Исследование вопросов формообразования и нелинейного деформирования торообразных сетчатых оболочек при осесимметричном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

МИТКЕВИЧ МИХАИЛ АЛЕКСАНДРОВИ"

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСОВ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ И НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТОРООБРАЗНЫХ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ

01.02.06 - динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва -2005

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, профессор

Иванников Виктор Петрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Сарбаев Борис Сафиулович кандидат технических наук, доцент Солдятов Сергей Александрович

Ведущая организация: ФГУП «Московский институт

теплотехники», г. Москва

Защита состоится « 2Р » О2. 2004 г. в / 7 часов на заседании диссертационного совета Д 212.110.07 в «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете имЛС.Э.Циолковского по адресу: 121552, Москва, Г-522, ул.Оршанская, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «МАТИ» -РГТУ им.К.ЭДиолковского

Автореферат разослан «2 У» /2._200~~ г.

Ученый секретарь __

диссертационного совета <Ч=> Чуфистов В .А.

гоо£А_

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Применение композиционных материалов (КМ) на основе высокопрочных и высокомодульных волокон в различных отраслях машиностроения может существенно повысить эксплуатационные характеристики конструкций и снизить их материалоемкость. ' Задача снижения массы наиболее актуальна для конструкций ракетно-

космической техники, где внедрение высокопрочных КМ осуществляется наиболее прогрессивно.

Создание конструкций из КМ не может быть осуществлено без разработки соответствующих математических моделей формообразования, расчета и оптимизации конструкций. На сегодняшний день хорошо разработаны методы оптимального проектирования оболочечных конструкций, выполненных намоткой, типа цилиндров, сфер, овалоидов при действии постоянного внутреннего давления. Что касается торообразных оболочек, то количество работ в данном направлении весьма ограничено, что объясняется значительным усложнением задачи за счет ее сведения к краевой. Практически полностью отсутствуют решения задач для замкнутых торов, нагруженных гидростатическим давлением и весовой нагрузкой.

Вместе с тем существует класс незамкнутых торообразных оболочек, форма которых не позволяет осуществить их намотку на станках с ЧПУ. Для изготовления таких конструкций весьма эффективным является введение в технологический процесс этапа трансформации оболочки - заготовки, форма которой позволяет осуществить намотку, в требуемую конфигурацию. По ( данной технологии изготавливаются, например, автомобильные шины.

Метод трансформации существенно расширяет возможность получения конструкций неканонических форм, а реализация этого метода на практике 1 требует разработки теоретических моделей расчета формы и параметров

намотки оболочки - заготовки, обеспечивающих получение заданной

геометрии конечного изделия.

Целью работы является разработка методов расчета и

формообразования замкнутых и открытых (типа мембран) торообразных

сетчатых оболочек при действии осесимметричных нагрузок, зависящих от

рос. национальна библиотека

осевой координаты. Поставленная цель достигается на основании решения следующих задач:

- определение равновесных конфигураций торов, выполненных геодезической намоткой и опирающихся на основание, при постоянном, гидростатическом давлении и нагрузке от собственного веса;

- определение формы оболочки - заготовки для оболочки в виде -горообразной резинокордной мембраны, нафуженной постоянным давлением, разработка расчетной модели трансформации ее в -горообразную форму и расчет напряженно-деформированного состояния мембраны в равновесном состоянии;

- решение задачи оптимального проектирования -горообразной мембраны и разработка рекомендаций по улучшению характеристик мембраны, разработанной в ОАО «ЦНИИСМ».

Научная новизна. Численным решением нелинейных краевых задач определены равновесные формы и углы намотки замкнутых торов, опирающихся на основание, для комбинаций постоянного и гидростатического давления, постоянного давления и весовой нагрузки.

Разработана математическая модель формообразования оболочки -заготовки мембраны в виде однополостного гиперболоида вращения при спиральной намотке на два диска. Разработана модель трансформации армированной заготовки в виде оболочки вращения в -горообразную мембрану заданной геометрии, обобщающую известную модель «шинной геометрии» для цилиндрических заготовок. Исследовано напряженно-деформированное состояние мембраны при нагружении.

Получено решение задачи оптимального проектирования мембраны по критерию минимума массы и минимума натяжения. Показана неэквивалентность оптимальных решений. Для меридионально-армированной мембраны получено аналитическое решение в эллиптических интегралах, из которого определены оптимальные конструктивные параметры мембраны и схемы ее деформирования.

Предложены и обоснованы рекомендации по улучшению характеристик мембраны за счет введения цилиндрических опорных поверхностей.

Достоверность результатов основана на использовании апробированных методов и подходов механики сетчатых структур, а также полученных в диссертации интегральных соотношений, позволяющих контролировать точность численного решения нелинейных дифференциальных уравнений в краевых задачах.

Практическая значимость и реализация результатов. Материалы диссертации могут быть использованы в НИИ и КБ, занимающихся разработкой обол очечных конструкций, выполненных методом намотки из композиционных материалов. Результаты диссертации (математическая модель формообразования оболочки - заготовки; расчет геометрических параметров мембраны, обеспечивающих ее формообразование из оболочки -заготовки; рекомендации по улучшению рабочих характеристик мембраны за счет ее опирания на цилиндрические поверхности) использованы в ОАО «ЦНИИСМ» на изделии 72СП3221.00.000, что подтверждено актом о внедрении, приведенном в Приложении.

Предмет защиты и личный вклад автора. На защиту выносятся следующие положения:

- математическая модель и численный алгоритм расчета равновесной формы сетчатых оболочек по критериям равнонапряженности нитей или совпадения траекторий намотки с геодезическими линиями для осесимметричных нагрузок, зависящих от осевой координаты оболочки;

- результаты решения нелинейных краевых задач для сетчатых торов, опирающихся на основание и нагруженных постоянным и гидростатическим давлением, постоянным давлением и собственным весом;

- модель трансформации заготовки в виде оболочки вращения в горообразную мембрану, обобщающую известную модель «шинной геометрии»;

- решение задачи оптимального проектирования мембраны и обоснование рекомендаций по улучшению рабочих характеристик мембраны, разработанной в ОАО «ЦНИИСМ».

Автору принадлежит: разработка математических моделей; численных и аналитических алгоритмов расчета; реализация на ЭВМ моделей, алгоритмов; проведение численных расчетов и анализ результатов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на I Российском научно-техническом симпозиуме «Интеллектуальные композиционные материалы и конструкции в аэрокосмической технике» (Москва, 2004 г.) и 4-й Московской Международной конференции «Теория и практика технологии производства изделий из композиционных материалов и новых металлических сплавов» (Москва, 2005 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в трех статьях, приведенных в библиографическом списке к автореферату.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объем работы составляет 137 страниц, в том числе 52 рисунка и 9 таблиц. Библиография включает 108 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определена концепция работы, обосновывающая ее научную новизну и практическую значимость, сформулированы цели и задачи работы и указаны основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дан анализ работ по механике сетчатых оболочек вращения при осесимметричных нагрузках. Начало исследований, посвященных, в основном, расчету резинокордных конструкций типа автомобильных шин, шлангов, пневмоамортизаторов и др., нагруженных постоянным давлением положено работами В.Л.Бидермана и Б.Л.Бухина. От этих работ, собственно, и ведет свое начало термин сетчатая оболочка, обозначающий оболочку, образованную двумя перекрещивающимися семействами гибких нитей, связанных связующим. В случае отсутствия связующего оболочка не имеет формы, и термин сетчатая оболочка определяет расчетную модель. В ракетно-космической технике наиболее широкое применение теория сетчатых оболочек нашла при проектировании

конструкций корпусов РДТТ типа «кокон», выполненных методом спиральной намотки.

Модель абсолютно гибкой нити, положенной в основу теории сетчатых конструкций, определяет принципиальную особенность их поведения, а следовательно, и их расчета, заключающуюся в том, что сетчатая оболочка приобретает жесткую (равновесную) форму только под нагрузкой. Определение равновесной формы и усилий в нитях является основной задачей расчета оболочек по сетчатой модели, решение которой зависит от вида нагрузки, закона изменения углов армирования и условий закрепления. Наиболее значительный вклад в решение этой задачи внесли В.Л.Бидерман, В.А.Бунаков, БЛ.Бухин, В.В.Васильев, В.Д.Кулагин, А.Б.Миткевич, И.Ф.Образцов, В.Д.Протасов, С.Б.Черевацкий, а также 1.1Эепой, ИЛаЛивд, 1.0|й\уа1ег, \V.Read, 12гске1 и др. Равновесные формы замкнутых торовых оболочек при постоянном давлении рассматривались в работах ЛХМагкей» и М.А.Комкова.

Сетчатые оболочки представляют собой разновидность мягких оболочек, основы которых заложены в работах С.А.Алексеева, И.Б.Друзя, В.Э.Магулы, В.И.Усюкина и др. Равновесные формы меридионально напряженных мягких и сетчатых оболочек, выполненных геодезической намоткой, при постоянном внутреннем давлении выражаются через эллиптические интегралы ! и II рода.

Количество решенных задач при нагружении гидростатическим давлением и собственным весом весьма ограничено, и они касаются, в основном, меридионально-напряженных мягких оболочек. Для сетчатых торов при ненулевых углах намотки решения отсутствуют.

Задачи трансформации оболочек вращения с целью расширения возможности получения оптимальных конструкций нетрадиционных форм из КМ начали систематически исследоваться в конце 80-х годов. Теоретические и практические результаты были получены в ОАО «ЦНИИСМ» (интегральные оболочки со шпангоутами, диск Кайзера и др.).

Во второй главе рассмотрены решения задач для равновесных форм оболочек вращения, выполненных намоткой, при постоянном, гидростатическом давлении и действии весовых нагрузок, а также их

сочетании. Рассмотрены случаи равнопрочных замкнутых торов и условия их существования.

Для безмоментной сетчатой оболочки вращения, содержащей п нитей, нагруженной осесимметричными поверхностными нагрузками, меридиональными <?/ и нормальными уравнение связи между натяжением нити / и законом изменения угла намотки имеет вид:

rcos^ — - t tgp — (/• sin/?) + 1лЧхГ = 0. ds ds n

(1)

Для частных случаев из уравнения (1) следует:

учет массовых нагрузок, qt * 0. Дня геодезической намотки, £ = г sin/? = const, уравнение (1) определяет закон изменения натяжения t. Для равнопрочной оболочки, t = t0 - const , из (1) находим траекторию негеодезической намотки через функцию Клеро

при отсутствии массовых нагрузок, qt = 0 для оболочек, нагруженных постоянным р0 и гидростатическим давлением, при £ = const имеем t = const.

Компоненты поверхностной нагрузки в общем случае можно записать в виде:

qi=psia3, qn=po + yz-pcas9,

nf.P,

где p--

- удельный вес единицы поверхности оболочки,- у-удельный

2пгъо&р

вес жидкости/ р0 - пневматическое давление; р„ , /„ - удельный вес и площадь поперечного сечения нити; г - осевая координата, отсчитываемая от вершины тора; <9 - угол между нормалью и осью вращения оболочки.

При действии постоянного и гидростатического давления

уравнения, описывающие равновесную форму равноналряженной торовой оболочки, полностью заполненной жидкостью и опирающейся на коническое

Рис. 1. Расчетная схема

основание, в системе координат zio1r1 (рисунок 1) имеют вид: 1 2р2(Сж~0 sin2 рт sin 9

Pi (р2 _ sin2 fim) р(рг - Sin2 ря)

ЯГ Г,

т

Ф п ¿С ■ п

= Р\ cos 9; —- = р, sin 9 ,

d9 1 d9

где безразмерные координаты отнесены к максимальному радиусу гт .

Граничные условия краевой задачи:

9 = ~,р = ра, С = 0; 9 = ^,р = 1; 9 = ж-а, = tga.

2 2 Ре - Рс

В уравнения (2) входят неизвестные заранее величины параметров nt0, Д,. Краевая задача решалась численно, сведением ее к задаче Коши (метод стрельбы) с использованием итерационного метода Ньютона. Для поиска начального приближения варьируемых параметров проведена оценка диапазона их изменения.

На рисунке 2 приведены равновесные формы торов при rm = 1 м, га = 0,5 м, опирающихся на горизонтальную плоскость, ^ = , заполненных водой при различных значениях р0 = у (гж - z0). Кривая 3 соответствует тору при ро = 0. Для данного тора кривизна в вершине г = г0 равна нулю. Равновесные формы торов существуют при законах изменения углов намотки Р, представленных на рисунке 3. При 9 = ± ж/.2 углы намотки имеют экстремальные значения.

Для контроля точности численного решения дифференциальных уравнений в диссертации получено интегральное соотношение, которое для рассчитанных торов, рисунок 2, имеет вид:

*(гж - z0 + ЯХг,2 -r}) = VT, (3)

где Я-высота тора; VT- внутренний объем тора.

В приведенных примерах условие (3) выполняется с точностью до 5-6 значащих цифр после запятой, что свидетельствует о высокой достоверности полученных результатов.

•11

7 N

Г Ч

i 4М «W N

J

tm от« ti м u u

\

/ \

/ \ Л

; / \\

V

\

0*4«

Рис. 2. Равновесные формы торов:

1 - - 1913,5 ДД,- 23°, 904,4 Па, 2-nlo - 348.5 Н, Д,- 24,6°, р0= 52,3 Па; 3 т0 = 136,5 Н, Д," 25,3°, ро- 0 Па.

».град

Рис. 3. Изменение угла намотки для параметров торов, приведенных на рисунке 2

Для тора, выполненного геодезической намоткой и нагруженного постоянным давлением и собственным весом, опирающегося иа горизонтальное плоское основание, выражение для кривизны (2) имеет вид:

J_ =_2¿___р* eos 9 sin2 fin sin Э

P\

ni

г (/>2-sin2/UK

*rmp0

P^P A)

pJs.

• (4)

Натяжение в нитях будет переменным, и подчиняться закону:

dt_ d,9

= -p^mpJ„-

р$ш9

(х>2-8ш2Д.)>2

Граничные условия данной задачи имеют вид:

= ( = 0, * = *в; = = д = ±я,еь=£с.

В уравнении (4) и граничных условиях содержатся два варьируемых параметра Д» и.

На рисунке 4 построены равновесные конфигурации торов, гт = 1 м, га = 0,5 м, нагруженных собственным весом и различным давлением. Кривая 3 соответствует минимальному значению давления наддува, исключающего сжатие в нитях. Закон изменения натяжения представлен на рисунке 5. Максимальная величина натяжения реализуется в вершине тора, а минимальная соответствует радиусу тора г = гс.

Интегральное соотношение для контроля точности решения краевой задачи и найденных параметров при данном виде нагружения имеет вид: яро(гв2 - г?) = йт, где йт - вес тора. В диссертации показано, что данное соотношение удовлетворяется для торов, представленных на рисунке 4, с точностью до пяти значимых цифр после запятой.

ОЛ ОМ ОЛ ОМ 07 079 ОД ОМ ОЛ ОМ 1

Пт.

Рис.4. Равновесные фермы торов:

1 - ра'п - 8,82 Па./,р,~ 10,78 Н'М. <„-6,36Н, 2-Р1/П- 5,88Па,/, р.- 10,78 ИМ, 1,=2,38Н; 3 - р^п - 3,65 Па, й р»= 10,78 Н/М, 1.= 0,01 Н,

■200 160 -100 -60 0 60 10О 160 200 8, гряд

Рвс.5. Изменение натяжения нитей для параметров торов, приведенных на рисунке 4

В третьей главе разработаны математические модели формообразования оболочки заготовки, выполненной методом намотки, и трансформации ее в горообразную мембрану. Технология изготовления мембраны, описание которой приведено в работе, разработана в ОАО «ЦНИИСМ». Намотка оболочки-заготовки мембраны осуществляется на специальной оправке намоткой на два диска разного диаметра г = Ь и г = а {а<Ъ).

Уравнение образующей поверхности оболочки - заготовки, получаемой вращением прямолинейного отрезка спиральной нити, представляет собой однополостной гиперболоид вращения (башня В.Г.Шухова) и имеет вид:

Ь(Ь - а сое у/0 )й

а +Ь -2яЬсо8у0

¿(«'+»'-2 аЬ«*¥ш)- *=0, (5) п а +Ь-2аЬсжр0

где й - расстояние между дисками; щ - угол поворота оправки.

Спиральные нити при данном методе намотки укладываются по геодезическим линиям, где угол намотки р определяется из выражения: аЬ%\ау/0

Г sin Р = •

= с = const.

(а2 +Ь2 -2abcosyr0y2 Проведенный анализ позволил установить оптимальные значения щ, в частности щ = arceos (а / Ь), при котором координаты г - a, z = h соответствуют центру гиперболоида.

Оболочка - заготовка при последующей трансформации переходит в элементы плоскости (полка мембраны), конуса и кругового тора (рисунок 6). Изменение угла намотки при трансформации определяется обобщенным за-

sin ¡if с _п -

коном «шинной геометрии»: -— = — = %{1), где рг, гт - параметры

гт г2

трансформированной мембраны; / - текущее значение длины нити. Для традиционного закона «шинной геометрии» х = const. Получены дифференциальные уравнения связи геометрических параметров оболочки - заготовки и элементов поверхности мембраны, которые приведены в тексте диссертации. Соответствие сечений оболочки при трансформации и изменение углов, полученных в результате расчета, показано на рисунках 6, 7.

20 40 во вО

I

¿

1 t

- 1 i 1 í6/ 1

//а

Г" -1— i

Рис.6. Исходим форма оболочки-заготовки (а) и трансформированная форма мембраны (в)

О 50 100 150 200

L.XX

Ряс.7. Изменение углов армирования в оболочке-заготовке (а) и мембране (б) по л

и

Максимальное изменение углов намотки при трансформации имеет место в зоне перехода конуса в полку на малом радиусе мембраны. В данном сечении достигаются максимальные деформации: е2 - 66%, = -18%.

В четвертой главе решена задача о равновесной форме трансформированной мембраны при действии постоянного внутреннего давления. Проведен анализ влияния жесткости резины на деформированное состояние мембраны. Сформулированы и решены задачи оптимального проектирования мембраны по критериям минимума натяжения и минимума массы. Даны рекомендации по улучшению характеристик мембраны, разработанной в ОАО «ЦНИИСМ».

Для первого этапа расчета полная система уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние трансформированной мембраны при нагружении без учета жесткости резины, имеет вид:

( л. ,„2,

^ = (1 + е^совД

>1 УА

Л2-По 1

£1 +

со&Р

^ = (1+ £„)<*№&сов^; £2=--1;

си г

сЬ X

= (1 + £н)со& Д ят ен = ——; (6)

<Я Еи/и

■ а • а1 + б2 „ ~ 10) 5ШД=$Ш Р-/ = " 1-

1 + £н Ив Ш^СОБД

Индекс (1) соответствует деформированному состоянию. Граничные условия краевой задачи:

/ = 0, г,=гт=0, г,=гт=Ьт, 1-Ь, г = А, г1 = гт = -кт, г, = гт = ат.

Варьируемыми параметрами для удовлетворения граничных условий являются и гю..

При решении задачи параметры трансформированной мембраны вычисляются в одном цикле с решением системы (6) по уравнениям трансформации главы 3 диссертации через параметры оболочки - заготовки.

На рисунке 8 представлены все стадии формообразования мембраны разработки ОАО «ЦНИИСМ» для нерастяжимой нити (е„ = 0) для параметров а-15 мм; Ь =86,5 мм; А = 177,3 мм; ат = 27,1 мм; Ьт = 74 мм; Ит = - 60 мм; I = 196,7 мм. Кривая 4 соответствует равновесному профилю мембраны, при расчете которого принято # = 0 при сохранении длины нити Ь. Данное допущение является хорошим приближением задачи, особенно для малых углов армирования.

На рисунке 9 показан закон изменения относительного натяжения нити, а на рисунке 10 - деформации мембраны при ее раздувании из трансформированного положения.

У

Л

Рис.9. Изменение относительного натяжения нити (I» * 2,07 Н)

О 20 40 «О Ю 100120140190 1(0200

Рис.10. Деформация мембраны

1 - осевые в 1, 2- окружные е2

Рис.8. Стадии формообразования мембраны:

/ - оболочка-заготовка;

2 • мембрана,

3 - равновесная форма; 4-равновесная форма

р,-о

Для обеспечения герметичности мембрана имеет резиновые обкладки, внутреннюю и наружную, с суммарной толщиной Ир= 2,8 мм, изготовленные из резины марки 51-2110, для которой модуль сдвига <7 , определенный в диапазоне 10 - 30%, составляет 1,5 - 1,4 МПа. Учет жесткости резины на

равновесную форму мембраны осуществлялся через упругий потенциал резины в форме соотношения, предложенного Ф.Д.Сорокиным:

Тг^Рх - Т&РХ = сАр , (7)

где Ар = Р] - Рт\ с = ЮИр^2рп -1 + Щ2РТ), Ть Т2 - безмоментные усилия в оболочке.

При жесткости резины, равной нулю, формула (7) переходит в обычное соотношение для сетчатых оболочек Т2 /Т/ = . Проведенные расчеты показали, что влияние жесткости резины на равновесную форму мембраны проявляется при очень малом давлении, на четыре порядка меньшем, чем рабочее р0 = 1,35 МПа. Учет растяжимости нитей для параметров рассматриваемой мембраны также практически не влияет на ее конечное состояние.

При проектировании мембраны конструктивно заданы координаты точек закрепления ее рабочей части ат, Ьт, Лг- В зависимости от длины нити Ь и соотношения координат закрепления можно получить три различные схемы деформированного состояния мембраны, представленные на рисунке И.

При деформировании по схеме 7 мембрана раздувается за пределы обоих радиусов закрепления. При деформировании по схеме 2 мембрана раздувается за пределы закрепления аг . Для схемы 3 мембрана не выходит при деформировании за пределы радиусов закрепления. Каждая схема деформирования будет отличаться уровнем максимального натяжения мембраны и, соответственно, величиной ее массы.

Раздутие мембраны за пределы закрепления на малом радиусе чревато ее контактом с деталями, расположенными внутри мембраны, что может

привести к ее повреждению. Поэтому важно ограничить деформации мембраны. Таким образом, мы подходим к принципиально важному выводу, что процесс проектирования оптимальной мембраны заключается в комплексном решении задачи выбора геометрии оболочки - заготовки и траекторий намотки на ней и установления рациональной формы трансформированной мембраны, исходя из критериев, формулируемых для ее конечного состояния.

Возможность варьирования длиной нити L позволяет сформулировать задачи оптимального проектирования мембраны по критериям минимума массы либо минимума натяжения нити.

Масса мембраны определяется выражением М^ - m¡n р ^

(г2 —r2)L

где F =————-. Здесь [/] - допустимое натяжение нити. Минимум

siná>l%

массы соответствует минимуму целевой функции F. При этом должны удовлетворяться условия равновесной формы и граничные условия закрепления.

Для упрощенного варианта ßt - 0, целевая функция задачи

L sin & „

оптимизации принимает вид F = —, где А = —-— = const. Для этого

А г\ - rio

случая в работе получены аналитические выражения в эллиптических интегралах I и П рода для определения координат равновесного профиля мембраны и длины нити на ней для представленных на рисунке 11 схем деформирования мембраны.

Результаты решения в зависимости от длины нити приведены в таблице для исходных данных: ат = 27,1 мм; Ьт = 74 мм; Ит - - 60 мм; t<r 2,07 Н.

Как следует из таблицы, мембрана минимальной массы соответствует варианту 6, а минимальному натяжению - варианту 3, при этом минимум натяжения и минимум массы относятся к разным длинам нити L.

Таблица

№ ММ &1ЪТ, град град ГШ мм tлt А-103, мм"2 /40^, мм3

1 150,1 120,0 -122,6 55,4 1,171 0,3603 416,6

2 134,5 100,0 -121,5 54,1 1,089 0,3875 347,1

3 126,9 90,0 -121,2 54,0 1,078 0,3913 324,3

4 114,9 70,0 -118,1 55,0 1,098 0,3842 299,1

5 109,2 60,0 -114,9 56,1 1,128 0,3739 292,1

6 105,4 53,0 -112,6 57,2 1,162 0,3631 290,3

7 103,8 50,0 -112,5 57,7 1,183 0,3564 291,2

8 94,4 30,0 -104,1 62,2 1,360 0,31 304,5

Определение характеристик мембраны минимальной массы представляет больше теоретический интерес, так как масса ее при заданных геометрических размерах весьма незначительна. Для практики важнее задача проектирования мембраны наименьшего возможного натяжения. В работе доказано, что этому условию соответствует мембрана, деформируемая по схеме 3, при этом в местах закрепления 9] = ± л/2. Для данной мембраны должно выполняться однозначное соответствие между параметрами ее рабочей части:

2 .2 ъ2 _ 2 Ьт = ЬтЕ(к) - т 7 К(*); I = т т К (к), (8) У>т 2ЬТ

где К(А) , Е(Л) - полные эллиптические интегралы I и П рода,

к = —-----модуль эллиптических интегралов.

Ьу

Для значений параметров аъ Ьт таблицы на основании (8) имеем /»г =-18,9 мм; I = 78,3 мм. Натяжение в такой мембране определяется 1ю (Ь* — л21

соотношением / = = ——--—. Мембрана, разработанная в ОАО

2 и

«ЦНИИСМ», деформируется по схеме 1 (кривая 3 на рисунке 8). Для улучшения ее характеристик в работе предложено ввести опорные

цилиндрические поверхности, обеспечивающие деформации мембраны по схеме наименьшего натяжения и исключающие ее раздувание за пределы радиусов закрепления. В результате расчета установлено, что введение опорных поверхностей уменьшило на 30% максимальное натяжение и приблизительно в 2 раза деформации мембраны.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены разрешающие дифференциальные уравнения для •горообразных сетчатых оболочек вращения, нагруженных постоянным, гидростатическим давлением и собственным весом. В качестве критериев рассмотрены условия равнонапряженности нитей или совпадение траекторий намотки с геодезическими линиями.

2. Разработан алгоритм и численно решены нелинейные краевые задачи определения равновесных форм замкнутых торов, опирающихся на основание, для комбинаций постоянного и гидростатического давления, постоянного давления и весовой нагрузки. Определены предельные равновесные формы существования торов при геодезической намотке для этих комбинаций.

3. Получены интегральные соотношения для контроля точности численного решения рассмотренных задач, подтвердивших высокую достоверность полученных результатов.

4. Разработана модель формообразования силовых оболочек торообразных незамкнутых мембран, выполненных методом намотки. Определена форма и исследованы параметры поверхности оболочки -заготовки мембраны в виде однополостного гиперболоида вращения при намотке на два диска. Разработана модель трансформации оболочки -заготовки в торообразную мембрану, обобщающую известную модель «шинной геометрии» для цилиндрических заготовок. Обоснован важный вывод, что процесс проектирования оптимальной формы трансформированной мембраны заключается в комплексном решении задачи

выбора формы оболочки - заготовки и траекторий намотки на ней, исходя из критериев, формулируемых для деформированного состояния мембраны.

б. Решена задача о конечном состоянии мембраны при действии внутреннего давления в зависимости от формы оболочки - заготовки, длины нити на ней и граничных условий закрепления. Определены три схемы деформирования мембраны. Для меридионапьно-армированной мембраны получено аналитическое решение в эллиптических интегралах.

6. Получено решение задач оптимального проектирования мембраны по критерию минимума массы и критерию минимума натяжения. Показана неэквивалентность оптимальных решений.

7. Предложены и обоснованы рекомендации по улучшению характеристик мембраны, разработанной в ОАО «ЦНИИСМ», заключающиеся в введении цилиндрических опорных поверхностей, что позволяет уменьшить максимальное натяжение в нитях на 30%, а максимальные деформации приблизительно в два раза.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Миткевич А.Б., Миткевич М.А. Проектирование сетчатых оболочек вращения, выполненных намоткой, при весовых и гидростатических нагрузках [Текст] // Вопросы оборонной техники, серия 15. - 2004. -вып. 1(134) - 2 (135). - С.21 - 22.

2. Миткевич М.А., Мерзляков В.В. Формообразование поверхности псевдолентой в способе косослойной продольно-поперечной намотки [Текст] // Вопросы оборонной техники, серия 15. - 2004. - вып.3(13б) -4(137).-С.8- И.

3. Миткевич М.А. Равновесная форма -горообразной резинокордной мембраны при действии внутреннего давления [Текст] // Вопросы оборонной техники, серия 15. - 2004. - вып.3(136) - 4(137). - С.21 - 24

"Ж"

ВВЕДЕНИЕ.,.

1. АНАЛИЗ РАБОТ ПО МЕХАНИКЕ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ НАГРУЗКАХ.

2. РАВНОВЕСНЫЕ ФОРМЫ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ НАГРУЗКАХ.

2.1. Уравнения равновесной формы сетчатых оболочек вращения из нерастяжимых нитей.

2.2. Равновесные формы торообразных оболочек при постоянном давлении.

2.3. Равновесные торы при гидростатическом давлении, опирающиеся на основание.

2.4. Равновесный тор под действием внутреннего давления и собственного веса.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМООБРАЗОВАНИЯ И ИЗГОТОВЛЕНИЯ РЕЗИНОКОРДНОЙ ТОРООБРАЗНОЙ МЕМБРАНЫ.

3.1. Описание конструкции и технологического процесса изготовления мембраны.

3.2. Исследование формообразования заготовки мембраны.

3.3. Расчет параметров мембраны при трансформации.

4. РАВНОВЕСНЫЕ ФОРМЫ ТРАНСФОРМИРОВАННЫХ ТОРООБРАЗНЫХ МЕМБРАН ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ.

4.1. Исследование равновесной формы мембраны для заготовки в виде оболочки вращения.

4.2. Оптимальное проектирование мембраны.

Сетчатые оболочки, выполненные методом намотки из высокопрочных нитей, широко распространены в различных отраслях машиностроения. Достаточно отметить их применение для изготовления автомобильных шин, пневмоамортизаторов, оплеток рукавов и др.

В ракетно-космической технике наибольшее применение теория сетчатых оболочек («сетевой анализ») нашла при проектировании конструкций корпусов РДТТ типа «кокон», выполненных методом спиральной намотки. В данном случае при расчете корпусов РДТТ композиционный материал отождествляется с системой абсолютно гибких нитей без учета вклада связующего.

Модель абсолютно гибкой нити, положенной в основу теории сетчатых конструкций, определяет принципиальную особенность их поведения, а следовательно, и их расчета, заключающуюся в том, что сетчатая оболочка приобретает жесткую форму только под нагрузкой. Такая форма называется равновесной. В этом прослеживается тесная связь сетчатых оболочек с мягкими оболочками. Однако, в отличии от мягких оболочек на основе резиноподобных материалов, предельные деформации современных армирующих волокон, используемых для изготовления нитей, - углеволокна, стекловолокна, арамидных волокон - весьма малы и не превышают 5%.

Равновесная конфигурация сетчатой оболочки определяется типом нагружения, законом изменения угла намотки и условиями закрепления.

Если исходная форма является равновесной, то деформации оболочки за счет растяжимости нитей и ее конечная форма могут быть определены с удовлетворительной для практики точностью в рамках линейной теории. В случае, если исходная форма оболочки неравновесная,' то задача становится сугубо нелинейной. При этом нелинейная модель расчета должна учитывать свойства связующего, характеристики которого и модель деформирования могут существенно отличаться, например, жесткие эпоксидные смолы либо резиноподобный наполнитель.

Равновесные формы сетчатых оболочек достаточно подробно исследованы для случая нагружения постоянным внутренним давлением. Для общего случая нагружения, когда поверхностная нагрузка является функцией координаты оболочки - гидростатическое давление, массовая нагрузка, количество практически решенных задач весьма ограничено. Класс торообразных оболочек в практическом плане исследован явно недостаточно, что, в первую очередь, можно объяснить значительным усложнением задачи за счет ее сведения к краевой.

Для определения равновесной формы сетчатой структуры необходимо знать закон распределения углов армирования на оболочке или, другими словами, закон намотки при ее изготовлении на оправке. Следует отметить, что с точки зрения реализации на практике, выбор траектории намотки весьма ограничен. Наиболее широко используются геодезические траектории намотки. Как известно, геодезическая траектория позволяет осуществить намотку с натяжением на абсолютно гладкой поверхности. Однако в ряде практических случаев этот тип намотки не позволяет удовлетворить конструктивные требования, например, геодезической намоткой нельзя получить баллон давления с разными полюсными отверстиями. Отклонение намотки от геодезической ограничено величиной коэффициента трения между оправкой и наматываемой нитью.

В случае сложных форм изделий, к которым, в частности, относятся незамкнутые торообразные оболочки, существующее оборудование и намоточные станки с программным управлением не позволяют осуществить спиральную намотку либо накладывают ограничения на форму готового изделия, а применение ручной выкладки существенно снижает производительность и качество конструкций.

Перспективным направлением развития технологии получения сетчатых оболочек нетрадиционной формы является введение в технологический процесс операции трансформации оболочки-заготовки в конечное изделие. Отметим, что именно по этой, хорошо известной в автомобильной промышленности, технологии изготавливаются автомобильные шины, когда исходную сетчатую цилиндрическую оболочку трансформируют в торообразную поверхность шины. Намотка исходной цилиндрической оболочки - заготовки является геодезической. После трансформации закон изменения углов армирования описывается так называемой «шинной геометрией» Процесс перевода оболочки - заготовки в конечную форму представляет собой геометрически нелинейную задачу.

Цели и задачи диссертационной работы:

1. Исследование равновесных форм сетчатых торообразных оболочек при действии постоянного внутреннего давления, гидростатического давления и нагрузок от собственного веса;

2. Решение задач формообразования сетчатой оболочки - заготовки резинокордной мембраны, трансформации ее в заданную форму и определение равновесной формы и деформаций мембраны при нагружении внутренним давлением;

3. Решение задачи определения оптимальной формы торообразной мембраны и ее параметров;

4. Разработка рекомендаций по улучшению характеристик мембраны.

На защиту выносится:

1. Постановка задачи и математическая модель определения равновесной формы сетчатых оболочек вращения, выполненных спиральной намоткой при осесимметричных нагрузках, зависящих от осевой координаты;

2. Решения задач о равновесной форме торовых оболочек, опирающихся на основание, при гидростатическом давлении и нагрузках от собственного веса;

3. Комплексная математическая модель формообразования оболочки -заготовки, трансформации ее в промежуточную форму и определения равновесной конфигурации торообразной резинокордной мембраны на основании обобщенной модели «шинной геометрии»;

4. Постановка, обоснование и аналитическое решение задачи определения оптимальной формы торообразной мембраны по критериям минимума натяжения и минимума массы;

5. Практические рекомендации по улучшению характеристик мембраны, разработанной в ОАО «ЦНИИСМ».

Апробация работы

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на 1 Российском научно - техническом симпозиуме «Интеллектуальные композиционные материалы и конструкции в аэрокосмической технике» (Москва, 2004 г.) и 4-й Московской Международной конференции «Теория и практика технологии производства изделий из композиционных материалов и новых металлических сплавов (Москва, 2005 г.).

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сформулированы задачи проектирования и получены разрешающие дифференциальные уравнения для торообразных сетчатых оболочек вращения, нагруженных постоянным, гидростатическим давлением и собственным весом. В качестве критериев рассмотрены условия равнонапряженности нитей или совпадение траекторий намотки с геодезическими линиями.

2. Разработан алгоритм и численно решены нелинейные краевые задачи определения равновесных форм замкнутых торов, опирающихся на основание, для комбинаций постоянного и гидростатического давления, постоянного давления и весовой нагрузки. Определены предельные равновесные формы существования торов при геодезической намотке для этих комбинаций.

3. Получены интегральные соотношения для контроля точности численного решения рассмотренных задач, подтвердивших высокую достоверность полученных результатов.

4. Разработана модель формообразования силовых оболочек торообразных незамкнутых мембран, выполненных методом намотки. Определена форма и исследованы параметры поверхности оболочки -заготовки мембраны в виде однополостного гиперболоида вращения при намотке методом KiillH на два диска. Разработана модель трансформации оболочки - заготовки в торообразную мембрану, обобщающую известную модель «шинной геометрии» для цилиндрических заготовок. Обоснован важный вывод, что процесс проектирования оптимальной формы трансформированной мембраны заключается в комплексном решении задачи выбора формы оболочки - заготовки и траекторий намотки на ней, исходя из критериев, формулируемых для деформированного состояния мембраны.

5. Решена задача о конечном состоянии мембраны при действии внутреннего давления в зависимости от формы оболочки - заготовки, длины нити на ней и граничных условий закрепления. Определены три схемы деформирования мембраны. Для меридионально-армированной мембраны получено аналитическое решение в эллиптических интегралах.

6. Получено решение задачи оптимального проектирования мембраны по критерию минимума массы и критерию минимума натяжения. Показана неэквивалентность оптимальных решений.

7. Предложены и обоснованы рекомендации по улучшению характеристик мембраны, разработанной в ОАО «ЦНИИСМ», заключающиеся в введении цилиндрических опорных поверхностей, что позволяет уменьшить максимальное натяжение в нитях на 30%, а максимальные деформации приблизительно в два раза.

1. Алексеев С.А. Основы теории мягких осесимметричных оболочек Текст. // Расчет пространственных конструкций. - 1965. - Вып. 10. -С.5-37.

2. Алексеев С.А. Задачи статики и динамики мягких оболочек Текст. // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. -М.: Наука, 1966.-С.28-37.

3. Алексеев С.А. К теории мягких оболочек Текст. // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966.- С.945-947.

4. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек Текст. // Расчет пространственных конструкций. 1967. - вып. 11.- С.31 - 52.

5. Алфутов Н.А, Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов Текст. М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек Текст. -М.: Наука, 1974.-448 с.

7. Балабух Л.И., Усюкин В.И. Приближенная теория мягких оболочек вращения Текст. // Труды VIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. — М.: Наука, 1973. С.119 - 125.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений Текст. т.2. - М.: Наука, 1966.-278 с.

9. Ю.Бидерман В JI. Вопросы расчета резиновых деталей Текст. // Расчеты на прочность. 1958. - вып.З. - С.40 - 87.

10. П.Бидерман B.JI. Дифференциальные уравнения деформаций резинокордных оболочек вращения Текст. // Расчеты на прочность в машиностроении: Труды МВТУ им.Баумана / Под ред.Г.А.Николаева. -М: 1958. -С.119 146.

11. Бидерман B.JL, Бухин Б.Л. Энергетический метод расчета резинокордных оболочек вращения Текст. // Изв.АН СССР. Механика и машиностроение. 1959. - № 6. - С.76 - 83.

12. П.Бидерман B.JL, Бухин Б.Л. Равновесие резинокордной цилиндрической оболочки Текст. // Изв.АН СССР. Механика и машиностроение. 1960. - № 6. - С.115 - 165.

13. М.Бидерман B.JL, Бухин Б.Л. Расчет безмоментных сетчатых оболочек Текст. // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966. - С.948 - 953.

14. Бидерман В.Л., Бухин Б.Л., Николаев И.К. Расчет равновесной конфигурации резинокордной оболочки вращения на ЭВМ Текст. // Каучук и резина. 1966. - № 5. - С.ЗЗ - 35.

15. Бидерман В.Л., Бухин Б.Л. Уравнения равновесия безмоментной сетчатой оболочки Текст. // Инженерный журнал. МТТ. 1966. -№ 1.- С.81 -89.

16. П.Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций Текст. М.: Машиностроение, 1977.-488 с.

17. Бидерман В.Л., Мартьянова Г.В., Сорокин Ф.Д. Учет жесткости связующего и растяжимости арматуры при расчете оболочки вращения из КМ Текст. // Механика композитных материалов. 1987. - № 5. -С.825 - 832.

18. Бухин Б.Л. Расчет равновесной конфигурации пневматической шины с учетом удлинения нитей корда Текст. // Каучук и резина. 1963. -№ 10. -С.35 -38.

19. Бухин Б.Л., Гильдман И.М., Каплинский Э.М. Симметричная деформация безмоментной сетчатой оболочки вращения Текст. // Каучук и резина. 1969. -№11.- С.36 - 39.

20. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ Текст. М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

21. Васильев В.В., Солдатов С.А. Соотношения нелинейной механики композитных материалов Текст. // Механика композитных материалов. Рига: РПИ, 1979. - С.З - 8.

22. Васильев В.В., Миткевич А.Б., Протасов В.Д. Оптимальное проектирование баллонов давления в форме оболочек вращения, образованных из композиционных материалов методом намотки Текст.-М.:ВИМИ, 1981.-65 с.

23. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов Текст. М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

24. Воробьев Л.М., Воробьева Т.М. Нелинейные преобразования в прикладных вариационных задачах Текст. М.: Энергия, 1972. -208 с.

25. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы Текст. М.: Наука, 1977.-440 с.

26. Гордеев В.Н. О поведении тканевых оболочек под нагрузкой Текст. // Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. — Ереван, 1964.-С.391 -398.

27. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные анизотропные оболочки: Расчет пневматических шин Текст. М.: Машиностроение, 1988.-288 с.

28. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ Текст. Киев: Вища школа, 1983. - 268 с.

29. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы Текст. М.: Наука, 1977. - 228 с.

30. Друзь И.Б., Друзь Б.И. Осесимметричные задачи статики мягких оболочек и емкостей Текст. Владивосток: Интермор, 1999. - 187 с.

31. Елпатьевский А.Н., Васильев В.В. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов Текст. М.: Машиностроение, 1972.- 168 с.34.3иккел И. Равнопрочные сосуды давления Текст. // Ракетная техника и космонавтика. 1962. - № 6. - С. 120 - 122.

32. Комков М.А. Равнонапряженная торовая оболочка, изготовленная методом намотки из однонаправленного стеклопластика Текст. // Применение пластмасс в машиностроении. 1978. - № 17. - С.75 - 83.

33. Композиционные материалы Текст.: Справочник / В.В.Васильев, В.Д.Протасов, В.В.Болотин и [др.]. М.: Машиностроение, 1990. -512 с.

34. Коровайцев А.В. Расчет напряженно-деформированного состояния оболочек вращения при больших перемещениях Текст. // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1982. - № 5. - С.11 - 16.

35. Коровайцев А.В. Расчет упругих оболочек при больших осесимметричиых перемещениях Текст. // Расчеты на прочность. -1983. -№23.-С.290-295.

36. Коровайцев А.В. О применении метода начальных параметров в расчетах нелинейного поведения оболочек вращения Текст. // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1983. - № 7. - С. 148 -150.

37. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс Текст. М.: Машиностроение, 1965. -272 с.

38. Костарев А.Б. Расчет сетчатой цилиндрической оболочки с многоугольной ячейкой сетки Текст. // Новые методы расчета строительных конструкций. JL, 1983. - С. 18 - 26.

39. Кузнецов Э.Н. Некоторые вопросы статики сетей Текст. // Строительная механика и расчет сооружений. 1966. - № 2. -С.35-38.

40. Кузнецов Э.Н. Основные уравнения статики упругой сети Текст. // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. -М.: Наука, 1966. С.516 - 521.

41. Кузнецов Э.Н. Введение в теорию вантовых систем Текст. М.: Издательство литературы по строительству, 1969. - 142 с.

42. Кулагин В.Д., Крамской JI.M. Расчет сетчатых оболочек вращения Текст. // Сообщения ЛМО ДВВИМУ. 1970. - вып.11. - С.86 - 96.

43. Кулагин В.Д., Крамской JI.M. Статика сетчатых оболочек Текст. // Сообщения ЛМО ДВВИМУ. 1970. - вып. 12. - С.70 -90.

44. Кулагин В.Д., Крамской Л.М. Расчет замкнутых сетчатых оболочек под постоянным внутренним давлением Текст. // Сообщения ЛМО ДВВИМУ. 1971. - вып. 14. - С.60 - 65.

45. Кулагин В.Д. Расчет раскроя сетчатой оболочки вращения по заданной конечной форме Текст. // Сообщения JIMO ДВВИМУ. -1971. вып. 15. - С. 102 - 105.

46. Кулагин В.Д. О существовании форм сетчатых оболочек вращения, загруженных нормальным давлением и осевыми силами Текст. // Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. 1972. -вып. 19. - С.52 - 61.

47. Кулагин В.Д. Учет растяжимости нитей при расчете сетчатых оболочек вращения Текст. // Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. 1972. - вып. 19. - С.62 - 64.

48. Кулагин В.Д. К расчету осесимметричных сетчатых оболочек Текст. // Строительная механика и расчет сооружений. 1973. - № 4. -С.56-57.

49. Кулагин В.Д. Расчет раскроя сетчатых оболочек вращения Текст. // Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. 1973. - вып.22. -С.62-69.

50. Кулагин В.Д. Расчет растяжимых осесимметричных и цилиндрических сетных оболочек Текст. // Труды Николаевского кораблестроительного института. 1979. - С.93 - 98.

51. Лепетов В.А., Юрцев Л.Н. Расчеты и конструирование резиновых изделий Текст. Л.: Химия, 1977. - 408 с.

52. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости Текст. М.: Наука, 1980. -512 с.

53. Магула В.Э. Расчет мягких оболочек с исходной круговой цилиндрической формой Текст. // Строительная механика и расчет сооружений. 1978. - № 6. - С.11 - 13.

54. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции Текст. Л.: Судостроение, 1978.-263 с.

55. Магула В.Э. Особенности решения обратной задачи теории мягких оболочек Текст. // Судовые устройства, системы и гибкие конструкции. Николаев: НКИ, 1982. - С.З - 9.

56. Мальков В.М. Механика многослойных эластомерных конструкций Текст. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1988. -320 с.

57. Маркетос И. Оптимальный тороидальный сосуд, работающий под давлением, образуемый волокнами, навитыми вдоль геодезических линий Текст. // Ракетная техника и космонавтика. 1963. - № 8. -С.223 -226.

58. Мартьянова Г.В. Расчет сетчатых оболочек вращения Текст. // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. -Тбилиси: Издательство Тбилисского университета, 1987. т.2. -С.219 -224.

59. Минаков А.П. К вопросу о равновесии идеально гибкой нити на шероховатой поверхности Текст. // Ученые записки МГУ. 1951. -т.4. - вып. 154. - С.241 - 266.

60. Миткевич А.Б., Протасов В.Д. Равновесные стеклопластиковые баллоны давления минимальной массы при негеодезической намотке Текст. // Механика полимеров. 1975. - № 6. - С.864 - 875.

61. Миткевич А.Б., Протасов В.Д., Осинин С.В. Проектирование равнонапряженных оболочек давления из композитных материалов в конечном деформированном состоянии Текст. // Механика композитных материалов. 1987.- № 3. - С.545 - 547.

62. Миткевич А.Б., Протасов В.Д. Форма равнопрочного по сдвигу днища баллона давления при негеодезической намотке Текст. // Механика композитных материалов. 1988. - № 2. - С.344 - 346.

63. Миткевич А.Б., Миткевич М.А. Проектирование сетчатых оболочек вращения, выполненных намоткой, при весовых и гидростатических нагрузках Текст. // Вопросы оборонной техники, серия 15. — 2004. -вып. 1 ({34) 2 (135). - С.21 - 22.

64. Миткевич М.А., Мерзляков В.В. Формообразование поверхности псевдолентой в способе косослойной продольно-поперечной намотки Текст. // Вопросы оборонной техники, серия 15. 2004. - вып.3(136) -4(137).-С.8-11.

65. Миткевич М.А. Равновесная форма торообразной резинокордной мембраны при действии внутреннего давления Текст. // Вопросы оборонной техники, серия 15. -2004. -вып.3(136)-4(137). -С.21 -24.

66. Морозов Е.В. Оптимальные траектории армирования композитной оболочки вращения, образованной методом намотки Текст. // Механика композитных материалов. 1985. - № 2. - С.323 - 327.

67. Мухамбетжанов С.Г., Черевацкий А.С. Необходимые условия трансформации сетевых оболочек Текст. // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек [Текст]. Тбилиси: Издательство Тбилисского университета, 1987. - т.2. - Сс.267 - 272.

68. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости Текст. М.: Едиториал УРСС, 2003.-208 с.72.0бразцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов Текст. М.: Машиностроение, 1977. - 144 с.

69. Отработка конструкции и технологии изготовления и испытаний герметизирующей мембраны Текст. : отчет по НИОКР / ОАО ЦНИИСМ ; рук.Суменков В.И.; исполн.: Пашутов А.В., Мерзляков В.В. Хотьково, 2004. - 30 с. - Инв.№ 2- 402/04. ,

70. Петров В.В. Метод последовательных нагруженнй в нелинейной теории пластин и оболочек Текст. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1975. - 119 с.

71. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия Текст. М.: Наука, 1969.- 176 с.

72. Пономарев А.П., Мерзляков В.В., Миткевич А.Б. Намотка оболочек вращения лентой, армированной в 2-х направлениях Текст. // Механика композитных материалов. 1988. - № 4. - с.746 - 748.

73. Пономарев А.П., Мерзляков В.В., Миткевич М.А. Моделирование образования ленты на оправке при косослойной продольно-поперечной намотке Текст. // Вопросы оборонной техники, серия 15. 2004. -вып.3(136) - 4(137). - С. 2.9-36.

74. Пономарев В.В., Беликов Г.Н. Расчет сетчатых оболочек Текст. // Прикладная механика. 1981. - т. 17. - № 7. - С.53 - 60.

75. Прагер В. Введение в механику сплошных сред Текст. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 311 с.

76. Привалов И.Н. Аналитическая геометрия Текст. М.:, Физматгиз, 1961.-299 с.81 .Проектирование конструкций из волокнистых композиционных материалов Текст. / С.Б.Черевацкий, Е.М. Центовский, Ю.П.Ромашов [и др.]. М.: ЦНИИ информации, 1986. - 160 с.

77. Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок Текст. -М.: Наука, 1982.-352 с.

78. Расчеты на прочность в машиностроении Текст. / С.Д.Пономарев, В.Л.Бидерман, К.К. Лихарев, В.М.Макушин, Н.Н.Малинин, В.И.Феодосьев. Т.2. М.: Машгиз, 1958. - 974 с.

79. Ривлин Р., Пипкин А. Проектирование сосудов высокого давления, . усиленных нерастяжимыми нитями Текст. // Прикладная механика :

80. Труды американского общества инженеров-механиков. 1963. - № 1. -С.123 - 129.

81. Росато Д.В., Грове К.С. Намотка стеклонитью Текст. М.: Машиностроение, 1969.-310 с.

82. Сегал B.JL, Черевацкий С.Б. Нитевые сети на поверхности Текст. // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. -М.: Наука, 1966. С.680 - 684.

83. Солдатов С.А. Расчет конструкций из композиционных материалов при больших деформациях Текст. // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. М.: ЦАГИ, 1982. -ВЫП.9.-С.100- 107.

84. Сорокин Ф.Д. Влияние жесткости резины на деформации резинокордных оболочек с нерастяжимыми нитями Текст. Известия ВУЗов. Машиностроение, 1985. - № 8. - С.З - 6.

85. Сорокин Ф.Д. Расчеты сетчатых оболочек при больших перемещениях Текст.: диссертация канд.техн.наук. М., 1990. -159 с.

86. Способ изготовления оболочечных конструкций из композиционных материалов Текст. / С.Б.Черевацкий, Е.М.Центовский, Н.Г.Мороз, М.С.Резаев // Вопросы оборонной техники, серия 15. 1984. -Вып.4(56). - С.23 - 26.

87. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки Текст. М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

88. Усюкин В.И. Деформация мембранных оболочек вращения Текст. // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. - № 2. -С.134- 140.

89. Усюкин В.И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек Текст. // Механика твердого тела. 1976. - № 1. - С.70 - 75.

90. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов Текст. М.: Наука, 1986. - 512 с.

91. Филин А.П. Элементы теории оболочек Текст. JL: Стройиздат, 1987.-384 с.

92. Хартунг Р. Сосуды давления, полученные методом плоскостной намотки нитей Текст. // Ракетная техника и космонавтика. 1963. - № 12. - С.159 - 160.

93. Черевацкий С.Б. О монотропных нитевых оболочках Текст. // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966. -С.792- 798.

94. Черевацкий С.Б., Сегал B.JI. К теории конечных деформаций криволинейно-ортотропных нитевых оболочек вращения Текст. // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Издательство Казанского университета, 1967. - № 5. - С.542 - 553.

95. Черевацкий С.Б. О нитевых поверхностях вращения, нагруженных по осесимметричному закону Текст. // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Издательство Казанского университета, 1967. - № 5. - С.554 - 573.

96. Шишацкий В.А., Комков М.А. Композитная торовая оболочка с внутренним металлическим слоем Текст. // Применение пластмасс в машиностроении. 1982. - № 19. - С.84 - 92.

97. Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми Текст. М.: ГИТТЛ, 1949. - 420 с.

98. Combeseure A., Hoffman A. Non-linear analysis of shells (large displacements); use of the equilibrium equations based on the deformed body Text. // Trans. 5th Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. Berlin. -1979/-V0I.M.-P.611-617.

99. Denost J.P. New design concept for filament wound pressure vessels with unequal polar openings Text. // AIAA. - 1982.- N 1067. -P.l-7.

100. Flugge W., Chou S. Large deformation of very thin shells the inverse problem Text. // Trans.ASME. - 1972. - E-39. - N 4. -P. 1079-1084.

101. Nahas M.N. Analysis of non-linear stress strain response of laminated fiber - reinforced composites Text. // Fiber Science and Technology. - 1984. - V.20, N 4. - P.297 - 313.

102. Orgill G., Wilson J.F. Finite deformations of nonlinear orthotropic cylindrical shells Text. // Trans.ASME. 1986. - V.53, N 2. - P.257 - 265

103. Outwater J.O. Filament wound internal pressure vessels Text. // Modern Plastics. - 1963. - V.40, N 7. - P. 135 - 139.