Модели многослойных оболочек в задачах офтальмологии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

005005678

КАРАМШИНА Людмила Александровна

МОДЕЛИ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК В ЗАДАЧАХ ОФТАЛЬМОЛОГИИ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

- 8 ДЕК 2011

005005678

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор БАУЭР Светлана Михайловна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор МИХАСЕВ Геннадий Иванович (Белорусский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, доцент СЕМЕНОВ Борис Николаевич (Санкт-Петербургский государственный университет)

Ведущая организациия: Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И.Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ)

Защита состоится декабря 2011 г. в часов на заседании со-

вета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9. Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор ' Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время различные модели теории оболочек широко применяются для решения ряда медицинских проблем, в том числе и в задачах офтальмологии. Новые знания в офтальмологии помогают более качественно диагностировать ряд заболеваний и разрабатывать эффективные методы их лечения.

Структурные характеристики глаза требуют использования достаточно сложных математических моделей. На первых этапах строились простейшие модели, во многих задачах оболочка глаза рассматривалась как однородная изотропная сферическая оболочка. В настоящее время для решения большого класса задач механики глаза широкое распространение получили численные методы, такие как метод конечных разностей и другие, что связанно с наличием быстродействующих вычислительных машин. Также для исследования ряда задач используются некоторые пакеты прикладных программ, такие как А^УЯ, АВАС^иБ и другие, основанные на методе конечных элементов. При построении математических моделей валено учитывать особенности сложной структуры глаза, многие элементы которой, с точки зрения механики, являются многослойными оболочками. Слои некоторых оболочек под действием внутреннего давления могут смещаться друг относительно друга; некоторые оболочки состоят из слоев, которые отличаются как по толщине, так и по своим биомеханическим свойствам; слои некоторых структур способны изменять свои биомеханические свойства в течение суток. Данные особенности биологических тканей заметно влияют на общую деформацию оболочек глаза.

В рамках теории многослойных оболочек разработаны подходы, позволяющие учесть анизотропию физико-механических свойств слоев, неоднородность внутреннего строения и повышенную деформируемость слоистых структур глаза.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является построение моделей многослойных оболочек для исследования напряженно-деформированного состояния внешней фиброзной слоистой оболочки глаза и решетчатой пластинки диска зрительного нерва под действием внутриглазного давления, а также исследования влияния учета многослойной структуры роговицы на показатели измерения внутриглазного давления, получаемые ап-планационными тонометрами Гольдмана и Маклакова.

Результаты работы вошли в выполняемую на математико-механическом факультете тему Российского фонда фундаментальных исследований "Модели

механики деформируемого твердого тела в задачах офтальмологии", грант № 09-01-00140-а.

Основные методы исследований. Для достижения поставленной цели использованы некоторые варианты теории тонких оболочек, созданы программы для построения численных решений на базе пакета Maple. Ряд результатов получен с помощью программной системы конечно-элементного анализа ANSYS.

Научная новизна полученных в диссертации результатов:

• Построено решение задачи о деформации решетчатой пластинки диска зрительного нерва как многослойной моментной оболочки вращения с упругими связями между слоями и упругой заделкой на краю, находящейся под действием внутриглазного давления.

• Получены аналитические решения задач о деформации трехслойных изотропных и двухслойных трансверсально-изотропных сферических слоев под действием внутреннего и внешнего давления. Проанализировано влияние упругих свойств склеральной, сосудистой и сетчатой оболочек глаза на общую картину деформации и возможность возникновения разрывов, и как следствие, отслоек более мягких слоев при увеличении внутриглазного давления. Проведено сравнение с результатами, которые получаются на основе теории анизотропных оболочек средней толщины Палия- Спиро.

• С использованием конечно-элементного пакета ANSYS построена математическая модель аппланационных методов измерения внутриглазного давления с учетом многослойности роговицы. Проведен анализ влияния учета многослой-ности роговицы на показания измерений ВГД проводимых тонометрами Гольд-мана и Маклакова (грузом 5 и 10 г) до и после операций по коррекции зрения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математически корректной постановкой задач, использованием строгих аналитических методов, сравнением аналитических и численных результатов, а также согласованностью с экспериментальными клиническими данными.

Научная и практическая ценность. Рассмотрение моментной постановки задачи о деформации многослойной оболочки вращения с упругими связями между слоями позволяет определить "точки перегиба", возникающие при прогибе решетчатой пластинки диска зрительного нерва под действием внутриглазного давления. Рассмотренные задачи о деформации трехслойной изотропной и двухслойной трансверсально-изотропной оболочек могут описывать изменение напряженно-деформированного состояния внешних оболочек глаз-

ного яблока при введении внутриглазных инъекций, а также помогают оценить влияние упругих характеристик склеральной, сосудистой и сетчатой оболочек глаза на возможность возникновения разрывов и отслоек внутренних, более мягких оболочек при повышенном внутриглазном давлении. Сравнение решения, полученного в рамках трехмерной теории упругости, с решениями на основе теории анизотропных оболочек Палия-Спиро, позволяет оценить насколько точно теория Палия-Спиро может описывать решения задачи, и применима, например, для оболочек эллипсоидальной формы (глаза с миопией и гиперметро-пией). Математическая модель измерения аипланационных методов измерения внутриглазного давления показала существенное влияние учета многослойно-сти роговицы на показания измерений, проводимых тонометрами Маклакова и Гольдмана, что важно учитывать при диагностике различных заболеваний глаза.

Апробация работы. Результаты обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ, на международной научной конференции по механике "Пятые Поля-ховские чтения" (Санкт-Петербург, 2009), на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной, среды" (Санкт-Петербург, 2010), на 24-ом семинаре Северных стран по компьютерной механике (3 - 4.11.2011, Хельсинки, Финляндия).

Список публикаций. По материалам диссертации опубликовано 5 работ, в том числе три работы [1] - [3] опубликованы в журналах, входящих в перечень рецензируемых журналов и изданий.

Результаты, выносимые на защиту:

1. В рамках модифицированной геометрической гипотезы Кирхгофа (Черных К. Ф., 1980: материальное волокно, нормальное к материальной срединной поверхности до деформации, остается нормальной к ней и после деформации, удлиняясь по линейному закону), проведен анализ напряженно-деформированного состояния моментной многослойной оболочки вращения с упругими связями между слоями под действием нормального давления. В явном виде получена полная разрешающая система 8п + 3 дифференциальных уравнений для симметрично деформируемой оболочки вращения, состоящей из п слоев. Численные результаты позволяют определить "точки перегиба" , возникающие под действием нормального давления, а также форму прогиба решетчатой пластинки диска зрительного нерва, согласующуюся с экспериментальными данными.

2. На основе трехмерной теории упругости в виде явных формул для напряжений и перемещений представлено решение задач о деформации трехслойной изотропной и двухслойной трансверсально-изотропной сферических оболочек под действием нормального давления. В явном виде получены соотношения для давлений, действующих в зоне контакта слоев.

3. Проведен анализ влияния механических свойств основных слоев оболочек на общую картину деформации слоистой корнеосклеральной оболочки глаза при увеличении внутриглазного давления.

4. В прикладном пакете А^УЭ рассмотрена контактная задача о напряженно-деформированном состоянии сопряженных многослойных по толщине трансверсально-изотропных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления, при механическом воздействии на роговую оболочку глаза тонометрами Маклакова и Гольдмана.

5. Проведена оценка влияния учета многослойности роговицы на размеры площадки контакта тонометров и роговицы, распределение контактных напряжений и общую картину деформации до и после рефракционных операций.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 95 наименований. Число иллюстраций равно 61. Общий объем работы 101 страниц.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, приводится краткая история развития теории многослойных оболочек, дается обзор литературы, формулируются цели и задачи работы.

Первая глава посвящена изучению напряжено-деформированного состояния решетчатой мембраны диска зрительного нерва в рамках двумерной теории оболочек.

В работе офтальмологов (Нестеров А.Г., Егоров Е.А., 1981) отмечается, что решетчатая пластинка состоит из нескольких параллельно расположенных листов плотной соединительной ткани, имеющих отверстия круглой или овальной формы через которые проходят пучки нервных волокон. Было высказано предположение о том, что ущемление нервных волокон в отверстиях решетчатой пластины происходит из-за вызванного повышенным внутриглазным давлением смещения составляющих ее пластин друг относительно друга. В связи с этим в работе Бауэр С. М., Товсгик П. Е., Зимин Б. А. (2000) рассматривались большие осесимметричные деформации тонкой безмоментной многослойной оболочки вращения в форме купола с упругими связями между слоями. Было получено, что наиболее сильные относительные смещения происходят на уровне

последнего слоя, причем эти смещения увеличиваются к краю пластины. Однако в работах офтальмологов отмечается, что при увеличении внутриглазного давления появляется "точка перегиба" и форма прогиба решетчатой пластинки принимает вид, показанный на рис. 1.

Рис. 1. Схема решетчатой пластинки диска зрительного нерва (Yan D. Г!, et al., 1998.)

Модель безмоментной оболочки не позволяет определить "точку перегиба" — точку, в которой, производная от нормального прогиба по радиальной координате имеет максимальное значение, поэтому была рассмотрена иомент-ная постановка задачи.

Предполагается, что слои могут проскальзывать друг относительно друга. Пусть sk, к = 1,... ,п, указывающие дуговую координату точки So к-го слоя после деформации. Имеют место соотношения

А! = £, Aj = -, Гк = фк), к — 1,2,... га,

as о г0

где \¡ и Хк — кратности удлинения срединной поверхности к-го слоя в меридиональном и окружном направлениях.

Предполагается, что касательные напряжения являются заданными функциями относительного смещения слоев, нормальные напряжения определяются нагрузками, действующими на оболочку в целом.

qk; = ak(sk+l-sk)(rk-r*).

Давления, действующие в зоне контакта слоев (jg, к — 2, ... , п— ^выражаются из общей системы уравнений через заданные значения внутреннего и внешнего давления pi и рп.

Усилия в меридиональном и окружном направлениях Тк и T¡ являются заданными функциями кратности удлинения слоев зависящими от упругих свойств слоев, а моменты Мк и Мк — заданными функциями кривизн:

7? = 7? (во, A{, A*), Mf = Mf (so,«{,

'7* = 7?(s0, AJ, Aj), M2* = Aíí (so,«{, #sg).

Исходя из описания структуры решетчатой пластинки, последний "наружный" слой моделируется более мощным и плотным с более жесткими граничными условиями на краю пластинки: c¡\ < Ск при к < N.

Получена разрешающая система 8п+3 дифференциальных уравнений в безразмерном виде Для симметрично деформированной оболочки вращения относительно следующих переменных

У*(*>) Uk(sо) _ % , _ Mí(sо)

Ук = Е hk > 2/n+k ~ Е hk ' У2п+к~ *2(s0), УЗп+к - £ r,, Р*,-х P«fe(so) rfc(s0) ^(So)

2/4n+fc = v (s0;, ?/5n+fc = -—, Увп+к- -~> z/7n+fc ~ , ,

r0 "o "o

ro(so) z0(s0) \

2/Sn+i = ——, Vsn+2 =-;—i Увп+З — <fo(So),

ro ro

где §o = So /тд, Гд — радиус крайнего слоя пластинки; Uk и Vk — проекции внутренних усилий соответственно на осевое и перпендикулярное к нему направления.

На краю оболочки задаются условия упругой заделки слоев

. Тк = ck(sk - s0), tpk = <ро, при го = rj. :

Расчеты проводились для трехслойных и двухслойных оболочек при различных упругих параметрах c¡¡ и Ок- На рис. 2 приведены в безразмерном виде результаты расчетов для двухслойной решетчатой пластинки радиуса г = 1.0 мм и толщиной 0.2 мм под действием внутриглазного давления 30 мм рт. ст. При этом толщина внутреннего слоя h\ составляет 0.08 мм, толщина внешнего слоя h2 — 0.12 мм, ак = 1, cx¡Ev = 0.067, с2/Ер = 0.063 при Ер = 1.43 МПа, v = 0.45.

На рис. 2 сплошной линией показана форма прогиба решетчатой пластинки до деформации, пунктирными линиями обозначены формы прогиба внутреннего более тонкого и внешнего более плотного слоев после деформации.

В табл. 1 приведены безразмерные значения изгибающих моментов М\, углов <р' и кратностей удлинения AJ, г = 1,2 после деформации. Численные расчеты показали, что в точках s0 = 0.80 и so = 0.85 моменты меняют знак и углы достигают максимального значения, поэтому данные точки можно считать "точками перегиба".

Рис. 2. Прогиб деформированной решетчатой пластинки толщиной к = 0.2 при внутриглазном давлении 30 мм рт. ст.

Таблица 1. Безразмерные значения изгибающих моментов и углов

во V1 V2 Уо А* М{ м,2

0.7 0.3515 0.3162 0.0642 1.015 1.008 0.00038 0.00052

0.8 0.4128 0.3389 0.0733 1.008 1.004 0.00026 0.00005

0.81 0.4167 0.3385 0.07425 1.007 1.003 0.00022 -0.00003

0.85 0.4241 0.3296 0.07792 1.004 1.002 0.00002 -0.0004

0.86 0.4230 0.3251 0.07883 1.004 1.001 -0.00005 -0.0005

С увеличением давления "точки перегиба" смещаются к краю решетчатой пластинки. Для оболочек с более жесткими характеристиками (за счет большей толщины или при больших значения модуля Юнга) "точки перегиба" возникают ближе к центру решетчатой пластинки. Внешний слой решетчатой пластинки диска зрительного нерва является более жестким км > Ь.к, к < N, поэтому наиболее сильные относительные смещения слоев происходят на уровне внешнего слоя, что согласуется с экспериментальными данными.

Во второй главе строятся аналитические решения задач о деформации сферических трехслойной изотропной и двухслойной трансверсально-изотропной оболочек под действием внутреннего и внешнего давления. Для каждого из слоев решается задача Ламе — определения напряженно-деформированного состояния сферического слоя по трехмерной теории упругости в сферических координатах.

Предполагается, что имеет место жесткий контакт слоев, условия контакта имеют вид

< = С < = < ПРИ Р = Ъ+ь г = 2,..., (п — 1).

Построение математических моделей, описывающих напряженно-деформированное состояние глазного яблока под действием внутреннего и внешнего давления, проводится с учетом различных значений толщины и упругих свойств его внешних оболочек, а также с учетом возможности сосудистой оболочки изменять свои биомеханические свойства.

Из граничных условий по перемещениям иг = иг+1 (при р = Щ) определяются величины давления, действующего в зоне контакта слоев.

Расчеты для оболочки, состоящей из трех слоев с различными упругими свойствам, показывают существенное изменение напряженно-деформированного состояния глаза, по сравнению с расчетами, проведенными для однородной оболочки с осредненными значениями упругих коэффициентов. Для многослойной оболочки с различными упругими свойствами на графиках для перемещений иг(р), г = 1,2,3 и нормальных напряжений агрр{р) появляются изломы в точках р = [Я2,Дз], соответствующих границам контакта слоев. На графиках для окружных напряжений а1в{р) на поверхностях контакта возникают разрывы. При увеличении внутриглазного давления наблюдается увеличение изломов на графиках для перемещений и нормальных напряжений, и разрывов на графике для окружных напряжений. Последнее позволяет говорить о возможности возшжновения разрывов, и как следствие, отслоек внутренних, более мягких оболочек глаза (сосудистой и сетчатой) при повышении внутриглазного давления.

На рис. 3-4 приведены зависимости перемещений и напряжений для внешней оболочки глаза состоящей из внутренней сетчатой р = [11.0; 11.1], средней сосудистой р = [11.1; 11.4] и внешней склеральной р = [11.4; 12.0] оболочек с различными упругими свойствами для внутриглазного давления 15, 25, 35 мм рт. ст., при упругих коэффициентах: /у = 17.4 МПа, Е2 = 0.2 МПа, Е^ = 0.02 МПа, где Ех — модуль Юнга сетчатки, Е2 — хориоидеи, а Е3 — модуль Юнга склеры.

Изменение упругих коэффициентов средней сосудистой оболочки глаза в наибольшей степени сказывается на перемещешшх иг(р), г = 1,2,3. При более низких значениях модуля Юнга для сосудистой оболочки наблюдаются большие перемещения и более сильные истончения хориоидеи и сетчатки. Сильные истончения тканей также могут приводит к возшжновению разрывов и отслоек.

Расчеты для двухслойной сферической оболочки, состоящей из двух

0.020" 0.0160.012-

o.oos-

p>=35 ммрт. ст. p;=25 мм рт. ст. p:=15 мм рт. ст.

11.0

-3.0-4.0-

Mp),

/ A pi=15 мм рт. ст.

/V

----/ .' ^ pi=25 мм рт. ст.

ммрт. ст.

КПа

Рис. 3. Зависимости для перемещений (слева) и нормальных напряжений (справа) ство(р), КПа

40.0-

30.020.010.00.0

т

pi=35 мм рт. ст.

/~г------

/ I

/ pi=25 мм рт. ст.

/ 1 .

/ Г7

I / /

/ / pi=15 ммрт.ст.

/ / / __

Рис. 4. Зависимости для тангенциальных напряжений

трансверсально-изотропных слоев с различными упругими свойствами, показали, что чем больше разность упругих коэффициентов оболочек в тангенциальном направлении материала и в направлении, перпендикулярном к срединной поверхности, тем сильнее возникают изломы перемещений и напряжений на поверхности контакта.

Рассчеты проводились при Е, = 0.5 МПа, Е\ = /щ, vy == 0.45 , v\ — z^/ni, £2 = 5.0МПа , £2 = Е2/п2 , v2 = 0.45 ,v2 = v2/n2, где EuE'i,vi,ui - упругие коэффициенты внутренней мягкой сосудистой оболочки, Е2, Е'2, и2, i/2 — упругие коэффициенты внешней, более жесткой склеральной оболочки.

На рис. 5 приведены зависимости перемещений и напряжений для внутренней сосудистой и внешней склеральной оболочек глаза при щ = 2.5, п2 = 10. Пунктирными линиями обозначены соответствующие перемещешш и напряжения оболочек для случая щ = п2 = 1 при тех же значениях внутреннего давления глаза.

Известно, что классическая теория оболочек приводит в исходных уравнениях к погрешности порядка h/R по сравнению с единицей, а биологические

0.04 -

0.06

0.05-

0.03-

и(р), мм

р|=25 мм рг. (П.

-1.С

-2.С

-4.(

-3.(

11.1

11.5

12.0 р,ММ

Орр(р), КПа

Рис. 5. Зависимости для перемещений (слева) и нормальных напряжений (справа) внутренней и внешней оболочек глаза.

оболочки иногда обладают достаточно большим отношением толщины к радиусу, и, кроме того, часто обладают большой податливостью на межслоевой сдвиг, поэтому исследование напряженно-деформированного состояния таких оболочек требует введения менее строгих гипотез, чем гипотезы Кирхгофа-Лява. На основе теории анизотропных оболочек средней толщины Палия-Спиро рассматривается задача о деформации сферической оболочки, состоящей из конечного числа трансверсально-изотропных слоев. Величина давления, действующего в зоне контакта слоев, определяется методом, предложенным Палием О. М. Проведенные расчеты показали, что теория Палия-Спиро позволяет получить достаточно точные результаты для оценки величины давления, действующего в зоне контакта слоев, число которых в биологических оболочках может варьироваться в широких пределах.

Сравнение решения, полученного в рамках трехмерной теории упругости, с решениями на основе теории анизотропных оболочек показывает, что теория анизотропных оболочек Палия-Спиро достаточно точно описывает решение задачи, и применима, например, для оболочек эллипсоидальной формы (глаза с миопией и гиперметропией).

В третьей главе представлено конечно-элементное моделирование аппла-национных методов измерения внутриглазного давления в программном пакете Ашув с учетом многослойной структуры роговицы.

При апплатационном методе измерения внутриглазного давления роговица деформируется грузом с плоским основанием. Давление, возникающее под грузом тонометра в процессе измерения внутриглазного давления, называется "тонометрическим". По диаметру образованной зоны контакта (метод Макла-

кова) или по величине нагрузки при заданной зоне контакта груза и роговицы (метод Гольдмана) определяют истинное (до нагружения) внутриглазное давление с помощью специальных таблиц, которые прилагаются к приборам.

Корнеосклеральная оболочка глаза моделируется сопряженными сферическими сегментами с разными диаметрами и разными упругими свойствами (см. рис. 6). Роговица моделируется сегментом меньшего радиуса, который разбивается на четыре слоя: первый (внешний) слой отвечает биомеханическим свойствам эпителия, второй — боуменовой оболочки, третий — стромы, четвертый (внутренний) слой — свойствам десцементовой оболочки (см. рис. 7). Склера моделируется однородным сегментом большего радиуса. Исследуется зависимость диаметра площади контакта груза и роговицы (или нагрузки при заданной зоне контакта) от упругих свойств ее слоев и сопряженной с ней склеры при одном и том же внутриглазном давлении. Полученные результаты сравниваются с результатами, полученными при таком же истинном давлении, но для однородной по толщине роговицы с осредненным значением упругих свойств составляющих ее слоев.

Рис.6. Рис. 7.

При построении конечно-элементной модели рассматривается осесиммет-ричная задача. В силу симметрии выполняется двумерное моделирование (2В) с использованием в качестве конечного элемента РЬАКЕ82.

На рис. 8-11 представлены распределения контактных напряжений при измерении ВГД тонометрами Гольдмана и Маклакова (10 г) для корнеосклераль-ной оболочки, у которой модули упругости каждого слоя роговицы в направлении толщины оболочки в 20 раз меньше тангенциальных модулей, модули роговицы на порядок меньше, чем модули склеры: = 0.043 мм, = 0.012 мм, к3 = 0.5 ым,Ы = 0.01 мм,/г5 = 0.6 мм, Е1 = 0.06 МПа,Е2 = 0.6 МПа, Е3 = 0.03 МПа, Е4 = 0.09 МПа, Еъ = 5.0 МПа, Е[/Ег = 0.05 МПа. Истинное внутреннее давление на представленных рисунках 15 ш Щ.

На поверхности изотропии коэффициенты Пуассона роговицы и склеры принимались щ = 0.499, г = 1,— ,5, а в направлении толщины, в виду отсутствия экспериментальных данных, накладывались только ограничения, справедливые для трансверсально-изотропного тела, и принимались равными = 0.01. Значения для коэффициентов сдвига Сг = 0.9, С{ = 0.1, г = 1,..., 5.

Рис. 8. Распределение контактных напря- Рис. 9. Распределение контактных на-

жений при измерении ВГД тонометром пряжений при измерении ВРД тономет-

Маклакова (груз 10 г) для случая мно- ром Маклакова (груз 10 г) для случая

гослойной по толщине роговицы Е[/Ег = однородной по толщине роговицы Е =

0.05, г = 1,..., 4 . 0.3 МПа и Е'/Е = 0.05.

Рис. 10. Распределение контактных на- Рис. 11. Распределение контактных напряжений при измерении ВГД тономет- пряжений при измерении ВГД тонометром Гольдмана для случая многослойной ром Гольдмана для случая однородной по по толщине роговицы Е[/Ег — 0.05, г = толщине роговицы Е = 0.3 МПа и Е'/Е = 1,..., 4. 0.05.

Сравнение результатов, полученных для тонометра Маклакова (груз 10 г) для многослойной роговицы, с результатами, полученными для однородной роговицы, но с осредненными значениями упругих параметров составляющих ее слоев, показало, что зона контакта в первом случае больше, т.е. величина то-нометрического давления меньше. Аналогичные результаты получаются для тонометра Гольдмана. В этом случае зоны контакты имеют фиксированное значение 3.06 мм, но величина силы, необходимой для деформации многослойной роговицы с неоднородными по толщине упругими свойствами, меньше, чем величина силы, необходимой для деформации однородной роговицы с "осредненными" упругими свойствами. Таким образом, учет неоднородности по толщине упругих свойств основных слоев роговицы делает более близкими значения то-нометрического и истинного внутриглазного давления. :

Расчеты, проведенные с учетом многослойности роговицы, также как и исследования Бауэр С. М., Качанова А. Б. и др. (2007) показали, что чем меньше зона контакта груза и оболочки, тем больше доля усилий, идущих на изгибные деформации. В результате моделирования измерения ВГД тонометром Маклакова, особенно грузом 10 г, отмечается значительное увеличение зоны контакта и влияние склеральной оболочки на процесс деформирования. Так как при измерении ВГД тонометром Гольдмана диаметр зоны контакта 3.06 мм, а при измерении тонометром Маклакова (5 и 10 г) при "средних" давлениях (от 10 до 30 мм рт. ст.) диаметр зоны контакта больше, то показатели ВГД при измерении тонометром Гольдмана оказываются существенно более чувствительными к изменению толщины роговицы, чем показатели ВГД при измерении тонометром Маклакова. Также влияние толщины роговицы на показатели ВГД при измерении тонометром Маклакова весом 5 г больше, чем на показатели ВГД при измерении тонометром 10 г, что согласуется и с экспериментальными данными.

Результаты расчетов показывают, что после операций по коррекции зрения уменьшается изгибная жесткость роговицы, и, как следствие, уменьшаются показатели ВГД, полученные тонометром Гольдмана и тонометром Маклакова. При этом, изменение показателей ВГД по Маклакову незначительны. Изменение показателей ВГД по Гольдману после операций по коррекции зрения существенно зависят от глубины воздействия лазера (абляции). При измерении ВГД по Маклакову и по Гольдману существенно меняется картина распределения контактных напряжений.

Кроме того, результаты расчетов при разных модулях упругости показали, что на деформации оболочек, а значит и па показатели ВГД, наиболее суще-

ственное влияние оказывает модуль сдвига в плоскости, перпендикулярной к поверхности, а этот модуль в трансверсально-изотропной оболочке не зависит от тангенциального модуля упругости. Для роговицы, состоящей из нескольких слоев, этот модуль характеризует связь этих слоев, и известно, что этот модуль имеет малое значение.

Для многослойной оболочки с различными упругими свойствами тангенциальные напряжения, действующие в плоскости перпендикулярной к поверхности изотропии, получаются на порядок выше, чем для роговицы с осред-ненными значениями упругих коэффициентов. Для более жесткой роговицы, у которой модуль упругости в направлении толщины в 20 раз меньше чем модуль упругости в плоскости изотропии = 0.05, значения касательных напря-

жений также оказываются выше, чем для более мягкой роговицы, у которой

Е[/Е1 = 0.01.

В заключении представлены результаты выносимые на защиту.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Золотухина Л. А. (Карамшина). О деформации многослойной решетчатой пластинки диска зрительного нерва // Российский журнал биомеханики, № 4 (42), 2008. С. 40 - 46.

2. Карамшина Л. А. О деформации двухслойной трансверсально-изотропной сферической оболочки // Вести. С.-Петербург, ун-та, Сер. 1. Вып. 2. 2011. С. 133 - 138.

3. Карамшина Л. А. Механические модели аппланационной тонометрии с учетом многослойности роговицы // Российский журнал биомеханики, № 3, 2011. С. 37 - 44.

4. Золотухина Л. А. (Карамшина). К построению математической модели глаукомы // Международная научная конференция по механике "Пятые поля-ховские чтения", 3 - 6.02.2009, Санкт-Петербург, Россия, Тезисы докладов. 2009. С. 209.

5. Карамшина Л. А. О деформации трехслойной изотропной сферической оболочки // Труды семинар "Компьютерные методы в механике сплошного тела" за 2010 - 2011. Издательство СПбГУ. 2011. С. 15 - 26.

Отпечатано в ООО "АРКУШ", Санкт-Петербург, Каменноостровский пр. 10, лит. Б ИНН 7825442972 / КПП 781301001 Подписано в печать 09.11.2011 г. усл. печ. л. 1.0 заказ №0911/1 от 09.11.2011 г., тир. 100 экз.

Введение

Глава 1. Модель решетчатой пластинки диска зрительного нерва

1.1 О математической модели глаукомы

1.2 Основные предположения общей теории тонких упругих оболочек

1.3 Напряженно-деформированное состояние многослойной оболочки вращения с упругими связями между слоями.

1.4 Расчет напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки диска зрительного нерва

Глава 2. Деформация многослойных сферических оболочек

2.1 О деформации трехслойной изотропной сферической оболочки

2.2 О деформации двухслойной трансверсально - изотропной сферической оболочки.

2.3 О деформации многослойной трансверсально - изотропной сферической оболочки по теории Палия-Спиро.

Глава 3. Механические модели аппланационной тонометрии с учетом многослойности роговицы

3.1 Методы измерения внутриглазного давления

3.2 Конечно-элементная модель сопряженных трансверсально - изотропных оболочек.

3.3 Измерение внутриглазного давления методами Маклакова и Гольдмана после операции по коррекции зрения

Актуальность темы. В последнее время различные теории оболочек широко применяются для решения ряда медицинских проблем, в том числе и в задачах офтальмологии. Новые знания в офтальмологии помогают более качественно диагностировать ряд заболеваний и разрабатывать эффективные методы их лечения.

Структурно-функциональные характеристики человеческого глаза требуют использования достаточно сложных математических моделей. На первых этапах строились простейшие модели, во вногих задачах оболочка глаза рассматривалась как однородная изотропная сферическая оболочка [8]. В настоящее время для решения большого класса задач по механике глаза широкое распространение получили численные методы, такие как метод конечных разностей и другие, что связанно с наличием быстродействующих вычислительных машин. Также для исследования ряда задач используются некоторые пакеты прикладных программ, таких как А^'БУЭ, АВАС^иБ и другие, основанные на методе конечных элементов.

Однако для построения более точных моделей важно учитывать особенности сложной структуры глаза, многие элементы которой, с точки зрения механики, являются многослойными оболочками. Слои некоторых оболочек под действием внутреннего давления могут смещаться друг относительно друг. Некоторые оболочки состоят из слоев, которые отличаются как по толщине, так и по своим биомеханическим свойствам, слои некоторых структур способны изменять свои биомеханические свойства в течение суток. Данные особенности биологических тканей заметно влияют на общую деформацию оболочек глаза.

В рамках теории многослойных оболочек разработаны подходы, позволяющие учесть анизотропию механических свойств слоев, неоднородность внутреннего строения и повышенную деформируемость слоистых структур глаза.

К расчету многослойных оболочек

В развитии теории многослойных оболочек можно выделить два основных направления [20]. Первое направление связано с введением для всего пакета слоев единых кинематических и статических гипотез. При этом предполагается выполнение условий жесткого контакта слоев. Преимущество такого подхода заключается в том. что порядок разрешающих уравнений не зависит от числа слоев. В тоже время принятие гипотез для всего пакета в целом не позволяет учитывать взаимодействие слоев и деформации слоев друг относитоельно друга, получать достаточно точные результаты для оболочек, слои которых существенно различаются по своим механическим характеристикам. Второе направление составляют исследования, в которых гипотезы формулируются для каждого слоя отдельно. Разрешающие системы уравнений строятся с учетом выполнения принятых допущений о способах соединения слоев в единый пакет.

Гипотеза прямой линии для всего пакета оболочки в целом использовалась в [43] для трехслойных оболочек симметричного по толщине строения. В работах [55], [60] рассматриваются различные варианты теории пологих слоистых оболочек, основанные на задании единого закона распределения поперечных касательных напряжений для всего пакета оболочки в целом. В работе [68] выполнено сведение трехмерных уравнений теории упругости для слоистых сред к двумерным задачам на основе представления о существовании одного напряженного состояния тонкостенного элемента.

Большое число исследование посвящено трехслойным оболочкам [26], [39], [58]. При этом для внешних (несущих) слоев, как правило, принимаются гипотезы недеформируемых нормалей, а для среднего слоя (заполнителя) в зависимости от его механических параметров используются различные допущения. Так, для жестких заполнителей чаще всего принимается модель прямой линии. В заполнителях, жесткость которых весьма мала по сравнению с жесткостью несущих слоев, пренебрегается тангенциальными напряжениями и деформациями.

В работе Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова [26] впервые в теории слоистых оболочек была сформулирована гипотеза о линейном распределении касательных перемещений по высоте пакета. Принималось, что несущие слои, передающие изгиб и кручение, испытывают конечные прогибы, а заполнитель воспринимает только малый поперечный сдвиг. Гипотеза Кирхгофа-Лява о прямой и нерастяжимой нормали несущих слоев и предположение о прямолинейности нормали в заполнителе удовлетворяют принятому линейному закону распределения касательных перемещений по толщине оболочки. Одновременно для случая изотропных несущих слоев дана система двух нелинейных уравнений, найденных при условии, что срединные поверхности несущих слоев присоединены к крайним поверхностям заполнителя.

В работах С. А. Абарцумяна [3],[4] методом гипотез построены различные теории анизотропных оболочек. Во всех случаях используются обобщенный закон Гука, т.е уравнения, описывающие анизотропное тело, которое в каждой точке имеет лить одно главное направление упругости. Построение теорий анизотропных слоистых оболочек основывается на принятии гипотез недеформируемых нормалей для всего пакета в целом. По деформациям удлинения и сдвига, а также параметрам, характеризующим изменение кривизны и кручение срединной поверхности оболочки, определяются деформации и перемещения любого слоя оболочки. При этом все характеристики деформации и перемещения каждого слоя получаются из перемещений срединной поверхности некой приведенной однородной анизотропной оболочки.

Уточненная теория С. А. Абарцумяна основывается на гипотезах, предложенных в 1943 году В. В. Новожиловым [53]: касательные напряжения в плоскостях, перпендикулярных к срединной поверхности оболочки, изменяются по ее толщине по квадратичному закону; нормальное к срединной поверхности оболочки перемещение не меняется по толщине оболочки; нормальными напряжениями на поверхностях, параллельных срединной, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями. На основании классической и уточненных теорий в [4] рассматриваются задачи свободных колебаний, статической и динамической устойчивости, удара и флаттера анизотропных слоистых оболочек.

В дальнейшем разработки по трехслойным оболочкам дополнялись учетом различных факторов, таких, например, как переменность толщины слоев, различие их метрики, обжатие заполнителя и др. В монографии |2| рассматриваются трехслойные оболочки с многослойными обшивками, которые в виду их малой относительной толщины и незначительного различия механических свойств рассматриваются как тонкие оболочки, следующие гипотезе недеформируемых нормалей. Для заполнителя используется гипотеза прямой линии.

Теория трехслойных оболочек послужила основой для развития теорий оболочек из композиционных материалов [10], [67]. Для каждого слоя в соответствии с его механическими характеристиками используются определенные предположения, например, допущения классической теории, теории прямой линии; безмоментной теории оболочек и др. В общем случае получается разрешающая система уравнений высокого порядка. При большом числе слоев на основе принципа энергетической континуализа-ции осуществляется предельный переход, дающий возможность получить основные соотношения уточненной теории, которую можно рассматривать как промежуточную между теорией, основанной на введении гипотез для всего пакета оболочки в целом, и трехмерной теорией упругости.

В общей теории армированных сред В. В. Болотина [10] предполагается, что число элементарных слоев достаточно велико, жесткость армирующего материала значительно превышает жесткость связующего и армированный материал путем ряда операций можно заменить некоторым квазиоднородным анизотропным. Совокупность операций, приводящих к уравнениям для эквивалентной квазиоднородной среды, названа В. В. Бо-лотиным "принципом размазывания".

Широкое распространение при решении ряда прикладных задач прочности и динамики оболочечных конструкций получила теория Тимошенко [67]. В теории Тимошенко принимаются следующие допущения: прямолинейные волокна, нормальные к срединной поверхности оболочки, после деформации сохраняют свою длину и остаются прямолинейными, но не перпендикулярными к деформированной срединной поверхности (в отличие от классической теории), а поворачивается на некоторый угол; нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверхности, можно пренебречь по сравнению с аналогичными напряжениями на площадках, перпендикулярных к срединной поверхности. Изменение размеров оболочки в процессе деформации в направлении нормали к срединной поверхности не учитываются.

Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошенко развиты в работах [12], [40], [41].

Многослойные изотропные и ортотропные оболочки по сдвиговой модели типа Тимошенко обсуждались в работах [29], [59] и др.

В работе [65] строится вариант уточненной теория многослойных оболочек средней толщины, в которой учитывается влияние поперечного сдвига и деформации слоев в трансверсальном направлении, при этом считается, что слои имеют переменную толщину, поверхности контакта которых в общем случае не являются эквидистантными. Предполагается, что слои выполнены из ортотропных материалов, одна из плоскостей упругой симметрии которых в каждой точке касается поверхности, эквидистантной координатной. Считается, что слои оболочки жестко связаны между собой и работают совместно без скольжения и отрыва. Учитывая значительную изгибную жесткость многослойного пакета рассчитываемых конструкций и упругие свойства применяемых в них материалов, построение расчетной модели производится в рамках линейной теории упругости.

Простейший вариант геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек конечной сдвиговой жесткости разработан в работах [22], [23], [42].

В большинстве работ, посвященных исследованию напряженно- деформированного состояния слоистых структур, рассматриваются модели, в которых полагается, что контакт между смежными слоями является идеально жестким, и компоненты вектора перемещений остаются непрерывными по толщине. Однако в ряде случаев представляет интерес ослабленный контакт слоев. В работе [11] изучаются малые осесимметричные деформации оболочек вращения из слоистого материала при наличии упругого проскальзывания по поверхности контакта между слоями. Расчет проведен для двуслойной цилиндрической оболочки. В монографии [27] рассмотрен ряд задач о деформировании цилиндрических и сферических оболочек при идеальном проскальзывании слоев. В работе |21| анализируются различные модели деформирования слоистых оболочек с различными условиями контакта слоев, а также рассмотрены различные модели расслоений - одного из наиболее распространенных дефектов в конструкциях из слоистых материалов.

Новая уточненная итерационная теория деформаций анизотропных оболочек, удобная для разработки алгоритмов численных решений краевых задач, представлена в монографии В. А. Родионовой, Б.Ф.Титаева, К. Ф. Черныха [61]. Предложенная теория позволяет построить модель деформации оболочек, учитывающую поперечные сдвиги, поперечные нормальные напряжения, повороты волокон, а также изменение их длины.

Широкое применение получила теория А. Т. Василенко и Я. М. Гри-горенко. Их модель учитывает неоднородность деформации поперечного сдвига, обусловленную различием коэффициентов упругости материалов слоев. В работе [28] были представлены подходы к решению задач статики оболочек из анизотропных неоднородных материалов в линейной и геометрически нелинейной постановках при неравномерных силовых и температурных воздействиях. Оболочки рассматриваются как в рамках допущений классической теории недеформируемых нормалей, так и на основе уточненных моделей, учитывающих поперечные сдвиги и обжатие.

В монографии Э. И. Григолюка и Г.М.Куликова [24] изложены основные соотношения квадратичной нелинейной теории анизотропных оболочек.

В работе [25] приведены квадратичные варианты уравнений нелинейной теории непологих многослойных анизотропных оболочек произвольного вида. Соотношения между усилиями, моментами и деформациями, а также уравнения равновесия и соответствующие им граничные условия представлены в принятой в линейной теории оболочек форме, но относительно нелинейных величин. При этом для всего пакета слоев выполняется гипотеза Тимошенко.

Большой вклад в развитие механики многослойных резиноармирован-ных конструкций вносит монография [46]. В ней предложен новый подход, основанный на двумерных моделях деформации эластомерных и армирующих слоев, поскольку они являются тонкими. В результате синтеза этих моделей создана дискретная теория композитных эластомерных конструкций. где деформация каждого слоя описывается своими уравнениями, а порядок общей системы уравнений пакета зависит от числа слоев. Для вывода определяющих уравнений деформации резиновых и армирующих слоев и конструкций в целом последовательно применяются асимптотические методы, использующие малую толщину слоев, при этом общая толщина пакета не предполагается малой. Существенное внимание в работе уделено созданию теории эластомерного слоя. Кроме малого геометрического параметра при построении асимптотических разложений учитывается второй малый параметр, содержащийся в уравнениях упругости, отношение модулей сдвига и объемного сжатия резины. Теория эластомерного слоя имеет компактную форму записи, решение краевых задач сводится к интегрированию обобщенного уравнения Гельмгольца для функций относительного приращения объема. Эта теория позволяет решать задачи статики, термоунругости, динамики, вязкоупругости и диссипативного разогрева для тела постоянной и переменной толщины из однородного и неоднородного материала. Учитывается зависимость модулей упругости от температуры и инвариантов тензора деформации или напряжений. Аналогичная теория слоя получена для физически и геометрически нелинейных задач упругости при умеренных деформациях. Основным результатом монографии [46] является создание общей теории слоистых эласто-мерных конструкций и разработка численных методов решения краевых задач с помощью ЭВМ.

К построению математических моделей в офтальмологии

Глаз человека представляет собой сложную биомеханическую структуру (см. рис. 1), в состав которой входит большое количество многослойных элементов, различных по своей структуре и механическим свойствам.

Рис. 1. Структура глаза человека.

В первом приближении можно считать, что внешняя фиброзная оболочка глаза состоит из трех оболочек: наружной фиброзной, средней сосудистой и внутренней сетчатой оболочек и содержимого (водянистой влаги, хрусталика и стекловидного тела), представляющим собой гель различной вязкости (см. рис. 2). С точки зрения механики, фиброзную оболочку можно рассматривать как упругую замкнутую слоистую оболочку, находящуюся под действием внутриглазного давления (ВГД) и экстраокулярных мышц.

Рис. 2. Саггитальный разрез глазного яблока.

Наружная — очень плотная фиброзная оболочка глазного яблока выполняет защитную функцию и обусловливает форму глаза. Фиброзная оболочка глаза обеспечивает сохранение формы и величины глазного яблока даже при значительных изменениях внутриглазного давления. Она состоит из передней прозрачной части — роговицы, и задней непрозрачной части — склеры.

Склера и роговица представляют собой две сопряженных оболочки с различными радиусами кривизны и различными биомеханическими свойствами. дссцсмснтова мембрана эпителии боумснова мембрана строма эндотслсй

Рис. 3. Многослойная структура роговицы.

В роговице выделяют пять основных слоев [31]. которые различаются как но толщине, так и но своей структуре, а, следовательно, обладают различными биомеханическими и упругим свойствам (см. рис. 3): передний эпителий, передняя пограничная мембрана (боумепова оболочка), основное вещество роговицы, или строма, задняя пограничная мембрана (дес-цеметова оболочка), задний эпителий, или эндотелий роговицы [64].

Эпителий представляет собой наружных слой роговой оболочки глаза, состоящий из нескольких слоев эпителиальных клеток: от пяти слоев в центральной зоне до десяти слоев на периферии. Толщина эпителия составляет примерно 10 % от всей толщины роговицы. Эпителий роговицы уникален своей прозрачностью и отсутствием кровеносных сосудов.

Передняя пограничная мембрана роговицы (боумепова мембрана, боумснова оболочка) представляет собой плотный слой, отделяющий строму от переднего эпителия роговой оболочки глаза. У взрослого человека толщина этого слоя составляет 8-12 мкм. Боуменова мембрана не содержит клеток и состоит из переплетённых коллагеиовых фибрилл и связанных с ними протеогликанов.

Основное вещество роговицы, или строма роговицы — прозрачный слой, составляющий примерно 90 % роговой оболочки глаза. Строма сформирована параллельно расположенными (на расстоянии 20 - 40 нм друг от друга) коллагеновыми фибриллами, а также связующим веществом.

Фибриллы, действующие как нагруженные опорные элементы, уложены, в свою очередь, в переплетающиеся пластины (ламеллы) [71, 73, 90] (см. рис. 4). Тем самым, напряженно-деформированное состояние ткани роговицы определяется, прежде всего, механическими свойствами самих волокнистых структур, их особой архитектоникой, внутри- и межмолекулярными связями, а также биохимическим составом (70, 83, 85|.

Рис. 4. Коллагеновые ламеллы в роговице.

Десцеметова оболочка, или задняя пограничная мембрана (10 -12 мкм), представляет собой промежуточный слой между стромой и эндотелием роговицы. Эта мембрана очень прочна и способна к растяжению, так как помимо коллагеновых, содержит эластиновые волокна.

Эндотелий роговицы, задний эпителий роговицы — монослой специализированных плоских клеток, выстилающих заднюю поверхность роговицы и входящих в соприкосновение с содержимым передней камеры глаза. Толщина этого слоя составляет в среднем 10 мкм.

Многослойность и неоднородность структуры роговицы важно учитывать в задачах тонометрии, в которых деформация роговицы и сопряженной с ней склеры существенно влияют на показания измерений внутриглазного давления.

Склера занимает 93 % всей фиброзной оболочки глаза человека, поэтому в задачах, связанных с определением формы глазного яблока, а также с изменением объема глазного яблока под действием внутреннего давления, биомеханические свойства склеры играют решающую роль. В таких задачах роговица часто не включается в модель, а оболочка глаза рассматривается как сферическая, состоящая целиком из склеры [8].

Внутренние оболочки глаза (сосудистая оболочка и сетчатка) покрывают только задний отдел глазного яблока.

Средняя оболочка глаза богата кровеносными сосудами и состоит из трех частей: собственно сосудистой оболочки, ресничного тела и радужки. Сосудистая оболочка глаза относится к "активным структурам" глаза: изменяя свой объем и жесткость в зависимости от кровенаполнения, она способна изменять свои механические свойства в течение суток |57|. Внутренняя оболочка глаза — сетчатка представляет собой тонкую оболочку, прилежащую па всём своём протяжении с внутренней стороны к стекловидному телу, а с наружной — к сосудистой оболочке глазного яблока.

Сетчатка представляет собой очень сложно организованную структуру. Микроскопически в ней различают 10 слоев (см. рис. 5).

Рис. 5. Микроскопическое строение сетчатки: 1) пигментный эпителий; 2) слой палочек и колбочек; 3) наружная глиальная пограничная мембрана; 4) наружный зернистый слой; 5) наружный сетчатый слой; 6) внутренний зернистый слой; 7) внутренний сетчатый слой; 8) ганглионарный слой: 9) слой нервных волокон; 10) внутренняя глиальная пограничная мембрана.

Сетчатка обеспечивает зрительное восприятие за счет преобразования световой энергии в энергию нервного импульса, передающегося по цеии нейронов (нервных клеток) в кору головного мозга. Сетчатка наиболее прочно связана с подлежащими оболочками глазного яблока по краю диска зрительного нерва и в области зубчатой линии. Толщина сетчатки на разных участках неодинакова: у края диска зрительного нерва она составляет 0.4 - 0.5 мм, в центральной ямке 0.2 - 0.25 мм, в ямочке всего 0.07 -0.08 мм, в области зубчатой линии около 0.1 мм.

В здоровом глазу сосудистая и сетчатая оболочки тесно соприкасаются. Однако при травмах и таких патологиях глаза как близорукость (миопия), дистрофия (истончение) сетчатой оболочки и т.д. возможны разрывы и отделения сетчатой оболочки глаза от сосудистой оболочки. При разрывах сетчатой оболочки глаза, жидкость из стекловидного тела может проникать под сетчатку и отслаивать её от сосудистой оболочки. В работах Ю. Саулгозиса [62] также отмечается изменение биомеханических свойств сосудистой оболочки: при миопии наблюдаются повышение жест-костных характеристик, и понижение устойчивости ткани к растяжению, что также может приводить к отслойкам.

Отслойки склеры и хориоидеи приводят к значительному снижению зрения. Чтобы понять, как различие биомеханических свойств склеральной, сосудистой и сетчатой оболочек влияют на напряженно-деформированное состояние всей внешней оболочки глаза, глазное яблоко можно рассматривать как напряженно-деформированную замкнутую слоистую оболочку, под действием внутриглазного давления.

Недалеко от заднего полюса через склеру из глаза выходит зрительный нерв (см. рис. 6).

Диск зрительного нерва является местом соединения нервных волокон сетчатки и представляет собой начало зрительного нерва, несущего зрительные импульсы в головной мозг. Форма его круглая или несколько овальная, диаметр равен примерно 1.5-2.0 мм. В центре диска зрительного нерва имеется физиологическая экскавация (углубление), где проходят центральная артерия и вена сетчатки.

Рис. 6. Зрительный нерв и решетчатая пластинка диска зрительного нерва.

Участок склеры, через который проходит зрительный нерв, называют решетчатой пластинкой диска зрительного нерва (lamina cribrosa) (см. рис. 7). В области решетчатой пластинки склера имеет истончение и множество мелких отверстий, через которые проходят пучки зрительного нерва. Сама решетчатая пластинка состоит из нескольких слоев плотной соединительной ткани. По одну строну от решетчатой пластинки в межоболочечном пространстве зрительного нерва находится цереброспинальная жидкость, по другую — стекловидное тело глаза. Решетчатая пластика играет важную роль в балансе внутриглазного и внутричерепного давлений (ВГД и ВЧД).

Большая группа глазных заболеваний, характеризующаяся постоянным или периодическим повышением внутриглазного давления с последующим развитием типичных дефектов поля зрения, снижением зрения и атрофией зрительного нерва, носит название глаукомы.

Известно, что атрофия зрительного нерва при глаукоме происходит именно в области решетчатой пластинки диска зрительного нерва в ре

А Sagittol Section

В ONH Sag>Oel Secbon (delai)

С ONH Trwxvarae Secbon (deM) а) б)

Рис. 7. Решетчатая пластинка диска зрительного нерва. зультате ее деформации, если отношение ВГД и ВЧД увеличивается по сравнению с нормальным для конкретного пациента значением [13] -[15],[47].

Как отмечают офтальмологи [17], экскавация диска свидетельствует о переходе гипертензии, то есть повышенного внутриглазного давления, в глаукому часто раньше, чем появляются дефекты в поле зрения. Таким образом, начальные изменения диска зрительного нерва имеют существенные значения для диагностики глаукомы, а определение изменения напряженно-деформированного состояний решетчатой пластинки имеет значение для оценки эффективности проводимой терапии [49]. Все это делает важным изучение напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки диска зрительного нерва при изменении внутриглазного давления.

В работах [75], [81] было высказано предположение, что при повышении внутриглазного давления слои решетчатой пластинки смещаются друг относительно друга, в результате чего происходит ущемление нервных волокон в отверстиях решетчатой пластины. Поэтому задача о напряженно-деформированном состоянии решетчатой пластинки диска зрительного нерва также может быть рассмотрена как задача о деформации слоистой оболочки под действием внутриглазного давления.

Внутриглазное давление (давление во внутриглазной жидкости) определяет многие процессы, протекающие внутри глаза. Отклонение внутриглазного давления от нормального значения часто связано с развитием той или иной патологии зрения. Например, повышенное внутриглазное давление определяет развитие глаукомы; с пониженным давлением связано, например, помутнение водянистой влаги и стекловидного тела, дегенерация сетчатки, изменение формы глаза и связанное с этим нарушение зрения и т.д. Поэтому определение внутриглазного давления имеет большое значение не только в диагностике различных заболеваний, но и при послеоперационной терапии различных офтальмологических заболеваний.

В формулах для калибровки большинства распространенных тонометров использованы средние значения показателей, характеризующих биомеханические свойства глазного яблока, что снижает точность определения ВГД. Во многих работах отмечается, что показания тонометров Ма-клакова и Гольдмана, также как и любого другого тонометра, зависят от толщины, кривизны и структуры роговицы. К тому же различные хирургические операции по коррекции зрения изменяют размеры и структуру роговицы, влияя на точность показаний ВГД. Поэтому при построении математических моделей тонометрии важно учитывать многослойную структуру роговицы и различие биомеханических свойств составляющих ее слоев на точность измерения ВГД до и после хирургических операций.

Основной целью диссертационной работы является построение моделей многослойных оболочек для исследования таких задач, как напряженно-деформированное состояние внешней фиброзной слоистой оболочки глаза и решетчатой пластинки диска зрительного нерва под действием внутриглазного давления, а также исследования влияния много-слойности роговицы на показатели измерения внутриглазного давления, получаемые аппланационными тонометрами Гольдмана и Маклакова.

Полученные в работе результаты докладывались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ, на международной научной конференции по механике "Пятые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург. 2009), на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (Санкт-Петербург, 2010), на 24-ом семинаре Северных стран по компьютерной механике (Хельсинки, 2011).

По материалам диссертации опубликовано 5 работ, в том числе три работы [33],[36], [37] опубликованы в журналах, входящих в перечень рецензируемых журналов и изданий.

Результаты, выносимые на защиту:

1. В рамках модифицированной геометрической гипотезы Кирхгофа (Черных К. Ф., 1980): материальное волокно, нормальное к материальной срединной поверхности до деформации, остается нормальной к ней и после' деформации, удлиняясь по линейному закону, проведен анализ напряженно-деформированного состояния моментной многослойной оболочки вращения с упругими связями между слоями под действием нормального давления. В явном виде получена полная разрешающая система 8п + 3 дифференциальных уравнений для симметрично деформируемой оболочки вращения, состоящей из п слоев. Численные результаты позволяют определить "точки перегиба" , возникающие под действием нормального давления, а также форму прогиба решетчатой пластинки диска зрительного нерва, согласующуюся с экспериментальными данными.

2. На основе трехмерной теории упругости в виде явных формул для напряжений и перемещений представлено решение задач о деформации трехслойной изотропной и двухслойной трансверсально-изотропной сферических оболочек иод действием нормального давления. В явном виде получены соотношения для давлений, действующих в зоне контакта слоев.

3. Проведен анализ влияния механических свойств основных слоев оболочек на общую картину деформации слоистой корнеослеральной оболочки глаза при увеличении внутриглазного давления.

4. В прикладном пакете АКБУБ рассмотрена контактная задача о напряженно-деформированном состоянии сопряженных неоднородных трансверсаиьно-изотропных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления, при механическом воздействии на роговую оболочку глаза тонометрами Маклакова и Гольдмаиа.

5. Проведена оценка влияния учета многослойности роговицы на размеры площадки контакта тонометров и роговицы, распределение контактных напряжений и общую картину деформации до и после рефракционных операций.

Заключение

В диссертационной работе представлены модели многослойных оболочек для исследования таких задач, как напряженно-деформированное состояние внешней фиброзной слоистой оболочки глаза и решетчатой пластинки диска зрительного нерва под действием внутриглазного давления, а также для оценки влияния упругих параметров основных слоев роговицы на показатели измерения внутриглазного давления, получаемые ап-планационными тонометрами Гольдмана и Маклакова.

Результаты выносимые на защиту:

1. В рамках модифицированной геометрической гипотезы Кирхгофа: материальное волокно, нормальное к материальной срединной поверхности до деформации, остается нормальной к ней и после деформации, удлиняясь по линейному закону, проведен анализ напряженно-деформируемого состояния моментной многослойной оболочки вращения с упругими связями между слоями под действием нормального давления. Получена полная разрешающая система 8п + 3 дифференциальных уравнений для симметрично деформируемой оболочки вращения состоящей из п слоев. Численные результаты позволяют определить "точки перегиба" , возникающие под действием нормального давления, а также форму прогиба решетчатой пластинки диска зрительного нерва, согласующиеся с экспериментальным данным.

2. В виде явных формул для напряжений и перемещений представлено решение задач о деформации трехслойной изотропной и двухслойной трансверсально-изотропной сферических оболочек под действием нормального давления. Для каждого из слоев решается задача Ламе - определения напряженно-деформированного состояния сферического слоя по трехмерной теории упругости в сферических координатах.

Касательные напряжения на поверхности контакта имеют разрыв. Найден коэффициент, характеризующий величину этого разрыва. Распределения перемещений и напряжений по толщине для конкретных значений упругих постоянных и давления представлены в виде графиков. Определяются изменения толщины каждого из слоев при различных значениях модуля Юнга.

Полученные результаты могут использоваться для моделирования деформации оболочки глаза, механические свойства которой определяются свойствами склеральной и сосудистой оболочек и сетчатой оболочек глаза, которые близки по своей структуре к трансверсально-изотропной ткани В частности, имеется возможность оценить влияние упругих характеристик склеральной, сосудистой и сетчатой оболочек на возможность возникновения разрывов, и как следствие отслоек сосудистой и сетчатой оболочек. Проведено сравнение результатов, полученных в рамках трехмерной теории упругости для сферической оболочки, состоящей из двух трансверсально-изотропных слоев, с результатами, полученными на основе теории анизотропных оболочек Палия-Спиро.

3. В конечно-элементном пакете АМБУБ построена математическая модель аппланационных методов измерения внутриглазного давления с учетом многослойности и неоднородности роговицы Проанализировано влияние упругих свойств основных слоев роговицы на показания измерений ВГД проводимых тонометрами Гольдмана и Маклакова (грузом 5 и 10 г) до и после операций по коррекции зрения. Исследуется зависимость диаметра площади контакта груза и роговицы (или нагрузки при заданной зоне контакта) от упругих свойств ее слоев и сопряженной с ней склеры при одном и том же внутриглазном давлении. Полученные результаты сравниваются с результатами, полученными при таком же истинном давлении, но для однородной роговицы с осреднснным значением упругих свойств составляющих ее слоев.

1. Аветисов С.Э., Новиков И.А., Бубнова И.А., Антонов A.A. Исследование биомеханических свойств роговицы после эксимерлазерных вмешательств // Сб. трудов IV Российский общенациональный офтальмологический форум. 5 7.10.2011. Москва. С. 22 - 25.

2. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1984. 264 с.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М., 1967. 226 с.

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 446 с.5| Атанацкович Т., Гуран А. Лекции по теории упругости. СПб., 2003. 400с.

5. Бауэр С.М., Любимов Г.А., Товстик.П.Е. Математическое моделирование метода Маклакова измерения внутриглазного давления. Изв. РАН "Механика жидкости и газа" 2005. N 1. С. 24 39.

6. Бауэр С.М., Качанов А.Б., Семенов Б.Н., Слесорайтите Е. О влиянии толщины роговицы на показатели внутриглазного давления при измерении ВГД аппланационными методами // Биомеханика глаза -М., 2007. С. 119- 124.

7. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 92 с.

8. Бауэр С.М., Воронцова Е.Б. Неклассические теории анизотропных оболочек в задачах деформации трансверсально-изотропных сферических и цилиндрических слоев под действием нормального давления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Вып. 3. 2011. С. 86 93.

9. Болотин В.В.] Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М., 1980. 375 с.

10. Василенко А. Т. Осесимметричная деформация слоистых оболочек вращения с различными условиями контакта слоев. Прикладная механика, 1997. Т. 33. N0 9. С. 50 55.

11. Василенко А.Т., Голуб Г.П., Григоренко Я.М. Определение напряженного состояния многослойных ортотропных оболочек переменной жесткости в уточненной постановке // Прикладная механика. 1976. Т. 12. № 2. С. 40 47.

12. Волков В. В. Глаукома при псевдонормальном давлении. Руководство для врачей. М.: Медицина, 2001. 352 с.

13. Волков В. В. Существенный элемент глаукоматозного процесса, не учитываемый в клинической практике// Офтальмолог, журн. 1976. № 7. С. 500 504.

14. Волков В. В. О разных подходах к диагностике начальной открыто-угольной глаукомы// Офтальмолог, журн. 1989. № 2. С. 77 80.

15. Волков В.В., Сухинина Л.В., Устинова Е.И. Глаукома, преглаукома и офтальмогипертензия. Л.: Медицина. 1985. 214 с.

16. Волков В.В. Глаукома открытоугольная. — М.: ООО "Медицинское информационное агенство" , 2008. 352 с.

17. Волков В.В., Журавлев А.И. Диск зрительного нерва при глаукоме // Офтольмолог. журн. 1982. № 5. С. 272 276.

18. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикладная мех. 1972. Т. 8. № 6. С. 3 17.

19. Григолюк Э.И., Коган Е.А., Мамай В.И. Проблемы деформирования тонкостенных слоистых конструкций с расслоениями. Изв. РАН. Мех. твердого тела, 1994. N0 2. С. 6 32.

20. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Численное решение задач статики геометрически нелинейных анизотропных многослойных оболочек вращения // Механика композитных материалов. 1981. № 3. С. 26 34.

21. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Осесимметричная деформация анизотропных слоистых оболочек вращения сложной формы // Механика композитных материалов. 1981. № 4. С.637 645.

22. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. М.¡Машиностроение, 1988. 288 с.

23. Григолюк Э.И., Мамай В. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М., Наука, 1997. 272 с.26| Григолюк Э.И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. 170 с.

24. Григоренко Я.М., Василенко А. Т. Панкратова Н.Д. Задачи теории упругости неоднородных тел. К., Наукова думка, 1991. 216 с.

25. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука. 1992. 336 с.

26. Григоренко Я.М., Тимошин A.M. Напряженное состояние слоистых оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и сдвига// Докл. АН УССр. Серия А. 1980. № 9 . С 46 50.

27. Журавлев А.И. Диск зрительного нерва и зрительные функциив оценке глаукоматозного процесса. Автореф. дис. канд. мед. наук. JI. 1986. 15 с.

28. Иомдина E.H. Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии: диагностика нарушений и их экспериментальная коррекция. Дис.: докт. биол. наук, 2000. 319 с.

29. Иомдина E.H. Механические свойства тканей глаза человека // Современные проблемы биомеханики, вып. 11. Изд-во МГУ, 2006. С. 183 — 200.

30. Карамшина Л. А. Механические модели аппланационной тонометрии с учетом многослойности роговицы // Российский журнал биомеханики, 2011. № 3. С. 37 44.

31. Карамшина Л. А. О деформации трехслойной изотропной сферической оболочки. // Труды семинар "Компьютерные методы в механике сплошного тела" за 2010 2011. Издательство СПбГУ, 2011. С. 15 -26.

32. Кобелев В. Н., К аварский Л. И., Тимофеев С. И. Расчет трехслойных конструкций. М.: Машиностроение, 1984. 330 с.

33. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение, 1965. 272 с.

34. Кузнецов Н.Д., Карташов Г.Г. Прикладная теория колебаний анизотропных слоистых оболочек переменной жесткости // Прикладная механика, 1980. Т.16. № 11. С. 52 57.

35. Куликов Г.М. Численное исследование задач прочности анизотропных слоистых оболочек вращения сложной формы // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 4. С. 192

36. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.44| Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М: Гостех-издат, 1955. 492 с.

37. Любимова Д. Аппланационная тонометрия и биомеханические свойства роговицы // Биомеханика глаза М., 2007. С. 134 - 138.

38. Мальков В.М. Механика многослойных эластомерных конструкций. -СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1998. 320 с.

39. Нестеров А.Г. Глаукома. М.: Медицина, 1995. 256 с.

40. Нестеров А.Г., ЕгоровЕ.А. Глаукоматозиая атрофия зрительного нерва. Актуальные проблемы офтальмологии /Под ред. Краснова М.М, Нестерова А.П, Дыбова С. М.: Медицина, 1981. С. 22 53.

41. Нестеров А. 77, Бунин А. Я., Кацнельсон Л.А. Внутриглазное давление. Физиология и патология. М.: Наука, 1974. 381 с.

42. Нестеров А.П., Вургафт М.Б. Калибровочные таблицы для эласто-нометра Филатова-Кальфа// Вестн. офтальмологии. 1972. № 2. С. 20 -25.

43. Новожилов В.В. Теория упругости. Судпромгиз, 1958. 372 с.

44. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. // Ленинград. 1962. 432 с.

45. Пикуль В.В. Теория и расчет оболочек вращения. М.: Наука, 1983. 288 с.

46. Палий О.М., Спиро В.Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Теория и расчет. 1977. 386 с.

47. Полоз М.В., Иомдина E.H. Активные деформации человеческого глаза/ / Биомеханика-2010, X Всероссийская конференция, тезисы докладов. Изд-во Саратовского университета, 2010. С. 137 139.

48. Прусаков А.П. Основные уравнения изгиба и устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем // Прикл. Математика и механика. 1951. Т.15, N« 1. С. 27 36.

49. Прусаков А. П. Нелинейные уравнения изгиба пологих многослойных оболочек // Прикладная механика. 1971. Т. 7. № 3. С. 3 8.

50. Саулгозис Ю.Ж. Особенности деформирования склеры // Механика композитных материалов, 1981, N 3. С. 505 514.

51. Слесорайтите Е. Статистический и численный анализ влияния толщины роговицы на показатели внутриглазного давления // Российский журнал биомеханики, 2006, том. 10, № 2. с. 58-63.

52. Сомов Е. Е. Клиническая анатомия органа зрения человека. — М.: Медпресс-информ, 2005. 136 с.

53. Спиро В.В., Федонюк H.H. Итерационный подход к выводу уравнений теории многослойных оболочек переменной жесткости. Межотраслевой научно-технический сборник. Конструкции из композиционных материалов. М., Вып. 1. 1986. № 459. С. 3 13.

54. Тарутта E.H., Еричев В.П., Ларина Т.Ю. Контроль уропераций // Биомеханика глаза. М., 2004. С. 120 122.

55. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наукова думка, 1972. 501 с.

56. Хорошун А.П., Козлов C.B., Иванов Ю.А., Кошевой И.К. Обобщенная теория неоднородных по толщине пластин и оболочек. Киев: Наукова думка, 1988, 152 с.

57. Черных К. Ф. Нелинейная теория изотропных упругих тонких оболочек. МТТ, 1980. № 2. С. 148 - 159.

58. Borcherding M.S., Blacik L.J., Sitting R.A., Bizzell J., Breen M., Weinstein H.G. Proteoglycans and collagen fiber organization in human corneoscleral tissue. // Exp. Eye Res., 1975, 21, P. 59 70.

59. Buzard K.A. Introduction to biomechanics of the cornea // Refract. Corneal Surg., 1992, 8, P. 127 138.

60. Chatterjee A., Shah S. et al. Reduction in intraocular pressure after excimer laser photorefractive keratectomy // Ophthalmology 104(3), 1997. P. 355 359.

61. Edmund C. Corneal topography and elasticity in normal and keratoconic eyes. // Acta Ophthalmol. (Copenh.), 1989, 193, (Suppl.), P. 1 36.

62. EmaraB., Probst L.E. et al. Correlation of intraocular pressure and central corneal thickness in normal myopic eyes and after laser in situ keratomileusis // Journal of Cataract and Refractive Surgery 24(10), 1998. P. 1320 1325.

63. Emery, J.D. The lamina cribrosa in normal and glaucomatous human eyes / J.D. Emery, D. Landis, D. Paton, M. Bohiuk, J.M Caaig. Trans. Ac. Amer. Ophtalmol. 1974, Vol. 78, N 2. P. 290 - 297.

64. Doughty M.J., Zaman M.L. Human corneal thickness and its impact on intraocular pressure measures: a review and meta-analysis approach // Surv. Ophthalmol. 2000, 44, P. 367 408.

65. Faucher A., Gregoire J., Blondeau P.Accuracy of Goldmann tonometry after refractive surgery //J. Cataract. Refract. Surg., 1997. 23. P. 832 -838.

66. Feltgen N., Leifert D., Funk J. Correlation between central corneal thickness, applanation tonometry, and direct intracameral IOP readings // Br. J. Ophthalmol., 2001. v.85. P. 85 87.

67. Harrington D.O. The visual fields.St. Louis, 1971.

68. Lang G.K. Ophthalmology. Thieme Publishing Group, 2000. 664 p.

69. Lmdsey, A. Aetiology of field loss in chronic glaucoma / A. Lindsey. // Canadian J. Ophtalmology. 1971, N 6. P. 212 216.

70. Ljubimova D. Biomechanics of the human eye and intraocular pressure measuments.Stockholm: Royal Institute of Technology, 2009. 200 p.

71. Komai Y., Ushiki T. The three dimensional organization of collagen fibrils in the human cornea and sclcra. // Invest. Ophthalmol. Vis. Sci, 1991, 32, P. 2244 2257.

72. Mtnckler D.S. Optic nerve damage in glaucoma // Surv. Ophthalmology 1981: Vol.26, P. 128 136.

73. Nash S.R., Green P.R., Foster C.S. Comparison of mechanical properties of keratoconus and normal corneas // Exp. Eye Res., 1982, 35, P. 413 -423.

74. Palhkaris I.G., Dastiridou A.I., Tsihmbaris M.K., Karyotakis N.G., Gims H.S Ocular Rigidity // Expert Rev. Ophtalmol. 5 (3), 2010. P. 343 351

75. Pinsky P.M, van der Heide D.; Chernyak D. Computational modeling of mechanical anisotropy in the cornea and sclera //J. Cataract. Refract. Surg., 2005, v. 31, 1, P. 136 145.

76. Radius R.L., Maumenee A E Opticatrophy and glaucomatous cupping // American J. Ophtalmology 1978, Vol. 85, N2, P. 145.

77. Srodka W., Asejczyk M., Kasprzak H. Influence of IOP on the geometrical and biomcchanical properties of the linear model of the eye globe // Proc. 13th Conference of the European Society of Biomechanics, Wroclaw, Poland, 2002, P. 465 467

78. Stodtmeister R. Applanation tonometry find correction on corneal thickness // Acta Ophthalmol., 1998. v. 76. P. 319 324.

79. Yan D. B., Flanagan J. G., Farra T., Trope G. E., Ethier C. R Study of regional deformation of the optic nerve head using scanning lazei tomography, Current Eye Research, 1998, Vol. 17, P. 903 916

80. Whitacre M.M, Stem R A., Hassanein K. The effect of corneal thickncss on applanation tonometry // American Journal of Ophthalmology, 1993, 115(5), P. 592 596.

81. Whitacre MM., Stem R.A Sources of error with use of Goldmann-type tonometers// Survey of Ophthalmology 38(1), 1993. P. 1-30.

82. Woo S.L., Kobayashi A.S., Schegel W.A., Lawrence C. Nonlinear material properties of intact cornea and sclera // Exp. Eye Res., 1972, 14, 1, P. 2939.