Обратные задачи теории наблюдения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ II МЕХАНИКИ

На правах рукописи УДК 517.977.56

СИВЕРГИНА Ирина Феодосьевна

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ НАБЛЮДЕНИЯ

специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург 1993

Работа выполнена в отделе оптимального управления Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академш наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ф.П.ВАСИЛБЕВ;

академик РАН Н.Н.КРАСОВСКИЙ;

академик РАН Ф.Л.ЧЕРНОУСЬКО.

Ведущая организация - Институт математики Сибирского отделе ния Российской Академии наук.

Защита диссертации состоится "24." __1993 г.

в/1лас.^2мин. на заседании специализированного совета Д 002.07.0 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук пр] Институте математики и механики Уральского отделения РАН по ар ресу: 620066, г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ма тематики и механики Уральского отделения РАН.

Автореферат разослан »{¿Рв&ПЫфА1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат.наук,ст.н.с

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предмет исследований в теории наблюдения составляют задачи о вычислении оценок состояния динамической системы по результатам доступных измерений. Такого рода задачи могут возникать, например, при моделировании и предсказании эволюции систем, для которых характерна неопределенность в описании динамики, неполнота текущей и априорной информации. К рассмотрению указанных вопросов могут приводить задачи принятия решения и планирования эксперимента. Исследование задач наблюдения является ключевым в построении стратегий позиционного управления в динамически х системах. Объектом приложений теории наблюдения служат конкретные проблемы механики, экологии, экономики, моделирования технологических процессов и ряд других.

Современное состояние и тенденции развития теории наблюдения, как представляется, во многом определились исследованиями по теории дифференциальных игр, теории управления и наблюдения в условиях неопределенности, ведущимися в свердловской школе по теории управления, основанной Н.Н.Красовским; исследованиями Н.Винера, А.Н.Колмогорова, К.Шеннона в области стохастических дифференциальных уравнений и стохастической теории управления и оценивания; исследованиями Р.Калмана по общей теории систем; фундаментальными результатами А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева по теории некорректных задач; исследованиями Ж.-Л.Лионса и его соавторов по теории граничных задач для уравнений с частными производными.

Методологической основой данной работы является детерминистский подход к задачам наблюдения, предполагающий, что априорная информация о неопределенных параметрах и возмущениях в динамической системе и уравнении измерений исчерпывается заданием множеств, ограничивающих их возможные реализации. Данный подход был инициирован исследованиями Н.Н.Красовского 1 и раз-

1 Н.Н.Красовскпй. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475с.

вит в работах А.Б. Куржанского 2. Задачи наблюдения в укапанных информационных предположениях составляют предмет теории наблюдения в услових неопределенности. В основу постановки здесь положен принцип вычисления гарантированной оценки состояния системы, обеспечивающей неулучшаемую величину погрешности оценивания. Рассматриваемый в диссертации круг вопросов приводит к апостериорным оценкам, именно, оценкам, вычисляемым с учетом знания результатов измерений в системе. Вычисление такого рода оценок базируется на построении "информационной области" 2 - множества в пространстве состояний системы, совместимого с наблюдениями и априорными ограничениями на неопределенные параметры Ряд принципиальных результатов названной теории получен в работах Б.И.Ананьева, А.Е.Барабанова, Д.Бертсекаса, Х.Витсенхаузена Р.Габасова, М.И.Гусева, И.Я.Каца, Ф.М.Кирилловой, А. В. Кряжим-ского, М. С. Никольского, О. И. Никонова, Ю. С. Осилова, В.Г.Поко тило, Б.Н.Пшеничного, А.И.Субботина, Т.Ф.Филипповой, Ф.Л.Черно усько, Ф.Швеппе.

Известно, что решение широкого класса задач теории наблюденш и оценивания в условиях неопределенности может быть сведено к ре шеншо некоторой обратной задачи, связанной с системой. Соответ ственно, ряд понятий и проблем названной теории может быть сфор мулирован в терминах теории некорректных задач и исследоватьо методами этой теории. Существенный вклад в развитие теории обрат ных и некорректных задач внесли работы О.М.Алифанова, Ю.Е.Ани конова, ВЛ.Арсенина, Е.А.Арутюхина, А.Б. Бакушинского, Г.М.Вай никко, Ф.П.Васильева, В.В.Васина, В.Б.Гпаско, А.В.Гончарского А.И.Егорова, В.К.Иванова, С.Г.Клейна, М.М.Лаврентьева, Р.Латтеса Ж.-Л.Лионса, Г.И.Марчука, А.И.Прилепко, В.Г.Романова, С.В.Ру мянцева, А.Н.Тихонова, С.П.Шишатского. Вместе с тем, многие ас пекты обратных задач теории наблюдения требовали отдельного изу чеыия, что приводило, в свою очередь, к новым постановкам и форми ровало соответствующий математический аппарат их исследования.

* А.Б.Куржанский. Управление и наблюдение в условиях неопреде пенности. М.: Наука, 1977. 392с.

Одним на центральных d теории наолюдения является вопрос о том, однозначно ли реконструируется состояние динамической системы по наблюдениям при отсутствии возмущений в системе. Системы, для которых этот вопрос решается положительно, называются наблюдаемыми. Р.Калман указал необходимое и достаточное условие для полной наблюдаемости линейной системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, и сформулировал для нее принцип дуальности задач наблюдения и управления. Одной из первых, где исследовалась наблюдаемость бесконечномерной системы, была работа Н.Н.Красовского, А.Б.Куржанского 3. Рассмотрению свойств наблюдаемости и управляемости бесконечномерных систем, а также соотношений двойственности между ними, посвящены, например, работы А.Г.Бутковского, Е.К.Костоусовой, И.Лазиеской, А.Притчарда, Д.Расселла. Т.Сейдмана, Р.Триджпани, Х.Фатторинп, П.Фурманна и других авторов.

В работе А.Б.Куржанского, А.Ю.Хапалова4 было подчеркнуто, что в отличие от конечномерных систем свойство наблюдаемости систем с распределенными параметрами не является конструктивным для восстановления по результатам наблюдения их текущего состояния. В 4 было введено понятие сильной наблюдаемости, формулируемое в терминах информационных областей состояний, совместимых с наблюдениями. Это свойство является, как было показано, необходимым и достаточным для существования решения в задаче гарантированного оценивания состояния. Свойство сильной наблюдаемости предполагает ряд существенныхтребованин к оператору наблюдения, поэтому актуально рассмотрение более слабых свойств наблюдаемости, достаточных в отдельных задачах наблюдения. Возможность этого открывал предложенный в 4 подход к проблеме наблюдаемости. С другой стороны, раскрывая связь между проблемой наблюдаемости и проблемой

J Н.Н.Красовский, А.Б.Куржанский. К вопросу о наблюдаемости систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, N3. С.299-308.

4 A.B.Kurzhanski, A.Yu.Khapalov. An observation theory for distributed - parameter systems// J.Math. Sys., Estimât., Control. 1991. Vol.1, no.4. P.389-440.

гарантированного оценивания, этот подход давал новое представление о наблюдаемости динамических систем.

Следующее направление исследовании в диссертации связано с проблемой регуляризации задачи наблюдения. Необходимость в регуляризации возникает, например, если наблюдение в системе не обеспечивает сильной наблюдаемости, в связи с чем даже "малые" помехи в измерениях могут приводить к тому, что информационная область состоянии системы, совместимая с наблюдениями, будет неограниченной. Наряду с использованием общих методов теории некорректных задач в теории наблюдения разрабатываются методы регуляризации, учитывающие специфику объекта исследования в названной теории. В частности, существенное внимание в теории наблюдения уделяется алгоритмам регуляризации, допускающим возможность эволюционного описания решения в задаче динамического оценивания состояния. Сказанное относится, например, к методам, предложенным в работах А.С.Кощеева, А.Б.Куржанского, О.И.Никонова, А.И.Овсеевича. И.Я.Пищулиной, Т.Ф.Филипповой, А.Ю.Хапалова, Ф.Л.Черноусько Метод динамической регуляризации Ю.С.Осипова, А.В.Кряжимскогс сочетает в себе принципы теории позиционного управления и теории некорректных задач. Важный класс алгоритмов регуляризации задач наблюдения восходит к идеям метода квазиобращения Р.Латтеса, Ж.-Л.Лионса. Укажем в этой связи работы П.Н.Вабшцевича, Х.Гаевского, Х.Захариаса, А.А.Самарского, Э.Э.Тамме, Т.Тсачева, Р.Шовальтера.

Имея в виду системы с распределенными параметрами параболического типа, заметим, что ряд существенных трудностей возникает при исследовании задач наблюдения с сенсорными измерениями, - где доступные в каждый текущий момент времени измерения являются конечномерными. Принципиальный результат был получен в работе А.Б.Куржанского, А.Ю.Хапалова 4, доказывающий существование и указывающий метод построения кривых в пространственно-временноЁ области, имерение вдоль которых значений распределенного поля, описываемого параболической системой, обеспечивает сильную наблюдаемость системы. Различные аспекты задач наблюдения и оценивания в системах с сенсорными измерениями рассматривались также в работах Д.Гйллиама, Р.Гудсона, А.Ел Джея, С.Долецкого, Р.Клейна, Т.Ко-

байашп, М.Коды, Дж.Коревуара, В.Луксембурга, С.Омату, А.Прит-чарда, Е.Рафайловича, И.Сакавы, Дж.Сейнфельда. Вместе с тем, актуальными остаются многие вопросы, касающиеся исследования задач наблюдения для систем с сенсорными измерениями. Упомянем здесь конструирование сенсоров, обеспечивающих требуемые свойства наблюдаемости для отдельных классов систем; регуляризацию задач оценивания состояния в системах с сенсорными наблюдениями; исследование устойчивости регуляризирующих алгоритмов к погрешностям задания сенсора.

Отдельная группа вопросов, рассмотренных в диссертации, связана с задачами идентификации и оценивания в системах с немоделируемой динамикой. Библиография по теории идентификации весьма обширна. Круг вопросов, рассматриваемых в этой работе, связан с применением минимаксного подхода к задачам оценивания весовой функции и состояния линейной управляемой системы. Предложенные в диссертации методы асимптотического оценивания состояния и вычисления оптимальной программы наблюдений основаны на результатах теории минимаксной фильтрации для систем с немоделируемой динамикой.

Целью работы является развитие теории наблюдения и оценивания состояния и параметров необратимых эволюционных систем.

Методы исследования. В основу работы положены понятия и методы теории наблюдения, идентификации и управления в условиях неопределенности, теории некорректных задач, используются результаты теории экстремальных задач, теории граничных задач для уравнений с частными производными, функционального анализа и спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах.

Научная новизна. В работе установлены новые свойства решений задач наблюдения, идентификации и оптимизации наблюдений в системах с немоделируемой динамикой в условиях неопределенности; развит подход к исследованию наблюдаемости динамических систем, в рамках которого свойства формулируются в терминах "информационных областей", совместимых с наблюдениями; предложены новые понятия и критерии наблюдаемости систем с распределенными параметрами параболического типа, дана формулировка результатов в терминах свойств управляемости сопряженной системы; разработан подход к

регуляризации задач наблюдения, основанный на методе гарантированных оценок, и, как показано, включающий в себя ряд известных методов регуляризации некорректных задач; исследованы приложения этого метода к системам с финальными распределенными, зонными и сенсорным наблюдениям.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты развивают теорию обратных задач и теорию наблюдения и идентификации в условиях неопределенности. Они могут служить основой вычислительных алгоритмов оценивания состояния и параметров систем, функционирующих в условиях неопределенности, планирования процесса наблюдений. Результаты, касающиеся наблюдаемости систем, могут быть полезны при исследовании вопросов корректности постановок граничных задач для систем с распределенными параметрами. Возможно использование материалов диссертации в специальных курсах по теории наблюдения и обратным задачам.

Апробация работы. Результаты, составившие содержание диссертации, обсуждались на Международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (Москва, 1991), на VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990), на Всесоюзной школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (Екатеринбург, 1992), а также в Институте математики и механцки УрО РАН (руководитель семинара - академик РАН А.Б.Куржанский), Институте проблем механики РАН .(руководитель семинара - академик РАН Ф.Л.Черноусько), в МГУ им. Ломоносова (руководитель семинара - профессор М.С.Никольский), Институте математики СО РАН (руководитель семинара - академик РАН М.М.Лаврентьев).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 15 параграфов, одного приложения и библиографического списка, включающего 260 наименований. Общий объем диссертации составляет 244 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан крат-кии обзор научных направлении и результатов, относящихся к рассматриваемым в работе вопросам, изложены основные результаты диссертации, а также сообщены сведения о публикациях и опробации работы.

Первая глава (§§1 - 4) посвящена исследованию гарантированных оценок параметров и состоянии в системах с немоделируемой динамикой. Рассматривается система, описываемая уравнением:

z{t) = K{t)z0 + t Kit - r)tt(r)dr, 0 < t < tu (1)

JQ

Zo ,z(t),u(t)efi".

Здесь z(t) - вектор состояния системы в момент времени t; K(t) есть весовая функция системы: при каждом t это матрица размеров (n х п); u(t) -управление. Предполагается, что z0 и u(t) заданы, тогда как весовая функция неизвестна, как неизвестна и траектория z(t), 0 < t < tj. Систему (1) будем называть системой с немододпруемой динамикой. Данное уравнение может рассматриваться как модель процесса в динамической системе

z=Az + u, t> О, z(0) = z0,

с неизвестно!! матрицей А , которая не зависит от времени. Примем, что на интервале 0 < t < Т доступен измерению го-мерный вектор y(t),

y(t) = G(tKi) + i(i), 0<t<T; y(t),((t)eJr*, (2)

где матрица G(i) задана, a £(i) - неопределенное возмущение, совместно с весовой фукцпей K(t) удовлетворяющее априорному ограничению

< K{d),-RK{D) + < R(.),tfJZ(.) >Lfm + (3)

<t(-),MZ(.) >L?{0iT)< р.2. Параметр г) e [0,ij] - задан, а в = тах{г),Т'}. 11,Я, M - непрерывные самопряженные неотрицательные операторы в соответствующем евклидовом пространстве (оно вынесенно в индекс обозначения < •, ■ >х)>

обозначающего, в свою очередь, скалярное произведения в X. Символ К принят для вектора, полученного расположением столбцов матрицы К один под другим, начиная с первого. По наблюдению у = y[t), О < I < Т требуется оценить в системе (1) состояние в момент времени ß и K(t),Q <t< i? - весовую функцию системы.

Ранее некоторые аксйекты задачи оценивания в указанной системе изучались в работах А.И.Исакова, К. Фуруты, И.-Ш. Ха. Данное исследование проведено в рамках подхода, изложенного в докладе А.Б.Кур-жанского 5, где задача гарантированного оценивания состояния системы была решена в предположении, что zj = 0, и получены соответствующие уравнения минимаксного фильтра. В общем случае этот подход приводит к следующим понятиям, введенным в первом параграфе работы.

Информационным множествдм К[д\ у] весовых функция, совместимым с наблюдением у = y(t),0 <t <Т, названо множество в пространстве Д"2 х 0,0), содержащее те и только те элементы К = (JCtf,£(•)), K.Q е R"2, £(-) е £$'(0,0), для каждого из которых существует функция £(•) е L?(0>T) такая, что матрица K(t),

mt\ = i при п в"16 l0'0^'

u при i =

и соответствующее ей решение уравнения (1) удовлетворяют неравенству (3) и условию (2) при почти всех t е (0,Т).

Информационное множество Z\d\y\ состояний 2(1?), совместимое с наблюдением у, определено как множество в Л" всех тех, и только тех векторов z, которые допускают представление

z = (4®Е„)Ка + £(и'(4 - г) ® Еп)к(т)с1т, (Ka,K( )) е К\$-,у].

Через Еп обозначена единичная матрица порядка п , а через ® - операция кронекеровского произведения матриц.

1 A.B.Kurzhanskii. Estimation of control system dynamics under

uncertainty in parameters and inputs. In: 8th IFAC Congr., Kyoto, 1981. Vol.6. S.I., s.a. P.V158-V164.

Задачи апостериорного оценивяпия весовой функции в системе (1)-(3) ставится как задача вычисления множества j/] , а задача апостериорного наблюдения - как задача вычисления множества Z\ù\y). В случае разрешимости вариационной проблемы

,е*(у) = sup{|| к - К0 IIIК е ЙГ^} - пип sup{|| к - К III к, К е tf [*;»]}, к к

(4)

соответственно

ez(2/)=sup{||i - z° l[| z e Z[â;y]} = min sup{|| ¿-г ||| г, zeZ[â;y]}, (5)

z z

решение ее принимается в качестве гарантированной оценки весовой функции, соответственно - состояния системы в момент 1? по наблюдению у(-). В соответствии с терминологией, принятой в теории наблюдения, в задачах (4) и (5) выделено три ситуации: (i) ê = Т - задача фпльтрпции; (ii) ■â < Т - задача уточнения; (iii) ê > Т - задача прогнозирования.

Изложим кратко некоторые известные результаты 6' 7, касающиеся сформулированных задач и лежащие в основе исследовании первой главы.

В пункте 2.1 для невырожденного априорного ограничения, соответствующего предположению о существовании и ограниченности операторов Л'1 и М~х показано, что множества К[г)\у] и Z\d\ у] -ограниченные и замкнутые эллипсоиды в соответствующих пространствах. Получено аналитическое описание опорных функций информационных множеств, а также вычислены гарантированные оценки К0 - для весовой функции, 2° - для состояния системы в момент ■â по наблюдению у(-), а также наибольшие ошибки оценивания в методах (4) и (5).

6 И.Ф.Сивергина. Об эволюционных уравнениях в задаче оценивания траекторий систем с априорными квадратичными ограничениями на неопределенные параметры // Автоматика и телемеханика. 1985. N1. С.84-94.

7 И.Ф.Сивергина. О некоторых экстремальных свойствах сигналов в задаче оценивания состояния систем с квадратичными ограничениями // Гарантированное оценивание п задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С.92-100.

В §3 изложены экстремальные свойства наблюдаемых сигналов и информационных областей в задаче фильтрации с невырожденным ограничением. Если у с ¿"(О, г?) - множество всех возможных наблюдаемых сигналов в системе (1)-(3), то те у(-) е У, для которых величины £к{у) и £*{у) на У принимают наибольшее значение, названы экстремальными. Указаны необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция у(-) была таковой. Исследован класс восстанавливаемых систем - так названы уравнения (1), весовая функция которых может быть однозначно определена по гарантированной оценке при специальной реализации £(<) в уравнении наблюдения.

В пунктах 4.1-4.4 параграфа четвертого первой главы приведены эволюционные уравнения гарантированных оценок состояния и весовой функции системы (1)-(3), имеющие место в предположении невырожденности априорного ограничения и выполнения условий 72 = Д, Л/" = N(1), М = М{1), Я, ЛГ, М - матрицы соответствующих размерностей. В частности, в пункте 4.2 выведены уравнения минимаксного фильтра для задачп наблюдения. В общем случае имеющие интегро - дифференциальный тип, они при условии

« = Си, < > 0, и(0) = и0, ■ (6)

сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для г0 = 0 утверждение теоремы 4.3 совпадает с результатом, полученным в работе 5.

Сформулируем новые результаты, полученные в первой главе.

В пункте 2.2 (4°), §2, введены понятия идентифицируемости и наблюдаемости системы (1)-(3) и исследована ограниченность информационных областей состояний и весовых функций при наличии того или иного из названных свойств, если априорное ограничение задается условием

Теорема 2.7 доказывает неограниченность множества К[д;у] вне зависимости от того, идентифицируема система пли нет. В примере 2.1 приведена наблюдаемая система, в которой информационное множество состояний совпадает со всем: фазовым пространством системы.

В пункте 3.3 рассмотрена задача об оптимизации наблюдений в системе (1)-(3). Для множества Q с Cmxn[Q,i)} допустимых программ наблюдения G(),

S = (G(-) I G(t) = W{t), 0<i <1?, G(0) = G0) W{t) 6 W},

теорема 3.3 формулирует необходимые условия того, чтобы функция G°(t) оптимизировала точность гарантированной оценки z°(i?) в смысле условия (а равно 1 пли 2):

sup{4>M(GM(.),j,(.)) | y(0ey(GW(-))} =

v(')

= mmsup{$W(G(.),y(0) I »(•) € y(G(.)), G(.)€0>,

Gi'J y(-)

где

Ф<» = p(l I Z[tf;y]) + p(-l I Z[0;y]), I e R\

Ф(2) = £(р(а I Щу])+р{-е( I Z\d-y))), ¿=1

3>(G(-)) = У, {e,}"=J -ортонормированный базис в Rn .

В пункте 4.5 продолжено исследование необходимых условий экстремума в задаче оптимизации наблюдений, начатое в §3. На основе результатов пункта 4.2 в теореме 4.8 сформулированы названные условия для систем, в которых управление имеет свойство (6), а в теореме 4.9 они конкретизированы для случая, когда С - диагональная матрица. В частности, теорема 4.9 утверждает, что для функции G(a)(t) = G0 + ¡1 W(a)(r)dr, 0 < i < справедлив принцип максимума

W<°>(i) = argmax{< >дгах„| W <= W},

где r(°)(i) определеяется из уравнении:

¿rW(t) = (M{t)GM(t)U0Vla)(t) ® En)(UttV(»)(t) ® Sn,)x

(À(«)(i) + t (E„, ® ^)AW(i)), 0 < t < d,

r(°)(t?) = 0;

2£Л<°>(«) = -СЛ<а>(<) - АМ(<)С+

+£/^с'(«)(<)м(0с(°)(«)г7оИа)(<)л<в)(г), о <г< «>, А<«т = 1~1Р' еаша=1;

' 1 если а = 2; •

щУ^Ц) = СГМ(«) + У<а>(0С-

И°)(о) = о.

Здесь С = Е?=1 ® с,'^). ^о = («о ® Еп),Е^ - квадратная матрица порядка п2, с элементами е^; = 6кфц{8^ - символ Кронекера).

В пункте 4.6 рассмотрены вопросы асимптотического оценивания состояния в системах с немоделируемой динамикой. Наблюдателем для системы (1)-(2) названа всякая система

I £(г) = ИрЦ), ( ,

\р= АР{г) + + вк(г), <>о,

для которой г(£) = г(<), ( > 0, какими бы ни были весовая функция /С(<) = К(€) п порождаемое ею наблюдение г/(<) = <-?г(£), если г0 = 0. Данное понятие является аналогом наблюдателя, рассматриваемого Д.Люенбергером для динамических систем, оппсываемх обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для систем, удовлетворяющих условию (6) с диагональной матрицей С, а весовая функция которых подчинена условию

II )1д»>< «е"Л 1 > 0, (а,/3 > 0)

теоремы 4.11, 4.12 доказывают существование наблюдателей (7), в которых В — 0, п обладающих свойством

[| ¿(<) - г(1) ||я»-+ 0 при I -+оо,

если ¿а = 0, £(<) = 0, или, соответственно, свойством

Ц ¿(4) - г(<) [|к»< Сх + <>0,

если 20 ^ 0, а наблюдение представлено функцией вида (2), в которой II 11д™< М| ^ > 0. Последняя теорема главы устанавливает возможность конструирования наблюдателей с описанными свойствами с помощью методов теории минимаксной фильтрации для систем с не-моделируемоп динамикой, ихложенных в пункте 4.2 данной работы.

Главы II - IV посвящены задачам наблюдения в системе

где П с В.п -ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г, А -равномерно эллиптический оператор в П:

2о(-) - начальное распределение, заранее неизвестное. В Приложении к диссертации указаны условия, принятые в данной работе и обеспечивающие существование сильно непрерывной в ¿2(Г2) полутруппы 5(4), * > 0, а вместе с тем - слабого решения г(х, <) задачи (8) для всех г0 б Ь2(р) 8' 9. Оператору £7 предполагается быть элементом одного из следующих пространств:

я априори заданным. Пространство наблюдаемых сигналов У есть не-шторое гильбертово пространство. Во второй главе (§§5-7) рассмотрение начинается с исследования корректности задачи оценивания

» О.А.Ладыженская. Краевые задачи математической физики. М.: Яаука, 1973. 407 с.

» Ж.-Л.Лионе. Оптимальное управление системами с распределениями параметрами. М.: Мир, 1972. 414 с.

(8)

y = Gz(;-) + t, у, te у; . Q = Qx(0,T) (Г< оо), S = Гх. (0,!Г);

(9)

ai,j(x)= ajÀx) яля всех i= ■ ■ ■ > га> а(ж)>

GtC(L2{Q),y), GeC{H*4Qt),y), Q( = Qx(S,T), 6> 0,

состояния е Ь2(П), т) е [О,Г], при следующего вида априорном

ограничении на помеху

пь<и, (ю;

и постановки проблемы наблюдаемости системы.

Система (8)-(10) названа наблюдаемой (в момент г)), если условш у = 0, £ = О влекут за собой равенство 20(-) = 0 = 0), и - не

прерывно наблюдаемой в момент ■в, если существует такая констант; С > 0, для которой

II *М) Имп)< с IIУ Ь.

какими бы ни были начальное распределение го(-) и помеха £, реализо вавишеся в этой системе. Система (8)-(10) называетя сильно яаблюда емой в момент если - информационное множество состоянш

в системе (8)-(10), совместимое с наблюдением у, - ограничен! для всякой реализации наблюдаемого сигнала. Теорема 6.1 утверждав' эквивалентность свойств сильной и непрерывной наблюдаемости в мо мент известную для ■д = Т из работы 4.

Результаты §6 связаны с исследованием двух новых понятий: е наблюдаемости динамической системы и наблюдаемости на множеств в заданный момент времени.

Система (8)-(10) называется е - наблюдаемой в момент 1?, если дл всякого наблюдения у имеет место следующее свойство:

для любых е > 0 и ч>(-) б существует <р0(-) е Ос(<р(-)) такое, что (11

-шарвЬг(Й) радиуса ее центром в точке ¡р{-)] р{фо{-) I - опорная функция множества ¿?[1?;у].

Так как множество Z[■д;y] е ограничено тогда и только тогд когда (теорема 6.3)

р(<р(-) \ 21#;у]) <оо для всех <?(■) 6 Ь2(П),

данное свойство может рассматриваться как ослабление в определен ном смысле свойства сильной наблюдаемости.

Пусть Ф - конечное или бесконечное множество в пространстве Ь2($1) . Спстема (8)-(10) называется наблюдаемой на множестве Ф в момент если

р(<р(-) | г[в;у]) < оо для всех <р(-) е Ф,

каким бы ни был наблюдаемый сигнал у.

В пункте 6.1 получены некоторые свойства с - наблюдаемых систем. В теореме 6.2 показано, что если система е - наблюдаема в момент 1?, то она наблюдаема. Теорема 6.4 утверждает достаточность выполнения условия (11) при у — 0 для того, чтобы спстема была е - наблюдаемой в момент времени г). В следствии 6.1 установлено, что если спстема не является е - наблюдаемой в момент 1?, и только в этом случае для множества Z[i)\Q) справедливо равенство с1 Z[^д\0] = с1 Z\д\0] + Яь где Н\ - некоторое ненулевое подпространство в Ь2(£1). Наконец, рассмотрен оператор ^ : Ь2(£1) <->У с областью определения Т>(Р) = {¿(-) е г(-) = 2(-,т?;го(-)), *о(0) 6 ^(0)}, плотной в Ь2(И), и ставящий в соответствие функции ¿(-) е 2>(.Р) элемент у е У, у = г(х,4) -

решение системы (8), удовлетворяющее условию — г(-). Теорема

6.6 утверждает, что система (8)-(10) е - наблюдаема в момент $ тогда и только тогда, когда оператор F замыкаем.

В пункте 6.2 исследовано свойство наблюдаемости на множестве. В теоремах 6.8, 6.9 показано, что если имеется система (8)-(10), в которой оценивается состояние в момент времени д, то

(1) система сильно наблюдаема в момент д тогда и только тогда, когда она в этот момент времени наблюдаема на множестве Ф = Ь2(и)\ (и) система е - наблюдаема в момент д тогда и только тогда, когда существует всюду плотное в Ь2(С1) множество Ф, на котором система наблюдаема в этот момент времени ;

(ш) система наблюдаема в момент т5 тогда и только тогда, когда существует всюду плотное в ¿2(0) множество Ф, на котором система наблюдаема в момент времени 0.

Примеры пункта 6.3 раскрывают место введенных понятий в ряду других свойств наблюдаемости системы. В пункте 2° примеров 6Л и 6.2 рассматривается наблюдаемость на множестве Ф = - базисе в

'£¿(0), образованном собственными функциями краевой задачи

Ау{(х) = Лда(х), у4(ж)=0, же Г. (12)

Пример 6.2 (3°) указывает систему, е - наблюдаемую, но не наблюдаемую на этом множестве в момент времени Т. Пример 6.3 доказывает, что свойство е - наблюдаемости сильнее, чем наблюдаемость; показано, 'что система (8)-(10), в которой в принадлежит С(Ь2{С}б),Ь2(6,Т)),

= 1^(х,г)г{хЛ)<1х, 6<г<Т,

1=2 к ~ 1 ¿¿влаясь наблюдаемой, не е - наблюдаема в момент времени Т.

В §7 исследованы дуальные свойства управляемости сопряженной 'Шстемы

у}{х,Т) = 0, гей, (13)

и>{х^)=0, (а:,*)еЕ.

Задача ^управления состоит в том, чтобы для заданных ■& е [О, Г] и ¥>(■) е чб£(П) и найти управление Л е у*, приводящее систему (13) в 1ЗДчку'5*(1?)у>(-) к моменту времени < = 0. Теорема 7.1 показывет, что '(¡) для того, чтобы система (8)-(10) была сильно наблюдаемой в ''Ш&е'нт необходимо и достаточно, чтобы задача управления была при всех <?(•) е 12(П)\ '(и) того, чтобы система (8)-(10) была г - наблюдаемой в момент 1? необходимо и достаточно, чтобы для всех у>( ) е Ь2(И) и е > О существовало управление А е У*, обеспечивающее включение

4,0) +0.(0));

(ш) для того, чтобы система (8)-(10) была наблюдаемой в момент д, необходимо и достаточно, чтобы для всех <р(-) е и е > 0 существовало управление А е У*, обеспечивающее включение

ш(.,0)е5*(1?М) + О4(0).

Теорема 7.2 формулирует свойство управляемости системы (13), дуальное к' наблюдаемости системы (8)-(10) на множестве Ф в момент д.

Третья глава (§§8-11) посвящена исследованию регулярпзпрующих алгоритмов для задач оценивания начального распределения в системе 8)-(10). Для заданного у е У рассмотрен функционал:

ТЫ-)) =11 \\у, ¿2(П) Э г0(-), (14)

[г(х, г0) - решение задачи (8), отвечающее начальному условию г(х, 0) = 2о(г:)). Для него поставлены задачи: (Р) -нахождения функции удовлетворяющей неравенству

(д>0), (15)

[ (Р') - вычисления множества 2* = (г^(-)} всех решений неравенства 15). Если множество непустое, (Р') имеет интерпретацию в тер-шнах теории гарантированного оценивания: есть информационная |бласть состояний -г(-,0) в системе (8)-( 10), совместимая с наблюде-[ием у. Вместе с тем, в §5 было показано, что прямое вычисление ак функции ¿о(-), решающей задачу (Р), так и в целом множества '*, может привести к неустойчивым процедурам. Цель данной главы построение устойчивых схем вычисления указанных объектов.

§8 открывают определения регулярпзпрующих операторов10. Будем оворить, что операторы е > 0, Рс:у >-» £2(П), регуляризируют адачу (Р) по функционалу (по аргументу), если существует такая за-исимость е = г(/х), ц>0, что при ^ -»0 функции гс — Рсу удовлетво-яют условию

|| у -<?*(•, .;2£) ||у-0 (|| *„(■) -2с(-) ||£г(п)-, 0).

В пункте 8.2 предложен подход к построению регуляризирующих 1ераторов, основанный на понятии регулярпзарующеп задача гарая-нрованного оценивания. Рассмотрена система

г(ж,0) = 20(х), Х£{1,

ф,г)=0, (16)

< г0,//«2о >£2(П) + < >у < м2 + 7?;

0 А.НЛЬхонов. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, '86. 287 с.

в которой операторы А, б -те же, что и в (8),(9), а н Кс - линейные неотрицательные самосопряженные операторы, зависящие от скалярного параметра е > О, прп этом Нс обратим на В каче-

стве регуяяризирующего оператора для задачи (Р) положен оператор вычисления гарантированной оценки г§е(-) распределения г0(-) по наблюдению у в этой системе:

(17)

Так определенный оператор Гс линеен и непрерывен на У (лемма 8.1). Задачу гарантированного оценивания функции г0(-) в системе (16) назовем регуляризирующей для задачи (Р) по функционалу или по аргументу, если соответствующим свойством обладают операторы Рс (17). В последующих параграфах работы данная конструкция конкретизирована для различных операторов наблюдения б и исследованы ее регуяяризирующие свойства при надлежащем выборе операторов Мс и Кс .

В пункте 8.3 исследуется связь метода регуляризирующей задачи гарантированного оценивания с вариационными методами регуляризации. Теоремы 8.4, 8.5 и 8.6, в предположении, что система (8)-(10) наблюдаема , указывают операторы Мс и Кс, при которых метод регуляризации (17) дает то же решение, что и методы регуляризации А.Н.Тихонова, квазирешений В.К.Иванова и невязки соответственно, Например, в последней из указанных теорем утверждается, что прг £ > ш£{1(г0(-)) | г0(-) б решение в методе невязки

2оЛ') = агб -го(-) ||£з(П)1 < е}

хо{')

совпадает с функцией гЦе(-) из (17), если положить

= К,=р(е)£и

где В и Ех - суть тождественные операторы в Ь2{Щ и у соответственно а величина /3(е) > 0, однозначным образом определяемая по е, такова что для функции

(£+(3(£)3'(.)С*03{.))-Щ£)3<(.)С*У = £о(.)

У

выполнено равенство || Сг(-,-\г0) - у е.

В §9 исследованы свойства метода для систем (8)-(10), в которых Сг(-, •) = г(-,Г); соответствующие наблюдения названы распределенными финальными наблюдениями. Для таких систем известен метод квазпобращенля Ж.-Л.Лионса, Р.Латтеса п, состоящий в следующем: РеУ з и£(-,0), е > О,

+ Аи,(х, <) + еА*Аис(х, *) = 0, (х, *) е <?, ус(х, Т) = у(х), гбП,

Вопрос в том, существуют лп такие операторы Л/"е, в регуляризи-рующей задаче гарантированного оценивания, при которых функция (17) совпадает с решением в методе Ж.-Л.Лионса, Р.Латтеса, каким бы ни было у(-) е Ьг(П).

Теорема 9.1 утверждает равенство г^(-) = и£(-,0), если в (16) положить

00

*=1 *=1

где

*0к = /п2о(Х)ЫХНХ> 6 = ¡а£(х)<Рк(х)<1х,

1 " ортонормпрованный базис в Ь2(П), образованный реше-

ниями задачи (12). В теореме 9.2 указаны операторы Л/"£ и Ке с век-сорным параметром р -гумриаацпи е = (ег, £2), при которых янформа-дюнные области Zc[G\y\ состояний г(-,0) в системе (16) приближают зешение задачи (Р') в смысле К.Куратовского при е -* 0, а соответствующие гарантированные оценки состояния сходятся к уС](-,0) при —» 0. Доказана также возможность- получить с помощью конструк-цп! (17) решения в методах регуляризации Х.Гаевского, К.Захариаса; ^.А.Самарского, П.Н.Вабшцевича.

11 Р.Латтес, Ж.-Л.Лионе. Метод квазиобращения и его приложения. Ал Мир, 1970. 336с.

В §10 рассмотрена задача (Р), когда G суть тождественный оператор в L2(Q6); такие наблюдения названы зонными. Существенное отличие этой задачи от рассмотренной в предыдущем параграфе состоит в том, что здесь (Р) не всегда разрешима, так как нижняя грань 1° функционала l(z0(-)), z0(-) е L2(ü), вообще говоря, отлична от нуля; ее значение вычислено в теореме 10.1 и - в более общем случае - в теореме 11.1. Задача (Р) с зонными наблюдениями является частным случаем задачи со смешанными наблюдениями, рассмотренной в §11. Изложим основные результаты одиннадцатого параграфа.

Пусть

*(*>(•)) = (« II yi(v) - *(s-;*o) lli2(Q4) + 0<<*<1, y1(-,-)eLi(Qs), y2(-)eL2(n),

2/1 и 1/2 - некоторые заданные функции. В работе предложено два метода ■ регуляризации задачи (Р). Именно, теорема 11.2 указывает функции zOc(0j пРи £ 0 минимизирующие функционал l(z0(-)) и, в случае ц > 1°, при достаточно малых е удовлетворяющие неравенству (15). В теореме 11.3 сформулирован метод квазиобращения для задачи (Р): пусть в функционале Z(z0(-)) функции j/i и у2 таковы, что

y1(x,t) = z(x,t;z0)+^1(x,t), xeü, 5<t<T, y2(x)=z(x,T-,z0) + t2{x), xeü,

II fi WHQt)< Ml. Нб11х3(П)<^2. Тогда функции z0c(-) = u£(-,0), где vc(x,t) определяется из системы: е>0,

+ Avc(x, t) + eA*Avt+ a(T - 6)-*У1(х, t) = 0,

(x,i) e Q (18)

vc(x,T)=(l-a)y2(x), xeO, 1 '

vc(x,t) = Ave(x,t) = 0, (x,i)eE;

в функция y\(x,t) не задана, она1 ходятся к ¿о(-) в норме простран

е-* 0, m -> 0, Hierlu -> 0 (г = 1,2).

(для 0 < * < 6, где функция 1/1(2:,4) не задана, значения ее полагаются равными нулю) сходятся к ¿о(-) в норме пространства Ь2(П), если

В теореме 11.4 указаны регулярпзпрующпе задачи гарантированного оценивания, решения в которых совпадают с полученными в теоремах 11.2 и 11.3. В частности, для теоремы 11.3 результат таков (6 = 0): в системе

■ *4£Ü + Az(x,t) = 0, (x,t) 6 Q,

z(x,0) = z0(x), хеП,

z\x,t) = 0, (i,i)eS;

yi(x,t) = z(x,t) + ^(x,t), (x,t)eQ

y2(x) = z(x,T) + b(x),

< ^.A/iZo >L}(n) +ОГ tf < £l(;t),Mc{l(;t) >l](n) +

+(1 - a) < >£5(n) < V2 + 7ei

следует положить

"Ж-) = E(1 - (1 - «)e-tA2T -i=l

М<Ш) = t Т-'е^^ЫШ-), i=l

где обозначено

(ik(t)=Jn{\(x,t)<pk(x)dx, (2к = ja^{x)tpk{x)dx.

Четвертая глава (§§ 12-15) посвящена задачам наблюдения в системах с сенсорными измерениями. В §12 даны определения сенсоров для слабых решений начально краевой задачи (8). Сенсорными в работе названы операторы наблюдения G со значениями в У = Lf(6,T), удовлетворяющие следующим условиям:

(i) G = G(t), 6<t<T, где либо G(t) е ¿(¿^(П),^"1), либо G(t) е C(C(Cl), Rm) (второе, естественно, требует дополнительных свойств гладкости решения z(x,t));

(ii) операторная функция G(t) кусочно непрерывна на [6,Т] в норме, соответствующей условию (i).

В работе рассматриваются следующего вида сенсоры:

с(<м-, о=ытх<щ, <), • • •, 9м тх <*>(<),

6 < * <Т\ (7) пространственные дискретные

Н - '¡Ь-1 «»

Наблюдения последнего из указанных типов, хотя и не удовлетворяю' всем перечисленным выше условиям, отнесены к классу сенсорны: ввиду конечномерности наблюдаемого сигнала. Веса <7т(

также траектории а;(т)(<) и точки х'т) в П (тп = 1 ,---,М) предпс лагаются известными заранее. Если операторы 6(4) не зависят от 1 то сенсор называется стационарным, в противном случае - динамяч* ским.

В §13 разработан метод регуляризации задачи оценивания распре деления 20(.) в системе (8)-(10) с сенсорными наблюдениями типа (а' Рассматривается вспомогательная задача гарантированного оценив; ния состояния г(-,0) в системе

Сначала в теореме 13.1 показано, что при определенных условиях, св. зывающих параметр регуляризации е = (£1 ,/3), величину /х, задаюЯду точность наблюдений (9), и значение а в условии

г(х,Т) = гт(х), г(х, ¿) = О,

<гт,Хсгт >ча) + < М2 + 7?;

(М)еС?, жеП,

б < * < Г,

ОО ДЛД.Г

к=1

решение z°(.) этой задачи обладает регуляризируюшдми по аргументу свойствами для задачи (Р). Затем теорема 13.2 устанавливается тот факт, что функция может быть найдена как значение при t = О функции vc(s), 0 < s < Т, причем последняя удовлетворяет уравнению

¿ü£(s) = -avt(s) - x¿(s)(r;(s) - B;(s)G&))x (19)

х(г/(5)-Са(в)^(5)), 0 < s < Г, vc(T) = О,

¿Be(s) = -CeB*e(s) - Sí(s)Ct- (20)

-Xs( s№(s) - B*c(s)G*a(s))(Vc(s) - Ga(s)Bc(s)), 0 <s<T, BC(T)= 0,

определяющему метод квазиобращения для задачи (14). Здесь Cez{-) = i l+tiA¿ zkVk{')i z(-) £ L2(Q), - линейный непрерывно обратимый оператор на Lifó)', операторы Fc(s) находятся по Ga(s) и Мс. Доказательство теоремы 13.2 основано на методах теории минимаксной фильтрации для систем с распределенными парамерами. На основе данного результата получена процедура регуляризации в задаче оценивания конечного числа гармоник распределения za(.). В пункте 13.4 (Io) рассмотрен пример задачи наблюдения, для которой возможно представление уравнений (19), (20) в виде уравнений в частных производных, первого - в области Q, а второго - в области ííxfix(0,T).

В §14 предложена схема квааиобращения в системах с сенсорными наблюдениями типа (-у). Наконец, в §15 получен итерационный алгоритм регуляризации в задаче оценивания отдельной гармоники zm¡ в одномерном уравнении теплопроводности по результатам пространственно-усредненных стационарных наблюдений, основанный'на постро-знии биортогональной системы функций для системы экспонент.

В Приложение вынесены используемые в основном тексте диссертации понятия и результаты теории начально-краевых задач для ура-шений с распределенными параметрами параболического типа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертации.

1). Получены необходимые условия экстремума в задаче оптимизации наблюдений в системах с немоделируемой динамикой. Исследовань варианты принципа максимума в названной задаче для специальны? классов систем.

2). Предложены методы асимптотического оценивания состояние систем с немоделируемой динамикой и доказана возможность констру ирования асимптотически устойчивых наблюдателей для указанное класса систем методами теории минимаксной фильтрации.

3). Для систем с распределенными параметрами параболическое типа развит подход к исследованию проблемы наблюдаемости, в рам ках которого свойства наблюдаемости формулируются в термина "информационных областей" состояний, совместимых с наблюдет ями.

(i) Введено понятие "е -наблюдаемости системы в заданный момен времени". Получены необходимые и достаточны условия для е - наблк даемости системы. Изучено место этого свойства в ряду известны свойств наблюдаемости. Найдено дуальное для него свойство управш емостн сопряженной системы.

(ii). Введено понятие "наблюдаемости системы на множестве в зада! нын момент времени", на основе которого выстроена шкала свойсз наблюдаемости. Дана интерпретация результатов в терминах свойса управляемости сопряженной системы.

4). Предложен подход к регуляризации задачи оценивания состо ния в параболических системах, основанный на методе гарантирова ных оценок.

(i). Показано, что данный подход включает в себя ряд известных м тодов регуляризации некорректных задач.

(ii). Указаны его конкретные реализации, приводящие к решению о дачи методом квазиобращения Ж.-Л.Лионса, Р.Латтеса, а также в которых других методов.

(iii). Предложены уравнения квазиобращения для систем с зонными смешанными распределенными наблюдениями. Доказаны теоремы <

условиях сходимости решении в данных методах. Дана интерпретация результатов в терминах регуляризирующей задачи гарантированного оценивания.

5). На основе метода гарантированных оценок получены уравнения квазиобращения для параболических систем с наблюдениями, доставляемыми пространственно-усредненными сенсорами. Доказана теорема о регуляризнрующих по аргументу свойствах данного метода.

6). Предложен метод квазиобращения для задач оценивания состояния параболических систем с дискретными сенсорными измерениями.

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах.

1. Об информационных областях линейных систем с неопределенными параметрами // Оценивание динамики управляемых движений. Свердловск: УрО АН СССР, 1988. С.96-110.

2. К задаче гарантированного оценивания начального состояния эволюционной системы первого порядка в условиях неопределенности // Динамические задачи оценивания в условиях неопределенности. Свердловск: УрО АН СССР, 1989. С.104-109.

3. Гарантированное оценивание параметров начального распределения в параболической системе // Оценивание и идентификация неопределенных систем. Екатеринбург: Ин-т математики и механики УрО РАН. 1992. С. 188-216. Деп. в ВИНИТИ 26.05.92, N 1754-В92.

4. Оптимизация наблюдений в системах с немоделируемой динамикой // Екатеринбург: Ин-т математики и механики УрО РАН. 1993. 21с. Деп. в ВИНИТИ. 30.03.93, N 765-В93.

5. О необратимых эволюционных системах: гарантированное оценивание и задачи регуляризации // Докл. АН СССР. 1990. Т.314, N 2. С.292-296. (Совм. с А.Б.Куржанским).

6. Обратные задачи теории наблюдения: методы регуляризации и двойственные задачи для управляемых систем // Некорректно поставленные задачи в естественных науках: Тез. докл. Междунар. конф. (Москва, 19-25 авг., 1991). М., 1991. С.182. (Совм. с А.Б.Куржанским)

7. Метод гарантированных оценок и задачи регуляризации для эволюционных систем // Журн. вычисл. математики и мат. физихп.1992.

Т.32, N 11. С.1720-1733. (Совм. с А.Б.Куржанским)

8. е - наблюдаемость систем с распределенными параметрами /( ИММ УрО РАН. 1992. T.l. С.122-137. (Совм. с А.Б.Куржанским

9. О моделировании распределенного процесса в необратимой эвс люционной системе // Управление в механических системах: Тез.докi VII Всесоюзн.конф. Свердловск, 1990. С.68. (Совм. с А.Б.Куржанскш! А.Ю.Хапаловым).

10. Kurzhanski А.В., Sivergina I.F. On noninvertible evolutionary syi tems: guaranteed estimates and the regularization problem. Laxenbur) ILA.SA, 1989. 10 p. WP-89-058.

11. Kurzhanski A.B., Sivergina I.F. On the inverse problems for ev< lutionary systems: guaranteed estimates and the regularized solutions / Lect. Notes in Control & Inform. Sci. 1990. Vol.154. P.93-101.

12. Kurzhanski A.B., Sivergina I.F. Quasiinversion, regularization an the observability problem. Laxenburg: IIASA. 1992. 25 p. WP-92-14.

Автор выражает глубокую признательность академику РАН А.Б.Куржанскому за постоянное внимание и ценные советы при по; готовке работы.