Гиперболические многогранники Кокстера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.817.72+514.174.5

Тумаркин Павел Викторович

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МНОГОГРАННИКИ КОКСТЕРА

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Э. Б. Винберг

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н. П. Долбилин

кандидат физико-математических наук В. О. Бугаенко

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева

Сибирского Отделения РАН

Защита диссертации состоится 12 _ 2004 г. в

16 ч. 15 мин., на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан /2 &г\(ХА,9< 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

2004-4 27940

Mß ZW

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В работе изучаются многогранники Кокстера в пространстве Лобачевского Шп. Многогранником Кокстера называется выпуклый многогранник, все двугранные углы которого являются целыми частями тт.

Многогранники Кокстера интересны в связи с изучением дискретных групп движений пространства 2ЕГЧ Точнее, пусть Гр — группа движений пространства , порожденная отражениями относительно гиперграней многогранника Кокстера Р. Известно, что группа Гр дискретна, и многогранник Р является ее фундаментальной областью. С другой стороны, фундаментальная камера любой дискретной группы, порожденной отражениями, является многогранником Кокстера. Таким образом, изучение многогранников Кокстера эквивалентно изучению дискретных групп, порожденных отражениями.

Классификация сферических и евклидовых многогранников Коксте-ра была получена в 1934 г. Кокстером1. Все сферические многогранники Кокстера являются симплексами, евклидовы — произведением нескольких симплексов. Группы, порожденные отражениями в гипергранях симплексов Кокстера, играют важную роль в теории полупростых алгебр Ли.

В отличие от сферического и евклидового случаев, полной классификации гиперболических многогранников Кокстера не существует. В работах Э. Б. Винберга2 и М. Н. Прохорова3 показано, что в гиперболических пространствах большой размерности нет многогранников Кокстера конечного объема. Ограниченный гиперболический многогранник Кокстера наибольшей известной размерности был построен В. О. Бугаенко4, а неограниченный — Р. Борчердсом5.

'Н. S. M. Coxeter, Discrete groups generated by reflections. Aim. Math. 35 (1934), 588-621.

2Э. Б. Винберг, Отсутствие кристаллографических групп отражении в пространствах Лобачевского большой размерности. Тр. Моск. мат. об-ва, 1984, 47, 68-102.

3М. Н. Прохоров, Отсутствие дискретных групп отражении с некомпактным фундаментальным многогранником конечного объема а пространствах Лобачевского большой размер-кости. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1986, 50, 413-424.

4V. О. Bugaenko, Arithmetic crystallographic groups generated by reflections, and reflective hyperbolic lattices. Adv. Sov. Math. 8 (1992), 33-55.

5R.Borcherds. Automorphism groups of Lorentzian lattices. Journal of Algebra 111 (1987),

Классификация гиперболических многоугольников Кокстера была получена в 1882 г. А. Пуанкаре6. В 1970 г. Е. М. Андреев7'8 полностью описал трехмерные гиперболические многогранники Кокстера. Он указал простые необходимые и достаточные условия, при которых в пространстве Ш3 существует выпуклый многогранник конечного объема с заданными двугранными углами, не превосходящими

Известна также классификация многогранников Кокстера некоторых комбинаторные типов. В работах Ф. Ланнера9 и Э. Б. Винберга10 перечислены гиперболические многогранники Кокстера простейшего комбинаторного типа — симплексы. И. М. Каплинская11 классифицировала симплициальные призмы Кокстера, а Х.-К. Им Хоф12 перечислил гиперболические многогранники Кокстера, схемы Кокстера которых линейны или являются циклами.

Известны также несколько серий гиперболических многогранников, построенные в работах В. С. Макарова13, В. О. Бугаенко14, Э. Б. Винберга15; а также Э. Б. Винберга и И. М. Кашганской16.

Недавно.Ф. Эссельман17 перечислил ограниченные многогранники с п + 2 гипергранями размерности не являющиеся симплициаль-

1336-153.

'HPoincare Theoriedes groups fuchsiennes Acta Math. 1 (1882), 1-62.

7E. M. Андреев, О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского. Мат. сб., 1970, 81, 3, 445-478.

8 Б. М. Андреев, О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского. Мат. сб., 1970, 83, 2, 256-260.

9F. banner, On complexes with transitive groups of automorphisms. Comm. Sem. Math. Univ. Lund 11 (1950), 1-71.

10Э. Б. Винберг, Дискретные группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского. Мат. сб., 1967, 72, 471-488

11 И. М. Каплинская, О дискретных группах, порожденных отражениями в гранях симпли-циальных призм в пространствах Лобачевского. Мат. заметки, 1974, 15, 159-164.

"Н.-С. Im Hof, Napier сус1ез and hyperbolic Coxeter groups. Bull. Soc Math, de Belg. Serie A, XLII (1990), 523-545.

13B. С. Макаров, О федоровских группах четырехмерного и пятимерного пространств Лобачевского. Исследования по общей алгебре. — Кишиневский ун-т, 1970, 120-129.

14В. О. Бугаенко, О группах автоморфизмов унимодулярных гиперболических квадратичных форм над кольцом Z • Вест. МГУ. Сер. 1, Математика, механика, 1984, 5, 6-12.

15Э. Б. Винберг, О группах единиц некоторых квадратичных форм. Мат. сб., 1972, 87, 18-36.

16 Э. Б. Винберг, И. М. Каплинская, О группах Ou,i(Z) и О»,i(Z)MH, 1978,238,1273-1275.

17F. Esselmann, The classification of compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d + 2 facets. Comment. Math. Helvetici 71 (1996), 229-242.

ными призмами. Вместе с результатом работы Каплинской это составило полную классификацию ограниченных многогранников Кокстера с п + 2 гипергранями. В другой своей работе18 Ф. Эссельман доказал, что размерность ограниченного n-мерного гиперболического многогранника Кокстера сп + 3 гипергранями не превышает 8.

В продолжение изучения гиперболических многогранников Кокстера, настоящая диссертация посвящена классификации гиперболических многогранников Кокстера некоторых комбинаторных типов. Точнее, исследуются многогранники Кокстера конечного объема в ЛН" с п + 2 и п + 3 гипергранями.

Другая важная причина изучения многогранников Кокстера состоит в том, что они тесно связаны с алгебрами Каца,— Муди. А именно, по любому многограннику Кокстера можно построить алгебру Каца — Муди19. Алгебра Каца — Муди, построенная по гиперболическому симплексу Кокстера, называется гиперболической.

В своей работе 1952 г. Е. Б. Дынкин20 ввел понятие регулярной подалгебры полупростой алгебры Ли и перечислил все регулярные подалгебры полупростых алгебр Ли, или, что то же самое, подсистемы корней в системах корней. Аналогично конечномерному случаю, для алгебр Каца — Муди также можно ввести понятие регулярной подалгебры. В последней главе настоящей работы теория многогранников Кокстера используется для получения классификации регулярных гиперболических подалгебр гиперболических алгебр Каца — Муди.

Цель работы.

Целью работы является исследование гиперболических многогранников Кокстера с малым числом граней, а также применение теории многогранников Кокстера к изучению регулярных подалгебр гиперболических алгебр Каца — Муди.

18F. Esselmann, Uber kompakte hyperbolische Coxeter-Polytope mit wenigen Facetten. Universität Bielefeld, SFB 343, Preprint No. 94-087.

"В. Кац, Бесконечномерные алгебры Ли. — М.: Мир, 1993.

20Е. Б. Дынкин. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли. Мат. сб., нов. сер., 1952, т.ЗО, вып.2, 349-462.

Основные методы исследования.

В работе используются методы и результаты теории групп и их представлений, линейной алгебры, комбинаторной теории многогранников, теории алгебр Ли, геометрии Лобачевского, компьютерных вычислений.

Научная новизна.

Основные, результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1) Перечислены все неограниченные многогранники Кокстера конечного объема в Шп с п 4- 2 гипергранями.

2) Показано, что в гиперболическом пространстве размерности п 17 не существует неограниченных многогранников Кокстера конечного объема си + 3 гипергранями. Также показано, что в Ш16 существует ровно один такой многогранник, и найдена его схема Коксте-ра..

3) Перечислены все компактные многогранники Кокстера в Шп с п + 3 гипергранями.

4) Классифицированы, регулярные гиперболические подалгебры полного ранга и коранга один в.гиперболических алгебрах Каца — Муди.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в различных задачах теории групп, в задачах геометрии Лобачевского, при исследовании алгебр Каца-Муди.

Апробация результатов.

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ; на международной конференции по дискретным группам, конформной геометрии и римановым поверхностям (Бедлево, Польша,

2003 г.); на семинаре по математической физике, римановым поверхностям и алгебрам Ли в Независимом Московском Университете.

Публикации.

Основные результаты опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 118 страниц, библиография включает 38 наименований.

Краткое содержание работы

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены основные определения и факты о гиперболических многогранниках Кокстера (полученные Э. Б. Винбергом21), а также о выпуклых многогранниках, и диаграммах Гейла. Результат этой главы — лемма 1.1 — является основным инструментом, применяемым в дальнейшем. Лемма 1.1 устанавливает связь между диаграммой Гейла, отвечающей за комбинаторику многогранника, и схемой Кокстера многогранника Кокстера.

Во второй главе исследуются неограниченные многогранники Кокстера конечного объема в ЛР, имеющие п + 2 гиперграни. Используя диаграммы Гейла и классификацию евклидовых многогранников Кокс-тера, в лемме 2.1 доказано, что искомые многогранники комбинаторно эквивалентны либо произведению двух симплексов, либо пирамиде над произведением двух симплексов. В разделе 2.1 доказана теорема:

Теорема 1. Существует единственный неограниченный гиперболический многогранник Кокстера конечного объема, комбинаторно эквивалентный произведению двух симплексов размерности большей, чем

31Э. Б. Вивберг, Гиперболические группы отражений. Успехи мат. наук, 1985, 40, 29-64.

один. Этот многогранник имеет следующую схему Кокстера:

В разделе 2.2 (теорема 2) найдены все гиперболические кокстеровские многогранники конечного объема, комбинаторно эквивалентные пирамиде над произведением двух симплексов.

Вместе с результатами Каплинской и Эссельмана теоремы 1 и 2 завершают классификацию гиперболических п-мерных многогранников Кокстера, имеющих п+2 гиперграни.

В третьей главе изучены многогранники Кокстера в Ш", имеющие п + 3 гиперграни. В разделе 3.1 доказана теорема:

Теорема 3. В гиперболическом пространстве размерности п > 17 не существует неограниченныхмногогранников Кокстера конечного объема с п + 3 гипергранями. В Щ16 существует ровно один такой многогранник; он имеет следующую схему Кокстера:

•-•--•-•

(-• •-<|

При доказательстве теоремы 3 попутно получена классификация неограниченных многогранников Кокстера конечного объема с п+3 гипергранями, являющихся пирамидами. В лемме 3.11 доказано, что все такие многогранники комбинаторно эквивалентны пирамиде над произведением трех симплексов. Все гиперболические кокстеровские многогранники конечного объема, комбинаторно эквивалентные пирамиде над произведением трех симплексов, описаны в разделе 3.1.3 (теорема 4).

В разделе 3.2 исследуются компактные гиперболические многогранники Кокстера с п+ 3 гипергранями. Все такие многогранники описаны в теореме 5.

Вместе с результатами Андреева и Эссельмана теорема 5 завершает классификацию ограниченных гиперболических п-мерных многогранников Кокстера с п + 3 гипергранями.

В четвертой главе изучаются регулярные подалгебры гиперболических алгебр Каца — Муди. Введено определение гиперболической системы корней как системы корней гиперболической алгебры Каца — Муди. С помощью корневого разложения алгебр Каца — Муди устанавливается связь между регулярными гиперболическими подалгебрами, гиперболическими подсистемами корней и разбиениями специального вида гиперболических симплексов Кокстера. Введено понятие максимальной гиперболической подсистемы корней как подсистемы корней Дх С Д, для которой не существует гиперболической подсистемы корней такой, что

В разделе 4.2.2 доказана теорема:

Теорема 6. Пусть Р и Р\ — п-мерные гиперболические симплексы Кокстера конечного объема, не имеющие двугранных углов, отличных от J, | и 0. Пусть W* С Wp — группы, порожденные отражениями относительно гиперграней Р\ и Р соответственно. Тогда найдутся система корней Д с фундаментальным симплексом группы Вейля Р и система корней Дх с фундаментальным симплексом группы Вейля Р1 такие, что Дх С Д является подсистемой корней.

В разделе 4.2.3 доказана теорема:

Теорема 7. Пусть Дх С Д — гиперболические системы корней, и L\ С L — соответствующие решетки корней. Тогда следующие условия эквивалентны: (I) Дх = Д П L\.

является подсистемой корней.

При доказательстве теорем 6 и 7 использован список разбиений специального вида гиперболических треугольников Кокстера, полученный Е. Клименко и М. Сакумой22, и гиперболических симплексов Кокстера, полученный А. Феликсон23.

Также в разделе 4.2.3 получена классификация гиперболических подсистем корней полного ранга.

22Е. Klimenko,. M. Sakuma, Two-generator discrete subgroups of Isom (M^) containing orientation-reversing elements. Geometriae Dedicata 72 (1998), 247-282.

23А. Феликсон, Кокстеровские разбиения гиперболических симплексов. Мат. сб., 2002, 193, 12, 134-156.

В разделе 4.3 получен полный список максимальных гиперболических подсистем коранга один в гиперболических системах корней. При этом существенно использован список регулярных подалгебр полупростых алгебр Ли, полученный Е. Б. Дынкиным.

Автор глубоко благодарен д.ф.-м.н. профессору Э. Б. Винбергу и к.ф.-м.н. доценту О. В. Шварцману за постановку задач, полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1) П. ТУмаркин, Гиперболические п-мерные многогранники Кокстера с п + 3 гипергранями. Успехи матем. наук 2003, 58, 4, 161-162.

2) П. Тумаркин, Многогранники Кокстера в ПН* сп + 2 гипергранями. Рукопись деп. в ВИНИТИ № 2141-В 2003. 15 с.

3) П. Тумаркин, Гиперболические п-мерные многогранники Кокстера с п + 3 гипергранями. Труды ММО, 2004, 65, 209-225.

4) П. Тумаркин, Подсистемы корней полного ранга в гиперболических системах корней. Мат. сборник, 2004,195,1, 129-142.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать

Формат 60x90 1/16. Усл. Печ.Л.#7>"

Тираж 100 экз. Заказ 0£

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.022001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

m-2498

РНБ Русский фонд

2004-4 27940

Введение.

1. Многогранники

1. Основные определения и обозначения.

2. Диаграммы Гейла.

2.1. Диаграммы Гейла n-мерных многогранников сп + 2ип + 3 гипергранями.

3. Многогранники Кокстера в Шп

3.1. Остроугольные многогранники в Шп.

3.2. Схемы Кокстера.

2. Неограниченные многогранники с п + 2 гипергранями

1. Произведения двух симплексов.2G

2. Пирамиды.

3. Многогранники сп + 3 гипергранями

1. Неограниченные многогранники конечного объема

1.1. Отсутствие искомых многогранников в больших размерностях.

1.2. Многогранники размерности 16 и 17.

1.3. Пирамиды

2. Ограниченные многогранники сп + 3 гипергранями

4. Регулярные подалгебры гиперболических алгебр

Каца — Муди

1. Подсистемы корней и разбиения многогранников

2. Подсистемы корней полного ранга.

2.1. Максимальные подгруппы.

2.2. Немаксимальные подгруппы.

2.3. Классификация подсистем корней полного ранга.

3. Подсистемы корней коранга один.

1. Пусть Хп — n-мерное евклидово пространство Ж71, п-мерная сфера §п или n-мерное гиперболическое пространство Шп. Пусть Р 6 Хп — выпуклый многогранник, ограниченный гипергранями /ь--ч/т- Многогранник Р называется многогранником Кокстера, если двугранный угол между любой парой смежных гиперграней fi и fj имеет вид где тц > 2, т^ е Z.

Пусть Гр — группа движений пространства Xй, порожденная отражениями ri,.,rm относительно гиперграней /i,.,/m многогранника Р. Известно, что если Р — многогранник Кокстера, то группа Гр дискретна, и многогранник Р является ее фундаментальной областью. Иными словами, многогранники 7Р, 7 G Гр, попарно не имеют общих внутренних точек и покрывают пространство Xй. При этом группа Гр задается следующими образующими и определяющими соотношениями:

1) Гр =< п, .,rm | г? = (ггг,-)т°' = е > .

Здесь rriij = rriji, rriij > 2, rriij £ Z. Для несмежных граней /,• и fj удобно считать, что т^ = оо и что соотношение отсутствует.

Абстрактная группа с отмеченной системой образующих и определяющих соотношений вида (1) называется группой Кокстера. Как показано Титсом в [34], любая группа Кокстера с конечным числом образующих может быть представлена в виде группы проективных преобразований, порожденной отражениями и дискретно действующей в некоторой области проективного пространства. Мы ограничимся рассмотрением групп Кокстера, имеющих представление в пространстве постоянной кривизны 1Е'\ S" или 1Нп с фундаментальным многогранником конечного объема.

2. Классификация сферических и евклидовых многогранников Кокстера была получена Кокстером в 1934 г. [23]. Все сферические многогранники Кокстера являются симплексами, евклидовы — произведением нескольких симплексов. Группы, порожденные отражениями в гипергранях симплексов Кокстера, играют важную роль в теории полупростых алгебр Ли.

В отличие от сферического и евклидового случаев, полной классификации гиперболических многогранников Кокстера не существует. Известно, что в гиперболических пространствах большой размерности нет многогранников Кокстера конечного объема. Используя результаты В. В. Никулина [17] о комбинаторном строении простых многогранников, Э. Б. Винберг [7] доказал, что размерность ограниченного многогранника Кокстера не превышает 29. В работе [20] А. Г. Хованский обобщил результат работы [17] на случай многогранников, простых в ребрах. Используя результат Хованского, М. Н. Прохоров [18] показал, что размерность неограниченного многогранника Кокстера конечного объема не может превышать 995.

В то же время, примеры гиперболических многогранников Кокстера известны лишь в достаточно небольших размерностях. Рекордный пример ограниченного многогранника Кокстера был построен В. О. Бугаенко [22] как фундаментальный многогранник подгруппы отражений группы автоморфизмов решетки [— (у/Ъ + 1)]±Е8. Его размерность равна восьми. Неограниченный многогранник максимальной известной размерности построил Борчердс [21]. Это 21-мерный многогранник с 210 гипергранями.

Классификация гиперболических многоугольников Кокстера была получена Пуанкаре в 1882 г. [33]. Такой многоугольник может иметь любое число к > 3 сторон и любые углы —,.,— (где rrii — целое > 2 или оо), лишь бы выполнялось условие

1 1 , Л + . + — ск- 2; mi ink при этом он зависит еще от к — 3 вещественных параметров.

Трехмерные гиперболические многогранники Кокстера полностью описаны Е. М. Андреевым. В работах [1] и [2] он указал простые необходимые и достаточные условия, при которых в пространстве существует выпуклый многогранник конечного объема с заданными двугранными углами, не превосходящими

За исключением вышеописанного и отдельных примеров, изучены лишь некоторые комбинаторные типы многогранников Кокстера.

Многогранники простейшего комбинаторного типа — симплексы — полностью классифицированы. Ограниченные симплексы Кокстера перечислил Ланнер [32], их размерность не превышает 4. Известен также полный список неограниченных симплексов (см., например, [10]), их размерность не превышает 9.

В работе И. М. Каплинской [13] (см. также [8]) классифицированы симплициальные призмы Кокстера, т.е. многогранники, комбинаторно эквивалентные произведению симплекса на отрезок. Они существуют при п < 5.

Эссельман [24] перечислил ограниченные многогранники сп + 2 гипергранями размерности п > 4, не являющиеся симплициаль-ными призмами. Вместе с результатом работы [13] это составило полную классификацию ограниченных многогранников Кокстера сп + 2 гипергранями.

Им Хоф [29] перечислил гиперболические многогранники Кокстера, схемы Кокстера которых линейны или являются циклами. Эти многогранники имеют не более чем п + 3 гиперграни.

В работе Эссельмана [25] доказано, что размерность ограниченного n-мерного гиперболического многогранника Кокстера с п + 3 гипергранями не превышает 8.

Известны также следующие серии гиперболических многогранников.

В работе [16] В. С. Макаров построил несколько бесконечных серий ограниченных многогранников Кокстера в Ш4 и в Ш5. Каждый многогранник в этих сериях получается склейкой некоторого числа многогранников Pi и Р2, где Pi и Р2 — симплициальные призмы (в Ш5) или симплексы с двумя обрезанными идеальными вершинами (в Ш4).

В. О. Бугаенко [3] построил серию ограниченных многогранников в Шп, п < 7. Они являются фундаментальными многогранниками подгруппы отражений группы ортогональных преобразований формы т / \ ^ 2 2 2 hn\x) =---—Х0 + хх +----ь хп.

В работах Э. Б. Винберга [6], а также Э. Б. Винберга и И. М. Ка-плинской [9] построены неограниченные многогранники в JHn, п < 19. Они являются фундаментальными многогранниками подгруппы отражений группы ортогональных преобразований формы п(я) = — + + • • • +

В продолжение изучения гиперболических многогранников Кокстера, первые три главы настоящей диссертации посвящены классификации гиперболических многогранников Кокстера некоторых комбинаторных типов. Точнее, исследуются многогранники Кокстера конечного объема в Шп сп + 2ип + 3 гипергранями.

3. Гиперболические многогранники Кокстера тесно связаны с одним классом алгебр Каца — Муди. Точнее, следуя книге В. Ка-ца [14], алгебру Каца — Муди назовем гиперболической, если она построена по обобщенной матрице Картана гиперболического типа. В свою очередь, симметризуемая обобщенная матрица Картана называется матрицей гиперболического типа, если при симметризации получается невырожденная матрица сигнатуры (n, 1), любая главная подматрица которой эллиптическая или параболическая. Как и полупростые алгебры Ли, гиперболические алгебры Каца — Муди допускают корневое разложение с некоторой системой корней А. Такие системы корней мы будем называть гиперболическими. Группа Вейля гиперболической системы корней является дискретной группой, порожденной отражениями, в Шп. Ее фундаментальная камера — гиперболический симплекс Кокс-тера.

В [11] Е. Б. Дынкин ввел понятие регулярной подалгебры полупростой алгебры Ли д, как подалгебры, инвариантной относительно присоединенного действия некоторой картановской подалгебры F) алгебры д. Далее Дынкиным перечислены регулярные подалгебры полупростых алгебр Ли, или, что то же самое, подсистемы корней в системах корней. Каждая подсистема корней в системе, кореней соответствует подгруппе, порожденной отражениями, в конечной группе, порожденной отражениями. Таким образом, каждая регулярная подалгебра полупростой алгебры Ли соответствует некоторому разбиению сферического симплекса Ко-кстера.

Аналогично конечномерному случаю, для алгебр Каца — Муди также можно ввести понятие регулярной подалгебры. В последней главе настоящей диссертации классифицированы регулярные гиперболические подалгебры полного ранга и коранга один гиперболических алгебр Каца — Муди.

Нумерация теорем сквозная, нумерация предложений, лемм, таблиц и рисунков подчинена нумерации глав.

Основные результаты

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены основные определения и факты о гиперболических многогранниках Кокстера (полученные Э. Б. Винбергом в работе [8]), а также о выпуклых многогранниках и диаграммах Гейла. Результат этой главы — лемма 1.1 — является основным инструментом, применяемым нами в дальнейшем. Лемма 1.1 устанавливает связь между диаграммой Гейла, отвечающей за комбинаторику многогранника, и схемой Кокстера многогранника Кокстера.

Во второй главе исследуются неограниченные многогранники Кокстера конечного объема в Шп, имеющие п + 2 гиперграни. Используя диаграммы Гейла и классификацию евклидовых многогранников Кокстера, в лемме 2.1 доказано, что искомые многогранники комбинаторно эквивалентны либо произведению двух симплексов, либо пирамиде над произведением двух симплексов.

В разделах 2.1 и 2.2 доказаны теоремы:

Теорема 1. Существует единственный неограниченный гиперболический многогранник Кокстера конечного объема, комбинаторно эквивалентный произведению двух симплексов размерности большей, чем один. Схема Кокстера этого многогранника представлена на рис. 2.1.

Теорема 2. Все гиперболические кокстеровские многогранники конечного объема, комбинаторно эквивалентные пирамиде над произведением двух симплексов, описаны в табл. 2.2 и 2.3.

Вместе с результатами Каплинской [13] и Эссельмана [24] теоремы 1 и 2 завершают классификацию гиперболических п-мерных многогранников Кокстера, имеющих п + 2 гиперграни.

В третьей главе изучены многогранники Кокстера в Шп, имеющие п + 3 гиперграни. В разделе 3.1 доказана теорема:

Теорема 3. В гиперболическом пространстве размерности п > 17 не существует неограниченных многогранников Кокстера конечного объема сп + 3 гипергранями. В Ш16 существует ровно один такой многогранник; он имеет следующую схему Кокстера:

При доказательстве теоремы 3 попутно мы получаем классификацию неограниченных многогранников Кокстера конечного объема сп + 3 гипергранями, являющихся пирамидами. В лемме 3.11 доказано, что все такие многогранники комбинаторно эквивалентны пирамиде над произведением трех симплексов. Далее, доказана теорема:

Теорема 4. Все гиперболические кокстеровские многогранники конечного объема, комбинаторно эквивалентные пирамиде над произведением трех симплексов, описаны в таблицах 3.4 и 3.5.

В разделе 3.2 исследуются компактные гиперболические многогранники Кокстера сп + 3 гипергранями. Доказана следующая теорема:

Теорема 5. Все схемы Кокстера ограниченных гиперболических n-мерных многогранников Кокстера сп + 3 гипергранями, п > 4, перечислены в табл. 3.8—3.12.

Вместе с результатами Андреева [1] и Эссельмана [25] теорема 5 завершает классификацию ограниченных гиперболических n-мерных многогранников Кокстера сп + 3 гипергранями.

В четвертой главе изучаются регулярные подалгебры гиперболических алгебр Каца — Муди. Введено определение гиперболической системы корней как системы корней гиперболической алгебры Каца — Муди. С помощью корневого разложения алгебр Каца — Муди устанавливается связь между регулярными гиперболическими подалгебрами, гиперболическими подсистемами корней и разбиениями специального вида гиперболических симплексов Кокстера. Введено понятие максимальной гиперболической подсистемы корней как подсистемы корней Ai С А, для которой не существует гиперболической подсистемы корней А2 С А такой, что Ai С Аг

В разделе 4.2.2 доказана теорема:

Теорема 6. Пусть Р и Р\ — n-мерные гиперболические симплексы Кокстера конечного объема, не имеющие двугранных углов, отличных от \, | и 0. Пусть Wpl С Wp — группы, порожденные отражениями относительно гиперграней Р\ и Р соответственно. Тогда найдутся система корней А с фундаментальным симплексом группы Вейля Р и система корней А\ с фундаментальным симплексом группы Вейля Р\ такие, что Ai С А является подсистемой корней.

В разделе 4.2.3 доказана теорема:

Теорема 7. Пусть Ai С А — гиперболические системы корней, и L\ С L — соответствующие решетки корней. Тогда следующие условия эквивалентны: i) Ai = A nlq. п) Ai С А является подсистемой корней.

При доказательстве теорем б и 7 использован список разбиений специального вида гиперболических треугольников Кокстера, полученный Е. Клименко и М. Сакумой [31], и гиперболических симплексов Кокстера, полученный А. Феликсон [27], [19].

Также в разделе 4.2.3 получена классификация гиперболических подсистем корней полного ранга (см. рис. 4.1-4.19).

В разделе 4.3 получен полный список максимальных гиперболических подсистем коранга один в гиперболических системах корней (см. табл. 4.2-4.8). При этом существенно использован список регулярных подалгебр полупростых алгебр Ли, полученный Б. Б. Дынкиным в [11].

Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. профессору Э. Б. Винбергу и к.ф.-м.н. доценту О. В. Шварцману за постановку задач, полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе.

1. Е. М. Андреев, О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского. Мат. сб., 1970, 81, 3, 445-478.

2. Е. М. Андреев, О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского. Мат. сб., 1970, 83, 2, 256260.

3. В. О. Бугаенко, О группах автоморфизмов унимодулярныхгиперболических квадратичных форм над кольцом Z Вест. МГУ. Сер. 1, Математика, механика, 1984, 5, 6-12.

4. Э. Б. Винберг, Дискретные группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского. Мат. сб., 1967, 72, 471-488.

5. Э. Б. Винберг, Дискретные линейные группы, порожденные отражениями. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1971, 35, 1072-1112.

6. Э. Б. Винберг, О группах единиц некоторых квадратичных форм. Мат. сб., 1972, 87, 18-36.

7. Э. Б. Винберг, Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности. Тр. Моск. мат. об-ва, 1984, 47, 68-102.

8. Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений. Успехи мат. наук, 1985, 40, 29-64.

9. Э. Б. Винберг, И. М. Каплинская, О группах иOig,i(Z). ДАН, 1978, 238, 1273-1275.

10. Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман, Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления, 1988, т.29, 147-259.

11. Е. Б. Дынкин, Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли. Мат. сб. нов. сер., 1952, 30, 2, 349-462.

12. В. А. Емеличев, М. М. Ковалев, М. К. Кравцов, Многогранники, графы, оптимизация. — М.: Наука, 1981.

13. И'. М. Каплинская, О дискретных группах, порожденных отражениями в гранях симплициальных призм в пространствах Лобачевского. Мат. заметки, 1974, 15, 159-164.

14. В. Кац, Бесконечномерные алгебры Ли. — М.: Мир, 1993.

15. И. Котова, Описание систем корней с данной группой Вейля. Мат. заметки, 1998, 64, 3, 397-402.

16. В.С.Макаров, О федоровских группах четырехмерного и пятимерного пространств Лобачевского. Исследования по общей алгебре. — Кишиневский ун-т, 1970, 120-129.

17. В. В. Никулин, О классификации арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского. Изв. АН, сер. мат., 1981, 45, 113-142.

18. М. Н. Прохоров, Отсутствие дискретных групп отражений с некомпактным фундаментальным многогранником конечного объема в пространствах Лобачевского большой размерности. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1986, 50, 413-424.

19. А. Феликсон, Кокстеровские разбиения гиперболических симплексов. Мат. сб., 2002, 193, 12, 134-156.

20. А. Г. Хованский, Гиперплоские сечения многогранников, то-рические многообразия и дискретные группы в пространстве Лобачевского. Функ. ан. и его прил., 1986, 20, 1, 50-61.

21. R. Borcherds. Automorphism groups of Lorentzian lattices. Journal of Algebra 111 (1987), 133-153.

22. V. O. Bugaenko, Arithmetic crystallographic groups generated by reflections, and reflective hyperbolic lattices. Adv. Sov. Math. 8 (1992), 33-55.

23. H. S. M. Coxeter, Discrete groups generated by reflections. Ann. Math. 35 (1934), 588-621.

24. F. Esselmann, The classification of compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d + 2 facets. Comment. Math. Helvetici 71 (1996), 229-242.

25. F. Esselmann, Uber kompakte hyperbolische Coxeter-Polytope mit wenigen Facetten. Universitat Bielefeld, SFB 343, Preprint No. 94-087.

26. A. J. Feingold, H. Nicolai, Subalgebras of hyperbolic Kac-Moody algebras. arXiv:math.QA/0303179.

27. A: Felikson, Coxeter decompositions of • hyperbolic tetrahedra, preprint. Universitat Bielefeld, SFB 343, Preprint No. 98-083.

28. B. Griinbaum, Convex polytopes. John Wiley & Sons, 1967.

29. H.-C. Im Hof, Napier cycles and hyperbolic Coxeter groups. Bull. Soc. Math, de Belg. Serie A, XLII (1990), 523-545.

30. N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups. Linear Algebra and its Applications, 345 (2002), 119-147.

31. E. Klimenko, M. Sakuma, Two-generator discrete subgroups of Isom (Ш2) containing orientation-reversing elements. Geometriae Dedicata 72 (1998), 247-282.

32. F. banner, On complexes with transitive groups of automorphisms. Comm. Sem. Math. Univ. Lund 11 (1950), 1-71.

33. H. Poincare, Theorie des groups fuchsiennes. Acta Math. 1 (1882), 1-62.

34. J. Tits, Groupes et geometries de Coxeter. Notes polycopiees In-stitut des Hautes Etudes Scientifiques, Paris, 1961.Публикации автора по теме диссертации

35. П. Тумаркин, Гиперболические n-мерные многогранники Кокстера сп + 3 гипергранями. Успехи матем. наук, 2003, 58, 4, 161-162.

36. П. Тумаркин, Многогранники Кокстера в Шп с п + 2 гипергранями. Рукопись деп. в ВИНИТИ № 2141-В 2003. 15 с.

37. П. Тумаркин, Гиперболические n-мерные многогранники Кокстера сп + 3 гипергранями. Труды ММО, 2004, 65, 209-225.

38. П. Тумаркин, Подсистемы корней полного ранга в гиперболических системах корней. Мат. сборник, 2004, 195, 1, 129-142.