Модели сопряженных сферических оболочек в задачах офтальмологии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

«О^лЛ-Ц/"

КРАКОВСКАЯ Елена Викторовна

МОДЕЛИ СОПРЯЖЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК В ЗАДАЧАХ ОФТАЛЬМОЛОГИИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

0С3346 Ю53

003461053

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики матемагико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор БАУЭР Светлана Михайловна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ДАЛЬ Юрий Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент ЕРШОВА Зинаида Георгиевна

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет.

Защита состоится "19" февраля 2009 г. в 15 часов на заседании совета Д 212.232.3 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургскол государственном университете по адресу. 198504, Санкт-Петербург, Петродворец Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горьког Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

20031

^ " Зегжда С.А

Общая характеристика работы Актуальность темы диссертационной работы. Последние годы все "ольшее внимание уделяется математическому моделированию различных

процессов в биологических системах. Такой подход позволяет лучше понять

I

причины и механизмы развития различных явлений в биологических структурах юловека, помогает в разработке методов лечения.

Глаз человека представляет собой сложную биомеханическую структуру, внешняя оболочка глаза - фиброзная или корнеосклеральная оболочка состоит 13 роговицы и склеры. Склера занимает более 90% всей фиброзной оболочки •лаза человека, поэтому в некоторых математических моделях роговица не •ключается в модель, а оболочка глаза рассматривается как сферическая. )днако в некоторых случаях, когда важно понять, например, как изменяется шпряженно-деформированное состояние внешней оболочки глаза после ¡ефракционных операций, меняющих толщину или кривизну роговицы, [еобходимо учесть и отличие свойств роговицы и склеры. В этом случае лазное яблоко необходимо моделировать сопряженными по периметру ферическими оболочками - склерой и роговицей (рис. 1).

Рис. 1. Строение глаза 3

Известно, что атрофия зрительного нерва при глаукоме происходит I области решетчатой пластинки диска зрительного нерва в результате с деформации. Эта пластинка представляет собой часть склеры, находящуюс недалеко от заднего полюса, и ослабленную множеством мелких отверстии Таким образом, важная задача о напряженно-деформированном состоянш решетчатой пластинки диска зрительного нерва также может быть рассмотрен; как задача о составной оболочке.

В настоящее время при лечении глаукомы используются декомпрессионны операции. Один из вариантов декомпрессионной операции заключается I частичном рассечении склерального канала вблизи решетчатой пластинкн Таким образом, увеличивается длина окружности опорного склеральног кольца. Построение механической модели такой операции возможно такж только при рассмотрении сопряженных сферических оболочек.

Целью работы является построение моделей сопряженных сферически, оболочек для оценки напряженно-деформированного состояния фиброзно! оболочки глаза при изменении внутриглазного давления, оценки коэффициент запаса прочности роговицы после рефракционных операций, построени моделей деформации анизотропной решетчатой пластинки диска зрительног нерва, а также построение моделей некоторых декомпрессионных операций.

Методы исследования. При решении поставленных задач применялис различные методы. Аналитические соотношения, использованные в работ основаны на асимптотических методах, а также различных двумерных теория пластин и оболочек. Ряд результатов получен с помощью программной систем! конечно-элементного анализа ЛЫБУБ.

Научная новизна. В диссертации решен ряд задач о деформации сопряженных ферических оболочек под действием внутреннего нормального давления, роведено сравнение решений, получающихся при различных методах решения, айдена оценка области применимости асимптотического решения комплексных сравнений В.В. Новожилова для сферической изотропной однородной оболочки од действием нормального давления. Построены модели двух декомпрессионных пераций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью остановки математической задачи, использованием строгих аналитических етодов, а также сравнением аналитических и численных результатов.

Научная и практическая ценность. Полученные решения могут быть юпользованы в медицине для оценки последствий и оптимизации параметров екомпрессионных и рефракционных операций. Аналитические соотношения, юлученные при решении задачи о деформировании ортотропной круглой ластины с жесткой заделкой по уточненной итерационной теории Родионовой-ерныха, могут помочь при решении более сложных задач о деформировании онструкций.

Апробация результатов. Основные результаты докладывались на семинарах Математические методы и биомеханика в современном университете» (Ростов-нагону, 2008) [5] и «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (Санкт-1етербург, 2005,2008) [6], а также на Всероссийском симпозиуме по Прикладной и ромышленной математике (Сочи, 2005) [7].

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 научных работ, в ом числе 4 работы [1-3, 7] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.

В работе [5] автору принадлежит модель декомпрессионной операции I связанные с ней расчеты, проведенные в прикладном пакете В работе [7

содержатся результаты решенной автором задачи, постановка задачи и мето; решения принадлежат соавтору.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав заключения и списка литературы, включающего 105 наименований. Работ; изложена на 102 страницах, содержит 24 рисунка и 23 таблицы.

Результаты, выносимые на защиту

• Решены две задачи о напряженно-деформированном состояшн сопряженных сферических оболочек под действием нормального давления В первой задаче обе оболочки рассматривались как сферические оболочки во второй - одна из оболочек рассматривалась, как пологая оболочка.

• Проведена оценка области применимости асимптотического решенн комплексных уравнений В.В. Новожилова для сферической изотропно! оболочки под действием нормального давления.

• По уточненной итерационной теории оболочек Родионовой-Черных; определено напряженно-деформированное состояние ортотропной кругло)' пластины с жесткой заделкой.

• В прикладном пакете АЫЗУБ построены модели дв офтальмологических декомпрессионных операций.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, указываете цель и методы исследования, перечислены основные результаты, выносимые н защиту. Представлен краткий обзор литературы, связанной с рассматриваемыми

иссертации задачами. Также кратко описана структура диссертации и содержание оследующих глав.

Первая глава посвящена изучению напряженно-деформированного остояния двух сопряженных по окружности сферических сегментов, аходящихся под действием нормального внутреннего давления. Построенные ешения позволяют описать две разные офтальмологические задачи: первая -пределение напряженно-деформированного состояния внешней оболочки лаза, состоящей из склеры и роговицы, вторая задача - определение сформированного состояния составной сферической оболочки, состоящей из клеры и решетчатой пластинки диска зрительного нерва. В начале главы ассматриваются изотропные однородные сферические оболочки. Напряженно-еформированное состояние оболочек описывается уравнениями .В.Новожилова - уравнениями в комплексных усилиях в сферической системе оординат. Асимптотическое приближение решения строится как сумма езмоментных составляющих, описывающих напряженно-деформированное остояние соответствующих сферических оболочек, и составляющих краевого ффекта, полученных В.В.Новожиловым. Константы, входящие в решение, пределяются из условий непрерывности на линии сопряжения оболочек еремещений, момента, усилий и угла поворота нормали. Полученное таким бразом решение хорошо описывает напряженно-деформированное состояние орнеосклеральной оболочки глаза: составляющие краевого эффекта быстро атухают при удалении от края. Данное решение хорошо согласуется с ешением, полученным при численном решении в прикладном пакете АЫБУБ. днако асимптотическое приближение решения, предложенное .В.Новожиловым, не позволяет найти решение второй задачи, так как размеры ешетчатой пластинки столь малы, что составляющие краевого эффекта в

центре пластины оказываются на порядок больше, чем составляющие безмоментного состояния.

В связи с этим проведена оценка области применимости асимптотическое решения комплексных уравнений В.В. Новожилова для сферической изотропно! однородной оболочки под действием нормального давления. Сделана оценка ва угла параллели, соответствующей краю оболочки, такого, при которо.\ составляющая прогиба, характеризующая краевой эффект, в центре купол; становится на порядок меньше безмоментной составляющей решения. Полученны соотношения показывают, что чем тоньше оболочка и чем больше ее радиу кривизны, тем меньше угол в„, при котором выполняется отмеченное условие.

Радиус основания решетчатой пластинки а значительно меньше радиус; склеры Я (а/Л <0.1), поэтому решетчатая пластинка может рассматриваться ка пологая оболочка, а ее напряженно-деформированное состояние может быт! описано уравнениями пологих оболочек в комплексной форме, предложенно! А.А.Назаровым:

Здесь £> - цилиндрическая жесткость на изгиб, Аа - оператор Лапласа, дл>

. . . с/2(..) 1 </(..) осесимметричного случая, в полярных координатах: АД-) = 2 а

безразмерная переменная (г = ак), д„ - равномерно распределенное нормально

давление, а - комплексная функция: (Т~ +¡2^3(1 -¡Е1х, где ^ - функци напряжения, н> - прогиб оболочки.

Решение уравнения (1) определяется как CT = oq +ет, +<т,, где <7 - частное решение неоднородного уравнения, а сТрСг - решения однородного уравнения, которые могут быть выражены через модифицированные функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода. Константы интегрирования, как и раньше, находятся из условий ограниченности решения и из граничных условий на линии сопряжения оболочек. Расчеты проводились при различных параметрах: варьировались толщина, модули упругости оболочек и внутреннее давление. Роговица также может быть рассмотрена как пологая оболочка, в связи с этим первая задача также была решена с использованием уравнения пологих оболочек (1). Проведен сравнительный анализ результатов расчета по аналитическим соотношениям и численного решения, полученного в прикладном пакете ANSYS. Разница в величине прогибов, получающихся по аналитическим соотношениям, и получающихся при моделировании в пакете ANS YS, не превосходит 16%. Для первой задачи результаты, найденные согласно общим уравнениям по асимптотическим соотношениям, и результаты, получающиеся при решении по уравнениям пологих оболочек, отличаются менее чем на 10%.

Известно, что согласно экспериментальным данным, модуль упругости склеры и роговицы в направлении толщины в десятки раз меньше, чем модуль упругости в тангенциальном направлении. В связи с этим в пакете ANSYS проведены также расчеты напряженно-деформированного состояния сопряженных трансверсально-изотропных сферических оболочек.

Сравнение результатов расчета для изотропной и трансверсалыю-изотропной сопряженных оболочек показывает, что анизотропия существенно влияет на величину и на форму прогиба более мягких, чем склера, оболочек: роговицы и решетчатой пластинки. Прогибы роговицы и решетчатой пластинки

в этом случае больше, чем прогиб этих оболочек в изотропном случае, а форма прогиба становится более пологой (рис.2).

Во второй задаче исследовалось влияние увеличения внутриглазного давления (ВГД) на диаметр склерального кольца, а также проводилось сравнение величины прогиба решетчатой пластинки, находящейся под действием ВГД в сопряжении со склерой и отдельно от нее. В этом случае решетчатая пластинка рассматривалась как пологая оболочка или как плоская пластина с жесткой заделкой. Как показывают результаты, полученные для составных оболочек и упрощенной задачи, разница в значениях максимальных прогибов составляет не более 6%, а изменение радиуса склерального кольца на порядок меньше прогибов и им можно пренебречь.

Проведен сравнительный анализ решений, полученных для трансверсально-изотропных составных оболочек в пакете А^УБ, и упрощенной задачи о деформировании трансверсально-изотропной пластины с жесткой заделкой. Прогиб трансверсально-изотропной пластины определялся по уточненной теории Амбарцумяна

2 а

2 Ь

Рис. 2. Сопряжение склеры и решетчатой пластинки (а - изотропные оболочки, Ь - трансверсально-изотропные)

64 £> 8АС 12(1 -//)

да* Ъда1 п_ а3

где С ' - модуль сдвига в плоскости перпендикулярной плоскости изотропии. Различие аналитических и численных результатов не превышает 10%. Это означает, что, по-видимому, деформацию решетчатой пластинки можно рассматривать отдельно от склеры.

Во второй главе проведен сравнительный анализ аналитических решений задачи о деформации круглых однородных цилиндрически ортотропных пластин под действием нормального давления, полученных с помощью различных теорий пластин - классической теории Кирхгофа-Лява, теории Тимошенко-Рейсснера, уточненной теории Амбарцумяна, уточненной итерационной теории Родионовой-Черныха, а также численного решения, полученного с помощью прикладного пакета А^УБ.

Новая итерационная теория Родионовой-Черныха позволяет учесть повороты волокон, их искривление, а также изменение их длины при деформации пластины. Безразмерный прогиб круглой трансверсалыю-изотропной пластины радиуса а, толщины И с жесткой заделкой под действием нормального давления, полученный по этой теории, определяется по формуле:

В случае цилиндрической ортотропии выражение для безразмерного прогиба имеет вид:

Drw(Ch)o, _(m, , DrD0(l-4r2) 2Dr?^Bl

--г-— W or i ------:-

qa qa qa h(\-n )(!+«)

D3Dra"-5 ^ 1 | 2B[D, 03Dr

9(1-и) ' 8(9-w2) (l — n2)(l + n)hqa2 2qa4

где

_3^v13(1-vI2) 3qv21(E2-E,vn) _ D =

Ex 1 5£3 5£,£3 r 12 (1 - v2)

D0 =----:—--¡-[-30 Я,*£3С713(9-и2)-

15(9 - и )(1- и )£3ftG13(£2 - £,v12 )

(£2 - £,v122) + (1 - «2)[9(9 - n2)ExE,qvn2 + B¡E22Guh\3 +

+ E2 {-9(9 - n2 )E}q + B¡ExGnh2 ((3 + v12 )v„ + 3v12 v23)}]];

E2hal-"[B¡(9-n2) + B:(l-n2)a2]r „ Г/ n

A ~~ ' / " F 2, W23 + + V12)V13 + Wl2V23]}.

30(9-n )(1 + /J)£3(£2-£,V12 ) Согласно классической теории

DVtt,~ F4 F" + 1 1

qa" Ц9-п2) 2(9 - и2)(1 + и) 8(1 + и)(3 + n)

Для расчета изменения толщины пластины под действием нормальной нагрузки по теории Родионовой-Черныха следует воспользоваться следующей формулой:

Ah - w<C7,|| -uH =U3\ kl-U3\ „=2Гз\

где для трансверсально-изотропной пластины

Т0 . т _ qh_ Е' . _ £ v

2£" 0 2' 1 -2v'v*' E'l-v'

а при цилиндрической ортотропии

. _ а'"{-А;Е1Иг"а(умп + у\2) +га"[{\-п2)Тп + Л,Х(Уз'. + у3\)]} .

у ог — -----,

3 2(1 -п2)Е,г

^13(^2 | ЯУц{Е2-Е,Уп) _ £._ £3

' 2ЕЪ 2ЕХЕЪ ' 3 1-гпу'3|-у23У*З2 '

.. • _ ^31+^^32 . .. ' _ У32 + . „г_Ег.

"31 - , ' у32 _ , ' с •

Расчеты проводились при различных параметрах. Сравнение решений, полученных с помощью перечисленных выше теорий, показывает, что при трансверсалыюй изотропии пластин теория Кирхгофа-Лява учитывает только упругие свойства пластины в плоскости изотропии. Решение по теории Тимошенко-Рейсснера совпадает с решением, полученным по уточненной теории Амбарцумяна. Наиболее близкие результаты к результатам, полученным при решении трехмерной задачи, дает уточненная теория Родионовой-Черныха. При уменьшении толщины пластины разница между решениями, полученными с помощью разных теорий, снижается.

В задаче об определении прогиба цилиндрически ортотропных пластин, как и для трансверсально-изотропных пластин, с уменьшением толщины пластины разница между результатами, полученными по разным теориям, снижается, но медленнее.

Расчеты показывают, что и модуль сдвига и модуль Юнга в направлении оси, перпендикулярной плоскости пластины, существенно влияют на размер и форму прогиба. Если эти параметры уменьшаются по сравнению с соответствующими модулями в плоскости пластины, то форма прогиба становится более пологой.

В третьей главе представлены модели двух декомпрессионных операций, направленных на снижение прогиба решетчатой пластинки. В первой задаче исследуется изменение деформации решетчатой пластинки диска зрительного

нерва после операции, предложенной и описанной в работах офтальмологов Е.Н.Мостового и В.Ф.Шмыревой. Эта декомпрессионная операция заключается в частичном рассечении стенки зрительного канала, в результате чего увеличивается длина окружности опорного склерального кольца. В диссертации операция моделируется как срез слоя склеры около линии сопряжения с решетчатой пластинкой. Строится трехмерная математическая модель в прикладном пакете АЫБУЗ. Фиброзная оболочка глаза представляется двумя сопряженными оболочками: склерой и решетчатой пластинкой. Оболочки считаются трансверсально-изотропными и однородными, одного радиуса кривизны. На участке склеры делается радиальный надрез определенной длины и глубины. Результаты расчетов при разных параметрах (варьировались глубина и длина среза) показывают, что после такой декомпрессионной операции меняется не только прогиб решетчатой пластинки, но и прогиб склеры в области сопряжения оболочек. Форма прогиба решетчатой пластинки становится более пологой (рис.3), ее прогиб относительно края склеры уменьшается, однако абсолютный прогиб решетчатой пластинки существенно увеличивается.

Рис. 3. Прогиб сопряженных оболочек после декомпрессионной операции.

Во второй части рассмотрена задача о декомпрессионной операции, заключающейся в срезе слоя роговицы вблизи лимба. В этой задаче фиброзная оболочка глаза представляется состоящей из трех сопряженных трансверсально-

14

отропных однородных оболочек разного радиуса кривизны. Расчеты казывают, что при такой операции прогиб решетчатой пластинки меняется значительно.

В заключении представлены результаты, выносимые на защиту.

Список публикаций по теме диссертации

I. Краковская Е.В. О напряженно-деформированном состоянии внешней оболочки глаза // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1, вып.3,2008, с. 140-143.

. Краковская Е.В. Об изменении деформации решетчатой пластинки диска зрительного нерва после декомпрессионных операций // Российский журнал биомеханики, №2, том 12,2008, с. 55-59.

3. Краковская Е.В. О деформации составной сферической оболочки под действием внутреннего давления // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1, вып.2, 2008, с. 129-132.

4. Краковская Е.В. О приложении теории оболочек к некоторым задачам офтальмологии // Российский журнал биомеханики, №1,2006, с. 52-58.

5. Воронкова Е.Б., Краковская Е.В. О деформации решетчатой пластины глаза при глаукоме // Математические методы и биомеханика в современном университете, труды IV всероссийской школы-семинара, 2 -6 июня 2008, изд-во Ростов-на-Дону, с. 17.

6. Краковская Е.В. Приложение теории сопряженных оболочек к некоторым задачам офтальмологии. Доклад на семинаре 25 октября 2005 // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» за 2005-2006 гг., под ред. A.JL Смирнова, Е.Ф. Жигалко, Изд-во СПбГУ, 2006, с. 5-19.

7. Бауэр С.М., Васильева (Краковская) Е.В. Приложение теории сопряжении оболочек к задачам офтальмологии// Обозрение прикладной и промышленно! математики, Изд-во «ОПиПМ», Москва, том 12, вып. 3, 1-7, X, 2005, с. 700-701.

Подписано в печать 29.12..2008 г.ФорматбО х 84 '/^.Бумага офсетная. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз.3аказ4369.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ. 198504. Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр. 26.

Глава 1. Напряженно-деформированное состояние сопряженных сферических оболочек.

1.1 Уравнения напряженно-деформированного состояния сферической оболочки.

1.2 Об оценке области применения решения В.В.Новожилова для задач о деформации сопряженных сферических оболочек.

1.3 Уравнения напряженно-деформированного состояния пологой сферической оболочки.

1.4 Граничные условия на линии сопряжения оболочек.

1.5 Напряженно-деформированное состояние склеры и( роговицы.

1.6 Напряженно-деформированное состояние склеры и решетчатой пластинки.

Глава 2. Деформация анизотропных круглых пластин под действием нормального давления.

2.1 Деформация круглой пластины под действием нормального давления по теории Кирхгофа-Лява

2.2 Деформация круглой пластины под действием нормального давления по теории Тимошенко-Рейсснера.

2.3 Деформация круглой пластины под действием нормального давления по уточненной теории Амбарцумяна.

2.4 Деформация круглой пластины под действием нормального давления по уточненной теории Родионовой-Черныха.

2.5 Трансверсально-изотропная круглая пластина под действием нормального давления.

2.6 Цилиндрически ортотропная круглая пластина под действием нормального давления.

Глава 3. Модели двух декомпрессионных операций.

3.1 Изменение деформации решетчатой пластинки диска зрительного нерва после декомпрессионных операций.

3.2 Срез слоя склеры вблизи роговицы как декомпрессионная операция.

Актуальность темы. Последние годы все большее внимание уделяется математическому моделированию различных процессов в биологических системах. Такой подход позволяет лучше понять причины и механизмы развития различных явлений в биологических структурах человека и животных, таких как сосуды, суставы и другие, помогает в разработке методов лечения.

Учебные программы ряда крупнейших высших учебных заведений страны содержат курс биомеханики, в Московском государственном университете несколько лет назад открылся первый в России факультет биоинженерии и биоинформатики.

Все чаще методы механики деформируемого твердого тела стали применяться для исследования состояния глаза. В 2001 г. в Московском Педиатрическом институте введен курс биомеханики глаза. На основе читаемого курса и исследований, проводимых в институте, коллективом авторов издана монография "Акустическая биомеханика глаза и ее значение для клиники" [64], первый раздел которой посвящен основным определениям и понятиям механики деформируемого твердого тела. В серии механика и ее приложения в технике и технологии в 2006 году вышла книга А.Р. Сковороды «Задачи теории упругости в проблеме диагностики патологий мягких биологических тканей» [71].

Изучение биомеханики глаза важно для понимания механизма многих заболеваний и травм глаза, для разработки экспериментальных моделей, при внедрении новых имплантатов, новых технологий. Новые знания в области биомеханики глаза позволяют улучшить диагностику различных заболеваний, развивать новые методы терапевтического и хирургического лечения глаза [19,89].

Схема глаза человека

Склера

Вортикозная вена

Собственно сосудистая оболочка (юре

Теноиова капсула

Роговица ликоорное) пространство

Центральная артерия сетчатки

Стекловидная камера со стекловидным телом

Сетчатка

Макула Долгое пятно)

Задняя камера Ресничное тело Ресничная мышца

Передняя мембрана стекловидной камеры

Зрительные волокна сетчатки Аксоны ганглиозных плеток

Зрительный нерв

Рис. 1. Строение глаза

Глаз человека представляет собой сложную биомеханическую структуру (рис.1). Внешняя оболочка глаза - фиброзная или корнеосклеральная оболочка состоит из роговицы и склеры. Основное назначение фиброзной оболочки - обеспечение постоянной формы и размеров глазного яблока. В передней части фиброзная капсула глазного яблока переходит в более выпуклую, плотную, но прозрачную для световых лучей роговую оболочку, которая как бы вставлена в склеру наподобие часового стекла, так как на месте перехода склеры в роговицу в первую очередь прозрачными становятся глубокие слои склеры, а уже потом поверхностные [12]. Роговица не только участвует в защите содержимого глаза от внешних воздействий, но и является главной линзой оптической системы глаза. Склера занимает 93% всей фиброзной оболочки глаза человека, поэтому в задачах, связанных с изменением объема глазного яблока под действием внутреннего давления, биомеханические свойства склеры играют решающую роль и в таких задачах часто роговица не включается в модель, а оболочка глаза рассматривается как сферическая, состоящая целиком из склеры [12].

Однако в некоторых случаях, когда важно понять, например, как изменяется напряженно-деформированное состояние внешней оболочки глаза после рефракционных операций, меняющих толщину или кривизну роговицы, необходимо учесть и отличие свойств роговицы. В этом случае глазное яблоко необходимо моделировать сопряженными по периметру сферическими оболочками - склерой и роговицей.

Недалеко от заднего полюса через склеру из глаза выходит зрительный нерв (рис.2а). Участок склеры, через который проходит зрительный нерв, называют решетчатой пластинкой диска зрительного нерва. Сплошного дефекта склеры здесь нет, слой склеры становится намного тоньше и появляется множество мелких отверстий, через которые проходят пучки зрительного нерва (рис.2Ь), т.о. механические свойства этой небольшой области существенно отличаются от механических свойств склеры. Решетчатая пластина играет важную роль в балансе внутриглазного и внутричерепного давлений (ВГД и ВЧД).

Известно, что атрофия зрительного нерва при глаукоме происходит именно в области решетчатой пластинки диска зрительного нерва в результате ее деформации, если отношение ВГД и ВЧД увеличивается по сравнению с нормальным для конкретного пациента значением [20].

Как отмечают офтальмологи [26], экскавация диска свидетельствует о переходе гипертензии, то есть повышенного внутриглазного давления, в глаукому часто раньше, чем появляются дефекты в поле зрения. Таким образом, начальные изменения диска зрительного нерва имеют существенные значения для диагностики глаукомы, а определение изменения напряженно-деформированного состояний решетчатой пластинки имеет значение для оценки эффективности проводимой терапии [61]. Все это делает важным изучение напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки диска зрительного нерва при изменении внутриглазного давления. Задача о напряженно-деформированном состоянии решетчатой пластинки диска зрительного нерва также может быть рассмотрена как задача о составной оболочке, состоящей из склеры и решетчатой пластинки.

Рис. 2. Решетчатая пластинка диска зрительного нерва.

В настоящее время иногда при лечении глаукомы используются декомпрессионные операции. Один из вариантов декомпрессионной операции описан в работах [82, 83], Предложенная операция заключается в частичном рассечении склерального канала вблизи решетчатой пластинки. Таким образом, увеличивается длина окружности опорного склерального кольца. Построение механической модели такой операции возможно только при рассмотрении сопряженных сферических оболочек. Другой вариант декомпрессионных операций, которые давно используются, представлен в работе [33] и заключается во вставках имплантата на участке склеры недалеко от сопряжения с роговицей. При построении механической модели такой операции следует учитывать три сопряженные оболочки, склеру, роговицу и решетчатую пластинку.

Целью работы является построение моделей сопряженных сферических оболочек для оценки напряженно-деформированного состояния фиброзной оболочки глаза при изменении внутриглазного давления, оценки коэффициента запаса прочности роговицы после рефракционных операций, построение моделей деформации анизотропной решетчатой пластинки диска зрительного нерва, а также описание некоторых декомпрессионных операций.

Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения.

Заключение

В работе получены следующие новые результаты:

1. Построены аналитические решения задач о напряженно-деформированном состоянии сопряженных сферических изотропных однородных оболочек под действием нормального давления в случае, когда обе оболочки рассматривались как сферические, и в случае, когда одна из оболочек рассматривалась, как пологая оболочка. Проведено сравнение результатов, получающихся в обоих случаях. Получена оценка области применимости асимптотического решения комплексных уравнений В.В. Новожилова для сферической изотропной однородной оболочки под действием нормального давления.

2. Для конкретной задачи о деформации решетчатой пластинки диска зрительного нерва проведено сравнение решения задачи о деформации составной оболочки (склеры и решетчатой пластинки) с решением задач о прогибе пологой оболочки и пластины с жесткой заделкой.

3. Проведен сравнительный анализ аналитических решений задачи о деформации круглых однородных ортотропных пластин под действием нормального давления, полученных с помощью различных теорий оболочек — классической теории Кирхгофа-Лява, теории Тимошенко-Рейсснера, уточненной теории Амбарцумяна, уточненной итерационной теории Родионовой-Черныха, а также численного решения, полученного с помощью прикладного пакета По теории Родионовой-Черныха получены аналитические соотношения, описывающие напряженно-деформированное состояние трансверсально-изотропной и ортотропной однородной круглой пластины с жесткой заделкой по теории

В прикладном пакете АЫБУБ построены модели двух декомпрессионных операций. Модели представляют собой задачи о напряженно-деформированном состоянии сопряженных трансверсально-изотропных оболочек с учетом изменения толщины одной из оболочек на отдельном ее участке. Проведен анализ параметров изменения толщины одной из сопряженных оболочек с целью выявления параметров, наиболее влияющих на прогиб решетчатой пластинки диска зрительного нерва.

1. Абушек Г.В. Напряженно-деформированное состояние сопряженной мягкой сферической оболочки, предварительно нагруженной внутренним давлением // Вестник С.-Петербургского ун-та, Сер.1, 2008,, Вып. 1, С. 85-92.

2. Аветисов С.Э., Мамиконян В.Р., Завалишин H.H., Ненюков А.К. Экспериментальное исследование механических характеристик роговицы и прилегающих участков склеры // Офтальмологический журнал, 1988, № 4, С. 233-237.

3. Аветисов С.Э., Мамиконян В.Р. Механические характеристики корнеосклеральной оболочки глаза человека // Тезисы докл. 3-й Всесоюз. конференции по проблемам биомеханики, Рига, 1983, Т. 1, С. 83-85.

4. Алумяэ H.A. К определению критической нагрузки замкнутой в вершине оболочки, находящейся под действием внешнего давления // Тр. Тал. политехи, ин-та. Сер.А. 1955, Вып.65, С. 1-13.

5. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974, 446 с.

6. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1961, 384 с.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987, 360 с.

8. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Том 2: Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1980, 368 с.

9. Аргатов И.И. Оценка погрешности расчета линейно-упругого композита симметричного строения как изотропной пластины // Вестник С.-Петербургского ун-та, Сер.1, 1993, Вып. 1, С. 61-66.

10. Балашевич JT.T. Рефракционная хирургия. Учебное пособие для клинических ординаторов и врачей, СПб, 1990, 140 с.

11. Бауэр С.М., Васильева (Краковская) Е.В. Приложение теории сопряженных оболочек к задачам офтальмологии // Обозрение прикладной и промышленной математики, Изд-во «ОПиПМ», Москва, том 12, Вып. 3, 1-7, X, 2005, С. 700-701.

12. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000, 92 с.

13. Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Товстик П. Е., Филиппов С. Б. Асимптотические методы вмеханике твердого тела. СПбГУ, учебное пособие, 2005, 350 с.

14. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988, 272 с.

15. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971, 512 с.

16. Воронкова Е.Б., Краковская Е.В. О деформации решетчатой пластины глаза при глаукоме // Математические методы и биомеханика в современном университете, труды IV всероссийской школы-семинара, 2 -6 июня 2008, изд-во Ростов-на-Дону, С. 17.

17. Волков В., Вяземский С., Малышев Л., Мамаева О., Павилайнен В., Саулгозис Ю. Исследования напряженного состояния роговицы живого глаза человека методом фотоупругости // Известия АН Эстонской ССР. Физика, математика, 1988, 37, 1 С. 76-84.

18. Волков В.В. Глаукома при псевдонормальном давлении. Руководство для врачей. М.: Медицина, 2001, 350 с.

19. Волков B.B. О разных подходах к диагностике начальной открытоугольной глаукомы // Офтальмолог, журн., 1989, №2. С. 77-80.

20. Волков В.В. Существенный элемент глаукоматозного процесса, не учитываемый в клинической практике // Офтальмолог, журн., 1976, №7. С. 500-504.

21. Волков В.В., Журавлев А.И. Диск зрительного нерва при глаукоме// Офтальмолог, журн., 1982, №5. С. 272 -276.

22. Волков В.В., Сухинина Л.Б., Тер-Андриасов Э.Л. Компрессионно-периметрическая проба в экспесс диагностике глаукомы и преглаукомы. В кн. «Глаукома», Сб трудов, т. 5, Алма-Ата, 1980.

23. Волков В.В., Сухинина Л.Б., Тер-Андриасов Э.Л. О применении вакуума в компрессионно-периметрической пробе при диагностике глаукомы // Вестн. офтальмологии,1981, №2.

24. Волков В.В., Сухинина Л.Б., Устинова Е.И. Глаукома, преглаукома и офтальмогипертензия. Л.: Медицина, 1985, 214 с.

25. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев, Наукова думка, 1973, 223 с.

26. Гольденвейзер А.Л. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана // ПММ, 1994. Т. 58. Вып. 6, С. 96-108.

27. Гольденвейзер А.Л. Асимптотический метод в теории оболочек. Успехи механики,1982. Т.5. ,т. 1/2. С. 137-182, М.: Наука, 1976. 512 с.

28. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., 1976. 512 с.

29. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.

30. Гончар П.А., Душин Н.В., Мигаль Д.С., Кириллова O.A., Назарова B.C., Влияние'^ супрацилиарных надрезов на внутриглазное давление // Биомеханика глаза, сб. трудов конференции, Моск. НИИ глазных болезней им. Гельмгольца, 2007, С. 124-126.95

31. Гончар П.А., Сайед С.Э. Клинико-экспериментальное исследование влияния супрацилиарных надрезов на снижение ВГД при первичной открытоугольной глаукоме // Приложение РМЖ «Клиническая Офтальмология», 2004 г, том 5, №2.

32. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропных неоднородных пластин // Прикладная механика, 1997, т. 33.№11.С. 3-37.

33. Дьяконов В. Mathematica 4 СПб: Питер, 2001, 656 с.

34. Жилин П.А., Кизима Г.А. Сферический пояс с меридиональными ребрами // Изв. АН СССР. Механика тверд. Тела, 1969, Вып. 5, С. 97-105.

35. Журавлев А.И. Диск зрительного нерва и зрительные функции в оценке глаукоматозного процесса. Автореф. дис. канд. мед. наук. JI. 1986. 15 с.

36. Иомдина E.H. Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии: диагностика нарушений и их экспериментальная коррекция. Автореф. дис. докт. биол. наук. М., 2000,48 с.

37. Иомдина E.H. Биомеханические свойства склеры и возможности ее укрепления при миопии. Автореф. дис. канд. биол. наук. М., 1984, 24 с.

38. Иомдина E.H. Механические свойства тканей глаза человека // Современные проблемы биомеханики, Вып. 11, 2006, Изд.-во МГУ, С. 183-200.

39. Иомдина E.H., Александрович А.И., Кузнецова С.Б., Кораблев Д.О. К построению биомеханической модели корнеосклеральной оболочки глаза. В кн.: Тез. докл. 1 Всерос. конференции "Биомеханика на защите жизни и здоровья человека". 1992, т.2, С. 116-117.

40. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера: Практическое руководство Москва, 2004,272 с.

41. Керейчук М.А. Математическая модель глаукомы. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. -СПб, 2002, 16 с.

42. Краковская Е.В. О деформации составной сферической оболочки под действием внутреннего давления // Вестник С.-Петербург, ун-та. Сер.1, Вып.2, 2008, С. 129-132.

43. Краковская Е.В. О напряженно-деформированном состоянии внешней оболочки глаза //Вестник С.-Петербург, ун-та. Сер.1, Вып.З, 2008, С. 140-143.

44. Краковская Е.В. О приложении теории оболочек к некоторым задачам офтальмологии // Российский журнал биомеханики, №1, 2006, С. 52-58.

45. Краковская Е.В. Об изменении деформации решетчатой пластинки диска зрительного нерва после декомпрессионных операций// Российский журнал биомеханики, №2, том 12, 2008, С. 55-59.

46. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат: 1947. 356 с.

47. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.; Наука, 1977. 415 с.

48. Мальков В.М. О расчленении условий упругого сопряжения в линейной теории тонких оболочек И Проблемы механики тверд, деф. Тела, Л., 1970. С. 257-263.

49. Михайловский Е.И. Прямые, обратные и оптимальные задачи для оболочек с подкрепленным краем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986, 220 с.

50. Мостовой E.H., Шмырева В.Ф., Никитин А.К. Математическое моделирование изменения величины прогиба решетчатой пластинки после декомпрессионных операций на зрительном нерве // Биомеханика глаза, сб. трудов конф., М., 2007, с. 143-147.

51. Мостовой E.H., Никитин А.К. О влиянии рассечения склерального канала и твердой оболочки зрительного нерва на ликворное давление в межоболочечном пространстве //97

52. Научно-практическая конференция «Современные методы диагностики и лечения заболеваний роговицы и склеры» , Сб. научных статей,- 2007, Т.2., С. 286-289.

53. Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек, Издательство литературы по строительству JI-M, 1966, 304 с.

54. Нестеров А.П. Глаукома. М.: Медицина, 1995, 256 с.

55. Нестеров А.П. Основные принципы диагностики первичной открытоугольной глаукомы // Вестн. офтальмологии. 1998, №2. С. 3-6.

56. Нестеров А.П., Бунин А.Я., Кацнельсон JI.A. Внутриглазное давление. Физиология и патология. М.: Наука, 1974, 381с.

57. Нестеров А.П., Егоров Е.А. Глаукоматозная атрофия зрительного нерва // Актуальные проблемы офтальмологии. Под ред. Краснова М.М., Нестерова А.П., Дыбова С., М.: Медицина, 1981. С. 22-53.

58. Нестеров А.П., Егоров Е.А. Клинические особенности глаукоматозной атрофии зрительного нерва//Вестн. офтальмологии. 1978, №1, С. 5-8.

59. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL: Судпромгиз, 1962, 431 с.

60. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. JL: Политехника, 1991, 656 с.

61. Обрубов С.А., Сидоренко Е.И., Федорова, В.Н, Дубовая Т.К., Древаль A.A. Акустическая биомеханика глаза и ее значение для клиники. Москва, 2001, 128 с.

62. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев, «Наукова думка», 1973, 248 с.

63. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996, 280 с.

64. Савицкая Н.Ф., Винецкая М.И., Иомдина E.H. Связь деформативно-прочностных свойств склеры с некоторыми показателями ее биомеханического состава // Тезисы докл. 3-й Всесоюз. конференции по проблемам биомеханики. Рига, 1983. Т.1. С. 113-114.

65. Саулгозис Ю., Волков В.В., Малышев J1.K. и др. Исследования напряженний роговицы глаза человека для диагностики глазных заболеваний // Международная конф. «Достиж. Биомеханики в медицине». Рига, 12-15 сент. 1986 , с. 359-364.

66. Саулгозис Ю.Ж. Особенности деформирования склеры // Механика композитных материалов, 1981, №3, С. 505-514.

67. Саулгозис Ю.Ж., Волколакова Р.Ю. Роль механоструктурных особенностей фиброзной оболочки глаза и изменения ее формы // Современные проблемы биомеханики. Рига: Резекне, 1983, С. 180-202.

68. Сковорода А.Р. Задачи теории упругости в проблеме диагностики патологий мягких биологических тканей // М.: Физматлит, 232 с.

69. Сомов Е.Е. Клиническая анатомия органа зрения человека М.: Медпресс-информ, 2005, 136 с.

70. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки., M.-JL: Гостехиздат, 1948. 460 с.

71. Тимошенко, С.П., Войновский-Кригер,С. Пластинки и оболочки. /М.: Наука, 1963. 635с.

72. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука, 1995,319 с.

73. Товстик П.Е., Товстик Т.П. Двухмерные модели пластин из анизотропного материала // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2007-2008 гг., изд. С.Петерб. ун-та, 2008, С. 5-17.

74. Товстик П.Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек. // Вестник С.-Петербург, ун-та. Сер.1,2007. Вып.З. С. 49-54.

75. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПбГУ, 1999, 196 с.99

76. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, Ч. 1, 1962. 274с.; Ч. 2. 1964. 395с.

77. Черных К.Ф. Простой краевой эффект и расчленение граничных условий в линейной теории тонких оболочек // Изв. АН СССР. Механика, 1965, Вып.1, С. 89-98.

78. Шмырева В.Ф., Краснов М.М., Мостовой Е.Н. Декомпрессионные операции на зрительном нерве при глаукоме // Вестник офтальмологии, 1989,, №5, С. 8-12.

79. Bauer S.M. Romanova А.А., Smirnov A.L. On formulation of the problem on deformation of the Lamina Cribrosa// Russian Journal of Biomechanics, Vol. 5, N3, 2001, P.18-22.

80. Bauer S.M., Voronkova E.B. On the deformation of the Lamina Cribrosa under intraocular pressure // Russian Journal of Biomechanics, 2001, Vol. 5, N1, P.73-82.

81. Chaudhuri R.K., Dutta S. Bending of a symmetrically loaded circular plate of nonhomogeneous material // Journ. Math, and Phys. Sci., 1987, Vol. 21, N1, P.81-92.

82. Emery J.D., Landis D., Paton D, Bohiuk M., Caaig J.M. The lamina cribrosa in normal and glaucomatous human eyes // Trans. Ac. Amer. Ophthalmol. Otol., 1974, Vol. 78, N 2, P.290 297.

83. Ethier C.R., Simmons C.A. Introductory Biomechanics, from cells to organisms. Cambridge University Press, 2007.

84. Harrington D.O. The visual fields.St. Louis, 1971

85. Jemlelita G. On kinematical assumptions of refined theories of plates: Asurvey // Trans. ASME. Journ. Appl. Mech. 1990, Vol. 57, N4. P. 1080-1091.

86. Li Z. The general solution for axial symmetrical bending of nonhomogeneous circular plates resting on an elastic foundation // Appl. Math, and Mech. 1991, Vol. 12, N9, P. 813-820.

87. Minckler D.S. Optic nerve damage in glaucoma // Surv. Ophthalmology. 1981; Vol.26, P. 128-136.

88. Quigley H.A., Addicks E.M. Chronic experimental glaucoma in primates. Effect of extended intraocular pressure elevation on optic nerve head and axional transport // Invest. Ophthalmol. Vis. Sci., 1980, N2.

89. Quigley H.A., Addicks E.M. Quantitative Studies of Retinal Nerve Fiber Layer Defects // Arch. Ophthalmol. 1982, Vol. 100, May. P. 807 814.

90. Quigley H.A., Addicks E.M. Regional Differences in the Structure of the Lamina Cribrosa and Their Relation to Glaucomatous Optic Nerve Damage // Arch. Ophthalmol. 1981, Vol. 99, Jan. P. 137- 143.

91. Quigley H.A., Addicks E.M., GreenW.R., Maumenee A.E. Optic Nerve Damage in Human Glaucoma. The Site of Injury and Susceptibility to Damage // Arch. Ophthalmol. 1981, Vol. 99, Apr. P. 635 649.

92. Quigley H.A., Hohman R.M., Addicks E.M., Massof R.W., Green W.R. Morphologic changes in the Lamina Cribrosa correlated with neural loss in open-angle glaucoma // American J. Ophtalmology. 1983, Vol. 95, P. 673-691.

93. Radius R.L., Maumenee A.E. Opticatrophy and glaucomatous cupping // American J. Ophtalmology 1978, Vol. 85, N2, P. 145.

94. Sigal I.A., Flanagan J.G., Tertinegg I., Either C.R. Finite element modeling of optic nerve head biomechanics // Investigative ophthalmology & visual science, 2004, vol.45, N 12, P. 43784387

95. Tovstik,P.E., Tovstik,T.P. On the 2D models of plates and shells including the shear // ZAMM., 2007. Vol.87. N2, P. 160-171.

96. Woo S.L., Kobayashi A.S., Lawrence C., Schlegel W.A. Nonlinear Material Properties of Intact Cornea and Sclera // Exp. Eye Res. 14, P. 29-39.

97. Yan D.B., Coloma F.M., Metheetrairut A., Trope G.E., Heathcote J.G., Ethier C.R. Deformation of the lamina cribrosa by elevated intraocular pressure // British Journal of Ophthalmology. 1994, Vol. 78, P. 643 -648.

98. Yan D.B., Flanagan J.G., Farra T., Trope G.E., Ethier C.R. Study of Regional Deformation of the Optic Nerve Head Using Scanning Laser Tomography // Current Eye Research. 1998, Vol. 17, P. 903 -916.