Некоторые обратные задачи для нестандартных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

У/ :/ ' ' Юкт{ 39- Olbf /05Г

/ V. ч / ~ у

/

МИНИСТЕРСТВО/ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.А.РАОТЗАДЕ

На правах рукописи

ПАШАЕВ РИЗВАН ТЕЙМУР оглы

НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ

(рвш«ш€ да" L У " Ш

ориеудал учеяую степ#й • ДС ** С ** |

I

Нечаж**!* ЩЩПКШ«« #ÄK ^уссми

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-маа?емагических наук (01.01.02-дифференциальные уравнения)

Научный консультант: академик ГАСЫМОВ М.Г

Баку - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. Обратная задача рассеяния для дробно-линейного пучка дифференциальных операторов Штурма-Лиувил-ля.

§ I. Прямая задача рассеяния ........... 27

§ 2. Обратная задача рассеяния .......... 43

ГЛАВА П. Обратная задача теории рассеяния для системы уравнений Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами .................

§ I. Специальные решения и матрица рассеяния . . 53 § 2. Спектр и разложение по собственным функциям. 72 § 3. Вывод основных интегральных уравнений. ... 89

§ 4. Теоремы о единственности .......... 102

ГЛАВА Ш. Интегральная геометрия и некоторые обратные задачи.

§ I. Связь между обратными задачами и интегральной

геометрией................. 108

§ 2. Некоторые применения интегральной геометрии в обратных задачах для дифференциальных уравнений ................... 126

ЛИТЕРАТУРА...................... 164

ВВЕДЕНЙЕ

Обратными задачами по отношению к дифференциальным операторам называются задачи, в которых по каким-либо набору данных нужно восстановить свойства исходного оператора или весь оператор. Таким! данными могут быть спектры, спектральная функция, данные рассеяния, некоторые информации о решениях уравнения связанного с дифференциальным оператором и др. Обратная задача называется II -мерной, если хотя бы одна из восстанавливаемых функций зависит от VI переменных.

В настоящее время теория обратных задач является одним из интенсивно развивающихся разделов математики. Большим стимулом исследования обратных задач является их чрезвычайно высокая прикладная важность. Такие задачи связаны с самыми разнообразными прикладными проблемами: интерпретацией показаний многих физических приборов, геофизических, геологических, астрономических наблюдений, оптимизацией управления и планирования, синтезом автоматических систем и многими проблемами квантовой механики и математической физики.

Значение обратных задач значительно возросло в последнее время после открытия возможности их использования для решения некоторых важных нелинейных эволюционных уравнений (ем.[4]»[-105] )• Эти приложения сделали исследование различных вариантов обратных задач актуальным направлением функционального анализа, математической физики и дифференциальных уравнений.

Широкую известность получила одномерная обратная задача Штурма-Лиувилля, связанная с обыкновенным дифференциальным оператором I =а 4- • Впервые обратная задача спектраль-

ного анализа для этого оператора была поставлена и решена в одном частном случае в работе С4. В простейшей постановке задача заключается в том чтобы восстановить оператор, зная его спектр. Однако как показано в работ (см. также Еюо] ), в обшем случае знание одного спектра недостаточно для определения оператора. В этой же работе Борг показывает, что два спектра оператора Штурма-Лиувилля (при различных граничных условиях) однозначно его определяют.

Впервые В.А.Марченко применял к исследованию обратных задач так называемые операторы преобразования. В работе^1/] (см.также С£>53 ) В.А.Марченко доказал, что спектральная функция однозначно определяет оператор Штурма-Лиувилля.

В дальнейшем, в ряде работ М.Г.КрейнС^З разработал

эффективный метод восстановления классического оператора Штурма-Лиувилля по двум его спектрам. Процедура явного построения потенциала (^(Оё) по спектральной функции была получена Й.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном в работе [ .

Однако полного решения обратной задачи по двум спектрам в вышеуказанных работах не было дано. Полное решение этой задачи дано в работе М.Г.Гасымова и Б.М.Левитана (см. также СбоЗ ,

). Отметим, что в настоящее время также полностью исследованы обратные задачи спектрального анализа для случая регулярной задачи Штурма-Лиувилля с неразделенными самосопряженными граничными условиями (см.Гьч! , , С£6}).

Одним из направлений в теории обратных задач является обратная задача теории рассеяния, которая связана с задачами квантовой механики. В квантовой механике рассеяние частиц потенциальным полем возникает вопрос о том, можно ли по асимптотике волновых функций на бесконечности восстановить потенциал поля и,еели

это возможно, ю дать метод восстановления.

Основополагающий результат по обратным задачам квантовой теории рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси содержится в работе В.А.МарченкоС (см.также [ ). В этой работе показано, что потенциал определяется однозначно, если заданы данные рассеяния (т.е. функция рассеяния, собственные значения и нормировочные числа), дана процедура восстановления потенциала непосредственно по данным рассеяния, найдены характеристические свойства данных рассеяния.

Исследование разрешимости обратной задачи квантовой теории рассеяния в случае системы уравнений типа Мгурма-Лиувилля впервые было предпринято Постом и Ньютоном в работеЭти авторы свели обратную задачу теории рассеяния к обратной задаче по спек -тральной матрице-функции. Важные результаты в задаче теории рассеяния были получены также (на ранней стадии исследований) М.Г. Крейном Подробный обзор по обратной задаче квантовой те-

ории рассеяния (по состоянию на 1959 г.) дан в статье Л.Д.Фадде-еваИ^'З . Б работах £ ^ ^, £ дается решение обратной задачи теории рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля на всей оси и некоторые обобщения на многомерный случай, (смг также С "52-"3 , и

Обратные задачи теории рассеяния для системы уравнений Штурма-Лиувилля исследованы вСОЗ-И&З, Для канонической системы Дирака- в С 22.1 ~ V. 231» Г 3 и Г 6П , для разностного уравнения второго порядка ~ в [20 для квадратичного пучка операторов Штурма-Лиувилля - , а для полиномиального пучка

операторов Штурма-Лиувилля - в I 1 .

Исследования разрешимости обратных задач в различных постановках для уравнений с разрывными коэффициентами проведены в ра-

ботах А.Н.Тихонова, М.Г.Крейна, М.Г.Гасьшова, Ф.Аткинсона, Р.Т.Па-шаева и др. Отметим, что такие задачи возникают в теории геофизических методов электроразведки, основанных на использовании электромагнитных полей I Ц") . В работе [ОЦТ (см.такжеСЧ 1 ) доказана теорема единственности восстановления дифференциального уравнения с кусочно аналитическим коэффициентом. Далее, обратная задача теории рассеяния для уравнения Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами рассмотрена в Г ¿Ц ] . Здесь исследован вопрос о един -ственности решения обратной задачи по данным рассеяния и по спектральной функции. Наконец, вГЧЧЗ решены обратные задачи теории рассеяния для дифференциального уравнения второго порядка и для системы уравнений Штурма-Лиувилля в случае, когда коэффициенты уравнений имеют разрыв в одной точке.

Отметим, что в работе С ЬЬ 1 исследована сходимость разложения по собственным функциям для уравнения Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами.

Изложим теперь вкратце обзор по обратным задачам для дифференциальных уравнений с частными производными. По-видимому, первой рассмотренной обратной задачей в этой области была обратная кинематическая задача сейсмики. Она возникла в связи с попыткой изучения внутренней структуры Земли по наблюдениям на поверхности Земли за распространением фронтов сейсмических волн, порождаемых землетрясениями. В книге Низложен обзор результатов, относящихся к одномерной и многомерной обратной кинематической задаче сейсмики в линеаризованной и нелинейной постановках.

После этого начала изучаться другая обратная задача-обратная задача теории потенциала. Эта задача заключается в определении финитной правой части линейного уравнения второго порядка эллиптического типа. Изучением этой задачи занимались П.С.Новиков,

А.Н.Тихонов, М.М.Лаврентьев, В.К.Иванов и др.

Впервые многомерные обратные задачи (в спектральной постановке), отличные от обратной задачи теории потенциала, были рассмотрены Ю.М.Березаяским (смЛ 42.]). Теория многомерных обратных задач, связанных с отысканием коэффициентов развита в работах М.М. Лаврентьева [ 5Ъ 3, С5Ч 1 (см.также С 52. Л ), В.Г.Романова I , I" , А.Д.Искендерова £ Ь'9 1 Д Цо 3 , Л.П.Нижника С 1 и др.

Промежуточное положение между обратными задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений и многомерными обратными задачами занимают одномерные обратные задачи для уравнений в многомерном пространстве. Зачастую такие задачи приводятся к обратной задаче Штурма-Лиувилля (см.,например, Ыь 3 , С о } ).

Известно, что многие обратные задачи для дифференциальных уравнений приводят к классически некорректным задачам. Понятие корректности (правильности) постановки задачи математической физики было введено в начале нашего века французким математиком 1.АдамаромС & Задача математической физики или краевая задача для уравнения с частными производными называется поставленной корректно, если выполняются следующие условия: а) решение задачи существует; б) решение задачи единственно; в) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи.

Сформулировав понятие корректности, Адамар привел пример некорректной задачи для дифференциального уравнения, которая , по его мнению, не соответствовала никакой реальной физической постановке. Этот пример - задача Коши для уравнения Лапласа. Оказалось, что мнение Адамара относительно этой задачи и ряда других задач этого же типа было ошибочным. Некорретные задачи встречались при математическом описании физических явлений уже давно.

Однако систематическое изучение вопросов теории некорректных задач началось сравнительно недавно.

А.Н.Тихонов показал, что для достаточно широкого класса обратных задач, имеюших физическую природу, целесообразно дать определение корректности, отличное от классического. В новом подходе к понятию корректности одним из центральных требований, предъявляемых к решению задачи, является его единственность в классе функций, принадлежащих некоторому заданному множеству функцио -нального пространства. Сушествование решения, принадлежащего этому множеству, предполагается априори известным для некоторого множества данных. Требование непрерывной зависимости решения от данных задачи сохраняется, но понимается в этом случае в несколько ином смысле. А именно, требуется непрерывная зависимость решения задачи только от тех данных, которые не выводят решение за пределы заданного множества.

Отметим, что наиболее полно современное состояние теории некорректных задач отражено в монографиях I,С S£ 1 » £95

Различают два типа некорректных задач: слабо некорректные и сильно некорректные задачи. Слабо некорректные задачи- эти задачи некорректные в одних пар пространств и корректные для других пар пространств. Например, задача дифференцирования некорректна для пар (с(0,f} *С(0,1)) и корректна для (С1(0,0,С(0.1)). Сильно некорректные задачи - эти задачи некорректные для всех пар пространств норм которых содержит только конечное число производных функций - элементов пространства. Например, задача Коши для уравнения Лапласа является сильно некорректной задачей.

Как известно [S2 3 , исследование многих многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений с частными1 производными

сводится к исследованию задач интегральной геометрии. Напомним, что задачи интегральной геометрии заключаются в отыскании функции или дифференциальных форм через известные от нее интегралы по семейству кривых или поверхностей (по поводу этих задач см. [ь] »

[41» ГН)]?[Ь9 и др.) . Впервые внимание на связь меж-

ду задачами интегральной геометрии и обратными задачами было обращено М.М.Лаврентьевым и В.Г.Романовым вГ£0 В дальнейшем этому связи посвяшены несколько работ (см.[ 52]» С 1,ио ]). В этих работах информация о решении задачи задавались на полной границе области. С точки зрения приложения естественно исследовать обратные задачи с неполными данными, т.е. когда информация о решении известна на части границы области, где исследуется задача.

Целью настоящей диссертации является исследование следующих вопросов:

1) прямая и обратная спектральные задачи теории рассеяния для дробно-линейного пучка дифференциальных операторов Штурма-Лиувил-ля;

2) единственность восстановления системы уравнений Штурма-Ли-увилля с коэффициентами, имеющими разрывы в двух точках по данным рессеяния и по спектральной мере;

3) связь между обратными задачами для дифференциальных уравнений гиперболического типа и задачами интегральной геометрии;

4) некоторый класс обратных задач для дифференциальных уравнений с частными производными, анализ которых сводится к задаче интегральной геометрии для геодезических некоторого риманова пространства.

В работе используются методы функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории функций вещественного и комплексного переменного.

Новыми в диссертации являются следующие результаты:

- получена формула разложения по собственным функциям дробно-линейного пучка операторов Етурма-Лиувилля;

- решена задача о восстановлении указанного пучка по данным рассеяния;

- исследованы обратные задачи по спектральной мере и по данным рассеяния для системы уравнений Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами. Дана процедура восстановления соответствующих краевых задач по спектральным данным;

- исследованы задача интегральной геометрии для геодезических и обратная кинематическая задача, в которых предполагается, что данные задачи известны на некоторой части границы области, для углов, меняющихся на некотором множестве единичной сферы,имеюшей сколь угодно малую плошадь;

- решена обратная задача для волнового уравнения в случае,когда оператор реакции, точнее ядро его, задан на части границы области и скорость распространения волн зависит от части переменных;

- используя связь между задачами интегральной геометрии для геодезических, обратной кинематической задачи и обратной задачи для волнового уравнения получены новые результаты для многомерной спектральной обратной задачи и обратных задач теории рассеяния.

Перейдем теперь к изложению основных результатов диссертации.

Работа состоит из трех глав, включаюших 8 параграфов.

Первая глава,состоящая из двух параграфов, посвяшена исследованию прямой и обратной задачи теории рассеяния для дробно-линейного пучка операторов Штурма-Лиувилля.

Вопросы, рассмотренные в § I первой главы, относятся к прямым задачам спектрального анализа.

Рассмотрим следующую граничную задачу: //

У

к2у, а<х<оо,

\ >

а,

т- ьу(о)^о, ■

где функция вещественна, о) и ¡1 -вещественное число.

Известно Г 5 С 15 что при x >сс решение уравнения

(I), удовлетворяюшее условию Рт / , можно

он ~»4-оо

представить в виде

Л/ ^ 1,<0С ^ I

= е + (3)

Л

где ядро удовлетворяет неравенству

Кроме того,

' ос

00

г ОС.

Обозначим через (р(з?,к) решение уравнения (I) при начальных данных (р(0,К)=*/у (р'(0,К)==1,

Имеет место следующая

|емма_1Л1Л При всех вещественных К фо справедливо тождество

—к^-зт*,*),

(<0

где

_ ЩогЮ-Ао,-«) _ ^ г^г'

Функция $(Ю называется функцией рассеяния.

Левая часть тождества (4) является мероморфной в верхней полуплоскости От К>0 функцией с полюсами, лежаших в нулях функции Р(к) =-ЬДО,к) + /(0,К).

1§мма_1Л.2>. Функция Р(К) может иметь в полуплоскости (7/7? К>0 бесконечное число нулей с единственной предельной точкой к = С? . Все эти нули простые и лежат на мнимой оои.

Далее, найдено явное выражение для резольвенты и выведена формула разложения.

Пусть Iк^ (^ = /,2,... ) - нули функции Р(ю , Пу -нормировочные числа, -дважды дифференцируемая финитная в бесконечности функция, удовлетворяющая условию (2) и

2Ж

Имеет место следующая формула разложения по собственным функциям:

оо

№ = 2 и(осл^) ] +

ОО 00

- оо О

Из формулы для обычных и обобщенных собственных функций граничной задачи (1),(2) следует, что при —>+оо их асимптотики определяются величинами

{ SCO; Kj .tnj}, (5)

которые назовем данными рассеяния.

В последних двух пунктах первого параграфа изучаются свойства данных рассеяния в частном случае C^(sc) s О » а гакже некоторые свойства функции рассеяния, поведение решения Ц>(х,Ю , функции

в верхней полуплоскости при IК} —>со в обшем случае, которые используются при доказательстве основных результатов первой главы.

В § 2 главы I решается обратная задача рассеяния для граничной задачи вида (1),(2). Эта задача состоит в восстановлении коэффициента и числа h по данным рассеяния (5).

Сначала устанавливается, что коэффициент при X^CU од-

нозначно определяется по данным рассеяния. С этой целью выведено основное уравнение типа Марченко д