Нелинейные задачи расчета и оптимизации оболочек вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МАЛАХОВ ВЛАДИМИР ГЕОРГИЕВИЧ

УДК 539.3

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА И ОПТИМИЗАЦИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2003

Работа выполнена в Институте механики и машиностроения Казанского научного центра РАН

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

заслуженный деятель науки Республики Татарстан, доктор физико-математических наук М.С.ГАНЕЕВА

доктор физико-математических наук, профессор Ю.П.АРТЮХИН; доктор физико-математических наук, профессор Р.А.КАЮМОВ

Самарский государственный технический университет

Защита состоится 19 июня 2003 г. в 14ч.30м. в ауд. физ.2 на заседании диссертационного совета Д212.081.11 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико - математических наук по механике при Казанском Государственном университете ( 420008, г.Казань, ул. Кремлевская, 18)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГУ им. Н.И.Лобачевского.

Автореферат разослан "_" 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук / У

Ю/1 А.А.Саченков

]

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы В процессе создания новой конструкции возникает задача оптимизации ее размеров, формы и свойств материала. Анализ литературы показывает, что ежегодное число публикаций по оптимальному проектированию конструкций на протяжении последних десятилетий остается весьма большим, что указывает на устойчивый интерес исследователей к задачам оптимального проектирования.

Широкое применение конструкций, элементами которых являются пластины и оболочки, и условия их эксплуатации обуславливают необходимость использования при расчетах нелинейных уравнений теории оболочек, соотношений уточненных теорий оболочек и др. Среди публикаций, посвященных оптимизации пластин и оболочек, сравнительно мало работ, где рассматриваются нетонкие оболочки, оболочки с несимметричным относительно поверхности приведения распределением материала, в которых учитываются большие перемещения и неупругое поведение материала. Имеется лишь небольшое число публикаций по параметрической оптимизации составных оболочек, в которых определяются не только толщины оболочечных элементов, но и жесткостные параметры подкрепляющих элементов. Недостаточно разработаны методики оптимизации составных оболочек из неупругого материала с использованием анализа чувствительности проектов.

Все вышеизложенное и определяет актуальность исследований, выполненных в диссертации.

Целью настоящей работы является развитие математических методов и создание эффективных алгоритмов и программ расчета и оптимизации конструкций, состоящих из тонких и нетонких оболочек вращения постоянной или переменной толщины различной геометрии, при учете геометрической и физической нелинейностей и несимметричном относительно поверхности приведения распределении материала; исследование напряженно- деформированного состояния (НДС) получаемых оптимальных проектов.

Научную новизну работы составляют следующие результаты.

Предложен алгоритм метода продолжения решения по параметру для решения задачи о больших осесимметричных прогибах оболочек вращения. В качестве параметра продолжения используется длина дуги кривой равновесных состояний. Получены решения ряда задач о больших прогибах оболочек вращения.

Разработан алгоритм поиска проекта обол^хда-в^ащстшя^бли^ой к

равнопрочной.

БИБДИвТеХА С Петеру 08 МО.

На основе метода комплексного поиска разработан алгоритм поиска оптимальной по весу составной оболочки вращения при ограничениях по прочности для случая, когда искомыми проектными переменными являются толщины оболочечных элементов и параметры подкрепляющих колец. Поиск проекта может осуществляться в области искомых параметров, для которых заданная нагрузка близка к критической.

На случай геометрически нелинейных соотношений обобщена известная методика решения задачи об оболочке наибольшей жесткости при заданном объеме материала, в которой критерием качества (мерой жесткости) является стационарное значение дополнительной работы деформации. Получены условия оптимальности и разработан алгоритм оптимизации составной оболочки вращения, в которой определяются толщины оболочечных элементов и жесткостные параметры колец.

Аналогичная методика предложена для решения задачи рационального распределения материала в нетонкой оболочке при неосесиммет-ричном нагружении.

Получено выражение первой вариации интегрального функционала качества общего вида для составной оболочки вращения с нелинейно-упругими оболочечными элементами через вариации толщин оболочечных элементов и жесткостных параметров колец. На основе полученного выражения выведены необходимые условия оптимальности для задачи минимизации функционала обобщенного перемещения в оболочке при заданном объеме материала. Разработан численный алгоритм решения задачи.

Получено выражение первой вариации интегрального функционала, характеризующего качество тонкой упругой анизотропной оболочки, через вариации жесткостных параметров оболочки при учете геометрической нелинейности и деформации поперечного сдвига.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается:

- строгими математическими постановками рассматриваемых задач и обоснованным применением математических методов;

- практической сходимостью численных решений при увеличении числа узлов разбиения меридиана, а также контролем получаемого решения по первому интегралу канонической системы уравнений;

- сравнениями решений прямых и оптимальных задач с известными аналитическими и численными решениями.

Практическая ценность.

Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы

для решения важных прикладных задач расчета и оптимизации элементов летательных аппаратов, изделий конструкционной оптики. По практическому применению алгоритмов и программ опубликованы методические рекомендации МР 200-86 1.

На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Алгоритм метода продолжения решения по параметру длины дуги кривой равновесных состояний для решения задач о больших осесим-метричных прогибах оболочек вращения и результаты решения новых задач.

2. Алгоритм решения задачи поиска переменной толщины в оболочках вращения, близких к равнопрочным, и результаты решения задач о равнопрочных и близких к равнопрочным оболочках вращения при учете геометрической и физической нелинейностей, а также несимметричности распределения материала относительно заданной поверхности приведения.

3. Алгоритм весовой оптимизации составных оболочек вращения на основе метода комплексного поиска и полученные результаты решения ряда задач.

4. Методика решения задач оптимального распределения материала в составных упругих оболочках вращения при учете геометрической нелинейности в случае, когда критерием качества является стационарное значение функционала дополнительной работы деформации, и результаты расчетов.

5. Методика решения задачи поиска оптимального распределения материала в нетонкой упругой ортотропной оболочке вращения с заданным объемом материала, обеспечивающего минимальное значение функционала энергии деформации, и результаты поиска оптимальных проектов оболочек.

6. Анализ чувствительности функционала, характеризующего качество составной оболочки вращения с нелинейно-упругими оболочечными элементами несимметричного строения, алгоритм и результаты решения задачи о минимальном значении обобщенного перемещения.

7. Анализ чувствительности интегрального функционала качества для случая анизотропной оболочки при учете геометрической нелинейности и деформации поперечного сдвига.

Апробация работы. Основные положения диссертации доклады-

1 Расчеты и испытания на прочность. Метод и программа расчета на ЭВМ ЕС осс-симметричных оболочечных конструкций при учете физической и геометрической нелинейностей. Методические рекомендации МР 200-86 / Корнишин М.С.. Танеева М.С.. Малахов В.Г. - М.: ВНЙИНМАШ, 1986. 32с.

вались и обсуждались: на IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (г.Ленинград, 1973г.); на X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (г.Кутаиси, 1975г.); на XII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (г.Ереван, 1980г.); на Республиканской научно - технической конференции "Механика сплошных сред" ( г.Набережные Челны, 1982г.); на II Республиканской научно-технической конференции "Механика машиностроения" ( г.Брежнев, 1987г.); на Итоговых конференциях Казанского государственного университета (1993, 1994г.г.); на XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (г.Казань, 1995г.); на Международном научно-техническом семинаре "Новые технологии - 96" (г.Казань, 1996г.); на XIX Международной конференции по теории оболочек и пластин (г.Нижний Новгород, 1999г.); на Итоговых конференциях Казанского научного центра РАН; на научных семинарах Института механики и машиностроения КНЦ РАН.

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 10 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 218 наименований. Изложена на 153 страницах машинописного текста, содержит 9 таблиц и 31 рисунок.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, приводится обзор публикаций по теме диссертационной работы и кратко излагается ее содержание.

В главе I приведены основные соотношения и методики расчета нелинейного осесимметричного НДС составной оболочки вращения. Предполагается, что торцы оболочки и узлы сопряжения оболочечных элементов подкреплены плоскими упругими кольцами. Для оболочечных элементов приняты следующие допущения:

а) прогибы оболочки сравнимы с ее толщиной, используются соотношения геометрически нелинейной теории среднего изгиба ;

б) допускается работа материала оболочки за пределом текучести, принята теория малых упругопластических деформаций, разгрузка не учитывается;

в) оболочка тонкая и к ней применимы гипотезы Кирхгофа-Лява;

г) допускается несимметричное распределение материала относительно заданной поверхности приведения.

Описан алгоритм расчета НДС составной оболочки вращения. Задача определения НДС оболочки сводится к краевой задаче для канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

~ = А(з)У + Т(з,У) + Ф(з,У) + ф), (1)

где У = {Т\, и, и>, )т - вектор искомых функций, Г(з, У), Ф(в, У)

- векторы, содержащие геометрически и физически нелинейные члены, - вектор термосилового нагружения, А(в) - матрица размерности 6x6. Заданы краевые условия на торцах з = в = зн и условия сопряжения оболочечных элементов.

Для решения нелинейной задачи используется итерационный процесс, в котором при переходе от приближения У'4) к решается линейная краевая задача для системы уравнений

гГУ(Ш)

= (А(в) + _г„(в, у <'))¥<*>+

+Г(5,У^) + Ф(5,У^) + Ч(5), (2)

где Г„(а,У) - матрица Якоби вектор-функции Г(в,У). При решении этой задачи используется метод ортогональной прогонки, задача Коши решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Приводятся результаты решений тестовых задач для сравнения с известными из литературы аналитическими и численными решениями. Влияние геометрической и физической нелинейностей, а также температурного воздействия, иллюстрируется решением задачи расчета НДС составной оболочки.

Получены решения задач о больших прогибах нелинейно-упругой эллипсоидальной оболочки переменной толщины. На оболочку действует вертикальная погонная нагрузка, приложенная к кольцу, подкрепляющему центральное отверстие. Применен метод продолжения решения по параметру интегрального прогиба. Исследовано влияние на критическую нагрузку параметров тонкостенности и предела текучести материала.

Предложен алгоритм метода продолжения решения по параметру, в котором в качестве параметра продолжения используется длина дуги кривой равновесных состояний (КРС). Кривая определяется следующим образом. Рассматривается каноническая система дифференциальных уравнений 7-ого порядка, получающаяся добавлением к системе (1) уравнения ¿р/йв = 0, р - параметр нагрузки. Такую систему

можно записать в виде (1) для вектора разрешающих функций = {ТиЯи М\,и,'ш,ш1,р)т. Считаем, что общее решение системы записано в виде Y■ = У(в,Уя), где У^н = • При удовлетворении граничных

условий при в = вя независимыми остаются только четыре компоненты Уя (или четыре комбинации компонент), задание которых однозначно определяет решение системы (1). Пусть этими компонентами будут Уш, г =1,4, где у^ — р. Подставляя общее решение системы в граничные условия на левом торце, получаем систему трех нелинейных уравнений с 4-мя неизвестными ущ. Множество решений этой системы, изображаемое в четырехмерном пространстве, представляет собой КРС.

Построение КРС и решение задачи о больших прогибах оболочек осуществляется следующим образом. Пусть найдена последовательность точек А^(!/1я>У2Я>Узя>Р;')> 3 = 1>т на КРС. Требуется определить координаты точки Мш+1(?/1я, У2Н, Узн,р), отстоящей от Мт на расстояние <1т, где ёт- задаваемая величина. Определяя расстояние по касательной к КРС в точке М,„, можно записать

ХЬ* - УТЖ = (3)

1

где - компоненты единичного вектора направления прямой, проходящей через точки М,„_ 1 и Мт. Соотношение (3) рассматривается как граничное условие, замыкающее постановку краевой задачи для канонической системы седьмого порядка. Задача решается с использованием итерационного процесса (2). В качестве нулевого приближения используется решение, полученное для точки Мт. При реализации алгоритма для каждой из величин у,ц в условие (3) вводились масштабные множители, поскольку интервалы изменения величин угц могут сильно различаться.

С помощью описанного алгоритма решена задача о больших прогибах замкнутой в полюсе сплюснутой эллипсоидальной оболочки вращения под внешним давлением. Для выяснения характера критической точки в нагрузку вносилось возмущение, при котором закон изменения нагрузки имел вид:

^ ,л , «я + «о -

Х3 = р( 1+£ —---),

«Я - во

где е - малый параметр возмущения. На рисЛа приведены кривые "нагрузка-прогиб " для линейно-упругого материала, на рис.16 - для нелинейно-упругого материала. В качестве параметра прогиба взято зна-

чение го(во). Точки, отмеченные буквой "а" на кривых рис.16, соответствуют началу появления пластических зон а = буквой "Ь" - уровню напряжений с/а, — 1,1, где cr,cra - максимальное значение интенсивности напряжений в оболочке и предел текучести материала. Анализ кривых позволяет сделать вывод о наличии точки ветвления решения как для линейно-упругой, так и нелинейно-упругой оболочки.

Глава II посвящена задачам весовой оптимизации составной оболочки вращения с оболочечными элементами постоянной или переменной толщины при учете физической и геометрической нелинейностей.

Рассмотрена задача поиска закона изменения толщины h(s) в равнопрочных оболочках. Значения hj = h(sj) в узлах заданного разбиения меридиана оболочки s; определяются из условия равнопрочности

= (4)

' где а* - допускаемый уровень напряжений, гт;- максимальная в сечении оболочки s — Sj интенсивность напряжений, с использованием итерационного процесса

hf+1) = тах{^к) + r(a¡h) - a'), hfí}, (5)

где г - параметр, обеспечивающий сходимость процесса, h¡j - минимальное допускаемое значение h. Процесс (5) применялся также для поиска дискретно - равнопрочных проектов составных оболочек, в которых j-ыя оболочечный элемент проектировался с постоянной толщиной, а величина <?j определена как максимальная по объему j-ого элемента интенсивность напряжений.

Предложен алгоритм поиска проекта оболочки, близкой к равнопрочной. В этом случае искомый закон изменения толщины аппроксимируется заданной функцией h = y>(s,/3), зависящей от небольшого числа искомых параметров (3 = (AjA, •••Ап)- Алгоритм представляет собой итерационный процесс:

= pW + S, (6)

в котором S(Si, 62,..., 5т) - решение задачи линейного программирования:

min V{4<p{k) ■ 6), (7)

Vpf ■ * > maxírfVf ~ **)> hH - ff },

где V - объем материала оболочки. Для оболочек, имеющих значительную безмоментную область, наилучшая скорость сходимости процесса

(6)1(7) наблюдалась при т]*' = р^/а^У При расчетах в качестве функции использовались многочлены и кусочно-линейные функции.

Решена задача о равнопрочном пологом сферическом куполе с жестко заделанным основанием под действием равномерного давления. Исследуется влияние несимметричности распределения материала на закон изменения толщины и объем материала купола. Геометрическая и физическая нелинейности не учитывались. Законы изменения толщины, полученные для случаев, когда заданной поверхностью приведения является внешняя ограничивающая поверхность и срединная поверхность, приведены на рис.2а,б. Пунктирными линиями изображены зависимости Л(я) для проектов равнопрочной круглой пластины радиуса а. Наблюдается существенная разница в проектах равнопрочных оболочек, соответствующих различным способам распределения материала. В случае несимметричного распределения образуется ряд утолщений, увеличивающих вес оболочки. Для пластины эти различия практически отсутствуют.

С целью исследования влияния на проекты равнопрочных оболочек геометрической и физической нелинейностей решены задачи поиска равнопрочных проектов тороидальной оболочки с разрезом по малому экватору и цилиндрической оболочки с эллипсоидальными днищами, имеющими центральные отверстия, подкрепленные кольцами. Решены также задача о дискретно - равнопрочной составной оболочечной конструкции, состоящей из шести оболочечных элементов, и ряд задач поиска проектов оболочек, близких к равнопрочным. Во всех случаях на оболочки действовало равномерное внутреннее давление.

Вес оболочек в равнопрочных и близких к равнопрочным упругих проектах оказался на 30-60% меньше веса начальных проектов оболочек постоянной толщины. Для неупругих проектов экономия материала составила 18-50%. В дискретно - равнопрочных проектах вес уменьшился на 9-14%. Учет геометрической и физической нелинейностей приводил к проектам, соответственно, на 5-25% и на 14-30% более легким, чем полученным без учета нелинейностей.

Предложен алгоритм решения задачи весовой оптимизации оболочек при ограничениях по прочности. Основу алгоритма составляет метод комплексного поиска, используемый для решения задачи нелинейного программирования. Одномерный поиск, применяемый при определения вершин комплекса, в случае учета геометрической нелинейности организуется как метод продолжения решения по параметру, определяющему положение точек прямой в направлении этого поиска. Такой подход

позволил осуществлять поиск рациональных по весу проектов в области изменения параметров проектирования, для которой выполняются как ограничения по прочности, так и условие "заданная нагрузка меньше критической". Алгоритм применяется для решения задач, в которых искомыми параметрами проектирования могут быть как толщина, так и размеры поперечных сечений колец. Получены рациональные проекты линейно-упругих и нелинейно-упругих оболочек вращения, находящихся под действием осесимметричных нагрузок. На рис.3 приведены результаты оптимизации цилиндрической оболочки с эллипсоидальными днищами при действии внутреннего давления. Отверстия днищ закрыты крышками, принято а*¡а, = 1.1. Сечения колец проектируются квадратными, а толщины цилиндра и днищ постоянными. На рис.4 представлены результаты проектирования замкнутой в полюсе сплюснутой эллипсоидальной упругой оболочки, находящейся под внешним давлением. Цифрой 1 отмечены линии, полученные при учете геометрической нелинейности, цифрой 2 - без ее учета. При учете геометрической нелинейности ограничения по прочности оказались неактивными как для начального проекта постоянной толщины (штриховые линии), так и для оптимального проекта. Заданная нагрузка в обоих случаях оказалась близкой к критической. Характер критической нагрузки определялся последующим решением задачи о больших прогибах. Результаты расчетов показали, что если в начальном проекте заданной нагрузке соответствует точка ветвления, то в оптимальном проекте заданная нагрузка - предельная точка. На рис.4 приведены зависимости "нагрузка-прогиб" для оптимального проекта.

В главе III рассмотрена задача рационального распределения материала в оболочках. В качестве оптимизируемого функционала выбрана дополнительная работа деформации, принимаемая за характеристику жесткости оболочки. Разыскиваются проекты оболочек с заданным объемом материала, для которых величина дополнительной работы принимает стационарное значение.

Предложена методика решения задачи для составной оболочки вращения с тонкими упругими оболочечными элементами. Учитывается геометрическая нелинейность. Выражение дополнительной работы при последовательном соединении оболочечных элементов имеет вид

1

П = 2тг /(Ф + -o»?Ti)rde + 2тг £ рк?к, (8)

So к

где Ф - удельная энергия деформации оболочки, Тд. - энергия деформации, приходящаяся на единицу длины срединной линии к -го кольца.

С использованием вариационного принципа Кастильяно получено выражение первой вариации функционала (8) через переменные проектирования. В качестве таких переменных принимаются закон изменения толщины оболочек, функция, задающая распределение материала относительно поверхности приведения, размеры поперечных сечений колец и параметры, характеризующие относительное расположение оболочек и кольца. Выражение вариации используется для получения условий оптимальности сформулированной задачи при "конструктивных" ограничениях на толщины оболочечных элементов

ЬН<Ь< кв, (9)

где кв • минимально и максимально допустимые толщины, и изо-периметрическом условии постоянства объема материала

»и

V = 2тг I ктйз + 2тг £ ркРк = К0.

»о к

Предполагается также, что способ распределения материала в оболочках задан, а геометрические параметры колец связаны условием = <jfc.Fi?, где ци -параметр, постоянный для &-го кольца. Методом множителей Лагранжа получены необходимые условия оптимальности проекта составной оболочки

|* + А = 0, §£ + А = 0, * = 1,2... . (Ю)

Определение оптимальных величин к и к = 1,2... сводится к совместному решению задачи расчета НДС и уравнений (10).

Предложен итерационный алгоритм поиска оптимального проекта, обобщающий алгоритм, известный в литературе, на случай составной оболочки и учета геометрической нелинейности. Алгоритм применялся для поиска оптимальных проектов оболочек различной геометрии, при различных условиях закрепления торцов и характере нагрузки. На рис.5 приведены результаты оптимизации цилиндрической оболочки с эллипсоидальными днищами, находящейся под действием внутреннего давления. Штриховые линии относятся к начальному проекту. В оптимальном проекте площадь поперечного сечения кольца А увеличивается; кольцо В вырождается, но вместо него возникает утолщение, снижающее уровень напряжений. Расчеты показали, что эффект снижения прогибов существенен в случае преобладания моментного напряженного состояния в начальных проектах оболочек. Для оболочечных

элементов с большой безмоментной областью наблюдается только значительное уменьшение напряжений в местах их концентрации вследствие уменьшения в оптимальных проектах энергии деформации изгиба. Влияние геометрической нелинейности на оптимальные проекты в рассмотренных задачах оказалось невелико, поскольку эти проекты обладают меньшей податливостью, чем начальные проекты.

Рассмотрена задача оптимального распределения материала, обеспечивающего минимальное значение энергии деформации в нетонкой упругой оболочке вращения переменной толщины, находящейся под действием неосесимметричной нагрузки. Используются соотношения линейной теории оболочек средней толщины, учитывающей деформации поперечного сдвига. Расчет НДС проводится по методике, сочетающей разложение искомых функций в тригонометрические ряды по окружной координате с методом ортогональной прогонки. На основании вариационного принципа Лагранжа получены необходимые условия оптимальности проекта для ортотропного материала. По аналогии с алгоритмом оптимизации тонких оболочек построен итерационный алгоритм поиска оптимальной толщины нетонкой оболочки. Приведены решения задач оптимизации в случае осесимметричного распределения материала. Для задачи оптимизации кольцевой изотропной пластины, находящейся под действием распределенной нормальной нагрузки Р(<р) = Рц cos А'р ( Pu = const), проведено сравнение с известным из литературы решением Н.Ольхоффа, полученным с использованием гипотез Кирхгофа -Лява и метода конечных элементов. Образование кольцевых ребер в оптимальных проектах работы Ольхоффа, зависящее от числа конечных элементов, при использовании предлагаемой методики не наблюдается. Разница в значениях функции h(s) и характеристиках НДС проектов, полученных при разбиении радиуса пластины на 100, 200 и 400 отрезков, не превышает 1%. Доля энергии деформации поперечного сдвига в оптимальном проекте составляет 20% величины энергии деформации изгиба-кручения. Получены оптимальные проекты изотропной цилиндрической оболочки с жестко заделанными торцами, находящейся под действием нормального давления Р{<р) = Д)(1 + Acosmtp), где Ра, А -постоянные, m = 1,2,... . Цель расчетов - исследование влияния возмущений осесимметричной нагрузки (А — 0) на оптимальный проект и его характеристики. Показано, что при m — 4 и А < 0.3 эти возмущения не оказывают заметного влияния на закон h = h(s), при m = 1 и А = 0.1 форма h(s) существенно отличается от полученной при осесимметричной нагрузке. Оптимальное распределение материала уменьша-

ет величину энергии деформации на 4-6% .

Глава IV посвящена оптимизации оболочек при интегральных критериях качества, когда использование вариационных принципов для исключения вариаций функций, характеризующих НДС оболочки, не представляется возможным. На основе анализа чувствительности проекта к изменениям толщины получены необходимые условия оптимальности проектов.

Рассматриваются задачи оптимального проектирования составных оболочек вращения, в которых искомыми переменными проектирования являются как толщины последовательно соединенных между собой оболочечных элементов, так и параметры подкрепляющих колец. Полагается, что составная оболочка характеризуется функционалом качества < • ■ -- < • - •* **

J = + (11)

к

где 7ц является характеристикой оболочечных элементов составной оболочки

»я

■7(1 = / }{уо, Ь)гс1з,

ао

величина Jík характеризует к -ое кольцо

Лк = <р(у1к,тк), к = 1,2,...,

Уи и у и- вектор переменных состояния, характеризующих НДС оболочек и к -ого кольца

Уи = {Т1,Т2,МиМ2,Ши£и£2,КиК2,и,ю), у1к =

Тк — (Рк, Рк> Л) - вектор жесткостных параметров кольца.

Получено выражение первой вариации функционала (11) для случая учета геометрической и физической нелинейностей. На его основе выведено необходимое условие оптимальности для задачи оптимального распределения материала в оболочке заданного веса, когда в качестве функционала цели взято обобщенное перемещение. Разработан итерационный алгоритм решения задачи, обобщающий алгоритм, приведенный в работе В.И.Гололобова, на случай составной оболочки. Найдены оптимальные проекты кольцевой пластины при действии инерционной нагрузки для случаев, когда в качестве плоскости приведения взяты срединная и одна из ограничивающих плоскостей, а обобщенное перемещение представляет собой прогиб у отверстия. На рис.6 приведены результаты оптимизации конструкции, состоящей из сферической и конической оболочек, под действием инерционной нагрузки для случая,

когда за поверхность приведения принята внутренняя ограничивающая поверхность, а обобщенным перемещением является интегральный прогиб сферической оболочки, £ - осевое перемещение.

Получены выражение первой вариации интегрального функционала, характеризующего качество упругой анизотропной оболочки, через вариации жесткостных параметров, и сопряженная система уравнений. НДС оболочки описывается соотношениями геометрически нелинейной теории среднего изгиба, учитываются деформации поперечного сдвига. Для случая линейных соотношений вывод аналогичного выражения приведен в монографии В.А.Троицкого и Л.В.Петухова. Рассмотрен также вариант соотношений, основанных на гипотезах Кирхгофа -Лява. Получено условие оптимальности в задаче определения толщины оболочки с заданным объемом материала.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен алгоритм метода продолжения решения по параметру для решения задачи о больших осесимметричных прогибах оболочек вращения. В качестве параметра продолжения используется длина дуги кривой равновесных состояний. Получены новые результаты решения задач о больших прогибах линейно-упругих и нелинейно-упругих сплюснутых эллипсоидальных оболочек вращения.

2. Разработаны алгоритмы поиска переменной или постоянной толщины равнопрочных и близких к равнопрочным элементов составных оболочек вращения при учете геометрической и физической нелинейнос-тей. Получены проекты таких оболочек. Показано, что для оболочек, находящихся под действием равномерного внутреннего давления, учет физической и геометрической нелинейностей может приводить к проектам равнопрочных оболочек на 20-40% более легким, чем полученным при использовании линейных соотношений. Существенное влияние на проект оболочки может оказывать и способ распределения материала относительно заданной поверхности приведения.

3. Предложен алгоритм последовательной весовой оптимизации составной оболочки вращения при ограничениях по прочности в случае, когда искомыми проектными переменными являются толщины оболо-чечных элементов и параметры подкрепляющих колец. Основу алгоритма составляет метод комплексного поиска. Алгоритм позволяет находить рациональные проекты оболочек, для которых заданная нагрузка близка к критической. Получено решение ряда новых задач.

4. Предложена методика решения задачи оптимального распределения материала в оболочке наибольшей жесткости при учете геометрической нелинейности. Мерой жесткости выбрано значение дополнительной работы деформации. Получены необходимые условия оптимальности для составной оболочки вращения, в которой разыскиваются не только толщины оболочечных элементов, но и жесткостные параметры колец. Разработан итерационный алгоритм поиска оптимальных параметров. Исследовано влияние геометрической нелинейности на проект оболочки. Показано, что эффект снижения прогибов и напряжений значителен в случае преобладания моментного напряженного состояния в начальном проекте оболочки. Для оболочек с большой безмоментной областью этот эффект значительно меньше, но и в этом случае перераспределением материала можно существенно снизить напряжения в местах их концентрации. При этом во всех рассмотренных задачах наблюдается значительное уменьшение величины энергии деформации изгиба.

5. Разработана методика решения задачи рационального распределения материала в нетонкой ортотропной оболочке вращения. Критерием качества принято минимальное значение энергии деформации оболочки. Приведен вывод условий оптимальности. Исследовано влияние неосесимметричных возмущений осесимметричной нагрузки на оптимальный проект изотропной цилиндрической оболочки.

6. Получено выражение первой вариации интегрального функционала качества для составной оболочки вращения с нелинейно-упругими оболочечными элементами через вариации толщин оболочечных элементов и жесткостные параметры колец. На основе этого выражения записаны необходимые условия оптимальности для задачи минимизации функционала обобщенного перемещения в оболочке при заданном объеме материала. Разработан численный алгоритм решения задачи. Решены задачи оптимизации кольцевой пластины несимметричного строения и конструкции, состоящей из сферической и конической оболочек, находящихся под действием инерционной нагрузки.

7. Получено выражение первой вариации интегрального функционала, характеризующего качество тонкой упругой анизотропной оболочки, через вариации жесткостных параметров оболочки при учете геометрической нелинейности и деформации поперечного сдвига.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Малахов В.Г. К оптимизации оболочек вращения переменной толщины // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Казань:

КФТИ КФАН СССР, 1977. Вып.9. С.57-63.

2. Малахов В.Г. Равнопрочные упругопластические оболочки вращения переменной толщины / М.С. Танеева, В.Г. Малахов // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1978. Вып.10. С.143-152.

3. Малахов В.Г. Оптимальные составные оболочки вращения при учете геометрической и физической нелинейностей / М.С. Танеева, В.Г. Малахов // Труды XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во Ереван.ун-та, 1980. Т.2. С.19-24.

4. Малахов В.Г. Алгоритм комплексного поиска в задачах весовой оптимизации оболочек вращения // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1980. Вып.13. С.67-74.

5. Малахов В.Г. Большие осесимметричные прогибы и устойчивость упругопластической эллипсоидальной оболочки вращения переменной толщины / М.С. Танеева, В.Г. Малахов // Устойчивость пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. С.26-28.

6. Малахов В.Г. К оптимизации оболочек вращения по жесткости при учете геометрической нелинейности// Исслед. по теории оболочек. Труды семинара. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1982. Вып.15. С.111-119.

7. Малахов В.Г. Об одном алгоритме метода продолжения по параметру для решения осесимметричных задач о больших прогибах непологих оболочек вращения // Тезисы докл. II Респ. научно- технической конф. Брежнев, 1987. С.31.

8. Малахов В.Г. К оптимизации составных оболочек вращения при интегральных критериях качества // Исслед. по теории оболочек. Труды семинара. Вып.XXI, ч.1. Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т КФАН СССР, 1988. С.51-63.

9. Малахов В.Г. О дифференцировании функционалов качества в задачах оптимизации жесткостей тонких упругих оболочек // Исслед. по теории оболочек. Труды семинара. Вып.ХХ1, ч.1. Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т КФАН СССР, 1988. С.43-50.

10. Малахов В.Г. Поиск оптимальной толщины нетонкой оболочки вращения // Механика оболочек и пластин. Сборник докл. XIX Меж-дунар. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. С.135-140.

i_Ei

a/b=2, a/h=100

p/(2G) -10

p/(2G) -10

E=-0,08 ' 3^02 ^e=0,02

/ \=0,08

/

-0,5 -1,0 w/h

6

h/a-10

^>,1

VP.3'; ■•'eH=o,i

A / B

A -

PMC. 1

P ^ A

B sin0H=a/R

h/a-10

eH=o,i"

e =0,3 —i-jf-

A

Pmc. 2

/ fill -1—^

a/ p a >

L—1.5a—J

h° = h° =0,965-10"*a № -2 -2 hAB=0,740 -10 a h^ 0,955 -10 a

„-2

g

0,5 0

-«__--— —

A B c

-i-J- d4 —

e

e®= 0,10a

A

e =0,033a

; d j>

e£=0,10a e0= 0,080a

Pmc. 3

h/a-10 1,6

и

as

0,5 О

1 Л

----

с

\ / A 1 с

p/(2G)-10

-4,0 -2.0

E<0 > _A & 3

/ л E = 0

E>0

О -0,5 -1,0 -1,5 w/h

РИС.4

h/a 10

k>'

В "Pi

и>

-0,5 -1,0 -1,5

h

y" s y s

s* s* h0

ho=0,05a

Рис 6

•f-

aъм* a.

К) -962 9

2_0©3~

Лицензия на полиграфическую деятельность №0128 от 08.06.98г. выдана Министерством информации и печати Республики Татарстан Подписано в печать 5.05.2003 г. Форм. бум. 60x84 1/16. Печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 95.

Минитипография института проблем информатики АН РТ 420012, Казань, ул.Чехова, 36.

Основные обозначения и сокращения

Введение

Глава I. Основные соотношения и методика решения осесимметрич-ных геометрически и физически нелинейных задач для составных оболочек вращения

1.1. Основные соотношения для элементов составной оболочки вращения

1.2. Алгоритм расчета напряженно - деформированного состояния составной оболочки вращения.

1.3. Результаты тестирования алгоритма и решение некоторых задач расчета напряженно-деформированного состояния составных оболочек вращения

1.4. Большие осесимметричные прогибы и устойчивость оболочек вращения.

Глава II. Весовая оптимизация оболочек вращения при учете геометрической и физической нелинейностей.

2.1. Равнопрочные оболочки вращения

2.2. Оболочки вращения, близкие к равнопрочным----.

2.3. Оптимальное проектирование составных оболочек вращения методом комплексного поиска,

Глава III. Задача рационального распределения материала в оболочках

3.1. Оптимизация оболочек вращения по жесткости при учете геометрической нелинейности

3.2. Оптимальное распределение материала в нетонкой оболочке вращения при неосесимметричном нагружении

Глава IV. Применение анализа чувствительности в задачах оптимизации тонких оболочек

4.1. Оптимизация составных оболочек вращения: при интегральных критериях качества

4.2.0 дифференцировании функционалов качества в задачах оптимизации жесткостей тонких упругих оболочек

Естественной составляющей процесса создания новой конструкции является оптимизация ее формы и проектных параметров. Развитие эффективных методов расчета конструкций, а также математических методов оптимизации, привели к выделению вопросов оптимизации конструкций в отдельную ветвь механики деформируемого твердого тела - теорию оптимального проектирования конструкций (ОПК). Задачей ОПК является создание конструкции, обладающей наилучшими показателями качества (минимальным весом, максимальной жесткостью, минимальной стоимостью и т.д.) среди множества допустимых конструкций, удовлетворяющих заданной системе ограничений ( прочностных, конструктивных и др.) [34, 101] . Круг задач и методик, рассматриваемых в ОПК, весьма широк. Поэтому не представляется возможным дать достаточно полный обзор публикаций даже по ограниченному числу тем, входящим в ОПК. Ряду проблем посвящены обзоры [14, 15, 32, 33, 80, 85, 118, 125, 137, 144, 154, 178, 213] и др., монографии [9, 12, 13, 119, 145, 152, 160, 179, 180, 184, 194, 199, 214] и др. Списки литературы более раннего периода (до 1975г.) приведены в указателе [29]. Универсальные алгоритмы оптимизации конструкций включены в состав "тяжелых" комплексов программ ANSYS, MSC.NASTRAN, Pro/ENGINEER и др.

Потребности техники в создании легких прочных экономичных конструкций обуславливают развитие ОПК в настоящее время. В последние годы появились ряд новых направлений, среди которых можно выделить топологическую оптимизацию конструкций [194, 196, 201, 208, 210, 213] , использование генетических алгоритмов [197, 200, 211, 218], нейронных сетей [192, 204] и др. Получили развитие методы многокритериальной оптимизации [2, 151, 161, 178].

Широкое применение тонкостенных конструкций стимулирует развитие методов их расчета и оптимизации. Значительное число исследований посвящено статическим и динамическим задачам оптимизации пластин и оболочек, выполненных из слоистых и композиционных материалов [3, 25, 27, 64, 71,130,161, 216] и др. В отличие от конструкций из традиционных материалов здесь необходимо одновременно оптимизировать геометрию конструкции и свойства материала, определяемые углами армирования, толщинами слоев пакета и др.

Задачи оптимизации пластин и оболочек, подкрепленных регулярной сеткой ребер жесткости, представлены в работах [81, 86, 87, 143, 170, 172] и др. В большинстве случаев оптимальные проекты ищутся в классе конструктивно - ортотропных оболочек, что позволяет использовать существующие аналитические решения прямой задачи (например, для цилиндрической оболочки) для исключения переменных, характеризующих напряженно - деформированное состояния (НДС) конструкции, из математической постановки задачи оптимизации.

Наиболее разработанными являются вопросы весовой оптимизации пластин и оболочек из идеально - пластического материала [75, 76, 79, 126, 135, 136, 139, 176] и др. Применяемые здесь методы жестко -пластического анализа оказываются весьма эффективными для оценки несущей способности конструкций, т.к. не требуют решения сложных краевых задач, возникающих в случае использования модели уп-ругопластического тела. Фундаментальные результаты в оптимизации конструкций из идеально - пластического материала были получены в 50-60х годах XX века [152, 163, 186, 188] и др. Вопросам оптимизации пластин и оболочек из упругопластического материала с учетом приспособляемости посвящена монография [150].

Отметим далее некоторые работы, близкие к настоящей либо по постановке задачи, либо по объектам исследований и применяемой методике решения.

Постановка задачи оптимизации включает выбор модели (используемые уравнения и граничные условия), функционалов качества и ограничений на переменные проектирования и состояния. Кроме того, задачи ОПК можно классифицировать [12] по их размерности, способу вхождения переменных проектирования в основные соотношения (управление коэффициентами уравнений или границами областей), характера экстремума (одноэкстремальные или многоэкстремальные задачи), числом оптимизируемых функционалов (однокритериальные и многокритериальные задачи)и др.

Настоящая работа посвящена оптимальному проектированию составной оболочки вращения, находящейся под действием статической нагрузки. Торцы и узлы разрыва геометрических характеристик меридиана (узлы сопряжения) могут быть подкреплены плоскими упругими кольцами. Изотропные оболочки, входящие в состав конструкции, имеют постоянную или переменную толщину, допускается несимметричное распределение материала относительно поверхности приведения, учитывается геометрическая и физическая нелинейности. Искомыми переменными проектирования являются толщины оболочечных элементов и размеры поперечных сечений колец. Рассматриваются задачи минимизации веса оболочки при ограничениях по прочности и задачи оптимального распределения материала. Для последних в качестве функции цели выбрана дополнительная работа деформации или функционал общего вида. Поверхность приведения во всех случаях считается заданной. Согласно вышеприведенной классификации указанные задачи являются однокритериальными задачами управления коэффициентами уравнений.

Наибольшее количество работ по оптимальному проектированию оболочек посвящено задачам весовой оптимизации изотропных оболочек переменной толщины. В случае, когда в качестве ограничений используются только ограничения по прочности, одним из эффективных подходов является поиск проектов равнопрочных оболочек [4, 44, 45, 63, 65, 72, 189] и др. Следует отметить, что определение равнопрочного проекта вводится авторами по-разному [82, 117, 126]. Для всех определений общим является выполнение некоторого условия равнопрочности, записываемого в виде равенства и служащего для нахождения толщины оболочки. В настоящей работе й ряде других работ таким условием является равенство максимальной в сечениях оболочки интенсивности напряжений заданному (допускаемому) значению.

Выполнение такого равенства в каждом сечении оболочки во многих случаях оказывается невозможным из-за наличия "неработающих" фрагментов оболочки. Эти фрагменты определяются в процессе поиска проекта равнопрочной оболочки при введении ограничения на минимальную толщину оболочки в сечении. Получающиеся в результате расчетов проекты оказываются лишь близкими к равнопрочным, Это обстоятельство привело к введению интегрального критерия равнопрочности [6], а также к понятию дискретно-равнопрочной оболочки [117,119]. Последнее понятие, применяющееся, в основном, к составным оболочкам, предполагает разбиение исходной конструкции на подкон-струкции, в каждой из которых максимальная интенсивность напряжений равна заданному значению. В работе [109] проект равнопрочной оболочки находится как решение задачи весовой оптимизации при использовании предположений о характере НДС оболочки.

Интерес к равнопрочным конструкциям объясняется двумя причинами. Во-первых, равнопрочный проект во многих случаях имеет меньший вес по сравнению с другим проектом, для которого выполнено ограничение по прочности. Во-вторых, итерационные алгоритмы, использующиеся при поиске равнопрочных проектов, значительно проще алгоритмов нелинейного программирования, использующихся в задачах весовой оптимизации конструкции. Итерационные процессы обладают хорошей сходимостью для конструкций "нормального действия" [119, 155], в которых локальное увеличение толщины влечет локальное уменьшение максимальной интенсивности напряжений. Последнее свойство может не иметь места в случае существования нескольких равнопрочных проектов[21].

Значительное снижение веса в равнопрочных конструкциях привело многих авторов к исследованию вопроса о соотношении равнопрочных проектов конструкций и проектов наименьшего веса. Примеры оптимизации цилиндрической оболочки с пластинами - заглушками [69, 122] показывают, что эти проекты могут существенно различаться. В работе [126] для оболочки из идеально - пластического материала при использовании в качестве ограничения осредненного по толщине (т.е записанного через усилия и моменты) условия пластичности доказано, что равнопрочная оболочка является оболочкой минимального веса. Для условия равнопрочности, принятого в настоящей работе, такое доказательство проведено только для статически определимых конструкций [119, 155].

Уменьшение объема материала в равнопрочных оболочках приводит к увеличению уровня перемещений. Поэтому при достаточно большой нагрузке существенное влияние на проект равнопрочной оболочки оказывает учет геометрической нелинейности [6, 52]. Учету физической нелинейности в задачах о равнопрочных оболочках посвящены работы [26, 49, 50, 116]. Задача о составной оболочке с равнопрочными оболо-чечными элементами при учете физической и геометрической нелиней-ностей рассмотрена в работе [48].

В работах [45, 48, 50, 116, 138] рассмотрены задачи поиска проектов равнопрочных оболочек при несимметричном распределении материала относительно поверхности приведения оболочки. В [45] приведен пример равнопрочного проекта пологой эллипсоидальной оболочки для случая, когда за поверхность приведения взята внешняя ограничивающая поверхность оболочки; вес равнопрочной оболочки оказался больше веса оболочки постоянной толщины при том же ограничении по прочности. В работе [138] предлагается выполнять условие равнопрочности на каждой из ограничивающих поверхностей оболочки. При этом толщина представляется в виде двух искомых величин, равных расстоянию от поверхности приведения до ограничивающих поверхностей оболочки.

Задачи поиска проектов равнонапряженных оболочек, а также композитных оболочек с равнонапряженной арматурой, рассмотрены в [140, 141, 142] и др. По постановке эти задачи близки к задачам о равнопрочных оболочках, т.к. содержат условия равнонапряженности, использующиеся для поиска толщины или параметров армирования. Близки-г» ми к задачам о равнопрочных оболочках можно считать задачи из работ [129, 131]: оптимальный по весу и удовлетворяющий ограничениям по прочности профиль изотропной пластины находится среди решений обратных задач при заданном выражении прогиба, зависящего от нескольких варьируемых параметров. Обратные задачи поиска начальной формы поверхности приведения оболочки, при которой конечной % поверхностью является плоскость, рассмотрены в [53, 54]. В работе [38] приведено решение обратной задачи поиска параметра, входящего в выражение закона изменения толщины пологой сферической оболочки, при котором заданная нагрузка является критической нагрузкой потери устойчивости.

Большое число работ посвящено задачам весовой оптимизации обо-fo лочек, формулируемых как задачи нелинейного программирования или оптимального управления [1, 5, 7, 23, 37, 73, 74, 77, 105, 108, 112, 123, 169, 182, 187, 206, 212] и др. Постановки задач различаются системой ограничений и используемыми моделями теории оболочек.

В качестве ограничений чаще других используются ограничения по прочности [5, 77, 96, 108, 181, 182, 202], ограничения на собственную * частоту колебаний [9, 78, 119, 180] или на величину критической нагрузки потери устойчивости [7,169,177, 211]. Последние два вида ограничений записываются как ограничения на собственные значения дифференциальных уравнений, определяющих формы колебаний или потери устойчивости. При учете ограничений по устойчивости в оптимальных проектах могут появляться кратные собственные значения, что делает оптимальный проект более чувствительным к несовершенствам формы [12, 124, 169].

Задачи весовой оптимизации оболочек при учете геометрической и (или) физической нелинейностей рассмотрены в работах [5, 23, 73, 74, 77, 96, 97, 108, 171, 195, 206]. В работах [123, 180, 187] используются соотношения уточненных теорий оболочек. В ряде задач искомой величиной является также форма срединной поверхности [74, 169, 212]. Весовой оптимизации пластин и оболочек с несимметричным распределением материала посвящены работы [37, 108].

Задачи оптимального распределения материала в случае, когда единственным ограничением является постоянство объема материала конструкции, можно рассматривать в качестве взаимных задачам весовой оптимизации: их решения при определенных условиях [12] можно найти по решению последних. Примером такой задачи является поиск оптимальной толщины оболочки, максимизирующей критическую нагрузку потери устойчивости [124]. Задача поиска толщины и формы срединной поверхности, максимизирующих критическую нагрузку при заданных объеме материала и объеме занимаемого оболочкой пространства, рассмотрена в [205].

Наиболее часто в литературе встречаются задачи поиска законов изменения жесткостных параметров в конструкции с заданным объемом материала, доставляющих стационарное значение энергии деформации или податливости конструкции [13, 18, 62, 92, 97, 104, 110, 115, 145, 153,198, 203] и др. Использование этих критериев качества обусловлено двумя причинами. Во-первых, выбор таких величин обеспечивает снижение уровней перемещений и напряжений; во-вторых, при вычислении их производных по проектным (жесткостным) переменным можно исключить сопряженные переменные путем использования вариационных принципов [13]. Этот подход, используемый, в основном, в случае линейных задач расчета НДС пластин и оболочек, в работах [98,110] распространен на случай геометрически нелинейных задач. При этом критерием качества выбрано соответствующее выражение дополнительной работы. Еще одним видом оптимизируемого функционала, приводящим к исключению сопряженных переменных, является величина обобщенного перемещения [61, 111].

В ряде других работ для упрощения дифференцирования энергетического критерия качества используются предположения о характере НДС конструкции [97, 99].

В работах [90, 111, 166, 167, 207] рассмотрены задачи минимизации функционалов податливости и энергии деформации при учете физической нелинейности. Использованию этих критериев в термоупругих задачах посвящены работы [99, 100].

Поиску оптимальных параметров стержневых элементов, подкрепляющих края вырезов в пластинках и оболочках или узлы сопряжения оболочек, посвящены работы [11, 110, 111, 119,120, 127, 128, 146, 156, 158] и др. В работе [120] рассмотрена задача эквивалентного подкрепления края выреза в оболочке, при котором создается такое же НДС, как в оболочке без выреза. Отмечено, что такое подкрепление не всегда су-Л ществует, и поэтому задачу подкрепления следует ставить как задачу минимизации отклонения некоторой величины, характеризующей НДС рассматриваемой оболочки, от той же величины, вычисленной для оболочки без выреза. В качестве меры такого отклонения в работе [127] выбирается потенциальная энергия дополнительного (обусловленного вырезом) напряженного состояния. Критерий минимума энергии деформа-^ ции конструкции при ограничениях на объем материала используется в работах [156,157,158] для поиска оптимальных параметров подкреплений и толщины пластины с отверстием. Задача определения параметров подкреплений узлов сопряжения и толщин оболочечных элементов в составной оболочке вращения по критерию минимума дополнительной работы рассмотрена в работе [110]. ^ Следует отметить ряд работ по оптимальному проектированию оболочек переменной толщины, содержащих важные теоретические результаты. В работе [107] доказано, что в двумерной задаче оптимального проектирования пластины Кирхгофа минимального веса при заданной основной частоте колебаний решения в виде гладкого закона изменения толщины не существует, существует лишь обобщенное решение в виде о,. множества бесконечно тонких ребер. Явление образования ребер отмечено также в работе [145], в которой приведено численное решение задачи оптимизации пластины заданного объема с минимальной величиной функционала податливости, Поэтому при поиске оптимальных проектов приходится вводить ограничения на закон изменения толщины, например, в виде предположения об ее осесимметричном распределении в $ оболочках вращения или в виде ограничения на величины градиентов искомого закона [16, 17, 209]. В работе [209] на примере оптимизации упругой круглой пластины заданного объема с минимальным значением величины податливости показано, что даже при осесимметричном распределении материала и несимметричной поперечной нагрузке ограничения на величину градиента толщины могут быть всюду активны а и оптимальной является пластина, разделенная на кольцеобразные области с постоянными (допускаемыми) значениями градиента.

Ряд работ посвящен задачам управления НДС пластин и оболочек путем поиска оптимальных параметров термосилового нагружения [66, 106, 162] или рационального расположения опор [10, 76, 102].

Для решения задач ОПК применяются, в основном, две группы ме-^ тодов.

К первой группе можно отнести методы, использующие условия оптимальности проекта. Эти условия, получаемыми приемами дифференциального и вариационного исчислений, представляют собой нелинейные уравнения, использующиеся совместно с уравнениями прямой задачи для поиска проектных переменных. Поиск организуется как ите-# рационный процесс, аналогичный процессу расчета равнопрочных конструкций. Методы условий оптимальности (или критериев оптимальности [12, 184]) пригодны для решения задач ОПК большой размерности, однако их использование ограничено отсутствием единой методики организации итерационных процессов [13, 215]. Поэтому при оптимизации пластин и оболочек методы этой группы применялись, в основном, щ в работах, где критерием качества выбраны выше упомянутые энергетические характеристики [13, 61, 62, 98, 110, 111]. В этом случае для линейных соотношений прямой задачи доказана сходимость итерационного процесса [92].

К второй группе методов относятся методы математического программирования, широко представленные в известных монографиях [2, ^ 101, 119, 148, 183, 184]. Применению методов линейного и нелинейного программирования к задачам оптимизации оболочек и пластин посвящены работы [6, 55, 74, 96, 108, 109, 179, 182] и др. Наряду с методами, использующими вычисление градиентов функций по параметрам проектирования, широкое применение получили методы прямого поиска [37, 108, 147, 172]. с% Кроме уже упомянутых методов, в одномерных задачах оптимизации оболочек и пластин находит применение принцип максимума Л.С.Понт-рягина [7, 23, 77, 103, 160].

Алгоритмы оптимизации конструкций в большинстве случаев представляют собой рациональный перебор параметров проектирования, при котором для каждого набора искомых параметров решается прямая за-^ дача расчета конструкции. Время решения прямой задачи обычно существенно превышает время, затрачиваемое на коррекцию параметров проектирования, поэтому главным требованием, предъявляемым к алгоритму оптимизации, является минимальное число обращений к решению прямой задачи. Такому требованию отвечают методы, в которых используется один из способов анализа чувствительности проекта [12, 13, 91,145,168, 184,185, 193] и др. Под анализом чувствительности понимают способы вычисления производных от функционалов качества и ограничений по переменным проектирования. Выражения этих производных используются затем при записи условий оптимальности проекта или в градиентных методах нелинейного программирования. Кроме того, анализ чувствительности позволяет оценить степень влияния & на оптимизируемый функционал того или иного искомого параметра. Широкое распространение методы анализа чувствительности получили в задачах оптимизации пластин и оболочек [13, 12, 111, 113, 180]. Упрощенные приемы анализа чувствительности, использующие предположения о слабой изменяемости усилий и моментов по сравнению с напряжениями, применены в работах [63, 82, 96, 109]. В монографии ^ [180] приведено выражение первой вариации функционала общего вида через вариации проектных переменных для соотношений линейной теории оболочек Рейснера. Аналогичное выражение получено в [11.3] при учете геометрической нелинейности. В работе [149] предложен способ анализа чувствительности для задач оптимизации тонкостенных конструкций, не требующий дифференцирования матрицы жесткости конечных элементов.

Эффективность процессов решения задач оптимизации зависит также от используемых методов прямого расчета конструкций. Наиболее часто используемыми в ОПК методами являются методы конечных разностей (МКР) [57, 70, 95, 164] и конечных элементов (МКЭ) [60, 134, 165, 173]. Для задач оптимизации формы тел в ряде случаев весьма эф-t фективным оказывается метод граничных элементов (МГЭ) [12, 19,

217], но в параметрических задачах оптимизации пластин и оболочек этот метод используется мало. Широкое применение в задачах ОПК находят и другие методы расчета конструкций [51, 68, 133], а также теоретико-экспериментальные методы [121]. При оценке несущей способности конструкций находят применение методы линейного программирования [174, 175] и вариационного исчисления [89].

При решении нелинейных задач применяются различные формы методов последовательных приближений и продолжения решения по параметру. Разработке и применению этих методов посвящены монографии [8, 30, 40, 67, 95] и статьи [31, 35, 36, 58, 84, 114, 190, 191] и др. Метод продолжения решения по параметру в настоящее время наиболее час-^ то используется в следующих двух формах. В первой в качестве параметра продолжения на текущем шаге процесса выбирается компонента решения, получившая максимальное приращение на предыдущем шаге [30, 36], во второй = параметром продолжения является длина дуги кривой равновесных состояний [35, 36, 67, 114]. Преимущество таких параметров продолжения состоит в том, что решение нелинейной задачи % является при достаточно малых шагах по параметру и отсутствии точек ветвления однозначной функцией этих параметров, а это позволяет находить решения в предельных точках гладкой кривой деформирования.

Анализ литературы, посвященной расчету и оптимальному проектированию пластин и оболочек, показывает, что ежегодное число пубЛ ликаций по оптимальному проектированию конструкций, несмотря на некоторое уменьшение по сравнению с 70-80 годами XX века, в последние годы остается весьма большим, что указывает на устойчивый интерес исследователей к задачам ОПК. Значительный интерес вызывает и разработка методик решения задач нелинейного деформирования конструкций. В области оптимизации пластин и оболочек сравнительно t мало работ, выполненных для нетонких оболочек, а также для случаев, когда в основных соотношениях учитывается геометрическая и физическая нелинейности, несимметричное распределение материала оболочки. Автору известно лишь небольшое число работ по параметрической оптимизации составных оболочек, в которых разыскиваются не только толщины оболочечных элементов, но и жесткостные параметры & подкрепляющих элементов. Слабо разработаны методики поиска проектов минимального веса в случае, когда этот поиск ведется в области изменения переменных проектирования^ для которых верхняя критическая нагрузка близка к заданной.

Все вышеизложенное и определяет актуальность исследований, выполненных в диссертации.

Диссертационная работа состоит из четырех глав.

В главе I приведены основные соотношения и методики расчета нелинейного осесимметричного НДС составной оболочки вращения.

В разделе 1.1 приведены основные уравнения для элементов состав= ной оболочки вращения при учете геометрической и физической нели-нейностей.

В разделе 1.2 описан алгоритм расчета НДС составной оболочки вращения. Задача определения НДС оболочки сводится к краевой задаче для канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с заданными условиями на торцах и условиями сопряжения оболочечных элементов. Изложена методика решения этой задачи, основанная на методах последовательных приближений и орто-Ф тональной прогонки.

В разделе 1.3 представлены результаты решений тестовых задач для сравнения с известными из литературы аналитическими и численными решениями. Влияние геометрической и физической нелинейностей, а также температурного воздействия, иллюстрируется решением задачи расчета НДС составной оболочки.

В разделе 1.4 приведены результаты решения задачи о больших прогибах нелинейно-упругой эллипсоидальной оболочки переменной толщины. На оболочку действует вертикальная погонная нагрузка, приложенная к кольцу, подкрепляющему центральное отверстие. Применен метод продолжения решения по параметру интегрального прогиба. Исследовано влияние на критическую нагрузку параметров тонкостеннос-ти, предела текучести материала.

Предложен вариант метода продолжения решения по параметру, в котором в качестве параметра продолжения используется длина дуги четырехмерной кривой равновесных состояний. С помощью описанного алгоритма решены задачи о больших прогибах замкнутых в полюсе упругой и неупругой эллипсоидальных оболочек вращения под внешним ^ давлением. Получено семейство кривых "нагрузка-прогиб" для малых осесимметричных возмущений закона изменения давления, анализ этих кривых позволил сделать вывод о наличии точки ветвления решения как для линейно-упругой, так и для нелинейно-упругой оболочки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен алгоритм метода продолжения решения по параметру для решения задачи о больших осесимметричных прогибах оболочек вращения. В качестве параметра продолжения используется длина дуги кривой равновесных состояний. Получены новые результаты решения задач о больших прогибах линейно-упругих и нелинейно-упругих сплюснутых эллипсоидальных оболочек вращения. # 2. Разработаны алгоритмы поиска переменной или постоянной толщины равнопрочных и близких к равнопрочным элементов составных оболочек вращения при учете геометрической и физической нелинейнос-тей. Получены проекты таких оболочек. Показано, что для оболочек, находящихся под действием равномерного внутреннего давления, учет физической и геометрической нелинейностей может приводить к проек-£ там равнопрочных оболочек на 20-40% более легким, чем полученным при использовании линейных соотношений. Существенное влияние на проект оболочки может оказывать и способ распределения материала относительно заданной поверхности приведения.

3. Предложен алгоритм последовательной весовой оптимизации составной оболочки вращения при ограничениях по прочности в случае, когда искомыми проектными переменными являются толщины оболочечных элементов и параметры подкрепляющих колец. Основу алгоритма составляет метод комплексного поиска. Алгоритм позволяет находить рациональные проекты оболочек, для которых заданная нагрузка близка к критической. Цолучено решение ряда новых задач.

4. Предложена методика решения задачй оптимального распределе-ф ния материала в оболочке наибольшей жесткости при учете геометрической нелинейности. Мерой жесткости выбрано значение дополнительной работы деформации. Получены необходимые условия оптималь ( . ности для составной оболочки вращения, в которой разыскиваются не только толщины оболочечных элементов, но и жесткостные параметры колец. Разработан итерационный алгоритм поиска оптимальных параметров. Исследовано влияние геометрической нелинейности на проект оболочки. Показано, что эффект снижения прогибов и напряжений значителен в случае преобладания моментного напряженного состояния в начальном проекте оболочки. Для оболочек с большой безмоментной областью этот эффект значительно меньше, но и в этом случае перераспределением материала можно существенно снизить напряжения в местах их концентрации. При этом во всех рассмотренных задачах наблюдается значительное уменьшение величины энергии деформации изгиба.

5. Разработана методика решения задачи рационального распределения материала в нетонкой ортотропной оболочке вращения. Критерием качества принято минимальное значение энергии деформации оболочки. Приведен вывод условий оптимальности. Исследовано влияние неосесимметричных возмущений осесимметричной нагрузки на оптимальный проект изотропной цилиндрической оболочки.

6. Получено выражение первой вариации интегрального функционала качества для составной оболочки вращения с нелинейно-упругими оболочечными элементами через вариации толщин оболОчечных элементов и жесткостные параметры колец. На основе этого выражения записаны необходимые условия оптимальности для задачи минимизации функционала обобщенного перемещения в оболочке при заданном объеме материала. Разработан численный алгоритм решения задачи. Решены задачи оптимизации кольцевой пластины несимметричного строения и конструкции, состоящей из сферической и конической оболочек, находящихся под действием инерционной нагрузки.

7. Получено выражение первой вариации интегрального функционала, характеризующего качество тонкой упругой анизотропной оболочки, через вариации жесткостных параметров оболочки при учете гео' * ' метрической нелинейности и деформации поперечного сдвига.

1. Абашёв В.М. К оптимальному проектированию цилиндрических оболочек // Известия вузов. Авиационная техника, 1997. №1. С.81-83.

2. Абовский Н.П., Енджиёвский JI.B., Савченков В.И. и др. Регулироfвание, синтез, оптимизация. Учебное пособие. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1985. 384с.

3. Александров М.А. О применении одного алгоритма к оптимизации гибких прямоугольных пластин // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып.7. .Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т. КФАН СССР, 1976. С.137-141.

4. Александров М.А., Корнишин М.С., Столяров Н.Н. Расчет близких к равнопрочным гибких пластин и оболочек // Прикладная механика, 1978. Т.14, №10. 0-41-46. '

5. Андреев Л.В., Моссаковский В. И., О бодан Н.И. Об оптимальной толщине цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением// ПММ, 1972. Т.36, вып.4! С,717-725.

6. Андреев Л.В., Ободан Н.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек . при неосесимметричнрй деформации М.гНаука, 1988. 208с.

7. Арман Ж.-Л. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. М.: Мир, 1977. 142с.

8. Артюхин Ю.П., Сальников Г.М. Расчет на прочность и жесткость круглой пластинки, опертой в трех точках //" Исследования по теории пластин и оболочек. Вып.8. Казань: Изд-во КГУ, 1972. С.271278. • :' ' ^■ ' . • !•■■

9. Баничук Н.В, Введение в оптимизацию конструкций. М.:Наука, 1986. 302с.

10. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.:Наука, 1980.255с. > . • ■ ' ' •

11. Баничук Н.В. Прочностное проектирование и оптимизация упру-гопластических конструкций // Механика и научно-технический прогресс. Т.З. Механика деформируемого твердого тела. М. Наука, 1988. С.251-266. '

12. Баничук Н.В. Современные проблемы оптимизации конструкций. // Изв. АН СССР. МТТ, 1982. №2. С.110-124.

13. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М. Проектирование пластин с учетом ограничений на изменяемость толщин // Изв. АН СССР. МТТ, 1983. №6. С.130-136. ■ i

14. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Литвинов В.Г. Об оптимальных решениях в задачах проектирования упругих пластин // Прикладная механика, 1984. Т.20, №11. С.82-85.

15. Баничук Н.В., Шаранюк А.В. Трехмерные задачи оптимального проектирования конструкций из ортотропных материалов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация: Межвуз. сборник. М.: Товарищество научных изданий КМК, 1997. С.7-13.

16. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 496с.

17. Берлянд В.И., Гирская Т.А., Третьяк Н.В. Приближенный расчет пластических деформаций в составных Ьболочках вращения// Динамика и прочность машин. Харьков: Вшца школа, 1975. Вып.22. С.68-76.

18. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение,1977. 488с. ,

19. Бинкевич Е.В., Дзюба А.П., Левитина А.Д. О проектировании выпукло-вогнутого днища минимального веса // Прочность и долговечность конструкций. Киев: Изд-во КИСЙ, 1980. С.89-94. .

20. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., ШнейдероЕич P.M. Расчет на прочность деталей машин. Справочное пособие. М.: Машиностроение, 1966. 616с.

21. Бондарев Э. А., Будугаева В. А., Гусев Ё. Л. Синтез слоистых оболочек из конечного набора вязкоупругих материалов.// Изв. РАН.1. М.ТТ, 1998. №3. С.5-11.: - - ( .

22. Бочкарев В.В., Крысько В.А. Оптимальное проектирование пластин и оболочек с учетом физической нелинейности // Прикладная механика, 1982. Т.18, №7. С.52-57.

23. Будугаева В.А. Оптимизация декремента затухания свободных колебаний вязкоупругой слоистой сферы при ограничении на массу // Прикл. мех. и техн. физ. 2000. Т.41, №2. С. 161-165.

24. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численный метод решения геометрически нелинейных осесимметричных задач для упругопласти-ческих оболочек вращения // Строит, механика и расчет сооруж. 1976, №5. С.44-49.

25. Вакуленко Л.Д., Мазалов В.Н. Оптимальное проектирование конструкций. Библиогр. указатель отеч. и иностр. литературы за 1948-1974 г.г. Новосибирск: Йн-т гидродинамики СО АН СССР, 1975.4.1,2.472с.

26. Вандерплаац Г.Н-. Оптимизация конструкций прошлое, настоящее и будущее // Авиационно-космическая техника, 1983. Т.1, №2. С.129-140.

27. Васильев В.В. Оптимальное проектирование.пластинок и оболочек // Труды VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок (Днепропетровск, 1969 г.). М.:Наука, 1970. С.722-735.

28. Васильев В.В., Гурдал 3. Об одной общей концепции в оптимизации конструкций // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация: Межвуз. сборник. М.: Товариществонаучных изданий;КМК, 1997. С.35-42.' ■ ' " ■ j ■■ ■

29. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // ПММ, 1965. Т.29, вып.5. С.894-901.

30. ГайдайЧук В.В., Гоцуляк Е.А., Гуляев В1И. Обратная задача нелинейной устойчивости сферической оболочки переменной толщины // Прикладная механика, 1977. Т.13, N°2. С.9-14.

31. Галимов К,3. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. 326с.

32. Танеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. М.: Наука, 1992, 161с.

33. Танеева М.С. Термосиловая задача в геометрически и физически нелинейной теории нетонких и тонких оболочек / КФТИ КФАН СССР, Казань, 1985, 126с. Деп. в ВИНИТИ 24.06.85, №4459-85Деп.

34. Танеева М.С., Алексеева О.В. Об одном алгоритме численного решения геометрически нелинейных осесимметричных задач непологих оболочек вращения // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып.7. Казань:' КФТИ АН СССР, 1976. С.120-127.

35. Танеева М.С., Алексеева О.В. О применении методов численного интегрирования к уравнениям непологих оболочек вращения с полюсом // Труды семинара по теории оболочек. Вып.6. Казань: КФТИ АН СССР, 1975. С.233-240.

36. Танеева М.С., Корнйшин М.С., Малахов В.Г. Равнонапряженные упругие оболочки вращения // Труды IX Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин (24-28декабря 1973г.). JL: Судостроение, 1975. С.251-254.

37. Танеева М.С., Малахов В.Г. Большие осесимметричные прогибы и устойчивость упругопластической эллипсоидальной оболочки вра

38. Ф " щения переменной толщины // Устойчивость пластин и оболочек.

39. Саратов; Изд-во Саратовского ун-та, 1981. С.26-28.

40. Танеева М,С,, Малахов В.Г. Оптимальные составные оболочки вращения при учете геометрической и физической нелинейностей // Труды XII Всесоюз, конф. по теории оболочек и пластин. Ере. ван: Изд-во Ёреванск. ун-та, 1980. Т.2. С.19-24.

41. Танеева М.С., Малахов В.Г. Равнопрочные упругопластическиеоболочки вращения // Труды X Всесоюз: конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мецниереба, 1975. Т.2. С.524-532.

42. Танеева М.С., Малахов В.Г. Равнопрочные упругопластические оболочки вращения переменной толщины //Исслед. по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 10. Казань: КФТИ КФАН СССР,1. Ф 1978. С.143-152.

43. Танеева М.С.,Косолапова JI.A. Большие прогибы и устойчивостьнепологих равнопрочных оболочек вращения // Устойчивость пространственных конструкций. Киев: КИСИ, 1978. С.43-47.

44. Ганиев Н.С. Обратные задачи изгиба изотропных и анизотропных пологих оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек.• Вып. 12. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. С.124-131.

45. Ганиев Н.С. Обратные задачи изгиба нелинейно-упругих пологих оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып.11. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. С.226-232.

46. Годунов O.K. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН, 1961. Т.16, вЫп.З. С.171-174.

47. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы ( введение в теорий ). Учебное пособие: М.: Шука,' 1973.!400с.

48. Новое знание, 2000. С.178-183.

49. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. Исследование нелинейного деформирования слоистых оболочек произвольной геометрии МКЭ // Труды XVIII Международной конф, по теории оболочек и пластин. Саратов, 29сентября-4октября 1997г.-Саратов, 1997. Т.З. С.44-48.

50. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1990. 269с. .

51. Гололобов В.И. Об определении законов изменения толщины пластин и оболочек при стационарном значении функционала жесткости // Прикладная механика, 1972. Т.8, №4. С.120-123.

52. Гололобов В.И. Пластинки и оболочки с экстремальными значениями жесткости или объема // Прикладная механика, 1970. Т.6, №10. С.55-60.

53. Гололобов В.И., ИльинJI.A. Определение толщины равнонапря-женных упругих оболочек вращения // Прикладная механика, 1970. Т.6, №. С.58-63.

54. Голушко С.К., Немировский Ю.В., Одновал С.В. Расчёт и рациональное проектирование композитных оболочек вращения // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин=т гидродинамики СО РАН, 1998. Вып. 113. С.39-44.

55. Горячев О.А. Об одном методе оптимального распределения материала в тонкой упругой оболочке // Труды Куйбышевск. авиац. ин-та. Куйбышев, 1971, Вьга.48. 0,105-112,

56. Григолюк Э.И., Подстригач Я.С., Бурак Я.И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин. Киев: Наукова думка, 1979. 364с.

57. Григолюк Э.И., Шалащилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 232с.

58. Григоренко Я;М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наук, думка, 1973. 228с.

59. Громницкий В.С.^ Калинин И.Н. Численное сравнение эффективности критериев оптимальности в задачах строительной механики // Изв. АН СССР. МТТ, 1978. №4. С. 149-154.

60. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчетоболочек сложной формы. Киев: Будивельник, 1990. 192с. j1 ' ■

61. Гусев Е.А. Математические методы синтеза слоистых структур. Новосибирск: Наука, 1993. 262с.

62. Дель Г.Д., Попов С.П., Свиридов С.И., Томилов Ф.Х. Проектирование равнопрочных оболочек на основе экспериментального определения напряжений // Труды ХНВсесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во Ереван.ун-та, 1980. Т.2. С.98-102.

63. Дехтярь А.С. К оптимизации жестко-пластических оболочек вращения // Прикладная механика, 1977. Т.13, №5. С.67-72.

64. Дехтярь А.С. Об оптимальном точечном опирании оболочек и пластин //Прикладная' механика (Киев), 1997. Т.33, №4. С.67-70.

65. Дзюба А.П., Левитина А.Д. К учету нелинейности поведения осе-симметричных тонкостенных конструкций в задачах оптимального проектирования // Вопросы оптимального проектирования пластин и оболочек. Саратов:-Изд-во Саратовского ун-та, 1981.1. С.65-66.

66. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978. 352с.

67. Жичковски. М., Гаевски А. Оптимальное проектирование конструкций с учетом требований устойчивости // Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика / Под редакцией Дж.Т.Томпсона и Дж.У. Ханта. М.: Наука, 1991. С.237-262.

68. Заруцкий В.А, Почтман Ю.М., Скалозуб В.В. Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек. Киев: Вьпца школа, 1990. 138с.

69. Иванов Г.В. Оптимальная переменная толщина оболочек вращения // Теория оболочек и пластин. Труды VIII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин (Ростов на - Дону, 1971). М.: Наука,1973. С.69.1 695.

70. Ильюшин А.А. Пластичность. М.-Л.:Гостехтеориздат, 1948. 376с.

71. Камат М.П., Хайдук Р.Дж. Обзор последних достижений в области использования квазиньютоновских методов для анализа и синтеза конструкций // Ракетная техника и космонавтика, 1982. №6. С.64-73. ■ .

72. Кантор Б.Я., Гинзбург И.Н., Шелудько Г.А. Подкрепленные цилиндрические оболочки минимального веса, сжатые в осевом направлении // Теория оболочек и пластин: Труды IX Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1975. С. 254-256.

73. Кантор Б.Я., Шелудько Г.А., Ржевская И.Е. Оптимизация дискретно оребренных конструкций гибридным адаптивным методом// Пробл. прочности, 1987. №12. С. 69-72.

74. Каюмов Р.А. Метод вариации упругих характеристик в задаче о предельной нагрузке // ПМТФ, 1990. №3. С. 134-139.

75. Кийко И.А., Чарухчев А.Д. Оптимизация формы прямоугольной пластины, изгибаемой в области упругопластических деформаций // Известия РАН. МТТ, 1996. №2. С.163-:166.

76. Киселев В.Г. Анализ чувствительности экстремального критерия 0 прочности. // Прикладные проблемы прочности и пластичности.

77. Анализ и оптимизация: межвуз. сборник. М.: Товарищество научных изданий КМК,1997. С.91-100.92i Комаров В.А. О рациональном распределении материала в конструкциях // Изв. АН СССР. МТТ, 1965. №5. С.85=87.

78. Коноплев Ю.Г., Шалабанов А.К. Голографйческая интерферомет-& рия и фототехника. Казань: Изд-во Каз. ун-та, 1990. 100с.

79. Корн Г;, Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832с.

80. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. 192с.

81. Корнишин М.С., Александров М.А. Алгоритм расчета гибких Ф пластин и пологих оболочек наименьшего веса // Статика и динамика оболочек. Труды семинара. Вып.8. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1977. С.47-56.

82. Корнишин М.С., Александров М.А. К оптимизации гибких пластин и пологих оболочек, составленных из участков постоянной толщины // Исследования по теории оболочек. Труды семинара.

83. Вып.10. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1978. С.153-161.

84. Кретов А.С., Шатаев В.Г. Проектирование нагретых конструкций максимальной жесткости // Изв. вузов. Авиационная техника, 1996. №4. С.8-14. '

85. Кунташев П.А. О свойствах критерия упругой энергии в задачах оптимального проектирования неоднородных термоупругих тел //

86. Лепик Ю.Р. Применение принципа максимума Понтрягина в задачах прочности, устойчивости и.колебаний тонкостенных конструкций // Механика. Период, сборник переводов йностр. статей, 1974.6. С.126-141.

87. Липин Е.К. Об учете конструктивных и технологических ограничений при проектировании силовых конструкций максимальной жесткости // Уч. записки ЦАГИ, 1976. Т.7, №2. С.105-113.

88. Липин Е.К., Грошев Г.П. Проектирование конструкций минймаль-^ ного объема. материала при ограничениях на обобщенную жесткость и минимальную толщину // Уч.зап.ЦАГИ, 1979. Т.10, №2. С.143-148. . .

89. Литвинов В.Г., Рубежанский Ю.Й. Задачи управления правыми частями эллиптических систем и их приложение к управлениюнапряженно- деформированным состоянием оболочек // ПММ, 1982. Т.46, вып.2. 0.331-336. • ■ ; ■ ■

90. Лурье К.А., Черкаев А.В. О применении теоремы Прагера к задачам оптимального проектирования пластин // Йзв. АН СССР. МТТ, 1976. т. С.157-159.j

91. Малахов В.Г. Алгоритм комплексного поиска в задачах весовой оптимизации оболочек вращения // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Вып.13. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1980. С.67-74.

92. Малахов В.Г. К оптимизации оболочек вращения переменной толщины // Прочность й устойчйвоеть оболочек. Труды семинара. Вып.9. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1977. 0.57=63.

93. Малахов В.Г. К оптимизаций оболочек вращения по жесткости приучете геометрической нелинейности// Исслед. по теории оболо■!чек. Труды семинара. Вып.15. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1982.1. С.111-119.

94. Малахов В.Г. О дифференцировании функционалов качества в задачах оптимизации жёсткостей тонких упругих оболочек // Исслед. по теории оболочек. Труды семинара. Вып.21, ч.1. Казань:

95. Казанск. физ.- техн. ин-т КФАН СССР, 1988. С.43-50.

96. Малахов В.Г. Об одоом алгоритме метода продолжения по параметру для решения осесимметричных задач о больших прогибахнепологих оболочек вращения // Тезисы докл. II Респ. научно- технической конф. Брежнев, 1987. С.31.

97. Малахов В.Г. Поиск оптимальной толщины нетонкой оболочки вращения // Механика оболочек и пластин. Сборник докл. XIX Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. С.135-140. ; '

98. Малахов В.Г. Равнопрочные составные упругопластические оболочки вращения // Статика и динамика оболочек. Труды семинара. Вып.12. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1979. С.153-160.

99. Малков В.П. Задача создания дискретно-равнопрочных систем // Прикл, пробл. прочности и пластичности* Всесоюз, межвуз. сборник. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1976. Вып. 3. С.11-22,

100. Малков В.П. Параметрическая оптимизация механических систем // Прикл. пробл. прочности и пластичности : Межвуз. сборник. М.: Товарищество научных изданий КМК, 1995. С.103-111.

101. Малков В.П. Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. М.: Наука, 1981. 288с.

102. Малков В.П. Эквивалентное подкрепление краев вырезов в тонкостенных элементах // Прикл. пробл. прочности и пластичности. Всесоюз: межвуз. сборник. Горький: Изд-во Горьк. ун-та^ 1979.1. Ф , Вып.10. С.96-113.

103. Малков В.П., Паймушин В.Н. Аналитико-вычислительно-экспериментальный подход к анализу и оптимизации в механике // Фундамент, и прикл. проблемы механики деформ. тел и конструкций. Научные труды. Вып.1. Горький: Изд-во ННГУ, 1993. С.4-11.

104. Малков В.П:, Тарасов В.JI. Дискретно равнонапряженная тонкостенная конструкция и конструкция минимального веса // Изв. АН СССР. МТТ, 1974. №5. С.124-129. .1. у . . * . -1-.

105. Медведев Н.Г., Тоцкий Н.П. О кратности спектра собственных значений в оптимальных задачах устойчивости цилиндрических оболочек переменной толщины // Прикладная механика, 1984. Т.20,6. С.113-116.

106. Методы оптимизации сйловых авиационных конструкций // Обзор N596. ЦАГИ. М., 1981. 117с.

107. Микеладзе М.Ш. Статика анизотропных пластичных оболочек. Тбилиси: Изд-во АН Груз. ССР, 1963. 118с.

108. Or 127. Михайловский Е.И. Об оптимальном подкреплении края оболочки // Изв. АН СССР. МТТ, 1975. №1. С.42-51.

109. Михайловский Е.И., Чаунин М.П. Обратные и оптимальные задачи подкрепления узла "Пластина патрубок" // Прикл. пробл. прочности и пластичности. Всесоюз. межвуз. сборник. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1979. Вып.13. С.112-12,1. ,

110. Муштари Х.М. К теории изгиба оптимальной круглой пластины переменной толщины // Некоторые вопросы теории пластин и оболочек: Матер, конф. Казан, физ.-техн. ин-та (май 1967г.). Казань> 1967. С.10-14.

111. Муштари Х.М. К теории изгиба оптимальных по весу пластин из композиционного материала // Прикладная механика, 1967. Т.З,4. С.1-7.

112. Муштари Х.М. Об одной обратной задаче теории изгиба упругих пластин, переменной толщины // Инж. журнал, 1964. Т.4, №3. С.510-515.

113. Муштари Х.М., Галимов К.3. .Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431с.

114. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. Справочник. М.: Машиностроение, 1981. 216с.

115. Мяченков В.И., Мальцев В.П., Майборода В.П. и др. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. М.: Машиностроение, 1989. 520с.

116. Немировский Ю.В. Об оценка^ веса пластических оптимальных конструкций // Инж. журнал. МТТ, 1968. №4. С.159-162.

117. Немировский Ю.В. Оболочки абсолютно минимального веса // Механика деформ. сред. Куйбышев, 1978. №3. С.3-78.

118. Немировский Ю.В. Равнопрочные слоистые и однородные оболочки и пластины // Труды XVII Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Казань, 1996. T.l. С.71-76.

119. Немировский Ю.В., Вохмянин И.Г. Оценки и .критерий оптимального проектирования жесткопластических элементов конструкций минимального объема // Известия вузов. Строительство, 1996. №3. С.16-25. '' ' ! '

120. Немировский Ю.В., Резников Б.С. О равнонапряженных пластинках и оболочках // Теория пластин и оболочек. М.:. Наука, 1971. С.199-203.

121. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Пологие оболочки и изгибаемые пластины с равнонапряженной арматурой // Тр. XVII Междунар. конф. по теории оболочек и пластин, 15-20 сентября 1995 г.Казань,1996. T.l. С.77-87. :

122. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Проектирование плоских термоупругих композитных конструкций с равнонапряженной арматурой // ПМТФ, 2001. Т.42, №2. С.213-223.

123. Никифоров А.К., Чедрик В.В! Применение метода нелинейного программирования в задаче оптимизации подкрепленных панелей по условиям прочности и устойчивости // Труды ЦАГИ, 1997.2628. С.47-53.

124. Обзоры исследований по механике сплошной среды. К 50-летию Казанск. научи. центра РАН. Казань: ИММ КНЦ РАН, 1995. 212с.

125. Ольхофф Н, Оптимальное проектирование конструкций. М,: Мир, 1981.277с.,

126. Пелех Б.Л., Галаси Л.А., Глеба А.Ю. Влияние упруго деформированного кольца на распределение напряжений в сферической оболочке с круговым отверстием // Прикладная механика, 1980. Т.16, №9. С.43-47.

127. Погосян А.Г. Применение метода деформируемого многогранника к решению задачи оптимального проектирования прямоугольной сжатой,пластинки, усиленной по краям ребрами жесткости // Изf вестия АН Армении. Механика, 1998. Т.51, №3. С.28-33

128. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. 376с.

129. Почтман Ю.М., Пятигорский З.И. Расчет и оптимальное проектирование конструкций с учетом приспособляемости. М.: Наука, 1978. 208с.

130. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.: Мир, 1977. 109с.

131. Пустовой Н. В., Расторгуев Г. И., Шлыкова О. Н. Оптимальное распределение толщины вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Науч. вестн* НЬвосиб. гос. тезсн, ун-та, 1999. №1, С. 64-73.

132. Радциг Ю.А. Обзор казанских работ, выполненных в области оптимального, проектирования конструкций //В сборнике "Metody optymalizacji ustrojow odksztalcalnych". Cz.l, PAN, 1968.

133. Разани P. Поведение равнонапряженной конструкции и ее отношение к конструкции минимального веса // Ракетная техника и космонавтика, 1965. Т.З, №12. С.115-124.

134. Расторгуев Г.И. Оптимальное подкрепление края отверстия в пластине // Научн. вестник Новосибирск, гос. техн. ун-та, 1996. №2. С.89-98. • ./'■ V , ■ :.

135. Расторгуев Г.И. Оптимальное проектирование стержней и подкрепленных пластин на основе минимизации энергий деформации: Автореф. дис. д-ра техн. наук.- Новосибирск, 2000. 32с.

136. Расторгуев Г.И. Оптимальное распределение жесткости подкреп-; ления вдоль края отверстия в пластине при упругопластическом поведении материала // Сибирск. журн. индустриальной математики, 1998. Т.1, №2. С.140-153.

137. Расчеты и испытания на прочность. Метод и программа расчета на. ЭВМ ЕС осесимме.тричных оболочечных конструкций при учетефизической и геометрической нелинейностей. Методические рекомендации MP 200-86 / Корнишин М.С., Танеева М.С., Малахов

138. B.Г. М.: ВНИИНМАШ, 1986. 32с.

139. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М.: Наука, 1976. 266с.j

140. Родионов Г.Л., Сидоренко А.С., Станкевич А.И. Многокритериальная оптимизация цилиндрической панели из слоистого композиционного материала при динамическом нагружении // Научн.$ вестник МГТУ ГА, 1998. №6. С.66-71.

141. Рубежанский Ю.И. Оптимальное управление прогибами незакреплённых нагретых сферических оболочек // Прикладная механика (Киев), 1996, Т.32, №3 0.39=45.

142. Сав М. Некоторые аспекты теории проектирования конструкций минимального веса // Механика. Сборник перевод, иностр. лит* ры, 1971. т. С. 126-137. • ■ ';'!, ;!

143. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. 350с.

144. Сахаров А.С., Кислоокйй В.Н., Киричевский В.В. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982. 480с. ' . , f ; •

145. Ъ 166. Селюгин С.В. Об условиях оптимальности для конструкций из упрочняющихся упругопластических материалов // Проблемы прочности, 1995. №4. С.44-51.

146. Селюгин С.В., Чехов В.В. Расчет рациональных параметров физически нелинейных конструкций // Труды ЦАГИ, 1998. №2632.1. C.85-95.Ц

147. Серазетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 479с.

148. Солодовников В.Н. Оптимизация упругих оболочек вращения // ПММ, 1978. Т.42, вып.З. С:511-520.

149. Столяров Н.Н., Пестровский Г.М. Об одном алгоритме решения задач оптимизации пластин и оболочек // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 15. Казань: Казанск. физ.-техн.ин-т КФАН СССР, 1982. С.127-134.

150. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 349с.

151. Терегулов И.Г. К методам сведения задач ползучести и пластичности тонких; оболочек к задачам математического программирования // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С.239-244.

152. Терегулов И.Г. Нелинейные задачи теории .оболочек и определяю-ty щие соотношения. Избранные труды. Казань: Изд-во "Фэн", 2000.336с.

153. Терровере В.Р. Несущая способность и весовая оптимизация эллипсоидальной оболочки // Прикладная механика, 1972. Т.8, :№2. С.68-72.

154. Терровере В.Р. Устойчивость гладких оболочек минимального ве-* са // Прикладная механика, 1973. Т.9, №12. С.30-35.

155. Тетере Г.А., Крегерс А.Ф. Многоцелевое оптимальное проектирование композитных-конструкций (обзор) //Механика композитных материалов, 1996. №3, С.363-376.

156. Тетере Г.А., Рикардс Р.Б., Нарусберг B.JI. Оптимизация оболочек из слоистых композитов. Рига: ЗинаТне, 1'978. 238с.

157. Троицкий В.А., Петухов JI.B. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982. 432с.

158. Флейшман Н.П., Иванкив Е.С. Некоторые задачи оптимального проектирования составных оболочек и пластин // Некоторые задачи строит, механики и оптимизация конструкций. Киев: Изд-во КИСИ, 1978. С.89-93.

159. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: * Мир, 1975. 534с. ' ; j

160. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. М.: Мир, 1983. 480с.

161. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Мир, 1988. 428с.

162. Чирас А.А.! Теория'оптимизации в предельном анализе твердого Ф деформируемого тела. Вильнюс: Минтис, 1971. 123с.

163. Шаблий О.Н., Жук Н.П., Медынский Я.Р. Оптимальное проектирование круглых пластин с учетом напряжений сдвига и некоторых ограничениях на форму // Строит, мех. и расчет сооруж. 1990. №6. С.75-77.

164. Шилд Р. Методы оптимального проектирования конструкций //

165. Механика. Сборник перевод, иностр. лит-ры, 1962. №2. С.148-159.

166. Ширко И.В. Осесимметричный изгиб равнопрочной цилиндрической оболочки // Прикладная механика, 1969. Т.5. №4. С.46-53.

167. Якушев В.Jl. Потеря устойчивости полусферических оболочек при пластических деформациях //Труды XVIII Междунар. конф. по• теории оболочек и пластин (29 сентября-4 октября 1997г.). Т2. Саратов, 1997. С.136-141.

168. Якушев В.Л. Применение метода дополнительной вязкости для5 решения нелинейных задач устойчивости оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, 1992. №1. С.153-163.

169. Avdelas A.V., Panagiotopoulos P.D., Kortesis S. Neural networks for $ computing in the elastoplastic analysis of structures //Meccanica,1995. V.30, №1. P.l-15.

170. BendsOe M.P. Optimization of structural topology, shape and material. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1995. .

171. Brnic J., Turkalj G., Canadija M. Optimal design procedure based on viscoplastic material,behaviour // Acta Mech. sin. 2000. V.13, №2. P.. 587-592.

172. Buhl Т., Pedersen C.B.W., Sigmund O. Stiffness design of geometrically nonlinear structures using topology optimization // Structural and Multidisciplinary, Optimization, 2000. V.19, №2. P.93-104.

173. Deb K., Goyal M. A flexible optimization procedure for mechanical ^ component design based on genetic adaptive search // Trans. ASME.

174. J. Mech. Des. 1998. V.120, №2. P.162-164.

175. Gierlinski J., Mroz Z. Optimal design of elastic plates and beams taking large deflections and forces into account j/ Acta mech. 1981. V.39, №1-2. P.77-92.

176. Haftka R.T., Gurdal Z., Kamat M.P. Elements of structural optimization. Dordrecht: Kluwer, 1990. 408pp.

177. Hajela P. Genetic search an approach to the nonconvex optimization problem // AIAA J. 1990. V.28, №7. P.1205-1210.

178. Hammer V.B., Olhoff N. Topology optimization of continuum structures subjected to pressure loading / / Structural and Multidisciplinary Optimization, 2000. V.19, №2. P.85-92.

179. Harb Awad J., Fu Kuan-Chen Analysis and optimal design of spherical shells under axisymmetric loads // J. Eng. Mech. 1990. V.116, №2. P.324-342 , : ;i.1. I., i

180. Huang N.C. Optimal design of elastic structures for maximum stiffneg , // Int. J. of Solids and Structures, 1968. V.4, №7. P.689-700.

181. Kodiyalam S., Gurumoorthy K. Neural network approximator with novel learning scheme for design optimization with variable complexity data .// AIAA J. 1997. V,.35, №4. P.736-739.,

182. Kruzelecki J., Trzeciak P. Optimal design of axially symmetrical shells under hydrostatic pressure with respect to their stability // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2000. V.19, №2. P.148-154. . .,

183. Lellep J., Majak J. Optimal design of axisymmetric plastic shallow shells of von Mises material // Int. J. Solids and Structures, 1995. V.32, №24. P.3693-3705.

184. Lellep J., Majak J. Optimal material orientation of nonlinear orthotropic materials // Механика композитных материалов, 1999. Т,35, №3. С. ,335-346. , ,.

185. Maute К., Ramm Е. Adaptive topology optimization of shell structures //AIAA J. 1997. V.35, №11. pp.1767-1773.

186. Niordson Fr. Optimal design of elastic plates with a constraint-on the slope of the thickness function // Int. J. Solids and Structures, 1983; V.19, №2. P.141-151.

187. Pedersen N.L. Maximization of ё^епуаЫеэ using topology optimization // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2000. V.20, №1. P.2-11.

188. Pieczara J. Optimization of cooling tower shells using a simple genetic algorithm // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2000. V.19, №4. P.311-316.

189. Richmond O., Azarkhin A. Minimum weight axisymmetric shell structures // Int. J. Mech. Sci. 2000. V.42, №12. P.2439-2453.

190. Rozvany G.I.N. Aims, scope, methods, history and unified terminology of computer-aided topology optimization in structural mechanics // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2001. V.21, №2, P.90-108.

191. Rozvany G.I.N. Structural design via optimality criteria. Dordrecht: Kluwer, 1989. 490pp.

192. Schmit L.A. Structural synthesis its genesis and development // AIAA J. 1981. V.19, №10. P.1249-1263.

193. Shupikov A.N., Smetankina N.V., Sheludko H.A. Minimization of the mass of multilayer plates at impulse loading // AIAA J. 1996. V.34, №8. P.l718-1724.

194. Tai K., Fenner R.T. Optimum shape design and positioning of features using the boundary integral equation method // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1996. V.39, №12. P.1985-2003.

195. Todoroki Akira, Sasai Masahumi. Improvement of design reliability for buckling load maximization of composite cylinder using genetic algorithm with recessive-gene-like repair // JSME Int. J. Ser. A, 1999. V.42, №4. P. 530-536. . ^