Гиперболические произведения групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Гиперболичность пространств и произведений групп

1. Гиперболические пространства

2. Диаграммы

3. Гиперболическое произведение групп

4. Граф гиперболического произведения групп

5. Классы сопряженности периодических элементов

Глава 2. Невырожденные элементы гиперболических произведений

6. Квазигеодезичность периодических слов

7. Элементаризаторы невырожденных элементов

8. Степени невырожденных элементов

Глава 3. Факторгруппы гиперболических произведений

9. Условия малого сокращения

10. Внешние клетки диаграмм

11. Построение факторгрупп гиперболических произведений

Класс (словарно) гиперболических групп был введен М. Громовым [7] как обобщение класса фундаментальных групп компактных многообразий отрицательной кривизны. Определение оказалось очень удачным, поскольку допускало несколько эквивалентных формулировок. Исходя из комбинаторной версии определения, в частности, легко показать, что к гиперболическим группам относятся группы с условиями малого сокращения С'{ 1/6) и С/(1/4)&Т(4). Поэтому гиперболические группы немедленно вызвали живой интерес как топологов, так и специалистов в комбинаторной теории групп.

За прошедшее время опубликовано большое количество работ, посвященных доказательству ряда гипотез и развитию идей, выдвинутых М. Громовым.

Так, показано, что гиперболические группы обладают многими свойствами свободных групп, формулирующимися на языке подгрупп и гомоморфных образов. Подобно подгруппам свободных групп, подгруппы гиперболических групп либо являются почти циклическими, либо содержат з

ВВЕДЕНИЕ 4 в качестве подгруппы свободную группу ранга 2; как (нециклические) свободные, так и (неэлементарные) гиперболические группы имеют богатую структуру нормальных подгрупп (более точно, и те, и другие являются б^-универсаль-ными [23]); бесконечные факторгруппы ограниченной экспоненты существуют как у свободных групп конечного ранга [18] (см. также [19]), так и у гиперболических групп [11], и т.д.

С другой стороны, понятие свободной группы обобщается конструкцией свободного произведения групп. Возникает вполне естественный вопрос о наложении на свободное произведение (точнее, на факторгруппу свободного произведения) условий гиперболичности или, другими словами, о гиперболической порождаемости группы своими подгруппами. Однако систематически этот вопрос пока не изучался, хотя, например, у Столлингса [24] можно найти красивые достаточные условия слабого взаимодействия порождающих подгрупп.

В настоящей диссертации гиперболическая порождае-мость группы своими подгруппами формализуется понятием гиперболического произведения групп, которое вводится следующим образом.

Пусть на свободное произведение конечного числа групп

Ог=ЩПг): |/|<оо, (1) iel наложено конечное множество дополнительных соотношений 1Z = {ri,., гт}. Любое слово, представляющее 1 в полученной группе

H=(F\K), (2)

ВВЕДЕНИЕ 5 может быть представлено в группе F в виде п w = Y[uirsiiu^1, г» е 7I, £i = ± 1. (3) г=1

Величина nw определяется как наименьшее число множителей п > 0 по всем возможным представлениям (3).

Определение. Будем говорить, что группа Н является гиперболическим произведением групп G{, г £ / (которые будем называть гиперболическими множителями), если функция 1н{х) = maxnw ограничена сверху некоторой лиw\\=x нейной функцией С ■ х (длина слова ||ги|| понимается в смысле метрики свободного произведения, т.е. число слогов в слове).

Несмотря на внешнее сходство определения гиперболического произведения групп с одним из определений гиперболической группы, не все свойства гиперболических групп переносятся на гиперболические поизведения групп очевидным образом. Например, введенное выше определение оказывается не эквивалентным гиперболичности соответствующим образом введенного графа Кэли (как метрического пространства). Возникающие здесь трудности обусловлены тем, что такой граф теряет свою локальную конечность.

Тем не менее, в настоящей диссертации показано, что многие факты о гиперболических группах переносятся с надлежащими изменениями на гиперболические произведения групп.

Перейдем к более детальному обзору диссертации. Работа состоит из трех глав.

ВВЕДЕНИЕ 6

В главе 1 вводятся основные понятия и рассматриваются различные аспекты гиперболичности. В первом параграфе дается определение гиперболического пространства по Громову, приводятся примеры и основные геометрические свойства таких пространств.

Определение. Обозначим (x-y)z=\(\x—z\+\y—z\ — \x—y\). Метрическое пространство X называется 6-гиперболическим, если для любых точек x,y,z,t 6 X выполнено неравенство (х • y)t > min{(a; • z)tl (у ■ z)t} — S.

Параграф 2 посвящен диаграммам над свободнвши произведениями. После введения необходимых понятий приводится оригинальный способ построения диаграмм Ван Кам-пена (диаграмм над группами) по диаграммам Линдона (над свободными произведениями групп).

В параграфе 3 приводится определение гиперболической группы и вводятся гиперболические произведения групп. Новые понятия иллюстрируются примерами и замечаниями. Основным результатом параграфа является

Теорема 3.6. Гиперболическое произведение конечного числа гиперболических групп является гиперболической группой.

Показано также, что класс гиперболических произведений групп включает в себя произведения с классическими условиями малого сокращения С'(1/6):

Теорема 3.9. Пусть F = — свободное произведение конечного числа групп Gi, г £ /, и 1Z — конечное симметри-зованное множество слов из F, удовлетворяющее условию С'(1/6). Тогда группа Н = (F\1Z) является гиперболическим произведением групп г G /.

ВВЕДЕНИЕ 7

В параграфе 4 изучается взаимосвязь между комбинаторным определением гиперболичности и гиперболичностью графа произведения групп как метрического пространства. Граф Г (Н) произведения групп (2) определяется как граф Кэли группы Н с системой образующих В = UG{, состоящей г из всех элементов всех подгрупп G{.

В отличие от графа Кэли конечно порожденной группы, граф Г (Я) произведения конечно порожденных групп в общем случае не является локально конечным. По существу, в этом заключается основная трудность при перенесении на гиперболические произведения свойств гиперболических групп. Так, от эквивалентности комбинаторного и геометрического определений гиперболической группы остается только одна импликация:

Теорема 4.7. Если в обозначениях определения гиперболического произведения при х —> оо имеет место сходимость 1н{х)/х2 —> 0 (в частности, если Н является гиперболическим произведением), то пространство Г(Н) является гиперболическим.

Из гиперболичности же пространства Т(Н) не следует гиперболичность Н как произведения групп. Это нетрудно увидеть на примере прямого произведения бесконечных групп.

При доказательстве теоремы 4.7 используется схема рассуждений из работы [21].

Параграф 5 посвящен изучению классов сопряженности элементов конечного порядка гиперболических произведений групп. Длины кратчайших элементов в этих классах можно ограничить в совокупности:

ВВЕДЕНИЕ 8

JIemma 5.1. Каждый класс сопряженных элементов конечного порядка гиперболического произведения Н содержит элемент длины не больше d = d(H).

Если подобное свойство выполняется в конечно порожденной группе (где длина понимается в смысле словарной метрики), то отсюда сразу следует конечность таких классов. В произведениях групп это уже не так очевидно и в общем случае неверно. Тем не менее, вновь используя гиперболичность, удается сформулировать и доказать аналог этого утверждения для гиперболических произведений:

Теорема 5.2. Гиперболическое произведение групп содержит конечное число классов сопряженности периодических элементов, не содержащих элементов множителей G{.

В главе 2 исследуются элементы бесконечного порядка произведения (2). Для того чтобы такой элемент имел свойства, аналогичные свойствам элементов бесконечного порядка гиперболических групп, приходится накладывать на него определенные дополнительные условия. Так, если он сопряжен с элементом одного из множителей G{, то длины его степеней не растут. Поэтому вводится понятие свободного элемента — имеющего бесконечный порядок и не сопряженного с элементами множителей Gj. Но этого требования оказывается недостаточно.

Определение. Рассмотрим последовательность степеней свободного элемента х Е Н и обозначим через хп кратчайший элемент в классе сопряженности (хп)н. Скажем, что элемент х является невырожденным, если длины элементов хп не ограничены сверху при п —>■ сю.

ВВЕДЕНИЕ 9

Невырожденные элементы гиперболического произведения групп вполне можно считать аналогами элементов бесконечного порядка гиперболических групп.

В параграфе б изучаются метрические свойства слов, представляющих степени невырожденных элементов. Напомним, что слово V называется (Л, с)-квазигеодезическим, если любое его подслово W удовлетворяет неравенству

А||Ж||-с< \W\, где \W\ обозначает длину кратчайшего слова, представляющего тот же самый элемент группы Н что и W.

Теорема 6.8. Для любого слова W, представляющего невырожденный элемент гиперболического произведения Н1 найдутся константы А\у и cw такие, что любое Непериодическое слово является (Xw, cw)-квазигеодезическим.

В отличие от случая гиперболических групп, константы квазигеодезичности в теореме 6.8 нельзя выбрать общими для всех циклически минимальных слов, представляющих невырожденные элементы.

В параграфе 7 определяется элементаризатор невырожденного элемента д G Н как множество

Е(д) = {х € Н\3п = п{х) ф 0 : хдпх~1 = д±п}.

Очевидно, Е{д) является подгруппой в Н, содержащей централизатор элемента д. Доказано, что эта подгруппа элементарна, т.е. является конечным расширением циклической группы.

Лемма 7.1. Пусть д — невырожденный элемент гиперболического произведения Н = {F[R). Тогда циклическая подгруппа {д) имеет конечный индекс в подгруппе Е(д).

ВВЕДЕНИЕ 10

Также показано, что элементаризатор Е(д) является единственной максимальной элементарной подгруппой, содержащей невырожденный элемент д.

Параграф 8 посвящен изучению больших степеней невырожденных элементов. В случае достаточно больших показателей их поведение имеет много общего с элементами свободных объектов (свободных групп, свободных произведений групп). Весьма характерным является

Следствие 8.4. Для любых невырожденных элементов <7i,. ,gi гиперболического произведения Н с попарно различными элементаризаторами E(gi) ф E(gj), г ф j найдется число N = iV(<7i,. ,gi) такое, что при т^ ., т/ > N подгруппа gp{g™\ ., д™1} является свободной группой со свободным базисом (д™1, ■ ■ ■, д™1)

Подобно неэлементарным подгруппам гиперболических групп, которые содержат в качестве подгруппы свободную группу ранга 2, неэлементарные подгруппы гиперболических произведений групп также являются "большими":

Лемма 8.8. Пусть неэлементарная подгруппа L гиперболического произведения Н содержит по крайней мере один невырожденный элемент. Тогда в ней содержится свободная подгруппа ранга 2, все неединичные элементы которой невырождены.

Глава 3 состоит из трех параграфов. В параграфе 9 вводятся условия малого сокращения над произведениями групп. В параграфе 10 более детально рассмотрены диаграммы над гиперболическими произведениями. Наконец,

ВВЕДЕНИЕ 11

параграф 11 посвящен доказательству основного результата работы.

Условия малого сокращения над гиперболическими произведениями определяются по аналогии с условиями малого сокращения для гиперболических групп, сформулированными в работе [22]. Условия, вводимые в параграфе 9, более техничны и громоздки, чем классические условия малого сокращения С'(А), хотя и являются вполне естественным их обобщением на гиперболические объекты. Поэтому не представляется целесообразным приводить их здесь полностью. По сути, они подобны условиям С"(Л), т.е. ограничивают вхождение в любое соотношение в качестве подслова кусков, "близких" кускам других соотношений.

В лемме 9.1 показано, что множество слов, полученное после симметризации достаточно большой степени кратчайшего слова, представляющего невырожденный элемент, удовлетворяет указанным условиям малого сокращения.

В параграфе 10 техника поддиаграмм примыкания и оценочных графов, введенная в работе [19] для градуированных копредставлений групп и использовавшаяся для изучения факторгрупп гиперболических групп [22], применяется для вывода лемм 10.8 и 10.9, представляющих собой аналоги леммы Гриндлингера в случае дисковых и кольцевых диаграмм над гиперболическими произведениями. В них утверждается, что если система 7Z накладываемых соотношений удовлетворяет условиям малого сокращения, то любая диаграмма над таким копредставлением, содержащая хотя бы одну 7£-клетку, содержит 7£-клетку, "сильно" примыкающую к границе диаграммы.

ВВЕДЕНИЕ 12

Большая часть параграфа 11 представляет собой цепочку лемм о свойствах факторгрупп гиперболических произведений по подгруппам, порожденным системами слов, удовлетворяющими условиям малого сокращения. Эти свойства собраны в лемме 11.7, фактически представляющей собой шаг индукции при доказательстве основного результата работы. Под невырожденностью произведения Н понимается то, что Н содержит по крайней мере один свободный элемент и любой свободный элемент g G Н невырожден.

Лемма 11.7. Пусть неэлементарное гиперболическое произведение Н невырождено, и его свободный элемент g порождает циклическую подгруппу С, являющуюся нормальной подгруппой максимальной элементарной подгруппы Eq С Н. Пусть М — некоторое положительное целое число.

Тогда существует целое mo = то(Н, Eq, М) такое, что для любого т > то существует факторгруппа Hi произведения Н со следующими свойствами:

1) Н1 — неэлементарное невырожденное гиперболическое произведение;

2) естественный гомоморфизм £\ : Н —»• Hi инъективен на множестве элементов длины не больше М;

3) любой элемент конечного порядка в Hi является образом элемента конечного порядка в Н или сопряжен с элементом из £1(^0);

4) два элемента длины не больше М сопряжены в Hi тогда и только тогда, когда они сопряжены в Н;

5) Ker^i не имеет кручения.

ВВЕДЕНИЕ 13

Любая неэлементарная гиперболическая группа обладает бесконечной периодической факторгруппой [22]. В теореме 11.8, являющейся основным результатом настоящей диссертации, доказано аналогичное свойство неэлементарных невырожденных гиперболических произведений групп. При этом понятия бесконечности и периодичности несколько видоизменяются.

Факторгруппа К свободного произведения групп F = *Gi i называется слогово-бесконечной, если она содержит бесконечное число классов сопряженности, не содержащих элементов множителей Gi. Нетрудно видеть, что требование слоговой бесконечности сильнее бесконечности обычной.

Периодичность же, наоборот, ослабляется тем, что элементы множителей Gi (и сопряженные с ними) могут иметь бесконечный порядок. Если все остальные элементы факторгруппы имеют конечный порядок, то такая группа называется слогово-периодической.

Теорема 11.8. Любое неэлементарное невырожденное гиперболическое произведение Н счетных групп Gi,., Gn обладает слогово-бесконечной слогово-периодической факторгруппой Н. При этом группы Gi,., Gn изоморфно вкладываются в группу Н.

Тот факт, что факторизация в лемме 11.7 снова приводит к невырожденному гиперболическому произведению, позволяет получить утверждение теоремы 11.8 с помощью элементарной индукции. (Напомним, что построение бесконечных конечно-порожденных групп с ограниченными порядками элементов осуществляется с помощью значительно более сложной индуктивной схемы, см. [18], а также [19].)

Из теорем 3.9 и 11.8 непосредственно вытекает очевидное

ВВЕДЕНИЕ 14

Следствие 11.9. Пусть Н — неэлементарное невырожденное произведение счетных групп Gь • • •, Gn, удовлетворяющее условию малого сокращения С'( 1/6). Тогда Н обладает слогово-бесконечной слогово-периодической факторгруппой Н, в которую группы Gi,., Gn вкладываются изоморфно.

В целом материал, изложенный в главах 2 и 3, опирается на технику и результаты работы [22].

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27] - [32], докладывались на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша (1998), Международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры Высшей алгебры МГУ (1999), VIII международной конференции "Интеллектуальные системы и компьютерные науки" (2000), VII международном семинаре "Дискретная математика и ее приложения" (2001), а также на научно-исследовательском семинаре по алгебре, семинарах "Теория групп", "Теория автоматов", "Геометрия и дискретный анализ" и "Моделирование сложных систем и процессов" (1998 - 2001) в Московском государственном университете.

Автор выражает глубокую благодарность профессору А.Ю. Ольшанскому за постановку задачи, постоянное внимание и руководство работой, а также профессору A.J1. Шмелькину за благотворное влияние.

1. Britton J.L., Solution of the word problem for certain types of groups, 1. II // Proc. Glasgow Math. Assoc., V. 3, 1956, P. 45-54, 1957, P. 68-90.

2. Weinbaum C.M., Visualizing the word problem with an application to sixth groups // Pacific J. Math. V. 16, 1966, P. 557-578.3. van Kampen E.R., On some lemmas in the theory of groups // Amer. J. Math., V. 55, 1933, P. 268-273.

3. Ghys E. and de la Harpe P., Sur les Groupes Hyperboliques d'apres Mikhael Gromov, Birkhauser, 1991, Имеется перевод: Гиперболические группы по Михаилу Громову / Под ред. Э. Гис и П. де ля Арп. М.: Мир, 1992].

4. Greendlinger М., Dehn's algorithm for the word problem // Comm. Pure Appl. Math., V. 13, 1960, P. 67-83.

5. Greendlinger M., On Dehn's algorithms for the conjugacy and word problems with applications // Comm. Pure Appl. Math., V. 13, 1960, P. 641-677.

6. Gromov M., Hyperbolic groups // Essays in Group Theory / Ed. S.M. Gersten, M.S.R.I. Pub. 8, Springer, 1987, P. 75-263.

7. Delzant Т., Sous groupes distingues et quotient des groupes hyperboliques, Universite Louis Pasteur, Strasbourg, 1991.

8. Coornaert M., Delzant Т., Papadopoulos A., Geometrie et theorie des groupes, Lecture Notes in Mathematics, 1441, Springer-Verlag, 1990.

9. Corson J.M., Amalgamated sums of groups // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, V. 39, 1996, P. 561-570.

10. Ivanov S.V., Ol'shanskii A.Yu., Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponents // Trans. Amer. Math. Soc., V. 348, No. 6, 1996, P. 2091-2138.

11. Курош А.Г., Теория групп, M.: Наука, 1967.

12. Lyndon R.S., On Dehn's algorithm // Math. Ann., Bd. 166, 1966, P. 208-228.

13. Lyndon R., Schupp P., Combinatorial group theory, Springer-Verlag, 1977, Имеется перевод: P. Линдон, П. Шупп, Комбинаторная теория групп, М.: Мир, 1980].ЛИТЕРАТУРА 114

14. Лисёнок И.Г., О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1989, Т. 53, № 4, С. 814-832.

15. Magnus W., Karrass A., Solitar D. Combinatorial group theory, Interscience, 1966, Имеется перевод: Магнус В., Каррас А., Солитэр Д., Комбинаторная теория групп, М.: Наука, 1974].

16. Meier J., When is the Graph Product of Hyperbolic Groups Hyperbolic? // Geometriae Dedicata, V. 61, 1996, P. 29-41.

17. Новиков П.С., Адян С.И., О бесконечных периодических группах, I, II, III // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1968, Т. 32, № 1, С. 212-244, № 2, С. 251-525, № 3, С. 709-731.

18. Ольшанский А.Ю., Геометрия определяющих соотношений в группах, М.: Наука, 1989.

19. Ольшанский А.Ю., Периодические фактор-группы гиперболических групп // Мат. сб., 1991, Т. 182, № 4, С. 543-567.

20. Ol'shanskii A.Yu., Hyperbolicity of groups with subquadratic isoperimetric inequality // Int. J. Alg. and Сотр., 1993, V. 1, No. 3, P. 281-289.

21. Ol'shanskii A.Yu., On residualing homomorphisms and G-subgroups of hyperbolic groups // Int. J. Alg. and Сотр., V. 3, No. 4, 1993, P. 365-409.

22. Ольшанский А.Ю., й^-универсальность гиперболических групп // Мат. сб., 1995, Т. 186, № 8, С. 119-132.

23. Stallings J.R., Geometric understanding of the angle between subgroups // Groups — Korea '94 (Pusan), Berlin, Walter de Gruyter, 1995, P. 295-301.

24. Тартаковский В.А., Решение проблемы тождества для групп с А;-сократимым базисом при к = 6 // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1949, Т. 13, № 6, С. 483-494.

25. Schick Н., Ahnlichkeitsanalyse von Gruppenrelationen // Acta. Math., 1956, Bd 96, P. 157-252.

26. Панкратьев A.E., Гиперболические произведения групп // В сб.: "Тезисы докладов на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша 1998 года", М., 1998, С. 197-198.

27. Панкратьев А.Е., Гиперболические произведения групп // Вестн. моек, ун-та. Сер. 1, Матем., мех., №. 2, 1999, С. 9-13.ЛИТЕРАТУРА 115

28. Панкратьев А.Е., О двух свойствах графа гиперболического произведения // В сб.: "Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (10-12 февраля 1999г.), тезисы докладов", М., 1999, С. 46-47.

29. Панкратьев А.Е., О свойствах графа гиперболического произведения групп // Интеллектуальные системы, Т. 4, Вып. 3-4, 1999, С. 321-334.

30. Панкратьев А.Е., О бесконечных периодических фактор-группах гиперболических произведений // Успехи матем. наук, Т. 54, Вып. 5, 1999, С. 167-168.

31. Панкратьев А.Е., О свойствах графа гиперболического произведения групп // В сб.: Материалы VII Международного семинара "Дискретная математика и ее приложения" (29 января — 2 февраля 2001 г.) Часть II, 2001, С. 175-178.