Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ УПРУГИХ КОМПОЗИТНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2005

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Немировский Юрий Владимирович

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Аннин Борис Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор Андреев Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Шапеев Василий Павлович

Ведущая организация: Институт машиноведения им. A.A. Благо-

нравова РАН (г. Москва)

Защита состоится « 25 » ноября 2005 года в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 003.35.01 Института теоретической и прикладной механики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Институтская, 4/1. Факс: (383) 330-72-68 E-mail: shulgin@itam.nsc.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ СО РАН.

Автореферат разослан октября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003.35.01 доктор физико-математических наук, профессор / В. И. Самсонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Тонкостенные пластины и оболочки являются важнейшими элементами многих современных конструкций. Ведущую роль они играют в авиационной и ракетно-космической технике, судо- и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве. Пластины и оболочки широко используются в качестве корпусов и днищ сосудов давления, резервуаров и емкостей для хранения жидких, газообразных и сыпучих продуктов, в конструкциях перекрытий и защитных ограждений. Значительное повышение требований, предъявляемых к современным конструкциям, заставило, с одной стороны, использовать при их изготовлении новые композиционные материалы (КМ), сочетающие высокую прочность и жесткость с другими ценными качествами: относительно малыми плотностью и теплопроводностью, высокой стойкостью к агрессивным средам, к высоким и сверхвысоким температурам и т.п., а с другой стороны — активизировать работы по оптимальному и рациональному проектированию композитных конструкций, с целью выявления и более полного использования их потенциальных возможностей. Широкое использование композитов в разнообразных изделиях современной техники поставило перед учеными и специалистами ряд принципиально новых проблем механики композитных конструкций. В большинстве современных технологических процессов, КМ создается одновременно с изготовлением самой конструкции, поэтому его физико-механические свойства заранее неизвестны, а их экспериментальное определение в полном объеме практически невозможно, что обуславливает важность теоретически х исследований. И хотя к настоящему времени достигнут значительный прогресс в развитии математического моделирования и методов расчета тонкостенных композитных конструкций, однако эта область механики деформируемого твердого тела остается еще весьма сложной и недостаточно изученной.

В связи с этим, разработка и сравнительный анализ уточненных теорий пластин и оболочек, структурных моделей композитов, учитывающих особенности реальной структуры, нелинейные процессы деформирования и разрушения, разработка методов решения прямых задач расчета и обратных задач рационального проектирования композитных конструкций, несомненно, являются акт];

БИБЛИОТЕКА 1

с.петвр«ак Ус^;'

оа тУшкгтЛ'

Следует отметить, что переход от классической теории пластин и оболочек к тем или иным уточненным теориям сопровождается не только увеличением порядка систем дифференциальных уравнений, но и качественным изменением структуры их решений, появлением новых быстро-возрастающих и быстроубывающих решений, имеющих ярко выраженный характер погранслоев. Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования краевых задач на таких классах жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений оказываются малопригодными, поэтому разработка эффективных численных методов решения краевых задач для уточненных теорий пластин и оболочек является также весьма важной и актуальной проблемой.

Актуальным является и применение уточненных теорий пластин и оболочек, структурных моделей КМ при решении практически важных задач расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) композитных конструкций, определении механизмов их разрушения.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ заключается в:

• исследовании проблемы деформирования упругих слоистых поли-армированных пластин и оболочек вращения на основе различных теорий, выявлении особенностей их поведения от структурных и механических параметров композиционных материалов;

• разработке эффективных алгоритмов и создании программного комплекса для решения краевых задач для жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих при анализе поведения композитных пластин и оболочек;

• разработке метода решения обратных задач рационального проектирования упругих армированных оболочек вращения, исследовании возможностей реализации в них рациональных напряженно-деформированных состояний.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ определяется следующими результатами, которые выносятся на защиту.

• Поставлены и решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния упругих композитных элементов конструкций различных геометрических форм: круглых и кольцевых

пластин, цилиндрических, конических, сферических, эллипсоидальных, параболических, тороидальных, нодоидных оболочек и комбинированных оболочечных конструкций. Проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и ряда уточненных теорий пластин и оболочек в геометрически линейной и нелинейной постановках.

• Впервые выполнено комплексное исследование влияния структурных и механических параметров композиционных материалов, порядка расположения армированных слоев, геометрии оболочек и вида нагружения на поведение таких конструкций. При анализе прочности слоистых композитных пластин и оболочек использован послойный структурный критерий прочности композиционного материала, что позволило вычислить нагрузки, определить зоны и механизмы начального разрушения, оценить эффективность работы каждого элемента композита.

• Разработан новый эффективный алгоритм и создан программный комплекс, основанный на методах дискретной ортогонализации и сплайн-кол локации, предназначенный для решения многоточечных краевых задач для жестких систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при анализе поведения композитных пластин и оболочек.

• Разработан метод решения обратных задач рационального проектирования тонкостенных упругих композитных оболочек при использовании критериев рациональности общего вида. Исследован ряд новых задач рационального проектирования армированных оболочек, когда в качестве критериев рациональности выступают требования равнонапряженности арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии оболочки.

• Для каждого из перечисленных критериев рациональности в моментной постановке получены условия разрешимости исходных систем уравнений, построены разрешающие системы уравнений относительно различных функций проектирования: толщины стенки и формы меридиана оболочки, углов и интенсивностей армирования композиционного материала.

• Получены новые классы аналитических решений для ососиммет-ричных армированных оболочек, комбинированных резервуаров и сосудов давления при использовании различных критериев рациональности. Показана эффективность конструкций с рациональными параметрами.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты работы могут служить методической основой при расчетах и проектировании широкой номенклатуры элементов конструкций оболочечного типа, изготавливаемых из слоистых и волокнистых композиционных материалов, и найти применение в конструкторских бюро и отраслевых НИИ авиа-, судо- и машиностроительного профиля.

Исследования выполнялись в соответствии с планами научно-исследовательских работ Института вычислительных технологий СО РАН по темам:

• "Разработка теории и алгоритмов численных методов решения задач математической физики и механики сплошной среды" (номер государственной регистрации 01. 9. 40 000848);

• "Качественные и численные методы исследования нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01. 99. 00 10290);

• 'Теоретические исследования моделей и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01. 2. 00 313336);

поддерживались грантами: РФФИ (проекты 00-15-96172, 05 01-04002); Федеральной целевой программы "Интеграция" (грант № 274); Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (№ НШ-2314. 2003. 1).

Результаты исследований нашли применение в учебном процессе Новосибирского государственного университета в виде специального курса "Прямые и обратные задачи механики композитов".

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, предельными переходами от моделей конструктивно-неоднородных анизотропных пластин и оболочек к классическим моделям однородных изотропных конструкций, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями и решениями пространственной теории упругости, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: III конференции молодых ученых и специалистов по механике композитных материалов (Рига, 1981); Республиканской научно-технической конференции по прикладной математике и механике (Томск, 1983); IX, X, XI, XV, XVII, XVIII, XIX Всесоюзных и Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Саратов, 1985; Красноярск, 1987; Волгоград, 1989; Новосибирск, 1997; 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005); I, III, IV Всесоюзных школах молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (Шушенское, 1987; Абрау-Дюрсо, 1991; 1992); Всесоюзной конференции "Оптимальное проектирование неупругих элементов конструкций" (Тарту, 1989); III Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1991); Международной научно-технической конференции "Проблемы техники и технологий XXI века" (Красноярск, 1994); Международной научно-технической конференции "Проблемы обеспечения качества изделий в машиностроении" (Красноярск, 1994); Международных конференциях "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященных 75 и 80-летию академика H.H. Янен-ко (Новосибирск, 1996; 2001); II и III Всероссийских семинарах "Проблемы оптимального проектирования сооружений" (Новосибирск, 1997; 2000); III Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 1997); Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997); Международной конференции "Мате-

матические модели сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа и машиностроении" (Казань, 1997); I, II, V Сибирских школах-семинарах "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997; 1998; 2001); Международной конференции "Симметрии в естествознании" (Красноярск, 1998); III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998); научных мероприятиях "Вычислительные технологии" (Новосибирск, 1998; 2000); Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998): VI Japan-Russia Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics (Japan, Nagoya, 1998); V Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1998); V, VI и VII научных конференциях "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 1999; 2001; 2003); Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000); Международных конференциях "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Алматы, 2002; 2004; Усть-Каменогорск, 2003); I, II, III Совещаниях Российско-Казахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям (Новосибирск, 2003; 2005; Алматы, 2004); I и II Russian German Advanced Research Workshops on Computational Science and High Performance Computing (Russia, Novosibirsk, 2003; Germany, Stuttgart, 2005).

В полном объеме материалы докторской диссертации докладывались и обсуждались на Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" Института вычислительных технологий СО РАН, Новосибирского государственного университета и Новосибирского государственного технического университета (руководители - академик Ю.И. Шокин и д.ф.-м.н., профессор В.М. Ковеня; Новосибирск, 2004); семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель — чл.-корр. РАН В.В. Шайдуров; Красноярск, 2004); Общеинститутском семинаре "Моделирование в механике" Института теоретической и прикладной механики СО РАН (руководитель — чл.-корр. РАН В М Фомин; Новосибирск, 2005).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано более 70 печатных работ. В автореферате приведен список, включающий 44 основные публикации.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа ' состоит из введения, восьми глав, заключения, библиографического списка, включающего 325 наименований. Общий объем диссертации составляет 400 страниц.

Автор считает своим долгом выразить глубокую и искреннюю признательность директору Института вычислительных технологий СО РАН академику Шокину Юрию Ивановичу за поддержку на всех этапах работы; д.ф.-м.н., профессору Немировскому Юрию Владимировичу за ценные научные консультации.

Автор благодарен своим ученикам: к.ф.-м.н. Горшкову В.В , к.т.н. Мержевичу В.В., аспирантам Баранову А.И., Морозовой Е.В., Одновалу C.B., Юрченко A.B. за плодотворную совместную работу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, приведено краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава диссертации посвящена вопросам моделирования свойств композитов. В § 1.1 обсуждаются два основных подхода при определении физико-механических свойств КМ: феноменологический и структурный. В рамках первого подхода армированные материалы моделируются однородной анизотропной средой с эффективными физико-механическими свойствами. Механические параметры материала определяются, при этом, из экспериментов. Поскольку КМ создается, как правило, одновременно с изготовлением конструкции, то его характеристики будут в общем случае функциями координат, что потребует проведения серий экспериментов для каждой точки конструкции, что практически невозможно реализовать.

Следует отметить, что в рамках феноменологического подхода остается неизвестной связь между средними напряжениями и деформациями

КМ и напряжениями и деформациями составляющих его компонентов. Такой подход не дает возможности оценить эффективность работы каждого элемента КМ, а следовательно, не позволяет ставить и решать задачи рационального проектирования композитных пластин и оболочек.

От этих недостатков свободен структурный подход. Физико-механические характеристики композита в этом случае удается выразить через характеристики его компонентов и структурные параметры армирования. В результате, по известным средним напряжениям и деформациям КМ, удается восстановить напряжения и деформации в связующем и армирующих элементах, что открывает широкие перспективы и возможности для улучшения свойств композитных конструкций.

К настоящему времени разработано большое число структурных моделей композитов. Первые модели, представляющие собой простое правило смеси, были предложены Фойгтом для осреднения матрицы жесткости и Рейссом для осреднения матрицы податливости. Далее этот подход развивали Д.С. Аболиньш, В.В. Болотин, Ф.Я. Булаве. А.К. Мал-мейстер, Ю.В. Немировский, A.J1. Рабинович, Дж. Сендецки, A.M. Скуд-ра, В.П. Тамуж, Ю.М. Тарнопольский, Г.А. Тетере и др., применявшие гипотезы Фойгта и Рейсса в различных комбинациях относительно направления армирования. Гипотеза об однородном НДС в структурных компонентах — основное предположение для этих моделей.

Более сложные модели упругого поведения композиционных материалов, учитывающие неоднородность полей структурных напряжений и деформаций, построены в работах Н.С. Бахвалова, Г.А. Ванина, Т. Ишика-вы, Р. Кристенсена, С. Кобаяши, В.Е. Победри, Ю.В. Соколкина, 3. Ха-шина, Р. Хилла, Л.П. Хорошуна, Т.Д. Шермергора, С. Штрикмана и др. Такие модели требуют значительного объема вычислений уже на стадии определения эффективных характеристик КМ, поэтому их использование при практических расчетах НДС многослойных конструкций с переменными параметрами армирования слоев не нашло пока широкого применения. Тем не менее, эти модели могут эффективно использоваться для оценки применимости используемых в расчетной практике приближенных моделей и их уточнения, когда это необходимо.

В § 1.2 приведены определяющие соотношения ряда структурных моделей КМ, которые широко используются в работе: нитяной

модели1, трех моделей Ю.В. Немировского: модели с одномерными волокнами (МОВ)2, уточненной модели с одномерными волокнами3, модели с двумерными волокнами (МДВ)4, модели В.В. Болотина (МБ)5.

Соотношения между осредненными напряжениями и деформациями в к-м полиармированном слое имеют вид:

А- к к , л к „к I „к о ..к лк /О

ааа = аааеаа + аа0е/30 + °аЗ ' 2еа0 ~ аав&> аа0 = <4 4а + + °33 " ^ ~ «30®.

7аЗ = 9аатаЗ + 9а/3Г/33' где коэффициенты матрицы жесткости зависят от структурных и механических параметров композиционного материала:

<9 = Ек, ик, ик,шк,шк, ы*,, фк),

Чка0 = Яар(Ек, Ек, ик, ик, Шк, Шк, 0&, фк).

В этих выражениях ака, ак0, тк3, ека, екр, 7к3 обозначают компоненты тензоров напряжений и деформаций к-го слоя; Ек, Ек, ик — модули Юнга и коэффициенты Пуассона материалов связующего и п-го семейства арматуры в к-м слое; игк, шк — интенсивности армирования в поверхности и в направлении толщины оболочки для п-го семейства арматуры и связующего в армирующем слое; фк — угол армирования п-го семейства арматуры в к-м слое; © — приращение температуры.

В § 1.3 представлены используемые в работе структурные критерии прочности и начального разрушения композитов. Проблемы прочности КМ разрабатывались многими авторами и получили в литературе широкое освещение. Значительная роль в развитии этого направления в механике КМ принадлежит Н.А. Алфутову, Б.Д. Аннину, Е.К. Ашкенази, В.Л. Бажанову, В.В. Болотину, В.А. Бунакову, Г.А. Ванину, В.В. Васильеву, И.И. Гольденблату, Г.М. Гуняеву, А.Ф. Ермоленко, П.А. Зиновьеву,

'Образцов И.Ф., Васильев В.В, Бунаков В.Ф. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.. Машиностроение, 1977. — 144 с.

'Немировскяй Ю В Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // Журн. прикл. механики и техн. физики, 1969. X* 6. — С. 81-89.

3Немировский Ю В Уравнения изгиба и устойчивости армированных оболочрк и пластин из вязкоупругого материала // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 1970. Вып. 4. - С. 50-63.

4Немировский Ю. В К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров, 1972 № 5. — С. 861-873.

5Болотин В.В., Ионич к о.ч Ю Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

В.А. Копнову, А.К. Малмейстеру, С.Т. Милейко, Ю.В. Немировскому, И.Ф. Образцову, А.Н. Полилову, Б.Г. Попову, В Д. Протасову, Ю Н. Ра-ботнову, Б.С. Резникову, C.B. Серенссну, A.M. Скудре, B.C. Стреляеву, В.П. Тамужу, Ю.М. Тарнопольскому, Г.П. Черепанову и др. Среди зарубежных ученых, внесших заметный вклад в механику прочности композитов, следует отметить Л. Браутмана. А. Викарио, Э. By, M. Дзако, А. Келли, Р. Кристенсена, Г. Купера, Б. Розена, Р. Толанда, Т. Фудзии, 3. Хашина, Р. Хилла, К. Чамиса, С. Цая и др.

В теории прочности КМ также существуют два принципиально разных подхода: феноменологический и структурный. Среди феноменологических критериев прочности важное место занимает тензорно- полиномиальный критерий, который обобщает практически все известные феноменологические критерии. Параметры, входящие в его математическую формулировку, определяются из экспериментальных данных. Однако даже для относительно простых видов напряженного состояния требуется реализовать весьма трудоемкие программы экспериментов и математической обработки полученных данных, не говоря уже о сложных напряженных состояниях в случае комбинированных нагружений. Другой недостаток феноменологических критериев — их формулировка в терминах средних напряжений, что не позволяет выявить механизмы возникновения начального разрушения и исследовать направление его дальнейшего развития.

Структурный подход базируется на изучении напряжений и деформаций в компонентах композита, для каждого из которых принимается тот или иной критерий прочности. После определения средних характеристик НДС, напряжения в элементах композита восстанавливаются с помощью используемых уравнений структурной модели КМ. После вычисления разрушающих интенсивностей внешних нагрузок во всех элементах КМ, в качестве нагрузки начального разрушения принимается минимальная из них. Такой подход позволяет выяснить эффективность работы связующего и армирующих элементов и открывает возможность целенаправленного управления прочностными свойствами КМ. В диссертации используются структурные критерии прочности 6,7.

"Немировский Ю.В , Резников Б С Прочность элементов конструкций из композиционных материалов. Новосибирск- Наука. Сиб отд-ние, 1986 — 165 с.

'Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. — 288 с.

В § 1.4 дан сравнительный анализ расчетных характеристик однона-правленно и перекрестно армированных КМ с известными экспериментальными данными. Показано, что результаты получаемые по МДВ и МБ, хорошо соотносятся с экспериментальными данными, что позволяет эффективно использовать эти модели при исследовании НДС армированных конструкций. Модели с одномерными волокнами дают заниженные значения для эффективных жссткостей армированных материалов, что позволяет использовать их для оценки прочности конструкционных элементов "сверху", с "запасом".

Вторая глава диссертации посвящена описанию основных положений классической и ряда уточненных теорий пластин и оболочек. В § 2.1 приведен краткий обзор основных публикаций по данной тематике.

Разработке классической теории изотропных однородных оболочек посвящены работы В.В. Власова, A.JT. Гольденвейзера, А И. Лурье, В.В. Новожилова, С.П. Тимошенко, К.Ф. Черныха и др.

Обширная литература посвящена разработке теорий многослойных композитных оболочек и решению разнообразных задач. Создание и развитие этого направления в механике композитных конструкций связано с именами H.A. Алфутова, С.А. Амбарцумяна, А.Н. Андреева, Б.Д. Аннина, В.П. Багмутова, А.Е. Богдановича, Ю.А. Богана, В.В. Болотина, Г.И. Брызгалина, Г.А. Ванина, А.Т. Василенко, В.В. Васильева, К.З. Галимова, Н.К. Галимова, М.С. Танеевой, Э.И. Григолюка, Я.М. Гри-горенко, А.Н. Гузя, А.Н. Елпатьевского, А.Ф. Ермоленко, P.A. Каюмова, В.М. Корнева, В.И. Королева, В.Д. Кошура, В.А. Крысько, Г.М. Куликова, В.А. Лазько, А.К. Малмейстера, В.Н. Москаленко, Х.М. Мушта-ри, В.Л. Нарусберга, Ю.В. Немировского, Ю.И. Немчинова, Ю.Н. Но-вичкова, И.Ф. Образцова, В.Н. Паймушина, Б.П. Пелеха, В.В. Пикуля, В.Г. Пискунова, A.B. Плеханова, Б.Г. Попова, В.Д. Протасова, А.П. Пру-сакова, А.О. Рассказова, B.C. Резникова, Р.Б. Рикардса, В.И. Самсоно-ва, A.B. Саченкова, Н.П. Семенюка, И.И. Соколовской, Г.И. Старостина, В.П. Тамужа, И.Г. Терегулова, Г.А. Тетерса, Л.П. Хорошуна, В.Е. Чепи-ги, П.П. Чулкова, Л.И. Шкутина, H.A. Шульги, Н.М. Якупова и др.

В настоящее время существуют различные методы получения уравнений теории пластин и оболочек. В частности, это методы асимптотического интегрирования уравнений трехмерной теории упругости, использующие наличие малых параметров (относительная толщина стен-

ки конструкции, отношение жесткостей), а также методы представления характеристик НДС в виде рядов по некоторым системам функций поперечной координаты с последующим получением систем уравнений на коэффициенты разложений.

Более широкое распространение на практике получил метод гипотез, в котором используются два принципиально различных подхода. В первом из них, для каждого слоя в отдельности принимается система кинематических гипотез (например, гипотеза жесткой нормали, гипотеза прямой линии, гипотеза о линейном или нелинейном распределении компонент вектора перемещений по толщине слоя и др.). Порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений при таком подходе зависит от числа слоев оболочки. Всякое изменение структуры пакета слоев требует изменения системы гипотез и модификации разрешающей системы дифференциальных уравнений, а следовательно, пересмотра процедуры ее численного интегрирования.

Другой подход связан с использованием кинематических и статических гипотез для пакета слоев в целом. В этом случае порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений определяется принятыми гипотезами и от числа слоев не зависит.

В диссертационной работе используются геометрически линейные и нелинейные варианты классической теории Кирхгофа — Лява8, теории типа Тимошенко9, уточненной теории Андреева — Немировского10, теории "ломаной линии" Григолюка — Куликова11, с целью проведения сравнительного анализа и определения границ их применимости при расчете слоистых полиармированных пластин и оболочек вращения.

В § § 2.2, 2.3, 2.4 приведены исходные и получены разрешающие системы дифференциальных уравнений, описывающие НДС многослойных армированных оболочек вращения, комбинированных оболочечных конструкций, круглых и кольцевых пластин, которые широко используются в последующих главах. Показан предельный переход к уравнениям орто-тропных пластин и оболочек. Описаны переходы от теории Андреева —

8Новожилов В В Теория тонких оболочек Л • Судпромгиз, 1951. — 344 с

'Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. — 321 с.

10Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины* Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. — 288 с.

пГриголюк Э И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. — 288 с.

Немировского к классической теории и от теории Григолюка — Куликова к теории типа Тимошенко. Пренебрежение нелинейными слагаемыми позволяет получить уравнения линейной теории, пригодные для изучения НДС пластин и оболочек при малых прогибах.

Третья глава посвящена методам решения краевых задач механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. Рассматриваемые системы дифференциальных уравнений имеют высокий порядок, переменные коэффициенты, малые параметры, приводящие к появлению краевых эффектов. Математически это проявляется в наличии в фундаментальной системе решений как быстро, так и медленно возрастающих и убывающих функций, что приводит к плохой обусловленности матрицы системы, определяющей произвольные постоянные в общем решении исходной системы дифференциальных уравнений. Такие системы принято называть жесткими, а соответствующие задачи — задачами с погранслоем. При численном решении задач с погранслоем возникают трудности, связанные с неустойчивостью счета. В § 3.1 обсуждаются проблемы и подходы преодоления таких трудностей. Если для задач Ко-ши вопросы преодоления численной неустойчивости проработаны достаточно подробно, то для многоточечных краевых задач это значительно более сложная проблема. Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования краевых задач на таких классах жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений оказываются малопригодными. Следует отметить, что в работах, посвященных проблемам численного интегрирования задач Коши для жестких систем ОДУ, рассматриваются в основном задачи, решение которых устойчиво относительно начальных данных. Для такого класса задач спектр матрицы системы лежит в левой комплексной полуплоскости, хотя допускается и существование собственных чисел с малой положительной действительной частью. Области устойчивости методов численного интегрирования задач Коши также лежат преимущественно в левой комплексной полуплоскости и не содержат действительных положительных собственных чисел. Кроме этого, для явных методов области устойчивости ограничены. Так на рис. 1 а представлены области устойчивости методов типа Рунге — Кутты второго (пунктирная линия), третьего (штриховая линия) и Рунге — Кутты — Мерсона четвертого порядка (сплошная линия).

-150

-50

1т 25-1

Л

7

X

—I—

50

Л.

150

Рис. 1.

В отличие от задач Коши, класс краевых задач статики тонкостенных оболочечных конструкций с устойчивыми решениями включает в себя задачи, спектры матриц систем которых содержат и отрицательные, и положительные действительные собственные числа, в том числе очень большие. Так, матрицы систем краевых задач, возникающих при расчете НДС тонкостенных армированных оболочек на основе теорий Кирхгофа — Лява или Тимошенко, содержат положительные и отрицательные действительные собственные числа со значениями порядка 10 (обозначены цифрами 2 на рис. 1 б) и, кроме того, очень малые по модулю числа, в том числе ноль. В случае использования уточненных теорий пластин и оболочек, величины действительных собственных чисел достигают значений на два порядка более высоких — от 100 до 1000 и выше. На рис. 1 б цифрами 1 обозначены ненулевые действительные собственные значения матрицы системы уравнений, описывающей изгиб длинной трехслойной прямоугольной пластинки. Для сравнения приведена область устойчивости метода Рунге — Кутты — Мерсона (обозначена цифрой 3).

При численном интегрировании задачи Коши, спектр матрицы которой содержит большие и малые по величине собственные числа, лежащие и в левой и в правой комплексных полуплоскостях одновременно, наряду с классическими проблемами жесткости задачи Коши, возникает проблема неустойчивости её решения относительно возмущений начальных данных. В этом случае сколь угодно мелкое разбиение шага сетки не дает возможности проинтегрировать задачу с заданной точностью. Погрешность численного решения задачи Коши, в спектре матрицы которой присутствуют большие положительные собственные числа, растет экспоненциально, тем быстрее, чем больше величина этих собственных значений. Если длина интервала интегрирования велика, то это неизбежно приводит к неограниченному росту погрешности интегрирования при любом выборе шага сетки. Этот вывод справедлив как для явных, так и для неявных методов.

В § 3.2 приведено описание метода сплайн-коллокации, а в § 3.3 метода дискретной ортогонализации, который лег в основу созданного программного комплекса. В методе дискретной ортогонализации, в дополнение к шагу интегрирования, добавляются ещё два управляющих параметра: расстояние между узлами ортогонализации и их количество. Совместно три параметра позволяют контролировать и управлять устойчивостью численного расчета, его точностью и объемом вычислений.

Метод получил широкое распространение и хорошо зарекомендовал себя при расчете тонкостенных конструкций в рамках теорий Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Для решения таких задач оказалось вполне достаточным использование равномерных сеток узлов ортогонализации и интервалов интегрирования. При этом типичное количество узлов ортогонализации, необходимое для устойчивого счета, относительно небольшое — от 10 до 30, а количество интервалов интегрирования, необходимое для достижения приемлемой относительной точности (порядка Ю-5) невелико 200^-400 интервалов. Однако при переходе к использованию уточненных теорий пластин и оболочек, учитывающих поперечные сдвиги, таких значений оказалось явно недостаточно ни по точности, ни по устойчивости и поэтому появилась необходимость дополнительного контроля точности и устойчивости расчетов.

Исследования устойчивости и точности метода дискретной ортогона-лизации позволили выработать рекомендации к решению жестких краевых задач механики тонких упругих композитных пластин и оболочек, исследовать различные механизмы потери устойчивости метода дискретной ортогонализации, разработать правила, позволяющие осуществлять устойчивое численное интегрирование жестких задач, спектральные радиусы которых могут достигать значений порядка 104-105.

Для того чтобы обеспечить устойчивый численный счет, при выборе шага интегрирования в качестве необходимых принимаются условия устойчивости численного интегрирования задачи Коши, справедливые для задач с устойчивыми решениями. Выбор расстояния между узлами ортогонализации основывается на апостериорном анализе оператора ортогонализации. Необходимым условием уменьшения расстояния является вырожденность набора векторов-решений в узле. Предложено несколько способов построения неравномерных сеток для интегрирующей процедуры. Показано, что использование неравномерных сеток, адаптивных к решению, позволяет на 3 - 4 порядка увеличить точность расчетов. Метод дискретной ортогонализации реализован в виде пакета прикладных программ СМБО.

В § 3.4 рассмотрены различные аспекты применения методов дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации для решения задач классической и уточненных теорий пластин и оболочек. Аналитические решения, полученные для ряда задач многослойных конструкций (длинных прямоугольных пластин и цилиндрических панелей, сопряженной арочной конструкции, цилиндрической оболочки) позволили провести сравнения с численными решениями, полученными с помощью методов сплайн коллокации и дискретной ортогонализации, показавшие высокую степень совпадения результатов.

В четвертой, пятой и шестой главах приведены постановки, аналитические и численные решения прямых задач расчета НДС и определения нагрузок начального разрушения слоистых полиармированных круглых и кольцевых пластин, оболочек вращения различных геометрических форм, а также комбинированных оболочечных конструкций.

Четвертая глава посвящена исследованию класса линейных неосе-симметричных задач композитных оболочек вращения.

В § 4.1 исследовано влияние структурных и механических характеристик КМ на НДС зеркала параболической антенны, выполненного в виде тонкой композитной оболочки и подверженного действию собственного веса, ветровой и температурной нагрузок. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая поведение такой конструкции, сведена к последовательности краевых задач для неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с переменными коэффициентами. Эти системы являются жесткими, что обусловлено их высоким порядком и наличием в них малых параметров. Изложенные обстоятельства приводят к тому, что

отношение Ат(г) = тах |А^т(т-)|/тт |А^т(г)| (А^т(г) — собственные з ]

значения матрицы системы ОДУ) становится много больше единицы. На рис. 2 а представлены зависимости величин Л,„(г) от радиуса и но-

к \ 2

т—

Рис. 2.

мера гармоники при расчете НДС алюминиево-углеродного (сплошные линии), титаноуглеродного (пунктирные) и углепластикового (штриховые) зеркал. Кривые 1 соответствуют гармоникам т = 0, кривые 2 — т — —1,1, кривые 3 — т. = —2,2. Величина Лт(г) существенно зависит от меридиональной координаты и механических характеристик КМ. Кроме того, для различных гармоник эта зависимость меняется как количественно, так и качественно. При этом максимальные значения достигаются для антисимметричных компонент (т = —1,1). На рис. 26

представлена зависимость величины Л1г = тах{Л_1(г)} от структурных параметров КМ, полученная при расчете антисимметричных компонент НДС титаноуглеродного зеркала и показывающая существенное влияние структуры армирования на жесткость системы ОДУ. На рис. 26 эта величина изменяется в 2 раза. Здесь — удельная интенсивность волокон окружного семейства, "ф — угол укладки спиральных волокон.

а б

Рис. 3.

На рис. 3 представлены зависимости максимальных приведенных прогибов гитах и максимальных интенсивностей напряжений в алюминиевой матрице Ьво, углеродных спиральных 6«х и окружном Ьв2 семействах волокон от угла армирования ф в зеркале параболической антенны, защемленном в центре по окружности радиуса го и находящего под действием собственного веса. Сплошные кривые соответствуют значениям и»2 = 0, пунктирные ~ ш2 — 0,4, штриховые — и>2 = 0,8. Максимальные прогибы и интенсивности напряжений в изотропной алюминиевой конструкции показаны штрихпунктирными линиями. Из приведенных зависимостей следует, что армирование может как улучшить, так и ухудшить жесткостные и прочностные характеристики конструкции. Так, укладка арматуры вдоль меридианов может уменьшить напряжения в матрице почти в 2 раза по сравнению с алюминиевой конструкцией, а прогибы — почти в 1,5 раза. При воздействии только собственного веса конструкция остается в упругом состоянии при любых параметрах армирования.

Учет ветровой и температурной нагрузок приводит к существенному увеличению напряжений как в матрице, так и в арматуре (рис. 4 а). Для ряда структурных параметров КМ интенсивность напряжений в алюминиевой матрице превышает предельное значение, однако подбором параметров армирования этого можно избежать. Необходимую жесткость зеркала также можно обеспечить выбором параметров армирования (рис. 46).

Ьз,

0.8

\ - <о, = 0 0,6

ь,

60 у «град

»„.мм

Рис. 4.

Ьз,

0.24

0,12

■ ш, = 0

0,6

Ьз,

эо во у .град

Рис. 5.

Титановое зеркало, армированное углеродными волокнами, ведет себя в таких же условиях иначе. Напряжения в элементах КМ значительно уменьшились (рис 5 а), а из-за высокого предела прочности титановая матрица остается в упругом состоянии при всех значениях структурных параметров КМ. Из рис. 56 видно, что интервал значений гитах существенно меньше, чем в случае с алюминиево-углеродной конструкцией. Тем не менее минимальные прогибы зеркальной антенны с титановой матрицей в 1,5 раза больше, чем антенны с алюминиевой матрицей, т.е. использование более высокомодульной матрицы не всегда улучшает жест-костные свойства конструкции. Заметим, что при таком нагружении в алюминиевой изотропной конструкции появились бы пластические деформации (Ьво > 1); в титановом изотропном зеркале, оставшемся в упругом состоянии, прогибы достигли бы значительной величины, тогда как в зеркальной антенне с алюминиевой матрицей и углеродными волокнами при определенных параметрах армирования их уровень в два раза меньше.

Сравнение результатов расчетов методами дискретной ортогонализа-ции и сплайн- кол локации на задаче определения НДС зеркала параболической формы отдельно по гармоникам показало, что относительные разности компонент решения не превосходят 0.05%. При уменьшении шага сетки для метода дискретной ортогонализации и увеличении требований к точности для метода сплайн-кол локации результаты сближаются, и относительные разности компонент решения достигают значений порядка 10~8 %. С точки зрения временных затрат, метод дискретной ортогонализации превосходит метод еплайн-коллокации в 3 — 6 раз, хотя, при увеличении требований к точности, процентная разница во времени счета уменьшается.

В § 4.2 исследованы особенности деформирования, определены нагрузки начального разрушения армированных куполов и сводов, находящихся под действием собственного веса, ветровой и температурной нагрузок.

Представленные на рис. 6 зависимости максимальных приведенных интенсивностей напряжений в связующем материале купола от параметров армирования показывают, что выбором структуры композита можно существенно понизить уровень напряжений (на рис. 6 — более чем в 1,5 раза).

Рис. 6.

На рис. 7 а представлены гиперповерхности прочности для железобетонного (кривая 1), стеклопластикового (кривая 2) и металлокомпозит-ного (кривая 3) параболических, а также для гиперболического (кривая 4) и эллиптического (кривая 5) металлокомпозитных куполов. На рис. 76 показано влияние структуры армирования на область упругого поведения гиперболического стеклопластикового купола. Кривым соответствуют параметры армирования и>1 = 0,2, а>2 = 0; 2, о>з = 0,6, ф — 15° (кривая 1), ф = 45° (кривая 2), ф = 75° (кривая 3), и>1 = 0, а>2 = 0,4 (кривая 4), и>1 = 0,4, Ш2 = 0 (кривая 5), = 0, а>2 = 0, и>з — 1, ф = 45° (кривая 6). Очевидно, что изменением структуры армирования можно существенно влиять па прочность конструкции, исходя из вида ее нагру-жения.

150

100

50

150

100

50

\ \ \ \

\ ~

\ \ 1 . . .1 Л"Ч.4

60

120

180

Рис. 7.

В § 4.3 изучено влияние неоднородности и анизотропии КМ на деформирование резинокордной тороидальной оболочки. Показано, что пе-

реход от перекрестно армированной 8-ми слойпой к квазиоднородной по толщине тороидальной оболочке не вносит существенных погрешностей (не более 5 %) в величины интенсивностей напряжений в элементах КМ, а в случае 16-ти слойной оболочки они практически совпадают с квазиоднородной моделью. Так как использование квазиоднородности по толщине существенно упрощает расчеты, то можно сказать, что применение этой гипотезы оправдано при количестве перекрестно армированных слоев более 4-х, а при количестве слоев более 8 — целесообразно.

Применение несимметричных схем армирования приводит к необходимости учета сдвигов и, кроме того, при расчете гармоник по косинусам и синусам переменные в таком случае не разделяются, что приводит к увеличению порядка разрешающих систем уравнений. Однако в результате исследования удалось показать, что несимметричное армирование позволяет реализовать значительно более широкий спектр НДС в оболочке, при котором шина обладает необходимой гибкостью, а интенсивности напряжений в связующем материале и корде при этом минимальны.

Пятая глава посвящена изучению класса нелинейных осесиммет-ричных задач композитных оболочек вращения.

В § 5.1 рассчитано НДС и определены нагрузки начального разрушения многослойных композитных оболочек нулевой гауссовой кривизны. На примере трехслойных стеклопластиковых и углепластиковых цилиндрических и конических оболочек показано, что различие между результатами, полученными на основе теорий оболочек с учетом и без учета поперечного сдвига, может составлять до 70%.

Расчет максимальных приведенных интенсивностей напряжений Ьво в связующем материале и максимальных прогибов Ш (рис. 8) показал, что выбор теории практически не влияет на максимальные прогибы оболочки. Тогда как для интенсивностей напряжений различие между результатами, полученными по классической теории и теории [7], при ф = 30° и структуре (0,90, —ф, ф) составляет для связующего материала 40%. Использование другой структуры армирования (90, —ф, ф, 0) приводит к уменьшению интенсивностей напряжений и прогибов в 2 -3 раза. При этом вид максимальных интенсивностей напряжений в связующем материале изменяется не только количественно, но и качественно. Кривые 1, 2, 3 на рис. 8 соответствуют линейным вариантам классической теории, теории Тимошенко и Андреева — Немировского;

для сплошных линий — (90, —ф, ф, 0), для штриховых — (0,90, —ф, ф); hi = h.3 — 0.1 h, R/h = 20, R/l = 0.5; bso = max bsc, bsn = max^ 6s",

W = maxi (E\w/Ph), £ - s/sL.

а б

Рис. 8.

При анализе влияния выбора структурных моделей КМ на НДС цилиндрических оболочек показано, что различие между результатами, полученными по MOB и МДВ, для максимальных прогибов и интенсив-ностей напряжений в элементах КМ, может составлять до 60%. Тем не менее, найдены такие структуры армирования, при которых различие не превышает 15%.

о б

Рис. 9.

Расчет максимальных интенсивностей напряжений <rj в связующем материале трехслойной конической оболочки в зависимости от параметра Q = Е\/Е\ (рис. 9) показал, что практически для всех рассматриваемых материалов MOB и уточненная модель с одномерными волокнами дают близкие результаты. Различие между напряжениями,

полученными по моделям с одномерными и двумерными волокнами составляет для связующего материала от 40% до 60%. Причем, различие между результатами тем больше, чем ближе значения модулей Юнга арматуры и связующего. При fi > 30 значения интенсивностей напряжений в связующем материале, полученные по различным структурным моделям, сближаются (рис. 96) и не превышают 5%. Для рис. 9а — hi = h3 = 0.1h, ф = 60°, для рис. 96 - hi = h3 = 0.4h, ф = 10°. Результаты получены по теории Андреева — Немировского. Значения fi = 3,30 и 100 соответствуют металлокомпозитам, стеклопластикам и углепластикам; кривые 2, 3, 4 — MOB, уточненной модели с одномерными волокнами и МДВ.

Исследовано влияние структуры армирования и порядка расположения армированных слоев на НДС оболочек нулевой гассовой кривизны, показавшее, что изменение структуры армирования позволяет уменьшить прогибы и интенсивности напряжений в КМ от 3 до 8 раз.

Для жестко защемленной композитной конической оболочки проведено сравнение расчетных значений разрушающих интенсивностей внутреннего давления, полученных с помощью методов сплайн-коллокации, дискретной ортогонализации и инвариантного погружения [7]. Из табл. 1

Таблица 1

Нагрузки начального разрушения конической оболочки 102Р*/\/осоа

si/h линейная уточненная теория [7] нелинейная уточненная теория [7|

COLSYS GMDO [7] COLSYS GMDO |7]

20 0.83297 0.83282 0.832 0.83311 0.83326 0.831

30 0.58270 0.58275 0.577 0.58086 0.58072 0.576

40 0.45485 0.45469 0.455 0.44856 0.44859 0.454

50 0.37605 0.37632 0.376 0.36569 0.36582 0.375

60 0.32212 0.32228 0.328 0.30833 0.30842 0.327

70 0.28265 0.28292 0.283 0.26610 0.26625 0.282

видно их хорошее соответствие, что подтверждает эффективность используемых методов и достоверность полученных результатов.

§ 5.2 посвящен анализу НДС многослойных армированных сферических и эллипсоидальных, а § 5.3 — нодоидных оболочек.

На рис. 10 представлены зависимости максимальных приведенных интенсивностей напряжений в элементах КМ и прогибы углепластико-вой эллипсоидальной оболочки, рассчитанные по МДВ. Расчеты проводились при параметрах (90, ф, ~Ф, 0), 7 = 0.5. Из рис. 10 видно, что и в случае эллипсоидальной оболочки интенсивности напряжений в окружной арматуре и прогибы, полученные по различным теориям оболочек, имеют близкие значения. Однако, интенсивности напряжений в связующем материале и продольной арматуре, рассчитанные по классической теории и теории [7]. отличаются до 40%, как при hi = h.3 = O.lft. так и при h\ = h-з = 0.4h Отличие в результатах по классической теории и теории Тимошенко составляет менее 10%. Принципиальным является

0.9

0.6

03

о

0.15

0.1 0.05

о

0 30 60 у О 30 60 У

Рис. 10.

то, что значения интенсивностей напряжений, рассчитанные по теории Андреева — Немировского, при параметрах Их = кз = 0.1Л, ф > 60° и Л-1 = /13 = 0.4/1, ф < 30°, превосходят предел прочности и происхо-

■ bs.

___¡_

г^ 7 2 3

30 60 у

■ bs, /

/

2

3 1

W 2

^ 1

J 3

2 1

3

дит начальное разрушение спиральной арматуры, в то время как теории Кирхгофа — Лява и Тимошенко недооценивают уровень напряжений в арматуре и оболочка остается в упругом состоянии.

Показано также, что для углепластикового эллипсоидального сосуда давления отличие в результатах, полученных по различным структурным моделям КМ составляет не более 10%, тогда как для металло-композитных конструкций отличие может составлять до 80%. Графики интенсивностей напряжений и прогибов, рассчитанные по MOB, лежат выше графиков аналогичных величин, соответствующих МДВ. Тем самым подтверждается правомерность использования моделей КМ с одномерными волокнами, так как они дают оценку НДС "сверху", с "запасом".

Найдены области параметров армирования, при которых влияние выбора теорий оболочек не превышает 10%.

а б

Рис. 11.

Для жестко защемленной трехслойной углепластиковой нодоидной оболочки, находящейся под действием постоянного внутреннего давления, перераспределение арматуры между слоями позволяет увеличить нагрузку начального разрушения практически в два раза (рис. 11а). На величины максимальных прогибов (рис. 11 б) порядок расположения армированных слоев практически не влияет. Результаты получены по теории [7] и МДВ; Н\ — Ъ>2 — = Л/3. Кривым 1, 2, 3 соответствуют структуры (0,90, ф, -ф), (0, ф, -ф, 90), (90, ф, -ф, 0).

В § 5.4 проведен анализ НДС трехслойных армированных комбинированных сосудов давления, образованных последовательным сопряжением сферических, цилиндрических и нодоидных оболочек (рис. 12а).

Рис. 12.

В случае углепластикового сосуда существует ярко выраженный максимум расчетных значений разрушающих интенсивностей внутреннего давления и при укладке спиральных семейств арматуры под углом ф = 45° конструкция может выдержать нагрузку в 8 раз большую, чем при ф > 70° (рис. 126). Различие между результатами, полученными по МОВ и МДВ не превышает при этом 15%. При Дх = Л-з = ОЛН зависимость нагрузки начального разрушения от угла спирального армирования становится монотонной. Результаты получены по теории [7] и различным структурным моделям КМ; сплошным линиям на рис. 126 соответствуют значения /ц = кз = 0.1/1, пунктирным — = /13 = 0.4/г, (0,ф, —ф, 90).

Таблица 2

Нагрузки начального разрушения комбинированного сосуда Р'/у/сгсаа

Теории

п/л Классическая Тимошенко Уточненная, [7]

линейная [елиннейна; линейная нелинейная линейная нелинейная

20 5.888 5.863 8.474 8.474 2.190 1.802

30 3.547 3.508 6.363 6.364 2.516 2.491

50 1.936 1.870 4.556 4.555 1.569 1.531

Изучено влияние выбора геометрически линейных и нелинейных вариантов различных теорий оболочек. Показано, например, что для жестко защемленного стеклопластикового сосуда, образованного непрерывной намоткой волокнами постоянного поперечного сечения, влияние нели-

нейных слагаемых не превышает 5% (табл. 2). Различие между результатами, полученными по классической теории и теории [7] составляет до 40%. Результаты получены при использовании МДВ; Р = Р*/у/аСсга — безразмерные нагрузки начального разрушения, г\ - радиус цилиндрической оболочки.

Исследование влияния выбора теорий оболочек на НДС комбинированного сосуда в зависимости от соотношения модулей Юнга арматуры и связующего материала показало, что различие может составлять от 30% до 80% практически для всех материалов; изменение структуры армирования позволяет уменьшить интенсивности напряжений в композите и прогибы конструкции до 5 раз.

Шестая глава посвящена изучению класса круглых и кольцевых композитных пластин.

В § 6 1 получены аналитические и численные решения задачи определения НДС многослойных круглых и кольцевых пластин с изотропными слоями, симметричного относительно срединной поверхности строения, нагруженных равномерно распределенным внешним давлением. На рис. 13 а показаны зависимости приведенного прогиба для трехслойной кольцевой пластины при различных соотношениях модулей Юнга внешнего и внутреннего слоев Е\/Е§ = 5,10, 30. Сплошные линии соответствуют приведенным прогибам, рассчитанным по уточненной теории Андреева — Немировского, пунктирные линии — по теории Кирхгофа — Лява.

Рис. 13.

На рис. 136 показала зависимость приведенных функций сдвига от радиальной координаты, которая свидетельствует о значительном влиянии радиуса внутреннего отверстия пластины на наличие и величину краевого эффекта на внутреннем и внешнем контурах.

В § § 6.2, 6.3 исследовано влияние выбора схем армирования и структурных моделей КМ на вид НДС и уровень нагрузок начального разрушения кольцевых бороалюминиевых и углепластиковых пластин.

т.10-5 б

1 / ^^ '

2 Л— / ✓ / /

• А? N N || |

30 60

90

V."

Рис. 14.

На рис. 14 а приведена зависимость нагрузки начального разрушения Р углепластиковой кольцевой пластины, защемленной на внутреннем и внешнем краях, от угла укладки арматуры во внутреннем и внешнем слоях 1р1 — = ф. В среднем слое арматура уложена под углом ф% = 25°. На рис. 146 приведена аналогичная зависимость нагрузки начального разрушения для углепластиковой пластины, защемленной на внутреннем контуре и подверженной действию растягивающего усилия Т на внешнем контуре. Расчеты приводились по теориям Кирхгофа — Лява (кривые 1), Андреева — Немировского (кривые 2) и Григолюка — Куликова (кривые 3). Сплошные линии соответствуют случаю волокон постоянного поперечного сечения, пунктирные - случаю переменного сечения волокон, но постоянной интенсивности укладки арматуры.

Из рис. 14 хорошо видно влияние выбора различных теорий, вида на-гружения и закрепления пластин, использования различных типов волокон на величины нагрузок начального разрушения.

В седьмой главе рассмотрены основные задачи рационального проектирования композитных пластин и оболочек вращения.

В § 7.1 представлен обзор работ и анализ подходов к проблеме рационального проектирования упругих армированных оболочек. Наиболее распространенными критериями рациональности являются требования безмоментности напряженного состояния, равнопрочности, равнонапря-женности, равнодеформируемости, полужесткости Для конструкций из волокнистых композиционных материалов наиболее часто используется условие равнонапряженности арматуры.

Проектированию безмоментных оболочек посвящены работы Я. By, В И. Гуревича, B.C. Калинина, В.Д. Кошура, П И. Кудрика, С. Кулкар-ни, М.Д. Мартыненко, Ю.В. Немировского, A.C. Семисалова, Г.И. Старостина, Д Фредерика, М. Хорна, Р Чикерела, Л.И. Шкутина, А.Н. Янковского.

Первые результаты по проектированию равнопрочных дисков и пластин принадлежат Ю.Н Работнову и A.C. Григорьеву. Исследованию равнопрочных и равнонапряженных цилиндрических оболочек посвящены работы В.И. Гололобова, Г.В. Иванова, В П. Малкова, Г.Д. Ту-ринцевой, РГ. Стронгина, И.В. Ширко. Вопросы проектирования равнопрочных и равнонапряженных оболочек вращения рассматривались в работах Н.В. Баничука, О. Бергграфа, Л.П. Беха, Г.И. Брызгалина, И.Т. Вохмянина, М.С. Танеевой, A.C. Езовитова, Г.В. Иванова, И.Н. Калинина, В.В. Кобелева, М.С. Корнишина, И.В. Ленкина, В.Г. Малахова, В.П. Малкова, Ю.В. Немировского, В.В. Новожилова, B.C. Резникова, В.Б. Черевацкого, X Шэрча, А.Г. Угодчикова.

Проектированию оболочек и пластин с равнонапряженной арматурой посвящены работы И.Г. Амирханова, В.П. Багмутова, Ю.А. Бога-на, Ю.В. Бокова, Г.И. Брызгалина, С Б. Бутпманова, В.В. Васильева, И. Зиккела, Х.М. Муштари, Ю.В. Немировского, A.C. Пипкина, В.А. Полякова, Г.Г. Портнова, P.C. Ривлина, Ю.П. Ромашова, С.Б. Черевацкого, А.Н. Янковского.

Требование совпадения направлений армирования с траекториями главных напряжений использовалось в работах Г.И. Брызгалина, В. А. Буна-кова, В.В. Васильева, Я. By, А.Н. Елпатьевского, В.К. Иванова, С.Д. Ко-пейкина, А. Купера, В.В. Марциновского, А.Б. Миткевича, Ю.В. Немировского, И.Ф. Образцова, А.Н. Янковского.

Проектирование оболочек по критериям жесткости осуществлялось в работах Н.В. Баничука, Л.П. Беха, В.И. Гололобова, Н.М. Гуры, В.В. Ко-белева, Ю.В. Немировского, B.C. Резникова, A.B. Чигиринского.

Предположим, что исходя из эксплуатационных или экономических соображений, к оболочке предъявлены К требований, сформулированных в виде

<р, y(s,<p), p(s,<p), q(s,<p)) = 0, (к = 1,---,К), (1)

где s, ip — независимые переменные; у — вектор-функция, описывающая НДС оболочки; р — вектор-функция, определяющая геометрию и толщину оболочки, структуру и свойства ее материала; q — вектор-функция внешних воздействий. Тогда соотношения (1) вместе с исходной системой N уравнений тонкостенной армированной оболочки образуют систему (N + К) уравнений, переопределенную относительно N неизвестных, входящих в вектор-функцию состояния у. Разрешимость этой переопределенной системы уравнений можно попытаться обеспечить за счет параметров, входящих в функции проектирования р и нагруже-ния q. При этом возможны, по крайней мере, два пути.

Первый заключается в замыкании получающейся системы уравнений введением К дополнительных неизвестных из р и q и последующем численном решении нелинейных краевых задач системы (N + К) уравнений с (N + К) неизвестными, что приводит к значительным математическим трудностям.

Второй, более перспективный путь, состоит в предварительном исследовании совместности переопределенной системы уравнений и получении, после исключения N неизвестных функций состояния, условий ее разрешимости в виде

<р, р(s, <р), q(s, <р)) = 0, (k = 1, ■ - ■ , К), (2)

на основе которых можно сформулировать широкий класс различных постановок задач рационального проектирования.

В наиболее общем виде задачу о реализации рационального НДС в армированной оболочке можно сформулировать следующим образом: необходимо определить такие законы нагружения и изменения толщины, такие структуры композиционного материала и формы срединной поверх-

ЙОС. НАЦИОНАЛЕН 1 33 БИБЛИОТЕКА

С Петербург < • »8 Ш яхт

"" 1,1 jJ

ности оболочки, при которых условия разрешимости (2) будут выполнены тождественно.

В § § 7.2, 7.3, 7.4 в моментной постановке получены условия разрешимости переопределенных систем дифференциальных уравнений упругих осесимметричных оболочек при использовании в качестве критериев рациональности требований равнонапряженности арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии.

Восьмая глава посвящена выводу, анализу и решению систем уравнений рациональных оболочек.

В § § 8.1, 8.2 8.3 выведены разрешающие системы дифференциальных уравнений и получены классы аналитических решений для задач рационального проектирования цилиндрических, конических, сферических, эллипсоидальных, нодоидных оболочек, комбинированных резервуаров и сосудов давления, когда в качестве критериев рациональности выступают требования безмоментности напряженного состояния, равнонапряженности арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии, а в качестве параметров проектирования: толщина стенки и форма меридиана оболочки, углы и интенсивности армирования композиционного материала.

Рассмотрим, например, трехслойную полиармированную оболочку вращения с семействами волокон различной природы, расположенных в поверхностях, эквидистантных выбранной отсчетной поверхности, и различными в каждом слое связующими материалами. Воспользуемся уравнениями классической теории Кирхгофа — Лява и моделью КМ с одномерными волокнами.

Пусть ¿1(0), 82(0) — толщины наружных слоев, к^в) 4- /12(0) — толщина внутреннего слоя (рис. 15), а напряжения в слоях определяются величинами

011, ^21 при -(/11 + ¿1) < г < —/»1, °10, <720 ПРИ < ^ < Лг,

<712, <^22 При /12 < 2 < /12 + ¿2,

Рис. 15.

где z — координата, отсчитываемая по нормали к отсчетной поверхности. Тогда связь напряжений, усилий и моментов с деформациями ei, е2 и изменениями кривизн >fi, н2 можно представить в виде

(Tj, = aji(e 1 + zk1) + bji(e2 + zx2),

Tj = Anev + Aj2£ 2 + Aj3x1 + A,-4>Í2, Mj = Aj3£i -(- А^бг + +

i = 1,2, i = 0,1,2.

Здесь

Ají = ajjSi + a}o(h2 + hi) + a¡282, Aj2 = 4- 6;oCi2 + hi) + bj262, Aj3 = \ [i2h2 + ¿2)<W + (hj - h\)aj0 - {2hx + ¿1)^1^1] ,

Л-4 = \ [(2Ла + S2)S2b}2 + (h\ - h\)bj0 - (2ЛХ + ¿i)íib,i] , aj5 = 5 {[(Л1 + ¿i)3 ~ Л?)] oji + (hl + Л?)а,0 + [(Лз + ¿г)3 - й|] aj2} , Ле = l {[(hi + ¿1)3 - /1?)] bji + (h¡ + hfibjo + [(Л2 + S2)3 - h¡] 6,2} ,

аь = - +

a2i = bu = í 1 - j ^^, + Yh UhEkM1 ~ к),

\ к, } Ia "od 4, 62, = - +][>£*,(1 - ¿o2- k

cos2 а^.

В этих выражениях Eq,, щ, — модули Юнга и коэффициенты Пуассона материалов связующего в г-м слое; Е^, ui^, ак, - модули Юнга, интенсивности и углы армирования к-то семейства волокон в г-м слое.

При армировании волокнами постоянного поперечного сечения величины ojjfc,, сак, связаны соотношением

OJk Wfc

= —tii = const> г% го1оъ

которое справедливо для меридиональных и спиральных структур армирования. Интенсивность окружного армирования может быть произвольной функцией, подчиняющейся неравенству

О < Шк, < й < 1.

Большой практический интерес вызывают оболочки вращения, обладающие свойством максимального внутреннего объема при минимальной площади боковой поверхности. Если при этом необходимо обеспечить отверстие заданного радиуса по оси оболочки, то полусфера перестает быть наилучшей из оболочек. Этим свойством обладают нодоидные оболочки.

Решение задачи проектирования квазиоднородной безмомеитной но-доидной оболочки, армированной окружным и двумя симметричными относительно меридиана спиральными семействами равнонапряженных волокон, находящейся под действием постоянного внутреннего давления, можно обеспечить за счет выбора какой-либо пары функций, например, специального закона профилирования толщины стенки и угла укладки спиральных семейств волокон. Постановка 1 (h, ф).

2he* = (Тх + Т2) (2а + 2ыхEi + ш2Е2, а = аЕ0( 1 - и)~\ sin2 ф = [а(Т2 - Ti) + 2шхЕхТ2 - ш2Е2Тх] [2loxEx{Tx + Т2)]"х,

Тх = J (г sine)'1, Т2 = R2q3 - J(Ri sin2 в)~\ в

J = J rRi(q3 cos 9 — qx sin 0)d6 + Cq.

во

Ha рис. 16 приведены зависимости углов спирального армирования (кривые 1 — 4) и толщины стенки нодоидной оболочки (пунктирная кривая 5) вдоль ее меридиана, построенные на основе аналитического решения (3). Значения параметров для соответствующих кривых при этом равны: кривая 1 - Ех = 400 ГПа, шх = 0.4, Е% = 200 ГПа, ш2 = 0.1; кривая 2 — Ei — 400 ГПа, шх = 0.2, Е2 = 200 ГПа, ш2 = 0.1; кривая 3 -Ei = 140 ГПа. ал = 0.2, Е2 = 400 ГПа, ш2 = 0.2; кривая 4 - Ех = 400 ГПа, шх = 0.4, Е2 = 80 ГПа, ы2 = 0.2.

Закон распределения относительной толщины стенки оболочки в данной постановке не зависит от этих параметров и одинаков для всех четырех случаев.

Рис. 16.

Решение задачи проектирования безмоментной нодоидной оболочки с равнонапряженными семействами окружной и спиральной арматуры можно обеспечить за счет другой пары функций: толщины стенки и интенсивности спирального армирования. Постановка 2 (Л, шi).

2Е1Ш1 = [a(Ti - Т2) + ui2E2Ti] (Т2 cos2 V - Ti sin2 ф)~\

(4)

2/ie* = (Т2 cos2 V» - T¡ sin2 ф)(асо82ф+ ш2Е2cos2 ф)"1.

На рис 17 приведены кривые распределения толщин и интенсивностей

Рис. 17.

спирального армирования, соответствующие аналитическому решению (4). При этом кривым 1—4 отвечают следующие значения параметров: 1 - Е1 = 400 Г Па, Е2 = 80 ГПа, ф = 20°; 2 -Е1 = 300 ГПа, Е2 = 300 ГПа, ф = 10°; 3 - Еу = 80 ГПа, Е2 = 400 ГПа, ф = 20°; 4 - Ех = 400 ГПа, Е2 = 80 ГПа, ф — 48°. Из рис. 17 следует, что существуют до-

статочио широкие возможности реализации полученных рациональных решений.

§ 8.4 посвящен анализу достоверности полученных рациональных решений и возможности их использования в случае уточненных теорий оболочек, учитывающих поперечные сдвиги.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

1. Поставлены и решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния упругих композитных элементов конструкций различных геометрических форм: круглых и кольцевых пластин, цилиндрических, конических, сферических, эллипсоидальных, параболических, тороидальных, нодоидных оболочек и комбинированных оболочечных конструкций. Проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и уточненных теорий в I еометрически линейной и нелинейной постановках. Показано, что для интенсивностей напряжений в элементах композита и нагрузок начального разрушения отличие в результатах, полученных по теориям с учетом и без учета поперечного сдвига, может составлять при определенных структурах армирования от 20% до 80%, тогда как на прогибы влияние незначительно.

2. Выполнено комплексное исследование влияния структурных и механических параметров композиционных материалов, порядка расположения армированных слоев, геометрии оболочек и вида нагру-жения на поведение таких конструкций. При анализе прочности слоистых композитных пластин и оболочек использован послойный структурный критерий прочности композиционного материала, что позволило вычислить нагрузки, определить зоны и механизмы начального разрушения, оценить эффективность работы каждого элемента композита. Показано, что в зависимости от структурных и механических параметров КМ начальное разрушение может происходить либо в связующем, либо в арматуре; величины интенсивностей напряжений и прогибов в конструкции могут изменятся до 10 раз, нагрузки начального разрушения — до 8 раз. Изменение порядка расположения армированных слоев позволяет в ряде случаев увеличить нагрузку начального разрушения от 2 до 5 раз. Найде-

ны области значений структурных и механических параметров КМ, при которых различие между результатами, полученными по различным теориям пластин и оболочек, не превышает 10%.

3. Выполнено исследование НДС слоистых армированных оболочек по . структурным моделям КМ с одномерными и двумерными волокнами. Показано, что степень влияния выбора структурных моделей на НДС конструкции существенно зависит от структурных и механических параметров КМ и может составлять от 5% до 80%.

4 Разработан эффективный алгоритм и создан программный комплекс, основанный на методах дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации, предназначенный для решения многоточечных краевых задач для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, который позволил выполнить анализ поведения слоистых композитных пластин и оболочечных конструкций различных геометрических форм.

5. Проведены исследования устойчивости и точности метода дискретной ортогонализации, выработаны рекомендации к решению жестких краевых задач механики тонких упругих композитных пластин и оболочек, исследованы различные механизмы потери устойчивости метода дискретной ортогонализации, разработаны правила, позволяющие осуществлять устойчивое численное интегрирование жестких задач, спектральные радиусы которых могут достигать значений порядка 104-105. Предложено несколько способов построения неравномерных сеток для интегрирующей процедуры. Показано, что использование неравномерных сеток, адаптивных к решению, позволяет на 3-4 порядка увеличить точность расчетов.

6 Проведены систематические сравнения численных решений, полученных методами сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации между собой, с результатами, полученными методом инвариантного погружения, с аналитическими решениями, с решениями задач пространственной теории упругости, показавшие высокую степень совпадения результатов.

7. Разработан метод решения широкого класса задач рационального проектирования тонкостенных упругих оболочек из волокнистых

композиционных материалов при использовании критериев рациональности общего вида. Исследован ряд конкретных задач рационального проектирования армированных оболочек, когда в качестве критериев рациональности выступают требования равнонапряжен-ности арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии оболочки.

8. Для каждого из перечисленных критериев рациональности в мо-ментной постановке получены условия разрешимости исходных систем уравнений, построены разрешающие системы уравнений относительно различных функций проектирования: толщины стенки и формы меридиана оболочки, углов и интенсивностей армирования композиционного материала.

9. Получены новые классы аналитических решений для осесиммет-ричных армированных оболочек, комбинированных резервуаров и сосудов давления при использовании различных критериев рациональности. Показана эффективность конструкций с рациональными параметрами.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях.

1. Немировский Ю.В., Голушко С.К. О рациональной намотке армированных оболочек вращения // Инж.-физ. сб. Томск: изд-во Томск, ун-та, 1985. Ч. 1. - С. 91-96.

2. Голушко С.К. Две задачи рационального проектирования армированных оболочек вращения // Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1986. № 1. - С. 8-14.

3. Голушко С.К. Проектирование тонкостенных оболочек с равнона-пряженной арматурой // Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1987. № 1. - С. 29-32.

4. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Об одном подходе к рациональному проектированию армированных оболочек вращения // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Матер. X Всес. конф. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1988. - С. 58 64.

5. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Обзор и анализ подходов к проблеме рационального проектирования армированных оболочек // Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1988. № 16. - 31 с.

6. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Проектирование полужестких . армированных оболочек // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Межвуз. сб. / КрПИ. Красноярск, 1989. — С. 105112.

7. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Построение проектов армированных оболочечных конструкций минимального веса // Вычислительные проблемы механики: Межвуз. сб. / под ред. Ю.И. Шокина / Красноярский ун-т. Красноярск, 1989. - С. 117-130.

8. Голушко С.К. Армированные оболочки минимального веса // Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1989. № 2. - С. 34 -37.

9. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Рациональное проектирование составных армированных оболочек вращения // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Межвуз. сб. / КрПИ. Красноярск, 1990. - С. 101-108.

10. Голушко С.К. Рациональное проектирование тонкостенных осе-симметричных армированных оболочек // Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ин-т гидродинамики СО РАН Новосибирск, 1991. — 156 с.

11. Golushko S.K. Rational constructing of thin composite shells // Modelling, Measurement & Control, B, AMSE Press, 1992. Vol. 46. No. 4. - P. 13-17.

12. Golushko S.K. Analysis and design of a body of solid fuel jet engine // Problems of products quality assurance in machine-building: proceeding of int.-tech. conf. KSTU. Krasnoyarsk, 1994. - P. 202-208.

13. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи в теории армированных оболочек // Модели механики сплошной среды, вычисл. технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении. Сб. трудов. Казань, 1997. — С. 188-195.

14. Сильченко П.H., Голушко С.К., Баранов А.И., Мержевич В.В. Расчет и проектирование рефлектора антенного блока космического аппарата связи // Вестник КГТУ. Вып. 7. Сер. Машиностроение, транспорт. Красноярск: КГТУ, 1997. - С. 85-89.

15. Сильченко П.Н., Голушко С.К., Мержевич В.В., Баранов А.И. Анализ напряженно-деформированного состояния осесимметричных оболочечных конструкций, изготовленных из композиционных материалов // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1997. № 4. - С. 60-62.

16. Golushko S.K. Direct and inverse problems in mechanics of composite shells // Proceedings of The Sixth Japan-Russia Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics, 1998. Nagoya University, Nagoya, Japan. - P. 125-130.

17. Голушко C.K., Немировский Ю.В , Одновал C.B. Особенности поведения армированных куполов при несимметричном нагружении // Труды НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 1998. Вып. 1 (1). - С. 3743.

18. Голушко С.К., Немировский Ю.В., Одновал C.B. Расчет и рациональное проектирование композитных оболочек вращения // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 1998. Вып. 113. - С. 39-44.

19. Сильченко П.Н., Голушко С.К., Мержевич В.В. Рациональное проектирование осесимметричных оболочек из композиционных материалов // Вестник КГТУ. Вып. 11. Сер. Машиностроение, транспорт. Красноярск: КГТУ, 1998. - С. 162-170.

20. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко A.B. Анализ поведения армированного сосуда в геометрически нелинейной постановке // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 1999. Вып. 114. - С. 155-160.

21. Голушко С.К., Горшков В.В. Метод решения прямых и обратных задач сопряженных армированных резервуаров // Симметрия и дифференциальные уравнения / Ин-т вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск, 2000. — С. 85-88.

22. Голушко С.К., Горшков В.В., Немировский Ю.В. Проектирование резервуаров с равнонапряженной арматурой // Проблемы оптимального проектирования сооружений / Новосибирск: НГАСУ, 2000. Т. 2. - С. 50-56.

23. Голушко С.К., Немировский Ю.В., Одновал C.B. Расчет и рациональное проектирование равнодеформируемых композитных куполов // Там же. Т. 1. - С. 52-58.

24. Голушко С.К., Горшков В.В., Немировский Ю.В. Определение безопасных нагрузок для комбинированных сосудов давления с равнонапряженной арматурой // Природно-техногеиная безопасность Сибири. Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф: Тр. научн. мероприятий / Научн. ред. Ю.И Шокин, H.A. Махутов, В.В. Москвичев. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2001. - С. 187-192.

25. Голушко С.К., Юрченко A.B. Разрушение армированной параболической антенны при действии экстремальных нагрузок // Там же. - С. 193-198.

26 Голушко С.К., Юрченко А.В Расчет напряженно-деформированного состояния армированных тонкостенных элементов зеркальных антенн // Вестник НГУ Серия: математика, механика, информатика, 2001. Т. 1. Вып. 2. - С. 38-62.

27. Голушко С.К., Юрченко A.B. Моделирование поведения главного зеркала композитной параболической антенны // Вычислительные технологии, 2001. Т. 6. Ч. И. - С. 750-759.

28. Голушко С.К., Юрченко A.B. Влияние структурных и механических характеристик композиционного материала на деформирование зеркальной антенны // Прикладная механика и техническая физика, 2002. Т. 43. № 2. - С. 170-175.

29. Голушко С.К., Горшков В.В. Анализ поведения цилиндрических оболочек в неклассической постановке // Вестник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика, 2002. № 4 (32). — С. 172-180.

30. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии, 2002. Т. 7. № 2. - С. 24 33.

31. Golushko S.K., Yurchenko A.V. Effect of Structural and Mechanical Characteristics of the Composite Material on the Deformation of a Reflector Antenna // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2002. Vol. 43. No. 2. - P. 315-319.

32. Golushko S.K. Direct and Inverse Problems of Mechanics of Composites // Computational Technologies, 2003. Vol. 8. Special Issue. — P. 3352.

33. Голушко С.К., Горшков В.В. Численный анализ прочности композитной конической оболочки // Вычислительные технологии, 2003. Т. 8. Ч. IV. - С. 157-166.

34. Голушко С.К., Морозова Е.В. Расчет напряженно-деформированного состояния круглых многослойных композитных пластин// Вычислительные технологии, 2003. Т. 8. Ч. IV. - С. 167-175.

35. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Проектирование равнопрочных однородных и композитных оболочек вращения // Вычислительные технологии, 2003. Т. 8. ДО 12. - С. 96-108.

36. Голушко С.К., Горшков В.В. Прочность и начальное разрушение многослойных армированных эллипсоидальных оболочек // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Тр. XVIII Межресп. конф. Кемерово, 1-3 июля 2003 г. / Под ред. В.М.Фомина. Новосибирск, 2003. - С. 38-46.

37. Голушко С.К., Морозова Е.В. Анализ влияния структуры армирования на прочность трехслойной кольцевой композитной пластины // Там же. - С. 47-54.

38. Голушко С.К., Морозова Е.В. Начальное разрушение кольцевых композитных пластин при учете поперечного сдвига // Тр. VII Все-рос. науч. конф. "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф". Красноярск, 2003. Т. 1. - С. 86-93.

39 Голушко С.К., Юрченко А.В. Анализ поведения композитного купола при действии экстремальных нагрузок // Там же. — С. 93-99.

40. Голушко С.К. Сравнительный анализ моделей композиционных материалов при расчете круглых пластин и оболочек вращения // Вычислительные технологии, 2004. Т. 9. № 10. - С. 100-116.

41. Golushko S.K. Direct and inverse problems of mechanics of composite plates and shells // Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multi-disciplinary Design / Computational Science and High Performance Computing. Springer, 2004. Vol. 88. - P. 205-227.

42. Голушко С.К., Морозова Е.В. Анализ влияния структурных параметров многослойной композитной пластины на вид ее напряженно-деформированного состояния // Вычислительные технологии, 2004. Т. 9. Вестник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика, 2004. № 3. Совместный выпуск. — С. 107-112.

43. Голушко С.К., Морозова Е.В., Юрченко А.В. О численном решении краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика, 2005. № 2. - С. 12-26.

44. Golushko S.K. The analysis of behaviour multilayered nodoid shells on the basis nonclassical models // Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design / Computational Science and High Performance Computing. Springer, 2005. Vol. 91. — P. 145-155.

ГОЛУШКО Сергей Кузьмич

Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 20.10.2005

Формат бумаги 60 х 84 1/16

Тираж 100 экз. Заказ № 692

ЗАО "РИЦ "ПраЙс-Куьер", 630090, г.Новосибирск, пр Академика Лаврентьева, в

»19906

РНБ Русский фонд

2006-4 18261

Введение.

1 Структурные модели композиционного материала

1.1 О феноменологическом и структурном подходах к моделированию свойств композитов. ф 1.2 Определяющие соотношения полиармированного слоя

1.3 Критерии прочности полиармированного слоя.

1.4 Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными

2 Классические и уточненные уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения

2.1 Задачи статики упругих композитных пластин и оболочек

2.2 Неосесимметричные задачи упругих композитных оболочек

2.2.1 Исходные уравнения и соотношения.

2.2.2 Разрешающие системы уравнений.

Ф 2.3 Осесимметричные задачи упругих композитных оболочек

2.3.1 Исходные уравнения и соотношения. 2.3.2 Разрешающие системы уравнений.

2.4 Круглые и кольцевые упругие композитные пластины

2.4.1 Исходные уравнения и соотношения.

2.4.2 Разрешающие системы уравнений.

3 Методы решения краевых задач механики композитных пластин и оболочек вращения

3.1 Проблема жесткости систем уравнений, отличие краевых задач от задач Коши. 3.2 Метод сплайн-коллокации.

3.3 Метод дискретной ортогонализации.

3.3.1 Основы алгоритма метода.

3.3.2 Проблемы вычисления векторов начальных данных и решения многоточечных задач.

3.3.3 Обеспечение устойчивости расчетов.

3.3.4 Обеспечение точности расчетов с использованием р неравномерных сеток

3.3.5 Алгоритм решения жестких краевых задач.

3.4 Анализ эффективности методов дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации при решении задач теории пластин и оболочек.

3.4.1 Слоистая длинная цилиндрическая панель.

3.4.2 Сопряженная арочная конструкция.

3.4.3 Слоистая цилиндрическая оболочка.

4 Неосесимметричные задачи композитных оболочек

4.1 Напряженно-деформированное состояние рефлектора параболической антенны.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Рефлектор под действием собственного веса (осе-симметричный случай).

4.1.3 Рефлектор под действием температурного нагружения (осесимметричный случай).

4.1.4 Рефлектор под действием собственного веса (неосе-симметричный случай).

4.1.5 Рефлектор под действием ветровой нагрузки

4.1.6 Рефлектор под действием температурной и ветровой нагрузок.

4.1.7 Анализ достоверности численных решений.

4.2 Особенности поведения и начальное разрушение армированных куполов и сводов.

4.2.1 Купол под действием собственного веса.

4.2.2 Купол под действием собственного веса и ветровой нагрузки.

4.2.3 Купол под действием собственного веса, ветровой и температурной нагрузок.

4.2.4 Анализ достоверности численных решений.

4.3 Влияние анизотропии материала на деформирование резинокордной тороидальной оболочки.

4.3.1 Влияние выбора модели КМ и теории оболочек на вид НДС.

4.3.2 Влияние анизотропии и неоднородности материала на поведение оболочки.

4.3.3 Об использовании несимметричных схем армирования

Нелинейные осесимметричные задачи упругих композитных оболочек вращения

5.1 Оболочки нулевой гауссовой кривизны.

5.1.1 Влияние выбора теорий на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны

5.1.2 Влияние выбора структурных моделей КМ на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны.

5.1.3 Влияние структуры армирования на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны.

5.1.4 Влияние порядка расположения армированных слоев на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны

5.1.5 Анализ достоверности численных решений.

5.2 Сферические и эллипсоидальные оболочки.

5.2.1 Влияние выбора теорий на НДС эллипсоидальных оболочек

5.2.2 Влияние выбора структурных моделей КМ на НДС эллипсоидальных оболочек.

5.2.3 Анализ достоверности численных решений.

5.3 Нодоидные оболочки.

5.3.1 Влияние выбора теорий на НДС нодоидных оболочек

5.3.2 Влияние выбора структурных моделей КМ и структуры армирования на НДС нодоидных оболочек

5.3.3 Анализ достоверности численных решений.

5.4 Сопряженные сосуды давления.

5.4.1 Влияние выбора теорий на НДС сосуда давления

5.4.2 Влияние выбора структурных моделей КМ и структуры армирования на НДС сосуда давления

5.4.3 Анализ достоверности численных решений.

5.5 Решение пространственной задачи упругости для цилиндрической оболочки.

5.5.1 Постановка задачи и разрешающая система уравнений

5.5.2 Расчет НДС однослойного цилиндра.

5.5.3 Расчет НДС трехслойного цилиндра.

Круглые и кольцевые упругие композитные пластины

6.1 Аналитические и численные решения задач изгиба трехслойных круглых и кольцевых пластин.

6.2 Влияние выбора моделей КМ на параметры жесткости и вид НДС пластины.

6.3 Влияние выбора теорий на вид НДС пластин.

6.4 Влияние схем армирования и типа волокон на величины нагрузок начального разрушения.

Основные задачи проектирования композитных пластин и оболочек вращения

7.1 О постановках задач рационального проектирования армированных оболочек.

7.2 Получение условий совместности при использовании критерия равнонапряженности арматуры.

7.3 Получение условий совместности при использовании критерия полужесткости.

7.4 Получение условий совместности при использовании критерия постоянства удельной потенциальной энергии

Вывод, анализ и решение разрешающих систем уравнений рациональных оболочек

8.1 Вывод разрешающих систем уравнений.

8.1.1 Оболочки с равнонапряженной арматурой.

8.1.2 Полужесткие оболочки.

8.1.3 Оболочки с постоянной удельной потенциальной энергией.

8.2 Аналитические решения задач рационального проектирования осесимметричных оболочек

8.2.1 Оболочки с равнонапряженной арматурой.

8.2.2 Полужесткие оболочки.

8.2.3 Оболочки с постоянной удельной потенциальной энергией.

8.2.4 Эллипсоидальные оболочки.

8.2.5 Нодоидные оболочки.

8.2.6 Купола и своды.

8.3 Рациональные решения для комбинированных конструкций

8.4 Анализ достоверности и эффективности рациональных решений

Тонкостенные оболочки являются важнейшими элементами многих современных конструкций. Ведущую роль они занимают в авиационной и ракетно-космической техиике, судо- и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве. Оболочки широко используются в качестве корпусов и днищ различного рода сосудов, резервуаров и емкостей для хранения жидких, газообразных и сыпучих продуктов, в конструкциях перекрытий и защитных ограждений.

Среди большого разнообразия геометрических форм особо выделяются оболочки вращения — цилиндрические, конические, сферические, эллипсоидальные, параболические, тороидальные, нодоидные, ундулоид-ные и др., которые вследствие ряда неоспоримых преимуществ широко используются в конструктивных решениях для различных объектов техники. Трубо-, нефте- и газопроводы, нефте- и газохранилища, котлы энергетических установок, купола и своды различных зданий и сооружений — это лишь небольшой перечень примеров использования оболочек вращения. На современном этапе развития техники с помощью оболочек, как структурных элементов конструкций, решается комплекс самых разнообразных задач, особенно при создании летательных и глубоководных аппаратов, исследовательских объектов ближнего и дальнего космоса, емкостей для хранения и транспортировки самых разнообразных продуктов, транспортных средств, подземных и подводных коммуникаций.

В силу многообразия геометрических форм оболочек, условий нагру-жения, закрепления и соединения с другими конструктивными элементами, их напряженно-деформированное состояние (НДС) может иметь весьма сложный характер, изменяясь как по толщине, так и вдоль меридианов и параллелей, причем оно может сильно изменяться не только при увеличении амплитуд нагрузок, но и при сравнительно небольших пространственных отклонениях в распределении поверхностных нагрузок. Поэтому очень важно уметь выделять условия наиболее благоприятной работы конструкции. Наиболее эффективно тонкостенные конструкции будут работать в условиях преимущественных растяжений поверхности. Идеальным при этом следует считать равномерное распределение напряжений по толщине стенки конструкции, когда материал в сечении нагружается равномерно. Такое состояние называется безмоментным и может быть реализовано только за счет принятия специальных мер по согласованию форм оболочек, законов распределения толщины оболочки и характера изменения нагрузок.

Для большинства конструкционных материалов поведение при растяжении и сжатии теоретически равноценно. Однако в тонкостенных оболочках механизмы разрушения при растягивающих и сжимающих напряжениях могут быть существенно различными. Если в условиях растяжения предельно допустимые состояния возникают при достижении определенной меры эквивалентного напряжения предела прочности или предела упругого сопротивления, то при сжимающих напряжениях разрушение конструкции может проявиться задолго до этого уровня нагрузок, вследствие появления других опасных механизмов разрушения, вызванных общей или местной потерей устойчивости (потерей формы конструкции). Чтобы избежать опасных последствий местного изгиба в таких областях, с помощью различного рода усилений в виде накладок, направленного изменения толщины, анизотропии и неоднородности можно попытаться перераспределить усилия и выровнять напряженное состояние доведя его до безмоментного, равномерно распределенного по сечению.

Во многих случаях осуществление безмоментного состояния практически неосуществимо. В этих случаях эффективные оболочечные проекты могут быть осуществлены за счет создания конструктивной неоднородности и/или анизотропии. Одним из простейших решений в этом направлении является переход от однослойных конструкций к многослойным. Число и характер слоев определяется при этом конструктивными особенностями и назначением оболочки. Каждый слой является носителем тех или иных свойств. В настоящее время широко используются трехслойные оболочки с легкими и жесткими заполнителями. Трехслойные оболочки с легкими заполнителями представляют собой в сечении пакет с внешними несущими слоями изготовленными из металла (сталь, алюминиевые, титановые сплавы и т.п.), фанеры, текстолита, армированных пластиков, металлов или керамики и промежуточного "легкого" (малопрочного и маложесткого) заполнителя, обеспечивающего работу сечения, как единого пакета и препятствующего потере устойчивости несущих слоев при сжатии и сдвиге. Возможны различные сочетания материалов несущих слоев: например, один слой из металла, а другой из стеклопластика. В качестве заполнителей используются пенопласты, пробки, пористые металлические губки, сотовые полимерные конструкции и т.п. В оболочках с жестким заполнителем используются либо заполнители с характеристиками близкими к материалам наружных слоев, либо жесткие ребристые конструкции разных форм: сотовых, складчатых, гофрированных и др. Соединение наружных слоев и заполнителей обычно осуществляется методами склейки и точечной сварки. Трехслойные конструкции позволяют обеспечивать высокую изгибную жесткость при относительно малом весе и могут быть использованы в областях со значительными изгибными деформациями.

Двухслойные оболочки состоят из двух несущих квазиоднородных слоев с материалами разной природы. Подкрепленные ребристые оболочки — это конструкции, сочетающие в себе двухмерные элементы — собственно оболочки и одномерные элементы — силовой набор (ребра). Меридиональные и окружные ребра могут располагаться как снаружи, так и внутри оболочки. Слоистые и подкрепленные ребристые оболочки в современных конструкциях авиационной, ракетной и судостроительной техники находят самое широкое применение. Многослойные и ребристые конструкции порождают принципиально новые свойства, которые не присущи ни одному из слоев. Варьируя в широком диапазоне свойства материалов, геометрические параметры слоев и наборов ребер можно существенно улучшить весовые, габаритные, стоимостные качества конструкции, ее несущую способность и устойчивость.

В настоящее время наиболее распространенными технологическими способами изготовления тонкостенных слоистых полиармированных конструкций типа оболочек и пластин являются процессы выкладки и непрерывной намотки, сочетающиеся в ряде случаев с технологиями склейки и напыления защитных и упрочняющих слоев. При таких способах изготовления конструкции приобретают не только анизотропные, но также и неоднородные свойства. Однако во многих существующих методах расчета пластин и оболочек последнее обстоятельство не учитывается.

Большие перспективы по улучшению прочностных и эксплутациои-ных свойств конструкций в промышленности открыли композиционные материалы (КМ). Более легкие, прочные, жесткие, КМ по своим удельным характеристикам существенно превосходят традиционные стали и сплавы.

Композит представляет собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов, среди которых можно выделить армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики материала, и матрицу, обеспечивающую совместную работу армирующих элементов.

В современных композитах тонкие волокна диаметром (5 -г 200) Ю-6 м являются армирующими элементами или служат основой для изготовления жгутов, лент или тканей с различными типами плетения. Волокна должны удовлетворять комплексу эксплутационных и технологических требований. Это условия по прочности, жесткости и стабильности свойств в процессе эксплуатации. Технологические свойства волокон определяют возможность создания высокопроизводительных процессов изготовления изделий на их основе. Другим важным требованием к КМ является совместимость материала волокон с материалом матрицы. В качестве армирующих элементов используются стеклянные, углеродные, борные, органические, стальные, вольфрамовые и другие волокна. Механические свойства некоторых волокон приведены в табл. 1, где /?, Е, — плотность, модуль упругости, предел прочности и предельная деформация волокна.

Таблица 1

Волокно / з р, кг/м Е, ГПа <т*, ГПа

Стеклянное: ВМ1 2580 95 4.2 4.8

Е-стекло 2540 73.5 3.5 4.8

М-стекло 2890 110 3.5 3.2

Углеродное: ВМН-4 1710 250 1.43 0.6

Кулон 1900 400 2.0 0.4

Торнел-800 1800 273 5.74 2.0

Арамидные: СВМ 1430 120 2.3 4.0

Терлон 1450 150 3.4 3.0

Кевлар-49 1450 130 3.6 3.0

Борное 2600 400 3.7 0.8

Кремниевое 2500 720 1.0 —

Стальное 7800 200 3.5 0.9

Вольфрамовое 19300 410 3.3 0.7

Матрица, которая соединяет армирующие элементы, способствует совместной работе волокон и перераспределяет нагрузку при разрушении части волокон, фиксирует форму изделия. Метод изготовления конструкции определяется типом матрицы. Матрица должна обладать достаточной жесткостью, так как при нагружении, не совпадающем с ориентацией волокон, ее прочность является определяющей. Матрица также должна удовлетворять технологическим требованиям: возможность предварительного изготовления полуфабрикатов, хорошее смачивание волокна жидкой матрицей в процессе пропитки, качественное соединение слоев композита, обеспечение высокой прочности соединения матрицы с волокном. В качестве связующего применяются термореактивные и термопластичные полимеры, углеродные, керамические и металлические матрицы. Механические свойства некоторых матриц приведены в табл. 2.

Таблица 2

Матрица / з р, кг/м Е, ГПа а*, ГПа е*, %

Полиэфирная 1200 2.8 70.150 3.0

Фенолоформальдегидная 1200 10 70.125 0.4

Эпоксидная 1200 3.0 100.160 3.0

Полиамидная 1400 4.0 90.250 1.5

Термопластичная 1300 20 60.200 8.0

Алюминиевая 2700 70 300 4.0

Композиционные материалы обладают возможностью изменения своей внутренней структуры, что открывает широкие возможности по управлению НДС конструкций, тем самым обеспечивая наилучшие условия их работы.

Существенный прогресс в проектировании и применении оболочеч-ных конструкций может быть обеспечен при использовании новых типов конструкционных композитных материалов: армированных пластиков, металлов и керамик. На основе композитов становится реальным создание материалов с требуемыми свойствами за счет подбора материалов матриц и траекторий армирующих волокон. Существующие сегодня угле- и боропластики выгодно отличаются высокой жесткостью и прочностью, превосходя в несколько раз соответствующие параметры высокопрочных сталей. В то же время эти материалы обладают намного меньшим удельным весом. Качество подобных материалов можно варьировать в широких пределах, при том, что в качестве арматуры можно использовать волокна и других материалов: графита, карбида кремния, базальта и других. В рамках единой технологии могут создаваться по-лиармированные композиты с одновременным внедрением в матрицу волокон разной природы и с разными траекториями. Следует также иметь в виду, что создание композитных оболочек из армированных пластиков во многих случаях может оказаться технологически более простой процедурой, чем создание конструкций из металлов. Например, стальной корпус цистерны или котла изготавливают путем сварки из предварительно согнутых листовых заготовок. Тогда как стеклопластиковая конструкция изготавливается путем намотки стеклонити на разборную оправку заданной формы. Подобная технологическая процедура может быть реализована при создании слоистой оболочки, если в качестве заготовки использовать однослойную металлическую оболочку заданной геометрии или предварительно изготовленную армированную оболочку с наращиванием на нее слоев с другими волокнами или другой структурой армирования. Наряду с требованиями обеспечения прочности и надежности оболочечных конструкций и наличия удобных производственно-технологических средств их изготовления важное значение имеет также проблема снижения материалоемкости. Для конструкций используемых в авиации, космонавтике и подводном судостроении повышенная материалоемкость может привести к невозможности качественного функционирования технического объекта. В последнее время эта проблема становится ключевой также при создании объектов машиностроения и индустриального строительства по экономическим соображениям из-за отсутствия и дороговизны необходимых конструкционных материалов. Поэтому в последние десятилетия во всем мире проводятся активные разработки теории оптимального и рационального проектирования конструкций.

Использование композитных пластин и оболочек в качестве несущих элементов в конструкциях ответственного назначения вызвали необходимость учета дополнительных факторов, в частности, ярко выраженную анизотропию деформативных свойств полиармированных материалов, а также ослабленное сопротивление многослойных конструкций трансвер-сальным деформациям. Это, в свою очередь, потребовало разработки неклассических вариантов теорий пластин и оболочек и поставило перед специалистами принципиально новые задачи. Использование существенно различных статических и кинематических гипотез привело в результате к значительному разнообразию расчетных схем и систем уравнений.

Анализ работ, посвященных многослойным оболочкам, позволил выделить несколько основных направлений в развитии общей теории таких оболочек.

К первому, исторически более раннему направлению относятся работы, в которых применяются гипотезы Кирхгофа — Лява для всего пакета слоев. Эта расчетная схема является простейшей и до сих пор применяется во многих работах по многослойным оболочкам. Для тонких изотропных и слабо анизотропных оболочек она является вполне приемлемой. Статическим и динамическим задачам расчета анизотропных слоистых оболочек, базирующихся на гипотезах Кирхгофа — Лява, посвящена обширнейшая литература.

Ко второму направлению могут быть отнесены работы, посвященные построению пеклассических уточненных двумерных теорий, учитывающих поперечный сдвиг (и реже поперечные нормальные деформации и напряжения в слоях), на основе "интегральных" гипотез о характере распределения поперечных касательных напряжений и перемещений по толщине всего пакета слоев в целом. Порядок получающихся при этом систем уравнений не зависит от числа слоев. В большом числе работ учет деформаций поперечного сдвига производится на основе гипотезы Тимошенко (гипотезы прямой линии) для всего пакета слоев. Другой вариант построения теории анизотропных слоистых оболочек этого направления связан с введением тех или иных гипотез о характере распределения поперечных касательных напряжений по толщине всего пакета слоев. Применительно к тонким пластинам и оболочкам такие допущения о распределении поперечных касательных напряжений были предложены С.А. Амбарцумяном и названы им итерационной, уточненной и новой итерационной теорией [3, 4, 5].

Особо отметим монографию А.Н. Андреева, Ю.В. Немировского [11], обобщающую цикл исследований этих авторов, в которой дан критический анализ работ этого направления, разработаны и приведены непротиворечивые с точки зрения вариационных принципов системы дифференциальных уравнений слоистых пластин и оболочек, установлены системы внутренних усилий, соответствующие принятым моделям деформирования, сформулированы корректные краевые условия, предложен и реализован метод численного решения краевые задач неклассической теории многослойных оболочек, основанный на идеях инвариантного погружения.

К третьему направлению относятся работы, посвященные построению уточненных двумерных теорий, учитывающих поперечный сдвиг, а нередко и поперечные нормальные деформации и напряжения в слоях, введением кинематических гипотез для каждого отдельного слоя. Порядок получающихся систем уравнений при этом зависит от числа слоев. Наиболее известными работами этого направления являются работы Э.И. Григолюка, П.П. Чулкова [142, 143, 144] и В.В. Болотина, Ю.Н. Но-вичкова [30]. Подробный анализ работ этого направления дан в обзоре Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [136].

И хотя к настоящему времени достигнут значительный прогресс в развитии математического моделирования и методов расчета тонкостенных оболочечпых систем, изготовленных из КМ, однако эта область механики деформируемого твердого тела остается еще весьма сложной и недостаточно изученной.

В связи с этим, разработка и сравнительный анализ уточненных теорий пластин и оболочек, структурных моделей композитов, учитывающих особенности реальной структуры, нелинейные процессы деформирования и разрушения, разработка методов решения прямых задач расчета и обратных задач рационального проектирования композитных конструкций, несомненно, являются актуальными проблемами.

Следует отметить, что переход от классической теории пластин и оболочек к тем или иным уточненным теориям сопровождается не только увеличением порядка систем дифференциальных уравнений, но и качественным изменением структуры их решений, появлением новых быстро-возрастающих и быстроубывающих решений, имеющих ярко выраженный характер погранслоев. Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования краевых задач на таких классах жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений оказываются малопригодными. Поэтому разработка эффективных численных методов решения краевых задач для уточненных теорий пластин и оболочек является также весьма важной и актуальной проблемой.

Актуальным является и применение уточненных теорий пластин и оболочек, структурных моделей КМ при решении практически важных задач расчета НДС композитных конструкций, определении механизмов их разрушения.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ заключается в:

• исследовании проблемы деформирования упругих слоистых поли-армированных пластин и оболочек вращения на основе различных теорий, выявлении особенностей их поведения от структурных и механических параметров композиционных материалов;

• разработке эффективных алгоритмов и создании программного комплекса для решения краевых задач для жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих при анализе поведения композитных пластин и оболочек;

• разработке метода решения задач рационального проектирования упругих армированных оболочек вращения, исследовании возможностей реализации в них рациональных напряженно-деформированных состояний.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ определяется следующими результатами, которые выносятся на защиту.

• Поставлены и решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния упругих композитных элементов конструкций различных геометрических форм: круглых и кольцевых пластин, цилиндрических, конических, сферических, эллипсоидальных, параболических, тороидальных, нодоидных оболочек и комбинированных оболочечных конструкций. Проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и ряда уточненных теорий пластин и оболочек в геометрически линейной и нелинейной постановках.

Впервые выполнено комплексное исследование влияния структурных и механических параметров композиционных материалов, порядка расположения армированных слоев, геометрии оболочек и вида нагружения на поведение таких конструкций. При анализе прочности слоистых композитных пластин и оболочек использован послойный структурный критерий прочности композиционного материала, что позволило вычислить нагрузки, определить зоны и механизмы начального разрушения, оценить эффективность работы каждого элемента композита.

Разработан новый эффективный алгоритм и создан программный комплекс, основанный на методах дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации, предназначенный для решения многоточечных краевых задач для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при анализе поведения композитных пластин и оболочек.

Разработан метод решения широкого класса задач рационального проектирования тонкостенных упругих оболочек из волокнистых композиционных материалов при использовании критериев рациональности общего вида. Исследован ряд новых задач рационального проектирования армированных оболочек, когда в качестве критериев рациональности выступают требования равнонапряженности арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии оболочки.

Для каждого из перечисленных критериев рациональности в мо-ментной постановке получены условия разрешимости исходных систем уравнений, построены разрешающие системы уравнений относительно различных функций проектирования: толщины стенки и формы меридиана оболочки, углов и интенсивностей армирования композиционного материала.

• Получены новые классы аналитических решений для осесиммет-ричных армированных оболочек, комбинированных резервуаров и сосудов давления при использовании различных критериев рациональности. Показана эффективность конструкций с рациональными параметрами.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты работы могут служить методической основой при расчетах и проектировании широкой номенклатуры элементов конструкций оболочечного типа, изготавливаемых из слоистых и волокнистых композиционных материалов, и найти применение в конструкторских бюро и отраслевых НИИ авиа-, судо- и машиностроительного профиля.

Исследования выполнялись в соответствии с планами научно-исследовательских работ Института вычислительных технологий СО РАН по темам:

• "Разработка теории и алгоритмов численных методов решения задач математической физики и механики сплошной среды" (номер государственной регистрации 01. 9. 40 000848);

• "Качественные и численные методы исследования нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01. 99. 00 10290);

• "Теоретические исследования моделей и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01. 2. 00 313336); поддерживались грантами: РФФИ (проекты 00-15-96172, 05-01-04002); Федеральной целевой программы "Интеграция" (грант № 274); Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (№ НШ-2314. 2003. 1).

Результаты исследований нашли применение в учебном процессе Новосибирского государственного университета в виде специального курса "Прямые и обратные задачи механики композитов".

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, предельными переходами от моделей конструктивно-неоднородных анизотропных пластин и оболочек к классическим моделям однородных изотропных конструкций, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями и решениями пространственной теории упругости, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: III конференции молодых ученых и специалистов по механике композитных материалов (Рига, 1981); Республиканской научно-технической конференции по прикладной математике и механике (Томск, 1983); IX, X, XI, XV, XVII, XVIII, XIX Всесоюзных и Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Саратов, 1985; Красноярск, 1987; Волгоград, 1989; Новосибирск, 1997; 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005); XI, XII, XIV конференциях молодых ученых Вычислительного центра СО АН СССР (Красноярск, 1985-1989); XII конференции молодых специалистов Центрального института авиационного моторостроения (Москва, 1987); I, III, IV Всесоюзных школах молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (Шушенское, 1987; Абрау-Дюрсо, 1991; 1992); IV школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1988); Всесоюзной конференции "Оптимальное проектирование неупругих элементов конструкций" (Тарту, 1989); XVI конференции молодых ученых Института механики АН УССР (Киев, 1991); III Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1991); Международной научно-технической конференции "Проблемы техники и технологий XXI века" (Красноярск, 1994); Международной научно-технической конференции "Проблемы обеспечения качества изделий в машиностроении" (Красноярск, 1994); Международных конференциях "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященных 75 и 80-летию академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 1996; 2001); II и III Всероссийских семинарах "Проблемы оптимального проектирования сооружений" (Новосибирск, 1997; 2000); III Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 1997); Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997); Международной конференции "Математические модели сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении" (Казань, 1997); I, II, V Сибирских школах-семинарах "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997; 1998; 2001); 55 юбилейной научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава НГАСУ (Новосибирск, 1998); Международной конференции "Симметрии в естествознании" (Красноярск, 1998); III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998); научных мероприятиях "Вычислительные технологии" (Новосибирск, 1998; 2000); Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998); VI Japan-Russia Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics (Japan, Nagoya, 1998); V Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1998); V, VI и VII научных конференциях "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 1999; 2001; 2003); Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000); Международных конференциях "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Алматы, 2002; 2004; Усть-Каменогорск, 2003); I, II, III Совещаниях

Российско-Казахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям (Новосибирск, 2003; 2005; Алматы, 2004); I и II Russian-German Advanced Research Workshops on Computational Science and High Performance Computing (Russia, Novosibirsk, 2003; Germany, Stuttgart, 2005).

В полном объеме материалы докторской диссертации докладывались и обсуждались на Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" Института вычислительных технологий СО РАН, Новосибирского государственного университета и Новосибирского государственного технического университета (руководители — академик Ю.И. Шокин и д.ф.-м.н., профессор В.М. Ковеня; Новосибирск, 2004); семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель — чл.-корр. РАН В.В. Шайдуров; Красноярск, 2004); Общеинститутском семинаре "Моделирование в механике" Института теоретической и прикладной механики СО РАН (руководитель — чл.-корр. РАН В.М. Фомин; Новосибирск, 2005).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано более 70 печатных работ. В диссертации приведен список из 55 наименований [70-124].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения, библиографического списка, включающего 325 наименований. Общий объем диссертации составляет 400 страниц.

• Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

1) Поставлены и решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния упругих композитных элементов конструкций различных геометрических форм: круглых и кольцевых пластин, цилиндрических, конических, сферических, эллипсоидальных, параболических, тороидальных, нодоидных оболочек и комбинированных оболочечных конструкций. Проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и уточненных теорий в геометрически линейной и нелинейной постановках. Показано, что для интенсивностей напряжений в элементах композита и нагрузок начального разрушения отличие в результатах, полученных по теориям с учетом и без учета поперечного сдвига, может составлять при определенных структурах армирования от 20% до 80%, тогда как на прогибы влияние незначительно.

2) Выполнено комплексное исследование влияния структурных и механических параметров композиционных материалов, порядка расположения армированных слоев, геометрии оболочек и вида нагру-жения на поведение таких конструкций. При анализе прочности слоистых композитных пластин и оболочек использован послойный структурный критерий прочности композиционного материала, что позволило вычислить нагрузки, определить зоны и механизмы начального разрушения, оценить эффективность работы каждого элемента композита. Показано, что в зависимости от структурных и механических параметров КМ начальное разрушение может происходить либо в связующем, либо в арматуре; величины интенсивностей напряжений и прогибов в конструкции могут изменятся до 10 раз, нагрузки начального разрушения — до 8 раз. Изменение порядка расположения армированных слоев позволяет в ряде случаев увеличить нагрузку начального разрушения от 2 до 5 раз. Найдены области значений структурных и механических параметров КМ, при которых различие между результатами, полученными по различным теориям пластин и оболочек, не превышает 10%.

Выполнено исследование НДС слоистых армированных оболочек по структурным моделям КМ с одномерными и двумерными волокнами. Показано, что степень влияния выбора структурных моделей на НДС конструкции существенно зависит от структурных и механических параметров КМ и может составлять от 5% до 80%.

Разработан эффективный алгоритм и создан программный комплекс, основанный на методах дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации, предназначенный для решения многоточечных краевых задач для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, который позволил выполнить анализ поведения слоистых композитных пластин и оболочечных конструкций различных геометрических форм.

Проведены исследования устойчивости и точности метода дискретной ортогонализации, выработаны рекомендации к решению жестких краевых задач механики тонких упругих композитных пластин и оболочек, исследованы различные механизмы потери устойчивости метода дискретной ортогонализации, разработаны правила, позволяющие осуществлять устойчивое численное интегрирование жестких задач, спектральные радиусы которых могут достигать значений порядка 104-105. Предложено несколько способов построения неравномерных сеток для интегрирующей процедуры. Показано, что использование неравномерных сеток, адаптивных к решению, позволяет на 3-4 порядка увеличить точность расчетов.

Проведены систематические сравнения численных решений, полученных методами сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации между собой, с результатами, полученными методом инвариантного погружения, с аналитическими решениями, с решениями задач пространственной теории упругости, показавшие высокую степень совпадения результатов.

7) Разработан метод решения широкого класса задач рационального проектирования тонкостенных упругих оболочек из волокнистых композиционных материалов при использовании критериев рациональности общего вида. Исследован ряд конкретных задач рационального проектирования армированных оболочек, когда в качестве критериев рациональности выступают требования равнонапряженности арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии оболочки.

8) Для каждого из перечисленных критериев рациональности в мо-ментной постановке получены условия разрешимости исходных систем уравнений, построены разрешающие системы уравнений относительно различных функций проектирования: толщины стенки и формы меридиана оболочки, углов и интенсивностей армирования композиционного материала.

9) Получены новые классы аналитических решений для осесиммет-ричных армированных оболочек, комбинированных резервуаров и сосудов давления при использовании различных критериев рациональности. Показана эффективность конструкций с рациональными параметрами.

1. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, Т. 1, № 3, С. 542-545.

2. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. — 264 с.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: ГИФМЛ, 1961. 384 с.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость, колебания. М.: Наука, 1967. — 266 с.

5. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.

6. Амирханов И.Г. К теории оболочек вращения наименьшего веса // Тр. семинара по теории оболочек. Казан, физ.-техн. ин-т, 1968. Вып. 1. С. 21-26.

7. Амирханов И.Г., Муштари Х.М. К теории оптимальных оболочек вращения переменной жесткости // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1966. Вып. 4. С. 516-521.

8. Андреев С.В., Паймушин В.Н. Соотношения нелинейной теории трехслойных оболочек со слоями переменной толщины // Прикл. механика и техн. физика. 1993. Т. 34. № 3. С. 120-128.

9. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, 1977. № 5. С. 87-96.

10. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. 288 с.

11. Аннин Б.Д. Механика деформирования и оптимальное проектирование слоистых тел. Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2005. 204 с.

12. Аннин Б.Д., Каламкаров А.Л., Колпаков А.Г., Партон В.З. Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций. Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1993. 256 с.

13. Багмутов В.П. Оптимально армированные пластины из модельного композита // Проблемы прочности, 1976. №9.

14. Багмутов В.П. К оптимальному согласованному проектированию армированных тел с учетом массовых сил // Прикл. механика, 1978. Т. 14. №11. С. 8-15.

15. Багмутов В.П., Брызгалин Г.И. Согласованные проекты общего вида для армированных пластин и оболочек // Механика деформируемых сред. Куйбышев, 1978. Вып. 3. С. 136-142.

16. Бажанов В.Л. и др. Пластинки и оболочки из стеклопластиков. М.: Высшая школа, 1970. — 408 с.

17. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969,— 368 с.

18. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986. 303 с.

19. Баничук Н.В., Кобелев В.В. Некоторые вопросы оптимального проектирования оболочек вращения // Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1983. Т. 36. т. С. 10-17.

20. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций. М: Машиностроение, 1977. — 488 с.

21. Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. М: Машиностроение, 1988. - 224 с.

22. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы VIII Всесоюз. конф., Ужгород, май 1983 г. Новосибирск, 1984. С. 27-31.

23. Блажнов П.В. Равнонапряженные вращающиеся сосуды // Проблемы прочности, 1973. №3. С. 50-55.

24. Боган Ю.А., Немировский Ю.В. О некоторых задачах оптимального управления для армированной среды // Прикладные проблемы прочности и пластичности / Горьк. гос. ун-т, 1975. Вып. 1. С. 112-123.

25. Боган Ю.А., Немировский Ю.В. О распределении напряжений в упругой равнонапряженно-армированной пластине // Прикл. механ., 1976. Т. 12. №7. С. 33-38.

26. Боган Ю.А., Немировский Ю.В. Плоская задача теории упругости для среды с двумя семействами равнонапряженной волокнистой арматуры // Прикл. матем. и механ., 1977. Т. 41. С. 150-159.

27. Боков Ю.В., Васильев В.В. Проектирование композиционных оболочек вращения, находящихся в поле центробежных сил // Расчеты на прочность и жесткость. М., 1979. Вып. 3. С. 111-115.

28. Боков Ю.В., Васильев В.В., Портнов Г.Г. Оптимальные формы и траектории армирования вращающихся оболочек из композитов // Механика композитных материалов, 1981. №5. С. 846-854.

29. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. — 375 с.

30. Брызгалин Г.И. Проектирование упругого анизотропного тела с рав-нонапряженной арматурой // Металловедение и прочность материалов. Волгоград, кн. изд-во, 1968. С. 94-108.

31. Брызгалин Г.И. К рациональному проектированию анизотропных плоских тел со слабым связующим // Изв. АН СССР. МТТ, 1969. т. с. 123-131.

32. Брызгалин Г.И. Оптимальное проектирование локально-ортотропных упругих тел со слабым связующим // Изв. АН СССР. МТТ, 1971. т. С. 169-175.

33. Брызгалин Г.И. О некоторых критериях оптимального проектирования неоднородных анизотропных тел // Прикл. матем. и механ., 1972. Т. 36. Вып. 4. С. 753-760.

34. Брызгалин Г.И. Некоторые равнопрочные проекты для оболочек вращения под осесимметричной нагрузкой // Металловедение и прочность материалов. Волгоград: Волгоград, политехи, ин-т, 1974. Вып. 6. С. 143-147.

35. Брызгалин Г.И. Проектирование деталей из композитных материалов волокновой структуры. М.: Машиностроение, 1982. — 84 с.

36. Брызгалин Г.И., Копейкин С.Д. О многоцелевом проектировании композиционных материалов // Механика композитных материалов, 1980. т. С. 404-408.

37. Бунаков В.А.,Радовинский A.JI. К определению рациональной формы безмоментных оболочек вращения, изготовленных методом намотки из высокомодульных материалов // Механика полимеров, 1975. №5. С. 822-828.

38. Бурман З.И., Лукашенко В.И, Тимофеев М.Т. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методом конечных элементов с применением ЭЦВМ. Изд-во Казанского университета, 1973. — 569 с.

39. Бушманов С.Б., Немировский Ю.В. Проектирование пластин, армированных равнонапряженными волокнами постоянного поперечного сечения // Механика композитных материалов, 1983. №2. С. 278-284.

40. Бушманов С.Б., Немировский Ю.В. Оптимальное армирование пластин при плоском напряженном состоянии // Журн. прикл. ме-хан. и техн.физики, 1983. №5. С. 158-165.

41. Валишвили Н.В., Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. — 278 с.

42. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наук, думка, 1985. 302 с

43. Ван Фо Фы Г.А. Конструкции из армированных пластмасс. Киев: Техшка, 1971. 220 с.

44. Васильев В.В. Оптимальное проектирование безмоментных армированных оболочек вращения // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. С. 7-13.

45. Васильев В.В. Механика конструкций из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1988. — 269 с.

46. Васильев В.В., Елпатьевский А.Н. Оптимальная форма оболочки вращения, изготовленной из стеклопластика методом непрерывной намотки // Прочность и устойчивость тонкостенных авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1971. Вып. 180. С. 220-228.

47. Васильев В.В., Иванов В.К., Миткевич А.Б. Проектирование композитного днища баллона постоянного давления в окрестности полюсного отверстия // Механика композитных материалов, 1987. №6. С. 1115-1117.

48. Васильев В.В., Марциновский В.В. Об одном классе оптимальных тонкостенных конструкций из армированных материалов // Проектирование оптимальных конструкций. Межвуз. сб. Куйбышев: Куйбышев.авиац.ин-т, 1973. Вып. 1. С. 10-18.

49. Васильев В.В., Марциновский В.В. Оптимальное проектирование композиционных материалов при плоском напряженном состоянии // Проектирование, расчет и испытания конструкций из КМ. М.: ЦАГИ, 1978. Вып. 6. С. 141-152.

50. Васильев В.В., Поляков В.А., Портнов Г.Г. и др. Оптимальная вращающаяся оболочка из композита, наполненная жидкостью // Механика композитных материалов, 1982. №1. С. 85-92.

51. Виноградов А.Ю. Вычисление начальных векторов для численного решения краевых задач // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995. Т. 35, №1. С. 156-159.

52. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Метод функционального нормирования для краевых задач теории оболочек. М.: Эдиториал У РОС, 2001. 160 с.

53. Власов В.В. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.; JL: Гостехиздат, 1949. — 784 с.

54. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. 420 с.

55. Выдрин В.М. Оптимальное проектирование оболочек вращения из композиционных материалов при негеодезической намотке / Пермский гос. ун-т. Пермь, 1980. 12 с. Деп. в ВИНИТИ. №1268-80 Деп.

56. Выдрин В.М.,Ибраев Г.К. Рациональное проектирование днищ баллонов давления из композитного материала при негеодезической намотке / Пермский гос. ун-т. Пермь, 1979. И с. Деп. в ВИНИТИ. №4025-79 Деп.

57. Галимов Н.К. К теории тонких пологих оболочек с заполнителями при конечных прогибах // В сб. Нелинейная теория пластин и оболочек. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1962. С. 61-95.

58. Галимов Н.К. О применении полиномов Лежандра к построению уточненной теории трехслойных пластин и оболочек // В сб. Ис-след. по теории пластин и оболочек. Вып. 10. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1973. С. 371-385.

59. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. — 326 с.

60. Галимов Н.К. К построению уточненной теории средне го изгиба трехслойных пластин и оболочек // Статика и динамика оболочек. 1979. №12. С. 31-52.

61. Галимов Н.К. К построению уточненной нелинейной теории трехслойных пластин и оболочек // В сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 15. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1980. С. 57-70.

62. Галимов Н.К., Муштари Х.М. К теории трехслойных пластин и оболочек // В сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 2. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1964. С. 35-47.

63. Галимов Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во ун-та, 1990. — 136 с.

64. Танеева М.С., Корнишин М.С., Малахов В.Г. Равнопрочные упругие оболочки вращения // Тр. семинара по теории оболочек. Казан, физико-техн. ин-т АН СССР, 1973. Вып.З. С. 92-106.

65. Танеева М.С., Малахов В.Г. Равнопрочные упругопластические оболочки вращения переменной толщины / Тр. семинара. Казань: Казан. физ.-техн. ин-т АН СССР, 1978. Вып. 10. С. 143-152.

66. Гололобов В.И.,Ильин JI.A. Определение толщины равнонапряжен-ных упругих оболочек вращения // Прикл. механ., 1970. Т. 6. Вып. 7. С. 58-63.

67. Голушко С.К. О возникновении пластических деформаций в армиро-® ванных цилиндрических оболочках // Третья конф. мол. уч. и спец.по механике композитных материалов / Тез. докл. Рига: Зинатне, 1981. С. 93-94.

68. Немировский Ю.В., Голушко С.К. О рациональной намотке ар-д мированных оболочек вращения // Инж.-физ. сб. Томск: изд-во

69. Томск, ун-та, 1985. Ч. 1. С. 91-96.

70. Голушко С.К. Две задачи рационального проектирования армированных оболочек вращения // Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1986. № 1. С. 8-14.

71. Голушко С.К. Проектирование тонкостенных оболочек с равнонапряженной арматурой // Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск,1987. № 1. С. 29-32.

72. Голушко С.К. Исследование возможностей создания полужестких армированных оболочек вращения // Численные методы механики сплошной среды: Тез. докл. школы мол. уч. Красноярск, 1987. Ч. 2. С. 91-92.

73. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Об одном подходе к рациоиаль-0 ному проектированию армированных оболочек вращения // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Матер. X Всес. конф. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1988. С. 58-64.

74. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Обзор и анализ подходов к проб-ф леме рационального проектирования армированных оболочек //

75. Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1988. № 16. 31 с.

76. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Проектирование полужестких армированных оболочек // Пространственные конструкции в Красно* ярском крае. Межвуз. сб. / КрПИ. Красноярск, 1989. — С. 105-112.

77. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Построение проектов армированных оболочечных конструкций минимального веса // Вычислитель® ные проблемы механики: Межвуз. сб. / под ред. Ю.И. Шокина /

78. Красноярский ун-т. Красноярск, 1989. — С. 117-130.

79. Голушко С.К. Армированные оболочки минимального веса // Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1989. № 2. С. 34-37.

80. Голушко С.К. Проектирование композиционных оболочек минимального веса / Тез. докл. конф. "Оптимальное проектирование неупругих элементов конструкций". Тарту, 1989. С. 18.

81. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Рациональное проектирование составных армированных оболочек вращения // Пространственныеконструкции в Красноярском крае. Межвуз. сб. / КрПИ. Красноярск, 1990. С. 101-108.

82. Голушко С.К. Рациональное проектирование тонкостенных осесим-метричных армированных оболочек // Труды XVI конф. мол. уч. Ин-та механики АН УССР. Киев, 21-24. 05. 91. 1991. С. 28-33.

83. Голушко С.К. Рациональное проектирование тонкостенных осесим-ф метричных композитных оболочек // Численные методы механикисплошной среды. / Тез. докл. III Всес. Шк. мол. уч. (п.Дюрсо 27.05- 01.06.91 г.) / Красноярск, 1991. С. 120-122.

84. Голушко С.К. Рациональное проектирование тонкостенных осесим-метричных армированных оболочек // Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 1991. — 156 с.

85. Golushko S.K. Rational constructing of thin composite shells // Modelling, Measurement & Control, B, AMSE Press, 1992. Vol. 46. No. 4. P. 13-17.

86. Голушко С.К., Мержевич В.В. Анализ напряженно-деформированного состояния упругих сосудов высокого давления // Проблемы техники и технологий XXI века: тез. докл. науч. конф. / Отв. ред. А.А.Городилов. Красноярск: Изд-во КГТУ, 1994. С. 141.

87. Golushko S.K. Analysis and design of a body of solid fuel jet engine // Problems of products quality assurance in machine-building: proceeding of int.-tech. conf. KSTU. Krasnoyarsk, 1994. P. 202-208.

88. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи в теории армированных оболочек // Модели механики сплошной среды, вычисл. технологии и автоматизированное проектирование в авиа-и машиностроении. Сб. трудов. Казань, 1997. — С. 188-195.

89. Сильченко П.Н., Голушко С.К., Баранов А.И., Мержевич В.В. Расчет и проектирование рефлектора антенного блока космического аппарата связи // Вестник КГТУ. Вып. 7. Сер. Машиностроение, транспорт. Красноярск: КГТУ, 1997. — С. 85-89.

90. Голушко С.К., Немировский Ю.В., Одновал С.В. Математические проблемы расчета и рационального проектирования композитных оболочек вращения // Математические проблемы механики сплошных сред. Тез. докл. Сибирской шк.-сем. Новосибирск, 1997. С. 47.

91. Golushko S.K. Direct and inverse problems in mechanics of composite shells // Proceedings of The Sixth Japan-Russia Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics, 1998. Nagoya University, Nagoya, Japan. P. 125-130.

92. Голушко С.К., Немировский Ю.В., Одновал С.В. Особенности поведения армированных куполов при несимметричном нагружении // Труды НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 1998. Вып. 1 (1). С. 37-43.

93. Голушко С.К., Немировский Ю.В., Одновал С.В. Расчет и рациональное проектирование композитных оболочек вращения // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск,1998. Вып. ИЗ. С. 39-44.

94. Сильченко П.Н., Голушко С.К., Мержевич В.В. Рациональное проектирование осесимметричных оболочек из композиционных материалов // Вестник КГТУ. Вып. 11. Сер. Машиностроение, транспорт. Красноярск: КГТУ, 1998. С. 162-170.

95. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. Нелинейное поведение армированных сосудов давления // Механика летательных аппаратов и современные материалы: Докл. конф. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1998. С. 140-141.

96. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. Анализ поведения армированного сосуда в геометрически нелинейной постановке // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск,1999. Вып. 114. С. 155-160.

97. Голушко С.К., Немировский Ю.В., Одновал С.В. Начальное разрушение армированных куполов и сводов при несимметричном нагружении // Там же. С.44-48.

98. Голушко С.К., Горшков В.В. Метод решения прямых и обратных задач сопряженных армированных резервуаров // Симметрия и дифференциальные уравнения / Ин-т вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск, 2000. С. 85-88.

99. Голушко С.К., Горшков В.В., Немировский Ю.В. Проектирование резервуаров с равнонапряженной арматурой // Проблемы оптимального проектирования сооружений / Новосибирск: НГАСУ, 2000. Т. 2. С. 50-56.

100. Голушко С.К., Немировский Ю.В., Одновал С.В. Расчет и рациональное проектирование равнодеформируемых композитных куполов // Там же. Т. 1. С. 52-58.

101. Голушко С.К., Юрченко А.В. Разрушение армированной параболической антенны при действии экстремальных нагрузок // Там же. С. 193-198.

102. Голушко С.К., Юрченко А.В. Расчет напряженно-деформированного состояния армированных тонкостенных элементов зеркальных антенн // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика, 2001. Т. 1. Вып. 2. С. 38-62.

103. Голушко С.К., Юрченко А.В. Моделирование поведения главного зеркала композитной параболической антенны // Вычислительные технологии, 2001. Т. 6. Ч. II. С. 750-759.

104. Голушко С.К., Юрченко А.В. Влияние структурных и механических характеристик композиционного материала на деформирование зеркальной антенны // Прикладная механика и техническая физика, 2002. Т. 43. № 2. С. 170-175.

105. Голушко С.К., Горшков В.В. Анализ поведения цилиндрических оболочек в неклассической постановке // Вестник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика, 2002. № 4 (32). — С. 172-180.

106. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии, 2002. Т. 7. № 2. — С. 24-33.

107. Golushko S.K., Yurchenko A.V. Effect of Structural and Mechanical Characteristics of the Composite Material on the Deformation of a Reflector Antenna // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2002. Vol. 43. No. 2. P. 315-319.

108. Golushko S.K. Direct and Inverse Problems of Mechanics of Composites // Computational Technologies, 2003. Vol. 8. Special Issue. — P. 33-52.

109. Голушко С.К., Горшков В.В. Численный анализ прочности композитной конической оболочки // Вычислительные технологии, 2003. Т. 8. Ч. IV. С. 157-166.

110. ИЗ. Голушко С.К., Морозова Е.В. Расчет напряженно-деформированного состояния круглых многослойных композитных пластин// Вычислительные технологии, 2003. Т. 8. Ч. IV. — С. 167-175.

111. Голушко С.К. Прямые и обратные задачи механики композитов // Вычислительные технологии, 2003. Т. 8. № 9. С. 33-52.

112. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Проектирование равнопрочных однородных и композитных оболочек вращения // Вычислительные технологии, 2003. Т. 8. № 12. С. 96-108.

113. Голушко С.К., Морозова Е.В. Анализ влияния структуры армирования на прочность трехслойной кольцевой композитной пластины // Там же. С. 47-54.

114. Голушко С.К., Юрченко А.В. Анализ поведения композитного купола при действии экстремальных нагрузок // Там же. — С. 93-99.

115. Голушко С.К. Сравнительный анализ моделей композиционных материалов при расчете круглых пластин и оболочек вращения // Вычислительные технологии, 2004. Т. 9. № 10. — С. 100-116.

116. Golushko S.K. Direct and inverse problems of mechanics of composite plates and shells // Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multi-disciplinary Design / Computational Science and High Performance Computing. Springer, 2004. Vol. 88. P. 205-227.

117. Голушко С.К., Морозова Е.В., Юрченко А.В. О численном решении краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика, 2005. № 2. С. 12-26.

118. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. — 192 с.

119. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

120. Горячев О.А. Об одном методе оптимального распределения материала в тонкой упругой оболочке // Вопросы прочности элементов авиационных конструкций / Тр. Куйбышев, авиац. ин-т, 1971. Вып. 48. С. 105-112.

121. Гофманн Ж. Выбор днищ минимального веса для сосудов давления // Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Сер.Е. Прикл. механика, 1962. Т. 29. т. С. 66-73.

122. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем // Изв. АН СССР, ОТН. 1957, т. С. 77-84.

123. Григолюк Э.И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем // Изв. АН СССР, ОТН. 1958, №1. С. 26-34.

124. Григолюк Э.И., Чулков П.П. К общей теории трехслойных оболочек большого прогиба // Докл. АН СССР 1963. Т. 150, №5. С. 10121014.

125. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. — 287 с.

126. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек //Прикл. мех. 1972. Т. 8. Вып. 6. С. 3-17.

127. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Методы исследования напряженно-деформированного состояния многослойных композитных оболочек с приложением к механике пневматических шин // Научно-технический прогресс в машиностроении. Вып. 39. М., 1993. — 50 с.

128. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Численное решение задач статики геометрически нелинейных анизотропных многослойных оболочек вращения // Механика композит, материалов. 1981. № 3. С. 443452.

129. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек // Механика композит, материалов. 1988. № 2. С. 287-298.

130. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Об одном варианте уравнений теории конечных перемещений непологих оболочек // Прикл. механика. 1974. Т. 10. № 2. С. 3-13.

131. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука, 1997. — 272 с.

132. Григолюк Э.И., Носатенко П.Я. Об эффекте анизотропии в оболочках вращения при неосесимметричиом нагружении // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, № 6, С. 1354-1357.

133. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Общая теория упругих трехслойных оболочек большого прогиба // В сб. Вопр. динамики и прочности, вып. 10. Рига: АН Латв. ССР. 1963. С. 95-108.

134. Григолюк Э.И., Чулков П.П. К общей теории трехслойных оболочек большого прогиба // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 150, № 5. - С. 1012-1015.

135. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Теория вязко-упругих многослойных оболочек с жестким заполнителем при конечных прогибах //ПМТФ. 1964. №5. С. 109-117.

136. Григолюк Э.И., Чулков П.Л. Нелинейные уравнения тонких упругих слоистых анизотропных пологах оболочек с жестким заполнителем // Изв. АН СССР: Механика. 1965. №5. С. 65-80.

137. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения пологих многослойных оболочек регулярного строения // Инженерный ж. Ме-хан. тверд, тела. 1967, №1. С. 163-169.

138. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Критические нагрузки трехслойных цилиндрических и конических оболочек. Новосибирск: Зап.-Сиб. кн. изд-во, 1966. 221 с.

139. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. - 170 с.

140. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наук, думка, 1973. 228 с.

141. Григоренко Я.М. и др. Механика композитных материалов и элементов конструкций: в 3-х т. Т.2. Механика элементов конструкций. Киев: Наук, думка, 1983. — 464 с.

142. Григоренко Я.М. Некоторые подходы к моделированию и численному решению задач о деформации гибких оболочек вращения //Прикл. мех. 1993. Т. 29, №. С. 3-9.

143. Григоренко Я.М., Абрамидзе Э.А. Напряженное состояние гибких слоистых оболочек вращения с учетом неоднородности деформаций поперечного сдвига // Докл. АН УССР. Сер. А. 1988, №9. С. 30-34.

144. Григоренко Я.М., Абрамидзе Э.А. Об одном варианте уточненной теории гибких слоистых ортотропных оболочек // Приют, мех. 1989. Т.25, Ш. С. 44-52.

145. Григоренко Я.М., Абрамидзе Э.А. Термоупругая задача о деформации гибких слоистых оболочек вращения в уточненной постановке //Прикл. мех. 1993. Т. 29, №5 С. 55-59.

146. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. — 321 с.

147. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб ГЛ., Панкратова Н.Д. К исследованию напряженного состояния анизотропных слоистых оболочек с переменными параметрами //Мех. композ. материалов. 1982, т. С. 253-257.

148. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук, думка, 1987. 216 с.

149. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. К расчету напряженного состояния толстостенных неоднородных анизотропных оболочек // Прикл. механика. 1974. Т. 10. № 5. С. 86-93.

150. Григоренко Я.М., Крюков Н.Н Численное решение задач статики гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. Киев: Наук, думка, 1988. 264 с.

151. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1979. 280 с.

152. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1983. — 286 с.

153. Григорьев В.И., Мяченков В.И. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. — 216 с.

154. Громницкий B.C., Калинин И.Н. Численное сравнение эффективности критериев оптимальности в задачах строительной механики // Изв. АН СССР. МТТ, 1978. №. С. 149-154.

155. Гуревич В.И., Калинин B.C. Формы оболочек вращения, деформирующихся строго без изгиба при равномерном давлении // Докл. АН СССР, 1981. Т. 256. №5. С. 1085-1088.

156. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1985. — 304 с.

157. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге —Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 334 с.

158. Джерард (G.Gerard), Лакшмикантам (C.Lakshmikantham). Оптимальные тонкостенные сосуды давления из анизотропного материала // Тр. Амер. об-ва инж. мех. Сер. Е. Прикл. механика, 1966. Т. 33. т. С. 166-172.

159. Диденко В.И., Мукоед А.П. О куполах равной прочности // Прикладная механика, 1978. -Т. XIV. №12.

160. Дудченко А.А., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ. 1983. Т. 15. - С. 3-68.

161. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир. 1983. 198 с.

162. Езовитов А.С. Цилиндрическая оболочка, равнопрочная в меридиональном направлении // Гидроаэромеханика. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1966. Вып. 3.

163. Елпатьевский А.Н., Васильев В.В. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов. М.: Машиностроение, 1972. — 168 с.

164. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М: Мир, 1975. 542 с.

165. Зиккел И. Равнопрочные сосуды давления // Ракетная техника и космонавтика, 1962. №6. С. 120-122.

166. Зиновьев П.А. К теории проектирования конструкций минимального веса // Изв. вузов. Машиностроение, 1972. С. 12.

167. Зиновьев П.А. Сосуды давления минимального веса, образованные намоткой орторопных лент // СБ. тр. МВТУ им. Баумана, 1975. Вып. 14. С. 48-58.

168. Зиновьев П.А., Фомин Б.Я. Проектирование сосудов давления минимального веса, образованных намоткой стеклонитью // Полимерные материалы в машиностроении. Пермь: Пермский политехи, ин-т, 1973. №127. С. 91-96.

169. Иванов Г.В. О вычислении оптимальной переменной толщины оболочки // Проблемы механики твердого деформируемого тела. JL: Стройиздат, 1970. С. 171-176.

170. Иванов Г.В. Оптимальная переменная толщина оболочек вращения // Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. С. 691-695.

171. Иванов В.К. Безмоментное сопряжение цилиндрической части и днища баллона постоянного давления. Механика компо- зитных материалов, 1986. - №6. - С. 1064-1068.

172. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточненные уравнения динамики многослойных оболочек с трансверсально-мягкими заполнителями // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 5. С. 142-152.

173. Ильгамов М.А. К теории трехслойных оболочек несимметричного строения // В сб. Теория пластин и оболочек. Киев: АН УССР. 1962. С. 219-223.

174. Ильгамов М.А. Уравнения равновесия и колебаний трехслойных оболочек несимметричного строения // Изв. вузов. Авиац. техника. 1962. т. С. 68-78.

175. Калинин И.Н., Ленкин И.Б. Оптимизация оболочек кусочнопосто-янной толщины при ограничениях по прочности // Изв. АН СССР. МТТ, 1978. М. С. 89-94.

176. Канторович J1.B. О методе Ньютона // Труды математического института им. Стеклова, 1949. 28. С. 104-144.

177. Кармишин А.В., Лясковец А.В., Мяченков В.А., Фролов В.И. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. — 376 с.

178. Колеров Н.Н. Расчет и проектирование баллонов из композиционных материалов // Проектирование, расчет и испытания конструкций из КМ. М.: ЦАГИ, 1978. Вып. 6. С. 153-160.

179. Комков М.А. Равнонапряженная торовая оболочка давления, изг-товленная методом намотки из однонаправленного стеклопластика. М.: МВТУ им. Баумана, 1979. № 17. С. 75-83.

180. Композиционные материалы: Справочник / Васильев В.В., Протасов В.Д., Болотин В.В. и др. М.: Машиностроение, 1990. — 512 с.

181. Королев В.И. Тонкие ортотропные трехслойные пластинки и оболочки с легким упругим заполнителем // В сб. Некоторые задачи по расчету пластин и оболочек из стелопластика. М: Изд-во Дома техники. 1962. С. 63-93.

182. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение, 1965. — 272 с.

183. Кошур В.Д., Немировский Ю.В. Проект сопла Лаваля, реали- зую-щий безмоментное состояние // Проблемы прочности. 1974. - №12. - С. 66-72.

184. Кудрик П.И. Об одном достаточном условии существования дополнительной нагрузки, вызывающей в оболочке безмоментное состояние // Концентрация напряжений. Киев: Наукова думка, 1965. Вып. 1.

185. Куликов Г.М. Нелинейные краевые задачи механики тонкостенных многослойных анизотропных конструкций: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1990. 39 с.

186. Кулкарни С., Фредерик Д. Ортотропная оболочка вращения переменной толщины с исключением изгиба // Прикл. механ., 1972. № 4. С. 284-285.

187. Куршин JI.M. Уравнения трехслойных цилиндрических оболочек //Изв. АН СССР, ОТН, 1958. №3. С. 142-144.

188. Куршин JI.M. Об устойчивости трехслойной пологой цилиндрической оболочки при сжатии // Изв. АН СССР, ОТН. 1958, №8. С. 97-100.

189. Куршин JI.M. Об учете изгибной жесткости внешних слоев трехслойной криволинейной панели, работающей на продольное сжатие // В сб. Вопр. расчета элементов авиац. конструкций. №1. М.: Обо-ронгиз, 1959. С. 80-84.

190. Куршин JI.M. Некоторые задачи устойчивости трехслойных оболочек // Тр. IV Всес. конференции по теории оболочек и пластин. Ереван, 1962. Ереван, изд. АН АрмССР, 1964. С. 626-633.

191. Куршин JI.M. Обзор работ по расчету трехслойных пластин и оболочек // В сб. Расчет пространств, конструкций, вып. VII. М: Гос-стройиздат, 1962. С. 163-192.

192. Куршин JI.M. Уравнения трехслойных непологих и пологих оболочек// В сб. Расчеты элементов авиац. конструкции. Вып. 3. М.: Машиностроение, 1965. С. 106-157

193. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.; Л.: Гос-техиздат, 1947. — 252 с.

194. Малков В.П., Бех Л.П. Оптимальное распределение материала в составных осесимметричных тонкостенных конструкциях // Методы решения задач упругости и пластичности. Горький, 1972. Вып. 6. С. 142-148.

195. Малков В.П., Стронгин Р.Г. Оптимизация конструкций по весу из условий прочности // Методы решения задач упругости и пластичности. Горький, 1971. Вып. 4. С. 138-149.

196. Малков В.П., Тарасов В.Л. Дискретно равнонапряженная тонкостенная конструкций и конструкция минимального веса // Изв. АН СССР. МТТ, 1974. №5. С. 124-129.

197. Малков В.П., Туринцева Г.Д. Оптимизация сосуда под давлением из условий прочности // Методы решения задач упругости и пластичности. Горький, 1970. Вып. 2. С. 113-122.

198. Малмейстер А.К. Геометрия теорий прочности // Механика полимеров, 1968. Ш. С. 519-534.

199. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. — 571 с.

200. Маркетос И. Оптимальный тороидальный сосуд, работающий под давлением, образуемый волокнами, навиваемыми вдоль геодезических линий // Ракетная техника и космонавтика, 1963. № 8. С. 223226.

201. Мартыненко М.Д. Определение безмоментной формы оболочки под действием заданной внешней нагрузки // Вопросы математической физики и теории функций. Киев, 1964. Вып. 1. С. 91.

202. Мартыненко М.Д., Мокрик П.И. Об одной обратной задаче теории оболочек // Докл. АН УССР. Сер. А., 1970. С. 10.

203. Мартыненко М.Д. Об одной обратной задаче безмоментной теории оболочек вращения, находящихся в температурном поле // Докл. АН СССР, 1972. Т. 16. №6. С. 499-501.

204. Марциновский В.В. Оптимальное проектирование тонкостенных конструкций из композиционных материалов // Проектирование, расчет и испытания конструкций из КМ. М.: ЦАГИ, 1982. Вып. 9. С. 91-99.

205. Медведев Н.Г., Тоцкий Н.П. Оптимизация цилиндрических оболочек переменной толщины при осесимметричной нагрузке // Прикл. механ., 1984. Т. 20. №9. С. 53-57.

206. Миткевич А.В., Протасов В.Д. Равновесные стеклопластиковые баллоны давления минимальной массы при негеодезической намотке // Механика полимеров, 1975. №6. С. 983-987.

207. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. — 431 с.

208. Небогатов В.М. Оптимальное проектирование пластических плит при нагружении в плоскости. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1987.

209. Немировский Ю.В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // Журн. прикл. механики и техн. физики, 1969. № 6. С. 81-89.

210. Немировский Ю.В. Уравнения изгиба и устойчивости армированных оболочек и пластин из вязкоупругого материала // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 1970. Вып. 4. С. 50-63.

211. Немировский Ю.В. К вопросу о проектировании оптимальных дисков с учетом ползучести // Проблемы прочности, 1971. № 8. С. 11-13.

212. Немировский Ю.В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров, 1972. № 5. С. 861-873.

213. Немировский Ю.В. Безмоментные оболочки с равнонапряженной арматурой // Изв. АН СССР. МТТ, 1977. №3. С. 65-73.

214. Немировский Ю.В. Безмоментные пластические осесимметричные оболочки / Механика деформируемых тел и конструкций. Новосибирск: Наука, 1975. С. 327-333.

215. Немировский Ю.В. Рациональное проектирование армированных конструкций с точки зрения прочности и устойчивости // Прикладные проблемы прочности и пластичности / Горьк. гос. ун-т, 1977. Вып. 6. С. 70-80.

216. Немировский Ю.В. Оболочки абсолютно минимального веса // Механика деформируемых сред. Куйбышев, 1978. Вып. 3. С. 3-78.

217. Немировский Ю.В. К вопросу об оптимальной укладке арматуры в пластинках // Механика полимеров, 1978. № 4. С. 675-682.

218. Немировский Ю.В. Строго безмоментные сопряженные оболочки вращения в условиях установившейся ползучести // Прочность и долговечность элементов конструкций. Киев: Наукова думка, 1983. С. 15-25.

219. Немировский Ю.В. Оптимальное проектирование пологих оболочек и пластин из волокнистых композитов // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности Матер. VIII Всес. конф. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1984. С. 212-222.

220. Немировский Ю. В. Армированные жесткие и мягкие пневматические оболочки с равной трещиностойкостью и прочностью связующего материала // Известия ВУЗов. Строительство, 1997. № 6. С. 21-27.

221. Немировский Ю.В., Резников Б.С. О равнонапряженных пластинках и оболочках // Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. С. 199-203.

222. Немировский Ю.В., Резников B.C. Проектирование абсолютно полужестких оболочек вращения // Изв. АН СССР. МТТ, 1976. С. 160-164

223. Немировский Ю.В., Резников B.C. Прочность элементов конструкций из композиционных материалов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1986. 165 с.

224. Немировский Ю.В., Семисалов А.С. Идеально пластические безмо-ментные сосуды высокого давления // Прикл. механика, 1985. Т. 21. №10. С. 46-53.

225. Немировский Ю.В., Семисалов А.С. Строго безмоментные оболочки нулевой гауссовой кривизны в условиях установившейся ползучести // Проблемы прочности, 1978. №11. С. 39-44.

226. Немировский Ю.В., Старостин Г.И. О возможности реализации без-моментного состояния оболочек путем армирования // Докл. АН СССР, 1971. Т. 196. № 4. С. 797-800.

227. Немировский Ю.В., Старостин Г.И. Безмоментные армированные осесимметричные оболочки // Изв. АН СССР. МТТ, 1972. №3. С. 82-91.

228. Немировский Ю.В., Старостин Г.И. Безмоментное сопряжение армированных оболочек вращения // Изв. АН СССР. МТТ, 1973. №5. С. 73-86.

229. Немировский Ю.В., Старостин Г.И. Безмоментные упругие армированные оболочки нулевой гауссовой кривизны // Журн. прикл. мех. и техн. физики, 1975. № 6. С. 103-115.

230. Немировский Ю.В., Старостин Г.И. Реализация неосесимметрично-го безмоментного состояния в оболочках вращения // Журн. прикл. мех. и техн. физики, 1983. № 1. С. 140-149.

231. Немировский Ю.В., Шульгин А.В. Упругопластическое деформирование и разрушение оболочек из волокнистых металлокомпозитов // Механика композитных материалов, 1990. №6. С. 1064-1071.

232. Немировский Ю.В., Шкутин Л.И. Проектирование безмоментных осесимметричных резервуаров из армированного наследственно-упругого материала // Механика полимеров, 1972. №6. С. 1081-1086.

233. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Проектирование тонких строго безмоментных оболочек с равнонапряженной арматурой // Известия ВУЗов. Строительство, 2000. № 4. С. 13-20.

234. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Рациональное проектирование рациональных конструкций. Новосибирск: Наука, 2002. — 488 с.

235. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1997. — 195 с.

236. Новичков Ю.Н. О различных моделях описания деформирования многослойных конструкций // Тр. Моск. энерг. ин-та. 1980. № 459. С. 40-47.

237. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. — 212 с.

238. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951. — 344 с.

239. Образцов И.Ф., Васильев В.В, Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977. — 144 с.

240. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. — 696 с.

241. Паймушин В.Н. Обобщенный вариационный принцип Рейсснера в нелинейной механике пространственных составных тел с приложениями к теории многослойных оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 2. С. 171 180.

242. Паймушин В.Н., Галимов Н.К. К общей теории трехслойных оболочек со слоями переменной толщины // Тр. семинара по теории оболочек. Вып. VI. Казань, Казанск. физ.-техн. ин-т. 1975. С. 7-20.

243. Паймушин В.Н., Демидов В.Г. Об одном варианте соотношений теории среднего изгиба многослойных оболочек сложной геометрии // Статика и динамика оболочек. Казань: КФТИ АН СССР, 1979. Вып. 12. С. 53-60.

244. Паймушин В.Н., Демидов В.Г. Уравнения теории многослойных оболочек со слоями переменной толщины и их применение к задачам теории упругости в неканонических областях // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань, 1985. № 18, ч. 2. С. 54-65.

245. Паймушин В.Н., Луканкин С.А. Нелинейная теория многослойных оболочек с жесткими несущими слоями и трансверсальио мягкими заполнителями переменной толщины // Прикл. проблемы прочности и пластичности. 1997. № 56. С. 69-77.

246. Пантелеев С.Д. О соответствии конструкций минимального веса и равнопрочных // Численные методы в механике твердого деформируемого тела. М.: ВЦ АН СССР, 1984. С. 154-161.

247. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля. Л.: Судпродгиз, 1941. 4.2. 960 с.

248. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1975. 120 с.

249. Пикуль В.В. Общая техническая теория тонких упругих пластин и пологих оболочек. М., Наука. 1977. — 151 с.

250. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М., Наука. 1985. 182 с.

251. Пикуль В.В. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1989. 221 с.

252. Пикуль В.В. Основные принципы построения прикладной теории оболочечных конструкций // Прикл. задачи механики деформируемых сред / АН СССР. ДВО. Ин-т автоматики и процессов управления. Владивосток, 1991. С. 67-80.

253. Пискунов В.Г., Вериженко В.Е. Уточненные решения геометрически нелинейных задач расчета слоистых оболочек и пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев 1988. № 52. С. 73-77.

254. Победря В.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

255. Критерии прочности армированных пластиков, основанные на особенностях механизмов разрушения // Дис. . докт. физ.-мат. наук. Ин-т машиноведения им А.А. Благонравова АН СССР. Москва, 1988. 350 с.

256. Присекин B.JL, Пустовой Н.В. Уравнения изгиба многослойных пластин // Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 1996. № 2. С. 69-77.

257. Прусаков А.П. Конечные прогибы многослойных пологих оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №3. С. 119-125.

258. Прусаков А.П. К теории изгиба слоистых пластин // Прикл. механика. 1997. Т. 33. № 3. С. 64-70.

259. Прусаков А.П., Миличенко С.А. Об одной итерационной теории существенно неоднородных пластин // Расчеты элементов конструкций. Трехслойные пластины и оболочки. М.: Машиностроение. 1985. С. 189-200.

260. Прусаков А.П., Растеряев Ю.К. Изгиб, устойчивость и колебания многослойных пластин несимметричного строения // Тр. VII Всесо-юз. конф. по теории оболочек и пластин, Днепропетровск. 1969. М. 1970. С. 518-523.

261. Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.

262. Рассказов А.О. К теории многослойных ортотропных пологих оболочек // Прикл. механика. 1976. Т. 12, № 11.- С 50-56.

263. Рассказов А.О., Бурыгина А.В. К уточнению сдвиговой теории слоистых ортотропных пологих оболочек // Прикл. механика. 1988. Т. 24, № 4. С. 32-37.

264. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга Н.А. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек. Киев: Вища шк., 1986.- 191 с.

265. Ривлин Р.С., Пипкин А.С. Проектирование сосудов давления, усиленных нерастяжимыми нитями // Тр. Амер.об-ва инж.-мех. Прикл. механ., 1983. №1. С. 123-129.

266. Рид B.C. Днища Кассини для сосудов давления. Тр. Амер. о-ва инж.-механиков. - Серия В, 1963. - Т.85. - №1. - С. 148-151.

267. Рикардс Р.Б. Оптимизация формы и структуры армирования оболочек вращения из волокнистых композитов Дис. докт. техн. наук.- М., 1983.

268. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. — 284 с.

269. Розани Р. Поведение равнонапряженной конструкции и ее отношение к конструкции минимального веса // Ракетная техника и космонавтика, 1965. №12. С. 115-124.

270. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. — 664 с.

271. Сельский Ю.С. О безмоментном сопряжении цилиндрической обечайки сосуда с днищами. Проблемы прочности, 1978. - №9. - С. 54-56.

272. Семенюк Н.П. Об уравнениях геометрически нелинейной теории оболочек типа Тимошенко //л. механика. 1978. Т. 14, № 2. С. 128132.

273. Сильченко П.Н., Голушко С.К., Баранов А.И., Мержевич В.В. Расчет и проектирование рефлектора антенного блока космического аппарата связи // Вестник КГТУ. Вып. 7. Сер. Машиностроение, транспорт. Красноярск: КГТУ, 1997. С. 85-89.

274. Сильченко П.Н., Голушко С.К., Мержевич В.В. Рациональное проектирование осесимметричных оболочек из композиционных материалов // Вестник КГТУ. Вып. 11. Сер. Машиностроение, транспорт. Красноярск: КГТУ, 1998. С. 162-170.

275. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Структурная теория армированных пластиков. Рига: Зинатне. 1978. 192 с.

276. Скудра A.M.,, Булаве Ф.Я. Прочность армированных пластиков. М.: Химия, 1982. 213 с.

277. Скудра A.M., Булаве Ф.Я., Роценс К.А. Ползучесть и статическая прочность армированных пластиков. Рига: Зинатне. 1971. 238 с.

278. Слепцов А.Г., Шепеленко В.Н. Пакет программ решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1988. (Препр. / СО АН СССР. ИТПМ; № 8-88)

279. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. М.: Мир. 1979. 312 с.

280. Соколовская И.И. Развитие подхода Рейсснера при построении прикладной теории многослойных ортотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью // Прикл. механика. 1980. Т. 16, № 3.

281. Старостин Г.И. Реализация безмоментного напряженного состояния в тонких упругих армированных оболочках Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1975.

282. Столярчук В.А. Определение формы некоторого класса оболочек вращения минимального веса, нагруженных внутренним равномерным давлением // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всес. межвуз. сб. Горький, 1977. Вып. 7. С. 104-108.

283. Столярчук В. А. Минимум веса оболочек вращения переменной толщины, нагруженных внутренним равномерным давлением // Прикладные проблемы прочности и пластичности Всес. межвуз. сб. Горький, 1980. Вып. 15. С. 111-115.

284. Танеева М.С. Основные нелинейные соотношения уточненной теории многослойных ортотропных нетонких оболочек // Статика и динамика оболочек. Казань, 1977. Вып. 8. - С. 19-31.

285. Терегулов А.Г. К теории многослойных анизотропных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1970. Вып. 6-7. С. 762-767.

286. Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э.С. Структурно-феноменологический подход к определению прочности пластини оболочек из композиционных материалов // Технология. Сер. Конструкции из композиц. материалов. 1992. N® 4. С. 3-9.

287. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С.А. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. — 636 с.

288. Угодчиков А.Г., Малков В.П. К вопросу оптимизации конструкций из условий прочности // Методы решения задач упругости и пластичности / Учен. зап. Горьк. гос. ун-та, 1971. Вып. 142. С. 93-101.

289. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Издательство Казанского ун-та, 1986. 295 с.

290. Чепига В.Е. К уточненной теории слоистых оболочек // Прикл. механика. 1976. Т. 12, № И. С. 45-49.

291. Чепига В.Е. О построении теории многослойных анизотропных оболочек с заданной условной точностью порядка hN // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 4. С. 113-120.

292. Чепига В.Е. Об асимптотической погрешности некоторых гипотез в теории слоистых оболочек // Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1986. С. 118-125.

293. Черевацкий В.В., Григорьев A.M. К исследованию нодоидных и ун-долоидных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970. Вып. 6-7. С. 251-275.

294. Черевацкий С.Б. О произвольных нитевых оболочках вращения, нагруженных давлением // Прочность и динамика авиационных двигателей. М.: Машиностроение, 1966. С. 20-30.

295. Черевацкий С.Б. О нитевых поверхностях вращения, нагруженных по осесимметричному закону // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1967. Вып. 5. С. 554-573.

296. Черевацкий С.Б., Ромашов Ю.П. К исследованию оболочек вращения, образованных намоткой одного семейства нитей // Прочность и динамика авиационных двигателей. М.: Машиностроение, 1966. С. 5-19.

297. Чикерел P., By Я. Формы оболочки, допускающие безмоментное состояние // Прикл. механ., 1970. Т. 37. № 1. С. 211-214.

298. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. Киев: Наук, думка, 1966. 4.2. 244 с.

299. Шерч Г., Бергграф О. Аналитическое исследование оптимальной формы сосудов давления, навитых из волокон // Ракетная техника и космонавтика, 1964. № 5. С. 33-47.

300. Ширко И.В. Осесимметричный изгиб равнопрочной цилиндрической оболочки // Прикл. механ., 1969. Т. 5. Вып. 4. С. 46-53.

301. Ascher U., Christiansen J., Russel R. D. Collocation software for boundary value ODEs // ACM. Trans, on Math. Software, 1981. Vol. 7. N. 2. P. 209-222.

302. Chicurel R. Shells of revolution free of bending under uniform axial loading // Intern. J. Sol. Struct., 1972. Vol. 8. N. 9.

303. Cooper A.A., Wu E.M. Traectorial fiber reinforcement of composites // Composite Materials in Engineering Design: Proc. 6-th Symp., St. Louis, 1973. P. 377-382.

304. Drucker D.C., Shield R.T. Bounds on minimum weighn design // Quart. Appl. Math., 1957. Vol. 15. N. 7. P. 269-281.

305. Golushko S. K. Rational constructing of thin composite shells // Modelling, Measurement к Control, B, AMSE Press, 1992. Vol. 46. N. 4. P. 13-17.

306. Golushko S.K. Analysis and design of a body of solid fuel jet engine // Problems of products quality assuranse in machine-building: proceedingof international-technical conference / Editor-in-chief V.V.Letunovsky; KSTU. Krasnoyarsk, 1994. P. 202-208.

307. Golushko S. K. Direct and inverse problems in mechanics of composite shells // Proceedings of The Sixth Japan-Russia Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics, 1998. Nagoya University, Nagoya, Japan. P. 125-130.

308. Golushko S.K., Yurchenko A.V. Effect of Structural and Mechanical Characteristics of the Composite Material on the Deformation of a Reflector Antenna // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2002. Vol. 43. N. 2. P. 315-319.

309. Home M.R. Shells with zero bending stresses // J. Mech. Phys. Sol., 1954. Vol.2, N. 2.

310. Kulkarni S.V., Chicurel R., Frederick D. Some ortotropic shells with bending suppressed // J. of the Endineering Mech., Div. ASCE, 1973. Vol. 2. N. EM3.

311. Murthy M.V., Kuisalaas J. Toroidal type shells free of bending unter uniform normal pressure //J. of the Franklin institute, 1966. Vol. 282, No. 4.

312. Russel R.D., Christiansen J. Adaptive mech selection strategies for solving boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal., 1978. Vol. 15, N. 1. P. 59-80.

313. Schmidt L.A. Structural design by systematik synthesis // Proceeding of the 2-nd National Cinference on Electronik Computation (American Sosiety of Civil Engineers. New York, I960. P. 105-132.

314. Shield R.T. Plate design for minimum weight // Quart. Appl. Math., 1960. Vol. 28, N. 2. P. 131-144.

315. Walter J.D., Patel H.P. Approximate expressions for the elastic constants of cord-rubber laminates // Rubber Chemistry and Technology, 1979. Vol. 52, N. 4. P. 710-724.