Комбинаторные аналоги алгебр когомологий для выпуклых многогранников тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

1 Выпуклые многогранники

1.1 Простые многогранники

1.2 Условия Макмюллена.

1.3 Теорема Маколея

1.4 Циклические многогранники и конструкция Бийера-Ли

1.5 Элементарные перестройки.

2 Смешанные объемы

2.1 Неравенства Брунна и Минковского.

2.2 Многочлен объема

2.3 Смешанные объемы.

2.4 Неравенство Александрова-Фенхеля

3 Торические многообразия

3.1 Проективные вложения тора.

3.2 Отображение момента.

3.3 Когомологии гладких торических многообразий.

3.4 Теория Ходжа.

3.5 Когомологии Горески-Макферсона.

4 Алгебра простого многогранника

4.1 Алгебра многогранника.

4.2 Изменение алгебры многогранника при элементарной перестройке

4.3 Аналог теории Ходжа.

4.4 Многогранники, простые в ребрах.

Комбинаторика выпуклых многогранников тесно связана со многими разделами математики — в особенности, с линейным программированием и математической экономикой, с дискретной математикой, с задачами оптимизации, с теорией чисел, с топологией, с алгебраической геометрией и математической физикой.

Первым результатом комбинаторной теории многогранников считается знаменитая теорема Эйлера (полученная независимо Р. Декартом и Л. Эйлером) о связи между числом вершин, числом ребер и числом граней трехмерного выпуклого многогранника. Эта теорема была обобщена А. Пуанкаре на случай произвольной размерности. Обозначим через Д число к-мерных граней некоторого выпуклого многогранника размерности d. Теорема Эйлера-Пуанкаре утверждает, что о(—= 1-Набор чисел Д называется f-вектором. Теорема Эйлера-Пуанкаре дает единственное линейное соотношение на /-вектор произвольного выпуклого многогранника. Задача описания всех возможных /-векторов решена только в размерностях 2 и 3 (Штейниц).

Выпуклый многогранник размерности d называется простым, если в каждой его вершине сходится ровно d ребер. Если выпуклый многогранник задается системой линейных неравенств общего положения, то этот многогранник простой. Поэтому изучение простых многогранников очень важно для практически всех приложений.

Оказывается, что для простых многогранников теорема Эйлера-Пуанкаре не исчерпывает линейных соотношений на /-векторы. М. Ден в 1905 г. получил дополнительные линейные соотношения на /-векторы простых многогранников размерностей 4 и 5. Его результаты были обобщены Д. Соммервилем в 1927 г. на случай произвольной размерности. Соотношения Дена-Соммервиля исчерпывают все линейные соотношения на /-вектор простых выпуклых многогранников. Но есть еще соотношения типа неравенств. П. Макмюллен [25] в 1971 г. сформулировал в виде гипотезы все условия, которым должны удовлетворять /-векторы простых выпуклых многогранников.

Дальнейшая история связана с развитием алгебраической геометрии и, в частности, с появлением теории многогранников Ньютона и тори-ческих многообразий. С каждым многочленом от многих переменных связан выпуклый многогранник — многогранник Ньютона — натянутый на степени всех мономов, входящих в этот многочлен с ненулевыми коэффициентами. Степени мономов при этом рассматриваются как точки целочисленной решетки. Оказывается, многогранник Ньютона отвечает за многие алгебраические свойства многочлена. Так, Миндинг в первой половине 19 века построил алгоритм вычисления числа корней системы двух полиномиальных уравнений с двумя неизвестными, использующий многоугольники Ньютона.

Многомерная теория многогранников Ныотона родилась в работах московского семинара В.И. Арнольда 1970-ых, главным образом, в работах Д.Н. Бернштейна, Б.Я. Казарновского, А.Г. Кушниренко и А.Г. Хованского (см. анонсы [4, 5]). А.Г. Кушниренко [22] посчитал число решений общей системы полиномиальных уравнений с одинаковыми многогранниками Ньютона в алгебраическом торе (С — 0)d (в случае, когда число уравнений равно числу неизвестных). Он показал, что число решений равно объему многогранника Ньютона, умноженному на d\. Д.Н. Бернштейн эмпирически нашел формулу для случая разных многогранников Ньютона. А.Г. Хованский идентифицировал эмпирический ответ Бернштейна со смешанным объемом (в то время теория смешанных объемов была хорошо забыта) и дал простое доказательство формулы Кушниренко-Бернштейна в размерности^2, используя идеи Миндинга. Чуть позже Д.Н. Бернштейн [3] обобщил рассуждения Хованского на случай произвольной размерности, тем самым завершив доказательство общей формулы Кушниренко-Бернштейна.

Возник вопрос о подходящей гладкой компактификации тора, при которой бы теорема Кушниренко-Бернштейна выживала. А.Г. Хованский [41] построил такую компактификацию. Комнактификация Хованского принадлежит классу торических многообразий, построенных ранее в работах Кемпфа, Кнудзена, Мамфорда и Сент-Доната [21], где решалась задача о классификации алгебраических многообразий с алгебраическим действием тора. По всякому целочисленному выпуклому многограннику строится соответствующее торическое многообразие. Это многообразие будет гладким, если многогранник целочисленно прост, т.е. вблизи каждой вершины целочисленно эквивалентен координатному октанту.

Работы А.Г. Хованского [41, 42, 43] выявили тесную связь между теорией выпуклых многогранников и геометрией торических многообразий. В частности, /-вектор простого многогранника отвечает за когомологии соответствующего торического многообразия. При помощи этого факта и сильной теоремы Лефшеца Р. Стенли [35] в 1980 г. доказал необходимость условий Макмюллена. Доказательство Стенли занимает несколько строчек и представляет собой замечательный пример применения алгебро-геометрической техники к задаче из комбинаторной геометрии выпуклых многогранников. Достаточность условий Макмюллена была доказана Л. Бийера и К. Ли [6] в 1981 г. элементарными комбинаторными методами.

Естественно возникла задача доказать теорему Стенли непосредственными элементарно-геометрическими и комбинаторными методами, чтобы лучше понять результат. Эта задача была решена П. Макмюлленом в 1993 г. Доказательство Макмюллена основано на аналоге соотношений Ходжа-Римана.

Связь между соотношениями Ходжа-Римана на торическом многообразии и геометрическими неравенствами на смешанные объемы выпуклых многогранников впервые обнаружил А.Г. Хованский. Он дал алгебро-геометрическое доказательство неравенств Александрова-Фенхеля на смешанные объемы, а также доказал интересный аналог этих неравенств в алгебраической геометрии. Близкий результат был независимо открыт Б. Тессье.

Теория смешанных объемов выпуклых тел имеет свою богатую историю. Эту теорию открыл Г. Минковский в связи с изопериметрическими задачами, неевклидовыми геометриями и теорией чисел. Оказывается, функция объема, определенная на выпуклых телах размерности d, является в некотором смысле однородным многочленом степени d. Этот однородный многочлен допускает поляризацию, то есть симметрическую полилинейную форму, дающую многочлен объема при совпадении всех аргументов — форму смешанного объема. Минковский осознал роль теории смешанных объемов в неравенстве Б руина и, в частности, в изопе-риметрическом неравенстве.

А.Д. Александров [1] в 1937 г. доказал одно из самых глубоких и общих неравенств на смешанные объемы. Это же неравенство было анонсировано несколько раньше в книге Боннезена и Фенхеля, и поэтому оно получило название неравенство Александрова-Фенхеля. v Связь между алгебраической геометрией и теорией смешанных объемов устанавливается теоремой Кушниренко-Бернштейна, которая утверждает, что число корней в rf-мерном торе у общей полиномиальной системы с d фиксированными многогранниками Ньютона равно смешанному объему многогранников Ньютона с коэффициентом d\. Таково же алгебраическое число корней в подходящей торической компактификации, то есть индекс пересечения дивизоров нулей, соответствующих полиномам из данной системы.

Индексы пересечения в гладком компактном проективном многообразии подчиняются теореме Ходжа об индексе. Как заметил А.Г. Хованский [43], в силу формулы Кушниренко-Бернштейна эта теорема влечет неравенство Александрова-Фенхеля. Соотношения Ходжа-Римана являются обобщением теоремы Ходжа об индексе. Они тоже переводятся на язык многогранников. Однако для этого необходимо геометрическое описание кольца когомологий торического многообразия в терминах многогранников — так называемая алгебра многогранника.

Известно три конструкции алгебры простого многогранника. Все они изоморфны, но концептуально различны. Конструкция Макмюллена [26], которую он использует в своем доказательстве теоремы Стенли, является побочным продуктом более общей конструкции, придуманной в связи с задачами о равносоставленности. Поэтому эта конструкция громоздка. Более изящную конструкцию предложил М. Брион [9] — алгебра простого многогранника реализуется кусочно-полиномиальными функциями на двойственном веере. Наконец, А.В. Пухликов и А.Г. Хованский (не опубликовано, мотивировано работами (33, 34]) придумали описание алгебры многогранника исключительно в терминах многочлена объема. Это описание наиболее удобно для формулировки геометрических неравенств.

Одним из результатов настоящей работы является упрощение доказательства Макмюллена — все рассуждения проведены в терминах многочлена объема. При этом использовано описание алгебры простого многогранника, принадлежащее А.В. Пухликову и А.Г. Хованскому. Кроме того, теорема Стенли обобщена на некоторый класс непростых многогранников.

Комбинаторика непростых многогранников связана с геометрией особых торических многообразий. Наиболее удобным инструментом для изучения топологии особых многообразий являются группы когомологий Горески-Макферсона. Когомологии Горески-Макферсона проективных торических многообразий были посчитаны А.Г. Хованским и И.Н. Берн-штейном, а также, независимо, Р. Макферсоном. 1 А.Г. Хованский высказал гипотезу, что сильная теорема Лефшеца в когомологиях Горески-Макферсона переносится на случай произвольных многогранников, в том числе и нерациональных. Эта гипотеза была впервые опубликова

1Ни одно из этих вычислений не было опубликовано, но ответ стал широко известен благодаря работам Р. Стенли. Намного позже появились доказательства этого ответа, использующие другие идеи. на в статье Р. Стенли [36], и поэтому носит название гипотезы Стенли. 2 Проблема в том, что существуют многогранники, не являющиеся комбинаторно эквивалентными целочисленным (первый пример такого многогранника построен в книге Грюнбаума [16]). Такие многогранники не соответствуют никаким торическим многообразиям. Следовательно, алгебро-геометрическая техника неприменима.

Однако есть геометрическое описание аналога когомологий Горески-Макферсона для любых выпуклых многогранников. Это описание было получено Бресслером и Лунцем [7], а также (независимо) Бартелем, Брасслетом, Каупом и Фислером [2]. Есть основания надеяться, что все ключевые факты про когомологии Горески-Макферсона особых ториче-ских многообразий переносятся на любые многогранники. Комбинаторная двойственность Пуанкаре — обобщение соотношений Дена-Соммервиля . — была доказана в указанных выше работах.

В настоящей работе доказан аналог сильной теоремы Лефшеца для некоторого важного класса непростых многогранников.

Основные результаты диссертации. В настоящей диссертации развита техника работы с многочленом объема простого выпуклого многогранника. В частности, доказано что алгебра Пухликова-Хованского обладает всеми важнейшими свойствами кольца когомологий гладкого торического многообразия. На основе разработанной техники получены следующие новые результаты:

• Доказательство гипотезы Стенли для многогранников с редкими особенностями.

2После того, как работа над диссертацией была завершена, а этот результат опубликован, К. Кару [20] анонсировал доказательство общей гипотезы Стенли.

• Новые неравенства на /t-вектор произвольного многогранника, простого в ребрах. Эти неравенства влекут оценки Хованского на среднее число А;-мерных граней на /-мерной грани такого многогранника.

• Явное описание базиса в пространстве многочленов данной степени, полученных из многочлена объема применением дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.

• Явное описание базиса идеала в алгебре многочленов, фактором по которому является алгебра Пухликова-Хованского. Это описание устанавливает изоморфизм алгебры Пухликова-Хованского с алгебрами Бриона и Макмюллена.

В качестве одного из применений разработанной техники, доказательство Макмюллена теоремы Стенли упрощено и изложено исключительно в терминах многочлена объема. Аналоги сильной теоремы Лефшеца и соотношений Ходжа-Римана сформулированы как неравенства на многочлен объема и доказаны при помощи перечисленных выше результатов (общая линия доказательства следует работе Макмюллена [27]). Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [37, 38].

Обзор близких направлений. Теория торических многообразий доставляет замечательную связь между комбинаторной геометрией выпуклых многогранников и алгебраической геометрией. Мы здесь приведем краткий обзор работ, обобщающих эту связь в различных направлениях. С одной стороны, многогранники, рассматриваемые как комбинаторные объекты, допускают много полезных обобщений, таких как клеточные разбиения сферы, триангулированные многообразия, полиэдральные комплексы, эйлеровы частично-упорядоченные множества. С другой стороны, торические многообразия имеют много полезных обобщений и аналогов в алгебраической геометрии и топологии. В алгебраической геометрии: сферические многообразия. В топологии: квазиторические многообразия, момент-угол комплексы.

Сферические многообразия являются обобщением торических многообразий на случай других редуктивных групп. Связь между геометрией сферических многообразий и комбинаторикой не настолько хорошо понята, как в случае торических многообразий. Эта связь исследуется в работах Бриона (см. напр. [8]).

Дэвис и Янушкевич [19] построили по каждому простому многограннику и характеристической функции, сопоставляющей гиперграням этого многогранника целочисленные векторы, некоторое гладкое многообразие с гладким действием компактного тора, по своим топологическим свойствам напоминающее гладкое торическое многообразие. При помощи этой конструкции они решили ряд задач из комбинаторики и теории групп Кокстера.

В.М. Бухштабер и Т.Е. Панов [10, 11] построили по каждому сим-плициальному комплексу К с т вершинами момент-угол комплекс ZK с каноническим действием компактного тора Тт. Когомологии комплекса 2к имеют естественную биградуировку, дающую серию комбинаторных инвариантов симплициального комплекса К. Эти инварианты совпадают с инвариантами, приходящими из гомологической алгебры (биградуиро-ванные когомологии кольца Стенли-Рейзиера комплекса К). Если К — симплициальное разбиение сферы, то 2ц — гладкое многообразие. Если

К — симплициальное многообразие, то особые точки комплекса ZK образуют орбиту тора. Разработанная техника позволила авторам решить некоторые известные задачи из топологии, используя методы комбинаторики и гомологической алгебры.

Благодарности. Я очень благодарен А.Г. Хованскому за постановку задачи, многочисленные полезные обсуждения и постоянное внимание к работе. А.Г. Хованский меня научил почти всему, что я использовал в настоящей работе. Мне очень помогли многочисленные беседы с В.А. Лунцем. В частности, он мне объяснил конструкцию когомологий пересечений для нерациональных многогранников. Я благодарен В.М. Бух-штаберу и Т.Е. Панову за полезные обсуждения и поддержку в работе. Я очень признателен В.И. Арнольду за многочисленные исправления в первоначальном тексте обзора [37], из них я почерпнул много важных принципов о том, как нужно писать математические тексты. Мне помог вопрос К. Кару, заставивший найти ошибку в первоначальном варианте работы [38].

1. А. Д. Александров "К теории смешанных объемов выпуклых тел. 1.. Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения", Матем. сб., 1937, 2, б, с. 1205-1238

2. G. Barthel, G.-P. Brasselet, К.-Н. Fieseler, L. Kaup "Combinatorial Intersection Cohomology for Fans", http://xxx.lanl.gov/abs/math.AG/0002181

3. Д.Н. БЕРНШТЕЙН "Число корней системы уравенний." Функциональный анализ и его приложения 9 (1975), по. 3, 1-4

4. Д.Н. Бернштейн, А.Г. Кушниренко, А.Г. Хованский "Многогранники Ньютона." Успехи Мат. Наук, т. 31, вып. 3 (1976), 201202.

5. Д.Н. Бернштейн, А.Г. Кушниренко, А.Г. Хованский "Смешанные объемы многогранников Ньютона, числа Милнора и числа решений алгебраических уравнений." Успехи Мат. Наук, т. 31, вып. 3 (1976), 196.

6. L. J. Billera, С. W. Lee "A proof of the sufficiency of McMullen's conditions for f-vectors of simplicial convex polytopes", J. Comb. Theory, Ser. A 31, 237-255 (1981)

7. P. Bressler, V. Lunts "Intersection cohomology on nonrational polytopes",http://xxx.lanl.gov/abs/math.AG/0002006

8. M. Brion "Spherical varieties." Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zurich, 1994), 753-760, Birkhauser, Basel, 1995

9. M. Brion "The structure of the polytope algebra." Tohoku Math. J. (2) 49 (1997), no. 1, 1-32

10. В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов "Действия тора, комбинаторная топология и гомологическая алгебра." Успехи Мат. Наук 55 (2000), вып. 5(335), 3-106

11. V. М. Buchstaber, Т.Е. Panov "Torus actions and their applications in topology and combinatorics." University Lecture Series, 24. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

12. A. H. Варченко "Комбинаторика и топология расположения аффинных гиперплоскостей в вещественном пространстве", Функц. ан. и его прилож., т. 21 (1987), вып. 1, 11-22

13. А. ВейЛЬ "Введение в теорию кэлеровых многообразий", М., изд. Иностранной Литературы, 1961

14. М. Goresky, R. MacPherson "Intersection homology theory", Topology 19 (1980), 135-162

15. M. Goresky, R. MacPherson "Intersection homology II", Inventiones Math. 72 (1) (1983), 77-130

16. В. gronbaum "Convex polytopes", London: Interscience Publ., 196717. ф. Гриффитс, Дж. харрис "Принципы алгебраической геометрии", М., Мир, 1982

17. В. И. данилов "Геометрия торических многообразий", Успехи Мат. Наук, т. XXXIII (1978), вып. 2 (200), 85-134

18. М. Davis, Т. Januszkiewicz "Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions." Duke Math. J. 62 (1991), no. 2, 417-451

19. K. Karu "Hard Lefschetz theorem for nonrational polytopes." Preprint (2002)http://xxx.lanl.gov/math.AG/abs/0112087

20. G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat"Toroidal Embeddings I." Lect. Notes in Math., No. 339, Springer-Verlag, 1972

21. A. G. Kouchnirenko "Polyedres de Newton et nombres de Milnor." Invent. Math. 32 (1976), no. 1, 1-31

22. P. McMullen "The maximum numbers of faces of a convex polytope". Mathematika 17 (1970), 179-184

23. P. McMullen, G.C. Shephard "Convex polytopes and the upper bound conjecture. London Mathematical Society Lecture Note Series, 3. Cambridge University Press, London-New York, 1971.

24. P. McMullen "The numbers of faces of simplicial polytopes". Israel J. Math. 9 (1971), 559-570

25. P. MCMULLEN "The polytope algebra." Adv. Math. 78 (1989), No. 1, 76-130

26. P. McMullen "On simple polytopes", Invent, math. 113, 419-444 (1993)

27. R. MacPherson "Global Questions in the Topology of Singular Spaces", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, August 16-24, 1983, Warszawa

28. B.B. Никулин "Классификация арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского", Изв. Акад. Наук СССР, Сер. Мат., 45 (1981), 113-142

29. Т. Oda "Convex bodies and algebraic geometry", Springer-Verlag, 1988

30. T. ODA "Lectures on Torus Embeddings and Applications", TATA, 1978

31. M.N. Prokhorov "Nonexistence of discrete groups of reflections with noncompact fundamental polyhedron of finite volume in Lobachevskii spaces of large dimension", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 50, No. 2 (1986), 320-332

32. А. В. Пухликов, А. Г. Хованский "Конечно-аддитивные меры виртуальных многогранников", Алгебра и анализ, 1992, т.4, вып. 2, с. 161-185

33. А. В. Пухликов, А. Г. Хованский "Теорема Римана-Роха для интегралов и сумм квазиполиномов по виртуальным многогранникам", Алгебра и анализ, 1992, т.4, вып. 4, с. 188-216

34. R. P. Stanley "The number of faces of a simplicial convex polytope", Adv. Math. 35, 236-238 (1980)

35. R. P. Stanley, "Generalized H-vectors, Intersection Cohomology of Toric Varieties, and Related Results", Adv. Stud, in Pure Math., 11, 187-213 (1987)

36. В. А. ТИМОРИН, "Аналог соотношений Ходжа-Римана для простых выпуклых многогранников", Успехи Мат. Наук, т. 54, вып. 2 (1999), стр. 113-162

37. В.А. Тиморин "О многогранниках, простых в ребрах", Функц. анал. и прилож., т. 35, вып. 3 (2001), с. 36-3739. к.-н. fleseler "Rational Intersection Cohomology of Projective Toric Varieties", J. reine angew. Math. 413, 88-98 (1991)

38. W. Fulton "Introduction to toric varieties", Annals of Math. Studies, 131, Princeton Univ. Press, 1993

39. А. Г. Хованский "Многогранники Ньютона и торические многообразия", Функциональный анализ и его приложения, т. 11, вып. 41977), стр. 56-67

40. А. Г. Хованский "Многогранники Ньютона и род полных пересечений", Функциональный анализ и его приложения, т. 12, вып. 11978), 51-61

41. А. Г. Хованский "Геометрия выпуклых многогранников и алгебраическая геометрия", Успехи Мат. Наук, т. 34, вып. 4 (1979), 160161х

42. А. Г. Хованский "Гиперплоские сечения многогранников, тори-ческие многообразия и дискретные группы в пространстве Лобачевского", Функциональный анализ и его приложения, 1986, т. 20, вып. 1, с. 50-61