Аналитические методы в теории объемов многогранников в неевклидовой геометрии

Байгонакова, Галия Аманболдыновна

Аналитические методы в теории объемов многогранников в неевклидовой геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Байгонакова, Галия Аманболдыновна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Горно-Алтайск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Аналитические методы в теории объемов многогранников в неевклидовой геометрии»

Автореферат диссертации на тему "Аналитические методы в теории объемов многогранников в неевклидовой геометрии"

На правах рукописи

Байгонакова Галия Аманболдыновна

Аналитические методы в теории объемов многогранников в неевклидовой геометрии

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 НОЯ ¿013

Томск - 2013

005537065

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «ГорноАлтайский государственный университет», на кафедре математического анализа

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Медных Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты:

Родионов Евгений Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный университет», кафедра математического анализа, профессор Гулько Сергей Порфирьевич, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», кафедра теории функций, заведующий кафедрой

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное

Защита состоится 28 ноября 2013 года в 16.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.21, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, II уч. корпус, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан октября 2013 года.

Ученый секретарь Малютина

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет», г. Красноярск

диссертационного совета

Александра Николаевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Римановы поверхности и их геометрические инварианты играют важную роль в современном комплексном анализе. Естественными трехмерными аналогами римановых поверхностей служат многообразия, моделируемые в неевклидовых геометриях. Важнейшим инвариантом указанных многообразий служит их объем. Для его нахождения каждое многообразие каноническим образом разбивается на многогранники. Вычисление объема многогранника - это классическая задача, известная со времен Евклида, не потерявшая актуальность в настоящее время.

Одним из актуальных направлений современного комплексного анализа является изучение пространства Тейхмюллера, образованного геометрическими структурами на заданной римановой поверхности. Это пространство зависит от конечного числа параметров и представляет собой многообразие с особенностями, которое в настоящее время принято называть коническим многообразием или орбифолдом. При этом, риманова поверхность разрезается на многоугольники с геодезической границей, длины сторон которых образуют в пространстве Тейхмюллера систему координат Фенхеля-Нильсена. Во многих случаях строение орбифолда описывается средствами элементарной евклидовой или неевклидовой геометрий, что и приводит к необходимости использования классических теорем в этой области. Доказательства многих из этих теорем в современной литературе отсутствуют. Восполнению указанных пробелов в диссертации отводится особое внимание.

Диссертационная работа посвящена развитию новых аналитических методов для вычисления объемов неевклидовых многогранников.

Отметим, что указанное направление активно развивается новосибирской геометрической школой ([1], [18], [Г] и т.д.). Изложенные ниже результаты могут быть также использованы и для вычисления объемов многогранников в пространствах постоянной кривизны ([1], [Г], [2*]). Существенную роль в вычислении объемов евклидовых многогранников сыграли работы И. X. Сабитова [7] и А. А. Гайфуллина [13]. В 1996 году И. X. Сабитов [7] доказал, что объем трехмерного евклидова симплициального многогранника есть корень алгебраического уравнения, коэффициентами которого являются многочлены, зависящие только от комбинаторного типа многогранника и длин его ребер. В 2011 году четырехмерный аналог этой теоремы был получен в работе А. А. Гайфуллина [13].

В гиперболическом и сферическом случаях ситуация является более сложной, формула объема для бипрямоугольного тетраэдра была известна со вре-

мен Н. И. Лобачевского [16]. Объемы куба Ламберта и некоторых других неевклидовых многогранников вычислены Э. Б. Винбергом [2]. Р. Келлерхальц [14], Я. 3. Моханти [21], Д. А. Деревниным, А. Д. Медных [12], А. Ю. Весниным [18], Дж. Паркером [19], М. Г. Пашкевич [5] и другими авторами. Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найдены Э. Б. Винбергом [2].

До последнего времени оставалась нерешенной классическая задача о вычислении объема произвольного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах. В 1999 году в работе Ю. Чо и X. Кима [И] была получена формула объема произвольного тетраэдра в виде суммы шестнадцати дило-гарифмических функций. Позже в 2005 году Дж. Мураками и У. Яно [22] также получили достаточно сложную формулу для вычисления объема произвольного тетраэдра. Более простое доказательство этой формулы, которое включает также объемы усеченных тетраэдров, было найдено А. Ушиджимой [24] в 2006 году. Элементарную интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра в 2004 году предложили Д. А. Деревнин, А. Д. Медных [4].

Известно, что если многогранник обладает симметрией, то формула его объема существенно упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским [16] для идеального гиперболического тетраэдра. Дж. Милнор [20] в 1982 году представил соответствующий результат в весьма простой форме. В общем случае объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах найден в работе Д. А. Дерев-нина, А. Д. Медных и М. Г. Пашкевич [5] в 2005 году. Объемы октаэдров, обладающих различными симметриями, и двойственных к ним гексаэдров в сферическом пространстве найдены Н. В. Абросимовым, М. Годой Молиной и А. Д. Медных [1].

Цель работы заключается в получении аналога формулы Милнора для случая идеального симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве; вычислении объема гиперболического октаэдра, обладающего ттт-симметрией; нахождении площади трапеции в сферическом случае; получении аналогов формулы Бретшнайдера в гиперболическом и сферическом случаях.

Методы исследований. Полученные основные результаты опираются на идеи и методы вещественного, комплексного и функционального анализа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: 1) доказан аналог формулы Милнора для идеального гиперболического октаэдра; 2) получены формулы объемов гиперболического октаэдра, обладающего ттт- симметрией; 3) найдена формула

площади сферической трапеции через длины ее сторон; 4) получено новое доказательство формулы Бретшнайдера для площади неевклидова четырехугольника.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Результаты диссертационного исследования носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами из области геометрии и комплексного анализа. Материалы диссертации могут быть применены при организации спецкурсов по дополнительным вопросам вещественного, комплексного и функционального анализа, предназначенных для магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: летних школах по геометрическому анализу (г. Горно-Алтайск, 2009, 2 - 8 августа 2010 г., 13 - 19 августа 2011 г., 11 - 19 августа 2012 г.); ХЫХ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 16 -20 апреля 2011 г.); Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19 - 26 июня 2011 г.); X Международной Казанской летней научной школе-конференции (г. Казань, 1-7 июля 2011 г.); X молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г. Казань, 31 октября -4 ноября 2011 г.); Ь юбилейной международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 13 -19 апреля 2012 г.); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске» (г. Новосибирск, 30 августа - 1 сентября 2012 г.); Международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае» (г. Барнаул, 20 - 23 ноября 2012 г.).

Результаты диссертации обсуждались на семинарах ведущих научно-исследовательских институтов и университетов: кафедры математического анализа Горно-Алтайского государственного университета под руководством д.ф.-м.н. А. В. Тетенова; отдела анализа и геометрии Института математики СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка; «Геометрия и топология и их приложения» Института математики СО РАН под руководством чл.-корр. А. Ю. Веснина; «Геометрическая теория функций» Института математики СО РАН под руководством чл.-корр. А. Ю. Веснина, проф. А. Д. Медных и проф. В. В. Асеева; кафедры математического анализа Алтайского государственного университета под руководством проф. Е. Д. Родионова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях журналов перечня ВАК и 10 тезисах международных и российских научных конференций. Вклад авторов в совместные работы ([1*]-[5*], [8*], [10*],

[14*]) равноценный.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 52 источников. Общий объем диссертации - 85 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, дается обзор научной литературы по изучаемой проблеме, излагается краткое содержание работы, формулируются основные результаты.

Первая глава диссертации посвящена вычислению объема идеального симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве.

В параграфе 1.1 изложена история данного вопроса из работы Дж. Мил-нора [20], где доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.1.1. Объем V идеального гиперболического тпетраэдраТ = Т(А, В, С) с двугранными углами А, В, С, (А + В + С = 7г) вычисляется по формуле:

V{T) = А{А) + А(В) + Л(С), где А(х) = — J* log |2sin£|d£ - функция Лобачевского.

Сформулируем следствие из данной теоремы.

Следствие 1.1.1. Максимальный объем V идеального гиперболического

7Г

тетраэдра достигается при А = В = С = — и равен:

V(T) = ЗЛ « 1.01494....

Целью первой главы является перенесение результатов работы [20] на случай идеального симметричного гиперболического октаэдра.

Пусть О - идеальный симметричный октаэдр в пространстве Н3 с попарно равными двугранными углами при противоположных ребрах, обозначим его двугранные углы через А, В, C,D,E и F, тогда объем октаэдра О определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Объем V гиперболического идеального симметричного октаэдра О с двугранными углами A, B,C,D,E и F равен:

■W + A + B + E^ + Л^тг -A-B + E^j +

V(0) = 2 (

+2 (Л(

тт + А — В — Е 2

) + Л(

тт-А + В- Е 2

где 0 < А, В, С, 0,Е,Е < тт.

Сформулируем полученное следствие из доказанной теоремы. Следствие 1.2.1. Максимальный объемУ идеального симметричного октаэдра достигается при А = В = С = 0 = Е = Р= — и равен:

Вторая глава диссертации посвящена вычислению объема октаэдра с mmm-симметрией в гиперболическом пространстве.

Рассмотрим гиперболический октаэдр О = 0{А, В, С), обладающий ттт-симметрией, то есть зеркальной симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих вдоль его реберных циклов, где А, В, С его двугранные углы. Обозначим через а, Ь, с соответствующие длины его ребер.

Отметим, что объем mmm-симметричного октаэдра в евклидовом и сферическом случаях был вычислен ранее. Далее приведем эти результаты. Так, в евклидовом случае известна следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.2.1. (Р. В. Галиулин, С. Н. Михалев, И. X. Сабитов) [3]. Пусть V - объем евклидова октаэдра 0(А,В,С), обладающего ттт- симметрией, с длинами ребер а, Ь, с, тогда величина V может быть найдена как положительный корень уравнения:

В сферическом случае известна следующая теорема. ТЕОРЕМА 2.2.2. (Н. В. Абросимов, А. Д. Медных и М. Годой Моли-на) [1]. Пусть О = 0(А, В, С) - сферический октаэдр, обладающий тптптп-симметрией, тогда объем V = У(О) задается выражением:

V(0) = 4Л «3.66386...

9V2 = 2(а2 + Ъ2 - с2)(а2 + с2 - Ь2)(Ь2 + с2 - а2).

2 ( arctanh(X cos г))--h

cosr

+2 ( arctanh(y cost) + arctanh(Zcosr) + arctanh(cosr))

COST

7Г

где X = cos A, Y = cos B, Z = cos С и 0 < в < — - корень уравнения:

В данной главе эти результаты распространяются на гиперболический случай. В параграфе 2.1 доказывается утверждение существования гиперболического октаэдра 0(А, В, С), обладающего mmm-симметрией.

Утверждение 2.1.1. Пусть имеется набор чисел 0 < А, В, С < ir. Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

(г) Существует компактный гиперболический октаэдр 0(А, В, С) с двугранными углами А, В, С, обладающий тптпт-симметрией.

(гг) Выполнены неравенства:

1 + cos А + cos В + cos С > О А + В > тг, А + С > тг, B + C>w

Для того, чтобы вычислить объем ттпт-симметричного гиперболического октаэдра, нам нужны будут следующие тригонометрические соотношения, связывающие длины ребер и двугранные углы указанного многогранника. В частности, это дает возможность выразить длины ребер через двугранные углы.

ТЕОРЕМА 2.2.3 (Правило синусов-тангенсов). Пусть 0(А, В, С) - гиперболический октаэдр, обладающий ттт-симметприей, с двугранными углами А, В, С и соответствующими длинами ребер а, Ь, с, тогда выполняются следующие тригонометрические соотношения:

sin A sin В sin С ^ tanh a tanh b tanh с ' где Т положительный корень уравнения:

2 (1 + X)(1 + Y)(1 + Z) 1 + X + Y + Z

X = cos A, Y = cos В, Z = cos С.

Отметим, что если гиперболический октаэдр О существует, то имеет место неравенство:

(l + A-)(l + y)(l + Z)

1 + X + Y + Z

Основной результат данной главы приведен в параграфе 2.3 в виде следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2.3.2. Пусть 0(А, В, С) - гиперболический октаэдр, обладающий ттт-симметрией. Положим X = cos А, У = cos В, Z = cos С и обозначим через Т положительный корень уравнения:

2_(l + X)(l + y)(l + Z) 1+ X + Y + Z '

тогда объем V = V(0) находится по следующим формулам:

(i) Если 0 < Т < 1, то объем V равен:

V= - Г log Jo

(1 - cos t) (cos A — cos t) (cos В -cost) (cos С - cos t)

(1 + cos t) (cos A + cos t) (cos В + cos t) (cos С + COS t)

dt,

где величина т, 0 < т < находится из уравнения sin г = Т.

(ii) Если Т = 1, ото при а <Ь <с объем V равен:

ОГ xdx fb xdx íc xdx \ 0 cosh a; J0 cosh a; J0 cosh x) '

где a,b,c- длины соответствующих ребер.

(iii) Если T > 1, mo объем V равен:

V = 2 [2 farctan (^ + arctan f J )

Je \ \tanrjJ \tani?// COS7J

ñ ( ( У \ f Z \\ drj

+2 / arctan - + arctan -- -,

Jg V Vtan7?/ Vtaní?/ / COS77

при этом в, 0 < в < \, находится из уравнения: ^ = Т.

В качестве следствия из данной теоремы получим следующий результат. Рассмотрим прямоугольный тетраэдр Т, имеющий три прямых угла при вершине, с длинами существенных сторон а, Ь, с.

ТЕОРЕМА 2.4.2. Пусть существенные стороны прямоугольного тетраэдра Т связаны соотношением cosh с = cosh а + cosh b - 1. Тогда объем тетраэдра V(T) вычисляется по следующей формуле:

V(T) = I (Jo —%r— dx + Jo-^-dx - fo^—dx) . ( ' 2 V cosh x J0 cosho; JU cosh x )

Третья глава посвящена вычислению площадей неевклидовых четырехугольников. В данной главе нами вычислена площадь сферической трапеции через длины ее сторон и получены сферическая и гиперболическая версии теоремы Бретшнайдера.

Из элементарной геометрии нам известна формула площади треугольника S через длины его сторон а, & и с. которая может быть представлена в следующем виде:

S2 = {р - а){р - Ь)(р - с)р,

где р — ---полупериметр треугольника. Данная формула известна как формула Герона, названной так по имени Герона Александрийского, выдающегося древнегреческого математика, жившего в I в.н.э.

Формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон, а для многоугольников с большим количеством сторон формулы такого типа не существует, так как площадь многоугольника может меняться при его изгибании с сохранением длин сторон.

Площадь четырёхугольника, вообще говоря, не определяется через длины его сторон. Однако, это справедливо в некоторых частных случаях, например, когда четырёхугольник является вписанным, либо когда он представляет собой трапецию. В первом случае нам известна теорема Брахмагупты, а

именно, площадь S вписанного в окружность четырёхугольника со сторона, . a + b + c + d ми a, о, с, а и полупериметром р —---равна:

S2 = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d).

Формула Брахмагупты является обобщением формулы Герона. Формулировку и доказательство данной теоремы можно найти в книге ([6], с. 90).

Немецкий математик Карл Бретшнайдер в 1842 году нашел площадь произвольного евклидова четырехугольника. Классическая теорема Бретшнайдера [10] утверждает, что площадь S евклидова четырехугольника со сторонами a, b,c,d и противолежащими углами А к С находится по формуле:

S2 = (р — а)(р — b){p — с)(р — d) — abcdcos2

a + b + c + d ,.„. . где p =----полупериметр четырехугольника ([6J, с. 89).

Отметим, что для сферического четырёхугольника формула площади через длины его сторон и диагонали была получена в монографии W. J. M'Clelland, Т. Preston 1886 г. ([23], с. 165). В гиперболическом случае варианты формулы

Брахмагупты для вписанного четырехугольника найдены в работе А. Д. Медных [17]. Формула площади трапеции на гиперболической плоскости через длины её сторон получена в работе Д. Ю. Соколовой [8].

Целью параграфа 3.1 является перенос результата работы [8] на сферический случай.

Определение 3.1.1. Выпуклый четырёхугольник ABCD называется трапецией, если для его внутренних углов справедливо соотношение:

ZA+ ZB = ZC + ZD.

В этом случае стороны AD и ВС называются основаниями трапеции ABCD. а АВ и CD - её боковыми сторонами, а, Ъ, с, d - соответствующие длины сторон трапеции, ей/- длины диагоналей АС и BD. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что Ь ф d.

Сформулируем основную теорему данного параграфа.

ТЕОРЕМА 3.1.2. Площадь S сферической трапеции ABCD со сторонами а, Ъ, с, d находится из соотношения:

9b + d . a + b — с — d . a + b + c — d

с sin —— sin-:-sin---

o о о л л

tan —

J 9b—d a—b—c—d a—b+c—d

sin -cos---cos---

2 4 4

—a+b+c—d . a—b+c+d

sin---sin---

__4_4

a+b—c+d a+b+c+d

cos---cos---

4 4

Замечание 3.1.2. Площадь Se евклидовой трапеции со сторонами a,b,c,d

вычисляется по формуле:

,2 _ (6 + d)2(a +b-c~d)(a + b + c-d)(-a + b + c-d)(a-b + c+d) Е ~ 16(6 - d)2

S Se

Отметим, что tan2 — « при достаточно малых величинах а, Ь, с, d.

В параграфе 3.2 получен аналог теоремы Бретшнайдера в сферической геометрии. Сформулируем основной результат.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Площадь S сферического четырехугольника со сто-

a + b+ c + d

ронами а, Ь, с, d, углами A, B,C,D и полупериметром р =--- на-

ходитпся по формуле:

р — а p — b р — с . p — d

-S sin-—sin—-sin—-sin—- a b c d . 2K

sin2 — =---^-T--—J-4--tan - tan - tan - tan - sin' —,

4 abed 22224

cos — cos — cos — cos — A ¿é ¿i ¿i

где К — А — В + С — D.

После завершения работы над диссертацией ее автору стало известно, что формулировка теоремы 3.2.1 встречалась ранее в работе С. В. Брауэра, написанной в начале прошлого века. Однако, доказательство этой теоремы, предложенное в диссертации, основано на совершенно иных идеях и представляется более простым. Напомним, что сферический четырёхугольник с углами А, В, С и D является вписанным в окружность тогда и только тогда, когда выполнено равенство: А + С = В + D [15].

Следствие 3.2.1. Площадь S вписанного сферического четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d находится по формуле:

. р — а . p — b. р — с . p — d

2<? sm 2 Sm 2 Sm 2 Sln 2 sin , — i j i

4 a b с d

eos —eos -eos -eos —

A A ¿t ¿i

a+b+c+d где p =---.

Замечание 3.2.1. Данный результат является сферическим аналогом формулы Брахмагупты, полученным в монографии ([23], с. 164).

Следствие 3.2.2. Если сферический четырёхугольник со сторонамиа, Ь, с и d вписан в одну окружность и описан около другой, то его площадь S находится по формуле:

г, S abed sin — = tan — tan — tan - tan —.

Следствие 3.2.3. Сферический четырёхугольник со сторонами а,Ъ,с и d умеет максимальную площадь S тогда и только тогда, когда он вписан в окружность.

Замечание 3.2.2. Данный результат известен из работы [15].

Аналог теоремы Бретшнайдера в гиперболической геометрии со следствиями получены в параграфе 3.3. Сформулируем полученный результат.

ТЕОРЕМА 3.3.1. Площадь S гиперболического четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d, углами А, В, С, D находится по формуле:

, р — а . ,p-b. р-с . ,p-d a sinh —-—sinn ——sinn ——sinh —-— gjn2 _ =_2_2__-2- -2--

^ cosh ^cosh -cosh ^cosh —

¿i ¿i ¿i ¿i

, a , b , с , d . 9 К —tanh -tanh -tanh -tanh - sin —,

ч r, ^r r^ a+ b + c + d где K = A — B + C — D,p=----полупериметр.

Следствие 3.3.1. Площадь S вписанного гиперболического четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d находится по формуле:

р-а .,р-Ь .,р-с . p—d с smh —-— sinh —-— smh —-— sinh —-—

sin2 - =-2---^-^-2- >

cosh - cosh - cosh - cosh — 2 2 2 2

. a+b+c+d где p =---.

Замечание 3.3.1. Данный результат является гиперболическим аналогом формулы Брахмагупты, полученным в работе [17].

Следующее следствие выражает площадь описанного четырехугольника через стороны и сумму противолежащих углов. В этом случае выполняется равенство: а + с = b + d.

Следствие 3.3.2. Площадь S описанного гиперболического четырехугольника со сторонами a, b,c,d и углами А, В, С, D находится по формуле:

•2S А ,ах uc ,d 2A-B+C-D

sin — = tanh - tanh - tanh - tanh — cos

4 2 2 2 2 4

Следствие 3.3.3. Если гиперболический четырёхугольник со сторонами а,Ь,с и d вписан в одну окружность и описан около другой, то его площадь S находится по формуле:

9 S а Ь с d

sin — = tanh — tanh - tanh - tanh -.

Q ¿¡ ¿, ¿i ¿i

Следствие 3.3.4. Гиперболический четырёхугольник со сторонамиа, b, с и d имеет максимальную площадь S тогда и только тогда, когда он вписан в окружность, орицикл или в одну ветвь эквидистанты.

Замечание 3.3.2. Данный результат хорошо известен из многих работ ([9], [15], [25]), однако в цитируемых работах он доказывается либо через изопериметрические неравенства, либо с помощью исследования функций от нескольких переменных на экстремум. В диссертации приводится его элементарное доказательство.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Александру Дмитриевичу Медных за постановку задач, постоянную поддержку и помощь в работе. Автор благодарит также профессора Виктора Алексеевича Александрова (Новосибирск) и профессора Петера Бузера (Швейцария) за большую работу по поиску работ, написанных немецкими математиками в начале прошлого века и непосредственно связанных с темой диссертации.

Используемая литература

[1] Абросимов. Н. В. Об объеме сферического октаэдра с симметриями / Н. В. Абросимов, М. Годой Молина, А. Д. Медных // Соврем, мат. и ее прил. - 2008. - Т. 60. - С. 3-12.

[2] Винберг, Э. Б. Геометрия 2. Современные проблемы математики / Э. Б. Винберг - М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1988. Т. 29. -С. 1-146.

[3] Галиулин, Р. В. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра / Р. В. Галиулин, С. Н. Михалев, И. X. Сабитов // Мат. заметки. - 2004. -Т. 76, ДО 1. - С. 27-43.

[4] Деревнин, Д. А. О формуле объема гиперболического тетраэдра / Д. А. Деревнин, А. Д. Медных // Успехи мат. наук. - 2005. - Т. 60, № 2. - С. 159-160.

[5] Деревнин, Д. А. Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах / Д. А. Деревнин, А. Д. Медных, М. Г. Пашкевич // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, ДО 5. - С. 1022-1031.

[6] Понарин, Я. П. Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия / Я. П. По-нарин. - М.: МЦНМО. 2004. - С. 312.

[7] Сабитов, И. X. Объем многогранника как функция длин его ребер / И. X. Сабитов // Фундамент, и прикл. мат. - 1996. - Т. 2, ДО 4. - С. 305307.

[8] Соколова. Д. Ю. О площади трапеции на плоскости Лобачевского / Д. Ю. Соколова // Сиб. электрон, матем. изв. - 2012. - Т. 9. - С. 256260.

[9] Bezdek, К. Ein elementarer Beweis für die isoperimetrische Ungleichung in der euklidischen und hyperbolischen Ebene / K. Bezdek // Ann. Univ. Sei. Budap. Rolando Eötvös, Sect. Math. - 1984. - V. 27 - P. 107-112.

[10] Bretschneider, С. A. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes / С. A. Bretschneider // Arch. Math. - 1842. - Bd. 2. - S. 225-261.

[11] Cho, Yu. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra / Yu. Cho, H. Kim // Disc, and Comp. Geometry. - 1999. - V. 22. - P. 347-366.

[12] Derevnin, D. A. On the volume of spherical Lambert cube / D. A. Derevnin, A. D. Mednykh // Mat. Zametki. - 2009. - V. 86, № 2. - P. 190-201.

[13] Gaifullin, A. A. Sabitov polinomials for polyhedra in four dimensions / A. A. Gaifullin // arXiv: 1108.6014vl [math.MG]. - 2011.

[14] Kellerhals, R. On the volume of hyperbolic polyhedra / R. Kellerhals // Math. Ann. - 1989. - V. 285. - P. 541-569.

[15] Lienhard, W. Cyclic polygons in non-Euclidean geometry / W. Lienhard // Elem. math. - 2011. - V. 66, №. 2. - P. 74-82.

[16] Lobachevsky, N. I. Imaginäre Geometrie und ihre Anwendung auf einige Integrale / N. I. Lobachevsky // Deutsche Übersetzung von H. Liebmann. Leipzig: Teubner. - 1904.

[17] Mednykh, A. D. Brahmahupta formula for cyclic quadrilaterals in the hyperbolic plane / A. D. Mednykh // Sib. Electron. Math. Reports. - 2012. -V. 9. P. 247-255.

[18] Mednykh, A. D. On the volume of hyperbolic Whitehead link cone-manifolds / A. D. Mednykh, A. Ya. Vesnin // SCIENTIA, Series A: Mathematical Sciences. - 2002. - V. 8. - P. 1-11.

[19] Mednykh, A. D. On hyperbolic polyhedra arising as convex cores of quasi-Fuchsian punctured torus groups / A. D. Mednykh, J. Parker, A. Yu. Vesnin // Bol. Soc. Mat. Mexicana. - 2004. - V. 10, № 3. - P. 357-381.

[20] Milnor, J. W. Hyperbolic geometry: the first 150 years / J. W. Milnor // Bull. Amer. Math. Soc. - 1982. - V. 6, № 1. - P. 9-24.

[21] Mohanty, Ya. Z. Hyperbolic polyhedra: volume and scissors congruence Ph. D. in Mathematics, UCSD. - 2002. - P. 123.

[22] Murakami, J. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron / J. Murakami, M. Yano // Comm. Anal. Geom. - 2005. - V. 13. P. 379-200.

[23] M'Clelland, W. J. A treatise on spherical trigonometry with application to spherical geometry and numerous examples. P. II / W. J. M'Clelland, T. A. Preston // London: Macmillian and Co. - 1886. - P. 400.

[24] Ushijima, A. Volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra / A. Ushijima // In: Non-Euclidean Geometries. Math, and Its Appl. - 2006. - V. 581. - P. 249-265.

[25] Walter, R. Polygons in hyperbolic geometry 2: Maximality of area / R. Walter // arXiv:1008.3821vl [math.MG]. - 2010.

Список публикаций автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций: [1*] Байгонакова, Г. А. О формуле Милнора для объема гиперболического октаэдра / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Математические заметки ЯГУ. - 2010. - Т. 17, № 2. - С. 3-9. - 0,5/0,25 п.л.

[2*] Байгонакова, Г. А. О геометрических свойствах гиперболического октаэдра, обладающего mmm-симметрией / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных, М. Годой Молина // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2011. - Т. 47, № 3/1 - С. 9-14. -0,7/0,35 п.л.

[3*] Байгонакова, Г. А. О формуле Бретшнайдера для сферического четырехугольника / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Математические заметки ЯГУ. - 2012. Т. 19, № 2. - С. 3-12. - 0,69/0,35 п.л.

[4*] Байгонакова, Г. А. О формуле Бретшнайдера для гиперболического четырехугольника / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Математические заметки ЯГУ. - 2012. Т. 19, № 2. - С. 12-20. -0,63/0,32 п.л.

[5*] Abrosimov, N. V. Hyperbolic octahedron with mmm-symmetry / N.V. Abrosimov, G.A. Baigonakova // Siberian Electronic Mathematical Reports. - 2013. - T.10. - C. 123-140. - 1,12/0,63 п.л. Публикации в других научных изданиях:

[6*] Байгонакова, Г. А. Объем гиперболического тетраэдра с прямыми углами при вершине / Г. А. Байгонакова // Материалы школы конференции по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 19 - 25 августа 2010 г.). - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2010. - С. 5-6. - 0,06 п.л.

[7*] Байгонакова, Г. А. Об объеме гиперболического тетраэдра с прямыми углами при вершине / Г. А. Байгонакова // Сборник научных

трудов кафедры математического анализа № 2. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2010. - С. 12-17. - 0,38 п.л.

[8*] Байгонакова, Г. А. Об объеме идеального симметрического октаэдра / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Сборник трудов кафедры математического анализа № 3. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2010. - С. 57-62. - 0,5/0,25 п.л.

[9*] Байгонакова, Г. А. Вычисление объема идеального симметричного октаэдра / Г. А. Байгонакова // Материалы ХЫХ международной научной студенческой конференции: Математика (Новосибирск, 16 - 20 апреля 2011 г.). - Новосибирск: изд. Новосиб. гос. ун-та, 2011. - С. 730,06 п.л.

[10*] Байгонакова, Г. А. Вычисление объема ттт-симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных, М. Год ой Молина // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функции, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань, 1-7 июля 2011 г.). - Казань: изд. Казанского математического общества, изд. Казанского государственного университета, 2011. Т. 43. -С. 29-31. - 0,13/0,04 п.л.

[11*] Байгонакова, Г. А. Объем симметричного октаэдра в Я3 / Г. А. Байгонакова // Материалы школы конференции по геометрическому анализу (13-19 август, 2011 г.). - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2011. -С. 12-13.-0,13 п.л.

[12*] Байгонакова, Г. А. Объем идеального октаэдра в гиперборлическом пространстве / Г. А. Байгонакова // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского / Материалы десятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения» — 2011 (Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г.). Казань: изд. Казанского математического общества, 2011. Т.44. - С. 86-87. - 0,06 п.л.

[13*] Байгонакова, Г. А. Вычисление объема тптшп - симметричного октаэдра в простейшей геометрической ситуации / Г. А. Байгонакова // 50-я юбилейная Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 13 - 19 апреля 2012 г.). - Новосибирск: изд. Новосиб. гос. ун-та, 2012. - С. 73-75. -0,06 п.л.

[14*] Байгонакова, Г. А. Площадь трапеции в сферической геометрии / Г. А. Байгонакова, Д. Ю. Соколова // Материалы школы конференции по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 11 - 19 августа, 2012 г.). -Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2012. - С. 12-13. - 0,13/0,07 п.л.

[15*] Байгонакова, Г. А. О формуле Бретшнайдера в гиперболическом и сферическом случаях / Г. А. Байгонакова // Сборник научных статей международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 20 - 23 ноября, 2012 г.). - Барнаул: АлтГПА, 2012. 4.1. -С. 248-252. - 0,31 п.л.

Тираж 100 экз. Заказ 1040. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел. (3822) 533018.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Байгонакова, Галия Аманболдыновна, Горно-Алтайск

ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Байгонакова Галия Аманболдыновна

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ОБЪЕМОВ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Специальность 01.01.01 - вещественный, комплексный h функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф-м.н., профессор Медных А. Д.

Горно-Алтайск - 2013

Оглавление

Введение............................................................3

1 Объем гиперболического идеального симметричного октаэдра 18

1.1 Постановка задачи..............................................18

1.2 Об объеме идеального октаэдра................................20

2 Объем гиперболического ^¿//¿т-симметричного октаэдра 27

2.1 Условия существования........................................27

2.2 Соотношения между длинами и углами......................32

2.3 Формула объема гиперболического октаэдра с

тгшт?,-симметрией ..............................................41

2.4 Объем прямоугольного тетраэдра ............................50

3 Площади неевклидовых четырехугольников 54

3.1 Площадь трапеции в сферической геометрии................54

3.2 Формула Бретшпайдера для сферического четырехугольника..............................................62

3.3 Формула Бретшпайдера для гиперболического четырехугольника..............................................7]

Введение

Актуальность темы. Римановы поверхности и их геометрические инварианты играют важную роль в современном комплексном аиализе. Естественными трехмерными аналогами римановых поверхностей служат многообразия, моделируемые в неевклидовых геометриях. Важнейшим инвариантом указанных многообразий служит их объем. Для его нахождения каждое многообразие каноническим образом разбивается на многогранники. Вычисление объема многогранника - это классическая задача, известная со времен Евклида, не потерявшая актуальность в настоящее время.

Одним из актуальных направлений современного комплексного анализа является изучение пространства Тейхмюллера, образованного геометрическими структурами па заданной римановой поверхности. Это пространство зависит от конечного числа параметров и представляет собой многообразие1 с особенностями, которое в настоящее время принято называть коническим многообразием или орбифолдом. При этом, риманова поверхность разрезается на многоугольники с геодезической границей, длины сторон которых образуют в пространстве Тейхмюллера систему координат Фенхеля-Нильсена. Во многих случаях строение орбифолда описывается средствами элементарной евклидовой или неевклидовой геометрий, что и приводит к необходимости использования классических теорем в этой области, доказательства которых в современной литературе отсутствуют. Восполнению указанных пробелов в диссертации отводится особое внимание.

Отмстим, что указанное; направление активно развивается новосибирской геометрической школой ([2|, [24|, [38j и т.д.). Изложенные ниже результаты могут быть также использованы и для вычисления объемов многогранников в пространствах постоянной кривизны (|2|, [38], [39]). Существенную роль в вычислении объемов евклидовых многогранников сыграли работы И. X. Сабитова [11] и А. А. Гайфуллина [18]. В 1996 году И. X. Сабитов [11] доказал, что объем трехмерного евклидова симплици-альпого многогранника есть корень алгебраического уравнения, коэффициентами которого являются многочлены, зависящие только от комбинаторного типа многогранника и длин его ребер. В 2011 г. четырехмерный аналог этой теоремы был получен в работе А. А. Гайфуллина [18].

В гиперболическом и сферическом случаях ситуация является более сложной, формула объема для бипрямоугольного тетраэдра была известна со времен Н. И. Лобачевского [22]. Объемы куба Ламберта и некоторых других неевклидовых многогранников вычислены Э. Б. Винбергом [3], Р. Келлерхальц [19|, Я. 3. Моханти [28], Д. А. Деревниным, А. Д. Медных [17]. А. 10. Весниным [24]. Дж. Паркером [25|. М. Г. Пашкевич [8] и другими авторами.

Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину па бесконечности, найдены Э. Б. Винбергом [3|.

ство этой формулы, которое включает также объемы усеченных тетраэдров, было найдено А. Ушиджимой [34] в 2006 году. Элементарную интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра в 2004 году предложили Д. А. Деревпии, А. Д. Медных [7].

Известно, что если многогранник обладает симметрией, то формула его объема существенно упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским [22] для идеального гиперболического тетраэдра. Дж. Милнор [27] в 1982 году представил соответствующий результат в весьма простой форме. В общем случае объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах найден в работе Д. А. Деревнина, А. Д. Медных и М. Г. Пашкевич [8] в 2005 году. Объемы октаэдров, обладающих различными симметриями, и двойственных к ним гексаэдров в сферическом пространстве найдены Н. В. Абросимовым, М. Годой Молипой и А. Д. Медных [2].

Цель работы заключается в получении аналога формулы Милнора для случая идеального симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве: вычислении объема гиперболического октаэдра, обладающего тптга-симметрией; нахождении площади трапеции в сферическом случае; получении аналогов формулы Бретшнайдера в гиперболическом и сферическом случаях.

Методы исследований. Полученные основные результаты опираются па идеи и методы вещественного, комплексного и функционального анализа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и сослоят в следующем:

1) Доказан аналог формулы Милнора для идеального гиперболического октаэдра.

2) Получены формулы объемов гиперболического октаэдра, обладающего ттт - с и м м ет р и е й.

3) Ыайдсиа формула площади сферической трапеции через длины ее сторон.

4) Получены сферический и гиперболический аналоги формулы Брет-ш пай дера площади четырехугольника.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях:

1. Летних школах по геометрическому анализу (г. Горно-Алтайск, 21 -28 августа 2009, 2 - 8 августа 2010 г., 13 19 августа 2011 г., 11 19 августа 2012 г.);

2. ХЫХ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 16 - 20 апреля 2011 г.);

3. Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19 26 июня 2011 г.);

4. X Международной Казанской летней научной школе-конференции (г. Казань, 1 7 июля 2011 г.);

5. X молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г. Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г.);

0. Ь юбилейной Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 13 - 19 апреля 2012 г.);

7. Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске» (г. Новосибирск, 30 августа 1 сентября 2012 г.):

8. Международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае» (г. Барнаул, 20 - 23 ноября 2012 г.).

Результаты диссертации обсуждались на семинарах ведущих научно-исследовательских институтов и университетов: кафедры математического анализа Горно-Алтайского государственного университета под руководством д.ф.-м.н. А. В. Тетенова; отдела анализа и геометрии Института математики СО РАН под руководством академика К). Г. Решетпя-ка; «Геометрия и топология и их приложения» Института математики СО РАН под руководством академика И. А. Тайманова; «Инварианты трехмерных мпогоообразий» Института математики СО РАН под руководством чл.-корр. А. Ю. Веснина: «Геометрическая теория функций» Института математики СО РАН под руководством чл.-корр. А. Ю. Веснина, проф. А. Д. Медных и проф. В. В. Асеева; кафедры математического анализа Алтайского государственного университета под руководством проф. Е. Д. Родионова.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 52 источников. Общий объем диссертации 85 страниц.

Перейдем к краткому изложению содержания работы и точным формулировкам основных результатов. Будем использовать номера теорем, формул, определении и сдедствии, введенные в основном тексте данной работы.

В параграфе 1.1 изложена история данного вопроса из работы Дж. Мил-нора [27], цце доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.1.1. Объем V идеального 'гиперболического тетраэдра Т = Т(А, В. С) с двугранными углам/и, А, В, С, (Л + В + С = тт) вычисляется по формуле:

V{T) = k(A) + h{B) + K(C),

где А(х) = — Jn' log |2sin£|<i£ - функция Лобачевского.

Сформулируем следствие из дайной теоремы.

Следствие 1.1.1. Максимальный объем V идеального гиперболиче-

1 7г

ского тетраэдра достигается при А = В = С = -- и равен:

V{T) =ЗЛ(!) и 1.01494... .

Целью первой главы является перенесение результатов работы [27] на случай идеального симметричного гиперболического октаэдра.

Пусть О идеальный симметричный октаэдр в пространстве Н3 с попарно равными двугранными углами при противоположных ребрах,

обозначим ого двугранные углы через А, В,С, Б, Е и Е, тогда объем октаэдра О определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Объем К гиперболического идеального симметричного октаэдра О с двугранными углами А, В,С, И, Е и Е равен

V (О) = 2 (Л(—---) + Л(---^ +

л .7г + А-В-Е. л ,7г- А + В- ЕЛ +2 (Л(---) + Л(---) 1 ,

где 0 < А, В, С, Б. Е,Е < тг.

Сформулируем полученное следствие из доказанной теоремы.

Следствие 1.2.1. Максимальный объем V идеального симметрич-

ного октаэдра достигается при А = В = С = П = Е = Е = -~ и

равен:

У{0) — 4Л « 3.66386... .

Вторая глава диссертации посвящена вычислению объема октаэдра с тгант-симметрией в гиперболическом пространстве.

Рассмотрим гиперболический октаэдр О = 0(А, В, С), обладающий /штат-симметрией, то есть зеркальной симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих вдоль его реберных циклов, где А. В. С его двугранные углы. Обозначим через а,Ь,с соответствующие длины его ребер.

Отметим, что объем тгат-симметричного октаэдра в евклидовом и сферическом случаях был вычислен ранее. Далее приведем эти результаты. Так, в евклидовом случае известна следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.2.1. (Р. В. Галиулин, С. Н. Михалев, И. X. Сабитов) [6|. Пусть V объем, евклидова октаэдра 0(/\, В, С), обладающего ттт-симметрией, с длинами ребер а, Ь, с, тогда величина. V может

быть найдена как полоо/сительный корень уравнения:

9V2 = 2(а2 + Ь2 - с2)(а2 + с2 - 62)(62 + с2 - а2).

В сферическом случае известна следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.2.2. (Н. В. Абросимов, А. Д. Медных и М. Годой Мо-лина) [2]. Пусть О — 0(А, В,С) сферический октаэдр, обладающий mmm-симметрией, тогда объем V = V(0) задается выражением:

2 / ( arctanh(A cos т) + arctanh(Y cosr)+

(ÍT

+ arctanh(Zcosr) + arctanh(cos r))

eos r

7г

где X = cos/i, Y = cos B, Z = eos С и 0 < в < — корень уравнения:

(1+А-)(1 + Г)(1 + 20 1 + X + Y + Z

В данной главе эти результаты распространяются на гиперболический случай.

В параграфе 2.1 доказывается утверждение существования гиперболического октаэдра 0(А, В, С), обладающего mmm-симметрией.

Утверждение 2.1.1. Пусть имеется набор чисел 0 < А, В, С < и. Тогда следую'ш;ие два утверждения эквивалентны:

(i) Существует компактный гиперболический октаэдр 0(А, В,С) с двугранными углами А, В, С, обладают/ий ттт-симметрией.

(И) Выполнены, неравенства:

1 + cos А + cos В + cos С > О Л + В > тг, А + С > тс, В + С > 7г

Для того, чтобы вычислить объем mmm-симметричного гиперболического октаэдра, нам нужны будут следующие тригонометрические соотношения, связывающие длины ребер и двугранные углы указанного многогранника В частности, это дает возможность выразить длины ребер через двугранные углы.

ТЕОРЕМА 2.2.3 (Правило синусов-тангенсов) Пусть 0{Л, В, С) гипербол ич< с л и ti октаэдр, обладающий т пгт-сим метриси, с двугранными углами А, В. С и соответствуют^ ми длинами ребер а,Ь,с, тогда выполняются следующие тригонометрические соотношения:

sin/1 sin В sin С tanho tanli b tanhc

где T положительный корень уравнения:

Т2 = (l+X)(l + Y)([ + Z) 1 + X + Y + Z

X = cos A, Y — соь В, Z — cos C.

Отметим. ч'Ю если гиперболический окхаэдр О существует, го имеет место неравенство:

(1 + Х)(1 + У)(1 + Z) 1 + Х + Y + Z

Основной результат данной главы приведен в параграфе 2.3 в виде следующей теоремы

ТЕОРЕМА 2.3.2. Пусть 0(А. В, С) гиперболический октаэдр, обдадающи и гптт-симметрией. Положим X = cos A, Y = соь В, Z = cos С и обозначим через Т положительный корень уравнения:

2___ (1 + X)(1 + Y)(1 + Z) l+X+y+Z

тогда объем V = V(O) находится по следующим формулам:

(i) Если О < Т < I, то объем V равен:

(1 — cosí)(eos Л — eos i)(eos В — cosí)(eos С — eosí)

V = - Г log Jo

(1 + cosí) (eos A + cosí) (eos B + cosí) (eos C + cosí)

dt,

7г

где величина r, 0 < r < —, находится из уравнения sin г = Т.

(ii) Если Т = 1, то при о, <Ь < с объем, V равен:

( С" х dx f1' х dx [' х dx \

V = 2

J о cosh .т ,/o cosh a; 70 cosh а: у где a, 6, с длины соответствующих ребер.

(iii) Если Т > 1, то объем V равен,:

ñ 1 X

V = 2 / (arelan(-) + arctan(-) +

Jo tan?/ tan '/7

, У . , Z drj

+ arct,an(-) + arctan(-

tai г// tan// cos 7]

cos 0

В качестве следствия ив данной теоремы получим следующий резуль-

при этом, 0, 0 < 0 < находится из уравнения: п = Т.

тат.

Рассмотрим прямоугольный тетраэдр Т, имеющий три прямых угла при вершине, с длинами существенных сторон a, b, с.

ТЕОРЕМА 2.4.2. Пусть существенные стороны прямоугольного тетраэдра Т связаны соотношением cosh г; = cosh а + cosh 6 — 1. Тогда объем, тетраэдра V(T) вычисляется по следуюа^сй формуле:

= I ( in —dx + Г,? —dx - г; -4- dx) . v ; 2 VJo cosh ж Jo cosh ж Jo cosh ж J

Из элементарной геометрии нам известна формула площади треугольника 5 через длины его сторон а, Ь и с, которая может быть представлена 15 следующем виде:

52 = {р - а)(р - Ь){р - с)р,

гдер = —полупериметр треугольника. Данная формула известна как формула Герона, названной так по имени Герона Александрийского, выдающегося древнегреческого математика, жившего в I в.н.э.

Брахмагупты, а именно, площадь 5 вписанного в окружность четырёх-

а + Ъ + с + (I

угольника со сторонами а, о, с, а и полупериметром р = ---

равна:

52 = (р - а)(р - Ъ)(р - с)(р - (I).

Формула Брахмагупты является обобщением формулы Герона. Формулировку и доказательство данной теоремы можно найти в книге ([10], с. 90).

Немецкий математик Карл Брстшнайдер в 1842 году нашел площадь произвольного евклидова четырехугольника.

Классическая теорема Бретшнайдсра [15] утверждает, что площадь 5 евклидова четырехугольника со сторонами а, Ь, с, с1 и' противолежащими

углами А и С находится по формуле:

S2 = (р - а)(р - b) (р - с)(р — d) — abed cos2

a + b + с + d где p =---

полупериметр четырехугольника ([10], с. 89).

Отметим, что для сферического четырёхугольника формула площади через длины его сторон и диагонали была получена в монографии W. J. M'Clelland, Т. Preston 1886 г. ([30], с. 165). В гиперболическом случае варианты формулы Брахмагупты для вписанного четырехугольника найдены в работе А. Д. Медных [23]. Формула площади трапеции па гиперболической плоскости через длины её сторон получена в работе Д. Ю. Соколовой [12].

Целью параграфа 3.1 является перенос результата работы [12] н