Кокстеровские разбиения гиперболических многогранников тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

1. Общие свойства кокстеровских разбиений неевклидовых симплексов

1. Фундаментальный многогранник.

2. Индуктивная процедура для симплексов.

2. Разбиения гиперболических многоугольников

1. Гиперболические треугольники.

1.1. Разбиения треугольников с неразрезанными углами.

1.2. Разбиения треугольников, имеющие разрезанный угол

2. Гиперболические четырехугольники

2.1. Свойства кокстеровских разбиений четырехугольников

2.2. Индуктивная процедура для четырехугольников

3. Идеальные гиперболические многоугольники.

3.1. Классификация минимальных разбиений

3. Разбиения сферических симплексов с неразрезанными двугранными углами

1. Кокстеровские разбиения и подсистемы в системах корней.

2. Разбиения с фундаментальным симплексом Вп, или Н4.

4. Разбиения гиперболических симплексов

1. Разбиения симплексов с неразрезанными двугранными углами.

1.1. Свойства разбиений с неразрезанными двугранными углами.

1.2. Трехмерные разбиения симплексов с неразрезанными двугранными углами.

1.3. Разбиения симплексов размерности > 4 с неразрезанными двугранными углами.

2. Простые разбиения гиперболических симплексов, имеющие разрезанный двугранный угол.

5. Разбиения пирамид и треугольных призм

1. Разбиения пирамид.

1.1. Фундаментальный многогранник.

1.2. Алгоритм поиска разбиений пирамид.

2. Разбиения треугольных призм.

2.1. Фундаментальный многогранник.

2.2. Разбиения призм, в которых фундаментальным многогранником является треугольная призма

2.3. Разбиения призм, в которых фундаментальным многогранником является тетраэдр

2.4. Алгоритм поиска разбиений треугольных призм.

Таблицы.

1. Многоугольники.

1.1. Гиперболические треугольники.

1.2. Гиперболические четырехугольники.

1.3. Идеальные гиперболические многоугольники

2. Сферические симплексы с неразрезанными двугранными углами.

3. Гиперболические симплексы.

3.1. Кокстеровские разбиения гиперболических симплексов, имеющие разрезанный двугранный угол.

3.2. Гиперболические симплексы с неразрезанными двугранными углами.

4. Пирамиды и треугольные призмы.

Пусть Хп — п-мерное евклидово пространство Ж1", п-мерная сфера 5*п или п-мерное гиперболическое пространство Шп. Пусть Е Е Xй — выпуклый многогранник, ограниченный гипергранями /1,.,/то. Многогранник Е называется многогранником Кокстера, если двугранный угол между любой парой смежных гиперграней /г- и /7- имеет вид —, где пц > 2, п^ Е Z.

Пусть Гр — группа движении пространства Хп, порожденная отражениями гх,.,гт относительно гиперграней /1,.,/га многогранника Известно, что если Е — многогранник Кокстера, то группа IV дискретна, и многогранник ^ является ее фундаментальной областью. Иными словами, многогранники 77 6 Г^, попарно не имеют общих внутренних точек и покрывают пространство Хп. При этом группа Г/? задается следующими образующими и определяющими соотношениями:

IV =< гь .,гш | гг2 = (г,т,)п<' = е > .

Здесь Пц = пц, Пц > 2, п^ Е Для несмежных граней /г- и fj удобно считать, что п^ =оо и что соотношение отсутствует.

Абстрактная группа с отмеченной системой образующих и определяющих соотношений вида (*) называется группой Кокстера. Группа Кокстера определяется своей схемой Кокстера, представляющей собой граф с т вершинами, в котором г-тая и ^'-тая вершины при пц < оо соединяются либо (п^ — 2)-кратным ребром, либо простым ребром с отметкой п^-, а при п^ = оо соединяются жирным ребром. Как показано Ж.Титсом в [14], любая группа Кокстера с конечным числом образующих может быть представлена в виде группы проективных преобразований, порожденной отражениями и дискретно действующей в некоторой области проективного пространства. Мы ограничимся рассмотрением групп Кокстера, имеющих представление в пространстве постоянной кривизны 1Еп, 5П или Шп с фундаментальным многогранником конечного объема.

Гиперплоскости, содержащие гиперграни многогранников 7Р, 7 € Г]?, называются зеркалами отражений группы Гр. Пусть Р — выпуклый многогранник в пространстве Хп, ограниченный зеркалами отражений группы Гр. Тогда многогранники 7Р, 7 Е / Е Гр (где / — некоторое конечное подмножество элементов группы IV), образуют разбиение многогранника Р.

Определение 1. Кокстеровским разбиением выпуклого многогранника называется такое его разбиение на конечное число кокстеровских многогранников, что любые два многогранника разбиения, имеющие общую гипергранъ, симметричны друг другу относительно нее.

Ясно, что всякое кокстеровское разбиение получается описанным выше способом.

Пусть Гр — группа, порожденная отражениями относительно гиперграней многогранника Р, допускающего кокстеровское разбиение с фундаментальным многогранником Р. Ясно, что Гр — подгруппа конечного индекса группы Гр (возможно, совпадающая с Гр). С другой стороны, любая подгруппа Г конечного индекса в группе Гр, порожденная отражениями, порождается отражениями относительно гиперграней некоторого многогранника Коксте-ра П. Ясно, что И состоит из нескольких многогранников 7Р, 7 Е / Е Гр (где I — некоторое конечное подмножество элементов группы Гр), образующих кокстеровское разбиение многогранника Р. Таким образом, классификация кокстеровских разбиений многогранников Кокстера равносильна отысканию в группах Коксте-ра всех подгрупп конечного индекса, порожденных отражениями.

Многограннику Р, допускающему кокстеровское разбиение с фундаментальным многогранником Р, соответствует не только подгруппа Гр группы Гр, но и конкретный набор образующих этой подгруппы. Если многогранник Р не является кокстеровским и группы Тр и Гр совпадают, то многограннику Р соответствует нестандартный набор образующих в группе Кокстера Тр. Общая задача классификации кокстеровских разбиений является объединением двух задач: отыскания в группах Кокстера нестандартных образующих отражений и классификации всех подгрупп конечного индекса, порожденных отражениями.

Наличие кокстеровского разбиения многогранника Р эквивалентно дискретности группы Гр, порожденной отражениями относительно гиперграней многогранника Р. Действительно, если группа Гр дискретна, то многогранник Р разбит на фундаментальные многогранники группы Гр, причем это разбиение является кокстеровским (ввиду того, что группа Гр порождена отражениями). С другой стороны, если многогранник Р допускает кокстеровское разбиение с фундаментальным многогранником то группа Гр дискретна, как подгруппа дискретной группы Гр.

Впервые задача о кокстеровских разбиениях была рассмотрена Шварцем в 1873 г. в связи с исследованием гипергеометрических функций — в [13] перечислены сферические треугольники, для которых группа Гр дискретна.

Задача о кокстеровских разбиениях сферических многогранников Кокстера связана с изучением подалгебр в полупростых алгебрах Ли. В [3] Дынкин ввел понятие регулярной подалгебры полупростой алгебры Ли С, как подалгебры, имеющей базис из элементов некоторой картановской подалгебры Н алгебры и корневых векторов алгебры С относительно Н. Далее Дынкиным перечислены регулярные подалгебры полупростых алгебр Ли, или, что то же самое, подсистемы корней в системах корней. Каждая подсистема корней в системе корней соответствует подгруппе, порожденной отражениями, в конечной группе, порожденной отражениями. Таким образом, каждая регулярная подалгебра полупростой алгебры Ли соответствует некоторому кокстеровскому разбиению сферического симплекса Кокстера.

В [6] показано, что каждому классу сопряженных элементов в группе Вейля можно сопоставить набор корней, ортогональных гиперграням некоторого некокстеровского сферического симплекса. Ясно, что такой симплекс допускает кокстеровское разбиение, и следовательно, классам сопряженных элементов в группе Вейля соответствуют некоторые кокстеровские разбиения сферических симплексов. Далее эти же кокстеровские разбиения появляются при изучении классов нильпотентных элементов в полупростой аффинной алгебраической группе над алгебраически замкнутым полем [7], и в простой присоединенной алгебраической группе над алгебраически замкнутым полем ([4] и [5]).

Настоящая диссертация посвящена изучению кокстеровских разбиений многогранников в гиперболическом пространстве Шп.

Одним из возможных приложений кокстеровских разбиений гиперболических многогранников являются алгебры Каца — Муди. Как и в алгебрах Ли, в них можно ввести понятие регулярных подалгебр, соответствующих подгруппам, порожденным отражениями, в бесконечных группах Кокстера, действующих в гиперболическом пространстве.

Задача о кокстеровских разбиениях гиперболических многоугольников неоднократно возникала в связи с решением других задач. В [10] и [11] некоторые кокстеровские разбиения гиперболических треугольников получены в связи с решением задачи о классификации двупорожденных фуксовых групп. В [12] некоторые разбиения гиперболических треугольников появились при изучении групп, действующих дискретно в комплексном шаре В1. В [9] решена задача о классификации двупорожденных подгрупп групи 2 пы изометрии пространства Ш , содержащих элементы, обращающие ориентацию. При этом перечислены все кокстеровские разбиения треугольников и найдены все такие кокстеровские разбиения четырехугольников, что четырехугольник имеет разрезанный угол, и группа, порожденная отражениями относительно сторон фундаментального многоугольника, содержит центральную симметрию, сохраняющую разбиение.

Общая задача отыскания всех кокстеровских разбиений всех многогранников не представляется обозримой. Поэтому приходится ограничиться рассмотрением простейших комбинаторных типов многогранников.

В настоящей диссертации изучены кокстеровские разбиения симплексов в гиперболическом пространстве Ж", четырехугольников в Ш2, идеальных многоугольников в Ж2, ограниченных пио рамид и ограниченных треугольных призм в Ш , а также некоторые разбиения сферических симплексов.

Основные определения и обозначения

Многогранники разбиения из определения 1 называются фундаментальными. Любые два фундаментальных многогранника, очевидно, конгруэнтны. Плоскость а, содержащая гипергрань какого-нибудь фундаментального многогранника, называется зеркалом разбиения, если а не содержит гиперграни многогранника Р.

Определение 2. Пусть задано кокстеровское разбиение многогранника Р. Двугранный угол многогранника Р, образованный гипергранями а и /3, будет называться неразрезанным, если грань а П ¡3 не принадлежит ни одному зеркалу.

Кокстеровское разбиение определено внутри многогранника Р. Но любое кокстеровское разбиение может быть продолжено до кокстеровского разбиения всего пространства Хп (за определение кокстеровского разбиения пространства можно принять определение для многогранников без условия конечности числа многогранников разбиения). Зеркалом разбиения пространства будем называть любую плоскость, содержащую грань какого-нибудь фундаментального многогранника.

Под "многогранниками" далее будем иметь ввиду многогранники, ограниченные зеркалами кокстеровского разбиения пространства Хп. Под словами "грань многогранника" будем понимать гипергрань.

Обозначения:

Р - многогранник, допускающий кокстеровское разбиение. Р - фундаментальный многогранник.

N - число фундаментальных многогранников, содержащихся внутри Р.

Разбиение будет называться нетривиальным, если N > 1. Двугранный угол многогранника (или угол многоугольника), разбитый на к частей величины ^ каждая, обозначается

Для типов сферических и евклидовых симплексов Кокстера будут использованы стандартные обозначения Ап, Ап, ВП1 ВП1 Сп, Обозначения для гиперболических симплексов Кокстера введены в таблицах 14 — 18.

Нумерация теорем и таблиц сквозная, нумерация лемм и рисунков подчинена нумерации глав.

Основные результаты

Первая глава посвящена общим свойствам кокстеровских разбиений симплексов. Результаты этой главы носят вспомогательный характер. В частности, в лемме 1.2 доказано, что фундаментальный многогранник разбиения гиперболического симплекса является симплексом. Далее, введены понятия композиции кокстеровских разбиений и простого кокстеровского разбиения:

Определение 3. Пусть существуют разбиение 0(-Р, Р) многогранника Р с фундаментальным многогранником Р и разбиение 01 {Т,Р) многогранника Р с фундаментальным многогранником Т, причем каждое зеркало разбиения ©ДТ, Р) является зеркалом разбиения 0(.Р, Р). Тогда разбиение ©(Р,Р) называется композицией разбиений ©\(Т,Р) и 6(-Р,Т); где 6(.Р,Г) — ограничение разбиения Р) на симплекс Т. Нетривиальное разбиение будет называться простым., если оно не является композицией никаких двух нетривиальных разбиений.

В разделе 1.2 получена индуктивная процедура нахождения простых разбиений симплексов, имеющих разрезанный двугранный угол. В лемме 1.6 доказано, что любое простое разбиение симплекса, имеющее разрезанный двугранный угол, может быть найдено с помощью вышеуказанной индуктивной процедуры.

Во второй главе исследуются кокстеровские разбиения гиперболических треугольников, четырехугольников и идеальных многоугольников. В разделах 2.1 и 2.2 доказаны теоремы:

Теорема 1. Все нетривиальные кокстеровские разбиения гиперболических треугольников перечислены в таблице 1.

Теорема 2. Все нетривиальные кокстеровские разбиения гиперболических четырехугольников перечислены в таблицах 2-11.

Теорема 1 следует из леммы 1.2 диссертации и леммы 2.6 работы [9]. Для полноты изложения мы приводим другое доказательство теоремы 1.

В разделе 2.3 изучены кокстеровские разбиения идеальных многоугольников (т.е. многоугольников, все вершины которых лежат на абсолюте). Введено определение:

Определение 4. Нетривиальное кокстеровское разбиение идеального многоугольника Р будет называться минимальным, если оно удовлетворяет двум условиям:

1) никакая диагональ многоугольника Р не является зеркалом разбиения;

2) либо фундаментальный многоугольник является треугольником, либо фундаментальный многоугольник является четырехугольником ровно с двумя соседними идеальными вершинами; либо фундаментальный многоугольник Р не имеет пары соседних идеальных вершин.

Кроме того, введены операции склеивания и раздутия коксте-ровских разбиений идеальных многоугольников, и показано, что любое кокстеровское разбиение идеального многоугольника можно получить из некоторого минимального разбиения с помощью этих операций. Основным результатом раздела 2.3 является классификация минимальных разбиений идеальных многоугольников:

Теорема 3. Все минимальные разбиения идеальных гиперболических многоугольников перечислены в таблице 12.

В третьей главе изучены кокстеровские разбиения сферических симплексов с неразрезанными двугранными углами. Введено определение:

Определение 5. Кокстеровское разбиение сферического симплекса называется неразложимым, если схема Кокстера фундаментального многогранника связна.

В лемме 3.1 доказано, что любое кокстеровское разбиение сферического симплекса является прямым произведением неразложимых разбиений. Основным результатом третьей главы является следующая теорема:

Теорема 4. Нетривиальное неразложимое кокстеровское разбиение сферического симплекса Р с неразрезанными двугранными углами и фундаментальным симплексом Р однозначно определяется парой (I*1, Р). Все такие пары перечислены в таблице 21.

При доказательстве теоремы 4 существенно использован список регулярных подалгебр полупростых алгебр Ли, полученный Е.Б.Дынкиным в [3]. Для случая Р = Ап, Е7 или Е& оказалось достаточным среди регулярных подалгебр алгебр Ап, ВП1 Еъ Е8 выбрать подалгебры полного ранга. Кокстеровские разбиения с неразрезанными углами и фундаментальным симплексом типа ^4, Щ или пришлось исследовать другим методом ввиду следующих причин: 1) подсистема корней в системе корней типа Вп или может привести к кокстеровскому разбиению с разрезанными двугранными углами; 2) подгруппе, порожденной отражениями, в группе, порожденной отражениями относительно граней симплексов Вп и 1<4, может не отвечать подсистема корней; 3) группам, порожденным отражениями в гранях симплексов типа Я3 и #4, не соответствует никакая система корней.

В четвертой главе решена задача о классификации коксте-ровских разбиений гиперболических симплексов размерности > 3:

Теорема 5. Все нетривиальные простые кокстеровские разбиения гиперболических симплексов размерности > 3, имеющие разрезанный двугранный угол, перечислены в таблицах 19 и 20.

Теорема 6. Нетривиальное кокстеровское разбиение гиперболического симплекса Р размерности > 3 с неразрезанными двугранными углами и фундаментальным симплексом Р однозначно определяется парой (.Р, Р). Все такие пары перечислены в таблице 21.

При доказательстве теоремы 5 использована индуктивная процедура, описанная в разделе 1.2.

В пятой главе изучены кокстеровские разбиения ограниченных пирамид и ограниченных треугольных призм в гиперболиО ческом пространстве Ш . В лемме 5.2 доказано, что фундаментальный многогранник кокстеровского разбиения ограниченной пирамиды является тетраэдром. В лемме 5.6 доказано, что фундаментальный многогранник кокстеровского разбиения ограниченной треугольной призмы является тетраэдром или треугольной призмой.

Теорема 7. Все кокстеровские разбиения ограниченных треугольных призм, в которых фундаментальный многогранник является треугольной призмой, перечислены в таблице 22.

В разделах 5.1.1.2 и 5.2.2.4 индуктивная процедура, описанная в разделе 1.2, обобщена на случай разбиений пирамид и призм, в которых фундаментальный многогранник является тетраэдром. С помощью полученной индуктивной процедуры доказана теорема:

Теорема 8. Все кокстер о в ские разбиения ограниченных пирамид и ограниченных треугольных призм, в которых фундаментальный многогранник является тетраэдром, перечислены в таблице 23.

Таблицы, содержащие основные результаты диссертации, собраны в разделе „Таблицы".

Приложение 1 содержит текст программы, реализующей индуктивную процедуру построения простых кокстеровских разбиений симплексов, имеющих разрезанный двугранный угол.

Приложение 2 содержит текст программы, реализующей индуктивную процедуру построения кокстеровских разбиений ограниченных гиперболических пирамид и ограниченных треугольо ных призм в Ш .

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н. профессору Э. Б. Винбергу и к.ф.-м.н. доценту О. В. Шварцману за постановку задач, полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе. Автор также благодарит Б. А. Феликсона и А. В. Иншакова за помощь в написании программ.

1. Е. М. Андреев, О пересечении плоскостей граней многогранников с острыми углами. Мат. заметки, 1970, 8, п 4, 521-527.

2. Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман, Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления, 1988, 29, 147-259.

3. Е. Б. Дынкин. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли. Матем. сб. нов. сер., 1952, т.ЗО, вып.2, 349-462.

4. P. Bala, R. W. Carter. Classes of unipotent elements in simple algebraic groups. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1976, v. 79, No 3, 1-18.

5. P. Bala, R. W. Carter. Classes of unipotent elements in simple algebraic groups II. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1976, v. 80, No 1, 401-425.

6. R. W. Carter. Conjugacy classes in the Weyl group. Compositio Math, 1972, v.25, No 1, 1-59.

7. R. W. Carter, G. B. Elkington. A note on the parameterization of conjugacy classes. J. Algebra, 20 (1972), 350-354.

8. N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz. The size of a hyperbolic Coxeter simplex, Transformation Groups, Vol.4, No 4, 1999, 329-353.

9. E. Klimenko, М. Sakuma. Two-generator discrete subgroups of Isom(H.2) containing orientation-reversing elements, препринт, 1995.

10. A. W. Knapp. Doubly generated Fuchsian groups, Mich. Math. J. 1968, v 15, 289-304.

11. J. P. Matelski. The classification of discrete 2-generator subgroups of PSL2(R), Israel J. Math, 1982, 42, 309-317.

12. G. D. Mostow. On discontinuous action of monodromy groups on the complex n-ball, J. of the AMS, 1988, v.l n 3, 555-586.

13. H. A Schwarz. Uber diejenige Fälle in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algeraische Function ihres viertes dementes darstellt, Crelle's J. 1873, v 75, 292-335.

14. J. Tits, Groups et geometries de Coxeter, Notes polycopiees Instituto des Hautes Etudes Scientifiques, Paris, 1961.Публикации автора по теме диссертации

15. А. Феликсон. Кокстеровские разбиения гиперболических симплексов. Рукопись деп. в ВИНИТИ No 2525-В 2001, 46 с.

16. А. Феликсон. Кокстеровские разбиения сферических симплексов с неразрезанными двугранными углами. Успехи мат. наук, т. 57, вып. 2, 2002, с. 191-192.

17. А. Феликсон. Кокстеровские разбиения многогранников. Тезисы трудов международного алгебраического семинара, посвященного 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре, основанного О. Ю. Шмидтом в 1930 г. — 2000, с. 56.