Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Яковлева Юлия Олеговна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 -і КОЯ 2йи

005538208

Белгород — 2013

005538208

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет».

кандидат физико-математических наук, доцент Андреев Александр Анатольевич

Зарубин Александр Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет», физико-математический факультет, заведующий кафедрой «Математический анализ и дифференциальные уравнения»

Миронов Алексей Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Елабужский институт Казанского федерального университета», физико-математический факультет, доцент кафедры «Математического анализа, алгебры и геометрии»

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», факультет прикладной математики, информатики и механики

Защита состоится 10 декабря 2013 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, БелГУ, корпус 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет».

Автореферат разослан 30 октября 2013 г.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.015.08 г Гриценко С.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследование краевых задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому типу уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями.

Гиперболические уравнения и системы уравнений гиперболического типа третьего и более высокого порядка являются математическими моделями разнообразных процессов: флаттера свободнонесущего крыла; нестационарного прямолинейного течения несжимаемой жидкости второго порядка; течения жидкости Навье-Стокса-Олдройта; колебаний уируговязкой нити; колебаний стержня при наличии релаксации и последействия простейшего типа.

Одним из основных вкладов в начало современной теории гиперболических уравнений второго порядка в частных производных является получение Г. Риманом интегрального представления решения задачи Коши в форме, аналогичной представлениям решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с помощью функций Грина.

Идею метода Римана многие математики пытались перенести на более широкий класс уравнений. В. Вольтерра, Ж. Адамар, С. Л. Соболев привели аналогичную форму представления решений задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка с числом независимых переменных больше двух. А. Старков, Л. Бианки, О. Николетти предложили распространение метода решения задачи Коши, разработанного Риманом, на общий случай дифференциального уравнения п-го порядка в частных производных с п независимыми переменными. Обобщение метода Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными было выполнено Э. Хольмгреном. Различные аспекты исследования метода Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка приведены в работах Т. В. Чекмарева, а также Б. Н. Бурмистрова, где матрица Римана построена в замкнутом виде для одной системы частного вида.

В монографиях Бицадзе А. В. и Векуа И. Н. приведено применение метода Римана для одного класса гиперболических систем второго порядка с двумя независимыми переменными и кратными характеристиками. Решения краевых задач для систем гиперболических уравнений второго порядка методом Римана описаны в работах А. А. Андреева и многих других исследователей.

П. Бургатти и Ф. Реллих обобщили метод Римана решения задачи Коши для линейных уравнений порядка выше второго с числом независимых переменных равным двум. Дальнейшему развитию метода Римана для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными выше второго порядка посвящены работы А. П. Солдатова, М. X. Шханукова, О. М. Джохадзе, В. И. Же-галова, Б. А. Уткиной, В. А. Севастьянова, А. Н. Миронова, Б. Мидорашвили,

О. С. Зикирова и других.

Исследование методов решения краевых задач для гиперболических уравнений и систем гиперболических уравнений, без вспомогательных функций (функций Римана, Римана-Адамара), рассмотрено в работах Ж. Адамара, J1. Берса, Ф. Джона, И. Г. Петровского, О. А. Олейник, А. В. Бицадзе, С. С. Ха-рибегашвили.

Результаты A.B. Бицадзе, И.Г. Петровского, А. П. Солдатова, М.Х. Шха-нукова, О. М. Джохадзе, В. И. Жегалова, А.Н. Миронова и A.A. Андреева являются основой для исследования краевых задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа, рассматриваемых в настоящей работе.

Актуальность исследований таких краевых задач обоснована как внутренней логикой развития соответствующих разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных, базирующихся на идеях Римана, так и ясными перспективами использования этих задач при математическом моделировании различных процессов.

Целью диссертационной работы является построение в явном виде решений краевых задач для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка частного вида с кратными характеристиками с двумя независимыми переменными; построение решений краевых задач для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками с двумя независимыми переменными в случае коммутирующих матричных коэффициентов.

Методы исследования. В настоящей диссертационной работе использованы аналитические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, аналитические и алгебраические методы матричного исчисления, аппарат специальных функций.

Научная новизна данной работы заключается в том, что:

- в явном виде построены матрицы Римана задач Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка частного вида с кратными характеристиками с двумя независимыми переменными;

- получены в явном виде регулярные решения задач Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка частного вида с кратными характеристиками с двумя независимыми переменными;

- исследованы условия корректности постановки характеристической задачи для гиперболического уравнения с некратными характеристиками третьего порядка с двумя независимыми переменными;

- найдены регулярные решения характеристической задачи и задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа с некратными характеристиками третьего порядка с двумя независимыми переменными в случае коммутирующих матричных коэффициентов.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе,

могут быть использованы для дальнейших исследований краевых задач для систем уравнений гиперболического типа высокого порядка. Кроме научного интереса для широкого круга математиков и специалистов, работающих в области уравнений математической физики, полученные результаты могут быть полезными при решении прикладных задач, сводящихся к таким уравнениям.

Положения, выносимые на защиту:

1. Построение в явном виде матриц Римана и регулярных решений задач Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка частного вида с кратными характеристиками.

2. Условия корректности постановки характеристической задачи для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками.

3. Получение в явном виде регулярных решений задачи Коши и характеристической задачи для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками в случае коммутирующих матричных коэффициентов.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях и семинарах: восьмой и девятой Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2011г., 2013г.); шестнадцатой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их при-гожения» (г. Саратов, 2012г.); двадцатой международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (г. Ростов-на-Дону, 2012г.); втором международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2012г.); третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 2012г.); международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Белгород, 2013г.); научном семинаре «Неклассические задачи математической физики» кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н. Л. С. Пулькина, 2013г.); научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н. В. П. Радченко, 2012г., 2013г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 14 публикациях, из них 6 — в журналах из перечня ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата. Статьи [1,4,5,7,8,9,12,14] опубликованы в соавторстве с А. А. Андреевым и их результаты принадлежат авторам в равной мерс.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка, содержащего 118 наименований. Общий объем диссертации составляет 116 страниц.

Содержание работы

Во введении приведен краткий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, отображены ее содержание, постановка задач исследования, основные результаты и подход к исследованию, а также дополнительная информация о работе.

В первой главе для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка с кратными характеристиками частного вида рассмотрены и решены методом Римана задачи Коши и Гурса; с использованием аппарата гипергеометрических функций построены матрицы Римана в явном виде.

Для системы

Uxxy + ÍIU = 0, (1)

где U (х, у) — тп - мерная вектор-функция, ÍI — постоянная действительная (т х т) матрица, поставлены и решены следующие задачи.

Задача Коши. Найти регулярное решение U {х, у) G C3(R х М) системы (1) в плоскости {(х, у) : х € Е, у £ М}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у — х:

и (*, у) U = = ад, ^g^U = ОД. (2)

где А(х), В(х), С{х) е С2(Щ - заданные вектор-функции, п = -

нормаль к нехарактеристичсской линии.

Задача Гурса. Найти регулярное решение U (х, у) € C3(D) системы (1) в области D = {(я, у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1} независимых переменных, удовлетворяющее условиям на характеристиках:

U {х, у) |1=0 = А(у), Ux (х, у) ¡х-о = В (у), U (х, у) |у=0 = С(х), (3)

где А(у), В(у), С(х) е С1 (7), I = (0,1) — заданные вектор-функции такие, что А{0) = С(0), С'(0) = В{0).

В разделах 1.1,1.2 приведены необходимые сведения об обобщенных гипергеометрических функциях, а также элементы классификации гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка, которые используются в дальнейших исследованиях.

В разделе 1.3 построены в явном виде решения задач (2), (3) для системы (1), результаты сформулированы в виде теорем.

Теорема 1.1. Если вектор-функции А(х), В(х), С(х) G С2(Е), то существует. единственное регулярное решение U (х, у) 6 С3(К х Ж) задачи Коши (2) для системы уравнений (1) в плоскости {(а;, у) : х € у 6 К}.

Решением задачи Коши является вектор-функция

и (х0, у0) = А(у0) - -

(х - х0)о^2 (1, | тП) (А"(х) - С{х))йх-го

У°

| |((я - хо)2 + 1) 0*2 и, | т) {Л(х) + А'{х) + в(х))<Ь-

Хо

Уо

~ - х0)2{х - [2, тп) (А'(х) + В(х))с1х-

Х0

1/(1

(х - х0)4(х - уо)И2 0^2 (з, тП^ А(х)с1х,

"бО

где т = 0р2 (а, Ь; 'А) — обобщенная гипергеометрическая функция

матричного аргумента 2, а е Е, 6 ё К.

Теорема 1.2. Если вектор-функции А(у), В(у), С(х) 6 С1{1), I = (0,1), то в области О = {(а;, у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1} существует единственное регулярное решение 17 (х, у) 6 С3(П) задачи Гурса (3) для системы уравнений (1).

Методом Римана построено регулярное решение задачи Гурса:

и(х0, уо) = (о*2 (1, | 7-ой) (2, | Л(0)+

Уо

+ (1, + ^По^ | пП^

0

УО

+ (1, | пп)) В'{у)йу+

о

Хо

о

где то = -\х1 Уо, п = (у-уо),т2 =-\{х- х0)2 у0.

Матрица Римана задач Коши и Гурса для системы уравнений гиперболического типа (1) вводится как решение некоторой специальной задачи Гурса и имеет вид:

У{:г0, уо; х, у) = (х

В разделе 1.4 в явном виде получены решения задач Коши и Гурса методом Римана для системы

Ми = иххуу + ііи — 0, (4)

где и (х, у) — искомая т - мерная вектор-функция, Г2 — постоянная действительная (т х т) матрица; с использованием аппарата обобщенных гипергеометрических функций построена матрица Римана. Основные результаты сформулированы в виде теорем.

Теорема 1.3. Если А{х), В{х), С(х), О(х) Є С3(К), то существует единственное регулярное решение II (х, у) Є С4(М х Ж) задачи Коши для системы уравнений (4) в плоскости {(х, у) : х Є К, у Є К}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у = х:

и (х, у) |у=1 = А(х), = В(х),

d2U(x,y)

| у=Х — С(х),

дп &U{x,y).

: - D{x),

■ Х0)(Х - Уо) оFZ ( 1, | |; тП ) (А'"(х) - В"(х) - С'(х))

dx+

дп2 дп* 19=1

где п = — ~ нормаль к нехарактеристиче.ской линии. Регулярное решение задачи Коши имеет вид:

Уо .

U (х0, Уо) = А(уо) + \ | [(* - Уо) 0F3 (l, | | tîî J (A"(x) - C(x))j dx+

Уо xo

+ï J [((* - ®û)(® - Уо) + 1) oFz (l, | |; ril) (D(x) - 4A'(x) - 4B(x))

x0

I [{x ~X0)2(X ~yo)3çîoF3 (2î 11тП) {A"{x) ~c(x)

xo

-I | [(X - x0)2(x - y0)2n0F3 (2, | | (A'(x) + B(x))

x0

I [(a; ~X0)4(X ~Уо)4п2 oFs (3' \ l'' tÇI) №)+B{x))

Xo

J [(x - xo)2(x - yo) о*з (2, | riî) A(x)

dx—

dx—

dx—

dx—

dx—

225

(х - х0)\х - y0fn?0F3 (3, -, -; riïj A{.

7 7

dx—

529600

(x - x0)6{x - y0fn3 о F3 ^4, -, tQJ A(x)

9 9 Л

dx,

гле T - (х-ХоПх-уо)2

іде T — 16 _

Теорема 1.4. Если А{у), В {у), С(х), D{x) Є Cl{I), І = (0,1), то существует единственное регулярное решение U (х, у) Є C4(jD) задачи Гурса для системы уравнений (4) в области D = {(х, у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1}, удовлетворяющее условиям на характеристиках:

U (х, у) |1=0 = Л(у), Ux (х, у) [х=о = В(у), U (х, у) \у=0 = С(х), Uy (ж, у) |j,=o = D(x).

Методом Римана построено регулярное решение задачи Гурса: U (х0, уо) = А{уо) - x0y00F3 (l, | T0Qj В\0)+

Хо

+ J 2/о (оF3 (і, І тхп) + Iniîoib (2, І |; т^п)) D'(x)dx+

о

Хо

' (о^з (і, I І ПО) + Çnr10F3 (2, І ті£і)) C'(x)dx+ 0

Хо

о

0F3 (і, І І r20j +2T2ÎÎ0Î3 (2, І І

2/0

4 - ItoJfiois (2, І І T-2fîJ ЛЫ^-Ь

0

Уо

~ 14(у - Уо)&т20Р3 (з, І \ A(y)dy+

1

У0

, - уо)П3т-|о^з (4, І І T2f2j

+

+

+-

+7

16 33075.

где То = п = - хо)'-'у1 т2 (у - г/о)2 ■

Матрица Римана задач Коши и Гурса для системы уравнений гиперболического типа (4) вводится как решение некоторой специальной задачи Гурса и имеет вид:

Т/, > ( \( \ р (л 3 3- (х-хо)2(у-Уо)2гЛ у0; х, у) = (х - х0) {у - у0) о-Рз I 1, ¿¡> у-Тб- ) '

Во второй главе рассмотрены характеристическая задача и задача Коши для системы уравнений гиперболического типа с некратными характеристиками третьего порядка вида

лиххх + вихху + Сихуу + иууу = О, (5)

где А, В, С - постоянные попарно коммутирующие матрицы второго порядка с различными собственными значениями, {/ (х, у) 6 Сл (К хК) - двумерная вектор-функция.

Для разделения исследуемой системы на отдельные уравнения в формуле (5) выполнена замена V = ТУ (при с1е1 Т ф 0) и совершен переход к системе вида

Лл^ххх + АпУхху + АсУхуу + Уууу = 0, (6)

где Т - матрица преобразования, одновременно приводящая матрицы А, В, С к диагональной форме Ад, Лв, Ас-

В этом случае преобразованная система (6) распадается на два отдельных уравнения вида

Г ац^ + ьухху + С1у1уу + V1 = 0,

\ Я2*4х + Мхху + С^Луу + = 0, характеристическое уравнение каждого из которых имеет три различных отличных от нуля действительных корня А1 > Аг > Аз и > дг > Мз соответственно.

Раздел 2.1 содержит необходимые предварительные построения, включая решение задачи Коши для гиперболического уравнения третьего порядка, не содержащего производных меньше третьего порядка,

ааиххх 4- сцихху + а2 ихуу + азиууу — 0, (7)

где ао) а\, а,2, аз — некоторые действительные ненулевые постоянные, и решение задачи Коши для гиперболического уравнения

^хху ^хуу 0 ■ (8 у

Приведена известная теорема 2.1 Э. Хольмгрена существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы гиперболических уравнений с аналитическими коэффициентами. Построен аналог формулы Далам-бера для уравнений (7), (8). Результаты сформулированы в виде лемм.

Лемма 2.1. Общее решение уравнения (8) из класса C3(R х IR.) представляется в виде суммы и(х, у) == f (х — С\) + g(y — С2) + h(x + у — С\{) любых трех функций /. д и h из класса С3(Ж), где С\. С2, Сз — произвольные константы из R.

Лемма 2.2. Если а(ж), Р{х), у(х) G C3(R), то существует единственное регулярное решение и (х, у) € С3(М х R) задачи Коши для уравнения (8) е плоскости {(ж, у) : х G Ж, у € К}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у — х:

и{х, у) \у=х = a(z), у=х = Р(х), =

где п = —Тг) — Н0Рмаль к нехарактеристичсской линии. Регулярное решение задачи Коши построено в явном виде. Лемма 2.3. Если а{х), /3(х), ф) е C3(R), то существует единственное регулярное решение задачи Коши и (х, у) G C3(R х R) для уравнения (7) в плоскости {(х, у) : х 6 R, у 6 R}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристичсской линии у = 0:

и(х, у) |у=о = а (ж). = Р(х), =

где п -- (0,1) — нормаль к нехарактеристической линии. Функция

»<*•»> = о.-^хл.-л/'^'Ц - (At - А.ХА, - А,)^.».

гл/ , 1 ч , «1- Аа0

F(x, у, Л) = а{х - -у) +-

Л do

мdt + ü

7(t) [x-jy-t)dt,

является регулярным решением задачи Коши. Формулу (9) будем называть аналогом формулы Даламбера.

В разделе 2.2 в явном виде построены решения задач Коши для системы уравнений гиперболического типа (5). Основные результаты изложены в теоремах.

Теорема 2.2. ЕслиА(х), В{х), С(х) Є С3^), то для системы уравнений (5) существует единственное регулярное решение П (х, у) Є C3(RxR) задачи Коши в плоскости {(х, у) : х Є М, у Є К}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у = 0:

и (х, 0) = А(х), ^ (1,0) = В(х), 0 (т,0) = ОД, 11

где п = (0,1) — нормаль к нсхарактеристической линии.

Доказательство теоремы носит конструктивный характер. Теорема 2.3. Если А(х), В(х), С(х) є С3[0, I], то для системы уравнений (5) существует единственное регулярное решение {/ (х, у) Є С3(Б) задачи Коши, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у — 0:

и (х, 0) = ^ (1,0) = В{х), 0 (х,0) = ОД, а; Є [0, г],

гдеп = (0,1) — нормаль к нехарактеристической линии, область Б = 0іП02,

Ґ/ ч 1 1 , 1 1 ,1

А = | (х,у) : уУ < х < —у + I, уу <х<—у + П,

02 = \{х,у) : — У < х < —у + 1, —у < х < — у+ ІІ • I РЧ № Мз Из )

Регулярное решение приведенной задачи Коши построено в явном виде. Для системы уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками

ихху - рихуу = 0, (10)

где Р— квадратная матрица второго порядка, рассмотрена краевая задача. После некоторых преобразований система (10) распадается на два отдельных уравнения с некратными характеристиками. Справедлива теорема.

Теорема 2.4. Если а1(:г), [1і(у), 7® (ж) Є С3(К), г = 1, 2, то для системы уравнений (10) в плоскости {(х, у) : х Є М, у Є К} существует единственное регулярное решение С/ (х, у) Є С3 (К х Е) краевой задачи, удовлетворяющее условиям:

(1и и (х, яг» = аЧ*), (Ія, V (ж, -х)> = а2(х),

д2и, Д ,, ч /, д2и, Л 2,

где (-, •) — скалярное произведение, Пг = —^ , Пг = ) >'

Ь, ¡2 — векторы, зависящие от матричного коэффициента системы (10).

Регулярное решение краевой задачи построено в явном виде.

В разделе 2.3 решены некоторые корректные характеристические задачи в плоскости {(х,у): х е М, у 6 Ж} и в области, ограниченной характеристиками, для уравнения

ихху Ихуу =

0 (И)

к в плоскости {(г, у) : х £ R, у £ R} для уравнения

аоиххх + сцихху + а.2иХуу + а3иууу = О,

где £¡0) аь а2, оз - некоторые действительные постоянные, отличные от нуля. Установлены условия корректности постановки характеристической задачи для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками. Приведен пример, демонстрирующий некорректность классической постановки задачи Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками. Результаты сформулированы в леммах.

Пусть aod(ar), Д„¿(х), ты(х), ае„{х): Аи(.т), 7eiXz) - нечетные и четные части функций а(х), /3(х), *у(х) € С3(М) соответственно.

Лемма 2.4. Если -у^х) = аДх) - /^(я), а (ж),/3 (у), 7(3;) £ С3(К); то характеристическая задача для уравнения (11)

и (х, 0) = а{х), и (0, у) = Р(у), и (х, -х) = 7(2;)

в плоскости {(х, у) : х £ R, у £ R} корректна по Адамару.

Регулярное решение и (х, у) 6 С3(Ш х К) характеристической задачи построено в явном виде.

Лемма 2.5. Если = а^(х) - х), а(х),/3(у),ф) £ С3[0, 1], то

характеристическая задача для уравнения (11)

и (х, 0) = а(х), и (0, у) = Р{у), и{х, 1 - х) = 7(.т)

в области D = {(х, у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1} корректна по Адамару.

В явном виде получена функция и(х, у) £ C3(D), являющаяся регулярным решением характеристической задачи.

Лемма 2.6. Eaiuiod{x) = а^ах)-\-j3od{(l-(j)x), гдеа = а(х),/3(х), ■у(х) £ C3(R), то характеристическая задача для уравнения (12)

и(х, Aii) = a(x), и(х, А2х) = /3(х), и(х, А3х) = 7(1)

в плоскости {(х, у) : х £ R, у £ К} корректна по Адамару.

Регулярное решение и (х, у) € C3(R х R) характеристической задачи построено в явном виде:

1

+2 1 +2

/ у - А3х\ _ VAi-ЛзУ

У - А3х Аг — A3 (:У ~ A3x)(Ai - А2) (Ai - А3)(А2 - А3)

У - А2х Ai — А2 — Aix

Т2

(у ~ Aix)(A2 - А3) (Ai - Аз)(Ах - А2) ,'(у~ А2х)(А1-Аз)

Pi

' 'Jev

(А 1 - А2)(А2 - Аз) У - Aix\ (у- А2х\ Ai - А3/ 7e4A2-A3j

+

Раздел 2.4 содержит решение характеристической задачи для системы уравнений гиперболического типа (5). Основные результаты изложены в теоремах.

Теорема 2.5. Если уЫх) = с&М + ^((1 - а^х), 7^(х) = а^(<т2х)+ +/&((! - Ъ)х), где аг = <т2 = а'(х),/?(х), е С3(Ж), г = 1,2, (•, •} — скалярное произведение. ¿1, зависят от. матричных коэффициентов системы (5), та характеристическая задача для системы (5)

(гь и (ж, \1Х)) = а1 (ж), {12, и {х, щх)) = а2{х), {1и и (х, Х2х)) = 01(х), (г2, и (х, щх)) = Р2{х), {1и и (х, А3х)> = ^(х), {12, и (х, цзх)) = 72(х)

в плоскости {[х, у) : х 6 Ж, у £ К} корректна по Адамару.

Теорема 2.6. Если тЦх) = а\Л{х) - /^(х), ^{х) = п2ы(х) + В^х), а{х) = (а1^), а2(х))т е С3(Ж), /?(ж) = (/Э1^), /32(х))т € С3(Ж), 7(х) = (7:(х), 72(ж))т £ С3(Ж), (•, •) — скалярное произведение, 5 - постоянная матрица второго порядка, зависящая от матричного коэффициента системы (10), то характеристическая задача

и(х, 0) = £ЭД, £Г(0, = (1и и (х, -х)) = У (г), </2, С/ (х, х)> = 72(х)

в плоскости {(ж, у) : х е Ж, у £ Ж} корректна по Адамару.

Регулярные решения характеристических задач построены в явном виде.

Заключение

1. Для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка с кратными характеристиками частного вида получены регулярные решения задач Коши и Гурса методом Римана, решения указанных задач и матрица Римана для них получены в явном виде.

2. Сформулированы и исследованы условия корректности постановки характеристической задачи типа Гурса для гиперболического уравнения и системы уравнений гиперболического типа третьего порядка с некратными характеристиками.

3. Построено корректное решение характеристической задачи для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками в случае коммутирующих матричных коэффициентов.

4. Для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками, не содержащего производных меньше третьего порядка, построено регулярное решение задачи Коши в виде, аналогичном формуле Даламбера.

5. В явном виде получено регулярное решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками в случае коммутирующих матричных коэффициентов.

Основные публикации по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] Яковлева, Ю. О. Задача Гурса для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми переменными / Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. — 2011.

- № 3(24). - С. 35-41.

[2] Яковлева, Ю. О. Аналог формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками / Ю. О. Яковлева // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. - 2012. - № 1(26). - С. 247-250.

[3] Яковлева, Ю. О. Одна характеристическая задача для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка общего вида с некратными характеристиками/ Ю. О. Яковлева // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. — 2012.

- № 3 (28). - С. 180-183.

[4] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка с некратными характеристиками/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2013. - № 1, 4.2. - С. 3-6.

[5] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. - 2013. - № 1(30). - С. 99-106.

[6] Яковлева, Ю. О. Задача Коши для гиперболического уравнения и системы гиперболических уравнений третьего порядка с некратными характеристиками/ Ю. О. Яковлева // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. — 2013. — № 11(154). - С. 109-117.

Другие публикации:

[7] Яковлева, Ю. О. Об одной характеристической задаче для системы гиперболических уравнений третьего порядка/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев II Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Материалы второго международного Российско-Узбекского симпозиума. Нальчик: Эльбрус, 2012. — С. 48.

[8] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача на плоскости для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка

/ 10. О. Яковлева, А. А. Андреев //В сб.: Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 16-Й Саратовской зимней школы. Саратов: Научная книга, 2012. — С. 7-8.

[9] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для системы гиперболических уравнений третьего порядка на плоскости/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев //В сб.: Материалы третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара: СамГТУ, 2012. — С. 36.

[10] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка общего вида с некратными характеристиками / Ю. О■ Яковлева // В сб.: Математика. Экономика. Образование. Материалы XX Международной конференции. Ростов н/Дону, 2012. С. 89-90.

[11] Яковлева, Ю. О. Задача Коши для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми переменными/ Ю. О. Яковлева //В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. девятой Всероссийской научной конф. с международным участием. - Ч.З. Самара: СамГТУ, 2013. - С. 96-99.

[12] Яковлева, Ю. О. Решение задачи Коши для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений четвертого порядка с двумя независимыми переменными методом Римана / Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. девятой Всероссийской научной конф. с международным участием. — Ч.З. Самара: СамГТУ, 2013. - С. 7-10.

[13] Яковлева, Ю. О. Задача Коши для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка с некратными характеристиками / Ю. О. Яковлева // В сб. материалов международной конференции: Дифференциальные уравнения и их приложения. — Белгород: ВелГУ, 2013. — С. 220.

[14] Яковлева, Ю. О. Краевые задачи для систем гиперболических дифференциальных уравнений порядка выше второго / Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев II В сб. материалов международной конференции: Дифференциальные уравнения и их приложения. — Белгород: ВелГУ, 2013. — С. 15.

Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д 212.015.08 ФГАОУ ВПО НИУ «ВелГУ» (протокол №11 от 16.10.2013г.) Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ №965.

ФГБОУ ВПО «СамГТУ» Отдел типографии и оперативной печати 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Яковлева Юлия Олеговна

Научный руководитель —

кандидат физико-математических наук,

Андреев Александр Анатольевич

Самара - 2013

Содержание

Введение 4

1. Задачи Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками 26

1.1. Обобщенный гипергеометрический ряд ........... 26

1.2. Характеристики и характеристические направления для линейного дифференциального уравнения и для линейной системы дифференциальных уравнений........... 28

1.3. Задачи Коши и Гурса для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка................ 36

1.3.1. Построение матрицы Римана............. 36

1.3.2. Решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка........ 40

1.3.3. Решение задачи Коши для гиперболического уравнения третьего порядка................ 44

1.3.4. Решение задачи Гурса для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка........ 46

1.3.5. Решение задачи Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка................ 47

1.4. Задачи Коши и Гурса для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка............... 48

1.4.1. Построение матрицы Римана............. 49

1.4.2. Решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка...... 51

1.4.3. Решение задачи Коши для гиперболического уравнения четвертого порядка............... 55

1.4.4. Решение задачи Гурса для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка...... 57

1.4.5. Решение задачи Гурса для гиперболического уравнения четвертого порядка............... 59

2, Краевые задачи для системы уравнений гиперболического типа с некратными характеристиками 61

2.1. Задача Коши для гиперболических уравнений третьего порядка. Аналог формулы Даламбера............ 62

2.2. Задача Коши для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка..................... 78

2.3. Характеристическая задача типа Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка.............. 86

2.4. Характеристическая задача для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка с некратными характеристиками ............................ 93

Заключение 99

Список литературы 100

Введение

Исследование краевых задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому типу уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями. В то время как эллиптическим дифференциальным уравнениям в физике соответствуют, вообще говоря, состояния равновесия, гиперболические уравнения, содержащие в качестве одной из независимых переменных время применяются прежде всего для описания колебательных и волновых процессов [42].

Гиперболические уравнения с двумя независимыми переменными третьего и более высокого порядка применяются в качестве математических моделей различных процессов: нестационарного прямолинейного течения несжимаемой жидкости второго порядка [78,94]; течения жидкости Навье-Стокса-Олдройта [61]; колебания упруговязкой нити [16,17]; колебания стержня при наличии релаксации и последействия простейшего типа [36]; явление флаттера свободнонесущего крыла [37,83] и других.

Известно [42], что одним из основных вкладов в начало современной теории гиперболических уравнений второго порядка в частных производных было положено Г. Риманом [99], получившим представление решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка

иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = ¡(х, у).

В его работе нет общего доказательства существования и способа построения решений, а рассмотрены некоторые примеры, допускающие явное решение. В предположении, что решение задачи Коши для уравнения второго порядка существует, Риман дает изящное явное интегральное представление решения в форме, аналогичной представлениям решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с помощью функций Грина [95].

Метод, применяемый Г. Риманом, предполагал существование вспомогательной функции, теперь называемой функции Римана, обладающей известными свойствами [42]. Хорошо известно [19,41,49], что функция Римана играет фундаментальную роль в теории линейных уравнений второго порядка гиперболического типа и с ее помощью удается, как правило, записать решение задач Коши и Гурса в явном виде. Кроме того, Риман обосновывал свой метод получения формулы представления решения с помощью аналогии между дифференциальным уравнением и конечной системой линейных уравнений.

Идея Римана настолько изящна, что многие математики пытались перенести идею этого метода на более широкий класс уравнений. В. Воль-терра [104], Ж. Адамар [1], С. Соболев [73,102] привели аналогичную форму представления решений задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка с числом независимых переменных больше двух.

Для уравнения вида

(Я+ М)и = /(:&),

дп

где И — Бп = —--—, М — линейный однородный дифференциальна; 1...охп

ный оператор с переменными коэффициентами, содержащий производные, получаемые из Б отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования, в евклидовом пространстве точек х = (х\,...хп) метод Римана применялся разными исследователями. А. Старковым [76] рас-

смотрен частный случай Ми = с{х)и. В 1895 г. Л. Биапки [91] и О. Ни-колетти [98] предложили распространение на общий случай указанного уравнения метода решения задачи Кош и, разработанного Риманом. В дальнейшем результаты Л. Бианки были переоткрыты Е. Лаэ [97] для п = 3, а позже появились публикации М. К. Фаге [81], посвященные этому же уравнению. Дальнейшее распространение метода Римана на дифференциальные уравнения с числом независимых переменных больше двух показано в работах многих авторов, в том числе Л. Н. Ляхова [46], Ю. В. Засорина [33], С. С. Ахиева [6], И. Г. Мамедова [47] и других.

Обобщение метода Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными было выполнено Е. Хольмгреном [96]. Различным аспектам исследования метода Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка посвящены работы Т. В. Чек-марева [86] и Б. Н. Бурмистрова [12], где матрица Римана построена в замкнутом виде для одной системы частного вида.

В монографии А. В. Бицадзе [10] и в монографии И. Н. Векуа [13] приведено обобщение метода Римана на один класс гиперболических систем второго порядка с двумя независимыми переменными и кратными характеристиками, при этом показано, что вопрос о нахождении матрицы Римана редуцируется к решению системы интегральных уравнений второго рода, которая всегда имеет единственное решение. Решения краевых задач для систем гиперболических уравнений второго порядка методом Римана приведены в работах А. А. Андреева [3,5] и других [60,68].

П. Бургатти [92] и Ф. Реллих [100] привели формулу представления Римана для линейных уравнений порядка выше второго с числом независимых переменных равным двум.

Дальнейшему развитию метода Римана для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными выше второго порядка посвящены работы А. П. Солдатова [74, 75], М. X. Шханукова [88, 89],

О. М. Джохадзе [22] и Б. Мидорашвили [21], О. С. Зикирова [35]. Локальные и нелокальные задачи для уравнений третьего порядка исследуются в работах М. X. Шхапукова [88,89]. В одной из его работ [88] построен аналог функции Римана для уравнения

L(u) = uxxt + d(x, t)ut + rj(x, t)uxx + a(x, t)ux + b(x, t)u = -q(x, t)

с достаточно гладкими коэффициентами. В работе А. П. Солдатова и М. X. Шханукова [74] построен аналог функции Римана для псевдопараболических уравнений высокого порядка и с его помощью изучены краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского.

Все вышеупомянутые авторы развивали метод Римана, отправляясь от его классического варианта, включающего в себя два основных момента: 1) функцию Римана, определяемую как решение сопряженного уравнения и удовлетворяющую граничным условиям; 2) некоторое исходное дифференциальное тождество, связывающее искомое решение и функцию Римана. Последовательное интегрирование указанного тождества приводит к формуле решения рассматриваемой задачи, записываемой через функцию Римана.

Иной вариант метода Римана был предложен и развит В. И. Жега-ловым [27,28,30], Е. А. Уткиной [29,79,80], В. А. Севастьяновым [72], А. Н. Мироновым [50-52]. В исследованиях этих авторов функция Римана определяется как решение некоторого интегрального уравнения.

Результаты A.B. Бицадзе, И. Г. Петровского, А. П. Солдатова, М.Х. Шханукова, О. М. Джохадзе, В. И. Жегалова, А.Н. Миронова и A.A. Андреева являются основой исследования краевых задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка, представленного в настоящей диссертационной работе.

Известно [42,43], что в теории гиперболических уравнений важную

роль играет понятие характеристики. Краевые задачи для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа третьего порядка с некратными характеристиками в некоторых случаях удается решить и без вспомогательных функций (функций Римана, Римана-Адамара). Н. И. Мусхелишвили в своей монографии [57] отметил, что общие решения, если их возможно найти, при целесообразном использовании оказываются часто чрезвычайно полезными, особенно в вопросах прикладного характера. Таким образом, если известно общее решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, то очень часто возможно получить решение поставленных краевых задач.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши в действительном пространстве для линейной системы гиперболических уравнений с аналитическими коэффициентами

^ Аа(х)Оаи = В(х),

|а|<ш

где Ваи - производные функции и{х), а = (ао, а ъ . •., ап) ~~ мульти-индекс, компонентами которого служат неотрицательные целые числа, порядок производной |а| = 0:0 + ^1 + •• • + Аа — квадратные матрицы порядка N и В - вектор-столбец, и с условиями на нехарактеристической свободной поверхности 5 была впервые доказана в 1901 г. Хольм-греном [9].

Гиперболические уравнения и системы уравнений гиперболического типа второго порядка изучены наиболее детально. Их изучение послужило началом построения общей теории уравнений с частными производными. В настоящей диссертационной работе приведен аналог формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка, не содержащего производные порядка меньше третьего. Также получено явное решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа

третьего порядка.

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию некорректных задач, в том числе некорректных граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Исследованию корректности постановки начально-краевых задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными порядка выше второго посвящены работы А. В. Бицадзе [10], С. С. Харибегашвили [84], Е. В. Радкевича и П. А. Захарченко [34,67], А. А. Андреева [2] и многих других [66,69].

С точки зрения постановки граничных задач наиболее хорошо изучены дифференциальные уравнения с частными производными классических типов и непосредственные их обобщения. Тем не менее, характеристические задачи для систем и уравнений гиперболического типа в частных производных с некратными характеристиками изучены недостаточно. Известно [42], что классическая задача Гурса для уравнения гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными с граничными условиями на двух характеристиках из различных семейств всегда является корректной по Адамару. Неожиданный эффект, обнаруженный А. В. Бицадзе, заключается в том, что этот факт может не иметь место для линейных гиперболичееких систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными даже в случае простых характеристических корней. В работе [10] приводятся примеры, показывающие, что для системы второго порядка с некратными характеристиками

д2щ ^ д2щ ^ 2<92и2 =0 д2и2 ( д2и2 ( ^ р

дх2 ду2 дхду ' дх2 ду2 дхду

задача Гурса является некорректной по Адамару [1].

Естественным образом возникает вопрос о корректности по Адамару характеристических задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа от двух независимых переменных тре-

тьего порядка с некратными характеристиками. Исследование корректности по Адамару характеристических задач, решения, полученные в явном виде, приводятся в предлагаемой диссертационной работе.

Цель работы. Целями диссертационной работы являются:

- построение решений краевых задач для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка частного вида с кратными характеристиками с двумя независимыми переменными;

- построение решений краевых задач для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками с двумя независимыми переменными в случае коммутирующих матричных коэффициентов.

Методы исследования. В настоящей работе использованы аналитические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, аналитические и алгебраические методы матричного исчисления, аппарат специальных функций.

Научная новизна. Научная новизна данной работы заключается в том, что:

- в явном виде построены матрицы Римана задач Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками третьего и четвертого порядка частного вида с двумя независимыми переменными;

- получены в явном виде регулярные решения задач Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками третьего и четвертого порядка частного вида с двумя независимыми переменными;

- исследованы условия корректности постановки характеристической задачи для гиперболического уравнения с некратными характеристиками третьего порядка с двумя независимыми переменными;

- в явном виде найдены регулярные решения характеристической за-

дачи и задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками с двумя независимыми переменными в случае коммутирующих матричных коэффициентов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы для дальнейших исследований краевых задач для систем уравнений гиперболического типа высокого порядка. Кроме научного интереса для широкого круга математиков и специалистов, работающих в области уравнений математической физики, полученные результаты могут быть полезными при решении прикладных задач, сводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях и семинарах:

- восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (2011г.) в СамГТУ, г. Самара;

- шестнадцатой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2012г.) в СГУ, г. Саратов;

- двадцатой международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (2012г.) в ЮФУ, г. Ростов-на-Дону;

- втором международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (2012г.) в КБНЦ РАН, г. Нальчик;

- третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (2012г.), г. Самара;

- девятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (2013г.) в СамГТУ, г. Самара;

- международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (2013г.) в НИУ БелГУ, г. Белгород;

- научном семинаре «Неклассические задачи математической физики» кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н. JI. С. Пуль-кина) (2013г.);

- научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н. В. П. Радченко) (2012г., 2013г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикациях [105-118], из которых 6 — в журналах из перечня ВАК. Статьи [105, 107, 109,110, 112, 113, 115, 117] опубликованы в соавторстве с А. А. Андреевым и их результаты принадлежат авторам в рав�