Геометрические аспекты теории объемов гиперболических многогранников тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова»

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ОБЪЕМОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Краснов Владимир Александрович

О 4 СЕН 2014

Москва — 2014

005552106

005552106

Работа выполнена в ГАОУ ВПО "Московский государственный областной социально-гуманитарный институт"

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор

Лексин Владимир Павлович, доктор физико-математических наук, профессор Мантуров Василий Олегович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ахметьев Петр Михайлович (ФГУН Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова Р ведущий научный сотрудник), кандидат физико-математических наук Шнурников Игорь Николаевич (кафедра прикладной математики

ФГАОУ ВПО НИУ "Высшая школа экономики")

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН" Защита состоится 26 сентября 2014 года в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП—1, Ленинские горы, д.1, ФГБОУ ВПО имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А. Автореферат разослан 26 августа 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математически, профессор

А.О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена вычислению объемов трехмерных неевклидовых многогранников. Основной акцент в ней сделан на гиперболических многогранниках.

Вычисление объема многогранника в евклидовом пространстве Е3 -классическая задача, известная со времен античности и не потерявшая актуальности в наши дни.

Что касается неевклидовых пространств §3 и Н3, то здесь ситуация еще более сложная. Объем бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) в сферическом пространстве §3 был найден JI. Шлефли1, а Н.И. Лобачевский2 и Я. Бойяи3 независимо друг от друга вычислили объем ортосхемы в гиперболическом пространстве Н3.

Объем идеального гиперболического тетраэдра был найден еще в 1835 году Н.И. Лобачевским, а в 1982 году Дж. Милнор4 представил этот результат в более элегантном виде.

В 1993 году Э.Б. Винбергом5 были получены формулы объемов гиперболических пирамид, имеющих вершины на бесконечности.

Для произвольного гиперболического тетраэдра формулы объема долгое время были неизвестны. Лишь на рубеже веков эта проблема была полностью решена в работах Ю. Чо и X. Кима6, Дж. Мураками и У. Яно7, а также Дж. Мураками и А. Ушиджимы8. Эти формулы являются

'Schläfli L. Theorie der vielfachen Kontinuität, In: Gesammelte mathematische Abhandlungen. — Basel: Birkhäuser, 1950.

2Лобачевский H. И. Воображаемая геометрия // Полное собр. соч. Т. 3. — М.-Л.:1949. — 536 с.

3Bolyai J. Appendix. The Theory of Space // Janos Bolyai (F. Karteszi ed.). — Budapest:1987. — 239 p.

4Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. — 1982. — v. 6, e 1. — P. 307-332.

5Винберг Э. Б. Объемы неевклидовых многогранников // Успехи математических наук. — 1993. — 2 (290). - С. 17-4G.

6Cho Yu., Kim H. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra // Discrete Comput. Geom. — 1999. — V. 22. - P. 347-366.

7Murakami J., Yano M. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron // Comm. Anal. Geom. — 2005. — v. 13. — P. 379-400.

8Murakami J., Ushijima A. A volume formula for hyperbolic tetrahedra in terms of edge lengths // Journal of Geometry. — 2005. - v.83, e 1-2. — P. 153-163.

довольно громоздкими и трудно обозримыми. Следует отметить, что во всех вышеперечисленных работах объем выражался как алгебраическая сумма 16 значений дилогарифмов Эйлера или функций Лобачевского. Г. Лейбону9 удалось объяснить геометрический смысл полученных формул с точки зрения симметрий Редже, а полное геометрическое доказательство было дано Я.Моханти10. В 2004 году Д.А. Деревниным и А.Д. Медных11, была получена явная интегральная формула объема гиперболического тетраэдра в терминах его двугранных углов. Заметим, что оригинальное доказательство этой формулы основывается на теореме синусов-тангенсов, определяющей геометрические соотношения между длинами ребер тетраэдра и его двугранными углами. Кроме того, одним из ключевых шагов доказательства является применение дифференциальной формулы Шлефли, выражающей дифференциал объема через длины ребер и дифференциалы двугранных углов. В этой же работе было показано, что из формулы Деревнина-Медных вытекает полученная ранее формула Мураками-Яно.

Наконец, в 2011 году Дж. Мураками12 были предложены формулы объема произвольного сферического тетраэдра в терминах двугранных углов и длин ребер.

Нельзя не упомянуть, что впервые формулу объема произвольного неевклидова тетраэдра выписал в 1906 году итальянский герцог Г.Сфорца13. К сожалению, формула Сфорцы содержит многозначную функцию. При этом в работе не указано, какая ее ветвь дает объем. В связи с этим формула Сфорцы долгое время была полностью забыта.

В 2002 году Я.Моханти были вычислены объемы симметричного идеального октаэдра и идеальной треугольной призмы, а в 2008 году Н.В. Абросимовым, М. Годой-Молина и А.Д. Медных14 были получены

9Loibon G. The symmetries of hyperbolic volume // Preprint. — 2002.

10Mohanty Y. The Regge symmetry is a scissors congruence in hyperbolic space // Algebraic and Geometric Topology. — 2003. — 3. — P. 1-31.

11Derevnin D. A., Mednykh A. D. A formula for the volume of hyperbolic tetrahedron // Rus. Math. Surv. — 2005. — 60(2):346

12Murakami J. The volume formulas for a spherical tetrahedron // Arxiv e-prints, Antiv:1011.2584v4. — 2011.—7 pp.

13Sforza G. Spazi metrico-proiettivi // Ric. Esten. Different. Ser. — 1906. — v.8, e 3. — P. 3-66.

14 Абросимов H. В., Годой-Молина M., Медных А. Д. Об объеме сферического октаэдра с симметриями // Современная математика и ее приложения. —2008. —60. — С. 3-12.

формулы объемов трехмерных сферических многогранников, обладающих нетривиальными симметриями, в частности, штт- и 2|т-октаэдров. Кроме того, в 2011 году Г.А. Байгонакова, М. Годой-Молина и А.Д. Медных15 вычислили объем гиперболического ттт-октаэдра в простейшей геометрической ситуации.

В настоящей работе приведен вывод формулы Деревнина-Медных из формулы Мураками-Яно; выписана интегральная формула объема гиперболического тетраэдра в терминах длин его ребер; с помощью формулы Деревнина-Медных объема произвольного гиперболического тетраэдра получены явные интегральные формулы объема произвольных гиперболических ттт- и 2|т-октаэдров и найдены критерии существования таких октаэдров в терминах двугранных углов; описан алгоритм получения формул объема неевклидовых шт2- и 4|т-октаэдров в терминах двугранных углов; вычислены объемы собственных остроугольных гиперболических треугольных и четырехугольных призм при некоторых ограничениях на ее двугранные углы, а также приведен алгоритм получения аналогичных формул для произвольных выпуклых остроугольных компактных гиперболических многогранников. В случае симплициальных многогранников ограничения, при которых существует единственный с точностью до движения пространства выпуклый гиперболический многогранник с заданным набором двугранных углов, были найдены в 1970 году Е.М. Андреевым16.

Цели диссертационной работы

1) Вывести формулу Деревнина-Медных из формулы Мураками-Яно.

2) Получить интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра в терминах длин ребер, выражающую объем интегралом по отрезку вещественной прямой от вещественнозначной подынтегральной функции;

3) Найти критерии существования гиперболических ттт- и 2|т-октаэдров, заданных наборами определяющих их двугранных углов;

15Байгонакова Г. А., Годой-Молина М., Медных А. Д. О геометрических свойствах гиперболического октаэдра, обладающего штт-симметрией // Вестник Кемеровского госуд. университета. — 2011. — 3/1 (47). - с. 13-18.

16Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского // Математический сборшж. — 1970. — 81 (123). — С. 445-478.

4) Вычислить объем:

а) гиперболических октаэдров, обладающих нетривиальными симметриями;

б) собственных остроугольных гиперболических многогранников при некоторых ограничениях на их двугранные углы.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

• Приведен вывод интегральной формулы Деревнина-Медных объема произвольного гиперболического тетраэдра из формулы Мураками-Яно;

• Получена интегральная формула объема гиперболического тетраэдра в терминах длин ребер;

• Найдены явные интегральные формулы объема гиперболических октаэдров, обладающих нетривиальными симметриями;

• Доказаны критерии существования гиперболических октаэдров с симметриями в терминах двугранных углов;

• Получены формулы объема собственных треугольных и четырехугольных гиперболических призм при некоторых ограничениях на их двугранные углы;

• Найден алгоритм вычисления объема произвольного гиперболического остроугольного выпуклого компактного многогранника в терминах двугранных углов.

Теоретическая и практическая ценность

Настоящая работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы для дальнейшего изучения объемов неевклидовых многогранников, в частности, для вычисления объемов многогранников в пространствах размерности п > 4. Работа представляет несомненный интерес для специалистов по маломерной топологии и неевклидовым геометриям.

Апробация

Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях:

• семинар "Дифференциальная геометрия и приложения" (Москва, МГУ, 3 марта 2014) под руководством акад. РАН А.Т. Фоменко

• семинар "Современные геометрические методы" (Москва, МГУ, 30 октября 2013) под руководством акад. РАН А.Т. Фоменко, A.B. Болсинова, A.C. Мищенко, A.A. Ошемкова, Е.А. Кудрявцевой и И.М. Никонова;

• семинар "Алгебраическая топология и ее приложения" имени М.М. Постникова (Москва, МГУ, 20 ноября 2012) под руководством член-корр. РАН В.М. Бухштабера, A.B. Чернавского, H.A. Дынникова, Т.Е. Панова, JI.A. Алании, A.A. Гайфуллина, Д.В. Миллионщикова;

• семинар "Инварианты трехмерных многообразий" (Новосибирск, Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, 18 марта 2014) под руководством член-корр. РАН А.Ю. Веснина;

• семинар 'Узлы и теория представлений" (Москва, МГУ, 6 ноября 2012 н 5 марта 2013) под руководством В.О.Мантурова, Д.П.Илыотко и И.М.Никонова;

• семинар по аналитической теории дифференциальных уравнений (Москва, МИРАН, неоднократно с 2011 по 2012) под руководством акад. РАН Д.В. Аносова и В.П. Лексина;

• семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, РУДН, 22 октября 2013) под руководством А.Л. Скубачевского;

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 29 июня-4 июля 2012)

• Всероссийская математическая школа-конференция "Понтрягинские чтения" (Воронеж, май 2011-2013)

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, из них 2 в изданиях по перечню ВАК.

Объем и структура диссертации

Диссертация изложена на 95 страницах печатного текста. Она состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. Список литературы состоит из 47 наименований работ российских и зарубежных авторов.

Введение содержит краткий обзор исследований по теме диссертации, а также список результатов, выносимых на защиту. Также во введении обосновывается актуальность темы диссертации, рассказывается об основных методах диссертационного исследования, о теоретическом значении полученных результатов.

В первой главе подробно изучаются неевклидовы тетраэдры, причем основной акцент делается на гиперболическом случае. Начальные параграфы содержат основные сведения, необходимые для вычисления их объема. Затем приводится обзор основных результатов, относящихся к объемам неевклидовых тетраэдров. Особая роль отводится интегральной формуле Деревннна-Медных объема произвольного гиперболического тетраэдра, на которой строятся дальнейшие рассуждения настоящей работы.

Теорема 11 (Деревиин, Медных, 2004). Пусть Т = Т(А, В, С, Д Е, — гиперболический тетраэдр, двугранные углы которого Л, В, С лежат при одной вершине, а -О, Е, .Р — противолежащие им двугранные углы. Тогда объем гиперболического тетраэдра Уо1(Т) выражается интегралом по отрезку вещественной прямой с вещественнозначной подынтегральной функцией

Содержание работы

1 Г2х

вт | эт

(+а+в+р+е • М-Л+С+Р+Г ■ ;+в+с+я+г

2

вт 31П

2

(,+а+в+с 2

СОЭ

(+а+е+е {+в+р+г

СОЭ

СОЭ

(+с+р+е 2

<7 , ™2 , «4

к4 'у

О- 3

Z2 = arctg— + arctg—,

fcj &3

а вещественные числа k\, k2, и k¿ имеют вид:

h = -(cos (A + B + C + D + E + F)+ cos (Л + £>)+cos (В + Е)+ cos (С + F)+

+ cos (D + Е + F) + cos (D + В + С) + cos (Л + E + С) + cos (A -f В + F)), k2 = sin (Л + В + С + D + E + F) +sin (A + D)+sin (B + E)+ sin (C + F)+ + sin (D + E + F) + sin (D + В + С) + sin (Л + Е + С) + sin (А + В + F)), к3 = 2(sin Лет!) + sin В sin Е + sin С sin F), /í4 — \J4" к<2 fcg • В конце главы приводится вывод этой формулы из теоремы Мураками-Яно объема произвольного гиперболического тетраэдра, который отличается от доказательства, предложенного в оригинальной работе.

Теорема 10 (J. Murakami, M.Yano, 2001). Пусть Т = Т(А, В, С, D, Е, F) — гиперболический тетраэдр, двугранные углы которого А, В, С лежат при одной вершине, a D, Е, F — противолежащие им двугранные углы. Тогда объем тетраэдра Т задается формулой

Vol (Т) =

где

lm(U(zuT)-U(z2,T)-

а = ехр(гЛ), b = ехр(Ш), с = ехр(гС), d = exp(iD), е = ехр(г£7), / = exp(zF),

U{z,T) = Li2(z) + Li2(z abde) + Li2(z acd f) + Li2(zbce /) — —Li2(—zabc) — Li2(—zaef) — Li2(—zbd f) — Li2(—z cde)}, Li2(z) — ветвь дилогарифма Эйлера

Li2(z) = - Г ln(1~ l)dt (z € C\[l; +00)), J о г

отвечающая ветви логарифмической функции 1п0 = In |0| + г arg 0 (—тт < argö < тт), а z\ и z2 суть решения квадратного уравнения

az2 + ßz + 7 = О, 9

с коэффициентами

а = abode f {abode f + ad + be + cf + abf + ace + bed + de/),

/<И)ИМЧ)И)+Н)Н>'

7=1 + abde + aedf + beef + abc + aef + bdf + ode.

В заключение первой главы получена формула объема гиперболического тетраэдра в терминах длин ребер.

Теорема 12. Пусть Т = T(Ia,Ib,Ic,Id,Ie,If) -гиперболический тетраэдр, длины ребер которого суть li,i £ {A,B,C,D,E,F}. Положим, что ребра 1а,1в,1с сходятся в одной вершине, а 1ц, Iei If лежат против Ia, I в ule соответственно.

Далее, пусть величины A¡,Bi,Ci,Di,Ei,F¡ отыскиваются соответственно по формулам:

Ai = arceos ——-, B¡ = arceos Cl" -. C¿ = arccos °'23 -,

VC'll ' C<22 y/°ln ■ C¡33 y/Ch2 ■ C*33

A^'i' í.l T i Qll 7-1 J

= arccos -, b[ = arccos---, F¡ = arccos---,

\/Ch3 • CU, \/Cí22 • Q44 \/C'll ' C'44

где c;tj = (—1)!+J • Gi{¡ — алгебраическое дополнение к ij-му элементу матрицы

( —1 —сЫд —сЫ^ —сЫ<^ —chip —1 —сЫр- —chis

G; =

—ch/д —chip —1 — сЫа ch 1с —сЫв — сЫл —1 j Тогда объем гиперболического тетраэдра находится по формуле

Vol (Т) =

-if"1"

4

sin f sin W^+A+fl sin í±a!±c^d1±£l sin {+B.+Q+W,

I cos {-M,+g,+r, cos cos t+q+p,^

= arctgy^- - arctg y^-, fci, fc3¡

Z2, = arctg— + arctg—,

«i, «3,

ки = -(сое (Л, + В, + С, + Д + Е[ + Л) + СОЭ (Л; + Д)+ + соэ (В, + Я,) + соэ (С, + л)+ + соэ (Д + Е1 + л) + соэ (Д + В; + С/)+ + соэ (Л, + Е1 + С,) + сое (Л, + В, + *})), к2, = вт (Л; + В1 + С1 + Д + Е1 + Я)+бн1 (Лг + Д)-Ып (В; + £;)+зт (С; + + эш (Д + Е1 + (Д + В; + С;)+зт (Л, + В; + С^+эт (Лг + В, +

Данная формула выражает объем тетраэдра интегралом по отрезку вещественной прямой от вещественнозначной подынтегральной функции в отличие от формулы Мураками-Ушиджимы, содержащей многозначные функции комплексного переменного.

Во второй главе рассматриваются гиперболические октаэдры, обладающие нетривиальными симметриями, шпат- и 2|т-симметриями.

Октаэдр О, обладающий ттт-симметрией (или тшш-октаэдр), — это октаэдр, остающийся инвариантным при отражениях от трех взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающих О по его реберным циклам. В неевклидовых случаях такой октаэдр однозначно с точностью до движения пространства определяется тремя двугранными углами, т.е. О = 0(А, В, С).

В свою очередь, октаэдр О, допускающий 2|т-симметрию (или 2|ш-октаэдр), — это октаэдр, остающийся инвариантным при вращении вокруг оси на угол 7г и отражении относительно перпендикулярной ей плоскости. В неевклидовых пространствах такой октаэдр определяется четырьмя двугранными углами. Таким образом, О = 0(Л, В, С, £?).

Глава имеет следующую структуру. В начале главы приводится обзор ранее полученных результатов для евклидова и сферического случаев. В последующих параграфах выводятся полученные автором формулы объема произвольных гиперболических шгпш- и 2|ш-октаэдров, а также доказываются критерии существования таких октаэдров в терминах определяющих их двугранных углов.

= 2(зт Л; эт Д + вт В; вт Е1 + вт С; бш

Теорема 19. Пусть О = 0(А, В, С) - гиперболический октаэдр, обладающий ттт-симметрией. Тогда его объем V = У{0) выражается формулой

У(О) = -2 Г' 1п

J ¿2

вт | соз соз соз

где

соз 2Ш±В±Е С08 Ч+А+С+. сод 2С+В+С+. соз ЩЗ,

¿1 = агс^^- - аг^^-, к\ к3

<7 * , +

¿2 = ап^— + аг^—,

кх к3

а вещественные числа кз и кц имеют вид:

к\ = \/2(зт ^

2Л + ?Л . / 2В + тг

+ БШ --- + БШ

— sin ^

2А + 2В + 2С + тг

к, . {2А — -к\ . (2В — 7г\ . ( = -\/2(в\ъ. I—-—1 -Ьвт (—-—1 +81П (

. {2А + 2В + 2С — -8Ш (-4-Р'

2)"

п( ■ А -в . с\

. = 2(иП-+81П- + 81П-^,

2 ,-2 ,-2

+ - А;3 .

Теорема 21. Пусть О = О (Л, В, С, О) — гиперболический октаэдр, обладающий 2|т-симметрией. Тогда его объем V = У(0) выражается интегралом по отрезку вещественной прямой с вещественнозначной подынтегральной функцией

У{0) = Г

Jzl

1п

МП | ЗШ в1п 24+2Л+2В+С-2Л+, ^ ц+2а+с+в

соз со8 ц+2в+с+в с05 ц+с+2х+* с05 2$+2а+в-2х+„

21 = агсЛе— — агйе—, Р1 Рз

Р2 Pi

Z2 = arctg--h arctg—,

Pi Рз

cos Щ + cos ? cos A

A = arcctg--—p—--,

cos j sin A

а вещественные числа pi, p2, pz и pi имеют вид:

Pi = sin A + sin В 4- sin

2A + 2B + C + D

+ sin

C + D

— cos

D + 2X

■ cos

2A + С - 2A

[2A + 2B + D — 2\\ {2B + C + 2X - cos --- — cos

'2A + C-2\\ . (D + 2A\ . Í2B + C + 2AN

p2 = Sill I --- ) + Sin ( --- ) + Sin I --- ) +

'2A + 2B + D — 2A\ (2A + 2B + C + D - sin I ---I + COS

+ cos A + cos B,

^ + cos ^

C+D

+

(D С

sin В + sin — sin A + sin — sin(>l — A)

Pi = \]p\+p\ - Рз-Основная идея вывода этих формул заключается в выборе подходящего разбиения октаэдров на тетраэдры, исключении появляющихся вспомогательных параметров, определяемых двугранными углами тетраэдров триангуляции, и выражении объемов тетраэдров через двугранные углы по формуле Деревшша-Медных.

В свою очередь, критерии существования гиперболических октаэдров, обладающих mmm- и 2|т-симметриями, формулировки которых даются следующими теоремами.

Теорема 18. Для существования компактного гиперболического mmm-октаэдра О = 0(А, В, С) необходимо и достаточно выполнение следующей системы неравенств:

' А + В > 7Г А + С>1Т В + С> fleos2 J + cos2 f + cos2 f > 1.

Теорема 22. Для существования ограниченного гиперболического 2|ш-октаэдра О = 0(А, В, С, D) необходимо и достаточно выполнение следующей системы условий:

signG = (3,1)

< Су > 0, i ф j

Си _ С24 . х/сп" \/сю

Доказательства теорем 18 и 22 основаны на эквивалентности существования октаэдров и тетраэдров подходящих триангуляции, и применении к последним критериев существования тетраэдров с заданным набором двугранных углов, доказанных Е.М. Андреевым17 и А. Ушиджимой18.

В заключении главы автором описывается алгоритм получения формул объема неевклидовых октаэдров, обладающих 4|ш- и шт2-симметриями.

Формулы, полученные во второй главе диссертации, являются обобщениями результатов Галиулина-Михалева-Сабитова19 на неевклидовы случаи.

В третьей главе выводятся формулы объема собственных остроугольных гиперболических призм при некоторых ограничениях на их двугранные углы. В первом параграфе приводятся основные результаты об остроугольных многогранниках и даются формулировки теорем Андреева, на которых строятся дальнейшие рассуждения третьей главы. Наконец, в последующих разделах третьей главы доказываются теоремы об объемах остроугольных гиперболических призм. Подробно разобраны случаи треугольной и четырехугольной призм. Так, следующая теорема позволяет вычислить объем треугольной гиперболической призмы с нетупыми двугранными углами.

Теорема 25. Пусть Р = Р(Аи А2, А3,А4, А5, А6, Л7, А8, А9) — треугольная гиперболическая призма, двугранные углы которой

17Андреев Е. M. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского // Математический сборник. — 1070. — 83 (125). — С. 250-2G0.

l8Ushijima A. A volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra // Non-Euclidean Geometries (Ргчкора A., Molnor E., eds.). — 200G. — 581. — P. 249-265.

19Галиулин P. В., Михалев С. H., Сабитов И. X. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра // Математические заметки. — 2004. — 1 (76). — С. 27-43

удовлетворяют, условиям:

ш,.

О < А1 < -;

т,.

А\ + А2 + А4 > 7Т Аг + А2 + А5 > тг А2 + А3 + Л6 > тг А1 + А7 + Ад > 1Т А5 + А7 + А8>тг

+ Л8 + Ад > тг

т3. Л4 + А5 + А6 < тг\ т4. А3 + Ад + А7 + Аг + Л8 + А2 < Зтг. Тогда ее объем Уо1(Р) выражается следующей формулой

Уо1 (Р) = У{а, А5, Ъ, А2, с, Ах) + У(е: тг - а, с1,А3- с, /, Л4)+

+У{Ад, А8, А6,тг - Ъ - <1, тг - /, А7 - е),

где

- Г

4 Л,

1п

яп | ЗШ <+«»+*-'+' з!п е+^+Д+с 51п е+^'+с

соз соз соз соз

к2 к4

21 = аг^---ап^—,

к3

к2 /С4

22 = ап^— + агс^—,

кг к3

кг = -(сов (а + (3 + 7 + 5 + б + С) + сое (а + 6) + соэ {/3 + е) + сое (7 + С)+ + сое (6 + е + С) + сое (6 + (3 + 7) + соэ (а + е + 7) + сое (а + ¡3 + С)), к2 = вт (а + (3 + 7 + <5 + б + С) + вт (а + 5) + эт {¡3 + е) + вт (7 + £)+ + вт (5 + е + С) + йш (6 + (3 + 7) + вт (а + е + 7) + эт (а + (3 + С)), к3 = 2(зтазт 5 + эт/Звт е + !зт7 8т£),

/С4 = к\ + к2 — к3,

а (а; 6; с; d; е; /), а, с, d, е, / G [0; 7г] — единственное решение системы

-.14 \/сЗЗс44 II д Л»

г1 С12

\Ап4з у/С11С22

г1 14

\/СПС44 \/С11С44

\/c\lc\i

С?3

Vе? 1 У^Из

&

4 > o,i,i,e {1,2,3,4},»^ J.fce {1,2,3}

sgnGj = (3,1),г € {1,2,3}

— соответствующие алгебраические дополнения к ij-м элементам матриц:

(

где фс?-,с?-

Gx =

G2 =

1 — COS Xi — COS Л5

— COS Xi 1 — COS X2

— COS Л5 — COS X2 1 C0SJ4I — COS X3 — COS A2

1 — COS X5 COS X\

- COS 15 1 — COS Xi

COS X\ — COS X4 1

COSJ44 — COS Xq — COs(^3— X3)

— cos

— COS £3

— COS A2

1 /

— cos Ai

— COS xe

— COS (Л3 - x3)

1

/

G3 =

1

— cos Ag

— cos A%

— COS Ag

1

— COS Ar

— cos Л8

— COS AQ

1

— COS (Л7 — £5)^

COS Xq COS (xi + x2)

cos (Л7 — x5) cos cos (3:1+2:2) 1 j

Для доказательства теоремы 21 мы выбираем триангуляцию призм так, чтобы вершины тетраэдра располагались в вершинах призмы. Для устранения возникающих вспомогательных параметров мы используем

теоремы Андреева20, которые позволяют утверждать существование единственного решения приведенной выше системы уравнений, полученной с использованием формулы сипусов-тагепсов.

В конце главы описывается алгоритм получения аналогичных формул в случае произвольных выпуклых ограниченных остроугольных гиперболических мпогогранников, который основан на их триангуляциях без новых вершин21, составлении и решении нелинейных систем, аналогичных системе, присутствующей в формулировке теоремы 25.

Основные результаты работы

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Приведен вывод интегральной формулы Деревнина-Медных объема произвольного гиперболического тетраэдра из формулы Мураками-Япо;

2. Получена интегральная формула объема гиперболического тетраэдра в терминах длин ребер;

3. Найдены явные интегральные формулы объема гиперболических октаэдров, обладающих нетривиальными симметриями;

4. Доказаны критерии существования гиперболических октаэдров с симметриями в терминах двугранных углов;

5. Получены формулы объема собственных остроугольных гиперболических призм, и описан алгоритм вычисления объема произвольного выпуклого ограниченного гиперболического многогранника с нетупыми двугранными углами.

Перечисленные результаты получены лично автором.

20Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского // Математический сборник. — 1970. — 83 (125). — с. 256-200.

21Шевченко В.Н. О разбиении выпуклого политопа на симплексы без новых вершин // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1997. — 12 (427). — С. 89-99.

Работы автора по теме диссертации

[1] Краснов В. А. Об интегральных формулах объема гиперболических тетраэдров // Совр. математика. Фундам. направления. — 2013. — 43. — С. 89-99.

[2] Краснов В. А. Об объеме гиперболического октаэдра с нетривиальными симметриями // Совр. математика. Фундам. направления. — 2013. — 51. — С. 74-86.

[3] Краснов В. А. Об объемах гиперболических симплексов // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. — 2012. — С. 97-99.

[4] Краснов В. А. Объемы многогранников в классических неевклидовых пространствах // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения - XXII" (тезисы докладов). — 2011. — С. 96-97.

[5] Краснов В. А. Об интегральных формулах объема тетраэдров в пространстве Лобачевского // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения - XXIII" (тезисы докладов). — 2012. — С. 98-99.

[6] Краснов В. А. Об объемах гиперболических призм и октаэдров с симметриями // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения - XXIV" (тезисы докладов). — 2013. — С. 114-115.

[7] Краснов В. А. Объемы тетраэдров в пространстве Лобачевского // Вестник Московского государственного областного социально-гуманитарного института. — 1(11). — С. 44-49.

[8] Краснов В. А. Об объемах многогранников в пространствах постоянной отрицательной кривизны // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы: материалы IV научной конференции молодых ученых Москвы и Коломны. — 2012. — С. 32-34.

[9] Краснов В. А. Интегральная формула Деревнина-Медных как инструмент для вычисления объемов гиперболических призм и пирамид // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы: материалы V научной конференции молодых ученых Москвы и Коломны. — 2013. — С. 33-39.

[10] Краснов В. А. Объемы многогранников в неевклидовых пространствах // Начало - 10: сборник научных статей аспирантов и соискателей. — 2011. - С. 293-307.

[11] Краснов В. А. О применениях формулы Деревнина-Медных к вычислению объемов гиперболических выпуклых многогранников // Дифференциальные уравнения, теория функций, нелинейный анализ и оптимизация: труды всероссийской научно-практической конференции. Москва, РУДН, 23 - 26 апреля, 2013 г. - 2013. - С. 96-98.

Подписано в печать: 30.06.14

Объем: 0,8 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 542 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинский проспект, д.2 (495) 978-66-63, wwvv.reglet.ru

ГАОУ ВПО «Московский государственный областной социально-гуманитарный институт»

На правах рукописи

04201460930

КРАСНОВ Владимир Александрович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ОБЪЕМОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ

01.01.04 - геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук

В.П. Лсксин, доктор физико-математических наук

В.О. Мантуров

Оглавление

Введение 4

0.1 Первичные определения и понятия..........................4

0.2 Актуальность темы исследования ..........................6

0.3 Цели работы ..................................................9

0.4 Методы исследования........................................9

0.5 Научная новизна..............................................10

0.6 Теоретическая и практическая ценность....................11

0.7 Апробация результатов работы..............................11

0.8 Структура и объем диссертации............................12

1 Объемы неевклидовых тетраэдров 15

1.1 Объемы евклидовых многогранников ......................16

1.2 Объемы неевклидовых тетраэдров специального вида . . 18

1.2.1 Некоторые предварительные результаты ..........18

1.2.2 Объем ортосхсмы в §3 и И3..........................24

1.2.3 Объем идеального тетраэдра............27

1.3 Объемы произвольных неевклидовых тетраэдров.....28

1.3.1 Формула Сфорцы объема произвольного неевклидова тетраэдра..................29

1.3.2 Формула Мураками-Яно ............................31

1.3.3 Специальная функция Лобачевского и ее свойства 36

1.3.4 Формула Деревнина-Медных

38

2 Объемы гиперболических октаэдров с нетривиальными

симметриями 46

2.1 Объемы евклидовых и сферических октаэдров, обладающих ттт- и 2|т-симмстриями..............46

2.2 Объем гиперболического октаэдра, обладающего ттш-симметрией.......................... 51

2.3 Объем гиперболического октаэдра, обладающего 2|т-симметрией.......................... 59

3 Объемы компактных остроугольных гиперболических

многогранников 69

3.1 Остроугольные многогранники............... 69

3.2 Вычисление объема гиперболической треугольной призмы при некоторых ограничениях на ее двугранные углы 72

3.3 Объем остроугольного гиперболического куба ...... 77

3.4 Вычисление объема произвольного гиперболического компактного остроугольного многогранника .......86

Литература 89

Введение

0.1 Первичные определения и понятия

Мы рассматриваем задачу вычисления объема трехмерного многогранника в классических неевклидовых пространствах. Под классическими неевклидовыми пространствами мы будем понимать сферическое пространство и гиперболическое пространство И3. Причем всегда будем предполагать, что данные пространства наделены стандартными метриками, в которых они имеют постоянные кривизны К — 1 и К = — 1 соответственно.

Определим §3 как множество точек евклидова пространства Е4, координаты которых удовлетворяют условию:

(х, х) =— х^ х^ сс^ —— 1.

Аналогично, определим пространство Н3 как множество точек иссв-доевклидова пространства Е3'1, координаты которых удовлетворяют следующей системе условий:

(х, х) = Х^ "Н ^з X^ == 1 х\ > 0.

Следовательно, гиперболическое пространство Н3 может быть реализовано как связная компонента двуполостного гиперболоида (£,£) = -1 в Е4.

Обозначим через X3 сферическое пространство §'3 или гиперболическое пространство Н3.

Плоскости, прямые и точки §3 (соответственно, И3) в нашем случае представляют собой пересечение линейных подпространств пространства Е1 (Езл) коразмерности один, два и три соотвсствснно, и В3 (соответственно, Н3). В частности, всякую плоскость Не С X3 можно представить в виде:

Не = {хеХ3 | (£,е) = 0},

где е-единичный вектор нормали к Н(, т.е. (е, е) — 1, а х представляет собой радиус-век гор точки х 6 X3.

Точки пространства Н3 мы также будем иногда называть собственными точками пространства Н3. Мы также скажем, что прямым, являющимся образующими конуса — х\ + х\ + х\ + х\ — 0, соответствуют бесконечно удаленные (идеальные) точки пространства И3. Множество бесконечно удаленных точек, представляющих собой компактифика-цию пространства Н3, будем обозначать через Н^.. Наконец, назовем множество Н3 = И3 и Н;^ замыканием пространства Н3.

Далее, угол между пересекающимися плоскостями Не и Нр с нормальными векторами ей р пространства X3 вычисляется по формуле:

С05 (йТяр) = -(е.р). (1)

Легко показать, что расстояние р(х, у) между двумя точками х и у пространства §3 находится следующим образом:

со $р{х,у) = (х,у),

где х и у суть радиус-векторы точек х и у соответственно.

В случае гиперболического пространства И3 формула для расстоя-

ния имеет аналогичный вид:

сЪр(х,у) = ~{х,у).

Далее, назовем конусом будущего С+ множество точек пространства Е4 (Е3'1), координаты которых удовлетворяют следующей системе условий:

I & х) = О > 0.

Тетраэдр Т с X3 будет представлять в нашем случае пересечение с пространством X3 некоторого замкнутого симилициального конуса К СС+.

Так как базис пространства Е4 (Е3,1) однозначно с точностью до ортогонального (пссвдоортогонального) преобразования определяется своей матрицей Грама, то из формулы (1) следует, что тетраэдр Т С X3 однозначно с точностью до движения определяется своими двугранными углами. Отмстим, что тетраэдр в евклидовом пространстве Е3 определяется своими двугранными углами лишь с точностью до подобия.

Отмстим, что при п Ф 3 пространства §" и Н" определяются аналогично рассмотренному выше случаю п = 3.

0.2 Актуальность темы исследования

Настоящая диссертация посвящена вычислению объемов трехмерных неевклидовых многогранников. При этом основной акцент в ней будет сделан на гиперболических многогранниках.

Вычисление объема многогранника в евклидовом пространстве Е3 - старая и трудная задача, известная со времен античности и не поте-

рявшая актуальности в наши дни.

Что касастся неевклидовых пространств §3 и I3, то здесь ситуация еще более сложная. Объем бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) в сферическом случае был найден Л. Шлефлн [43], а Н.И. Лобачевский [32] и Я. Бойяи [20] независимо друг от друга вычислили объем ортосхемы в И3. Объем идеального гиперболического тетраэдра был найден еще в 1835 году Н.И. Лобачевским [32], а в 1982 году Дж. Мил-нор [33] представил этот результат в более элегантном виде. В свою очередь, Э.Б. Винбергом [18] были получены формулы объемов гиперболических пирамид, имеющих вершины на бесконечности.

А вот формула объема произвольного гиперболического тетраэдра долгое время была неизвестна. Лишь на рубеже веков эта проблема была полностью решена в работах Ю. Чо и X. Кима [39], Дж. Му-раками и У. Яно [37], а также Дж. Мураками и А. Ушиджимы [36], но формулы, полученные вышеназванными математиками, являются довольно громоздкими и трудно обозримыми. Следует отмстить, что во всех вышеперечисленных работах объем выражался как алгебраическая сумма 16 значений дилогарифмов Эйлера или функций Лобачевского. Геометрический смысл полученных формул удалось объяснить Г. Лейбону [31] с точки зрения симметрий Редже, а их полное геометрическое доказательство было дано Я.Моханти [34]. В 2004 году Д.А. Деревниным и А.Д. Медных [28] была получена явная интегральная формула объема гиперболического тетраэдра в терминах его двугранных углов. Заметим, что оригинальное доказательство этой формулы основывается на геометрических соотношениях между длинами ребер тетраэдра и его двугранными углами, определенных теоремой синусов-тангенсов. Кроме того, одним из ключевых шагов доказательства является применение дифференциальной формулы Шлефли, вы-

ражающей дифференциал объема через длины ребер и дифференциалы двугранных углов. В этой же работе было сказано, что из формулы Деревнина-Медных вытекает полученная ранее формула Мураками-Яно.

Наконец, формулы объема произвольного сферического тетраэдра в терминах двугранных углов и длин ребер были предложены в 2011 году Дж. Мураками [35].

Нельзя не упомянуть, что впервые формулу объема произвольного неевклидова тетраэдра выписал в 1900 году итальянский герцог Г.Сфорца [44]. К сожалению, формула Сфорцы содержит многозначную функцию. При этом в работе [44] не указано, какая се ветвь даст объем. В связи с этим формула Сфорцы долгое время была полностью забыта и приобрела широкую известность лишь после дискуссии А.Д. Медных с Х.М. Монтссиносом на конференции в Испании в августе 2006 года.

В 2002 году Я.Моханти [34] были вычислены объемы симметричного идеального октаэдра и идеальной треугольной призмы, а в 2008 году Н.В. Абросимоврлм, М. Годой-Молина и А.Д. Медных [14] были получены формулы объемов трехмерных сферических многогранников, обладающих нетривиальными симмстриями, в частности, тшт-и 2|т-октаэдров. Кроме того, в 2011 году Г.А. Байгонакова, М. Годой-Молина и А.Д. Медных [19] вычислили объем гиперболического ттт-октаэдра в простейшей геометрической ситуации.

В настоящей работе приведен вывод формулы Деревнина-Медных из формулы Муракамп-Яно; выписана интегральная формула объема гиперболического тетраэдра в терминах длин его ребер; получены явные интегральные формулы объема произвольных гиперболических ттт- и 2|т-октаэдров, а также доказаны критерии существования

таких октаэдров в терминах двугранных углов; приведен алгоритм вычисления объема неевклидовых октаэдров с 4|т- и тт2-симметриями в терминах двугранных углов; найдены формулы объема собственных остроугольных гиперболических треугольных и четырехугольных призм при некоторых ограничениях на ее двугранные углы, а также описан алгоритм получения аналогичных формул для произвольных остроугольных выпуклых гиперболических многогранников. Отмстим, что данные ограничения, при которых существует единственный с точностью до движения пространства выпуклый гиперболический остроугольный многогранник с заданным набором двугранных углов, были найдены в 1970 году Е.М. Андреевым [16].

0.3 Цели работы

1) Вывести формулу Деревнина-Медных из формулы Мураками-Яно.

2) Получить интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра в терминах длин ребер.

3) Вычислить объем:

а) гиперболических октаэдров, обладающих нетривиальными сим-метриями;

б) собственных остроугольных гиперболических многогранников при некоторых ограничениях на их двугранные углы.

0.4 Методы исследования

В качестве основного метода для решения поставленных целей используется метод триангуляции выпуклого многогранника. Таким образом, объем рассматриваемых многогранников мы представляем в виде ал-

гсбраичсской суммы объемов тетраэдров, которые, в свою очередь, могут быть вычислены по достаточно обозримым формулам. При этом для нахождения дополнительных параметров, возникающих в результате триангуляций, используются как методы классических неевклидовых геометрий, которые были развиты еще в работах Н.И. Лобачевского и Л. Шлсфли, так и новый метод, основанный на применении теоремы Н.М. Андреева.

В диссертации также применяется современный метод, заключающийся в использовании дифференциальной формулы Шлсфли, разработанный еще Л. Шлсфли и получивший широкое применение в работах Э.Б. Винбсрга, А.Ю. Веснина, А.Д. Медных, Д.В. Дсрсвнина, Н.В. Абросимова, М.Г. Пашкевич, М. Годой-Молина и др.

0.5 Научная новизна

Основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, являются новыми. Кроме того, работа содержит также и дополнения к полученным ранее результатам.

На защиту выносятся следующие результаты:

• Приведен вывод интегральной формулы Деревнииа-Медпых объема произвольного гиперболического тетраэдра из формулы Мураками-Яно:

• Получена новая интегральная формула объема гиперболического тетраэдра в терминах длин ребер, выражающая объем интегралом по отрезку вещественной прямой от всщсствсннозначной подынтегральной функции;

• Найдены явные интегральные формулы объема гиперболических

октаэдров, обладающих нетривиальными симмстриями;

• Доказаны критерии существования гиперболических октаэдров с симмстриями в терминах двугранных углов;

• Получены формулы объема собственных гиперболических призм при некоторых ограничениях па их двугранные углы и описан алгоритм вычисления объема произвольного остроугольного выпуклого гиперболического многогранника.

0.6 Теоретическая и практическая ценность

Настоящая работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы для дальнейшего изучения объемов неевклидовых многогранников, в частности, для вычисления объемов многогранников в пространствах размерности п > 4. Также результаты работы представляют интерес для специалистов по маломерной топологии и неевклидовым геометриям.

0.7 Апробация результатов работы

Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях:

• семинар "Дифференциальная геометрия и приложения" (Москва, МГУ, 3 марта 2014) под руководством акад. РАН А.Т. Фоменко;

• семинар "Современные геометрические методы" (Москва, МГУ, 30 октября 2013) под руководством акад. РАН А.Т. Фоменко, A.B. Болсниова, A.C. Мищенко, A.A. Ошемкова, Е.А. Кудрявцевой и И.М. Никонова;

• семинар "Алгебраическая топология и ее приложения" имени М.М. Постникова (Москва, МГУ, 20 ноября 2012) под руководством члсн-корр. РАН В.М. Бухштабсра, A.B. Чсрнавского, H.A. Дын-никова, Т.Е. Панова, Л.А. Алании, A.A. Гайфуллина и Д.В. Мил-лионщикова;

• семинар "Инварианты трехмерных многообразий" (Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 18 марта 2014) под руководством члсн-корр. РАН А.Ю. Веснина;

• семинар "Узлы и теория представлений" (Москва, МГУ, 6 ноября 2012 и 5 марта 2013) под руководством В.О.Мантурова, Д.П.Илыотко и И.М.Никонова;

• семинар по аналитической теории дифференциальных уравнений (Москва, МИРАН, неоднократно с 2011 по 2012) под руководством акад. РАН Д.В. Аносова и В.П. Лсксина;

• семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, РУДН, 22 октября 2013) под руководством А.Л. Скубачсвского;

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 29 пюня-4 июля 2012)

• Всероссийская математическая школа-конференция "Понтрягин-ские чтения" (Воронеж, май 2011-2013)

0.8 Структура и объем диссертации

Диссертация изложена на 95 страницах печатного текста. Она состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. Список литс-

ратуры состоит из 47 наименований работ российских и зарубежных авторов.

Структура диссертации такова.

Введение содержит краткий обзор исследований по теме диссертации, а также список результатов, выносимых на защиту. Рассказывается об основных методах диссертационного исследования, а также о теоретическом и практическом значении полученных результатов.

В первой главе подробно изучаются неевклидовы тетраэдры, причем основной акцент делается на гиперболическом случае. Ее начальные параграфы содержат основные сведения, необходимые для вычисления их объема. Затем приводится обзор основных результатов, относящихся к объемам неевклидовых тетраэдров. Особая роль отводится интегральной формуле Деревпипа-Медиых объема произвольного гиперболического тетраэдра, на которой строятся дальнейшие рассуждения настоящей работы. В конце главы приводится вывод этой формулы из доказанной ранее теоремы Л1уракамп-Яно, который отличается от доказательства, предложенного в оригинальной работе. Как следствие, выписывается формула объема гиперболического тетраэдра в терминах длин ребер, которая выражает объем тетраэдра интегралом по отрезку вещественной прямой от всщественнозиачной подынтегральной функции в отличие от полученной ранее формулы Мураками-Ушиджимы, содержащей многозначные функции комплексного переменного.

Во второй главе рассматриваются гиперболические октаэдры, обладающие нетривиальными симметриями. Глава имеет следующую структуру. Начало главы состоит из обзора результатов, полученных ранее другими авторами для случаев Е3 и §3. В последующих параграфах выводятся полученные автором формулы объема произволь-

ных гиперболических штш- и 2|т-октаэдров и доказываются критерии существования таких октаэдров с заданным набором двугранных углов. В конце главы описывается алгоритм получения формул объема неевклидовых октаэдров, обладающих 4(т- и тт2-симмстриями.

В третьей главе выводятся формулы объема компактных остроугольных гиперболических призм в терминах двугранных углов с некоторыми ограничениями на них. Как было сказано выше, данные ограничения были получены Е.М. Андреевым. Поэтому в первом параграфе приводятся основные результаты об остроугольных многогранниках и даются формулировки теорем Андреева, на которых строятся основные рассуждения третьей главы. Наконец, в последующих разделах доказываются теоремы об объемах остроугольных гиперболических призм. Подробно разобраны случаи треугольной и четырехугольной призм. В конце главы приведен алгоритм получения аналогичных формул в случае произвольного выпуклого гиперболического компактного многогранника с нступыми двугранными углами.

Глава 1

Объемы неевклидовых те