Исследование некоторых задач управления и наблюдения динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Академия наук Беларуси ¡{нститут математики

Ка правах рукописи

СТЕПАН АНДРЕЕВИЧ .

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ И НАБЛЭДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

CI.0I.01 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой стрпени доктора физико-математических наук

Минск 1992

Работа выполнена в Гродненском государственном университете

имени Янки Купзлы *

Официальные оппоненты; академик АН Беларуса Гайшун Иван

Васильева? ■

доктор фиашсо-штеытаческшс наук, профессор Благо датских Виктор Иванович

доктор физико-математических наук, -профессор Наконечный Александр Григорьевич

Ведущая организация - Харьковский государственный университет.

Защита диссертации состоится Н ох. 9£ на заседании специализированного совета Д.006.19.02 в Институте математики АН Беларуси по адресу 220072, Минск, ул.Сурганова, II.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси

AsTopeiiiemT разослан

Ученый секретарь спецнализиэованного совета кандидат физ. -мат. наук

/С.-.

С.И.Гайдук

Актуальность тгмь:. По мере развития теории оптимального ун-равлвнк» в ней, основных разделов - теории »ас^тодимых ус-

ловий оптимальности и численных методов репения задач оптимального управления - стали разрабатываться другие наглые г точки зрения приложений раздел»;, ? частности, теория управляемости у наблюдаемости дтаотеогкх систем. Свойстбо систем быть отравляемой, т.е. способность ее подчиниться аеленалравлчнным воздействиям, является сдним иг основных свойств и поэтому в той или иней форме учитывалось к изучалось инкснергми-спест'алкстаки о момента создания первых систем' регулирования. Математически*! определения управляемости и наблюдаемости и первые теоретические исследования этих сбойсте для обыкновенных динамических систем изложены P.E. Калканом б докладе на I конгрессе ÎSAK (Москва, I960). В дальнейшем, отвечая на запрос;; различных приложений, стала разрабатываться теория управляемости и наблюдаемости более слозкых объектов, б частности, систем с последействием и систем уравнений в частных производных, разностных систем. Существенное влияние на р?эв::тие теории у:-равляемости к наблюдаемости динамических систем оказали результаты, которые получили Азбеяев К.В., Астровекий А.И., Ела-гсдатских В.К., Борухог В.Т., ЬутковскнЯ А.Г., Водичев A.B., Га-басов Г.5., Гай-зук И.Б., Гамкрелидзе Р.В., Еевняк P.M., Зебедло Л.Е., Зверкин А.К., Губ он Е.И., Игкатенко З.В., Калкан Т.Е., Кириллов а v. У.., Ковалев А.К., Колмановский В.Е.. КсроСов Б. П., Крг— оозски?. H.H., Крахотко 3.3., Крятемокий A.B., .Чултютев C.B., Купер« ан 1.У., Куртансккй А.Е., Ландо D.H., Леваков A.A.. Ii: S.Б., Лкглс ".-Л.., Ляховед С.К., ¡'.аргус Л., Маринич А.П., Уярчекоо Е..У., ;>т?льсккй A.B., Мулярчик Е.В., Наконронкй А.Г., НиклльсглЯ V..?., Осипов Е.С., Петров H.H., Ргдшо Я.В., Еяэиислочич Г.П., гс.огг Г..Х., Степанюк H.H.. Тснкс? Г.Л., Чумакова C.B., Ь*я?т» E.iL. -глович i.A.. A S и.е."- В. к. , HaXo-rui^ , оCL.ruq !(• ! . v

глглм.

. л Cork R СчдЫечТ R.^^o^x lîj.-

I , Co-vUo«. ь. Е.Л.П- ".Е , L > ? Н- 0 • ,

Р. С., Ufe.es ОЛ. Мол/и>(?.

РороV У, И. 5 ЪИ^игъй.к

Диссертация посвяшена исследовании задач управляемости, наблюдаемости, полноты систем с последействием, а также некоторых классов систем уравнений в частных производных и систем разностных уравнений, при этом основное внимание уделяется задачам с ограничениями на управление и начальные условия. Приведенные результаты являются актуальными с точки зрения формирования общей теории управляемости и наблюдаемости динамических систем, а также могут служить основой для решения различных прикладных задач.

Целью работы является получение условий управляемости, наблюдаемости, полноты систем с последействием при наличии ограничений на управление и начальные условия, а также исследование этих свойств для систем уравнений в частных производных, разностных систем.

Метод исследования. Для указанных объектов разработаны методы решения задач управляемости и полноты, основанные на теореме Хана-Банаха я ее приложениях, разработана методика решения задач полной наблюдаемости.

Научная новизна. В диссертации получены критерии полной нуль-управляемости и наблюдаемости линейных систем с последействием; условия управляемости и полноты систем с последействием в функциональных пространствах при наличии ограничений на управление и начальные условия; критерии управляемости и наблюдаемости некоторых систем уравнений в частных произведных; исследована управляемость и полнота одного класса систем разностных уравнений при наличии ограничений на управление и начальные условия.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при построении об-

и другие.

I * 1' ■

У* ■ ■"• . . -л/1

'■У. < ■ -.Л л * - 5 -

тлей теории убавляемых динамических систем, а также в ряде пви-кладных задач, в частности, биологии, физики, техники, экономики, управлемич движущимися объектами и т.д.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре в ¡Институте математики АН Беларуси под руководством академика И.В.Ггйпуна, Городском семинаре по дифференциальным уравнениям им. Ю.С.Богданова под руководство?/ член-корреспондента АН Беларуси Н.А.Изобова, семинаре по функпи-ональному анализу в ЕГУ им. В.К.Ленина под руководством профессоров Я.В.Радкно, Л.П.ЗабреЯко, А.Б.Антоневича, семинаре в ¡институте математики им. В.А.Стеклова РАН под руководством профессора 3.И.Благодатских, семинаре в Харьковском государственном университете под руководством профессора В.К.Коробова, на 4-ой конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Болгария, "руссе" - 1589 г.), на многих Всесоюзных-школах и конференциях б, 7, 13^, а также других семинарах и конференциях.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-211.

• Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-ех глав, списка литературы, вклэтвотего 302 наименования и приложения. Работа изложена на 285 страницах машинописного текста.

На заттиту выносятся следующие результаты:

1. Критерии полной нуль-управляемости линейных стационарных систем при наличии ограничений на управление.

2. Условия полной нуль-управляемости линейных неоднородное сотом с последействием и обыкновенных нестационарных систем с гладкими параметрами.

3. Критерии полной наблюдаемости, идентифицируемости, ид^аль-гй наблюдаемости линейных систем с последействием.

4. Критерии управляемости и полноты систем с послед^Ястг!"»« прг" наличии ограничений на управление и начальные- услсв:^.

5. Алгоритма построения м*о*ества полной управляемости к класса состояний полной досткгикостк лкнейиюс стацт'окарн'.-: сисум с запаздыванием.

6. Критерии управляемости и наблюдаемости линейных систем гиперболического типа и систем уравнений в частных производных первого порядка.

7. Условия управляемости и полноты систем разностных уравнений при наличии ограничений на управление и начальные условия.

Содеркание работы

Бо введении дается краткий обзор литературы по теории управляемости и наблюдаемости динамических систем и приведено краткое изложение содержания работы.

Пер'вая глава посвящена изучению полной нуль-управляемости систем с последействием, где существенное внимание уделяется получение критериев полной нуль-управляемости при наличии ограничений на управление.

Рассмотрим линейную систему управления.

о °

ч>ф даь -Ц-Ч, (2)

где о^ Рч^ , а-ерч4" ; элементы вещественных матричных функций » {, - ГуК- > ~ Дифференцируемы и их производные суммируемы на "Т"*» Я * * ~ вещественные матричные фикции, сумшфуеше по Л: , ^Т 1 причем элементы матриц

' ь I

суммируемы также по т. , . & элементы матриц

. КаЛ^гй >Рч^т3т},

' ЯЕЛЯИТСЯ Функциями ограниченной вариации по т. , < • • - - запаздывания,

и ^ - заданные вещественные числа, 4:1--\:о>Ь. компоненты вектор-функций и и.оШ суммируемы на [

; допустимым управлением считаем любую -вектгр-фун::-

из суммируемую по 4: , ^ » *1 ограниченную и

измеримую по X. , X £ О , М •

Определение'I. Начальное положение (2) системы (Г) назовем полностью нуль-управляемым, если существует допустимое управление вида = таКое, что х(^=С .

Систему (I) назовем полностью нуль-управляемой, если калдое ее начальное положение (2) полностью нуль-управляемо.

В первом параграфе первой главы сформулирован и доказан неявный критерий полной нуль-управляемости.

В § 2 рассмотрена стационарная система (I):

Пусть

о

• /ч ^ = , ~ I ^ , .

Здесь введено понятие нормальных систем_(1) означающее, что любое ее решение с иХФ = О » Ъ ■ £—1л. "V» моа_ но представить при ^ > ^п- О гт. в виде ряда, сходящегося к этому решению равномерно на любом конечном отрезке.

Теорема I. Для полной нуль-управляемости стационарной системы (I) необходимо,а гтрй нёкотсрсн фиксированном^ :> С.П.-1) К.

з случае ее нормальности и достаточно, чтобы

-Ч-ОиО*. -П. V \

где К - поле комплексных чисел.

В параграфах 3 и 4 рассматривается стационарная система (I),

где

\ = В ^Тл = 1о Я Л ^

Л. ¿1 , причем параметр 4ц вообще говоря не фиксирован; ограничивающее множество Л_ удовлетворяет условию:

' = О . (3 )

Допустимым управлением назовем любую функцию U.(.0 С U_ ,

где а г 3-1 ТО • е. л ,-ьел; v /

Пусть начальное положение системы имеет вид ХоС/} = ,-t € Им о") > = Х0 ^ (2 )

Хо<= ÍV4" , У-о {Je) , -tó. [-Ivjo} , - непрерывно-дифференцируемая Y\.-вектор-функция, - линейное пространство всех элементов (2 ), где UotoO^Ww определяется так:

\\0u>L0 WlA = + íYLCLX UXoCtMl^. •

"ksxso

Определение 2. Начальное полонение XoCOé.Vl назовем полностью нуль-управляемым, если существует число

и допустимое управление U. , érT-. » такие, что траектория системы (I) удовлетворяет условию

= 0 . •

Начальное положение Хо(J) ГА назовем полностью ^ нуль-управляемым, если >0 существует число -t\

> и допустимое управление , >

такие, что траектория системы (I) удовлетворяет условий ГЛ.О.Х. \\ X-t^vrVA^ •

«Té f-lj.,01 ого\

Обозначим через о чг\ ) - ыножестЕо полной нуль-управляемости ( g, -нуль-управляемости) системы (I).

Определение 3. Систему (I) назовем локально полностью нуль-упразляемоД í S -нуль-управляемой), если О ^ (-YlA: S> ( О ^.uoJcR"), где lyvA S ~ внутренность S •

Пусть \l 1= i,Si, v • • •> - решения уравнения del = О . a iv -векторы ,{.= i- нетривиальные ре-

шения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений

Теорема 2. Для локальной полной нуль-управляемости стационарной системы (I) необходимо, а в случае ее нормальности и достаточно, чтобы не существовало вещественного решения уравнения (4), спорного множеству — ILéít^ , и не сущест-

вовало комплексного решения уравнения (4), ортогонального указанному множеству..

Теорема 3. Для того, чтобы стационарная система (I) была

локально полностью -нуль-управляемой, необходимо, а в случае нормальных систем с запаздыванием { А С - О , С = {^к »

Я1 О >Х£:[0-)к1 ) и достаточно, чтобы не сущест-

вовало вешественногс решения уравнения (4) с ^ О » опорного множеству Л. »и не сушествовало комплексного решения уравнения (4) с , где Re.Xl.iO , 1т.\СфО . ортого- .

нального этому же множеству.

3 § 5 изучается полная нуль-упразляемость линейных систем с последействием.

(5)

и начальным положением (2), где компоненты ц. -вектор-функции суммируемы на , а ограничение вида (3) отсутствует. Определение 4. Систему (5) назовем полностью нуль-управляемой, если для каждого начального положения (2) ОСо СО найдется линейное многообразие ^СГп") э~Т*1 = По 4: Л обладающее следующими свойствами: э у

1 РхоО) — 1-й, Щ С РквО ~ замыкание Г*^ )

2) для каждого ^ ^ = I 5 ^ ^ э

I о , ^(Л^-МЛ,

найдется допустимое управление = ^ •) "Ь э

V о .-^(До-ый,

переводящее начальное положение (2) на такое решение система (5), что эсе-€)нО ^М-иЛл + И.

Теорема 4. Система (5) полностью нуль-управляека тогда и только тогда, когда система уравнений

к 0 '

\ 0 , ЫТ» ,

о

имеет только решение Ч: = О > .

Здесь Ч1^) ~ произвольная непрерывная на отрезке ^^л^лАА ги -вектор-функция, Ц'о - любой п. -вектор.

Для стационарных систем (5) приведены более простые критерии полной нуль-управляемости, которые во многих случаях имеют законченную параметрическую форму. Рассмотрены примеры.

В § б изучается полная нуль-управляемость обыкновенных линейных нестационарных систем

с гладкими параметрами. Основные результаты этого параграфа -получение новых случаев обращения достаточного условия полной нуль-управляемости системы (6) на отрезке :

X ОО = ъомк [ХМ) , к. = п. •

хотя бы при одном ^г-Ь^Т! , где

доказанного Н.Н.Кресовским.

В главе II изучается полная идентифицируемость и наблюдаемость линейных систем с последействием, причем для стационар-ньж объектов получены параметрические критерии полной идентифицируемости и наблюдаемости. Для задач полной наблюдаемости и идентифицируемости построены двойственные задачи полной нуль-управляемости. Изучается также идеальная наблюдаемость систем с последействием.

• В первом параграфе рассматривается система

хф = I^ + = 1-й, с?)

с начальным положением (2), где непосредственному измерение доступна величина

ад = гиачи^^-х) ,

Я™" ч элементы вещественной матричной функции суммируемы по "Ь на , и являются функциями ограниченной вариации по х • "С & \ о •

Пусть Х^иг'.)- > , е. I \ о Л11.

Определение 5. Систему (7), (2), (8) назовем полностью

наблюдаемой на отрезке (для стационарных систем за гремя "t^-to ), если для каждых допустимых и , 't .

по известному выходу , . системы (7), (2) можно

однозначно восстановить ^--fco+КЛ и полностью идентифици-

руемой на отрезке , если при тех же условиях можно однозначно восстановить X-t, (jT) •

Здесь получены неявные критерии полной наблюдаемости и идентифицируемости, построены двойственные задачи полной нуль-управляемости.

В § 2 изучены задачи полной наблюдаемости и идентифицируемости линейных стационарных систем (7), (2), (8) ( =

U, = . -ЬеТт »Ъ^о

причем т» гх-Н- ^ ^ ,

Обозначим ЬиО^^ОМ •

Теорема 5. Для того, чтобы стационарная система (7), (2), (8) была полиостью идентифицируемой, необходимо, а в случае слабо нормальных систем, и достаточно выполнения условия

чллЬ. (Л =• п- V х^к.

В этом параграфе введено понятие слабо нормальных стационарных систем (7), (2), (8) означающее, что любое решение однородной системы, соответствующей (7), (2) при > можно представить в виде ассимтотического ряда.

Теорема б. Стационарная система (7), (2), (8) полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда выполнены ДЕа условия:

1) условие теоремы 5,

2) система функциональных соотношений

V

ocLV) = o > -V tMWi э

имеет решение = 0 . "t € [ С.К-Э^к + 'ь ' и

■ других возможностей нет, где

Ь> - достаточно малое положительное число. Рассмотрены важные частные случаи объекта (7), (2), позволявшие существенно упростить.проверку условия 2).

Третий параграф посвящен задаче конструктивной полной идентифицируемости линейных однородных систем с последействием. Здесь доказана теорема о двойственности между полной нуль-управляемостью и конструктивной полной идентифицируемостью, получен критерий конструктивной полной идентифицируемости стационарных объектов с последействием..

В четвертом параграфе изучается полная идеальная и условная идеальная наблюдаемость линейных систем с последействием.

Определение 6. СистемуС7), (2), (8) назовем полностью идеально наблюдаемой на отрезке , если по известному выходу

^. , системы (7), (2), можно однозначно восстано-

вить (^Г) » ' независимо от произвольного до-

пустимого управляющего воздействия , ¿Е-

Приведены критерии полной идеальной наблюдаемости и условной идеальной наблюдаемости стационарных систем с последействием, которые принимают особенно простую форму для обыкновенных систем.

= Кхс^ + ЬииШ , ХС.О-) -хо а (9)

с измерительным устройством

(Ю)

где ^еРч™" ; , & , С -постоянные

матрицы соответствующих размерностей.

Теорема 7. Система (9), (10) идеально наблюдаема^гогда и только тогда, когда

п,ч - Л -ы

Та А Г О0= '<ЛЛЧ 1-Й длл всех

I е оГ

комплексных X •

Для условной идеальной наблюдаемости системы (9), (10) необходимо и достаточно, чтобы "СО-и^К. хотя бы при одном комплексном X .

3 пятом параграфе исследуется полная наблюдаемость линейных

г) сдгсь яде? р-зчь о полкой идеальной нс£ллдс.&мо

стационарных систем с запаздыванием и нейтрального типа по начальной функции.

Рассмотрим систему с запаздыванием

Со эсф = > (II)

= х ^ = ч>(.-О , ^ е. [-V». ,о), х1о) - хе ^ ц2)

где Ц^) , - непрерывная функция, а измерению до-

ступна величина

Определение 7. Систему (П)-(13) назовем полностью наблюдаемой по начальной функции на отрезке , если по выходу (13) можно однозначно восстановить любое начальное условие (12) системы (II), породившее этот выход.

Пусть теперь задана система наблюдения нейтрального типа

с начальным условием (12), где Ц5^") , - абсолютно

непрерывная функция, и измерительным устройством (13). Здесь можно изучать две задачи полной наблюдаемости по начальной функции на отрезке : задачу однозначного восстановления любого начального условия вида (2); задачу однозначного восстановления только любых непрерывных условий (2) при ^=0 (.о) = Хв) .

Теорема 8. Система (14), (12), (13) полностью наблюдаема по любой начальной функции (по любому непрерывному условию (12)) на отрезке , » Б том и только том случае, если вы-

полнены два условия: -

2)

I

при всех комплексных X •

В этом параграфе рассмотрен также вопрос о восстановлгнии началгко-,о положения (12) систем с запаздыванием (II).

3 5 0 изучается сбтдий подход исследования задач наблюдас-

мссти линейных стационарных систем с запаздыванием с гладкими начальными условиями и гладкими входными воздействиями. Используя этот подход получены условия разрешимости некоторых Е&дач условной наблюдаемости.

Глава III посвшена вопросам управляемости и полноты в функпио'-ачьных пространствах систем с последействием. Основное внимание уделяется здесь получению явных критериев управляемости и полноты стационарных систем при наличии ограничений на управление и начальные условия.

Ь перврм параграфе дана формализация основных задач, получены обшие критерии управляемости.

Рассмотрим объект управления

(Л ,0 - ^-1,0^0,0^0)= О (15)

х(е}=0 = 0 ,e £ [-U-k^ol з (16)

JL , -fc€.Tl . (IV)

Здесь XeR^ .JlcR* непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных Х- , Ц , ^ > U. ( ^ . i. » U-) и суммируемая по "t на отрезке "{ч (суммируемая по -t на отрезке ~f"i и по х на thool ^ 11 _Бек_ тср-функция. Допустимым управлением считаем любую суммируемую "С- -вектор-функцию U, на отрезке Лл » удовлетворяющую ограничению (17). Класс допустимых управлений обозначим (X и считаем, что каждому ЦД/)£ UL соответствует единственное решение системы (15), (16), а также X(_-t) » ХЛ-Ö >"t£;Ti > ПРИ допустимых ULrv.O - J^^0^') непрерывно зависит от1 параметра |Ц_ , г.огда Vх- достаточно мало. J

Пусть \U_C0 <£. IL } - множест-

во решений системы (15), (16) » 1, . порожденное

классом допустимых управлений , X-fc^ = {. R'V|

<£. LL ] , П1 ~ линейное нормированное пространство функций, заданных на , Xli ~ сужение X на

Тлс , К^СРЛ' Н=Н1хНь (соответственно Hi «ли Нь Lj* - сопряженное к Ц пространство. Обозначим —

' — "Хт*| Э^-т*^ ~ множество Есех элементов

из , на которые индуцируется топология Нд )>Ха.гХ+, (1 На,.

Определение 8. Наблюдением множества X в пространстве

Ц назовем множество Хн — "Хл (соответственно Хп

или Хз, в зависимости от функционального пространства Н . ' в котором изучается задача управляемости).

Пусть К-н - линейный непрерывный функционал на Ц , определяемый , а - множество его значений на

"Хц . Рассмотрим отрезок - (<¿1 . •

Определения. 9) Объект (15)-(17) назовем ^ -управляем,¡м з пространстве Ц з направлении , если гОумЭоС ■

10) Объект (15)-(17) назовем -управляемым в пространстве Ц , если он -управляем в этом пространстве в любом направлении И* , ИК.*\\= А •

11) Систему (15)-(17) назовем слабо (просто; сильно) управляемой в пространстве Ц в направлении > если ^ ^

^ ^ ск , о € V сО объект (15)-( 17) сЛ -уп-

равляем в пространстве Ц в направлении .

12) Систему (15)-(17) назовем слабо (просто; сильно) управляемой в пространстве Ц /если она слабо (просто; сильно) управляема в пространстве Ц в любом направлении К? Н* з

Отметим, что катодое из определений II) и 12) на самом деле содержит сразу три определения. Например, как следует из определения II система (15)—С17) сильно управляема в пространстве Ц з направлении , если \/объект (15)—(17)

-управляем в пространстве Н э направлении Отмечена целесообразность введенных понятий упразляемости. Для линейкой модели системы (15)

= М^ХЛ^) + & 1 осС^-'гО) + ^ Х^-'-О; -:-; -г:-, -гО о о

с начальным условием (16), ограничением на уттравленнэ

чены сблие теоремы об управляемости в функциональна :~о-:~т: : т -

вах В,*" , ЦхКНи-М . ^ЬЛ.^ Л РЛ ,

С.^ -^З- (пространство непрерывных п. -вектор-

функций на отрезке с нормой ЦхС.0 \\ - т.а-ос. ЦлфЙрп.,

В § 2 доказана теорема о простой и слабой управляемости нелинейной системы (15)—(17) в каждом из отмеченных выше пространств Н в направлении И* по ее линейному приближению (18), (16), (17), когда в определенном смысле множество I/. согласовано с направлением . '

В § 3 рассматривается стационарная система управления

хф = Ахс.-о + А1х(.-Нц)+АаДС-ь-к)

с начальным условием (16) и ограничением на управление (17) -при условии, что существует такое Но Л. > что 2>и.о-0 » гДе А » > «.. > - постоянные матрицы соответствующих разыернос-тей' (^"0 • С = . Т. матричные ядра с суммиру-

емыми элементами,- ■> и параметр -с, вообще го-

Еоря не фиксирован. ч\

'Обозначим ХЕ-К--

- и пусть

-к -К- 1 ° > 5

- решения <1еЛ - 0 ' а ^ ~вектоРы » С = 1 ... _

нетривиальные решения систем линейных уравнений 5 5

• (20)

Теорема 9. Система (19) слабо управляема в пространстве С« Кч-Ц-ЬЛ- тог^а и только тогда, когда выполнены дез. условия:

I) не существует нетривиального решения системы (20) ортогонального множеству , £) система соотношений

-К-

+ \ ^ <Ь = О 5 -Ь , г Со) = о

-к '

~ШЫ - 0 . V \г ^ зЛ ,

имеет лишь решение ^С^ ® 5 т I о

Теорема 1С. Система (19) просто управляема в пространстве О^-4-) г -КуЬ-Л тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1) не существует нетривиального комплексного решения системы (20) ортогонального множеству £>Л ; не существует вещественного неттавиального решения системы (20) опорного множеству

ЪЛ . - "

2) система соотношений

=0,о >

гЧ-^Ьсг^о VIг^ 51

имеет лишь тривиальное решение + (А) "НО ) V"! .

Теорема II. Для сильной управляемости системы (19) в пространстве

Л л необходимо, чтобы выполнялись условия теоремы 10 и доя любого нетривиального решения ^ системы (2С), отвечающего Х{,>0 (эсли такое имеется),

3 Ы^С С Л >

и для любого нетривиального решения системы (20), отвечающего с ' (если такое имеется'

а в случае слабо нормальных систем (19) и достаточно,_цтобы выполнялись условия теоремы 10, условия (21), (22? с дополнительным требованием

: Ьа«.^ ^ Ни_т|1Яг

(соответственно 1 В\Ь«.\ ^ % \\U-mWR* ).

В этом параграфе получены также следующие результаты: сформулированы теоремы об управляемости а пространстве

"Р00^6110 обобщение теорем 9-11 на сис-

теш более общего вида, для важных частных случаев приведено упрощение критериев управляемости, рассмотрены нетривиальные • примеры, покаэайо, что задачу управляемости в функциональных пространствах для многих классов объектов можно свести к выяснению условий, при которых некоторая граничная задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеет лишь тривиальное решение.

Четвертый параграф посвящен исследованию полноты систем с последействием в функциональных пространствах при наличии ограничений на начальные условия, где для стационарных линей-' ных объектов получены достаточные условия полноты, изучается полнота в функциональных пространствах нелинейных систем с последействием по их линейному приближению, приведены нетривиальные примеры.

В § 5 рассматривается задача минимизации нормы конечного положения линейных систем с последействием, которая естественным образом примыкает к вопросам, изученным в предыдущих параграфах этой главы.

В § б для объекта

= + /ЧдхС-t-^ + + , (23)

где f\ , , - постоянные - Л.Х. ц. - матрицы, & - ц. -вектор, "t 1 ->- K-W- > приведены алгоритмы построения множества р полной управляемости (множества всех кусочно-непрерывных функций, заданных на отрезке "У^ ' и таких, что для каждой fT найдется кусочно-непрерывное управление > t^i-TV . дающее решение задачи АцХф=0 « -ti-WiX , х<Ал)-=0 ) и при фиксированной . , > класса достижимости © (множества всех абсолютно-непрерывных функций, заданных на отрезке .j-b-ij v- таких, что для каждой Q существует кусочно-непрерывное управление , ^¿Т^ • такое, что

xW^GW.teU,.^]»-

В § 7 рассмотрен пример, где для сбаего объекта управле-кп? (23) второго порядка (Ч-Ц>) построено множество Q .

3 "Ртвертой глазе, используя методику глав I—III, изучаат-некстсрке задач;', управляемости, наблюдаемости и полноты v 'Т'" уравнений в частных производных гиперболического типа,

первого порядка. Рассмотрены таете задачи управляемости и полноты одного класса систем разностных уравнений при наличии ограничений на управление и начальные условия.

Е первом параграфе для гиперболических систем изучавтся задачи нуль-управляемости, управляемости и полноты в гильбертовых пространствах ^ , * * I-аи .

Рассмотрим систему управления

(24)

-V О Го,S€= 3

непрерывно дифференцируемые матрицы соответствующих размерностей, управляющие воздействия ЦД.0 выбираются из класса кусочно-непрерывных функций U. , заданных на прямоугольнике jl 4 =

Для системы (24) зададим начальные условия:

= S > C25)

Здесь . э и , h&T . " непре-

рывно дифференцируемые ft -вектор-пункции, Хо 6. R"" I 0-=--^ , О 'э 1, - любые заданные вещественные числа.

Определение 13. Систему (24) назовем нуль-управяяемой (управляемой) на прямоугольнике Л. в евклидовом пространство , если для любого начального условия (25) (каждого фиксированного начального условия (25) и произвольного 1г. -вскго-ра С ) найдется допустимое управление (Л il i •

такое, что X О ^ti - с} .

Рассмотрим множество наблюдений J

\jlL') U. 3 . ( считаем, что ц.(.•") пробегаст псе мнокест-

во а ).

Определение Систему (24) назовем управляемой в пространстве Li, [ и ,0l X R* % \Х {о ,S о • если хегло:'°

буксированного начального условия (25) множество наблюдений Ал является всюду плотным в пространстве о*\ X

определение 15. Систему (24) назовем нуль-управляемой в пространстве \ , о] X X I О, если д.?я лю-

бого начального условия (25) начало координат 0 этого пространства принадлежит замыканию множества наблюдений Х^ .

Даны также соответствующие определения полноты системы (24) в указанных пространствах.

Теорема 12. Стационарная система (24) ( АЛ'^'Ь) = Д ,

управляема на любом невырожденном прямоугольнике в пространстве Я*" тогда и только тогда, когда

[Х^ Ъ з = 0^1 , 1-Ц = (25)

где матрицы Хйд определяются из рекуррентной формулы ■

= X 1^-у Ач 4 + X А а, - \ С-1 А ^

= 0,1,. • • > ^ о ,

с начальными условиями Хос — Е Хц- О для ^-=-1 или

Теорема 13. Стационарная система (24) управляема в гильбертовом пространстве I 4л X к только тог~ да, когда

[ \ji-E - + = п (27)

J \

для всех комплексных Л и V- .

Здесь показано также, что система (24) полная в пространствах РЛ и ЬзЦо^Л ; условие (£6) необходимо и достаточно для нуль-управляемости стационарной систем;' (24) на любом невырожденном прямоугольнике ЛЛ : условие (27) - критерий нуль-управляемости стационарной системы (24) в пространстве ЦаД^^о] X К*1 "Л Го •

3 § 2 рассмотрена задача полной наблюдаемости гиперболически: систем, установлена двойственность задач полной наблюдаемости и управляемости в пространстве [4.1 * х X Оч » сформулирован критерий идеальной наблюдаемости

таких систем.

3§3 для объекта управления

"йЪ 0 '

. (¿3)

где ССбГ- , .

' ^ = 1 оЬ ' ~ матРичнь:е Функции соответствующих размерностей с кусочно-непрерывными элементами на прямоугольнике 5Ц = . , ^Э-Ш . . 1 кусочно-не-

прерывные векторные функции, управляющие воздействия Ц-(_0 выбираются из множества Ц. , изучается управляемость и нуль-

I ^ Г с. \ 1 ***

управляемость в гильбертовом пространстве »-¿у. о) * ) .

полнота в пространстве , функциональная полнота.

Сформулируем един из основных результатов этого параграфа. Рассмотрим множество наблюдений = С'Ь 1., О ¿г ъ< .

^э^ , о .

Определение 16. Систему (28) назовем управляемой з гильбертовом пространстве , если для качедого фиксированного начального условия (29) множество наблюдений всюду плотно в О.^»-) * •

Теорема 14. Система (28) управляема в пространстзе (Ч^ у, (^Ттогда и только тогда, когда

г ^ ^

Ч-СиЛ. \ I - гь

{ 1

для всех комплексных \ и .

В этом параграфе сформулирован также критерий полной наблюдаемости стационарных систем, установлена двойственность

задач полной наблюдаемости и управляемости в пространстве В § 4 рассмо'трейа система разностных уравнений

ХвС.0 = I * Ш = , ^ <=То = Н \ .

(31)

Здесь - вещественная непрерывная переменная, х £ РЛ , Ц-бЯ4-; разности суть действительные числа, причем О < ^ < Ча.< • • - < Фщ -= и - заданные числа,

4ц. --Ьо>; компоненты п. -вектор-функции ^ -)Ц, ) непрерывны по "Ь и непрерывно дифференцируемы по остальным аргументам; .> ,0^0)= О > ' под

допустимым управлением понимаем любую непрерывную на отрезке функцию, удовлетворяющую ограничению

(32)

начальную функцию считаем допустимой, если она непрерыв-

на на Но-е ,-и} ЧС-Ц- -^«Ж*:«-^,. • и удовлетворяет ограничению

(33)

где ЛЛФ)

— Лобов ЗОДЗННОв МН0Ж6СТВ0 из г ( ), содержащее начало координат, - уг. -мерное евклидово пространство.'

Для системы (ЗО)-(ЗЗ) введены понятия слабой, простой, сильной управляемости и полноты в линейном нормированном пространстве К » а также глобальной и локальной полной управляемости и полноты в Ц , полной нуль-управляемости, нуль-управ-

ППТИ Т! С*- . -а.

ляекостк в

1\

Рассмотрим линейную модель системы (30):

причем здесь считаем, что разности ., Г^С» соизмеримы.

Доказаны обшие теоремы об управляемости и полноте линейных объектов (34), (31)-(33) в пространствах , С^.е Ы » 1-5Д /Ь!» исследована управляемость и полнота нелинейных объектов по их линейноцу приближению, приведены критерии глобальной полной управляемости и полноты линейных систем при отсутствии ограничений на управление и начальные условия, доказаны критерии слабой управляемости и полноты линейных объектов, а также приведен критерий простой управляемости линейных стационарных систем при наличии ограничений на управление и начальные условия; рассмотрена управляемость и полнота дискретных систем (ЗО)-(ЗЗ) . = . 4:-= 4.0 + И, )•

В приложении доназана теорема о глобальной полной нуль-управляемости линейных систем с последействием при наличии ограничений на управление. Рассмотрим стационарную систему (I), где допустимое управление - любая суммируемая на £о функция ц.^") , такая, что и.*,!") £ Л .

Определение 17. Систему (I) § 3 назовем глобально полностью нуль-управляемой, если каждое ее начальное положение полностью нуль-управляемо.

Теорема 15. Для глобальной полной нуль-управляемости стационарной системы (I) необходимо, чтобы выполнялись условия:

1) не существует нетривиального вещественного решения уравнения (4), опорного к множеству В Я. >

2) не существует нетривиального комплексного решения уравнения (4), ортогонального множеству & Л. >

3) для любого нетривиального.решения й^ уравнения (4),

отвечающего Х1>0 (если такое имеется),

—*

4) для любого нетривиального решения уравнения (4), отвечающего с Тт.\сФО . (если такое имеется)

а в случае нормальных стационарных систем (I) достаточно, что-

еь:полкялись условия I), 2) и условия 3), 4) с дополнительными требованиями:

с) в случае 3)

В £>о •. Ьи.т«. ^ 8> ,

?■) е случае 4)

\ Ьи.щ\ > & \\Ит1\я-с .

Следствие, йормалькая стационарная система (1) глобально полностью нуль-управляема с ограниченным множеством тогда и только

тогда, когда выполняются условия I), 2) теоремы 15 и не существует корней уравнения АеА А1 — ^ с положительной вещественной частью.

Основные результаты диссертации опубликованы .в.работа)::

1. ¡¿инюк С.А. К теории идеальной наблюдаемости линейных систем . с запаздыьанием//Дифференц. уравнения. - 1978. - Т. 14,

}г 12. - С. 2164-2169. *

2. ¡¿инюк С.А. К теории управления и наблюдения гиперболическими системами// Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15, № 9.-С. 160С-1613.

2. ¡¿инюк С.А.' К теории управления линейных систем с последействием// Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, № 4. - С. 575- 561.

4. ¡¿инюк С.А. О наблюдаемости линейных стационарных систем с запаздыванием// Дифференц. уравнения. - 1984. - Т. 20, № 9. - С. 1534-1539.

5. ¡¿инюк С.А. К теории полноты линейных дифференциально-разностных систем// Тез. докл. XI Всесоюз. школы по теории операторов в функциональных пространствах. - Челябинск, 1966. -

г* п ч. /.

С. ¡..инки: С.А. Управляемость систем запагдываюпего типа в функциональных пространствах// Тез. докл. XII школь; по теории операторов в функциональных пространствах. - Тамбов, 1987. -

л т т 0. X .

7. :,;инюк С.А. К теории управляемости динамических моделей с последействием// Тез. докл. Всесоюз. Научно-технической конференции "Динамическое моделирование сложных систем". -

Москва, IS87. - С. 104.

8. линю к G.А. К теории управляемости и дсст:гкпмости лгаейньсс • стационарных дифференциально-разностных систем// Дифферент уравнения. - 1986. - Т. 24, » 5. - С. 899-902.

3. Минвк С.А. О полной нуль-управляемости и наблюдаемости линейных систем с запаздывавшим аргументом// Длфференц. ураэ-' нения. - 1988. - Т. 24, * 6. - С. I058-I06I.

10. У.инюк С.А. Управляемость линейных систем с запаздывавшим аргументом в функциональных пространствах// Дифференц. уравнения. - i960. - Т. 24, $ 6. - G. 1079.

11. Минюк С.А., Искра К.К. Об управляемости и наблюдаемости линейных систем в частных производных первого порядка// Докл. Акад. Наук ECCF. - 1988. - Т. 22, 9 4. - С. ССО-ЗОЗ.

12. У;инвк С.А. С полкой управляемости систем с последействием при наличии ограничений на управление// Резюме докл. я со-сс'щ. 4 конф. по диф. уравн. и их прямей. - Болгарии, "Руссе". - 1989. - С. 2СС.

13. Минак С.А. 0 полноте и управляемости систем разностных уравнений при наличии ограничений на начальные условия и управление// Тез. докл. Зторой Зсессюз. конф. "Новые подходы к решения дифференц. уравнений". - Москва, 1989. -С. 114.

14. Микок С.А. К теории управляемости систем с последействием в функциональные пространствах при наличии ограничений на управление// Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25, II. - С. 2ССЗ-2СС4.

15. Минюк С.А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем// Дифференц. уравнения. - 1990. - Т.. 2с,

3. - С. 414-420.

16. Минюк С.А. К теории управляемости и полноты систем разностных уравнений при наличии ограничений на управление и начальные условия// Дифференц. уравнения. — 1890. — 1. ¿ь,

П. - С. 1924-1936.

17. Минюк С.А. Теоремы о полной нуль-управляемости стационарных систем с последействием при наличии ограничений на управление// Тез. докл. Республ. научн. кенф. "Математическое моделирование и вычислительная математика". - Гсол,-но, 1990. - С. 95-96.

18. Минюк С.А. О полной управляемости обыкновенных линейных нестационарных систем// Тез. докл. Республ. научн. конф. "Математическое моделирование и вычислительная математика". - Гродно, 1990. - С. 99.

19. Минюк С.А. К теории полноты систем с последействием при наличии ограничений на начальные условия// Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27, »4. - С. 603-611.

20. Минюк С.А. О полной управляемости линейных стационарных систем с последействием// Диффере-нц. уравнения. - 1991. - Т. 27, № 4. - С. 720-724.

21. Минюк С.А. К теории полной управляемости систем с последействием при наличии ограничений на управление// Диффе-ренц. уравнения. - 1991. - Т. 27, » 12. - С. 2153-2159.