Нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

□03464982

На правах рукописи

Арланова Екатерина Юрьевна

Нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/- Г Г" I__

^ ., I:,г. 1 ----

Белгород - 2009

003464982

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математичёских наук,

профессор,

Репин Олег Александрович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Зарубин Александр Николаевич кандидат физико-математических наук, доцент,

Андреев Александр Анатольевич Ведущая организация: Казанский государственный универси-

тет

Защита состоится 14 апреля 2009 г. в 16.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете, расположенном по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, д. 14, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан » игя^т^л— 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Прядиев В.Л.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для уравнения влагопереноса и для уравнения смешанного типа, представленного в верхней полуплоскости уравнением дробной диффузии, в нижней — уравнением влагопереноса в ограниченных областях.

Уравнение влагопереноса играет заметную роль во многих областях науки. В 1965 году это уравнение было получено известным теплофизиком А. В. Лыковым методами термодинамики необратимых процессов для плотности потока влаги в коллоидном капиллярно-пористом теле поликапиллярной структуры. В биологии оно характеризует поток биомассы микробной популяции в биологическом реакторе.

Однако было бы исторической несправедливостью утверждать, что уравнением влагопереноса впервые заинтересовались физики. В своей книге, вышедшей в 1959 г., А. В. Бицадзе рассматривает уравнение у2ихх—иуу-\-аих = О как пример уравнения - 0 + а(х, у)^ + Ь{х, у)щ + с(х, у)и = 0, для которого при |о| < 1 задача Коши с начальными данными на линии параболического вырождения корректна, несмотря на то, что нарушено условие Геллерстедта lim у1~^а{х, у) = 0. Поэтому уравнение влагопереноса

J/-++0

также называют уравнением Бицадзе—Лыкова. Еще ранее К. И. Карапетян установил корректность задачи Коши для уравнения влагопереноса в случае |о| < 1/11, а = 1/2; Чи Минь-Ю исследовал эту задачу при более повышенном требовании на гладкость начальных данных. Уравнение влагопереноса с точки зрения математики интересно еще и тем, что в случае а = 1 вторая задача Дарбу оказывается некорректно поставленной.

На необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда в одной части области задано параболическое уравнение, в другой — гиперболическое, было указано в 1959 г. И. М. Гельфандом. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой: в канале движение описывается волновым уравнением, вне его — уравнением диффузии.

На сегодняшний день в математической литературе имеются многочисленные работы, в которых изучены нелокальные задачи. Для уравнения влагопереноса можно привести работы A.M. Нахушева, Т.Ш. Кальменова, С.К. Кумыковой, A.A. Килбаса, O.A. Репина, М. Сайго, для уравнений смешанного типа —статьи Г.М. Стручиной, С.И. Гайдука, A.B. Иванова, Л. А. Золиной, X. Б. Бжихатлова, А. М. Нахушева, А. П. Солдатова, В. Н. Аб-рашина, В. А. Елеева, О. А. Репина, А. А. Килбаса, А. Н. Зарубина, А. В. Псху, A.A. Керефова.

Отличительной особенностью задач, рассмотренных в диссертации, является наличие в краевых условиях операторов дробного интегродифференци-

рования М.Сайго, а также модификации операторов Кобера—Эрдейи. Эти операторы представляют собой обобщение широкоизвестных дробных интегралов и производных Римана—Лиувилля, которые имеют многочисленные практические приложения.

Таким образом, уравнение влагопереноса и уравнения параболо-гипербо-лического типа, а также краевые задачи для них, вызывают большой практический и теоретический интерес. Помимо этого, важным аспектом исследования подобного рода задач является получение новых результатов в теории дробного интегродифференцирования и в области дифференциальных, интегральных уравнений. Несмотря на то, что диссертационная работа носит теоретический характер, ее результаты могут получить хорошую физическую интерпретацию.

Цель работы. Основной целью исследования является постановка новых нелокальных задач для уравнения влагопереноса и уравнения смешанного типа, в верхней полуплоскости представленного уравнением дробной диффузии, в нижней — уравнением влагопереноса, и доказательство теорем существования и единственности решения этих задач.

Методика исследований. При доказательстве единственности и существования решений поставленных задач широко используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, свойства обобщенных операторов дробного интегро-дифференцирования.

Научная новизна. Все результаты являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

а) для уравнения влагопереноса (гиперболического типа) получено решение задач со смещением, краевые условия которых содержат линейную комбинацию операторов типа Кобера—Эрдейи и М. Сайго. При этом представлен большой диапазон изменения функций и констант, входящих в краевые условия;

б) для системы дифференциальных уравнений в частных производных с двумя переменными рассмотрены задача Дарбу, для которой доказана корректность задачи, и нелокальная краевая задача, для которой получены условия неединственности;

в) для уравнения влагопереноса при различных значениях коэффициента при младшей производной доказаны теоремы существования и единственности решений краевых задач, содержащих операторы в смысле Кобера— Эрдейи и М. Сайго;

г) для уравнения смешанного типа с дробной производной в ограниченной области решены нелокальные краевые задачи. Решения этих задач получены в замкнутой форме с использованием функций типа Миттаг—Леффлера.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теорети-

ческий характер. Полученные в ней результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки теории нелокальных краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также для решения прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работыОсновные результаты диссертации докладывались на Первой и Четвертой Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, май 2004 г., май 2007 г.); 5-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, сентябрь 2004 г.); XXXI Самарской областной студенческой конференции (Самара, апрель 2005 г.); Международной конференции «Современные методы физико-математических наук» (Орел, октябрь 2006 г.); семинарах кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор В.П. Радченко, декабрь 2007 г., декабрь 2008 г.); VI Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, май 2008 г.); международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, июнь 2008 г.); семинаре кафедры прикладной математики Казанского государственного университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Н.Б. Плещинский, декабрь 2008 г.); научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям Белгородского государственного университета (руководитель— д.ф.-м.н., профессор А.П. Солдатов, февраль 2009 г.).

ПубликацииОсновные результаты диссертации опубликованы в работах [1]~[15]. Часть результатов п.п. 2.1.2, 2.3.1 главы 2 получена в совместных работах с профессором O.A. Репиным (Россия, Самарский государственный технический университет) — см. [7], доцентом E.H. Огородниковым (Россия, Самарский государственный технический университет) — см. [1], [2], [4]-[6]. В совместных работах соавторам принадлежат постановка задач и идея доказательств, а автору диссертации — точные формулировки и доказательства утверждений. Публикации [4] и [15] входят в список публикаций, рекомендованных в ВАК.

Структура и объем диссертацииДиссертационная работа состоит из введения, трех глав, которые разбиты на двенадцать параграфов, заключения, списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 126 страниц. Список литературы содержит 102 наименования.

2. Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Первая глава диссертации посвящена операторам обобщенного дробного интегродифференцирования в смысле Сайго (ж), (х). По-

казано, что дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля (/¿н-/) (^К №-/) {х)> (Щ+П (х)> ((х) и операторы дробного интегродифференцирования типа Кобера-Эрдейи (£'о+?/) (х)' {^1-1) (х) являются их частным случаем. Из многочисленных свойств операторов обобщенного дробного интегродифференцирования Сайго и типа Кобера-Эрдейи, дробных интегралов и производных Римана-Лиувилля выписаны необходимые в дальнейшем, причем некоторые из них с доказательством.

Вторая глава диссертации посвящена нелокальным краевым задачам для уравнения влагопереноса в случаях [а| < 1, а = 1, а = —1.

В параграфе 2.1 рассматриваются краевые задачи с одним нелокальным условием для уравнения влагопереноса при |а| < 1.

В пункте 2.1.1 рассматривается уравнение влагопереноса

Ьи - у2ихх - иуу + аих = 0, |а| < 1, (1)

в характеристической области £>, ограниченной интервалом J — (0, 1) и характеристиками данного уравнения АС — |(а;, у) : х - = 0, у < о| и

ВС={(х, у) : х + ^ = 1,у < о|. За ©о(х) ——у/х) и ©1(х) = —уТ—х) принимаются точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из произвольной точки х €Е (0, 1), с характеристиками АС и ВС соответственно.

Формулируется задача 2.1.

Задача 2.1. Найти функцию и(х, у) € С(Б) ПС2(£>), удовлетворяющую уравнению (1) при |а| < 1 в области И и краевым условиям

А(х) (®) + В(х) (*) = С(х),

и(х, 0) = т(х),

где А2(х) + В2(х) ф 0, Ух £ ./, -А(х), В(х), С(х), т(х) — заданные гладкие функции, «1, аг, /?2 — заданные константы, на которые в дальнейшем будут наложены необходимые условия.

Новизна постановки заключается в том, что в задаче рассматриваются все возможные вариации значений функций и констант, входящих в краевые условия, а сами условия содержат операторы Кобера-Эрдейи и М. Сайго.

Полученные результаты формулируются в виде следующих теорем. Теорема 2.L.I. Пусть Л(х), В(х), С{х) £ С'(7), т(х) £ С'(J) П C2{J), В(х) ф 0 Va; £ J, а2 = ß2 = Qi > Тогда решение задачи 2.1 существует и единственно.

Теорема 2.1.2. Пусть А(х), В(х), С{х) £ C'(J), т(х) £ С'(7) П C2(J), А(х) ф 0 Vx £ J, ai = а>2 > \< ß2<\. Тогда решение задачи 2.1

существует и единственно.

Теорема 2.1.3. Пусть в условиях теоремы 2.1.2 ai = а2 = ß2 = Тогда решение задачи 2.1, вообще говоря, не единственно.

Теорема 2.1.4. Пусть ai = < a2 < -й±3, ß2 = §, B{x) =

(1 - x)*Bi{x), 6 >j. 4(x), B(x), C(x) £ C(J) П C"(J), A(x) ф 0, В^х) ф 0 Vx £ J, r(x) £ C'(J) П C3(J). Тогда задача 2.1 имеет более одного решения. В пункте 2.1.2 для той же области D ставится следующая задача. Задача 2.2. Найти функцию и(х, у) £ C(D) П C2(D), удовлетворяющую уравнению (1) при |a| < 1 в области D и краевым условиям

A(x)ii[0i(x)] = В(х)и(х, 0) + <р(х), Uy(x, 0) = и(х),

где Л(х), В(х), (р(х), г>(х) — известные функции, такие что

Л(х), В(х), <р{х), v(x) £ С[0, 1] П С2(0, 1).

Доказана однозначная разрешимость этой задачи.

Также в этом пункте рассматриваются частные случаи задачи 2.2 при a = 1 и а = —1.

В качестве замечания отмечено, что обобщенные операторы дробного дифференцирования могут успешно применяться при решении краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. Рассматривается система дифференциальных уравнений:

) У Их* 0У ^ дх - и' (о\

1 „2£»1 _ ё-Ш -L §Hl. — f) W

L у дх2 ду2 ^ дх — и>

где и(х, у) = (щ; и2)т — вектор искомых функций, в области D, ограниченной отрезком [0, 1] линии ее параболического вырождения у = 0 и характеристиками £ = х- 2£ = 0и?7 = х + ^-=1,у<0.

Систему уравнений (2) можно записать в векторной форме:

у2ихх - xíyy + Аих = 0,

где матрица А — (Ц) и является простейшим примером инволютивной матрицы.

Для этой системы дифференциальных уравнений изучена нелокальная задача

Л0(ж)и [©¡(х)] = В0{х)и(х, 0) + с0(аг), иу(х, 0) = и(х),

где Д)(е), Во (а;)— известные функциональные [2 х 2]-матрицы, Со(аг), v(x) е С[0, 1] П С2(0, 1) —заданные вектор-функции. Найдено единственное решение этой задачи. Для системы (2) рассмотрена следующая задача.

Задача Дарбу. Найти регулярное в D решение системы уравнений (2) с условиями

v.i[e0{x)] = tp{x), u2[Qi(x)]=iP(x), ZG [0,1],

uy(®, 0) = v(x), x e (0, 1). W

Эта задача рассматривалась в работе Е. Н. Огородникова, однако решение ее не приводилось, а окончательные выражения для компонент вектора т{х) опубликованы в неполном и искаженном виде. Нами решение задачи было уточнено, а результат сформулирован в теореме.

Теорема 2.1.5. Пусть вектор-функции v(x), <p{x),ip{x) ё С[0,1]Г)С2(0,1). Тогда существует единственное в области D решение задачи Дарбу для системы уравнений (2).

В пункте 2.1.3 для уравнения влагопереноса (1) при а = — 1 в области D рассматривается следующая краевая задача.

Задача 2.2.1. Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую уравнению (1) при а = — 1 в области D и краевым условиям

и(х, 0) = т(аг) (ж е [0, 1]) Л CD8V« [e0(i)D (*) + в (/£а'АвЛ [01 (í)]) (х) = д(х) (х е (0, 1)),

где А, В, а, ß — ненулевые вещественные константы, удовлетворяющие условиям:

¿<«<1, ß<0, a — ß > 1, (4)

т(х) и д(х) — известные функции, причем

т(0) = 0, т(х) е ЯЛ1[0, 1]ПС2(0, 1), е ЛГ^СО, 1] П 1), , , а - | < Aj < 1, 1 - а < Л2 < 1. [ J

Будем искать решение задачи 2.1.1 в классе таких функций и(х, у), что lim иу(х, у) = и(х) е ЯЛ[0, 1], 0 < Л < а, А + а > 1.

Эта задача является продолжением исследований работы А. А. Килбаса, О. А. Репина и М. Сайго, где была исследована задача при а = 1.

Доказывается, что разрешимость задачи 2.2.1 сводится к вопросу разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке. Решение задачи дается в явном виде.

Теорема 2.1.7. Если справедливы неравенства (4) и выполняются условия (5), то решение задачи 2.2.1 существует и оно единственно.

В параграфе 2.2 рассматриваются нелокальные задачи для уравнения влагопереноса (1) при |а| < 1, когда краевые условия содержат операторы М. Сайго и типа Кобера-Эрдейи.

Задача 2.3. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) и(х, у) удовлетворяет уравнению влагопереноса (1) при |а| < 1 в области D\ _

2) и{х, у) е C{D) П C\D U (0, 1)) П С2(£>);

3) Л0 (^""Чеоф]) (*) = В0 0)) (х)+

+ С0 lim Uy(х, у) + f0(x);

Аг (i^'^um)}) (х) = Bl 0)) (*)+

+ Сг (f^b-b Дш Uyít, y)j (х) + Мх),

где /о(х), fi(x) —заданные функции такие, что fo(x), fi(x) Е С[0, 1]ПС2(0, 1), Ао, Во, Со, Ai, В\, Ci, ai, аг, b? — заданные константы такие, что Г (|) Ад = Г (i?) В0, Г (§) Аг - Г ) Bi ф 0, С0 ф 0, ^ < в1 < а+3, а2 > 0.

Доказывается, что однозначная разрешимость задачи 2.3 сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра, которое имеет единственное решение. Полученный результат формулируется с помощью теоремы.

Теорема 2.2.1. Пусть функции /0(х), fx(x) £ С[0, 1] П С2(0, 1), действительные константы Ai, В i, Со, С\, аj, аг, &г удовлетворяют условиям Г(|)А0 = Г(*±2)Я0, Г (|) Ах-Г (1=2)5! ф 0, С0 ф 0, < ai < ef, ü2 > 0. Тогда задача 1)-3) имеет единственное решение.

Далее, в этом же параграфе исследуются задачи 2.3.1 и 2.3.2, аналогичные по постановке и решению задаче 2.3. Главное отличие заключается в том, что задача 2.3.1 посвящена уравнению влагопереноса в случае а — 1, а задача 2.3.2 —в случае а — —1.

В параграфе 2.3 для уравнения (1) рассматривается задача, в которой след искомого решения и нормальная производная связаны обобщенными операторами дробного интегродифференцирования в смысле М. Сайго.

В пункте 2.3.1 рассматривается задача для |а| < 1. Задача 2.4. Найти функцию и(х, у) б С (7Т) П С2 (Б), удовлетворяющую уравнению влагопереноса (1) при |а| < 1 в области О и краевым условиям

+ А2 Ь" * Дт щ (I, у)^ (ж) = ^ (х) (х € 3), В, (1 - х)°+2^ (1 - гу* и[©! (*)]) (х) =

+ в3 - —е-1* Дт и, (г, 2/)) + щ (х) (X е з),

где А^ г, В1,2, 31 аь С1, а, /3 — ненулевые вещественные константы, которые удовлетворяют условиям - В2 Ф 0, § < 01,61 < 1, — ^ < а < /3 < ^(х) и <р2(х) — известные функции, причем </зх(х) е Я*1 (7),

ох - | < < 1,1р2(х) е ЯА' (7), о+ < А2 < 1.

Будем искать решение этой задачи в классе таких функций и(х, у), что Дт иу(х, у) = г/(х) е ЯА [7], \ < А < 1.

Здесь доказывается, что разрешимость задачи 2.4 сводится к вопросу однозначной разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке. Решение дается в явном виде.

В пунктах 2.3.2-2.3.3 рассматриваются аналогичные по постановке и методу решения задачи. Основным отличием является то, что в пункте 2.3.2 рассматривается уравнение влагопереноса при а = 1, а в пункте 2.3.3 —при а = —1.

В параграфе 2.4 рассматривается уравнение влагопереноса (1) при |о| < 1 в области О = £)хи1>2, где — область, ограниченная интервалом 3 = (0, 1) и характеристиками данного уравнения АС\ = |(х, у) : х - ^ = 0, у < о|,

ВС\ = |(х, у) : х + Ц^ = 1, у < 0/?2 —область, ограниченная интервалом

3 = (0,1) и характеристиками АС2 = |(х, у) : х - ^ = 0, у > о|,

ВС2 — |(х, у) : х + \ = 1, у > о|. За ©о(ж) и ©1(х) принимаются точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки х б с характеристиками АС\ и ВС2 соответственно: ©о(х) = (|, —^/х), ©1(х) —

В пункте 2.4.1 рассматривается краевая задача для уравнения влагопере-носа при (а| < 1. Формулируется задача 2.5.

Задача 2.5. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) и(х, у) удовлетворяет уравнению влагопереноса (1) при |о| < 1 в области £>;

2)и(х, у)ес(р)пс2(п)1

3) и(х, -0) — и(х, +0) (г £ «/), Нт иу(х, у) = Иш^иу(х, у) (х е </);

4) Ло (х) = Во 0)) (*) +

+ Со ^ Дт иу (г, у)^ (х) + щ (х) (х е /),

А, (X) = Вг 0)) +

+ У),

где Адд, ¿?о,ь Сод, а^г, 61,2 —ненулевые вещественные константы, которые удовлетворяют условиям <01 < —^ < 02 < Ь, Ь2 > 0, А0Г (¿) - В0Г (***) ф 0, А{С (¿) - В!Г (1=2) ф 0, щ{х) и ^(г) - известные функции, причем <р0(аО е Я*0 (7), ах - ^ < А0 < 1, ^(х) 6 НХг (7), а2 + ^< Ах < 1.

Будем искать решение этой задачи в классе таких функций и(х, у), что

2/) = "(*) е ЯА р], \ < А < 1.

Вопрос о существовании единственного решения этой задачи сводится к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения относительно т{х) = и(х, —0) = и(х, +0) и получает положительный ответ.

В пункте 2.4.2 рассмотрены аналогичные по постановке и методу решения задачи. Главным отличием является то, что уравнение влагопереноса рассматривается при а = ±1.

Третья глава посвящена нелокальным краевым задачам для уравнения смешанного типа, в верхней полуплоскости представленного уравнением диффузии дробного порядка, в нижней — уравнением влагопереноса.

Рассматривается уравнение смешанного типа:

0= Г ихх~-В%+1уи, у> 0,

\ У2ихх - иуу + аих, у < 0, |а| < 1. ^ '

Здесь £>о+1 у — частная дробная производная Римана-Лиувилля порядка

а, 0 < а < 1 от функции и(х, у) по второй переменной:

о

Пусть £> = £>+ и £>~, где Б+ = {(х, у) : 0 < х, у < 1} — квадрат, — область, лежащая в нижней полуплоскости (у < 0) и ограниченная характеристиками уравнения (1) и отрезком [0, 1] прямой у = 0.

Краевые задачи как с локальным, так и нелокальным смещением для уравнений вида (6) были объектом исследования учеников научной школы А. М. Нахушева. Отмечаются, в частности, работы А. В. Псху и С. X. Гекки-евой.

В параграфе 3.1 для уравнения (6) исследована следующая задача.

Задача 3.1. Найти решение и(х, у) уравнения (6) при |а| < 1 в области £>, удовлетворяющее краевым условиям

Ц0, у) = <р0{у), и{1,у) = ч>1{у), (7)

Л (2С^-а1и[0о(г)]) (х) = В 0)) (*)+

+ С lim иу(х, у) + <р(х), (8)

у-*0-

a также условиям сопряжения

(9)

lim у1 аи(х, у) = lim и(х, у) (х £ J), lim у1'0 (у1~аи(х, у)) = lim иу{х, у) {х £ J),

где А, В, С, ai — заданные константы, такие что

г-. ^/l + aN^, a-3 a + 3 ,.п.

= JB, _<ai<—, (10)

ip(x), >pi{y), f2{у) —заданные функции, такие, что

ф) £ C{J) n C2(J), У1~аш, У1-аШ G C(D+), vi(0) = Va(O) = o.

(И)

Будем искать решение и(х, у) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области О таких, что

у1~аи{х, у) £ С(Щ, и(х, у) £ С(5=), у1-а £С(0+и {(я, у) : 0 < X < 1, у = 0}), (12)

«и € <?(£>+и Я"), ^£0(0=). 12

Вопрос о существовании единственного решения сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода, которое имеет единственное решение.

Теорема 3.1.1. Пусть выполняются условия (10) и (11). Тогда существует единственное решение задачи 3.1 для уравнения (6).

В пункте 3.1.2 рассматриваются задачи, аналогичные по постановке и методу решения, где уравнение влагопереноса рассматривается при а — ±1.

В параграфе 3.2 изучена задача для уравнения (6), в которой функциональными соотношениями связаны искомая функция и ее производная.

Задача 3.2. Найти решение и(х, у) уравнения (6) в области D, удовлетворяющее краевым условиям (7) и

Ai {х) + Аг ^ьЬьсг Дт %(i, у)^ (Ж) = ср(х), (13)

где Л2, ai, Ь\, а — заданные константы, такие что

^ < аь Ъх < 1,

а также условиям сопряжения (9).

Будем искать решение и(х, у) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области D таких, что выполняются условия (12).

Единственность решения задачи 3.2 вытекает из аналога принципа экстремума A.B. Бицадзе. Существование решения задачи доказывается путем сведения задачи к интегральному уравнению Вольтерра второго рода

ГЕ

v(x) - д(х) +

Г(1)

u(t) s/x — tdt,

где А = — и последующим использованием теоремы, приведенной в

книге М. М. Джрбашяна «Интегральные преобразования, и представления функций в комплексной области». В итоге для и(х) имеем:

ь>(х) = д(х) + А

y/x-tEit| g{t)dt.

Используя функциональные соотношения между т(х) и V (х) из параболической и гиперболической частей области и следующую лемму: Лемма 3.2.1. Если А е С, то

II

Vt-sEz s ^A(i-s)^ g(s)ds j (х) = (z-s) = -Ej | ^А(ж-в)^ g(s)ds,

находим функцию т(х) в каждой из областей и и получаем решение задачи 3.2 в в каждой го областей, а значит, и ее решение в заданном классе функций в области V.

В параграфе 3.3 для уравнения (6) рассмотрена задача следующего вида.

Задача 3.3. Найти решение и(х, у) уравнения (6) при |а| < 1 в области £>, удовлетворяющее краевым условиям (7) и

А (X) = в 0)) (®)+

+ С д^(Х)+Ф), (14)

где А, В, С, а\, — заданные константы, такие что у/к А — Г В ф 0, ^ < «1 < , 61 > 0, а также условиям сопряжения (9).

Будем искать решение и(х, у) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области Б таких, что выполняются условия (12).

Решение данной задачи аналогично решению задачи 3.2. Решение задачи получено в явном виде.

В пунктах 3.3.2 и 3.3.3 рассмотрены задачи 3.3.1 и 3.3.2, где уравнение влагопереноса рассматривается при а=1иа = -1 соответственно.

В заключение сформулируем основные результаты, выносимые на защиту.

1. Для уравнения Бицадзе—Лыкова (уравнения влагопереноса) поставлены и исследованы новые краевые задачи со смещением. Установлен эффект влияния коэффициента при младшей производной на корректную постановку нелокальных краевых задач. Выявлены случаи, когда можно получить явные решения рассматриваемых задач и изучены вопросы единственности этих решений.

2. Для одной системы дифференциальных уравнений с частными производными, которая записана в векторной форме уравнения влагопереноса с инволютивной матрицей, рассмотрены две нелокальные задачи и построены их решения в замкнутом виде

3. Установлена однозначная разрешимость новых нелокальных краевых задач для параболо-гиперболического уравнения, в верхней полуплоскости представленного уравнением дробной диффузии, в нижней — уравнением влагопереноса. Разработана методика редукции этих задач к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода.

Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, а также при исследовании конкретных задач математической физики.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Репину Олегу Александровичу за поддержку и постоянное внимание к работе.

3. Список публикаций

[1] Арланова, Е. Ю. Об одном аналоге оператора дробного интегрирования, его свойствах и применении / Е. Н. Огородников, Е. Ю. Арланова // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции. - Т. 3.- Самара: СамГТУ, 2004,- С. 170-175.

[2] Арланова, Е. Ю. О некоторых существенно нелокальных краевых задачах для уравнения влагопереноса в специальном случае / Е. Ю. Арланова, Е. Н. Огородников // Труды 5-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». Естественные науки. - Т. 1,2. - Самара: СамГТУ, 2004. - С. 18-25.

[3] Арланова, Е. Ю. Существенно нелокальные краевые задачи для систем уравнений влагопереноса в специальном случае / Е. Ю. Арланова // Тезисы докладов XXXI Самарской областной студенческой конференции. — Т. 1.- Самара: СамГУ, 2005.- С. 81.

[4] Арланова, Е. Ю. Некоторые нелокальные аналоги задачи Коши—Гурса и существенно нелокальные краевые задачи для системы уравнений Вицад-зе—Лыкова в специальных случаях / Е. Н. Огородников, Е. Ю. Арланова // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2005. — Т. 34.-С. 24-39.

[5] Арланова, Е. Ю. О корректности некоторых существенно нелокальных краевых задач для систем уравнений влагопереноса в специальных случаях / Е. Н. Огородников, Е. Ю. Арланова // Обозрение прикладной и промышленной математики. Материалы Шестого Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (Спб.). — Т. 12, Вып. 1. - М.: ТВП, 2005. - С. 169-171.

[6] Арланова, Е. Ю. Аналог задачи Дарбу и задачи со смещением для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка / Е. Н. Огородников, Е. Ю. Арланова // СамДифф-2005: всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», г. Самара, 27 июня - 2 июля 2005 г. Тезисы докладов. — Самара: Издательство «Универс-групп», 2002.-С. 57-59.

[7] Арланова, Е. Ю. Аналог второй задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения / Е. Ю. Арланова, О. А. Репин // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Третьей Всероссийской научной конференции. — Т. 3.— Самара: СамГТУ, 2006.— С. 46-51.

[8] Арланова, Е. Ю. Нелокальные краевые задачи для уравнения влагопере-носа / Е. Ю. Арланова // Современные методы физико-математических наук: Труды международной конференции. — Т. 1. — Орел: ОГУ, 2006. — С. 9-12.

[9] Арланова, Е. Ю. Нелокальные краевые задачи для уравнения влагопере-носа в специальных случаях / Е. Ю. Арланова // СамДиф-2007: всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», г. Самара, 29 января - 2 февраля 2007 г. Тезисы докладов. — Самара: Издательство «Универс-групп», 2007. — С. 28-29.

[10] Арланова, Е. Ю. Нелокальная краевая задача с операторами Кобера—Эр-дейи и М. Сайго для уравнения влагопереноса / Е. Ю. Арланова // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды четвертой Всероссийской научной конференции. — Т. 3. — Самара: СамГТУ, 2007. — С. 29-32.

[11] Арланова, Е. Ю. Нелокальная задача с дробными производными для одного гиперболического уравнения / Е. Ю. Арланова // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2007. — Т. 2 (15). — С. 33-36.

[12] Арланова, Е. Ю. Нелокальная задача при разных значениях параметра уравнения Бицадзе—Лыкова / Е. Ю. Арланова // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Материалы международного Российско-Азербайджанского симпозиума. Нальчик—Эльбрус, 12-17 мая, 2008. - Нальчик: НИИ ПМА, 2008.- С. 182-183.

[13] Арланова, Е. Ю. Нелокальная краевая задача с операторами Кобера—Эр-дейи и М. Сайго для уравнения Бицадзе—Лыкова / Е. Ю. Арланова // Двенадцатая международная научная конференция имени академика М. Кравчука: Материалы конференции (15-17 мая 2008 г., г. Киев). — Т. 1.— Киев: TOB «Задруга», 2008. - С. 489.

[14] Арланова, Е. Ю. О задаче для уравнения Бицадзе—Лыкова с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования в краевых условиях / Е. Ю. Арланова // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной научной конференции (24-28 июня 2008 г., г. Стер-литамак).- Т. 1,- Уфа: Гилем, 2008.- С. 10-14.

[15] Арланова, Е. Ю. Задача со смещением для уравнения смешанного типа с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии / Е. Ю. Арланова // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. - 2008. - Т. 6(65). - С. 396-406.

Заказ № 199. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе. Самарский государственный технический университет. Отдел типографии и оперативной полиграфии. 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Введение

Глава 1. Операторы дробного интегро-дифференцирования и rnggHPHiifi влагопереноса . .,,,,,

1.1. Интегралы и производные дробного порядка.

1.1.1. Обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования и некоторые их свойства

1.1.2. Обобщенные операторы М. Сайго в пространстве Гельдера

1.2. Уравнение влагопереноса.

1.3. Краткие выводы и примечания к главе 1.

Глава 2. Некоторые краевые задачи для уравнения влагопереноса

2.1. Краевая задача с одним нелокальным условием для уравнения влагопереноса

2.1.1. Краевая задача с операторами Кобера-Эрдейи и М. Сайго

2.1.2. Аналог задачи Дарбу для уравнения и системы уравнений влагопереноса.

2.1.3. Нелокальная задача с дробными производными для одного гиперболического уравнения

2.2. Нелокальные краевые задачи с операторами М. Сайго и типа

Х^л^лгч Ч^ТТТ7 ^

1и- ч^х^/^ч*.ii.il . • . . . , и I

2.3. Аналог второй задачи Дарбу для уравнения влагопереноса . . 63 2.3.1. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопереноса при |а| <

2.3.2. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопере-носа при а = 1.

2.3.3. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопере-носа при а = —

2.4. О задаче для уравнения влагопереноса с обобщенными оператог.д. Л.т^ т рс1МИ ДриипОю ИхахС1 рО-ДКСрЦ^срйпЦйрО^апИЛ о хчр<Асоо1л у'ьлипйлл I О

2.4.1. Нелокальная задача для уравнения влагопереноса при

2.4.2. Исследование задачи для уравнения влагопереноса в исключительных случаях (о = ±1).

2.5. Краткие выводы и примечания к главе 2.

Г^ - о тт, г- - ,,, ,, о. ис^шкииШиыС КрайЬЫС аида'-ш длл ^ ри.1з11СЦ|(1й СлШшаиного типа.

3.1. Нелокальные краевые задачи с оп^патоиами Колена—Этшейи для параболо-гиперболического уравнения.

3.1.1. Нелокальная краевая задача для уравнения (3.1) при а| < 1.

3.1.2. Существование и единственность решения задачи 3.1 при а = ±

3.2. Задача, в которой значения функции и ее производной связаны операторами М. Сайго

3.3. Задача со смещением для уравнения (3.1) с обобщенными опера

1 1 1 г \ — юрами дриино1 о йшегро-дифференцирования в краевом условии iüo 3.3.1. Задача для уравнения смешанного типа с оператором ("'qttr'í"» ттли мр^т^р \r-ppр.утпттх^ст о Tjr.yM^T-Tpft ггглгмгггпг\п~ ' " ' ' ' 1 ' X "Í * 1"" J ----1 t .i . .i 1.% г i .tw. J i : - . . / кости |a¡ <

3.3,2. Задача для уравнения смешанного типа с оператором М. Сайго при параметре уравнения в нижней полуплоскости а = 1.

3.3.3. Задача для уравнения смешанного типа с оператором М. Сайго при параметре уравнения в нижней полуплоскости а — —1.

3.4. Краткие выводы и примечания к главе 3.

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию нелокальных ivpcj.OiiblX ос1Д<ЛЛ1 ¿\Jisl ВЫр^лЛ\ДсЬ1О1цИ.л.0у1 j рчШibiiJrija i \J iiiiict ¿ifliji уравнений смешанного типа с дробной производной в ограниченных областях.

Орнпкоппттагятлцтт/тми в развитии тропии vnaBHPHMft ом^щаннпгг» типа стали труды Ф. Трикоми [74] и С. Геллерстедта [80]. В работах отечественных и зарубежных математиков рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи Большая заслуга в развитии таких исследований принадлежит А. В. Бицадзе, С. П. Пулькину, В. А. Ильину, Е. И. Моисееву, А. М. Наху-шеву, В. И. Жегалову. Интересные результаты получены в работах А. П. Сол-датова, А. И. Кожанова, А. Н. Зарубина, К. Б. Сабитова, И. Б. Нлещинского, P.C. Хайруллина, В.А. Елеева, A.B. Псху, O.A. Репина, Л.С. Пулькиной, А. Андреева, Iii. II. ч^ГОриДПИКОвН и др.

Современные проблемы физики, как отмечает в своей обзорной работе

Л Д л I I7] гтО'о тт&у тттл" о о fS" рг>о il i( т rrMjoi 11 то р^аттл^тчэлгт-ит/'л ттоРО1"1^ класса задач, получивших название нелокальных задач. Сам термин «нелокальная» задача, по-видимому, впервые встречается в работе А. А. Дезина [18].

В диссертационной работе рассматриваются задачи для уравнения вла-гопереноса у2ихх — иуу + аих — 0 и уравнения смешанного типа, представленного в верхней полуплоскости уравнением диффузии дробного порядка, в нижней — уравнением влагопереноса.

Уравнение влагопереноса играет заметную роль во многих областях науки.

Как известно, скорость капиллярного движения влаги wi<an для ряда ка-пиллярнопористых тел обратно пропорциональна пути движения х: о;Кап = па. его капиллярных свойств и вязкости жидкости, В 1965 г. А, В. Лыков [40] для плотности потока влаги j, проходящей через эти тела, вывел уравнение % + ^= (здесь т обозначает время, Ит — коэффициент диффузии влаги в теле), итметим также, что для рассмотренного выше уравнения А. В. Лыков решил задачу в случае полуограниченного тела, через открытую

ПоБсрХНиьТЪ К^ТирОГО Пи^ГуПехеТ ПОСТОЯННЫЙ ПиТиК БЛслПи у у 00 ОЛсДуЮЩИмИ краевыми условиями: т) = ^о, :?(оо, т) = 0, ¿(х, 0) = 0, — 0. Одна

КТ! Я 1998 г Я А Ня^аИРНР [541 П<ЛПРНПДЯТТЯ НРКПГ>РР^"Т,ГТПГ>Т,К ТЯКПЙ ТТОРТ'ЯТТПТЧТГТГ и, уточнив ее, нашла конструктивную формулу решения вновь поставленной задачи через гипергеометрические функции.

Как оказалось, уравнение, полученное А. В. Лыковым, имеет место не только в физике, но и в биологии. Так, если за щ = £) принять одномерный поток некоторой субстанции (например, биомассы микробной популяции) в точке £ биологического реактора 0 ^ £ ^ 1\ в момент времени за П — коэффициент диффузии, за Хз > 0 — константу, связывающую скорость переноса V и путь движения следующим соотношением: V = ,

Г--Л г}„ П ^Я2" г&о, то и,1 оудет удовлетворять уравнению [л] — т-, которое отличается от уравнения, выведенного Лыковым, лишь обозначениями. Сдеттот> г» 'У г/л 1 1тотэттогтит1 '>'1 Мр11 \' оопо* тогутту IV ог>пТТ*>пттГ1 г гг* —— / п / у.^Л.'^--X ---------/-и> У л/хзуо, и(х, у) = щ (л/хзй)У, хЬо) мы придем к более простому соотношению у2иГт—и1Ш+аит = 0. Последнее в силу его физического смысла получило название уравнения влагоперепоеа.

В монографии А. М. Нахушева [51] также показано, что к уравнению влаг гопереноса можно прийти и с помощью линеаризации реактивно-диффузионного уравнения вида щ — [(оси + /3) и]^ + ци — -уи2, где и = и(х< I) — скалярная функция точки х е Я и времени а ск, /5, ¡л и 7 —постоянные величины.

Однако было бы историческом несправедливостью утверждать, что уравиеиием влагопереноса впервые заинтересовались физики, В своей книге [10], вышедшей в 1959 г., A.B. Бицадзе рассматривает уравнение у2ихх — иуу + аих = 0 как пример уравнения 2/та0-0+а(а:, у)щ+с{х, у)и = 0, для которого при ¡a¡ ^ 1 задача Коши с начальными данными на линии параболического вырождения корректна, несмотря на то, что нарушено условие

Геллерстедта lim а(х, у) = 0. Поэтому уравнение влагопереноса так-у—>+о же называют уравнением Бицадзе—Лыкова. Еще ранее К. И. Карапетян [31] установил корректность задачи Коши для уравнения влагопереноса в случае |а| ^ 1/11, а — 1/2; Чи Минь-ю [41] исследовал эту задачу при более повышенном требовании на гладкость начальных данных. Уравнение влагопереноса с точки зрения математики интересно еще и тем, что в случае а = 1 вторая задача Дарбу оказывается некорректно поставленной [4-5, 51].

На необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда в одной части области задано параболическое уравнение, в другой — гиперболическое, было указано в 1959 г. И. М. Гельфандом [17]. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой: в канале движение описывается волновым уравнением, вне его —уравнением диффузии. Я. С. Уфляид в статье [75], опубликованной в 1964 г., описывает задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке 0 < х < I полубесконечной линии потерями пренебрегается, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки.

В качестве примера для уравнения влагопереноса или уравнений, частным случаем которых оно является, можно привести статьи А. М. Нахуше-ва [45, 46, 49], Т.Ш. Кальменова [26-28], В.Н. Врагова [12], С. К. Кумы-ковой [36],. для параболо-гиперболических уравнений — статьи Г. М. Стручи-ной [73], С. И. Гайдука, А. В. Иванова [13], Л. А. Золиной [24], X. Б. Бжихатло-ва, A.M. Нахушева [8], В.Н. Абрашина [1], В.А. Елеева [20]. Следует также отметить, что интерес к подобного рода проблемам не ослабевал и в дальнейшем (см. работы А, М, Нахушева [48], Р. Н, Хубиева [77], М. М. Смирнова [70], Н. Ю. Капустина [29, 30], К. Б. Сабитова [66], А. Сопуева, Т. Д. Джураева [71], Б. Исломова [25], М.Е. Лернера [39]).

Однако в задаче Трикоми одна из характеристик в гиперболической части Г границы смешанной области свободна от граничных условий. Поэтому точки Г не являются равноправными носителями граничных данных. Такая ситуация имеет место и в задаче С. Геллерстедта [80], в «ударных» задачах Ф. И, Фпянкття Р761. r яялтя.че A.B. Випя.ляе с. отхлпом от хяпя.ктр.пир.тик f9l, ------ L J i — ~ * ' - - — ----1- гт - - -----г-1------ - х-----X"-------- l"- J

Это обстоятельство вызывает принципиальные затруднения при построении теории краевых задач для уравнения смешанного типа в многомерных областях. В связи с этим в 60-х годах А. В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных данных.

Одной из первых работ в этом направлении стала статья В. И. Жегало-ва [23], в которой исследована краевая задача, когда вместо значения искомого решения на одной из характеристик задаются их линейные комбинации с переменными коэффициентами на обеих характеристиках. Важную роль при пртттргтт/тм 1ГЯИНПЙ nnnfinpuu иррпрппванма Д А/Т Tipvumpren \d.R ЛЛ1 Ott '■ ' ' Ч^ 111Х1Х j- у «.■»«■ Л. li^y vs V/V XU1I1U1 vLflA Vtw XAJk Л Ж V/V a. V^vy 4Af4 л Л X J А л А. « ^ т л. • ж Л v^ ХАЛ V ХУ ц^ ^ X ^ ^J « Jt, X предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. Эти задачи явились непосредственным и существенным обобщением задачи Трикоми. В отличие от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, в том числе дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья — на линии вырождения уравнения.

Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечалось еще В, А, Стекловым [72]. Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах [51], математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, изучения лазера [79], при изучении процесса размножения клеток [87]. В своей содержательной и полезной с практической и теоретической точек зрения монографии [69] Л. И. Сербииа показывает, что именно нелокальные краевые условия играют важную роль в математических моделях движения грунтовых вод и почвенной влаги.

Значительные результаты по краевым задачам со смещением для уравнения влагопереноса или уравнениям, частным случаем которых оно является, получены в работах С.К. Кумыковой [38], A.A. Килбаса, O.A. Репина, М. Сайго [81, 82], O.A. Репина [63], для параболо-гиперболических уравнений— в работах X.Г. Бжихатлова [7], В.А. Елеева [21], O.A. Репина [62], A.A. Килбаса, O.A. Репина [34], A.A. Керефова, А. О. Желдашевой [32].

А. М. Нахушев [50] подчеркивал, что интерес к двумерным краевым задачам со смещением объясняется не только тем, что они представляют собой существенное обобщение задачи Трикоми и имеют многомерные аналоги, но и тем, что содержат широкий класс корректных самосопряженных задач.

Отличительной особенностью задач, рассмотренных в диссертации, является наличие в краевых условиях операторов дробного интегро-диффе-ренцирования М.Сайго, введенных в работах [83-85], а также модификации операторов Кобера—Эрдейи [68]. Эти операторы представляют собой обобщение широко известных дробных интегралов и производных Римана—Ли-увилля [68], которые имеют многочисленные практические приложения. Так, поток газа Трикоми на звуковой линии прямо пропорционален дробной производной порядка 2/3 от функции тока [52], фрактальная размерность множества Кантора совпадает с дробным показателем интеграла, уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторых физических систем с потерями, причем дробный показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за время эволюции £ [56], турбулентный поток пропорционален дробной производной от удельной влажности на деятельной поверхности [69].

Таким образом, уравнение влагопереноса и уравнения смешанного типа, а также краевые задачи для них, вызывают большой практический и теоретический интерес. Помимо этого, важным аспектом исследования подобного рода задач является получение новых результатов в теории дробного интегро-диф-ференцирования и в области дифференциальных, интегральных уравнений. Несмотря на то, что диссертационная работа носит теоретический характер, ее результаты могут получить хорошую физическую интерпретацию.

Цель диссертационной работы. Целями и задачами исследования являются: а) постановка новых нелокальных задач для уравнения влагопереноса и уравнения смешанного типа, в верхней полуплоскости представленного уравнением дробной диффузии, в нижней — уравнением влагопереноса и доказательство теорем существования и единственности решения этих задач; б) выявление случаев, допускающих возможность получения решений исследуемых задач в явном виде; в) нахождение условий на параметры операторов, заданных функций и констант, позволяющих максимально широко охватить класс рассмотренных в работе задач.

Научная Все результаты являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить: а) для уравнения влагопереноса (гиперболического типа) получено решение задач со смещением, краевые условия которых содержат линейную комбинацию операторов типа Кобера—Эрдейи и М. Сайго. При этом представлен большой диапазон изменения функций и констант, входящих в краевые условия; б) для системы дифференциальных уравнений в частных производных с двумя переменными рассмотрены задача Дарбу, для которой доказана корректность задачи, и нелокальная краевая задача, для которой получены условия неединственности; в) для уравнения влагопереноса при различных значениях коэффициента при младшей производной доказаны теоремы существования и единственности решений краевых задач, содержащих операторы в смысле Кобера—Эп-дейи и М. Сайго; г) для уравнения смешанного типа с дробной производной в ограниченной области решены нелокальные краевые задачи. Решения этих задач получены в замкнутой форме с использованием функций типа Миттаг—Леффлера.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

- Первой и Четвертой Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, май 2004 г., май 2007 г.);

- 5-й международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, сентябрь 2004 г.); ^Г^ГУТ (Пялтрпгтгпы [1 яргнпи рт-иттрн^грг'К'Птл ь'пигЬрпрттттитл' ягтрттт^

-*• м »-д Ч-^ кч^ л л. чу чу V а%л>у/ -л. л. л, чу л а чу л. ^ . чу 1 л к чу л А х V чу л, м ч^у чу чух ¿1 ^¿жи ^ чА-а »л ЧЛ( к Ж^у V аау

2005 г.);

- Международной конференции «Современные методы физико-математических наук» (Орел, октябрь 2006 г.);

- семинарах кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор В.П. Радченко, декабрь 2007 г., декабрь 2008 г.);

- VI Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, май 2008 г.);

- международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, июнь 2008 г,);

- семинаре кафедры прикладной математики Казанского государственного университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Н.Б. Плещинский, декабрь 2008 г.);

- научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям Белгородского государственного университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор А.П. Солдатов, февраль 2009 г.).

ТТубликаттии. Ог.ноштьте пеяультятьт гщспептяттии опубдиковя.ньт н пятттау 1 —■ - "" 1 ~ - г~—\~ ~ ~ ~ х" ' ' О ~ ~ — дцати работах. Часть результатов п.п. 2.1.2, 2.3.1 главы 2 получена в совместных работах с профессором О. А. Репиным (Россия, Самарский государственный технический университет), доцентом Е. Н. Огородниковым (Россия, Самарский государственный технический университет). В совместных работах соавторам принадлежат постановка задач и идея доказательств, а автору диссертации — точные формулировки и доказательства утверждений.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, которые разбиты на двенадцать параграфов, списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 126 страниц. Список литературы содержит 102 наименования.

Заключение

В диссертационной работе достигнуты следующие результаты.

1. Для уравнения Бицадзе—Лыкова (уравнения влагопереноса) поставлены и исследованы новые краевые задачи со смещением.

Установлен эффект влияния коэффициента при младшей производной на корректную постановку нелокальных краевых задач. Выявлены случаи, когда можно получить явные решения рассматриваемых задач и даны ответы на вопросы о единственности этих решений.

2. Для одной системы дифференциальных уравнений с частными производными, которая записана в векторной форме уравнения влагопереноса с инволютивной матрицей, рассмотрены две нелокальные задачи и построены их решения в замкнутом виде.

3. Доказана однозначная разрешимость новых нелокальных краевых задач для уравнения смешанного типа, в верхней полуплоскости представленного уравнением дробной диффузии, в нижней — уравнением влагопереноса.

Разработана методика редукции этих задач к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода.

Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах, как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, а также при исследовании конкретных задач математической физики.

1. Абрашин, В. Н. Метод прямых для задачи сопряжения параболического и гиперболического уравнений / В. Н. Абрашин // Дифференц. уравнения. - 1970. - Т. 6, № 5. - С. 924-928.

2. Андреев, А. А. Об одном классе систем уравнений гиперболического типа / А. А. Андреев // Дифференц. уравнения. Сб. трудов матем. кафедр пединст-ов РСФСР. 1971. - Т. 16, № 1. — С. 3-5.

3. Андреев, А. А. О методе Римана для одной системы уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками / А. А. Андреев // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1981.- С. 13-16.

4. Вейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Вейтмен, А. Эр-дейи. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с.

5. Бжихатлов, X. Г. Об одной краевой задаче для смешанных параболо-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения типа / X. Г. Бжихатлов // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 13, № 1,— С. 10-16.

6. Бжихатлов, X. Г. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / X. Г. Бжихатлов, А. М. Нахушев // ДАН СССР.- 1968,- Т. 183, № 2,— С. 261-264.

7. Бицадзе, А. В. К проблеме уравнений смешанного типа / А. В. Бицад-зе // Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова.— 1953.— Т. 41.- С. 3-57.

8. Бицадзе, А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — 164 с.

9. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

10. Врагов, В. Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений / В. Н. Врагов // Дифференц. уравнения. — 1972. — Т. 8, № 1.-С. 7-16.

11. Гайдук, С. И. Об одной задаче на сопряжение уравнений параболического и гиперболического типов / С. И. Гайдук, А. В. Иванов // ДАН БССР. — 1964. Т. 8, № 9. - С. 560-563.

12. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1967. — 567 с.

13. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — М.: Наука, 1977. — 640 с.

14. Геккиева, С. X. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной / С. X. Геккиева // Докл. Адыгейской (Черкесской) Межд. АН— 2001. — Т. 5, № 2, — С. 18-22.

15. Гельфанд, И, М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений / И. М. Гельфанд // УМН. 1959. - Т. 14. Вып. 3(87).- С. 3-19.

16. Дезин, А. А. Операторы с первой производной по "времени"и неловаль-ные граничные условия / А. А. Дезин // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1967. — Т. 31, № 1. С. 61-86.

17. Джрбашян, М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М. М. Джрбашян.— М.: Наука, 1966.— 671 с.

18. Елеев, В. А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гипербо-лических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа / В. А. Елеев // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 13, № 1. — С. 56-63.

19. Елеев, В. А. О некоторых краевых задачах со смещением для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / В. А. Елеев // Дифференц. уравнения.- 1978. — Т. 14, № 1, — С. 22-29.

20. Ефимова, С. В. Нелокальная задача для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области / С. В. Ефимова // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2005. — Т. 34. — С. 194-196.

21. Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В. И. Жегалов // Уч. зап. Казанск. ун-та. — 1962. — Т. 122, № 3. С. 3-16.

22. Золина, Л. А. О краевой задаче для модельного уравнения гипербола-параболического типа / Л. А. Золина // ЖВМ и МФ.~ 1966.— Т. 6, № 6. С. 991-1001.

23. Исломов, Б, Аналоги задачи Трикоми для уравнения смешанного пара-боло-гиперболического типа с двумя линиями и различным порядком вырождения / Б. Исломов // Дифференц. уравнения.— 1991.— Т. 27, № 6. С. 1007-1014.

24. Калъменов, Т. Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения / Т. Ш. Кальме-нов // Дифференц. уравнения. — 1971, — Т. 7, № 1. — С. 178-181.

25. Калъменов, Т. Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения / Т. Ш. Кальменов // Дифференц. уравнения. 1972. — Т. 8, № 1. — С. 41-54.

26. Кальменов, Т. Ш. О задаче Дарбу для одного вырождающегося уравнения / Т. Ш. Кальменов // Дифференц. уравнения. — 1974. — Т. 10, № 1. — С. 59-68.

27. Капустин, Н. Ю. О разрешимости в классе Ь^ задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью / Н. Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. — 1986. — Т. 22, № 1.- С. 60-66.

28. Капустин, Н. Ю. К теории обобщенного параболо-гиперболического уравнения теплопроводности / Н. Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 1996. - Т. 32, № 3. - С. 375-383.

29. Карапетян, К. И. О задаче Коши для уравнения гиперболического типа, вырождающегося на начальной плоскости / К. И. Карапетян // ДАН СССР.— 1956.- Т. 106, № 6,- С. 963-966.

30. Керефов, А. А. Задача со смещением для уравнения параболо-гиперболического типа / А. А. Керефов, А, О. Желдашева // Труды Всероссийской конференции. — Стерлитамак: 2004,— С. 155-158.

31. Килбас, А. А. Интегральные уравнения: курс; лекций / А. А. Килбас.— Мн.: БГУ, 2005.- 143 с.

32. Килбас, А. А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения / А. А. Килбас, О. А. Репин // Дифференц. уравнения. — 1998.— Т. 34, № 6. С. 799-805.

33. Килбас, А. А. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с дробными производными в краевом условии / А. А. Килбас, О. А. Репин, М. Сайго // Неклассич. ур-я мат. физики. — Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002. — С. 88-95.

34. Кумыкова, С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения sign у\у\тихх + иуу = 0 / С. К. Кумыкова // Дифференц. уравнения.— 1976.-Т. 12, № 1.-С. 79-88.

35. Кумыкова, С. К. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике / С. К. Кумыкова // Дифференц. уравнения.-— 1979,— Т. 15, № 1.— С. 79-91.

36. Кумыкова, С. К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения / С. К. Кумыкова // Дифференц. уравнения.— 1981.— Т. 17, № 1.— С. 81-90.

37. Лернер, M. Е. К постановке краевых задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа / M. Е. Лернер // Дифференц. уравнения,— 1998,- Т. 34, № 10.— С. 1430-1432.

38. Лыков, А. В, Применение методов термодинамики необратимых процессов с исследованием тепло и массообмена / А. В. Лыков // Инж.-физ. жури. — 1965. — Т. 9, № 3. — С. 287-304.

39. Минь-ю, Ч. О задаче Коши для одного класса гиперболических уравнений с начальными данными на линии параболического вырождения / Ч. Минь-ю // Acta Mathem., Sinica.— 1958.— Vol. 8, no. 4, —Pp. 521-530.

40. Мусхелишвили, H. И. Сингулярные интегральные уравнения / H. И. Му-схелишвили. — М.: Наука, 1968.— 511 с.

41. Нахушев, А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / А. М. Нахушев // ДАН СССР. — 1969. — Т. 187, № 4. С. 736-739.

42. Нахушев, А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / А. М. Нахушев // Диффе-ренц. уравнения. — 1969. — Т. 5, № 1,— С. 44-59.

43. Нахушев, А. М. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений / А. М. Нахушев // ДАН СССР. 1970. - Т. 195, № 4. - С. 776-779.

44. Нахушев, А. М. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения.— 1971.— Т. 7, № 1. — С. 49-56.

45. Нахушев, А. М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения вольтерра третьего рода / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1974. —Т. 10, № 1,— С. 100-111.

46. Нахушев, А. М, К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1978.— Т. 14, № 1.— С. 66-73.

47. Нахушев, А. М. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения.— 1980.— Т. 16, № 9.— С. 1643-1649.

48. Нахушев, А. М. Нагруженные уравнения и их приложения / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1983.— Т. 19, № 1.— С. 86-94.

49. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев.—М.: Высш. шк., 1995. —301 с.

50. Нахушев, А. М. Элементы дробного исчисления и их применение / А. М. Нахушев. — Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000. — 299 с.

51. Нахушев, А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / А. М. Нахушев, — М.: Наука, 2006, — 287 с.

52. Нахушева, В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов / В. А. Нахушева. — М.: Наука, 2006. — 173 с.

53. Нахушева, 3. А. Нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / 3. А. Нахушева // Докл. Адыгской (Черкесской) Межд. АН,- 2001.- Т. 5, № 2,- С. 44-48.

54. Нигматуллин, Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерприта-ция / Р. Р. Нигматуллин // Теоретич. и матем. физика. — 1992. — Т. 90, № 3. С. 354-368.

55. Псху, А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка / А. В. Псху // Докл. Адыгской (Черкесской) Межд. АН. — 2000. Т. 5, № 1. - С. 45-53.

56. Псху, А. В. Краевые задачи для диффференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка / А. В. Псху. — Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2005. — 186 с.

57. Репин, О. А. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа / О. А. Репин // Дифференц. уравнения.— 1992. — Т. 28, № 1, — С. 173-176.

58. Репин, О. А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения / О, А. Репин // Дифференц. уравнения.— 1998. —Т. 34, К2 1.— С. 110-113.

59. Репин, О. А. Нелокальная краевая задача для уравнения Бицадзе-Лыко-ва. вырождающегося внутри области / О. А. Репин // Неклассические уравнения математической физики. — Новосибирск: Изд-во Института математики, 2000. — С. 5-13.

60. Репин, О. А. О задаче с операторами М. Сайго на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения / О. А. Репин // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2006. - Т. 43. - С. 10-14.

61. Сабитов, К. В. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболиче-ского типа со спектральным параметром / К. Б. Сабитов // Дифференц. уравнения.— 1989. — Т. 25, № 1. — С. 117-126.

62. Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А. А. Самарский // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т. 16, № П. С. 1925-1935.

63. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

64. Сербина, Л. И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой / Л. И. Сербина. — Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002. 144 с.

65. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов.— М.: Высш.шк., 1985.— 304 с.

66. Сопуев, А. Краевые задачи для вырождающегося параболо-гиперболиче-ского уравнения / А. Сопуев, Т. Д. Джураев // Дифференц. уравнения. — 1989, — Т. 25, № 6,- С. 1009-1015.

67. Стеклов, В. А. Основные задачи математической физики / В. А. Стек-лов.— 2-е изд. М.: Наука, 1983, — 1432 с.

68. Стручина, Г. М. Задача о сопряжении двух уравнений / Г. М. Стручи-на // Инженерно-физический журнал. — 1961. — Т. 4, № 11. — С. 99-104.

69. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных прозводных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947.— 192 с.

70. Уфлянд, Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях / Я. С. Уфлянд // Инженерно-физический журнал. — 1964,—Т. 7, № 1.-С. 89-92.

71. Франклъ, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль. — M.: Наука, 1973. — 711 с.

72. Хубиев, Р. Н. Краевая задача для параболо-гиперболичческого уравнения с неизвестной линией изменения типа / Р. Н. Хубиев // Дифференц. уравнения.— 1979. — Т. 15, № 2. — С. 373-375.

73. Agmon, S. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type / S. Agmon, L. Niren-berg, M. N. Protter // Commun. Pure Appl Math. — 1953. — Vol. 6, no. 4. — Pp. 455-470.

74. Bassanini, P. Contrazioni multi, sistemi giperbolic, e problema del laser /

75. P. Bassanini, M, Calaverni // Alti semin. mat, e fis. Univ. Modem. —1982. — Vol. 31, no. l.-Pp. 32-50.

76. Gellerstedt, S. Su rune equation lineaire aux derives partielles de type mixte / S. Gellerstedt // Archiv Mat., Astr. Och. Fisik— 1937. — Vol. 25A, 29.— Pp. 1-23.

77. Kilbas, A. A. Solution in closed form of boundary value problem for degenerate equation of hyperbolic type / A. A. Kilbas, O. A. Repin, M. Saigo // Kyungpook Math. Journal— 1996, — Vol. 36, no. 2. — Pp. 261-273.

78. Kilbas, A. A. Nonlocal problem for the hyperbolic equation with fractional derivatives in the boundary condition / A. A. Kilbas, O. A. Repin, M. Saigo // Fukuoka University Science Reports. — 2003.— Vol. 33.— Pp. 1-8.

79. Saigo, M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu. Univ. — 1978. — Vol. 11, no. 2. — Pp. 135-143.

80. Saigo, M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation / M. Saigo // Math. Japan. — 1979. — Vol. 24, no. 4. — Pp. 377-385.

81. Saigo, M. On the Holder continuity of the generalixed fractional integrals and derivatives / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu. Univ. — 1980. — Vol. 12, no. 2. — Pp. 55-62.

82. Srivastava, H. M. Multiplication of fractional calculus operators and boundary value problems involving the Euler-Darboux equation / H. M. Srivastava, M. Saigo // J. Math. Anal. Appl. — 1987. — Vol. 121, — Pp. 325-369.

83. Yamada, A. On a mixed problem for the m'kendrick-von toerster equation /

84. А. Уатаёа, Н, ТипакоэЫ // ЯчагЬ, Арр1 МоЖ — 1982. — Уо1. 40, по. 2, — Рр. 165-192.

85. Арланова, Е. Ю. Существенно нелокальные краевые задачи для систем уравнений влагопереноса в специальном случае / Е. Ю. Арланова // Тезисы докладов XXXI Самарской областной студенческой конференции.- Т. 1,- Самара: СамГУ, 2005.- С. 81.

86. Арланова, Е. Ю. Нелокальные краевые задачи для уравнения влагопере-иоса / Е. Ю. Арланова // Современные методы физико-математических наук: Труды международной конференции. — Т. 1. — Орел: ОГУ, 2006. — С. 9-12.

87. Арланова, Е. Ю. Нелокальная задача с дробными производными дляодного гиперболического уравнения / Е. Ю, Арланова // Вестник Са-марск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2007. — Т. 2 (15).— С. 33-36.

88. Арланова, Е. Ю. Задача со смещением для уравнения смешанного типа с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии / Е. Ю. Арланова // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. — 2008. — Т. 6(65). — С. 396-406.