Многогранники Ньютона, инкременты и корни систем матричных функций голоморфных представлений групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512 54, 512 7, 514 172

Казарновский Борис Яковлевич

Многогранники Ньютона инкременты и корни систем матричных функций голоморфных представлений групп

01 01 04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003444Э84

Москва - 2008

003444984

Работа выполнена в ФГУП НТЦ "ИНФОРМРЕГИСТР" Научный консультант

академик В А Васильев

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук гл н с А Г Хованский, доктор физико-математических наук профессор С М Гусейн-Заде

Ведущая организация

Научно-исследовательский институт системных исследований Российской Академии Наук (НИИСИ РАН) Защита диссертации состоится "Ж" сентября 2008 г на заседании диссертационного совета Д 002 022 03 в Математическом институте им В А Стеклова по адресу 119991, Москва, ул Губкина, д 8 (9 этаж)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им В А Стеклова

Автореферат разослан " " августа 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002 022 03

доктор физико-математических наук ^^^^ 'НП Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В рабою рассматриваются многообразии корней систем матричных функций голоморфных представлений комплексной группы Ли (матричная функция - ограниченная па рассматриваемую группу линейная функция на пространстве операторов представления) Нас интересуют свойства многообразий, зависящие только от выбранных представлений группы Например, в случае ал1сбраичсских групп таким свойством является количество корней полной системы матричных функций общего положения

Первым результатом такого рода является теорема Кушниренко1 о том, что количество корней общей системы матричных функций конечномерного предегавления п-мерпого комплексного юра равно объему весового многогранника представления, умноженному на п1 Затем последовали работы, в которых вычислялись инварианты алгебраического подмногообразия комплексного тора, заданного как множество корней системы уравнений с фиксированными многогранниками Ныоюна2

М Г Кушниренко Мшншрашшк Ньююна и число решеннй системы к уравнений с к неизвестными - УМН, 30 260-2С7, 1975

2Д Н Бсрнштсйн, А Г Кушниренко, А Г Хованский Многогранники Ныотопа - УМН, 1976, т 31, пып 3, с 201-201 , А Г Хованский Многогранники Ныотоиа и торическис многообразия

Все эти работы идентифицировались (так же как современные работы па эту тему) как вычисления с многогранниками Ньютона Слово "представлснис"в них не упоминалось Дело в том, что матричная функция представления тора - это полином Лорана, а весовой многогранник представления - выпуклая оболочка набора степеней полинома Лорана, т е его многогранник Ньютона

Важной особенностью вычислений с многогранниками Ныотопа является их связь с геометрией выпуклых многогранников Результаты вычислений формулируются на языке геометрии, что делает их более ясными Кроме того, эти вычисления часто приводят к новым результатам геометрии многогранников Интересные и неожиданные результаты в этом направлении были получены в работах А Г Хованского, А В Пухликова, П МакМаллонд, Р Стэнли и других авторов

В указанных выше работах А Г Хованского впервые была применена теория торических многообразий3 (те результаты классификации и исследования эквивариаптных пополнений тора), оказавшаяся эффективным инструментом вычислений с многогранниками Ньютона

В 80-х годах два обстоятельства привели к предположению

о теоретико-групповой природе вычислений с многогранниками

- Ф>нкц Анал Прил , 1977, т 11, вып 4, с 56-64 , А Г Хованский Многогранники Ньютона и

род полных пересечений - Ф>нкц Анал Прич , 1978, i 12, вып 1, с 51-61

3G Kemph, F Knudsen, D Mamford, В Saint-Danat Toroidal embedding";, 1 -Led Notes Math ,

No 339, Springer-\ erlag, 1973, В И Данилов Геометрия торических многообразий -УМН,1978,

г 33, вып 2 с 85-134

Ньютона Те к гипотезе о том, что, если рассматривать эти вычисления как результаты об алгебраических подмногообразиях тора, то аналогичные вычисления возможны при замене тора на другие группы Ли (например, на любую комплексную редуктивиую группу)

Первое из этих обстоятельств - появление теории сферических пространств4, те аналога теории торических мноюобразий для любых комплексных редуктивных групп

Второе - перенос простейших вычислений с многогранниками Ньютона па случай экспоненциальных сумм5 (см также [1]) Экспоненциальные суммы являются матричными функциями конечномерных диагопализуемых представлений аддитивной группы комплексного векторного пространства В этой ситуации весовой многогранник представления - выпуклый (в общем случае) 2п-мерпый выпуклый многогранник в С" Аналог теоремы Кушпирсико состоит в том (см разд 2 5 диссертации), что плотность множества пулей системы п матричных функций равна "контактному объему"границы весового многогранника Если веса представления лежат в пространстве Re С", то плотность множества нулей равна (как в и сороме Кушпирсико) объему весового многогранника

Первый результат в направлении переноса подобных вычислений в контекст теории групп - вычисление числа решений общей

*М Впоп, DLuna, Th Vust, Espaccs homogenes sphcriques, Invcnt Math 84 (198G), G17-632

5 Б Я Казарновский О пупях экспоненциальных с}мм - Д\Н СССР, 1981, т 257, выи 4, с

804-808, О А Гелъфонд Корпи систем почти периодических почипомоп - Препринт ФПАН N

200, 1978

полной системы матричных функций конечномерных представлений комплексной редуктивной группы ¡2] Компоненты формулы для числа решений - система корней и весовые многогранники представлений Широко известно аналогичное вычисление числа решений полиномиальной системы на произвольном сферическом многообразиии6 Далее было показано7, что для случая классических групп полипом Гильберта проективной сферической компактификации редуктивной группы совпадает с полиномом Эрхарда некоторого выпуклого многогранника, расположенного в "пространстве диаграмм Гельфапда-Цстлина"

Вычисление числа решений в [2] рассматривалось как первый шаг в распространении известных в случае тора вычислений на произвольные редуктивные группы Следующий шаг должен был состоять в вычислении эйлеровой характеристики многообразия решений Однако выяснилось8, что формула, аналогичная торической, неверна Прогресс был достигнут недавно в работе В Кириченко9, где найдена формула эйлеровой характеристики многообразия решений общей системы матричных функций представлений редуктивной группы Компоненты формулы (так же как в [2]) - система корней и весовые Miioroi ранники представлений С

6 M Urion Gioupe de Picaid et nombres caractéristiques des varietés spheiiques - Duke Math 1 58, N 2 (1989), 397-424

1A Окуньков Замечание о полиноме Гильберта сферического пространства - Фуикц Анал

Прич , 1997, т31, вып 2, с 82-85

*Kuimars Kaveh Morse theory and Euler characteristic of sections of spherical varieties - TVans-

formation Groups, 9, N 1 (2003), 47-63

8 V KmUhenko On intersection indirps of subvarieties ш ipductive groups - Mose Math Jouin ,

2007, vol 7, N3 (также см http//arxiv oig/abs/math AG/0603695)

некоммутативностью группы связаны некоторые топологические препятствии усложняющие как саму формулу эйлеровой характеристики, так и се вывод Эти препятствия найдены В Кириченко10 в виде циклов вырождения общего набора векторных полей вида a—ß, где а и ß - соответственно лсвоипвариаптпое и правоиивариантпое векторные поля на редуктивной группе Эти препятствия могут интерпретироваться как классы Чжэня логарифмического касательного расслоения над некоторой компактификацией исходной группы

Насюящая работа относшся к описанной выше деятельности но описанию тех свойств многообразия решении системы матричных функций представлений группы Ли, коюрые зависят только от выбранных представлений

Цель работы

Цель работы состоит в постросниии и вычислении асимптотических плотностей многообразий решений систем матричных функций голоморфных представлений групп Ли

Основные методы исследования

В работе используется чеория групп, алгебраическая геометрия, плюрисубгармонические функции, бесконечномерное интегрирование, интегральная геометрия и теория меры

10 V Kmtchenko Chern dabscb of rcductnc groups and an adjunction formula http //arxiv org/abs/math 4G/0411331

Научная новизна

Понятие усредненной асимптотической плотности многообразия решений системы матричных функций впервые появилось в работе автора по теме диссертации Основные результаты работы состоят в вычислении таких плотностей в разных ситуациях Эти результаты являются новыми

Теоретическая и практическая ценность

Работа, носит теоретический характер Один из результатов работы относится к бесконечномерной интефальпой 1еометрии Этот результат может оказаться полезным в разных областях математики Например, он позволяет придать точный смысл утверждению о том, что пули голоморфных функций lia единичном круге в среднем равномерно распределены по площади геометрии Лобачевского в модели Пуанкаре

Апробация результатов

Результаты работы неоднократно являлись темами докладов на научных семинарах, в том числе, па семинарах акад В И Арнольда, проф Э Б Винберга и проф В Л Попова, проф С M Гусейн-Заде па мех-мате МГУ

Публикации

Основные результаты опубликованы в четырех работах, список

которых приведен в конце реферата

Структура диссертации

Диссертация состоит из трех глав и списка литературы Первая глава является вводной она содержит описание предмета исследования и краткое описание полученных результатов Формулировки результатов и комментарии к ним содержатся в главе 2 Вывод результатов помещен в третьей главе Полный объем диссертации - 62 страницы, библиография включает 37 наименований

Краткое содержание работы

Пусть /], , Д - некоторые матричные функции голоморфных представлений тг\, , тг^ группы G Рассмотрим многообразие X корней системы уравнений

Ш = ■ = Мо) = 0, (1)

и обозпа1 шм через Хт множество корней системы

Мдт)= — fk{gm) — о

Иначе говоря, Хт - многообразие, образованное корнями т-ой степени из элементов многообразия X В некоторых случаях рост многообразий Хт при т, —* оо приобретает асимптотику порядка тк Это означает, что если рассматривать Хт как поток (т е функционал Хт{ф) = fx Lp на пространстве финитных дифференциальных форм), то

Xm = mfc(E(X) + о(1)) (2)

где поток отвечает за асимптотику роста многообразия Хтп

при т —> оо и может быть назван асимптотической плотностью многообразия X. Например, если X - конечное подмножество комплексного тора (С \ 0)", то Е(Х)(</?) - умноженный па количество точек множества X интеграл от функции ц> по компактному подтору {(21, ,г„) \гг\ = 1} тора (С \ 0)" Вообще для любого алгебраического подмногообразия комплексного тора асимптотическая плотность существует В этом случае асимптотическая плотность является элементом торического кольца Чжоу (об асимптотических плотностях алгебраических многообразий см разд 2 4 диссертации)

Мы предпочитаем использовать для описания асимптотики другую (практически эквивалентную) конструкцию асимптотической плотности многообразия как потока на алгебре Ли Тк в этом случае результаты вычислений становятся более наглядными - они формулируются в терминах геометрии выпуклых тел Для аналитического подмногообразия X С й обозначим через к^Х его прообраз при экспоненциальном отображении ехр С? —► (2 Будем рассматривать к^Х как поток на алгебре Ли 0 группы С Пусть <?« £ ~ масштабирующее отображение О —> Я Тогда, если при

£ —» со

ШоёХ = ГЛ™х(а(Х)+о{ 1)), (3)

то назовем поток а(Х) асимптсттчехкой плотностью многообразия X

Пусть Х{ж\, ,717-) - поток в пространстве 0, полученный

усреднением11 многообразия решении системы по всем системам вида (1) Тогда, если при t —► оо

logX(nlt ,жк) = rd»»x(a(тгь- • ,пк) + о(1)), (4)

то поток сг(тгх, ,7г*;) мы называем потоком усредненной асимптотической плоти ости набора представлений 7Г], , тг/с

Результаты работы - вычисления усредненной асимптотической плотности Эта плотность выражается через инкременты (см ниже) участвующих представлений, а результаты вычислений формулируются на языке геометрии выпуклых тел. расположенных в пространстве, двойственном алгебре Ли группы G

.Мы вычисляем усредненную асимптотическую плотность в трех следующих ситуациях

(G) (разд 2 1) Конечномерные представления произвольных комплексных групп

(R) (разд 2 2) Конечномерные представления комплексных редук-тивиых групп

(D) (разд 2 3) Представления тгд- аддитивной группы пространства Сп (см ниже), для которых преобразования Фурье обобщенных функций с носителями на компакте К С Re С"* являются матричными функциями Здесь мы вычисляем усредненную асимптотическую плотность многообразия решений систем вида f\ = = fk — 0, где /г - преобразования Фурье обобщенных

икопстр>кция }средпсния для конечномерных представлений описана в тексте диссертации п конце раздела "Введение", а в бесконечномерной ситуации - в разделе 2 6

функций с носителями на фиксированных компактах Кг Иначе говоря, согласно теореме Пэли-Винера, мы рассматриваем системы уравнений, составленные из функций экспоненциального роста, имеющих полиномиальный рост вдоль чисто мнимого подпространства С"

Если число уравнений больше ранга группы (ранг группы -размерность ее картановской подалгебры) то определенная выше асимптотическая плотность оказывается нулевой Поэтому, в случае редуктивных групп mi>i пе получаем формулы для количества решений полиномиальной системы уравнений, аналогичной формуле Кушниренко-Берннттейна Поэтому в случае (R) приводится другое (в разд 2 2 диссертации) отличное от описанного выше, определение асимптотической плотности (редуктивная асимптотическая плотность)

Все три вычисления усредненной плотности построены по единой 3-шаговой схеме

(1) Применение интегрально-геометрической формулы типа формулы Крофтона для записи выражения (gt)* log Х(щ, • , пи) из формулы (4) (или (rf)»logrX(7r1, • ,7Tfc) 15 случае (R), где rt - редуктивное масштабирующее отображение, определенное в тексте диссертации) в виде12

E{t) = ddcHx(t, С) Л • Л ddcHk(t, С),

lldcf = -У—Т/(47г)(Э/ - df) где 9/ и df - голоморфный и соотпетстпенпо «штиголочорфпый дифференциалы функции /

где 7"¿j(í,C) ~ непрерывные плюриеубгармоничеекие функции на алгебре Ли с числовым параметром t

(2) Нахождение асимптотики E(t) при t —» оо Коэффициентом при старшем члене асимптотики всегда оказыается регуляризованнос значение смешанного оператора Монжа-Ампера (утверждение 1 в разделе 2 1) на наборе инкрементов представлений

(3) Вычисление или геометрическая интерпретация построенного регуляризованного значения

Во всех случаях поток усредненной асимптотической плотности равен (теоремы 1 2, 3 в разделах соответственно 2 1, 2 2 2 3)

dd°h\ А • Л ddchk13, (5)

где h¡(£) - инкремент1'1 (в случае (R) редуктивпый инкремент15) представления тгг, те функция на алгебре Ли Q, равная максимальной вещественной части собственных чисел оператора ¿7гг(£)

Модельные примеры для случая (G) - конечномерные представления комплексного тора и конечномерные диагонализуемые представления аддитивной группы С" Описания этих примеров приведены в разделах 2 4 и 2 5 В первом случае матричные функции -полиномы Лорана, весовые многогранники - многогранники Ныотопа

13Пнк[>емрнгы представлений являются непрерывными плюрлсубтрмоническлми функциями

Поэтому (см 5тверждение 1 в разд 2 1) приведенное выражение коррекхно определено

14ееш подьюваться определением асимптотической плотности (2), то функцию "ш1крсмспт"па

алгебре Ли след\от jaMciniib функцией "спектральный ради)с"на самой группе

15Пусть - компактная подалгебра алгебры Ли Q группы G Рсдуктивпый инкремент - функция па Q, совпадающая с инкрементом па подпространстве Reí? и постоянная пдочь подпространства Im Q

полиномов Лорана, а инкремент10 - опорная функция многогранника Ныотопа При к — п следствие теоремы 1 - выражение количества решений общей системы полиномов через смешанный объем их многогранников Ныотопа [2]

Во втором случае матричная функция - экспоненциальная сумма, весовой многогранник - ее многогранник Ньютона (это 2п-мерный выпуклый многогранник 1! пространстве С"*), а инкремент -опорная функция такого многогранника При к — п следствие теоремы 1 - выражение усредненной плотности множества корней систем экспоненциальных сумм через смешанный пссвдообъсм17 их многогранников Ньютона [1]

В случае (Л) для количества корней полной системы уравнений мы получаем ответ в виде смешанного объема соответствующих представлениям 7гг группы С выпуклых тел, расположенных в пространстве, двойственном алгебре Ли максимальной компактной подгруппы К группы (7 Соответствующее представлению тело - объединение орбит конрисоединепного действия группы К, пересекающих весовой многогранник представления

В случае (Б) мы имеем дело с бесконечномерными представлениями и бесконечномерным интегрированием

Представления тгк строятся следующим образом Пусть 1к ~ пространство ростков линейных дифференциальных операторов с гладкими коэффициентами на пространстве ЛеСп*, определенных в

1бВ этом случае функции ннкремеш и редук1ивный инкремент совпадаю!

,7исевдообьем выщклого тела в С" - контактный обьем его 1раницы

сколь угодно малой окрестности компакта К Действие оператора к к (г) па пространстве Хд- задается как

т с как обычное действие на дифференциальных операторах, действующих на функции аргумента х

В случае (Б) рассматриваются системы вида {/1 = = Л- = 0}, в которых /, является преобразованием Фурье некоторой обобщенной функции с носителем на компакте Кг (ясно, что преобразование Фурье такой функции является матричной функцией представления 7Гк)

Первый таг алгоритма вычисления асимптотической плотности в случае (В) имеет некоторые особенности Во-первых в этом случае применяется бехкопечпомериая формула Крофтона (формулировка и доказательство в разделах 2 6 и 3 4) Такая формула может оказаться полезной в других областях математики Например, она позволяет придать точный смысл утверждению о том, что нули голоморфных функций па единичном круге в среднем равномерно распределены по площади геометрии Лобачевского в модели Пуанкаре (см пример в разделе 2 6)

Во-вторых, мы производим усреднение не только по множеству всех рассмативаемых систем уравнений, но также по некоторым его подмножествам Например, если п = к = 1, а множество К конечно, то рассматриваемое уравнение имеет вид

АеК 0<р«ос

Поэтому, усредняя по множеству всех сьстем мы пропускаем случай экспоненциальных сумм (см раздел 2 5 в тексте диссертации)

В третьих, в бесконечномерных пространствах обычно не существует каких-либо выделенных счетно аддитивных мер, а любая из используемых для усреднения счетно аддитивных гауссовских мер (по построению) является достаточно вырожденной (см разд 2 6) Поэтому вычисление одинаковых но смыслу средних величин часто приводит к разным результатам (см пример в разделе 2 6) В разд 3 3 (для повышения достоверности вычислений) используется семейство гауссовских мер на пространстве обобщенных функций, зависящих от вещественного параметра Это семейство связано с некоторой шкалой пространств функций (наподобие соболевской шкалы) Показано, что усредненная плотность не зависит от выбора меры

Работы автора по теме диссертации

[1| Б Я Казарновский, Многогранники Ныотоиа и корпи систем экспоненциальных сумм// Функц Анал Прил , 1984, т18, выи 4, с 40-49

[2] Б Я Казарновский Многогранники Ньютона и формула Бсзу для матричных функций конечномерных представлений// Функц Анал Прил , 1987, т 21, выи 4, с 73-74

[3] Б Я Казарновский, "Многогранники Ныогопа"обобщснпых функций // Изв РАН, т G8, № 2, 2004, стр 273-289

[4] Б Я Казарновский Мноюграшшки Ныотопа, инкременты и корпи систем матричных функций конечномерных представлении // Функц Анал Прил 2004, т38, выи 4, с 256-266

1 Введение

2 Формулировки и комментарии

2.1 Конечномерные голоморфные представления комплексных групп Ли

2.2 Конечномерные голоморфные представления редуктивных комплексных групп Ли.

2.3 Усредненная асимптотическая плотность многообразия корней системы функций экспоненциального роста

2.4 Асимптотические плотности алгебраических многообразий

2.5 Экспоненциальные суммы

2.6 Бесконечномерная формула Крофтона (формулировка и пример).

3 Доказательства

3.1 Произвольные комплексные группы

3.2 Комплексные редуктивные группы.

3.3 Преобразования Фурье.

3.3.1 Шкала гауссовских мер

3.3.2 Усредненное распределение корней.

3.3.3 Формула асимптотической плотности

3.3.4 Асимптотическая плотность и геометрия выпуклых

3.4 Бесконечномерная формула Крофтона.

3.4.1 Конечномерная формула Крофтона

3.4.2 Переход к повторному интегрированию.

3.4.3 Сведение к случаю одномерных многообразий

3.4.4 Случай одномерных многообразий

Глава

В диссертации (основанной на публикациях [1], [2] и [3]) рассматриваются многообразия корней систем матричных функций голоморфных представлений комплексной группы Ли (матричная функция - ограниченная на рассматриваемую группу линейная функция на пространстве операторов представления). Нас интересуют свойства многообразий, зависящие только от выбранных представлений группы. Например, в случае алгебраических групп таким свойством является количество корней полной системы матричных функций общего положения.

Мы рассматриваем системы уравнений

Ш = ■■■ = М = 0, (1.1) где Л, • • • , Л - некоторые матричные функции голоморфных представлений 7Гх, • • • , щ группы С Для таких систем ниже (в этом разделе) определена асимптотическая плотность многообразия решений и усредненная асимптотическая плотность, т.е. усреднение асимптотической плотности по всем системам уравнений вида (1.1), соответствующих фиксированному набору представлений группы (о конструкции усреднения см. замечание 1 в конце раздела, описание усреднения в бесконечномерной ситуации приведено в разд. 2.6).

Результат работы - вычисления усредненной асимптотической плотности. Эта плотность выражается через инкременты (определения 1 и 3 в разд. 2.1 и 2.2) участвующих представлений, а результаты вычислений формулируются на языке геометрии выпуклых тел, расположенных в пространстве, двойственном алгебре Ли группы (7.

Здесь приведены вычисления усредненной асимптотической плотности в трех следующих ситуациях.

С) (разд. 2.1) Конечномерные представления произвольных комплексных групп.

Я) (разд. 2.2) Конечномерные представления комплексных редук-тивных групп.

Б) (разд. 2.3) Представления тгк аддитивной группы пространства С™ (см, ниже), для которых преобразования Фурье обобщенных функций с носителями на компакте К С Ие Сп* являются матричными функциями. Здесь мы вычисляем усредненную асимптотическую плотность многообразия решений систем вида Л = • • • = = О, где /г - преобразования Фурье обобщенных функций с носителями на фиксированных компактах К

Модельные примеры для случая (в) - конечномерные представления комплексного тора и конечномерные диагонализуемые представления аддитивной группы Сп.

В первом случае (разд. 2.4) матричные функции - полиномы Лорана, весовые многогранники - многогранники Ньютона полиномов Лорана, а инкремент - опорная функция многогранника Ньютона. При к = п следствие теоремы 1 - выражение количества решений общей системы полиномов через смешанный объем их многогранников Ньютона [4].

Во втором случае (разд. 2.5) матричная функция - экспоненциальная сумма, весовой многогранник - ее многогранник Ньютона (это 2п-мерный выпуклый многогранник в пространстве О"), а инкремент - опорная функция такого многогранника. При к = п следствие теоремы 1 - выражение усредненной плотности множества корней систем экспоненциальных сумм через смешанный псевдообъем их многогранников Ньютона [1]. Описания этих примеров приведены в разделах 2.4 и 2.5.

В случае (в) определенная ниже в этом разделе асимптотическая плотность оказывается нулевой, если число уравнений больше ранга группы (рангом группы называют размерность ее картановской подалгебры). Отсюда, например, в случае <7 = вЬ(п, С) мы не получаем формулы для количества решений полиномиальной системы уравнений, аналогичной формуле Бернштейна [4]. С другой стороны, для редуктивных групп такая формула известна [10]. Поэтому в случае (II) приводится другое (в разд. 2.2), отличное от описанного во введении, определение асимптотической плотности (редуктивная асимптотическая плотность) и формула ее вычисления, содержательная при любом числе уравнений. При помощи такой формулы можно представить число решений общей полной системы уравнений в виде смешанного объема некоторых выпуклых тел, расположенных в пространстве, двойственном алгебре Ли максимальной компактной подгруппы группы (7.

Модельный пример для случая (Д) - вычисление числа решений общей полной системы матричных функций конечномерных представлений комплексной редуктивной группы [10]. Широко известно аналогичное вычисление числа решений полиномиальной системы на произвольном сферическом многообразиии [18]. В [20] было показало, что для случая классических групп полином Гильберта ПрО&КТиьиои ри.ад«и>и Группы совпадает с полиномом

Эрхарда некоторого выпуклого многогранника, расположенного в "пространстве диаграмм Гельфанда-Цетлина".

Вычисление числа решений в [10] рассматривалось как первый шаг в распространении известных в случае тора вычислений [4]-[7] на произвольные редуктивные группы. Следующий шаг должен был состоять в вычислении эйлеровой характеристики многообразия решений. Однако выяснилось [21], что формула, аналогичная торической неверна. Прогресс был достигнут недавно в работе [22], где получена формула эйлеровой характеристики многообразия решений общей системы вида (1.1). Компоненты формулы (так же как в [10]) - система корней и весовые многогранники представлений. С некоммутативностью группы связаны некоторые топологические препятствия, усложняющие как саму формулу эйлеровой характеристики, так и ее вывод. Эти препятствия найдены в [23] в виде циклов вырождения общего набора векторных полей вида а — /3, где а и /? - ле-воинвариантное и (соотв.) правоинвариантное векторные поля на редуктивной группе. Эти препятствия могут интерпретироваться как классы Чжэня логарифмического касательного расслоения над некоторой компактификацией исходной группы [22].

В случае (Б) мы имеем дело с бесконечномерными представлениями и бесконечномерным интегрированием. Модельным примером является вычисление усредненной плотности систем экспоненциальных сумм с вещественными спектрами, а также примеры вычислений плотности для систем уравнений, представленных бесконечными суммами экспонент [11].

Представления ик строятся следующим образом. Пусть Хк -пространство ростков линейных дифференциальных операторов с гладкими коэффициентами на пространстве Ые Сп*, определенных в сколь угодно малой окрестности компакта К. Действие оператора 7гх(г) на пространстве Хк задается как а A* 1—> faDa exp(xz), т.е. как обычное действие на дифференциальных операторах, действующих на функции аргумента х.

В случае (D) рассматриваются системы вида {/i = • • • = = 0}, в которых fi является преобразованием Фурье некоторой обобщенной функции с носителем на компакте JT, (ясно, что преобразование Фурье такой функции является матричной функцией представления тгк).

Приведем здесь определение асимптотической плотности для случаев (G) и (D).

Пусть fi, ■ • • , fk - некоторые матричные функции голоморфных представлений • • • , группы G. Рассмотрим многообразие X корней системы уравнений

Ш = ••• = Ш = 0 и обозначим через Хт множество корней системы

Мдт) = --- = МГ) = о.

Иначе говоря, Хт - многообразие, образованное корнями m-ой степени из элементов многообразия X. В некоторых случаях рост многообразий Хт при т —У оо приобретает асимптотику порядка тк. Это означает, что, если рассматривать Хт как поток (т.е. функционал XmUp) = fY <р

J -Л 771, на пространстве финитных дифференциальных форм), то т^ВД + о(1)) (1.2) где поток Е(Х) отвечает за асимптотику роста многообразия Хт при т оо. Эта асимптотика также является характеристикой "массивности" многообразия корней исходной системы. Например, если X - конечное подмножество комплексного тора (С \ 0)п, то Е(Х)(<р) -умноженный на количество точек множества X интеграл от функции кр по компактному подтору {(^i, • • • , zn): \zi\ = 1} тора (С \ 0)п.

Мы используем для описания асимптотики другую (практически эквивалентную) конструкцию асимптотической плотности многообразия как потока на алгебре Ли. Т.к. в этом случае результаты вычислений становятся более наглядными - они формулируются в терминах геометрии выпуклых тел. Для аналитического подмногообразия X С G обозначим через log X его прообраз при экспоненциальном отображении exp: Q -» G. Будем рассматривать logX как поток на алгебре Ли Q группы G. Пусть gt: £ £/t - масштабирующее отображение Q —»• Q. Тогда, если при t —> оо

Он). logX = tcodimX(a(X) + о(1)), (1.3) то поток о(Х) мы называем асимптотической плотностью многообразия X.

В случае (R) (в разд. 2.2) используется другое определение асимптотической плотности.

Пусть X(7Ti, • • • ,7Tfc) - поток в пространстве Q, полученный усреднением1 многообразия решений системы по всем системам вида (1.1) (о конструкции усреднения см. ниже замечание 1, описание усреднения в бесконечномерной ситуации приведено в разд. 2.6). Тогда, если при t —»• оо

ЫЛ<^Х(тгь-. ,тг*) = ,*к) + 0(1)), (1.4) то поток сг(7Гх, • • • , 7Tfc) мы называем потоком усредненной асимптотической плотности набора представлений тгг, • ■ ■ ,

Все три вычисления усредненной плотности построены по единой 3-шаговой схеме.

1) Применение интегрально-геометрической формулы типа формулы Крофтона для записи выражения (5,t)*logX(7r1, • • • ,7Tk) из формулы (1.4) (или (rt)* logrX(7T1, • • • ,7Tfc) из формулы (2.1) в случае (R) ) в виде2

S(t) = dd'Ur&Q А • • • A ddcHk(t,(), где %i{t,C) - функции на алгебре Ли с числовым параметром t.

2) Нахождение асимптотики S(i) при t оо. Коэффициентом при старшем члене асимптотики всегда оказыается регуляризованное значение смешанного оператора Монжа-Ампера (утверждение 1 в разделе 2.1) на наборе инкрементов представлений.

3) Вычисление или геометрическая интерпретация построенного регуляризованного значения.

1 впервые конструкция усреднения в вычислениях с многогранниками Ньютона была применена А.Г. Кушниренко [37]

2dcf = \/—l/(4:ir)(df — 5f), где df и Bf - голоморфный и соответственно антиголоморфный дифференциалы функции /

В случае (II) на втором шаге (вместо инкрементов) появляются (более приспособленные к редуктивному случаю) редуктивные инкременты представлений (определение 3 в разд. 2.2).

В случае (Б) первый шаг имеет некоторые особенности. Во-первых, в этом случае применяется бесконечномерная формула Крофтопа (разд. 2.6). Такая формула может оказаться полезной. Например, она позволяет придать точный смысл утверждению о том, что нули голоморфных функций на единичном круге в среднем равномерно распределены по площади геометрии Лобачевского в модели Пуанкаре (см. пример 1 в разделе 2.6).

Во-вторых, мы производим усреднение не только по множеству всех рассмативаемых систем уравнений, но также по некоторым его подмножествам. Например, если п — к = 1, а множество К конечно, то рассматриваемое уравнение имеет вид

Поэтому, усредняя по множеству всех систем, мы пропускаем случай экспоненциальных сумм (см. раздел 2.5).

В третьих, в бесконечномерных пространствах обычно не существует каких-либо выделенных счетно аддитивных мер, а любая из (используемых для усреднения) счетно аддитивных гауссовских мер (по построению) является достаточно вырожденной (см. разд. 2.6). Поэтому вычисление одинаковых по смыслу средних величин часто приводит к разным результатам (см. пример 1 в разделе 2.6). В разд. 3.3 (для повышения достоверности вычислений) используется семейство гауссовских мер на пространстве обобщенных функций, зависящих от вещественного параметра. Это семейство связано с некоторой шкалой пространств функций (наподобие соболевской шкалы). Показано, что усредненная плотность не зависит от выбора меры.

Замечание 1. В случаях (в) и (Я) для вычисления усредненной плотности используется следующий вариант конечномерной формулы Крофтона [1].

Пусть Ну, • • • , Нт - конечномерные эрмитовы пространства голоморфных функций на комплексном многообразии У, /лг, • • • , -соответствующие выбранным эрмитовым метрикам гауссовские меры на этих пространствах, а Х(ср) - интеграл формы (р по аналитическому ек, о<р«оо множеству корней системы уравнений /1 = • • • = /т = 0 с 6 Я^ усредненный по мере /¿1 © • • • © 1лт на пространстве всех таких систем (т.е. на пространстве Я!©•••© Нт). Тогда, если для любой точки у Е У, в каждом из пространств #г найдется функция, не равная нулю в точке у, то У где - линейный функционал "значение в точке у"на Щ, т.е.

Ш./) = /М

Глава 2

Формулировки и комментарии

1. Б.Я.Казарновский. Многогранники Ньютона и корни систем экспоненциальных сумм. - Функц. Анал. Прил., 1984, т.18, вып. 4, с. 40-49.

2. Б.Я.Казарновский. "Многогранники Ньютона"обобщенных функций. -Изв. РАН, т. 68, № 2, 2004, стр. 273-289.

3. Б.Я.Казарновский. Многогранники Ньютона, инкременты и корни систем матричных функций конечномерных представлений. Функц. Анал. Прил., 2004, т.38, вып. 4, с. 256-266.

4. Д.Н.Бернштейн, А.Г.Кушниренко, А.Г.Хованский. Многогранники Ньютона. УМН, 1976, т. 31, вып. 3, с. 201-201.

5. А.Г.Хованский. Многогранники Ньютона и торические многообразия. -Функц. Анал. Прил., 1977, т.И, вып.4, с.56-64.

6. А.Г.Хованский. Многогранники Ньютона и род полных пересечений. -Функц. Анал. Прил., 1978, т.12, вып.1, с.51-61.

7. В.И.Данилов. Геометрия торических многообразий. УМН., 1978, т.ЗЗ, вып.2, с.85-134.

8. Б.Я.Казарновский О нулях экспоненциальных сумм. ДАН СССР, 1981, т. 257, вып. 4, с. 804-808

9. E.Bedford, B.A.Taylor. The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampere equations. Invent, math., 1976, 37, N2, p.1-44.

10. В.Я.Казарновский. Многогранники Ньютона и формула Везу для матричных функций конечномерных представлений. Функц. Анал. Прил., 1987, Т.21, вып.4, с.73-74.

11. О.А.Гельфонд. О среднем числе корней систем голоморфных почти периодических уравнений. УМН., 1984, т.39, вып.1, с.123-124.

12. Б.Я.Казарновский, с-вееры и многогранники Ньютона алгебраических многообразий. Изв. РАН, т. 67, № 3, 2003, стр. 23-44.

13. P.McMullen. The polytope algebra. Adv. Math., 78, p. 76-130 (1989)

14. P.McMullen. On simple polytopes. Inventiones Math., 113 (1993) 419-444

15. А.В.Пухликов, А.Г.Хованский. Конечно аддитивные меры виртуальных многогранников. Алгебра и анализ, 1992, т.4, вып. 2, с. 161-185

16. А.В.Пухликов, А.Г.Хованский. Теорема Римана-Роха для интегралов и сумм квазиполиномов по виртуальным многогранникам. Алгебра и анализ, 1992, т.4, вып. 4, с. 188-216

17. W.Fulton, В.Sturmfels. Intersection theory on toric varieties. (1994), http://arxiv.org/abs/math/9403002.

18. M.Brion. Groupe de Picard et nombres caractéristiques des variétés spheriques. Duke Math J. 58, N 2 (1989), 397-424

19. M.Brion. The structure of the polytope algebra. Tohoku Math. Journal 49 (1997), 1-32

20. А.Окуньков. Замечание о полиноме Гильберта сферического пространства. Функц. Анал. Прил., 1997, т.31, вып.2, с.82-85.

21. Kuimars Kaveh. Morse theory and Euler characteristic of sections of spherical varieties. Transformation Groups, 9, N.l (2003), 47-63

22. V. Kiritchenko. On intersection indeces of subvarieties in reductive groups. -Moscow Mathematical J. Volume 8 (2007), Number 2

23. V. Kiritchenko. Chern classes of reductive groups and an adjunction formula. http://arxiv.org/abs/math.AG/0411331

24. В.И.Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

25. S.Alesker. Hard Lefschets theorem for valuations, complex integral geometry, and unitarily invariant valuations. (2002), http://arxiv.org/abs/math/0209263 (J. Differential Geom. 63:1 (2003), 63-95)

26. L.Ahlfors. The theory of meromorphic curves. Acta Soc. Sci. Fenn., 1941, Ser.A, N 3, pp. 3-31

27. B. Kostant. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition. -Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. 1973, N.6,

28. Казарновский Б.Я. Экспоненциальные аналитические множества. -Функц. Анал. Прил., 1997, т.31, вып. 2, с.15-26.

29. И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин. Обобщенные функции 4. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. М.: Наука, 1961.

30. Ларе Хёрмандер. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968.

31. А.Н.Колмогоров. Основные понятия теории вероятностей. М - Л., 1936.

32. В.В.Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть 2. М.: Наука, 1976.

33. Р.Харви. Голоморфные цепи я их границы. М.: Мир, 1979.

34. А.А.Кириллов, А.Д.Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1988.

35. Г.Вуземан. Выпуклые поверхности. М.: Наука, 1964.

36. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. т.43. М.: ВИНИТИ, 1989.

37. А.Г.Кушниренко. Вычисление средних количеств корней систем уравнений. Рукопись, депонированная в ВИНИТИ, 1981.