Решение алгоритмических проблем в группах Кокстера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Добрынина Ирина Васильевна

РЕШЕНИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ В ГРУППАХ КОКСТЕРА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 1 МАР 2010

Ярославль — 2010

003493339

Работа выполнена в Тульском государственном педагогическом университете им. Л. Н. Толстого и Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова

Научные консультанты:

доктор физико-математических наук, профессор

Безверхний Владимир Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор Дурнев Валерий Георгиевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Глухов Михаил Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор

Молдаванский Давид Ионович, доктор физико-математических наук, профессор Фомин Александр Александрович

Ведущая организация:

Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится 16 марта 2010 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.03 при Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова по адресу: 150008, Ярославль, ул. Союзная, 144, ауд. 426

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова

Автореферат разослан 12 февраля 2010 года

Ученый секретарь

диссертационного совета

Яблокова С. И.

Введение

Актуальность темы

Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М. Дэном1 в одной из его работ в 1912 г., являются проблемы равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.

Исследование этих проблем стимулировало развитие комбинаторных методов в теории групп, что явилось причиной возникновения одного из самого активно развивающихся направлений современной математики — комбинаторной теории групп. В настоящее время имеется целый ряд книг, посвященных данной теме, достаточно назвать монографии В. Магнуса, А. Карраса и Д. Солитера2, а также Р. Линдона и П. Шуппа3. Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дэна, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова4, доказавшего неразрешимость проблем равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также неразрешимость проблемы изоморфизма групп.

С. И. Адяном5 определено понятие наследственного нетривиального свойства группы и доказано, что не существует алгоритма, позволяющего для произвольной группы с конечным числом образующих и определяющих соотношений распознать выполнимость свойства ß, представляющего собой объединение нетривиального наследственного и инвариантного свойства, если только существуют группы, обладающие свойством ß. Из этого результата следует, что практически все проблемы, относящиеся к конечно определенным группам, в общем случае неразрешимы. Сюда относятся, в частности, такие проблемы, как распознавание нильпотентности, конечности, простоты, свободы или единичности группы, включая и основные проблемы комбина-

'Dehii M. Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen // Math. Annal. — 1912. — V. 71. — P. 116-144.

'Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. — М.: Наука, 1974.

3Линдон Р., Щуп П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 19S0.

^Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества в теории групп // Труды

МИАН СССР. - 1955. - Т. 44. - С. 3-143.

6Адян С. II. Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем в теории групп // Труды Московского математического общества. — 1957. — Т. б. — С. 231-298.

торной теории групп.

Обобщением проблемы сопряженности слов являются проблемы сопряженности подгрупп и обобщенной сопряженности слов.

Впервые проблема сопряженности подгрупп рассматривалась В. Н. Ре-месленниковым6, доказавшим ее положительное решение в классе конечно порожденных нильпотентных групп.

Будем говорить, что в группе G разрешима проблема обобщенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечных множеств слов из G установить, существует ли

такое z € G, что = г;;). Существование такого алгоритма для

некоторого класса конечно определенных групп позволяет для любого автоморфизма <р 6 AutG определить, является ли он внутренним. С описанием множества решений данной системы связана проблема построения централизатора конечно порожденной подгруппы. Проблемы сопряженности подгрупп и обобщенной сопряженности слов для различных групп рассматривались в работах М. Д. Гриндлингера7, Д. И. Молдаванского8, В. Н. Безверхнего9 и других.

Центральными темами комбинаторной теории групп являются установление для различных подгрупп данных групп — свободны ли они, а также изучение выполнимости тождеств.

Группа G, заданная системой образующих щ, г € J, и системой определяющих соотношений = 1, i,j £ J, ту — элемент симметрической матрицы Кокстера (m^), i,j 6 J, соответствующей данной группе, то есть матрицы, в которой тц = 1, т^ = т.ц > 2и{оо} для г ф j, называется группой Кокстера (в последнем случае между щ, a j соотношений нет). Из этого определения получаем af = 1 для всех i £ J. В дальнейшем будем полагать

"Ремесленников В. Н. Сопряженность подгрупп в нильпотентных группах // Алгебра и логика. —1967. - Т. 6, V2. - С. 61-76.

'Гриндлингер М. Д. Сопряженность подгрупп свободной группы // Сибирский математический журнал. - 1970. - Т. И. - С. 1178-1180.

8Молдаванский Д. И. Сопряженность подгрупп свободного произведения групп // Уч. записки Ива-

новского государственного пед. института. — 1972. — С. 123-135.

®Безверхний В. Н. Решение проблехш обобщенной сопряжённости слов в C{p)&cT{qyгруппах // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 1998. — Т. 4, т. — С. 5-13.

I J| < с».

Группы Кокстера введены X. С. М. Кокстером10 в 1934 году. Понятие данной группы возникло в теории дискретных групп, порождаемых отражениями относительно гиперплоскостей. Всякая группа отражений является группой Кокстера, если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. X. Кокстер в 1934 году перечислил все группы отражений в трехмерном евклидовом пространстве и доказал, что все они являются группами Кокстера. В следующей работе11 он доказал, что всякая конечная группа Кокстера изоморфна некоторой группе отражений в трехмерном евклидовом пространстве, элементы которой имеют общую неподвижную точку.

В чисто алгебраическом аспекте данные группы стали изучаться с 1962 года, начиная с работ Ж. Титса12. Обстоятельное изучение групп Кокстера имеется у Н. Бурбаки 13.

Так как каждую группу отражений G можно реализовать дискретной подгруппой ортогональной группы 0(m,n) при некоторых m,n, зависящих от G, то всякая группа отражений14 финитно аппроксимируема и содержит подгруппу конечного индекса, не имеющую кручения. Следовательно, проблема равенства слов в группах Кокстера разрешима.

П. Шуппом15 приведен пример группы Кокстера с неразрешимой проблемой вхождения, что доказывает неразрешимость этой проблемы в данном классе групп.

К. Аппелем и П. Шуппом16 определены классы групп Кокстера большого и экстрабольшого типа. Если т^ > 3 для всех i ф j, то G называется группой Кокстера большого типа. В случае пщ > 3 имеем группу Кокстера

'"Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. — 1934. — V. 35.— P. 588-621.

"Coxeter H. S. M. The complete enumeration of finite groups of the form // J. Lond. Math. Soc. -- 1935. — V. 10. - P. 21-25.

I2Tits J. Groupes simples et geometries associees // Proc. Int. Congress Math. Stocholm. — 1962. — P. 197-221.

"Бурбаки H. Группы и алгебры Ли. — М.: Мир, 1972.

14Громов М. Л. Гиперболические группы. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

,5Schupp P. Coxeter Groups, 2-Completion, Perimeter Reduction and Subgroup Separability. // arXiv math. GR/0203020. - 2002. - V. 1. - P. 1-21.

"Appel К., Schupp P. Artins groups and infinite Coxter groups // Ivent. Math. - 1983. - V. 72. - P. 201-220.

экстрабольшого типа. К настоящему моменту известно, что в группах Кокс-тера экстрабольшого типа К. Аппелем и П. Шуппом решена проблема сопряженности слов. Из работы И. Г. Лысенка17 следует разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов, а также проблем вхождения в циклическую подгруппу и извлечения корня в группах Кокстера экстрабольшого типа.

И. Каповичем и П. Шуппом18 для групп Кокстера экстрабольшого типа, соответствующих матрице Кокстера (т^), i,j € J, с rriij > Зк +1, доказано, что всякая fc-порожденная подгруппа без кручения является свободной в G, а для групп Кокстера экстрабольшого типа, соответствующих матрице Кокстера (ту), i,j £ J, с m,j > Зк + 7, rriij — четное, доказано, что всякая к-порожденная подгруппа, не содержащая элементов, сопряженных образующим, является отделимой в G.

В 1972 г. Э. Брискорн и К. Сайто19 рассмотрели класс групп, названный ими грушами Артина. Группа Артина — это группа, заданная копред-ставлением с системой образующих a¡,i € J, и соотношениями а,о/а,-... = djaidj..., i,j G J, где слова, стоящие слева и справа данного равенства, состоят каждое из mц чередующихся букв a,, a¡. при этом m¡j — элемент матрицы Кокстера (rriij), £ J, соответствующей данной группе. Добавляя к определяющим соотношениям группы Артина соотношения а? = 1 для всех i € J, получим копредставление группы Кокстера G. Таким образом, группа Кокстера естественно представляется как некоторая фактор-группа группы Артина.

Брискорн и Сайто доказали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в группах Артина конечного типа, то есть в тех группах Артина, для которых соответствующие группы Кокстера конечны. Одновременно и независимо аналогичные результаты получил Делинь20. В. Н. Без-

17Лысенок ÏÏ. Г. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических грудл // Известия АН СССР. Сер. математическая. - 1989. - Т. 53, №4. - С. 814-832.

18Kapovich I., Schup P. Bounded rank subgroups of Coxeter groups, Artin groups and one-relator groups with torsion // London Math. Soc. - 2004. - V. 88. - P. 89-113.

111 Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Коксетера // Математика: Сб. переводов. — 1974. -Мб.- С. 56-79.

-°Delinge P. Les immeubles des groupes de tresses generalisses // Invent. math. — 1972. — V. 17, N 4. — P. 273-302.

верхним21 доказано, что в неприводимых группах Артина конечного типа Вп, п > 4, Д, I > 4, Eß, Et, Еs, F4, #4 проблема вхождения неразрешима, а в группах Лг, В2, ^г(р), где р = 5 или р > 7, — разрешима.

В. Гринблат22 доказал алгебраическую вычислимость нормализатора элемента в группах Артина конечного типа. Ю. Трубицын23 получил алгоритм построения образующих нормализатора конечного множества элементов в группах Артина конечного типа-

Группы Артина конечного типа являются обобщением групп кос, введенных в 1925 году Э. Артнном24. В настоящее время библиография работ по косам содержит сотни наименований25. В основополагающих работах Артина косы определяются чисто геометрически и выступают как естественные и наглядные объекты трехмерной топологии, сходные с узлами и зацеплениями. Полученное впервые Артином копредставление группы кос Вп+1 =< <7ъ• • • 1 c«;ff,ai+la, = а1+1еад+1,г = 1,п-1; сод = OjOUi,j = l,n,\i — j\ > 1 > позволило сводить геометрические задачи к алгоритмическим проблемам теории групп. В частности, проблема эквивалентности геометрических кос равносильна проблеме равенства слов в группе кос Артина, а проблема эквивалентности замыканий геометрических кос — проблеме сопряженности в Вп+ !26.

Проблема равенства слов в группе кос ßn+i решена Э. Артином2'. Проблема сопряженности в Bn+i решена Г. С. Маканиным28 и Ф. Гарсайдом29, что явилось важным событием после работ Артина.

21Безверхний В. Н. Неразрешимость проблемы вхождения в группах Артина конечного типа // Сибирский математический журнал. - 1985. — Т. 23, >"«5. — С. 27-42.

22Грпнблат В. А. О нормализаторах групп Артина // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1981. — С. 82-94.

23Трубицын Ю. Э. О нормализаторах конечных множеств в группах Артина конечного типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1986.

- С. 62-65.

24Artin Е. Theorie der Zopfe // Abh. math. Semin. Univ. Hamburg. - 1925.-V. 4. - P. 47-72.

25Лан В. Я. Косы Артина и связанные с ними группы и пространства // Алгебра, топология, геометрия.

- 1979. — Т. 17. - С. 159-227.

26Клейн Ф. Высшая геометрия. - M.-JI.: ГОНТИ, 1939.

-'Artin Е. Theory of braids // Ann. Math. - 1947. - V. 48. - P. 101-126.

28Маканин Г. С. Проблема сопряженности в группе кос // Доклады АН СССР. - 1968. — Т. 182, № 3.

- С. 495-496.

г9Гарсайд Ф. Группа кос и другие группы // Математика: Сб, переводов. — 1970. — №4. — С. 113-132.

В 1971 г. Г. С. Макания 30 доказал, что нормализатор любого элемента группы кос Bn+i конечно порожден и указал алгоритм построения образующих этого нормализатора. Г. Г. Гурзо31 получила алгоритм для нахождения образующих централизатора конечного множества элементов группы кос Вп+1. Т. А. Маканина32 решила проблему обобщенной сопряженности слов в Дг+1-

Ядро естественного гомоморфизма группы кос Вп+\ в симметрическую группу Sn+u переводящего каждый образующий <т; в транспозицию (г, i + 1), i = 1 ,п, называется группой крашеных кос. Коса, реализующая единичную подстановку, называется крашеной. Подгруппа крашеных кос группы ¿?п+1 обозначается через /¡¡n+i- В. Бурау33 доказал, что элементы Sij = с.. .of... 1 < г < j ^n+1, порождают группу крашеных кос Rn+i. Э. Артин доказал, что подгруппа Uj,j = 1 ,n,(j + 1) -чистых кос из Яп+i, порожденная элементами sj^+i, S2,j+i, • ■ •, -yj+i является свободной, сами элементы sij+i, -^j+i, ■ ■ ■, sj,j+i ~ свободными образующими Uj,j— 1 ,п, а всякая крашеная коса из Rn+i однозначно представима в виде произведения чистых кос FiF2 .. ■ Fn, где Fj € Uj,j = 1, п.

Под шириной34 вербальной подгруппы <p(G), определенной в группе G словом <р, будем понимать наименьшее тп € N(J{-foo} такое, что всякий элемент подгруппы <p(G) записывается в виде произведения не более чем то значений слов <pil. Подгруппу ip(G) будем называть собственной, если <p(G) / 1 и

4>(G) ф G.

Термин "ширина" введен Ю. И. Мерзляковым35 в 1967 году, хотя ширина вербальных подгрупп исследовалась в более ранних работах. Так ширина вербальных подгрупп исследовалась в работах Шода (1936), Г. Хйгма-

3"Маканин Г. С. О нормализаторах группы кос // Математический сборник. — 1971. — Т. 86, №2. — С. 171-179.

мГурзо Г. Г. О централизаторах конечных множеств элементов группы кос // Математические заметки. - 1985. - Т. 37, № 1. - С. 3-6.

32Маканина Т. А. Об одной системе уравнений в группе кос // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1986. — Л* 9. - С. 58-62.

33Burau W. Uber Zopfmvarianten //-Abh. math. Seim. Univ. Hamburg. — 1932. - V. 9. — P. 117-124.

34Мерзляхов Ю. И. Рациональные группы. — М.: Наука, 1987.

35Мерзляков Ю. И. Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп // Алгебра и логика. — 1967. — Т. 6, №1. — С. 83-94.

на, Б. Нейман и X. Нейман (1949), Н. Ито (1951), Ф. Холла (1959) и многих других авторов. Наиболее общий результат принадлежит Ю. И. Мерзляко-ву: всякая вербальная подгруппа алгебраической группы G < GLn(£l),Q — алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подполем, имеет конечную ширину относительно любого слова tp. ß других работах выбирались конкретные группы G, слова <р и давались оценки ширины <ß{G).

Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v = xyx~ly~l. H. Ито36 доказал, что при п > 5 всякий элемент симметрической группы S„ является коммутатором. С. Ope37 обобщил этот результат на группу подстановок счетного множества.

Проблема вычисления ширины симметрической и знакопеременной группы, а также.линейной группы над конечным полем представляет интерес для криптографии38.

Многие авторы изучали следующий вопрос: как меняется ширина вербальных подгрупп при различных групповых конструкциях.

В этом направлении А. X. Ремтулла39 доказал, что в нетривиальном свободном произведении А* В ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна тогда и только тогда, когда > 3, \В\ > 2.

В. Г. Бардаковым40 показано, что в свободных произведениях с объединением А *и В, где U — нормальная подгруппа в А и в В, а \А : U\ > 2, \В :U\> 3, ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.

Р. И. Григорчуком41 доказано, что для свободных произведений с объединением А *и В, где |Л :: U| > 3, |В : U\ > 2, ширина всякой собственной

36Ito N. A. A theorem of alternating group A„ (n > 5) // Matb. Japon. — 1951. - V. 2, N 2. - С. 59-60.

3,Ore S. Some remarks on commutators // Proc. Amer. Math. Soc. — 1951. — V. 2. — P. 307-314.

'"Глухов M. M., Зубов А. Ю. О длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих // Математические вопросы кибернетики. — 1999. — №8. — С. 5-32.

39RhemtuUa A. H. A problem of bounded expressibility in free products // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1968. - V. 64, N 3. - P. 573-584.

40Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций // .Алгебра и логика. - 1997. - Т. 36, №5.- С. 494-517.

41Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций // Математические заметки. — 1996. - Т. 59, №4. - С. 546-550.

вербальной подгруппы, определенной коммутаторным словом, бесконечна.

Автором [31 в 2000 году получен следующий результат : пусть G = А*ц В, где |А : U] > 2 и в В существует такой элемент Ь, что UbU ф Ub~lU, тогда ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.

В. А. Файзиев42 в 2001 году доказал, что для свободных произведений с объединением А*уВ, где | А : U\ > 2, |В :•. U| > 3, ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.

В. Г. Бардаковым показано, что ширина всякой собственной вербальной подгруппы для групп с одним определяющим соотношением и тремя образующими бесконечна. Распространить данный результат на группы с двумя порождающими и одним определяющим соотношением не удается, так как это неверно для групп Gn =< й, í; t~lat — an, п € % \ 0 >.

Р. И. Григорчук доказал, что для HNN-расширений, где связные подгруппы являются собственными свободными подгруппами в базовой группе, ширина всякой собственной вербальной подгруппы, определенной коммутаторным словом, бесконечна.

В. Г. Бардаковым доказана бесконечность ширины всякой собственной вербальной подгруппы для ЯЛ^-расширений, где связные подгруппы отличны от базовой группы.

Ряд исследований связан с изучением ширины вербальных подгрупп в группах кос. Это результаты H. Н. Репина43, Ю. С. Семенова44, В. Г. Дур-нева45 и В. К. Шалашова46. В. Г. Бардаковым доказано, что группа кос47 с двумя и более образующими, а также многие группы Артина48 не имеют

42Faîziev V. A. A problem of expressibility in some amalgamated products of groups // J. Austral. Math.

Soc. - 2001. - V. 71. - P. 105-115.

13Репин H. H. О коммутаторных уравнениях в группах lh и // Алгоритмические проблемы

теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1986. — С. 114-117.

"Семенов Ю. С. О коммутаторах в группах кос // 10-й Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов.— Минск, 1986. — С. 207.

"Дурнев В. Г. О ширине коммутанта групп кос В3 и B¡ Ц Деп. в ВИНИТИ. — 1987. — №4040-В87.

48Дурнев В. Г., Шалашов В. К. О ширине коммутанта групп кос Дз и В\ j j 19-я Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов — Львов, 1987. — С. 89.

"Бардаков В. Г. К теории груяи кос // Математический сборник. — 1992. — Т. 183, №6. — С. 3-42.

48Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Артина, групповые и метрические свойства отображений // Сборник работ, поев, памяти Ю. И. Мерзлякова. — Новосибирск, 1995. — С. 8-18.

собственных вербальных подгрупп конечной ширины.

Цель работы и научная новизна

Целью диссертации является решение ряда известных проблем комбинаторной теории групп.

К основным результатам диссертации можно отнести следующие результаты.

Доказана разрешимость проблемы сопряженности слов в группах Коксте-ра большого типа.

Доказана разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа.

Доказана теорема о разрешимости проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа.

В группах Кокстера экстрабольшого типа доказана разрешимость проблем степенной сопряженности слов и пересечения циклических подгрупп.

Доказано, что любая конечно порожденная подгруппа группы Кокстера экстрабольшого типа, не содержащая элементов конечного порядка, является свободной.

Доказана разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов в группах крашеных кос.

Доказаны нерезрешимость проблемы сопряженности подгрупп в группах крашеных кос Яп+\ (п > 4) и разрешимость данной проблемы в группе крашеных кос Яз.

Решена проблема ширины собственной вербальной подгруппы в свободном произведении групп с объединением.

Получены следующие результаты, примыкающие к основным.

Доказана разрешимость проблемы вхождения в параболическую подгруппу в группах Кокстера большого типа.

Доказано, что централизатор конечно порожденной подгруппы группы Кокстера большого типа есть конечно порожденная подгруппа и существует алгоритм, выписывающий образующие этого централизатора.

Доказано, что существует алгоритм, выписывающий образующие нормализатора любого конечного множества слов в группах Кокстера большого типа.

13 группах Кокстера большого типа описаны элементы конечного порядка.

Доказано, что в группах Кокстера большого типа разрешима проблема корня.

Доказано, что если две подгруппы Н.\ и Яг из группы кос Вп сопряжены в Вр (р> п), то #1 и Яг сопряжены в Вп.

Доказана конечная порожденность нормализатора конечно порожденной подгруппы в прямом произведении двух свободных групп ранга 2.

Описаны нормализаторы специальных классов подгрупп в группе крашены?: кос 11$ .

Доказана разрешимость проблемы сопряженности конечно порожденных подполугрупп в группах Артина конечного типа.

Решена проблема построения нормализатора конечно порожденной подполугруппы в группах Артина конечного типа.

Рассмотрены вопросы пересечения нормализаторов конечного числа конечных множеств и подполугрупп в группах Артина конечного типа.

Доказана бесконечность ширины собственных вербальных подгрупп в некотором классе групп с двумя порождающими и одним определяющим соотношением, а также в некоторых НЫЫ-расширениях, где хотя бы одна из связных подгрупп совпадает с базовой группой.

Исследована ширина вербальных подгрупп групп Артина с двумя образующими.

Все результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования

Проводимые в диссертации исследования базируются на комбинаторных и геометрических методах теории групп.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в различных разделах теории групп. Развитые в диссертации вопросы важны для дальнейших исследований алгоритмических проблем в группах. Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Аппробация работы

Результаты работы докладывались на: Х-й-Всесоюзной конференции по математической логике (Алма-Ата, 1990 г.); семинаре под руководством М. М. Лесохина (ЛГУ, 1991 г.); семинаре по теории групп под руководством А. Л. Шмелькина, А. Ю. Ольшанского (МГУ, 1996 г.); Ш-й международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее применения"(ТГПУ, 1996 г.); У-ой международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (ТГПУ, 2003 г.); открытом научном семинаре "Кольца и модули" под руководством С. А. Пихтилькова с участием

A. В. Михалева, В. Н. Латышева, В. Н. Чубарикова (ТГПУ, 2005 г.); международной алгебраической конференции, посвященной 100 - летию со дня рождения А. Г. Куроша (МГУ, 2008 г.); ежегодной международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" (ТулГУ, 2000, 2005-2008 г.г.); Тульском городском научном семинаре по алгоритмическим проблемам теории групп и полугрупп под руководством

B. Н. Безверхнего (1990-2009 г.г.); расширенном заседании Тульского городского научного семинара по алгоритмическим проблемам теории групп и полугрупп под руководством В. Н. Безверхнего с участием А. Л. Шмелькина (2009 г.); научно-исследовательском семинаре по алгебре кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова (2009 г.).

Работы были выполнены по грантам РФФИ 00-01-00767, 03-01-00198, 0801-00790 и Министерства образования РД 02-1.1-209.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [28]. Объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, восемнадцати разделов и списка литературы из 100 наименований. Диссертация содержит 230 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении изложена предыстория исследуемых в диссертации вопросов, собраны важнейшие факты, необходимые в дальнейшем изложении, дан обзор содержания диссертации.

Первая глава посвящена изучению проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа.

В первом разделе первой главы рассматриваются диаграммы над группой Кокстера большого типа С, заданной системой образующих г £

< оо, и системой определяющих соотношений а? = 1 для всех г 6 О, (а;а— 1, г ф i,j € ту — элемент матрицы Кокстера (ту), г,е ./, соответствующей данной группе, причем ту ^ 3 для I ф j■

п

Пусть Р — П *№ =< а>"> Он >) ~ свободное произведение циклических 1=1

групп порядка 2, Я = У Яу — симметркзованное подмножество свободного произведения Р, Яу — множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободном произвдении Гу = Р; * -Р) и равных 1 в двупорож-денной группе Кокстера большого типа (?у.

Пусть № — нетривиальное циклически приведенное в Я слово, равное единице в группе Кокстера большого типа 6?, то есть и) £< Я >р, где < Я >р — нормальное замыкание симметризованного множества Я в свободном произведении Р. Тогда существует связная односвязная диаграмма М группы Кокстера с граничной меткой и>, областями которой являются Я,диаграммы.

Подвергнем й-диаграмму М следующему преобразованию. Если две области £>2 являются одновременно ^-диаграммами, пересекаются по ребру, то, стирая это ребро, объединим £>1, П2 в одну область V. При этом возможно, что метка границы полученой области равна единице в свободном произведении Р. Тогда, удалив эту область, склеиваем её границу. Таким образом, через конечное число шагов мы получим приведенную в Р связную односвязную Я-Диаграмму А/, инвариантную относительного рассмотренного преобразования с граничной меткой, равной ц>, причем если две области В\ О" из М пересекаются по ребру, то длина метки этого ребра равна единице, и получаем, что каждая приведенная связная односвязная Л-диаграмма М группы Кокстера большого типа удовлетворяет условию С (6).

Обозначим через дМ граничный цикл М. Область £> С М назовем граничной, если сШР)сШ Ф 0. Символом г(О) будем обозначать число внутренних ребер в граничном цикле Д символом (1(Г/) — число всех ребер в граничном цикле Д Будем говорить, что дВ(~)дМ есть последователь- ная часть М, если дП дМ — объединение последовательности /ь 1%,..., 1п замкнутых ребер, где 1\,...,1п встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для О и в некотором граничном цикле для М.

Граничную область В Я-диаграммы М назовем простой, если дО П дМ есть последовательная часть М.

Простая область Б диаграммы М называется деновской, если г(£>) < 3.

Пусть М — приведенная связная, односвязная Я-диаграмма группы Кокстера большого типа. Тогда последовательность областей £>1, Д,..., Д, п > 2, образует полосу49 в М, если:

1) Уг, 1 < г ^ п, <9Д р| дМ — последовательная часть М;

2) Уг, 1 < г < п, границы областей Д и Д+1 пересекаются по ребру;

3) ¿(Д) = »(А.) = 3 и V;, 1 < з < п, ¿(Д) = 4.

Область Б с граничным циклом дО = е~/е'16, расположенная по обе стороны относительно ребра е, в которой склеенные ребра е и е~1 пересекают граничный цикл Д называется (з — г)-областью.

49Безверхний В. Н. О нормализаторах элементов в С(р)5гТ(</)-группах // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. Тула, 1994. — С. 4-55.

Лемма 6. Пусть М — приведенная связная диаграмма М группы Кокс-тера большого типа, содержащая (s — i)-области, тогда <р(у) и <р(6) содержат одну букву.

Удаление деновскоЯ области диаграммы М, то есть удаление ее граничного пути, называется деновским сокращением диаграммы М или Д-сокращением.

Пусть П — полоса диаграммы М, дМ - 7(J(3np)3M), а 71 = ЗП \ (ЗПр)ЗМ). Замену диаграммы М на диаграмму Mi, полученную из М удалением полосы П, в результате чего граничный цикл М преобразуется в граничный цикл дМ\ — 771, назовем специальным Я-сокращением или R-сокращением. Если М не содержит полос, то назовем М специально R -приведенной или Й-приведенной.

Слово w € G, G — группа Кокстера большого типа, назовем Д-приводимым, если w приведено в F и содержит подслово s, являющееся подсловом некоторого соотношения г € R, г = sb, где |6| < 2. Назовем w циклически R-приведенным, если все его циклические перестановки являются R - приведенными словами. Д-приведенное слово w группы Кокстера большого типа G назовем специально Я-приводимым или Д-приводимым, если в нем можно выделить подслово S1S2 • • • sn, где каждое St содержится в некоторой группе Gij й является подсловом соотношения s^d^btdt+i € R, причем при t = 1 nt = п |di| = |&i| = |с?2| = |4| = |6„j = K+il = 1 и для t, 1 < t < n,

Mil = I4h.iI = 1- \bt\ = 2.

Лемма 9. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w группы Кокстера большого типа выяснить, является ли w R-приведенньш.

Лемма 10. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически R-приведенного слова w из группы Кокстера большого типа выяснить, является ли w специально R-приведенным.

Аналогично рассматриваются кольцевые диаграммы над группами Кокстера большого типа.

Далее в данном разделе изучаются кольцевые диаграммы над группами Кокстера большого типа, не содержащие (s — г)-областей и, следовательно, удовлетворяющие условию С(6).

Кольцевую связную приведенную однослойную Л-диаграмму М с граничными циклами а, т группы Кокстера большого типа, метки которой <р(&), (р(г) приведены в Я, <р(сг) — Я-приведено и специально Я-приведено, назовем особо специальной Я-диаграммой, если в М существует одна область О такая, что \<р(дВ \ (дО[)сг))\ = 3, а для остальных областей V \ipidD' \ (сШ'р)о-))| = 4. Слово <р(т) является циклически Я-приведенным и циклически специально Я-приведенным. Замену слова <р(а) словом <р(т) назовем специальным кольцевым Я-сокращением.

Лемма 19. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически Л-приведенного, циклически специально Я-приведенного слова и) из группы Кокстера большого типа установить, применимо ли к нему специальное кольцевое И-сокращение.

Будем говорить, что циклически несократимое слово и) группы Кокстера большого типа обладает свойством я, если ги циклически Я-несократимо, циклически специально Я-несократимо и к нему неприменимо специальное кольцевое Я-сокращение.

Кольцевую связную приведенную Я-диаграмму М с граничными циклами сг, т назовем простой, если \М\ ^ 1 и <тр)т Ф 0; М назовем вырожденной, если \М\ = 0, где \М\ — число областей диаграммы М.

Кольцевая связная приведенная Я-диаграмма М с граничными циклами а,т называется п-слойной, п ^ 1, если после последовательного удаления граничных слоев получим вырожденную кольцевую Я-диаграмму и называется С — п-слойной, если в результате удаления указанных выше граничных слоев получим простую кольцевую Я-диаграмму.

Далее рассматриваются кольцевые связные приведенные Я-диаграммы М сопряженности слов групп Кокстера большого типа с граничными циклами <т, т, у которых не каждая граничная область является простой. При этом кольцевая Я-диаграмма М может быть одного из следующих видов:

1°. а(~}г = 0, каждая область Б 6 М граничная, дВ|~)дМ — несвязное множество, г(Б) = 2.

2°.аПтф0.

3°. (Гр)т = 0, существует область Д г(В) > 2, дБ Р| дМ — несвязное

множество.

Показывается, что следующие преобразования укорачивают длину циклического слова и)\

7Г1) циклическое сокращение ш в свободном произведении Р;

тг2) циклическое Д-сокращение в С;

7Г3) циклическое специальное Я-сокрахцение в С;

7Г4) кольцевое специальное Л-сокращение в в;

7г5) переход от и к сопряженному слову и, |и| < с помощью кольцевой диаграммы вида 1°;

щ) то же, что тгз), но с помощью кольцевой диаграммы вида 2°;

я7) то же, что 7Г5), но с помощью кольцевой диаграммы вида 3°.

Слово и), полученное из V применением к нему преобразований 7г1) - -л>) в в, назовем тупиковым для г', если оно инвариантно относительно этих преобразований.

Доказывается, что для любого слова V £ (7 можно эффективно построить соответствующее ему тупиковое слово ш.

Лемма 23. Пусть V € С, в — группа Кокстера большого типа, V обладает свойством в и и/ — тупиковое для V слово. Тогда никакое слово и € <7, |м| < не сопряжено с V.

Кольцевую связную приведенную й-диаграмму М сопряженности слов у(сг), ¡р(т) € в, где а, т — соответственно внешний и внутренний граничный циклы М, назовем минимальной, если не существует кольцевой й-диаграммы Мо с теми же граничными метками ¡р(<т), ¡¿(г), имеющей меньшее число областей.

Лемма 24. Пусть М — кольцевая связная приведенная минимальная Я-диаграмма группы б Кокстера большого типа с граничными циклами а, т. Пусть р(сг), <р(т) являются тупиковыми. Если М — п-слойная либо С-п-слойная диаграмлш с п > 1, то для любой области И С М выполняется й(р) = 6.

Второй раздел первой главы посвящен решению проблемы вхождения в параболическую подгруппу в группах Кокстера большого типа.

Пусть б - группа Кокстера большого типа с множеством образующих

А, определяемая матрицей Кокстера Ma- Тогда подгруппа Gj, порожденная множеством Aj С А, есть группа Кокстера большого типа, определяемая матрицей Кокстера Mj, полученной из Ma удалением строк и столбцов, именованных образующими из А \ Aj. Данная подгруппа Gj является параболической.

Лемма 25. Пусть M — кольцевая связная приведенная минимальная R-диаграмма вида С{6) с граничнъши циклами ст,т группы Кокстера боль-гиого типа G. Пусть ip(cr), ip(r) обладают свойством s, tp(сг) — слово из параболической подгруппы Gj па образующих Aj, Aj С А, А — множество образующих G, ¡р(а) не является образующим из Aj. Тогда ip(r) £ Gj и слова v'(c) и iр(т) сопряжены в Gj.

Следствие 1. Пусть и, v € G , G — группа Кокстера большого типа, А — множество образующих G, и, v обладают свойством s и существует г € G такое, что z~luz = v. Тогда, если слово и есть слово из параболической подгруппы Gj на образующих Aj, А} С .4, и не является образующим из Aj, то v £ Gj и существует z' £ Gj, z' = г в G, такое, что z'~luz' — v.

Следствие 2. Пусть G — группа Кокстера большого типа на образующих A, Gj — параболическая подгруппа G на множестве образующих Aj С А, слово и обладает свойством s, и G Gj и не является образующим из Aj, тогда Ng(u) = Ncj(u).

Лемма 26. Пусть M — кольцевая связная приведенная минимальная R-диаграмма группы Кокстера большого типа G с граничными циклами а, г; <р(сг), ¡р(т) удовлетворяют условию s. Тогда если M содержит (s — i)-область, то все области M являются (s — г)-областями.

Лемма 28. Пусть G — группа Кокстера большого типа с множеством образующих А. Если vq 6 G, Vo ф- 1 б G и vq — R-приведенное, специально R-приведенное слово, равное слову из параболической подгруппы Gj с образующими Aj, Aj С А, то Vo — слово на образующих Aj.

Теорема 4. В группе Кокстера большого типа разрешима проблема вхождения в параболическую подгруппу.

В третьем разделе первой главы решается проблема сопряженности слов в группах Кокстера большого типа. Доказывается

Теорема 5. В группе Кокстера большого типа разрешима проблема сопряженности слов.

Вторая глава посвящена изучению других алгоритмических проблем в группах Кокстера большого типа.

В первом разделе изучается проблема обобщенной сопряженности слов.

Теорема 6. Централизатор конечно порожденной подгруппы H группы Кокстера большого типа G есть конечно порожденная подгруппа, и существует алгоритм, выписывающий образующие централизатора.

Показывается, что централизатор элемента в группах Кокстера большого типа в общем случае не является циклической подгруппой.

Показывается, что в общем случае группы Кокстера большого типа не являются гиперболическими группами. Рассмотрим группу G =< a, b, с; aba = bob, аса = cac,bcb = cbc,a2 = 1,62 = 1, с? = 1 >. Данная группа содержит свободную абелеву подгруппу < (abc)2, (bac)2-, (abc)2(bac)2 ~ (bac)2(abc)2 >, а потому не может быть гиперболической.

Теорема 7. В группе Кокстера большого типа разрешима проблема обобщенной сопряженности слов.

Теорема 8. Пусть G — группа Кокстера большого типа и

— слова из G. Если F — какое-то решение системы &¿1_1(2_1Wj2 = vi), то множество слов Cçj(H) ■ F, где Cq(H) — централизатор подгруппы Н, порожденной словами является множеством всех решений системы.

Теорема 9. Существует алгоритм, позволяющий для любого конечного множества слов из группы Кокстера большого типа G выписать образующие их нормализатора.

Во втором разделе второй главы описываются элементы конечного порядка в группах Кокстера большого типа.

Теорема 10. Слово w группы Кокстера большого типа G имеет конечный порядок тогда и только тогда, когда оно сопряжено с некоторым словом w' G Gab =< а,b; (ab)m°b = 1,а2 = б2 = 1 >.

В третьем разделе второй главы доказывается алгоритмическая разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера

большого типа.

Теорема 11. Пусть слово и> е (7 имеет бесконечный порядок. Тогда любая степень слова, сопряженного ш или и>2 в группе (У, циклически Я и специально И-несократима.

Пусть в группе Кокстера большого типа в иГ = V. Тогда {т2)п = г;2. Заменим гл2 на сопряженное с ним циклически Я-несократимое и специально Я-несократимое слово 1щ в соответствии с теоремой 11. Получим Шд = г~]ь2г. Заменим z~lvlz равным ему в группе С Я-несократимым и специально Я-несократимым словом Тогда существует приведенная связная односвязная Я-диаграмма М такая, что <р(дМ) = <*?(7)<р(<5) = ио \ гДе 71 ^ гомеоморф-ны отрезку.

Связная односвязная диаграмма М называется диском, если ее граничный цикл дМ — простая замкнутая кривая.

Будем считать, что М — диск, дМ — 7 и 5, ¡¿>(7) = ъиЦ и <р{5) = уо, 7 П 6 = {Л, В} — две вершины.

Теорема 12. Пусть М — приведенная диаграмма, являющаяся диском, дМ = 71_1<5, где <р(у) и <р(5) — Н-несокрагпимые и специально Я-несократимые слова, 7Г)5 — {А, В}. Тогда число областей, граничащих су и 5, одинаково.

Пусть М — связная односвязная приведенная диаграмма, дМ = 7 и <5, пусть ¥>(7) = 1р(5) = щ и Го — самое длинное слово из Я. Тогда п <

4ЫЫ-

Будем говорить, что в группе С разрешима проблема корня, если существует алгоритм, позволяющий для любого но € й установить, существуют липбКихбС такие, что хп =

Следствие 6. В группе Кокстера большого типа £7 разрешима проблема корня.

В четвертом разделе второй главы изучается проблема слабой степенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа.

Будем говорить, что в группе <? разрешима проблема слабой степенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых слов гу, V € б таких, что го V >, установить, существует ли целое число п такое, что слова ги",у сопряжены в группе б.

Теорема 13. В группе Кокстера большого типа С разрешима проблема слабой степенной сопряженности слов.

В третьей главе рассматриваются некоторые проблемы в группах Кокстера экстрабольшого типа.

Первый раздел посвящен проблеме степенной сопряженности слов. В начале этого раздела изучаются диаграммы над группами Кокстера экстрабольшого типа, которые строятся так же, как и диаграммы над группами Кокстера большого типа. Каждая приведенная связная односвязная Я-диаграмма М группы Кокстера экстрабольшого типа удовлетворяет условию С(8).

Простая область Д диаграммы М называется деновской, если ¿(1?) < й{р)!2.

Пусть М\ — приведенная связная, односвязная поддиаграмма Я - диаграммы М группы Кокстера экстрабольшого типа с границей дМ\ — е^еф, где С1 — ребро АВ, 7 - путь ВС, ег — ребро СД 6 — путь О А. Тогда последовательность областей Д, Д,...,Д„ из М\ (ег € А,ег € Д),тг > 2, образует полосу в М, если:

1) Уг, 1 ^ г < п, 9Д П'У^АП^ " последовательная часть М\\

2) Уг, 1 < г < п, границы областей Д и Д+х пересекаются по ребру;

3) |<9Д П 7| = |<9Д Л <5| + 2, |дйп П 7| = \дОп П ¿| + 2 и |ЗД П 7| = |дД П б|,2 < у <п.

Слово и> € С, й — группа Кокстера экстрабольшого типа, назовем П-приводимым, если ги приведено содержит подслово в, являющееся под-словом некоторого соотношения г е Я,г = $Ь, где |6| < |в|. Я-приведенное слово ад группы Кокстера экстрабольшого типа С назовем специально Я-приводимым или Я-приводимым, если в нем можно выделить подслово 5x^2 • • ■

где каждое зг содержится в некоторой группе С^ и является подсловом соотношения € Я, причем при £ = 1 и £ = п [«¿¿| = = 1,

Ы = М +2 и для г, 1 < * < тг, |</г| = |<4м| = 1, М =

Лемма 52. Пусть М — приведенная связная односвязная Я - диаграмма над группой Кокстера экстрабольшого типа; а — граничный цикл М, слово ф(сг) циклически Я и Н-несократимо. Тогда М является однослойной.

Лемма 53. Пусть М — приведенная связная кольцевая диаграмма со-

пряженности слов ср(сг), у>(т) 6 О над группой Кокстера экстрабольшого типа, не содержащая (з — г)-обласгпей; а, т соответственно внешний и внутренний граничный циклы М, слова циклически Я и Я-

несократимы. Тогда М является однослойной.

Будем говорить, что в группе С разрешима проблема степенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых слов иг,и 6 б установить, существуют ли ненулевые целые числа п,тп такие, что слова шп, ь-т сопряжены в группе 6?.

Теорема 16. В группе Кокстера экстрабольшого типа разрешима проблема степенной сопряженности слое.

Будем говорить, что в группе С разрешима проблема пересечения циклических подгрупп, если существует алгоритм, позволяющий для любых слов ш,у 6 й установить, пусто или нет пересечение циклических подгрупп, порожденных в (? данными словами.

Теорема 17. В группе Кокстера экстрабольшого типа разрешима проблема пересечения циклических подгрупп. Существует алгоритм, выписывающий образующие данного пересечения.

Во втором разделе доказывается, что если Е и С — элементы бесконечного порядка группы Кокстера экстрабольшого типа С, не являющиеся степенями одного и того же слова, то существует натуральное число 7 такое, для Е1 и С не выполняется нетривиальное тождество. Как следствие получаем, что в группах Артина экстрабольшого типа не выполняется нетривиальное тождество.

В третьем разделе изучаются подгруппы в группах Кокстера экстрабольшого типа.

Теорема 20. Всякая конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера С экстрабольшого типа является свободной.

Показано, что множество образующих конечно порожденной подгруппы без кручения группы Кокстера С экстрабольшого типа можно выбрать так, что любой элемент этой подгруппы однозначно записывается в этих образующих.

Четвертая глава посвящена изучению алгоритмических проблем и описа-

нию нормализаторов в группах-крашеных кос и группах Артина конечного типа.

В первом разделе изучается проблема обобщенной сопряженности слов в группах крашеных кос.

Рассмотрим гомоморфизм группы Вп+\ в группу подстановок S„+1, отображающий <Tj в транспозицию (г,г + 1), г = 1,п. Коса, реализующая единичную подстановку, называется крашеной. Подгруппа крашеных кос группы Вп+1 обозначается через Rn+\.

Теорема 22. Пусть H — конечно порожденная подгруппа группы Вп+1. Тогда существует алгоритм, строящий порождающие подгруппы

Я Последствие 10. В группе крашеных кос Из разрешима проблема сопряженности подгрупп.

Следствие 11. Централизатор конечного множества элементов из Rn+i конечно порожден в Rn+i- Существует алгоритм, строящий образующие этого централизатора.

Следствие 12. В Rn+i разрешима проблема обобщенной сопряженности слов. Более того, если F есть решение системы &c™z.1(x~1ajx) = bj в Rn+i, то множество всех решений этой системы в R„+i записывается в виде D = где C/?„+1({a,}t=i^) - централизатор {аг}!=цг в группе крашеных кос RaJr\.

Следствие 13. Нормализатор конечного множества элементов из Rn+i конечно порожден в j. Существует алгоритм, строящий образующие этого нормализатора.

Во втором разделе изучается проблема сопряженности подгрупп в группах крашеных кос.

Лемма 67. Пусть в группе Bn+i выполнены равенства:

Cn-i) = Х{ои..., ап)Вш{а\,..., <rn_i)X_1 (сгь..., сг„)).

Тогда существует такая коса К, что feuenCAj^i. ■ ■., o-n_i) = K(ah..., a„-i)Bu(au ..., ir„_[)).

Теорема 25. Если две подгруппы Я] и Яг из В„ сопряжены в Вр(р > п), то они сопряжены и в Вп.

Следствие 15. Если подгруппы Н1 С Вп и Яг С Вп и существует Е 6 Ер (р > п) такое, что Н\2 = в ВТ, тогда найдется 2' 6 Нп такое, что нхг' = г'Н-г в Вп.

Теорема 29. В Яп+1 (п ^ 4) неразрешима проблема сопряженности подгрупп.

В третьем разделе дано описание нормализаторов некоторых классов подгрупп в группах крашеных кос.

Теорема 30. Пусть С = Р\Х — прямое произведение двух свободных групп ранга 2. Пусть Н — конечно порожденная подгруппа из (3. Тогда нормализатор Лгс(Я) конечно порожден.

Рассмотрим в /?5 подгруппу П, порожденную элементами а\, а*, с|, й, где <1 = сгАат,а2<у\а2(У^А- ТогдаП =< а'\ > х < о\,(1 > — прямое произведение двух свободных групп ранга 2.

Теорема 31. Мд3(П) =< Д2, Д^П >, где Д = 0^2030^10203010201, А' = 020102.

Пусть Я — конечно порожденная подгруппа из П =< а*, о\ > х <а\,(1> с образующими аь 02, - -., имеющими вид: а,- = ¿¡(ст4, сг-^Л/ДсТд, г = 1, гг. Подгруппа Ни порожденная ¿¡((Т;,^!), г = 1,п., есть проекция Я на П1 =< <74, с"2 >1 а подгруппа Яг, порожденная Л/,(бт|, й), г = 1, п, — проекция Н на П2 =< ст2, о? >.

Теорема 32. Если Н\ и Я2 не являются циклическими, то АгяГ|(Я) С ЛГд.(П).

Лемма 83. МВа(Н)/СВт(Н) ~ ^В„(Я)/СВ„(Я).

Теорема 33. Нормализатор подгруппы Н С Вт в Вп (п> т) является расширением централизатора подгруппы Н а В„ с помощью фактор-группы

ХвЛЮ/с^н).

В четвертом разделе изучаются нормализаторы в группах Артина конечного типа.

Полугруппа Артина конечного типа задается теми же образующими, что и группа Артина конечного типа <7.

Теорема 38. Пусть С — группа Артина конечного типа и Н — конечно порожденная подполугруппа полугруппы С+. Тогда нормализатор Н в С

конечно порожден. Существует алгоритм, строящий образующие этого нормализатора.

Теорема 39. Существует алгоритм, позволяющий установить, сопряжены ли две конечно порожденные подполугруппы С?+ Е и Ь в или нет.'

Теорема 40. Пересечение нормализаторов конечного числа конечно порожденных подполугрупп полугруппы С+ группы Артина С конечного типа конечно порождено. Существует алгоритм, строящий образующие этого пересечения.

Теорема 41. Пересечение нормализаторов конечного числа конечных множеств группы Артина й конечного типа конечно порождено. Существует алгоритм, строящий образующие этого пересечения.

В пятой главе изучается проблема ширины вербальных подгрупп в некоторых классах групп.

В первом разделе дается решение проблемы ширины вербальных подгрупп в свободных произведениях групп с объединением.

Теорема 46. Пусть (7 = А *и В, где \А : £/| > 2 и в В существует такой элемент Ь, что ШЛ ^ 1]Ь~11]. Тогда ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.

Теорема 47. В свободных произведениях с объединением А *ц В, где |Л : V| > 2, \В : 11\ > 3, ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.

Показывается, что если \А : С/| < 2 и \В : Щ < 2, то ширина вербальной подгруппы <р(0) бесконечна тогда и только тогда, когда ширина <р(и) бесконечна.

Во втором разделе дается решение проблемы ширины в некотором классе групп с двумя порождающими и одним определяющим соотношением.

Рассматривается ширина собственной вербальной подгруппы <р(0) для групп С =< а,Ь,Щ~1а1 = Ь,1~1Ы — ги(а,Ь) >, где ш(а,Ь) — непустое слово в свободной полугруппе << а, Ь >>. Доказывается, что если и;(а, Ь) = аи(а, Ь)а, а, а2, то ширина </?((?) бесконечна.

Рассмотрим группу <2 =< а, Ь, <; га£ = Ь,Ь~1Ы = аь(а,Ь)Ы1 >, где у(а,Ь)

— непустое слово в свободной полугруппе << а, b ».

Положим b — са1'. Тогда данную группу можно рассматривать в виде G =< а, с, t; t~lat = сад, t'Lct = ui{a, сам) >, где w(a, сам) = а... > 1.

Пусть /о<7а:г означает сумму показателей при а в слове х.

Теорема 51. Пусть G =< а, с,£; t~lat = саt~1ct = w(a,cafi) >, гс?е «/(а, са'1) = а... са"+\ г > 1, — положительное слово. Если существует такое простое число р в разложении logaw на простые множители, что ц = 1 (modp), то ширина собственной вербальной подгруппы <fi{G) бесконечна.

Теорема 52. Пусть G =< a,b,t; t"'ai = b, t~lbt = ah" >. Тогда произвольная собственная вербальная подгруппа имеет бесконечную ширину.

В третьем разделе изучается ширина вербальных подгрупп в HNN - расширениях, где хотя бы одна из связных подгрупп совпадает с базовой группой, вида G =< ai, 02, ■ ■., а„; t-1aii = a,+i, i = l,n — 1, t~1ant = w(ai,..., a„) >, где tu(a\,..., an) — непустое слово в свободной полугруппе << ai,..., а„ ». Показывается, что если w = a^ai,a2,.. .,а,п)аi, ai, a,, то ширина всякой собственной вербальной подгруппы <¿>(£7) бесконечна.

В четвертом разделе основным результатом является

Теорема 58. В группах Артина с двумя образующими решена проблема ширины.

Доказывается, что в двупорожденной группе Артина Gy с m,j ^ 3, i Ф j, ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ

[1] Добрынина И. В. К вопросу о ширине в свободном произведении с объединением // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 1999. — Т. 5, №1. — С. 114-115. — 0,13 п. л.

[2] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О неразрешимости проблемы сопряженности подгрупп в группе крашеных кос /?5 // Математические замет-

ки. - 1999. - Т. 65, № 1. - С. "15-22. - 0,5 п. л. (авторский вклад 0,4 п. л.)

[3] Добрынина И. В. О ширине в свободных произведениях с объединением // Математические заметки. - 2000. - Т. 68, №3. - С. 353-359. — 0,44 п. л.

[4] Добрынина И. В., Безверхний В. Н. О ширине в некотором классе групп с двумя порождающими и одним определяющим соотношением // Труды института математики и механики УрО РАН. — 2001. — Т. 7, №2. — С. 95102. — 0,5 п. л. (авторский вклад 0,4 п, л.)

[5] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О нормализаторах некоторых классов подгрупп в группах кос // Математические заметки. — 2003. — Т. 74, №1. — С. 19-31. — 0,81 п. л. (авторский вклад 0,65 п. л.)

[6] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Об элементах конечного порядка в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2003. — Т. 9, №1. — С. 13-22. — 0,63 п. л. (авторский вклад 0,5 п. л.)

[7] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2004. - Т. 10, №1. - С. 23-37. - 0,94 п. л. (авторский вклад 0,75 п. л.)

[8] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы слабой степенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2004. — Т. 10, №1. — С. 38-46. — 0,56 п. л. (авторский вклад 0,45 п. л.)

[9] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Дискретная математика. - 2005. - Т. 17, КвЗ. - С. 123-145. - 1,44 п. л. (авторский вклад 1,15 п. л.)

[10] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Кокстера экстраболыиого типа // Дискретная математика. - 2008. - Т. 20, №3. - С. 101-110. - 0,63 п. л. (авторский вклад

0,5 п. л.)

[11] Добрынина И. В. О тождествах в группах Артина экстрабольшого типа // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - 2009. - №3. - С. 5-11. - 0,44 п. л.

[12] Добрынина И. В. О некоторых диаграммах групп Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - 2009. - №3. - С. 12-23. - 0,75 п. л.

Статьи и тезисы

[13] Добрынина И. В. О нормализаторах в группах Артина конечного типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1990. — С. 156-163. — 0,5 п. л.

[14] Добрынина И. В. О нормализаторах в группах Артина конечного типа // X Всесоюзная конференция по математической логике. Тезисы докладов. — Алма-Ата, 1990. — С. 61. — 0,06 п. л.

[15] Добрынина И. В. О нормализаторах подгрупп в группе кос Bz // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1991. — С. 138-144. — 0,44 п. л.

[16] Добрынина И. В. О сопряженности подгрупп в группах кос // Третья Международная конференция по алгебре памяти М. И. Каргаполова. Тезисы докладов. — Красноярск, 1993. — С. 111. — 0,06 п. л.

[17] Добрынина И. В. О неразрешимости проблемы сопряженности подгрупп в группе крашеных кос R,l+i(n > 5) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1994. - С. 62-70. - 0,56 п. л.

[18] Добрынина И. В. О ширине вербальных подгрупп в некотором классе групп // Универсальная алгебра и её приложения. Тезисы докладов международного семинара по алгебре памяти Л. А. Скорнякова. — Волгоград, 1999. - С. 28 - 0,06 п. л.

[19] Добрынина И. В. Проблема конечной ширины в одном классе групп // Сборник научных работ профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов ТГПУ им. Jl. Н. Толстого. - 1999. - С. 194-195. - 0,13 п. л.

[20] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О ширине в одном ЯЛ'Л'-расширении // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 2001. — С. 69-78. — 0,63 п. л. (авторский вклад 0,49 п. л.)

[21] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы конечной ширины в группах Артина с двумя образующими // Чебышевский сборник. - 2002. - Т. 3, № 1 (3). - С. 11-16. - 0,38 п. л. (авторский вклад 0,29 п. л.)

[22] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Чебышевский сборник. — Тула, 2003. - Т. 4, №1(5). - С. 10-33. - 1,5 п. л. (авторский вклад 1,2 п. л.)

[23] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О проблеме корня в группах Кокстера большого типа // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. — Тула, 2003. — С. 41-42. — 0,13 п. л. (авторский вклад 0,1 п. л.)

[24] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О пересечении циклических подгруппе группах Кокстера экстрабольшого типа // Труды международной научно-практической конференции "Л. Эйлер и российское математическое образование, наука и культура". — Тула, 2007. — С. 16-26. — 0,69 п. л. (авторский вклад 0,54 п. л.)

[25] Добрынина И. В. О подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа // Чебышевский сборник. - 2008. - Т. 9, № 1 (25). - С. 9-15. - 0,44 п. л.

[26] Добрынина И. В. О проблеме свободы в группах Кокстера экстрабольшого типа // Фундаментальная и прикладная математика. — 2008. — Т. 14, №8. - С. 101-116. - 1 п. л.

[27] Добрынина И. В. О тождествах в группах Кокстера экстрабольшого типа // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша. Тезисы докладов. — М., 2008. — С. 85.

- 0,06 п. л.

[28] Добрынина И. В. Решение проблемы ширины в свободных произведениях групп с объединением //' Фундаментальная и прикладная математика.

- 2009. - Т. 15, №1. - С. 23-30. - 0,5 п. л.

Отпечатано в Издательском центре ТГПУ им. Л. Н. Толстого. 300026, Тула, просп. Ленина, 125. Подписано в печать 25.01.2010. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,75. Тираж 100 экз. Заказ 10/007.

Введение

Глава I. Проблема сопряженности слов в группах

Кокстера большого типа

1. Диаграммы над группами Кокстера большого типа и их свойства

2. Решение проблемы вхождения в параболическую подгруппу в группах Кокстера большого типа

3. Решение проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа

Глава II. Обобщенная сопряженность слов в группах Кокстера большого типа и другие проблемы

1. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа

2. Описание элементов конечного порядка в группах Кокстера большого типа

3. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа

4. Решение проблемы слабой степенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа

Глава III. Некоторые проблемы в группах Кокстера экстрабольшого типа

1. Решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Кокстера экстрабольшого типа

2. О свойстве элементов бесконечного порядка в группах Кокстера экстрабольшого тина

3. О свободных подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа

Глава IV. Алгоритмические проблемы и описание нормализаторов в группах крашеных кос и группах

Артина конечного типа

1. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах крашеных кос

2. Изучение проблемы сопряженности подгрупп в группах крашеных кос

3. Описание нормализаторов некоторых классов подгрупп в группах крашеных кос

4. О нормализаторах в группах Артина конечного типа

Глава V. Проблема ширины вербальных подгрупп в некоторых классах групп

1. Решение проблемы ширины вербальных подгрупп в свободных произведениях групп с объединением

2. Решение проблемы ширины в некотором классе групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением

3. Решение проблемы ширины вербальных подгрупп в одном #Л/"./У"-расширении

4. Решение проблемы ширины в группах Артина с двумя образующими

Актуальность темы

Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М. Дэном [63] в одной из его работ в 1912 г., являются проблемы равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.

Исследование этих проблем стимулировало развитие комбинаторных методов в теории групп, что явилось причиной возникновения одного из самого активно развивающихся направлений современной математики — комбинаторной теории групп. В настоящее время имеется целый ряд книг, посвященных данной теме, достаточно назвать монографии В. Магнуса, А. Карраса и Д. Солитера [33], а также Р. Линдона и П. Шуппа [31]. Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дэна, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова [43], доказавшего неразрешимость проблем равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также неразрешимость проблемы изоморфизма групп.

С. И. Адяном [1] определено понятие наследственного нетривиального свойства группы и доказано, что не существует алгоритма, позволяющего для произвольной группы с конечным числом образующих и определяющих соотношений распознавать выполнимость свойства представляющего собой объединение нетривиального наследственного и инвариантного свойства, если только существуют группы, обладающие свойством (3. Из этого результата следует, что практически все проблемы, относящиеся к конечно определенным группам, в общем случае неразрешимы. Сюда относятся, в частности, такие проблемы, как распознавание нильпотентности, конечности, простоты, свободы или единичности группы, включая и основные проблемы комбинаторной теории групп.

Обобщением проблемы сопряженности слов являются проблемы сопряженности подгрупп и обобщенной сопряженности слов.

Впервые проблема сопряженности подгрупп рассматривалась В. Н. Ремеслешшковым [45], доказавшим ее положительное решение в классе конечно порожденных нильпотентных групп.

Будем говорить, что в группе (7 разрешима проблема обобщенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечных множеств слов {гУг}г=Т^ из @ установить, существует ли такое г £ (7, что = г^). Существование такого алгоритма для некоторого класса конечно определенных групп позволяет для любого автоморфизма (р Е АиЬ С определить, является ли он внутренним. С описанием множества решений данной системы связана проблема построения централизатора конечно порожденной подгруппы. Проблемы сопряженности подгрупп и обобщенной сопряженности слов для различных групп рассматривались в работах М. Д. Гриндлингера [21], Д. И. Молдаванского [41, 42], В. Н. Безверхнего [8 - 11] и других.

Центральными темами комбинаторной теории групп являются установление для различных подгрупп данных групп — свободны ли они, а также изучение выполнимости тождеств.

Группа Сг, заданная системой образующих аи г 6 «7, и системой определяющих соотношений (ага^)7Пг-г = 1, г, j Е J, тц — элемент симметрической матрицы Кокстера (т^), г^ Е <7, соответствующей данной группе, то есть матрицы, в которой тц = 1, тч = т^ ^ 2 и {оо} для г ф называется группой Кокстера (в последнем случае между сц, а^ соотношений нет). Из этого определения получаем а? = 1 для всех г 6 7. В дальнейшем будем полагать \J\ < оо.

Группы Кокстера введены X. С. М. Кокстером [59] в 1934 году. Понятпе данной группы возникло в теории дискретных групп, порождаемых отражениями относительно гиперплоскостей. Всякая группа отражений является группой Кокстера, если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. X. Кокстер [59] перечислил все группы отражений в трехмерном евклидовом пространстве и доказал, что все они являются группами Кокстера. В следующей работе он [60] доказал, что всякая конечная группа Кокстера изоморфна некоторой группе отражений в трехмерном евклидовом пространстве, элементы которой имеют общую неподвижную точку.

В чисто алгебраическом аспекте данные группы стали изучаться с 1962 года, начиная с работ Ж. Титса [72]. Обстоятельное изучение групп Кокстера имеется у Н. Бурбаки [15].

Так как каждую группу отражений С? можно реализовать дискретной подгруппой ортогональной группы 0(т, п) при некоторых т, п, зависящих от С, то всякая группа отражений финитно аппроксимируема и содержит подгруппу конечного индекса, не имеющую кручения [22]. Следовательно, проблема равенства слов в группах Кокстера разрешима.

П. Шуппом [71] приведен пример группы Кокстера с неразрешимой проблемой вхождения, что доказывает неразрешимость этой проблемы в данном классе групп.

К. Аппелем и П. Шуппом [54] определены классы групп Кокстера большого и экстрабольшого типа. Если ту ^ 3 для всех г ^ то С называется группой Кокстера большого типа. В случае гпц > 3 имеем группу Кокстера экстрабольшого типа. К настоящему моменту известно, что в группах Кокстера экстрабольшого типа К. Аппелем и П. Шуппом [53, 54] решена проблема сопряженности слов. Из работы И. Г. Лысенка

32] следует разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов, а также проблем вхождения в циклическую подгруппу и извлечения корня в группах Кокстера экстрабольшого типа.

И. Каповичем и П. Шуппом [68] для групп Кокстера экстрабольшого типа, соответствующих матрице Кокстера (ту), г^ £ с т^ > Зк + 1, доказано, что всякая /с-порожденная подгруппа без кручения является свободной в С, а для групп Кокстсра экстрабольшого типа, соответствующих матрице Кокстера (т^), /'. у £ 1, с т^ > 3/с + 7, т^ — четное, доказано, что всякая ^-порожденная подгруппа, не содержащая элементов, сопряженных образующим, является отделимой в С.

В 1972 г. Э. Брискорн и К. Сайто [14] рассмотрели класс групп, названный ими группами Артина. Группа Артина — это группа, заданная копредставлением с системой образующих е </, и соотношениями а^а^а^. — а^а,., г,; Е 7, где слова, стоящие слева и справа данного равенства, состоят каждое из 11113 чередующихся букв сц, а^, при этом гпц — элемент матрицы Кокстера (тг^ € </, соответствующей данной группе. Добавляя к определяющим соотношениям группы Артина еще соотношения а| = 1 для всех г 6 J, получим копредстав-ление группы Кокстера С. Таким образом, группа Кокстера естественно представляется как некоторая фактор-группа группы Артина.

Усовершенствовав метод Гарсайда [16], Брискорн и Сайто [14] доказали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в группах Артина конечного типа, то есть в тех группах Артина, для которых соответствующие группы Кокстера конечны. Одновременно и независимо аналогичные результаты получил Делинь [62]. В. Н. Безверхним [6] доказано, что в неприводимых группах Артина конечного типа Вп, п > 4, .О/, / > 4, Ее, Ет, Н4 проблема вхождения неразрешима, а в группах Ло, В2, ^(р), где р — 5 или р > 7, — разрешима. В [14], [62] описан центр групп Артина конечного типа. В. М. Зинде [26] нашла и исследовала копредставление коммутанта в группах Артина конечного типа. В. Гринблат [20], используя результат Макани-на [34], доказал алгебраическую вычислимость нормализатора элемента в группах Артина конечного типа. Ю. Трубицын [52] получил алгоритм построения образующих нормализатора конечного множества элементов в группах Артина конечного типа.

Группы Артина конечного типа являются обобщением групп кос, введенных в 1925 году Э. Артином [55]. Правда, впоследствии выяснилось, что группы, близкие к группам кос, встречались ранее в работах Гур-вица [66], Фрике и Клейна [65]. В настоящее время библиография работ по косам содержит сотни наименований [30]. В основополагающих работах Артина [55,56] косы определяются чисто геометрически и выступают как естественные и наглядные объекты трехмерной топологии, сходные с узлами и зацеплениями. Полученное впервые Артином [55] копредставление группы кос Вп+1 =< о-!,., 0"n; aia1+iai = ai+i<TiCTi+i,i — l,n — l; (Tidj = crj<Ji,i,j = l,n, \i — j\ > 1 > позволило сводить геометрические задачи к алгоритмическим проблемам теории групп. В частности, проблема эквивалентности геометрических кос равносильна проблеме равенства слов в группе кос Артина, а проблема эквивалентности замыкании геометрических кос — проблеме сопряженности в Вп+\ [55, 28].

Проблема равенства слов в группе кос Вп+\ решена Артином в работах [55, 56]. Проблема сопряженности в Вп+\ решена Г. С. Маканиным [35] и Ф. Гарсайдом [16], что явилось важным событием после работ Артина. Центр группы кос Вп+1 был найден В. Чжоу [61]: при (п+1) > 3 он совпадает с бесконечной циклической подгруппой группы кос Вп+1, порожденной элементом (0102 . .crn)n+1. Коммутант В'п+1 групп кос Вп+1 был изучен Е. А. Гориным и В. Я. Лином [18]. В [55] Артин поставил вопрос об описании всех кос, коммутирующих в В11+\ с данной косой, то есть об описании централизатора данной косы в Вп+\. В 1971 г. Г. С. Маканин [34] доказал, что нормализатор любого элемента группы кос Вп+1 конечно порожден и указал алгоритм построения образующих этого нормализатора. Г. Г. Гурзо [23], путем обобщения метода, описанного в [34], получила алгоритм для нахождения образующих централизатора конечного множества элементов группы кос Вп+\. Т. А. Маканина [36] решила проблему обобщенной сопряженности слов в Вп+\.

Ядро естественного гомоморфизма группы Вп+\ в симметрическую группу ¿?п+1, переводящего каждый образующий сгг в транспозицию (г, г+ 1), г = 1 , п, называется группой крашеных кос. Коса, реализующая единичную подстановку, называется крашеной. Подгруппа крашеных кос группы Вп+1 обозначается через -йп+ь В. Бурау [58] доказал, что элементы = . сг? . егу}2(Т]'-111 ^ ^ < 3 ^ п + 1> порождают группу крашеных кос 1Ип+1- Э. Артин [56] доказал, что подгруппа и= 1,71,(7 + 1) -чистых кос из -йп+1, порожденная элементами 52.^+1; • • ■} 1 является свободной, сами элементы 51^+1, $2,.7+1) • • •, Sjj+l — свободными образующими и^з = 1, п, а всякая крашеная коса из И„+1 однозначно представима в виде произведения чистых кос . где & еи{,г = Г¡га.

А. Г. Савушкина [49] описала центр группы крашеных кос Яп+1- Выяснилось, что он совпадает с центром группы Вп+\. В. Г. Бардаков [5] доказал, что извлечение корней в группе крашеных кос однозначно, откуда следует, что в Яп+\ только единичная коса сопряжена со своей обратной.

Под шириной вербальной подгруппы ср(С), определенной в группе С словом <£>, будем понимать наименьшее тп Е N^{+00} такое, что всякий элемент подгруппы (/9(С) записывается в виде произведения не более чем m значений слов tp±l. Подгруппу <p(G) будем называть собственной, если <p{G) ф 1 и tp(G) ф G.

Термин "ширина" введен Ю. И. Мерзляковым [39] в 1967 году, хотя ширина вербальных подгрупп исследовалась в более ранних работах. Так ширина вербальных подгрупп исследовалась в работах Шода (1936), Г. Хигмана, Б. Нейман и X. Нейман (1949), Н. Ито (1951), Ф. Холла (1959) и многих других авторов. Наиболее общий результат принадлежит Ю. И. Мерзлякову [38]: всякая вербальная подгруппа алгебраической группы G Ç GLn{yt), Г2 — алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подпол ем, имеет конечную ширину относительно любого слова (р. В других работах выбирались конкретные группы G, слова и давались оценки ширины <p(G).

Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v — xyx~ly~l. H. Ито [67] доказал, что при п >5 всякий элемент симметрической группы Sn является коммутатором. С. Ope [69] обобщил этот результат на группу подстановок счетного множества.

Проблема вычисления ширины симметрической и знакопеременной группы, а также линейной группы над конечным полем представляет интерес для криптографии [17].

Многие авторы изучали следующий вопрос: как меняется ширина вербальных подгрупп при различных групповых конструкциях, то есть если А и В — группы, G — группа, полученная из А и В при помощи некоторой групповой конструкции (свободное произведение с объединением, HNN - расширение и т. д.), то как выражается ширина p(G) через ширину ip(A) и ширину ср(В).

В этом направлении А. X. Ремтулла [70] доказал, что в нетривиальном свободном произведении А * В ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна тогда и только тогда, когда \А\ >3, \В\ >2.

В. Г. Бардаковым [3] показано, что в свободных произведениях с объединением А*иВ, где и — нормальная подгруппа в А и в В, а | А : 17\ >2, \В : и\ > 3. ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.

В работе Р. И. Григорчука [19] доказано,что для свободных произведений с объединением А *и В, где |А :: II| > 3, \В : £/| > 2, ширина всякой собственной вербальной подгруппы, определенной коммутаторным словом, бесконечна.

Автором в 2000 году получен следующий результат [82]: пусть (7 = А *и В. где \А : 11\ > 2 и в В существует такой элемент Ъ, что 11Ьи ф иЬ~ги, тогда ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.

В. А. Файзиев [64] в 2001 году доказал, что для свободных произведений с объединением А В, где \ А : 17\ > 2, |В :: 17\ > 3, ширина всякой собственной вербальной подгруппы бесконечна.

В. Г. Бардаковым [3] показано, что ширина собственной вербальной подгруппы для групп с одним определяющим соотношением и тремя образующими бесконечна. Распространить данный результат на группы с двумя порождающими и одним определяющим соотношением не удается, так как это неверно для групп С„ =< а, 1~1аЬ = о", п £ Ъ \ 0 >.

Р. И. Григорчук [19] доказал, что для НМАГ-расширений, где связные подгруппы являются собственными свободными подгруппами в базовой группе, ширина всякой собственной вербальной подгруппы, определенной коммутаторным словом, бесконечна.

В [3] доказана бесконечность ширины собственной вербальной подгруппы для .ЙТУТУ-расширений, где связные подгруппы отличны от базовой группы.

Ряд исследований связан с изучением ширины вербальных подгрупп в группах кос. Это результаты Н. Н. Репина [46], Ю. С. Семенова [50], В. Г. Дурнева [24, 25] и В. К. Шалашова [25]. В. Г. Бардаковым доказано [5], что группа кос с двумя и более образующими, а также многие группы Артина [4] не имеют собственных вербальных подгрупп конечной ширины.

Цель работы и научная новизна

Целью диссертации является решение ряда известных проблем комбинаторной теории групп.

К основным результатам диссертации можно отнести следующие результаты.

Доказана разрешимость проблемы сопряженности слов в группах Кокс-тера большого типа.

Доказана разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа.

Доказана теорема о разрешимости проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа.

В группах Кокстера экстрабольшого типа доказана разрешимость проблем степенной сопряженности слов и пересечения циклических подгрупп.

Доказано, что любая конечно порожденная подгруппа группы Кокстера экстрабольшого типа, не содержащая элементов конечного порядка, является свободной.

Доказана разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов в группах крашеных кос.

Доказаны нерезрешимость проблемы сопряженности подгрупп в группах крашеных кос Яп+1 (п > 4) и разрешимость данной проблемы в

11 группе крашеных кос Л3.

Решена проблема ширины собственной вербальной подгруппы в свободном произведении групп с объединением.

Получены следующие результаты, примыкающие к основным.

Доказано, что централизатор конечно порожденной подгруппы группы Кокстера большого типа есть конечно порожденная подгруппа и существует алгоритм, выписывающий образующие этого централизатора.

Доказано, что существует алгоритм, выписывающий образующие нормализатора любого конечного множества слов в группах Кокстера большого типа.

В группах Кокстера большого типа описаны элементы конечного порядка.

Доказано, что в группах Кокстера большого типа разрешима проблема корня.

Доказано, что если две подгруппы .#1 и Но из группы кос Вп сопряжены в Вр (р > ?г), то Н\ и Н2 сопряжены в Вп.

Доказана конечная порожденность нормализатора конечно порожденной подгруппы в прямом произведении двух свободных групп ранга 2.

Описаны нормализаторы специальных классов подгрупп в группе крашеных кос Д5.

Доказана разрешимость проблемы сопряженности конечно порожденных подполугрупп в группах Артина конечного типа.

Решена проблема построения нормализатора конечно порожденной подполугруппы в группах Артина конечного типа.

Рассмотрены вопросы пересечения нормализаторов конечного числа конечных множеств и подполугрупп в группах Артина конечного типа.

Доказана бесконечность ширины собственных вербальных подгрупп в некотором классе групп с двумя порождающими и одним определяющим соотношением, а также в некоторых Я^Д^Л^-расширениях, где хотя бы одна из связных подгрупп совпадает с базовой группой.

Исследована ширина вербальных подгрупп групп Артина с двумя образующими.

Все результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования

Проводимые в диссертации исследования базируются на комбинаторных и геометрических методах теории групп.

Практическая и теоретическая ценность

Работа иосит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в различных разделах теории групп. Развитые в диссертации вопросы важны для дальнейших исследований алгоритмических проблем в группах. Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Аппробация работы

Результаты работы докладывались на:

Х-й Всесоюзной конференции по математической логике (Алма-Ата, 1990 г.); семинаре под руководством М. М. Лесохина (ЛГУ, 1991 г.); алгебраическом семинаре под руководством А. Л. Шмслькина, А. Ю. Ольшанского (МГУ, 1996 г.);

Ш-й международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее применения" (ТГПУ, 1996 г.);

У-ой международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"(ТГПУ, 2003 г.); открытом научном семинаре "Кольца и модули" под руководством С. А. Пттхтилькова с участием А. В. Михалева, В. Н. Латышева, В. Н. Чубарикова (ТГПУ, 2005 г.); международной алгебраической конференции, посвященной 100 - летию со дня рождения А. Г. Куроша (МГУ, 2008 г.); ежегодной международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики"(ТулГУ, 2000, 2005-2009 г. г.);

Тульском городском научном семинаре по теории групп под руководством В. Н. Безверхнего (1990-2009 г.г.); расширенном заседании Тульского городского научного семинара по теории групп под руководством В. Н. Безверхнего с участием А. Л. Шмелькииа; научно-исследовательском семинаре по алгебре кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова (2009 г.).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в работах [73] - [100]. Объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, восемнадцати разделов и списка литературы из 100 наименований. Диссертация содержит 230 страниц машинописного текста.

1. Адян С. И. Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем в теории групп // Труды Московского математического общества.- 1957. Т. 6. - С. 231-298.

2. Акименков А. М. О подгруппах группы кос В± // Математические заметки. 1991. - Т. 50, №6. - С. 3-13.

3. Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций /'/' Алгебра и логика. — 1997. — Т.Зб, №5. — С. 494-517.

4. Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Артина, групповые и метрические свойства отображений // Сборник работ, поев, памяти Ю. И. Мерзлякова. — Новосибирск, 1995. — С. 8-18.

5. Бардаков В. Г. К теории групп кос // Математический сборник.- 1992. Т. 183, №6. - С. 3-42.

6. Безверхний В. Н. Неразрешимость проблемы вхождения в группах Артина конечного типа // Сибирский математический журнал. — 1985.- Т. 23, №5. С. 27-42.

7. Безверхний В. Н. О нормализаторах элементов в С(р)&Т(д)-группах // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1994. — С. 4-58.

8. Безверхний В. Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. — Т. 5, №1. — С. 1-39.

9. Безверхний В. Н. Решение проблемы обобщенной сопряжённости слов в С(р)&Т(д)-группах // Известия Тульского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 1998. — Т. 4, №3. — С.5-13.

10. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе НА^-групп // Алгоритмические проблемы теории группи полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1983. — С. 50-80.

11. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. I, II // Современная алгебра. — 1977. — № 6. С. 16-32.

12. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности слов некоторых классах групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1990. — С. 103-152.

13. Безверхняя И. С. О сопряженности конечных множеств подгрупп в свободном произведении групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1981. С. 102-106.

14. Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Коксетера // Математика: Сб. переводов. — 1974. — № 6. — С. 56-79.

15. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. — М.: Мир, 1972.

16. Гарсайд Ф. Группа кос и другие группы // Математика: Сб. переводов. 1970. - №4. - С. 113-132.

17. Глухов М. М., Зубов А. Ю. О длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих // Математические вопросы кибернетики. — 1999. — №8. — С. 5-32.

18. Горин Е. А., Лин В. Я. Алгебраические уравнения с непрерывными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической теории кос // Математический сборник. — 1969. — Т. 79, № 4. — С. 579-610.

19. Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций // Математические заметки. — 1996. — Т. 59, №4. — С. 546-550.

20. Гринблат В. А. О нормализаторах групп Артина // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборникнаучных трудов. — Тула, 1981. — С. 82-94.

21. Гриндлингер М. Д. Сопряженность подгрупп свободной группы // Сибирский математический журнал. — 1970. — Т. 11. — С. 1178-1180.

22. Громов М. JI. Гиперболические группы. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

23. Гурзо Г. Г. О централизаторах конечных множеств элементов группы кос // Математические заметки. — 1985. — Т. 37, № 1. — С. 3-6.

24. Дурнев В. Г. О ширине коммутанта групп кос и В4 // Деп. в ВИНИТИ. 1987. - №4040-В87.

25. Дурнев В. Г., Шалашов В. К. О ширине коммутанта групп кос иБ4// 19-я Всесоюзная алгебраическая конференция. — Львов, 1987. — С. 89.

26. Зинде В. М. Коммутанты групп Артина // Успехи математических наук. 1975. - Т. 30, №5. - С. 207-208.

27. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1974.

28. Клейн Ф. Высшая геометрия. — M.-JL: ГОНТИ, 1939.

29. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 10-е издание. — Новосибирск, 1986.

30. Лин В. Я. Косы Артина и связанные с ними группы и пространства // Алгебра, топология, геометрия. — 1979. — Т. 17. — С. 159-227.

31. Линдон Р., Шуп П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980.

32. Лысенок PL Г. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Известия АН СССР. Сер. матем. — 1989. — Т. 53, №4. С. 814-832.

33. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. — М.: Наука, 1974.

34. Макании Г. С. О нормализаторах группы кос // Математический сборник. 1971. - Т. 86, №-2. - С. 171-179.

35. Маканин Г. С. Проблема сопряженности в группе кос // Доклады АН СССР. 1968. -- Т. 182, № 3. - С. 495-496.

36. Маканина Т. А. Об одной системе уравнений в группе кос // Известия высших учебных заведений: Математика. — 1986. — № 9. — С. 58-62.

37. Марков А. А. Основы алгебраической теории кос // Труды Математического института АН СССР. — 1945. — Т. 16. — С. 1-53.

38. Мерзляков Ю. И. Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп // Алгебра и логика. 1967. - Т. 6, №1. - С. 83-94.

39. Мерзляков Ю. И. Рациональные группы. — М.: Наука, 1987.

40. Михайлова К. А. Проблема вхождения для прямых произведений групп // Математический сборник. — 1966. — Т. 70, № 2. — С. 241-251.

41. Молдаванский Д. И. Сопряженность подгрупп свободной группы // Алгебра и логика. — 1969. — Т. 8, №6. — С. 691-694.

42. Молдаванский Д. И. Сопряженность подгрупп свободного произведения групп // Уч. записки Ивановского гос. пед. института. — 1972. С. 123-135.

43. Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества в теории групп // Труды МИАН СССР. — 1955. — Т. 44. — С. 3-143.

44. Ольшанский А. Ю. вС^ универсальность гиперболических групп // Мат. сборник. - 1995. - Т. 186, №8. - С. 119-132.

45. Ремесленников В. Н. Сопряженность подгрупп в нильпотентных группах // Алгебра и логика. — 1967. — Т. 6, №2. — С. 61-76.

46. Репин Н. Н. О коммутаторных уравнениях в группах иВ4. // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1986. — С. 114-117.

47. Романьков В. А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп // Алгебра и логика. — 1982. Т. 21, №1. — С. 60-72.

48. Смирнова Е. Г. Ширина степени свободной пилыютентной группы ступени два // Сибирский математический журнал. — 2000. — Т. 41, №1. С. 206-213.

49. Савушкина А. Г. Центр группы крашеных кос // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 1996. — №1.- С. 32-36.

50. Семенов Ю. С. О коммутаторах в группах кос // 10-й Всесоюзный симпозиум по теории групп. — Минск, 1986. — С. 207.

51. Стынтнев В. Б. К вопросу о сопряженности кос // Математические заметки. 1990. - Т. 47, № 2. - С. 108-114.

52. Трубицын Ю. Э. О нормализаторах конечных множеств в группах Артина конечного типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1986. — С. 62-65.

53. Appel К. One Artin groups and Coxeter groups of large type // Contemp. Math. 1984. - N 33. - P. 50-78.

54. Appel K., Schupp P. Artins groups and infinite Coxter groups // I vent. Math. 1983. - V. 72. - P. 201-220.

55. Artin E. Theorie der Zopfe // Abh. math. Semin. Univ. Hamburg.- 1925. V. 4. - P. 47-72.

56. Artin E. Theory of braids // Ann. Math. 1947. — V. 48. - P. 101-126.

57. Birman J.S. Braids, links and mapping class groups // Ann. Math. Stud. 1974. - N82.

58. Burau W. Uber Zopfmvarianten // Abh. math. Seim. Univ. Hamburg.- 1932. -V. 9. P. 117-124.

59. Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. 1934. - V. 35. - P. 588-G21.

60. Coxeter H. S. M. The complete enumeration of finite groups of the form /'/ J. Lond. Math. Soc. 1935. - V. 10. - P. 21-25.

61. Chow W. L. On the algebraical braid group // Ann. Math. — 1948.- V. 49, N3. P. 654-658.

62. Delinge P. Les immeubles des groupes de tresses generalisses // Invent, math. 1972. - V. 17. N 4. - P. 273-302.

63. Dehn M. Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen // Math. Annal.- 1912. V. 71. - P. 116-144.

64. Faiziev V. A. A problem of expressibility in some amalgamated products of groups // J. Austral. Math. Soc. 2001. — V. 71. - P. 105-115.

65. Fricke R., Klein E. Vorlessungen über die Theorie der automorphen Function. Bd I. Die gruppentheoretichen Grundlagen. Teubner. Leipzig, 1897 // Johnson Repr. Copr. — 1965. N 4.

66. Hurwitz A. Uber Riemannsche Flashen mit gegebenen Vcrzweigunds punkten // Math. Ann. 1891. — V. 39. — P. 1-61.

67. Ito N. A. A theorem of alternating group An (n > 5) // Math. Japon.- 1951. V. 2, N2. - P. 59-60.

68. Kapovich I., Schup P. Bounded rank subgroups of Coxeter groups, Artin groups and one-relator groups with torsion / / London Math. Soc. — 2004. V. 88. - P. 89-113.

69. Ore S. Some remarks on commutators // Proc. Amer. Math. Soc. — 1951. V. 2. - P. 307-314.

70. Rhemtulla A. H. A problem of bounded expressibility in free products // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1968. - V. 64, N3. - P. 573225

71. Schupp P. Coxeter Groups, 2-Completion, Perimeter Reduction and Subgroup Separability. // arXiv math. GR/0203020. 2002. - V. 1. — P. 1-21.

72. Tits J. Groupes simples et geometries associees // Proc. Int. Congress Math. Stocholm. 1962. - P. 197-221.

73. Добрынина И. В. О нормализаторах в группах Артипа конечного типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1990. — С. 156-163.

74. Добрынина И. В. О нормализаторах в группах Артина конечного типа // X Всесоюзная конференция по математической логике. — Алма-Ата, 1990. С. 61.

75. Добрынина И. В. О нормализаторах подгрупп в группе кос // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 1991. — С. 138-144.

76. Добрынина И. В. О сопряженности подгрупп в группах кос // Третья Международная конференция по алгебре. — Красноярск, 1993. С. 111.

77. Добрынина И. В. О неразрешимости проблемы сопряженности подгрупп в группе крашеных кос Rn+i(n > 5) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. Тула, 1994. - С. 62-70.

78. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О неразрешимости проблемы сопряженности подгрупп в группе крашеных кос R& // Математические заметки. 1999. - Т. 65, № 1. - С. 15-22.

79. Добрынина И. В. О ширине вербальных подгрупп в некотором классе групп // Международный семинар "Универсальная алгебра и ее приложения". — Волгоград, 1999. — С. 28.

80. Добрынина И. В. Проблема конечной ширины в одном классе групп // Сборник научных работ профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов ТГПУ им. Л. Н. Толстого. — 1999. — С. 194-195.

81. Добрынина И. В. К вопросу о ширине в свободном произведении с объединением // Известия Тульского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. — Т. 5, №1. - С.114-115.

82. Добрынина И. В. О ширине в свободных произведениях с объединением // Математические заметки. — 2000. — Т. 68, №3. — С. 353-359.

83. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О ширине в одном НЫМ-расширении // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. А4ежвузовский сборник научных трудов. — Тула, 2001. — С. 69-78.

84. Добрынина И. В., Безверхний В. Н. О ширине в некотором классе групп с двумя порождающими и одним определяющим соотношением // Труды института математики и механики УрО РАН. — 2001. — Т. 7, №2. С. 95-102.

85. Безверхпий В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы конечной ширины в группах Артина с двумя образующими /'/ Чебышевский сборник. 2002. - Т. 3, № 1 (3). - С. 11-16.

86. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О нормализаторах некоторых классов подгрупп в группах кос // Математические заметки. — 2003. — Т. 74, №1. С. 19-31.

87. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Об элементах конечного порядка в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2003. — Т. 9, №1.- С. 13-22.

88. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О проблеме корня в группах Кокстера большого типа // V международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". — Тула, 2003. — С. 41-42.

89. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2004. - Т. 10, №1. - С. 23-37.

90. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы слабой степенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика.- 2004. Т. 10, №1. - С. 38-46.

91. Безверхний В. И., Добрынина И. В. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Дискретная математика. 2005. - Т. 17, №3. - С. 123-145.

92. Добрынина И. В. О подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа // Чебышевский сборник. — 2008. — Т. 9, № 1 (25). — С. 9-15.

93. Добрынина И. В. О тождествах в группах Кокстера экстрабольшого типа // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша. — Москва, 2008. — С. 85.

94. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Кокстера экстрабольшого типа // Дискретная математика. 2008. - Т. 20, №3. - С. 101-110.

95. Добрынина И. В. О проблеме свободы в группах Кокстера экстрабольшого типа // Фундаментальная и прикладная математика. — 2008.- Т. 14, №8. С. 101-116.

96. Добрынина И. В. О тождествах в группах Артина экстрабольшого типа и Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. — 2009.- №3. С. 5-11.

97. Добрынина И. В. Решение проблемы ширины в свободных произведениях групп с объединением // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. - Т. 15, №1. - С. 23-30.

98. Добрынина И. В. О некоторых диаграммах групп Кокстера большого типа // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. — 2009.- №3. С. 12-23.