Устойчивость оболочек вращения, армированных волокнами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи Викторов Ивам Викторович

УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ, АРМИРОВАННЫХ ВОЛОКНАМИ

4848217

01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 КЮН 2011

4848217

На правах рукописи

Викторов Иван Викторович

УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ, АРМИРОВАННЫХ ВОЛОКНАМИ

01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Товстик Пётр Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Иванова Елена Александровна (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет)

кандидат физико-математических наук доцент Михеев Артём Валерьевич (Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" )

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита состоится 9 июня 2011 г. в 12.00 на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28. математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан _______2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кустова Е.В.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Оболочечные конструкции широко применяются в судостроении, авиастроении, приборостроении, ракетной технике, строительстве, машиностроении и во многих других отраслях промышленности. Использование композиционных материалов позволяет усилить одно из главных их преимуществ — сочетание лёгкости с высокой прочностью. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчёт на устойчивость. В наше время решение этой задачи при помощи одного из численных методов непосредственно или с помощью прикладных программ, их реализующих, не является неразрешимой задачей. Однако аналитические методы дают качественное понимание вопроса, что помогает контролировать результаты и корректно формулировать задачи численного моделирования.

Вопросам теории оболочек посвящено много научных трудов. Фундаментальными в этой области являются монографии В.З. Власова, А.Л. Гольденвейзера, И.В. Лурье, В.В. Новожилова, К.Ф. Черныха и других. Существует большое количество работ и освящённых исследованию конструктивно анизотропных материалов, среди которых назовем работы Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова, В.Л. Нарусберга и Г.А. Тетерса, Ю.В. Немировского и А.П. Янковского. Общие вопросы устойчивости изложены в работах H.A. Алфутова, A.C. Вольмира, Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова, С.П. Тимошенко, П.Е. Товстика и многих других.

Теоретические методы исследования, которые используются для анализа устойчивости оболочек, можно условно разделить на две группы: аналитические и численные. Поведение оболочек описывается довольно сложными дифференциальными уравнениями и на первых этапах развитие методов их решения шло по пути упрощений, введения различных предположений, гипотез исходя из физических, геометрических и других соображений. Но в настоящее время широкое распространение получили многие численные методы: метод конечных разностей, метод конечных элементов и другие, что связано с наличием быстродействующих вычислительных машин. Также для исследования устойчивости оболочек используется ряд пакетов прикладных программ, таких как ANSYS, ABAQUS и другие, основанных на методе конечных элементов.

Однако не следует пренебрегать и развитием аналитических методов и, в частности, асимптотических. В уравнения теории оболочек входит толщина /г, которая мала по сравнению с другими размерами оболочки. Это позволило применить асимптотические методы к исследованию поведения оболочек. Асимптотические методы позволяют достаточно быстро провести расчёты, как на устойчивость, так и на колебания, прочность, дать качественный анализ этих явлений. Также они полезны при выборе эффективных численных методов и позволяют упростить анализ числен-

ных результатов. Весьма эффективным аналитическим методом решения задач устойчивости оболочек является используемый в настоящей работе локальный подход, заключающийся в том, что переменные коэффициенты замораживаются, а граничные условия игнорируются. Первоначально этот подход был предложен Ю.Н. Роботновым, а затем развит В.П. Ширшовым, П.Е. Товстиком, Г.И. Михасевым, A.B. Михеевым и другими.

Приведённый анализ литературы показывает, что проводимые ниже исследования по устойчивости оболочек, подкреплённых волокнами, с одной стороны находятся в русле работ по устойчивости, а с другой — дополняют полученные ранее результаты. Тем самым обоснованна актуальность темы диссертации.

Целью работы является исследование устойчивости оболочек вращения, подкреплённых системами нитей, в зависимости от характера армирования.

Методы исследования. В работе приводятся двухмерные уравнения теории оболочек, получающиеся при использовании методов гипотез Кирхгофа-Лява и Тимошенко. Соотношения упругости, описывающие жесткость элемента оболочки на растяжение, изгиб (и сдвиг) получаются осреднением жесткости матрицы и нитей по толщине оболочки. Анализ уравнений устойчивости осуществляется локальным подходом п контролируется численным методом ортогональной прогонки.

Новые результаты, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

1. С применением локального подхода получены явные приближенные формулы для критической нагрузки и формы выпучивания в задаче устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии с винтовой анизотропией, появляющейся при армировании одной системой нитей. Найдена зависимость критической нагрузки от угла армирования п распределения нитей по толщине оболочки.

2. Проведён анализ устойчивости ортотропной цилиндрической оболочки, полученной путём симметричного армирования двумя системами нитей. Найдена критическая нагрузка и форма потери устойчивости в зависимости от угла армирования. Проведена оценка точности локального подхода путём сравнения с результатами метода ортогональной прогонки для различных граничных условий. Проведено сравнение результатов в рамках гипотез Кирхгофа-Лява н Тимошенко.

3. Решён ряд задач устойчивости сферической и конической оболочек, симметрично армированных двумя системами нитей. Найдена наиболе слаг бая параллель, в окрестности которой локализуется форма потери устойчивости. Для конической оболочки решена задача оптимального армирования, приводящая к уменьшению расхода армирующих элементов без сни-

женпя критической нагрузки.

4. Рассмотрена модель нитей, слабо сопротивляющихся сжатию, что приводит к разномодульной теории упругости. В рамках этой модели рассмотрена осесимметричная деформации цилиндрической оболочки под действием внешнего давления.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием традиционных уравнений теории оболочек, сравнением приближенных и численных результатов, а также с результатами работ других авторов.

Практическая ценность. Разработан эффективный метод учета жесткости волокон в составе композиционной оболочки. Разработаны алгоритмы исследования и получены простые формулы, удобные для приближенных расчетов на устойчивость.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной научной конференции по механике "Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2003, 2006. 2009); на Международной конференции "Четвёртые Окуневские чтения" (Санкт-Петербург, 2004); на XIII Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2009); на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (Санкт-Петербург, 2004, 2011), а также на заседаниях кафедр теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского университета и кафедры теории упругости Южного федерального университета.

Публикация результатов. По теме диссертации имеется 8 опубликованных работ [1- 8]. В статье [1] соискателю принадлежат параграфы 7-9, в которых рассмотрено влияние сдвига на устойчивость цилиндрической оболочки, симметрично армированной двумя и тремя системами нитей. Соавтору принадлежат параграфы 1-6, в которых обсуждаются гипотезы Тимошенко, приводятся уравнения двухмерной теории круговых цилиндрических оболочек, и рассматривается устойчивость трансверсально-изотропной н многослойной цилиндрических оболочек. В статьях [2, 8] П.Е. Товстику принадлежит анализ общих вопросов, связанных с анизотропией теории оболочек, а реализация анизотропии, вызванной наличием нитей, — соискателю. В подготовки докладов и материалов на конференциях (см. [4, 8]) вклад соавторов одинаковый. Статьи [1 - 3] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из оглавления, семи глав и списка литературы, содержащего 91 наименование. Текст работы изложен на 73 страницах. Диссертация содержит 32 рисунка и 2 таблицы.

Краткое содержание работы.

В первой главе кратко описывается история развития теории оболочек, композиционных оболочек, вопросов устойчивости оболочек, методов исследования и определяется место, которое занимает данная работа. Обозначена цель работы, описаны применяемые методы и сформулированы результаты выносимые на защиту.

Во второй главе приводятся основные соотношения, которые будут использоваться во всех дальнейших главах. Рассматривается тонкая изотропная оболочка вращения, подкрепленная N системами волокон, наклонёнными под углами в к к образующей, где к = 1, 2,... N. Предполагается, что нити равномерно распределены по окружности оболочки симметрично относительно срединной поверхности.

Напряжения в оболочке представляют собой сумму напряжений в матрице и осредненных напряжений растяжения-сжатия волокон

Рис. 1: Армированная оболочка вращения

Для к-ой системы волокон

Деформации еу принимаются линейными функциями координаты г

^11= £1+^13, £12 2тz, £22=^2+^2",

где £х. £2 и ш — деформации растяжения-сжатия; хь^цт - деформации изгиба-кручения

дих го 1 ди2 В' ьи

ди2 В' 1 дщ

дъ 1 а72 в'

- Ё1. 1 0и2

В72 + Кг дз '

Ягу щ 1 ди> и г

Предполагая, что нити симметрично расположены относительно срединной поверхности, получим выражения для усилий То, 5 и моментов Мх, М2, Я:

1\ = Хц£1 + А\2£2 + Кх3и, Т2 = К2Х£Х + К22£2 + К23ш, (1)

з = А'з1£Х + К32е2 + Кззи,

М\ = Ицщ + 0Х2х2 + 2£>13т,

М2 ^ £>21^1 + £>22^2 + 2£>23Т; (2)

Я = 1)31^1 + £)32^2 + 2Дзз г.

Рассмотрим г-ую систему нитей. Предполагаем, что = ¿¿/¿(г), где ¿г — относительный объём, занимаемый ¿-ой системой нитей, /¡(г) — четная функция, описывающая характер распределения нитей по толщине оболочки. Тогда характер армирования оболочки г-ой системой нитей полностью задается двумя безразмерными параметрами кг, с^ имеющими смысл относительной жесткости г-ой системы нитей на растяжение-сжатие и на изгиб-кручение соответственно.

, /, 2ч . /, 2ч12 ЕА [Н/2 г г \ 2,

кг = (1- 1*0 Ъ = (1- "о)ТзгГТ / /г (2)2 £¿2,

¿ада пл Ьад0 у_л/2

Параметр к{ > 0 не зависит от характера распределения волокон /¿(г) (случай к^ = 0 соответствует оболочке, не подкрепленной г-ой системой нитей). В то же время параметр сЦ сильно зависит от распределения нитей по толщине оболочки. Он изменяется от с^ = 0 (нити расположены

на срединной поверхности) до di = 3fej (нити расположены на лицевых поверхностях г = ±h/2). В случае равномерного распределения нитей по толщине оболочки di = fcj.

Коэффициенты Kij и в (1, 2) задаются по формулам

N N

Ки = к0(1+Y, Ki2 = = +53 )-

г= 1 г—1

N , _ N

K22=Ko(l + Y,hsi), Кзз = Яо(^+5>с?б?). (3)

г=1 " г—1

N N

Kï3 = К31 = Ко 53 ki°iSi> К23 = Яз2 = ^^ '

г=1 г=1

N N

Du = D0(l + D12 = I>2i = A>(*b + ).

¿=1 i=l N , _ N

Да = A>(1+][>«?), Рзз = Аз(-^+Х>Фч2), (4) i—1 i=l N N

Dis = Aîl = £»0 53 Si> = -°32 = A) 53 diCi8? ' ¿=1 ¿=1

Eoio/i n Eoôoh3 ,

где, A0 = --ô, = -Г777]-2T 5

1 - v5 12(1 - i/^)

Уравнения бифуркации безмоментного напряжённого состояния оболочки вращения имеют вид

«ffia-OTi+w,, «к+гцэ+м=о,

05 Oip Oip OS

s

Считаем, что нагружение однопараметрическое, определяемое параметром Л

{7?, 7?, = Ь2, ¿з}.

Построение локальных форм потери устойчивости оболочки — это простейший способ анализа её устойчивости, который при определенных ограничениях дает хорошее первое приближение для критической нагрузки и

для формы потери устойчивости. При этом граничные условия игнорируются, а переменные коэффициенты системы замораживаются. Вводим координаты dxi — ds, dx2 = Bdip. Перемещения ищутся в виде

и\ — sin z, и2 = sin z, iv = №° eos z, z —- рхi + qx2 ■

где Ui, и®. w° — амплитуды, а р, q — волновые числа. Находим Л как функцию волновых чисел р и q

b = q) = —^—. где

Be = ¿(fe+ R¡) ' Bt=tlP2 + 2t3pq + t2q2, A = A22pA - 2A23p3q + (2Л12 + A33)p2q2 - 2Al3pq3 + AuqA,

B„ = Dnp4 + 4 Dl3p3q + (D12 + 2 D33)p2q2 + AD23pq3 + D22qA.

Здесь ввели A¿j, элементы матрицы Л = К~1.

Критическую нагрузку получим, минимизируя функцию f(p,q) по ее аргументам. С этой целью положим р — г cosa, q = г sin a. Выполнив минимизацию по аргументу г, получим

у/В*Е(а)В*м(а) 4 В;{а) Л°-гт ВЦа) ' Г°~В%(аУ (6)

где Ве = В'е{а), Bx = r4B*(a), Вг=г2ВЦа), Д = г4Д».

Для удобства последующего анализа перейдём к безразмерным переменным, отнеся усилия и моменты к Ко из (5), а линейные величины к R. Введем малый параметр толщины оболочки д и параметр нагружения Л по формулам

Такой выбор параметра Л дает Л = 1 при осевом сжатии цилиндрической оболочки без нитей.

В третьей главе рассматривается локальная устойчивость цилиндрической оболочки, армированной одной системой волокон под постоянным углом в к образующей. При таком характере подкрепления оболочка обладает свойством винтовой анизотропии. Исходя из формулы (6) для критической нагрузки, в случае осевого сжатия (ti = 1, t2 = t3 = 0) имеем

• / (1 + fc — г/2)(1 + dcosA(a — в))

~~ màn V (1 + f)(l — v + fccos2(a — в)(2 — (1 + ¡/) cos2(a — 0))); ^ }

Из (7) видно, что критическую нагрузку можно определить минимизируя не по углу волнообразования а, а по углу наклона вмятин относительно волокон а — в. В таком случае результат не будет зависеть от угла армирования в и будет иметь вид

Л = у1 +

соэ2(а - в)

■у/4Ы* + - <(<Р) 2(1+1/) 2

где t{dt) = {l + v) + d*{\-v),

у/ам* -и2(сг*)-и(<г*)' (I

<г =

О < й* < 3.

Отдельно запишем эти соотношения для трёх частных случаев распределения волокон по толщине: волокна на срединной поверхности, равномерно распределены по толщине, волокна на лицевых поверхностях оболочки (с? = 0, й = к и d = ЗА; соответственно)

сI Л со в2(а-0)

О

3 к

1

1

1 +

уТ+1-1

1 + 1У

1 + и 1

'1 +

л/ЗЛ; + (2 - г/)2 -{2-й)

у/к +1+1 1

(8)

1 + 1/

у/3 к + (2 - и)2 + (2 - и)

На Рис. 2 показана зависимость критической нагрузки Л и разности углов армирования и волнообразования |а — 01 для трёх рассмотренных случаев (8) распределения волокон по толщине оболочки (слева и справа соответственно). При построении графиков считали, что г/о = 0.3. Из (8) и Рис. 2

Рис. 2: Зависимость Л и угла |а — 0\ от относительной жёсткости армирования к

видно, что в случае оболочки армированной одной системой волокон, расположенной на срединной поверхности, увеличения критической нагрузки

Л по сравнению с изотропной оболочкой не происходит. В этом случае армирование влияет только на форму потери устойчивости.

Задачи устойчивости оболочки с винтовой анизотропией при кручении и внешнем давлении рассматривались в 3.2. Для этих двух задач выражение для критической нагрузки искалось при помощи разложения по малому параметру /3, являющемуся котангенсом угла наклона вмятин к образующей.

В четвёртой главе рассматривается локальная устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии, подкрепленной двумя системами нитей, наклоненных к образующим под постоянными углами 0 и —в. При таком характере подкрепления оболочка является ортотропной. Критическую нагрузку Л определяем по формуле (С) для случая осевого сжатия («1 = 1, = *3 = 0).

Л В3

Рис. 3: Зависимость критической нагрузки от угла армирования.

На Рис. 3 представлена зависимость критической нагрузки от угла наклона нитей при значении к = 1 (жесткость на растяжение нитей равна жесткости матрицы) для трёх значений параметра изгибной жесткости с1 — О, А = к, й = 3к (кривые АоЮд, /11/Л. соответственно). Пре-

вышение значения Л по сравнению с Л = 1 указывает на подкрепляющее влияние нитей. Видно, что подкрепляющий эффект является минимальным, если нити расположены в срединной поверхности оболочки (с1 = 0), максимальным — в случае расположения нитей по поверхностям оболочки

{й = Щ.

Опишем форму потери устойчивости, которая характеризуется параметром а. На участках и CíDi имеем 0 < а < тг/2, т. е. вмятины имеют шахматный характер (здесь и далее для точек Л¿, Д, C^ и индекс г принимает значения г = 0,1,3). На участке В^С^ угол волнообразования а = 0 и вмятины осесимметричные. Угловые точки на графике возникают в связи с трансформацией формы потери устойчивости. Видим, что при <1 = 0 и 0 = 0, 7г/6, 7г/3, 7г/2 нити не подкрепляют оболочку, так как форма потери устойчивости такова, что в данных направлениях срединная по-

верхность не испытывает растяжения. Качественная картина зависимости критической нагрузки от угла армирования не сильно меняется при усилении заделки краев оболочки, а лишь увеличивается значение параметра Л.

В 4.2 проводится сравнение данных, полученных при помощи локального подхода, с результатами численного интегрирования. Был использован метод ортогональной прогонки для трёх вариантов граничных условий: жёсткое закрепление обоих кондов; шарнирное опирание на обоих концах; шарнирное опирание на одном и жесткое закрепление на другом конах оболочки.

Локальный подход даёт хорошие результаты для шарнирно опёртой на обоих концах оболочки. При усилении заделки краёв локальный подход также приводит к приемлемым результатам в случае, если оболочка достаточно длинная. На Рис. 4 проводится сравнение критической нагрузки,

Рис. 4: Зависимость критической нагрузки от угла армирования.

полученной при локальном подходе, с результатами численного интегрирования при условиях жесткого закрепления на обоих краях. Сплошной линией показано значение параметра нагруження Л, полученное при локальном подходе, точками — результаты численного интегрирования. В обоих случаях считаем (1 = к = 1. Разница же между графиками а и Ь на Рис. 4 заключается в том, что при вычислении результатов для а высота оболочки считалась равной радиусу, а для Ь — четырем радиусам.

В пятой главе рассматривается устойчивость нецилиндрических оболочек вращения, симметрично армированных двумя системами нитей. В отличие от цилиндрических оболочек, здесь плотность волокон меняется вдоль образующей при постоянном угле армирования. В 5.1 обсуждались локальные формы потери устойчивости сферической оболочки при осевом сжатии осевом растяжении и равномерном внешнем давлении, для трёх случаев распределения нитей по толщине оболочки. В 5.2 на примере устойчивости усеченного конуса при осевом сжатии рассматривалась задача об изменении угла армирования таким образом, чтобы все горизон-

Л

а

л в, Ь С;

тальные сечения оболочки были в равной мере предрасположены к потере устойчивости. Считалось, что нити равномерно распределены по толщине оболочки. Решение такой задачи позволяет экономить армирующий материал без изменения критической нагрузки.

В шестой главе исследуется локальная устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии с использованием гипотез Тимошенко. Рассматривается случай симметричного подкрепления двумя системами нитей, приводящий к тому, что оболочка становится ортотропной.

Вводятся независимые от перемещений срединной поверхности углы и #2 поворота нормального до деформации волокна. Изменения кривизны и кручения срединной поверхности «а, «2- т в модели Тимошенко задаются по формулам

г к - 2т--— —

1 ds ' 2 dip ' ds dtp

Перерезывающие усилия Qi и Qn

Qi = k*GM, C< = tfi-7i. ¿ = 1.2, = |

где (i и (2 — углы сдвига, k* — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения напряжений сдвига по толщине оболочки. Считаем, что при деформации сдвига на углы и £2 нити не работают, тогда упругие модули сдвига G13 и G23 равны А'12 при к — 0:

Случай ос.есимметричной потери устойчивости приводит к простым расчетным формулам для параметра нагружения

А = 2М2 _ К12) - - , (9)

без учета сдвига последнее слагаемое в формуле (9) опускается.

На Рис. 5 показана зависимость нормированной критической нагрузки Л от угла армирования в для случая циклически симметричной потери устойчивости. Сплошной линией показана критическая нагрузка, полученная с использованием гипотез Тимошенко, а пунктиром — полученная при тех же параметрах оболочки с использованием гипотез КирхгофагЛява. Считали к = 10, [1 — 0.1, щ — 0.3. Из графика видно, что даже для случая довольно большой относительной жёсткости волокон вносимая поправка незначительна.

л

Рис. 5: Сравнение моделей Кирхгофа-Лява и Тимошенко

В седьмой главе рассматривается деформация ортотропной оболочки, симметрично подкрепленной двумя системами нитей, равномерно распределённых по толщине оболочки. Поведение армирующих волокон в случае сжатия считается существенно нелинейным, а именно, предполагается, что жёсткость нитей становится пренебрежимо малой при достаточно больших деформациях сжатия.

Осредненные напряжения, связанные с растяжением-сжатием волокон, будут имеют вид

_ ¿Лк) (*) С1 (к) (к) _ 2 (к) "11 ~ ска > °12 ~ ^к^к" , 022 — 8к"

Введём новую модель волокна, согласно которой осредненные напряжения в направлении 9к для системы волокон определяются формулами

{к) ( Ек5ке{к\ еМ>-е0, а ~ \ 0, £<*> < -£о.

Деформации в направлении волокон линейно зависят от г

£^=£т + кг7 где ет = С\£\ + с2е2, к = С\К\ + с2п2. (10)

Здесь ет — деформация растяжения-сжатия срединнной поверхности в направлении 0. Пусть еъ = |>г|/г/2 — максимальное значение второго слагаемого в выражении для с№ из (10), соответствующего деформациям изгиба. Возможны следующие три случая:

1. Если ет > еъ — £о, то волокна системы растянуты при всех значениях г, а уравнения состояния имеют вид (1), (2) с коэффициентами в них, вычисляемыми по формулам (3), (4).

2. Если Ет < —£ь — Ео, то волокна не сопротивляются сжатию, и в этом случае выражение для усилий и моментов вычисляются по тем же формулам, что и в предыдущем случае, но без учета влияния нитей, то есть при к = 0.

3. В промежуточном случае \£о+£т\ < £ь волокна сопротивляются сжатию только в части объема оболочки. В этом случае

Мг

г = 1,2,3,

где Т!>°\ Мте же, что и в случае 2, а усилия Т^ и моменты М-^ зависят и от деформаций растяжения-сжатия е^ и от деформаций изгиба х,-

Рассмотрим осесимметричную деформацию цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении. На краях оболочки й = 0 и в = Ь зададим граничные условия шарнирного опирания Т\ — ш = М\ = 0. Предполагаем, что волокна линейно упругие, сопротивляющиеся как сжимающим, так н растягивающим усилиям. Выражения для деформации растяжения-сжатия е,п и изгиба £ь можно записать в виде

Vсоэ2 в ■

-и\

>/3,

Р

(I2

IV

йз2

СОЙ2 О

1 + к С084 в

Из (11) видно, что знак £т зависит от коэффициента при и. Находим

1

(11)

: агссоз-

лЛ + Из"

Если угол намотки нитей в < в*, то волокна частично перестают работать только в зоне краевого эффекта, а вдали от края они растянуты по всей толщине оболочки. Если в > 0*, то при таких углах намотки нити частично работают только в зоне краевого эффекта, причем при достаточно больших углах намотки перестают работать и на краю оболочки. На Рис. 6 показана

И'

1 -

0.8 0.6 0.4 0.2

л л л

Т Т з"

Рис. 6: Зависимость деформации и> от угла намотки нитей 9.

зависимость прогиба го от угла намотки нитей в для середины оболочки яо = £/2, пунктиром обозначен участок полученный из предположения, что волокна работают на сжатие. При этом считалось, что Н/Я = 1/50, дп = 1, щ = 0.3, к = 10. Для таких значений параметров нити перестают частично работать в областях краевого эффекта при в > 0.36587г.

Публикации автора по теме диссертации.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Викторов И.В., Товстик П.Е. Влияние сдвига на устойчивость ор-тотропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 4. С. 58-67.

2. Викторов И.В., Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических оболочек с винтовой анизотропией. // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы механики. Естественные науки. Спецвыпуск. 2009, С. 54-58.

3. Викторов И.В. Деформация цилиндрической оболочки, армированной нелинейно упругими нитями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 1. С. 73-76.

Другие публикации:

4. Викторов И.В., Товстик П.Е. Осевое сжатие конической оболочки из разномодульного материала // Третьи Поляховские чтения: Тезисы докладов международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург 4-6 февраля 2003 г. — СПб.: Издательство НИИХ С.Петербургского университета, 2003. С. 182-183.

5. Викторов И.В. Осевое сжатие конической оболочки из разномодульного материала // Третьи Поляховские чтения: Избранные труды международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург 4-6 февраля 2003 г. — СПб.: Издательство НИИХ С.Петербургского университета, 2003. С. 244-249.

6. Викторов И.В. Устойчивость при осевом сжатии цилиндрических оболочек, армированных нитями // Международная конференция "Четвертые Окуневские чтения". 22 - 25 июня 2004 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов. - СПб.: Балт. гос. техн. ун-т., 2004. - С. 30.

7. Викторов И.В. Локальные формы потери устойчивости конструктивно ортотропных оболочек // Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды 2004-2005 гг." под ред. А.Л. Смирнова, Е.Ф. Жигалко. - Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. С. 46-59.

8. Викторов И.В., Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости анизотропных цилиндрических оболочек. // Труды XIII Междунар. Конф. "Современные проблемы механики сплошной среды Ростов-на-Дону, 2009, Том I. С. 57-62

Подписано в печать 28.04.2011 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 1182 Отпечатано в ООО "Рпринт.ру" 190000, Санкт-Петербург, пер. Гривцова, д.1/64, т.: (812) 702-72-27.

1 Введение.

2 Основные соотношения.

2.1 Соотношения упругости в тонкой оболочке, армированной нитями.

2.2 Соотношения упругости в ортотропной оболочке.•

2.3 Устойчивость безмоментного напряженного состояния.

2.4 Локальный подход.

3 Устойчивость цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией.

3.1 Устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии.

3.2 Устойчивость длинных цилиндрических оболочек при кручении и при внешнем давлении.

4 Устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки.

4.1 Устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии

4.2 Влияние граничных условий.■

5 Устойчивость нецилиндрических оболочек.

5.1 Устойчивость сферической оболочки.

5.2 Устойчивость конической оболочки при осевом сжатии.

6 Влияние сдвига на устойчивость цилиндрической оболочки.

6.1 О гипотезах Тимошенко.

6.2 Случай осесимметричной потери устойчивости.

6.3 Циклически симметричная потери устойчивости.

7 Деформация цилиндрической оболочки, армированной нелинейно упругими нитями.•

7.1 Соотношения упругости.

7.2 Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки. . 62 Список использованных источников.

Оболочечные конструкции широко применяются в судостроении, авиастроении, приборостроении, ракетной технике, строительстве, машиностроении и во многих других отраслях промышленности. Использование композиционных материалов позволяет усилить одно из главных их преимуществ — сочетание лёгкости с высокой прочностью. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчёт на устойчивость. В наше время решение этой задачи при помощи одного из численных методов непосредственно или с помощью прикладных программ, их реализующих, не является неразрешимой задачей. Однако аналитические методы дают качественное понимание вопроса, что помогает контролировать результаты и корректно формулировать задачи численного моделирования. .

Вопросам теории оболочек посвящено много научных трудов. Фундаментальными в этой области являются монографии В. 3. Власова [21], А. Л. Гольденвейзера [23, 24], И. В. Лурье [40], В. В. Новожилова [53], К. Ф. Черны-ха [77, 78] и других.

Использование композиционных материалов позволило добиться значительно лучших показателей по жёсткости и прочности при относительно малом весе конструкций. На данный момент существует большое количество работ посвящённых исследованию конструктивно анизотропных материалов, поэтому в их обзоре наибольшее внимание уделялось тем из них, где рассматривались оболочки армированные волокнами.

Книга [3] посвящена расчёту волокнистых композиционных материалов, представляющих собой сравнительно податливую матрицу, армированную высокопрочными и высокомодульными волокнами.

В [27] изложены теоретические основы и методы расчёта многослойных армированных оболочек, в частности, пневматических шин.

В книге [49] рассматриваются модели расчёта и методы параметрической оптимизации несущей способности оболочек вращения из композитов двумерной и пространственной структур армирования.

В [11] приведены методы расчёта и оптимизации с использованием ЭВМ элементов конструкций из композиционных материалов, прикладные методы определения их прочности и жёсткости. В том числе, даны оптимальные конструкционные решения для оболочек вращения, подкрепленных спирально-винтовой системой рёбер, тороидальных оболочек, образованных намоткой нитей, пластин из материала с текстурой.

В [6] представлена неклассическая математическая модель нелинейного деформирования тонкостенных слоистых упругих композитных пластин и оболочек, отражающая специфику их механического поведения в широкой области изменения нагрузок, геометрических и механических параметров, структур армирования.

В монографии [51] рассматривается общая структурная модель теплопроводности, термоупругого и термопластического деформирования композиционных материалов волокнистой структуры.

В книге [34] решены задачи нелинейного изгиба, устойчивости, закрити-ческого поведения и динамики пологих оболочек, скрепленных с опорными рёбрами, и оболочек, подкреплённых ортогональной сеткой рёбер.

В [58] исследуется устойчивость спирально-армированных слоистых оболочек вращения при осесимметричном температурном и силовом нагруже-нии, рассматриваемая в рамках моделей Кирхгофа-Лява (для тонкой оболочки) и Тимошенко (для оболочки средней толщины).

Оболочка вращения, состоящая из нитей, рассмотрена в статье [55]. Эта задача относится к классу задач теории мягких оболочек, нити не воспринимают сжимающих нагрузок. Получены уравнения равновесия и при различных значениях параметров исследованы равновесные формы оболочки.

В статье [75] приводятся основные соотношения упругости для тел, обладающих винтовой анизотропией, описывается метод построения решения задач Сен-Венана о растяжении, кручении и изгибе кругового цилиндра. В настоящей диссертации рассматривается случай армирования оболочки одной системой нитей, что так же приводит к винтовой анизотропии.

В работе [84] была разработана двухмерная теория анизотропных оболочек, армированных нитями. Выносимые на защиту результаты являются применением данной теории к задачам устойчивости оболочек вращения.

Если армирующие волокна в оболочке по разному ведут себя при растяжении и сжатии, то это приводит к рассмотрению оболочки из разномо-дульного материала. Систематическому изложению общей теории упругости материалов разносопротивляющихся растяжению и сжатию посвящена книга С. А. Амбарцумяна [5]. В этой книге теория оболочек из разномодульного материала занимает большое место и, наряду с общей теорией, приводятся решения многочисленных задач.

Развитие теории анизотропных оболочек, армированных нитями, предложенной в [84] на случай нитей, по разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, рассматривается в статье [90]. Это приводит к существенной нелинейности в уравнениях. В диссертации предпринята попытка рассмотрения конкретных задач для оболочки из разномодульного материала на основе работ [90, 64].

В [10] рассмотрены вопросы объёмного моделирования и адаптивного управления процессом намотки многослойных конструкций сложных форм из волокнистых композиционных материалов.

В работе [9] исследовано деформационное поведение армированного по трём взаимно ортогональным направлениям композита с малыми объёмными содержаниями нитей арматуры. Рассматриваются качественные различия свойств триортогонально армированных композитов при больших деформациях по сравнению с их свойствами при малых деформациях.

В [32] разработана математическая модель нелинейного деформирования однонаправленно-армированных композитных материалов при помощи теории малых упруго-пластических деформаций трансверсально-изотропных сплошных сред

В [37] решается задача проектирования оболочки, нагруженной внутренним давлением и образованной намоткой несколькими семействами лент. При расчете жёсткость и несущая способность связующего не учитывается.

В работе [38] рассматриваются свойства градиентных полимерных композитных материалов в зависимости от соотношения волокон различных типов.

Описанию поведения композитов, содержащих активные элементы из сплавов с памятью формы, посвящена работа [48]. Рассмотрен однонаправленный композит, равномерно армированный активными волокнами.

В статье [50] предложена модель ортогонально армированной среды, связующее которой является ортотропным материалом, а волокна всех семейств обладают свойством трансверсальной изотропии. Проведено сравнение экспериментальных данных с расчётными значениями эффективных жёсткостей, коэффициентов линейного температурного расширения и прочностных характеристик перекрестно армированных бороалюминиевых композитов, органопластика, эпоксибороволокнитов и гибридных композитов при различных плотностях армирования и углах ориентации волокон.

Моделирование прочностных свойств композиционных материалов структуры [±<£>] в случае комбинации плоского напряженного состояния (или плоской деформации) и поперечных сдвигов осуществлено в [60] с использованием методов сопротивления материалов и теории пластичности.

В работе [61] рассмотрено, с учетом распределения толщин, расположение непрерывных нитей в цельномотанной оболочке, содержащей днища переменного радиуса с центральными полюсными отверстиями. Показано существование трех характерных зон, определяющих геометрические и деформационные параметры оболочки.

В работе [65] представлена постановка краевых задач по определению напряжённо-деформированного состояния однонаправленного композита, армированного тонкими волокнами. Напряженное состояние возникает в результате неравномерной усадки волокон.

Моделирование напряжённо-деформированного состояния пневматических шин при стационарном и нестационарном качении представляет интерес как в смысле механики композитов и вычислительной механики, так и для практики. В работе [79] описываются теоретические аспекты трёхмерной механической модели шины и её численной реализации.

В статье [81] рассматривается анизотропная безмоментная цилиндрическая оболочка с произвольным контуром поперечного сечения, дискретно подкреплённая продольными элементами. Получено аналитическое решение задачи расчёта деформированного состояния оболочки для случая, когда на её торцах заданы тангенциальные усилия или перемещения.

На основе анализа литературных данных в [83] рассматриваются особенности структуры и физико-механических свойств композитов, включающих углеродные волокна или частицы и полимерное связующее (углепластики, усиленные резины). Обсуждаются методы физико-химической модификации поверхности углеволокна и полимерных связующих с целью регулирования технологических и улучшения механических и прочностных свойств композиционных материалов.

Общие вопросы устойчивости изложены в работах Н. А. Алфутова [2], А. С. Вольмира [22], Э. И. Григолюка и В. В. Кабанова. [26], С. П. Тимошенко [67], П. Е. Товстика [70] и многих других. Исследования по устойчивости оболочек интенсивно продолжаются и в настоящее время". Частные задачи устойчивости рассмотрены в приведённых далее работах.

В работе [54] обсуждается широкий спектр вопросов устойчивости цилиндрических оболочек различной геометрии, при различных условиях нагру-жения и в рамках различных упрощающих гипотез (балочные, безмоментные формы, ряд неклассических форм).

В статьях [62, 63] рассмотрена потеря устойчивости оболочек, армированных упругими нитями. Рассматривается случай, когда происходит локализация форм потери устойчивости, в частности, исследована выпуклая 'оболочка под действием гидростатического давления.

В работе [7] исследуется устойчивость трёхслойной оболочки с лёгким заполнителем, дискретно подкреплённой продольными ребрами и соединённой по внутренней поверхности с пустотелым упругим цилиндром, при действии осевых сжимающих сил.

В [47] рассматривается задача локальной устойчивости тонких оболочек на упругом основании, армированных п системами малорастяжимых нитей (п = 2,3) при различных видах нагружения. Получена зависимость параметра критической нагрузки от угла наклона нитей.

В [35] анализируется устойчивость равновесных состояний сжатых в осе- ' вом направлении замкнутых круговых цилиндрических оболочек с граничными условиями Навье по классической линейной теории оболочек и по динамическому критерию их устойчивости.

В [39] рассматривается задача устойчивости композитной цилиндрической оболочки, стенка которой состоит их слоёв одинаковой толщины, армированных под углом ±</? к образующей. Исследовано влияние структурной анизотропии на устойчивость оболочки, нагруженной осевой сжимающей силой.

В [56] рассматриваются вопросы устойчивости круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной круговыми ребрами жёсткости. Исследовано влияние граничных условий, внешнего или внутреннего расположения рёбер, установки усиленных рёбер на величину критического давления общей потери устойчивости оболочки. Произведено сравнение результатов с имеющимися аналитическими решениями и расчетами с помощью конечно-элементного комплекса ANS YS.

В [71] рассматривается устойчивость тонкой трансверсально изотропной круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Используется локальный подход, согласно которому прогиб при потере устойчивости ищется в виде двоякопериодической функции криволинейных координат, а граничные условия игнорируются. Проводится сравнение решений по двухмерным моделям Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейсснера с решением, построенным по трехмерной теории.

Теоретические методы исследования, которые используются для анализа устойчивости оболочек, можно условно разделить на две группы: аналитические и численные.

Поведение оболочек описывается довольно сложными дифференциальными уравнениями и на первых этапах развитие методов их решения шло по пути упрощений, введения различных предположений, гипотез исходя из физических, геометрических и других соображений. Но в настоящее время широкое распространение получили многие численные методы: метод конечных разностей, метод конечных элементов и другие, что связано с наличием быстродействующих вычислительных машин. Для исследования устойчивости оболочек используется ряд пакетов прикладных программ, таких как ANS YS, ABAQUS и другие, основанных на методе конечных элементов.

Классические основы методов численного интегрирования одномерных краевых задач теории оболочек изложены в работах [12, 33, 28]. В работах [12, 33] изложен метод прогонки с ортогонализацией, используемый и в настоящей работе. Работа [28] содержит описание метода движения по параметру, предназначенного для решения нелинейных краевых задач.

Назовём ряд недавних исследований, в которых развиваются или используются численные методы в применении к композитным оболочкам.

В [1] приведены результаты численного моделирования составных оболочек по трём программам. Представлена характеристика расчётных методов, использованных в программах (метод прогонки, метод конечных элементов и метод редуцированных элементов). Рассмотрены области применения расчётных методов при расчёте линейной упругой устойчивости оболочек.

В статье [8] рассмотрено компьютерное конструирование полимерной композитной оболочки с требуемыми прочностными свойствами.

В [85] представлен новый метод расчета устойчивости составной оболочки вращения, основанный на энергетическом методе. Этод метод учитывает влияние нелинейности напряжённо деформированного состояния на устойчивость оболочки.

В работе [41] полуаналитический метод конечных элементов распространен на решение задач устойчивости по Эйлеру слоистых конструкций с отслоениями.

На основе метода продолжения по параметру в [72] предложено решение задачи о геометрически нелинейном упругом деформировании тонкостенной многослойной анизотропной оболочки.

В [76] рассматривалась потери устойчивости цилиндрической и цилиндро-конической оболочек, расчёт проводился методом прогонки с ортонормированием. Экспериментальные значения критического давления сопоставлялись с расчётными данными.

В работе [87] методом граничных элементов рассматривают задачу о напряженно-деформированном состоянии пологих оболочек при действии поперечной нагрузки. Используется уточненная теория с учетом поперечного сдвига.

Работа [82] посвящена применению новых вычислительных методов для анализа характеристик передачи напряжений на границе раздела "матрица - включение" и прогнозирования макромеханических свойств и поведения полимерных композитов с учётом реальных свойств межфазных границ и динамики молекулярного взаимодействия компонентов.

Однако не следует пренебрегать и развитием аналитических методов и, в частности, асимптотических. В уравнения теории оболочек входит толщина к, которая мала по сравнению с другими размерами оболочки. Это позволило применить асимптотические методы к исследованию поведения оболочек. Асимптотические методы позволяют достаточно быстро провести расчёты, как на устойчивость, так и на колебания, прочность, дать качественный анализ этих явлений. Также они полезны при выборе эффективных численных методов и позволяют упростить анализ численных результатов. Развитие аналитических методов содержится в [23, 24, 25, 53, 31, 86, 91], а так же в следующих работах.

В монографии [74] на основе операторной формы метода однородных решений осуществлено построение решений Сен-Венана для цилиндра, естественно закрученного стержня, винтовой пружины, кругового кольца и цилиндра с винтовой анизотропией. Для любого псевдоцилиндра показано, что решение Сен-Венана является линейной комбинацией двенадцати элементарных однородных решений, построение которых сводится к двумерным задачам на сечении.

В статье [29] предлагается методика прогнозирования макроскопических упругих характеристик композиционного материала, армированного волокнами, по материальным константам материалов матрицы и волокон, пространственной структуре укладки волокон и их объёмному содержанию.

В работе [88] результаты асимптотического анализа тонкой изотропной оболочки обобщены на случай оболочки состоящей из матрицы, армированной волокнами. Рассмотрены выпуклая оболочка под гидростатическим давление и цилиндрическая оболочка под гидростатическим давлением и осевым сжатием.

В статье [30] предложен метод нахождения начальных степеней малого параметра при разложении решений в асимптотические ряды, основанный на принципе сжатых отображений. Для нахождения того или иного решения выбирается начальное приближение, а затем с помощью простой итерации вычисляются выраженные через малые параметры весовые коэффициенты при каждом неизвестном в уравнении системы.

В [36] вариационным методом В.З. Власова в перемещениях получены обыкновенные дифференциальные уравнения для анизотропной безмомент-ной цилиндрической оболочки со стрингерами. Получено дифференциальное уравнение для построения полной системы ортогональных собственных функций на произвольном контуре поперечного сечения такой оболочки.

В [42] рассматриваются эффективные и гарантированно точные решения уравнений, описывающих напряжённо-деформированное состояние слоистых ортотропных пластин и оболочек вращения.

В [52] развивается подход, основанный на применении метода асимптотического синтеза напряжённого состояния.

В работе [73] методом разделения переменных получены дифференциальные и соответствующие вариационные уравнения для численного определения полных систем собственных функций на произвольном контуре дискретно подкреплённой безмоментиой слабоконической оболочки и слабоконической оболочки с недеформируемым контуром. С использованием полученных систем собственных функций задачи деформирования этих двух типов оболочек сводятся к несвязанным дифференциальным уравнениям, которые решаются точно.

Весьма эффективным аналитическим методом решения задач устойчивости оболочек является используемый в настоящей работе локальный подход, заключающийся в том, что переменные коэффициенты замораживаются, а граничные условия игнорируются. Первоначально этот подход был предложен Работновым [57], а затем развит Ширшовым [80], Товстиком [68, 69], Михасевым [44, 45, 43], Михеевым [46] и другими.

Приведённый анализ литературы показывает, что проводимые ниже исследования по устойчивости оболочек, подкреплённых волокнами, с одной стороны находятся в русле работ по устойчивости, а с другой — дополняют полученные ранее результаты.

В данной работе рассматривается устойчивость оболочки вращения, подкрепленной волокнами. Считаем, что нити равномерно распределены по окружности оболочки и расположены симметрично относительно срединной поверхности.

В главе 1 кратко описывается история развития теории оболочек, композиционных оболочек, вопросов устойчивости оболочек, методов исследования и определяется место, которое занимает данная работа. Обозначена цель работы, описаны применяемые методы и сформулированы результаты, выносимые на защиту.

В главе 2 приводятся основные соотношения, которые будут использоваться во всех дальнейших главах. Так, в 2.1 выводятся соотношения упругости в армированной оболочке. В частности, вводятся безразмерные параметры кг и ¿г полностью определяющие характер армирования оболочки г-ой системой волокон, наклонённых под углом в^ к образующей. Параметры к{ и ¿г имеют смысл относительной жесткости волокон на растяжение-сжатие и изгиб-кручение соответственно, причем, если кг- может принимать любые положительные значения (кг = 0 — случай отсутствия волокон г-ой системой), то йг принадлежит интервалу [О, ЗА;,;]. В дальнейшее выделяем три варианта распределения нитей и, соответственно, значений с?г-: ^ = 0 — волокна находятся на срединной поверхности, е^ = кг — волокна равномерно распределены по толщине оболочки, = 3^ — волокна находятся на лицевых поверхностях оболочки.

В 2.2 обсуждается вопрос упрощения соотношений упругости для случая ортотропной оболочки, к которому приводит симметричное подкрепление оболочки системами волокон. В том числе, находятся такие соотношения углов армирования для различного числа систем волокон, при которых оболочка становится изотропной в плоскости срединной поверхности.

Уравнения равновесия для элемента оболочки вращения приводятся в 2.3. Там же приводятся упрощения, которые можно использовать для рассматриваемого нами класса задач и соответствующие технической теории оболочек [26]. Всё это позволяет записать уравнения бифуркации для оболочки вращения в случае безмоментного начального напряженного состояния.

Для анализа устойчивости в дальнейшем используется локальный подход, дающий хорошее первое приближение для форм потери устойчивости и параметра нагружения Л. В 2.4 приводится вывод формулы для Л как функции от волновых чисел р и д.

В главе 3 рассматривается локальная устойчивость цилиндрической оболочки, армированной одной системой волокон под постоянным углом в к образующей. При таком характере подкрепления оболочка обладает свойством винтовой анизотропии.

Случай осевого сжатия оболочки исследован в 3.1. Оказалось, что критическая нагрузка не зависит от угла армирования. Были найдены в явном виде формулы для параметра нагружения Л и для разности углов армирования и волнообразования. Для трех частных случаев распределения волокон по толщине оболочки построены графики зависимости критической нагрузки от относительной жесткости армирования к. В частности, оказалось, что одна система волокон, расположенная на срединной поверхности оболочки, не оказывает подкрепляющего эффекта.

Задачи устойчивости оболочки с винтовой анизотропией при кручении и внешнем давлении рассматривались в 3.2. Для этих двух задач выражение для критической нагрузки искалось при помощи разложения по малому параметру /?, являющемуся котангенсом угла наклона вмятин к образующей. Также пришлось отказаться от упрощений, соответствующих технической теории оболочек.

В главе 4 рассматривается устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Предполагается, что оболочка армирована двумя системами нитей под постоянными углами 6 и —9 к образующей. При таком характере подкрепления оболочка является ортотропной.

Путём построения локальных форм потери устойчивости в 4.1 исследуется зависимость критической нагрузки от значения угла армирования 6. Рассматривались тс же три случая распределения нитей по толщине оболочки, что и в предыдущей главе.

В 4.2 проводится сравнение данных, полученных при помощи локального подхода, с результатами численного интегрирования. Был использован метод ортогональной прогонки для трёх вариантов граничных условий: жёсткое закрепление обоих концов; шарнирное опирание на обоих концах; шарнирное опирание на одном и жесткое закрепление на другом конце оболочки.

В главе 5 рассматривается устойчивость нецилиндрических оболочек вращения, симметрично армированных двумя системами нитей. В отличие от цилиндрических оболочек здесь плотность волокон меняется вдоль образующей при постоянном угле армирования.

В 5.1 обсуждались локальные формы потери устойчивости сферической оболочки при осевом сжатии, осевом растяжении и равномерном внешнем давлении для трёх случаев распределения нитей по толщине оболочки.

В 5.2 на примере устойчивости усеченного конуса при осевом сжатии рассматривалась задача об изменении угла армирования таким образом, чтобы все горизонтальные сечения оболочки были в равной мере предрасположены к потере устойчивости. Считалось, что нити равномерно распределены по толщине оболочки. Решение такой задачи позволяет экономить армирующий материал без изменения критической нагрузки.

В главе 6 исследуется локальная устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии с использованием гипотез Тимошенко. Рассматривается случай симметричного подкрепления двумя системами нитей, приводящий к тому, что оболочка становится ортотропной. Рассматриваем три случая распределения волокон по толщине оболочки.

В 6.1 приводятся основные соотношения для оболочки с учётом поперечного сдвига материала. Далее в главе приводится сравнение результатов полученных с использованием гипотез Кирхгофа-Лява и Тимошенко. Причём в 6.2 отдельно рассмотрен случай осесимметричной потери устойчивости, так как он приводит к простым расчетным формулам, тогда как в 6.3 приводятся результаты, полученные из предположения циклической симметричности решения.

В главе 7 рассматривается деформация ортотропной оболочки, подкрепленное двумя системами нитей, равномерно распределёнными по толщине оболочки. В этой главе считаем поведение армирующих волокон существенно нелинейным, а именно, предполагается, что жесткость нитей становится пренебрежимо малой при достаточно больших усилиях сжатия.

В 7.1 вводится модель волокна, которое слабо сопротивляется сжатию. Записываются соотношения между усилиями и деформациями для трёх случаев поведения волокон: нити растянуты но всей толщине оболочки, нити сжаты по всей толщине оболочки, нити сопротивляются сжатию лишь в части объёма оболочки.

В качестве примера в 7.2 разбирается осесимметричная деформация цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении. На оба края оболочки налагаются граничные условия шарнирного опирания. Было найдено выражение для угла армирования, при котором нити перестают работать везде за исключением зон краевого эффекта.

Новые результаты, выносимые на защиту:

1. С применением локального подхода получены явные приближенные формулы для критической нагрузки и формы выпучивания в задаче устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии с винтовой анизотропией, появляющейся при армировании одной системой нитей. Найдена зависимость критической нагрузки от угла армирования и распределения нитей по толщине оболочки.

2. Проведён анализ устойчивости ортотропной цилиндрической оболочки, полученной путём симметричного армирования двумя системами нитей. Найдена критическая нагрузка и форма потери устойчивости в зависимости от угла армирования. Проведена оценка точности локального подхода путём сравнения с результатами метода ортогональой прогонки для различных граничных условий. Проведено сравнение результатов в рамках гипотез Кирхгофа-Лява и Тимошенко.

3. Решён ряд задач устойчивости сферической и конической оболочек, симметрично армированных двумя системами нитей. Найдена наиболее слабая параллель, в окрестности которой локализуется форма потери устойчивости. Для конической оболочки решена задача оптимального армирования, приводящая к уменьшению расхода армирующих элементов без снижения критической нагрузки.

4. Рассмотрена модель нитей, слабо сопротивляющихся сжатию, что приводит к разномодульной теории упругости. В рамках этой модели рассмотрена осесимметричная деформации цилиндрической оболочки под действием внешнего давления.

По теме диссертации имеется 8 опубликованных работ [13]—[20]. В статье [17] соискателю принадлежат параграфы 7-9, в которых рассмотрено влияние сдвига на устойчивость цилиндрической оболочки, симметрично армированной двумя и тремя системами нитей. Соавтору принадлежат параграфы 1-6, в которых обсуждаются гипотезы Тимошенко, приводятся уравнения двухмерной теории круговых цилиндрических оболочек, и рассматривается устойчивость трансверсально-изотропной и многослойной цилиндрических оболочек. В статьях [18, 19] Товстику П.Е. принадлежит анализ общих вопросов, связанных с анизотропией теории оболочек, а реализация анизотропии вызванной наличием нитей — соискателю. В подготовки докладов и материалов на конференциях (см. [18, 20]) вклад соавторов одинаковый. Статьи [13, 17, 19] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.

1. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Машиностроение, 1991.-336 с

2. Алфутов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1984.-264 с

3. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974, 448 с.

4. Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости. -М: Наука. 1982.-320 с

5. Андреев А. Н., Немировский Ю. В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. -Новосибирск: Наука, 2001.-288 с

6. Андрюшин В. А., Недбай А. Я. Устойчивость трехслойной цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными рёбрами жёсткости и упругим цилиндром, при осевом сжатии // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т. 7. № 2. С. 206-214.

7. Ахундов В. М. Триортогонально армированный композит с малыми наполнениями нитями при больших деформациях растяжения // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т. 7. № 3. С. 374-386.

8. Аюшеев Т. В. Геометрические вопросы адаптивной технологии изготовления конструкций намоткой из волокнистых композиционных материалов. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2005. - 212 с.

9. Ваничук Н. В., Кобелев В. В., Рикардс Р. Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988.224 с

10. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ.М.: Машиностроение, 1976. -287 с.

11. Викторов И. В. Деформация цилиндрической оболочки, армированной нелинейно упругими нитями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 1. С. 73-76.

12. Викторов И. В. Локальные формы потери устойчивости конструктивно ортотропных оболочек // Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды 2004-2005 гг." под ред. А.Л. Смирнова, Е.Ф. Жигалко., Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. С. 46-59.

13. Викторов И. В. Устойчивость при осевом сжатии цилиндрических оболочек, армированных нитями // Международная конференция "Четвертые Окуневские чтения". 22 25 июня 2004 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов. - СПб.: Балт. гос. техн. ун-т., 2004. - С. 30.

14. Викторов И. В., Товстик П. Е. Влияние сдвига на устойчивость орто-тропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 4. С. 58-67.

15. Викторов И. В., Товстик П. Е. Некоторые задачи устойчивости анизотропных цилиндрических оболочек // Труды XIII Междунар. Конф. "Современные проблемы механики сплошной среды Ростов-на-Дону, 2009, Том I. С. 57-62

16. Викторов И. В., Товстик П. Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических оболочек с винтовой анизотропией // Изв. ВУЗов. СевероКавказский регион. Актуальные проблемы механики. Естественные науки. Спецвыпуск. 2009, С. 54-58.

17. Власов В. 3. Общая теория оболочек и её приложение в технике. -М.-Л.: Гостехиздат, 1949.-784 с.

18. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.984 с.

19. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. -М.-Л.: Гостехиздат, 1953.-544 с.

20. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. -М.: Наука, 1976.-510с.

21. Гольденвейзер А. Л., Лидский Б. В., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек // М., Наука, 1979, 383 с.

22. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: 1978.-360 с.

23. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин. -М.: Машиностроение, 1988.-288 с.

24. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 232 с.

25. Ефремов Н. С., Митюшов Е. А., Берестова С. А. Параметрическое описание структуры армированных композитов и построение индикатрис их упругих свойств // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т. 14. № 1. С. 16-34.

26. Зверя ев Е. М. Декомпозиционные свойства принципа сжатых отображений в теории тонких упругих оболочек // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. Т. 3. № 2. С. 3-14.

27. Кабриц С. А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Черных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. Изд. С.Петерб. ун-та, 2002, 386 с.

28. Каримбаев Т. Д., Мыктыбеков Б.М. Малые упруго-пластические деформации однонаправленно-армированных композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. Т. 11. № 3. С. 377-392.

29. Кармишин А. В., Мяченков В. И. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. -М.: Машиностроение, 1975.-376с.

30. Климанов В. И., Тимашев С. А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985.-291 с

31. Колосов Г. И. Устойчивость равновесных состояний сжатой в осевом направлении замкнутой круговой цилиндрической оболочки к малым возмущениям // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2006. № 2. С. 77-83.

32. Кочемасова Е. И., Тютюнников Н. П., Шклярчук Ф. Н. Расчёт напряжённо-деформированного состояния многослойных анизотропных оболочек по методу Власова // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. Т. 11. № 2. С. 266-275.

33. Криканов А. А. Равновесная форма меридиана оболочки, образованной намотками несколькими семействами лент // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т. 7. № 4. С. 413-426.

34. Куперман А. М., Турусов Р. А., Горенберг А. Я. Исследование упруго-прочностных характеристик гибридных и градиентных полимерных композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т. 14. № 4. С. 499-510.

35. Лопатин А. В., Демин А. Н. Влияние структурной анизотропии на устойчивость композитной цилиндрической оболочки при осевом сжатии // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева. 2005. № 3. С. 62-65.

36. Лурье И. В. Статика тонкостенных упругих оболочек. -М.-Л.: Гостех-издат, 1947.-252с.

37. Марчук А. В., Пискунов В. Г. Применение полуаналитического метода конечных элементов для решения задач устойчивости слоистых конструкций с отслоениями // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. Т. 4. № 3. С. 3-8.

38. Меньков Г. Б. Аналитические методы исследования прочности тонкостенных конструкций, выполненных из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. Т. 2. № 1. С. 7.

39. Михасев Г. И. Задачи локальной потери устойчивости оболочек нулевой кривизны с переменной толщиной и коэффициентами упругости // Прикладная механика. Изд-во ЛГУ, 1988. Вып. 7, с. 160-164.

40. Михасев Г. И. Локальная потеря устойчивости оболочек нулевой кривизны с переменными толщиной и модулем упругости // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. 1, 1984, № 7, с. 104-106.

41. Михасев Г. И. Локальная потеря устойчивости усеченного эллипсоида под действием комбинированной нагрузки // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. 1, 1984, № 19, с. 85-90.

42. Михеев А. В. Исследование локальной устойчивости пологих орто-тропных оболочек на упругом основании// Вестник Санкт-Петербургского ун-та, сер. матем., механ., астрон. 2007, №2.

43. Михеев А. В. Устойчивость оболочек на упругом основании, армиро-ваных системами малорастяжимых нитей // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика, Механика, Астрономия. 2009. № 3. С. 127-133.

44. Мовчан А. А., Казарина С. А. Механика активных композитов, содержащих волокна или слои из сплава с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. Т. 2. К5 2. С. 29-51.

45. Нарусберг В. Л., Тетере Г. А. Устойчивость и оптимизация оболочек из композитов. -Рига: Зинатне, 1988.-299с.

46. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Рациональное проектирование армированных конструкций. -Новосибирск: Наука, 2002.-488 с

47. Нерубайло Б. В., Ольшанский В. П. Асимптотический метод расчета конической оболочки на действие локальной нагрузки // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2007. № 3. С. 115-124.

48. Новожилов В. В. Теория упругих тонких оболочек. -Л.: Судпромгиз, 1962.-428с.

49. Паймушин В. Н. Крутильные, изгибные и изгибно-крутильные формы потери устойчивости цилиндрической оболочки при комбинированных видах нагружения // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2007. № 3. С. 125-136.

50. Полякова Е. В., Товстик П. Е., Чайкин В. А. Осесимметричная деформация оболочки вращения из нитей. -Вестник СПбГУ. Сер.1, вып. 1, 2007,

51. Постнов В. А., Тумашик Г. А., Москвина И. В. Об устойчивости подкреплённой цилиндрической оболочки // Проблемы прочности и пластичности. 2007. № 69. С. 18-23.

52. Работнов Ю. Н. Локальная устойчивость оболочек.// Докл. АН СССР. 1946. т. 52, N2.-0. 111-112.

53. Решетникова Е. В. Численно-аналитическая модель устойчивости пространственно армированных оболочек вращения при осесимметричном до-критическом состоянии. -Кемерово: тр. V Всерос. науч.-практ. конф., 2006, 153-155

54. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных оболочек. Изд. С.Петерб. ун-та, 1996, 280 с.

55. Сибгатуллин Э. С., Сибгатуллин К. Э. Оценка прочности слоистово-локнистых композиционных материалов структуры ±</?. с // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т. 14. № 4. С. 572-582.

56. Сисаури В. И. Геометрические и деформационные особенности цель-номотанных оболочек баллонов давления // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т. 14. № 3. С. 389-407.

57. Смирнов А. Л. Потеря устойчивости тонкого анизотропного эллипсоида // Вестник Санкт-Петербургского университета, Сер. Мат. Мех. Астрон. 2005 (3) 108-118

58. Смирнов А. Л. Устойчивость армированных оболочек // Обозрение прикл. и пром. мат., 2000, N2, С. 417

59. Смирнов А. Л., Товстик П. Е. Тонкие оболочки, подкрепленные нелинейными упругими нитями // Проблемы механики деформируемого твердого тела. СПбГУ, Санкт-Петербург 2002. сс 277-282

60. Стружанов В. В., Башуров В. В. Напряжённо-деформированное состояние однонаправленного композита при усадке армирующих волокон. Краевые задачи и итерационные методы расчёта // Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 1. С. 3-16.

61. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Часть I. М.: Физмат-гиз. 1960.

62. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.1971.

63. Товстик П. Е. К вопросу о локальной потере устойчивости оболочек // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. матем., механ., астрон. - 1982. - N 3. С. 72-78.

64. Товстик П. Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек на упругом основании // Изв. РАН. МТТ. 2005. Вып. 1. С. 147-160.

65. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука, 1995.-320 с.

66. Товстик П. Е. Устойчивость трансверсально изотропной цилиндрической оболочки при осевом сжатии // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2009. № 4. С. 70-83.

67. Устинов Ю. А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. -М.: Физмат-лит, 2003 -128с.

68. Устинов Ю. А. Некоторые задачи для упругих цилиндрических тел с винтовой анизотропией. -Успехи механики. 2003. №4. 37-62 с

69. Федоров А. П., Парнов К. М., Либов Ю. А. Исследование устойчивости цилиндрической и цилиндроконической оболочек при различных граничных условиях // Труды ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова. 2009. № 42. С. 49-58.

70. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. 4.1. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1962.-274с.

71. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. 4.2. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1964.-395с.

72. Шешенин С. В. Трехмерное моделирование шины // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2007. № 3. С. 13-21.

73. Ширшов В. П. Локальная устойчивость оболочек // Тр. II Всесо-юзн. копф. по теории оболочек и пластин. Киев, 1962 - С. 314-317

74. Шклярчук Ф. Н., Кочемасова Е. И., Тютюнников Н. П. Решение задачи о деформированнии анизотропной безмоментной цилиндрической оболочки // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т. 8. № 4. С. 447-455.

75. Яновский Ю. Г., Образцов И. Ф. Некоторые аспекты компьютерного моделирования структуры и микромеханических свойств перспективных полимерных композиционных материалов // Физическая мезомеханика. 1998. ■Т. 1. № 1. С. 135-142.

76. Haseganu M. E., Smirnov A. L., Tovstik P. E. Buckling of Thin Anisotropic Shells -Trans. CSME. Vol. 24. IB. 169-178.

77. Huang Jinsong, Zong Guanqwu Analysis and calculation of the nonlinear stability of the rotational composite shell // Appl. Math, and Mech. Engl.Ed., 2000, N2, P.209-216

78. Libai A., Simmonds J. G. The Nonlinear Theory of Elastic Shells. Cambridge University Press. 1998. 542p.

79. Lu Pin, Huang M. Calculation of the fundamental Solution for the theory of shallow shells considering shear deformation// Appl. Math, and Mech. 1992. 13. N6. pp. 537-545.

80. Smirnov A. L. Asymptotic Analysis of Buckling of Thin Shells. Advances in Mechanics of Solids In Memory of Prof E.M. Haseganu. World Scientific Publishing Co Ltd. 2006. pp 49-67

81. Smirnov A. L., Tovstik P. E. Asymptotic methods in the buckling theory of elastic shells. World Scientific. Singapore; New Jersey; London; Hong Kong, 2002. 347 p.

82. Smirnov A. L., Tovstik P. E. Thin-walled structures made of materials with variable elastic moduli // C6.: Advances in Mechanics of Solids. In memory of prof. E. M. Haseganu. World Scientific Co Ltd, 2006, 69-83.

83. Valid R., The Nonlinear Theory of Shells Through Variational Principles, Wiley, Chichester, 1995. 477p.