Индексы 1-форм, обобщенные результанты и многогранники Ньютона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 515.164.322, 514.172.45,512.643.2

ЭСТЕРОВ Александр Исаакович

ИНДЕКСЫ 1-ФОРМ, ОБОБЩЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАНТЫ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор С. М. Гусейн-Заде

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

М. Э. Казарян

доктор физико-математических наук А. Г. Хованский

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение Математического

Института им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 20 мая 2005 года в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 20 апреля 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Чубариков

¿OOÔsï WW

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В начале семидесятых годов В. И. Арнольд возродил интерес к следующему обобщению понятия старшего члена ряда Тейлора аналитической функции одной переменной. Через Z" обозначим положительный октант решетки Zn, и будем отождествлять его с множеством степеней мономов от п переменных. Для ростка аналитической функции / : (АГ",0) —> (К, 0), где К = С или R, рассмотрим множество А С Z" степеней мономов, входящих в ряд Тейлора / с ненулевыми коэффициентами. Выпуклая оболочка в R" всех точек вида а + b, а £ A, be Z" называется многогранником Ньютона функции /. Объединение ограниченных граней многогранника Ньютона называется диаграммой Ньютона функции / и является обобщением степени старшего члена ряда Тейлора одной переменной. Сумма всех членов ряда Тейлора / со степенями, содержащимися в диаграмме Ньютона, называется главной частью функции / (это по определению многочлен) и является обобщением старшего члена ряда Тейлора одной переменной. Ньютон рассматривал случай п = 2 - многоугольники Ньютона; после этого многоугольники Ньютона использовались при изучении ростков аналитических кривых на плоскости.

Анализируя эмпирический материал, накопленный теорией особенностей, Арнольд предположил, что целочисленные характеристики диаграмм Ньютона (количества целых точек, объемы граней) геометрически связаны с дискретными инвариантами особенностей функций. В 1975 г. А. Г. Кушниренко получил первые общие результаты в этом направлении - он нашел число Милнора ростка аналитической функции с данным многогранником Ньютона и главной частью общего положения1 . Он также рассматривал глобальный аналог поставленной задачи, когда вместо ростка функции рассматривается многочлен Лорана на комплексном торе, а его многогранником Ньютона называется выпуклая оболочка степеней его мономов. Кушниренко нашел эйлерову характеристику неособого множества уровня многочлена Лорана общего положения с данным многогранником Ньютона, а Д. Н. Бернпггейн обобщил этот результат, вычислив эйлерову характеристику совместного множества уровня нескольких многочленов Лорана общего положения с данными (может быть различными) многогранниками Ньютона.

1 A. G. Kouchnirenko; Polyèdres de Newton et nombres de Milnor; Inventiones math. 32 (1976), 1-31.

Кушниренко использовал алгебраическую технику. Например, число Милнора он искал как размерность соответствующего локального кольца1. Бернштейн использовал более геометрический подход. Например, чтобы найти количество общих корней п полиномов Лорана от п переменных с данными многогранниками Ньютона, он рассматривал однопараметрическое шевеление исходной системы, что позволяло от подсчета суммарной кратности решений системы перейти к подсчету однократных кривых, по которым решения распадаются2. Количество этих кривых можно найти, подсчитав количество "концов этих кривых на бесконечности", что сводится к решению задачи, аналогичной исходной, в размерности, на единицу меньшей. Поэтому можно применить индукцию по размерности.

Очень полезной оказалась идея А. Г. Хованского решать задачи, связанные с многогранниками Ньютона, на языке торических многообразий. Торические многообразия можно рассматривать как обобщение проективных пространств - они получаются склейкой карт с помощью мономиальных отображений. Хованский построил такое разрешение особенности функции с главной частью общего положения, что пространство разрешения является гладким торическим многообразием и строится по многограннику Ньютона функции3. С помощью глобального аналога этой конструкции Хованский провел подробное исследование полных пересечений на комплексном торе4 (это исследование далеко обобщает выражение эйлеровой характеристики полного пересечения через многогранники Ньютона уравнений, найденное Бернштейном).

Метод Хованского помогает выражать и оценивать через многогранники Ньютона инварианты особенности, которые можно определить в терминах разрешения особенности: торическое разрешение сводит эту локальную задачу к некоторой задаче торической геометрии, которая обычно оказывается проще исходной. Например, формула Н. А'Кампо выражает ^-функцию монодромии особенности голоморфной функции в терминах топологии разрешения особенности*. Применив

2 Д. Н. Бернштейн; Число KopHeä системы уравнений; Функ. Ан. и прил., 1975, 3, 1-4.

3А. Г. Хованский; Многогранники Ныотова и торические многообразия; Функ. Ан. и Прил., 1977, 4, 56-67.

4 А. Г. Хованский; Многогранники Ньютона и род полных пересечений; Функ.

Ан. и Прил., 1978, 1, 51-61.

6N. А'Сатро; La fonction zêta d'une monodromie; Comment. Math. Helvetici; 50

эту формулу к торическому разрешению особенности, А. Н. Варчен-ко вычислил ^-функцию монодромии особенности функции с главной частью общего положения в терминах ее многогранника Ньютона®, а затем М. Ока обобщил этот результат на особые точки отображений7. Также с помощью торических разрешений были выражены через многогранники Ньютона многие другие инварианты особенностей - асимптотика осциллирующих интегралов8 и т. д.

Многогранник Ньютона оказался важным дискретным инвариантом многочленов и особенностей аналитических функций и нашел применение в разных областях математики. Например, глобальный вариант идей Арнольда (многогранники Ньютона) и Хованского (ториче-ская компактификация комплексного тора по многограннику Ньютона) был также использован Гельфандом, Капрановым и Зелевинским при изучении многомерных результантов9. В частности, ими описан многогранник Ньютона N' многомерного обобщения дискриминанта многочлена с данным многогранником Ньютона N. Оказывается, N' -вторичный (secondary) многогранник многогранника N (грубо говоря, вершины N' - это триангуляции N, а грани N' большей размерности -более сложные разбиения N на многогранники). Доказательство проводится с помощью алгебраической техники. Штурмфельс описал многогранник Ньютона обобщенного результанта n многочленов от n — 1 переменной с данными многогранниками Ньютона10.

Существуют также важные инварианты особенностей, для изучения которых в терминах многогранников Ньютона метод Хованского не удается применить непосредственно. Конструкция торического разрешения применима только к особенностям полных пересечений, и не подходит для более сложных особенностей - например, особенностей множества точек вырождения голоморфной матрицы. Также в послед-

(1975), 233-248.

eA. N. Varchenko; Zeta-F\inction of Monodromy and Newton's Diagram; Invention« math. 37 (1976), 253-262.

7M. Oka; Principal zeta-function of non-degenerate complete intersection singularity; J. Fac. Sei. Univ. Tokyo 37 (1990), 11-32.

* A. H. Варченко; Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов; Функ. Ан. и Прил., 10 (1976), 3,13-38.

9I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A.V.Zelevinaky; Discriminants, Resultants, and Miltidimensional Determinants. Birkhäuser, Boston Basel Berlin, 1994.

10B. Sturmfels; On the Newton polytope of the resultant; J. of Alg. Comb., 3, 207-236.

нее время в некоторых работах рассматриваются инварианты особенностей наборов сечений векторных расслоений, которые обобщают индекс Пуанкаре-Хопфа особой точки векторного поля11 (в том смысле, что участвуют в обобщениях формул типа Пуанкаре-Хопфа на многообразия с особенностями, произвольные характеристические числа, произвольные векторные расслоения и т. д.) Такие особенности также не удается исследовать с помощью торического разрешения пространства, на котором задана особенность.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию дискретных инвариантов особенностей некоторых неполных пересечений и обобщений индекса Пуанкаре-Хопфа в терминах многогранников Ньютона.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1) Метод торических разрешений Хованского обобщен на некоторый класс аналитических множеств (результантные множества), содержащий, в частности, полные пересечения и множества максимальной коразмерности точек вырождения голоморфных матриц. С помощью этого обобщения исследованы в терминах многогранников Ньютона различные инварианты особенностей результантных множеств -их индексы пересечения, кратности и т. д.

2) В качестве приложения полученных результатов вычислены в терминах многогранников Ньютона различные обобщения индекса Пуанкаре-Хопфа нуля векторного поля. Также в качестве приложения получены новые способы доказательства и новая (более инвариантная) форма ответа в некоторых известных результатах о многогранниках Ньютона: о многограннике Ньютона многомерного результанта и др.

Методы исследования. Для исследования особенности резуль-тантного множества не удается построить подходящее торическое разрешение пространства, в котором она содержится. Основная идея диссертации состоит в том, что это пространство и исследуемую особенность нужно расширить, добавив параметры, напоминающие множи-

nW. Ebeling, S. М. Gusein-Zade; Indices of 1-fonns on an isolated complete intersection singularity; Mose. Math. J. 3 (2003), 439-455;

W. Ebeling, S. M. Gusein-Zade, J.Seade; Homological index for 1-forms and a Milnor number for isolated singularities; Internat. J. of Mathematics, 15 (2004), 9, 895-905;

T. Suwa; Residues of Chern classes on singular varieties; The Proc. Pranco-Japaneze Seminar, Luminy, 1992.

тели Лагранжа. К расширенному пространству удается применить метод Хованского3 - построить по многогранникам Ньютона торическое разрешение расширенной особенности, и в терминах его геометрии выразить исследуемые инварианты особенности.

Например, в случае исследования особенности набора ростков сечений ростка векторного расслоения нужно разрешать не базу данного расслоения, а тотальное пространство проективизации векторного расслоения, двойственного к данному, с лежащими в нем особенностями гиперповерхностей, двойственных к данным сечениям.

После обобщения метода Хованского на результантные множества исследование их особенностей в терминах многогранников Ньютона ведется с помощью тех же методов, что и исследование полных пересечений. Для вычисления кратностей и индексов пересечений результант-ных множеств используется топологический вариант теории пересечений Фултона12 и метод однопараметрического шевеления, близкий к методу Д. Н. Бернштейна2. Для вычисления топологических инвариантов ростков функций на особенностях результантных множеств используется относительный вариант формулы А'Кампо5.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут найти применение в области теории особенностей, комплексной алгебраической геометрии, теории результантов, и могут быть полезны специалистам, работающим в МГУ, МИР АН, СПбГУ, Воронежском Государственном Университете и др.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории особенностей под руководством профессора С. М. Гусейн-Заде (мех-мат МГУ, 2001, 2004 годы), на XXV конференции молодых ученых (мех-мат МГУ, 2003 год), на семинаре Института математики Университета Ганновера (Германия, 2003 год).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Текст диссертации изложен на 100 страницах. Список литературы содержит 30 наименований.

12У. Фултон; Теория пересечений; Москва, "Мир", 1989.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор истории вопроса, показана актуальность темы диссертации, описаны цели исследования и кратко изложено основное содержание глав.

В первой главе указаны приложения основных результатов и методов диссертации к вычислению в терминах многогранников Ньютона дискретных инвариантов особенностей некоторых неполных пересечений и различных обобщений индекса Пуанкаре-Хопфа. В качестве приложений также получено новое описание многогранника Ньютона обобщенного результанта и новая форма ответа в формуле Ока для числа Милнора изолированной особенности отображения.

В качестве примера укажем обобщение индекса Пуанкаре-Хопфа, вычисление которого в терминах многогранников Ньютона было исходной точкой исследования.

Определение 1. Пусть А,...,/* - ростки голоморфных функций на (С",0), такие что V = {Д = ... = Д = 0} - полированная особенность полного пересечения, то есть 1-формы d/i,... ,ЙД линейно независимы в точках множества V \ {0}. Пусть ш - росток голоморфной 1-формы на (Сп, 0), ограничение которой на V не имеет нулей в проколотой окрестности нуля. Обозначим через S2"-1 сферу в С1 достаточно малого радиуса с центром в нуле, а через Mnx(fc+1) - множество п х (k + 1 )-матриц максимального ранга. Рассмотрим отображение W = (dfx,..., dfk,u): S2"-1 П V -> MnX{k+1)-

Индексом Гусейн-Заде - Эбелинга11 1-формы и) на изолированной особенности полного пересечения V называется образ фундаментального цикла пересечения 52"-1 П V в гомологиях #2n-i(Mnx(jt+i)) — Z при отображении W,.

Если росток полного пересечения гладкий, то индекс Гусейн-Заде -Эбелинга равен индексу Пуанкаре-Хопфа ограничения 1-формы на полное пересечение. Сумма индексов ГУсейн-Заде - Эбелинга особенностей 1-формы на компактном локально полном пересечении с изолированными особенностями равен эйлеровой характеристике его сглаживания.

Чтобы сформулировать один из результатов о выражении индекса Гусейн-Заде - Эбелинга в терминах многогранников Ньютона, дадим определение многогранника Ньютона ростка голоморфной 1-формы.

Определение 2. Представим росток голоморфной 1-формы ш на (Сп,0) в виде £ швх°, где А С а — (ai,...,a„), х° =

абА

X?1.. .я*1, = с^ + ... + с> € С, а/в ф 0. Многогранником

Ньютона Дш 1-формы ш назовем выпуклую оболочку в Rn точек вида а + Ь, где a G A,b € Z". Главной частью 1-формы ш назовем 1-форму шаха, где Д® - объединение ограниченных граней многогранника

аед°

Д„.

Очевидно, что многогранник Ньютона функции равен многограннику Ньютона ее дифференциала. Кроме того, многогранник Ньютона обратного образа 1-формы при мономиальном отображении равен образу многогранника Ньютона этой 1-формы при соответствующем линейном отображении.

Теорема 1. Если главные части ростков голоморфных функций /ъ • • ■ 1 Д и 1-формы и на (С, 0) находятся в общем положении, а их многогранники Ньютона ^д,..., Дд, Ды соответственно) пересекаются со всеми координатными осями в R", то индекс Гусейн-Заде -Эбелинга 1-формы и на полном пересечении Д = ... = Д = 0 корректно определен и равен /х(Дд,..., Дд)+р(Дд,..., Дд, Д„), где ¡х(-,...,-) - функция от многогранников, стоящая в правой части формулы Ока7 для числа Милнора ростка голоморфного отображения (то есть такая, что число Милнора ростка отображения (gi,..., gm) с главными частями общего положения равно fi(A3l,..., Д5т) )•

В случае произвольных главных частей Д,..., Д, ш индекс Гусейн-Заде - Эбелинга не определен или не меньше указанного значения.

Доказательство основано на том, что индекс Гусейн-Заде - Эбелинга равен, как легко заметить, индексу пересечения ростков аналитических множеств (fi = ... = Д = 0} и {rk(d/b...,£?Д, w) ^ к}. Оба этих множества являются результантными множествами (определение б ниже), а индекс пересечения результантных множеств вычисляется в терминах многогранников Ньютона в главе 3. Это вычисление позволяет также получить более инвариантную форму ответа и ослабить требование общего положения главных частей в формуле Ока7.

Гельфандом, Капрановым и Зелевинским получена явная формула для опорной функции многогранника Ньютона Л-детерминанта (многомерного обобщения дискриминанта многочлена одной переменной),

а из этой формулы получается "двойственное" описание - перечисление вершин многогранника Ньютона Л-детерминанта9. Штурмфельсом перечислены вершины многогранника Ньютона обобщенного результанта10, но "двойственное" описание - явная формула для его опорной функции - отсутствует. Такое описание получено в параграфе 3 первой главы диссертации (из него также следуют указанные результаты Гельфанда-Капранова-Зелевинского и Штурмфельса).

Во второй главе приведены некоторые факты из области геометрии многогранников и торической геометрии, необходимые для доказательства основных результатов диссертации.

Пусть М - множество всех выпуклых ограниченных целочисленных (т. е. с целыми координатами вершин) многогранников в Rn. Это множество - полугруппа относительно сложения Минковского А + В = {а + Ь | a G A, be В}. Смешанный объем - единственная симметричная полилинейная функция Vol : М х ... х Л4 —> -j, такая что

п

VoI(A, ...,А) равно объему А для любого многогранника А € М.

Мы определим "относительный" вариант смешанного объема. Для этого напомним некоторые понятия. Пусть JV С R" выпуклый (не обязательно ограниченный) многогранник. Его опорная функция N(-) определяется равенством N(7) = inf j(x) для любого ковектора 7 €

XGN

(Rn)*. Опорной гранью N относительно ковектора 7 € (R™)* называется множество N7 = {х € N | 7(1) = N(7)}, опорным конусом N называется множество {7 | N(7) > -00} С (Rn)*.

Рассмотрим множество Мг всех упорядоченных пар целочисленных многогранников (А, В) с данным опорным конусом Г С (#")*, таких что симметрическая разность А А В ограничена. Мг - полугруппа относительно сложения пар (А,В) + (С, D) = (А + С, В + D).

Определение 3. Объемом V{A, В) пары многогранников {А, В) £ Mr назовем разность объемов множеств А \ В и В \ А. Смешанным объемом пар многогранников с опорным конусом Г С (Rn)* называется симметричная полилинейная функция Voir My х • - * -Мр, —► такая что

Voir ((.А, В),..., (А, В)) = V{A, В) для любой пары (А, В) е МГ.

Если Г = (Rn)*, то Мг - множество пар ограниченных многогран-

ников, и Volr ((Аъ Bi),..., (Ап, Вп)) = Vol(Ab ..., Ап) - Vol (Ви Вп).

Теорема 2. Смешанный объем пар существует, единствен и вычисляется по формуле Volr ((Ль Вг),..., (А„, Вп)) =

= ¿Z £ (Bk(7)-Ak(7))Vol(Al,...,A¡_1,B2+1,...,BZ).

к=1 76lnt rns

Во всех результатах диссертации о вычислениях в терминах многогранников Ньютона (и многих ранее известных результатах) ответы можно существенно упростить, используя "относительный" смешанный объем вместо обычного. Это объясняется тем, что результаты диссертации основаны на следующем "относительном" варианте формулы Д. Н. Бернштейна.

Пусть Г - простой веер в (Rn)* и Тг - соответствующее ему гладкое торическое многообразие13. Орбиты Тг находятся во взаимнооднозначном соответствии с конусами веера Г, причем орбиты с компактным замыканием соответствуют конусам из внутренности веера.

Определение 4. Объединение орбит с компактным замыканием торического многообразия Тг назовем его компактной частью и обозначим Т£.

Каждому целочисленному многограннику Д С R" с опорным конусом Г естественным образом соответствует линейное расслоение Хд на Тг и отождествление пространства алгебраических сечений Хд с группой С[Д] формальных конечных сумм вида ^Заедлг» сах<1' са € С. Для каждого многочлена s € С[Д], з = ^а6Дп2„ саха соответствующее сечение расслоения Хд обозначим Хд (з).

Аналогично, пространство ростков голоморфных сечений расслоения Хд на паре (ТГ,Т£) находится во взаимно однозначном соответствии с некоторой подгруппой группы всех формальных бесконечных сумм вида S = 5Го6дп2» саХа, са £ С. Эту подгруппу обозначим С{Д}, а росток сечения, соответствующий сумме s G С{Д}, обозначим Хд(з) (каждая частичная сумма ряда, задающего этот росток в торической системе координат, равна Хд (s'), где з' с С[Д] - соответствующая частичная сумма формальной суммы s).

13В. И. Данилов; Геометрия торических многообразий; УМН, 1978, 2, 85-134.

Определение 5. Многогранником Ньютона ростка голоморфного сечения I¿(s) расслоения Хд на паре (ТГ,Т£), где s = £3аелс»г0 С{Д}, А С А П Z", с0 € С \ {0}, называется выпуклая оболочка А, всех точек вида а + Ь, где а € Л, Ь € Г*, Г* - двойственный конус к Г. Главной частью сечения называется многочлен Шоедд.пг» с*х" е С[Д], где дА, - объединение ограниченных граней многогранника А,.

Теорема 3 (относительная формула Д. Н. Бернштей-на). Пусть ХД1 (si),... ,2д„(з„) - ростки голоморфных сечений линейных расслоений ТД1,..., Хдп на ростке n-мерного торического многообразия (ТГ,Т£). Пусть разности Ai \ Д„,...,Д„ \ А,п ограничены. Тогда в случае общего положения главных частей ростков (si)) • • • > (s„) индекс пересечения ростков их дивизоров нулей равен п! Уо1г((Дь ASí),..(Д„, Д,„)). В случае произвольных главных частей индекс не определен или не меньше указанного значения.

Здесь ростки дивизоров нулей пересекаются по, вообще говоря, не нульмерному множеству Т£. Тем не менее, индекс их пересечения определяется стандартным образом (нужно пошевелить сечения в классе R-гладких и подсчитать количество трансверсальных пересечений дивизоров нулей шевелений с учетом знаков).

Доказательство основано на торическом разрешении особенностей сечений 2д, (s¿) с помощью торической модификации многообразия Тг вдоль его компактной части. На модифицированном многообразии искомый индекс пересечения прежний, но дивизоры нулей сечений локально устроены достаточно просто (как дивизоры нулей мономов), что позволяет применить метод однопараметрического шевеления, напоминающий метод Д. Н. Бернштейна2.

В третьей главе получены основные результаты диссертации: дано определение результантного множества, метод торических разрешений Хованского обобщен на случай особенностей результантных множеств, и с его помощью основные инварианты особенностей результантных множеств выражены в терминах многогранников Ньютона.

Моном i®1... будем обозначать через te. Для множества £ с R^ обозначим через <С[£] множество многочленов Лорана X^oesnz" coí°) с„ 6 С на комплексном торе (С \ {0})^.

Определение 6. Для конечных множеств Е, С ZN,i = 1,...,/ результантным многообразием i?(S1,..., Е/) назовем (неприводимое) замыкание множества

{(/ь •••)//) I /» € C[Ej], 3te(C\{0})N : fi(t) = ... = fj(t) = 0} С

С C[Ei] ф ... ф С[Е/]. Результантным множеством назовем прообраз ñ(Ei,...,E/) при голоморфном отображении F : (Ст,0) (C[Ei] ф ... Ф С[Е/], R(Ei,..., Е/)), имеющий ту же коразмерность, что и R(Ei,...,E/).

Пусть Е< С Zы,г = 1,...,/- конечные множества. Минимальную решетку L С 7LN, 0 € L, в которую параллельными переносами помещаются множества Ее С Ъы, i = 1,..., I, будем обозначать Lin(Ei,..., Ej).

Определение 7. Набор множеств E¿ с Zw,¿ = 1,...,/, будем называть существенным, если J — гк1Лп(Е^,..., Eiy) < I — N для любого поднабора {¿ь..., ú} С {1,..., I}, и Lin(Ei,..., Е/) = ZN.

Нетрудно показать, что изучение произвольных результантных многообразий i?(Ei,...,Е/) сводится к случаю, когда множества (Ei,..., Е/) образуют существенный набор, поэтому дальше будет рассматриваться только этот случай.

Пусть в ZN дан существенный набор (ЕЬ...,Е/), отображение F : (<Ст,0) (C[Ei] ф ... ф С[Е/], Л(ЕЬ..., Е/)) переводит х 6 С™ В (Eaes, с1а(*К • ■ • - Еаб5, ¿МП где с' : (С\ 0) (С, 4(0)) - ростки голоморфных функций. Пусть многогранники Ньютона этих функций пересекают все координатные оси и главные части этих функций находятся в общем положении, тогда, как легко видеть, множество ^-^(Еь-.-.Е,)) является результантным множеством (т.е. codimi^-^i^Ej,..., Е/)) = codimfí(Ex,..., Е/) = I - N). Основные результаты диссертации посвящены исследованию этого результант-ного множества в терминах многогранников Ньютона Дс^ функций с*а> а точнее, в терминах следующих многогранников: Д< = Span E¡ х R™ С

R^ ф ROT и содержащихся в них многогранников Ai = Spaní (J {а} х

Дс.) с R^ ФRm, где Span - выпуклая оболочка.

Например, вычисление индексов пересечений и кратностей результантных множеств основано на следующем результате.

Теорема 4. Если (в условиях предыдущего абзаца) тп — I — N и главные части функций с\ находятся в общем положении, то индекс пересечения ростка /(Ст) и многообразия Я(£1,..., Е/) корректно определен и равен II Уо1цлгфКт((Дх, Д^,..., (Д7, Д/)); в случае произвольных главных частей этот индекс не меньше указанного значены или не определен.

Отсюда следует выражение в терминах многогранников Ньютона для индекса пересечения ростков результантных множеств

в (Сто,0), где Е* С т = - Л^). Действительно, этот индекс равен индексу

пересечения ..., и \[)=1 • • •> Ф в ©ад

Отсюда также следует выражение в терминах многогранников Ньютона для кратности особенности результантного множества, так как она по определению равна индексу пересечения с плоскостью дополнительной размерности общего положения, которая также является ре-зультантным множеством (случай, когда Тц - точки, а с] линейны).

Доказательство теоремы 4 основано на переходе от ростка отображения ** на Ст к его поднятию С£веЕ, с\{х)га,.. .,£об1:/ сЦх)?) на "расширенное" пространство (оно получено из исходного добавлением ^-мерного параметра £, напоминающего множители Лагранжа). Можно показать, что искомый индекс пересечения равен индексу пересечения дивизоров нулей компонент этого поднятия на естественной торической компактификадии "расширенного" пространства. Индекс пересечения этих дивизоров вычисляется с помощью относительного варианта формулы Д. Н. Бернштейна (теорема 3).

Из этого доказательства видно, что переход к торической геометрии в задачах об исследовании результантных множеств в терминах многогранников Ньютона разумно осуществлять не на исходном пространстве Ст, а на "расширенном" (с добавленными "множителями Лагранжа"). Эта идея позволяет перенести на результантные множества многие методы исследования полных пересечений в терминах многогранников Ньютона (результаты такого рода приведены в конце третьей главы диссертации).

Я благодарен своему научному руководителю профессору С. М. Гусейн-Заде за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

Публикации автора по теме диссертации

[1] А. И. Эстеров; Индекс вещественной особой точки и ее диаграмма Ньютона; Вестник МГУ. Мех., матем., серия 1, 2003, 1, с. 8-12.

[2] А. И. Эстеров; Индексы 1-форм, результанты и многогранники Ньютона; УМН, т. 60 (2005), N. 2, с. 181-182.

[3] A. Esterov; Indices of 1-forms and Newton polyhedra; Revista Matemática Complutense, Yol. 18 (2005), No. 1, p. 233-242.

0Ш-МРЗ

РНБ Русский фонд

2005-4 41923

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано а печать

Формат 60*90 1/16. Усл. печ. л. Ц 7£"

Тираж /ДОэкз. Заказ /3

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

\

( ШИ390

19 ?ПП5 ^ ^

У

Введение

В этой работе индексы пересечения аналитических множеств некоторого специального вида (результантные циклы, определение 3.1) выражаются через многогранники Ньютона определяющих их наборов функций при условии, что главные части функций находятся в общем положении. Частными случаями результантных циклов являются полные пересечения и множества максимальной коразмерности точек вырождения голоморфных матриц. Частными случаями индексов пересечения таких множеств являются индекс Пуанкаре-Хопфа особенности векторного поля, индекс Гусейн-Заде-Эбелинга набора ростков 1-форм на изолированной особенности полного пересечения ([1], [2]) и вычет Сувы набора сечений векторного расслоения в изолированной точке их линейной зависимости ([10]). Основные результаты работы позволяют вычислять эти инварианты особенностей в терминах многогранников Ньютона, дают описание многогранника Ньютона обобщенного результанта, дополняющее [19] и [26], а также позволяют получить новую форму ответа в некоторых известных формулах для инвариантов особенностей в терминах многогранников Ньютона.

Результаты работы основаны на торическом разрешении особенностей ростка результантного цикла, обобщающем конструкции Хованского [13] в случае гиперповерхности и Ока [9] в случае полного пересечения. Кроме индекса пересечения результантных циклов, с помощью этого обобщения выражены в терминах многогранников Ньютона ^-функция монодромии голоморфной функции на ростке результантного цикла (что обобщает результаты [5], [7] и [9] в случае полного пересечения), радиальный индекс ростка 1-формы на особенности результантного цикла ([3], [4]), а также перенесены на результантные циклы результаты работы [14] о полных пересечениях в комплексном торе. Получены также вещественные аналоги некоторых методов и результатов работы.

История темы работы такова. В начале семидесятых годов В. И. Арнольд возродил интерес к следующему обобщению понятия старшего члена ряда Тейлора аналитической функции одной переменной. Множество степеней мономов от п переменных - положительный октант Z" решетки Z". Для ростка аналитической функции / : (Кп, 0) —> (К, 0), где К = С или R, рассмотрим множество А С степеней мономов, входящих в ряд Тейлора / с ненулевыми коэффициентами. Выпуклая оболочка всех степеней вида a + b, а £ А, Ь G Щ. называется многогранником Ньютона функции /. Объединение его ограниченных граней называется диаграммой Ньютона функции / и является обобщением степени старшего члена ряда Тейлора одной переменной. Сумма всех мономов ряда Тейлора / со степенями из диаграммы Ньютона называется главной частью функции / (это по определению многочлен) и является обобщением старшего члена ряда Тейлора одной переменной. (Ньютон рассматривал случай п = 2 - многоугольники Ньютона; после этого многоугольники Ньютона использовались при изучении кривых на плоскости.)

Анализируя эмпирический материал, накопленный теорией особенностей, Арнольд предположил, что целочисленные характеристики диаграмм Ньютона (количества целых точек, объемы граней) геометрически связаны с инвариантами особенностей функций. В 1975 г. А. Г. Кушниренко получил первые общие результаты в этом направлении - в работе [5] он нашел число Милнора ростка аналитической функции с данным многогранником Ньютона и главной частью общего положения. Он также рассматривал глобальный аналог поставленной задачи, когда вместо ростка функции рассматривается многочлен Лорана на комплексном торе, а его многогранником Ньютона называется выпуклая оболочка степеней его мономов. Кушниренко нашел эйлерову характеристику неособого множества уровня многочлена Лорана общего положения с данным многогранником Ньютона, а Д. Н. Бернштейн обобщил этот результат, вычислив эйлерову характеристику совместного множества уровня нескольких многочленов Лорана общего положения с данными (может быть различными) многогранниками Ньютона.

Кушниренко использовал алгебраическую технику. Например, число Милнора в [5] он искал как размерность соответствующего локального кольца. Бернштейн использовал более геометрический подход. Например, в [12] он рассматривал однопараметрическое шевеление исходной системы полиномиальных уравнений, что позволяло от подсчета суммарной кратности решений системы перейти к подсчету однократных кривых, по которым решения распадаются. Количество этих кривых можно найти, подсчитав количество "концов этих кривых на бесконечности", что сводится к решению задачи, аналогичной исходной, в размерности, на единицу меньшей. Поэтому можно применить индукцию по размерности.

Очень полезной оказалась идея А. Г. Хованского решать задачи, связанные с многогранниками Ньютона, на языке торических многообразий. Торические многообразия можно рассматривать как обобщение проективных пространств - они получаются склейкой карт с помощью мономиальных отображений. В работе [13] Хованский построил такое разрешение особенности функции с главной частью общего положения, что пространство разрешения является гладким торическим многообразием и строится по многограннику Ньютона функции (в [13] описан также глобальный аналог этой конструкции). С помощью этой конструкции в глобальном случае Хованский провел подробное исследование [14] полных пересечений на комплексном торе, заданных уравнениями с главными частями общего положения (это исследование далеко обобщает выражение эйлеровой характеристики полного пересечения через многогранники Ньютона уравнений, найденное Берн-штейном).

Торические разрешения Хованского [13] помогают выражать через многогранники Ньютона инварианты особенности, которые можно определить в терминах разрешения особенности: торическое разрешение сводит локальную задачу к соответствующей глобальной задаче на компонентах исключительного дивизора, которая обычно решается легче исходной. Например, формула Н. А'Кампо [6] выражает число Милнора и ^-функцию монодромии особенности функции в терминах топологии разрешения особенности. С помощью этой формулы и то-рических разрешений А. Н. Варченко в работе [7] вычислил ^-функцию монодромии особенности функции с главной частью общего положения в терминах ее многогранника Ньютона, а затем М. Ока обобщил этот результат на изолированные особенности полных пересечений в работе [9]. Также с помощью торических разрешений были выражены через многогранники Ньютона многие другие инварианты особенностей - асимптотика осциллирующих интегралов [8] и т. д.

Глобальный вариант идей Арнольда (многогранники Ньютона) и Хованского (торическая компактификация комплексного тора по многограннику Ньютона) был также использован Гельфандом, Капрановым и Зелевинским при изучении многомерных результантов. В книге [19] о многомерных результантах и дискриминантах описан, например, многогранник Ньютона N' некоторого обобщения дискриминанта многочлена с данным многогранником Ньютона N. Оказывается, N' - вторичный многогранник многогранника N (грубо говоря, вершины N' - это триангуляции N). Доказательство проводится с помощью алгебраической техники. Штурмфельс провел аналогичное исследование [26] для обобщенного результанта п многочленов от п — 1 переменной с данными многогранниками Ньютона.

Последнее время в разных работах (например, [1], [2], [3], [4], [10]) рассматриваются инварианты особенностей наборов сечений векторных расслоений, которые обобщают индекс Пуанкаре-Хопфа особой точки векторного поля (в том смысле, что участвуют в обобщениях формул типа Пуанкаре-Хопфа на многообразия с особенностями, произвольные характеристические числа, произвольные векторные расслоения и т. д.) Исходная цель данной работы состояла в том, чтобы научиться вычислять инварианты такого типа по многогранникам Ньютона компонент ростков сечений.

Идея такого вычисления состоит в следующем. Искомый инвариант особенности набора сечений представляется как индекс пересечения некоторых дивизоров на проективизации расслоения, двойственного к данному - эти дивизоры состоят из гиперплоскостей, ортогональных данным сечениям. Найти индекс пересечения этих дивизоров можно за счет того, что тотальное пространство проективизации ростка векторного расслоения является ростком торического многообразия. Индексы пересечения ростков дивизоров на торическом многообразии можно искать с помощью шевелений, похожих на метод Д. Н. Берн-штейна, при которых пересечения этих дивизоров уходят с "абсолюта" торического многообразия по однократным кривым. Кривые, по которым они уходят, можно подсчитать, найдя количество их "концов" на исключительном дивизоре подходящего торического разрешения "абсолюта".

Работа состоит из следующих частей. В главе 1 сформулированы следствия основных результатов работы для некоторых известных инвариантов особенностей и многомерных результантов. В разделе 2.1 определяется топологический аналог групп алгебраических циклов многообразий над С, с помощью которого удобно будет проводить некоторые вычисления с индексами пересечений (подробности см. в [18]). В разделах 2.2 и 2.3 вводятся необходимые обозначения и одновременно напоминаются в удобной нам форме и общности некоторые факты о многогранниках и торических многообразиях из работ Хованского [14], [13] и Данилова [16] (факты, которые приводятся без доказательства, доказаны в этих работах). В частности, в разделе 2.2.3 определяется "относительный" вариант смешанного объема, с помощью которого в разделе 2.3.3 (теорема 2.3) индексы пересечения дивизоров на некомпактных торических многообразиях выражаются в терминах многогранников Ньютона.

В разделах 3.1 и 3.2 определяются результантные циклы и изучаются их простейшие свойства. В разделе 3.3.1 индексы пересечения торических результантных циклов представляются как индексы пересечения дивизоров на некомпактных торических многообразиях (лемма 3.6). Применение к этому случаю теоремы 2.3 дает основной результат работы - теорему 3.1. В разделе 3.3.2 строится торическое разрешение изолированной особенности результантного цикла (теорема 3.2) и дается его приложение к вычислению числа Милнора и ^-функции мо-нодромии функции на особенности результантного цикла (лемма 3.8), а также некоторых дискретных инвариантов результантных циклов в комплексном торе (лемма 3.10). В разделе 3.3.3 объясняется связь индексов пересечения результантных циклов с индексами Гусейн-Заде — Эбелинга, и с помощью результатов разделов 3.3.1 и 3.3.2 выражаются в терминах многогранников Ньютона индекс 1-формы на изолированной особенности полного пересечения (теорема 3.3) и радиальный индекс 1-формы на особенности результантного цикла (теорема 3.4 и замечание после нее).

Я благодарен своему научному руководителю профессору С. М. Гусейн-Заде за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

1. W. Ebeling, S. M. Gusein-Zade; 1.dices of 1-forms on an isolated complete intersection singularity; Mosc. Math. J. 3 (2003), 439-455.

2. W. Ebeling, S. M. Gusein-Zade; Indices of vector fields or 1-forms and characteristic numbers; arXivrmath.AG/0303330.

3. W. Ebeling, S. M. Gusein-Zade, J.Seade; Homological index for 1-forms and a Milnor number for isolated singularities; International Journal of Mathematics, 15 (2004), 9, 895-905.

4. W. Ebeling, S. M. Gusein-Zade; Radial index and Euler obstruction of a 1-form on a singular variety; Preprint, arXivrmath.AG/0402388

5. A. G. Kouchnirenko; Polyedres de Newton et nombres de Milnor; Inventions Math. 32 (1976), 1-31.

6. N. A'Campo; La fonction z6ta d'une monodromie; Comment. Math. Helvetici; 50 (1975), 233-248.

7. A. N. Varchenko; Zeta-Function of Monodromy and Newton's Diagram; Inventiones Math. 37 (1976), 253-262.

8. A. H. Варченко; Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов; Функ. Ан. и Прил., 10 (1976), 3, 13-38.

9. М. Oka; Principal zeta-function of non-degenerate complete intersection singularity; J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 37 (1990), 11-32.

10. T. Suwa; Residues of Chern classes on singular varieties; The Proc. Franco-Japaneze Seminar, Luminy, 1992.

11. C. Bivia-Ausina; The index of analytic vector fields and Newton poly-hedra; Proceedings Mathematical Society of Japan, 12th InternationalResearch Insitute, Singularity Theory and Its Applications, Sapporo Convention Center, Sapporo, Japan, 2003

12. Д. H. Бернштейн; Число корней системы уравнений; Функ. Ан. и Прил., 1975, 3, 1-4.

13. А. Г. Хованский; Многогранники Ньютона и торические многообразия; Функ. Ан. и Прил., 1977, 4, 56-67.

14. А. Г. Хованский; Многогранники Ньютона и род полных пересечений; Функ. Ан. и Прил., 1978, 1, 51-61.

15. В. И. Данилов, А. Г. Хованский; Многогранники Ньютона и алгоритм вычисления чисел Ходжа-Делиня; Известия АН СССР, серия математическая, 50 (1986), 5, 925-945.

16. В. И. Данилов; Геометрия торических многообразий; УМН, 1978, 2, 85-134.

17. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде; Особенности дифференцируемых отображений, том II; Москва, "Наука", 1985.

18. У. Фултон; Теория пересечений; Москва, "Мир", 1989.

19. I. М. Gelfand, М. М. Kapranov, A.V.Zelevinsky; Discriminants, Resultants, and Miltidimensional Determinants. Birkhauser, Boston Basel Berlin, 1994.

20. X. Хиронака; Разрешение особенностей алгебраических многообразий над полями характеристики нуль; Математика, 1965, 9, 6, 2-70; 1966, 10, 1, 3-89; 1966, 10, 2, 3-58.

21. М. Hochster; Grassmanians and their Schubert subvarieties are arithmetically Cohen-Macaulay; J. Algebra, 25, (1973), 40-57.

22. В. П. Паламодов; О кратности голоморфного отображения; Функ. ан. и прил., 1967, т.1, вып.З, с.54-65

23. Jle Д. Т. Вычисление числа Милнора изолированной особенности полного пересечения; Функ. ан. и прил.; т.8, вып.2 (1974), 45-52.

24. G.-M. Greuel; Der Gaufi-Manin-Zusammenhang isolierter Singular-itaten von vollstandigen Durchschnitten; Math. Ann.; 214 (1975), 235266.

25. E.Becker, J.P.Cardinal, M.-F.Roy, Z.Szafraniec; Multivariate Be-soutians, Kronecker symbol and Eisenbud-Levine formula; Progress in Math., 143 (1996), 79-104

26. B. Sturmfels; On the Newton polytope of the resultant; Journal of Algebraic Combinatorics, 3 (1994), 207-236.

27. Задачи В.И.Арнольда; Москва, "Фазис", 2000. Публикации автора по теме диссертации:

28. А. И. Эстеров; Индекс вещественной особой точки и ее диаграмма Ньютона; Вестник МГУ. Механика, математика, серия 1, 2003, 1, с.8-12.

29. А. И. Эстеров; Индексы 1-форм, результанты и многогранники Ньютона; УМН, т.60 (2005), N.2, с. 181-182.

30. A. Esterov; Indices of 1-forms and Newton polyhedra; Revista Matematica Complutense, Vol.18 (2005), No.l, p. 233-242.