Деформация решетчатой пластины глаза тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

ВОРОНКОВА Ева Боруховна

ДЕФОРМАЦИЯ РЕШЕТЧАТОЙ ПЛАСТИНЫ ГЛАЗА 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре гидроупругости математико-механичеекого факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, доцент БАУЭР Светлана Михайловна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

ДАЛЬ Юрий Михайлович

кандидат физико-математических наук, профессор

СМОЛЬНИКОВ Борис Александрович Ведущая организация:

Санк1-Пегербургский государственный электротехнический университет

Зашита состоится "08"июня 2006 г. в 14 час на заседании диссертационного совеаа Д 212 232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт - Пегербурюком 1 осударственном университете по адресу

198504, Старый Петергоф, Университетский пр. д.28., ауд.3536

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Горькою Санкт-Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9

Автореферат разослан £>— 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, д. ф.-м. н., профессор

С. А Зегжда

¿LOObk

U90

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование различных процессов в биологических системах позволяет лучше понять причины и механизмы развития явлений, происходящих в биологических структурах, таких как сосуды, суставы, различные органы животных и человека. Методы механики деформируемого твердого тела все чаще применяются для исследования состояния глаза.

Глаз человека представляет собой сложную биологическую структуру Изучение биомеханики глаза важно для понимания механизма развития многих заболеваний, улучшения диагностики различных заболеваний, развития новых методов терапевтического и хирургического лечения

В месте выхода зрительного нерва из полости глаза склеральная оболочка глаза (склера) очень тонкая и имеет отверстия в области, называемой решетчатой пластинкой (lamina cribrosa - LC) (lat. cribrum - решето). Решетчатая пластинка играет важную роль в балансе внутриглазного и внутричерепного давлений (ВГД и ВЧД).

Многочисленные экспериментальные данные говорят о том, что при повышении ВГД такие явления, как отечность зрительно - нервных аксонов, их дезорганизация, остановка аксоплазматического тока и др , ведущие за гобой атрофию (разрушение) зрительного нерва и приводящие к дефектам поля зрения, происходят именно в области решетчатой пластинки Кроме того отмечается, что первые признаки глаукоматозно-го прогиба (экскавации) диска зрительного нерва, как правило, появляются раньше дефектов в поле зрения

По определению В В Волкова, глаукома это прежде всего специфическое нарушение зрительных функций от сдавливания нервных волокн, обусловленного выпячиванием решетчатой мембраны из полости глаза. "Глаукоматозная атрофия отличается от всех других наличием вдавливания на диске за счет действительного выпучивания решетчатой пластинки из глаз (=экскавации диска зрительного нерва)".

В своих исследования H.Quigley, E.Addicks предположили, что предпосылкой к появлению экскавации служат не особенности строения сосудистой сети диска, а неоднородность решетчатой пластинки глаза на разных участках.

Все это делает важным изучение напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки глаза при изменении внутриглазного давления, изучение индивидуальных особенностей строения решетчатых пластин, которые могут увеличить предрасположенность к глаукоматозным повреждениям.

Целью данной работы является исследование деформации решетчатой пластинки глаза при различных соотношениях внутриглазного и внутричерепного давлений, оценка влияния механических характеристих, неоднородности пластины, центрального отверстия на характер деформации пластины. Оценка предрасположенности различных решетчатых пластин к глаукоматозным повреждениям.

Методы решения. При решении поставленных задач применялись различные методы. Аналитические соотношения, характеризующие влияние малой неоднородности на прогиб и усилия решетчатых пластин, находящихся под действием нормального давления, получены методом возмущений, т.е асимптотическими методами для регулярно возмущенных задач Ряд результатов получен численными методами

Научная нонична. Построен ряд моделей развития глаукомы, поддерживающих механическую концепцию возникновения глаукоматозной атрофии зритечьного нерва

Расчеты напряженно-деформированного состояния решетчатых пластин, позволяют оценить влияние механических характеристик, неоднородности пластин как по радиусу, так и по углу на величину максимального прогиба пластин и их деформации

Для выявления причин возникновения мелких складок, отеков по краю пластины при глаукоме проведено исследование устойчивости симметричной формы равновесия неоднородной пластины под действием нормального давления Оценено влияние степени неоднородности на величину критической нагрузки.

Учет начальной кривизны решетчатой пластинки позволяет объяснить образование "застойного диска", наблюдаемого офтальмологами при увеличении внутричерепного давления.

Построенные модели позволяют оценить предрасположенность различных решетчатых пластин к глаукоматозным повреждениям.

На защиту выносятся следующие результаты:

1 Исследовано напряженно-деформированное состояние неоднородной трянсверсаль-но-изотропной круглой пластины с центральным отверстием при различных законах изменения модуля упругости В зависимости от неоднородности пластины по радиусу и углу получены асимптотические соотношения для прогиба пластины. Показано, что увеличение неоднородности решетчатой пластины по радиусу и углу увеличивает предрасположенность к развитию глаукоматозного прогиба, способствует изменению поля зрения характерному для больных глаукомой.

2. Для неоднородной изотропной пластины получено значение критической нагрузки, при которой возможна бифуркация в неосесимметричное состояние. Оценено влияние отверстия в центре пластины на величину критической нагрузки. Увеличение внутриглазного давления при глаукоме может привести к образованию отеков-складок по краю пластины, вызванных потерей устойчивости симметричных форм равновесия.

3. Показано влияние начальной кривизны решетчатой пластины на формирование тн "застойного диска "при увеличении внутричерепного давления

4 Рассмотрено влияние неоднородности по радиусу транверсалыю-изотропной пластины на ее собственные частоты Показано, что неоднородность пластины оказыва-етсуществешюе влияние на первые частоты колебания При этом частота колебаний неоднородной и лас I ины ниже частоты колебаний "эквивалентной"однородной пластины.

Теоретическое и практическое значение. Изучение влияния индивидуальных особенностей строения решетчатой пластины, увеличивающих вероятность возникновения и развития глаукоматозной экскавации диска зрительного нерва, имеет существенное значение для ранней диагностики глаукомы (особенно в нетрадиционных случаях - 1лаукома низкого давления), для оценки эффективности проводимой терапии Эти проблемы являются в настоящее время для офтальмологов одними из самых трудных

Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов, полученных по асимптотическим формулам, с результатами численного решения задач, сравнениям с результатами других авторов, а также согласованностью с экспериментальными данными

Апробация речультатов. Результаты работы представлялись на Всероссийских научных конференциях по механике ''Вторые Поляховские чтения "(Санкт-Петербург, 2000), "Четвертые Поляховские чтения "(Санкт-Петербург, 2006), П-1У семинарах по биомеханике глаза в Московском НИИ глазных болезней им Гельмгольда. (2001, 2002, 2004 гг), на 13 ой Европейской конференции по биомеханике (Вроцлав, 2002).

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 141 наименований Работа содержит 110 страниц, 31 рисунок и 14 таблиц

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, указывается цель и методы исследования Приведены обшие сведения о строении глаза, обзор литературы, касающийся биомеханических аспектов рассматриваемой проблемы (В В Волков, Е Н Иомдина, ЕШег С К., С3^1еу Н А и др ), а также разделов механики твердого тела, которые лежат в основе проведенных исследований

В главе 1 изучается напряженно-деформированного состояния решетчатой пластины глаза Решетчатая пластина моделируется транверсально-изотропной, в общем случае неоднородной круглой пластиной с отверстием в центре под действием нормального давления Решетчатая пластина - это часть склеральной оболочки глаза, расположенная у заднего полюса I лаза в месте выхода зрительиох о черва из полости глаза (рисунок 1) Решетчатая пластина в 5-6 раз тоньше склсры и ослабленна большим числом отверстий Аналитическое исследование деформирования решетчатой пластины существенно осложнено отсутствием точных данных о ее механических характеристиках

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рис. 1. Строение глаза

При расчетах напряженно-деформированного состояния перфорированных пластин последние обычно заменяют некоторыми сплошными пластинами с приведенными параметрами

На основе сравнения собственных частот колебаний пластин, перфорированных круговыми отверстиями разных диаметров, получено соотношение (Григолюк Э И , Филь-штинский Л.А.)

где ¿> - площадь пластины, 50 - часть площади, занимаемая отверстиями, и ж О" -цилиндрические жесткости сплошной и перфорированной пластин соответственно С учетом того, что отверстия занимают примерно 2/3 площади решетчатой пластины, принято, что

I-

где Е - модуль упругости склеры, Е\ - модуль упругости решетчатой пластины

В работах, посвященных определению характеристик оболочек глаза (Иомдина Е Н., Зимин Б А ), содержатся данные о толщине склеральной (основной) оболочки глаза, модулях упругости, пределах прочности при растяжении и сдвиге Все параметры, как и любые параметры биологических тканей, колеблются в широких пределах, зависят от возраста, от нагрузок, связанных с родом деятельности человека, от возможных заболеваний и нр , однако отмечается, что решетчатая пластина, как и склера, является неоднородной и анизотропной.

Для изотропных пластин проведено сравнение результатов, полученных для состав-пых оболочек (склера и решетчатая пластина) и упрощенных задач, в которых влияние склеральной (сферической) оболочки игнорируется (Бауэр С М , Романова А А ). Расчеты показывают, что, как и отмечается в экспериментах офтальмологов, диаметр склерального кольца меняется мало и прогибы пластинки, полученные при рм-смотре-нии составной оболочки и жестко защемленной пластинки отличаются меньше, чем на

Таким образом, деформацию решетчатой пластинки можно изучать отдельно от деформации склеральной оболочки, что облегчает учет особенностей строения решетчатой пластины ее анизотропию и неоднородность

В п ] 1 на основе общей теории уточненной теории С А Амбарцумяна выводятся уравнения изгиба неоднородных транверсально-изотропных пластин в полярных координатах

В п 1 2 рассматриваются осесимметричные деформации решетчатой пластины при условии неоднородности ее свойств по радиусу Ех(г,в) = ^(г), г - безразмерная радиальная координата (г = р/Л; О <" г < 1; Я - радиус пластины). Для исследования влияния неоднородности пластины на величину и форму прогиба расчеты проводились при различных законах изменения модуля упругости в плоскости изотропии, но при сохранении постоянного среднего значения:

1 %

О 6

Для однородной пластины (при равномерном распределении отверстий по поверхности пластины Ег — гапМ) и для случая слабой неоднородности пластины, когда модуль упругости можно аппроксимировать соотношением £\(г) = Ес( 1 — г), где £•] - малый параметр, получены аналитические соотношения для прогиба При малых величины прогибов однородных и неоднородных пластин близки друг к другу При одинаковой средней прочности максимальное значение прогиба неоднородной пластины для пластин с малой относительной толщиной к/Я = 0.1 оказывается в центре чуть меньше прогиба однородной пластины, но в окрестности края прогиб неоднородной пластины больше прогиба однородной пластины Для пластин с /г/Я > 0.15 прогиб неоднородной пластины больше прогиба однородной пластины при любом радиусе нейтрального отверстия.

В большинстве реальных решетчатый пластин при движении от центра к крало пластина становится существенно более разреженной

Для исследования влияния скорости убывания модуля упругости в плоскости изотропии Ь\(г) на форму прогиба было принято

Ег(т) = Ег(г) = .

Расчет напряженно-деформированного состояния РП проводился при различных ЕЧ1. Вй,2 и 92, но при постоянном значении Л^,, те

Р -Еш П М1*) е-« (1 + 91)

41 'Яг' ^ ??(1-й2)

Р -Ъ* О Г**-Г*

'п ~ (?2 ' 42 ~ <72(1-¿2) Расчеты показывают, что как и в случае, когда модуль упругости меняется по линейному закону, при малых ^ максимальное значение прогиба становится меньше прогиба эквивалентной однородной пластины, но в окрестности края (при г > г.) прогиб пластины становится больше При 91 > 2 1 прогиб неоднородной пластины больше прогиба эквивалентной однородной пластины при любом т

При 9] = 2 для пластины с отверстием & = 0 05 область, в которой прогиб неоднородной пластины больше прогиба однородной пластины, увеличивается в 1 86 раза по сравнению с пластиной без отверстия Таким образом, существенное увеличение неоднородности, присущее большинству реальных решетчатых пластин, ведет к большей экскавации диска зрительного нерва. Наличие отверстия в центре пластины также способствует ее "вдавливанию"из полости глаза, тем самым увеличивая вероятность развития глаукомы

В п 1 3 изучаются неосесимметричные деформации круглых решетчатых пластин Как отмечается офтальмологами, у подавляющего большинства людей решетчатая пластина имеет неравномерную по углу структуру, причем более плотными являются "височная и носовая"(горизонтальная область), а наиболее слабыми являются ее верхние и нижние четверти (вертикальная область). Особенности такой структуры может передать модуль упругости вида

Е,(г,0) = Еп(г) + Еи(г)со52в,

где Еп, Е12 - убывающие функции радиальной координаты

Если увеличение плотное!и отверстий незначительно, можно приня!ь в) — Ед{ 1 + £2соз20).

При малом значении параметра е^ получены асимптотические соотношения для прогиба и деформаций сдвига Результат, полученные по асимптотическим соотношениям, согласуются с имеющимися преставлениями о сужении поля зрения и "преобладании вертикальной величины диаметра экскавации диска над горизонтальной"при глаукоме

В п 1 4 проводится расчет деформаций решетчатой пластины ио геометрически нелинейной теории, а в п 1 5 по цовой уточненной итерационной теории анизотропных шастин, предложенной в работе В А Родионовой, Б Ф Титаева, К Ф Черныха Новая итерационная теория позволяет построить модель деформации решетчатой пластины, учитывающую повороты волокон, их искривление, а также изменение их длины

При малых значениях ВГД нелинейиая теория С А Амбарцумяна дает для прогиба пластины результаты выше, чем линейная уточненная теория

Псе проведенные расчеты показывают, что с возрастанием внутриглазного давления нервные волокна подвергаются сдавливанию и сдвигу Причем деформации сдвига на два порядка больпте, чем деформации сдавливания В центре пластины деформации незначительны, они на два-три порядка меньше, чем на краю Наибольшие деформации каналов наблюдаются на расстояниях от | К до Я от центра пластины Поэтому при возрастании внутриглазного давления атрофия нервно-зрительных волокон, вызванная сдвигом волокон и их сдавливанием, происходит в первую очередь вблизи края пластины

Представленные модели поддерживают механическую концепцию развития глауко матозной атрофии зрительного нерва.

По второй главе изучается устойчивость осесимметричяых форм равновесия круглой пластины

При больших прогибах однородных пологих оболочек и пластин, находящихся под действием нормального давления, в окрестности контура появляются сжимающие напряжения, и возможна потеря устойчивости осесимметричной формы равновесия

Вопрос об образовании складок на плоской мембране рассмотрен Пановым Д.Ю , Феодосьевым В И., Морозовым Н Ф.

Известно, что атрофия аксонов зрительного нерва происходит вначале только в узкой зоне по наружному краю РП с появлением в этой области отека диска зрительного нерва, возникновением мелких кровоизлияний, образованием складок

В п 2 1 определяется критическое давление, при котором происходит прощелкива-ние в неосесимметричное состояние для однородной круглой пластины. Предполагается, что край пластины жестко закреплен от поворотов, но может смещаться в окружном и радиальном направлениях

Задаваясь формой поверхности оболочки

т(т,в) = А{ 1 - г2)2 + Вт\ 1 - т*2 )2 сояпО

со свободными параметрами, используя метод Галекина, получаем что при достижении давлением критического значения рЯ1/Eh* — 771 -18, что для пластины с параметрами Е = 1 43МТТа, R _ 1 мм, h — 0 1 мм соответствует 827 62 мм ртст, происходит потеря осесимметричной формы равновесия с образованием на краю пластины 8 волн

В п 2 2 рассмотрено влияние центрального отверстия на величину критической нагрузки Примем, что форма прогиба пластины описывается выражением

w(r, в) = Aw0(r) + Вг*ш0(т) совпб,

где w0 (г) - удовлетворяет решению линейной задачи о деформации пластины с отверстием в центре

При малых радиусах отверстия в центре критическая нагрузка Р£р, соответствующая переходу в неосесимметричное состояние, меньше нагрузке, полученной для сплошной пластины Р°р. При этом при изменении радиуса отверстия от 0 до S = 0.1 нагрузка PjL убывает, при далыпем увеличении отверстия в центре - возрастает, и для S — 0.2

Р& > PS,-

В реальных решетчатых пластинах радиус отверстия в центре лежиг в пределах 0 1Я-0 15Д Для таких пластин переход в неосесимметричцос состояние происходит при нагрузке, меньшей, чем для сплошной пласгииы

Рсшехчшая плйсшнй является существенно неоднородной В п 2 3 оценено влияние неоднородности иласгины на величину критической нагрузки Предпотагая, что модуль упругости изменяется по закону E(r) — Eof(r), где /(г) - убывающая функция, примем аппроксимирующее выражение для прогиба неоднородной пластины в виде-

w(r,6) = A{ 1 - г2)°(1+ г2)е + Вг4(1 - г2)2 cos пв, а > 1, 0 > 0.

Многочленами вида А(1— г2)°(1+г2)^ можно заполнить единичный квадрат, условия а > 1, ß > 0 необходимы для удовлетворения граничным условиям на краю пластины

На рисунке 2 для случая Е(г) = Ечегчт представлен график зависимости критической нагрузки от параметра q, характеризующего степени неоднородности пластины.

Видно, что учет неоднородности пластины (убывания модуля упругости пластины при движении от центра к краю пластины) существенно снижает критическую нагрузку до давлений, наблюдаемых в реальном глазу давление pR4/Eh4 = 4 46 для пластины с параметрами Е = 1.43 МПа, R — 1 мм, h = 0.1 мм соответствует 42 мм ртст..

Таким образом, одной из возможных причин образования складок по краю может быть потеря решетчатой пластиной осесимметричной формы равновесия.

В третьей главе рассмотрены дополнительные аспекты поведения решетчатой пластины при изменении давления по обе ее стороны.

При уменьшении градиента давлений (внутриглазное - внутричерепное) на уровне решетчатой пластины в глазу развивается так называемый застойный диск Решетчатая пластина является продолжением склеральной оболочки глаза и, следовательно, не является абсолютно плоской. В п 3 1 рассматривается задача об осесимметричной деформации пологой сферической панели, нагруженной нормальным давлением

Исследование зависимостей между параметром нагрузки рс4/Е/г'1 и безразмерной стрелы прогиба в центре £ — показывает, что для весьма пологих панрлей

771.48

Р К4 400 Е Ь4

200

0

.4.46

0

1

2 Ч

3

4

Рис 2 Зависимость критической нагрузки от степени неоднородности пластины

(77/Л <15), где Н - начальная стрела подъема панели, график "нагрузка-стрела прогиба", монотонно возрастает Для панелей большей кривизны появляется предельная точка и становится возможным потеря устойчивости "прощелкивание"оболочки к новому равновесному состоянию.

Решетчатая пластина является весьма пологой (отношение Я/Ь, < 1) При изменении градиента давлений она постепенно прогибается внутрь, что характеризует начальную стадию развития застойного диска, и далее принимает вогнутую форму - "продавливается "внутрь глаза, описывая резко выраженный застойный диск (рисунок 3)

Рис 3' Деформация решетчатой пластины с учетом начальной кривизны

В п.3.2 рассматривается слабо неоднородная по радиусу (Е(г) = Е,{ 1 — ег)) пологая панель Показано, что критическая нагрузка, соответсвутощая появлению предельной точки, снижается с ростом неоднородности панели

Таким образом, учет начальной кривизны решетчатой пластины позволяет объяснить образование "застойного диска", наблюдаемого офтальмологами при уменьшении

-1

1

градиента давлений на уровне решетчатой пластины

В н 3 3 ироводится оценка влияния неоднородности пластины на ее собственные частоты Наиболее сильное влияние неоднородность пластины оказывает на первые частоты колебания, тесно связанные с устойчивостью поверхности к воздействиям При этом частота колебаний неоднородной пластины ниже частоты колебаний "эквивалентной "однородной пластины

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Фрумеи Е Б О деформации трансверсально-изотропных неоднородных круглых пластин при нормальном давлении// Вторые Подяховские чтения, Избранные труды, Санкт-Петербург, 2000, С 329-33.5

[2] Бауэр СМ , Воронкова Е Б. Механические аспекты разви!ия глаукоматозной атрофии зршельною нерва// Биомеханика глаза, гб 1рудов II семинара Моек НИИ глазных болезней им Гельмгольца, 2001, С 59-64

[3] Bauer S М , Voronkova Е В On the deformation of the Lamina Cribrosa under intraocular pressure// Russian Journal of Biomechanics, Vol 5 , №1, 2001, p 73-82

[4] Bauer S M , Voronkova E В The Mechanical Respon.se of the Lamina Cribrosa to the Elevated Intraocular Pressure// Proceedings of the 13 th Conference of the European Society of Bioinechanis, Wroclaw, 1-4 09.2002. p 712-713

[5] Воронкова E Б Деформация, устойчивость и свободные колебания решетчатой нластинки глаза// Биомеханика глаза, сб трудов III <еминара Моек НИИ глазных болезней им Гельмгольца, 2002, С. 105-106.

[6] Bauer S М , Voronkova Е.В On the mathematical simulation of the glaucomatous optic nerve damage/ / Proceedings of the Congress, European Society of Biomechanics, The Netherlands, ESB 2004, CD, Abstract 405

[7] Воронкова E Б , Романова А А Об особенностях деформирования решетчатых пластин// Биомеханика 1лаза, сб грудов IV семинара Моек НИИ глазных болезней им Гельмюльца, 2004, С 99-102

[8] Бауэр С М , Воронкова Е Б. О потере устойчивости симметричиых форм равновесия неоднородных круглых пластин// Тезисы докл Международной научной конференции Четвертые Поляховские чтения, Санк1-Пе1ербур1, 2006, С 187

18- 98 9 0

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 25.04.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 309/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

вЬ&ДЕН^Е" #

1 Напряженно-деформированное состояние решетчатой пластины

1.1 Уравнения общей теории изгиба неоднородных трансверсально-изотропных круглых пластин.

1.2 Оссесимметричные деформации круглых пластин.

1.3 Неосесимметричные деформации решетчатой пластины.

1.4 Большие прогибы решетчатой пластинки.

1.5 Расчет напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки по уточненной итерационной теории

2 Устойчивость симметричных форм равновесия круглых пластин

2.1 Потеря устойчивости однородной изотропной пластины.

2.2 Потеря устойчивости однородной пластины с отверстием в центре

2.3 Потеря симметричной формы равновесия неоднородной изотропной пластины

3 Деформация решетчатой пластины глаза при изменении внутричерепного давления и дополнительные вопросы

3.1 Деформация сферической панели.

3.2 Деформация неоднородной сферической панели.

3.3 Собственные частоты колебований неоднородных круглых пластин . . 89 3.3.1 Система уравнения колебаний неоднородной пластины.

Собственные частоты колебаний однородной пластины Определение поправок частот собственных колебаний

Актуальность темы. В последнее время все большую актуальность приобретают задачи математического моделирования поведения различных биологических систем. Сопоставление результатов исследований с данными, полученными медиками и биологами, позволяет лучше понять механизмы развития различных процессов, происходящих в таких биологических структурах животных и человека как сосуды, суставы и др.

В учебные программы ряда крупнейших высших учебных заведений страны введен курс биомеханики, а в 2002 г. в МГУ открылся первый в России факультет биоинженерии и биоинформатики.

Методы механики деформируемого твердого тела все чаще применяются для исследования состояния глаза. На XIII Международном конгрессе исследователей глаза была организована секция биомеханики глаза. На основе читаемого на Педиатрическом факультете Российского государственного медицинского университета курса и исследований, проводимых в институте, коллективом авторов издана монография "Акустическая биомеханика глаза и ее значение для клиники"[76], первый раздел которой посвящен основным определениям и понятиям механики деформируемого твердого тела.

Изучение биомеханики глаза важно для понимания механизма развития многих заболеваний, для разработки экспериментальных моделей, внедрения новых технологий. Новые знания в области биомеханики глаза позволяют улучшить диагностику различных заболеваний, развивать новые методы терапевтического и хирургического лечения глаза [50].

Глаз человека представляет собой сложную биологическую структуру (рис. 1). Оболочка глазного яблока многослойна. Можно выделить три основных слоя: наружную фиброзную капсулу, среднюю - сосудистую оболочку и внутреннюю оболочку -сетчатку (рис. 1). Эти оболочки, в свою очередь, можно рассматривать как многослойные. ш<

РЕШЕТЧАТАЯ Хч ПЛАСТИНКА

Рис. 1: Строение глаза

5/6 всей фиброзной оболочки составляет склера - плотная соединительная ткань. Спереди она переходит в более выпуклую, плотную, но прозрачную роговицу, которая защищает внутренние структуры глаза, а также является линзой. Средняя оболочка глаза состоит из собственно сосудистой оболочки, ресничного тела и радужки. Сосудистая оболочка прилегает к склере, но прочно связана с ней на всей ее протяженности. Сетчатка - это внутренняя оболочка глаза. Она плотно соединена с сосудистой оболочкой в двух местах - у диска зрительного нерва и у зубчатой линии (где заканчивается плоская часть ресничного тела). Внутри глазного яблока находится стекловидное тело. Недалеко от заднего полюса через склеру из глаза выходит зрительный нерв (рис. 1). Сплошного дефекта склеры в этом месте нет, а имеются ее истончения и множество мелких отверстий, через которые проходят пучки зрительного нерва. Участок склеры, через который проходит зрительный нерв, называют решетчатой пластинкой (lamina cribrosa). По одну сторону от решетчатой пластинки в межоболочечном пространстве зрительного нерва находится цереброспинальная жидкость, по другую - стекловидное тело глаза.

Различные патологические состояния органа зрения, такие как глаукома, являются одной из причин слепоты и инвалидности. Проблемы этиопатогенеза (причины и механизма возникновения) и лечения глаукомы и других заболеваний остаются в настоящее время одними из наиболее актульных и трудных [117].

Решетчатая пластинка играет важную роль в балансе внутриглазного и внутричерепного давлений (ВГД и ВЧД). В работе [60], отмечается, что склеральная пластинка в зоне диска зрительного нерва должна быть перфорированной и вместе с тем эластичной, чтобы не ущемлять нервные волокна при колебаниях ВГД. В норме уровни давления по одну и по другую сторону от решетчатой пластинки диска зрительного нерва различны, и со стороны глаза мембрана испытывает постоянно вдвое большее механическое воздействие [22]. Иными словами, решетчатая пластинка выступает в роли мембраны, сдерживающей сдвиги давления либо по одну (в глазу), либо по другую (в зрительном нерве и мозге) сторону [47].

С середины XIX века существует две точки зрения на процесс развитие глауко-матозной атрофии зрительного нерва. Е. Jaeger и его последователи предполагают ишемическую (сосудистую) природу заболевания. К сторонникам сосудистого генеза глаукомы относятся D.O.Harington [114], А.П.Нестеров [69], [70]. Практически одновременно (А. von Graefe, 1857) возникло предположение о механической природе развития атрофии зрительного нерва. За признание механического генезиса выступают J.Emery [110], R.Radius, A.Maumenee [130], D.Minckler [123], В.В.Волков [22]-[28].

В настоящее время сохраняются обе эти точки зрения, однако "роль механического фактора"признается и сторонниками ишемической концепции [67], [72]. Отвечая на вопрос о причинах возникновения глаукомы в интервью "Независимой газете" А.П. Нестеров говорит, что ". выдвигаются две главные причины глаукомы. Первая - повышенное внутриглазное давление. Оно приводит к тому, что пучки нервных волокон зрительного нерва ущемляются в структурах, через которые они проходят, выходя из глаза. Они выходят из глаза через так называемую решетчатую пластинку склеры. Высокое внутриглазное давление приводит к деформации решетчатой пластинки, и в канальцах ее ущемляются пучки нервных волокон. Испытывая такое давление, зрительный нерв постепенно атрофируется. Вторая основная причина глаукомы связана с нарушением кровообращения в зрительном нерве. Отчасти нарушение кровообращения обусловлено повышением давления в глазу, отчасти -поражением мелких кровеносных сосудов. Нарушается микроциркуляция крови в той части зрительного нерва, которая расположена внутри глаза. Это чрезвычайно опасно" [68].

На протяжении многих лет любое, по сравнению со средней нормой, повышение ВГД, если не находили для него непосредственных причин в глазу, называли первичной глаукомой. При этом такие наиболее важные проявления глаукомы, как специфическая дистрофия и атрофия диска зрительного нерва с образованием экскавации (прогиба), оставались без внимания. Однако, в настоящее время отмечается часто неопределенный характер симптомов в начальной стадии заболевания, существование доброкачественной офтальмогипертензии, с одной стороны, и глаукомы с нормальным давлением - с другой [72]. Доброкачественной офтальмогипертензией офтальмологи называют превышение нормативных показателей ВГД, не приводящее к нарушениям в структуре и функциях зрительного нерва. Как отмечено в [72], при гипертензиях, которые еще не приняли характер глаукоматозных, решетчатая пластинка хорошо противостоит гипербарической нагрузке изнутри.

Придерживаясь механического генезиса глаукомы, В.В. Волков [23]- [28] предложил концепцию происхождения глаукомы псевдонормалыюго давления (при ВГД, не выходящим за пределы статистической нормы). Он рассматривает оба глазных яблока, зрительные нервы и полость мозгового черепа как единую систему. Если отношение внутриглазного давления к внутричерепному давлению увеличивается по сравнению с нормальным для конкретного пациента значением [20], [22] (а это может происходить не только вследствие увеличения ВГД, но и за счет уменьшения ВЧД), то решетчатая пластинка прогибается. Вместе с нею начинает как бы "выдавливать-ся"из глазного яблока диск зрительного нерва (ДЗН). Появляется так называемая экскавация зрительного нерва. При повышении ВЧД или при глазной гипотонии (например, после травмы или операции [22]) образуется так называемый застойный ДЗН, решетчатая пластинка деформируется внутрь глазного яблока.

По определению В.В.Волкова [24], глаукома - это прежде всего специфическое нарушение зрительных функций от сдавления нервных волокн, обусловленного выпячиванием решетчатой мембраны из полости глаза. ". Глаукоматозная атрофия отличается от всех других наличием вдавливания на диске за счет действительного выпучивания решетчатой пластинки из глаз (^экскавации диска зрительного нерва)".

Многочисленные экспериментальные данные [22], [47], [69], [70] говорят о том, что при повышеннии ВГД такие явления, как отечность зрительно - нервных аксонов, их дезорганизация, остановка аксоплазматического тока и др., ведущие за собой атрофию (разрушение) зрительного нерва и приводящие к дефектам поля зрения, происходят именно в области решетчатой пластинки [22]. Кроме того, как отмечают офтальмологи [22], экскавация диска свидетельствует о переходе гипертензии в глаукому часто раньше, чем периметрические параметры, т.е. первые признаки гла-укоматозной экскавации диска зрительного нерва, как правило, появляются раньше дефектов в поле зрения. Прогрессирование экскавации - ее размеров, глубины, изменение конфигурации - также нередко предшествует увеличению выявленных ранее дефектов поля зрения. Таким образом, начальные изменения диска зрительного нерва имеют существенное значение для диагностики глаукомы, а их динамика важна для оценки эффективности проводимой терапии, а ранняя диагностика и адекватное лечение глаукомы остаются для врача и в настоящее время одной из самых трудных проблем [71]. В своих исследованиях Н.(^1^1еу, Е.АсШюкэ [125], [127] предположили, что предпосылкой к появлению экскавации служат не особенности строения сосудистой сети диска, а неоднородность решетчатой пластинки глаза на разных участках.

Все это делает важным изучение напряженно - деформированного состояния решетчатой пластинки глаза при изменении внутриглазного давления, изучение индивидуальных особенностей строения решетчатых пластин, которые могут увеличить предрасположенность к глаукоматозным повреждениям.

Изучению деформации решетчатой пластины на основе экспериментальных данных и клинических наблюдений посвящены работы [125]-[127], [130], [140], [141]. В [140] на основе экспериментальных данных изучалось влияние ВГД на деформацию решетчатой пластины. По мнению авторов, именно возникающие в пластине деформации сдвига лежат в основе механизма повреждения волокон зрительного нерва.

Представляет также интерес построение математических моделей, адекватно описывающих поведение решетчатой пластинки при изменении ВГД.

В работе Н. Dongi и R. Zeqin "A biomathematical model for presuredependent lamina cribrosa behavior", опубликованной в журнале Journal of Biomechanics, 1999, решетчатая пластинка глаза моделировалась однородной и изотропной пластиной. Авторы предприняли попытку учесть влияние на поведение пластинки растягивающей силы, действующей со стороны склеральной оболочки глаза: на границе решетчатой пластинки приравняются напряжения, действующие в этой пластинке и склеральной оболочке глаза, в то время как следует приравнивать усилия, так как задача решается в двумерной постановке.

В [54] решетчатая пластинка также моделировалась однородной изотропной пластиной. Предполагалось, что в пластине имеются отверстия круговой формы. Проведено сравнение результатов, полученных численными методами и с помощью эксперимента.

В работах [106], [137] авторы ставят своей задачей оценить влияние различных параметров (геометрических, механических, строения РП, свойств окружающих РП тканей) на напряженно-деформированное состояние РП. Для исследования используется метод конечных элементов, однако модели РП были различны: в [137] РП моделировалась изотропной пластиной с отверстиями, заполненными веществом с модулем упругости на 2-3 порядка меньшим, чем модуль упругости РП, в [106] свойства РП "размазывались"по ее поверхности - в разных точках поверхности, задавались различные значения модуля упругости, аппроксимируя неоднородность пластины.

Целью данной работы является исследование деформации решетчатой пластинки глаза при различных соотношениях внутриглазного и внутричерепного давлений, оценка влияния механических характериских, неоднородности пластины, центрального отверстия на характер деформации пластины. Оценка предрасположенности различных решетчатых пластин к глаукоматозным повреждениям.

Диссертация состоит из 3 глав.

Первая глава посвящена изучению напряженно-деформированного состояния решетчатой пластины глаза в рамках различных теорий анизотропных пластин. РП моделируется транверсалыю-изотропной, в общем, случае неоднородной круглой пластиной. Показано влияние степени неоднородности на величину и форму прогиба пластины. Рассмотрено влияние отверстия в центре пластины на ее деформацию. Представленные модели поддерживают механическую концепцию происхождения глаукоматозной атрофии зрительного нерва.

Во второй главе изучается устойчивость осесимметричных форм равновесия пластины. Рассмотрено влияние неоднородности пластины и наличие отверстия в центре пластины на критическую нагрузку. Учет неоднородности пластины (убывания модуля упругости пластины при движении от центра к краю пластины) существенно снижает критическую нагрузку до давлений, наблюдаемых в реальном глазу. Показано, что образование складок по краю пластины при глаукоме и появление при этом отеков может быть объяснено потерей осесимметричных форм равновесия.

В третьей главе рассмотрены дополнительные аспекты поведения РП при изменении давления по обе ее стороны. Учет начальной кривизны РП позволяет объяснить образование "застойного диска"при увеличении внутричерепного давления. Показано, как влияет неоднородность пластины на собственные частоты ее колебаний.

Методы решения. При решении поставленных задач применялись различные методы. Аналитические соотношения, характеризующие вличние малой неоднородности на прогиб и усилия решетчатых пластин, находящихся под действием нормального давления, получены методом возмущений, т.е. асимптотическими методами для регулярно возмущенных задач. Ряд результатов получен численными методами.

Задачи статики анизотропных неоднородных пластин. Решение задач о напряженно-деформированном состоянии тонкостенных конструкций в рамках трехмерной теории упругости сопряжено с большими трудностями, и поэтому, как известно, создаются приближенные теории, сводящие трехмерные уравнения теории упругости анизотропного тела к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин. Широкое применение в механике анизотропных пластин и оболочек получила классическая теория, разработанная сначала для изотропных однородных структур [2]-[3], |57], [58]. При такой постановке задачи отличие теории анизотропных пластин и оболочек от теории изотропных заключается только в соотношениях упругости. При этом для расчета пластин и оболочек применяются и аналитические методы, разработанные для однородных изотропных тонкостенных конструкций. Вопрос о погрешности этого подхода обсуждался в [4], [19]. Для ряда ортотропных объектов (прямоугольных и круглых пластин, цилиндрических и сферических оболочек), когда главные направления упругости материала совпадают с координатными, при определенных механических параметрах такой подход дает хорошие результаты [2], [19], [57]. Для пластин другой формы решение получить гораздо сложнее, так как необходимо удовлетворять граничным условиям на контурах, не совпадающих с координатными линиями. В [18] описан алгоритм построения приближенного решения для определения напряженно-деформированного состояния изотропных пластин произвольной формы. Дифференциальные уравнения в [18] представляются в полярной системе координат и удовлетворяются точно, а граничные условия - приближенно. Известны аналитические решения для жестко защемленных эллиптических однородных пластин.

Классическая теория была обобщена и на слоистые тонкостенные конструкции введением эффективных по толщине (приведенных) характеристик жесткости [3], [42]. В большинстве работ, посвященных исследованию напряженно-деформированного состояния слоистых структур, рассматриваются модели, в которых полагается, что контакт между смежными слоями является идеально жестким, и компоненты вектора перемещений остаются непрерывными по толщине. Однако в ряде случаев представляет интерес ослабленный контакт слоев. В работе [17] изучаются малые осесим-метричные деформации оболочек вращения из слоистого материала при наличии упругого проскальзывания по поверхности контакта между слоями. Расчет проведен для двуслойной цилиндрической оболочки. В монографии [44] рассмотрен ряд задач о деформировании цилиндрических и сферических оболочек при идеальном проскальзывании слоев. В [107], [120] классический подход использован для решения задач об осесимметричном изгибе круглых изотропных пластин в случае, когда модуль упругости или толщина оболочки являются функциями радиальной координаты. Многочисленные результаты, полученные но классической теории анизотропных пластин, представлены в монографии С.Г. Лехницкого [57].

Однако дальнейшие исследования показали, что при рассмотрении некоторых прикладных задач классическая теория дает слишком грубые оценки и требует уточнения. К таким вопросам относятся, например, задачи о деформировании пластин средней толщины, особенно слоистых пластин, о концентрации напряжений около отверстий, о распространении упругих волн, о высокочастотных колебаниях. Классическая теория безраличная к соотношениям типа Е^/Ек ит.д. (г, к = х, у, Ей Ек, модули упругости и сдвига) и при сильной анизотропии Е{ Ек, Е^ не дает корректные результаты.

В связи с этим появилось много уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, свободных однако от основной гипотезы классической теории - гипотезы недеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или иным способом учитывают деформацию сдвига. Широкое распространение в теории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко -гипотезе прямолинейного элемента [90], [79]. В монографии [79] последовательно изложены основы теории оболочек на базе этой гипотезы. Принято, что модуль сдвига для плоскостей нормальных к срединной поверхности независим от модуля Юнга в срединной поверхности, и, таким образом, фактически учтена трансверсальная изотропия материала оболочки. В ряде работ [42], [43] теорию, изложенную в [79], называют теорией трансверсально-изотропных оболочек.

Расчету многослойных пластин и оболочек посвящено большое число работ, которые можно подразделить на две группы. Отличительной чертой первой группы является принятие гипотез, характеризующих поведение всего пакета в целом. В этом случае порядок системы уравнений не зависит от числа слоев. Для второй группы характерно то, что гипотезы формулируются для каждого слоя отдельно. Теории, основанные на гипотезе ломаной линии, применяемые для многослойных оболочек, представлены в работах Э.И. Григолюка [39]. В связи с тем, что линейное распределение перемещений по толщине не всегда согласуется с решением трехмерных задач, получили развитие и другие модели. Обзор работ по уточненным теориям пластин, основанным на задании распределения перемещений, содержится в работах [43], [113].

Развивались также модели теории оболочек и пластин, в которых задавались законы распределения касательных напряжений, согласованные с условиями нагру-жения лицевых поверхностей. Таким уточненным теориям анизотропных пластин и оболочек, посвящены монографии С.А. Амбарцумяна [2], [3]. Основная из теорий С.А. Амбарцумяна, названная общей уточненной теорией, основана на гипотезах Новожилова В.В. [73]: нормальное к срединной поверхности перемещение не изменяется по толщине, а касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной поверхности пластины, изменяются по толщине пластины по квадратичному закону. Эта теория позволяет получить более точное значение нормальной к срединной поверхности составляющей вектора перемещений. В монографии [2] на основе общей уточненной теории представлены решения задач об изгибе прямоугольных ортотропных пластин и симметрично нагруженных круглых пластин при различных условиях опирания краев.

Новая уточненная итерационная теория анизотропных пластин, удобная для разработки алгоритмов численных решений краевых задач, представлена в монографии В.А. Родионовой, Б.Ф. Титаева, К.Ф. Черныха [85]. Предложенная теория позволяет построить модель деформации пластины, учитывающую поперечные сдвиги, поперечные нормальные напряжения, повороты волокон, а также изменение их длины.

В работе [43] представлен обзор исследований, посвященных физически и геометрически линейным анизотропным неоднородным оболочкам. Рассматриваются особенности, которыми обладают неоднородности, вызванные различными способами изготовления и температурными воздействиями. Проведено сравнение решений, полученных на основе некоторых уточненных теорий и в пространственной постановке.

При решении задач о напряженно-деформированном состоянии конструкций, состоящих и из массивных частей и из тонкостенных элементов, также не всегда удобно везде применять трехмерные уравнения теории упругости. Работа [46] посвящена построению гетерогенной линейной математической модели теории упругости, то есть теории, в которой одновременно используются модели разной размерности. Общие уравнения теории упругости используются для более массивных составных частей конструкции, для тонкостенных областей используется теория оболочек типа Тимошенко.

Вопросам нелинейной теории оболочек посвящены труды И.И. Воровича, A.C. Вольмира, Э.И. Григолюка, К.З. Галимова, К.Ф. Черныха, С.А. Кабрица, и др.

В работах [53], [95] предложен вариант нелинейных уравнений К.Ф. Черныха, учитывающий "кинематическое"обжатие. Еще один вариант нелинейных уравнений, учитывающих поперечные сдвиги по модели Тимошенко, представлен в работе [52]. Анализ осесимметричного деформирования полусферы, находящейся под действием внешнего давления, проведен в работе [51] на основе моделей, предложенных в [95], [52]. Отмечается, что обе теории дают близкие результаты на начальном участке диаграммы деформирования и на участке зеркального выворачивания и дают существенно разные результаты в "критической"области.

Различные подходы к исследованию нелинейных задач о деформировании тонкостенных конструкций произвольного вида обсуждаются в монографии [40]. Кроме квадратичных вариантов нелинейных уравнений пластин и пологих оболочек, представлены варианты квадратичных уравнений непологих оболочек Э.И. Григолюка, в частности вариант теории непологих многослойных анизотропных оболочек произвольного вида. Методы решения геометрически нелинейных задач рассматривались в работах Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Мяченкова В.И., Григорьева И.В. [42] -[46].

Как уже отмечалось, значительное число задач о напряженно-деформированном состоянии анизотропных неоднородных оболочек было решено с использованием гипотез о характере распределения напряжений, деформаций или перемещений по толщине. Теории, построенные методом гипотез, называют иногда [2], [43] полуобратным методом теории упругости. Они являются наглядными и часто позволяют получить простые разрешающие соотношения. Однако этот метод не обладает возможностью построения процесса для уточнения получаемых результатов и иногда возникают трудности при оценке погрешности принятых аппроксимаций.

Следует отметить, что метод гипотез - не единственный способ сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин.

Метод асимптотического интегрирования, использующий малость относительной толщины оболочки, не только приводит к приближенным двумерным уравнениям, но и дает асимптотический порядок их погрешности. Для линейных конструкций этот метод успешно использовался во многих работах ([34]-[36] и др.), подробно данный метод представлен в монографии А.Л. Гольденвейзера [34]. Для нелинейных задач применение метода асимптотического интегрирования наталкивается на существенные трудности. В работе П.Е. Товстика [133] при частных предположениях дается вывод двумерных нелинейных уравнений теории оболочек асимптотическим методом. Материал оболочки предполагается нелинейно упругим и изотропным.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Исследовано напряженно-деформированное состояние неоднородной трансвер-сально-изотропной круглой пластины с центральным отверстием при различных законах изменения модуля упругости. В зависимости от неоднородности пластины по радиусу и углу получены асимппотические соотношения для прогиба пластины. Показано, что увеличение неоднородности решетчатой пластины по радиусу и углу увеличивает предрасположенность к развитию глаукоматозного прогиба, способствует изменению поля зрения характерному для больных глаукомой.

2. Для неоднородной изотропной иластины получено значение критической нагрузки, при которой возможна бифуркация в неосесимметричное состояние. Оценено влияние отверстия в центре пластины на величину критической нагрузки. Увеличение внутриглазного давления при глаукоме может привести к образованию отеков-складок по краю пластины, вызванных потерей устойчивости симметричных форм равновесия.

3. Показано влияние начальной кривизны решетчатой пластины на формирование т.н. "застойного диска"при увеличении внутричерепного давления.

4. Рассмотрено влияние неоднородности по радиусу транверсально-изотропной пластины на ее собственные частоты. Показано, что неоднородность пластины оказывает существенное влияние на первые частоты колебания. При этом частота колебаний неоднородной пластины ниже частоты колебаний "эквивалентной"однородной пластины.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 141 наименование. Работа содержит 110 страниц, 31 рисунка и 14 таблиц. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9], [10], [31], [32], [93], [100].

1. Аветисов С.Э., Мамиконян В.Р. Механические характеристики корнеоскле-ральной оболочки глаза человека// Тезисы докл. 3-й Всесоюз. конференции по проблемам биомеханики. Рига, 1983. Т.1. С.83-85.

2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987. 360 с.

3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.

4. Аргатов И.И. Оценка погрешности расчета линейно-упругого композита симметричного строения как изотропной пластины// Вестник С.-Петербургского ун-та. 1993, №1. С. 61 -66.

5. Бауэр С.М., Товстик П.Е., Качанов A.B. К вопросу о построении математической модели развития глаукомы// Рос. журн. биомеханики. 1999, Ж С.27-28.

6. Бауэр С.М., Зимин Б.А., Товстик П.Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб, Изд-во СПбГУ, 2000, 92 с.

7. Бауэр С.М., Зимин Б.А., Мишина Э.Н., Волков В.В., Качанов A.B. К построению биомеханической модели развития глаукоматозной атрофии зрительного нерва// III Всерос. конф. по биомеханике, Н.Новгород, 1996, Тез.докл., т.1, С.14.

8. Бауэр С.М. О деформации решетчатой пластинки при гипертензии и глаукоме// V Всерос. конф. по биомеханике, Н.Новгород, 2000, Тез.докл., С.33.

9. Бауэр С.М., Воронкова Е.Б. Механические аспекты развития глаукоматозной атрофии зрительного нерва// Биомеханика глаза, сб. трудов II семинара Моск. НИИ глазных болезней им. Гельмгольца, 2001, С.59-64.

10. Бауэр С.М. Математические модели теории оболочек и в некоторых проблемах офтальмологии// Восьмой всерос. Съезд по теорет. и прикл. механике, Пермь, 2001, Аннот. докладов. С.83.

11. Бауэр С.М. Приложение теории пластин и оболочек к проблемам офтальмологии// VI Всерос. конф. по биомеханике, Н.Новгород, 2000, Тез.докл., С.66.

12. Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Товстик П.Е, Филиппов С.Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций// Сб. трудов НИИММ им.B.И.Смирнова, (к 70 летию основания института), 2002, С.167-188.

13. Бауэр С.М. Модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. Автореф. дис. докт. физ.-мат. наук. 2002

14. Василенко А.Т., Урусова Г.П. Решение задачи об изгибе свободно опертой анизотропной эллиптической пластины.// Прикладная механика. 1998.т.34., N. 5, с.98-103.

15. Василенко А.Т. Осесимметричная деформация слоистых оболочек вращения с различными условиями контакта слоев. Прикладная механика, 1997, т.ЗЗ, №9.C. 50 -55.

16. Василенко А.Т. Решение задач о напряженном состоянии пластин сложной формы различными условиями контакта слоев. Прикладная механика, 1997, т.ЗЗ, №12. С. 68 -75.

17. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. Машиностроение, 1988, 272 с.

18. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. Москва: Го-стехиздат, 1949. 784 с.

19. Волков В.В., Сухинина Л.Б., Устинова Е.И. Глаукома, преглаукома и офталь-могипертензия. JL: Медицина, 1985. 214 с.

20. Волков В.В., Журавлев А.И. Диск зрительного нерва при глаукоме// Офтальмолог. журн. 1982, №5. С. 272 -276.

21. Волков В.В. Существенный элемент глаукоматозного процесса, не учитываемый в клинической практике// Офтальмолог, журн. 1976, №7. С.500-504.

22. Волков В.В. О разных подходах к диагностике начальной открытоугольной глаукомы// Офтальмолог, журн. 1989, №2. С.77-80.

23. Волков В.В., Сухинина JI.B., Тер-Андриасов Э.Л. Компрессионно-периметрическая проба в экспесс диагностике глаукомы и преглаукомы В кн. "Глаукома", Сб трудов, т. 5., Алма-Ата, 1980.

24. Волков В.В., Сухинина Л.Б., Тер-Андриасов Э.Л. О применении вакуума в компрессионно-периметрической пробе при диагностике глаукомы Вестн. офтальмологии, 1981, N 2.

25. Волков B.B. Глаукома при псевдоиормалыюм давлении. Руководство для врачей. Москва"Медицина", 2001, 350 с.

26. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

27. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. С.419.

28. Воронкова Е.Б. Деформация, устойчивость и свободные колебания решетчатой пластинки глаза// Биомеханика глаза, сб. трудов III семинара Моск. НИИ глазных болезней им. Гельмгольца, 2002, С.105-106.

29. Воронкова Е.Б., Романова A.A. Об особенностях деформирования решетчатых пластин// Биомеханика глаза, сб. трудов IV семинара Моск. НИИ глазных болезней им. Гельмгольца, 2004, С.99-102

30. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Изд.-во Казанского ун-та, 1975. 326 с.

31. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М., 1976. 512 с.

32. Гольденвейзер A.JI. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана, ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 96-108.

33. Гольденвейзер A.JI. Асимптотический метод в теории оболочек, Успехи механики, 1982. Т.5. т1/2. С. 137-182. М.: Наука, 1976. 512 с.

34. Гоцуляк Е.А., Прусов Д.Э., Аранчий Н.Е. Об устойчивости геометрически несовершенных оболочек общего вида.// Прикладная механика. 2000.T.36., N. 11, с.82-87.

35. Григолкж Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.

36. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. М.¡Машиностроение, 1988. 288 с.

37. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М., Наука, 1997. 272 с.

38. Григолюк Э.И., Филынтинский JI.A. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. 556 с.

39. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев, Наукова думка, 1973. с. 223.

40. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропных неоднородных пластин.// Прикладная механика, 1997, т. 33. №11. С. 3 -37.

41. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Задачи теории упругости неоднородных тел. К., Наукова думка, 1991, 216 с.

42. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Теория оболочек переменной жесткости. -К., Наукова думка, 1981, -544 с. (Методы расчета оболочек, в 5 т.,т.4)

43. Григоренко Я.М., Савула Я.Г., Коссак О.С Исследование напряженно -деформированного состояния упругих тел на основании гетерогенной математической модели.// Прикладная механика, 2000, т. 36. №12. С. 71 -77.

44. Журавлев А.И. Диск зрительного нерва и зрительные функции в оценке глау-коматозного процесса. Автореф. дис. канд. мед. наук. JL 1986. 15 с.

45. Иомдина E.H. Биомеханические свойства склеры и возможности ее укрепления при миопии. Автореф. дис. канд. биол. наук. М.,1984. 24 с.

46. Иомдина E.H. Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии: диагностика нарушений и их экспериментальная коррекция. Автореф. дис. докт. биол. наук. М., 2000. 48 с.

47. Иомдина E.H., Кошиц И.Н. Биомеханические исследования в современной офтальмологии// Вестник АМН, 2003, №9, С.25-29

48. Кабриц С.А. Об использовании нелинейных теорий оболочек в закритической области. В кн. "Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела.", Вып.З. С.Петербург, 2000. С. 239 -247.

49. Кабриц С.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом поперечного сдвига. Механика твердого тела. 1996, №1. С. 124 -136.

50. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. (Под ред. Черныха К.Ф., Кабрица С.А.) СПб, Изд-во СПбГУ, 2002, 386 с.

51. Керейчук М.А. Математическая модель глаукомы. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. СПб, 2002, 16 с.

52. Козлова Л.П., Спорова Н.А., Войтова Р.Н., Бабаян А.А., Балишанская Т.И. О начальных изменениях диска зрительного нерва и центрального поля зрения у больных открытоугольной глаукомой.// Вестн. офтальмологии. 1982, JV*3. С. 6-8.

53. Краснов M.JL, Беляев B.C., Аветисов Э.С. и др. Руководство по глазной хирургии. М.: Медицина, 1988. 624 с.

54. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. M.;JI: Гостехиздат: 1947. 355 с.

55. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.;Наука, 1977. 415 с.

56. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М: Гостехиздат, 1955. 492 с.

57. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

58. Макаров Ф.Н. Анатомическая конструкция решетчатой пластинки глаза.// Офтальмология на рубеже веков, Юбилейная конференция, посвященная 80-летию профессора В.В.Волкова., С.-Петербург, 2001, с.185-186.

59. Мелянченко Н.Б. Проблема острой гииотонии глаза в современной офтальмо-хирургии. Кемерово, Кузбассвузиздат, 1999, 92 с.

60. Морозов Н.Ф. К вопросу о существовании несимметричного решения в задаче о больших прогибах круглой пластины, загруженной симметричной нагрузкой// Изв. Высш. Уч. Заведений, Математика, №2, 1961, С. 126-129

61. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. JL: Изд-во ЛГУ, 1978. 181 с.

62. Мустафина Ж.Г., Герник В.В. К определению глаукоматозной экскавации зрительного нерва// Офтальмолог, журн. 1982, №5. С.277-278.

63. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.,1984, 536 с.

64. Нестеров А.П., Бунин А.Я., Кацнельсон Л.А. Внутриглазное давление. Физиология и патология. М.: Наука, 1974. 381с.

65. Нестеров А.П. Такая хрупкая зеница нашего ока// Независимая газета. 14.01.2000

66. Нестеров А.П., Егоров Е.А. Глаукоматозная атрофия зрительного нерва.// Актуальные проблемы офтальмологии// Под ред. Краснова М.М., Нестерова А.П., Дыбова С. М.: Медицина, 1981. С. 22-53.

67. Нестеров А.П. Глаукома. М.: Медицина, 1995. 256 с.

68. Нестеров А.П., Егоров Е.А. Клинические особенности глаукоматозной атрофии зрительного нерва// Вестн. офтальмологии. 1978, №1. С. 5-8.

69. Нестеров А.П. Основные принципы диагностики первичной открытоуголыюй глаукомы// Вестн. офтальмологии. 1998, №2. С. 3-6.

70. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 431 с.

71. Новожилов B.B. О погрешности одной из гипотез теории оболочек// Докл. АН СССР., 1943, т.38, №5,6. с/174-179.

72. Новожилов В.В. Теория упругости. Судпромгиз, 1958. 372 с.

73. Обрубов С.А., Сидоренко Е.И., Федорова В.Н, Дубовая Т.К., Древаль A.A. Акустическая биомеханика глаза и ее значение для клиники. Москва, 2001,128 с.

74. Паймушин В.П. Теория устойчивости трехслойных пластин и оболочек (этапы развития, современное состояние и направления дальнейших исследований). Изв. РАН. Механика твердого тела, 2001, №2. С. 148 -162.

75. Панов Д.Ю., Феодосьев В.И. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах. ПММ, т.ХИ, 1948 с. 389-406.

76. Пелех B.J1. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев, "Наукова думка", 1973, 248 с.

77. Плеханов A.B. Расчет слоистых пологих оболочек с учетом краевых эффектов.// Прикладная механика, 1994, т. 30. №8. С. 75 80.

78. Погорелов A.B. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек. М.: Наука, 1986. 93 с.

79. Погорелов А. В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука, 1967, 296 с.

80. Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. М.;Наука, 1982, 362 с.

81. Родионова В.А. Теория тонких анизотропных оболочек с учетом поперечного сдвигов и обжатия. JI. Изд-во Ленингр ун-та. 1983. 216 с.

82. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1996. 280 с.

83. Савицкая Н.Ф., Винецкая М.И., Иомдина E.H. Возрастные изменения биохимических и биомеханических показателей склеры человека в норме и при миопии// Вестн. офтальмологии. 1982, №4. С. 26-29.

84. Савицкая Н.Ф., Винецкая М.И., Иомдина E.H. Связь деформативно-прочностных свойств склеры с некоторыми показателями ее биомеханического состава// Тезисы докл. 3-й Всесоюз. конференции по проблемам биомеханики. Рига. 1883. Т.1. С.113-114.

85. Саулгозис Ю.Ж. Особенности деформирования склеры. Механика композитных материалов. 1981. №3. С. 505-514.

86. Саулгозис Ю.Ж., Волколакова Р.Ю. Роль механоструктурных особенностей фиброзной оболочки глаза и изменения ее формы// Современные проблемы биомеханики. Рига.: Резекне, 1983. С. 180-182

87. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки., M.-JI., 1948. 480 с.

88. Товстик П.Е. Бифуркация осесимметричного равновесия оболочек вращения при растяжении// Вестн. СПбГУ. 1995, N 1. С.106-111.

89. Товстик П.Е. Свободные колебания тонкого сферического купола// Изв. АН СССР. Механика. 1965, №6. С.111-113.

90. Фрумен Е.Б. О деформации трансверсально-изотропных неоднородных круглых пластин при нормальном давлении// Вторые Поляховские чтения, Избранные труды, Санкт-Петербург, 2000, С.329-333

91. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. JI.,'"Машиностроение", 1986, 336 с.

92. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек, Изв. АН СССР. МТТ, 1980. Ш. С. 148-159.

93. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы),Москва,"Наука" ,344 с.

94. Battaglioli J.L., Kamm R.D. Measurements of the compressive properties of scleral tissue// Investigative Ophthal. Vis. Sci. 1984. Vol.25, p.59-65.

95. Bauer S.M. On the problem of the mathematical simulation of glaucomatous optic nerve damage// Book of abstracts II part, 4 th Euromech Solid Mechanics Confeernce, Metz, France, 2000, p.228.

96. Bauer S.M., Voronkova E.B. On the deformation of the Lamina Cribrosa under intraocular pressure// Russian Journal of Biomechanics, Vol. 5., №1, 2001, p. 7382.

97. Bauer S.M., Romanova A.A., Smirnov A.L. On formulation of the problem on deformation of the Lamina Cribrosa// Russian Journal of Biomechanics, Vol. 5., №, 2001, p. 18-22.

98. Bauer S.M. Mechanism of the Glaucomatous Atrophy of the Optic Nerve Fibres. Fifth World Congress on Computational Mechanics, Vienna, Austria, Book of Abstracts, Volume II, July 7-12, 200, p 623.

99. Bauer S.M., Voronkova E.B. The Mechanical Response of the Lamina Cribrosa to the Elevated Intraocular Pressure// Proceedings of the 13 th Conference of the European Society of Biomechanis, Wroclaw, 1-4.09.2002, p.712-713

100. Bodner S.R. The postbuckling behaviour of a clamped circular plate, Quart. Appl. Math., 12, No. 4, 1955, p. 397-401.

101. Chaudhuri R.K., Dutta S. Bending of a symmetrically loaded circular plate of nonhomogeneous material// Journ. Math, and Phys. Sci. 1987. Vol. 21, №1, p.81-92.

102. Downs J.C., Suh F.J-K., Thomas K.A., Bellezza A.J., Hart R.T., Burgoyne C.F. Viscoelastic Material Properties of the Peripapillary Sclera in Normal and Early-Glaucoma Monkey Eyes // Investigative Ophthalmology and Visual Science, 2005; 46, p.540-546.

103. Donnell L.N. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending// Trans. ASME. 1934. Vol. 59. N 11. p.795-806.

104. Emery J.D., Landis D., Paton D, Bohiuk M., Caaig J.M. The lamina cribrosa in normal and glaucomatous human eyes// Trans. Ac. Amer. Ophthalmol. Otol. 1974. Vol. 78, №2. p.290 297.

105. Friberg T.R., Lace J.W. A comparison of the elastic properties of human choroid and sclera. Exp.Eye Res, 1988, v.47, 3, 429-436.

106. Friberg T.R., Fourman S.B. Scleral buckling and ocular rigidity// Clinical ramifications. Arch. Ophth . 1990. Vol. 108, N 11. p. 1622-1627.

107. Jemlelita G. On kinematical assumptions of refined theories of plates: Asurvey// Trans. ASME. Journ. Appl. Mech. 1990. Vol. 57, N 4. p. 1080-1091.

108. Harrington D. O. The visual fields.-St. Louis, 1971

109. Hollander H., Makarov F., Stefani F.H., Stone J. Evidence of Constriction of Optic Nerve Axons at the Lamina cribrosa in the Normotensive Eye in Human and Other Mammals.//Ophthalmic Res. 1995, Vol.27, p.296-309.

110. Hutchinson J.W. Imperfection sensitivity of externally pressurized spherical shells// J. Appl. Mech., 1967. Vol. 34, N 1. p.49-53.

111. Iomdina E.N., Koshits I.N. Hot Issues of Eye Biomechanics// Proceedings of the 13 th Conference of the European Society of Biomechanis, Wroclaw, 1-4.09.2002, p.710-711

112. Kanagalingam S., Shoichet M.S. Biopolymer synthesis for use in the treatment of glaucoma. Abstr. Annu. Fall. Meet. Biomed. Eng. Soc., University Park, Pa, Oct. 3-6, 1996 24, Suppl. n.l, c.7

113. Levy N.S., Crapps E.E., Bonney R.C. Displacement of the Optic Nerve Head. Response to Acute Intraocular Pressure Elevation in Primate Eyes// Arch. Ophthalmol. 1981. Vol. 99, Dec. p.2166 2174.

114. Li Z. The general solution for axial symmetrical bending of nonhomogeneous circular plates resting on an elastic foundation// Appl. Math, and Mech. 1991. Vol. 12, №9, p.813-820.

115. Lincoff H.A., Kreissig I. The Treatment of Retinal Detachment Without Drainage of Subretinal Fluid// Trans. Am. Acad. Ophthal. Otolaryng. 1972. Vol.76, p.1221-1223.

116. Lindsey A. Aetiology of field loss in chronic glaucoma// Canadian J. Ophthalmology. 1971, N 6. p.212 -216.

117. Minckler D.S. Optic nerve damage in glaucoma. Surv. Ophthalmology. 1981; v.26, p.128-136.

118. Motolko M., Drance S.M. Features of the Optic Disk in Preglaucomatous Eyes// Arch. Ophthalmol. 1981. Vol. 99, Nov. p.1992 1994.

119. Quigley H.A., Addicks E.M. Regional Differences in the Structure of the Lamina Cribrosa and Their Relation to Glaucomatous Optic Nerve Damage// Arch. Ophthalmol. 1981. Vol. 99, Jan. p.137 143.

120. Quigley H.A., Addicks E.M., GreenW.R., Maumenee A.E. Optic Nerve Damage in Human Glaucoma. The Site of Injury and Susceptibility to Damage// Arch. Ophthalmol. 1981. Vol. 99, Apr. p.635 649.

121. Quigley H.A., Addicks E.M. Quantitative Studies of Retinal Nerve Fiber Layer Defects// Arch. Ophthalmol. 1982. Vol. 100, May. p.807 814.

122. Quigley H.A., Hohman R.M., Addicks E.M., Massof R.W., Green W.R. Morphologic changes in the Lamina Cribrosa correlated with neural loss in open-angle glaucoma// American J. Ophtalmology. 1983. Vol. 95, p.673-691.

123. Quigley H.A., Addicks E.M. Chronic experimental glaucoma in primates. Effect of extended intraocular pressure elevation on optic nerve head and axional transport, Invest. Ophthalmol. Vis.Sci., 1980, N.2.

124. Radius R.L., Maumenee A.E. Opticatrophy and glaucomatous cupping// Am.J. Ophth. 1978, Vol. 85.N 2, p.145.

125. Teng J. G. Buckling of thin shells: Recent advances and trends// Appl. Mech. Rev. 1996, Vol. 49. N 4, p.263-274.

126. Timothy W. Olsen, MD, Sarah Y. Aaberg, Dayle H. Geroski, PhD, and Henry F. Edelhauser, PhD. Human Sclera: Thickness and surface Area// American J. Ophtalmology. 1998. Vol.125. №2. p.237-241.

127. Tovstik P.E. Derivation of two-dimensional equations of shells of revolution from three-dimensional equations of nonlinear theory of elasticity// Strength problems of deformed bodies, St. Petersburg, (1):189-201, 1997.

128. Tovstik P.E. The Post-buckling Axisymmetrical Deflections of Thin Shells of Revolution under Axial Loading// Technische Mechanik. 1996. B. 16. Helf 2. 117132.

129. Tovstik P.E. Edge Effect under large Axisymmetric Deformations of Shells of Revolution CRM Proceedings and Lecture Notes, 1993, Vol.3, p. 255-269.

130. Sigal I.A., Flanagan J.G., Tertinegg I., Ethier C.R. Factors Influencing Optic Nerve Head Biomechanics // Investigative Ophthalmology and Visual Science, 2005, 46(11), p. 4189-4199.

131. Sigal I.A., Flanagan J.G., Ethier C.R. Finite Element Modeling of optic Nerve Head Biomechanics// Investigative Ophthalmology and Visual Science, 2004, 45(12), p. 4378-4387.

132. Sporl E., Boehm A.G., Pillunat L.E. The Influence of Various Substances on the Biomechanical Behavior of Lamina Cribrosa and Peripapillary Sclera // Investigative Ophthalmology and Visual Science, 2005, 46, p. 1286-1290.

133. Uchio E., Ohno S., Kudoh J., Kisielewicz L.T. Simulation model of an eyeball based on finite element analysis on a supercomputer// British Journal of Ophthalmology. 1999. Vol. 83(10). p.1106 -1111.

134. Yan D.B., Coloma F.M., Metheetrairut A., Trope G.E., Heathcote J.G., Ethier C.R. Deformation of the lamina cribrosa by elevated intraocular pressure// British Journal of Ophthalmology. 1994. Vol. 78. p.643 -648.

135. Yan D.B., Flanagan J.G., Farra T., Trope G.E., Ethier C.R. Study of Regional Deformation of the Optic Nerve Head Using Scanning Laser Tomography// Current Eye Research. 1998. Vol. 17. p.903 -916.