Теория нерв-комплексов и её приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

ТЕОРИЯ НЕРВ-КОМПЛЕКСОВ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность: 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 515.142.22+514.172.45

Айзенберг Антон Андреевич

2 О СЕН 2012

Москва - 2012

005047090

005047090

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

член-корреспондент РАН,

профессор Бухштабер Виктор Матвеевич

Аржанцев Иван Владимирович доктор физико-математических наук, доцент (ФГБОУ ВПО

"Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова", доцент)

Кустарёв Андрей Александрович кандидат физико-математических наук (ФГАОУ ВПО "Московский физико-технический институт (государственный университет)", ассистент)

ФГБОУ ВПО "Московский педагогический государственный университет"

Защита диссертации состоится 12 октября 2012г. в 16^ на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Московский государственный уни- ' верситет имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 12 сентября 2012г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук профессор

Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы Актуальность темы

В настоящее время в комбинаторике и выпуклой геометрии стали находить применение методы коммутативной алгебры, алгебраической геометрии и топологии. Актуальным разделом алгебраической геометрии стала торическая геометрия, изучающая свойства торических многообразий. Каждому выпуклому многограннику вК"с рациональными координатами вершин можно сопоставить алгебраическое многообразие с действием алгебраического тора (С*)", являющееся эквивариантной ком-пактификацией тора (С*)". С одной стороны, эта конструкция дает обширный класс примеров алгебраических многообразий, свойства которых можно эффективно описывать в терминах комбинаторных данных. С другой стороны, конструкция тори-ческого многообразия позволяет доказывать сильные результаты о комбинаторике многогранников при помощи методов алгебраической геометрии.

М. Дэвис и Т. Янушкиевич1 ввели понятие квазиторического многообразия, являющееся топологическим аналогом ториче-ского многообразия. Для определения квазиторического многообразия над простым многогранником Рп с т гипергранями им потребовалась конструкция (т + п)-мерного многообразия Zp с каноническим действием тора Тт, для которого многогранник Р является пространством орбит. В своих работах2,3 В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов предложили рассматривать многообразия Zp как центральный объект исследования в тори-ческой топологии и развили различные подходы к изучению этих пространств, названных ими момент-угол многообрази-

'М. Davis, Т. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions. Duke Math. J., 1991. V.G2, .V'2, 417 451.

2B. M. Бухштабер, T. E. Панов, Действия тора и комбинаторика многогранников, Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 225, 1999, 96-131.

3В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия торов, комбинаторная топология, и гомологическая алгебра,УМН, 55:5(335) (2000), 3-106.

ями. С одной стороны, многообразие Zp можно представить как невырожденное пересечение вещественных квадрик4 в пространстве Ст, что позволяет исследовать эти многообразия методами дифференциальной геометрии. С другой стороны, многообразие Zp обладает канонической клеточной структурой, определяемой комбинаторикой многогранника. В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов3 показали, что существует общая алгебро-топо-логическая конструкция, сопоставляющая каждому, симилици-альному комплексу К клеточный комплекс ZK(D2,S1); при этом момент-угол многообразие Zp простого многогранника Р гомеоморфно клеточному комплексу Zqp-{D2, Sl), где дР* граница двойственного к Р симплициального многогранника. Используя каноническую клеточную структуру на комплексе

ZK{D\Sl\

В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов показали, что алгебра когомо-логий H*(ZK(D2,51); к) изоморфна Tor-алгебре Tbr^kf/C], к) алгебры Стенли Райснера симплициального комплекса К. Этот результат позволил вычислить кольцо когомологий момент-угол многообразия Zp простого многогогранника Р в терминах алгебры Стенли-Райснера симплициальной сферы дР*.

Диссертация посвящена развитию теории момент-угол многообразий и ее взаимосвязи с теорией алгебр Стенли-Райснера. Тема диссертации актуальна, так как момент-угол многообразия являются центральным объектом торической топологии, а алгебры Стенли-Райснера — понятие, нашедшее множество приложений в комбинаторике и топологии. В диссертации исследован случай произвольных выпуклых многогранников, в том числе и не простых. Каждому выпуклому многограннику Р сопоставлен симплициальный комплекс Кр. Если Р -- простой многогранник, то КР = дР*, однако в общем случае комплекс Кр не является симплициальной сферой. В диссертации приведены основные свойства симплициальных комплексов КР. све-

4V. М. Buchstaber, Т. Е. Panov, N. Ray, Spaces of polytopes and cobordism. of quasitoric manifolds, Moscow Math. J., V.7, №2, 2007, 219-242.

денные воедино в понятии нерв-комплекса, обобщающем понятия симилициальной сферы и симплициального многообразия. Нерв-комплексы являются основным объектом исследования.

Известно, что для симилициальной сферы К выполнены соотношения Дена Соммервилля5'6 }ц(К) = Имеется обобщение этой формулы на случай (п — 1)-мерного симплициального многообразия К, полученное Р. Стенли7 алгебраическим методом и. независимо, В. М. Бухштабером и Т. Е. Пановым топологическим методом. В этом случае выполнены соотношения

В диссертации доказаны соотношения на /-числа нерв-комплексов, обобщающие приведенные результаты.

Даже в случае, когда многогранник Р не является простым, момент-угол пространство можно определить как пересечение вещественных квадрик в пространстве Ст. В диссертации показано, что момент-угол пространство Яр гомотопически эквивалентно клеточному комплексу 51), что позволяет вычислить его кольцо когомологий:

где т — число гиперграней многогранника P. а к[КР} — алгебра Стенли-Райснера симплициального комплекса Кр. Здесь и далее к используется для обозначения основного поля, а результаты, которые верны также и для случая k = Z, специально оговариваются.

Теория алгебр Стенли-Райснера возникла в работе Дж. Райс-

5D. М. Y. Sommerville, The relations connecting the angle sums and volume of a polytope in space ofn dimensions. Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 1927. V.115, 103-119.

6V. Klee, A combinatorial analogue of Poincare duality theorem., Canad. J. Math. 1964. V.16. 517-531.

7R. Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Boston, MA: Birkhauser Boston

Inc., 1996 (Progress in Mathematics V. 41).

F*(2p;k)-Tor;fml(k[Kp],k),

нера8, была существенно развита Р. Стенли7 и в настоящее время является важным разделом комбинаторной коммутативной алгебры. В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии важную роль играет понятие алгебры Коэна-Маколея, то есть алгебры, глубина которой совпадает с размерностью Крулля. Дж. Райснер8, используя свойства локальных когомологий колец, нашел условия на симплициальный комплекс К, при которых алгебра к[К] является алгеброй Коэна-Маколея. Основываясь на теореме Райснера, Р. Стенли9 доказал гипотезу о верхней границе для симплициальных сфер, согласно которой на /г-числа симшшциальной (тг- 1)-мерной сферы К на, m вершинах имеются неравенства hi(K) ^ при г = 0,..., . Дж. Манкрс10 обобщил результат Райснера, описав условия на топологию симнлициального комплекса К, при которых глубина кольца к [К] равна заданному числу. Для доказательства он использовал спектральную последовательность Зимана в интерпретации МакКрори11.

Алгебра ЦК] является модулем над алгеброй многочленов k[m] и к ней применима теорема Ауслендера-Буксбаума12, утверждающая в этом случае, что depthk[K] + pdimk[AT] = m, где pdim к [К] — длина минимальной свободной резольвенты модуля ЦК]. Ранги модулей свободной резольвенты выражаются через когомологии полных подкомплексов, по формуле Хохсте-

8G. Reisner, Cohen-Macaulay quotients of polynomial rings, Adv. in Math V 21 №1 1976, 30-49. ' ' '

9R. Stanley, The upper bound conjecture and, Cohen Macaulay rings, Studies in Applied Math. 1975, V.54, ,V«2, 135-142.

10James R. Munkres. Topological results in combinatorics, Michigan Math. J V 31 Issue 1 (1984), 113-128. ' '

"Clint McCrory, Zeeman's filt.mi.ion on homoloqy, Transactions of the AMS V 250 1979 147-166. " '

12W. Bruns, J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, revised édition, Cambridge 1993 (Cambridge Studies in Advanced Mathematics; V.39).

тЧн7МЛ)= © к).

JC[m],|J|=j

Из этой формулы и теоремы Ауслендера-Буксбаума следует описание глубины в терминах топологии полных подкомплексов. На основе такого описания в диссертации получен новый комбинаторно-топологический метод исследования глубины колец Стенли-Райснера. Предложенный метод существенно упрощает доказательства теорем Райснера и Манкрса и позволяет доказать соотношение depth к[Кр] = dim Р для произвольного выпуклого многогранника Р.

В диссертации также исследован вопрос о подгруппах тора Тт, свободно действующих на пространствах Zp и клеточных комплексах ZK(D2, S1). Если X — пространство с действием тора Тт, то число s(X) определяется как максимальная размерность подторов Ts С Тт, индуцированное действие которых на X является свободным. В случае X — Zp или ZK(D2, Sv) число s(X) является характеристикой многогранника Р и комплекса К соответственно. В этих случаях число s(X) обозначается s(P) и s(K) и называется числом Бухштабера. В 2002 году В. М. Бухштабер14 поставил задачу: найти алгоритмический способ вычисления инвариантов s(P) и s(K) по комбинаторике Р и К. В диссертации показано, что s(P) = s(Kp), поэтому исследуются только симплициальные комплексы. Изучение числа Бухштабера началось в 2001 году, когда И. В. Изместьев15 доказал оценку s(K) ^ т — 'у (К), где у (К) — хроматическое число симплициального комплекса К. Частичным упрощением числа Бухштабера является его вещественный аналог Rs(ii') - максимальный ранг подгрупп группы Ъ™, действующих свободно

13М. Höchster, Cohen-Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., V.26, Dekker, New York, 1977, 171-223.

14V. M. Buchstaber, Т. E. Panov, Torus Actions and Their Applications in Topology and Combinatorics, University Lectures Series, vol.24, AMS, Providence, RI, 2002.

15И. В. Изместьев, Трехмерные многообразия, опред&гяемые раскраской граней простого многогранника, Матем. маметки, T.C9, №3, 2001, 375-382.

на вещественном момент-угол комплексе Zk(D1,S°). Нетрудно доказать оценку s(K) ^ &s(K). Значительные результаты о вещественном числе Бухштабера остовов симплексов были получены в работе М.Мацуды и Ю. Фукукавы16. Теория числа Бухштабера простых многогранников была развита Н. Ю. Еро-ховцом17,18.

В работе М. Дэвиса и Т. Янушкиевича1 построено семейство универсальных симнлициальных комплексов ¡7/. Из результатов работы18 следует, что для симплициального комплекса К на то вершинах число т — s(K) совпадает с наименьшим натуральным числом I, для которого существует невырожденное симплициальное отображение из К в Ui. Это наблюдение позволяет рассматривать число т - s(K) как обобщенный хроматический инвариант в смысле Р. Зивальевича19. При помощи такого подхода в диссертации исследовано число Бухштабера маломерных симнлициальных комплексов.

Цель работы.

Обобщение теории момент-угол пространств на случай непростых выпуклых многогранников и исследование симнлициальных комплексов, ассоциированных с многогранниками.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Каждому выпуклому многограннику Р сопоставлен сим-плициальный комплекс Кр, являющийся его полным ком-

I6Yukiko Fukukawa and Mikiya Masuda, Buchstaber invariants of skeleta of a simplex, Osaka J. Math. V. 48, №2 (2011), 549 582.

l7H. Ю. Ероховец, Инвариант Бухштабера простых многогранников, УМН Т63 №383, 2008, 187-188.

18Н. Ю. Ероховец, Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях, кандидатская диссертация, МГУ им. М.В.Ломоносова, мех.-мат. факультет, 2011.

19Rade Т. Zivaljevid, Combinatorial yroupoids, cubical complexes, and the Lovdsz conjecture, Discrcto and Computational Geometry, V.41, №1, 135-161.

бинаторным инвариантом. Построена общая теория нерв-комплексов, описывающая свойства симплициальных комплексов типа Кр.

2. Доказано, что для произвольного выпуклого многогранника Р с т гипергранями топологические пространства Zp и Zkp(D2, S1) с действием тора Тт эквивариантно гомотопи-чески эквивалентны.

3. Пусть к — поле. Скажем, что симплициальный комплекс L является р-ацикличным (над к), если ЯДЬ;к) = 0 при г ^ р. При этом по определению ii_i(0;Es) = к. В диссертации доказано, что для симплициального комплекса К на т вершинах и его алгебры Стенли-Райснера к[К] эквивалентны следующие условия:

(a) depth k[JsT] ^ s + 1;

(b) Для любого набора вершин J С [т] полный подкомплекс -К"[т]у является (s — 1 — 1,/|)-ацикличным над к.

(c) Для любого симплекса / е К симплициальный комплекс Ипкд-/ является (s — 1 — 11|)-ацикличным над к.

На основе этой эквивалентности получено новое доказательство теоремы Райснера и теоремы Манкрса. Показано, что depth к[Яр] = dimP для произвольного выпуклого многогранника Р. Получен ряд соотношений на биградуи-рованные числа Бетти нерв-комплексов Кр.

4. Для максимальной размерности s(K) торических подгрупп, действующих свободно на момент-угол комплексе Zk(D2, Sl), и максимального ранга rs(K) подгрупп группы Z™, действующих свободно на вещественном момент-угол комплексе Zk(D1,Sq), доказаны следующие результаты:

(a) rs(K) ^ т— [log2(7(AT)-fl)], где 7(К) — хроматическое число симплициального комплекса К;

(b) з{К) = яз(К) = 771- Г1оё2(7(^) + 1)1, если &тК = 1;

(c) Существует такой симплициальный комплекс II, что

(с!) Существуют такие симшшциальные комплексы и Г2, ЧТО 5(Г1*Г2) ф в(Г1)+з(Г2) и М5(Г>Г2) ф е5(Г1)+к5(Г2).

Основные методы исследования.

В работе используются методы торической топологии, теории гомотопий, комбинаторики и коммутативной алгебры.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов по торической и комбинаторной топологии, комбинаторике и коммутативной алгебре.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:

1. Семинар «Алгебраическая топология и её приложения» им. М. М. Постникова под руководством чл.-корр. РАН В. М. Бухштабера, проф. А. В. Чернавского, проф. И. А. Дынникова, проф. Т. Е. Панова, доц. Л. А. Алании и доц. Д. В. Миллиошцикова; кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ — неоднократно с 2010 года по 2012 год;

2. Семинар «Некоммутативная топология» под руководством проф. А. С. Мищенко, проф. И. К. Бабенко, нроф. Е. В. Троицкого, проф. В. М. Мануйлова, доц. А. А. Ирматова; кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ — в 2010 году;

3. Семинар «Дифференциальная геометрия и приложения» под руководством акад. РАН А. Т. Фоменко; кафедра дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета МГУ — в 2011 году;

4. Международная конференция «Ломоносов 2010», г. Москва, 12-15 апреля 2010 года, МГУ.

5. Международная конференция «Ломоносов 2011», г. Москва, 11-15 апреля 2011 года, МГУ.

6. Международная конференция «Торическая топология и ав-томорфные функции», г. Хабаровск, 5-10 сентября 2011 года.

7. Русско-японская конференция «Toric topology in Osaka 2011», г. Осака, Япония, 27-30 ноября 2011 года.

8. Международная конференция «Александровские чтения», г. Москва, 21-25 мая 2012 года, МГУ.

9. Шестой Европейский Конгресс Математиков, постерный доклад, г. Краков, Польша, 2-6 июля 2012 года.

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в трёх работах, список которых приведен в конце автореферата [1,2,3]

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 135 страницах и состоит из введения, пяти глав и дополнения. Библиография включает 72 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации излагается история рассматриваемой проблемы, формулируются основные результаты, приводится краткое содержание работы и список основных обозначений.

Содержание главы 1

В главе 1 приведен обзор определений, которые используются в работе. Раздел 1.1 содержит обзор теории симшшциаль-ных комплексов. Приведены определения классических понятий: линка, геометрической реализации симплициального комплекса, симплициальной сферы и симплициального многообразия, /- и к -чисел и многочленов. Сформулированы соотношения Дена-Соммервилля: Ы{К) = для /г-чисел симплициальной сферы К и их аналог для симмлициальных многообразий. В разделе 1.2 приводятся сведения о выпуклых многогранниках. Даны определения двойственности, простых и сим-плициальных многогранников, а также определение прямого произведения и джойна выпуклых многогранников. Необходимые сведения о частично упорядоченных (ч.у.) множествах содержатся в разделе 1.3.

Раздел 1.4 посвящен момент-угол пространствам многогранников. Каждому выпуклому многограннику Р с т гипергранями сопоставлено момент-угол пространство 2Р, являющееся пересечением вещественных квадрик специального вида в пространстве Ст. На пространстве 2Р задано действие тора Тт, фактор-пространством которого является исходный многогранник Р. В разделе 1.5 описана конструкция момент-угол комплекса. Каждому симплициальному комплексу К на т вершинах сопоставлен клеточный момент-угол комплекс 51) с действием тора Тт. Связь момент-угол пространств и момент-угол комплексов дает теорема Бухштабера-Панова: для простого многогранника Р с т гипергранями имеет место Тт-

эквивариантный гомеоморфизм 2Р = 51), где дР* —

граница двойственного к Р симшшциального многогранника.

В разделе 1.6 приводится определение алгебры Стенли-Райс-нера к [К] симшшциального комплекса К, структуры к[т]-мо-дуля на ней. Описаны свойства свободной резольвенты модуля к[К] и Тог-алгебры Тогк[т](к[ЛГ], к). Согласно теореме Бухшта-бера Панова: Н*{2К{02,51); к) = Тог^ОВД, Ее), где к - поле или кольцо Ъ. Этот результат можно рассматривать как способ ввести двойную градуировку на кольце когомологий момент-угол комплекса. Определены биградуированные числа Бетти симшшциального комплекса:

Г*(к) = гккТог;$(Щк],к).

В разделе 1.7 приведены основные сведения из гомотопической теории диаграмм топологических пространств. В разделе даны определения копределов и гомотопических копределов и собраны утверждения, позволяющие эффективно работать с этими объектами. Утверждения, приведенные в разделе 1.7, используются только в главе 3 и дополнении А.

Содержание главы 2

В главе 2 дано определение нерв-комплексов — основного объекта данного исследования. Каждому выпуклому многограннику Р сопоставлен симплициальный комплекс Кр. Разбору этой конструкции и примеров посвящен раздел 2.1. Также в этом разделе приводится описание связи нерв-комплексов с конструкцией Батырева-Кокса торического многообразия над рациональным многогранником. В разделе 2.2 исследован вопрос, какими комбинаторно-топологическими свойствами обладает симплициальный комплекс Кр.

Для каждого симшшциального комплекса К определено подмножество Р(К) симплексов, представимых в виде пересечения максимальных симплексов.

и

Определение 2.2.6. Нерв-комплексом (соотв. гомологическим нерв-комплексом) ранга п называется симплициалъный комплекс К, удовлетворяющий условиям:

1. 0 Е F(K);

2. F(K) является градуированным частично-упорядоченным множеством с функцией ранга rank: F(K) -> {0,...,п}, гапк(0) = 0, rank(/) = п для максимального симплекса I е F(K);

3. Если I 6 F(K) и I 0. то комплекс link^ I гомотопен (соотв. гомологичен) сфере 5,п-гапк(Л-1_

Если, кроме того, К гомотопен (соотв. гомологичен) сфере 5n_1, то К называется сферическим (соотв. сферическим гомологическим) нерв-комплексом.

Теорема 2.2.9. Если Рп — выпуклый многогранник, то Кр — сферический нерв-комплекс ранга п, причем ч.у. множество F(Kp) изоморфно множеству граней многогранника Р с обращенным порядком.

Следствие 2.2.10. Симплициалъный комплекс Кр является полным комбинаторным инвариантом многогранника Р.

Нетрудно проверить, что любое симшшциальное многообразие является гомологическим нерв-комплексом. В разделе 2.3 исследованы /-многочлены нерв-комплексов. Основной результат раздела таков:

Предложение 2.3.1. Если К — гомологический нерв-комплекс ранга п. то

fK(t) = (1 - x(K)) + (-irrank/(i +1)1",

ief(k)j^lz)

где х ~~ эйлерова характеристика.

Из этого утверждения следуют соотношения' Дена Соммер-вилля для сфер и многообразий, а также формула =

= Fp(-1, i+1), где но определению FP(a,t) = £ adimFtm^\ а

fcp

m(F) — число гиперграней, содержащих грань F. Доказательство предложения 2.3.1 основано на обобщении метода В. М. Бух-штабера, предложенного в работе20.

Содержание главы 3

Главы 3 и 4 являются центральными главами диссертации.

Теорема 3.1.7. Момент-угол пространство Zp эквивари-антно гомотопически эквивалентно момент-угол комплексу ZKp(D2,Sl).

Для доказательства этого факта используется описание пространства Zp как гомотопического копредела специальной диаграммы торов над ч.у. множеством граней многогранника. С другой стороны, в работе 21 приведено описание момент-угол комплекса Z^P(D2, S1) как копредела некоторой диаграммы топологических пространств над ч.у. множеством симплексов комплекса Кр. Теорема 3.1.7 доказывается применением известных результатов о копределах и гомотопических копределах.

В разделе 3.2 показано, что для любых выпуклых многогранников Р и Q имеет место гомеоморфизм: Др*д = Др * 2>Q, а в случае, если оба многогранника не равны точке, имеем ZpxQ — Zp х Zq. Таким образом, на основании гомологических характеристик момент-угол пространств Zp можно строить инварианты исходных многогранников, мультипликативные относительно операций прямого произведения и джойна. Эта идея развита в разделе 3.3. Каждому выпуклому многограннику Р сопоставлен многочлен ßp(s,t) — Y^i j ß~l,2^{Kp)s~l0.

Предложение (следствие 3.3.8). Для произвольных многогранников Р и Q выполнено соотношение

ßp*Q(s,t)-l = (ßp(s, t) - 1) • (ßQ{s, t) - 1) • 5.

20B. M. Бухштабер, Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения, Труды МИАН им. В.А.Стеклооа, 263, 2008, 18-43.

slTaras Panov, Nigel Ray, Reiner Vogt, Colimits, Stanley- Reimer algebras and loop spares, Progress in Math., V.215, 2004, 261-291.

Если dim Р > 0, dim Q > 07 то

Pp*Q{s,t) = pP{s,t)f3Q{s,t).

Важность задачи построения джойн-мультипликативных инвариантов многогранников была продемонстрирована в работе 22. В разделе 3.3. также описана взаимосвязь многочлена f3p{s,t) с многочленом FP(a,t), определенным в разделе 2.3.

Содержание главы 4

Глава 4 посвящена исследованию гомологических характеристик колец Стенли-Райснера симплициальных комплексов, и, в частности, сферических нерв-комплексов. За исключением отдельно оговоренных случаев предполагается, что к - поле-

Теорема 4.1.1. Пусть К — симплициальный комплекс на лтожестве [т]. а к - поле. Следующие условия эквивалентны:

1. depth^ s + l;

2. Для любого подмножества вершин J С [т] и г < s — \ J\ выполнено Hl(Kj; к) = 0.

3. Для любого симплекса IeKui<s-\I\ выполнено Н\ link* J; к) = 0.

Доказательству этой теоремы посвящены разделы 4.2 и 4.3. В разделе 4.2 приведены необходимые сведения о понятии глубины модуля. Согласно теореме Ауслендера-Буксбаума12, depth ЦК] =т - pdimk[if], где т — число вершин комплекса К, a pdimkLK'] — проективная размерность модуля, то есть минимальная длина проективной резольвенты модуля ЦК]. Таким образом, depth к [Я"] ^ s + 1 в том и только том случае,

"В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ерохоиец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398), 2011, 67-162.

когда Р l'2j(K) = 0 при всех j и i ^ т - s. Хохстером13 была доказана формула

JC[m\,\.J\=j

выражающая биградуированные числа Бетти в терминах кого-мологий полных подкомплексов. Из теорем Ауслендера-Букс-баума и Хохстера выводится эквивалентность первых двух пунктов в теореме 4.1.1.

В разделе 4.3 приведено доказательство эквивалентности пунктов 2 и 3 теоремы 4.1.1, являющееся наиболее содержательной ее частью. Показано, что эта эквивалентность имеет место также и в случае k = Z. Из теоремы 4.1.1 следуют два известных результата:

Теорема Райснера.8 Алгебра к[К] является алгеброй Коэна-Маколея в том и только том случае, когда для любого симплекса I Е К и г < dim if — |/| имеют место равенства Щ1тккГ,к) = 0.

Теорема Манкрса.10 depth к [К"] ^ s + 1 в том и только том случае, когда для любой точки х геометрической реализации \К\ и % < s выполнено соотношение

ЩК;к) = Щ\К\,\К\\х-к) = 0.

Важный класс симшпщиальных комплексов составляют го-ренштейновы* комплексы. Горенштейновым* (над к) называется симилициальный комплекс, для которого (1) алгебра k[if] является алгеброй Коэна- Маколея, (2) P~"m~n)'2j{Ю = 1 и (3) if нельзя представить в виде К = А1 * L, I ^ 0.

Теорема Стенли.7 Комплекс if является горенштейновым* над к тогда и только тогда, когда для любого симплекса I £ К комплекс link/e / имеет когомологии сферы размерности dimlinktf i = dim if — |i| (когомологии с коэффициентами в поле к).

В разделе 4.4 приведено новое доказательство этого результата. В разделе 4.5 исследованы свойства колец Стенли Райснера сферических нерв-комплексов.

Теорема 4.5.1. Если К — сферический нерв-комплекс ранга п, то depth к [if] = п.

Следствие 4.5.2. Если Р — выпуклый многогранник, то

depth ЦКР] = dim Р.

Из последнего следствия и результата Аврамова-Голода23 выводится

Следствие 4.5.4. Алгебра когомологий H*(ZP;k) является алгеброй Пуанкаре в том и только том случае, когда Р — простой многогранник.

На биградуированные числа Бетти нерв-комплексов многогранников имеется ряд соотношений, аналогичных свойствам горенштейновых* комплексов.

Теорема 4.5.8. Пусть Р выпуклый многогранник размерности пет гипергранями. Тогда

1. /3~г^(Кр) = 0 при i> т-п;

2 p-{m-n),2j(Kp} = о при j ф т; p-(m-n),2m(Kpj = 1;

3. Р~*Я(Кр) — 0 при j — i > п;

4. /3~l'2j(Kp) = о при j - i = n и j ф т.

Содержание главы 5

В главе 5 исследуется число Бухштабера — максимальная размерность торических подгрупп, свободно действующих на момент-угол пространствах и момент-угол комплексах. В разделе 5.1 дано определение инварианта Бухштабера s(-) и вещественного инварианта Бухштабера Rs(-) и показано, что s(P) = s(KP) и rs(P) = ms(Kp), что позволяет рассматривать только случай

23Л. Л. Аврамов, Е. С. Голод, Об алгебре гомологий комплекса Козюля локального кольца Горенштейна, Матем. заметки, Т.9, вып.1, 1971, 53-58.

симшшциальных комплексов. Приведена конструкция универсальных комплексов Дэвиса. Янушкиевича £// из работы Для симплициального комплекса К на т вершинах число m — s(K) совпадает с наименьшим целым I, для которого существует невырожденное отображение из К в универсальный комплекс Ui согласно 18. Это соображение позволяет рассматривать число т - s(K) как обобщенный хроматический инвариант в смысле Р. Зивальевича19. Описание такого подхода к проблеме Бух-штабера и основных свойств обобщенных хроматических инвариантов содержится в разделе 5.2, а в разделе 5.3 на его основе получен следующий результат:

Предложение 5.3.4. Если dim К = 1, ау(К) - хроматическое число комплекса К, то s(K) = rs(K) = т— [log2(7(.ft')+l)].

Показано, что в случае dim К — 2 также выполнено равенство s(K) = Rs(K). Вопрос о том, совпадают ли вещественное и комплексное числа Бухштабера в общем случае до сих пор был открытым. В разделе 5.4 дан ответ на этот вопрос:

Теорема 5.4.2. Существует симплициальный комплекс U, dim U = 3, такой что s(U) Ф rs(U).

Доказательство этого утверждения состоит в переборе большого числа случаев и в конечном итоге сводится к компьютерному анализу с использованием среды GAP24.

В разделе 5.5 исследованы аддитивные свойства числа Бухштабера. Согласно результату Н. Ю. Ероховца17,18 для произвольных симплициальных комплексов К\ и на множествах [mj] и [тг] выполнены неравенства

s{Kx) + s{K2) ^ з{Кг * К2) ^ ^ тпф^) + m2 - dim- МС^г) + mi - dimifi - 1}.

В большинстве примеров, возникающих в торической топологии, достигается равенство s(K\ * Къ) = s(K\) + s(K2), однако до сих пор было неизвестно, выполнено ли оно всегда. В разде-

24The GAP Group, GAP Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.12, 2008, http://www.gap-system.org.

ле 5.5 на основе предложения 5.3.4 показано, что это равенство может не иметь места:

Предложение 5.5.4. Пусть Ti - граф Гретча, а Г2 - полный граф на четырех вершинах. Тогда s(ri*r2) ф s(ri) + s(r2).

Содержание дополнения А

В дополнительной главе А определены операции на симпли-циальных комплексах, обобщающие некоторые известные конструкции. Для симплициального комплекса К на m вершинах и симнлициальных комплексов Кт определен новый сим-

плициальный комплекс К(КХ,... ,Кт). В частном случае, когда Кг = д&1'-\ комплекс К (h,..., lm) = К(К^ ,...,Кт) был определен в работе25 и использован в работах Ю. М. Устинов-

26 27

ского ' для доказательства гипотезы торического ранга для момент-угол многообразий.

Предложение А.б. Если К,Къ...,Кт— сферические нерв-комплексы, то К (Ki,..., Кт) также является сферическим нерв-комплексом.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановку задачи и внимание на всех этапах написания работы. Автор благодарен д.ф.-м.н., профессору Т. Е. Панову за постоянный интерес с его стороны к этой теме. К.ф.-м.н. С. А. Мелихова и к.ф.-м.н. Н. Ю. Ероховца автор благодарит за ряд высказанных ими полезных замечаний. Автор также благодарен всему коллективу кафедры выс-

25А. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, S. Gitler, A new topological construction of infinite families of toric manifolds implying fan reduction, arXiv:1011.0094v3.

26Ю. M. Устиновский, Операция удвоения многогранников и действия тора, УМН 64:5(389) (2009). 181-182.

"Ю. М. Устиновский, Гипотеза о торическом ранге для момент-угол комплексов, Матем. заметки, 90:2 (2011), 300-305.

шей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ за поддержку и внимание.

Список публикаций по теме диссертации

[1] А. А. Айзенберг. Связь инвариантов Бухштабера и обобщённых хроматических чисел, Дальневост. Матем. Журн. 11:2 (2011), 113-139.

[2] А. А. Айзенберг, В. М. Бухштабер, Нерв-комплексы и момент-угол пространства выпуклых многогранников, Труды МИ-АН им. В.А.Стеклова. 275. 2011, 22-54. (Автором получены следующие результаты: определение и описание основных свойств нерв-комплексов, доказательство формулы для /-вектора нерв-комплекса, доказательство гомотопической эквивалентности Zp ~ Екр(Б2, Б1), доказательство мультипликативности бета-многочленов относительно произведения и джойна многогранников.)

[3] А. А. Айзенберг, Экспоненциальный закон для К-степени, УМН, 64:4 (388) (2009), 175-176.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж {оо экз. Заказ № 46

Введение

1 Обзор основных понятий и конструкций

1.1 Симплициальные комплексы и гиперграфы.

1.2 Выпуклые многогранники.

1.3 Частично упорядоченные множества.

1.4 Момент-угол пространства и многообразия.

1.5 Полиэдральные степени.

1.6 Кольца Стенли-Райснера.

1.7 Категории диаграмм и пространства с действием топологической группы.

2 Нерв-комплексы выпуклых многогранников

2.1 Нерв-комплекс выпуклого многогранника.

2.2 Общее определение нерв-комплекса

2.3 Перечисляющие многочлены.

3 Момент-угол пространства выпуклых многогранников

3.1 Гомотопический тип момент-угол пространства.

3.2 Мультипликативность конструкции

3.3 Биградуированные числа Бетти

4 Глубина колец Стенли-Райснера

4.1 Постановка задачи.

4.2 Необходимые результаты коммутативной алгебры.

4.3 Связь топологии линков и полных подкомплексов.

4.4 Горенштейновы* комплексы.

4.5 Случай сферических нерв-комплексов.

5 Число Бухштабера

5.1 Постановка задачи. Свободно действующие подгруппы тора

5.2 Обобщенные хроматические инварианты

5.3 Случай маломерных комплексов.

5.4 Вещественное и комплексное числа Бухштабера различны

5.5 Аддитивные свойства.

А Операции на симплициальных комплексах

Актуальность темы

В настоящее время в комбинаторике и выпуклой геометрии стали находить применение методы коммутативной алгебры, алгебраической геометрии и топологии. Актуальным разделом алгебраической геометрии стала торическая геометрия, изучающая свойства торических многообразий. Каждому выпуклому многограннику в Мп с рациональными координатами вершин можно сопоставить алгебраическое многообразие с действием алгебраического тора (С*)п, являющееся эквивариантной компактификацией тора (С*)п относительно его действия на себе левыми сдвигами. С одной стороны, эта конструкция дает обширный класс примеров алгебраических многообразий, свойства которых можно эффективно описывать в терминах комбинаторных данных. С другой стороны, конструкция торического многообразия позволяет доказывать сильные результаты о комбинаторике многогранников при помощи методов алгебраической геометрии. Одним из таких результатов является д-теорема, дающая полную характеризацию /-векторов простых многогранников [22, 62].

М. Дэвис и Т. Янушкиевич в работе [32] ввели понятие квазиторического многообразия, являющееся топологическим аналогом торического многообразия. На квазиторическом многообразии М2п определено действие компактного тора Тт\ локально изоморфное стандартному действию Тп на Сп, а пространством орбит этого действия является простой многогранник Рп. Квази-торические многообразия представляют обширный класс примеров топологических пространств с богатой геометрией и топологией, причем их свойства можно описывать в комбинаторных терминах. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов и Н. Рэй [12, 29] показали, что в размерностях, больших двух, каждый класс комплексных кобордизмов содержит связное квазиторическое многообразие с естественной стабильно комплексной структурой, согласованной с действием тора.

Для определения квазиторического многообразия над простым многогранником Рп с т гииергранями М. Дэвису и Т. Янушкиевичу потребовалась конструкция (га + п)-мерного многообразия 2р с каноническим действием тора Тт, для которого Р является пространством орбит. Каждое квазиторическое многообразие над простым многогранником Р, в случае если они существуют, гомеоморфно фактор-пространству многообразия 2р по свободному действию некоторого подтора Тт~п С Т'п. В своих работах В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов предложили рассматривать многообразия 2р как центральный объект исследования в торической топологии и развили различные подходы к изучению этих пространств, названных ими момент-угол многообразиями [8, 9, 11, 29]. Они дали несколько эквивалентных описаний момент-угол многообразия.

С одной стороны, для простого выпуклого многогранника Р имеется описание многообразия 2р как невырожденного пересечения вещественных квадрик в пространстве Ст = К2т, на котором тор Тт действует покоординатно. Это позволяет ввести на многообразии 2р гладкую структуру, такую что естественное действие тора Тш является гладким.

С другой стороны, в работе [9] показано, что существует более общая алгебро-топологическая конструкция, сопоставляющая каждому симплици-алыюму комплексу К на ш вершинах клеточный момент-угол комплекс Б1) с действием тора Тт. При помощи канонического разбиения простого многогранника на кубы В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов показали, что для простого многогранника Р момент-угол многообразие %р эквивариантно гомеоморфно момент-угол комплексу 51), где дР* — граница двойственного к Р симплициального многогранника [9]. Исходя из существования естественной клеточной структуры на комплексе 2к(02,51) В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов [9] вычислили кольцо когомологий над Z момент-угол комплексов и момент-угол многообразий простых многогранников. Они показали, что для произвольного симплициального комплекса К на т вершинах имеет место изоморфизм Н*(2к(Р>2,511); Щ — Тог2[г;ь.5„т](21[К], Ж), где Ъ[К] алгебра Стенли-Райспера симплициального комплекса К. Их подход к исследованию когомологий получил развитие в работе И. В. Баскакова [3].

В диссертации исследован случай произвольного выпуклого многогранника Р, не обязательно простого. В этом случае также можно определить пространство с действием тора Тт как пересечение квадрик специального вида в пространстве Сп. Для непростых многогранников это пересечение уже не является невырожденным, поэтому имеет смысл называть Яр момент-угол пространством многогранника Р, но не многообразием. Первой задачей, которую мы решаем, является эффективное описание эквивари-антного гомотопического типа пространства Др в общем случае. Определена конструкция, которая каждому выпуклому многограннику Р сопоставляет симплициальный комплекс Кр, названный в работе нерв-комплексом многогранника. В случае, когда Р — простой многогранник, Кр = дР*, однако Кр определен в том числе и для непростых многогранников. В работе доказано, что для произвольного выпуклого многогранника Р пространство Др Тт-эквивариантно гомотопически эквивалентно пространству ЯКр(02, 51). Заметим, что гомеоморфизм этих пространств в случае непростых многогранников не имеет места.

Нерв-комплексы возникают естественным образом в торической геометрии. Торическое алгебраическое многообразие, соответствующее выпуклому рациональному многограннику, можно определить при помощи конструкции Батырева-Кокса [30]. Суть этой конструкции такова: рациональному многограннику Р с га гипергранями ставится в соответствие пространство Ст \ Ар дополнение до конфигурации координатных подпространств, а торическое многообразие определяется как категорный фактор этого дополнения по действию некоторой алгебраической подгруппы некомпактного тора (С*)7П. Алгебраическое многообразие Ст \ Ар является алгебраическим аналогом момент-угол пространства Др. Между конфигурациями координатных подпространств пространства Ст и симплициальными комплексами на т вершинах имеется естественная биекция, которая сопоставляет симплициальному комплексу К конфигурацию Ь/, где I// = {(^1,. ,гт) 6 Ст \ гг = О при г € /}. При такой биекции конфигурации плоскостей Ар из конструкции Батырева-Кокса соответствует нерв-комплекс Кр.

Когомологии и эквивариантные когомологии момент-угол пространства 2р выражаются в терминах алгебры Стенли-Райснера нерв-комплекса Кр. Таким образом, с точки зрения торической топологии симплициальный комплекс Кр является правильной заменой непростого выпуклого многогранника Р. Естественным является вопрос: какими свойствами обладают комплексы типа Кр? В случае простых многогранников Р комплекс Кр = дР* является симплициальной сферой, однако для непростых Р комплекс Кр не является ни сферой, ни многообразием. В работе введено понятие сферического нерв-комплекса, обобщающее симилициальные сферы, и показано, что комплексы Кр являются сферическими нерв-комплексами для любого выпуклого многогранника Р. Понятие общих нерв-комплексов является аналогом симплициальных многообразий.

Известным результатом в комбинаторике симплициальных комплексов и многогранников являются соотношения Дена-Соммервилля, согласно которым имеет место соотношение }ц(К) = кп-г(К) на /¿-числа симплициальной сферы К. Для границ выпуклых симплициальных многогранников они были доказаны Д. Соммервиллем в 1927 г. [59]. Существует много других доказательств. В. Кли [44] доказал соотношения Дена-Соммервилля в максимальной общности — для эйлеровых симплициальных комплексов. В. М. Бухшта-бером [5] было предложено доказательство в терминах дифференциальных гомоморфизмов кольца простых многогранников. Также имеется обобщение соотношений Дена-Соммервилля, согласно которому для симплициального многообразия К выполнены равенства

Кг(Ю - Ы(К) = (-1 У(х(К) - Х^"1)) ^.

Этот результат был доказан методами коммутативной алгебры Р. Стенли [64] и, независимо, В. М. Бухштабером и Т. Е. Пановым [9] при помощи топологических соображений. Мы показываем, что для для произвольных нерв-комплексов верен аналог соотношений Дена-Соммервилля, и как следствие получаем комбинаторное доказательство приведенного соотношения для симплициальных многообразий.

Алгебры Стенли-Райснера, введенные в работе [55], являются классическим объектом изучения в комбинаторике и коммутативной алгебре. Произ7 вольному конечному симплициальному комплексу К ставится в соответствие градуированная алгебра Стенли-Райснера над полем к. Такое сопоставление позволило изучать комбинаторные свойства симплициальных комплексов в терминах свойств их алгебр Стенли-Райснера при помощи развитой техники коммутативной и гомологической алгебры. Известно [64], что ряд Гильберта-Пуанкаре градуированной алгебры k[if] выражается формулой

Hiib№];t) = + ++ где 1гг(К) — компоненты /г-вектора симплициального комплекса К и dim К = п — 1. Р.Стенли [60] заметил, что если к [К] — алгебра Коэна-Маколея, то h-вектор комплекса К является М-вектором (то есть существует такая градуированная коммутативная алгебра А = фг Аг, порожденная элементами степени 1, что Нг(К) = rk Аг [45]). На вопрос, для каких комплексов К алгебра к [К] обладает свойством Коэна-Маколея, полный ответ дает теорема Райснера [55]. Согласно этой теореме, алгебра к [К] (п — 1)-мерного симплициального комплекса К обладает свойством Коэна-Маколея в том и только том случае, когда #г(Нпкк /; к) = 0 для всех симплексов / Е К и г < п — 1 — |/|. Таким образом, свойство Коэна-Маколея определяется топологией комплекса К и линков его симплексов. Из результата Райснера следует, что, если К — симплициальная сфера, то k[if] — алгебра Коэна-Маколея. Это соображение позволило Р. Стенли доказать до этого открытую гипотезу о верхней границе для симплициальных сфер, согласно которой h-числа (п — 1)-мерной симплициальной сферы К на т вершинах удовлетворяют неравенствам Нг{К) < ("»-п+г-lj } ПрИ i — 0, ., [|]. Впрочем, стоит отметить, что приложения комплексов Коэна-Маколея в комбинаторике не ограничиваются исследованием симплициальных сфер. Работа [61] содержит краткий обзор этого круга вопросов.

Имеется несколько доказательств теоремы Райснера. В статье Райснера [55], где она была впервые опубликована, использовалась сложная алгебраическая техника. Более простая версия этого доказательства приведена в монографии Стенли [64], но она по прежнему существенно опирается на свойства локальных когомологий коммутативных колец. Джеймсом Манкрсом [49] было предложено топологическое доказательство на основе спектральной последовательности Зимана в интерпретации МакКрори [46]. В той же работе была получена характеризация глубины кольца к [К] в топологических терминах и показано, что при фиксированном поле к величина depth kfA'] является топологическим инвариантом геометрической реализации \К\, то есть не зависит от конкретной триангуляции этого пространства.

Мы приводим простое комбинаторно-топологическое доказательство как теоремы Райснера, так и более общих результатов Манкрса. Первая часть доказательства, как и у Манкрса, основана на исследовании свободной резольвенты модуля к [К] и его биградуированных чисел Бетти. Биградуиро-ванными числами Бетти называются ранги модулей свободной резольвенты, ¡3~г^(К) = rkTor^2,7 и j(k[if],k). Согласно формуле Хохстера [41], би-градуированные числа Бетти определяются топологией полных подкомплексов: (З-^(К) = ^j^^jikHj-t-^Kjik). В работах В. М. Бухштабера и Т. Е. Панова было приведено новое доказательство этой формулы, основанное на интерпретации Tor-алгебры Tor^2,7 v j(k[iT],k) как алгебры когомо-логий момент-угол комплекса Zk(D2, S1). Более того, И.В.Баскаковым [2] было описано умножение в Тог-алгебре в терминах полных подкомплексов.

Вторая часть нашего доказательства теорем Хохстера и Манкрса использует взаимосвязь топологии линков и топологии полных подкомплексов. Развитая в диссертации техника позволяет также дать топологическое доказательство теоремы Стенли [64] о характеризации горенштейновых* комплексов.

Приведенные результаты позволяют ответить на вопрос, какими свойствами обладают алгебры Стеили-Райеиера сферических нерв-комплексов. В диссертации показано, что глубина кольца Стенли-Райснера сферического нерв-комплекса равна его рангу. В случае, если Р — n-мерный многогранник, получаем depth k[Kp] = п.

Последняя часть диссертации посвящена исследованию свойств числа Бухштабера симплициальных комплексов. Если X — пространство с действием тора Тт, то можно определить число s(X) как максимальную размерность подторов Ts С Тт, индуцированное действие которых на X является свободным. В случае X — Zp или Zk(D2, Sl) число s(X) является характеристикой многогранника Р и комплекса К соответственно. В этих случаях число s(X) обозначается в(Р) и в(К) и называется числом Бухштабера. В 2002 году В.М. Бухштабер [11] поставил задачу: найти алгоритмический способ вычисления инвариантов й(Р) и з(К) по комбинаторике Р и К. Из существования эквивариантной гомотопической эквивалентности Яр ~Тт 2Кр(П2, 51) следует, что й(Р) = э(Кр), поэтому рассмотрение можно ограничить лишь симплициальными комплексами.

Изучение числа Бухштабера началось в 2001 году, когда И. В. Изместьев [16] доказал оценку в{К) ^ т — 7 (К), где у(К) — хроматическое число симплициального комплекса К. Частичным упрощением числа Бухштабера является его вещественный аналог ~~ максимальный ранг подгрупп группы Ъ™, действующих свободно на вещественном момент-угол комплексе 5'°). Нетрудно доказать оценку в (К) ^ ^(К). Значительные результаты о вещественном числе Бухштабера остовов симплексов содержатся в работе М.Мацуды и Ю. Фукукавы [35]. Н. Ю. Ероховцом [13, 15] была развита теория числа Бухштабера простых многогранников. В своей диссертации [15] он исследовал, как меняется число Бухштабера при простейших операциях над простыми многогранниками: произведении, связной сумме, перестройках. Им также получены оценки на число Бухштабера циклического многогранника, а в случае, когда число гиперграней многогранника превосходит размерность не более чем на 3, Н. Ю. Ероховец показал, что число Бухштабера полностью определяется биградуированными числами Бетти алгебры Стенли-Райснера к[<9Р*].

Наш подход к изучению числа Бухштабера мотивирован с одной стороны оценкой Изместьева, в которой фигурирует хроматическое число, с другой стороны, понятием универсального комплекса Дэвиса и Янушкиевича. В работе [32] определено семейство универсальных симплициальных комплексов по одному в каждой размерности, и "квазиторических пространств" над этими комплексами, обладающее тем свойством, что любое квазитори-ческое многообразие над простым многогранником Рп индуцировано некоторым однозначно определенным характеристическим отображением из комплекса дР* в комплекс ип. Для произвольного симплициального комплекса К можно рассмотреть число г(К) — минимальное такое /, для которого существует невырожденное симплициалыюе отображение из К в Щ. В работе [15] отмечено, что в{К) = т — г(К), где т — число вершин комплекса К, а ¿(А') — число Бухштабера. Таким образом, изучение числа Бухштабера можно вести в терминах инварианта г (К), при этом инвариант г(-ЙГ) можно рассматривать как обобщенный хроматический инвариант в смысле Р. Зивальевича [69]. Такой подход позволяет провести параллель между теорией числа Бухштабера и теорией хроматического числа в теории графов и получить новые результаты о числе Бухштабера маломерных симплициальных комплексов.

Основные результаты

Основными результатами работы являются следующие.

1. Каждому выпуклому многограннику Р размерности п сопоставлен сим-плициальный комплекс Кр, являющийся нервом покрытия границы многогранника Р его гипергранями. Показано, что Кр является полным инвариантом комбинаторного многогранника Р. Введено общее понятие сферического нерв-комплекса и показано, что Кр является сферическим нерв-комнлексом ранга п.

Для произвольного сферического нерв-комплекса К ранга п доказана формула ш = (1 - Х{К)) + £ (-1)™*^ +1)171,

1£Г{К),1ф0 где х{К) ~ эйлерова характеристика, а Р(К) — множество пересечений максимальных но включению симплексов комплекса К, частично упорядоченное по включению с ранговой функцией гапк(-).

2. Показано, что для произвольного выпуклого многогранника Р с т гипергранями момент-угол пространство Яр эквивариантно гомотопиче-ски эквивалентно момент-угол комплексу 2кр(02, б"1) относительно действия тора Тт. Каждому выпуклому многограннику сопоставлен бета-многочлен /^(я, = • (Кр)з~Ч2з, и доказаны формулы

Ь) - 1 = (&>(*, *) - 1) • (Рд(з, I) - 1) • 5 и

Зрхд(М) если dim Р > 0, dim Q > О.

3. Пусть к — поле. Скажем, что симплициальный комплекс L является р-ацикличиым (над к), если Hi(L; к) = О при г ^ р. При этом по определению Hi(0;k) = к. В диссертации доказано, что для симплициального комплекса К на т вершинах следующие условия эквивалентны: a) depth к[К] > s + 1; b) Для любого набора вершин J С [га] полный подкомплекс является (s — 1 — |</|)-ацикличным над к. c) Для любого симплекса / Е К симплициальный комплекс link/^J является (s — 1 — |/|)-ацикличным над к.

На основе этой эквивалентности получено новое доказательство теоремы Райснера и теоремы Манкрса. Показано, что для сферического нерв-комплекса К ранга п выполнено равенство depth k[K] = п. Доказаны соотношения на биградуированные числа Бетти нерв-комнлексов многогранников: a) P~^2j(KP) = 0 при г > га - п; b) (3-(т~п^(КР) = 0 при j ф га; ¡3-^т-п^2т{Кр) = 1; c) p-^2j(KP) = 0 при j - г > те; d) ¡3~l,2i{Kp) = 0 при j — i = п и j ф т.

4. Для максимальной размерности s(K) торических подгрупп, действующих свободно на момент-угол комплексе Zk(D2, S1), и максимального ранга кs(K) подгрупп группы Z™, действующих свободно на вещественном момент-угол комплексе Zk{D1, S10), доказаны следующие результаты a) Rs(if) ^ га — \\og2(l(K) + 1)], где 7(К) — хроматическое число симплициального комплекса К; b) s(K) = ms(K) = га - [log2(7(К) + 1)1, если dim К = 1; c) Существует такой симплициальный комплекс U, что s(U) ф rs(U). d) Существуют такие симплициальные комплексы Г і и Г2, что в(Гі * Г2) ф s{Гі) + s(r2) и Rs(ri * Г2) ф К5(Гі) + Rs{T2).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [70, 72, 71]. Содержание работы

Здесь мы кратко опишем структуру работы. Диссертация разбита на главы, главы — на разделы. Теоремы, предложения, примеры, замечания и т.д. нумеруются в пределах раздела. В конце введения мы приводим список часто встречающихся обозначений.

1. J1. Л. Аврамов, Е. С. Голод, Об алгебре гомологии комплекса Козюля локалыюго кольца Горенштейна, Матем. заметки, Т.9, вып.1, стр.53-58, 1971.

2. И.В.Баскаков, Когомологии К-степеней пространств и комбинаторика симплици-альных разбиении, УМН, 57:5(347) (2002), стр. 147-148.

3. И.В.Баскаков, Тройные произведения Масса в когомологиях момент-угол комплексов, УМН. 58:5(353) (2003), стр.199-200

4. И.В.Баскаков, В. М. Бухштабер, Т.Е.Панов, Алгебры клеточных коцепей и действия торов, УМН, 59:3(357) (2004), стр.159-160.

5. В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Алгебра операторов на кольце многогранников и квазисимметрические функции, УМН, 65:2(392) (2010), стр.197-198.

6. В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398), 2011.

7. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия тора и комбинаторика многогранников, Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 225, 1999, сгр.96-131.

8. В. М. Бухштабер, Т.Е.Панов, Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра, УМН, 55:5(335), стр.3-106, 2000.

9. В. М.Бухштабер, Т.Е.Панов, Действия тора, эквивариантные момент-угол-комплексы и конфигурации координатных подпространств, Записки научных семинаров ПОМИ, Т.266, 2000.

10. В.М.Бухштабер, Т.Е.Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике. Москва, 2004.

11. В. М. Бухштабер, Н. Рэй, Торические многообразия и комплексные кобордизмы, УМН, 53 (1998), вып. 2, стр. 139-140.

12. Н.Ю.Ероховец Инвариант Бухштабера простых многогранников, УМН Т.63 N"383, 2008, стр 187-188.

13. Н.Ю.Ероховец, Момент-угол многообразия простых n-мерных многогранников с п+3 гипергранями, УМН, 66-5(401) (2011), 187-188

14. Н. Ю. Ероховец, Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. МГУ им. М.В.Ломоносова, мех.-маа. факультет, 2011.

15. И. В. Измесгьев Трехмерные многообразия, определяемые раскраской граней простого многогранника, Математические заметки, Т.69, №3, 2001, стр. 375-382.

16. Ю. М. Устиновский, Операция удвоения многогранников и действия тора, УМН, 64-5(389) (2009), стр.181-182.

17. Ю. М. Устиновский, Гипотеза о торическом ранге для момент-угол комплексов, Ма-тем. заметки, 90 2 (2011), стр 300-305.

18. A. Bahri, М. Bendersky, F. R. Cohen, S. Gitler, The polyhedral product functor: A method of decomposition for moment-angle complexes, arrangements and related spaces, Advances in Mathematics. 225 3 (2010), pp. 1634-1668

19. A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, S. Gitler, A new topological construction of infinite families of tone manifolds implying fan reduction, arXiv:1011.0094v3

20. D. Barnette, Diagrams and Schlegel diagrams, Combinatorial Structures and their Applications (Proc. Calgary Internat. Conf., Calgary, Alta.). New York: Gordon an Breach, 1970. pp. 1-4.

21. L.Billera, C.Lee, A proof of sufficiency of McMullen's conditions for f-vectors of simphcial polytopes, Bull.Amor Math.Soc (N S.), 1980, V.2, №1, pp. 181-185

22. R. H. Bing, The geometric topology of 3-manifolds, American Mathematical Society, Colloquium Publications, V.40, 1983.

23. F. Bosio, L. Meersseman, Real quadrics in Cn, complex manifolds and convex polytopes, Acta Math., 197:1 (2006), pp. 53-127.

24. А. К Bousfield and Daniel Kan, Homotopy limits, completions and localizations, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304, Springer-Verlag, 1972.

25. G. E. Bredon, Introduction to compact transformation groups. New-York: Academic Press, 1972. Русский перевод: Г. Бредон, Введение в теорию компактных групп преобразований. М.:Наука, 1980.]

26. W. Bruns, J.Gubeladze, Combinatorial mvariance of Stanley-Reisner rings, Georgian Mathematical Journal, V.3, №4, (1996), pp. 315-318.132

27. W. Bruns, J.Herzog. Cohen-Macaulay rings, revised edition. Cambridge 1993 (Cambridge Studies in Advanced Mathematics; V.39)

28. V.M. Buchstaber, Т.Е. Panov, N.Ray, Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds, Moscow Math. J. V.7, №'2, 2007, pp. 219-242.

29. D. Cox, The homogeneous coordinate ring of a toric variety, J. Algebraic Geom. 4 (1995), pp. 17-50; arXiv:alg-gcom/9210008v2.

30. D. A. Cox, Recent developments in toric geometry, Algebraic geometry Santa Cruz 1995, Providence, R.I.: AMS, 1997, pp. 389-436 (Proc. Symp. Pure Math.; V. 62); arXiv:alg-geom/9606016vl.

31. M. Davis, T. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J. 1991. V. 62, №2, pp. 417-451.

32. F. Eftenberger and J. Spreer simpcomp a GAP toolkit for simplicial complexes, Version 1.3.3, 2010, http://www.igt.uni-stuttgart.de/LstDiftgeo/simpcomp.

33. M. Franz, The Integral Cohomology of Toric Manifolds, Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств, Сборник статей, Тр. МИАН, 252, Наука, М., 2006. стр.61-70.

34. Yukiko Fukukawa and Mikiya Masuda, Buchstaber invariants of skeleta of a simplex, Osaka J. Math. V. 48, №2 (2011), 549-582; arXiv:0908.3448v2.

35. W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1993 (Ann. of Math. Studies; V.131).

36. The GAP Group GAP Groups, Algorithms, and Programming. Version 4-4-2008, http: //www.gap-system.org.

37. Branko Griinbaum, Convex polytopes, second edition, Graduate Texts in Mathematics 221, Springer, 2003.

38. Alex Heller, Homotopy in functor categories, Transactions of the AMS, V.272, №1, 1982.

39. Philip S. Hirschhorn. Model Categories and Their Localizations. Volume 99 of Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence, RI, 2003.

40. M. Hochster, Cohen-Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes, in Ring theory, II (Proc. Second Conf.,Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), Lecture Notes in Pure and Appl. Math., V. 26, pp. 171-223, Dekker, New York, 1977.

41. Mark Hovey. Model categories, Volume 63 of Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence RI, 1999.

42. Wilberd van der Kallen, Homology stability for linear groups, Inventories Mathematicae, V.60, №3, 1980.

43. V. Klee, A combinatorial analogue of Poincare duality theorem, Canad. J. Math. 1964. V.16. pp.517-531.

44. F. S. Macaulay, Some properties of enumeration on the theory of modular systems, Proc. London Math. Soc. V.26, pp. 531-555, 1927.

45. Clint McCrory, Zeeman's filtration on homology, Transactions of the AMS, V.250, 1979, pp.147-166.

46. S. Maclane. Categories for the working mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag, (1998).

47. S. Maclane. Homology. Springer-Verlag, Berlin, 1963. Русский перевод: С. Маклейн. Гомология. Москва: Мир, 1966.]

48. James R. Munkres, Topological results in combinatorics, Michigan Math. J., V. 31, Issue 1 (1984), pp. 113-128.

49. T. Panov, Cohomology of face rings and torus actions, London Math. Soc. Lecture Notes, V.347, Surveys in Contemporary Mathematics, Cambridge, 2008, pp. 165-201.

50. Taras Panov, Nigel Ray, Categorical aspects of toric topology, in "Toric Topology" (M.Harada et al, eds.), Contemporary Mathematics, V.460, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000, pp. 293-322.

51. Taras Panov, Nigel Ray, Reiner Vogt, Colimits, Stanley-Reisner algebras and loop spaces, In: "Categorical Decomposition Techniques in Algebraic Topology"(G.Arone et al cds.). Progress in Mathematics, V.215, Birkhauser, Basel, 2004, pp. 261-291.

52. Robert J. Piacenza, Homotopy theory of diagrams and CW-cornplexes over a category, Can. J. Math. V.43(4), 1991, pp. 814-824.

53. Daniel G. Quillen. Homotopical algebra. Lecture Notes in Mathematics 43, Springer-Verlag, 1967.

54. G. Reisner, Cohen-Macaulay quotients of polynomial rings, Advances in Math., V.21, №1, 1976, pp. 30-49.

55. G.-C. Rota, On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Mobius Functions, Probability Theory and Related Fields V. 2, №4, 1964.

56. C.P.Rourke, B.J.Sanderson. Introduction to piecewise-linear topology. Berlin: SpringerVerlag, 1972. (Springer Study Edition). Русский перевод: К. Рурк, Б. Сандерсон. Введение в кусочно-линейную топологию. Москва: Мир, 1974.]

57. Dean E. Smith, On the Cohen-Macaulay property in commutative algebra and simplicial topology, Pacific Journal of Mathematics, V. 141, JV-l, 1990.

58. D. M. Y. Sommerville, The relations connecting the angle sums and volume of a polytope in space of n dimensions, Proc. Roy. Son. London Ser. A, 1927. V.115, pp. 103-119.

59. R. Stanley, The upper bound conjecture and Cohen-Macaulay rings, Studies in Applied Math. 1975, V.54, Ш, pp. 135-142.

60. R.Stanley, Cohen-Macaulay complexes, Higher Combinatorics (M. Aigner, ed.), Reidel, Dordrecht/Boston, 1977, pp. 51-62.

61. R. Stanley, The number of faces of sim,plicial convex polytope, Advances in Math. 1980, V.35, №, pp. 236-238.

62. R.Stanley. Enumerative combinatorics. V.l. Wadsworth and Brooks/Cole, Monterey, California, 1986.

63. R. Stanley. Combinatorics and Commutative Algebra. Boston, MA: Birkhauser Boston Inc., 1996. (Progress in Mathematics V. 41).

64. Stefan Waner, Equivariant homotopy theory and Milnor's theorem, Transactions of the AMS, V. 258, №2, 1980. pp. 351-268.

65. Volkmar Welker, Giinter M. Ziegler, Rade T. Zivaljevic, Homotopy со limits — comparison lemm,as for combinatorial applications, Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). V. 1999, JV«509, pp. 117-149, 1999.

66. Stephen J.Wilson, Equivariant homology theories on G-complexes, Transactions of the AMS, V. 212, 1975, pp.155-171.

67. Giinter M. Ziegler. Lectures on Polytopes. Springer-Verlag, New York, 2007.

68. Rade T. Zivaljevic. Combinatorial groupoids, cubical complexes, and the Lovasz conjecture, Discrete and Computational Geometry, V.41, №1, pp. 135-161; arXiv:math/0510204v2.Работы автора по теме диссертации.

69. А.А.Айзенберг, Экспоненциальный закон для К-степени, УМН, 64:4(388) (2009), 175-176.

70. А. А. Айзенберг, В. М. Бухштабер, Момент-угол пространства и нерв-комплексы выпуклых многогранников, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, Т.275, 2011. 22-54.

71. А. А. Айзенберг, Связь инвариантов Бухштабера и обобщенных хроматических чисел, Дальневост. матем. журн., 11:2 (2011), 113-139.