Виртуальные многогранники тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

□□30670В0 Панина Гаянэ Юрьевна

Виртуальные многогранники

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2006

003067060

Работ,) выпи пи ла ь ('апкг-11етербл-р| ском ппспигте информа гики и ашомаш sainm РАН

Официальные оппоненты:

доктор фи шко-математических наук. п]к)фессор Юрий Дмитриевич Бураго

доктор физико-математических паук, доцент Владимир Владимирович Макеев

доктор фи шко-ма тематических наук, профессор Иджад Хакович Сабитов

Ведущая организация:

Институ! матсмашки им. С. Л. Соболева СО РАН

заседании дн< серташюнного совета Д 212.232 29 по защите диссертаций на ( оиеканне учёной степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504. Санкт-Петербу рг. Старый Петергоф. Университетский пр.. д. 28. матемагнко-мсхаиический факультет.

С диссергацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034. Санкт-I le гербу рг. Университетская наб.. д. 7,'9

Зашила будет проходить в Петербургском отделении Математического института имени В.А.Стеклова РАН по адресу: Санкт-Петербурь наб реки Фонтанки д. '27, ауд. 311

Авторофера] разослан_ 2007 г.

Защи та состои тся

г. в

часов па

Учёный секретарь совета Д 212.232 29 ^ доктор физико-математических наук. jjy

профессор ¿Л я/У&'^Т' Нежинский В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Основной объект исследования данной работы - виртуальные многогранники. Виртуальные многогранники суть геометрические реализации разностей Минковского выпуклых многогранников. Они определены и описаны впервые А. Пухликовым и А. Хованским. Однако идея висела в воздухе задолго до этого, например с тех пор, как был открыт и изучен параллелизм между выпуклыми многогранниками и торическими алгебраическими многообразиями. Дело в том, что в рамках этой теории, выпуклым многогранникам соответствуют обильные обратимые пучки на торических многообразиях. Однако обратимые пучки образуют группу (группу Пикара), а многогранники - нет, т.к. не определена операция вычитания по Минковскому.

Еще одна авторитетная область, в которой естественным путем появляются виртуальные многогранники - алгебра многогранников (polytope algebra) П. Мак Маллена, являющейся прямым аналогом алгебры выпуклых цепей А. Пухликова и А. Хованского. Эта алгебра "выросла"из группы многогранников Б. Йессена и А. Торупа. В основе ее лежит изучение равносоставленности многогранников относительно группы параллельных переносов.

Можно пойти еще дальше и пронаблюдать идею хорошо определенного вычитания по Минковскому гладких выпуклых тел у А.Д. Александрова. Позднее эта идея была реанимированна и развита группой французских математиков (Р. Лангевин, Г. Левит, X. Розенберг, И. Мартинес-Мор). Они подробно изучили разности Минковского гладких выпуклых тел. т. наз. хериссонов (hérissons) с точки зрения геометрии поверхностей. Следует отметить, что И. Мартинес-Мор построил пример седлового хе-риссона. благодаря чему получен отрицательный ответ на старую гипотезу о единственности выпуклых поверхностей (задачу А.Д. Александрова).

После появления этой работы стало ясно, что классификация (с точки зрения внешней геометрии) сужающихся седловых поверхностей не завершена. Пропущеными оказались целые классы седловых поверхностей, построение которых требует особой техники, разработаной в диссертации - техники гиперболических виртуальных многогранников.

Круг задач, связанных с гиперболическими виртуальными многогранниками имеет глубокую нетривиальную связь с теорией псевдотриангуля-ций - некоторых специальных разбиений плоских выпуклых многоугольников. При этом исходный многоугольник разбивается не на выпуклые, а наоборот, на максимально невыпуклые части - псевдотреугольники. Более того, особый интерес представляют остроконечные псевдотриангуля-

ции, каждая вершина которых локально выглядит максимально возможно невыпукло - один из прилегающих к вершине углов должен быть больше.

Изначально псевдотриангуляции появились как вспомогательное средство для алгоритмического решения знаменитой задачи о плотницкой линейке. Очень быстро обнаружилась их связь с теорией жесткости плоских механизмов. Оказалось, что часто бывает полезно вкладывать планарные графы в плоскость не выпуклым способом, а в виде остроконечных псев-дотриангуляций.

Даже на первый взгляд, возникающие при этом картинки напоминают сферические изображения гиперболических вееров - с той лишь разницей, что плоские рисунки (в теории псевдотриангуляций) заменяются сферическими (в теории гиперболических виртуальных многогранников). Однако параллель здесь глубже.

Цель работы. Основной целью диссертации является изучение виртуальных многогранников, изучение важного подкласса - гиперболических виртуальных многогранников и решение ряда задач классической геометрии с использованием разработанной техники.

Методы исследований. Применяются методы теории выпуклых многогранников, теории седловых поверхностей, теории регулярных триан-гуляций.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

• Решен вопрос о разложимости многогранника в сумму Минковского многогранников меньшей размерности.

С помощью разработанной в диссертации теории гиперболических виртуальных многогранников решены следующие задачи:

• Построены и изучены контрпримеры к старой гипотезе о единственности выпуклых поверхностей (задаче А.Д. Александрова).

• Построено несколько серий новых(с точки зрения внешней геометрии) седловых поверхностей.

• Уточнена теорема А.Д. Александрова о единственности многогранников.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на геометрическом семинаре ПОМИ, на семинаре по маломерной математике ПОМИ, на семинаре по динамическим системам и теории представлений ПОМИ, на семинаре В.И. Арнольда, на семинаре

"Геометрия в целом "МГУ, на заседаниях Санкт Петербургского и Московского математического общества, на семинарах университетов Берлина, Билефельда и Уппсалы, а также были представлены на следующих конференциях:

1. Международная конференция "Автоматический вывод в геометрии", Цюрих, 2000 г.

2. Международная конференция "Комбинаторная выпуклость и алгебраическая геометрия", Обервольфах, 2001 г.

3. Международная конференция "Выпуклая геометрия"

Обервольфах, 2001 г.

4. Российско-Германская конференция по геометрии, С. Петербург, 2002 г.

5. Международная конференция "Многогранные поверхности", С. Петербург, 2003 г.

6. Международная конференция "Дифференциальные уравнения "(памяти И.Г. Петровского), Москва, 2004 г.

7. Международная конференция "Геометрия, топология, комбинаторика", Стокгольм, 2004 г.

8. Международная конференция "Жесткость и изгибаемость", Вена, 2006 г.

9. Миниконференция "Маломерная геометрия", С. Петербург, 2006 г.

10. Международная конференция "Выпуклая геометрия"

Обервольфах, 2006 г.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в теории мно-гранников и выпуклых тел. Особенно интересны и неожиданны возможные приложения в теории псевдотриангуляций, вложений планарных графов и теории жескости графов.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 8 научных статьях, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, содержащего 59 названий Общий объём диссертации составляет 144 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся общий обзор результатов, относящихся к тематике диссертации, и обсуждаются мотивировки решаемых в ней задач.

Основной объект исследования данной работы - виртуальные многогранники.Они допускают следующие равносильные представления.

1. Виртуальный многогранник - элемент группы Гротендика полугруппы выпуклых многогранников (групповая операция - сложение по Минковскому <2>) в евклидовом пространстве, т.е. формальное выражение вида К 0 М~х, где К и М - выпуклые многогранники.

2. Виртуальный многогранник (как элемент алгебры многогранников) есть многогранная функция, т.е. конечная линейная комбинация с целочисленными коеффициентами характеристических функций выпуклых многогранников.

3 Виртуальный многогранник - кусочно-линейная положительно однородная функция, заданная на Еп.

Полугрупповой гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому выпуклому многограннику его опорную функцию, продолжается до изомоморфизма группы виртуальных многогранников (операция -сложение по Минковскому ®) и группы кусочно-линейных положительно однородных функций, заданных на К™ (операция - поточечное сложение)

4. Виртуальный многогранник - пара

где Р -некоторая замкнутая многогранная поверхность (допускаются самопересечения и самоналожения) с коориентированными гранями, а £ - ассоциированный с Р веер.

5. С виртуальным многогранником естественно ассоциировать двойственный объект - график его опорной функции. Из соображений сохранения свойств выпуклости, его правильно рисовать на п + 1-мерной сфере.

6. Виртуальный многогранник - элемент предела групп Пикара тори-ческих многообразий.

Структура работы следующая.

Глава 1 посвящена изучению виртуальных многогранников ради их самих. Изучены способы построения виртуальных многогранников, их различные представления, перенесены многие классические понятия.

Многие понятия легко распространяются по линейности: понятие граней, опорной функции, смешанного объема, объема. Важно, что при этом

сохраняется алгебраичность объема. Соответствующие теоремы аналогичны теоремам из геометрии выпуклых многогранников.

В других отношениях виртуальные многогранники ведут себя иначе чем выпуклые - они бывают изгибаемыми, они не определяются совокупностью нормалей и объемов гиперграней, а также не определяются аффинными оболочками своих гиперграней.

Во втором параграфе изучено поведение виртуальных многогранников и многогранных функций при вычислении смешанных объемов. Описан оператор а , сопоставляющий каждой многогранной функции Т7 виртуальный многогранник аР, поведение которого совпадает с поведением функции Р.

Важный объект - веер виртуального многогранника. Как и в выпуклом случае, это минимальное разбиение пространства на конуса, на каждом из которых опорная функция линейна. Графически удобно изображать пересечение веера с единичной сферой с центром в точке О

В отличие от выпуклого случая, веер виртуального многогранника может не только быть нерегулярным, но и содержать невыпуклые клетки. В отличие от выпуклого случая, виртуальный многогранник не определяется однозначно набором нормалей к его гиперграням и значений опорной функции на этих нормалях .

С некоторыми замкнутыми многогранными поверхностями, лежащими в Кп можно связать виртуальный многогранник. Для этого необходимо существование веера, двойственного поверхности, у которой выбраны коориентации граней (коориентировать грани можно независимо друг от друга). Иногда существует несколько вееров, двойственных одной и той же поверхности. Это значит, что с поверхностью ассоциированны несколько разных виртуальных многогранников. Например, с трехмерным тетраэдром можно связать 52 различных виртуальных многогранника.

В четвертом параграфе изучаются вопросы жесткости виртуальных многогранников. Получены следующие результаты.

• Виртуальный многогранник, все клетки веера которого выпуклы, является жестким.

• При этом существуют нежесткие виртуальные многогранники с любой степенью свободы изгибаний. Однако эти примеры не слишком интересны: изгибаемость обусловлена несвязностью сети (1-остовом веера) многогранника.

• Некоторые изгибаемые октаэдры Брикара первого и второго типа могут быть снабжены структурой виртуальных многогранников. Тем самым получены примеры изгибаемых виртуальных многогранников со связной сетью.

В пятом параграфе изучается теорема Минковского в классической постановке для виртуальных многогранников. Утверждение о единственности многогранника с заданным набором нормалей гиперплоских граней и заданными значениями объемов этих граней оказывается неверным для виртуальных многогранников. Вопрос существования является крайне сложной открытой проблемой, и ответ на него скорее всего отрицательный.

К этой тематике примыкают результаты В. Александрова. Он ограничился рассмотрением (в терминологии диссертации) виртуальных многогранников с выпуклым веером и доказал для них прямой аналог теоремы Минковского. Однако введенное им понятие площади грани отличается от предложенного в диссертации.

В Главе 2 решена следующая задача (уже лежащая вне рамок самой теории виртуальных многогранников).

Пусть К - п-мерный многогранник.

• Найти необходимое и достаточное условие того, что К является суммой Минковского к -мерных многогранников.

• Найти явно такое представление (если оно существует).

• Для разложимых в сумму решеточных многогранников (т.е. таких, вершины которых лежат в узлах некоторой решетки), найти такое представление, в котором все слагаемые - решеточные многогранники.

Решение задачи получено в следующем виде.

Для к = 1,...,п выделим в группе виртуальных многогранников V* подгруппы ¿¡-цилиндров:

Виртуальный многогранник К 6 V* называется к-цилиндром

(к = 1,..., п + 1 ), если он представим в виде суммы Минковского (п — к + 1)-мерных многогранников:

К = ®гКг, ¿гтК1 < п - к 4-1.

Группы ¿-цилиндров Су1к образуют фильтрацию

V = Сук Э---эСу1п+1 = {£},

где Е - единичный элемент V*.

Мы строим набор взаимно ортогональных проекторов, групповых гомоморфизмов, коммутирующих с движениями пространства

4 ■ V* -> Су1к,

сумма которых есть тождественный гомоморфизм. Их сумма естественным образом порождает разложение групп V* и Cylk в прямую сумму (см. Теорема 2.5.4).

V* = SiV* © S2V* © • • • © 5nV

и

Cylk = &kV*

Кроме того, мы построили другой набор проекторов 5¡f, обладающих всеми свойствами S¿ (кроме коммутирования с движениями пространства), и следовательно, порождающие аналогичное разложение группы виртуальных многогранников.

При этом ó £ отображает решеточные многогранники на решеточные.

Следствием этого разложения является следующая теорема.

Теорема 2.5.5

Многогранник К представим в виде суммы к -мерных многогранников тогда и только тогда он представим в виде суммы своих граней размерности не выше к, взятых с некоторыми (возможно, отрицательными) весами

Это представление не единственно. Особенно интересны два примера таких представлений. Веса определяются явно с помощью операторов 5k и 5fr Операторы 5k замечательны тем, что коммутируют с группой движений Операторы 5j? отображают решеточные многогранники на решеточные.

Имеется естественная (но нетривиальная) связь этого разложения с известной фильтрацией Йессена - Торупа группы П (polytope group modulo tianslation). Эта группа была введена для изучения равносоставленности многогранников относительно группы параллельных переносов. П - абелева группа, образующими которой являются все многогранники в К", а определяющие соотношения - следующие.

К\ + К2 = Ki U К2, если К\ Л -вырожденный многогранник;

иК — К, где и - произвольный параллельный перенос.

В группе П есть аналогичные подгруппы цилиндров Z¡., образующие фильтрацию Йессена - Торупа:

П = Zl Э ... э Zn+i = {0}.

Изучение этой фильтрации позволило доказать полноту системы инвариантов Хадвигера для равносоставленности относительно группы параллельных переносов. Позже эта фильтрация была перенесена на алгебру

многогранников П. МакМаллена. Полученная весовая фильтрация позволила ввести на М структуру градуированной алгебры.

В Главе 3 построена серия контрпримеров к следующей старой гипотезе (именуемой в дальнейшем "Гипотезой").

Гипотеза о единственности гладких выпуклых поверхностей (задача А.Д. Александрова).

Пусть К С IR3 - гладкое тело. Если существует такая константа С, что в каждой точке дК выполнено неравенство Ri < С < R2, то тело К - шар. (R\ и R2 обозначают главные кривизны дК).

Предыстория проблемы здесь такова.

А.Д. Александров и Х.Ф. Мюнцнером доказали гипотезу для аналитических тел (А.Д. Александров - существенно раньше, но при некотором дополнительном небольшом предположении). Появление статьи Мюнцне-ра вызвало подъем интереса к этой проблеме.

Долгое время специалисты были убеждены в справедливости Гипотезы для гладких тел, однако были получены лишь частные результаты. Д. Кутрофиотис и Р. Шнайдер доказали (Д. Кутрофиотис -для гладких тел, а Р. Шнайдер - для произвольной гладкости), что Гипотеза верна, если некоторая проекция тела К является диском.

Недавно И. Мартинес-Мор (2001) привел контрпример к гипотезе. Вначале он показал, что каждый гладкий гиперболический хериссон порождает желаемый контрпример, а затем привел пример такого хериссо-на, а именно, С2- гладкую полуалгебраическую седловую поверхность с четырьмя рогами, заданную явной формулой (см. Рис. 2).

Поясним связь между Гипотезой и теорией седловых поверхностей следующая.

Предположим, что тело К удовлетворяет условию Гипотезы. Рассмотрим разность Минковского Н = К ® В^1 тела К и шара В с радиуса С.

Неравенство для главных радиусов кривизн означает, что Н является седловой во всех своих гладких точках (в таком случае говорим, что Н -гиперболический хериссон).

Обратно, имея поверхность, являющуюся седловой во всех своих гладких точках, опорная функция которой определена и является гладкой, легко получить контрпример к Гипотезе, прибавив по Минковскому шар достаточно большого радиуса.

В 1998 году A.B. Погорелов опубликовал ошибочное доказательство того, что такой седловой поверхности не существует.

Неверной также является теорема П.Речевского и С. Шефеля, утверждающая, что не существует аналогичной поверхности с рогами, уходящими на бесконечность.

Точки, в которых поверхность не является седловой (т.е., окрестности которых можно "отрезать"от поверхности плоскостью), мы называем рогами. Пример Мартинеса-Мор имеет 4 рога. Эта поверхность задана явно как склейка графиков двух функций.

Оказалось, что этот пример не единственный, и что можно достичь большей гладкости:

Теорема 3.6.1 Для любого четного числа N > 4 существует С°° -гладкий гиперболический хериссон с числом рогов N. □

(Число рогов у гиперболического хериссона не может быть меньше четырех из простых соображений: гиперболический хериссон лежит в выпуклой оболочке своих рогов.)

В основе конструкции лежит теория гиперболических виртуальных многогранников (для краткости мы называем их просто гиперболическими многогранниками), представляющих собой многогранный аналог гиперболических хериссонов.

Отметим, что пример гиперболического многогранника с четырмя рогами предложен Мартинесом-Мор.

Вначале строится дискретный аналог гиперболического хериссона -гиперболический многогранник с нужным числом рогов. Затем этот многогранник сглаживается (точнее, сглаживается его опорная функция), что приводит к требуемому гиперболическому хериссону.

Сложности здесь встречаются на каждом этапе: хотя существуют разнообразные гиперболические многогранники, построить хотя бы один непросто: теоретически гиперболические многогранники образуют открытое множество (малые шевеления вершин оставляют виртуальный многогранник в классе гиперболических), но это множество очень узко.

Кроме того, разработанная техника сглаживания применима не ко всякому гиперболическому многограннику.

Дадим определение гиперболических многогранников.

Пусть К - виртуальный многогранник в Е3, е - плоскость в К3. Рассмотрим сужение опорной функции виртуального многогранника К на плоскость е . Пусть Рк (е) - график этого сужения. Он представляет собой двумерную многогранную поверхность. Заметим, что Рк (е) выпукла вниз для любой плоскости е тогда и только тогда, когда К - выпуклый многогранник. Этот факт мотивирует следующее определение.

Определение 3.3.1.

Виртуальный многогранник К называется гиперболическим, если график сужения его опорной функции ^(е) - седловая поверхность для любой плоскости е.

В Главе 4 построены новые гиперболические хериссоны, в т.ч. с нечетным числом рогов. Техника здесь та же, что и в главе 3: строится гиперболический многогранник, который затем сглаживается. В параграфе 2 развиты технические приемы получения из одного веера другого

В частности, иногда стандартным приемом к гиперболическому многограннику можно добавить рог.

Гиперболические многогранники интересны и как самостоятельный объект изучения.

По отношению к выпуклым многогранникам они занимают то же место, что и седловые поверхности по отношению к выпуклым поверхностям.

Следующая теорема сравнивает выпуклые и гиперболические многогранники.

Теорема 3.3.6.

Обозначим через Hyp множество всех гиперболических многогранников. Положим также

Conv — {К 6 V*\ либо К, либо К"1 - выпуклый многогранник}.

1 К € Conv тогда и только тогда, когда все внутренние значения двумерных граней К неотрицательны;

К G Hyp тогда и только тогда, когда все внутренние значения двумерных граней К неположительны

2. К € Conv U Hyp -ФФ- ориентации двумерных граней К порождают глобальную ориентацию Ск-

3. Пусть К - симплициальный виртуальный многогранник. Тогда

К £ Conv тогда и только тогда, когда каждая вершина его веера Е/г выпукла (каждый примыкающий к вершине угол меньше тг);

К G Hyp тогда и только тогда, когда каждая вершина его веера

Ек невыпукла (один из углов, примыкающий к вершине, больше ж). □

Веера симплициальных гиперболических многогранников представляют собой интересный комбинаторный объект - они порождены специальным образом раскрашенными графами на сфере. Пусть К - симплициальный гиперболический многогранник. Ребра его (сферического) веера образуют вложенный в сферу граф, обладающий следующими свойствами.

• Ребра графа - геодезические отрезки.

• Валентность каждой вершины А равна 3, причем один из углов, образованный примыкающими к А ребрами, больше тт.

• Ребра веера допускают правильную раскраску: их можно раскрасить в 2 цвета так, что локально будут допустимы лишь две возможные раскраски, когда крайние ребра окрашены в один цвет, а ребро посередине - в другой.

Смысл такой раскраски прост: мы красим в синий цвет ребра, соответствующие выпуклости вниз графика и в красный цвет - соответствующие выпуклости вверх.

Правильная раскраска веера кодирует некоторые свойства виртуальных многогранников:

Теорема 4.2.5. Пусть К - симплициалъный гиперболический многогранник с веером Ед'. Для двухмерной клетки а веера Хк обозначим через S{a) число перемен цвета при обходе клетки по периметру. Следующие утверждения справедливы.

1. S(a) — 2 тогда и только тогда, когда а соответствует (по двойственности) рогу.

2. Если S(a) = 2, то клетка а содержит большой полукруг (но не vise versa!).

3. Если S{а) = 0, то К - виртуальный треугольник или виртуальный отрезок.

4- Е„[5(«)-4] = -8. □

Подсчет числа перемен цвета очевидно напоминает подсчет числа перемен знака в лемме Коши, которая приводит к доказательству теоремы о жесткости выпуклых многогранников (а также теоремы о жесткости виртуальных многогранников с выпуклым веером, см. Глава 1).

Не исключено, что имеется глубокая связь между изгибаемыми виртуальными многогранниками и гиперболическими многогранниками.

Гиперболические виртуальные многогранники можно классифицировать по числу рогов. Однако существует более тонкая классификация. Дело в том, что каждый рог естественным образом порождает дает большой ориентированный полукруг на сфере (этот полукруг содержится в клетке веера, двойственной рогу, а его ориентация порождается раскраской). Тем самым каждый гиперболический многогранник порождает некоторую конфигурацию непересекающихся ориентированных больших полукругов на сфере.

Мы рассмотрим лишь случай, когда эта конфигурация выглядит просто, а именно когда она допускает естественное циклическое упорядочение При этом гиперболическому многограннику К ставится в соот-

ветствие ожерелье, т.е. циклическую последовательность N знаков " + "и " — "(N обозначает число рогов).

Теорема 4.4.3.

Каждое ожерелье с более чем тремя переменами знака является ожерельем некоторого гиперболического многогранника. □

Замечание

Отметим, что при этом построена серия новых (с точки зрения внешней геометрии) седловых поверхностей.

Техника, развитая в Главе 4, может быть успешно применена для построения гиперболических многогранников с более сложной комбинаторикой конфигурации ориентированных полукругов.

В качестве приложения, мы докажем теорему, напоминающую Теорему Мебиуса о трех точках перегиба замкнутой нестягиваемой кривой на проективной плоскости.

Этот результат получается при исправлении ошибки в работе A.B. По-горелова, откуда и заимствован непосредственно метод доказательства.

Пусть Г - двумерная замкнутая поверхность, лежащая на трехмерной сфере.

Определение

Дугой перегиба Г назывеатся большой полукруг S С 5'3 такой, что

• Sc Г

• Для любой большой сферы с С S3, трансверсально пересекающей S, точка е П S является точкой перегиба кривой е |~| Г

Теорема 4.6.3.

Пусть Г - гладкая седловая поверхность, лежащая на S3 и допускающая биективную ортогональную проекцию на некоторую большую сферу S2 Тогда Г содержит по крайней мере 4 дуги перегиба. □

Эта теорема - гладкий аналог теоремы 4.2.5.

Глава 5 предлагает уточнения (как "сверху", так и "снизу") другой теоремы единственности А.Д. Александрова, которую он сам классифицировал как дискретный вариант Гипотезы:

Теорема А.Д. Александрова о единственности многогранников .

Пусть К, М е Ж3 -выпуклые трехмерные многогранники. Предположим, что для каждой пары параллельных граней с внешними нормалями £ таких, что <ИтК* = 2 или йгтМ^ = 2, не существует параллельного переноса, помещающего одну из граней строго внутрь другой.

Тогда К и М равны с точностью до параллельного переноса. □

Не удивительно, что эта теорема допускает естественную интерпретацию в терминах гиперболических многогранников. Более того, доказательство теоремы (принадлежащее А.Д. Александрову) можно переписать на языке гиперболических многогранников: вспомогательные индексы, которые он вводит в процессе доказательства, являются значениями разности Минковского соответствующих граней.

Рассмотрим следующее смягчающее условие (**).

(**) Для каждого £ £ такого, что = 2 или ¿гт(Ь^) — 2,

существует не более одного переноса £ такого, что С Ь^, ф Ь* или Э Ь^. ЬК^ ф . (Если такой перенос существует, будем говорить, что одна из граней жестко вкладывается в другую )

Теорема 5.3.1. Уточнение "сверху".

Существуют различные трехмерные многогранники К,М & К3 такие, что для каждой пары параллельных граней ^ удовлетворяющих условию йгтК^ = 2 или длтМ^ = 2, существует не более одного параллельного переноса, помещающего одну из граней строго внутрь другой □

Каждый из многогранников из этого примера имеет 56 граней. Оба многогранника обладают определенной симметрией.

Построение этого примера связано с регулярно триангулируемыми веерами гиперболических многогранников.

Отметим однако, что построенные в главах 3 и 4 веера гиперболических многогранников сильно напоминают как раз нетриангулируемые регулярно разбиения. Для построения нужного примера в этой главе мы развиваем новую технику. А именно, мы строим не сам искомый гиперболический многогранник, а сферический график его опорной функции. Мы строим эту седловую поверхность, натягивая седловую оболочку на некоторый набор больших полукругов на трехмерной сфере. Далекая аналогия заключается в натягивании выпуклой оболочки на набор точек. Не всякий набор полукругов допускает натягивание седловой оболочки: они должны образовавать некоторое специальное зацепление (в стиле О. Ви-ро).

Это уточнение следующим образом вписывается в теорию гиперболических многогранников: Многогранники К и Ь удовлетворяют условию (**)=> многогранник К <8> Х-1 -гиперболический.

Обратно, пусть Н - гиперболический многогранник, веер £# которого допускает регулярную триангуляцию Е. Это означает, что существует выпуклый многогранник К с веером £. Тогда для достаточно большой константы С, пара многогранников С К и С К ® Н удовлетворяет условию (**).

Если немного усилить условие (**), то подобного примера не будет.

Теорема 5.4.1. Уточнение "снизу". Пусть К,М € М3 -выпуклые трехмерные многогранники. Предположим, что для каждой пары параллельных граней таких, что йгтК4 = 2 или дгтМ* = 2, справедливы два утверждения:

(1) Существует не более одного параллельного переноса, помещающего грань К^ строго внутрь М^.

(2) Не существует параллельного переноса, помещающего грань М^ строго внутрь К

Тогда К и М равны с точностью до параллельного переноса. □

Вопрос регулярно триангулируемых гиперболических вееров интересен и с точки зрения изучения самих триангуляций. Видимо, простые гиперболические веера могут "ловить"нетриангу- лируемые регулярно разбиения. В связи с этим особенно интересна гипотеза, появившаяся в результате обсуждения результатов этой главы с Николаем Мневым:

Существует ли регулярно триангулируемый простой гиперболический веер?

В главе б описана интересная и перспективная связь теории гиперболических виртуальных многогранников и теории псевдотриангуляций -некоторых специальных разбиений плоских выпуклых многоугольников. При этом исходный многоугольник разбивается не на выпуклые, а наоборот, на максимально невыпуклые части - псевдотреугольники. Более того, особый интерес представляют остроконечные псевдотриангуляции, каждая вершина которых локально выглядит максимально возможно невыпукло - один из прилегающих к вершине углов должен быть больше тг.

Подобно тому, как гиперболические многогранники противоположны выпуклым, псевдотриангуляции противоположны выпуклым разбиениям.

Псевдотриангуляции приобрели особую популярность после того, как И. Стрейну использовала их для алгоритмического решения знаменитой задачи о плотницкой линейке. Вскоре обнаружилась их связь с теорией жесткости плоских механизмов. Оказалось, что часто бывает полезно

вкладывать планарные графы в плоскость не выпуклым способом, а в виде остроконечных псевдотриангуляций.

Даже на первый взгляд, возникающие при этом картинки напоминают сферические изображения гиперболических вееров - с той лишь разницей, что плоские рисунки (в теории псевдотриангуляций) заменяются сферическими (в теории гиперболических виртуальных многогранников). Однако легко прослеживаются и более глубокие параллели.

Вот две ключевые идеи взаимодействия двух теорий.

• Вкладывая граф в сферу (а не в плоскость) в виде остроконечной псевдотриангуляции, можно существенно расширить класс вкладываемых графов засчет использования псевдо-двухугольников.

• Сложная задача построения гиперболических виртуальных многогранников (трехмерных объектов) может быть сведена к задаче построения вложенных в сферу графов специального типа (двумерных объектов), что означает значительное упрощение.

В направлении взаимного интегрирования двух теорий пока не получено значительных результатов. Пока эта тема остается перспективой будущих исследований.

В главе 6 описана подробно взаимосвязь двух теорий, сформулированы естественные гипотезы (подтвержденные имеющимися разнообразными примерами) и доказаны некоторые простые утверждения.

В качестве иллюстрации показано, как можно построить гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами, не прибегая к сложным пространственным построениям, а рассмотрев всего один вложенный в сферу граф.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Панина Г. Смешанные объемы для невыпуклых тел // Изв. Нац. АН Армении. Мат. - 1993. - Т.28. - 1. С. 72-81.

2. Панина Г. Ю. Смешанные объемы многогранных функций // Алгебра и Анализ. - 1996. - Т.6. - 6. - С. 1209-1217.

3. Панина Г. Структура группы виртуальных многогранников относительно подгрупп цилиндров // Алгебра и Анализ. - 2001. - Т. 13. - 3. - С. 179-197.

4. Панина Г. Виртуальные многогранники и классические вопросы геометрии // Алгебра и Анализ. - 2002. - Т. 14. - 5. - С. 152-170.

5. Pamna G. On Minkowski decompositions of polytopes // Proc. ADG-2000 (Automated deduction in geometry). - 2000. - C. 228-233.

6. Panina G. Rigidity and flexibility of virtual polytopes // Central European J. of Math. - 2003. - T. 2. - C. 157-168.

7. Panina G. New counterexamples to A.D. Alexandrov's uniqueness hypothesis // Advances in Geometry. - 2005. - T. 5. - C. 301-317.

8. Panina G. On hyperbolic virtual polytopes and hyperbolic fans // Central European J. of Math. - 2006. - T. 4. - 2. - C. 270-293.

Подписано в печать 12.10.2006 г. Заказ №55136 Формат бумаги 60x84/16 Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии «УНИ-ПРИНТ» 191119, Санкт-Петербург, ул. Достоевского, д. 44 тел.: 712-58-14, факс: 575-57-45

Введение.

1 Виртуальные многогранники. Базовые понятия.

1.1 Введение.

1.2 Виртуальные многогранники и хериссоны: основные определения.

1.3 Примеры виртуальных многогранников.

1.4 Объем и смешанный объем виртуальных многогранников.

1.5 Сети виртуальных многогранников.

1.6 Изгибаемые многогранники с несвязными сетями.

1.7 Жесткость виртуальных многогранников.

1.8 Изгибаемые виртуальные многогранники со связными веерами. Октаэдры Брикара.

1.9 Теорема Минковского и виртуальные многогранники

2 Структура группы виртуальных многогранников относительно подгрупп цилиндров.

2.1 Введение

2.2 Операции над многогранниками и многогранными функциями

2.3 Оператор о.

2.4 Операторы и Выделение первого прямого слагаемого в группе V.

2.5 Операторы 8к и Выделение последующих слагаемых

2.6 Алгоритм разложения.

3 Гиперболические многогранники и задача А.Д. Александрова.

3.1 Введение

3.2 Гладкие хериссоны и Гипотеза.

3.3 Гиперболические многогранники и гиперболические хериссоны

3.4 Сферический график опорной функции

3.5 Пример гиперболического виртуального многогранника с N рогами (N четно)

3.6 Гиперболическое сглаживание

4 Гиперболические многогранники и гиперболические веера

4.1 Введение

4.2 Гиперболические веера. Раскраска.

4.3 Операции над веерами

4.4 Новые примеры: гиперболические многогранники с четным и нечетным числом рогов.

4.5 Сглаживание.

4.6 Аналог теоремы Мебиуса для двумерных замкнутых седло-вых поверхностей

5 Теорема единственности А. Д. Александрова для выпуклых многогранников и ее уточнения.

5.1 Введение

5.2 Теорема А. Д.Александрова с точки зрения гиперболических многогранников.

5.3 Основной пример. (Уточнение сверху.).

5.4 Уточнение снизу и три открытых вопроса.

Основной объект исследования данной работы - виртуальные многогранники. Образно говоря, виртуальные многогранники суть геометрические реализации разностей Минковского выпуклых многогранников. Они определены и описаны впервые А. Пухликовым и А. Хованским (1989, [13]). Однако идея висела в воздухе задолго до этого, например с тех пор, как был открыт и изучен параллелизм между выпуклыми многогранниками и торическими алгебраическими многообразиями (см., например обзор В. Данилова [7] или Т. Ода [41]). Дело в том, что в рамках этой теории, выпуклым многогранникам соответствуют обильные обратимые пучки на торических многообразиях. Однако обратимые пучки образуют группу (группу Пикара), а многогранники - нет, т.к. не определена операция вычитания по Минковскому.

Можно пойти еще дальше и пронаблюдать идею хорошо определенного вычитания по Минковскому гладких выпуклых тел у АД. Александрова (см.[1]). Позднее, эта идея была реаними-рованна и развита группой французских математиков (Р. Лан-гевин, Г. Левит, X. Розенберг [31), И. Мартинес-Мор [32-34]). Они подробно изучили разности Минковского гладких выпуклых тел, т. наз. хериссоиов (herissons) с точки зрения геометрии поверхностей. Следует отметить, что И. Мартинес-Мор построил пример седлового хериссона, благодаря чему получен отрицательный ответ на старую гипотезу о единственности выпуклых поверхностей (задачу АД. Александрова).

Отметим также работы X. Радштрема [43], изучавшего разности Минковского выпуклых тел, но однако не предложившего их геометрической интерпретации.

Еще одна авторитетная область, в которой естественным путем появляются виртуальные многогранники - алгебра многогранников (polytope algebra) П. Мак Маллена [35-37], являюща-ясяся прямым аналогом алгебры выпуклых цепей А. Пухликова и А. Хованского. Эта алгебра "выросла"из группы многогранников Йессена и Торупа [26], в осеове которой лежит изучение равносоставленности многогранников относительно группы параллельных переносов. Множество выпуклых многогранников в вещественном евклидовом пространстве порождает градуированную алгебру. При этом градуировка соответствует естественной градуировке предела колец Чжоу торических многообразий. Изучение этой алгебры было черезвычайно плодотворным и привело как к решению некоторых старых проблем геометрии (например , задачи о характеризации возможных /-векторов многогранников [36], [18]), так и к открытию новых параллелей между геометрией многогранников и геометрией торических многообразий [23].

Существуют и другие интересные представления алгебры многогранников. М. Брион установил, что алгебра многогранников изоморфна алгебре кусочно-полиномиальных функций (имеется ввиду кусочная-полиномиальность относительно некоторого веера, подобно тому, как опорные функции кусочно- линейны относительно некоторого веера), профакторизованной по глобально полиномиальным функциям.

Группа виртуальных многогранников естественным образом вкладывается в алгебру многогранников (что соответствует вложению группы Пикара в кольцо Чжоу).

Виртуальные многогранники допускают следующие равносильные представления (точные формулировки - см. Глава 1).

1. Виртуальный многогранник - элемент группы Гротендика полугруппы выпуклых многогранников (групповая операция - сложение по Минковскому (g>) в евклидовом пространстве, т.е. формальное выражение вида К ® М~1, где К и М - выпуклые многогранники [48], [13].

2. Виртуальный многогранник (как элемент алгебры многогранников) есть многогранная функция, т.е. конечная линейная комбинация с целочисленными коеффициентами характеристических функций выпуклых многогранников [13],

3. Виртуальный многогранник - кусочно-линейная положительно однородная функция, заданная на Жп [13].

Полугрупповой гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому выпуклому многограннику его опорную функцию, продолжается до изомоморфизма группы виртуальных многогранников (операция - сложение по Минковскому <g>) и группы кусочно-линейных положительно однородных функций, заданных на Rn (операция - поточечное сложение).

4. Виртуальный многогранник - пара т где F -некоторая замкнутая многогранная поверхность (допускаются самопересечения и самоналожения) с коориен-тированными гранями, а Е - ассоциированный с F веер [12], [44-46].

5. С виртуальным многогранником естественно ассоциировать двойственный объект - график его опорной функции. Из соображений сохранения свойств выпуклости, его правильно рисовать на n-мерной сфере [46].

6. Виртуальный многогранник - элемент предела групп Пи-кара торических многообразий [7], [23], [41].

Среди трехмерных виртуальных многогранников автором впервые выделен особый класс гиперболических многогранников. Наиболее важные задачи решены именно с использованием техники гиперболических многогранников.

Структура работы следующая.

Заключение

В диссертации последовательно развивается теория виртуальных многогранников, среди которых особое место занимают гиперболические виртуальные многогранники.

Развитая техника позволила решить ряд классических задач, продолжая исследование выпуклых многогранников в стиле А. Д. Александрова.

А именно, следующие результаты диссертации являются центральными.

• Решен вопрос о разложимости многогранника в сумму Минковского многогранников меньшей размерности.

• Построены и изучены контрпримеры к гипотезе А.Д. Александрова о единственности выпуклых поверхностей.

• Построено несколько серий новых(с точки зрения внешней геометрии) седловых поверхностей.

• Уточнена теорема А.Д. Александрова о единственности многогранников.

Методы диссертации варьируются от методов дифференциальной геометрии до комбинаторики и топологии.

1. Александров А.Д. Теорема единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, Т. 19(1937), с. 227-229.

2. Александров А.Д. О теоремах единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, Т. 22 (1939),No. 3, с. 99-102.

3. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. ГИТЛ, М.-Л., 1950.

4. Александров В., Коптева Н. , Кутателадзе С. Суммирование Бляшке и выпуклые многогранники. Тр. сем. Векторн. Тензорн. Анал. 2, (2005), 8-30.

5. Бураго Ю.Д. Геометрия поверхностей в евклидовых пространствах. Москва, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ, 1989.

6. Вернер А.Л. О внешней геометрии полных поверхностей неположительной кривизны. Мат. Сб. Т. 2(1967) No. 3, с. 205224; Мат. Сб. Т. 1 (1968) No. 4, с. 99-123.

7. Данилов В. Геометрия торических многообразий. УМН, 33 (1978), No. 2, с. 85-134.

8. Панина Г. Ю. Смешанные объемы для невыпуклых тел. Изв. Нац. АН Армении. Мат., Т. 28 (1993), No. 1, с, 72-81.

9. ЩПапина Г. Ю. Смешанные объемы многогранных функций. Алгебра и Анализ, т.6 (1996), No. 6, с. 1209-1217.

10. Панина Г. Ю. Комбинаторика преобразования Радона по эйлеровой характеристике. Изв.Нац.Акад. Наук Армении. Мат., Т. 34(1999), с. 84-90.

11. Панина Г. Ю. Структура группы виртуальных многогранников относительно подгрупп цилиндров. Алгебра и Анализ, Т.13(2001), No. 3, с. 179-197.

12. Панина Г. Ю. Виртуальные многогранники и классические вопросы геометрии. Алгебра и Анализ, Т.14(2002), , No. 5, с. 152-170.

13. Пухликов А., Хованский А. Конечно-аддитивные меры виртуальных многогранников. Алгебра и Анализ, Т. 4 (1992),1. No. 2, с. 161-185.

14. Погорелое А.В. Решение проблемы А.Д. Александрова. ДАН, Т. 360 (1998), No. 3, с. 317-319.

15. Погорелое А.В. О теоремах единственности для замкнутых поверхностей. ДАН, Т.366 (1999), No. 5, с. 602-604.

16. Розендорн Э. Р. Поверхности отрицательной кривизны.- Москва, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ, 1989.

17. Сабитов И. Локальная теория изгибания поверхностей.- Москва, Итоги пауки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ, 1989.

18. Тиморин В. Аналог соотношений Ходжа-Римана для простых выпуклых многогранников. Усп. мат. наук., т. 54(1999), pp. 113-162.

19. Alexandrov V. Minkowski-type and Alexandrov-type theorems for polyhedral herissons. Geometriae Dedicata., Vol. 107(2004), pp. 169-186.

20. Connelly R., Sabitov I., Walz A. The bellows conjecture. Beitrage Alg. Geom. 38(1997), pp. 1-10.

21. Connelly R., Demaine E., Rote G. Straightening polygonal arcs and convexifying polygonal cycles. Discrete Comput. Geom., 30 (2003), pp. 205-239.

22. Crapo H., Whiteley W. Spaces of stresses, projections, and parallel drawings for spherical polyhedra. Beitrage zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), 35 (1994),pp. 259-281.

23. Fulton W., Sturmfels B. Intersection theory on toric varieties. Topology, Vol. 36 (1997), No.2, pp. 335-353.

24. Haas R., Orden D., Rote G., Santos F., Servatius В., Ser-vatius H., Souvaine D., Streinu IWhiteley W. Planar minimally rigid graphs and pseudo-triangulations. Comput. Geom., 31(2005), No.1-2, pp. 31-61.

25. Graver J., Servatius В., Servatius H. Combinatorial Rigidity. Graduate Studies in Mathematics, vol. 2, Amer. Math. Soc., 1993.

26. Jessen В. Thorup A. The algebra of poly topes in affine spaces, Math.Scand., Vol. 43(1978), pp. 211-240.

27. Koutroufiotis D. On a conjectured characterization of the sphere. Math. Ann., Vol. 205(1993), pp. 211-217.

28. Koutroufiotis D. A characterization of parallel ovaloids. Proc. Am. Math. Soc., Vol. 46 (1974, No. 7, pp. 86-93.

29. Koutroufiotis D. Two characteristic properties of the sphere. Proc. Am. Math. Soc., Vol. 44(1974), pp. 176-178.

30. Laman G. On graphs and rigidity of plane skeletal structures. J. Eng. Math. 4 (1970).

31. Langevin R. Levitt G. Rosenberg H. Herissons et multiherissons (enveloppes parametrees par leur application de Gauss). Singularities, Warsaw, Banach Center Publ., Vol. 20(1985), pp. 245-253.

32. Martinez-Maure Y. De nouvelles inegalites geometriques pour les hdrissons, Arch. Math., Vol. 72 (1999), No.6, pp. 444-453.

33. Martinez-Maure Y. Contre-exemple a une caracterisation conjecturee de la sphere. C.R. Acad. Sci. Paris, Vol. 332 (2001), No. 1, pp. 41-44.

34. Martinez-Maure Y. Theorie des herissons et polytopes. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser.l 336(2003), pp. 41-44.

35. McMullen P. The polytope algebra. Adv.Math., Vol. 78 (1989), No.l, pp. 76-130.

36. McMullen P. On simple polytopes. Invent. Math., Vol. 113 (1993), No. 2, pp. 19-111.

37. McMullen P. Applications of the polytope algebra. Circolo Matem6tico di Palermo, Suppl., Vol. 35 (1994), No. 2, pp. 203-216.

38. McMullen P. Separation in the polytope algebra. Beitr. Algebra Geom., Vol.34 (1993),No. 1, pp. 15-30.

39. Miinzner H.F. Uber eine spezielle Klasse von Nabelpunk-ten und analoge Singularitaten in der zentroaffinen Flachentheorie. Comment. Math. Helv., Vol. 41(1966-67), pp. 88-104.

40. Miinzner H.F. Uber Flachen mit einer Weingarenschen Un-gleichung. Math. Zeitschr. Vol. 97(1967), pp. 123-139.

41. Oda T. Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties. Berlin: Springer-Verlag,

42. Orden D. , Rote G., F. Santos, B. Servatius, H. Servatius, Whiteley W. Non-crossing frameworks with non-crossing reciprocals. Discrete Comput. Geom. 32 No.4(2004), pp. 567-600 .

43. Panina G. On Minkowski decompositions of polytopes. Proc. ADG-2000 (Automated deduction in geometry), 2000, pp. 228-233.

44. Panina G. Rigidity and flexibility of virtual polytopes. Central European J. of Math., Vol. 2(2003), pp.157-168.

45. Panina G. New counterexamples to A.D. Alexandrov's uniqueness hypothesis. Advances in Geometry, Vol.5 (2005), pp. 301-317.

46. Panina G. On hyperbolic virtual polytopes and hyperbolic fans. Central European J. of Math., Vol. 4 (2006), No. 2, 270-293.

47. M. Pocchiola, G. Vegter. Topologically sweeping visibility complexes via pseudo-triangulations, Discrete Comput. Geom. 16 (1996), pp. 419-453.

48. Radstrom H. An embedding theorem for spaces of convex sets. Proc. AMS., Vol. 3(1952), No.l, pp. 165-169.

49. Rodriguez L., Rosenberg H. Rigidity of certain polyhedra in R3.Comment. Math. Helv., Vol. 75 (2000), No. 3, pp. 478-503.

50. Sabitov I. The Bellows conjecture. Beitr. Algebra Geom., Vol. 38, No. 1(1997), pp. 1-10.

51. Schneider R. Remark on a conjectured characterization of the sphere. Ann. Polon. Math. Vol. 31 No.2 (1975), pp. 187-190.

52. Schneider R. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Cambridge: Cambridge University Press, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 44, 1993.

53. I. Streinu. Acute triangulations of polygons. Discrete Corn-put. Geom. 34 (2005), no.4, 587-635.

54. Viro O. Ya. Some integral calculus based on Euler characteristic. Topology and Geometry Rokhlin Seminar, Lecture Notes in Math, Vol. 1346(1988), pp. 127-138.

55. Viro O. Ya., Viro (Drobotukhina) Yu.V. Configurations of skew lines, Len. Math. J., Vol. 1 (1990), No. 4, pp. 1027-1050.

56. Ziegler G. Lectures on polytopes. Berlin, Springer-Verlag, 1995.