Влияние сдвига на устойчивость оболочек вращения при осевом сжатии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

АНИСИМОВ ВЛАДИМИР ЮРЬЕВИЧ

ВЛИЯНИЕ СДВИГА НА УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ

01 02 04 — Механика деформируемого твердого тела Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

11111111111111111111

1 003 165540

ч______'

Санкт-Петербург, 2008 г

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики мате-матико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Товстик Петр Евгеньевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, Профессор

Нарбут Михаил Александрович

доктор технических наук, профессор

Господарико? Александр Петрович

Ведущая организация

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится "¿У-" р^О^ 2008 г в ' ' часов ¿РО минут на заседании диссертационного совета Д 212 232 30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр , д 28 , ауд 405

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская набережная , д 7/9

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

С А Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Оболочечные конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью и поэтому находят широкое применение во многих отраслях промышленности, например в судо- и авиастроении, ракетной технике, строительстве, машиностроении, медицине При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчет на устойчивость Однако в большинстве случаев простой расчет на устойчивость дает значительно большие величины критических нагрузок, чем способна вынести конструкция на самом деле Причины данного явления кроются в неоднородности материала, несовершенствах формы, закрепления оболочки или самой нагрузки и т п В настоящее время расчет на устойчивость произвольной системы одним из численных методов не представляет принципиальных трудностей Однако аналитические результаты дают качественное понимание вопроса и помогают корректно формулировать задачи при численном модатшровании, а также контролировать результаты С другой стороны, учет неправильностей и неоднородности при численном моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции

Цель работы В представленной работе оценивается влияние сдвига на устойчивость оболочек вращения при различных условиях закрепления, а также, сравниваются разные виды потери устойчивости

Методы исследования. В работе активно применяются асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины оболочки и получившие широкое развитие в работах Гольденвейзера, Ворови-ча, Товстика и т д Для проверки асимптотических результатов применяются различные численные методы метод начальных параметров, метод ортогональной прогонки, метод пристрелки, метод продолжения по параметру При исследовании осесимметричной деформации оболочек вращения при больших поворотах нормали использованы уравнения Валишвили-Шилькрута Для учета сдвига используется модель Тимошенко-Рейсснера, получившая развитие в работах Рейсснера, Айнолы, Галимова, Григолюка и тд

Научная новизна. Новыми являются, полученные асимптотические формулы, для определения главных членов критической нагрузки при осесимметричной деформации оболочек, с учетом влияния сдвига поперечных волокон Новыми также являются результаты, которые позволяют судить о влиянии сдвига на вид потери устойчивости оболочки (оболочка может потерять

устойчивость в результате ее осесимметричной деформации, когда нагрузка достигает предельной точки на кривой нагрузка-прогиб, или в результате бифуркации)

Достоверность полученных результатов. Все задачи рассматриваются в рамках классических моделей механики на основе строгих методов математической физики, теории дифференциальных уравнений и асимптотического анализа Достоверность подтверждается соответствием результат тов, полученных по асимптотическим формулам, с результатами численного решения задач, а также сравнением с результатами других авторов

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах на устойчивость широкого класса оболо-чечных конструкций Особую ценность представляют результаты, связанные с оценкой влияния поперечного сдвига, из-за трудностей численного моделирования таких задач

Апробация работы. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались на научно-практической конференции "Научные исследования и их практическое применение Современное состояние и пути развития"(Одесса, 2005), международной научной конференции по механике "Четвертые поля-ховские чтения"( Санкт-Петербург, 2006), семинаре "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (ПГУПС, Санкт-Петербург, 2008), семинаре кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Публикации По теме диссертации опубликовано 4 работы [1, 2, 3, 4] Работы [1] и [3] опубликованы в журнале, рекомендованном ВАК (Перечень Бюллетень ВАК, 2007, №1, с 3-39)

Структура и объем диссертации Работа состоит из четырех глав и заключения Глава 1 — введение Глава 2 носит вспомогательный характер и содержит в себе обзор основных соотношений осесимметричной деформации оболочек вращения, используемых в дальнейшем В главе 3 для нескольких видов закрепления оболочек вращения с учетом сдвига исследуется осесим-метричная потеря устойчивости оболочек вращения неотрицательной гауссовой кривизны Глава 4 дополняет предыдущую главу и посвящена определению условий, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости, т е осесимметричная потеря устойчивости или бифуркация осесим-

метричной формы Заключение содержит основные выводы Общий объем диссертации составляет 68 страниц, включая 10 рисунков, 10 таблиц и библиографию, содержащую 102 наименования

Результаты, выносимые на защиту.

• Оценено влияние сдвига на возможность потери устойчивости оболочкой вращения в результате ее осесимметричной деформации, когда нагрузка достигает предельной точки на кривой нагрузка-прогиб Получены асимптотические формулы, описывающие зависимость критической наг грузки оболочки от сдвигового параметра, угла конусности и кривизны

• Для оболочки, имеющей излом и подкрепленной упругим кольцом, показано, как величина сдвигового параметра влияет на толщину кольца, исключающего возможность осесимметричной потери устойчивости

• Оценено влияние сдвига на возможность потери устойчивости оболочкой вращения в результате бифуркациии Проведено сравнение двух видов потери устойчивости и найдены условия, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава - введение В ней приводятся общие сведения об осесимметричной деформации, устойчивости оболочек вращения и методах исследования этих задач Дается обзор литературы, посвященной различным аспектам рассматриваемых проблем Отмечено, что значительный вклад был внесен Тимошенко, Рейсснером, Нагди, Айнолой, Галимовым, Григолюком, Мамаем и другими учеными В первой главе также обосновывается актуальность и научная новизна темы диссертации Формулируются цель и задачи работы, указывается научная и практическая ценность ее результатов и выводов Приводятся краткое содержание диссетрации и результаты выносимые на защиту

Вторая глава носит вводный характер и содержит в себе вывод основных соотношений используемых в дальнейшем вводятся соотношения, описывающие геометрию оболочки вращения, двухмерные уравнения равновесия и соотношения упругости При написании последних для модели оболочки типа Тимошенко, учитывающей поперечный сдвиг, принимается, что норманьные до деформации волокна остаются прямолинейными, однако они уже не перпендикулярны к деформированной срединной поверхности Вводится угол сдвига <5 и принимается, что перерезывающее усилие <31 пропорционально этому углу

<21 = кв'М,

где С — модуль сдвига, Л — толщина оболочки, к — поправочный коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по толщине и обычно принимаемый равным к = 5/6 Угол сдвига также вводится и в выражения для моментов

Далее показано, что в осесимметричном случае, уравнения равновесия, геометрические соотношения и соотношения упругости образуют вместе замкнутую систему пятого порядка Последняя, записанная относительно без-рамерных переменных, имеет вид

Ы7 = о,

fj,(r0uy = е2 + tiv(U cosfl + Vsm в), м(го£2)' = (1 — ¡J-vs-z) COS0 - cos во,

fi(r0Mi)' = ro(l - ^ve2)(Usm0 - Vcosd) + ¡ivMi cos в, (1)

10(1 + ATi) = Afi - \е2Щ + ц{кю ~ vify-

-A^i/T^ -

ro

Здесь U, V — проекции внутренних усилий на осевое и радиальное направления £г — радиальная деформация оболочки, М\ — изгибающий момент, в — угол между нормалью к оболочке и осью вращения (см рис 1) Причем,

первое уравнение (1) сразу дает

V = Р = -2irEhRn2C, го

где Р - сжимающее усилие

Система (1) является основной системой, которая используется в дальнейшем при исследовании осесимметричной деформации оболочек вращения Величина р > 0, входящая в (1), — малый параметр, который связан с относительной толщиной оболочки, и определяется формулой

4 __h2

Р 12(1 - г/2)Д2

Различие упругих свойств оболочки в продольном и поперечном направлениях учитывается членами при сдвиговом параметре

, 2ti2(l + v)G

Здесь G', G — модули сдвига в поперечном и продольном направлениях соответственно, v — коэффициент Пуассона Для изотропной оболочки сдвиговый параметр Л мал (Л ~ /л2), при Л = 0 система (1) описывает деформацию оболочки вращения без учета поперечного сдвига С увеличением отношения G/G' сдвиговый параметр Л растет

Рис 2 Деформация оболочки под действием осевой сжимающей силы Р, приложенной к ее торцам

В третьей главе исследуется осесимметричная потеря устойчивости транс-версально-изотропных оболочек вращения при различных условиях закрепления Осесимметричная потеря устойчивости происходит, когда сжимающая

нагрузка достигает предельной точки на кривой нагрузка - прогиб, в которой

сгд и'

после чего нагрузка падает Сначала исследуется оболочка, один край которой закреплен в радиальном направлении, а другой может свободно скользить по опорной плоскости (см рис 2)

При определении величины предельной нагрузки, используется метод асимптотического интегрирования, который позволяет существенно упростить нелинейную систему (1) В результате численное интегрирование проводится для системы

и° = 4,

= cosi9° — cos 7, Mi = U° sm Ф + C° cos в°, 0°(1 + \U° cos в0 - АС° sm в0) = М? - Aeg sm в° и соответствующей краевой задачи, а искомая предельная нагрузка ищется в виде

C = CQ + ix(f0 + fvV + fkk), (3),

где, v - коэффициент Пуассона, к - кривизна оболочки, а /о, fvt fk— величины, зависящие только от угла конусности оболочки и сдвигового параметра, характеризующего мягкость на сдвиг в поперечном направлении Все, входящие в (3), неизвестные могут быть вычислены вместе с решением системы (2) и соответствующей краевой задачи

Рис 3 Образующая оболочки с изломом до и после деформации

Следующей рассматривается задача об осесимметричном сжатии оболочки вращения с изломом срединной поверхности (см рис 3), которая тесно примыкает к задаче о деформации оболочки со свободным краем Ее можно

также рассматривать как задачу о сопряжении двух оболочек Для ее решения также применен метод асимптотического интегрирования и выведена формула аналогичная (3)

С — С0 + м(/о + /> + /Ма, - 0) + Л,кю(в, + 0) (4)

Далее, рассмотрен случай устойчивости оболочки с изломом подкрепленной, дополнительной упругой связью (см рис 4) Примером такой связи может быть упругое кольцо Наложенная связь выражается формулой

[/(в* - 0) + ¡/(в* + 0) + «7(е2(в. - 0) + г20» + 0)) = 0

Здесь и — безразмерное радиальное усилие, е2 — радиальная деформация оболочки, а коэффициент упругого закрепления ц связан с параметрами кольца и оболочки по формуле

m

_ E-qhji

где Ev и hn — модуль Юнга и толщина кольца, Euh — модуль Юнга и толщина оболочки

Рис 4 Дополнительная упругая связь, наложенная в месте излома образующей оболочки

Очевидно, что увеличение г] (по сути толщины кольца) уменьшает склонность оболочки к осесимметричной потере устойчивости и приводит к повышению величины критической нагрузки Продолжая увеличивать т], мы, в итоге, достигнем значения, выше которого оболочка теряет устойчивость в результате бифуркации осесимметричной формы Упругую связь, отвечающую такой величине г/, можно трактовать, как дополнительное подкрепление исключающее осесимметричную потерю устойчивости оболочки На рис

5, для цилиндрической оболочки сопряженной с конической, имеющей угол конусности 7, приведены графики зависимостей 77(7), рассчитанных для разных сдвиговых параметров А. Точки графиков показывают, какие величины г) обеспечивают при заданных 7 и Л подкрепление, исключающее осесим-метричную потерю устойчивости оболочки. Приведенные графики, каждый для своего Л, разделяют область параметров на две части. Точки, лежащие ниже графика, соответствуют параметрам г], 7, при которых возможна осе-симметричная потеря устойчивости оболочки. Точки, лежащие выше графика, соответствуют параметрам г/, 7, при которых оболочка может потерять устойчивость только в результате бифуркации осесимметричной формы.

Рис. 5. Для оболочки с изломом вида 71 = 7, 72 = 90°, приведены графики

зависимостей т)(7), рассчитанных для разных сдвиговых параметров А. Точки графиков показывают, какие величины 77 обеспечивают при заданных 7 и А подкрепление, исключающее осесимметричную потерю устойчивости

оболочки.

Последним рассмотрен случай слоистой многослойной оболочки с чередующимися мягкими и жесткими 2п+1 изотропными слоями. Более жесткие п+1 слоев имеют упругие постоянные Е\, а остальные слои - постоянные Е2, 1У2- Пусть к] — 1г/(2п +1), j = 1,... ,2п +1 — толщины слоев. Положим

+1)^4+

¿П + 1 \ — у[ 1—1^2

г, ь .. Еги1 Е2и2

Теперь можно ввести приведенные модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона

К' К ' " 2(1 + V)

Эквивалентный модуль поперечного сдвига находим из соотношения Н _ Н Н п + 1 п Е,

О въ 2п + 1 б] Сг °г~2(1+г,е)' '

В качестве примера приведены результаты расчетов для двух сопряженных конических оболочек с углом конусности 45°

Таблица 1

Результаты расчетов для двух сопряженных сжтстыж конических оболочек с углом конусности 450

h/R Е\!Еъ fi vi ni G12/G13 и X CL С

0 02 1 0303 X 0 02 10 0 3 0 45 3 0 02 10 0 3 0 45 21 0 02 50 0 3 0 45 3 0 02 50 03 045 21 1 0 3 0 0188 0 5312 0 5267 3 0541 0 3080 0 0580 0 5255 0 5202 3 3056 0 3140 0 0630 0 5244 0 5192 12 9527 0 3016 0 2460 0 4919 0 4886 14 4163 0 3030 0 2741 0 4869 0 4838

0 04 1 0 3 0 3 1 0 04 10 0 3 0 45 3 0 04 10 03 045 21 0 04 50 03 0 45 3 0 04 50 03 045 21 1 0 3 0 0377 0 5279 0 5589 3 0541 0 3080 0 1160 0 5127 0 5326 3 3056 0 3140 0 1261 0 5105 0 5295 12 9527 0 3016 0 4921 0 4427 0 4428 14 4163 0 3030 0 5483 0 4330 0 4326

В таблице 1 в первых трех столбцах приведены параметры, при которых производилось вычисление относительная толщина оболочки h/R, отношение модулей упругости жесткого и мягкого слоев Е1/Е2, коэффициенты Пуассона vi, г/g и общее количество слоев п\ = 2п+1 В остальных столбцах (отделенных вертикальной чертой) приведены результаты вычислений отношение приведенных модулей сдвига G/G', приведенный коэффициент Пуассона v, величина А, предельная нагрузки C*s, рассчитанная по формуле (4), и для сравнения величина С, рассчитанная численно из системы (1)

В конце главы сравниваются результаты, рассчитанные при разных значениях сдвигового параметра, оценивается величина поправки, вносимая в величину критической нагрузки моделью оболочки типа Тимошенко, по сравнению с величиной, полученной для классической оболочки типа Кирхгофа-Лява

На рис 6(а) для оболочки со свободным краем представлена зависимость С°( 7), рассчитанная при значениях А=0иА=05 На рис 6(Ь) аналогичная зависимость приведена для оболочки с изломом, при котором 71 = 7,72 = 90° (конус сопряженный с цилиндром) При А = 0 5 оболочка существенно мягче на сдвиг в поперечном, чем в продольном направлении, т к G'jG = 0(ц2) А

0.7 0.6 С "„.4 0.2

Л-0 Л- 0.5

]

10° (а) Свободы* iO° ш край 10' У 50" 80

1.75 С 1

Л-а А= 0.5

10° 20° 40е у 60" S (Ъ) Излом, у = у, У^ 90" 0°

Рис. 6. На рис. (а) для оболочки со свободным краем представлена зависимость С°(у), рассчитанная при значениях А = 0 и А = 0.5. На рис. (Ь) аналогичная зависимость приведена для оболочки с изломом, при котором 7i = 7> 72 — 90° (конус сопряженный с цилиндром).

при А = 0 сопротивляемость сдвигам во всех направлениях примерно одинакова, т.к. G' ~ G. Следует отметить, что результат, полученный при А = 0, совпадает с тем, который может быть получен в рамках гипотезы Кирхгофа - Лява. Но для А = 0.5, как следует из представленных графиков, поправка вносимая гиптезой Тимошенко довольно значительна и при больших 7 может достигать до 30%. С увеличением А различие еще более увеличивается.

В четвертой главе выводится система уравнений устойчивости оболочки типа Тимошенко, для случая когда состояние, предшествующее бифуркации оболочки, является осе симметрично деформирванным и описывается нелинейной системой уравнений пятого порядка. С использованием полученной системы рассматриваются две краевые задачи для оболочки, которая находится под действием осевой сжимающей силы Р, приложенной к ее торцам. В первой задаче, один край оболочки закреплен в радиальном направлении, а другой край может свободно скользить по опорной плоскости. Во второй задаче, оболочка жестко закреплена по обоим краям, но имеет излом образующей срединной поверхности. В обеих задачах численно ищется критическая величина осевого сжимающего услилия Р, при которой оболочка потеряет устойчивость, вследствие бифуркации, если выполнится условие существования

ненулевого решения системы уравнений устойчивости, или осесимметричным образом, при достижении предельной точки на кривой нагрузка-прогиб.

Рис. 7. Сравнение двух видов потери устойчивости. Кривая 1 соответствует оболочке со скользящим шарнирным краем, кривая 2 — случаю двух сопряженных конических оболочек.

На основании полученных численных результатов устанавливаются условия, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости. Отмечается, что для изотропной оболочки и для трансверсально-изотропной оболочки со сравнительно небольшой податливостью сдвигу потеря устойчивости происходит в результате достижения предельной точки на кривой нагрузка-прогиб, т.е. выворачивание предшествует бифуркации. При более сильной анизотропии (при больших значениях G/G') для оболочек с большим углом наклона образующей (углом конусности) бифуркация может предшествовать выворачиванию.

Результаты, представленные на рис. 7, показывают, при каких значениях параметров тот или иной вид потери устойчивости имеет место для оболочки при v = 0.3, G\з = G2з = G', h/R = 0.02. По оси абсцисс отложен угол конусности оболочки (в градусах) 7, по оси ординат — сдвиговый параметр G/G'. Кривая 1 соответствует оболочке со свободно скользящим шарнирным краем, кривая 2 — случаю двух одинаковых сопряженных конических оболочек.

При обоих видах опирания кривые 1 и 2 делят область параметров на две части: при недостаточно больших сдвиговых параметрах потеря устойчивости происходит вследствие достижения предельной точки на кривой нагрузка - прогиб и сопровождается выворачиванием, и, наоборот, при больших сдвиговых параметрах у оболочек близких к цилиндрическим бифуркация предшествует выворачиванию.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Анисимов В Ю Устойчивость трансверсалыю-изотропной оболочки вращения при осевом сжатии// Вестн С Петерб ун-та 2006 NIC 6878

2 Анисимов В Ю Устойчивость оболочки вращения при осевом сжатии с учетом сдвига/ / Четвертые поляховские чтения Избранные труды СПб Издательство "ВВМ", 2006 С 476-486

3 Анисимов В Ю Влияние ортотропии материала на деформацию оболочки вращения при осевом сжатии// Вестн С Петерб ун-та 2005 N 4 С 70-79

4 Анисимов В Ю Устойчивость оболочки вращения при осевом сжатии с учетом сдвига// Сборник научных трудов по материалам научно-практической конференции "Научные исследования и их практическое применение Современное состояние и пути развития" Том 9 Транспорт, физика и математика - Одесса Черноморье, 2005 С 59

Подписано в печать 15 02 2008 Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис» Печать ризографическая Заказ № 2/0215 П д 10 Уч -изд л 1 0 Тираж 100 экз

ЗАО «КопиСервис» Адрес 197376, Санкт-Петербург, ул Проф Попова, д 3 тел (812) 327 5098

1 Введение

2 Осесимметричная деформация оболочки вращения

2.1 Основные уравнения.

2.2 Виды потери устойчивости при осевом сжатии.

3 Осесимметричная потеря устойчивости

3.1 Постановка задачи.

3.2 Построение системы нулевого приближения.

3.3 Определение предельной нагрузки.

3.4 Вычисление поправки.

3.5 Оболочка с изломом.

3.6 Оболочка, подкрепленная упругим кольцом.

3.7 Слоистая оболочка.

3.8 Обсуждение результатов.

4 Бифуркация осесимметричной формы

4.1 Вывод системы уравнений устойчивости.

4.2 Интегрирование системы уравнений устойчивости.

4.3 Обсуждение результатов.

Актуальность темы. Оболочечные конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью и поэтому находят широкое применение во многих отраслях промышленности, например в судо- и авиастроении, ракетной технике, строительстве, машиностроении, медицине. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчет на устойчивость. Однако, в большинстве случаев простой расчет на устойчивость дает значительно большие величины критических нагрузок, чем способна вынести конструкция на самом деле. Причины данного явления кроются в неоднородности материала, несовершенствах формы, закрепления оболочки или самой нагрузки и т.п. В настоящее время расчет на устойчивость произвольной системы одним из численных методов не представляет принципиальных трудностей. Однако, аналитические результаты дают качественное понимание вопроса и помогают корректно формулировать задачи при численном моделировании, а также контролировать результаты. С другой стороны, учет неправильностей и неоднородности при численном моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции.

Обзор литературы. Нелинейное упругое деформирование тонкостенных конструкций давно привлекает внимание исследователей. Однако, проблема изучена далеко недостаточно. Интерес к ней связан прежде всего с применением в строительстве и машиностроении тонкостенных легких конструкций из новых материалов, особенно в таких областях, как кораблестроение, авиация и ракетно-космическая техника. Интересно также отметить, что механика тонкостенных конструкций находит свое применение и при исследовании живых организмов. Например, кровеносные сосуды (артерии и вены) и человеческий глаз, с механической точки зрения, представляют собой многослойные тонкостенные оболочки (см., например, [12]).

Расчет напряжений и деформаций тонких упругих оболочек является достаточно сложной задачей. Соответствующая система уравнений может быть получена из трехмерных уравнений теории упругости при помощи введения тех или иных допущений. Обычно используется относительная малость толщины оболочки по сравнению с ее размерами в плане, что позволяет свести задачу к двухмерной. Среди последних работ, в которых дается систематическое изложение общей нелинейной теории оболочек, следует отметить [43].

В настоящее время полная картина деформирования тонкой оболочки при больших прогибах не построена даже для оболочек простейшей геометрической формы. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследоI вания показывают, что характер поведения оболочек при потере устойчивости чрезвычайно сложен и определяется многими факторами: геометрией, видом нагружения, условиями закрепления и т.п. Изначально симметричные оболочки вращения, как правило, теряют устойчивость несимметричным образом, т.е. имеет место бифуркация осесимметричной формы равновесия. Отметим, что исследованию вопроса о бифуркации осесимметричного равновесия посвящено большое число работ (см., например, [38, 67, 54, 14]).

При этом на докритической стадии могут наблюдаться осесимметричные прогибы порядка толщины оболочки. Поэтому осесимметричные решения имеют смысл прежде всего для сравнительно толстостенных или тонкостенных на начальной стадии деформирования, или специально изготовленных оболочек. Например, Погорелов [54] провел эксперимент с медными сферическими оболочками, изготовленными путем напыления на специальную сферическую подложку. Результаты показали, что критические нагрузки близки к теоретическим для осесимметричной потери устойчивости. Черняев в работе [72] рассмотрел деформацию сжатой по оси слабо закрепленной изотропной оболочки вращения. В результате им была построена численная зависимость, которая показывает, что оболочка тем более склонна к потере устойчивости по осесимметричной форме, чем больше ее относительная толщина и меньше угол конусности, и, наоборот, относительно толстые близкие к цилиндрическим оболочки должны терять устойчивость несимметричным образом.

Существует значительное количество публикаций об осесимметричной устойчивости оболочек и, прежде всего, оболочек вращения. Нелинейность уравнений теории оболочек и, как следствие, многозначность решений приводят к тому, что указанная задача до сих пор не решена в общем виде. Среди работ, посвященных различным ее аспектам следует отметить работы Феодосьева [69], Воровичаи Зипаловой [22], Мескола [88], Валишвили, Стегния [15], Гри-голюка, Мамая, Фролова [32], Бауэра и др. [80], Срубщика [58]. Состояние проблемы, трудности численного решения отражены в статьях Григолюка, Мамая [36, 33], Арбокза [79], Бушнела [82], Фэмили и Арчера [83]. Решению нелинейных задач на ЭВМ посвящены работы Валишвили [14], Григоренко и Мукоеда [30]. Сравнение теоретических и экспериментальных данных проводится в обзоре Григолюка и Мамая [31] и статье Сейши и др. [91], в работе Погорелова [54].

Первой работой, в которой содержится вывод уравнений для пологих сферических куполов, является работа Маргерра [89]. Уравнения Маргерра состоят из двух связанных дифференциальных уравнений, неизвестными в которых являются перемещения и внутренние усилия. Считается, что уравнения Маргерра хорошо описывают конечные прогибы тонких пологих оболочек, т. е. прогибы, сравнимые с толщиной оболочек. Вычисления в рамках уравнений Маргера показывают, что незамкнутая оболочка может считаться пологой в случае, если отношение высоты подъема оболочки к ее наименьшему размеру в плане не превышает 1/5.

В теории конечных перемещений непологих оболочек не удается получить столь же удобных для приложений соотношений, как уравнения Маргерра. При исследовании симметричного и несимметричного деформирования цилиндрических оболочек чаще используют уравнения, полученные С. П. Тимошенко [62]. В случае осесимметричного деформирования непологих оболочек вращения хорошие результаты дают уравнения Рейсснера [95, 94, 92]. В качестве переменных в них приняты функция напряжений и угол поворота касательной к меридиану оболочки. Широкое распространение также получил варианты уравнений Шаповалова [73] и Валишвили [14]. Многочисленные работы были посвящены разработке аналитических и численных методов решения этих систем.

Сейчас одним из самых популярных методов является метод продолжения по параметру. Одним из первых к исследованию устойчивости сферической оболочки его применил Терстон [97]. Затем различные модификации этого, метода использовались многими авторами. Григолюк и Мамай [36] рассмотрели основные трудности численной реализации и возможности методов начальных параметров при исследовании нелинейного поведения тонких упругих оболочек. Эти методы существенно используют продолжение решения по параметру. В работе подробно рассматривается история развития этого направления и основные достижения. Обращено внимание на расходимость итерационных процессов при грубом начальном приближении или достижении особых точек на кривой "нагрузка-прогиб". Для получения решения рекомендуется смена параметра продолжения.

Шилькрут [75], а затем он же совместно с Вырланом [76] использовали для решения задач устойчивости метод "стрельбы по параметрам". При использовании данного метода возникают вычислительные проблемы, связанные с решением задачи Коши для плохо обусловленных систем. Поэтому его применение для тонких и непологих оболочек затруднительно, в особенности на больших интервалах интегрирования.

Келлер [85] предложил метод интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, который сводится к заданию неизвестных начальных параметров, интегрированию задачи Коши и применению итерационного метода Ньютона для уточнения начальных параметров. Однако, с увеличением геометрического параметра и интервала интегрирования возникают трудности с применением этого метода. Для получения решения часто используют прием Вейничке [101], когда интервал интегрирования разбивают на подинтервалы. В частности, этот прием широко использовался Валишвили [14] для расчета оболочек вращения.

Уравнения Рейсснера для случая действия сосредоточенных сил в вершине были проинтегрированы Месколлом [88] модифицированным конечно-разностным методом. Исследованию устойчивости сферических куполов посвящена работа Воровича и Минаковой [19]. На основе полученных ими уравнений теории конечных перемещений оболочек и метода Бубнова в высоких приближениях им удалось получить вместо краевой задачу Коши.

Феодосьев [70] методом начальных параметров рассмотрел выворачивание упругой замкнутой сферической оболочки.

Методом начальных параметров Бауэр и др.[80] рассмотрели устойчивость нагруженных равномерным давлением, защемленных по контуру полусферических оболочек различной степени тонкостенности. Связь "нагрузка-про-гиб"имела сложный петлеобразный характер.

Григолюк, Мамай и Фролов [32] исследовали осесимметричное поведение непологих сферических оболочек при различных видах нагружения и закрепления. Они сравнили три варианта уравнений теории конечных осесиммет-ричных перемещений непологих тонких оболочек: Рейсснера, модифицированный более точный вариант этих уравнений и уравнения Маргера для пологих оболочек, проанализировали результаты решения по различным теориям. По мнению авторов, наиболее приемлемым методом решения нелинейных краевых задач является сочетание шагового метода и ортогональной прогонки.

Осесимметричное деформирование шарнирно закрепленных по экватору полусфер под действием равномерного давления рассмотрел Коровайцев [45]. Корнейчук исследовал устойчивость равномерно нагруженных полусферических оболочек при пластических деформациях [44].

Метод, основанный на применении метода Ньютона в сочетании с методом матричной прогонки и процедурой продолжения по параметру нагрузки, был применен Срубщиком [58] для определения верхних критических нагрузок при осесимметричном прощелкивании сферических оболочек.

Для аналитического решения задач о больших деформациях оболочек вращения используются два основных метода: метод, основанный на решении нелинейных уравнений равновесия оболочки и вариационный метод Погоре-лова [54, 55]. Этот метод основан на построении поля перемещений срединной поверхности, близкого к ее изгибаниям. Вариационным методом решены [54, 55] задачи осесимметричной деформации выпуклых оболочек вращения при внешнем давлении, под действием сосредоточенной в вершине купола силы и др. Непосредственное применение вариационного метода затруднено в случае, когда ребро приближается к краю оболочки. Этот случай рассмотрен в [59, 11, 10] и основан на сочетании вариационного метода с методом асимптотического интегрирования уравнений равновесия в окрестности края. Вариационный метод используется в [54, 55] также для исследования потери устойчивости безмоментного осесимметричного состояния оболочки, связанной с бифуркацией в неосесимметричную форму.

Ведущее место среди аналитических методов исследования устойчивости оболочек принадлежит методу асимптотического интегрирования, использующему малость относительной толщины, оболочки. Во многих случаях они приводят к удовлетворительному по точности приближенному решению или позволяют существенно упростить численное решение. Несмотря на приближенность метода, во многих случаях можно оценить погрешность результата. В сочетании с численными и экспериментальными данными асимптотические' формулы позволяют описать множество принципиально важных явлений и помочь их качественному пониманию. Обстоятельный обзор исследований по развитию и применению асимптотических методов содержится в работах -[20, 29].

Безотносительно задач механики, основные понятия асимптотических рядов, вопросы асимптотической оценки интегралов и разложений решений, дифференциальных уравнений можно найти в книгах [41, 78]. Кроме задач механики эти методы находят применение во множестве физических приложений, например в задачах квантовой механики, распространения волн и др. Вопросы* асимптотического моделирования в механике изложены в [9]*. Чрезвычайно важный в механике случай регулярного вырождения линейных дифференциальных уравнений с малым параметром изучен в работе Вишика и Люстерника [18].

В монографии [67] Товстик рассматривает ряд задач устойчивости тонких упругих оболочек, сводящихся к решению линейных краевых задач, в которых применение асимптотических методов позволяет получить приближенное решение или существенно упростить последующее численное решение. Исследована зависимость форм потери устойчивости от характера начального напряженного состояния, геометрии оболочки, ее закрепления и других факторов. Строятся формы потери устойчивости, локализованные в окрестности линий или точек на срединной поверхности.

Метод асимптотического интегрирования уравнений больших осесиммет-ричных деформаций оболочек вращения использован в работах, содержащих аналитическое исследование задачи (см. [68, 65, 66, 48, 87, 11, 10, 42, 46, 99, 59, 77] и др.). Схема метода во всех работах одна и та же. После перехода к безразмерным переменным получается сингулярно возмущенная система обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром [i при производных. При fx — 0 такая система дает безмоментное решение, которое может быть найдено в явном виде.

В работе [66] метод асимптотического интегрирования был использован Товстиком для получения уточненных соотношений упругости. Погрешность линейной теории оболочек имеет порядок малой безразмерной толщины оболочки. В нелинейных задачах погрешность теории оболочек возрастает с увеличением деформаций, причем основную неточность вносят соотношения упругости, связывающие усилия и моменты с деформациями. В работе [66] из трехмерных уравнений теории упругости выведены уточненные соотношения упругости, при использовании которых погрешность нелинейной теории оболочек имеет порядок безразмерной толщины оболочки в достаточно широком диапазоне изменения деформаций. Это позволяет, в частности, исследовать большие осесимметричные деформации оболочки вращения.

Внедрение в инженерную практику композиционных материалов привело к развитию уточненных теорий, учитывающих специфические особенности поведения оболочек, в частности низкую трансверсальную (сдвиговую), жесткость. Уточненными называют теории, которые отличаются от обычных классических наличием в дифференциальных уравнениях дополнительных членов, расширяющих, в некотором смысле, области применения классических теорий. Классические теории стержней основаны на гипотезе плоских сечений, пластин — на гипотезах Кирхгофа и оболочек — на гипотезах Кирхгофа-Лява. По существу, в этих теориях применяются простейшие — линейные по поперечной координате аппроксимации и не учитывающие упругие поперечные взаимодействия. Появление уточненных теорий обусловлено тем, что классические теории при решении ряда задач современной техники приводили к заметным погрешностям.

Система дифференциальных уравнений классической теории упругих оболочек несовместна с естественными краевыми условиями: она обеспечивает выполнение четырех независимых граничных условий вместо пяти. Устранение этого противоречия посредством сокращения числа граничных условий усложняет классическую теорию. Уточненные теории оболочек типа Тимошенко свободны от этого недостатка. Под теорией оболочек типа Тимошенко принято понимать теории, которые приводят в общем случае (без учета обжатия по толщине) к решению гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных десятого порядка. В основу этих теорий положена высказанная С.П. Тимошенко в 1921 году идея о необходимости учета влияния поперечного сдвига на частоту поперечных колебаний в задаче о колебаниях призматического стержня [98, 61, 60]. В настоящее время теории оболочек типа Тимошенко стали основными при решении ряда прикладных задач прочности и динамики оболочечных конструкций. Число публикаций по данной проблеме чрезвычайно велико и достаточно полные сведения можно почерпнуть из работ обзорного характера [8, 21, 27, 39].

Геометрически линейная теория однородных оболочек типа Тимошенко построена в работах [53, 74, 90, 96, 93]. Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошенко развиты в работах [16, 47, 49] и др. Геометрически нелинейная теория является менее исследованной. Общим вопросам нелинейной теории однородных оболочек с учетом поперечных сдвигов посвящены фундаментальные работы [7, 25, 23].

Айнола [7] построил теорию упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона - Остроградского. Галимовым выведены уравнения движения при конечных перемещениях, а также получены уравнения неразрывности деформаций. Применение нелинейной теории оболочек типа Тимошенко при решении прочности, устойчивости и динамики однородных оболочек можно найти в монографиях [24, 23]. Многослойные изотропные и ортотропные оболочки по сдвиговой модели типа Тимошенко обсуждались в работах [13, 26, 56, 57, 84] и др. Варианты геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек конечной сдвиговой жесткости рассмотрены в работах [34, 35, 50, 102, 1].

Оболочки вращения широко используются во многих отраслях современного производства. Причем, все шире используются многослойные композитные оболочки. Такие оболочки зачастую превосходят по характеристикам традиционные металлические конструкции. Однако, в силу их малой жесткости и тонкостенности на первый план выходит проблема устойчивости таких конструкций. "Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек при осевом сжатии была исследована в работах [63, 86, 17].

Среди факторов, существенно влияющих на величину критической нагрузки, одним из важнейших является слабое закрепление краев. В случае осевого сжатия цилиндрической оболочки, у которой края могут свободно перемещаться в радиальном направлении, критическая нагрузка падает примерно вдвое по сравнению с оболочкой с жестко закрепленными краями, см., например, [40].

Устойчивость слабо закрепленных оболочек вращения рассмотрена в [67]. Формы потери устойчивости оболочек вращения, локализованные в окрестности края, исследованы в [51, 64]. Определению предельной нагрузки при осевом сжатии нелинейно упругой оболочки вращения, посвящена работа [48]. К задаче об устойчивости оболочки вращения со свободным краем тесно примыкает задача об осесимметричном сжатии оболочки вращения с изломом. Этот класс задач охватывает всевозможные соединения тонкостенных конструкций, используемых в промышленности. Применительно к нелинейно упругим оболочкам вращения, этот случай был рассмотрен в работе [65]. Осесиммет-ричная устойчивость нелинейно упругой оболочки вращения с учетом сдвига при различных условиях закрепления исследуется в главе 3 настоящей работы. Сравнение осесимметричной потери устойчивости и бифуркации в осесимметричную форму слабо закрепленных оболочек вращения было проведено в работе [72] и, с учетом сдвига, в главе 4 настоящей работы.

В настоящей работе рассмотрено несколько задач устойчивости трансвер-сально - изотропных оболочек вращения при осевом сжатии с учетом поперечного сдвига.

Вводная глава — Осесимметричная деформация оболочки вращения,— содержит в себе вывод основных соотношений, используемых в дальнейшем: вводятся соотношения, описывающие геометрию оболочки вращения, двухмерные уравнения равновесия и соотношения упругости. При написании последних для модели оболочки типа Тимошенко, учитывающей поперечный сдвиг, принимается, что нормальные до деформации волокна остаются прямолинейными, однако они уже не перпендикулярны к деформированной срединной поверхности. Вводится угол сдвига 5 и принимается, что перерезывающее усилие Q1 пропорционально этому углу

Qi = kGh5, где G — модуль сдвига, h — толщина оболочки, к — поправочный коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по толщине и обычно принимаемый равным к — 5/6. Угол сдвига также вводится и в выражения для моментов. Далее показано, что уравнения равновесия, геометрические соотношения и соотношения упругости образуют вместе замкнутую систему пятого порядка, которая и используется в дальнейшем при исследовании осесимметричной деформации оболочки вращения.

В следующей главе исследуется осесимметричная потеря устойчивости транс-версально-изотропных оболочек вращения при различных условиях закрепления. Осесимметричная потеря устойчивости происходит, когда сжимающая нагрузка достигает предельной точки на кривой нагрузка - прогиб, в которой после чего нагрузка падает. Сначала исследуется оболочка, один край которой закреплен в радиальном направлении, а другой может свободно скользить по опорной плоскости. При определении величины предельной нагрузки используется метод асимптотического интегрирования, который позволяет существенно упростить нелинейную систему, подлежащую численному решению, а безразмерную предельную нагрузку Р искать в виде

P = P° + M(/o+ /> + /,-£;), (1.1), где ъ> - коэффициент Пуассона, к - кривизна оболочки, а Р°, /о, fu, fk~~ величины, зависящие только от угла конусности оболочки и сдвигового параметра, характеризующего мягкость на сдвиг в поперечном направлении. Величина fi, входящая в (1.1), пропорциональна корню квадратному от относительной толщины оболочки. Следующей рассматривается задача об осе-симметричном сжатии оболочки вращения с изломом срединной поверхности, которую также можно трактовать как задачу о сопряжении двух оболочек. Для ее решения также применен метод асимптотического интегрирования и выведена формула аналогичная (1.1). Дополнительно рассмотрены случаи устойчивости слоистой оболочки и оболочки, подкрепленной упругим кольцом. Все полученные аналитические результаты сопровождаются результатами численных расчетов. В конце главы сравниваются результаты, рассчитанные при разных значениях сдвигового параметра, оценивается величина поправки, вносимая в величину критической нагрузки моделью оболочки типа Тимошенко, по сравнению с величиной, полученной для классической оболочки типа Кирхгофа-Лява.

В последней главе выводится система уравнений устойчивости оболочки типа Тимошенко для случая, когда состояние, предшествующее бифуркации оболочки, является осесимметрично деформированным и описывается нелинейной системой уравнений пятого порядка. С использованием полученной системы рассматриваются две краевые задачи для оболочки, которая находится под действием осевой сжимающей силы Р, приложенной к ее торцам. В первой задаче один край оболочки закреплен в радиальном направлении, а другой край может свободно скользить по опорной плоскости. Во второй задаче оболочка жестко закреплена по обоим краям, но имеет излом образующей срединной поверхности. В обеих задачах численно ищется критическая величина осевого сжимающего услилия Р, при которой оболочка потеряет устойчивость вследствие бифуркации, если выполнится условие существования ненулевого решения системы уравнений устойчивости, или осесиммет-ричным образом, при достижении предельной точки на кривой нагрузка-прогиб. На. основании полученных численных результатов устанавливаются условия, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости.

Цель работы. В представленной работе оценивается влияние сдвига на , устойчивость оболочек вращения при различных условиях закрепления, а также сравниваются разные виды потери устойчивости.

Методы исследования. В работе активно применяются асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины оболочки и получившие широкое развитие в работах Гольденвейзера, Ворови-ча, Товстика и т.д. Для проверки асимптотических результатов применяются различные численные методы: метод начальных параметров, метод ортогональной прогонки, метод пристрелки, метод продолжения по параметру. При исследовании осесимметричной деформации оболочек вращения при больших поворотах нормали использованы уравнения Валишвили-Шилькрута. Для учета сдвига-используется модель Тимошенко-Рейсснера, получившая развитие в работах Рейсснера, Айнолы, Галимова, Григолюка и т.д.

Результаты, выносимые на защиту.

• Получены асимптотические формулы, описывающие зависимость критической нагрузки оболочки от различных параметров: сдвигового параметра, угла конусности, кривизны. Для нескольких видов закрепления оболочек вращения рассчитана критическая нагрузка, имеющая место при различных значениях сдвигового параметра, угла конусности и кривизны.

• Для оболочки, имеющей излом и подкрепленной упругим кольцом, приведены графики зависимостей, рассчитанные для разных сдвиговых параметров. Точки графиков показывают какая относительная толщина кольца обеспечивает при заданных значениях сдвигового параметра и угла конусности подкрепление, исключающее осесимметричную потерю устойчивости оболочки.

• Проведено сравнение двух видов потери устойчивости трансверсально-изотропной оболочки вращения при осевом сжатии и найдены условия, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости. Исследовано влияние сдвига на вид, по которому оболочка теряет устойчивость.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах на устойчивость широкого класса оболочечных конструкций. Особую ценность представляют результаты, связанные с оценкой влияния поперечного сдвига, из-за трудностей численного моделирования таких задач.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы [3, 4, 5, 6]. Основные результаты диссертации докладывались на международной научной конференции по механике "Четвертые поляховские чтения"( Санкт-Петербург, 2006) и на научно-практической конференции "Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития"(Одесса, 2005).

Структура и объем диссертации. Работа состоит из четырех глав и заключения. Глава 1 — введение. Глава 2 носит вспомогательный характер и содержит в себе обзор основных соотношений осесимметричной деформации оболочек вращения, используемых в дальнейшем. В главе 3 для нескольких видов закрепления оболочек вращения с учетом сдвига исследуется осесим-метричная потеря устойчивости оболочек вращения неотрицательной гауссовой кривизны. Глава 4 дополняет предыдущую главу и посвящена определению условий, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости, т.е. осесимметричная потеря устойчивости или бифуркация осесимметричной формы. Заключение содержит основные выводы. Общий объем диссертации составляет 68 страниц, включая 10 рисунков, 10 таблиц и библиографию, содержащую 102 наименования.

Заключение

В представленной работе, с учетом сдвига поперечных волокон, была исследована потеря устойчивости трансверсально-изотропных оболочек вращения, испытывающих осесимметричную деформацию порядка ц (величина ц пропорциональна корню квадратному от относительной толщины оболочки). Были получены следующие результаты:

• В зависимости от жесткости оболочки на сдвиг в поперечном направлении, оболочка может потерять устойчивость осесимметричным или неосесимметричным образом. Было показано, что потеря устойчивости оболочкой вращения в результате ее осесимметричной деформации, когда нагрузка достигает предельной точки на кривой нагрузка-прогиб, характерна для изотропных оболочек и для трансверсально-изотропных оболочек со сравнительно небольшой податливостью сдвигу. При более сильной анизотропии (при больших значениях G/G') бифуркация может предшествовать выворачиванию. Кроме того, вид, по которому оболочка может потерять устойчивость, зависит от угла наклона образующей (угла конусности). Оболочки с большим углом конусности (близкие к цилиндрическим) более подвержены бифуркации, чем пологие оболочки.

• В осесимметричном случае, для оболочки, со скользящим краем, была получена асимптотическая формула, которая позволяет безразмерную предельную нагрузку С искать в виде

С = С° + М + /ии + /кк), где С0 — нулевое приближение нагрузки, v — коэффициент Пуассона, к — кривизна оболочки, а /о, fk~ величины, зависящие только от угла конусности оболочки и сдвигового параметра А, характеризующего мягкость на сдвиг в поперечном направлении. Аналогичная формула была получена для оболочки с изломом образующей. В этом случае она принимает вид:

С=С° + (i(fо + fvv + /fcl А* + hik2), где /с2 - кривизны слева и справа от точки излома. Нулевое приближение С0 также зависит только от угла конусности при наиболее слабой параллели (в случае оболочки с изломом таких углов два) и от сдвигового параметра Л. Для изотропной оболочки сдвиговый параметр Л мал (Л ~ /i2), при Л = 0 система С0 дает предельную нагрузку без учета поперечного сдвига. С увеличением отношения G/G' сдвиговый параметр Л растет, а критическая нагрузка убывает. Так, например, согласно данным расчетов, для конуса, сопряженного с цилиндром, величина предельной нагрузки при А = О может отличаться от величины предельной нагрузки при Л = 0.8 уже на 50%.

Для оценки точности асимптотических формул проведено сравнение численных и асимптотических результатов. Показано весьма близкое соответствие численного и асимптотических результатов. Погрешность нулевого приближения почти нигде не превосходит величины /i2.

Показано, что для всех рассмотренных видов закрепления оболочек с ростом угла конусности величина С0(Л) меняется быстрее и диапазон принимаемых к рассмотрению Л растет. Верхняя граница Л определяется необходимым критерием устойчивости:

С0 < (2-Л sin 7) sin2 7.

При нарушении этого критерия происходит потеря устойчивости в результате бифуркации осесимметричной формы вдали от слабого края оболочки.

Для оболочки, имеющей излом и подкрепленной упругим кольцом, показано, как величина сдвигового параметра влияет на толщину кольца, исключающего возможность осесимметричной потери устойчивости. Для оболочки с изломом, образованным в результате сопряжения цилиндра с конусом, приведены графики зависимостей толщины кольца от угла конусности 7 и величины сдвигового параметра Л. Точки графиков показывают, какие толщины кольца обеспечивают при заданных 7 и Л подкрепление, исключающее осесимметричную потерю устойчивости оболочки.

Приведен пример использования рассмотренной модели оболочки в практических задачах: рассчитана многослойная оболочка с чередующимися мягкими и жесткими изотропными слоями. ч

60

1. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов — М.: Машиностроение, 1984 - 263 с.

2. Алфутов Я. А., Основы расчета на устойчивость упругих систем — М.: Машиностроение, 1978 - 311 с.

3. Анисимов В. Ю. Устойчивость трансверсально-изотропной оболочки вращения при осевом сжатии// Вестн. Петерб. ун-та. 2006. N 1. 68-78.

4. Анисимов В.Ю. Устойчивость оболочки вращения при осевом сжатии с учетом сдвига// Четвертые поляховские чтения: Избранные труды. СПб.: Издательство "ВВМ", 2006. 476-486.

5. Анисимов В.Ю. Влияние ортотропии материала на деформацию оболочки вращения при осевом сжатии// Вестн. Петерб. ун-та. 2005. N 4. 70-79..

6. Айнола Л. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН Эст. ССР. Серия физ. мат. и техн. наук. 1965. Т. 14 N 3. 337-344.

7. Айнола Л. Я., Ни гул У. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек // Изв. АН Эст. ССР. Серия физ. мат. и техн. наук. 1965. Т. 14 N 1. 3-63.

8. Аргатов И. И. Введение в асимптотическое моделирование в механике. — СПб.: Политехника, 2004

9. Бабенко В. И. Асимптотический анализ послекритического поведения пологих строго выпуклых оболочек вращения // Математическая физика и функциональный анализ. Вып. 4. Харьков. 1973. 139-150.

10. Бабенко В. И. К теории закритических деформаций сферических оболочек // Докл. АН УССР. Сер. А. 1966. N 2. 166-168.

11. Бауэр СМ., Зимин Б. А., Товстик П.Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. - СПб.: Изд-во -Петерб. ун-та, 2000. 92с.

12. Болотин В. В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций — М.: Машиностроение, 1980 - 375 с.

13. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. — М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

14. Валишвили Н.В., Cm егний В.Н. О формах равновесия пологих сферических оболочек. // Известия АН ССР. МТТ. 1968, Ж6, с. 131 -137.

15. Василенко А. Т., Голуб Г. П., Григоренко Я.М. Определение напряженного состояния многослойных ортотропных оболочек переменной жесткости в уточненной постановке. //Прикладная механика, 1976. Т. 12, № 2 с. 40 - 47.

16. Викторов И. В., Товстик П.Е. Влияние сдвига на устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии. // Вестн. Петерб. ун-та. 2004. Серия 1, N 4. 58-67.

17. Вишик М.И. Лю cm ер ник Л. А. Регулярное вырождение в пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром.// Успехи Математических наук. 1957, т. XII, вып. 5 (77).

18. Ворович И. И., Минакова Н.И. Устойчивость непологого сферического купола. // Прикл. мат. и мех. 1968, Т. 32, вып. 2.

19. Ворович И. И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек. // Материалы I Всесоюзной школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин (Гегечкори, ГССР, 1974), Тбилиси, 1975, с. 51 - 149

20. Ворович И. И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек. // Тр. II Всесоюзн. съезда по теоретической и прикладной механике, М.: Наука 1966, Вып. 3 с. 116 - 136.

21. Ворович И.И., Зипалова В. Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши. // Прикл. мат. и мех. 1965, Т. 29, с. 694 - 901.

22. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. //Под. ред. К. 3. Гали- мова. Казань: Изд-во Казан, ун - та, 1977. 212 с.

23. В о ль мир А. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.гНаука, 1972. 432 с.

24. Г а ли мо в К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко. //Изв. АН. СССР. МТТ. 1976. № 4 с. 155 - 156.

25. Григоренко Я.М., Тимонин A.M. Напряженное состояние слоистых оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и сдвига. //Доклады АН. УССР. Серия А, 1980. № 9. с. 46-50

26. Галинъш А. К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям.// Исследования по теории пластин и оболочек. Казань.: Изд.-во казанского ун-та, 1967. Вып. 5, с. 66 - 92.

27. Годунов К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений//Успехи матем. наук. 1961. 16 N 3. 171-174..

28. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек, М. 1976. 512 с.

29. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. — Киев: Вища шк., Физматлит. 1983.

30. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Механика деформирования сферических оболочек. — М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1983.

31. Григолюк Э.И., Мамай В. И., Фролов А.Н., Исследование устойчивости непологих сферических оболочек при конечных перемещениях на основе различных уравнений теории оболочек. // Известия АН ССР. МТТ. 1972, №.5, с. 154 - 165.

32. Григолюк Э.И., Мамай В. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. — М.: Наука, Физматлит. 1997.

33. Григолюк Э. И., Куликов Г.М. Численное решение задач статики геометрически нелинейных анизотропных многослойных оболочек вращения. //Механика композитных материалов. 1981. №3 с. 443-452.

34. Короткова П. В. Об определении предельной нагрузки при осевом сжатии нелинейно упругой оболочки вращения // Вестн. Петерб. унта. 1997. N 1. 71-75.

35. Кузнецов Н.Д., Карташов Г. Г. Прикладная теория колебаний анизотропных слоистых оболочек переменной жесткости. //Прикладная механика, 1980. Т. 16, № 11 с. 52 - 57.

36. Куликов Г.М. Численное исследование задач прочности анизотропных слоистых оболочек вращения сложной формы. //Изв. АН ССР. МТТ. 1981. №4 с. 192.

37. Майборода А. Л. Построение основного интеграла в задаче о потере устойчивости выпуклых оболочек вблизи края.// Вестник Ленингр. Унта - Серия Мат. Мех. Астрон. - 1986, № 1, с. 123-126.

38. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. — Л.: Политехника, 1991. 656 с.

39. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. - Киев: Наукова Думка. 1973. 248 с.

40. Погорелое А. В. Геометрические методы в нелинейной теории'упругих оболочек. — М.: Наука, 1967.

41. Погорелое А. В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. - М.: Наука. 1966. 296с.

42. Прусаков А. П. Нелинейные уравнения изгиба пологих многослойных оболочек. //Прикладная механика, 1971. Т. 7, № 3 с. 3 - 8.

43. Рикардс Р. Б., Тетере Г. А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. — Рига: Зинатне, 1974, 270 с.

44. Ср у бщ и к Л. Нелинейный анализ устойчивости непологих оболочек вращения методом матричной прогонки. // Гидромеханика и теория упругости. 1980 Вып. 26 с. 155 - 159.

45. Ср у бщ и к Л. Асимптотический метод определения критических нагрузок потери устойчивости строго выпуклых оболочек вращения // Прикл. мат. и мех. 1972. Т. 36. N 4. 705-716.

46. Тимошенко СП., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.:Машиностроение, 1985, 472 с.

47. Тимошенко СП. Статические и динамические проблемы теории упругости. — Киев: Наукова думка, 1975, 563 с.

48. Тимошенко СП. К вопросу о деформациях и устойчивости цилиндрической оболочки. // Изв. Электротехнического ин-та. Петроград 1914.

49. Товстик П.Е. Устойчивость многослойной цилиндрической оболочки при осевом сжатии.// Изестия высших учебных заведений. Северо-кавказкий регион, Естественные науки. - 2004 - Спец. выпуск.

50. Товстик П.Е. Потеря устойчивости тонких оболочек, связанная со слабым закреплением края.// Вестник Ленингр. Ун- та - Серия Мат. Мех. Астрон. - 1991, № 3.

51. Товстик П.Е. Устойчивость оболочек вращения с изломом срединной поверхности // Тр. 18 межд. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов. 1997. Т. 2. 120-127.

52. Товстик П.Е. Осесимметричная деформация оболочек вращения из нелинейно упругого материала// Прикл. мат. и мех. 1997 №4 с 660 - 673

53. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. - М.: Наука, 1995. 320 с.

54. Товстик П.Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вра-' щения при осевом сжатии// Вестн. Петерб. ун-та. 1995. N 1. 95-102.

55. Феодосьев В. И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем // Прикл. мат. и мех. 1963, Т. 27, Вып. 2 с. 265 - 274.

56. Феодосьев В. И. Осесимметричная эластика сферической оболочки. // Прикл. мат. и мех. 1969, Т. 33, вып. 2. с. 280-286

57. Фихтенгольц Г.М., Основы математического анализа (Т. 2) — СПБ.: Издательство "Лань 2001 - 464 с.

58. Черняев СП. Сравнение двух видов потери устойчивости оболочек вращения при осевом сжатии.//Вестник -Петерб. Ун-та - Сер. 1, 2003, Ж2 104-110.

59. Шаповалов JI.A. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек. // Инженерный ж. Мех. Тв. Тела 1968. № 1 56-62.

60. Шереметьев М.П., Лунь Е.И. Уточнение линейной моментной теории тонких оболочек. //Труды IV Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во АН. Арм. ССР, 1964. с. 991 - 996.

61. Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells//Quarterly of Applied Mathematics, 1957 Vol.14, N. 4, p. 369 - 380.

62. Seishi Y., Kazuo V., Motohiko Y. Experimental Investigation of the buckling of shallow spherical shells. // Intern. J. Non-Linear Mech. 1983, Vol. 18, № 1 p. 37 - 54.

63. Reissner E. On finite symmetrical deflections of thin shells of revolutions. Trans. ASME. Ser. E.J. Appl. Mech. 1969. Vol. 36, № 2 p. 267-270.

64. Reissner E. Stress strain relations on the theory of thin elastic shells//Journal of Mathematics and Phisics, 1952 Vol.31, N. 2, p. 109 -119.

65. Reissner E. On axisymmetrical deformations of thin shells of revolutions. Proc. 3rd. Symp. Appl. Math. 1950. Vol. 3 p. 27-72.

66. Reissner E. On the theory of thin elastic shells//Reissner Anniversary Volume. Contributions Appl. Mech. Ann Arbor (Michigan): J.W. Edwards, 1949 p. 231 - 247.

67. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates//Journal of Mathematics and Phisics, 1944 Vol.23, N. 4, p. 184 - 191.

68. Thurston G.A. A numerical solution of nonlinear equations of shallow spherical shells. Trans. ASME. 1961. Vol. E28, № 4 p. 557-562.

69. T imoshenko S.P. On the Correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars. // Philos. mag. 1921 Vol. 4 Ser. 6 № 242 P. 744 - 746

70. Tovstik P.E. The Post-buckling Axisymmetrical Deflections of Thin Shells of Revolution under Axial Loading // Technische Mechanik. 1996. B. 16. Helf 2. P. 117-132.

71. Tovstik P.E., Tovstik T.P., On the 2D models of plates and shells including the transversal shear// Z. Angew. Math. Mech. 2007 V. 87 N 2. 160-171

72. We initschke E.J. On the nonlinear theory of shallow spherical shells.// J.Soc. Ind. and Appl. Math. 1958. Vol.6, №3. P. 209-232.

73. Wenbin Yu, Dewey H. Hodjes. A Geometrically Nonlinear Shear Deformation Theory. // ASME. J. Appl. Mech. 71 (2004), 1-9.