Управляемость и необходимые условия оптимальности в нелинейных гиперболических задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

введение

1 о существовании оптимального управления для одной нелинейной гиперболической задачи

§ 1 Предварительные сведения

§ 2 Основные операторы

§3 Постановка задачи

§4 Существование оптимального управления

2 необходимые условия оптимальности для одной нелинейной гиперболической задачи

§ 1 Теоремы о разрешимости начально-краевой задачи для нелинейного гиперболического уравнения

§ 2 Постановка задачи

§ 3 Дифференцируемость функционала

§ 4 Необходимые условия оптимальности

3 о задаче управляемости для одного нелинейного гиперболического уравнения

§1 Предварительные сведения. Обозначения

§ 2 Формулировка основного результата

§ 3 Строгая дифференцируемость оператора Немыцкого.

§ 4 Завершение доказательства основного результата

4 О ЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ТЕРМИНАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ

§ 1 Предварительные сведения. Обозначения

§ 2 Оценка нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи

§3 Оценка нелинейных добавок в операторах обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

§ 4 Оценка нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

В диссертации исследуются сначала вопросы управления нелинейными гиперболическими уравнениями, а именно, существование оптимального управления и необходимые условия оптимальности для одной нелинейной гиперболической задачи. А затем исследуется локальная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для квазилинейного гиперболического уравнения, которую можно рассматривать как задачу управляемости, где управлениям являются граничные условия. актуальность темы

Задачи управления объектами, описываемыми нелинейными гиперболическими уравнениями и системами, встречаются в различных областях науки и техники, имеющих дело с колебательными процессами. Поэтому исследования по этим задачам ведутся давно и интенсивно продолжаются в настоящее время. В диссертации предполагается использовать современные достижения по нелинейному функциональному анализу применительно к задачам управления, связанным с квантовой механикой, а также к общим задачам управляемости нелинейными гиперболическими системами. Изложение естественным образом разделено на четыре части.

В первой главе доказано существование оптимального управления для одной нелинейной гиперболической задачи. Используется априорная оценка из [18], которая позволяет выделить из минимизирующей последовательности управлений и соответствующей последовательности решений слабо сходящиеся подпоследовательноти. Для обоснования предельного перехода в равенстве, справедливом для элементов минимизирующей последовательности, использованы теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла и теорема о компактности оператора вложения.

Вторая глава посвящена выводу необходимых условий оптимальности для нелинейной гиперболической задачи, рассмотренной в первой главе. Ставится задача минимизации интегрального функционала от решения данной задачи и от управлений, которыми являются начальные данные, коэффициент правой части уравнения, при наличии конечного числа ограничений типа равенства и типа неравенства, где функционалы, входящие в ограничения, имеют тот же вид, что и минимизируемый. Выведены необходимые условия оптимальности первого порядка, которым на решение сопряженной задачи придана "гамильтонова" форма.

В третьей главе доказана локальная разрешимость обратной задачи для квазилинейного гиперболического уравнения, которую можно рассматривать как задачу управляемости, где управлениями служат граничные значения, являющиеся функциями, зависящими от времени. Ту же задачу без нелинейного слагаемого исследовали ранее В.А. Ильин и В. В.Тихомиров в статье [10]. Переход от линейного случая к нелинейному осуществлен с помощью замены переменных, приводящей к задаче с однородными начальными и краевыми условиями и с управлениями, входящими только в правую часть уравнения, и с последующим двукратным применением теоремы об обратной функции. Поскольку обычная теорема об обратной функции локальна, то и результат третьи главы носит локальный характер без уточнения допустимых размеров окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения. Попутно введены обозначения для различных операторов (линейных и нелинейных), встречающихся по ходу дела.

В четвертой главе, на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных суждений, известных до публикаций Сухинина на эту тему) с использованием обозначений из третьи главы получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем, чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.

Вопросы управления линейными и нелинейными гиперболическими уравнениями, задачи управляемости для линейных и нелинейных гиперболических уравнений исследовались также в [1], [6], [8], [9], [11], [12], [13], [19], [20], [28], [30], [31].

В частности, в [1] рассмотрена задача управления колебаниями однородной прямоугольной мембраны. Управление входит в граничные условия типа Неймана. Изучен вопрос о существовании, единственности и гладкости решения; при этом указаны пространства Соболева, в которых полученный результат неулучшаем. Далее доказано, что для одномерных управлений эта система не является приближенно управляемой ни для какого конечного времени. Методом исследования является сведение задачи управления к проблеме моментов относительно семейства экспонент. Доказаны новые свойства этих семейств.

В [6] Рассматривается задача оптимального управления системой канонических гиперболических уравнений с частными производными. Предполагаются новые необходимые условия оптимальности, и строятся алгоритмы оптимизации, обладающие свойством релаксации и сходимости к выполнению условий оптимальности.

В [8] Для задачи граничного управления процессом колебания струны и двойственной ей задачи наблюдения начального состояния гиперболической системы приводится способ конечномерной аппроксимации методом прямых, доказывается его сходимость.

В [9] рассматривается гранично-управляемая система pe(x)utt-uxx = 0, 0<х<1, 0<t<T, u(0,t) = 0, u(l,t) = f(t), 0<t<T, u(x,0) = u0(x), ut (x,0) = u,(x), 0<x<l, где ре L°°(R)- периодическая, ограниченная функция, pe(x) = p( ). Получен e результат от равномерной управляемости этой системы.

В [11] изучается проблема граничного управления на двух концах х = 0их = 1 процессом колебаний, описываемым волновым уравнением utt (х, t) - uxx (х, t) = = 0 и протекающим за промежуток времени 0 < t < Т.

В [12] рассматриваются гиперболические дифференциально-операторные уравнения второго порядка с единичным оператором при первой производной и малым параметром b > 0 при второй производной. При стремлении его к нулю решения уравнений близки к решениям предельного уравнения параболического типа. Получены условия слабой, сильной сходимости этих решений и выведены оценки скорости сходимости порядка р1^2 и |3. Эти результаты используются в задаче перевода системы с управлениями в правой части в заданное конечное состояние. Доказана сходимость решений задач управляемости, найдены оценки скорости сходимости оптимальных управлений и соответствующих траекторий. В [13] рассматривается управляемая система +A(t)y + b(x,t)y(x, t-h) = и в Qx(0,T), at2 y(x,t) =Ф0(х,О в П x [-h, 0], y(x,0) = y0(x), yt(x,0)= yt(x) в Q, dv c(x,t)y(x, t-h) + V надПх(0,Т), дпА y(x,t) = ¥0(x,t) на a0x[-h,0], где Q-ограниченная область в Rn, граница которой - С°°- многообразие, локально лежащая по одну ее сторону, A(t)y =£д /Эxs (ajj(х, t)5у (х, t))/dxj)- равнод А мерно эллиптическии оператор,--производная по нормали. А на траектори

ЭпА ях этой системы минимизируется квадратичный функционал типа

I(u) = b, J|y(x,t,u).Zd|2 + Х21|u при условии u е Uad, U^ - вьшуклое замкнутое подмножество Н0'1. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности для этой задачи. В [20] рассматривается гранично-управляемая система дт w ч дг Л Mr,s) — = 0, at дх ds г л ds л + |i(r,s) — = 0 dt дх с управлением, входящим в нелинейные краевые условия. Доказывается ее управляемость в случае линейного вырождения.

В [28] доказывается теорема существования и принцип максимума для задач оптимального управления, описываемых уравнением колебаний струны на (0,я)х (0,Т) с периодическими краевыми условиями. Управление сосредоточено со <= (0,я).

В [30] рассматривается система указанного в заглавии типа. С помощью некоторой разрывной замены времени она сводится к системе с распределенными параметрами с обычным управлением. На этой основе получен интегральный принцип максимума.

В [31] изучаются вопросы существования решения задач управляемости линейными гиперболическими уравнениями второго порядка. Управление находится в граничных условиях и распределено по части границы области. При условии существования функции (р{х), поверхности уровня которой псевдовыпуклы относительно бихарактеристик гиперболического оператора, доказана разрешимость задачи управляемости.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Доказательство существования оптимального управления для задачи, связанной с нелинейным гиперболическим уравнением.

2. Вывод необходимых условий оптимальности для той же задачи.

3. Доказательство теорем о локальной разрешимости обратной задачи для квали-нейного гиперболического уравнения, которую можно рассматривать как задачу управляемости, где управлениям являются граничные условия.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

В основе доказательства существования оптимального управления используют априорную оценку, которая позволяет выделить из минимизирующей последовательности управлений и соответствующей последовательности решений слабо сходящиеся подпоследовательности. Также используют слабую секвенциальную непрерывность введенного нам функционала.

В основе вывода необходимых условий оптимальности доказывают дифференци-руемость по Фреше функционалов как функций от управлений с учетом того, что решение задачи является однозначной функцией от управлений. В основе доказательства теоремы о локальной разрешимости обратной задачи для квазилинейного гиперболического уравнения лежат известные свойства решений линейных (прямой и обратной) задач, а также двукратное применение теоремы об обратной функции обычной и уточненной в соответствующих функциональных пространствах (в одном из двух случаев пространство прообразов определяется как множество решений соответствующей линейной задачи).

Были также использованы неравенство Гельдера, теорема Фубини, теорема Лебега, теорема Адамара, теоремы вложения.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Существование оптимального управления для одной нелинейной гиперболической задачи.

2. Необходимые условия оптимальности для одной нелинейной гиперболической задачи.

3. Локальная разрешимость обратной задачи для одного нелинейного гиперболического уравнения с терминальным переопределением.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Диссертация носит теоретический характер. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты работы неоднократно докладывались на Всероссийских научных конференциях по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания Российского университета дружбы народов и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа (руководители д. ф - м.н., проф. М. Ф. Сухинин, к.ф. - м.н., доц. М. Е. Боговский, д.ф. - м.н., проф. А. В. Фаминский, к.ф. - м.н. доц. Н. А. Шананин).

ПУБЛИКАЦИИ

По материалам диссертации опубликовано 6 печатных работ.

11

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Диссертация изложена на 113 страницах. Библиография содержит 31 наименование.

1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Семейства экспонент и управляемость прямоугольной мембраны. // Stud. Sci. Math, hung. 1990. T.25. № 3. C.251 - 306.

2. Ампини Д. Обратная задача для квазилинейного гиперболического уравнения. -М., 2002. -33 с. Рус. -Деп. в ВИНИТИ, 24.04.2002, №753 - В2002.

3. Ампини Д. О локальной разрешимости обратной задачи для одного нелинейного гиперболического уравнения с терминальным переопределением. М., 2002. -32 с. -Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 24.04.2002, № 752-В2002.

4. Ампини Д. О существовании оптимального управления для одной нелинейной гиперболической задачи. // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия " Математика". 2002. Т. 8. В печати.

5. Ампини Д. Необходимые условия оптимальности для одной нелинейной гиперболической задачи. // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия " Математика ". 2002. Т. 8. В печати.

6. Бурдуковская А.В., Васильев О.В. Оптимизация систем канонических гиперболических уравнений с гладкими ограниченными управлениями.// Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 2000. Т. 40. № 1. С. 43 53.

7. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач: М.: Наука, 1988.

8. Васильев Ф. П., М. А. Куржанский, М. М. Потапов. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны.// Вест. МГУ. Сер. 15. 1993. № 3. С. 8 -15.

9. Ишмухаметов А.З. Управляемость гиперболических систем при сингулярных возмущениях. // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. № 2. С. 241 250.

10. Kowalewski Adam. Оптимальное управление гиперболической системой с запаздыванием по времени. //Appl. Math, and Comput. Sci. 1993. T.3. № 4. C.687-697. -Англ.

11. Красносельский M. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

12. Kufner A., John О., Fucik S. Function spaces. Prague : Czechoslovak academy of sciences, 1977.

13. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики М.: Наука, 1973.

14. Лиито Ндегва Вангонду. Разрешимость задач оптимизации для интегро- функциональных уравнений: дис. М.: УДН, 1988.

15. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

16. Lions J.L. Иерархическая задача оптимального управления. // Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 1994.T.104. №1. C.295 304.-Англ.

17. Li Та tsien, Zhang Bing - Yu. Управляемость одного класса квазилинейных гиперболических систем. // J. Math. Anal, and Appl. 1998. T.225. № 1. C.289 -311.-Англ.

18. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.113

19. Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и уело -вия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем об -щего вида // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1972. Т.36. №3. С.652 672.

20. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в Лебего -вом пространстве // Сиб. мат. журн.1981. Т.22. № 6. С.142 -161.

21. Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М.: Изд-во РУДН, 1992.

22. Сухинин М.Ф. Правило множителей Лагранжа в локально выпуклых пространствах // Сиб. мат. журн. 1982. Т.23. №4. С.153-165.

23. Сухинин М.Ф. // Дифференциальные уравнения. 1994. Т.ЗО. № 6. С. 1069.

24. Сухинин М. Ф. // Теоретическая и математическая физика. 1995. Т.103. №1. С.23.

25. Trenchea С. Оптимальное управление периодическим уравнением струны с внутренним управлением. // J. Optimiz. Theory and Appl. 1999. 101. № 2. C.429-447.-Англ.

26. У.Флеминг, Р. Ришел. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

27. Хазанов К.К., Кидирзадзе Р.З. Необходимые условия оптимальности в задачах, описываемых гиперболическим уравнением с обобщенным управлением. // Изв. АН Азербайджана. Сер. Физ. техн. и мат. Н. 1999. 19. № 1 2. С. 230-238.

28. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями. Сиб. Мат. Ж. 2000. 41. №4. С. 944-959.