Обратные задачи для гиперболических систем первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение .3.

Глава I. Обратные задачи на плоскости .16.

§ I. Определение зависимости от переменной ос. ^Лб.

§ 2. Определение зависимости от переменной Ь . .22.

§ 3. Обратная задача для гиперболического уравнения второго порядка .46.

Глава Д. Обратные задачи в многомерном пространстве .52.

§ I. Обратная задача Коши для слабо связанных гиперболических систем .!

§.

§ 2. Обратная задача Коши для симметрической и регулярно гиперболической системы .70.

§ 3. Обратная задача Коши по определению функции многих переменных .88.

Теория обратных задач для дифференциальных уравнений является интенсивно развивающейся областью математической физики. Задачи, которые принято называть прямыми, характеризуются тем, что для заданного дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений по дополнительным условиям находится решение этого уравнения или системы, удовлетворяющее заданным условиям. В обратных задачах помимо решения требуется найти один или несколько коэффициентов или параметров, входящих в уравнение или систему. Основы теории подобных обратных задач заложены в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, А.И.Прилеп-ко, В.Г. Романова, Ю.Е.Аниконова, А.Д.Искандерова, В.Б.Гласко, В.И. Дмитриева и получили развитие в работах советских и зарубежных авторов / 3-5,13, 16, 17, 20, 22, 28-31, 40-46, 50-64, 66-68, 86 /. Истоки теории обратных задач восходят к концу 19 - началу 20 вв. Это задачи о фигурах равновесия вращающейся жидкости, обратная кинематическая задача сейсмики, обратная задача Штурма-Лиувилля и другие / 25,83-85, 87 /.

В данной диссертации рассматриваются обратные задачи для гиперболических систем первого порядка. Теория обратных задач для гиперболических систем была развита в работах В.Г.Романова, С.П. Белинского и других / 7-9, 50-64 /. Эти задачи имеют большие приложения к физике. К ним относятся обратные задачи теории распространения электромагнитных волн, теории упругости, магнитотеллу-рического зондирования. Обратные задачи теории распространения электромагнитных волн рассматривались В.Г.Романовым, С.П.Белинским, Т.Д.Пухначевой и другими / 8, 10, 12, 15, 49 /. В этих работах ставились задачи по определению диэлектрической и магнитной проницаемостей сред, а также по определению электропроводности среды. В работе В.Г.Романова / 55 / рассматривался вопрос

106 определении параметров телеграфной линии. Задачи теории упругости исследовались в работах А.С.Алексеева / I /, А.С.Благовещенского / 10 /, В.Г. Романова / 50 /, Е.А.Волковой / 15 /, а задачи магнитотеллурического зондирования - в работе В.Г.Романова и Е.Ы.Бидайбекова / 62 /. К системам сводятся также обратные задачи для волнового уравнения, уравнения Дирака и другие / 30, 36, 79 /.

Указанные обратные задачи некорректны в классическом смысле. Методы решения некорректных задач разработаны А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым, В.К.Ивановым и другими, имеется обширная литература / 2,4,6,11,19-21,33,35,38,51,65,70,71,73/.

Подробная библиография, история развития теории прямых и обратных задач для гиперболических уравнений и систем, а также современное состояние этой теории изложены в работах /14,18,21,23, 24,26,27,32,34,39,52,53,69,72,74,75 /. Основное внимание в обратных задачах для гиперболических систем уделялось ранее проблеме единственности решения. В настоящей диссертации значительное место отведено вопросу существования решения.

Остановимся теперь на содержании диссертации. Она состоит из введения и двух глав. В первой главе рассмотрены обратные краевые задачи для гиперболических систем и обратная задача Коши для гиперболического уравнения второго порядка на плоскости. Во второй главе рассмотрена обратная задача Коши для гиперболических систем в многомерном пространстве.

1. Алексеев А.С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн.- Известия АН СССР, сер. геофиз.,1962, JS 1.,с. I5I4-I53I.

2. Аниконов Д.С. О единственности определения коэффициента и правой части для уравнения переноса,- Диф. уравнения,1975, т. II, JS 8, с. 8-18.

3. Аниконов Ю.Е. Теорема единственности решения обратной задачи для волнового уравнения.- Мат. заметки, 1976, т. 19, ),з 2,с. 2II-2I4.

4. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнении,- Новосибирск: Наука, 1978,- 117 с/

5. Аниконов Ю.Е. Теорема единственности решения обратной задачи для квазилинейного гиперболического уравнения,- Диф. уравнения,1976, т. 12, Л 12, с. 2265-2266.

6. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при младших членах в параболических уравнениях.- Сиб. мат. журнал,1975, т. 16, В 3, с. 473-482.

7. Белинский С.П. Об одной обратной задаче для линейных симметрических t -гиперболических систем с п. и независимыми переменными.- Диф. уравнения, 1976, т. 12, J5 I, с. 15-23.

8. Белинский С.П. Об одной постановке обратной задачи для системы уравнений Максвелла,- В кн.: Неклассические проблемы математической физики,- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,1981.

9. Белинский С.П.,Романов В.Г, К задаче определения коэффициентов t гиперболической системы.- Мат. заметки,1980,т. 28, № 4, с. 525-532.

10. Благовещенский А.С. Об одной обратной задаче теории распространения сейсмических волн.- В кн.: Проблемы математической физики.Л.,1966, вып.I, с. 68-81,

11. Елаговещннский А.С, Одномерная обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка,- В кн.: Математические вопросы теории распространения волн.Л.,1969, т.2, с, 85-90.

12. Благовещенский А.С,,Кабанихин С.И. Об обратной задаче теории распространения волн в полубесконечном нерегулярном волноводе.- Диф. уравнения, 1983, т. 19, 4, с. 603-607.

13. Будак Б.М.Искандеров А.Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами. Докл. АН СССР,1967, т. 175, №1, с. 13-16,т. 176, №1, с. 20-23.

14. Огадимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1979. - 391 с.

15. Волкова Е.А. Об одной обратной задаче для системы уравнений теории упругости. В кн.: Вопросы корректности обратных задач математической физики.Новосибирск,1982, с. 62-68.

16. Гельфанд И.М.,Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Известия АН СССР, сер. матем. ,1951, №4, с. 309-360.

17. Гласко В.Б. О единственности решения некоторых обратных задач сейсмологии. Журнал выч. матем. и мат. физики,1970, т. 10, №6, с. 1466-1480.

18. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. - 416 с.

19. Дмитриев В.И. Прямая и обратная задачи магнито-теллурическо-го зондирования слоистой среды. Физика Земли,1970, №1,с. 64 -69.

20. Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела близкого к данному. Известия АН СССР,сер. матем.,1956, №20,с. 793-618.

21. Иванов В.К.,Васин В.В.,Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложение. М.: Наука,1978. - 206 с.

22. Искандеров А.Д. Об обратных краевых задачах с неизвестными коэффициентами для некоторых квазилинейных уравнений. Докл. АН СССР,1968, т. 178, №5, с. 999-1003.

23. Кабанихин С.И. Применение энергетических неравенств к одной обратной задаче для гиперболического уравнения. Диф. уравнения, 1979, т. 15, №1, с. 61-67.

24. Колмогоров А.Н.,Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 496 с.

25. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля. Докл. АН СССР, 1951, т. 76, №1, с. 21-24.

26. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука,1967.

27. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир,Г964. -832 с.

28. Лаврентьев М.М. К вопросу об обратной задаче потенциала. -Докл. АН СССР, 1956,т. 106, №1.

29. Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР,1965,т. 160, №1, с. 32-35.

30. Лаврентьев М.М. Об обратной задаче для волнового уравнения. Докл. АН СССР, 1964,т. 157, Ю, с. 520-521.

31. Лаврентьев М.М.Романов В.Г. О трёх линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений. Докл. АН СССР,1966, т. 171, №6, с. 1279-1281.

32. Лаврентьев М.М.Романов В.Г.,Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука,1980, 286 с.

33. Леонов А.С. Об устойчивом решении обратной задачи гравиметрии на классе выпуклых тел. Физика Земли, 1976, №7,с.55-64.

34. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир,1977. - 504 с.

35. Морозов В.А. О решении методом регуляризации некорректно поставленных задач с нелинейным неограниченным оператором. -Диф. уравнения,1970, т. 6, №8.

36. Нижник Л.П. Обратная задача нестационарного рассеяния для уравнения Дирака. У MI, 1972, т. 24, №1, с. II0-II3.

37. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. - 456 с.

38. Новиков П.С. Об единственности обратной задачи теории потенциала.» Докл. АН СССР,1938,т. 18,с. 165-168.

39. Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Наука,1970. 280 с.

40. Прилепко А.И. Обратные задачи обобщённых магнитных потенциалов.-Диф. уравнения,1970,т.6,№1,с. 27-38.

41. Прилепко А.И. О единственности решения внешней задачи ньютоновского потенциала. Диф. уравнения,1986,т. 2, №1,С. 107-124.

42. Прилепко А.И. Об устойчивости обратной задачи внешнего потенциала. Диф. уравнения,1969,т. 5, №1,с. 72-80.

43. Прилепко А.И. Внутренние обратные задачи обобщённых потенциалов. Си б. мат. журнал, 1970, т. II, №6, с. I32I-I332.44,45,46,47,48,4950,51,52