Неклассические начально-краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными и нелинейными граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

005012029

СТРИГУН Мария Владимировна

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ И НЕЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 щ? 2012

Казань 2012

005012029

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ПУЛЬКИНА Людмила Степановна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор РЕПИН Олег Александрович

Ведущая организация: Ульяновский государственный

технический университет

Защита диссертации состоится "22" марта 2012 года в 16 часов 30 минут на заседании совета Д 212.081.10 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд. 337.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлёвская, 18.

Автореферат разослан "_"_2012 года.

кандидат физико-математических наук, доцент УТКИНА Елена Анатольевна

Ученый секретарь диссертационного совета

Липачёв Е. К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современный уровень развития естествознания приводит к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых, неклассических задач. Изучение некоторых физических процессов сталкивается с трудностями, обусловленными невозможностью производить непосредственные измерения на границе области протекания процесса. Такая ситуация может возникнуть при изучении процессов, происходящих в турбулентной плазме, некоторых диффузионных процессов, влагопереноса в капиллярно-пористой среде. В этих случаях математическое моделирование приводит к задачам с нелокальными условиями.

Одним из фундаментальных аспектов исследования различного рода явлений в сложных системах является необходимость отказа от упрощений и ограничений, приводящих к линейной модели. В том случае, когда акцент в исследованиях делается на поведение системы на границе со средой, математическое моделирование решаемой проблемы приводит к задаче с неклассическими, в том числе с нелинейными, граничными условиями. Например, при изучении колебаний струны, когда закрепление её концов не подчиняется закону Гука, возникает нелинейное граничное условие1

«,(/,*)= Ж/,# (1)

В других случаях закрепления концов струны могут возникнуть нестационарные граничные условия, содержащие не только след самого решения и его производной по нормали, но и производные по времени вплоть до второго порядка.

Новые задачи с неклассическими граничными условиями оказались интересными и с чисто теоретической точки зрения. Дело в том, что многие классические методы доказательства разрешимости начально-краевых задач не применимы для изучения задач с нелокальными или нелинейными условиями. В связи с этим разработка методов исследования задач с неклассическими условиями является актуальной как с теоретической, так и с практической точки зрения.

Чихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

Нелокальными называют задачи, в которых граничные условия представляют собой соотношения, связывающие значения искомого решения и его производных в граничных и внутренних точках области, в которой ищется решение. К этому классу задач относятся задачи со смещением, изучению которых посвящены работы В. А. Стеклова, Ф. И. Франкля, А. В. Бицадае, В. И. Жегалова, А. М. Нахушева, А. Н. Зарубина, О. А. Репина, Е. А. Уткиной и их учеников.

Обобщением задач со смещением являются задачи с нелокальными интегральными условиями. Одними из первых работ, посвященных изучению задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными, были статьи Дж. Кэннона2 и Л. И. Камынина3, опубликованные в 1963 и 1964 годах соответственно. В них рассмотрены задачи с интегральными условиями для параболического уравнения. Эти работы можно считать началом систематического исследования задач с интегральными условиями.

Исследования задач с интегральными условиями для параболических уравнений были продолжены в работах Н. И. Ионкина, Н. И. Юрчука, Л. А. Муравья и А. В. Филиновского, А. Бузиани, А. И. Кожанова и других авторов.

Вопросы разрешимости задач с нелокальными, в том числе интегральными, условиями для эллиптических уравнений рассмотрены в работах А. К. Гущина и В. П. Михайлова, А. Л. Скубачевского.

Задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений стали изучаться позже, их систематическое исследование началось в 90-х годах XX века. Первыми работами, по-видимому, являются статьи Л. С. Пулькиной, Д. Г. Гордезиани и Г. А. Авалишвшга. В дальнейшем появились интересные работы А. Бузиани, А. И. Кожанова, В. Б. Дмитриева.

Результаты проведённых исследований показали, что выбор метода доказательства разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями в большой степени обусловлен видом этих условий. Если нелокальное условие имеет вид

I

+ Ки = 0,

Бт

ди дv

"Cannon J. R. The solution of heat equation subject to the specification of energy. // Quarterly of Applied Math., v. 21, №2, 1963, p. 155—160.

3Камьшив Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. // Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 4, №6,1964, с. 1006— 1024.

то есть представляет собой соотношение между интегральным оператором и значением производной искомого решения на границе области, то удаётся применить метод компактности, базирующейся на априорных оценках в выбранном функциональном пространстве. (Здесь К — интегральный оператор, Бт — боковая поверхность цилиндра, а V — вектор нормали в текущей точке ¿у.) Если же нелокальное условие имеет вид

и|5г + Ки = 0, (2)

здесь содержит след на границы самого искомого решения, то этот метод оказывается неэффективным. Для обоснования разрешимости задач с условием (2) можно применить метод вспомогательных задач; такой метод применяла в своих работах Л. С. Пулышна. Там же она отмечала его недостатки: они заключаются с в том, что этим методом разрешимость задач в разумном функциональном пространстве нельзя доказать для уравнений с переменными коэффициентами главной части.

В предлагаемой диссертационной работе разработаны другие методы доказательства разрешимости задач с нелокальными интегральными условиями (2) и обоснована их эффективность, что продемонстрировано при доказательстве разрешимости двух задач с интегральными условиями (2) для гиперболического уравнения с переменными коэффициентами на плоскости.

Другой класс неклассических задач образуют задачи с нелинейными граничными условиями. Классические граничные условия линейны. Они возникают в результате ограничений, принятых при построении математической модели. Например, в классических постановках задач о колебании струны под струной понимается гибкая упругая нить, величина натяжения которой может быть вычислена по закону Гуна. Нелинейное граничное условие (2) описывает продольные колебания пружины при упругом закреплении концов, не подчиняющемся закону Гука. Задачи с нелинейными граничными условиями для параболических и эллиптических уравнений изучались в работах В. А. Кондратьева, Н. А. Ларькина, Э. Тронко, И. В. Филимоновой, С. Жер-би и Б. Саида-Хуари. Краевые задачи с нелинейными граничными условиями для гиперболических уравнений практически не изучены.

В главе 1 книги Ж.-Л. Лионса4 рассмотрены задачи с граничными усло-

^Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

виями с нелинейностями вида ¡и(М)1ММ), а так же с нелинейными условиями, содержащими производные как по пространственной переменной, так и по переменной времени для эллиптического уравнения в цилиндрической области. Вопрос о разрешимости этих задач сведен к исследованию разрешимости задач на многообразии с помощью введённого оператора и полученных априорных оценок.

Задачи с неклассическими граничными условиями, содержащими нелинейности видов ММ)1ММ) и + ММ)|ММ), для уравнения колебания струны и задачи с нелинейными граничными условиями для эллиптического уравнения, о которых сказано выше, мотивировали исследования разрешимости задач с нелинейными граничными условиями для гиперболического уравнения. Этому вопросу посвящена вторая глава диссертации.

Таким образом, вопросы, рассматриваемые в предлагаемой диссертационной работе, находятся в контексте современной теории уравнений с частными производными.

Цель работы. Целью работы является разработка методов исследования начально-краевых задач для гиперболического уравнения с нелокальными и нелинейными граничными условиями, а также доказательство однозначной разрешимости пяти неклассических задач.

Методы исследования. Многие классические методы доказательства разрешимости начально-краевых задач не применимы для нелокальных задач, поскольку нелокальные условия приводят к неполноте и неортогональности системы собственных функций задачи. В диссертации разработаны новые методы, позволяющие исследовать разрешимость нелокальных задач, основанные на методе априорных оценок, теории интегральных уравнений Воль-терра и методе Галёркина.

При доказательстве однозначной разрешимости нелинейных задач исполь-зуюся метод априорных оценок, метод Галёркина, а также методы функционального анализа.

Основные результаты. В работе получены следующие результаты.

• Доказана однозначная разрешимость двух начально-краевых задач для одномерного гиперболического уравнения с интегральными граничными условиями.

• Разработаны методы исследования задач с интегральными граничными условиями, содержащими значение искомой функции на границе области.

• Доказана однозначная разрешимость двух начально-краевых задач для одномерного гиперболического уравнения с нелинейными граничными условиями.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором лично.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки методов исследования задач с неклассическими граничными условиями, в том числе нелокальными и нелинейными, для уравнений с частными производными.

Апробация работы. Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались на

• научных семинарах кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета (руководитель — д. ф.-м. н., профессор Л. С. Пулькина);

• на Шестой молодежной научной школе-конференции 11 Лобачевские чтения - 2007" (Казань);

• на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна — 2008;

• на Международной конференции по дифференциальным уравнения и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.);

• на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов" (Москва, 2011 г.);

• на Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[7]. В работе [2], написанной в соавторстве, научному руководителю принадлежат постановки задач и идея доказательства, а соискателю — доказательство обеих теорем. Работы [11—[3] опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 66 наименования. Каждая глава состоит из двух параграфов. Объём диссертации — 90 страниц.

Содержание диссертации

Во введении излагается история вопроса, обосновывается актуальность диссертационного исследования, формулируются цели и задачи работы, даётся обзор основных результатов и описывается структура диссертации.

Глава 1 посвящена изучению нелокальных задач. В ней рассмотрены две задачи с нелокальными интегральными краевыми условиями. В параграфе 1 поставлена задача 1: найти в области

<2г = {(М): 0<®<1,0<*<Т}

решение уравнения

иа - (а{х, $их)х + с(х, ¿)и = /(х, ¿) с начальными данными

и(ж,0) = ф), щ{х, 0) = ф{х), удовлетворяющее граничному условию

щ(0,*) = 0

и нелокальному условию

t I

и(1,г) = IJ К(1,у,Ь,т)и{у,т)(1у<1т, о о

где а(х, £), с(х, £), f(x,t) - функции, заданные в области <?т, о(:> 0 для любой (х,Ь) € Ят, К(х,у,1,т) задана в С}т х <3Г, а <р(х) и ф(х) — на отрезке [0, /].

Получены условия разрешимости этой задачи, которые сформулированы в следующей теореме.

Теорема 1. Если функции a(x,t), c(x,t), f(x,t), Щх,у, t,r), ip(x), ip{x) удовлетворяют условиям a(x,t) e Cl(Qr), c(x,t) € C(QT), f(x,t) 6 L2{Qt), K(x,y,t,r) e C2([0,i] x [0,1] x [0,T] x [0,T]), ф) G W^O,/), </>(*) e Ls(0,Z) и, кроме того, выполняются условия согласования

¥>(0 = О,

i

ф(1) = J К(1,У,0,0)РШУ>

о

то существует единственное решение и(х, у) € W^Qt) задачи 1.

Теорема 1 доказывается путём сведения задачи 1 к задаче для нагруженного уравнения с нулевыми граничными условиями. А именно, доказана эквивалентность задачи 1 и следующей задачи 1*:

~{avx)x + cv + J J Rtt(x,y,t,T,l)v(y,T)dydT-0 о

t x

a J J Rx(x,y,t,T,l)v(y,r)dyd7 „ о 0

t x -

+cjj R{x, y, t, t, l)v(y, r)dydr + J Kt(x,y,t,t)v(y,t)dy+

0 0 о

}

+ [ Bt(x,y,t,T,l)\ v(y,t)dy+ I K(x,y,t,t)vt(y,t)dy-0 T~l о

- j a j K(x, x, t, t)v(x, t)dT J = f(x, t),

где R(x, y, t, t, 1) — резольвента ядра K(x, у, t, т),

v(x,0)=<p(x),

X

Vt(®,0) = ф(х) - JK(x,y,0,0My)dy = o(x),

Доказана однозначная разрешимость задачи 1*, из которой, в силу эквивалентности задач 1 и 1*, следует утверждение теоремы 1.

В параграфе 2 исследуется задача 2: найти в области С^т решение гиперболического уравнения

г% - (аих)х + си = /СМ),

удовлетворяющее начальным условиям

и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х),

граничному условию

w(0, i) = 0

и интегральному условию

I

x(Z,t) = J K(x)u{x,t)dx,

где функции а(х, г), с(х, г), /(х, г) заданы в области <дт, а(х, £) > 0 для любой (а:,г) € От, функции ^(ж), и ^(х) заданы на отрезке [0, /].

Получен следующий результат.

Теорема 2. Если функции а(х,4), с(а;,<), /(М), А'(ж), <р(х), гр{х) удовлетворяют условиям а(х, ¿) е С1 (<3Г)> е С(С}Т), € ¿2(Ят), К{х) е С2[0,г], Я(0) - 0, Щх)\ < у при любом х 6 [0,г], 6 ^(0,0, ■ф(х) € ¿2(0,0 и, кроме того, выполняются условия согласования

I

ip(l) = У K{x)tp{x)dx,

о

;

ДО) = J К(х)ф(х)сЬ,

то существует единственное решение и(х,у) 6 ^((Зг) задачи 2.

10

Задача 2 сведена к эквивалентной ей задаче 2* с нулевыми граничными условиями, формулирующейся следующим образом: найти решение уравнения

X

уи ~ {шх)х + си + У К"(у)а(у,1)и(у,Ь)йу+ о

х х

+1 К'{у)ау{у, г)и{у, 1)йу -1 с{у, Ь)К(у)и{у, о О

х

+с{х,Ь) I к(у)и{у,1)йу-2а(х,1)К'{х)и{х^)~

0

х

-ах{х,Ь)К(х)и(х,г) = /(»,4) - J К{у)!{у,Ь)йу,

о

где и(х, £) и ь(х, £) связаны соотношением

х

I к(у)и(у,1)йу, о

с начальными условиями

х

ь(х, 0) = ф) - J К{у)<р{у)(1у = о

х

0) = 1р(х) - I КШШу = 4>{х) о

и граничными условиями

и(0,£) = 0, «(/,*) = 0.

Установлена однозначная разрешимость задачи 2*, что обеспечивает одно значную разрешимость задачи 2.

В главе 2 диссертационной работы доказана однозначная разрешимость двух задач с нелинейными граничными условиями. В параграфе 3 рассматривается задача 3: найти решение уравнения

иа - (аих)х + си = /(х,

в области Qt с начальными данными

и(х,0) =ф),

ut{x, 0) = чр{х), удовлетворяющее граничным условиям

Wx(0,t) = 0,

a(Z,i)uI(/Ii) + Ki>i)|Mi,i) = 0.

где a(x,t), c(x,t), f(x,t) — функции, заданные в области QT, а(х, t)> 0 для любого (ж, t) € QT, <р(х) и ф{х) заданы на отрезке [0,I]. Доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия: f(x,t) € L2(Qt),

c(x,t) е C(QT), а(х,t) е Cl(QT), ф) 6 и^(о,ОП е Ш0.

у?'(0) = 0 и а{1,0)<р' + |<p{l)\p<fi(l) = 0, тогда для любого р > 0 существует единственное решение задачи 3.

В параграфе 4 поставлена задача 4: найти в области Qt решение гиперболического уравнения

Lu = f{x,t),

где

Lu = utt - (а(х, t)ux)x + с(х, t)u, с начальными данными

и(х,0) = 0, 0) = 0,

удовлетворяющее граничным условиям

«.(0,0 = 0,

a(MK(M) + A(t)utt(l,t) + \щ(1,1)\рщ(1,1) = 0, где а(х, t), c(x,t), f(x,t) — функции, заданные в области QT,a(x,t) > 0 для

любой (x,t) Е Qt-

Отметим, что нулевые начальные условия не ограничивают общности. Доказаны следующие теоремы разрешимости.

Теорема 4. Если A(t) = 0, f{x,t) 6 W^Gr), е C(Gr). qOM) е

C(Qr), а(х, t) е C^Qt), at(x,t) € Сг(Щ, то для любого р > 0 существует единственное решение задачи 4.

Теорема 5. Если f(x,t) eW^Qr), c(x,t) € C(QT), ct(x,t) € C(QT), a(x,t) G C'iQr), at{x,t) e C^Qr). Щ e СЧО.Г], A(t) > > О, то для любого р > 0 существует единственное решение задачи 4.

Специфика нелинейных задач для гиперболического уравнения с рассматриваемыми нелинейными условиями заключается в сложности перехода к пределу при доказательстве их разрешимости путём построения последовательности приближённых решений и получения априорных оценок. Обычных априорных оценок решения в пространстве W%(Qt) в этом случае недостаточно. При доказательстве теоремы 3, помимо априорной оценки в пространстве WjHQr), была получена оценка следа искомой функции в пространстве /^(О, Т). Для доказательства теоремы 4 нужно было сделать оценку следов производных в Lp+2(0,T) и в ¿2(0,7'), а при доказательстве теоремы 5, кроме того, была получена оценка utt(x, t) в Li(QT).

Публикации автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ:

[1] Стригун М. В.: Об одной нелокальной задаче с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения. [Текст]/ М. В. Стригун // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия, №8(74), 2009, с. 78-87.

[2] Стригун М. В.: Две начально-краевые задачи с нелинейными граничными условиями для одномерного гиперболического уравнения. [Текст]/ Л. С. Пулькина, М. В. Стригун // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия, №2(83), 2011, с. 46-55.

[3] Стригун М. В.: Начально-краевая задача для одномерного гиперболического уравнения с интегральным граничным условием. [Текст]/ М. В. Стригун // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия, №8(89), 2011, с. 95-101.

Другие публикации:

[4] Стригун М. В.: Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с граничным условием, содержащим интегральный оператор. [Текст]/ М. В. Стригун // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского, т. 36, 2007, с. 209-211.

[5] Стригун М. В.: Нелокальная задача с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения [Текст]/ М. В. Стригун // Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". СамДифф — 2009. Тезисы докладов. Самара, 2009, с. 59.

[6] Стригун М. В.: Об одной нелокальной задаче с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения. [Текст]/ М. В. Стригун // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2010, с. 178—179.

[7] Стригун М. В.: Задача с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения. [Электронный ресурс]/ М. В. Стригун // Материалы международного молодёжного научного форума "Ломоносов— 2011". Москва, МАКС Пресс. ISBN - 978-5-317-03634-8, 2011.

Подписано в печать 8.02.2012. Формат 60 х 84/16. Бумага ксероксная. Печать оперативная. Объем - 0,875 усл. п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 65.

Отпечатано в типографии ООО «Инсома-пресс» 443080, г. Самара, ул. Санфировой, 110 А; тел.: 222-92-40

61 12-1/6Т1

ФГБОУ ВПО "Самарский государственный университет"

Неклассические начально-краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными и нелинейными граничными условиями

Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

На правах рукописи

Стригун Мария Владимировна

/

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Пулькина Людмила Степановна

Самара 2012

Содержание

Введение..................................................4

Глава 1. Нелокальные задачи для гиперболического урав нения с интегральными граничными условиями.........15

§1. Начально-краевая задача с нелокальным по пространственной переменной и по переменной времени интегральным условием......................................................16

1.1. Постановка задачи 1.................................16

1.2. Разрешимость задачи 1..............................17

§2. Начально-краевая задача с нелокальным по пространственной переменной интегральным условием.....................36

2.1. Постановка задачи 2.................................36

2.2. Разрешимость задачи 2..............................37

Глава 2. Начально-краевые задачи с нелинейными граничными условиями для гиперболического уравнения......51

§3. Начально-краевая задача с нелинейным граничным условием а(1, ¿)их(7, £) + \и(1, £)|ри(1, €) = О....................51

3.1. Постановка задачи 3.................................51

3.2. Разрешимость задачи 3..............................52

§4. Начально-краевая задача с нелинейным граничным условием а(7, í)г¿ж(/, €) + А(Ь)ии(1, £) + \щ(1, Ь)\рщ(1, £) = 0 — 61

4.1. Постановка задачи 4.................................61

4.2. Разрешимость задачи 4 при A(t) = 0................62

5.2. Разрешимость задачи 4 при A(t) 0................70

Заключение..............................................80

Список литературы

Введение

Уравнения с частными производными начали исследоваться в связи с необходимостью решать задачи математической физики. К настоящему моменту некоторые классы задач хорошо изучены. В соответствии с потребностями естествознания сформировались классические постановки задач для основных типов уравнений. Однако современный уровень развития науки требует исследования различных процессов, которые невозможно моделировать с помощью классических задач, что приводит к необходимости изучения задач с условиями иных типов. Таким образом, возникла необходимость обобщения классических и постановки качественно новых задач. С другой стороны, появившиеся новые задачи оказались интересными с чисто теоретической точки зрения. Кроме того, у теории уравнений с частными производными был большой потенциал, связанный с появлением понятий обобщённой производной и пространств Соболева. Одним из классов качественно новых задач стали задачи с нелокальными условиями, о чём написал А. А. Самарский в обзорной статье " О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений" [48].

Нелокальными называют задачи, в которых граничные условия представляют собой соотношения, связывающие значения искомого решения и его производных в граничных и внутренних точках области, в которой ищется решение. Такие задачи активно изучаются в последние годы. Они точнее других описывают физические и биологические процессы, протекающие в областях с границей, недоступ-

ной для проведения непосредственных измерений. Отметим, что задачи с нелокальными условиями оказались тесно связанными с обратными задачами, возникающими в современном естествознании. На данный момент изучение нелокальных задач весьма актуально и с точки зрения развития теории уравнений с частными производными, и в связи с необходимостью решения прикладных задач.

Нелокальные задачи для различных уравнений с частными производными рассматривались многими авторами: в первую очередь здесь следует отметить работы А. В. Стеклова [50], А. В. Бицад-зе [1], А. К. Гущина [2], В. П. Михайлова [27], В. А. Ильина [8], Е. И. Моисеева [8], В. И. Жегалова [4], [56], [65], [66], А. М. Нахушева [29]—[30], Ф. И. Франкля [60], А. Л. Скубачевского [49], А. А. Самарского [1], [48], Н. И. Ионкина [9]-[11], А. И. Кожанова [16]—[20], [11], Л. С. Пулькиной [36]—[42], О. А. Репина [43]—[45], К. Б. Сабитова [46]—[47], Н. И. Иванчова [7].

Среди нелокальных задач можно выделить несколько классов. К первому относятся задачи с условиями, представляющими собой линейную комбинацию значений искомой функции и её производных в конечном числе граничных и внутренних точек области. Такие условия называют краевыми условиями со смещением. Эти задачи описывают, например, процесс охлаждения твердого тела линейных размеров [50]. Они изучались в работах В. И. Жегалова [4], [56], [65], [66], А. Н. Зарубина [6], В. А. Ильина [8], Н. И. Ионкина [И], Т. Ш. Кальменова [12], Е. И. Моисеева [8], [И], А. М. Нахушева [33], О. А. Репина [43]. Обобщением этого класса условий являют-

ся интегральные условия. Одними из первых статей, посвящённых изучению задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными, были публикации Дж. Кэннона [62] и Л. И. Камынина [13]. Эти работы можно считать началом систематического исследования задач с интегральными условиями.

Несколько позже появились статьи Н. И. Ионкина [9] и [10], в которых была показана однозначная разрешимость задачи для уравнения теплопроводности с нелокальным условием следующего вида:

I

о

В дальнейшем задачи с интегральными условиями для параболических уравнений были исследованы в работах Н. И. Юрчука [61], А. И. Кожанова [19], Н. И. Иванчова [7].

В то же время, работ, в которых рассматриваются нелокальные задачи для гиперболических уравнений, гораздо меньше. Их систематическое исследование началось в 90-х годах XX века. Одними из первых работ являются статьи Л. С. Пулькиной [34], [52]. Интегральный аналог задачи Гурса для гиперболического уравнения рассматривался О. М. Кечиной и Л. С. Пулькиной в статье [15]. Работа [36] Л. С. Пулькиной также посвящена изучению задач с интегральными условиями для гиперболического уравнения.

Существование единственного решения смешанной задачи для гиперболического уравнения с переменными коэффициентами с усло-

вием Неймана их(0,£) = 0 и интегральным условием

I

О

доказано Л. С. Пулькиной в [38].

Результаты проведённых к данному моменту исследований дали мотивацию для классификации нелокальных интегральных условий. Условиями второго рода называют соотношения, связывающие значения искомого решения и его производных как во внутренних точках области, так и в точках её границы. Условия первого рода содержат значения искомого решения только во внутренних точках области. В статье Л. С. Пулькиной [63] на примере двух начально-краевых задач для волнового уравнения показана существенная разница между условиями первого и второго рода.

Ещё одна неклассическая задача для многомерного гиперболического уравнения с граничным условием вида

и\3т = у К(х,у,Ь)и{у,г)(1у

п

исследовалась А. И. Кожановым и Л. С. Пулькиной в [20]. Там авторы сводили нелокальную задачу к задаче с нулевыми граничными условиями для уравнения соболевского типа.

Исследования показали, что многие классические методы доказательства разрешимости начально-краевых задач не применимы для нелокальных задач, поскольку нелокальные условия приводят к неполноте и неортогональности системы собственных функций задачи [9]. В связи с этим, возникла необходимость разработки новых

методов, позволяющих исследовать разрешимость нелокальных задач.

Разработке некоторых методов исследования разрешимости нелокальных задач посвящена первая глава диссертации. В ней рассмотрены две задачи для уравнения

ии ~ (а(х, ^их)х + с(х, г)и = /О, г)

в области С^т = 0 < х < I, 0 < £ < Т} с начальными

условиями

и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х).

В первой задаче одно из граничных условий содержит интегральный

оператор, причём интегрирование ведётся как по пространственной

переменной, так и по переменной времени. А именно,

г I

= ! J к{1,у,г,т)и(у,т)<1у(1т. о о

Во второй задаче нелокальное условие имеет вид

I

и{1,£) = J К{х)и{х,Ь)(1х. о

Заметим, что оба нелокальных условия содержат значения в граничных точках самой искомой функции и(х, £), а не её производной. Это делает невозможным применение метода компактности для доказательства разрешимости задач. В некоторых случаях нелокальные задачи с условиями, содержащими значения на границе искомой функции, можно исследовать методом вспомогательных задач, но это сопряжено с необходимостью решать задачу с ненулевыми граничными условиями, что представляет собой отдельную проблему,

особенно острую для гиперболических уравнений, так как сопровождается эффектом "потери гладкости". Поэтому важно разработать новые методы исследования задач с условиями указанного вида. В диссертации предложен такой метод.

Другим классом неклассических задач являются нелинейные задачи. Классические граничные условия линейны. Они возникают в результате ограничений, принятых при построении математической модели. Например, в классических постановках задач о колебании струны под струной понимается гибкая упругая нить, величина натяжения которой может быть вычислена по закону Гука. В книге [57] упоминается нелинейное граничное условие

которое описывает продольные колебания пружины при упругом закреплении концов, не подчиняющемся закону Гука. Задачи с нелинейными граничными условиями для параболических и эллиптических уравнений изучались в работах В. А. Кондратьева [22], Н. А. Ларькина, Э. Тронко [64], И. В. Филимоновой [59], С. Жер-би, Б. Саида-Хуари [63]. Гиперболические уравнения с граничными условиями такого типа практически не изучены.

Ж.-Л. Лионе в книге [26] рассматривает задачи для эллиптического уравнения с граничным условием, содержащим нелинейное слагаемое вида \и(1, ^\ри(1, £). Эта нелинейность также изучается в работах М. О. Корпусова [23], [24]. В данной диссертации будут исследованы задачи для гиперболического уравнения с граничными условиями, содержащими нелинейные слагаемые видов |п(7, Ь)\ри(1, Ь)

и А{Ь)ии{1, рщ(1, £)• Для гиперболических уравнений ока-

залось невозможно применять методы, подобные использованным в указанных работах. Во второй главе диссертации разработаны некоторые методы исследования задач с нелинейными граничными условиями для гиперболического уравнения и доказана разрешимость двух нелинейных начально-краевых задач.

Опишем подробнее основные результаты диссертационной работы. Как уже было отмечено, первая глава посвящена изучению нелокальных задач. В первом параграфе поставлена задача 1: найти в области = '■ 0 < х < I, 0 < £ < Т} решение уравнения

Щг — (^{х,Ь)их)х + с(х,1)и = f(x,i), удовлетворяющее начальным условиям

и(х,0) = ср(х), щ(х,0) = ф(х), граничному условию

■и{о, г) = О

и нелокальному условию

* I

и{1^) = У J К(1,у,Ът)и{у,т)<1ус1т, о о

где а(х, , с(х^), — функции, заданные в области

¿) > 0 для любой € К(х,у^,т) задана в Цт х

а (р(х) и ф(х) — на отрезке [О, I].

В предлагаемой работе получены условия разрешимости этой задачи, которые сформулированы в следующей теореме.

Теорема 1. Если функции /(#,£),

(р(х), ф(х) удовлетворяют условиям а(х, £) £ С1^?), с(х^) Е С((2Т),

f(x,t) e L2(Qt), K(x, y, t, t) g C2([0,/] x [0,/] x [0,T] x [0,T]), (p(x) G W^O, /), ^(x) € ¿2(0, l) и, кроме того, выполняются условия согласования

<р(1) = о,

i

ф(1) = J K(l,y,0,0)<p(y)dy, о

то существует единственное решение и(х,у) G W^iQr) задачи 1.

Во втором параграфе исследуется задача 2: найти в области Qt решение гиперболического уравнения

ий - (аих)х + си = f(x,t),

с начальными данными

и(х,0) - (р(х), щ(х, 0) = ф(х),

удовлетворяющее граничному условию

u(0,t) =0

и интегральному условию

i

u(l,t) = J K(x)u(x,t)dx, о

где функции a(x,t), c(x,t), f(x,t) заданы в области QT, a(x,t) > 0 для любой (x,t) £ QT, К(х), (р(х) и ф(х) заданы на отрезке [0,1].

Получен следующий результат.

Теорема 2. Если функции а(х, t), с(х, t), /(ж, £), К(х), <р(х), ф(х) удовлетворяют условиям a(x,t) £ c(x,t) € C(QT), f(x,t) Е

L2(Qt), K(x) G C2[0,/], K{0) = 0, \K(x)| < у для любого ж G

[0,1], ср(х) G И/21(0,/), ^(я) G 1/2(0,/) и, кроме того, выполняются

следующие условия согласования

i

(р(1) = J K(x)(p(x)dx, о

i

о

то существует единственное решение и(х,у) G И^НОг) задачи 2.

Во второй главе диссертационной работы доказана однозначная разрешимость двух задач с нелинейными граничными условиями. В параграфе 3 рассматривается задача 3: найти решение уравнения ии — (аих)х + си = f(x,t) в области Qt, с начальными данным

и(х, 0) = <р{х),

щ(х, 0) = ф(х), удовлетворяющее граничным условиям

ux(0,t) = 0,

a(l,t)ux(l,t) + \u(l,t)\pu(l,t) = 0,

где a(x,t), c(x,t), f{x,t) — функции, заданные в области QT, a(x,t) > 0 для любого (x,t) G QT, (р(х) и ф(х) заданы на отрезке [0,/].

Доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия:

f{x,t) G

L2(Qt), c(x,t) G C(QT), a(x,t) G C\QT), ф) G W^O,/), ф(х) G

12

Ь2(0,1), (р'(0) = О и а(1,0)<р'+1<р(1)1р<р(1) = О, тогда для любого р > О существует единственное решение задачи 3.

В четвёртом параграфе поставлена задача 4: найти в области (¿т решение гиперболического уравнения

Ьи =

где

Ьи = иы - (а(х, €)их)х + с(х, Ь)щ с начальными данными

и(ж,0) = О, щ{х, 0) = 0,

удовлетворяющее граничным условиям

= 0,

а{1, 1)их{1, £) + А(1)ии(1,¿) + |щ(1, *)|I) = 0,

где а(х, ¿), с(х^), — функции, заданные в области

а(ж, £) > 0 для любой £ От; Ж^) — функция, заданная на

отрезке [0,Т].

Доказаны следующие теоремы разрешимости. Теорема 4. Если А(£) = 0, /(ж,*) £ с(х,г) £ С(ДТ),

с^х^) £ С(С}Т), а(ж,£) £ СХ((3Т), аь{х,£) £ С^С^), то для любого р > 0 существует единственное решение задачи 4.

Теорема 5. Если £ И^ЧФг), £ сь(х,г) £

С(ёг), € С1^), ^(ж,0 £ С1^), А(*) £ С^Т],

А(£) ^ Ао > 0, то для любого р > 0 существует единственное решение задачи 4.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных и нелинейных задач, а также при исследовании прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с интегральными и нелинейными условиями.

Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались на научных семинарах кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета (руководитель — д. ф.-м. н., профессор Л. С. Пулькина), на Шестой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2007" (Казань), на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна — 2008, на Международной конференции по дифференциальным уравнения и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.), на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов" (Москва, 2011 г.), на Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 2011 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42], [51]—[56].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Л. С. Пулькиной за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Глава 1. Нелокальные задачи для гиперболического уравнения с интегральными граничными условиями

В этой главе будут рассмотрены две задачи с нелокальными краевыми условиями вида

(и + Ки)зт — 0, и\эт + Ки = 0, (1.1)

где К — некоторый интегральный оператор, Бт — боковая поверхность цилиндра С^т = П х (О,Т), Г2 — ограниченная область пространства

Исследования нелокальных задач показали, что многие классические методы доказательства разрешимости начально-краевых задач не могут быть использованы для нелокальных задач без соответствующих модификаций.

Заметим, что если нелокальное условие интегрального типа имеет вид

— |<?т + Ки = 0,

то удаётся применить метод компактности [26]. В задачах с условиями (1.1) это сделать не удаётся.

В статье [20] предложен способ исследования задач с условием (1.1), который включает в себя метод продолжения по параметру и метод регуляции, и доказана однозначная разрешимость задачи в пространстве У\ = {и{х,Ь)\ и(:г, ¿) £ ^(0, Г: И^О^)), щ(х, £) 6 Ьоо(0, Т: И/21(^)), ии{х, ¿) е Ьоо(0,Г: ¿2^))}, если выполняются довольно сильные условия на коэффициенты и входные данные.

Целью исследований предлагаемой работы является поиск альтернативных методов исследования задач с условием (1.1).

Показано, что при п = 1 можно использовать более простые методы и значительно уменьшить требования на входные данные, сохранив основную идею перехода к классической смешанной задаче для нагруженного уравнения.

§1. Начально-краевая задача с нелокальным по пространственной переменной и по переменной времени

1.1. Постановка задачи 1

Рассмотрим в области С}т = {0 < х < 0 < Ь < Т} гиперболическое уравнение

и поставим для него начально-краевую задачу.

Задача 1. Найти в области (¿т решение уравнения (1.2), удовлетворяющее начальным условиям

интегральным условием

Ьи = ии ~ (а(х, Ь)их)х + с(х, Ь)и = /(ж, £) (1.2)

и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х)

(1.3)

граничному условию

= 0

(1.4)

и нелокальному условию

(1.5)

где a(x,t), c(x,t), f(x,t) — функции, заданные в области QT, a(x,t) > 0 для любой (x,t) Е ~ условие гиперболичности уравнения (1.2), К(х, у, t, т) задана в QTxQT, а <р(х) и ^(ж) — на отрезке

[ОЛ

1.2. Разрешимость задачи 1

Теорема 1. Если функции a(x,t), c(x,t), f(x,t), K(x,y,t,r), (p(x), ф(х) удовлетворяют условиям а(х, t) Е Cl(QT), с(х, t) Е C(QT), f(x,t) Е L2(Qr), К(х,у,г,т) E C2([0,/] x [0,/] x [0,T] x [0,2]), E W^O,/), ^(ж) E Z/2(0,/) и, кроме того, выполняются условия согласования

ip(l) = 0, (1.6)

i

ф(1) = J K(l, у, 0,0)ip(y)dy, (1.7)

о

то существует единственное решение и(х,у) £ W^Qt) задачи 1.

Замечание. Из условий теоремы след�