Равнонапряженное армирование тонкостенных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

российская академия наук

сибирское отделение

институт теоретической и прикладной механики

им С А ХРИСТИАНОВИЧА

На правах рукописи

ЯНКОВСКИЙ Андрей Петрович

РАВНОНАПРЯЖЕННОЕ АРМИРОВАНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

новосибирск - 2007

003065328

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики им С А Христиановича Сибирского Отделения Российской академии наук

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор

Немировский Юрий Владимирович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Кошур Владимир Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор Вохмянин Иван Тимофеевич, доктор физико-математических наук Шваб Альберт Александрович

Ведущая организация ФГУП «СибНИА им С А Чаплыгина»

(г Новосибирск)

Защита состоится « ^ » CX^f. 2007 г в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 003 35 01 Института теоретической и прикладной механики им С А Христиановича СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск, ул Институтская, 4/1 Факс (383) 330-72-68

E-mail shulgin@itam nsc ru, nemirov@itam nsc ru Автореферат разослан » <^-^^^2007 г Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003 35 01 доктор физико-математических наук, профессор

В И Самсонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы Армированные материалы в настоящее время находят широкое применение в инженерной практике, так как позволяют создавать конструкции с уникальными физико-механическими свойствами, которых нельзя добиться использованием традиционных конструкционных материалов Поскольку принципиальных технологических ограничений по регулированию структуры армирования в конструкциях типа оболочек и пластин не существует, то особую важность приобретает задача оптимального и рационального армирования композитных конструкций

Проблема оптимального проектирования тонкостенных конструкций из композитных материалов (КМ) в полном своем объеме чрезвычайно сложна и в ряде случаев не имеет законченной, строгой математической формулировки Кроме того, существующие на сегодняшний день методы решения таких задач не гарантируют достижения глобального экстремума целевого функционала, и поэтому получающееся решение может считаться оптимальным лишь условно Альтернативой оптимальному проектированию служит рациональное армирование, которое, в отличие от оптимального, не предполагает существования какого-либо целевого функционала, а выражается в дополнительном эвристическом требовании к напряженно-деформированному состоянию (НДС) конструкции (равнопрочность, равнонапря-женность, безмоментность, армирование по направлениям главных напряжений, полужесткость и др), гарантирующем улучшение ее качеств Наиболее естественным прочностным критерием рационального проектирования армированных конструкций при статическом термосиловом нагружении служит критерий равнонап-ряженности волокон вдоль их траекторий При этом несущая способность высокопрочной арматуры используется наиболее полно, а связующее осуществляет лишь равномерное перераспределение напряжений (нагрузок) на элементарные волокна Поэтому особую актуальность приобретает разработка теории и методов расчета равнонапряженно-армированных конструкций с учетом реальных особенностей их нагружения и поведения фазовых материалов, а также реальных возможностей технологических приемов изготовления волокон

Целью работы является формулировка упругих и упругопластических задач равнонапряженного армирования (РА) тонкостенных конструкций, подверженных воздействию одной или нескольких независимых систем стационарных термосиловых нагрузок, качественный анализ соответствующих краевых задач и исследование вопросов их корректности, изучение свойств и особенностей решений этих задач, разработка аналитических и численных методов их интегрирования, получение РА-проектов конструкций, используемых в инженерной практике, сопоставление РА-проектов с традиционными проектами армирования и проектами, использующими другие критерии рациональности (армирование по направлениям главных напряжений и равнопрочность связующего), сопоставление решений задач РА, полученных на основе различных моделей механического поведения армированной среды

Теоретическая значимость и научная новизна работы

Сформулированы гладкие и сопряженные задачи РА упругих и упругопластических плоских конструкций волокнами постоянного поперечного сечения, подвер-

женных воздействию одной системы статических, термосиловых нагрузок, и проведен их качественный анализ

Сформулированы задачи РА термоупругих плоских конструкций волокнами постоянного и переменного поперечного сечения, подверженных последовательному воздействию нескольких независимых систем квазистатических термосиловых нагрузок (многовариантное нагружение), и проведен их качественный анализ

Сформулированы гладкие и сопряженные задачи РА пластин волокнами постоянного поперечного сечения при чисто-упругом и неупругом поперечном изгибе и действии одной системы статических нагрузок, проведен качественный анализ соответствующих краевых задач Определены некоторые типы опирания и закрепления изгибаемых пластин, при которых гладкие решения задачи РА вообще не существуют

Сформулированы задачи РА упругих и упругопластических безмоментных (в классическом смысле) и строго безмоментных оболочек различной гауссовой кривизны волокнами постоянного и переменного поперечного сечения, подверженных воздействию одной системы статических, термосиловых нагрузок, и проведен качественный анализ соответствующих систем разрешающих уравнений Определены некоторые необходимые условия реализации в РА-оболочке однородного деформированного состояния

Показано, что задачи РА тонкостенных конструкций являются задачами с сингулярным возмущением, поэтому в связующем РА-конструкций может возникнуть краевой эффект

Доказано, что задача РА в силу существенной нелинейности статических граничных условий, условий сопряжения решения и условий РА могут иметь несколько альтернативных решений при фиксированных входных данных Этими решениями можно управлять за счет перераспределения арматуры постоянного поперечного сечения на контурах областей непрерывности решения и за счет изменение формы этих областей, дополнительно повышая эффективность получаемых РА-проектов

На основе теории возмущений разработан итерационный процесс, позволяющий на каждой итерации «расщепить» ранее связанные подзадачи определения параметров РА, температурного поля и НДС в тонкостенных конструкциях и, тем самым, существенно упростить процедуру решения задачи

На базе аналитического обобщения классических и неклассических методов Рунге — Кутты разработан высокоточный, устойчивый метод численного интегрирования задач РА

На основе критерия структурной прочности фазовых материалов сформулирована и решена задача рационального армирования трехслойных вращающихся дисков заданной геометрии Показана возможность существенного увеличения несущей способности рационально армированных дисков На базе критериев РА и равнопрочное™ связующего сформулированы и решены задачи рационального профилирования КМ-дисков Показана возможность существенного снижения массы профилированных дисков при заданной несущей способности или увеличения несущей способности при фиксированной массе

Исследовано влияние теплового воздействия, термочувствительности и неупругого поведения фазовых материалов на несущую способность РА-конструкций и общий расход арматуры в них

Получен ряд аналитических и численных решений задач РА различных конструкций, которые могут быть использованы в инженерной практике

Проведено сопоставление эффективных механических и теплофизических расчетных характеристик (определенных с использованием разных моделей армированного слоя) с экспериментальными данными На основе сравнительного анализа обоснованно выбраны структурные модели механического и теплофизического поведения армированной среды, которые целесообразно использовать при решении задач РА

Продемонстрирована высокая эффективность РА-проектов при интенсивном термосиловом нагружении по сравнению с традиционным армированием тонкостенных конструкций и возможность повышения эффективности КМ-конструкции за счет использования в разных ее подобластях различных критериев рациональности (в частности, это позволяет устранить краевой эффект в РА-пластине)

Практическая ценность Разработанные методики и составленные программные комплексы могут быть использованы в проектной и расчетной практике конструкторских и научно-исследовательских организаций строительного и авиа-, судо-и машиностроительного профилей В частности, полученные в работе конкретные РА-проекты можно использовать в строительной индустрии, при разработке перспективных газотурбинных двигателей, компрессоров высокого давления, накопителей механической энергии, при проектировании различных торсионных механизмов и др

Работа выполнялась в рамках плановой тематики отдела «Математического моделирования в механике» ИТПМ СО РАН и частично при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 95-01-01016-а, 99-01-00549-а, 02-01-00115-а) и Президиума СО РАН (Приложение 1 к Постановлению Президиума СО РАН № 423 от 18 12 97)

Достоверность результатов подтверждается сравнением с решениями аналогичных задач, полученными ранее другими авторами, обоснованным выбором структурной модели армированного слоя, удовлетворительно согласующейся с экспериментом, и хорошим совпадением решений, полученных с использованием разных моделей армированной среды

Обоснованность научных выводов в диссертации обеспечивается использованием фундаментальных законов механики деформируемого твердого тела и теории теплопроводности твердых тел, корректным использованием методов механики композитных материалов и конструкций, теории возмущений, математического анализа и численных методов, апробированных на известных решениях задач математической физики и аналитических решениях задач равнонапряженного армирования

Апробация работы Результаты диссертации представлялись и обсуждались на 50, 51, 55, 56-й Научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава НГАСУ с участием представителей строительных и научно-исследовательских организаций (Новосибирск, 1993, 1994, 1998, 1999 гг),

Всероссийском семинаре «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 1997 г), 13-17-й Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 1993, 1997,1999,2001 гг, Волгоград, 1997 г), 17-й Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1995 г), Международной конференции «Проблемы оптимизации в механике деформируемого твердого тела» (Н Новгород, 1995 г), 2-й Межреспубликанской конференции «Механика и технологии изделий из металлических и металлокерамических композиционных материалов» (Волгоград, 1995 г ), 2-м Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96) (Новосибирск, 1996 г), Международной конференции «Компьютерное моделирование» (Белгород, 1998 г), Международной школе-семинаре «Информационные технологии в задачах математического моделирования» (Новосибирск, 1998 г), 3-м, 6-м Корейско-Российском Международном научно-техническом симпозиуме (КОЬШ8'99, '2002) (Новосибирск, 1999, 2002 гг), Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999 г), 2-й Международной конференции-школе-семинаре молодых ученых, аспирантов и докторантов «Сооружения, конструкции, технологии и строительные материалы XXI века» (Белгород, 1999 г), Международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 2000 г ), V Международной научной конференции «Математические проблемы механики неоднородных структур» (Львов, 2000 г), семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН (руководитель - член-корр РАН Б Д Аннин, Новосибирск, 2006 г), Объединенном семинаре кафедр «Прочности летательных аппаратов» и «Самолето- и вертолетостроения» Новосибирского государственного технического университета (руководитель - д т н , профессор Н В Пустовой, Новосибирск, 2006 г), Межкафедральном научном семинаре Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (руководитель - д т н , профессор Г И Гребенюк, Новосибирск, 2006 г), Межфакультетском семинаре по прочности и надежности Сибирского государственного университета путей сообщения (руководитель - д т н, профессор М X Ахметзянов, Новосибирск, 2006 г), семинаре «Избранные вопросы математического анализа» Института математики им С П Соболева СО РАН (руководитель - д ф -м н , профессор Г В Демиденко, Новосибирск, 2006 г), Общеинститутском семинаре Института теоретической и прикладной механики им С А Христиановича СО РАН (руководитель - академик РАН В М Фомин, Новосибирск, 2006 г)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы более чем в 50 статьях и в одной монографии

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 332 наименований Работа изложена на 484 страницах, содержит 37 таблиц и 56 рисунков

Автор благодарит д ф -м н, профессора Ю В Немировского за постоянное внимание и поддержку при выполнении данной работы и полезное обсуждение научных результатов

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен критический обзор литературы, посвященной проблемам оптимального и рационального армирования КМ-конструкций Дано обоснование актуальности темы диссертации, определена ее цель, отмечена научная новизна работы и практическая значимость, кратко изложено содержание глав диссертации

В первой главе исследуется проблема РА плоских упругих и упругопластиче-ских конструкций при статическом термосиловом нагружении с учетом термочувствительности фазовых материалов Предполагается, что конструкция имеет по толщине регулярную и квазиоднородную структуру и состоит из изотропной матрицы и внедренной в нее тонковолокнистой, высокомодульной, изотропной арматуры постоянного поперечного сечения, уложенной в плоскостях, параллельных отсчетной плоскости конструкции Конструкция является либо пластиной постоянной толщины, в которой реализуется условие обобщенного плоского напряженного состояния (ПНС), либо призматическим или цилиндрическим удлиненным телом, в котором реализуется условие плоской деформации

В § 1 1 приведена исходная система уравнений, соответствующие ей граничные условия и условия сопряжения решения Так как условие РА (с заданным уровнем напряжений), использующееся в качестве критерия рациональности, является достаточно жестким и может быть выполнено не во всех конструкциях, то для ослабления этого условия и расширения постановки задачи предполагается, что область G, занимаемая конструкцией в плане, может состоять из М контактирующих между собой подобластей Gm (т = 1,2 М), в каждой из которых фазовые материалы могут иметь свои физико-механические характеристики, а все заданные и неизвестные функции - необходимую гладкость Допускается наличие таких подобластей Gm, в которых условие РА не выполняется (структура армирования либо задана, либо определяется из каких-либо других критериев рациональности, например армирование осуществляется по направлениям главных напряжений и т п) На линиях контакта подобластей Gm могут возникать разрывы решения задачи РА

В каждой подобласти Gm выполняются общеизвестные уравнения равновесия и дифференциальные соотношения Коши плоской задачи, уравнения плоской стационарной теплопроводности и условия непрерывной выкладки волокон постоянного поперечного сечения В качестве структурной модели полиармированного слоя используется модель с «одномерными» волокнами Ю В Немировского Неупругое поведение фазовых материалов описывается теорией упругопластических деформаций Условие постоянства напряжений вдоль траекторий армирования (критерий РА) дает дополнительную систему равенств

0^= const, к =1,2 Д?(т), т = 1,2 М, (1)

где а^ - продольные напряжения в волокнах к-го семейства в подобласти Gm,

iV(m) - количество семейств волокон

На контуре Г, ограничивающем область G, могут быть заданы статические, кинематические (или смешанные) и тепловые граничные условия Кроме этих усло-

вий на части контура Г^ (с Г), на которой волокна к-го семейства входят в область G, нужно задать краевые условия для интенсивностей армирования

со*(Г4) = со04, ¿=1,2 N, (2)

необходимые для однозначного интегрирования условий постоянства поперечных сечений волокон (Здесь M0i. - заданные на функции)

Предполагается, что подобласти Gm контактируют идеально без отрыва и проскальзывания, поэтому на линиях контакта этих подобластей выполняются общеизвестные статические, кинематические и тепловые условия сопряжения решения, а также условия перехода через эти линии необрывающихся волокон постоянного сечения или условия, аналогичные (2), если волокна на линиях контакта обрываются

В каждой подобласти Gm должны выполняться прочностные

aimHx1,x2)<G<f\ -а~к<а(^<а+к, ¿=1,2 N(m) (3)

и физические

с4т)>0 (¿=1,2 N{m)), Х®^-®* (m = l,2 М) (4)

к

ограничения Здесь - интенсивность напряжений в связующем в точках

(x1,x2)sGm, ст^"1-1 - предел прочности материала связующего, о^, - пределы прочности арматуры ¿-го семейства при сжатии и растяжении, со» = const - предельно допустимая суммарная концентрация арматуры (0 < со* < 1)

В § 1 2 исходная система уравнений, граничные условия и условия стыковки приведены к разрешающему виду в перемещениях Если в подобласти Gm выполняются условия РА, то безразмерная система разрешающих уравнений и соответствующие ей граничные условия и условия сопряжения решения образуют краевую задачу, которую можно записать в виде операторного уравнения

А(и, у, ш, е0,0) + AB(u, со, е0,0) = Р(х, ,х2), (5)

где

и = {щ,и2}, v = {\|/1,\|/2 УдгЬ ш = {со1,со2 сод,}, е0 ={е0Ь 0 = {0}, Х = Е/Е1, (6) А, В - нелинейные дифференциальные векторные операторы, причем компоненты оператора В отличны от нуля только в уравнениях равновесия, статических граничных условиях и условиях стыковки, Р - вектор внешних нагрузок, Е, Е^ - модули упругости связующего и арматуры первого семейства, X - малый параметр, Q-T -Т0 - отклонение температуры конструкции Тот температуры естественного состояния Т0 Система разрешающих уравнений (5) замкнута относительно следующих неизвестных функций перемещений щ,и2, средней линейной деформации £q , температуры 0, углов Ц/^. и интенсивностей со^ (к = 1,2 N) армирования Качественный анализ краевой задачи РА показывает, что она является нелинейной задачей с сингулярным возмущением и в подобласти с РА-структурой подзадачи определения НДС в фазах композиции, поля температур и параметров РА \|/, со связаны Нелинейность имеет двойственное происхождение 1) «структурная» не-

линейность (так как параметры РА суть неизвестные функции и нелинейным образом входят в уравнения (5), причем являются аргументами тригонометрических функций), 2) «физическая» нелинейность (так как физико-механические характеристики фазовых материалов при учете термочувствительности зависят от 6 и при неупругом поведении связующего и арматуры их диаграммы деформирования являются нелинейными) Показано, что система разрешающих уравнений относится к квазилинейным системам смешанно-составного типа и всегда имеет действительные характеристики, совпадающие с траекториями РА При наличии теплового воздействия система имеет два комплексных характеристических направления, порождаемые уравнением теплопроводности

Если в подобласти Ст не выполняются условия РА (углы заданы), то в Сш имеет место прямая, несвязанная плоская задача термоупругости или термопластичности для неоднородной анизотропной среды, эффективные характеристики которой известны (Методы решения таких прямых задач хорошо разработаны)

В ряде практически важных случаев требуется решать задачу РА для осесим-метрично нагруженных кольцевых пластин (вращающиеся диски, диски тормозных торсионных механизмов и т п) Поэтому в § 1 2 дополнительно сформулирована задача РА плоских конструкций в осесимметричном случае При этом в РА-подобласти система разрешающих уравнений сводится к системе обыкновенных квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, замкнутой относительно , е0, 6, теплового потока в радиальном направлении, окружного перемещения, радиальных, окружных и сдвиговых деформаций Этой системе соответствуют нелинейные граничные условия и условия стыковки Сформулированная двухточечная граничная задача РА кольцевых пластин может быть решена методом стрельб

Известно, что решения краевых задач с сингулярным возмущением могут иметь ярко выраженные краевые эффекты В задачах РА краевой эффект может возникнуть только в связующем, так как напряжения в арматуре всех семейств в силу (1) остаются постоянными В § 1 2 приведен осесимметричный РА-проект кольцевой пластины, свободной от нагружения на внутреннем контуре и нагруженной равномерным давлением на внешнем контуре, в связующем которой в окрестности внутреннего контура возникает краевой эффект Для устранения краевого эффекта конструкция разбивается на две кольцевые подобласти В подобласти , примыкающей к внутреннему контуру, армирование осуществляется в окружном направлении, совпадающем с одним из направлений главных напряжений, а в подобласти С2, примыкающей к внешнему контуру, по-прежнему разыскивается РА-структура Интенсивность армирования в С1 подбирается таким образом, чтобы в С2 реализовалось условие однородного деформирования при отсутствии сдвиговых деформаций, исключающее взаимный сдвиг волокон За счет сопряжения решений в подобластях О^, удалось устранить краевой эффект в связующем РА-конструкции и понизить значение шах см в 2,34 раза (Этот пример демонстрирует эффективность синтеза различных критериев рациональности в разных подобластях конструкции)

В конце § 1 2 обсуждается вопрос о возможности существования нескольких альтернативных решений задачи РА при фиксированных входных данных, что является следствием «структурной» нелинейности краевой задачи (5) Этими решениями можно управлять за счет варьирования функций в краевых условиях (2) и изменения формы подобластей Ст Следовательно, на совокупности решений задачи РА можно дополнительно осуществлять целевое управление, дополнительно улучшая прочностные, теплофизические или весовые характеристики РА-проекта

§ 1 3 посвящен разработке метода решения задачи РА (5) на основе теории возмущений Для решения краевой задачи (5) предлагается использовать итерационный процесс

Г Г Г Г Г

А (и, \(г, о), е0,0) = РС*!, х2) - АВ(и, о, е0,0), $ = г-1, г = 1,2,3 (7)

где г - номер итерации В качестве первого приближения используется решение (7) при X = 0 При внедрении в конструкцию двух семейств РА {И = 2) этот метод на каждой итерации позволяет «расщепить» ранее связанные подзадачи определения параметров РА, температурного поля и НДС в конструкции и интегрировать их последовательно В случае равномерного нагрева и отсутствия массовых нагрузок, решение задачи (7) на первой итерации получено в аналитической форме Анализ статических граничных условий и условий стыковки задачи (7) показал, что при N = 2 па каждой итерации их можно двояко разрешить относительно приближений углов РА \|/£ Следствием этого является возможность получения при одних и тех

же входных данных до 2м различных решений задачи РА, если они существуют и процесс (7) сходится (здесь М <М - количество РА-подобластей Ст) Этими решениями можно управлять за счет варьирования функций ш0(Ь в (2) Для проверки сходимости метода (7) предлагается контролировать норму невязок, возникающих в (5) при подстановке решений задачи (7) При этом невязки возникают только в уравнениях равновесия, статических граничных условиях и статических условиях стыковки и имеют простой вид

Г Т Г Т Г

5 = Х[В(и,со,ео,0)-В(и,а),ео,0)], « = г-1, г = 1,2,3 (8)

В § 1 4 обсуждаются аналитические и численные решения задачи РА плоских конструкций Чтобы вызвать доверие к результатам гл 1 и показать, что задачи РА могут иметь решения для конструкций различной формы и при различных типах закрепления и нагружения, в начале § 1 4 исследуются простые примеры, допускающие аналитические решения Сначала приводятся решения термоупругой и термопластической задач РА кольцевой пластины, равномерно нагретой и нагруженной на обоих контурах равномерным давлением, пропорциональным безразмерному параметру нагружения р При этом из всех возможных решений задачи РА выделяется случай однородного деформирования конструкции Показано, что в этом случае РА-структура будет прямолинейно-перекрестной (В упругом случае (0 = 0) это решение совпадает с полученным ранее в работах СБ Бушманова и Ю В Немировского) На основе аналитического решения такой задачи исследуется влияние термочувствительности и неупругого поведения фазовых материалов на несущую способность пластины и общий расход арматуры в ней Для боромагние-

вой конструкции при температурах Т0=20°С и Т = 150 °С получены упругие и неупругие решения как с учетом, так и без учета термочувствительности фазовых материалов Предполагается, что в упругом случае интенсивность напряжений в связующем достигает предела текучести cjt , а в неупругом - напряжения ак в упруго-хрупких борных волокнах достигают предела временного сопротивления св1

Таблица!

Т0 = 20 °С (0 = О°С) Г = 150°С (0 = 130°С)

Без учета термочувстви- С учетом термочувст-

тельности вительности

Упругость Неупругость Упругость Неупругость Упругость Неупругость

№п/п 1 2 3 4 5 6

Bl 0,390 1,0 0,905 1,0 0,745 1,0

Р Ш1П 0,361 0,368 0,361 0,3685 0,1865 0,193

Ртах 0,58 1,31 1,193 1,305 0,945 1,25

В табл 1 приведены значения ок /ав1 в указанных РА-проектах и наименьшие р1тп и наибольшие ртах значения параметра р, при которых РА-проект может быть получен (Значениям рт1П соответствует вырождение структуры РА в радиальную, а р1тх - знак равенства в последнем ограничении (4)) На рис 1 изображена зависимость относительного объема содержания волокон

= = ¡¡Щ^У (£=1,2 ДО (9)

к V

в конструкции, занимающей объем V, от параметра р (Порядковые номера в табл 1 соответствуют номерам кривых на рис 1 ) Из табл 1 и рис 1 следует, что в неупругом случае значения ртах и зависимости £2(р) почти не зависят от теплового воздействия и термочувствительности, так как при этом несущая способность арматуры используется максимально, а борные волокна нетермочувствительны в рассматриваемом диапазоне температур Наоборот, в упругом случае значения р1ГШХ, р1Гца и зависимости £1(р) существенно зависят от теплового воздействия и термочувствительности Это объясняется тем, что за счет существенной (более чем на порядок) разности коэффициентов линейного теплового расширения магниевого сплава

МА2 (а = 32,4 10-61/К) и борных волокон (ак-2,4 Ю~61/К) при нагреве конструкции происходит перераспределение напряжений между связующим и армату-

Q

0 05 1 Р

Рис 1

рой, а именно, напряжения в РА увеличиваются и, как следствие этого, увеличивается несущая способность конструкции или при заданном уровне нагружения уменьшается расход арматуры Несмотря на уменьшение предела текучести сплава МА2 при Т -150 °С почти вдвое по сравнению со значением от при Т0 =20°С, несущая способность конструкции ( ртш ) в термоупругом случае за счет указанного перераспределения напряжений все же возрастает в 1,63 раза (Для конструкций с неравнонапряженной арматурой такое увеличение несущей способности при нагреве и ухудшении прочностных характеристик фазовых материалов практически не наблюдается) При охлаждении боромагниевой РА-конструкции, наоборот, происходит уменьшение ее несущей способности за счет уменьшении уровня напряжений в арматуре

Анализ табл 1 и рис 1 показывает, что за счет использования упругопластиче-ских РА-проектов можно в несколько раз увеличить несущую способность конструкции или существенно уменьшить расход арматуры по сравнению с упругими проектами, так как в упругих и термоупругих РА-проектах для многих композиций несущая способность арматуры используется незначительно При расчете тепловых эффектов в РА-конструкциях необходимо учитывать термочувствительность

При фиксированном значении параметра р проведен сравнительный анализ НДС в фазах композиции в РА-пластине и в конструкциях той же геометрии с «традиционными» структурами армирования при одинаковом расходе арматуры (9) Под традиционными понимаются радиальное, радиально-окружное и квазиизотропное армирование В некоторых подобластях конструкций с традиционным армированием волокна недогружены, а в других перегружены по сравнению с РА-проектом Сравнение значений тах<тн в рассматриваемых боромагниевых конструкциях показало, что несущая способность РА-пластины в 3,209 раза больше, чем с радиальной, в 1,235 раза больше, чем с радиально-окружной, ив 1,911 раза выше, чем с квазиизотропной структурой армирования (В пределах упругости во всех конструкциях волокна имеют значительный запас прочности) Следовательно, РА-пластины обладают значительно более высокой несущей способностью, чем пластины с традиционными структурами армирования при одинаковом расходе арматуры, причем армирование по направлениям главных напряжений (радиальное и радиально-окружное армирование) может оказаться весьма неэффективным по сравнению с РА-проектом Лишь в исключительных случаях, когда РА-структура вырождается в радиальную (р = pmm), армирование по направлениям главных напряжений совпадает с РА-проектом

Далее, чтобы продемонстрировать возможность решения задачи РА для конструкций иной формы, в § 14 рассматривается случай РА прямоугольных удлиненных пластин, закрепление и нагружение которых не изменяются в продольном направлении х2 При равномерном нагреве (охлаждении) и отсутствии массовых нагрузок решение таких упругой и неупругой задач РА сводится к решению в каждой точке Х[ замкнутой системы трансцендентных уравнений относительно параметров РА и деформаций В частных случаях нагружения таких пластин упругая задача РА описывается алгебраическими уравнениями относительно тригонометрических функций от углов РА Так, если на контуре хх=0 задано нормальное напряжение

рп = const и в пластину внедрены два семейства арматуры (N = 2), изготовленные из одного материала (Ех - Е2) и уложенные симметрично направления х[ с одинаковой интенсивность (\|Г2 =_Vi> w2 =(0i)> то безразмерное статическое граничное условие с учетом (2) в упругом случае примет вид

^(l-v2r1(l-2co01)cos"2\|/1 + 2co01cos2\|/1 =рп/аи o1=a2=const, (10)

где V - коэффициент Пуассона связующего (В неупругом случае имеет место система двух уравнений, определяющих х^, е0 ) Умножением на cos2 \|/, это уравнение сводится к биквадратному уравнению относительно cos \|/j (Решениями же задачи РА будут только те корни уравнения (10), которые удовлетворяют неравенству ¡eos Xj/j I < 1 ) В силу неединственности решения уравнения (10) задача РА прямоугольной удлиненной пластины может иметь несколько альтернативных решений, которыми можно управлять за счет варьирования величины со01, т е за счет варьирования расхода волокон в конструкции При X —» 0 два решения задачи РА имеют конечные пределы («регулярные» решения), в двух других решениях при X —> 0 деформация Ец неограниченно возрастает по модулю («сингулярные» решения) Расчеты показали, что в регулярных решениях шах аи, как правило, меньше той же величины в сингулярных решениях при одинаковом расходе арматуры Сравнение упругих и неупругих РА-проектов показало, что, например, для бороалюминиевой композиции при равном расходе арматуры несущая способность неупругих проектов в 5-9 раз выше, чем в упругих Это объясняется тем, что предельная упругая деформация алюминиевого сплава АДН составляет менее 20 % от той же величины борных волокон Поэтому в упругих РА-проектах напряжение в волокнах составляет всего 10-18 % (и даже менее) от предела прочности ов1 За счет варьирования в (10) величины (úq! можно в несколько раз уменьшить значение шах в связующем Так, при отсутствии теплового воздействия оптимальные по прочности РА-структуры прямоугольных удлиненных пластин в упругом и неупругом случаях совпадают с армированием по направлениям главных напряжений (\j/j =0) При наличии теплового воздействия (0 = const ;*0) оптимальные РА-структуры являются перекрестно-армированными (\|/j Ф 0) и не совпадают с армированием по направлениям главных напряжений

Если прямоугольная удлиненная конструкция нагружена на контуре x¡ - 0 только касательным напряжением рх = const (рп= 0) и в пластину по-прежнему внедрены два семейства арматуры, изготовленные из одного материала и уложенные симметрично с одинаковой интенсивностью, то безразмерное статическое граничное условие в упругом случае примет вид

А,(1 + V)-1 (1 -2(о01)sin"*1 (2\|/1) + to01sm(2\|/]) -px/al, al=-a2= const (11)

Умножением на sin 2\|/, это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно sin2\|/j, корни которого должны удовлетворять неравенствам |sin2\(/1|<l, 0 < cos ij/j < 1 Если \j/j - решение уравнения (11), то vj/j = 7t/2 — \|/j также является

решением этого уравнения Следовательно, рассматриваемая задача РА может иметь до четырех альтернативных решений Два из них являются регулярными, а два других - сингулярными За счет варьирования в (11) величины со01 на множестве РА-проектов можно осуществить целевую оптимизацию Так, оптимальная по прочности связующего РА-структура будет совпадать с армированием по направлениям главных напряжений (ij/j = -\]/2 = ±я/ 4 )

На примере уравнения (И) в § 14 исследованы причины существования нескольких альтернативных решений задачи РА при одних и тех же входных данных Так, из (11) при А,—>0 следует, что два регулярных решения порождаются нелинейностью статических граничных условий относительно углов РА Ц/j, а два сингулярных решения - нелинейностью условия РА е12 sin 2\j/j - gj / = const относительно \|/j (здесь б12 - сдвиговая деформация) Для еще более наглядной демонстрации причин существования нескольких решений задачи РА рассмотрена прямая задача определения НДС в фазах композиции прямоугольной удлиненной пластины при продольном контурном нагружении О (рп= 0) По-прежнему предполагается N = 2, £j = Е2, Ж2 = "Vi > ш2 = ю,, поэтому в пластине реализуется чистый сдвиг (е12 * 0, eu = е22 = 0) Прямая плоская задача расчета такой упругой анизотропной пластины описывается системой

гп=Рх!{2Апп), Am2^E{\-YJ(ük)l{l + v) + YJEktí¡kcos2Mfk&m2-Mfk, (12)

к к

б! = е12 sm 2\j/j, е2 =-в! (гк = ак / Ек Ф const, Л = 1,2), (13)

где ¿4,2)2 - эффективный модуль упругости, гк, Ек — деформация и модуль упругости волокон к-то семейства На рис 2 кривая 1 графически изображает зависимость 81(v)/1) = 81(\|i1)/eu, а кривая 2 - зависимость e12(\(í1) = e12(\(/1)/elx при = 0, Зст,Л., со, =0,26 и безразмерных механических характеристиках фазовых материалов А. = 0,1705, V = 0,31 (бороалюминий), где olx - Е]Ъи = const >0 - характерное напряжение в арматуре первого семейства (в РА-проектах принималось |о^| = 01д;) Видно, что в силу немонотонного поведения кривой 1 зависимость e¿(Vi) принимает значения, равные единице (е, =1) в четырех точках А, В, С, D Но при решении задачи РА деформация в арматуре первого семейства 8, изначально принималась равной по модулю eix ф^ = е1лг), поэтому точки А, В, С, D определяют четыре решения задачи РА Так, абсциссы этих точек задают углы РА, совпа-

i

0 10 20 30 40 50 60 70 80 vi. град Рис 2

дающие с решениями уравнения (11), а вертикальные прямые, проходящие через эти точки, пересекаясь с кривой 2, определяют точки А', В', С', D', ординаты которых задают деформации е^, соответствующие решениям задачи РА, причем точки А, А' и D, D' характеризуют сингулярные решения, а точки В, В' и С, С' - регулярные (Сравнение ординат точек A',B',C', D' показывает, что в регулярных решениях НДС в связующем существенно меньше, чем в сингулярных) Если при некоторых значениях (Oj (например, (О, =0,25, pz = 0,25а1х) ё^(\)/1)<1 (0<\|/j <п/2),то соответствующие решения задачи РА с заданным уровнем напряжений в волокнах (|а^| = а1х = const) вообще не существуют (дискриминант уравнения (11) отрицателен) Если же при некоторых (Oj (например, со, = 0,2) центральная точка (точка локального минимума) кривой 1 лежит выше значения 8j = 1, то существуют только сингулярные решения задачи РА При cOj =0,23 точки В, С совпадают с центральной точкой кривой 1, в которой ё12 ='ё1 =1 Этот случай соответствует оптимальному по прочности РА-проекту с армированием по направлениям главных напряжений (ij/j. =±л/4) Таким образом, из рис 2 следует, что неединственность решения задачи РА порождается сложной (немонотонной) зависимостью деформаций (напряжений) в волокнах от углов армирования и тем, что задача РА относится к разряду обратных задач механики деформируемого твердого тела

Для обеспечения плавности хода и торможения массивных вращающихся частей машин используют тормозные диско-торсионные механизмы Основными силовыми элементами таких механизмов являются диски постоянной толщины, осе-симметрично нагруженные в окружном направлении Решение задачи РА таких дисков имеет прикладное значение В § 1 4 показано, что при внедрении в такой диск двух семейств арматуры, изготовленных из одного материала и уложенных радиально-симметрично с одинаковой интенсивностью (щ(г) = со1(г)), статическое граничное условие на контуре диска имеет вид (11), а в остальных точках конструкции задача РА описывается алгебраическим уравнением 8-го порядка относительно cos ту J (при этом в диске реализуется чистый сдвиг) Следовательно, задача РА торсионного диска может иметь несколько альтернативных решений При некоторых входных данных получены два РА-проекта диска (один соответствует сингулярному решению, а другой регулярному, еще два решения соответствующих уравнений не являются решениями задачи РА, так как в них нарушаются неравенства 0 < cos <1) При этом в регулярном решении max аи и £1 в 2,36 раза и в 3,12 раза соответственно меньше, чем в сингулярном, в котором траектории РА практически не отличаются от окружного армирования За счет варьирования в граничном условии (11) величины со01 на совокупности регулярных решений получен оптимальный РА-проект, в котором напряженное состояние в связующем близко к равнопрочному (отклонение аи от среднего значения не превышает 3 %) Если армировать диск по направлениям главных напряжений (траектории армирования -ортогональные логарифмические спирали) с тем же расходом арматуры Q, что и в оптимальном РА-проекте, то оказывается, что при таком армировании шах аи и

тах|ст^| (к =1,2) на 10,4 % и 17,5 % соответственно больше тех же величин в оп-

тимальном проекте Следовательно, армирование торсионного диска по направлениям главных напряжений не является наилучшим с прочностной точки зрения

После рассмотрения аналитических решений задач РА в § 1 4 обсуждаются численные решения для односвязных и двусвязных, плоских конструкций произвольной формы, полученные за счет численного интегрирования уравнений (7) Сначала с целью демонстрации возможности выделения с помощью (7) нескольких решений задачи РА обсуждаются и сравниваются два альтернативных решения одной и той же задачи, полученные в классе гладких функций для двусвязной конструкции сложной формы В частности, шах аи в первом решении на 25,7 % меньше, чем во втором (Доказано, что итерационный процесс (7) позволяет выделять только регулярные решения задачи РА Этот факт не умаляет достоинств метода (7), так как многочисленные расчеты, проведенные на основе аналитических решений задачи РА, показали, что шахаи в связующем сингулярных РА-проектов существенно (иногда на порядки) больше max ст„ в регулярных проектах) Далее в § 1 4 приведены гладкие и сопряженные РА-проекты односвязных конструкций, которые могут быть использованы в строительной индустрии в качестве несущих стен ангаров и прямоугольных стеновых панелей из железобетона Использование таких проектов позволяет сэкономить до 20-25 % арматуры по сравнению с традиционными, прямоугольно армированными структурами при условии эквивалентности напряженного состояния в опасных точках связующего

В § 1 5 обсуждается вопрос корректности задачи РА плоских конструкций Хотя теорему существования решений задачи РА в общем виде пока доказать не удалось, о том, что решения этой задачи все же могут существовать для широкого класса конструкций, указывают полученные в § 1 4 аналитические решения задачи РА и решения, построенные в асимптотическом приближении в § 1 3 Однако помимо вопроса существования решения для определения корректности задачи необходимо выяснить более подробно и вопрос о единственности решения В § 1 3,1 4 было показано, что в «широком смысле» задача РА может иметь несколько решений при фиксированных входных данных В § 1 5 формально доказывается единственность решения задачи РА в «узком смысле» Под этим понимается следующее пусть каким-то образом получено решение и', 8', to', »|/' задачи РА, доказано, что не существует другого решения и", 9", <о", \|/", удовлетворяющего той же системе разрешающих уравнений (5), соответствующим ей граничным и краевым (2) условиям и дополнительным краевым условиям = \|/£(Гл) (к = 1,2 N) (Это условие

введено потому, что в общем случае задача РА может иметь несколько решений, которые порождаются тем, что на контуре конструкции Гр статические граничные

условия в силу их нелинейности и нелинейности условий РА могут быть тождественно удовлетворены при различных наборах углов РА Последнее условие так бы фиксирует один из таких наборов ) В § 1 3 показано метод (7) позволяет надежно отделять различные решения задачи РА, причем на контуре Тр этот метод

как бы последовательно разрешает статические граничные условия относительно контурных значений углов РА \|/^(Гр) = \|/oi, уточняя их Поэтому проведенное в § 1 5 доказательство позволяет утверждать, что не существует другого решения за-

дачи РА, отвечающего системе разрешающих уравнений (5), соответствующим им граничным и краевым (2) условиям и контурным значениям (Гр) = "цг0А. (полученным за счет последовательного обращения статических граничных условий), отличающееся от решения, построенного с помощью итерационного процесса (7)

Для решения и анализа столь сложных задач, как РА конструкций, естественно ориентироваться на наиболее простые модели механического поведения армированного слоя, поэтому в § 1 1-1 5 использована модель с «одномерными» волокнами Однако чрезмерное упрощение модели может оказаться неоправданным и привести к практически малоценным результатам Поэтому актуальным является вопрос об обоснованном выборе структурной модели армированного слоя В § 1 6 проведено сравнение расчетных эффективных характеристик однонаправлено и перекрестно армированных образцов из бороалюминия с экспериментальными данными Сопоставлялись эффективные модули упругости и значения временного сопротивления композиции при разных углах ориентации волокон и плотностях армирования Расчетные характеристики определялись по нитяной модели, модели с «одномерными» волокнами, в рамках которой поперечный сдвиг и поперечные растяжение — сжатие в арматуре не учитываются, и по более сложным моделям с «двумерными» волокнами, учитывающих эти обстоятельства (модели Ю В Неми-ровского, В В Болотина, а также модель, использующая соотношения Хилла, Ха-шина — Розена, Савина - Хорошуна)

Проведенный сравнительный анализ этих моделей показал, что модель с «одномерными» волокнами удовлетворительно описывает основные упругие и прочностные характеристики волокнистой композиции с «жестким» (металлическим) связующим и обосновано может быть использована при решении задач рационального армирования (При перекрестном армировании эта модель даже лучше согласуется с экспериментом, чем более сложные модели)

Кроме того, в § 1 6 дано сравнение расчетных эффективных коэффициентов теплопроводности армированного слоя с экспериментальными данными для органопластика Расчетные характеристики определялись по модели, предложенной автором в кандидатской диссертации, и по моделям Г А Ванина и О Ф Шленского Из проведенного сравнительного анализа следует используемая в диссертации модель теплопроводности армированной среды лучше согласуется с экспериментом, чем модели других авторов, и обеспечивает 9 %-ю точность при определении эффективных коэффициентов теплопроводности

Расчеты РА-структур для плоских конструкций показали в случаях использования стекло-, угле- и боропластиковых композиций (А. = 0,01 0,03) при решении задач РА можно использовать нитяную модель и пренебрегать тепловым воздействием на конструкцию Для композиций с жестким связующим (X = 0,1) необходимо использовать модель с «одномерными» волокнами и пренебрегать тепловым воздействием при определении РА-структур нельзя

Вторая глава посвящена исследованию задачи РА плоских конструкций, которые в процессе эксплуатации последовательно испытывают воздействие нескольких независимых систем квазистатических термосиловых нагрузок Чтобы исключить малоцикловую усталость и повысить, тем самым, долговечность конструкции, рассматривается только термоупругое (линейное или нелинейное) поведение фазо-

вых материалов Относительно структуры армирования делаются те же предположения, что и в гл 1, и разыскиваются только гладкие решения задачи РА

В § 2 1 сформулирована и проанализирована термоупругая задача РА при «жестком» требовании, чтобы при действии всех систем нагрузок арматура всех семейств в конструкции была равнонапряжена При действии каждой системы нагрузок в конструкции выполняются те же исходные уравнения, граничные условия и соотношения, что и в § 1 1, а условия РА имеют вид (1), где А^"1' = N, М - количество вариантов нагружения Исходная система уравнений и граничные условия приведены к безразмерному разрешающему виду в перемещениях Соответствующая граничная задача РА может быть записана в операторном виде, аналогичном (5), где имеют место равенства (6) и

и = 4м0 = {6(1),е(2) 0(М)} (14)

Анализ системы (5) показал, что для обеспечения условий РА (1), во-первых, необходимо отказаться от условий постоянства сечений волокон (иначе система разрешающих уравнений будет переопределена, а условия совместности такой системы будут накладывать жесткие связи на внешние нагрузки), во-вторых, условия (1) могут быть выполнены только при действии двух систем нагрузок (М -2) и количестве семейств РА, не превышающем четырех (1</V<4) Система разрешающих уравнений является квазилинейной системой смешанно-составного типа, причем имеет N действительных характеристик, совпадающих с траекториями РА Нелинейность граничной задачи (5) по-прежнему имеет структурное и физическое происхождение Кроме того, задача (5) является задачей с сингулярным возмущением и связывает между собой подзадачи определения параметров РА, температурных полей и НДС в связующем при действии каждой системы нагрузок

Для решения сформулированной задачи РА при N = 2 предлагается использовать метод, аналогичный (7), сходимость этого итерационного процесса определяется контролем норм невязок (8), возникающих лишь в уравнениях равновесия и статических граничных условиях Как и в § 1 3, использование метода (7) позволяет на каждой итерации расщепить ранее связанные подзадачи и интегрировать их последовательно При отсутствии распределенных массовых нагрузок и однородных температурных полях решение задачи РА на первой итерации получено в аналитической форме Показано, что в асимптотическом приближении (А, —» 0) при отсутствии массовых нагрузок волокна имеют постоянные площади поперечных сечений по всей длине Разработанный метод (в отличие от § 13) позволяет определить только одно (регулярное) решение задачи РА, которым нельзя управлять за счет варьирования функций (й0!с в краевых условиях (2), так как эти условия вообще не используются (Возможность управления РА-проектами в рассматриваемом случае фактически была использована для обеспечения условий РА (1) при действии второй системы нагрузок)

Получено аналитическое решение задачи РА прямоугольной удлиненной пластины, последовательно нагружаемой в продольном и поперечном направлениях Показано, что задача РА в силу своей нелинейности может иметь два альтернативных решения (регулярное и сингулярное), управлять которыми можно лишь за счет выбора различных фазовых материалов

Сформулирована задача РА осесимметрично нагруженных, кольцевых пластин, которая сводится к системе 12-и обыкновенных квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка и соответствующим ей нелинейным граничным условиям Решение этой граничной задачи разыскивается методом стрельб На примере решения конкретной задачи РА кольцевой пластины исследовано влияние различных факторов (теплового воздействия, массовых нагрузок, учета работы связующего и др) на РА-структуру и распределение толщины волокон по их длине В частности, показано, что при к = 0,01 (угле- и боропластики) и отсутствии массовых нагрузок можно пренебречь изменением толщины волокон по их длине При наличии интенсивного теплового воздействия или массовых нагрузок толщина РА изменяется существенно, и пренебрегать этим изменением недопустимо Все полученные решения задачи РА кольцевой пластины являются регулярными, в сингулярных решениях нарушаются первые неравенства (4), т е в некоторых подобластях конструкции плотности армирования отрицательны, что не возможно с физической точки зрения

В конце § 2 1 приведено решение задачи РА двусвязной пластины некольцевой формы, полученное с помощью метода (7) При этом для расширения общности задачи предполагается, что значения напряжений в равнонапряженной арматуре при растяжении и сжатии отличаются по модулю в три раза

Как показано в § 2 1, требование РА всех семейств при действии каждой системы нагрузок приводит к тому, что конструкция может подвергаться воздействию только двух вариантов нагружения (М = 2), а волокна должны иметь переменные площади поперечных сечений Последнее условие может привести к принципиальным затруднениям при технологической реализации соответствующих РА-проектов Поэтому в § 2 2 исследуется проблема РА плоских конструкций подверженных воздействию М> 2 вариантов нагружения, причем накладывается требование, чтобы волокна имели постоянные площади сечений Для достижения этой цели используется «ослабленное» условие РА при действии каждой системы нагрузок волокна некоторых семейств равнонапряжены, а остальных семейств - нет В такой постановке задачи РА в § 2 2 для простоты изложения подробно исследован случай М = 2 при внедрении в конструкцию двух семейств волокон (N = 2) Предполагается, что при действии каждой системы нагрузок выполняются те же исходные уравнения, соотношения и граничные условия, что и в § 1 1, 21, но условия РА отличны от (1) А именно при действии первой системы нагрузок равно-напряжена арматура первого семейства, а при действии второй - второго

aj^ = const, а(кт)(х1,х2)*const, т = Ъ-к, к =1,2 (15)

Исходная система уравнений и граничные условия приведены к безразмерному разрешающему виду в перемещениях, аналогичному (5), где следует учесть (6), (14), а

оператор А имеет дополнительные аргументы о^, <т{2) (неизвестные функции) Замкнутая система разрешающих уравнений является квазилинейной системой смешанно-составного типа, которой соответствуют нелинейные граничные условия Решениями сформулированной задачи (в отличие от § 2 1) можно управлять за счет варьирования функций в краевых условиях (2) Для решения поставленной задачи предлагается использовать итерационный процесс, аналогичный (7),

сходимость которого определяется контролем норм невязок (8) Использование метода (7) вновь позволяет на каждой итерации расщепить ранее связанные подзадачи (определения параметров РА, температурных полей и НДС в фазах композиции) и интегрировать их последовательно При отсутствии объемных нагрузок и однородных температурных полях решение задачи РА на первой итерации получено в аналитической форме Показано, что в асимптотическом приближении (А,—>0) при отсутствии массовых нагрузок арматура всех семейств при действии каждой системы нагрузок равнонапряжена, т е вместо условий (15) имеют место равенства (1) (в этом случае результаты § 2 1, 2 2 полностью совпадают)

Получены аналитические решения задачи РА прямоугольной удлиненной пластины, последовательно нагружаемой в продольном и поперечном направлениях На основе этого решения показано, что за счет варьирования функций в краевых условиях (2) можно существенно (в несколько раз) изменять НДС в связующем и неравнонапряженной арматуре С целью наиболее полного использования несущей способности неравнонапряженных волокон предлагается на контуре со статическими граничными условиями Гр задавать значения напряжений в неравнонапряженных волокнах, т е вместо краевых условий (2) использовать а<т) (Гр) = о£> = const - заданные значения (т = 3-к, к =1,2) Как показали конкретные расчеты, использование таких краевых условий позволяет получить проекты РА, наиболее эффективные с прочностной точки зрения Кроме аналитических решений в § 2 2 приведено численное решение задачи РА, полученное с помощью метода (7) для двусвязной пластины некольцевой формы

В заключение § 22 показано, что разработанные в этом параграфе методы и подходы можно без труда обобщить на случай действия на пластину М> 2 систем нагрузок При этом условия РА могут иметь вид (15), где тФк, к,т = 1,2 М, те при действии каждой системы нагрузок волокна только одного семейства равно-напряжены, либо можно потребовать, чтобы при действии каждой системы нагрузок арматура двух семейств (например, (2т -1) -го и 2т -го) была равнонапряжена

(02т-1 = const, о£> = const, от = 1,2 М) Последнее условие РА является более эффективным, чем требование (15), так как два семейства РА при действии каждой системы нагрузок более эффективно воспринимают соизмеримые осредненные напряжения на площадках, различно ориентированных по двум направлениям Однако в этом случае требуется внедрять в конструкцию вдвое большее количество семейств волокон

Третья глава посвящена вопросам рационального армирования и профилирования КМ-дисков газотурбинных двигателей Вращающиеся диски газовых турбин и компрессоров относятся к разряду силовых элементов, которые в современных технических устройствах испытывают наиболее интенсивное термосиловое нагру-жение, поэтому исследования вопросов рационального армирования и профилирования этих элементов конструкций имеет важное прикладное значение

В § 3 1 сформулирована прямая задача расчета трехслойных дисков симметричной относительно срединной плоскости структуры Предполагается, что внутренний (силовой) слой постоянной или переменной толщины Я армирован N семейст-

вами волокон, внешние изотропные слои изготовлены из одного материала и имеют постоянную или переменную толщину /г/2 каждый Исследуется лишь случай осесимметричного растяжения, так как это главный этап расчета вращающегося диска на прочность Диск подчиняется обычным (общеизвестным) упрощающим гипотезам Армированный слой предполагается квазиизотропным или радиально-симметрично армирован, что обеспечивает совпадение направлений главных деформаций и напряжений во всех слоях диска с радиальным и окружным направлениями Чтобы свести к минимуму мапоцикловую усталость, исследуется поведение диска только в пределах упругости Предполагается, что по внутреннему контуру (г = г0) диск жестко прикреплен к валу, а к внешнему контуру (г = г}) приложены силы реакции лопаток и разрезанной замковой части обода В первом приближении лопатки схематизированы в виде прямолинейных брусьев постоянной толщины, продольно армированных одним семейством волокон

Показано, что для решения прямой задачи расчета термоупругого КМ-диска на прочность необходимо последовательно проинтегрировать две несвязанные двухточечные граничные задачи задачу определения температуры 8 и задачу определения радиального перемещения и (предполагается, что 0 и и изменяются только по радиусу диска)

При создании эффективных конструкций газотурбинных двигателей важную роль играет и решение обратной задачи при заданной структуре армирования определить максимально допустимую угловую скорость шпш). =тахсо вращения диска При этом (й^ будет определяться возникновением пластических деформаций хотя бы в одной из фаз композиции диска или лопатки или ограничениями на смещения концевых точек лопатки Предполагается, что структура армирования задана и температура диска 0 известна из решения соответствующей прямой граничной задачи теплопроводности, а для определения (йгпах используется принцип независимости действия сил в термоупругом диске, т е напряжения и деформации, возникающие за счет теплового воздействия и предварительного напряжения волокон в армированном слое, определяются независимо от действия центробежных сил Так как массовые и контурные нагрузки пропорциональны со2, то перемещение и можно представить в виде

м = ы0+мО)(о2, (16)

где и9 порождается температурой 0 и предварительным напряжением в волокнах к-то семейства, а м0) - центробежными силами (Функция ие формально получается из решения прямой задачи расчета диска при (0 = 0, а функция ию - при

0 = 0, а°к =0, (0 = 1) При известных функциях , и0) величина йтах определяется из критериев прочности, аналогичных (3), где следует использовать предельные равенства После подстановки (16) в (3) получаются квадратные уравнения относи-

2 2 тельно со , коэффициенты которых известны в каждой точке диска Величина со1тх

определяется как минимум на множестве наибольших действительных корней этих уравнений, а величина со^ип - как максимум на множестве наименьших корней

2

Если сотш < 0, то угловая скорость со может принимать значения в диапазоне

О < (0 < (Отах, если же штш > 0, то (О^ц < (0 < И,тх (В последнем случае при отсутствии вращения (со = 0) в субструктурных элементах диска возникают пластические деформации за счет теплового воздействия или предварительного натяжения арматуры) Так как коэффициенты указанных квадратных уравнений зависят от характеристик фазовых материалов диска, параметров армирования ук, (дк несущего слоя и толщин слоев (Я, К), а также от ак, то в § 3 1 на основе решения обратной задачи сформулирована задача оптимизации КМ-дисков по их несущей способности Математически задача оптимизации сводится к задаче нелинейного программирования

ш0=тахштах(Х) (17)

при следующих ограничениях

п

Уа = > ук = \^кс1У = 2я \Н(г)тк (г)г(1г, * = 1,2 Ы, (18)

к V г0

5>*<со*, юк >0, 0<^<71, (X)<О,

к (19)

Н>О, й>0, Н + Н<Н*, а1<а°к<а+к, к= 1,2 N. где Н* - предельная толщина диска, при которой напряженное состояние в слоях приближенно может рассматриваться как плоское, X - вектор оптимизации, компонентами которого являются физико-механические характеристики фазовых материалов, величины а® и функции шк, цгк, Н, /г, зависящие от г, Уа - заданный общий объем волокон в среднем слое Для решения задачи (17)—(19) можно использовать известные методы теории нелинейного программирования, но все эти методы приводят лишь к локальному экстремуму функционала (17) Проверка достаточных условий, при которых полученный экстремум является глобальным в задаче (17)—(19), практически неосуществима, так как целевая функция Шта)( (X) может быть определена только численно из решения серии задач минимизации и в общем случае количество параметров оптимизации достаточно велико (8М + 25 ) Поэтому при рассмотрении конкретных примеров в § 3 1 понижается размерность задачи (17)—(19) таким образом, чтобы можно было использовать метод сканирования по параметрам оптимизации, который позволяет определять все экстремумы задачи и их характер

Из анализа задачи (17М19) следует, что существуют два основных направления рационального проектирования армированных дисков 1) рациональное профилирование дисков (определение рациональных параметров Н, К), 2) рациональное армирование дисков (определение рациональных параметров ук, (%) В идеале необходимо совмещать оба подхода и разыскивать рациональные проекты как за счет профилирования диска, так и за счет варьирования структуры армирования Но это приводит к значительному усложнению задачи (17М19) Поэтому в гл 3 эти методы предлагается применять последовательно Так, в § 3 1 используется лишь второй подход, т е определяются структуры армирования, которым соответствует

22

наибольшая несущая способность диска, причем для упрощения задачи рассматриваются диски постоянной толщины Я, состоящие только из армированного слоя (А = 0), а температура диска считается известной и постоянной Предполагается, что диск может быть изготовлен из различных металлических сплавов на основе алюминия (АМц1/2Н), магния (ZK60A) и титана (IMD18A) и армирован различными волокнами борными, углеродными (Кулон) и стальной проволокой марки У8А Для сравнения рассматривается изотропный диск из конструкционной стали ЭИ69, используемой при изготовлении изотропных дисков газовых турбин

Исследована зависимость несущей способности диска от параметров армирования, определяющих наиболее характерные структуры (армирование по логарифмическим спиралям и по прямолинейным траекториям, радиально-окружное и квазиизотропное армирование) На рис 3 изображены кривые, характеризующие несущую способность (п = ЗОш/л) армированных по логарифмическим спиралям дисков от угла армирования при температуре естественного состояния конструкции

(0 = О°С) Предполагается, что диски армированы двумя семействами непрерывных волокон, изготовленных из одного материала и уложенных с одинаковой интенсивностью (to2(r) = a>j(г)) по радиально симметричным направлениям под постоянными углами \|/1(r) = -\|/2(r)=\j/ = const, 0<\|/<7i/2; интенсивности армирования на внутреннем контуре диска равны ю01 =ю02 =0,35, поэтому в силу = const общий расход арматуры Va (18) во всех дисках одинаков, вследствие чего при различных \jr одинакова и масса

м д = j (а •-i щ )р ■+1 <ч р* Yv=ру+гvk (рк - р) см)

V к к к

дисков, изготовленных из одних и тех же материалов (здесь р, рк — объемные плотности фазовых материалов) Прямые п = const соответствуют изотропным дискам (ю01 = (002 = 0) Массы дисков Мд, отнесенные к массе МЭИ69 эталонного

изотропного диска из стали ЭИ69, приведены в табл 2 (т = Мд!МЭИ69)

Точки максимумов на кривых рис 3 соответствуют рациональным проектам армирования, при которых несущая способность дисков максимальна Так, для дисков, выполненных из композиций AI-B, А1-С, Mg—В, рациональным является радиальное армирование (\|/ = 0), а для дисков, изготовленных из Mg-C, Ti-B, Ti-C, рациональными являются проекты со спиральными структурами армирования (Точкам излома кривых на рис 3 соответствуют два механизма разрушения композиции, которые определяются гладкими участками кривых, примыкающих к этим точкам) С увеличением температуры 0 несущая способность дисков умень-

п, об/мин 26000-

Ti—В

ЭИ69

О 02 04 06 08 1 12 14 V, рад РисЗ

шается, значения 0, при которых полностью исчерпывается несущая способность дисков (и(0) = 0), приведены в табл 2 Кривые на рис 3 и данные, приведенные в табл 2, показывают, что диски из стали ЭИ69 наиболее тяжелы и в пределах упругости обладают низкой несущей способностью, которая быстро исчерпывается с увеличением температуры В «горячей» части газовой турбины целесообразно использовать диски с титановым связующим, при этом армированные титановые диски при определенных углах \|/ имеют большую несущую способность и меньший вес, чем изотропные диски из титана В «холодных» и «теплых» частях турбины (О<0<300"С) целесообразно использовать диски с магниевым связующим, которые имеют малую массу и достаточно высокую несущую способность в указанном диапазоне температур Несущая способность дисков с алюминиевым связующим резко уменьшается даже при незначительном увеличении температуры

Таблица 2

ЭИ69 А1 Т1 А1-В А1-С Мё-В М р-С Т1-В Т1-С

т е,°с 1,0 102 0,331 63 0,194 271 0,540 850 0,325 80 0,302 80 0,227 330 0,205 360 0,475 1067 0,453 1067

Несущая способность дисков, армированных по прямолинейным радиально-симметричным траекториям, практически совпадает с несущей способностью ра-диально армированных дисков с тем же расходом арматуры (см значения п при \|/ = 0) Однако несущую способность таких дисков, выполненных из композиций А1-В, А1-С, М^-В, можно на 3000-5000 об/мин увеличить за счет предварительного натяжения арматуры (о® >0) (Для композиций Mg-C, Т1-В, Ъ-С этого добиться не удается, потому что даже при ст^ = 0 несущая способность радиально армированных дисков определяется разрушением волокон, а не связующего, как в случае А1-В, А1-С, )

Расчеты несущей способности квазиизотропных дисков (такие структуры армирования наиболее часто встречающихся на практике) показали, что она ниже, чем у радиально армированных дисков с тем же расходом арматуры Следовательно, использование квазиизотропных структур армирования малоэффективно в конструкциях типа вращающихся дисков

Исследование несущей способности дисков с радиально-окружным армированием в зависимости от распределения плотности армирования окружного семейства волокон по радиусу г позволяет сделать вывод чем больше концентрация высокомодульной арматуры окружного семейства в окрестности внешнего контура диска, тем выше его несущая способность Этот факт подкрепляется следующими соображениями если бы удалось создать диск с абсолютно жестким ободом, то такой обод, не деформируясь, полностью воспринимал бы реакцию лопаток и препятствовал бы деформации полотна диска, существенно повышая его несущую способность Роль такого обода как раз и играет концентрация волокон окружного семейства в окрестности внешнего контура диска Несущую способность боротитанового

диска с радиально-окружным армированием =0, \\12 = л/2, (цДг) = ш01г0/г, со2(г) = со01-со^г), со01=0,7) и предварительным натяжением арматуры радиального семейства (о® = 0,08ав1) удалось повысить до итах =29145об/мин Значение птах в 2,5 раза выше несущей способности диска из стали ЭИ69, при этом масса боротитанового диска почти втрое меньше массы стального

Сравнение несущей способности дисков, рассчитанных с использованием разных моделей армированного слоя, показало, что модель с «одномерными» волокнами дает всегда несколько заниженную оценку предельно допустимой скорости вращения диска по сравнению с моделью с «двумерными» волокнами, причем максимальная разность этих расчетных величин не превосходит 10-18 % для разных структур армирования

Исследование несущей способности радиально и квазиизотропно армированных магниевых дисков, усиленных борными волокнами или стальной проволокой У8А, с учетом и без учета термочувствительности фазовых материалов показало, что отказ от учета термочувствительности приводит с увеличением температуры к неоправданному завышению несущей способности КМ-дисков и почти не влияет на несущую способность дисков из стали ЭИ69

При проектировании дисков газотурбинных двигателей особое внимание уделяется не только повышению их несущей способности, но и снижению их веса Результаты расчетов, приведенные в табл 2 и изображенные на рис 3, показывают, что несущая способность армированных дисков может быть значительно выше несущей способности изотропных стальных дисков той же геометрии, причем масса первых в несколько раз (почти в пять раз для углемагниевого диска) меньше массы последних Однако масса армированных дисков (20) может быть дополнительно уменьшена за счет их рационального или оптимального профилирования Исследованию этих вопросов посвящен § 3 2, в начале которого обсуждаются «технические» проблемы, возникающие при отыскании минимума функционала (20) на основе теории оптимального управления при ограничениях (3), (4) и заданной угловой скорости вращения диска Показано, задача минимизации массы диска на основе принципа максимума Понтрягина является нелинейной задачей со сложными ограничениями общего вида на параметры управления и фазовые переменные, что существенно усложняет анализ такой задачи и разработку численных методов ее интегрирования Поэтому в § 3 2 предлагается использовать другой подход, позволяющий существенно снизить массу диска за счет его рационального профилирования при достаточно простых уравнениях и соотношениях В качестве критериев рационального профилирования используются условия равнонапряженности волокон (1) или условие равнопрочное™ связующего армированного слоя

ст„ (г) = соШ < ас (21)

или материала внешних слоев (условие, аналогичное (21)) При этом предполагается, что элементарные армированные слои во внутреннем (силовом) слое диска параллельны срединной плоскости (плоское армирование) или же расстояния между элементарными армированными слоями изменяется пропорционально Н(г) (пространственное армирование)

Сформулированы двухточечные граничные задачи рационального профилирования дисков с использованием критериев (1) (при М =1) или (21) Показано, что эти задачи описываются замкнутыми системами обыкновенных квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которым соответствуют нелинейные граничные условия Интегрировать такие задачи можно численно с применением метода стрельб или с помощью итерационного метода, разработанного в § 3 2 и позволяющего последовательно определять приближения функций Я (г) или h(r) (при этом на каждой итерации решаются только линейные граничные и начальные задачи)

Получены аналитические решения задачи профилирования диска с плоским радиальным и радиально-окружным армированием среднего слоя при температуре естественного состояния конструкции В качестве критерия профилирования использовано условие РА радиального семейства Показано, что эти решения удовлетворяют ограничениям (3), (4) и Н{г)> 0, причем при радиальном армировании толщина полотна диска Я (г) монотонно убывает от ступицы к ободу Аналитические решения были использованы для тестирования численных схем интегрирования задачи рационального профилирования диска в общем случае

На рис 4 изображены профили бороалюминиевых дисков, ради-ально армированных равнонапряженными волокнами, причем интенсивность армирования на внутреннем контуре (Oj(r0) = co01 =0,6 Линии 1 на рис 4 изображают профиль, соответствующий эталонному диску (Под эталонными в § 3 2 понимаются диски с теми же характерными параметрами армирования, что и профилированные, но имеющие постоянную толщину Я = й* = const, т е в этих дисках не выполняются условия рационального профилирования) Методами § 3 1 было установлено, что при (001 = 0,6 несущая способность эталонного бороалюминиевого диска определяется величиной и = 11850,6 об/мин, при этом на внутреннем контуре в связующем возникают пластические деформации Кривые 2 на рис 4 задают профиль диска при плоском армировании (аналитическое решение), а кривые 3 -при пространственном Массы этих дисков Мд, отнесенные к массе эталона Мэ,

приведены в табл 3 (т-Мд /Мэ), откуда следует, что использование плоского

РА позволяет уменьшить массу диска на 13,3 %, а пространственного РА - на 48,2 % В РА-проектах напряжение в волокнах составляет всего 20,4 % от предела прочности ств1, а пластические деформации возникают в связующем на внутреннем контуре Так как несущая способность волокон в таких дисках используется не полностью, то за счет предварительного натяжения арматуры (о® >0) можно уве-

Рис 4

личить несущую способность дисков В частности, несущую способность эталонного диска можно увеличить от п = 11850,6 об/мин при =0 до п = 167400,6 об/мин при ст® =0,425ств1 (ав1 - напряжение временного сопротивления упруго-хрупких борных волокон) Несущую способность профилированного диска с плоским РА за счет предварительного натяжения арматуры можно увеличить до п - 21550,0 об/мин при <з\ = О,7950в1 (напряжения в арматуре при этом достигают предельного значения о1 = сгв1, а масса рационального диска равна массе эталона)

Таблица 3

Критерий РА Критерий равнопрочности связующего

Плоское армирование Пространственное армирование Плоское армирование Пространственное армирование

т 0,8642 0,5176 0,7792 0,6506

Если в качестве критерия рационального профилирования выступает условие равнопрочности связующего (21), то профили бороалюминиевых дисков будут качественно схожи с теми, что изображены на рис 4, а относительные массы профилированных дисков приведены в табл 3 За счет предварительного натяжения арматуры несущую способность профилированных диска с плоским армированием можно увеличить до п = 21350,0 об/мин (масса такого диска равна массе эталона), а несущую способность рационального диска с пространственным армированием -до п = 21830,0 об/мин, причем его масса будет на 54 % меньше массы эталона

Массу боротитановых дисков с радиальным РА за счет профилирования удалось уменьшить на 41,3 % при плоском и на 65,9 % при пространственном армировании За счет предварительного натяжения волокон получены проекты боротитановых РА-дисков с несущей способностью свыше 30000 об/мин и массой на 52,6 % меньшей массы эталона (Использование критерия равнопрочности связующего не приводит к столь существенному снижению массы боротитановых дисков, как использование условия РА ) Если профилировать боротитановый диск с ради-ально-окружной структурой армирования при условии равнонапряженности волокон радиального семейства, то его массу удается уменьшить всего на 2,8 % при плоском армировании (аналитическое решение), и на 42,4 % при пространственном армировании Однако в последнем случае радиапьно-окружная структура армирования вырождается в радиальную

Сравнение рациональных профилей радиально-армированного диска, рассчитанных с использованием разных моделей армированного слоя, показало, что эти профили отличаются незначительно, а масса диска, определенная на основе модели с «одномерными» волокнами, всего на 9,8 % больше, чем у диска, рассчитанного на базе модели с «двумерными» волокнами

Результаты расчетов, проведенных в § 3 2, показывают, что использование условий РА и равнопрочности связующего в качестве критериев рационального про-

филирования вращающихся дисков позволяет существенно снизить их массу или повысить несущую способность Выбор того или иного критерия профилирования должен определяться типом композиции и структурой армирования диска плоской или пространственной Критерий РА, как правило, является более эффективным, чем критерий равнопрочности связующего, а армирование по направлениям главных напряжений (радиальное, окружное и радиально-окружное) вообще не является критерием рационального профилирования и далеко не всегда обеспечивает наибольшую несущую способность дисков заданной геометрии

Четвертая глава посвящена исследованию проблемы РА кирхгофовских пластин постоянной толщины Я при чисто-упругом и упругопластическом поперечном изгибе волокнами постоянного поперечного сечения Относительно структуры армирования делаются те же предположения, что и в гл 1 В частности, область С, занимаемая пластиной в плане, может состоять из М контактирующих между собой подобластей Ст, в которых могут быть использованы различные фазовые материалы или различные критерии рациональности

В § 4 1 приведена исходная система уравнений, соответствующие ей граничные условия и условия сопряжения решения В каждой подобласти Ст выполняются общеизвестные уравнения равновесия поперечного изгиба пластин, соотношения, связывающие изгибающие моменты с осредненными напряжениями и деформации с прогибом м, а также условия постоянства сечений волокон Получены связи между напряжениями в фазах композиции и параметрами искривления срединной плоскости пластины в предположении, что фазовые материалы имеют диаграммы деформирования с линейным упрочнением Выведены соотношения, определяющие толщину упругих слоев в фазах композиции через напряженные состояния в фазовых материалах на лицевых плоскостях пластины (г = ±Я/2) В качестве основного критерия рационального проектирования используются условия РА (1), которые задаются на верхней стороне пластины (на нижней стороне пластины напряжения в арматуре будут иметь по модулю то же постоянное значение, но противоположны по знаку) На кромках пластины и линиях контакта подобластей Ст выполняются общеизвестные статические и кинематические граничные условия и условия сопряжения решения, а также краевые условия (2) Решение задачи РА изгибаемых пластин должно удовлетворять прочностным (3) и физическим (4) ограничениям

В § 4 2 исходная система уравнений, граничные условия и условия стыковки приведены к разрешающему виду в прогибах Если в подобласти Ст выполняются условия РА, то безразмерная задача РА в этой подобласти описывается операторным уравнением (5), где и = {н>} - прогиб, 9 = 0, Е0 = {к} - относительная толщина упругого слоя в связующем Задача (5) является нелинейной задачей с сингулярным возмущением, связывающая три подзадачи определение параметров РА \ук, юк, прогиба уу и толщины упругого слоя в связующем к Замкнутая система разрешающих уравнений (5) является квазилинейной системой смешанно-составного типа, имеющей действительные характеристики, совпадающие с траекториями РА Нелинейность задачи имеет то же происхождение, что и в гл 1

В ряде практически важных случаев требуется решать задачу РА для осесим-метрично нагруженных кольцевых пластин Поэтому в § 4 2 дополнительно сформулирована осесимметричная, упругая задача РА поперечно изгибаемых, кольцевых пластин, которая описывается замкнутой системой трех обыкновенных квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка и соответствующими ей нелинейными граничными условиями и условиями сопряжения решения Показано, что в каждую кольцевую подобласть Ст достаточно внедрять два семейства РА (/V = 2), изготовленных из одного материала и уложенных радиально-симметрично с одинаковой интенсивностью Решение поставленной двухточечной граничной задачи РА изгибаемых кольцевых пластин может быть получено численным интегрирование с использованием метода стрельб

Теория квазилинейных систем смешанно-составного типа разработана недостаточно полно, чтобы можно было аналитически исследовать свойства решений задачи РА изгибаемых пластин в общем виде Однако удалось установить некоторые весьма важные особенности решений этой задачи Так, на основе анализа условий РА установлено, что при следующих типах закрепления поперечно изгибаемых пластин гладкие решения задачи РА вообще не существуют 1) пластина жестко защемлена по всей кромке Г, ее ограничивающей, 2) пластина оперта по всей кромке Г, а по некоторой части Г жестко защемлена, 3) на одной части кромки пластина оперта, на другой части жестко защемлена, а на третьей части задана податливая опора с защемлением (при этом первая часть контура может вообще отсутствовать) Следовательно, для этих типов закрепления нужно разыскивать сопряженные решения задачи РА При этом найдутся такие линии разрыва решения Гг, при переходе через которые напряжения в равнонапряженных волокнах будут менять знак Но в этом случае вблизи Г,. в силу наличия в (5) малого параметра А, напряжения в связующем могут достигать больших по модулю значений (локальный эффект), а значит, в окрестности таких линий целесообразно отказаться от выполнения условий РА Кроме того, анализ условий РА на жестко защемленной кромке показал, что чем меньше угол между траекторией армирования и касательной к кромке, тем больше модули деформаций в пластине и напряжений в связующем В пределе, когда указанный угол стремится к нулю, деформации и производные от прогиба третьего и четвертого порядка неограниченно возрастают по модулю Эти обстоятельства необходимо учитывать при разработке численных схем интегрирования задачи РА Так как краевая задача РА изгибаемых пластин (5) является задачей с сингулярным возмущением, то решение такой задачи может обладать ярко выраженным краевым эффектом Краевой эффект в РА-подобластях может возникнуть только в связующем, так как напряжения в арматуре всех семейств в силу (1) остаются постоянными в элементарных армированных слоях В § 4 2 приведено решение осесимметричной задачи РА кольцевой изгибаемой пластины, свободно опертой на внутренней кромке и нагруженной изгибающим моментом на внешней кромке, в связующем которой в окрестности внутренней кромки возникает краевой эффект Как и в § 1 2, для устранения краевого эффекта предлагается в окрестности внутренней кромки осуществлять неравнонапряженное армирование в окружном направлении (армирование по направлениям главных напряжений), что позволяет в несколько раз снизить концентрацию напряжений в связующем

В конце § 4 2 обсуждается возможность существования нескольких решений задачи РА изгибаемых пластин при фиксированных входных данных Этими решениями можно управлять за счет варьирования функций ю0Л в краевых условиях (2) и изменения формы подобластей

В § 4 3 разработан метод решения задачи РА (5) на основе теории возмущений Для решения задачи (5) используется итерационный процесс, аналогичный (7) Анализ краевой задачи (7) в зависимости от числа семейств волокон N показал, что при внедрении в пластину одного семейства арматуры (Л/ =1) этот метод на каждой итерации позволяет «расщепить» ранее связанные подзадачи определения параметров РА, прогиба и толщины упругого слоя в связующем и интегрировать их последовательно На каждой итерации имеем три замкнутые подзадачи первая подзадача определяет приближения параметров РА \|Г[, ю1, вторая подзадача (при решенной первой) определяет приближения прогиба м>, третья подзадача (при решенной второй) определяет приближение к В случае чистого изгиба в аналитической форме получены приближения параметров РА на первой итерации По тем же

причинам, что и в § 1 3 метод (7) позволяет получить 2м альтернативных решений задачи РА, которыми можно управлять за счет варьирования функций т0к в краевых условиях (2) Если входные данные задачи обладают симметрией относительно

некоторой оси, лежащей в срединнои плоскости пластины, то совокупность 2 решений можно разбить на тары так, что каждую пару будут составлять два РА-проекта, структура и НДС в фазах композиции которых будут симметричны относительны этой оси (В частности, все решения осесимметричных задач обладают указанным свойством) Для проверки сходимости метода (7) предлагается контролировать норму невязок (8), возникающих в (5) при подстановке решения задачи (7)

В § 4 4 обсуждаются аналитические и численные решения задачи РА изгибаемых пластин В начале § 4 4 получены аналитические решения задачи РА прямоугольных удлиненных пластин при цилиндрическом изгибе в случаях чисто-упругого и неупругого поведения фазовых материалов Показано, что при чисто-упругом цилиндрическом изгибе задача РА формально описывается теми же уравнениями, что и в упругом случае ПНС прямоугольных удлиненных пластин при поперечном нагружении В частности, статические граничные условия по изгибающему моменту совпадают с равенством (10) Следовательно, по тем же причинам, что и в § 1 4, задача РА изгибаемых пластин может иметь несколько альтернативных решений, одна часть которых является регулярной, а другая - сингулярной Продемонстрировано, что при некоторых граничных условиях невозможно всюду в пластине реализовать условия РА В этих случаях целесообразно использовать сопряжения решения задачи с различными критериями рациональности в разных подобластях конструкции На примере бороалюминиевой, цилиндрически изгибаемой пластины показано, что при допущении неупругого деформирования связующего несущую способность РА-пластины можно увеличить в 4—8 раз по сравнению со случаем чисто-упругого изгиба Это вызвано тем, что предельная упругая деформация борных волокон примерно в 5 раз больше той же величины алюминиевого сплава АДН и максимальная несущая способность пластины определяется разры-

вом упруго-хрупких борных волокон на одной из лицевых сторон пластины (в сжатой области волокна сохраняют устойчивость)

В качестве следующего примера рассмотрен чисто-упругий изгиб осесиммет-рично нагруженной, кольцевой пластины, жестко защемленной на внешней кромке и нагруженной изгибающим моментом и поперечной силой на внутренней кромке Решение этой задачи РА в классе гладких функций было получено методом стрельб при различных значениях со01 = С002 = const в краевых условиях (2), заданных на внутренней кромке Выяснено, что совокупность решений такой задачи РА образует два «пучка» первый пучок, соответствующий регулярному решению, можно получить при 0,1977 <2ш01 <0,99, а второй, соответствующий сингулярному решению, - при 0 < 2со01 < 0,258 Сопоставление НДС в связующем в обоих пучках решений показывает, что при одинаковой расходе арматуры (9) предельное напряженное состояние в регулярном проекте в несколько раз меньше, чем в сингулярном Кроме того, варьирование в указанных пределах величин со01 = ю02 позволяет в несколько (почти в десятки) раз снизить предельное НДС в связующем РА-проектов В частности в оптимальном по прочности РА-проекте можно получить напряженное состояние в связующем, близкое к равнопрочному (аи ~ const) Различные целевые функции могут приводить к оптимальным РА-проектам, принадлежащим разным пучкам решений Продемонстрировано, что задача оптимизации на множестве РА-проектов формулируется проще, чем в рамках математической теории оптимального управления, так как функции управления (00yt в (2) задаются не во всех точках области G, занимаемой пластиной в плане, а только на кромках, на которых волокна входят в конструкцию В частности, в осесимметричном случае задача оптимизации сводится к отысканию экстремума функции одной или нескольких переменных

При решении задачи РА часто встречается ситуация, когда в некоторой подобласти конструкции не выполняется последнее физическое ограничение (4), нарушение которого означает, что в указанной подобласти волокна будут выпучиваться из плоскостей армирования, следствием чего является резкое снижение несущей способности пластины Можно указать три способа управления РА-проектом, которые позволяют преодолеть такую негативную ситуацию 1) попытаться построить при тех же входных данных другие альтернативные решения задачи РА, в которых условия (4) выполняются, 2) варьируя контурные функции (а0к в краевых условиях (2), добиться того, чтобы решение удовлетворяло ограничениям (4), 3) отказаться от поиска только гладких решений и разыскивать сопряженные решения, удовлетворяющие (4) Использование этих подходов продемонстрировано в § 4 4 на примере решения задачи РА двусвязной изгибаемой пластины некольцевой формы (решение получено с помощью метода (7)) Кроме того, указанные способы управления могут быть использованы и в случаях нарушения прочностных ограничений (3), так как варьирование РА-структур существенно влияет на НДС в связующем

В конце § 4 4 обсуждаются особенности решения задач РА изгибаемых одно-связных и двусвязных пластин с полигональными контурами Предлагается ис-

пользовать сглаживание изломов контуров, что, как правило, имеет место на практике, либо, если последнее не возможно, - строить сопряженные РА-структуры

Так как в главе 4 используется кирхгофовская теория изгиба тонких пластин, то в § 4 5 даны оценки границ применимости этой теории для разных типов композиций С этой целью проведено сопоставление решений задачи изгиба армированной пластины с точными решениями, известными из теории упругости анизотропных сред цилиндрический изгиб удлиненных прямоугольных консольных и шарнирно опертых пластин При сравнительном анализе определялась 5 %-я точность кирх-гофовского решения по прогибу, по осредненным напряжениям в композиции и по напряжениям в фазах композиции (использовались структурные модели армированной среды с «одномерными» и «двумерными» волокнами) Проведенный анализ показал, что разработанная в § 4 1-4 4 теория РА изгибаемых пластин может быть применима к конструкциям, выполненных из металлокомпозитов (А. = 0,2 0,6) или из композиций с металлическим связующим и с борными или углеродными волокнами (А. = 0,1 0,3) при относительной толщине пластины е< 0,1, а для конструкций с полимерным связующим и высокомодульными волокнами (X = 0,01 0,03) - при е<0,03 0,05, если рассматривается упругий изгиб пластин Последняя оценка справедлива и в случае упругопластического изгиба РА-пластин с металлическим связующим

В пятой главе исследуется проблема РА безмоментных (в классическом смысле) и строго безмоментных тонких упругих и упругопластических оболочек при статическом термосиловом нагружении с учетом термочувствительности фазовых материалов Предполагается, что трехслойная строго безмоментная оболочка (СБО) имеет симметричную относительно срединной поверхности структуру Внутренний (несущий) слой толщины Я армирован N семействами волокон, причем армирование может осуществляться по эквидистантным поверхностям или расстояния между элементарными армированными слоями изменяются пропорционально изменению Я Структура армирования по толщине этого слоя предполагается регулярной и квазиоднородной Внешние изотропные слои изготовлены из одного материала и имеют толщину /г/2 каждый Напряженное состояние во всех слоях предполагается плоским, оболочка подчиняется гипотезам Кирхгофа - Лява

В § 5 1 приведена исходная система уравнений задачи РА тонких СБО, состоящая из общеизвестных уравнений равновесия безмоментной теории оболочек, соотношений, связывающих осредненные мембранные напряжения в армированном и внешнем слоях с усилиями в СБО, выражений для мембранных деформаций еу и

параметров изменения кривизны срединной поверхности оболочки ку через перемещения точек этой поверхности, условий совместности деформаций, в которых принято ку = 0, что обеспечивает строго безмоментное напряженное состояние в

тонкой оболочке с симметричной относительно срединной поверхности структурой, уравнения двумерной стационарной теплопроводности (температура 0 предполагается постоянной по толщине СБО), условий постоянства сечений волокон, определяющих уравнений, аналогичных тем, что приведены в § 1 1, условий РА (1) при М = 1 На кромках оболочки должны быть заданы общеизвестные тепловые, статические и кинематические граничные условия, обеспечивающие отсутствие на

кромках моментов и перерезывающих сил Если на кромке Г^ непрерывные волокна к-то семейства с постоянными поперечными сечениями входят в СБО, то на этой кромке необходимо задать краевые условия (2) Решение задачи РА тонких СБО должно удовлетворять прочностным (3) и физическим (4) ограничениям

В § 5 2 исходная система уравнений приведена к разрешающему виду и проведен ее качественный анализ Предполагается, что безмоментные уравнения равновесия проинтегрированы независимо от решения остальной части задачи РА, т е мембранные усилия предполагаются известными Отдельно рассматриваются

случаи СБО нулевой и ненулевой гауссовой кривизны

Для СБО ненулевой гауссовой кривизны (А" ^ 0) в неосесимметричном случае решение задачи РА распадается на решение нескольких подзадач Три уравнения совместности деформаций при ку = 0 и К Ф 0 образуют замкнутую относительно

Еп, е22, е12 систему линейных гиперболических уравнений, характеристики которой совпадают с линиями главной кривизны Следовательно, при К Ф 0 деформированное состояние еу определяется геометрией СБО и краевыми условиями для

еу, которые можно задавать достаточно произвольно (так как естественных граничных условий для Еу на кромках СБО нет), учитывая лишь согласованность

краевых условий для систем гиперболических уравнений При известных деформациях Еу и температуре 0 условия РА (1) позволяют определить углы армирования

Щ, причем условия РА задают два направления армирования, симметричные относительно направлений главных деформаций (т е можно получить 2м проектов укладки РА в СБО) Далее (в неупругом или нелинейно-упругом случае) определяются средние линейные деформации в слоях На последнем этапе разыскиваются интенсивности РА щ и толщины Н, к, для чего используется система определяющих уравнений (при известных Ту) и условия постоянства сечений волокон Анализ этой системы показывает, что толщины Н, к и площади поперечных сечений всех или некоторых семейств РА должны быть переменными

Если температура 9 СБО заранее неизвестна, то задача РА состоит из связанных подзадач определения параметров РА, температуры и толщин слоев Чтобы развязать эти подзадачи предлагается использовать методы теории возмущений, в качестве малых параметров выступают X (см (6)) и отношение коэффициентов линейного теплового расширения арматуры и связующего (например, для бороалю-миния и боромагния эти отношения имеют порядок 0,1)

В осесимметричном случае и для СБО при К = 0 в неосесимметричном случае уравнения совместности при ку = 0 не замкнуты относительно деформаций £у,

поэтому в таких случаях не удается столь просто, как выше, развязать подзадачи определения параметров РА и деформаций Для этих случаев в § 5 2 выведены разрешающие системы квазилинейных дифференциальных уравнений Их качественный анализ показывает, что толщины Н, к и площади поперечных сечений всех или некоторых семейств РА должны быть переменными

Особый интерес с прочностной точки зрения вызывает случай однородного деформирования тонкой СБО, когда 0 = const и главные деформации одинаковы и постоянны (е12 =0), что обеспечивает равномерную работу связующего во всей оболочке и исключает нежелательный взаимный сдвиг волокон В этом случае уравнения совместности деформаций и условия РА выполняются тождественно, а параметры РА (йк и толщины Я, h разыскиваются из системы определяющих уравнений и условий постоянства сечений волокон Анализ последней системы показывает, что при укладке трех семейств РА (N = 3) можно получить технологически наиболее просто осуществляемый проект армирования СБО, в котором толщины Я, h - заданные функции (например, постоянные), а волокна всех семейств непрерывны и имеют постоянные площади поперечных сечений

В § 5 3 исследуются особенности решений задачи РА тонких СБО, полученных в аналитической форме В начале § 5 3 рассматривается осесимметричный случай однородного деформирования оболочки при отсутствии внешних нагрузок в окружном направлении (р2 = 0, Г12 =0) Предполагается, что внешние слои отсутствуют (h- 0) и мембранные усилия Тп, Т22 известны При этом получено аналитическое решение задачи РА для СБО, армированных меридионально-симметрично двумя семействами волокон (у2 =-Yi> =wi)' изготовленных из одного материала (углы армирования отсчитываются от меридионального направления х,) Это решение является единственным и им можно управлять за счет варьирования величины ю01 = 0)02 в краевых условиях (2) Определенным недостатком такого решения является то, что в общем случае толщина Я оболочки является переменной Поэтому для оболочки постоянной толщины (Я = const) получены решения задачи РА, когда в СБО внедрены две пары семейств волокон, причем арматура семейств каждой пары уложена меридионально-симметрично с одинаковой интенсивностью и изготовлена из одного материала, т е

V*+2=-V*. и*+2=т*> Ек+2=Ек' к = 1>2 (Я = const) (22)

Аналитическое решение получено и для частного случая (22) при \|/j = —\j/3 =п/2 (спирально-окружное армирование) Показано, что в случае (22) решение задачи РА определяется однозначно и им можно управлять за счет варьирования величин (00£ в условиях (2), однако при известных усилиях Ти (хх) суммарная интенсивность волокон ш = является известной функцией от х1 и не зависит от выбо-к

ра величин ti)Qk, т е во всех РА-проектах, получающихся за счет варьирования (00/t в (2), общий расход арматуры (9) будет одинаков (Этот результат является справедливым и для неосесимметричного случая однородно деформируемых СБО, если напряжения в РА всех семейств одинаковы) Следовательно, с точки зрения прочности и расхода арматуры все РА-проекты при выполнении условий (22) будут равноправны, а для практической реализации нужно выбирать из них технологически наиболее простой Так, цилиндрическую оболочку с однородным напряженным состоянием {Ttl(X]) = const) целесообразно армировать в продольном и окружном направлениях (\|/j =-у3 =я/2, \|i2 =-\|/4 =0), те по направлениям главных на-

пряжений Однако если напряженное состояние не является однородным (Тп (zj) Ф const), то продольно-окружной проект армирования цилиндрической СБО постоянной толщины не будет обеспечивать одновременно равнонапряжен-ность непрерывных волокон постоянного сечения и однородное деформирование конструкции (В упругом случае (0 = const) при спирально-окружной структуре РА решение совпадает с полученным ранее решением С К Голушко, в предельном случае (А —^ 0) решение совпадает с решением Р Ривлина и А Пипкина для нитяной цилиндрической оболочки)

На примере цилиндрической боромагниевой СБО постоянной толщины со спирально-окружным армированием продемонстрировано влияние изменения величины со02 в условиях (2) на РА-структуру при упругом и упругопластическом поведении связующего Показано, что за счет более полного использования несущей способности волокон (см значения <зк /ав1 в табл 1 при 9 = 0) в неупругом РА-проекте общий расход арматуры (9) в 3,32 раза меньше, чем в упругом

На примере цилиндрической боромагниевой однородно деформируемой оболочки переменной толщины Я, армированной в отличие от (22) только по двум ме-ридионапьно-симметричным направлениям, продемонстрирована возможность оптимизации РА-проектов за счет варьирования величины ю01 = ш02 в краевых условиях (2) Оболочка нагружена постоянным внутренним давлением ръ, а на кромках приложены осевые усилия Тп, причем р3, Т11 изменяются пропорционально параметру нагружения р> 0 При каждом значении р разыскиваются значения ш01, обеспечивающие минимум общего расхода арматуры (9) Показано, что при малых значениях р несущая способность оболочки с оптимальной РА-структурой при увеличении р возрастает за счет увеличения ее толщины Я до предельного значения Я* при некоторых фиксированных значениях С0[(/>) = С001(/?) = const (Я* - предельная толщина СБО, при которой она может рассматриваться как тонкая) При дальнейшем увеличении р несущая способность СБО при Я = Я* = const возрастает за счет увеличения интенсивности армирования до тех пор, пока не выполнится равенство в последнем ограничении (4) Соответствующие этому случаю значения Ртах приведены в табл 4 и характеризуют максимальную несущую способность оболочки

Таблица 4

Т<х> ~Т\\Пц ~2 Too 1Т22 -0,5

0 = 0 °С 0 = 13О°С 0 = 0°С

Упругость Неупругость Упругость Неупругость Упругость Неупругость

Ртах 0,259 0,665 0,491 0,665 0,129 0,330

Из табл 4 следует, что при Тт = 2 наименьшей несущей способностью обладает упругая СБО при 0 = 0 °С Это объясняется тем, что напряжения в РА такой конструкции не превышают 39 % от предела прочности ств1 (см значение <Зк / св1 в

табл 1) В термоупругом случае (6 = 130 °С) несмотря на ухудшение прочностных характеристик связующего (магниевый сплав МА2) несущая способность СБО увеличивается в 1,9 раза по сравнению с упругим случаем (0 = 0°С) Это объясняется тем, что в термоупругом проекте за счет разности коэффициентов линейного теплового расширения фазовых материалов напряжения в РА составляет 74,5 % от ав1, т е несущая способность волокон используется более полно, чем в упругом проекте В неупругих проектах несущая способность волокон используется максимально (ак /ств1), поэтому значение ртах в них в 2,57 и 1,35 раза больше, чем в упругом и термоупругом проектах соответственно, причем в неупругом случае несущая способность СБО практически не зависит от термочувствительности связующего

Сопоставление оптимальных РА-проектов оболочки с проектами с максимальным расходом арматуры (9) показало, что при определенных значениях параметра нагружения р за счет варьирования величин (Оок в условиях (2) общий расход РА в СБО можно уменьшить в 2,5-3 раза, а с приближением р к предельным значениям р = 0, р = ртах экономия расхода арматуры уменьшается до нуля

В конце § 5 3 получены аналитические решения задачи РА скручиваемых осе-симметричных оболочек в упругом и неупругом случаях Показано, что в упругом случае такая задача формально описывается теми же уравнениями, что и задача о скручивании торсионного диска, исследованная в § 1 4 В частности, на кромке скручиваемой СБО выполняются граничные условия, аналогичные (11) Так как уравнение (11) может иметь четыре альтернативных решения, то задача о скручивании СБО также может иметь четыре решения, которыми можно управлять за счет варьирования величин (U0i(. в (2) Показано, что критерий РА скручиваемых СБО приводит к более эффективным по прочности проектам, чем армирование по направлениям главных напряжений (\\1к -±п/2) Использование же упругопластиче-ских РА-проектов позволяет в несколько раз увеличить несущую способность СБО В частности, для бороалюминиевой СБО - примерно в 5 раз, так как в упругом случае напряжения в РА при этом не превосходят 19 % от ств1, а в неупругом проекте ак / ов1

В § 5 2,5 3 показано требование выполнения строго безмоментного состояния в РА-оболочке приводит к тому, что толщина слоев СБО и (или) площади сечений отдельных или всех семейств РА должны быть переменными Последнее обстоятельство может натолкнуться на существенные технологические трудности, которые не позволят практически реализовать соответствующий РА-проект СБО Однако многолетний инженерный опыт показывает, что при выполнении ряда ограничений на внешние нагрузки и закрепление оболочки в ней на основе классической теории безмоментных оболочек (БО) можно добиться напряженного состояния, близкого к строго безмоментному Поэтому в § 5 4 исследована проблема РА тонких БО в рамках классической постановки задачи Рассматривается однослойная тонкая оболочка постоянной толщины Н Предполагается, что непрерывные волокна всех семейств равнонапряжены и имеют постоянные площади поперечных сечений Исходная система уравнений и граничные условия те же, что и в § 5 1, из рас-

смотрения исключаются лишь условия совместности деформаций Мембранные усилия по-прежнему считаются известными из решения краевой задачи для безмо-ментных уравнений равновесия Система разрешающих уравнений термоупругой задачи РА тонких БО замкнута относительно параметров армирования VJk > и температуры 8 Для «развязывания» подзадач определения параметров РА и 0 предлагается использовать методы теории возмущений, в качестве малого параметра используется А. (см (6)) При этом подзадача определения приближений а>к оказывается существенно проще соответствующих подзадач для СБО, проанализированных в § 5 2 В частности, в осесимметричном случае эта подзадача сводится к решению замкнутой системы трансцендентных уравнений в каждой точке Jtj Показано, что в некоторых частных случаях нагружения и армирования БО эта система сводится к алгебраическим уравнениям 4-го и 6-го порядков относительно cos j Отсюда следует возможность существования нескольких альтернативных решений задачи РА тонких БО, которыми можно управлять за счет варьирования величин co0jt в краевых условиях (2)

Получены два альтернативных решения задачи РА для цилиндрической, бороа-люминиевой БО, нагруженной только в осевом направлении (7jj(xj)^О, Т22=Т12-0) и армированной меридионально-симметрично двумя семействами волокон В одном из этих решений НДС в связующем в 7,05 раза меньше, чем во втором, хотя общий расход арматуры в обоих проектах одинаков При равномерном нагреве БО два решения задачи РА сближаются и при некотором предельном значении 0 = 0* совпадают (при 0 > 0* решения не существуют) Показано, что за счет варьирования величин щк напряженное состояние в связующем БО можно уменьшить в 1,5—2,5 раза В случае однородного напряженного состояния в БО (7Jj = const) оптимальный по прочности РА проект характеризуется продольным армированием, т е направление РА совпадает с направлением главных напряжений Однако при неоднородном напряженном состоянии (Ту^х^Ф const) армирование по направлениям главных напряжений (\|1к = 0, = 71/2) не обеспечивает условия РА непрерывными волокнами постоянного поперечного сечения

Недостатком уравнений § 5 4 является то, что из рассмотрения исключены условия совместности деформаций, которые не будут тождественно удовлетворены при подстановке в них ку = 0 и деформаций Еу, определенных по классической

теории БО Однако практическую пригодность результатов, полученных в § 5 4, можно обосновать так управляя РА-структурами БО за счет варьирования функций c)0jt в условиях (2), можно управлять и мембранными деформациями еу После

подстановки известных £у в уравнения совместности деформаций, получим замкнутую относительно ку систему уравнений, формально совпадающую с системой

безмоментных уравнений равновесия, методы интегрирования которой известны Управляя деформациями еу, можно управлять и параметрами ку Если в процессе

такого управления удается получить РА-проект, в котором изгибные деформации пренебрежительно малы по сравнению с еу, то такой проект можно приближенно

считать безмоментиым На примере цилиндрической оболочки продемонстрировано, что при некоторых РА-структурах деформированные состояния на лицевых поверхностях оболочки и на срединной поверхности отличаются на 18 %, однако за счет варьирования величин шок можно получить проекты, в которых это отличие не превышает 2 % Следовательно, для определения РА-структур БО можно обоснованно использовать уравнения § 5 4, которые существенно проще уравнений задачи РА тонких СБО (§ 5 2)

Шестая глава посвящена разработке численных методов интегрирования задач РА тонкостенных конструкций Во вводной части главы обсуждаются вопросы приближенного интегрирования краевой задачи (5) методами конечных разностей (МКР) При использовании этого метода конечно-разностные аналоги задачи (5) являются системами трансцендентных уравнений, для решения которых необходимо использовать итерационные методы при «удачно выбранных» приближениях Однако в общем случае об этих приближениях ничего не известно Ситуация осложняется тем, что задача РА может иметь несколько альтернативных решений, и в общем случае не ясно, каким образом можно надежно отделять эти решения друг от друга при численном обращении систем сеточных уравнений, соответствующих задачам РА (5) Указанные трудности можно избежать, если численно интегрировать уравнения итерационного процесса (7) При этом следует учитывать следующие важные обстоятельства 1) решение задачи РА может обладать большими по модулю градиентами (в частности, краевыми эффектами), 2) для определения приближений и1 в плоских задачах на каждой итерации необходимо проинтегрировать систему гиперболических уравнений первого порядка (условия РА), а для построения решения на следующей итерации эти приближения требуется дважды продифференцировать (следствие сингулярного возмущения в задаче (5)), те порядок уравнений, определяющих приближения и,, меньше порядка производных от этих функций, требующихся для построения следующей итерации (Еще ярче последняя особенность проявляется при решении методом (7) задачи РА изгибаемых пластин, так как для определения приближения прогиба используется дифференциальное уравнение второго порядка параболического типа (условие РА), а затем это приближение четырежды дифференцируется для получения правых частей в уравнениях, задающих приближения параметров РА на следующей итерации) Эти особенности уравнений итерационного процесса (7) и решений задачи РА предъявляют повышенные требования к устойчивости и точности численных методов их интегрирования

В одномерных случаях хорошо зарекомендовали себя высокоточные неклассические методы Рунге — Кутты (МРК) для численного интегрирования начальных и краевых задач с жесткими дифференциальными уравнениями, решения которых обладают большими по модулю производными и локальными эффектами Поэтому возникает вопрос об обобщении МРК на многомерные случаи, что позволит использовать их для интегрирования уравнений метода (7)

В § 6 1 дано формальное обобщение МРК на двумерный случай Суть обобщения изложена на примере построения приближенного решения задачи Коши для нелинейного уравнения в частных производных первого порядка, разрешенного относительно производной по одной из переменных Доказано, что для построения

обобщенных МРК можно использовать те же таблицы Бугчера, что и в одномерном случае Отсюда вытекает формальное следствие обычных МРК из обобщенных Обобщение МРК расширено на многомерные случаи, на уравнения в частных производных высших порядков и на системы дифференциальных уравнений с частными производными Показано, что при определенных условиях из обобщенных МРК следует общеизвестный метод прямых

В § 6 2 проведена апробация обобщенных МРК на начально-краевых задачах математической физики и теории оболочек, имеющих большие градиенты решения Доказано, что хорошо известные в теории МКР, устойчивые, трехточечные, явные и неявные схемы первого порядка точности и четырехточечная, неявная схема второго порядка, используемые при численном интегрировании начально-краевых задач для уравнения переноса, могут быть получены вследствие применения обобщенных МРК с различными таблицами Бутчера Построена схема интегрирования уравнения переноса 4-го порядка точности по обеим переменным (t,х) В качестве теста используется точное решение задачи Коши для уравнения переноса с начальными условиями (i = 0) в виде частичных сумм ряда Фурье для периодической, ступенчатой функции у(0,х) = v0 (х) = ±1 При удержании 10-и слагаемых в разложении Фурье градиенты точного решения по модулю превышают значение 112 (производные высших порядков также имеют большие по модулю значения) На отрезке времени t, равном двум периодам «колебаний» точного решения, схема первого порядка дает максимальную относительную ошибку около 40 %, схема второго порядка —17 %, а схема 4-го порядка - 0,01 %

При построении численных схем интегрирования начально-краевой задачи нестационарной одномерной теплопроводности показано, что известные из теории МКР, устойчивая схема с опережением (первый порядок точности по t) и устойчивая, симметричная шеститочечная схема второго порядка точности по обеим переменным также могут быть получены на основе применения обобщенных МРК Введено понятие функции устойчивости обобщенных МРК для задачи теплопроводности Исследование этой функции позволило доказать, что шеститочечная схема не удовлетворяет условию монотонности решения по времени t, которому удовлетворяет точное решение задачи теплопроводности для однородного уравнения с однородными граничными условиями (Схема с опережением условию монотонности удовлетворяет ) На основе обобщенных МРК построены схемы высоких порядков точности (второго и четвертого), удовлетворяющие условию монотонности решения, доказана их спектральная устойчивость Сопоставление приближенных решений, полученных на основе шеститочечной схемы и МРК 4-го порядка по t, с точным решением однородной задачи теплопроводности с теми же начальными условиями, что и в задаче для уравнения переноса (удерживалось три слагаемых в разложении Фурье, градиенты решения при t = 0 превосходят по модулю значение 240), показало схема 4-го порядка дает хорошее количественное и качественное приближение к точному решению, а шеститочечная схема искажает решение качественно (следствие немонотонности) и дает большую ошибку (около 16 %)

На основе МРК построены схемы различных порядков точности для интегрирования задачи о колебаниях струны В отличие от классического подхода МКР, в рамках которого для численного решения этой задачи строятся трехслойные схемы

второго порядка точности по времени, в § 6 2 получены двухслойные схемы первого, второго и 4-го порядков точности по / и доказана их спектральная устойчивость, из которой следует устойчивость схем в целом В качестве теста использовано точное решение о свободном колебании струны по первой собственной форме Показано, что приближенное решение первого порядка точности по t быстро затухает (следствие устойчивости), решение второго порядка приводит к запаздыванию, которое накапливается с течением времени, а решение 4-го порядка имеет ошибку, не превосходящую 0,03 % на отрезке времени, равном 10-и периодам колебаний

Эффективность применения обобщенных МРК продемонстрирована на примере решения задачи (описываемой параболическим уравнением) об осесимметричных поперечных колебаниях тонкой изотропной цилиндрической оболочки, жестко защемленной на обеих кромках Построены двуслойные по ? схемы первого, второго и 4-го порядка точности, доказана их спектральная устойчивость Показано, что полученные схемы отслеживают краевой эффект в оболочке и схемы второго и 4-го порядков дают хорошее приближение к точному решению

Так как обобщенные МРК были разработаны для интегрирования уравнений метода (7), то в конце § 6 2 выясняется вопрос о применимости этих методов к решению нелинейных краевых задач РА Известно, что для квазилинейных дифференциальных уравнений общая теория устойчивости и сходимости конечно-разностных схем к решению соответствующих краевых задач плохо разработана, поэтому основным критерием доверия той или иной схеме должны служить приближенные решения для тестовых (модельных) задач, аналитические решения которых известны Численные схемы решения задачи РА, полученные с помощью обобщенных МРК, протестированы на аналитических решениях, полученных в §14,21,2 2, 44в одномерных случаях для прямоугольных удлиненных и кольцевых пластин В этих случаях при тестовом численном интегрировании криволинейная система координат вводилась таким образом, чтобы нарушалась симметрия исходной задачи, в силу чего задача становилась двумерной Результаты расчетов показали, что при использовании МРК 4-го порядка точности удается получить в тестовых задачах 9-10 точных значащих цифр Столь высокая точность интегрирования позволяет доверительно относиться к устойчивости и сходимости обобщенных МРК, по крайней мере, при решении краевых задач (7)

В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы

1) Сформулированы и качественно проанализированы задачи равнонапряжен-ного армирования упругих и упругопластических плоских конструкций, изгибаемых пластин и безмоментных оболочек волокнами постоянного и переменного поперечного сечения с учетом термочувствительности фазовых материалов при действии одной системы статических термосиловых нагрузок

2) Сформулирована и проанализирована термоупругая задача РА плоских конструкций, подверженных последовательному воздействию нескольких независимых систем термосиловых нагрузок Показано, что в этом случае требование РА всех семейств при действии каждой системы нагрузок может быть реализовано только при двух системах нагрузок и при внедрении в конструкцию не более четырех семейств волокон, которые будут иметь переменные площади поперечных сечений Отказ от условия РА для всех семейств волокон при действии каждой сис-

темы нагрузок позволяет армировать конструкцию волокнами постоянного поперечного сечения При этом количество систем нагрузок может быть произвольным, причем при действии каждой системы нагрузок волокна некоторых семейств (для каждой системы - свои) будут равнонапряжены, а волокна других семейств - нет

3) Доказано, что гладкие решения задачи РА поперечно изгибаемых кирхгофов-ских пластин вообще не существуют при следующих типах закрепления а) по всему опорному контуру пластина жестко защемлена, б) по всему опорному контуру пластина оперта и хотя бы в одной точке (или на части контура) жестко защемлена, в) на одной части опорного контура пластина оперта, на другой — жестко защемлена, а на третьей — задана податливая опора с защемлением Показано чем меньше по модулю угол, под которым траектории РА пересекают жестко защемленную кромку, тем больше напряжения в связующем, которые в пределе неограниченно возрастают по модулю

4) Показано, что неосесимметричное деформированное состояние безызгибной оболочки ненулевой гауссовой кривизны определяется только геометрией ее от-счетной поверхности Определены необходимые условия, накладываемые на тангенциальные усилия, температуру, напряжения в волокнах и коэффициенты линейного теплового расширения фазовых материалов, при которых в безмоментной РА-оболочке реализуется однородное деформированное состояние Доказано, что при наличии теплового воздействия и соответствующем задании напряжений в волокнах можно получить РА-структуру, обеспечивающую нулевое деформированное состояние такой конструкции

5) Так как задачи РА тонкостенных конструкций описываются системами квазилинейных уравнений составного и смешанно-составного типов с сингулярным возмущением, решения таких задач могут обладать краевыми эффектами, которые возникают только в связующем

6) В силу существенной нелинейности рассматриваемых краевых задач их решения могут существовать не при всех видах нагружения, закрепления и формы конструкции Для устранения этого недостатка целесообразно использовать сопряженные проекты армирования с использованием в разных подобластях различных критериев рационального проектирования Так, в интенсивно нагруженных подобластях следует использовать условие РА, а в слабо нагруженных подобластях - армирование осуществлять по направлениям главных напряжений и деформаций или использовать традиционные структуры армирования

7) Построен ряд аналитических решений задач РА тонкостенных конструкций, что позволяет утверждать при определенных условиях решения таких задач существуют Показано, что в силу существенной нелинейности рассматриваемых задач относительно углов армирования могут существовать несколько альтернативных решений (в некоторых случаях удалось получить до 4-х решений)

8) Разработаны итерационные методы решения задач РА тонкостенных конструкций, позволяющие надежно выделять всю совокупность регулярных (гладких и сопряженных) решений

9) На множестве решений задач РА можно осуществлять целевое управление за счет варьирования контурных значений плотностей армирования и линий сопряжения решения За счет целевого управления РА-структурами можно дополнительно

повысить эффективность конструкции В частности, можно добиться напряженного состояния в связующем, близкого к равнопрочному

10) Показано, что при равнонапряженном армировании строго безмоментных однородно деформируемых оболочек постоянной толщины за счет варьирования на кромках конструкции интенсивностей армирования можно получить совокупность РА-проектов, в которых осредненные напряжения, НДС в фазах композиции и расход арматуры будут одинаковы Если толщина такой оболочки разыскивается в процессе решения задачи, то за счет варьирования структуры армирования общий расход арматуры в ней можно уменьшить в несколько раз

11) Построено аналитическое обобщение классических и неклассических методов Рунге - Купы, на основе которого разработан высокоточный, устойчивый метод численного интегрирования задач РА, апробированный на задачах математической физики, имеющих большие градиенты решения Использование этого метода позволило впервые получить решения двумерных задач РА-конструкций волокнами постоянного поперечного сечения

12) Решена задача рационального армирования трехслойных вращающихся дисков заданной геометрии Показано, что замена традиционных стальных дисков газовых турбин на композитные диски той же геометрии позволяет снизить массу этих элементов конструкции в несколько раз, а несущую способность повысить в 2-3 раза (от 10000-12000 об/мин до 20000-30000 об/мин) Продемонстрировано, что за счет рационального профилирования композитных дисков их массу для разных композиций можно дополнительно снизить на 20-60 %

13) Исследовано влияние теплового воздействия, термочувствительности и неупругого поведения фазовых материалов на несущую способность РА-конструкций и общий расход арматуры в них Показано, что при решении задач РА в пределах упругости несущая способность высокопрочных волокон часто используется незначительно (иногда всего на несколько процентов) Более полного использования несущей способности волокон можно добиться за счет их предварительного натяжения или за счет допущения пластического деформирования фазовых материалов, что позволяет существенно повысить несущую способность РА-конструкции при фиксированном расходе волокон или значительно снизить расход фазовых материалов при фиксированном уровне нагружения

14) Получен ряд аналитических и численных решений задач РА различных конструкций, которые могут быть использованы в инженерной практике Продемонстрирована высокая эффективность РА-проектов при интенсивном термосиловом нагружении по сравнению с традиционным армированием тонкостенных конструкций

15) Проведено сравнение экспериментальных данных с расчетными значениями эффективных жесткостей и прочности бороалюминиевых композиций, полученных на основе разных структурных моделей волокнистых сред Показано, что модель с «одномерными» волокнами удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными и вполне приемлема при решении задач РА

16) Определены границы применимости кирхгофовской теории изгиба армированных пластин, в рамках которых классическая теория может быть использована при решении задач РА изгибаемых пластин

Основное содержание диссертационной работы отражено более чем в 50

публикациях, в том числе в одной монографии

1 Немировский Ю В , Янковский А П Численный метод решения плоских задач композитных конструкций с равнонапряженной арматурой // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности Тр ХШ-й Межресп конф , Новосибирск, 22-24 июня 1993 г / Под ред В М Фомина - Новосибирск Изд-во СО РАН, 1995 -С 130-139

2 Немировский Ю В , Янковский А П О некоторых свойствах решения задачи поперечного изгиба пластины с равнонапряженной арматурой // Механика композиционных материалов и конструкций -1996 -Т 2, №2 - С 15-28

3 Немировский Ю В , Янковский А П Контактные и сопряженные термоупругие задачи для плоских композитных конструкций с равнонапряженной арматурой // Прикладные проблемы прочности и пластичности - 1996 - Вып 54 -С 141-149

4 Немировский Ю В , Янковский А П Пологие оболочки и изгибаемые пластины с равнонапряженной арматурой // Тр XVII Междунар конф по теории оболочек и пластин -Т 1 -Казань, 1996 - С 77-87

5 Немировский Ю В , Янковский А П Рациональное армирование пластин при осесимметричном поперечном изгибе // Изв вузов Строительство - 1996 -№2 - С 23-27

6 Немировский Ю В , Янковский А П Сопряженные задачи осесимметричного поперечного изгиба пластин с равнонапряженной арматурой // Изв вузов Строительство -1997 -№3 - С 14-19

7 Немировский Ю В , Янковский А П О некоторых свойствах решений плоских термоупругих задач рационального армирования композитных конструкций // Прикладная математика и механика -1997 -Т 61, вып 2 - С 312-321

8 Немировский Ю В , Янковский А П Оптимальное проектирование осесиммет-рично изгибаемых кольцевых пластин с равнонапряженной арматурой // Проблемы оптимального проектирования сооружений Сб докл Всеросс семинара В 2-х частях -Новосибирск НГАС, 1997 -Ч 2 - С 51-60

9 Немировский Ю В , Янковский А П Применение методов теории возмущений в задачах поперечного изгиба пластин с равнонапряженной арматурой // Механика композиционных материалов и конструкций -1997 -Т 3,№3 -С 3-22

10 Немировский Ю В , Янковский А П О проектировании прямоугольных и многоугольных плоских композитных конструкций с равнонапряженной арматурой // Прикладные проблемы прочности и пластичности — 1998 - Вып 58 -С 78-92

11 Немировский Ю В , Янковский А П Проектирование плоских элементов железобетонных строительных конструкций с равнонапряженной арматурой Сообщение 1 (Сообщение 2) // Изв вузов Строительство - 1998 - № 11 - 12 -С 14-21 (1999 -№ 1 -С 7-14)

12 Немировский Ю В, Янковский А П Об одной задаче целевого управления структурами армирования термоупругих плоских композитных конструкций

// Механика композитных материалов и конструкций - 1998 - Т 4, № 3 -С 9-27

13 Янковский АП Сравнительный анализ моделей механического поведения волокнистых композиций // Труды НГАСУ - Новосибирск НГАСУ, 1998 -Вып 3 (3) - С 15-23

14 Немировский Ю В , Янковский А П Проектирование прямоугольных и полигональных поперечно изгибаемых пластин с равнонапряженной арматурой // Механика композиционных материалов и конструкций - 1998 - Т 4,№4 -С 21—41

15 Nemirovsky U V, Yankovsky А Р Numencal Integration the problems MDSB with strongly expressed and quickly varying edge effects // Proceedings The Third Russian - Korean International Symposium on Science and Technology KORUS'99 (June 22 - 25, 1999, Novosibirsk, Russia) - V 1 - Novosibirsk Novosibirsk State Technical University, 1999 -P 368-373

16 Немировский ЮВ , Янковский АПК вопросу о корректности численных и аналитических решений задачи равнонапряженного армирования плоских термоупругих композитных конструкций // Компьютерное моделирование Сб научи тр - Белгород Изд-воБелГТАСМ, 1998 -С. 113-120

17 Немировский Ю В, Янковский А П Проектирование плоских термоупругих композитных конструкций с равнонапряженной арматурой при действии двух независимых систем нагрузок // Механика композиционных материалов и конструкций -1999 -Т 5, №2 - С 61-88

18 Немировский ЮВ , Янковский АП Проектирование безмоментных куполов с равнонапряженной арматурой постоянного поперечного сечения // Сооружения, конструкции, технологии и строительные материалы XXI века Сб докл II Ме-ждунар конф -шк -сем молод учен, асп и докторантов Белгород Изд-во БелГТАСМ, 1999 -Ч 1 -С 85-95

19 Немировский Ю В , Янковский А П Численное интегрирование динамических задач теории оболочек методами Рунге - Кутты // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности Тр XVI Межресп конф , Новосибирск, 6-8 июля 1999 г / Под ред В М Фомина - Новосибирск Изд-во СО РАН,

1999 -С 117-124

20 Немировский Ю В , Янковский А П Проектирование тонких строго безмоментных оболочек с равнонапряженной арматурой // Изв вузов Строительство -

2000 -№4 - С 13-20

21 Немировский Ю В, Янковский А П Численное интегрирование двумерных краевых задач с большими градиентами решения // Вычислительные технологии -2000 -Т 5,№4 -С 82-96

22 Немировский Ю В , Янковский А П Применение методов теории возмущений в упругих задачах для плоских композитных конструкций с равнонапряженной арматурой // Механика композитных материалов и конструкций - 2000 - Т 6, № 2 - С 162-180

23 Немировский Ю В , Янковский А П О некоторых задачах целевого управления структурами армирования осесимметрично изгибаемых кольцевых пластин // Проблемы прочности и пластичности -2000 -Вып 61 -С 36-52

24 Немировский Ю В , Янковский А П Рациональное армирование дисков газовых турбин//Научный вестник НГТУ -2000 -№ 1 (8) -С 91-109

25 Немировский Ю В, Янковский АПК вопросу о корректности задачи равно-напряженного армирования поперечно изгибаемых кирхгофовских пластин // Математические методы Тр V Междунар научн. конф (Львов, 26 - 29 сент 2000 г) — Львов Изд-во Института прикладных проблем механики и математики HAH Украины, 2000 -С 198-204

26 Немировский Ю В, Янковский А П Влияние термочувствительности и структуры армирования на несущую способность металлокомпозитных дисков газовых турбин // Механика композитных материалов - 2000 - Т 36, №6 -С 801-811

27 Немировский Ю В , Янковский А П Строго безмоментные термоупругие оболочки с равнонапряженной арматурой // Актуальные проблемы механики оболочек Тр Междунар конф , посвященной 100-летию проф X М Мушта-ри, 90-летию проф К 3 Галимова и 80-летию проф М С Корнишина Казань 26-30 июня 2000 г -Казань Новое знание, 2000 - С 316-322

28 Немировский Ю В, Янковский А П. Проектирование плоских термоупругих композитных конструкций с равнонапряженной арматурой // Прикладная механика и техническая физика -2001 -Т 42,№2 -С 213-223

29 Немировский Ю В , Янковский А П Безмоментные термоупругие оболочки с равнонапряженной арматурой постоянного поперечного сечения // Изв вузов Строительство -2001 -№2-3 - С 31-38

30 Немировский Ю В , Янковский А П Проектирование плоских термоупругих композитных конструкций с равнонапряженной арматурой постоянного поперечного сечения при действии ряда независимых систем термосиловых нагрузок // Механика композитных материалов и конструкций - 2001 - Т 7, № 1 -с 57-81

31 Немировский Ю В , Янковский А П О влиянии структуры армирования на несущую способность термоупругих металлокерамических вращающихся дисков //Проблемы прочности -2001 -№4 - С 5-24

32 Янковский А П Численное решение задачи равнонапряженного армирования термочувствительных безмоментных оболочек // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности Тр XVII Межресп конф, Новосибирск, 3-5 июля 2001 г / Под ред В М Фомина - Новосибирск Издательская компания Лада, 2001 -С 257-263

33 Немировский Ю В , Янковский А П Равнонапряженное армирование термочувствительных неупругих плоских композитных конструкций // Проблемы прочности и пластичности -2001 -Вып 63 -С 91-104

34 Немировский Ю В, Янковский А П Рациональное профилирование армированных вращающихся дисков // Механика композитных материалов - 2002 -Т 38, № 1 - С 3-24

35 Немировский Ю В, Янковский А П Проектирование плоских термоупругих композитных конструкций с мозаичными равнонапряженно-армированными структурами // Механика композиционных материалов и конструкций - 2002 — Т 8,№ 1 -С 3-27

36 Немировский Ю В , Янковский А П Мозаичное армирование поперечно изгибаемых кольцевых пластин с использованием различных критериев рационального проектирования // Известия вузов Строительство - 2002 - № 4 — С 22-30

37 Nemirovsky U V, Yankovsky А Р Influence of structure of reinforcing on carrying capacity of gas-turbine dises and power consumption of dise flywheels // Proceedmgs The 6Л Russian - Korean International Symposium on Science and Technology KORUS-2002 (June 24 - 30, 2002, Novosibirsk, Russia) - V 1 - Novosibirsk Novosibirsk State Techmcal Umversity, 2002 -P 38-42

38 Немировский Ю В , Янковский A П Мозаичное армирование плоских термоупругих композитных конструкций с использованием различных критериев рационального проектирования // Механика композитных материалов и конструкций -2002 -Т 8,№3 -С 409-436

39 Немировский Ю В , Янковский А П Влияние теплового воздействия и термочувствительности фазовых материалов на несущую способность безмоментных оболочек с равнонапряженной арматурой // Механика композитных материалов -2002 -Т 38, №6 - С 793-814

40 Немировский Ю В , Янковский А П Рациональное проектирование армированных конструкций — Новосибирск Наука, 2002 - 488 с

41 Немировский Ю В , Янковский А П Влияние термочувствительности и неупругого поведения фазовых материалов на несущую способность плоских конструкций с равнонапряженной арматурой // Прикладная механика и техническая физика -2003 - Т 44, № 3 - С 136-147

42 Немировский Ю В , Янковский А П Равнонапряженное армирование строго безмоментных упругих и неупругих оболочек при термосиловом нагружении // Механика композитных материалов и конструкций - 2003 - Т 9, № 3 -С 342-375

43 Немировский Ю В , Янковский А П Равнонапряженное армирование упруго-пластических безмоментных оболочек с защитными покрытиями при термосиловом нагружении // Механика композитных материалов - 2003 - Т 39, № 5 -С 627-650

44 Янковский А П Влияние учета сжимаемости материала на упругопластический изгиб пластин//Труды НГАСУ -2003 -Т 6, №6 - С 81-97

45 Немировский Ю В , Янковский А П Равнонапряженное армирование кирхго-фовских пластин при упругопластическом поперечном изгибе // Прикладная математика и механика -2004 -Т 68,вып 1 —С 135-149

46 Немировский Ю В, Янковский А П Численное интегрирование начально-краевых задач с большими градиентами решения обобщенными методами Рун-ге - Кутты // Математические методы и физико-механические поля — 2004 - Т 47,№1 -С 43-62

47 Немировский Ю В , Янковский А П О границах применимости некоторых теорий расчета изгибаемых армированных пластин // Научный вестник НГТУ -2004 -№3(18) - С 91-113

48 Немировский Ю В , Янковский А П Сравнительный анализ структурных моделей теплопроводности волокнистых сред и сведение трехмерной задачи тепло-

проводности армированных пластин к двумерной // Конструкции из композиционных материалов -2004 - №3 -С 36-51

49 Немировский Ю В , Янковский А П Обобщение методов Рунге - Кутты и их применение к интегрированию начально-краевых задач математической физики // Сибирский журнал вычислительной математики - 2005 - Т 8, № 1 -С 57-76

50 Немировский Ю В , Янковский А П Сравнительный анализ структурных моделей механического поведения волокнистых сред и сопоставление расчетных характеристик армированных композитов с экспериментальными данными // Конструкции из композиционных материалов - 2005 - № 2 - С 70-83

51 Немировский Ю В , Янковский А П Эффективные физико-механические характеристики композитов, однонаправленно-армированных монотропными волокнами Сообщение 2 Сопоставление расчетных характеристик с экспериментальными данными // Известия вузов Строительство -2006 -№ 6 - С 10-19

52 Немировский Ю В, Янковский А П Определение эффективных физико-механических характеристик гибридных композитов, перекрестно армированных трансверсально-изотропными волокнами, и сопоставление расчетных характеристик с экспериментальными данными // Механика композиционных материалов и конструкций -2007 -Т 13,№ 1 -С 3-32

Ответственный за выпуск А П Янковский

Подписано в печать 13 06 2007 Формат бумаги 60 х 84/16, Уел печ л 3 0, Уч -изд л 3 0, Тираж 130 экз , Заказ № 12

Отпечатано в типографии ООО «Нонпарель» 630090, Новосибирск, Институтская, 4/1

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. РАВНОНАПРЯЖЕННОЕ АРМИРОВАНИЕ

ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ТЕРМОСИЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ.

1.1. Постановка задачи равнонапряженного армирования плоских конструкций, исходная система уравнений и граничные условия.

1.2. Система разрешающих уравнений задачи равнонапряженного армирования плоских конструкций и соответствующие ей граничные условия .,.

1.3. Итерационный метод решения задачи равнонапряженного армирования плоских композитных конструкций.

1.4. Анализ решений задачи равнонапряженного армирования плоских композитных конструкций.

1.5. О корректности задачи равнонапряженного армирования плоских композитных конструкций.

1.6. Сравнение расчетных характеристик армированных композитов с экспериментальными данными.

ГЛАВА 2. РАВНОНАПРЯЖЕННОЕ АРМИРОВАНИЕ ПЛОСКИХ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ РЯДА НЕЗАВИСИМЫХ СИСТЕМ ТЕРМОСИЛОВЫХ НАГРУЗОК.

2.1. Проектирование плоских термоупругих композитных конструкций с равнонапряженной арматурой переменного поперечного сечения при действии ряда независимых систем нагрузок.

2.2. Проектирование плоских термоупругих композитных конструкций с равнонапряженной арматурой постоянного поперечного сечения при действии ряда независимых систем нагрузок.

ГЛАВА 3. РАЦИОНАЛЬНОЕ АРМИРОВАНИЕ И ПРОФИЛИРОВАНИЕ

ДИСКОВ ГАЗОВЫХ ТУРБИН. 214.

3.1. Рациональное армирование вращающихся дисков. 215.

3.2. Рациональное профилирование армированных вращающихся дисков . 242.

ГЛАВА 4. РАВНОНАПРЯЖЕННОЕ АРМИРОВАНИЕ

КИРХГОФОВСКИХ ПЛАСТИН ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ . 264.

4.1. Постановка задачи равнонапряженного армирования изгибаемых пластин, исходная система уравнений и граничные условия. 264.

4.2. Система разрешающих уравнений задачи равнонапряженного армирования изгибаемых пластин и некоторые ее свойства. 273.

4.3. Итерационный метод решения задачи равнонапряженного армирования поперечно изгибаемых пластин. 289.

4.4. Анализ некоторых решений задачи равнонапряженного армирования изгибаемых пластин. 305.

4.5. О границах применимости кирхгофовской теории к расчету армированных пластин. 322.

ГЛАВА 5. РАВНОНАПРЯЖЕННОЕ АРМИРОВАНИЕ ТОНКИХ

БЕЗМОМЕНТНЫХ И СТРОГО БЕЗМОМЕНТНЫХ ОБОЛОЧЕК . 345.

5.1. Исходная система уравнений задачи равнонапряженного армирования строго безмоментных оболочек. 346.

5.2. Системы разрешающих уравнений задачи равнонапряженного армирования строго безмоментных оболочек и их качественный анализ . . 351.

5.3. Анализ некоторых решений задачи равнонапряженного армирования тонких строго безмоментных оболочек. 368.

5.4. Равнонапряженное армирование термоупругих безмоментных оболочек . 385.

ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАДАЧ РАВНОНАПРЯЖЕННОГО АРМИРОВАНИЯ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ. 400.

6.1. Обобщение методов Рунге - Кутта. 404.

6.2. Интегрирование некоторых начально-краевых задач математической

СПИСОК ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕНИЙ

НДС - напряженно-деформированное состояние,

РА - равнонапряженное армирование или равнонапряженная арматура (смотря по смыслу),

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений.

Тонкостенные конструкции типа оболочек и пластин являются важнейшими силовыми элементами многих современных конструкций. Возросшая в последнее время активность исследования таких конструкций является следствием программ освоения космоса, создания глубоководных аппаратов, объектов атомной энергетики и т.п. Первостепенное значение при этом приобретают расчеты прочности и жесткости тонкостенных конструкций, а также обеспечение их минимального веса или стоимости.

На сегодняшний день накоплен огромный материал по расчетам напряженно-деформированного состояния (НДС), анализу прочности и жесткости тонкостенных конструкций (так называемые, прямые задачи), на основе которого разработаны различные варианты теории тонких оболочек и которому посвящена обширная литература, например, [64, 82, 85, 220, 224, 298] и др.

Теория же оптимального и рационального проектирования тонкостенных пластин и оболочек (так называемые, обратные задачи) еще далека от совершенства. Первые исследования по проектированию оптимальных оболочек появились в 50 - 60-е годы ХХ-го века, когда значительно возросли эксплуатационные требования, предъявляемые к конструкциям, и возникла необходимость вскрытия и использования всех их потенциальных возможностей. При этом выяснилось, что эффективность конструкций в значительной степени определяется характеристиками материалов, из которых они изготовлены. Обобщение последних результатов развития конструкционных металлических сплавов [101] приводит к выводу о том, что достигнуты высокие удельные и абсолютные прочностные характеристики сталей, алюминиевых, магниевых и титановых сплавов и возможности дальнейшего существенного прироста этих характеристик невелики. Значительно более эффективными оказались композиционные материалы, армированные высокопрочными волокнами. Принцип армирования открыл перспективный путь для создания новых искусственных материалов, которые сочетают прочность и жесткость с другими ценными качествами: относительно малыми плотностью и электро- и теплопроводностью, высокой стойкостью к агрессивным средам и т.п.

Однако высокие показатели удельной прочности волокнистых композитов, выявленные при простейших испытаниях образцов на растяжение - сжатие, далеко не гарантируют достаточно надежной работы изготовленных из них конструкций в условиях сложного напряженного состояния. В силу самого принципа создания композитов физико-механические характеристики армирующих волокон могут на порядки отличаться (в частности, превосходить) от соответствующих характеристик связующего. Поэтому изменение структуры армирования в конструкции может приводить к существенным изменениям ее несущей способности и интегральных физико-механических характеристик [120, 124, 126, 233]. Поскольку армированный материал создается вместе с конструкцией и принципиальных технологических ограничений по регулированию структурой армирования в тонкостенных конструкциях не существует, с технологической точки зрения наиболее удобно осуществлять целевую оптимизацию изготавливаемого из композитного материла изделия.

Проблема оптимального проектирования тонкостенных конструкций в полном своем объеме чрезвычайно сложна и в ряде случаев для конструкций из композитов не имеет законченной математической формулировки [20, 185, 265]. Эта сложность обусловлена тем, что задачи оптимизации конструкций относятся к числу нелинейных задач механики, а также многообразием форм используемых в технике конструкций, широким спектром предъявляемых к ним требований и большим разнообразием условий их эксплуатации.

Наиболее распространенными критериями оптимальности являются требования минимума веса или минимума стоимости (когда материал конструкции неоднороден), так как при этом целевая функция характеризуется интегральным функционалом. Выполненные в этом направлении исследования в достаточной мере отображены в монографиях [11, 17, 18, 20, 154, 222, 234, 243, 248, 265, 268] и обзорах [178, 180, 218, 221, 244] и др. Из анализа указанной литературы следует, что в абсолютном большинстве случаев рассматриваются лишь плоские конструкции или цилиндрические оболочки. Это обусловлено трудностями решения соответствующих задач оптимизации.

В рамках континуальной постановки задачи оптимального проектирования условие оптимальности вместе с уравнениями состояния и уравнениями для сопряженных переменных образуют замкнутую нелинейную краевую задачу относительно переменных состояния, проектирования и сопряженных функций [17, 20, 243, 268, 327]. Общие аналитические методы решения таких задач отсутствуют, поэтому развитие теории оптимального проектирования и эффективные методы решения прикладных задач, как правило, связаны с дискретизацией задач оптимизации [1 -4, 20, 246, 326]. Однако, чтобы сузить пространство параметров проектирования (и упростить тем самым задачу), дискретизация осуществляется достаточно грубо (обычно конструкцию разбивают примерно на 10 элементов), что снижает достоверность полученных результатов.

Другой путь упрощения нелинейных задач оптимизации конструкций состоит в сужении подпространства управляющих функций и параметров проектирования. Это позволяет в ряде случаев получить решение задачи оптимизации в аналитической форме или свести к задаче минимизации функции нескольких переменных, но снижает эффективность оптимального проекта. Так, в [22, 66, 71, 95, 128, 134, 144, 167, 238, 247, 297] методами математического программирования за счет соответствующего выбора анизотропии материала определены оптимальные параметры пластин и оболочек, обеспечивающие минимум массы или максимум несущей способности из условий прочности и при выпучивании конструкции. Выигрыш веса в таких оптимальных конструкциях, как правило, составляет 15-20 %. Так, в работе Н.В. Баничука и В.В. Кобелева [325] рассматриваются ортотропные пластинки, набранные из регулярно чередующихся однонаправлено армированных слоев и изотропных слоев. Направления армирования фиксированы - вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат. За счет варьирования концентрации армированных слоев в каждой точке конструкции разыскивается минимум массы конструкции при фиксированной интегральной жесткости. В одном из полученных решений конструкция под действием сосредоточенной силы) получены отрицательные концентрации армированных слоев. В другом примере оптимальная пластина легче эталонной всего на 5 % и содержит на 19 % меньше материала монослоев. Последнее объясняется, очевидно, тем, что направления армирования фиксированы, т.е. искусственно сужено пространство управляющих функций и параметров проектирования.

Существующие на сегодняшний день методы решения задач оптимального проектирования [17, 18, 102, 154, 258, 262] не гарантируют достижения глобального экстремума той или иной целевой функции, а значит, получаемое решение может считаться оптимальным лишь условно. Поэтому большое распространение на практике получило рациональное проектирование тонкостенных конструкций. В случаях рационального проектирования решение задачи строится на основе некоторых эвристических дополнительных предположений, выполнение которых якобы гарантирует улучшения параметров изделия. Эффективность эвристических критериев оптимизации обуславливается тем, что в отличие от общего условия минимизации (или максимизации) некоторого функционала они непосредственно записываются через параметры, определяющие напряженное состояние конструкции, что позволяет упростить постановку задачи оптимального проектирования. Наиболее распространенными критериями рациональности являются требования равнопрочности, равнонапряженности, безмоментности напряженного состояния, полужесткости и т.д. Для волокнистых конструкций наиболее часто встречающимся является условие равнонапряженности арматуры (РА). Следует подчеркнуть, что возможны (и известны) случаи, когда критерии рациональности приводят к оптимальным конструкциям.

В дальнейшем обзоре, не претендующем на исчерпывающую полноту по всем имеющимся публикациям в отечественной и зарубежной литературе, будем анализировать различные подходы к проблеме рационального проектирования тонкостенных армированных конструкций в статических задачах, в которых предполагается, что конструкция устойчива к малым внешним возмущениям.

В цикле работ [181, 183 - 185, 240 - 242] рассмотрен вопрос о рациональном проектировании конструкций с точки зрения их повышения несущей способности на основе метода, тесно связанного с критерием разрушения, предложенным в [175 - 177]. При этом в качестве основного критерия рационального проектирования конструкций из композитных материалов выступало требование реализации структурной прочности для всех элементов композиции. Задача рационального проектирования по условиям прочности фактически сводилась к задаче нелинейного программирования с ограничениями на параметры проектирования, объем используемой арматуры и перемещения. Для упрощения поставленной задачи нелинейного программирования авторы понижали размерность пространства управляющих функций так, чтобы можно было использовать метод сканирования [239] по параметрам оптимизации, который позволяет определить все экстремумы задачи и их характер (локальный или глобальный). Такое искусственное сужение пространства параметров оптимизации не позволяет считать решения, полученные в указанных работах, оптимальными; их можно охарактеризовать лишь как рациональные.

В задачах концентрации [49, 186, 261, 291] и др. в качестве критерия рационального проектирования используется условие минимума максимального напряжения или максимального значения интенсивности напряжений.

Идеальными оболочечными конструкциями с точки зрения рационального использования в них материала следует считать конструкции, в которых реализуется безмоментное состояние, поскольку в этом случае достигается условие равномерной по толщине оболочки работы материала [64, 82, 98, 220, 224]. Для армированных оболочек создание безмоментных проектов становится особо важным, так как при этом в них снимается такой недостаток армированных конструкций, как их ослабленное сопротивление поперечному сдвигу. Достижение безмоментного состояния без использования специальных мер возможно только в исключительных случаях. Соответствующие необходимые условия безмоментного состояния в классической теории [64, 82, 220] сформулированы недостаточно четко и не гарантируют в каждом конкретном случае строго безмоментного состояния. Поэтому при проектировании оболочечных конструкций актуальной становится проблема достижения строго безмоментного состояния в них. Первые результаты по проектированию строго безмоментных оболочек получены в [160, 290, 293], где определялась форма меридиана изотропной оболочки вращения с заданным осесимметричным распределением толщины, в которой (оболочке) реализуется безмоментное состояние. В [137] была рассмотрена задача об определении дополнительной поверхностной нагрузки, которая совместно с заданной системой внешних поверхностных и контурных нагрузок вызывает в изотропной оболочке безмоментное состояние. В [280] показана возможность существования такого распределения толщины замкнутой оболочки вращения с заданной формой меридиана, при которой изгибающие моменты и перерезывающие силы отсутствуют. Перечисленные возможности реализации безмоментного состояния справедливы как для изотропных, так и анизотропных оболочек.

В работах [130, 173, 189 - 192] была показана еще одна возможность реализации безмоментного состояния в конструктивно-анизотропных оболочках, а именно, за счет изменения характера армирования. Общая задача о реализации безмоментного состояния в этих работах была сформулирована следующим образом: определить такой характер дополнительного термосилового догружения оболочки или изменения ее геометрии, или перераспределения материала, или изменения неоднородности и анизотропии (за счет направленного изменения структуры армирования), или комбинации этих изменений, чтобы в конечном итоге в ней всюду реализовалось безмоментное состояние. Из решений, полученных в [190, 192], как частные случаи следуют результаты работ [160, 161, 280, 290], а также опубликованные несколько позже результаты в [92, 138, 159, 287, 292].

Перечисленные выше результаты были получены для упругих оболочек. Для резервуаров, изготовленных из армированного наследственно-упругого материала и имеющих форму простой или составной оболочки вращения, условия существования безмоментного состояния были сформулированы в [193]. Точная постановка задачи и формулировка необходимых условий реализации безмоментного состояния в оболочках из идеально-пластического материала дана в работе [171]. Вопрос проектирования безмоментных многослойных сосудов давления в случае квадратичного и кусочно-линейного условия пластичности рассмотрен в [187]. Проблема реализации строго безмоментного состояния для оболочек нулевой гауссовой кривизны в условиях установившейся ползучести исследована в [188], а в [255] получены условия реализации безмоментного состояния в оболочках, деформируемых в условиях кратковременной ползучести при ступенчатом нагружении.

Перечисленными выше работами практически исчерпывается литература по решению задач о реализации строго безмоментного состояния оболочек. Однако существует целый ряд работ (некоторые из которых будут упомянуты ниже), основанный на использовании только безмоментных уравнений равновесия (классический подход). Как показано в [173, 189, 260], при таком подходе реализация безмоментного состояния по существу не обеспечивается, а только предполагается. Вопрос о том, будет ли спроектированная оболочка действительно безмоментной при безмоментных краевых условиях или нет, остается в таких работах открытым.

Волокнистые композиты, обладающие высокой прочностью и жесткостью при нагружении в направлении армирования, плохо воспринимают усилия, вызывающие взаимный сдвиг волокон [120, 124]. Поэтому одним из критериев рационального проектирования композитных конструкций является условие армирования их по направлениям главных напряжений. В работах [41, 45, 46, 47, 60, 61, 162, 288] получены соотношения, определяющие рациональные схемы армирования конструкций, находящихся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния. Для осесимметрично нагруженных безмоментных оболочек в [42, 48, 56 - 59, 119, 221, 222] выведены уравнения и соотношения, определяющие рациональные траектории армирования и форму оболочки. В

15, 45, 301] получены рациональные проекты для изгибаемых трехслойных пластин.

Важную роль в теории рационального проектирования тонкостенных конструкций играют критерии равнопрочности и равнонапряженности элементов. Требования отсутствия резервов прочности и одновременного разрушения всех частей конструкции ранее часто ассоциировались с условиями минимума веса и принимались на практике в качестве критерия оптимальности. Однако понятия оптимальности, равнопрочности и равнонапряженности далеко не всегда оказываются тождественными с математической точки зрения. Тем не менее, условия равнопрочности и равнонапряженности имеют важное самостоятельное значение, так как использование этих критериев позволяет существенно упростить проблему оптимального проектирования и свести ее к решению некоторых обратных задач теории упругости.

Первые результаты по проектированию равнопрочных вращающихся дисков и пластин были получены в работах [9, 89, 167, 237, 282]. Исследованию равнопрочных и равнонапряженных цилиндрических и осесимметричных оболочек вращения посвящены публикации [72, 83, 100, 106, 150, 152, 283, 299, 300], в которых рациональный проект оболочки реализуется за счет специального распределения толщины.

Вопросы проектирования равнопрочных и равнонапряженных оболочек вращения рассматривались в работах [17 - 19, 30, 42, 69, 70, 107, 110, 147, 149, 153, 220, 277], причем в [19, 30, 42, 220, 277] проектирование осуществлялось на основе безмоментных уравнений равновесия, хотя строго безмоментное напряженное состояние специальным образом не обеспечивалось. Так, например, оболочки, форма меридиана которых соответствует решению, полученному в [30], и известному решению о равнонапряженном куполе [220], будут безмо-ментны только в случае, когда они изотропны и имеют переменную толщину. А решение задачи о резервуарах равного сопротивления [220, 277] дают безмо-ментные проекты изотропных оболочек только в случае, когда толщина оболочки постоянна, а меридиан описывает каплевидную форму. Как показано в

260], соответствующие ограничения на характер распределения материала и толщины оболочек в работах [30, 220, 277] не выполнены, а при несоблюдении таких ограничений оболочки будут работать в моментном напряженном состоянии. В [220] авторы признают, что полученные ими формы равнонапря-женного купола можно считать «наивыгоднейшими» лишь условно, так как форма наивыгодна лишь вдали от опорного контура, но не является выгодной с точки зрения возможности обеспечения надлежащих опорных условий, поэтому купола такого типа на практике не используются. Те же авторы отмечают, что, несмотря на наличие моментного состояния в резервуарах «равного сопротивления» каплевидной формы, такие конструкции все же иногда используются на практике.

В работах [69, 70, 107, 110, 147, 149, 153] законы распределения рациональной толщины оболочек вращения разыскивались с помощью различных численных процедур. В [31] рассматриваются вопросы оптимизации параметров трехслойных конструкций с учетом равнопрочных слоев и связей между слоями, причем разрушение оболочки начинается с расслоения.

Исходя из положения, согласно которому все нагрузки воспринимаются армирующим материалом, а связующее влияет в основном на равномерную передачу нагрузок на элементарные волокна, в качестве критерия рациональности для конструкций из волокнистых композитов часто используется требование равнонапряженности армирующих волокон. Этот критерий наиболее естественен с прочностной точки зрения, так как несущая способность арматуры в этом случае используется наиболее полно. Проектированию оболочек и пластин с равнонапряженной арматурой (РА) посвящены, например, работы И. Зиккела [105], А.С. Кайзера [109], Р.С. Ривлина, А.С. Пипкина [245], И. Маркетоса [157], Г. Шерча, О. Бергграфа [281], С.Б. Черевацкого, Ю.П. Ромашова [275, 276, 278, 328], И.Г. Арихманова, Х.М. Муштари [8, 10], Г.И. Брызгалина, В.П. Багмутова [14 - 16, 41 - 46, 301], Ю.В. Немировского, Ю.А. Богана [32 - 35, 170, 172, 179, 180], М.А. Комкова [122], Ю.В. Бокова, И.Ф. Образцова, В.В. Васильева, В.А. Полякова, Г.Г. Портнова [37, 38, 57, 58, 62, 221, 222], Ю.В. Немировского, С.Б. Бушманова [49, 50], Ю.В. Немировского, С.К. Голушко [73 - 78, 80] и др. В работах [58, 221, 222] в качестве аналогичного критерия рациональности используется условие равнопрочности ортотропных армированных лент, которыми выкладывается или наматывается конструкция.

Хотя к вопросу равнонапряженного армирования (РА) композитных конструкций обращались многие авторы, эта проблема до сих пор далека от своего окончательного разрешения, что вызвано рядом специфических особенностей, присущих задачам РА тонкостенных конструкций. Во-первых, системы разрешающих уравнений и граничные условия в таких задачах являются существенно нелинейными. Во-вторых, приходится решать, фактически, несколько связанных между собой задач: задачу определения рациональных параметров армирования и задачу определения НДС конструкции. (Если учитывается тепловое воздействие, то к этим двум задачам добавляется связанная с ними задача теплопроводности.) В-третьих, открытым остается вопрос существования рациональных проектов при тех или иных типах закрепления, нагружения, нагрева или формы конструкции. (Так, в [32, 45] показано, что решение задачи РА существует не всегда.) В-четвертых, задачи РА могут обладать большими градиентами решения. (В [32] показано, что даже в плоских конструкциях с РА-структурами в окрестности характеристической границы может возникнуть краевой эффект.) Для преодоления этих затруднений исследователи вынуждены использовать упрощения механических моделей армированной среды либо решать задачи РА некоторыми полуобратными методами, либо ограничиваться анализом частных или одномерных случаев.

Так, например, в работах [42, 45, 57, 58, 105, 109, 157, 221, 222, 245, 275, 276, 278, 281] и др. отыскиваются рациональные проекты оболочек на основе «нитяной» (или «сетевой») модели механического поведения армированного материала, т.е. работа связующего не учитывается вообще. Очевидно, что такая модель справедлива лишь в предельном случае, когда модуль упругости волокон стремится к бесконечности. (Для реальных волокнистых материалов использование такой модели справедливо лишь для композитов с органическим связующим [20], в которых модуль Юнга арматуры на два порядка больше модуля упругости связующего. Для ряда современных композиций с «жесткой» (например, металлической) матрицей использование нитяной модели уже не будет оправдано.) Существенным недостатком нитяной модели в задачах РА является то, что конструкция при этом оказывается недеформируемой, а это не позволяет учитывать влияние теплового воздействия на РА-структуру и НДС в фазах композиции. Кроме того, в рамках нитяной модели волокна не могут сжиматься. Помимо сказанного, в работах [105, 275, 278, 281] решается, фактически, «обратная» задача: отыскиваются формы меридианов в оболочках с рав-нонапряженными волокнами; в [157, 245, 276] определяются углы укладки волокон, а в [8, 10, 42] - распределение толщины и интенсивностей армирования. При этом используются безмоментные уравнения равновесия, хотя безмоментное напряженное состояние специальным образом не обеспечивается.

В цикле работ С.Б. Черевацкого с соавторами [275 - 278] рассматривается задача РА безмоментных оболочек в рамках нитяной модели, причем равно-напряженное армирование по геодезическим направлениям определено как оптимальное. Волокна предполагаются переменного поперечного сечения. При этих условиях в [278] определена форма меридиана оболочки, но условие непрерывности намотки нитей [222] не используется, поэтому толщина оболочки в окрестности полюсных отверстий не определена, хотя может стремиться к бесконечности [222]. В работах [275 - 278] толщина оболочек считается как бы равной нулю, поэтому в силу переменности поперечных сечений волокон в [276] удалось получить решения задачи РА в аналитической форме для полностью замкнутых (без полюсных отверстий) конических и сферических оболочек. В действительности же, как показано в [222], при непрерывной намотке оболочки волокнами постоянного поперечного сечения толщина конструкции в окрестности полюса должна неограниченно возрастать, что не позволяет рассматривать такую оболочку как тонкостенную конструкцию и приводит к мо-ментному напряженному состоянию.

В [37, 38, 62, 170] строились проекты безмоментных оболочек с равнонап-ряженной арматурой за счет соответствующего выбора распределения толщины и углов армирования, толщины и интенсивностей армирования [170], формы меридиана и углов армирования [37, 38, 62]. Безмоментность напряженного состояния в этих работах строго обеспечивалась.

В [172] рассматриваются случаи армирования плоской конструкции различным числом семейств волокон, причем приведенные решения получены полуобратным методом, а именно, по заданному полю деформаций в пластине определяется соответствующая ему РА-структура и соответствующие нагрузки. В этой работе Ю.В. Немировский впервые высказал предположение о том, что в силу существенной нелинейности задача РА может иметь несколько альтернативных решений, но непосредственно существования нескольких решений автор так и не показал. В [33 - 35] авторы определяют условия существования (условия нагружения и закрепления) РА-проектов плоских конструкций, при которых в пластинках заданной формы при заданных структурах армирования будет реализовано условие равнонапряженности волокон.

Оригинальный подход к решению задачи РА предложен в работах Г.И. Брызгалина и В.П. Багмутова [14 - 16, 41 - 46, 301], в которых осредненное напряженное состояние в конструкции предполагается известным из решения задачи теории упругости для соответствующей изотропной конструкции с коэффициентом Пуассона равным нулю, а затем по известному напряженному состоянию строятся согласованные ^(-проекты армирования (в основном это рав-нонапряженное армирование по направлениям главных напряжений). Разработанная теория применима лишь в рамках нитяной модели, армирующие волокна разных семейств должны быть выполнены из одного материала, в случае плоского напряженного состояния задача РА может быть решена только при статических граничных условиях [41, 45, 46]. По сути, в этих работах за счет выбора плотностей армирования обеспечивается равнодеформируемость конструкции, поэтому решение задачи РА нельзя получить, если главные напряжения, известные из решения эквивалентной задачи для изотропного тела, отличаются знаками или меняют знаки от точки к точке. Существенным недостатком построенных решений является то, что армирующие волокна должны иметь переменные площади поперечных сечений или обрываться внутри конструкции («такие проекты сейчас технологически трудно осуществить» [46]). В [45] Г.И. Брызгалин показал, что может существовать несколько согласованных ^-проектов, удовлетворяющих условиям одной и той же задачи. В работах [15, 45, 301], по-видимому, впервые была предпринята попытка решения задачи РА для изгибаемых трехслойных пластин с армированными несущими слоями. Полученные при этом решения обладают той особенностью, что в одном из несущих слоев волокна должны быть сжаты. Но в рамках используемой нитяной модели теоретически волокна вообще не могут работать на сжатие, так как при отсутствии связующего в несущих слоях волокна сразу же должны терять устойчивость [123, 294]. Если объемная плотность связующего меньше объемной плотности волокон, то построенный в рамках предложенной теории РА-проект обеспечивает минимум веса конструкции [45].

В [49] авторы, рассматривая задачу о выборе направлений и интенсивностей армирования, соответствующих минимуму суммарного объема арматуры в упругих пластинках, нагруженных в своей плоскости, показали, что оптимальными в указанном смысле будут проекты с равнонапряженной арматурой, направления армирования которых являются одновременно и направлениями главных деформаций. При этом к рассмотрению допускались проекты, имеющие значение упругой податливости, не превышающей заданной величины.

В работах [109, 328] рассматриваются задачи РА вращающихся дисков в рамках нитяной модели. При этом в статье Кайзера [109] толщина диска равна толщине одного волокна и внешний контур свободен от нагружения, поэтому армирующие волокна касаются этого контура; в некоторых полученных РА-структурах волокна касаются также внутреннего ненагруженного контура или проходят через начало координат. Но при таких структурах армирования в окрестности контуров и полюса толщина диска теоретически должна неограниченно возрастать [222], так как волокна предполагаются непрерывными и постоянного поперечного сечения. Этот факт в работе [109] не учитывается. В [328] рассматривается задача РА диска турбомашины с прикрепленными к нему лопатками. Получены РА-структуры звездчатого типа, но толщина нитей переменна и в окрестности начала отсчета стремится к бесконечности. Следовательно, в обеих статьях [109, 328] задачу нельзя рассматривать как плоскую, что изначально в них предполагается. Кроме того, в этих работах задачи предполагаются статически определимыми, что обеспечивает минимум расхода нитей, но не рассматриваются кинематические условия совместного деформирования ступицы и полотна диска [28]. Учет же этих кинематических условий приводит к статически неопределимым задачам, которые в [109, 328] не изучались.

Определенным недостатком, присущим ряду указанных выше работ (например, [8, 10, 33 - 35, 49, 170, 172] и др.), является то, что в рациональных проектах площадь поперечного сечения каждого волокна существенно переменна по его длине (или волокна с постоянными поперечными сечениями обрываются внутри конструкции, т.е. тонкостенные оболочки и пластины не получены путем непрерывной намотки или выкладки). При реализации подобных проектов будут неизбежно возникать серьезные технологические затруднения. Поэтому представляется естественным при проектировании конструкций, армированных равнонапряженными волокнами, исходить из требования постоянства поперечных сечений волокон и их непрерывной намотки или выкладки.

Рациональному армированию пластин и оболочек равнонапряженными волокнами постоянного поперечного сечения посвящены работы [50, 73, 74, 77, 78, 245] и др. Однако исследования, проведенные в этом направлении, обладают определенной незавершенностью. Так, в [50] сформулирована двумерная задача РА пластин, находящихся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния; показано, что получающаяся при этом система разрешающих уравнений относится к квазилинейным системам смешанно-составного типа [96], но методы решения соответствующей краевой задачи не были предложены (авторы ограничились лишь рассмотрением некоторых частных случаев укладки волокон в осесимметричных задачах армирования). В работах [73, 74, 78] в моментной постановке исследовался вопрос о возможности реализации в осесимметричных оболочках НДС, при котором окружное и спиральное семейства арматуры находятся в равнонапряженном состоянии. С одной стороны, авторы исследовали только одномерный случай, а с другой стороны, использовали полуобратный метод, задавая изначально траектории армирования одного из семейств равнонапряженных волокон, а именно, окружного. В статье [77] при постановке задачи РА оболочек вращения авторы отмечают, что на параметры РА должно влиять и тепловое воздействие, но решение задачи с учетом температурных полей не было получено. Кроме того, в этой работе авторы решают, фактически, только одномерные «обратные» задачи: по заданным на внутренней и внешней сторонах оболочки траекториям РА определяют соответствующие внешние распределенные нагрузки и т.п.

В работах В.В. Васильева, И.Ф. Образцова, А.Н. Елпатьевского [57, 58, 221, 222 и др.] в качестве критерия оптимального армирования безмоментных оболочек используется требование одновременного выполнения условий равно-прочности ортотропных армирующих лент (или условия РА - при сетевом анализе) и выкладки этих лент (или волокон) по направлениям главных напряжений. Если же не удается выполнить оба этих критерия, то требование равно-прочности армирующих элементов (лент или волокон), как показано в [58], обеспечивает большую несущую способность оболочки, чем условие армирования по направлениям главных напряжений. В основном же в этих работах рассматривается частный случай равнодеформируемости конструкции, когда главные мембранные деформации равны между собой и постоянны, что гарантирует выполнение условий оптимальности при любых направлениях армирования. Поэтому по большей части исследования посвящены определению (в рамках нитяной модели) траекторий армирования сосудов давления равнонап-ряженными непрерывными волокнами постоянного поперечного сечения по геодезическим направлениям. Получающиеся при этом структуры армирования неоднородны по толщине конструкции и несимметричны относительно отсчетной поверхности, что в предположении о равнодеформируемости оболочки приводит к наличию изгибающих моментов, хотя изначально конструкция предполагается безмоментной. Особенно такая неоднородность по толщине конструкции проявляется при проектировании комбинированных сосудов [222], когда внутренний слой представляет собой металлическую оболочку, на которую как на оправу навиты армирующие нити (в основном, стекловолокно). При этом модуль упругости металлической (внутренней) составляющей оболочки в несколько раз может отличаться от модулей упругости внешних армированных слоев [123, 124]. Другая особенность полученных проектов состоит в том, что при непрерывной намотке замкнутых сосудов давления волокнами постоянного сечения в окрестности полюсных отверстий теоретическая толщина оболочек или отдельных слоев стремится к бесконечности. На практике же в этих местах наблюдается резкое утолщение конструкции, что, с одной стороны, способствует соскальзыванию нити при намотке изделия, а с другой стороны, не позволяет рассматривать оболочку как тонкостенную конструкцию. Трехмерность напряженного состояния в окрестности полюсных отверстий в этих работах не рассматривалась, вследствие чего расчетная прочность сосудов давления оказывалась выше реальной [222] (разрушение конструкции происходило именно в окрестности полюсных отверстий). Кроме того, в указанных работах нигде не учитывалась работа и возможность разрушения материала, связывающего армирующие ленты (предполагалось, что разрушаться могут только ленты).

При исследовании проблем оптимального и рационального проектирования возникает вопрос о соответствии конструкций, полученных на основе теории оптимального проектирования (с использованием тех или иных функционалов в качестве целевых функций) и за счет использования различных критериев рациональности. Такие исследования проводились в работах [19, 61, 83, 91, 150, 151, 182, 250, 278, 295] и др.

В [250, 295] на примере стержневых систем показано, что конструкция может быть равнонапряженной, но при этом не будут иметь минимальный вес, и что только для статически определимых систем проект равнонапряженной конструкции необходимо является проектом минимального веса. Для статически неопределимых систем это совпадение не является необходимым. В работе [182] на примере изотропной круглой пластинки и цилиндрической оболочки авторы показали, что равнонапряженные проекты непрерывным образом наполняют интервал между проектами минимального и максимального объема. А поскольку равнонапряженная конструкция является частным случаем равнопрочной, то не всякий равнопрочный проект является оптимальным в смысле экономии веса. В [91, 150, 151] на основе численного исследования цилиндрического сосуда с плоскими днищами показано, что дискретно-равнонапряженные и равнопрочные конструкции в общем случае отличаются от конструкций минимального веса. В [326] на примерах изотропной фермы и сплошной конструкции численным методом установлено, что наиболее выгодная конструкция равнопрочна, имеет наименьший объем, наименьший силовой вес и наибольшую жесткость.

Для безмоментных нитяных оболочек [222, 245] и изотропных оболочек [19] доказано, что требования равнонапряженности арматуры и, соответственно, равнопрочности конструкции обеспечивают минимум веса. Для оболочек, в которых учитывается работа связующего, условие РА не гарантирует оптимальности конструкции, но РА-структуры будут все же близки к оптимальным [45, 222]. Для конструкций, работающих в условиях плоского напряженного состояния, в [61] показано, что условие совпадения направлений армирования с направлениями главных напряжений обеспечивает локальный минимум объема материала. В [49] доказано, что минимум общего расхода волокон, обеспечивается при равнонапряженном армировании по направлениям главных деформаций. В [124, 231] показано, что наибольшей энергоемкостью обладает изотропный диск, в котором реализуется равнонапряженное состояние. Однако для композитных дисков подобные условия не обеспечивают «абсолютно лучшей» конструкции маховика, но для нитяных оболочек и дисков условие равнонапряженности по-прежнему обеспечивает максимальную энергоемкость.

В работе Б.Д. Аннина [327] отыскиваются оптимальные структуры армирования, обеспечивающие в упругом случае максимум интегральной жесткости при кинематических граничных условиях. Методом неопределенных множителей Лагранжа для случая плоской деформации определена оптимальная ориентация главных осей анизотропии ортотропного материала. Показано, что оптимальный проект при этом является равнодеформируемым (в случае прямолинейно армированного материала условие равнодеформируемости приводит к равнонапряженности волокон).

Обзор исследований по оптимальному и рациональному проектированию композитных конструкций, выполненных до 1987 года, приведен в [79, 179, 180]. Основное внимание в обзорах сосредоточено на анализе различных подходов к проблеме экономии веса конструкции. Обсуждаются и сопоставляются подходы, основанные на применении теории оптимального проектирования и использовании различных критериев рациональности (постоянства удельной потенциальной энергии или мощности энергии диссипации, равнонапряженности, равнопрочности, жесткости и полужесткости, строго безмоментного состояния и т.п.).

Подводя итог проведенному выше анализу работ, следует отметить, что проблема рационального и оптимального проектирования тонкостенных конструкций весьма обширна. Не вызывает сомнений утверждение, что в связи с активным внедрением существующих и появлением новых композитных материалов и конструкций из них в самые разнообразные области инженерной практики интерес к этой проблеме будет расти. В приведенном обзоре в основном рассматривались лишь проблемы рационального проектирования армированных оболочек и пластин в статических задачах, основанные на наиболее часто используемых (и наиболее интересных с точки зрения автора) прочностных критериях рациональности: строго безмоментного напряженного состояния, равнопрочности и равнонапряженности конструкций и их силовых элементов. Некоторые из этих подходов разработаны достаточно хорошо (например, проблема строго безмоментного состояния оболочек), другие еще ждут своего разрешения. Сформулируем некоторые выводы относительно сегодняшнего положения дел по проблеме равнонапряженного армирования композитных конструкций, в рамках которой используется наиболее естественный прочностной критерий рациональности, позволяющий наиболее полно использовать несущую способность высокопрочной арматуры в конструкциях, подверженных воздействию интенсивных термосиловых нагрузок (тем более что в ряде случаев использование этого критерия приводит к конструкциям минимального веса).

При проектировании тонкостенных равнонапряженно-армированных конструкций зачастую используется «нитяная» модель композита. В некоторых случаях, когда объемное содержание связующего в композите минимально и оно по своим характеристикам на порядки уступает армирующим волокнам (стекло-, боро- и углепластики), использование такого подхода может быть оправдано (экспериментальное подтверждение этому приведено в [45, 222]). Однако при использовании современных «жестких» связующих (например, на основе металлических сплавов) такой подход становится необоснованным и учет работы связующего необходим (экспериментальное подтверждение этому приведено в [45]), тем более что в рамках нитяной модели в РА-конструкциях невозможно учесть влияния теплового воздействия и волокна не работают на сжатие. (Последний факт не позволяет сформулировать соответствующие задачи РА изгиба или скручивания конструкций, так как при отсутствии связующего в рамках нитяной модели при малейшем сжатии волокна теоретически должны терять устойчивость [123, 294].) В тех публикациях, посвященных проблеме РА, в которых работа связующего учитывается, поведение фазовых материалов предполагается идеально-упругим. (Некоторым исключением является работа [222], в которой поведение внутреннего металлического слоя комбинированной оболочки рассматривается как упругопластическое, армирующие же ленты или волокна, образующие внешний слой, остаются линейно-упругими.) Это не позволяет оценить, насколько полно используется несущая способность равнонапря-женной арматуры в конструкциях с реальным (упругопластическим) поведением фазовых материалов и насколько можно повысить несущую способность конструкции (или уменьшить ее массу, или общий расход арматуры) за счет учета эффекта упрочнения связующего и волокон при неупругом их деформировании.

Во многих работах, посвященных проблеме РА, не учитываются условия постоянства поперечных сечений волокон, что может привести к существенным технологическим затруднениям при практической реализации соответствующих проектов армирования. Фактически отсутствуют работы, в которых учитывалось бы влияние теплового воздействия на РА-структуру. Единичными являются и работы, в которых учитывается моментное состояние в тонкостенных РА-конструкциях. В основном преобладают работы, посвященные РА пластин, нагруженных в плоскости, и безмоментных оболочек. Причем во многих случаях авторы используют только безмоментные уравнения равновесия оболочек, оставляя в стороне уравнения совместности деформаций. В результате полученные РА-проекты оказываются не всегда достоверными и требуют дополнительных исследований. В тех редких случаях, когда используется общая моментная теория тонких оболочек, все работы посвящены случаю осесиммет-ричного нагружения оболочек вращения. При этом, как правило, решение строится полуобратным методом в предположении, что траектории укладки одного или нескольких семейств РА заданы. Полностью отсутствуют работы, в которых были бы предложены аналитические и численные методы решения двумерных задач РА тонкостенных конструкций волокнами постоянного поперечного сечения.

Во всех работах по проблеме РА авторы предполагают, что исследуемая ими конструкция подвергается воздействию только одной системы стационарных нагрузок. Однако на практике нередко встречаются случаи, когда конструкция последовательно подвергается воздействию ряда независимых систем нагрузок (многовариантное нагружение). Очевидно, что особый интерес вызывает проблема такого рационального армирования конструкции, чтобы при действии каждой систем нагрузок арматура была равнонапряжена. Работы, посвященные формулировке и анализу такой задачи РА, вообще отсутствуют.

Подчеркнем, что условие равнонапряженности волокон вдоль их траекторий (с заданным уровнем напряжений), является жестким и может быть выполнено далеко не во всех конструкциях, т.е. не при всех типах нагружения, закрепления и формы конструкции. Естественным ослаблением этого условия служит отказ от поиска только гладких решений задачи РА. Для этого следует потребовать, чтобы область, занимаемая отсчетной поверхностью конструкции, состояла из нескольких контактирующих между собой подобластей, в каждой из которых материалы фазовых элементов могут иметь свои физико-механические характеристики, а все известные и неизвестные функции имеют необходимую гладкость. Для еще большего смягчения условия рационального проектирования целесообразно допустить наличие таких подобластей, в которых структура армирования изначально задана (например, подобласть изготовлена из обычных конструкционных материалов) или определяется на основе каких-либо других критериев рациональности (например, в окрестности контуров, свободных от нагружения, целесообразно армирование осуществлять по направлениям главных напряжений или деформаций). При такой расширенной постановке задачи РА на линиях контакта указанных подобластей могут возникнуть разрывы решения. Работы, посвященные такому сопряжению РА-структур, также отсутствуют. (Исключение, по-видимому, составляет лишь работа [276], в которой в безмоментной, но не строго безмоментной, постановке сформулирована и решена задача РА для сопряженных нитяных оболочек, причем при переходе через линии сопряжения траектории армирования испытывают излом.)

Целью настоящей работы является: - постановка на основе модели упругопластического поведения армированного слоя с «одномерным» волокнами [176] гладких и сопряженных двумерных задач РА плоских композитных конструкций, поперечно изгибаемых пластин и безмоментных оболочек, подверженных термосиловому нагружению, с учетом неупругого поведения и термочувствительности фазовых материалов и технологического условия постоянства поперечных сечений волокон;

- качественный анализ соответствующих краевых задач РА и выявление свойств, присущих решениям этих задач;

- исследование вопросов, связанных с проблемой существования и единственности решения задач РА тонкостенных конструкций, а также вопросов управления РА-структурами за счет перераспределения количества арматуры;

- сопоставление решений задачи РА, полученных на основе нитяной модели, модели армированной среды с «одномерными» волокнами и более сложных моделей, учитывающих двумерность напряженного состояния в волоконах [156, 174];

- постановка и качественный анализ термоупругой задачи РА плоских конструкций, подверженных воздействию нескольких независимых систем стационарных термосиловых нагрузок;

- исследование проблемы рационального армирования и профилирования дисков газотурбинных двигателей;

- разработка аналитических и численных методов решения сформулированных задач РА;

- сравнение по прочностным или весовым характеристикам полученных РА-проектов с «традиционными» проектами армирования, в частности, с проектами армирования по направлениям главных напряжений или с проектами, в связующем которых реализуется условие равнопрочности.

Результаты диссертационной работы изложены в шести главах. Первая глава посвящена исследованию задачи РА плоских конструкций, статически нагруженных в своей плоскости, с учетом стационарного теплового воздействия. Сначала формулируются гладкая и сопряженная задачи РА с учетом упругопластического поведения и термочувствительности фазовых материалов. Затем проводится качественный анализ системы разрешающих уравнений и свойств ее решений. На конкретном примере показано, что в связующем РА-конструкции даже на нехарактеристической границе (в отличие от [32]) может возникнуть краевой эффект. Для упрощения решения поставленной задачи используется итерационный процесс, относящийся к разряду методов теории возмущений (в качестве малого параметра используется отношение модуля упругости связующего к модулю упругости арматуры). На основе асимптотического анализа и конкретных аналитических решений, полученных для прямоугольных удлиненных и кольцевых пластин, доказано, что сформулированная задача в силу существенной нелинейности может иметь несколько (до четырех) альтернативных решений, которыми можно управлять за счет перераспределения количества арматуры. Проведено сравнение с традиционными структурами армирования, которое показало, что РА-проекты при том же расходе арматуры могут иметь в 1,25 - 3 раза большую несущую способность, чем проекты с квазиизотропными структурами армирования или проекты с армированием по направлениям главных напряжений и деформаций. (В некоторых, частных, случаях нагружения конструкции РА-структуры могут совпадать со структурами армирования по направлениям главных напряжений, однако при наличии теплового воздействия такое совпадение не имеет места.) Показано, что учет неупругого поведения фазовых материалов позволяет для разных композиций в 2 - 9 раз увеличить несущую способность РА-конструкции при фиксированном общем расходе арматуры или в несколько раз уменьшить расход арматуры при заданном уровне нагружения. Показано, что, несмотря на ухудшение при нагреве прочностных характеристик термочувствительных фазовых материалов, при наличии теплового воздействия несущая способность конструкции в целом все же может увеличиваться за счет существенного перераспределения напряжений между связующим и арматурой. Причиной этого является значительное (иногда на порядок) отличие коэффициентов линейного теплового расширения фазовых материалов. Показано, что тепловое воздействие может оказывать существенное влияние на РА-структуру и НДС в фазах композиции и пренебрегать им недопустимо. Построены гладкие и сопряженные РА-структуры дисков тормозных торсионных механизмов, несущих стен ангаров и прямоугольных железобетонных панелей. Исследован вопрос корректности задачи РА плоских конструкций. Проведено сравнение расчетных упругих и прочностных характеристик армированных композитов, определенных на основе разных моделей механического поведения армированной среды, с экспериментальными данными; показано, что расчетные значения удовлетворительно согласуются с экспериментом (это позволяет обоснованно использовать модель с «одномерными» волокнами в дальнейших исследованиях задач рационального проектирования).

Вторая глава посвящена проблеме РА плоских конструкций, подверженных последовательному воздействию нескольких независимых систем стационарных термосиловых нагрузок. Сначала рассматривается задача РА в предположении, что при действии каждой системы нагрузок арматура всех семейств равнонапряжена. Это требование приводит к тому, что количество систем нагрузок должно быть равно двум и волокна всех семейств должны иметь переменные площади поперечных сечений по своей длине. Последнее обстоятельство может стать причиной существенных технологических затруднений при реализации соответствующих проектов РА, поэтому сформулирована еще одна задача РА в несколько смягченной форме, а именно: при действии каждой системы нагрузок арматура некоторых семейств равнонапряжена, а остальных семейств - нет. При такой постановке волокна всех семейств имеют постоянные поперечные сечения. Проведен качественный анализ соответствующих краевых задач и предложены итерационные методы их решения, относящиеся к разряду методов теории возмущений. Получены аналитические и численные решения задачи РА прямоугольных удлиненных и кольцевых пластин, а также плоских двусвязных конструкций произвольной формы. Показана возможность существования двух альтернативных решений сформулированных задач РА.

В третьей главе исследуются вопросы рационального армирования и профилирования вращающихся дисков газотурбинных двигателей, относящихся к разряду силовых элементов, которые в современных технических устройствах испытывают наиболее интенсивное термосиловое нагружение. Сначала рассматривается проблема рационального армирования трехслойных композитных дисков на основе критерия структурной прочности всех фазовых элементов композиции. Показано, что диски, армированные по направлениям' главных напряжений (радиальное, окружное и радиально-окружное армирование) далеко не всегда обладают наибольшей несущей способностью. Получены проекты армирования дисков с несущей способностью до 20000 - 30000 об/мин, масса которых в 2 - 5 раз меньше массы стальных изотропных дисков той же геометрии, имеющих, как правило, несущую способность 10000 - 12000 об/мин. Затем на основе критериев РА и равнопрочности связующего показано, что за счет рационального профилирования массу армированных дисков можно дополнительно уменьшить на 40 - 60 %. Условие же армирования по направлениям главных напряжений не является критерием рационального профилирования.

Четвертая глава посвящена исследованию задачи РА поперечно изгибаемых кирхгофовских пластин волокнами постоянного поперечного сечения. Формулируются гладкая и сопряженная задачи РА с учетом упругопластического поведения фазовых материалов, проводится качественный анализ системы разрешающих уравнений и свойств ее решений. Доказано, что при некоторых типах закрепления изгибаемой пластины гладкие решения задачи РА не могут существовать. Показано, что в связующем РА-пластины может возникнуть ярко выраженный краевой эффект. Для решения поставленной задачи используется итерационный процесс, качественно аналогичный тому, что использован в гл. 1. На основе асимптотического анализа и аналитических решений, полученных в случае цилиндрического изгиба пластины, доказано, что сформулированная задача в силу существенной нелинейности может иметь несколько альтернативных решений, которыми можно управлять за счет перераспределения арматуры. На конкретных примерах обсуждаются вопросы управления РА-структурами с целью получения проектов, оптимальных по прочности связующего и расходу арматуры. Проведено сравнение точных решений задачи изгиба армированных пластин с решениями, полученными в рамках теории Кирхгофа. На основе этого сравнения определены границы применимости кирхгофовской теории к изгибу армированных пластин. Показано, что в упругом случае для пластин с «жестким» связующим 5-процентная точность решения по кирхго-фовской теории обеспечивается при толщине конструкции Н < О,ID, где D -минимальный размер в плане, а для пластин с низкомодульным связующим -при Н <0,03D - 0,05D; при упругопластическом поперечном изгибе теория Кирхгофа может быть использована в основном для пластин с «жестким» (металлическим) связующим.

В пятой главе исследуются задачи РА тонких безмоментных (в классическом смысле) и строго безмоментных оболочек, подверженных термосиловому на-гружению. Сначала формулируется задача РА трехслойных строго безмоментных оболочек с учетом упругопластического поведения и термочувствительности фазовых материалов. Затем проводится качественный анализ системы разрешающих уравнений для оболочек ненулевой и нулевой гауссовой кривизны, а также оболочек вращения, подверженных воздействию осесимметричного термосилового нагружения. Показано, что системы разрешающих уравнений при этом, как правило, чрезвычайно громоздки и существенно нелинейны, а решение задачи РА тонких строго безмоментных оболочек приводит к проектам с переменной толщиной оболочки и с переменными поперечными сечениями волокон всех или некоторых семейств. Так как последнее обстоятельство может стать причиной серьезных технологических затруднений при реализации таких РА-проектов, дополнительно сформулирована задача РА безмоментных (в классическом смысле) оболочек постоянной толщины, армированных непрерывными волокнами постоянного сечения. Показано, что такая постановка задачи существенно проще задачи РА тонких строго безмоментных оболочек и что за счет управления РА-структурой можно добиться в таких оболочках напряженного состояния, близкому к строго безмоментному. Получены конкретные аналитические решения для безмоментных и строго безмоментных оболочек вращения. На основе этих решений показана возможность существования нескольких альтернативных РА-проектов, которыми можно управлять за счет перераспределения арматуры в конструкции. В частности, используя такое управление, можно уменьшить расход арматуры в РА-проекте в 1,5-3 раза.

Так как решения задачи РА могут иметь большие градиенты (например, краевые эффекты) и в силу специфических особенностей уравнений итерационных процессов, используемых для упрощения решений этих задач, численные методы их интегрирования должны обладать высокой точностью и устойчивостью. Поэтому в шестой главе дано обобщение методов Рунге - Кутта на двумерный случай. Это обобщение апробируется на решениях начально-краевых задач для уравнений переноса, нестационарной одномерной теплопроводности, колебания струны и цилиндрической оболочки. Показано, что при наличии больших градиентов классические конечно-разностные схемы неудовлетворительно описывают точные решения этих задач, а полученные с помощью обобщенных методов Рунге - Кутта новые высокоточные и устойчивые схемы вполне пригодны для их численного интегрирования. Пригодность обобщенных методов Рунге - Кутта для решения задач РА апробирована на тестовых задачах, для которых в предыдущих главах были получены решения в аналитической форме.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность д.ф.-м.н., профессору Ю.В. Немировскому за консультации и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1) В осесимметричном и неосесимметричном случаях разработаны формулировки гладких и сопряженных задач равнонапряженного армирования упругих и упругопластических плоских конструкций волокнами постоянного поперечного сечения с учетом термочувствительности фазовых материалов при действии одной системы статических термосиловых нагрузок.

2) В осесимметричном и неосесимметричном случаях разработаны формулировки задач равнонапряженного армирования термоупругих (при линейно-упругом и нелинейно-упругом поведении фазовых материалов и их термочувствительности) плоских конструкций, подверженных последовательному воздействию нескольких независимых систем квазистатических термосиловых нагрузок. Показано, что требование равнонапряженности арматуры всех семейств при действии каждой системы нагрузок может быть реализовано только при двух системах нагрузок и при внедрении в конструкцию не более четырех семейств волокон, которые будут иметь переменные площади поперечных сечений. Отказ от столь жесткого условия равнонапряженного армирования для всех семейств волокон при действии каждой системы нагрузок позволяет армировать конструкцию волокнами постоянного поперечного сечения. В этом случае количество систем нагрузок может быть произвольным, причем при действии каждой системы нагрузок волокна некоторых семейств будут равнонапря-жены, а волокна других семейств - нет.

3) В осесимметричном и неосесимметричном случаях разработаны формулировки гладких и сопряженных задач равнонапряженного армирования кирхго-фовских пластин волокнами постоянного поперечного сечения при чисто-упругом и упругопластическом поперечном изгибе и действии одной системы статических нагрузок. Доказано, что гладкие решения задачи равнонапряженного армирования поперечно изгибаемых кирхгофовских пластин вообще не существуют при следующих типах закрепления: а) по всему опорному контуру пластина жестко защемлена; б) по всему опорному контуру пластина оперта и хотя бы в одной точке (или на части контура) жестко защемлена; в) на одной части опорного контура пластина оперта, на другой - жестко защемлена, а на третьей - задана податливая опора с защемлением. При построении сопряженных решений задач с такими типами опирания в одной части области, занимаемой пластиной в плане, напряжения в равнонапряженных волокнах на верхней (нижней) стороне пластины должны быть положительны, а другой - отрицательны, причем на линиях контакта таких подобластей напряжения в связующем могут достигать больших по модулю значений (аналог краевого эффекта на линиях искажения напряженного состояния в оболочках). Гладкие решения задачи равнонапряженного армирования изгибаемых пластин могут быть получены при следующих типах закрепления: а) неподвижная опора с изгибающим моментом - на одной части опорного контура и статическое нагружение - на другой; б) неподвижная опора с изгибающим моментом - на одной части опорного контура и податливая опора с защемлением - на другой; в) жесткое защемление - на одной части опорного контура и статическое нагружение - на другой; г) неподвижная опора с изгибающим моментом на всем опорном контуре. Показано: чем меньше по модулю угол, под которым траектории равно-напряженного армирования пересекают жестко защемленную кромку, тем больше напряжения в связующем, которые в пределе неограниченно возрастают по модулю вместе с производными от прогиба второго, третьего и четвертого порядков.

4) В осесимметричном и неосесимметричном случаях разработаны формулировки задач равнонапряженного армирования упругих и упругопластических безмоментных (в классическом смысле) и строго безмоментных тонких оболочек различной гауссовой кривизны волокнами постоянного и переменного поперечного сечения с учетом термочувствительности фазовых материалов, подверженных воздействию одной системы статических термосиловых нагрузок. Показано, что неосесимметричное деформированное состояние безызгибной оболочки (или, что то же самое, строго безмоментной оболочки симметричной относительно срединной поверхности структуры) ненулевой гауссовой кривизны определяется только геометрией ее отсчетной поверхности. Определены необходимые условия, накладываемые на тангенциальные усилия, температуру, напряжения в волокнах и коэффициенты линейного теплового расширения фазовых материалов, при которых в равнонапряженно-армированной безмомент-ной оболочке реализуется однородное деформированное состояние. Показано, что при наличии теплового воздействия и соответствующем задании напряжений в волокнах можно получить структуру равнонапряженного армирования, обеспечивающую нулевое деформированное состояние такой конструкции.

5) Качественный анализ систем разрешающих уравнений показал, что задачи равнонапряженного армирования тонкостенных конструкций описываются квазилинейными системами составного или смешанно-составного типов, которым соответствуют нелинейные граничные условия и условия сопряжения. Нелинейность имеет двойное происхождение: а) «структурная» нелинейность порождается тем, что параметры армирования (плотности и углы армирования), определяющие структуру материала и его эффективные физико-механические характеристики, являются неизвестными функциями; б) физическая йелинейность возникает при наличии неупругого деформирования фазовых материалов и их термочувствительности. Кроме того, задачи равнонапряженного армирования являются задачами с сингулярным возмущением (малым параметром X является отношение модулей упругости связующего и арматуры), поэтому решения таких задач могут обладать большими градиентами. В частности, в связующем РА-конструкции может возникнуть краевой эффект. (Краевой эффект в волокнах не возникает, так как напряжения в них являются постоянными по всей длине.)

6) В силу существенной нелинейности рассматриваемых краевых задач их решения могут существовать не при всех видах нагружения, закрепления и формы конструкции. Для устранения этого недостатка целесообразно использовать сопряженные проекты армирования с использованием в разных подобластях непрерывности решения разных критериев рационального армирования. Так, в интенсивно нагруженных подобластях следует использовать условие равнонапряженного армирования, а в слабо нагруженных подобластях (например, в окрестности свободного края) - армирование осуществлять по направлениям главных напряжений и деформаций или использовать традиционные структуры армирования. Такое «мозаичное» проектирование позволяет, в частности, устранить краевой эффект в связующем РА-конструкций и снизить концентрацию напряжений в несколько раз.

7) Построен ряд аналитических решений задач равнонапряженного армирования плоских конструкций, изгибаемых пластин, безмоментных и строго безмо-ментных оболочек. Это позволяет утверждать, что при определенных условиях решения таких задач существуют. Структура полученных решений показывает следующее: в силу того, что неизвестные углы армирования входят во все уравнения, граничные условия, условия сопряжения и условие равнонапряжен-ности как аргументы тригонометрических функций, эти уравнения и соответствующие им краевые условия могут быть тождественно удовлетворены при нескольких различных структурах армирования. (В частности, в ряде случаев разрешающее уравнение задачи равнонапряженного армирования является алгебраическим уравнением относительно синуса или косинуса угла армирования. При этом в некоторых примерах удалось получить до четырех различных гладких структур армирования.) Каждой такой структуре армирования соответствуют свои, единственным образом определяемые поля температур, перемещений и НДС в связующем (напряжения в арматуре всех семейств будут одинаковыми). Часть решений обладает свойством «регулярности», т.е. при стремлении малого параметра X к нулю все неизвестные функции в этих решениях имеют конечные пределы, а другая часть решений обладает свойством «сингулярности», т.е. при стремлении малого параметра X к нулю в этих решениях некоторые деформации неограниченно возрастают по модулю. В конструкциях, армированных высокомодульными равнонапряженными волокнами и соответствующих регулярным решениям, НДС в связующем, как правило, существенно (в разы) меньше, чем в проектах, соответствующих сингулярным решениям.

Доказано, что при дополнительных краевых условиях для углов армирования задача будет иметь единственное решение.

8) Разработаны итерационные методы решения задач равнонапряженного армирования тонкостенных конструкций, позволяющие надежно выделять всю совокупность регулярных (гладких и сопряженных) решений. В частности, показано, что в плоских равнонапряженно-армированных конструкциях, усиленных высокомодульными волокнами (X « 0,01), при отсутствии распределенных поверхностных и объемных нагрузок укладка по прямолинейным траекториям приводит к проектам, близким к рациональным. Это удобно с точки зрения технологической реализации соответствующих проектов. Такие траектории армирования определяются статическими граничными условиями в первом приближении (Л, = 0), причем выражения для параметров армирования и перемещений в этом случае получены в аналитической форме.

9) Так как оптимальные проекты армирования образуют подмножество рациональных проектов, то на множестве решений задач равнонапряженного армирования можно осуществлять целевое управление за счет варьирования интен-сивностей армирования на тех частях контура конструкции или линий сопряжения решения, на которых непрерывные волокна постоянного поперечного сечения входят в конструкцию или подобласть непрерывности решения. Принципиальное отличие такого управления от обычной теории оптимизации заключается в том, что управляющие функции варьируются не во всей области, занимаемой конструкцией, а только на ее контуре и линиях сопряжения решения. Управлять равнонапряженно-армированными проектами можно и за счет варьирования формы линий сопряжения решения или формы контура. В этом случае речь идет как о поиске оптимальных РА-структур в подобластях, так и о поиске оптимальной или рациональной формы РА-подобластей. Кроме того, дополнительно управлять РА-структурой можно путем подбора материалов субструктурных элементов композиции. В одномерных случаях (например, при осесимметричном армировании) такое управление вырождается в параметрическое. За счет целевого управления РА-структурами можно дополнительно повысить эффективность конструкции. В частности, можно добиться напряженного состояния в связующем, близкого к равнопрочному, т.е. наиболее полно использовать несущую способность арматуры и связующего, что позволяет сэкономить расход фазовых материалов или повысить несущую способность конструкции в целом по сравнению с традиционно армированными изделиями (например, по сравнению с конструкциями, армированными по направлениям главных напряжений и деформаций). В частных случаях нагружения оптимальная по прочности связующего РА-структура совпадает с армированием по направлениям главных напряжений; в общем случае такое совпадение не имеет места (например, при наличии теплового воздействия).

10) Показано, что при равнонапряженном армировании строго безмоментных однородно деформируемых оболочек постоянной толщины за счет варьирования на кромках конструкции интенсивностей армирования можно получить совокупность РА-проектов, в которых осредненные напряжения, НДС в фазах композиции и расход арматуры будут одинаковы. Из множества этих проектов целесообразно выбрать наиболее просто реализуемый на практике (например, в котором траектории равнонапряженного армирования наиболее близки к геодезическим линиям). Если толщина такой оболочки разыскивается в процессе решения задачи, то за счет варьирования структуры армирования общий расход арматуры в ней можно уменьшить в несколько раз. Следовательно, условие равнонапряженного армирования не гарантирует минимума расхода волокон в безмоментных оболочках, как это имеет место в идеальных нитяных оболочках, в которых не учитывается работа связующего.

11) В силу специфических особенностей уравнений итерационных процессов, разработанных в диссертации для решения двумерных задач равнонапряженного армирования тонкостенных конструкций, и в силу возможности возникновения в их связующем краевых эффектов при численном интегрировании этих уравнений необходимо использовать высокоточные устойчивые методы. Традиционные численные методы механики деформированного твердого тела, имеющие, как правило, точность второго порядка, не обеспечивают нужной точности при решении возникающих краевых задач равнонапряженного армирования. Поэтому в диссертации построено аналитическое обобщение классических и неклассических методов Рунге - Купы, на основе которого разработан высокоточный, устойчивый метод численного интегрирования задач равно-напряженного армирования, апробированный на задачах математической физики и теории оболочек, имеющих большие градиенты решения. Показано, что некоторые классические конечно-разностные схемы для задач математической физики могут быть получены вследствие применения обобщенных методов Рунге - Кутты. Численное интегрирование обобщенными методами Рунге -Кутты краевых задач, возникающих при использовании разработанных итерационных процессов, позволило впервые получить решения двумерных задач равнонапряженного армирования конструкций волокнами постоянного поперечного сечения.

12) На основе критерия структурной прочности фазовых материалов сформулирована и решена задача рационального армирования трехслойных вращающихся дисков заданной геометрии. Показано, что замена традиционных стальных дисков газовых турбин на композитные диски той же геометрии позволяет снизить массу этих элементов конструкции в несколько раз (например, при использовании углемагниевого диска - в пять раз), а несущую способность повысить в 2 - 3 раза (от 10000 - 12000 об/мин до 20000 - 30000 об/мин). На базе критериев равнонапряженного армирования и равнопрочности связующего армированного слоя или внешних изотропных покрытий сформулированы и решены задачи рационального профилирования композитных дисков. Показано, что за счет рационального профилирования композитных дисков их массу для разных композиций можно дополнительно снизить на 20 - 60 % по сравнению с дисками постоянной толщины. Эффективность указанных критериев рационального профилирования обуславливается типом композиции и типом армирования (плоским или пространственным). Армирование по направлению главных напряжений не является критерием рационального профилирования дисков и не для всех композиций обеспечивает наибольшую несущую способность дисков заданной геометрии.

13) Исследовано влияние теплового воздействия, термочувствительности и неупругого поведения фазовых материалов на несущую способность РА-конструкций и общий расход арматуры в них. Для многих современных волокнистых композиций (угле-, боро-, стеклопластики, угле-, боромагний, угле-, бо-роалюминий и др.) предельная упругая деформация связующего существенно (в разы и даже на порядки) меньше той же величины армирующих волокон. Поэтому при решении задач равнонапряженного армирования в пределах упругости несущая способность высокопрочных волокон часто используется незначительно (иногда всего на несколько процентов). Более полного использования несущей способности волокон можно добиться за счет их предварительного натяжения или за счет допущения пластического деформирования фазовых материалов, что позволяет существенно (иногда в 2 - 9 раз и более) повысить несущую способность РА-конструкции при фиксированном расходе волокон или значительно (в разы) снизить расход фазовых материалов при фиксированном уровне нагружения. Если отношение модулей упругости связующего и волокон X имеет порядок 0,01 (угле-, боро-, стеклопластики, железобетоны с легким связующим), то в термоупругих задачах равнонапряженного армирования при определении параметров армирования можно пренебречь тепловым воздействием; при величине малого параметра X «0,1 (угле-, боромагний, угле-, бороа-люминий и др.) тепловое воздействие существенно влияет на РА-структуру и НДС в связующем, и пренебрегать этим воздействием в термоупругих задачах недопустимо. Если коэффициенты линейного теплового расширения волокон меньше той же величины связующего и предельные упругие деформации волокон больше, чем в связующем (боромагний, бороалюминий и др.), то при нагреве РА-конструкции наблюдается существенное повышение ее несущей способности в пределах упругости, а при охлаждении - понижение несущей способности. Этот эффект наблюдается также при учете термочувствительности фазовых материалов и объясняется более полным использованием при нагреве несущей способности арматуры, что обусловлено существенным перераспределением напряжений между субструктурными элементами композиции за счет значительной разности их коэффициентов линейного теплового расширения. (Картина меняется на противоположную, если коэффициенты линейного теплового расширения волокон больше той же величины связующего, например в титановых конструкциях, армированных стальной проволокой). В неравнонап-ряженно-армированных термоупругих конструкциях такой эффект проявляется незначительно. При неупругом деформировании связующего и полном исчерпании несущей способности нетермочувствительных волокон (боромагний и др.) тепловое воздействие практически не влияет на несущую способность и РА-структуру тонкостенной конструкции.

14) Получен ряд аналитических и численных решений задач равнонапряженного армирования различных конструкций, которые могут быть использованы в инженерной практике (диски тормозных торсионных механизмов, скручиваемые безмоментные оболочки в торсионных механизмах, несущие стены ангаров, прямоугольные стеновые панели, диски газовых турбин и др.). Продемонстрирована высокая эффективность РА-проектов при интенсивном термосиловом нагружении по сравнению с традиционным (прямоугольным, квазиизотропным, по направлениям главных напряжений и деформаций) армированием тонкостенных конструкций.

15) Проведено сравнение экспериментальных данных с расчетными значениями эффективных жесткостей и прочности бороалюминиевых композиций с волокнами, уложенными в одном направлении или перекрестно (ортогональное армирование) при различных плотностях армирования и углах ориентации волокон, полученных на основе нитяной модели, модели с «одномерными» волокнами и разных структурных моделей с «пространственными» волокнами, учитывающими поперечные сдвиг и растяжение-сжатие арматуры. Показано, что модель с «одномерными» волокнами за исключением редких (малоинтересных с практической точки зрения) случаев удовлетворительно согласуется с экспериментом, причем при перекрестном армировании эта модель по прочности и жесткости лучше (как качественно, так и количественно) согласуется с экспериментальными данными, чем модели с «пространственными» волокнами. Поэтому модель с «одномерными» волокнами вполне приемлема при решении столь сложных задач как рациональное и оптимальное проектирование композитных конструкций.

16) Проведено сравнение точных решений для цилиндрически изгибаемых прямоугольных удлиненных армированных пластин, известных из теории упругости анизотропных тел, с решениями, полученными на основе теории Кирхгофа. На основе этого сравнения определены границы применимости классической теории изгиба армированных пластин: при упругом деформировании композиций с «жестким» (металлическим) связующим теория Кирхгофа приемлема для пластин, относительная толщина которых не превышает 0,1; при упругом деформировании композиций с полимерным связующим и при упругопласти-ческом деформировании композиций с металлическим связующим классическая теория применима для пласти, относительная толщина которых не превышает 0,03-0,05. При таких относительных толщинах теория Кирхгофа вполне может быть применима для определения равнонапряженно-армированных структур изгибаемых пластин.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Адамович И.С., Рикардс Р.Б. Дискретные модели непрерывных задач оптимизации конструкций // Механика полимеров. 1976. - № 5. — С. 852 - 859.

2. Адамович И.С., Рикардс Р.Б. Оптимизация по весу ортотропной цилиндрической оболочки с переменными свойствами при ограничении на частоту колебаний // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - № 2. - С. 120 - 125.

3. Адамович И.С., Рикардс Р.Б. Оптимизация по массе оболочек вращения с переменной геометрией и структурой армирования. 1. Оптимизация оболочек вращения, работающих на устойчивость при внешнем давлении // Механика полимеров. 1977. - № 3. - С. 494 - 502.

4. Адамович И.С., Рикардс Р.Б. Оптимизация по массе оболочек вращения с переменной геометрией и структурой армирования. 2. Оптимизация оболочек вращения, работающих в режиме колебаний // Механика полимеров. -1977.-№4.-С. 673 -678.

5. Андреев А.Н. Изгиб и устойчивость многослойных армированных оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. - № з. - С. 112 - 113.

6. Андреев А.Н. Осесимметричное выпучивание трехслойных круговых пластин // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. - Вып. 66. - С. 3 - 11.

7. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Устойчивость упругих многослойных армированных оболочек // Механика композитных материалов. 1979. - № 1. -С. 86-95.

8. Арихманов И.Г. К теории оболочек вращения наименьшего веса // Тр. семинара по теории оболочек. Казан, физ.-техн. ин-т, 1968. Вып. 1. - С. 21 - 26.

9. Арихманов И.Г. К теории оптимального вращающегося диска переменной жесткости // Тр. Казан, хим.-технол. ин-та. 1965. - Вып. 35. - С. 326.

10. Арихманов И.Г., Муштари Х.М. К теории оптимальных оболочек вращения переменной жесткости // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1966. - Вып. 4. - С. 516 - 521.

11. П.Арман Ж. J1. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. - М.: Мир, 1977. - 142 с.

12. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов. Л.: Машиностроение, 1969. - 112 с.

13. И.Баландин П.П. К вопросу о гипотезах прочности // Вестник инженеров и техников. 1937.-№ 1.-С. 19-24.

14. Багмутов В.П. К оптимальному согласованному проектированию армированных тел с учетом массовых сил // Прикл. механика. 1978. - Т. 14, № 11. - С. 8 - 15.

15. Багмутов В.П. Оптимально армированные пластины из модельного композита // Проблемы прочности. 1976. - № 9. - С. 111-115.

16. Багмутов В.П., Брызгалин Г.И. Согласованные проекты общего вида для армированных пластин и оболочек // Механика деформируемых сред. Куйбышев, 1978. - Вып. 3.-С. 136- 142.

17. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986. -303 с.

18. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. - 256 с.

19. Баничук Н.В., Кобелев В.В. Некоторые вопросы оптимального проектирования оболочек вращения // Изв. АН АрмССР. Механика. 1983. - Т. 36, № 2. -С. 10-17.

20. Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. - 224 с.

21. Бахвалов Н.С. Численные методы, т. I. -М.: Наука, 1973. 631 с.

22. Белубекян Э.В., Гнуни В.Ц., Кизокян Л.О. Оптимизация прочности анизотропных пластин в закритической стадии // Проблемы прочности. 1977. -№ 3. - С. 59-62.

23. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности, ч. 2. М.: Высш. школа, 1982. - 304 с.

24. Бенерджи П, Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

25. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: Физматгиз, 1959.-464 с.

26. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. М.: Физматгиз, 1959.-620 с.

27. Биргер И.А. и др. Конструкционная прочность материалов и деталей газотурбинных двигателей. М.: Машиностроение, 1981. - 222 с.

28. Биргер И.А, Демьянушко И.В. Расчет на прочность вращающихся дисков. -М.: Машиностроение, 1978. 247 с.

29. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка -М.: Наука, 1966.-204 с.

30. Блажнов П.В. Равнонапряженные вращающиеся сосуды // Проблемы прочности. 1973. -№> 3. - С. 50-55.

31. Бобров Б.С, Весников А.Н, Виноградов О.С. Оптимизация несущей способности трехслойных конструкций // Межвуз. сб. Ленингр. ин-т авиац. приборостроения. 1980. - № 137. - С. 91 - 93.

32. Боган Ю.А. Плоская задача теории упругости для сильно анизотропных сред: Автореф. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1980. - 16 с.

33. Боган Ю.А, Немировский Ю.В. О некоторых задачах оптимального управления для армированной среды // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1975.-Вып. 1.-С. 112-123.

34. Боган Ю.А, Немировский Ю.В. О распределении напряжений в упругой равнонапряженно-армированной пластине // Прикладная механика. 1976. -Т. 12.-№ 7.-С. 33 -38.

35. Боган Ю.А, Немировский Ю.В. Плоская задача теории упругости для среды с двумя семействами равнонапяженной волокнистой арматуры // Прикладная математика и механика. 1977. - Т. 41. - № 1. - С. 150- 159.

36. Богомолова О.А, Немировский Ю.В. Моделирование НДС в дисках газовых турбин с покрытиями // Тез. докл. на втором Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ 96). - Новосибирск, 1996.-С. 258.

37. Боков Ю.В., Васильев В.В. Проектирование композиционных оболочек вращения, находящихся в поле центробежных сил // Расчеты на прочность и жесткость.-М., 1979. Вып. 3. - С. 111-115.

38. Боков Ю.В., Васильев В.В., Портнов Г.Г. Оптимальные формы и траектории армирования вращающихся оболочек из композитов // Механика композитных материалов. 1981. - № 5. - С. 846 - 854.

39. Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред // Механика полимеров. 1965. - № 2. - С. 27 - 37.

40. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 544 с.

41. Брызгалин Г.И. К рациональному армированию анизотропных плоских тел со слабым связующим // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. - № 4. - С. 123 - 131.

42. Брызгалин Г.И. Некоторые равнопрочные проекты для оболочек вращения под осесимметричной нагрузкой // Металловедение и прочность. Тр. Вол-гПИ. Волгоград. - 1974. - Вып. VI (68). - С. 143 - 147.

43. Брызгалин Г.И. О некоторых критериях оптимального проектирования неоднородных анизотропных тел // Прикл. матем. и механ. 1972. - Т. 32, вып. 4.-С. 753 -760.

44. Брызгалин Г.И. Оптимальное проектирование локально ортотропных тел со слабым связующим // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. - № 3. - С. 169 - 175.

45. Брызгалин Г.И. Проектирование деталей из композитных материалов волокнистой структуры. М.: Машиностроение, 1982. - 84 с.

46. Брызгалин Г.И. Проектирование упруго анизотропного тела с равнонапря-женной арматурой // Металловедение и прочность материалов. Волгоград: Кн. изд-во, 1968. - С. 94 - 109.

47. Брызгалин Г.И., Копейкин С.Д. О многоцелевом проектировании волокнистых композитных материалов // Механика композитных материалов. -1980. -№3.- С. 404 -408.

48. Бунаков В.А., Радовинский A.JL К определению рациональной формы безмоментных оболочек вращения, изготовленных методом намотки из высокомодульных материалов // Механика полимеров. 1975. - № 5. - С. 822 -828.

49. Бушманов С.Б., Немировский Ю.В. Оптимальное армирование пластин при плоском напряженном состоянии // Прикладная механика и техническая физика. 1983.-№ 5. - С. 158- 165.

50. Бушманов С.Б., Немировский Ю.В. Проектирование пластин, армированных равнонапряженными волокнами постоянного поперечного сечения // Механика композиционных материалов. 1983. — № 2. - С. 278 - 284.

51. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 464 с.

52. Ван Фо Фы Г.А. и др. Композиционные материалы волокнистого строения. -Киев: Наук, думка, 1970. 404 с.

53. Ван Фо Фы Г.А. Конструкции из армированных пластмасс. Киев: Техшка, 1971.-220 с.

54. Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов. Киев: Наук, думка, 1971.-232 с.

55. Ванин Г.А. Микромеханика композитных материалов. Киев: Наук, думка, 1985.-304 с.

56. Васильев В.В. Оптимальное проектирование безмоментных армированных оболочек вращения // В кн.: Исследования по упругости и пластичности. -JI.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.-№ 13.-С. 7- 13.

57. Васильев В.В., Елпатьевский А.Н. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов. М.: Машиностроение, 1972. - 168 с.

58. Васильев В.В., Иванов В.Н., Миткевич А.Б. Проектирование композитного днища баллонов постоянного давления в окрестности полюсного отверстия // Механика композитных материалов. 1987. - № 6. - С. 1115-1117.

59. Васильев В.В., Марциновский В.В. Об одном классе оптимальных тонкостенных конструкций из армированных материалов // Проектирование оптимальных конструкций: Межвуз. сб. Куйбышев: Изд-во Куйбышев, авиац. ин-та, 1973.-Вып. 1.-С. 10-18.

60. Васильев В.В., Марциновский В.В. Оптимальное проектирование композитных материалов при плоском напряженном состоянии // Проектирование, расчет и испытание конструкций из КМ. М.: ЦАГИ, 1978. - Вып. 6. - С. 141-152.

61. Васильев В.В., Поляков В.А., Портнов Г.Г. и др. Оптимальная вращающаяся оболочка из композита, наполненная жидкостью // Механика композитных материалов. 1982. - № 1. - С. 85 - 92.

62. Васильев Ф.П. Численные методам решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.-520 с.

63. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М. - Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1949. - 784 с.

64. Волоконные композиционные материалы / Под ред. Дж. Уитона, Э. Скала. -М.: Металлургия, 1978.-240 с.

65. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. О рациональном армировании пластин, теряющих устойчивость // Прикладная механика. 1971. - Т. 7. - Вып. 11.— С. 70-77.

66. Ву Э.М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред // В кн.: Композиционные материалы. Т. 2. Механика композиционных материалов / Под ред. Сендецки. -М.: Мир, 1978. - С. 401 - 491.

67. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974. - 272 с.

68. Ганеев М.С., Корнишин М.С., Малахов В.Г. Равнопрочные упругие оболочки вращения //Тр. семинара по теории оболочек. Казань: Изд-во Казан, физ.-техн. ин-та АН СССР. - 1973. - Вып. 3. - С. 92 - 106.

69. Ганеев М.С., Малахов В.Г. Равнопрочные упругопластические оболочки вращения переменной толщины // Исследования по теории оболочек / Тр. семинара по теории оболочек. Казань: Изд-во Казан, физ.-техн. ин-та. -1976.-Вып. 10.-С. 143- 152.

70. Гнуни В.Ц., Ншанян Ю.С. О задаче синтеза анизотропных пластин переменной толщины (прочность, устойчивость, колебания) // Проблемы машиностроения. 1977. - Вып. 5. - С. 70 - 76.

71. Гололобов В.И., Ильин JI.A. Определение толщины равнонапряженных упругих оболочек вращения // Прикл. механика. 1970. - Т. 6, вып. 7. - С. 58 -63.

72. Голушко С.К. Две задачи рационального проектирования армированных оболочек вращения. Красноярск, 1986. - С. 8 - 14 - (Препринт,/ ВЦ СО АН СССР; № 1).

73. Голушко С.К. Проектирование тонкостенных оболочек с равнонапряженной арматурой. Красноярск, 1987. - С. 29 - 32 - (Препринт / ВЦ СО АН СССР; № 1).

74. Голушко С.К. Рациональное проектирование тонкостенных осесимметрич-ных армированных оболочек: Автореф. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1991.- 16 с.

75. Голушко С.К. Рациональное проектирование тонкостенных осесимметрич-ных композитных оболочек // Численные методы механики сплошной среды / Тез. докл. III Всес. Школы молодых ученых (п. Дюрсо 27.05. 01.06.91) -Красноярск, 1991.-С. 120- 122.

76. Голушко С.К., Немировский Ю.В. О рациональной намотке армированных оболочек вращения // Инж.-физ. сборник. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1985.-Ч. 1.-С. 91-96.

77. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Об одном подходе к рациональному проектированию оболочек вращения // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Матер. X Всес. конф. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1988. - С. 58 - 64.

78. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Обзор и анализ подходов к проблеме рационального проектирования армированных оболочек. Красноярск, 1988. -32 с. - (Препринт / ВЦ СО АН СССР; № 16).

79. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. 2-е изд. М.: Наука, 1976.-512 с.

80. Горячев О.А. Об одном методе оптимального распределения материала в тонкой упругой оболочке // Вопросы прочности элементов авиационных конструкций / Тр. Куйбышев, авиац. ин-та. 1971. - Вып. 48. - С. 105 - 112.

81. Грещук Л.Б. О видах разрушения однонаправленных композитов при сжатии // В кн.: Прочность и разрушение композитных материалов. Рига: Зинатне, 1983.-С. 304-312.

82. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наук, думка, 1973. - 228 с.

83. Григорьев А.С. Изгиб круглой защемленной пластины за пределом упругости // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение. 1962. - № 6.

84. Григорьев А.С. Изгиб круглой плиты при линейном упрочнении материала // Инженерный сборник. 1952. - Т. 13.

85. Григорьев А.С. Изгиб круговых и кольцевых пластин переменной и постоянной толщины за пределами упругости // Инженерный сборник. 1954. - Т. 20.

86. Григорьев А.С. О плитах равного сопротивления изгибу // Инж. сборник. -1959.-Т. 25.

87. Гуревич В.И., Калинин B.C. Формы оболочек вращения, деформирующихся строго без изгиба при равномерном давлении // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 256, №5.-С. 1085- 1088.

88. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988. - 334 с.

89. Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.

90. Джеральд Г., Лакшмикантам К. Оптимальные сосуды давления из анизотропных материалов // Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Сер. Е. Прикл. механика. -1968.-Т. 33, №3.-с. 116-172.

91. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979. - 238 с.

92. Джураев Т.Д. Системы уравнений составного типа. М.: Наука, 1972. -228с.

93. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. - 567 с.

94. Дриц М.Е., Свидерская З.А., Елкин Ф.М., Трохова В.Ф. Сверхлегкие конструкционные сплавы. М.: Наука, 1972. - 143 с.

95. Езовитов А.С. Цилиндрическая оболочка, равнопрочная в меридиональном направлении // Гидроаэромеханика. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1966. - Вып. 3.

96. Жаворонков Н.М., Фридляндер И.Н., Шалин Р.Е. Композиционные материалы важнейший фактор технического прогресса // Вестник АН СССР. -1987.-№8.-С. 77-83.

97. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. М.: Сов. радио, 1973. -311 с.

98. Зенкевич О. Методы конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541 с.

99. Зенкевич О., Чанг Ю. Методы конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. - 239 с.

100. Зиккел И. Равнопрочные сосуды давления // Ракетная техника и космонавтика. 1962. - № 6. - С. 120 - 122.

101. Иванов Г.В. О вычислении оптимальной переменной толщины оболочки // Проблемы механики деформируемого твердого тела. JL: Стройиздат, 1970.-С. 171-176.

102. Иванов Г.В. Оптимальная переменная толщина оболочек вращения // Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. - С. 691 - 695.

103. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. - 346 с.

104. Кайзер (Kyser А.С.) Равнонапряженный вращающийся диск, навитый из волокон // Ракетная техника и космонавтика. 1965. - Т. 3, № 7. Журнал амер. ин-та аэронавтики и космонавтики. - С. 127 - 131, пер. с англ.

105. Калинин И.Н., Ленкин И.Б. Оптимизация оболочек кусочно-постоянной толщины при ограничениях по прочности // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. -№ 6. - С. 89 - 94.

106. Калиткин Н.Н. Численные методы М.: Наука, 1978. - 512 с.

107. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. - 260 с.

108. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Физматгиз, 1961. 704 с.

109. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.-744 с.

110. Карпинос Д.М., Максимович Г.Г., Кадыров В.Х., Лютый Е.М. Прочность композиционных материалов. Киев: Наук, думка, 1978. - 236 с.

111. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. -487 с.

112. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. -420 с.

113. Кашталян Ю.А. Характеристики упругости материалов при высоких температурах. Киев: Наук, думка, 1970. - 112 с.

114. Колеров Н.Н. Расчет и проектирование баллонов из композиционных материалов // Проектирование, расчет и испытания конструкций из КМ. М.: ЦАГИ, 1978.-Вып. 6.-С. 153- 160.

115. Колпашников А.И., Арефьев Б.А., Мануйлов В.Ф. Деформирование композиционных материалов. М.: Металлургия, 1982. - 248 с.

116. Колпашников А.И., Мануйлов В.Ф., Ширяев Е.А. Армирование цветных металлов и сплавов волокнами. М.: Металлургия, 1974. - 248 с.

117. Комков М.А. Равнонапряженная торовая оболочка давления, изготовленная методом намотки из однонаправленного стеклопластика. М.: МВТУ им. Баумана, 1979. - № 17. - С. 75 - 83.

118. Композиционные материалы. Справочник. Киев: Наук, думка, 1985. -592 с.

119. Композиционные материалы: Справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.; Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. -М.: Машиностроение, 1990. 512 с.

120. Конкин А.А, Азарова М.Т., Волкова Н.С. и др. Углеродные волокнистые материалы // Хим. волокна. 1977. - № 3. - С. 65 - 66.

121. Конкин А.А. Углеродные и другие жаростойкие волокнистые материалы. -М.: Химия, 1974. -376 с.

122. Коппенфельд В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: Иностр. лит., 1963. - 408 с.

123. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.-274 с.

124. Кошур В.Д, Немировский Ю.В. Проект сопла Лаваля, реализующий строго безмоментное состояние // Проблемы прочности. 1974. - № 12. - С. 66 - 72.

125. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

126. Красносельский М.А, Вайникко Г.М. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. - 455 с.

127. Крауч С, Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.

128. Крашаков Ю.Ф. О проектировании оболочечных конструкций из композиционных материалов // Тр. XXI научн. конф. Моск. физ.-техн. ин-та. Сер. Аэрофиз. и прикл. матем. Долгопрудный. - 1976. - С. 101 - 104.

129. Крейдер К.Г, Прево К.М. Алюминий, упрочненный борными волокнами // В кн.: Композиционные материалы. Т. 4. Композиционные материалы с металлической матрицей. М.: Машиностроение, 1978. - С. 419 - 498.

130. Кристенс Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 334 с.

131. Кудрик П.И. Об одном достаточном условии существования дополнительной нагрузки, вызывающей в оболочке безмоментное состояние // Концентрация напряжений. Киев: Наук, думка, 1965. - Вып. 1.

132. Кулкарни С, Фредерик Д. Ортотропная оболочка вращения переменной толщины с исключением изгиба // Прикл. механика. 1972. - № 4. - С. 284 -285.

133. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. - 431 с.

134. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

135. Лебедев А.А, Портной К.И. Магниевые сплавы. (Свойства и технология). Справочник. М.: Металлургиздат, 1952. - 736 с.

136. Ломакин В.А. Зависимость прочности композитных материалов от структурных параметров // В кн.: Разрушение композитных материалов. Рига: Зинатне, 1979.-С. 88-93.

137. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. - 367 с.

138. Лукошевичус Р.С. Минимизация массы армированных прямоугольных сжатых в двух направлениях пластинок, работающих на устойчивость // Механика полимеров. 1976. - № 6. - С. 1064 - 1068.

139. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. - 599 с.

140. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, - 520 с.

141. Малахов В.Г. Равнопрочные составные упругопластические оболочки вращения // Статика и динамика / Тр. семинара по теории оболочек. Казань: Изд-во Казан, физ.-техн. ин-та. - 1979. - Вып. 12. - С. 153 - 160.

142. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968. - 400 с.

143. Малков В.П., Бек Л.П. Оптимальное распределение материала в составных осесимметричных тонкостенных конструкциях // Методы решения задач упругости и пластичности. Горький, 1972. - Вып. 6. - С. 142 - 148.

144. Малков В.П., Строгин Р.Г. Оптимизация конструкций по весу из условий прочности // Методы решения задач упругости и пластичности. Горький, 1971.-Вып. 4.-С. 138-149.

145. Малков В.П., Тарасов В.Л. Дискретно равнонапряженная тонкостенная конструкция и конструкция минимального веса // Изв. АН СССР. МТТ. -1974.-№5.-С. 124- 129.

146. Малков В.П., Туринцева Г.Д. Оптимизация сосудов под давлением из условий прочности // Методы решения задач упругости и пластичности. -Горький, 1970. Вып. 2. - С. 113 - 122.

147. Малков В.П., Угодников А.Г. К вопросу оптимизации конструкций из условий прочности // Методы решения задач упругости и пластичности / Учен, зап. Горьк. ун-та. 1971. - Вып. 142. - С. 93 - 101.

148. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. М.: Наука, 1981.-288 с.

149. Малмейстер А.К. Геометрия теорий прочности // Механика полимеров. -1966.-№4.-С. 519-534.

150. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. - 572 с.

151. Маркетос И. Оптимальный тороидальный сосуд, работающий под давлением, образуемый волокнами, навитыми вдоль геодезических линий // Ракетная техника и космонавтика. 1963. - № 8. - С. 223 - 226.

152. Мармер Э.И. Углеграфитовые материалы: Справочник. М.: Металлургия, 1973.- 136 с.

153. Мартыненко М.Д. Об одной обратной задаче безмоментной теории оболочек вращения, находящихся в температурном поле // Докл. АН БССР. -1972.-Т. 16, №6.

154. Мартыненко М.Д. Определение безмоментной формы оболочки под действием заданной внешней нагрузки // Вопросы математической физики и теории функций. Киев, 1964. - Вып. 1.

155. Мартыненко М.Д., Мокрик П.И. Об одной обратной задаче теории оболочек // Докл. АН УССР. 1970. - Сер. А. - № 10.

156. Марциновский В.В. Оптимальное проектирование тонкостенных конструкций из композиционных материалов // Проектирование, расчет и испытание конструкций из КМ. М.: ЦАГИ, 1982. - Вып. 9. - С. 91 - 99.

157. Материалы в машиностроении: Справочник / Под ред. В.И. Кудрявцева: В 5-ти т. М.: Машиностроение, 1967. - Т. 1. - 303 с.

158. Механика композиционных материалов и элементов конструкций. Т. 1. Механика материалов / А.Н. Гузь, Л.П. Хорошун, Г.А. Ванин и др. Под ред. Л.П. Хорошуна. Киев: Наук, думка, 1982. - 367 с.

159. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.-400 с.

160. Моорлат П.А, Портнов Г.Г. Анализ энергоемкости хордовых маховиков // Механика композитных материалов. 1985. - № 5. - С. 881 - 887.

161. Муштари Х.М. К теории изгиба оптимальных по весу пластин из композитных материалов // Прикл. механика. 1967. - Т. 3, вып. 4. - С. 1 - 7.

162. Найфе А. Введение в методы возмущений. -М.: Мир, 1984. 536 с.

163. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 455 с.

164. Немировский Ю.В. Безмоментные оболочки с равнонапряженной арматурой // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - № 3. - С. 65-73.

165. Немировский Ю.В. Безмоментные пластические осесимметричные оболочки // Механика деформируемых тел и конструкций. Новосибирск: Наука, 1975.-С. 327-333.

166. Немировский Ю.В. К вопросу об оптимальной укладке арматуры в пластинках // Механика полимеров. 1978. - № 4. - С. 675 - 682.

167. Немировский Ю.В. К теории строго безмоментных упругих и термоупругих оболочек // Механика твердого тела: Докл. польско-советского симпозиума, Новосибирск, 29-31 окт. 1974 г. Варшава: Гос. научн. изд-во, 1978. -С. 231-242.

168. Немировский Ю.В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров. 1972. - № 5. - С. 65 - 73.

169. Немировский Ю.В. Некоторые вопросы разрушения тонкостенных изгибаемых конструкций из армированных пластиков // Механика композитных материалов. 1979. - № 2. - С. 326 - 330.

170. Немировский Ю.В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // Прикладная механика и техническая физика. 1969. - № 6. - С. 81 -89.

171. Немировский Ю.В. Об условии пластичности (прочности) для армированного слоя // Прикл. механика и техн. физика. 1969. - № 5. - С. 81 - 88.

172. Немировский Ю.В. Оболочки абсолютно минимального веса // Механика деформируемых сред. Куйбышев, 1978. - Вып. 3. - С. 3 - 78.

173. Немировский Ю.В. Оптимальное проектирование пологих оболочек и пластин из волокнистых композитов // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Матер. VIII Всес. конф. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1984. - С. 212 - 222.

174. Немировский Ю.В. Рациональное проектирование армированных конструкций с точки зрения прочности и устойчивости // Прикл. пробл. прочности и пластичности. 1977. - Вып. 6. - С. 70 - 80.

175. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Изгиб армированных криволинейных стержней и оптимизация их структуры по начальному разрушению // Методы решения задач упругости и пластичности. Горький: Изд-во Горьк. унта, 1973. - Вып. 7. - С. 106. - 124.

176. Немировский Ю.В., Резников Б.С. О равнонапряженных пластинках и оболочках // Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. - С. 199 - 203.

177. Немировский Ю.В., Резников Б.С. О рациональном проектировании по начальному разрушению армированных цилиндрических оболочек // Тез. докл. Всес. научн.-техн. конф. «Проблемы механики конструкций из композитных материалов». Челябинск, 1975. - С. 93.

178. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Оптимизация армированных балок по начальному разрушению // Расчеты и конструирование изделий из стеклопластиков: Метод, пособие. Киев: Наук, думка, 1972. - С. 14-27.

179. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск: Наука, 1986. - 168 с.

180. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Разрушение армированных пластин с вырезами // Механика композитных материалов. 1980. - № 3. - С. 489 -499.

181. Немировский Ю.В., Семисалов А.С. Идеально пластические безмомент-ные сосуды высокого давления // Прикл. механика. 1985. - Т. 21, № 10. -С. 46-53.

182. Немировский Ю.В., Семисалов А.С. Строго безмоментные оболочки нулевой гауссовой кривизны в условиях установившейся ползучести // Проблемы прочности. 1978. - № 11. - С. 39 - 44.

183. Немировский Ю.В., Старостин Г.И. Безмоментное сопряжение армированных оболочек вращения // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. - № 5. - С. 73 -86.

184. Немировский Ю.В., Старостин Г.И. Безмоментные армированные осе-симметричные оболочки // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - № 3. - С. 82 - 91.

185. Немировский Ю.В., Старостин Г.И. Безмоментные упругие оболочки нулевой гауссовой кривизны // Прикл. механика и техническая физика. 1975. -№ 6. - С. 103-115.

186. Немировский Ю.В., Старостин Г.И. О возможности реализации безмо-ментного состояния оболочек путем армирования // Докл. АН СССР. 1971. -196.-4.-С. 797-800.

187. Немировский Ю.В., Шкутин Л.И. Проектирование безмоментных осе-симметричных резервуаров из армированного наследственно-упругого материала // Механика полимеров. 1972. - № 6. - С. 1081 - 1086.

188. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О влиянии структуры армирования на напряженное состояние и деформативность плит из железобетонов и стеклопластиков // Труды НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 1998. - Вып. 2 (2).-С. 30-38.

189. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О влиянии термочувствительности и структуры армирования на несущую способность металлокомпозитных дисков газовых турбин // Механика композитных материалов. 2000. - Т. 36. -№6.-С. 801-811 с.

190. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О некоторых задачах целевого управления структурами армирования осесимметрично изгибаемых кольцевых пластин // Проблемы прочности и пластичности. 2000. - В. 61. - С. 36 -52.

191. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О некоторых особенностях уравнений оболочек, армированных волокнами постоянного поперечного сечения // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. - Т. 3. - № 2. -С. 20-40.

192. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О некоторых свойствах решений плоских термоупругих задач рационального армирования композитных конструкций // Прикл. математика и механика. 1997. - Т. 61. - В. 2. - С. 312 -321.

193. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О некоторых свойствах решения задачи поперечного изгиба пластины с равнонапряженной арматурой // Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. - Т. 2. - № 2. - С. 15-28.

194. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О проектировании прямоугольных и многоугольных плоских композитных конструкций с равнонапряженной арматурой // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1998. - В. 58. -С. 78-92.

195. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Об одной задаче целевого управления структурами армирования термоупругих плоских композитных конструкций // Механика композитных материалов и конструкций. 1998. - Т. 4. -№ 3. - С. 9 - 27.

196. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Применение методов теории возмущений в задачах поперечного изгиба пластин с равнонапряженной арматурой // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. - Т. 3. -№3.-С. 3-22.

197. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Применение методов теории возмущений в упругих задачах для плоских композитных конструкций с равно-напряженной арматурой // Механика композитных материалов и конструкций. 2000. - Т. 6. - № 2. - С. 162 - 180.

198. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Проектирование плоских термоупругих композитных конструкций с равнонапряженной арматурой // Прикл. механика и техническая физика. 2001. - Т. 42. - № 2. - С. 213 - 223.

199. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Проектирование плоских элементов железобетонных строительных конструкций с равнонапряженной арматурой. Сообщение 1 (Сообщение 2) // Изв. вузов. Строительство. 1998. - № 11 -12.-С. 14-21 (- 1999. -№ 1.-С. 7- 14).

200. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Проектирование прямоугольных и полигональных поперечного изгиба пластин с равнонапряженной арматурой // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. - Т. 4. - № 4.-С.21 -41.

201. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Проектирование тонких строго безмоментных оболочек с равнонапряженной арматурой // Изв. вузов. Строительство. 2000. - № 4. - С. 13 - 20.

202. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Рациональное армирование дисков газовых турбин // Научный вестник НГТУ. 2000. - № 1 (8). - С. 91 - 109.

203. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Рациональное армирование пластин при осесимметричном поперечном изгибе // Изв. вузов. Строительство. -1996.-№2.-С. 23-27.

204. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Сопряженные задачи осесимметрич-ного поперечного изгиба пластин с равнонапряженной арматурой // Изв. вузов. Строительство. 1997. -№ 3. - С. 14-19.

205. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Теплопроводность волокнистых оболочек // Теплофизика и аэромеханика. 1998. - Т. 5. - № 2. - С. 215 -235.

206. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Теплопроводность оболочек, армированных волокнами постоянного и переменного по площади поперечного сечения // Математические методы и физико-механические поля. 1998. - Т. 41. -№ 2. - С. 132- 150.

207. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Численное интегрирование двумерных краевых задач с большими градиентами решения // Вычислительные технологии. 2000. - Т. 5, № 4. - С. 82 - 96.

208. Ниордсон Ф.И., Педерсон П. Обзор исследований по оптимальному проектированию конструкций // Механика. 1973. - № 2 (138). - С. 136 - 157.

209. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

210. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. - 656 с.

211. Образцов И.Ф, Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977.- 144 с.

212. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1963. - 420 с.

213. Огибалов П.М, Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969.-695 с.

214. Перекальский С.М. Упругие свойства и прочность анизотропных стеклопластиков при кратковременном нагружении // Тр. Челябинск, политехнич. ин-та,- 1974.-№ 151.-С. 189- 194.

215. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.-400 с.

216. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. - Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит, 1949. - 208 с.

217. Подстригач Я.С, Ломакин В.А, Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. - 368 с.

218. Пономарев С.Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. III. -М.: Гос. научно-техн. изд-во машиностроит. лит, 1959. 1120 с.

219. Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г, Гамкрелидзе Р.В, Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. - М.: Наука, 1983. -392 с.

220. Портнов Г.Г. Оценка энергоемкости вращающихся тел по интегральной характеристике их напряженного состояния // Проблемы прочности. 1987. -№2.-С. 7- 12.

221. Портнов Г.Г, Кулаков В.Л. Удельная массовая энергоемкость дисковых маховиков из композитов // Механика композитных материалов. 1980. - № 5.-С. 888-894.

222. Портной К.И, Салибеков С.Е, Светлов И.Л, Чубаров В.М. Структура и свойства композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1979. - 255с.

223. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. -М.: Мир, 1977.- 109 с.

224. Протасов В.Д., Георгиевский В.П. Анизотропия упругих и прочностных свойств армированных пластиков // Механика полимеров. 1967. - № 3. - С. 461 -466.

225. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.-744 с.

226. Работнов Ю.Н. О диске равного сопротивления // Прикл. матем. и механ. 1948. - Т. 12, вып. 4. - С. 463 - 464.

227. Рассказов А.О., Дехтяр А.С. Оптимальное проектирование многослойных пластин // Проблемы прочности. 1978. - № 9. - С. 64 - 67.

228. Растригин JI.A. Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем. Рига: Зинатне, 1965. - 212 с.

229. Резников Б.С. Оптимальное проектирование по начальному «разрушению» оболочек, подкрепляющих осесимметричные полости // Физ.-техн. пробл. разработки полезных ископаемых. 1976. - № 6. - С. 3 - 9.

230. Резников Б.С. Рациональное проектирование по начальному разрушению ребристых армированных оболочек // Проблемы прочности. 1980. - № 1. -С. 108-113.

231. Резников Б.С. Рациональное проектирование по условиям разрушения термоупругих армированных оболочек // Механика композитных материалов. 1980. -№ 4. - С. 661 - 668.

232. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М.: Наука, 1976. - 266 с.

233. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Оптимальное проектирование деформируемых тел // Итоги науки и техники: Механика деформируемого твердого тела. -М.: ВИНИТИ, 1978.-Т. 12.-С. 5-90.

234. Ривлин Р., Пипкин А. Проектирование сосудов высокого давления минимального веса, усиленных нерастяжимыми нитями // Тр. Амер. об-ва инж,-мех. Сер. Е. Прикл. механаника. 1963. - Т. 30, № 1. - С. 123 - 129.

235. Рикардс Р.Б. Об оптимальном пространственном армировании стержня, работающего на устойчивость и колебания. 1. Конечные элементы балки Тимошенко // Механика композитных материалов. 1980. - № 4. - С. 678 -684.

236. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. -Рига: Зинатне, 1974. 310 с.

237. Рожваны Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем. — М.: Стройиздат, 1980. 316 с.

238. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. -М.: Наука, 1969.-592 с.

239. Розани Р. Поведение равнонапряженной конструкции и ее отношение к конструкции минимального веса // Ракетная техника и космонавтика. 1965. -№ 12.-С. 115-124.

240. Ромашов Ю.П., Черевацкий С.В. Проектирование маховиков, изготовленных из волокнистых материалов // Проблемы прочности. 1983. - № 4. - С. 13-17.

241. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. - 616 с.

242. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-592 с.

243. Самсонов В.И., Шульгин А.В. Устойчивость композитных оболочек при термосиловых воздействиях // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Матер. XIII Межресп. конф. Новосибирск, 1995. -С. 150- 154.

244. Семисалов А.С. Точное решение задачи о неупругом деформировании оболочек вращения равномерным давлением // Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1985. Вып. 71. - С. 97 - 104.

245. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. IV. М. - Л.: Гос. изд-во тех-нико-теоретич. лит., 1959. - 804 с.

246. СНиП 2.03.01-84. Бетонные и железобетонные конструкции / Госстрой СССР М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1989. - 80 с.

247. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981. - 112 с.

248. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш. школа, 1969. - 608с.

249. Старостин Г.И. Реализация безмоментного напряженного состояния в тонких упругих армированных оболочках: Дис. . канд. физ.-мат. наук. -Новосибирск, 1975.

250. Степанов А.В. Причины особенностей разрушения упругоанизотропных тел//Изв. АН СССР. Сер. физ. 1950. - Т. 14, № 1.-С. 122-141.

251. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах (информационно-статистические алгоритмы). -М.: Наука, 1978. 240 с.

252. Тарнопольский Ю.М., Кинцис Т.Я. Методы статических испытаний армированных пластиков. 3-е изд. перераб. и доп. - М.: Химия, 1981.-271 с.

253. Тарнопольский Ю.М., Розе А.В. Особенности расчета деталей из армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1969. - 274 с.

254. Тетере Г.А., Рикардс Р.Б., Нарусберг B.J1. Оптимизация оболочек из слоистых материалов. Рига: Зинатне, 1978. - 240 с.

255. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-735 с.

256. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Иностр. лит., 1960. - 300 с.

257. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982.-432 с.

258. Физические свойства сталей и сплавов, применяемых в энергетике: Справочник. М. - Л.: Физматгиз, 1963. - 708 с.

259. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. Л.: Физматгиз, 1958.-608 с.

260. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. -М.: Физматгиз, 1960. 656 с.

261. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. -М.: Мир, 1982.-232 с.

262. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. - 312 с.

263. Цай С., Хан X. Анализ разрушения композитов // В кн.: Неупругие свойства композиционных материалов. М.: Мир, 1978. - С. 104 - 139.

264. Черевацкий С.Б. О нитевых поверхностях вращения, нагруженных по осесимметричному закону // Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1967. Вып. 5. - С. 554 - 573.

265. Черевацкий С.Б. О произвольных нитевых оболочках вращения, нагруженных давлением // Прочность и динамика авиационных двигателей: Сб. статей. М.: Машиностроение, 1966. - Вып. 4. - С. 20 - 30.

266. Черевацкий С.Б., Григорьев A.M. К исследованию нодоидных и ундоло-идных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970.-Вып. 6-7.-С. 251 -275.

267. Черевацкий С.Б., Ромашов Ю.П. К исследованию оболочек вращения, образованных намоткой одного семейства волокон // Прочность и динамика авиационных двигателей: Сб. статей. -М.: Машиностроение, 1966. Вып. 4. - С. 5 - 19.

268. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // В сб. ВИНИТИ: Математический ана-лиз.-М.; 1977. Т. 14.-С. 101-167.

269. Чикерел P., By Я. Формы оболочек, допускающие безмоментное состояние //Прикл. механика. 1970.-Т. 37, № 1.-С. 211 -214.

270. Шерч Г., Бергграф О. Аналитическое исследование оптимальной формы сосудов давления, навитых из волокон // Ракетная техника и космонавтика. -1964.-№5.-С. 33 -47.

271. Ширко И.В. О форме равнопрочной пластинки // Инж. сборник. 1965. -Т. 5, вып. 2.-С. 293-298.

272. Ширко И.В. Осесимметричный изгиб равнопрочной цилиндрической оболочки // Прикл. механика. 1969. - Т. 5, вып. 4. - С. 46 - 53.

273. Янковский А.П. Рациональное армирование пластин при продольном и поперечном нагружении: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Новосибирск, 1996. -210 с.

274. Янковский А.П. Сравнительный анализ моделей механического поведения волокнистых композиций // Труды НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 1998.-Вып. 3 (З).-С. 15-23.

275. Chiao Т.Т. Fiber Composite Materials Development for Flywheel Application // Proc. of the 1980 Flywheel Technol. Sympos., Scottsdale Arizona. 1980. - P. 22 - 32.

276. Chicurel R. Shells of revolution free bending under uniform axial loading // Intern. J. of solids and structures. 1972. - V. 8. -N 9.

277. Cooper A.A.G., Wu E.M. Trajectory's fiber reinforcement of composites // In: Composite Materials in Engineering Design: Proc. 6th Sympos., St. Louis, 1973. -P. 377-382.

278. Coppa A.P. New Developments in Composite Flywheel Contatiment // II European Symposium of Flywheel Energy Storage Proceedings, Torino. May 9 -13. 1983.-P. 207-222.

279. Home M.R. Shells with zero bending stresses // J. Mech. and Phys. of Solids. -1954.-V. 2.-N 2.

280. Kardos G. Stress concentrations in composite materials // Spec. Publ. / US Dept. Commerce Nat. Bur. Stand. 1877. - N 487. - P. 121 - 134.

281. Kulkarni S.V., Chicurel R., Frederick D. Some ortotropic shells with bending suppressed // J. of the Engineering Mech., Devision ASCE. 1973. - V. 2. - N EM3.

282. Murthy M.V., Kuisalaas J. Toroidal type shells of bending under uniform normal pressure // J. of the Franklin institute. 1966. - V. 282. - N 4.

283. Rosen B.M. Fiber Composite Materials // Amer. Soc. for Metals. 1965. - 6, N4.-P.37.

284. Schmidt L.A. Structural design by systematic synthesis // Proceedings of the 2-th National Conference on Electronic Computation (American Society of Civil Engineers. New York, 1960). - P. 105 - 132.

285. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes // J. Сотр. Phys. 1988. - Vol. 77. - N 2. - P. 439 -471.

286. Tauchert T.R., Hemp W.S. Optimum plastic design of a variable thickness orthotropic plate under in-plane loading // Engng. Optim. 1979. - V. 4, N 1. - P. 298-312.

287. Андреев A.H., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость и колебания. Новосибирск: Наука, 2001. -287 с.

288. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. Оптимальное проектирование неоднородных слоистых куполов // Изв. вузов. Строительство. 1999. - № 7. - С. 20-29.

289. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. Оценки и критерий оптимального проектирования жесткопластических элементов конструкций минимального объема // Изв. вузов. Строительство. 1996. - № 3. - С. 20 - 25.

290. Брызгалин Г.И., Немировский Ю.В. О проектировании армированных трехслойных пластин // Пластинки и оболочки: Тр. VIII Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек. М.: Наука, 1973. - С. 622 - 626.

291. Вильяме М., Андерсон Дж. Адгезионная механика разрушения // Механика разрушения. Разрушение материалов. М.: Мир, 1979. - С. 216 - 238 (Механика. Новое в зарубежной науке. - В. 17).

292. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Структурная теория армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1978.-192 с.

293. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Рациональное проектирование армированных конструкций. Новосибирск: Наука, 2002. - 488 с.

294. Hill R. Theory of mechanical properties of fiber-strength thened materials. 1. Elastic behaviour // Journ. of the Mech. and Phys. of Solids. 1964. - Vol. 12, No 4.-P. 199-212.

295. Hashin Z., Rosen B.W. The elastic moduli of fibre-reinforced materials // ASME Journ. of Appl. Mech. 1964. - Vol. 31. - P. 223 - 232.

296. Дыхне A.M. Проводимость двумерной двухфазной системы // ЖЭТФ. -1970.-№7.-С. 110-116.

297. Савин Г.Н., Хорошун Л.П. К вопросу об упругих постоянных стохастически армированных материалов // Механика слоистой среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. - С. 435 - 444.

298. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М. - Л.: ОГИЗ, 1947. - 355 с.

299. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. -268с.

300. Nemirovsky Yu.V. On the elastic-plastic behaviour of a reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. 1970. - Vol. 12. - P. 898 - 903.

301. Портнов Г.Г. Оценка энергоемкости вращающихся тел по интегральной характеристике их напряженного состояния // Проблемы прочности. 1987. -№2.-С. 7- 12.

302. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 455 с.

303. Композиционные материалы волокнистого строения / Под ред. И.Н. Францевича, Д.М. Карпиноса. Киев: Наук, думка, 1970. - 403 с.

304. Шленский О.Ф. Тепловые свойства стеклопластиков. М.: Химия, 1973. -220 с.

305. Справочник по композитным материалам: В 2-х кн. Кн. 1 / Под ред. Дж. Любина; Пер. с англ. А.Б. Геллера, М.М. Гельмонта; Под ред. Б.Э. Геллера. -М.: Машиностроение, 1988. 448 с.

306. Богомолова О.А, Немировский Ю.В. Расчет НДС и рациональное проектирование вращающихся дисков с защитными покрытиями // Моделирование в механике. СО АН СССР. 1990. - Т. 4, № 4. - С. 3 - 10.

307. Немировский Ю.В, Янковский А.П. Равнонапряженное армирование строго безмоментных упругих и неупругих оболочек при термосиловом на-гружении // Механика композиционных материалов и конструкций. 2003. -Т. 9, №3.-С. 342-375.

308. Янковский А.П. Влияние учета сжимаемости материала на упругопласти-ческий изгиб пластин // Труды НГАСУ. 2003. - Т. 6, № 6. - С. 81 - 97.

309. Горшков В.В. Анализ особенностей осесимметричного деформирования упругих композитных оболочек вращения: Автореф. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2004. - 20 с.

310. Баничук Н.В., Кобелев В.В. Оптимальное проектирование пластинок из слоистого композиционного материала, работающих в условиях плоского напряженного состояния // Теория пластин и оболочек. Матер. XIII Всесо-юзн. конф,-Таллин. 1983.-Ч. 1.-С. 90-95.

311. Комаров А.А. Проектирование равнопрочных конструкций // Тр. Куйбышевского авиац. ин-та: Тез. докл. Куйбышев. - 1966. - Вып. XXIII. - С. 31.

312. Аннин Б.Д. Оптимальное проектирование упругих анизотропных неоднородных тел // Теоретическая и прикладная механика. Тр. третьего национального конгресса (Варна, 13-16 сент., 1977), София. 1977. - Т. 1. - С. 275 - 279.

313. Черевацкий С.Б., Сегал В.Л., Макаров В.И. Расчет дисков, изготовленных методом непрерывной намотки // Прочность и динамика авиационных двигателей: Сб. статей. М.: Машиностроение, 1966. - Вып. 4. - С. 31 - 35.

314. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О границах применимости некоторых теорий расчета изгибаемых армированных пластин // Научный вестник НГТУ. 2004. - № 3 (18).-С. 93- 115.

315. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука, 1997. - 414 с.

316. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988. 272 е.: ил. - (Б-ка расчетчика / Ред. кол.: Н. Н. Малинин (пред.) и др.).

317. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Уточнение асимптотических разложений решений задачи теплопроводности анизотропных пластин // Математические методы и физико-механические поля. 2005. - Т. 48, № 2. - С. 157 -171.