 1992. - Y. 30, № 5. - P. 1024-1065.

59. Cattaneo, C. Sur une forme de Г equation de la chaleur eliminant le paradoxe dvune propagation insantanee / C. Cattaneo // Comptes Rend. -1958. V. 274. - P. 431-433.

60. Cirina, M. Boundary controllability of nonlinear hyperbolic systems / M. Cirina // SIAM J. Control. 1969. - № 7. - P. 198-212.

61. Komornik, V. Exact controllability and stabilization / V. Komornik // Lecture Notes in Control and Inform. 1990. - V. 148. - P. 149-192.

62. Krabs, W. On boundary controllability of one dimensional vibrating system / W. Krabs // Math. mech. in the Appl. Sci. 1979. - № 1. - P. 322-345.

63. Lions, J.-L. Controllabilite exacte des systemes distribues / J.-L. Lions // Acad. Sci. Ser I. Math. 1986. - № 302. - P. 471^75.

64. Lions, J.-L. Controllabilite exacte, stabilization et perturbation des systemes distribues / J.-L. Lions. -V. 1: Controllabilite exacte. Paris: Masson, 1988.

65. Lions, J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems / J.-L. Lions // SIAM Rev. 1988. - V. 30, № 1. - P. 1-68.

66. Russel, D.L. Nonharmonie Fourer series in the control theory of distributed parameter system / D.L. Russel // J. Math. Anal. Appl. 1967. - V. 18, № 3.-P. 542-560.

67. Tataru, D. Boundary controllability of conservative PDEs / D. Tataru // Appl. Math. Optim. 1995. - V. 31. - P. 257-295.

68. Vernotte, P. Les paradoxes de la theorie continue de Г equation de la chaleur / P. Vernotte // Comptes Rend. 1958. - V. 246. - P. 3154-3155.