Прямые и обратные задачи деформирования пологих панелей и оболочек вращения из композитного материала

Тазюков, Булат Фэридович

Прямые и обратные задачи деформирования пологих панелей и оболочек вращения из композитного материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Тазюков, Булат Фэридович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Прямые и обратные задачи деформирования пологих панелей и оболочек вращения из композитного материала»

Автореферат диссертации на тему "Прямые и обратные задачи деформирования пологих панелей и оболочек вращения из композитного материала"

На правах рукописи

ТАЗЮКОВ БУЛАТ ФЭРИДОВИЧ

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛОГИХ ПАНЕЛЕЙ И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ИЗ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования 'Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина""

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

заслуж. деят. науки РФ и РТ, профессор Коноплев Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор Каюмов Рашит Абдулхакович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

заслуж. деят. науки и техники РФ, профессор Крысько Вадим Анатольевич

Защита состоится "24" июня 2004 г. в 14 часов 30 минут в ауд. физ. 2 на заседании специализированного Совета Д 212.081.11 Казанского Государственного университета по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская 18.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке КГУ им. Н.И. Лобачевского.

доктор физико-математических наук, чл.-корр. АН Татарстана,. профессор Иванов Виктор Алексеевич

Ведущая организация:

Институт механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.

А.А. Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Развитие современной техники неразрывно связано с производством композитных материалов (КМ), конструкций из них, внедрением их в самые различные отрасли промышленности, а также с созданием новых композитных материалов и конструкций. Особенно широкое распространение в силу значительной весовой экономичности получили волокнистые композитные материалы (ВКМ) на полимерной основе типа органо-, стекло-, угле- и боропластиков и тонкостенные оболочечные конструкции из них. На сегодняшний день они используются в транспортном машиностроении, космической технике, химической и легкой промышленности, строительстве и пр. Поэтому, вопросам расчета как композитных оболочек, так и композиционных материалов уделяется сейчас большое внимание.

Известно существенное влияние на механические свойства композитных материалов (КМ) технологических факторов, возникающих на стадии изготовления конструкций и изделий из КМ. Свойства ленты из волокнистого КМ, обнаруживаемые при традиционных способах испытаний, отличаются от свойств этой же ленты, работающей в составе намоточной оболочки или панели. Например, хрупкие материалы в композиции (в многослойных пакетах) начинают работать как пластические. Поэтому КМ необходимо рассматривать как материал, создаваемый совместно с конструкцией. А это означает, что информацию о механических свойствах КМ целесообразно получать на основе анализа результатов испытаний таких "характерных" образцов, которые бы адекватно отражали специфику работы КМ в составе реальной конструкции. Кроме того, стандартные экспериментальные методы определения механических характеристик лены вызывают трудности, во первых, из-за малости поперечных размеров ленты, во вторых, для проведения экспериментов в поперечном направлении, как правило, требуется уже другое оборудование, в третьих, механические характеристики композиционного материала сильно зависят от технологии изготовления. Именно поэтому сегодня интенсивно развиваются методы идентификации механических характеристик ВКМ по результатам анализа работы конструкций, изготовленных из этого ВКМ.

Этот подход заключается в следующем. Рассматриваются конструкции, изготовленные из ВКМ, механические характеристики которого неизвестны. Имеются математические модели поведения материала и конструкций. Считаются известным^ пяншлр испытаний конструкций с замером внешних возд ¡ГговдйлШиШМНМфЯмая задача

библиотека СПетсгфгГ 05 V»Т««*

КА }

расчета конструкций, результаты численного расчета сравниваются с экспериментальными данными. Механические характеристики подбираются так, чтобы результаты численного расчета и экспериментальные данные были близки. Таким образом, формулируется задача о минимизации функционала - квадратичной невязки между расчетными и экспериментальными данными. Ясно, что для успешного решения задачи идентификации необходимо иметь эффективные методы решения прямых задач расчета конструкций.

В диссертации предлагается развитие подхода, предложенного Р.А. Каюмовым, позволяющего получать хорошее согласование расчетных и экспериментальных данных путем введения расширенной задачи идентификации (предлагается использовать расширенную функцию цели, в которой варьируются не только искомые параметры, но и экспериментальные данные в пределах точности замеров). Предложенный подход реализован в виде алгоритмов и численных методик для решения задач отыскания жесткостных и реологических характеристик ВКМ по результатам испытаний на устойчивость пологой панели или предварительно изогнутой пластинки, статических и динамических испытаний оболочек вращения.

Целью работы является разработка эффективных методик решения прямых задач и определения механических (жесткостных и реологических) характеристик ВКМ; создание соответствующих алгоритмов и программ, и проведение исследований влияния различных параметров на результаты решения на основе анализа численных экспериментов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. В геометрически нелинейной постановке решены задачи деформирования пологих панелей и предварительно сжатых пластинок при статическом и динамическом нагружениях, при решении которых получены результаты, не отмеченные в известной автору литературе.

2. Разработана методика идентификации жесткостных характеристик композитного материала на основе использования расширенного функционала по результатам испытаний изготовленных из композиционного материала панелей на устойчивость.

3. Разработана методика идентификации жесткостных и реологических характеристик композиционного материала по результатам динамических и статических испытаний оболочечных конструкции на основе использования расширенного функционала.

В диссертации получены и выносятся на защиту следующие основные положения:

1. Решение нелинейных задач устойчивости панелей и изогнутых пластин под действием сосредоточенной и распределенной нагрузок.

2. Решение нелинейной задачи динамики панелей и изогнутых пластин, с локальной массой.

3. Методика расчета (на основе МКЭ) динамического напряженно -деформированного состояния нелинейно-вязко-упругой слоистой оболочки вращения при малых перемещениях. В частности а) методика определения собственных форм и частот свободных колебаний упругой оболочки, б) методика определения напряжено-деформированного состояния при вынужденных колебаниях по явной схеме, в) методика определения напряжено-деформированного состояния при вынужденных колебаниях по неявной схеме Кранка-Николсона.

4. Подходы к определению жесткостных и реологических характеристик ВКМ методами идентификации по результатам статических и динамических испытаний (на основе минимизации расширенного функционала) пластин и оболочек.

5. Оценка влияния точности измерения исходных данных (критической нагрузки, собственных частот, перемещений, конструктивных параметров) на определение жесткостных характеристик КМ.

6. Созданные соответствующие программы, результаты расчетов и выводы, полученные на основе их анализа.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановки задач, применением строгих математических методов, а также хорошим согласованием с известными теоретическими и экспериментальными данными в частных случаях.

Практическая ценность. Методики и программы, предлагаемые в данной работе, могут быть использованы для расчета реальных конструкций и определения механических характеристик композиционных материалов, создания баз данных механических характеристик композиционных материалов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на итоговых научных конференциях Казанского госуниверситета (2001-2004 гг.); научных семинарах кафедры теоретической механики Казанского госуниверситета; на итоговых научных конференциях Казанской государственной архитектурно-строительной академии (2002-2004 г.г.); итоговой научной конференции КНЦ РАН (2004 г.); XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н. Новгород, 2002 г.); VI конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 2002 г.); XX международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы

граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург, 2003 г.); III международной конференции "Нелинейная динамика механических и биологических систем" (Саратов, 2003 г.); VII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002 г.); IV научно-практической конференции молодых ученых и специалистов республики Татарстан (Казань, 2001 г.); итоговой конференции республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии имени Н.И. Лобачевского; 11 межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2001 г.); международной молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения", (Казань, 2001).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10

работ.

Объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и содержит страниц машинописного текста, 3/ таблиц, рисунков. Список литературы содержит наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы, обоснована актуальность выбранной темы. Определена цель работы, сформулированы основные научные положения, выносимые на защиту. Дана аннотация - всех разделов диссертации и обоснована новизна научных результатов.

Глава I посвящена решению геометрически нелинейных задач устойчивости- тонких пологих панелей и предварительно изогнутых сжимающей силой пластинок. Подобные элементы, широко используются в качестве ответственных изделий современной техники: муфты, переключатели, приборы для автоматического регулирования, в клавиатурах ЭВМ и т.п.

Рассматривается задача о нелинейном поведении цилиндрической панели или изогнутой пластинки под действием локальной распределенной по прямой линии поперечной нагрузкой Р (рис.1) Задача, изгиба панели' под нагрузкой Р решается в предположении, что сжимающее усилие Т зависит от Р. Форма изогнутой пластины, радиус кривизны и сила распора в

зависимости от величины У\ или от стрелы подъема ао, предварительно получены на основе анализа эластики Эйлера при малой подъемистости.

Решение задачи для безразмерной нагрузки р дает квадратное уравнение

ЧР2+ХР + г = 0> О)

где коэффициенты г\, х, Г зависят от геометрии панели или пластинки, вида граничных условий и напряженного состояния.

Рис.1 Рис.2

Вначале исследуется симметричная форма потери устойчивости предварительно изогнутой пластинки для случая шарнирного закрепления. Выявлен механический эффект, заключающийся в том, что кривая зависимости р = = и^О), в

случае центрально приложенной силы, терпит скачок по при р = 0. Происходит перестройка формы нейтрального равновесия из положения 1 в положение 2 (зависимость изображена на рис.2 сплошной линией). В случае не центрального приложения нагрузки, кривая зависимости изображена штрих-пунктирной линией на рис.2.

Далее рассмотрена несимметричная форма потери устойчивости. Получена формула для нахождения критической центрально приложенной нагрузки

где К- жесткость на растяжение, Б - цилиндрическая жесткость.

Приводится решение для случая равномерно распределенной нагрузки. Аналогичные результаты получены для круговых цилиндрических панелей при различных граничных условиях.

Здесь также выявлен механический эффект скачка в случае шарнирного закрепления. Этот эффект не был отмечен в известной автору литературе.

В главе 2 рассмотрены прямые задачи динамики упругих пластин и оболочек вращения из волокнистых композитных материалов.

В разделе 2.1 исследовано динамическое поведение предварительно изогнутой пластинки. Показано, что при анализе динамики тонких элементов с присоединенными массами, намного превышающими массу элемента, в некоторых случаях нельзя пренебрегать массой упругого элемента. Например, шарнирно опертая предварительно изогнутая пластина, в случае пренебрежения ее

массой, при больших начальных скоростях ведет себя как вязко-упругое тело (рис. 3 - перемещение локальной массы, рис.4 - фазовое пространство).

рис.3 рис.4

Эффект затухания возникает в результате наличия эффекта скачка (см. рис.2).. При движении груза в положительном направлении и», в момент перехода из положения / в положение 3 скорость перехода стремится к бесконечности. Поэтому, хотя масса пластины мала, ее кинетическая энергия является конечной величиной, которой нельзя пренебрегать.

В дальнейшем исследовалось динамическая реакция панели с локальной массой с учетом массы панели на импульс внешнего давления. Решение проводилось с помощью МКР как по явной, так и по неявной схемам (Кранка-Николсона). Получено, что при большом начальном импульсе давления колебания становятся хаотическими. А при превышении некоторого порога импульса колебания становятся вновь детерминированными.

Раздел 2.2 посвящен исследованию осесимметричных колебаний оболочек вращения образованных намоткой упругого композита. Для получения матричных уравнений МКЭ проведены стандартные процедуры- на. основании принципа, возможных перемещений с учетом сил инерции. В работе, был использован двухузловой элемент оболочки вращения- с учетом сдвига. Рассматриваются оболочки, составленные из большого количества слоев симметрично наложенных под углом к меридиану.

Для оболочек вращения разработаны следующие методики: расчета собственных форм и частот свободных колебаний, расчета напряжено-деформированного состояния при вынужденных колебаниях по явной схеме, расчета напряжено-деформированного состояния при вынужденных колебаниях по неявной схеме Кранка-Николсона.

Приведены результаты тестирования программ: Получено хорошее совпадение с известными решениями.

Раздел 2.3 посвящен исследованию осесимметричных колебаний оболочек вращения, образованных намоткой нелинейно

вязко-упругого композита. Закон упругого деформирования записан в виде:

Закон вязкого деформирования принят в виде:

^c)='\H{t-T,a)dTy (4)

где в качестве ядра ползучести использована модификация ядра Абеля:

Конкретные формы D,C,a приняты в соответствии с работами И.Г. Терегулова и Р.А. Каюмова, в которых они получены для ВКМ на основе ассимптотического анализа определяющих соотношений. Матрицы D и С имеют размерность 5x5.

Тестирование проведено на задачах линейной и нелинейной вязко-упругости, решение которых можно получить аналитически (задача растяжения цилиндрических оболочек). Проведена серия расчетов с использованием известных из литературы значений механических характеристик ВКМ.

Глава 3 посвящена задачам определения механических характеристик ВКМ методами идентификации. Развивается подход, предложенный проф. Р.А. Каюмовым, позволяющий получить хорошее согласование между расчетными и экспериментальными данными путем введения расширенной задачи идентификации.

В разделе 3.1 дается постановка традиционной и расширенной задач идентификации. Суть их заключается в следующем. Пусть известны механико-математические модели поведения материала и изготовленных из него конструкций. Обозначим через векторы s(x) и их статические и кинематические характеристики в точке х, через

- вектор механических характеристик, связывающих и на основе закона, который запишем в следующей операторной форме: F(s,e,a°) = 0. (6)

Механические характеристики принадлежат заранее определенному пространству функций, причем, на них накладываются ограничения, вытекающие, например, из технических, термодинамических соображений. Запишем их в виде:

В,(а°) = 0, В2(а°)*0. (7)

Далее предполагается, что они должны выполняться строго.

Математическую модель поведения изделия, изготовленного из рассматриваемого материала, представим в виде следующей системы уравнений:

¿(5, е, к) = q{x), х с со . (8)

Здесь со- область, занимаемая конструкцией, к(х)- вектор конструктивных параметров.

Пусть в области /"со известны полученные в эксперименте отклики еэксп(х) на воздействия дэкс"{х), т.е.

е(х) = еэкс"(х), хс уэксп. (9)

Здесь и далее индексом "эксп" отмечаются параметры, полученные из эксперимента.

Задача идентификации механических характеристик состоит в

отыскании удовлетворяющего (7) вектора , который позволяет

при <7 = <7Э*С" найти из системы (6), (8) функцию е(х),

обеспечивающую выполнение соотношений (9). Поскольку, как правило, точно решить эту проблему не удается, то она заменяется некоторой вариационной задачей с ограничениями.

Далее для простоты рассмотрим случай, когда соотношения (6) могут быть разрешены относительно

Уравнение (8) перепишем в виде:

ЛГ(е,а°,к) = <7. (10)

Для формулировки вариационной задачи вводятся мера близости р2 между векторами и,у, а также мера близости между функциями. В большинстве случаев их принимают в виде: р2(и,\) = (и-\)т1У(и-\),

Здесь IV - симметрическая положительно определенная матрица весовых коэффициентов, у - область сравнения функций и,у. В случае нестационарных задач (11) интегрируется повремени на интервале сравнения.

Представим решение уравнения (10) в виде

е = ^\а°,к)д. (12)

Для формулировки вариационной задачи идентификации „О

механических характеристик а (х) в традиционной постановке чаще всего используют меру близости расчетных значений функции е(х),

полученной из (12), с экспериментальной функцией еэксп(х). С учетом (11), (12) и (7) ее можно представить в виде:

(бе )min

= min \р2[М-\а°,кжс")Чжсп, а Wj,'«»

(13)

ß,(a0) = 0,~ B2(a°)Z 0.

• В расширенной задаче идентификации считают, искомыми функции-е,<7,к,а, приближенно удовлетворяя следующую систему уравнений:

Г(з,е,а) = 0, хсо); ¿(5, е, к) = д, хса>;

е _ емсп - о, хс/ж"; д-дэксп~0, xczy3KCn-

(15)

к - /сзксп = 0, хсуЗКСЛш, a-av =0, хсо.

Здесь а - вектор, принадлежащий предполагаемому классу функций, а - вектор из более широкого класса. Соотношения (7> будем считать удовлетворяющимися строго. -

Введем следующие функции:

5е = е-еэксп, Sq = q-q3KC\ Sk = k-k3

Sa-a-a .

На функции 5e,Sq,SK,5a наложим ограничения, потребовав их малость по сравнению с еэксп, q3Kcn, кзкс", а0:

« е-

Здесь К Вместо

.|NI<<IH.IN<<Pi.lH<<lh°|- (16)

- норма вектора.

(12)

получим:

e = N~\au+<fc, кэксп +är)(<T +&;). Функционал Се будет теперь зависеть не только от а", но и от 8a,SK,Sq.

Вариационная задача запишется в следующем виде: «Г.2)тт = 0 min \p\N-\a* +8а,кзксп +5к){Яэксп +Sq),e3Kcn]dy +

а ,Sa,Sic,¿q уМ-сп

J p1 (Sa,V)da) + jp2 {5qfi)dco + f p2 (5Kfi)dy,

ß,(a0) = 0, B2(a°)> 0, B\(a° + Sa) = 0, B2(ct°+Sa)Z 0,

Из (17) следует, что если экспериментальные замеры сделаны О

соответствует реальному закону, кинематические характеристики

точно, без погрешностей, а связывающему статические и

материала, то С^ достигает минимума при За = 8к — = 0 , причем

'min

= 0 .т.е. & = 0.

В разделе 3.2 приведено краткое описание использованных в работе стандартных методов минимизации: метода Ньютона, метода деформируемого многогранника, метода сеток.

В разделе 3.3 рассмотрена задача и разные методики расчета жесткостных характеристик материала типа ленты, из которого путем наложения под углом ±<р (в одном слое + в другом слое -) к краю изготовлены цилиндрические панели или предварительно сжатые пластинки. Методики иллюстрируются на примере расчета жесткостных характеристик шарнирно закрепленной предварительно изогнутой сжимающей силой тонкой упругой пластинки под действием сосредоточенной нагрузки в случае несимметричной формы потери устойчивости.

В разделе 3.3.1 при решении задачи идентификации жесткостных характеристик использован традиционный подход, в котором функция цели имеет вид:

i N г=1

tñ-ñf

(18)

где Р,, Р, - расчетные и найденные из эксперимента критические нагрузки соответственно, k¡ - весовые коэффициенты, N ' - количество проведенных экспериментов. Для нахождения расчетной критической нагрузки, используется формула (5), где

D = gn eos* <р+g22 sin4 9+2(g|2 + 2g66)cos2 (p sin2 (p

цилиндрическая жесткость, - жесткостные характеристики

композитного материала. Численный анализ показал, что методика позволяет определить две жесткостные характеристики а

также приведенную жесткость = gj2 + ^S66 на основе анализа как минимум трех экспериментов с панелью при разных углах <р.

На основе численных экспериментов сделан вывод, что задача в традиционной постановке неустойчива к вариациям исходных

данных (погрешность измерения критической нагрузки в 1% приводит к изменению некоторых расчетных жесткостных характеристик в несколько раз).

В разделе 3.3.2 приведено решение задачи о нахождении жесткостных характеристик ВКМ, при использовании расширенного функционала, в которой были учтены как технологические факторы изготовления (при изготовлении конструкции композиционный материал меняет свои свойства, вследствии чего жесткостные характеристики ВКМ у каждой панели свои), так и погрешность измерения критической нагрузки. Функция цели задавалась в виде:

(19)

(20)

Расчетные жесткостные характеристики и критическая нагрузка отыскивались в виде:

D3paC4 = D} (l + /?3 sin &D3\ P, = P* (l + a sin AP,) a,j3j «1.

Здесь sin ( ) - величина изменения жесткостей; o sin АР, -погрешность измерения нагрузки; ll,kl,m¡,nl - нормирующие весовые коэффициенты. Численный анализ показал, что решение задачи устойчиво к вариациям исходных данных и предложенный подход позволяет получить расчетные механические характеристики близкие к истинным даже в случае большой погрешности определения критической нагрузки.

По разделу 3.2 были получены следующие выводы:

1) Решения задачи определения механических характеристик методами идентификации на основе анализа данных испытаний на устойчивость оболочечных конструкций имеет существенное преимущество, заключающееся в том, что не нужно замерять в эксперименте деформации или перемещения, т.е. он экономичен и не требует большого времени на его проведение.

2) На тестовых задачах показано, что в традиционном подходе задача неустойчива к возмущению начальных данных.

3) Из численных экспериментов следует, что решение задачи, в расширенной постановке, устойчиво к вариациям исходных данных

и позволяет получить расчетные механические характеристики композитного материала близкие к истинным даже в случае изменения жесткостных характеристик композитного материала от изделия к изделию (до 20%) и большой погрешности (до 20%) определения критической нагрузки.

В разделе 3.4 предложена методика определения механических характеристик, в том числе и в поперечном направлении, упругого композитного материала по результатам динамических испытаний оболочек вращения. Рассматривается задача идентификации упругих постоянных композитной ленты, из которой намоткой изготовлена оболочка вращения, по результатам сравнения расчетных и экспериментальных значений частот собственных колебаний оболочек вращения.

В разделе 3.4.1 приводятся методика и результаты расчета определения жесткостных характеристик ВКМ традиционным подходом. Получено, что для определения жесткостных характеристик

ленты необходимо провести эксперименты как минимум для двух оболочек вращения при разных углах намотки. Функция цели имеет вид

где - расчетные собственные частоты;

- экспериментальные собственные частоты, найденные для первой и второй оболочек соответственно; - весовые коэффициенты;

N1, N2 - число найденных из экспериментов собственных частот. Численное исследование показало, что задача устойчива к небольшим погрешностям определения экспериментальных собственных частот при больших N и N2.

В разделе 3.4.2 приводятся решения задач идентификации, полученные на основе расширенной постановки и традиционного подхода. В случае, когда механические характеристики ВКМ отличаются от оболочки к оболочке, расширенная функция цели принималась в виде

Ф2 ¿ДЕ = 1(Л£,)2 . (23)

где Д£, - изменение жесткости ВКМ в процессе изготовления конструкции; - нормирующие весовые коэффициенты.

На рис.5-10 приведены графики зависимости относительной погрешности определения жесткостей от погрешности измерения собственных частот по результатам испытаний 2 оболочек средней

толщины (углы намотки ^=±250;±35°) с использованием 20 найденных из эксперимента собственных частот (сплошной линией показано решение, полученное при использовании расширенного функционала, пунктирной на основе традиционной постановки). При этом считалось, что жесткостные характеристики оболочек отличались на 20%.

Рис.9 Рис.10

Осцилляция в невязках вызвана использованием генератора случайных величин распределенных по нормальному закону, с помощью которого проведена имитация разброса экспериментальных данных. Использование систематической ошибки приводит к монотонному росту кривых зависимостей. При малых отличиях жесткостей оболочек, модифицированный и традиционные подходы дают сопоставимые результаты, за исключением значений коэффициента Пуассона При немалых отличиях жесткостей,

модифицированный подход дает существенно лучшие результаты по сравнению с традиционным.

По разделу 3.4 получены следующие выводы

1) Методика идентификации по частотным характеристикам позволяет определять жесткостные параметры ленты не только в тангенциальном направлении, но и в поперечном.

2) Для определения как всех жесткостных характеристик ленты так и тангенциальных

необходимо провести эксперименты как минимум для двух оболочек вращения при разных углах намотки.

3) При решении задачи идентификации для тонких оболочек требуется большее количество экспериментальных собственных частот, чем для оболочек средней толщины.

4) Если процесс изготовления приводит к тому, что в разных конструкциях ВКМ имеет разные жесткостные характеристики, а экспериментальные собственные частоты найдены для них точно, то модифицированный подход позволяет определить жесткостные характеристики ВКМ с относительной погрешностью менее 0.01% при использовании даже небольшого количества собственных частот. Для традиционного подхода использование даже большего количества экспериментальных собственных частот не позволяет найти точные значения жесткостных характеристик.

4) В случае, когда ВКМ имеет разные свойства в разных оболочках, и кроме того собственные частоты найдены для конструкций с погрешностью 1%, то использование расширенного функционала позволяет определить жесткостные характеристики с приемлемой точностью (до 20%). Традиционный подход, как видно из рис.5-10,.является сильно неустойчивым.

В разделе 3.5 рассмотрена задача идентификации механических характеристик нелинейно вязко-упругого композитного материала по результатам испытаний слоистой оболочки вращения, а именно по результатам сравнения расчетных и экспериментальных значений перемещений оболочки вращения в различные моменты времени. Численные эксперименты показали, что определить реологические характеристики ВКМ в тангенциальном направлении можно на основе анализа двух цилиндрических оболочек,

выполненных намоткой под разными углами , но такими, что

<рх+<р2

Проведена обработка данных реальных испытаний цилиндрических оболочек, изготовленных из органопластика путем перекрестной намотки под углами 25° и 35°. На рис. 11-14 представлены экспериментальные значения деформации (отмечены точками) и прогнозируемые (показаны сплошной линией) для оболочек с углами намотки ±25° и ±35° полученные при решении

прямой задачи ползучести с использованием реологических характеристик, идентифицированных по результатам испытаний оболочек с углами намотки ±25° и ±35°. На рис. 15-16 представлены экспериментальные значения деформации (они отмечены точками) для оболочки (угол намотки ±45°) и прогнозируемые (показаны сплошной линией). Эффект того, что еу < ех (хотя казалось бы должно быть

Еу < Ех

ех <£у), видимо отражает эффект технологической анизотропии -

эффект увеличенной жесткости рассматриваемых оболочек в окружном направлении. Этот эффект уже был отмечен в работе Алексеева К.П., Каюмова Р.А., Терегулова И.Г., Фахрутдинова И.Х. "Механические характеристики органо- и углепластиковых труб, изготовленных методом перекрестной намотки" ( Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. Т. 4, № 4. С.З-20.), в которой аналогичный эффект отмечен для упругих характеристик.

Рис. 15 (р=±45 )

Проведено исследование влияния

600 1000 1400

Рис.16(р=*45°)

неточностей измерения на результаты расчета.

экспериментальных данных (деформаций) Приведены результаты сравнения реологических характеристик, полученных при использовании расширенного и традиционного подходов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертации.

1. В нелинейной постановке решены задачи устойчивости пологих панелей и предварительно изогнутых пластинок при статическом нагружении (локальная и равномерно распределенная нагрузки). Получено, что при некоторой фиксированной нагрузке происходит перестройка формы рассматриваемых элементов, причем, для предварительно изогнутой пластины при нулевой нагрузке, для цилиндрических панелей при не!гулевой нагрузке.

2. Решена задача описания динамического поведения пологих панелей и предварительно изогнутых пластин с локальными массами при конечных перемещениях. Показано, что не всегда можно пренебрегать массой упругого элемента, даже если она много меньше присоединенной массы, так как это может привести к псевдо-вязко-упругому поведению системы.

3. Разработана методика описания динамического поведения слоистой оболочки вращения при малых перемещениях. В частности а) разработаны алгоритм и программа определения собственных форм и частот свободных колебаний для упругой оболочки, б) разработана методика определения напряжено-деформированного состояния при вынужденных колебаниях по явной и неявной (Кранка-Николсона) схемам для слоистой оболочки вращения из нелинейно вязко-упругого композита.

5. На базе созданных соответствующих программ и на основе анализа численных экспериментов, проведено исследование влияния различных параметров на результаты решения задачи идентификации. Получены выводы об устойчивости задачи и путях ее повышения. Даны соответствующие рекомендации. Обработаны результаты реальных экспериментов.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Р.А. Каюмов Устойчивость изогнутой тонкой упругой пластины, нагруженной поперечной силой / Р.А. Каюмов, Б.Ф. Тазюков // Изв. Вузов. Авиационная техника. 2001. № 4. С. 12-15.

2. Р.А. Каюмов Нелинейная реакция пологой арки на импульс внешнего давления / Р.А. Каюмов, Б.Ф. Тазюков // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. Вып. 64. Нижний Новгород: изд-во Нижегородского университета, 2002.- С. 63-66.

3. Р.А. Каюмов Задача идентификации механических характеристик композитного материала по результатам испытаний слоистой оболочки /Р.А. Каюмов, Ю.Г. Коноплев, Б.Ф. Тазюков // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Труды XX Международной конференции. - СПб: 24-26 сентября, 2003.- С. 243-248.

4. Тазюков Б.Ф. Задача идентификации жесткостных характеристик композитного материала / Б.Ф. Тазюков // Труды, математического центра имени Н.И. Лобачевского Т.21/ Казанское математическое общество. Лобачевские чтения 2003// Материалы. третьей всероссийской молодежной научной конференции.-Казань: Издательство Казанского математического общества, 2003 .-С. 208-209.

5. Р.А. Каюмов Нелинейное поведение сжатых пластин при импульсном нагружении / Р.А. Каюмов, Б.Ф. Тазюков // VII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": Тезисы докладов. 28-31 мая 2002 г. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2002.-323 с.

6. Тазюков Б.Ф. Устойчивость сжатых пластин при импульсном нагружении / Р.А. Каюмов, Б.Ф. Тазюков // IV Республиканская научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов, Казань, 11-12 декабря 2001 г.: Тезисы докладов. Физико-математическое направление. Казань: Изд-во "Мастер Лайн", 2002.-69 с.

7. Тазюков Б.Ф. Нелинейная задача устойчивости изогнутой пластины и цилиндрической панели / Б.Ф. Тазюков // Республиканский конкурс научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии имени Н.И. Лобачевского. Тезисы итоговой конференции. Казань: КГУ, 2002.-С. 122-123

8. Р.А. Каюмов Нелинейная задача устойчивости изогнутой тонкой упругой пластинки под действием нормального давления

20 ^ 12 7 2 1

/Р.А. Каюмов, Б.Ф. Тазюков //11 межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Тезисы докладов. 29-31 мая 2001 г.,Самара-С. 87-89.

9. Тазюков Б.Ф. Нелинейная задача устойчивости цилиндрической панели под дейсвтием локальной нагрузки /Б.Ф. Тазюков // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского Т. 12/ Казанское математическое общество. Лобачевские чтения 2001// Материалы международной молодежной научной школы-конференции.- Казань: Издательство "ДАС", 2001.-115 с.

10. Тазюков Б.Ф. Нелинейная задача устойчивости изогнутой пластины /Б.Ф. Тазюков // ХШ Всероссийской межвузовской научно-технической конференции "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология". Тезисы докладов. 15-17 мая 2001 г., Казань.-С.294-295.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета Тираж 120 экз. Заказ 3/30 420008, Казань, ул. Университетская, 17 Тел. 38-05-96

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Тазюков, Булат Фэридович

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ

ИЗОГНУТОЙ ПЛАСТИНЫ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ

ПРИ ЛОКАЛЬНОЙ И РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКАХ.

• Основные обозначения

1.1. Нелинейная задача устойчивости изогнутой тонкой упругой пластинки под действием локальной нагрузки

1.1.1. Определение формы пластины при сжатии.

1.1.2. Нелинейное поведение изогнутой пластинки под действием локальной нагрузки.

1.1.3. Случай шарнирного закрепления кромок.

1.1.3.1. Симметричная форма потери устойчивости.

1.1.3.2. Несимметричная форма потери устойчивости.

• 1.1.4. Случай жесткой заделки кромок.

1.2. Нелинейная задача устойчивости изогнутой тонкой упругой пластинки под действием равномерно распределенной нагрузки.

1.2.1. Случай шарнирного закрепления кромок.

1.2.2. Случай жесткой заделки кромок.

1.3. Нелинейная задача устойчивости цилиндрической панели под действием локальной нагрузки.

• 1.3.1. Случай шарнирного закрепления кромок.

1.3.2. Случай жесткой заделки кромок.

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПАНЕЛЕЙ И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ИЗ КОМПОЗИТНОГО

МАТЕРИАЛА.

2.1. Динамическое поведение панели и предварительно изогнутой тонкой пластинки.

2.2. Колебания оболочек вращения образованных намоткой упругого композита.

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Преобразование упругих характеристик однонаправленного материала.

• 2.2.3. Исследование свободных колебаний.

2.3. Колебания оболочек вращения образованных перекрестной намоткой нелинейно вязко-упругого композита.

ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА ПО

РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ ИЗГОТОВЛЕННЫХ

ИЗ НЕГО КОНСТРУКЦИЙ.

3.1. Задача идентификации и расширенный функционал.

3.2. Методы минимизации функции с ограничениями.

3.3. Идентификация механических характеристик упругого композита на основе результатов решения задач устойчивости изготовленных из него панелей.

3.3.1. Традиционный подход.

3.3.2. Расширенная функция цели.

3.4. Задача идентификации механических характеристик упругого композита по результатам динамических испытаний изготовленных из него оболочек.

3.4.1. Традиционный подход.

3.4.2. Расширенная функция цели.

3.5. Задача идентификации механических характеристик нелинейно-вязко-упругого композитного материала по результатам испытаний изготовленных из него оболочек.

3.5.1. Статические испытания. Модельные задачи.

3.5.2. Анализ данных реальных экспериментов.

Введение диссертация по механике, на тему "Прямые и обратные задачи деформирования пологих панелей и оболочек вращения из композитного материала"

Развитие современной техники неразрывно связано с производством композитных материалов (КМ), конструкций из них, внедрением их в самые различные отрасли промышленности, а также с созданием новых композитных материалов и конструкций. Особенно широкое распространение в силу значительной весовой экономичности получили волокнистые композитные материалы (ВКМ) на полимерной основе типа органо-, стекло-, угле- и боропластиков и тонкостенные оболочечные конструкции из них. На сегодняшний день они используются в транспортном машиностроении, авиационной и космической технике, химической и легкой промышленности, строительстве и пр. Поэтому, вопросам расчета как композитных оболочек, так и композиционных материалов уделяется сейчас большое внимание.

Большой вклад в развитие теории и практики расчета анизотропных и композитных оболочек внесли Алфутов Н.А., Амбарцумян С.А., Андреев А.Н., Артюхин Ю.П., Бажанов B.JL, Болотин В.В., Ванин Г.А., Васильев В.В., Григолюк Э.И., Зиновьев П.А., Иванов В.А., Каюмов Р.А., Колтунов М.А., Коноплев Ю.Г., Корнишин М.С., Королев В.И., Крысько В.А., Лехницкий С.Г., Ломакин В.А., Малмейстер А.К., Немировский Ю.В., Новичков Ю.Н., Образцов И.Ф., Огибалов П.М., Паймушин В.Н., Победря Б.Е., Попов Б.Г., Саченков А.В., Саркисян B.C., Тамуж В.П., Тарнопольский Ю.М., Терегулов И.Г., Тетере Г.А., Чулков П.П. и др.

Разработке теорий и подходов к формулировке и решению краевых задач теории оболочек и пластин в геометрически нелинейной постановке посвящены монографии Галимова К.З., Вольмира А.С., Муштари Х.М., Корнишина М.С. и многих др.

Перспективным методом определения механических характеристик ВКМ является метод, основанный на решении обратных задач, который активно развивается как отечественными, так и зарубежными учеными.

Этому способствует и то, что традиционные методы определения механических характеристик однонаправленно армированных лент или жгутов иногда наталкиваются на технические трудности. Известно существенное влияние на механические свойства композитных материалов технологических факторов, возникающих на стадии изготовления конструкций и изделий из КМ. Свойства ленты из волокнистого КМ, обнаруживаемые при традиционных способах испытаний, отличаются от свойств этой же ленты, работающей в составе намоточной оболочки или панели. Например, хрупкие материалы в композиции (в многослойных пакетах) начинают работать как пластические. Поэтому КМ необходимо рассматривать как материал, создаваемый совместно с конструкцией. А это означает, что информацию о механических свойствах КМ целесообразно получать на основе анализа результатов испытаний таких "характерных" образцов, которые бы адекватно отражали специфику работы КМ в составе реальной конструкции. Кроме того, стандартные экспериментальные методы определения механических характеристик лены вызывают трудности, во первых, из-за малости поперечных размеров ленты, во вторых, для проведения экспериментов в поперечном направлении, как правило, требуется уже другое оборудование, в третьих, механические характеристики композиционного материала сильно зависят от технологии изготовления. В связи с этим, интенсивно развиваются методы идентификации механических характеристик ВКМ по результатам анализа работы конструкций, изготовленных из этого ВКМ.

Поэтому в последнее время большое внимание уделяется методам, называемым методами идентификации, в соответствии с которыми механические характеристики материала определяются на основе решения некоторой задачи, обратной к задачам определения напряженно-деформированного состояния конструкции или оценки ее несущей способности.

Задача идентификации может быть поставлена в следующих двух вариантах.

1) По известным входным и выходным данным определяются параметры модели, описывающей поведение системы.

2) По известным выходным данным и заданным характеристикам системы восстанавливаются данные на входе.

Таким образом, идентификация в общем смысле суть опосредованное определение (восстановление) причин по наблюдаемым следствиям. Преимущества методов идентификации перед непосредственными (прямыми) методами исследований состоят в следующем: снижается объем и сложность требуемой экспериментальной работы; обеспечивается возможность косвенного учета практически всех технологических факторов, влияющих на свойства исследуемого объекта; опосредованно учитываются неточности математических моделей, описывающих поведение материала и конструкции. Возможны и такие ситуации, в которых непосредственные измерения не реализуемы в принципе (задачи управления процессами, задачи определения нагрузок, воздействующих на летательные аппараты).

Как правило, различают два уровня идентификации систем. О структурной идентификации говорят на стадии определения моделей (и/или их структур) для описания поведения системы. Параметрическая (коэффициентная) идентификация предполагает, что модели и их структуры уже установлены, а определению подлежат только параметры моделей. Основная часть проводимых в этом направлении исследований посвящена разработке методов параметрической идентификации, и в дальнейшем термин "идентификация" будет употребляться именно в этом контексте.

Впервые необходимость в проведении идентификации возникла в теории управления (см., например, Дегтярев Г. JL, Серазетдинов Т. К. [1] ). В настоящее время методы идентификации широко применяются для определения жесткостных характеристик конструкций или действующих на конструкции нагрузок (см. Пархомовский Я. М. [1, 2]; Одиноков Ю. Г., Одиноков А. Ю. [1]; Костин В. А., Снегуренко А. П. [1] ; Костин В. А., Торопов М. Ю., Снегуренко А. П. [1]), для определения условий закрепления элементов конструкций (см., например, Ахатов И. И., Ахтямов А. М. [1]), для решения задач теплообмена и гидропроводности (см., например, Алифанов О. М. [1]; Мацевитый Ю. М., Лушпенко С. Ф. [1]; Хайруллин М. X. [1]), для определения оптимальных технических характеристик машин (см. Касьянов В. А., Ударцев Е. П. [1] ), в управлении технологическими процессами в машиностроении (см. Тихонов А. Н., Кальнер В. Д., Гласко В. Б. [1]), а также для определения физико-механических характеристик конструкционных материалов.

Наиболее универсальным способом решения задачи идентификации, как обратной задачи, является сведение ее к задаче математического программирования. При этом на основе исходной информации искомые параметры определяются из условия экстремума построенной определенным образом функции цели, которая в простейшем случае выражает один критерий качества, а в общем случае представляет собой свертку нескольких критериев (при этом обычно используется концепция взвешенной суммы составляющих критериев, метод е- ограничений или метод достижения целей). Обычно для составления целевой функции используется принцип минимума взвешенной квадратичной невязки.

Обратные (с математической точки зрения) задачи, в общем случае, относятся к классу некорректных, т.е. могут не иметь решения, иметь множество решений, оказаться плохо обусловленными (неустойчивыми к малым изменениям исходных данных). Для разрешения этой проблемы требуется привлечение методов регуляризации, разработкам которых был посвящен ряд фундаментальных работ: Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. [1]; Тихонов А. Н., Гончаровский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. [1]; Морозов В. А . [1, 2] и др. В частности, метод регуляризации по Тихонову был достаточно успешно применен к решению задач параметрической идентификации в работах: Костин В. А., Снегуренко А. П. [1] ; Костин В. А., Торопов М. Ю., Снегуренко А. П. [1]; Каюмов Р. А. [5-6]; Хайруллин М. X. [1 ]; Тихонов А. Н., Кальнер В. Д., Гласко В. Б. [1].

Определение физико-механических характеристик конструкционных материалов по результатам испытаний изделий является предметом следующей коэффициентной обратной задачи - при заданных внешних воздействиях (нагрузка, температура, влажность, время, число циклов нагружения и т. п.) и замеренных в эксперименте откликах конструкции (деформации, долговечность, нагрузка разрушения в том или ином смысле) требуется определить параметры моделей поведения (деформирования и/или разрушения) материала.

Подход к определению параметров, характеризующих нелинейно-упругое поведение ортотропного волокнистого композитного материала (ВКМ), по результатам испытаний тонких безмоментных цилиндрических оболочек, образованных перекрестной намоткой или укладкой, был предложен в работах Терегулова И. Г. [1-3]. В работах Алфутова Н. А., Таировой JI. П. [1] и Алфутова Н. А., Зиновьева П. А., Таировой Л. П. [1] был предложен метод идентификации линейно-упругих характеристик ВКМ по замерам деформаций тонкой многослойной пластины, изготовленной наложением лент ВКМ с различной ориентацией волокон в слоях. В работе Суворовой Ю. В., Добрынина В. С., Статникова И. Н., Барта Ю. Я. [1] для решения этой же задачи также было предложено использовать тонкие многослойные намоточные цилиндрические оболочки. Было обнаружено, что при больших различиях в относительных весах неизвестных даже незначительные (в пределах ±5%) возмущения исходных данных весьма существенно сказываются на значениях малых параметров (в частности, указывалось на возможность получения отрицательных значений коэффициента Пуассона vj2). В работе Алфутова Н. А., Зиновьева П. А., Таировой J1. П. [1] был сделан вывод о необходимости по крайней мере нормировки разрешающей СЛАУ. В работе Терегулова И.Г., Бутенко Ю.И., Каюмова Р.А., Сафиуллина Д.Х., Алексеева К.П. [1] было дано объяснение чувствительности решения к возмущениям исходных данных.

В работе Э. О'Брайна и Дж. О'Доннелла (см. O'Brien Е., O'Donnell J. [1]) алгоритм идентификации был применен к определению жесткостных характеристик бетона по замерам прогибов железобетонного покрытия моста в стадии возведения.

В работах Воронцова Г. В., Плющева Б. И., Резниченко А. И. [1], Рикардса Р., Чате А. [1] и Frederiksen P. S. [1] задача идентификации линейно-упругих характеристик ВКМ решалась с использованием методик планирования экстремального эксперимента.

Разработке методов идентификации линейно- и нелинейно-упругих характеристик ВКМ были посвящены следующие работы сотрудников Казанской государственной архитектурно-строительной академии: Каюмов Р. А. [1-6]; Терегулов И. Г., Бутенко Ю. И., Каюмов Р. А. [1]; Терегулов И. Г., Каюмов Р. А., Бутенко Ю. И., Сафиуллин Д. X. [1]; Терегулов И. Г., Бутенко Ю. И., Каюмов Р. А., Сафиуллин Д. X., Алексеев К. П. [ 1 ], где в качестве объектов испытаний рассматривались намоточные цилиндрические оболочки. В работах Терегулов И. Г., Каюмов Р. А., Фахрутдинов И. X. [1] и Каюмов Р. А. [6] в указанном качестве рассматривались намоточные оболочки вращения. Были получены условия невырожденности разрешающей системы уравнений и предложены способы ее нормировки, улучшающие обусловленность задачи. и

Методы идентификации пластических характеристик ВКМ по результатам испытаний тонких оболочек были рассмотрены в следующих работах: Каюмов Р.А.[5,6], Терегулов И.Г., Каюмов Р. А., Бутенко Ю. И., Сафиуллин Д. X. [1]; Каюмов Р. А., Гусев С. В. [1, 2]; Каюмов Р. А., Ильязов Р. Н. [1]; Гусев С. В. [1]. При этом для ВКМ использовалась модель жестко-пластического тела и концепция предельного равновесия.

Резюмируя приведем постановку задачи идентификации. Рассматриваются конструкции, изготовленные из ВКМ, механические характеристики которого неизвестны. Имеются математические модели поведения материала и конструкций. Считаются известными данные испытаний конструкций с замером внешних воздействий. Решается прямая задача расчета конструкций, результаты численного расчета сравниваются с экспериментальными данными. Механические характеристики подбираются так, чтобы результаты численного расчета и экспериментальные данные были близки. Таким образом, формулируется задача о минимизации функционала - квадратичной невязки между расчетными и экспериментальными данными.

В качестве характерных образцов для испытаний волокнистых КМ целесообразно использовать тонкие оболочки вращения, образуемые перекрестной спиральной намоткой лент или жгутов из данного ВКМ по той же технологии, что и реальная конструкция. Заметим, что цилиндрические оболочки были рассмотрены в работах Терегулова И. Г. [2,3]; Суворовой Ю. В., Добрынина В. С., Статникова И. Н., Барта Ю. Я. [1]; Каюмова Р. А. [1, 2, 6]; Терегулова И. Г., Бутенко Ю. И., Каюмова Р. А. [1]; Терегулова И. Г., Бутенко Ю. И., Каюмова Р. А., Сафиуллина Д. X., Алексеева К. П. [ 1 ]. Изготовление таких оболочек существенно проще, чем оболочек вращения сложной формы, и ряд образцов может быть получен путем поперечной нарезки длинной намоточной трубы. Хорошо разработаны и методы испытаний подобных образцов (см. Терегулов И. Г.,

Алексеев К. П., Сафиуллин Д. X., Каюмов Р. А. [1,2]; Алексеев К. П., Каюмов Р. А., Терегулов И. Г., Фахрутдинов И. X. [1]; Пичугин В. С., Протасов В. Д., Степанычев Е. И. [1] ; Пичугин В. С., Коробейников А. Г., Степанычев Е. И. [1]; Булманис В. Н., Гусев Ю. И., Стручков А. С., Антохонов В. Б. [1]; Al-Salehi F. A. R., Al-Hassani S. Т. S. и др. [1,2]; Мешков Е. В., Кулик В. И. и др. [3]; Композитные материалы. Справочник [1] ). При этом если в процессе испытания цилиндрической оболочки обеспечить ее безмоментное плоское напряженное состояние, то оно будет являться и однородным по всему ее объему. Следовательно, режим деформирования и разрушение оболочки можно при этом отождествлять с режимом деформирования и разрушением самого ВКМ. Заметим, что в практике эксперимента разработано довольно много эффективных способов минимизации размеров зон краевого эффекта для цилиндрических образцов (см., например, вышеуказанные работы).

Преимуществом такого подхода является также то, что он позволяет значительно снизить трудоемкость экспериментальной работы по сравнению с "непосредственным" определением механических характеристик ВКМ на стандартных (плоских или призматических) образцах — вместо ряда специальных испытаний, требующих использования различного оборудования и оснастки, можно провести однотипные испытания указанных оболочек с разными углами перекрестной намотки осевой силой или/и радиальным давлением.

Анализ литературы показывает, что методы идентификации жесткостных и реологических характеристик ВКМ на основе неразрушающих методов испытаний недостаточно широко применены. Мало исследований, в которых используются методы идентификаций механических характеристик на основе испытаний на устойчивость и колебания оболочечных конструкций.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на ряде всероссийских и международных конференциях и семинарах. В том числе: итоговых научных конференциях Казанского госуниверситета (2001-2004 г.г.); научных семинарах кафедры теоретической механики Казанского госуниверситета; на итоговых научных конференциях Казанской государственной архитектурно-строительной академии (2002-2004 г.г.); итоговой научной конференции КНЦ РАН (2004 г.); XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н. Новгород, 2002 г.); VI конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 2002 г.); XX международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург, 2003 г.); III международной конференции "Нелинейная динамика механических и биологических систем" (Саратов, 2003 г.); VII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002 г.); IV научно-практической конференции молодых ученых и специалистов республики Татарстан (Казань, 2001 г.); итоговой конференции республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии имени Н.И. Лобачевского; 11 межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2001 г.); международной молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения", (Казань, 2001).

В целом работа докладывалась на кафедре теоретической механики Казанского государственного университета в 2004 г., на кафедре сопротивления материалов Казанской архитектурно-строительной академии в 2004 г.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы; содержит 144 страниц, в том числе 21 таблицу, 42 рисунка.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

выводы

• Для определения как всех жесткостных характеристик ВКМ e],e2,vl2,gl2,gi:i,g23, так и eve2,vn,gx2 необходимо провести эксперименты как минимум для двух оболочек вращения при разных углах намотки.

• При решении задачи идентификации, для тонких оболочек требуется больше экспериментальных собственных частот, чем для оболочек средней толщины.

• Если в процессе изготовления конструкций ВКМ меняет свои свойства от оболочки к оболочке, то расширенный подход позволяет определить жесткостные характеристики ВКМ с погрешностью менее 0.01% с использованием даже небольшого количества собственных частот при точных экспериментальных данных. Для традиционного подхода использование даже большего количества экспериментальных собственных частот не позволяет найти точные значения жесткостных характеристик. • В том случае, когда в результате изготовления конструкций ВКМ имеет разные свойства в разных оболочках, и кроме того собственные частоты найдены для конструкций с погрешностью 1%, то только расширенный функционал позволяет определить жесткостные характеристики с приемлемой точностью.

3.5. задача идентификации механических характеристик нелинейно-вязко-упругого композитного материала по результатам испытаний слоистой оболочки вращения

Здесь рассмотрена задача идентификации механических характеристик нелинейно-вязко-упругого композитного материала по результатам испытаний слоистой оболочки вращения, а именно по результатам сравнения расчетных и экспериментальных значений перемещений цилиндрических оболочек в различные моменты времени. Численные эксперименты показали, что определить реологические характеристики ВКМ в тангенциальном направлении можно на основе анализа, как минимум, двух оболочек, выполненных намоткой под разными углами (рх, (р2 такими, что срх+(ргФ 90°.

3.5.1. статические испытания. модельные задачи

В качестве примера, рассмотрим задачу определения реологических характеристик схх, с\х,ахх,а\х модели (2.3.6) по результатам статических испытаний цилиндрической оболочки изготовленной из углепластика. Граничные условия: слева - шарнир, справа - свободный край. К оболочке приложена осевая сила растяжения (см. рис.2.3.1). Нагрузка изменяет свое значение скачком в 1.5 раза на половине рассматриваемого интервала времени. Для создания банка данных экспериментальных перемещений, использовался метод решения прямой задачи с использованием следующих исходных значений для коэффициентов: с,0, =0.07745, с,1,=0.07745, а^ =0.63245, =0.63245. Погрешность в "экспериментальные" данные вводилась аналогично тому, как это было сделано в разделе 3.4.

Функция цели, в традиционном подходе, принята в виде:

-tM?*' ("Л) где Wj - расчетные перемещения, wfKCn - найденные из эксперимента перемещения, kt - весовые коэффициенты.

При решении задачи в расширенной постановке расчетные значения перемещений w, задавались в программе в виде:

Wj = w* (l + a sin A Wj), (3.5.2) где «sin Aw,- - моделирует погрешность измерения ; а — малая безразмерная величина, которая задает порядок погрешности. Функция цели принята в виде:

Ф 2=Sl+Slw, (3.5.3) где

L=H(Awif ni -i=1

Здесь Aw, - искомый параметр, определяющий погрешность измерения перемещения; w, - нормирующие весовые коэффициенты.

Результаты расчетов представлены в таблицах 3.5.1 и 3.5.2. В первом столбце указана погрешность измерения экспериментальных перемещений, в скобках относительная погрешность определения коэффициентов вязкости.

заключение

Ф Получен эффект, который заключается в том, что при некоторой фиксированной нагрузке происходит перестройка формы рассматриваемых элементов. Причем как для предварительно изогнутой пластины (при нулевой нагрузке), так и для цилиндрических панелей (при ненулевой нагрузке).

Ф массой упругого элемента, даже если она много меньше присоединенной массы, так как это может привести к псевдо вязко-упругому поведению системы.

Ш вынужденных колебаниях по явной и неявной (Кранка-Николсона) схемам для слоистой оболочки вращения из нелинейно вязко-упругого композита.

4. Разработаны подходы к решению задач идентификации механических характеристик ВКМ на основе использования расширенного функционала по результатам испытаний изготовленных из этого материала конструкций. В частности а) упругих характеристик по результатам анализа работы панелей на устойчивость, б) упругих характеристик по результатам динамических испытаний (свободных и вынужденных колебаний) оболочек вращения, образованных перекрестной намоткой из исследуемого ВКМ, в) реологических характеристик по результатам статических и динамических испытаний оболочек вращения, образованных перекрестной намоткой из исследуемого ВКМ. На базе созданных соответствующих программ и на основе анализа численных экспериментов, проведено исследование влияния различных параметров на результаты решения задачи идентификации. Получены выводы об устойчивости задачи и путях ее повышения. Даны соответствующие рекомендации. Обработаны результаты реальных экспериментов.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Тазюков, Булат Фэридович, Казань

1. Алифанов О. М. 1. . Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280с.

2. Алифанов О. М, Артюхин Е. А., Румянцев С. В. 1 . . Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.-288 с.

3. Алфутов Н.А. 1. . Основы расчета на устойчивость упругих систем.-М.: Машиностроение, 1978.-312 с.

4. Алфутов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. 1 . . Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984.-263с.

5. Алфутов Н. А., Таирова Л. П. 1. . Возможности определения свойств монослоя в композите // Методы и средства диагностики несущей способности изделий из композитов. Рига: Зинатне, 1986. с.212-215.

6. Алфутов Н. А., Зиновьев 77. А., Таирова Л. П. 1 . Идентификация упругих характеристик однонаправленных материалов по результатам испытаний многослойных композитов // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1989. вып. 30. с. 16-31.

7. Андреева Л.Е. 1. Упругие элементы приборов.-М.: Машиностроение, 1981.392 с.

8. Ахатов И. И., Ахтямов А. М. 1. . Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикл. мат. и мех. 2001. т. 65. вып 2. с. 290-298.

9. Ашкенази Е. К., Ганов Э. В. 1 . Анизотропия конструкционных материалов. Справочник. JL: Машиностроение, 1980.-47с.

10. Бате К., Вилсон Р. 1. . Численные методы анализа и метод конечных элементов.- М.: Стройиздат, 1982.-448 с.

11. Бартенъев О.В. 1. . Фортран. Математическая библиотека IMSL. Часть 2. М.: Диалог-МИФИ, 2001. 320 с.

12. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. 1 . Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.-52с.

13. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. 1. . Сопротивление материалов: Учебное пособие. М.: Наука, 1986.-60с.

14. Бугхейм А. Л. 1. . Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.-83с.

15. Вазидзу К. 1. . Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.-42с.

16. Васильев В. В. 1. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1998.-269 с.

17. Винсон Ж. Р., Сираковский P. JI. 1. . Поведение конструкций из композиционных материалов / пер. с англ. под ред. Васильева В. В., Митина Б. С. М.: Металлургия, 1991.-64с.

18. Вольмир А. С. 1. . Устойчивость деформируемых систем.- М.: Наука, 1967.984 с.

19. Вольмир А. С. 2. . Нелинейная динамика пластинок и оболочек.-М.: Наука, 1972.-432 с.

20. Вольмир А.С. 3. . Современные проблемы теории пластин и оболочек в летательных аппаратах // Актуальные проблемы авиационной науки и техники.-М., 1984.-С. 77-87.

21. Воронцов Г. В., Плющев Б. И., Резниченко А. И. 1. . Определение приведенных упругих характеристик армированных композитных материалов методами обратных задач тензометрирования // Мех. композ. мат., 1990. № 4. с.733 -747.

22. Галимов К.З., Паймушин В.Н., Терегулов И.Г. 1. . Основания нелинейной теории оболочек. Казань, "ФЭН", 1996, 216 с.

23. Гонткевич B.C. 1. . Собственные колебания пластинок и оболочек. Справочное пособие. Киев, "Наукова Думка", 1964,288 с.

24. Дегтярев Г. Л., Серазетдинов Т. К. 1 . . Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986.- 214 с.

25. Илъгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. 1. . Расчет оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1987.-260 с.

26. Ильюшин А. А., Победря Б. Е. 1. . Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.-280 с.

27. Касьянов в. а., Ударцев е/п. 1. . Определение характеристик воздушных судов методами идентификации. М.: Машиностроение, 1988.-176 с. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. 1 . . Численные методы и математическое обеспечение. М.: Мир, 1998.-575с.

28. Каюмов Р. А. 1. . Об определении жесткостных характеристик для нелинейно-упругого однонаправленно армированного материала // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Казань. КФТИ АН СССР, 1990. вып. 25. с.109-114.

29. Каюмов Р. А. 2. . Моделирование нелинейного поведения анизотропных и композиционных материалов и конструкций из них. Дисс. на соиск. уч. ст. д. ф.-м. н. Казань. КГУ, 1994.-386 с.

30. Каюмов P. А. 5. . Расширенная задача идентификации механических характеристик материалов по результатам испытаний конструкций // Мех. тв. тела, 2004. № 2. с.94-105.

31. Каюмов Р. А. 6. . Идентификация характеристик слоя по результатам испытаний многослойной оболочки//Труды международной конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки РТ проф. А. В. Саченкова, Казань, 1998, с. 115 119.

32. Каюмов Р. А. 7. .О построении деформационного критерия прочности для элемента многослойной оболочки // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань. КГУ. 1992. вып. 24. с.29-34.

33. Каюмов Р. А., Ильязов Р. Н. 1. . Экспериментальное определение пластических характеристик композиционного материала, находящегося в составе многослойной оболочки. Деп. № 260-В93-03.02.93 в ВИНИТИ. Казань. КИСИ, 1993.12с.

34. Каюмов Р.А., Тазюков Б.Ф. 2. . Нелинейная реакция пологой арки на импульс внешнего давления // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. Вып. 64. Нижний Новгород: изд-во Нижегородского университета, 2002.- С. 63-66.

35. Композитные материалы. Справочник 1 . / Под ред. В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. М.: Машиностроение, 1990.-512с.

36. Композитные материалы. Справочник 2. / Под ред. Д. М. Карпиноса. Киев: Наукова думка, 1985.-592с.

37. Коноплев Ю.Г., Тазюков Ф.Х. 1. . Устойчивость упругих пластин и оболочек при нестационарных воздействиях. Казань: Изд-во КГУ, 1994.-124с.

38. Коноплев Ю.Г., Тазюков Ф.Х. 2. . Устойчивость пластин и оболочек при динамическом нагружении // Актуальные проблемы механики оболочек.

39. Труды межд. конф. памяти А.В. Саченкова. Казань: Изд-во Казан, ун-та,1998. с.60-62.

40. Коноплев Ю.Г., Тазюков Ф.Х. 3. . К динамической устойчивости пластин и оболочек // Юбилейный сборник избранных трудов членов АН РТ, ОМММ, Казань, 2002.-е. 115-120.

41. Костин В. А., Снегуренко А. 77. 2. . О построении диаграмм деформирования элементов авиационных конструкций по данным натурного эксперимента // Актуальные вопросы аэрокосмических систем: проблемы, методы, эксперимент. 2000. №1(9). с.66-71.

42. Костин В. А., Снегуренко А. 77. 3. . Идентификация поля цилиндрических жесткостей изотропных и ортотропных пластин // Вестник КГТУ им. А. Н. Туполева. 2001. №2. с.3-9.

43. Костин В. А., Торопов М. Ю., Снегуренко А. П. 1. . Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Казань: Изд-во КГТУ им. А. Н. Туполева, 2002.-284с.

44. Кристенсен Р. 1. .Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982.-334с. Крысько В.А. 1. . Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек.-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976.-214 с.

45. Кузъменко Ю. В., Кожевникова М. И. 1. . Нелинейные упругие характеристики регулярно-неоднородных композитов // Сборник "Физ. микроэлектрон, приборов" 1984. с.63-72.

46. Леонова Э.А. 1. . О некорректных задачах статики теории упругости // Изв. РАН. МТТ. 1997. №6. с.71-77

47. Малинин Н.Н. 1. . Прикладная теория пластичности и ползучести. Учебник для студентов вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. М., "Машиностроение", 1975. 400 с.

48. Матвеенко В.П., Юрлова Н.А. 2. . Численно-экспериментальный метод определения механических характеристик композитных оболочек // Тез. докл. X Зимней школы по механике сплошных сред г. Пермь. Пермь, 1995.-с. 163-164.

49. Мешков Е. В., Кулик В. К, Налов А. С., У питие 3. Т. 2. . Влияние технологических факторов на механические характеристики однонаправленного органопластика // Мех. композ. мат., 1990. № 3. с.526 -535.

50. Мешков Е. В., Кулик В. К, Нилов А. С., Упитис 3. Т., Сергеев А. А. 3. Исследование механических характеристик однонаправленных композитных материалов при статическом нагружении // Мех. композ. мат., 1991. № 3. с. 459 467.

51. Морозов В. А. 1. . Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: МГУ. 1987.-216с.

52. Морозов В. А. 2. . Регулярные алгоритмы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.-240с.

53. НорриД., де Фриз Ж. 1. . Введение в метод конечных элементов.- М.: Мир, 1981.-304 с.

54. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., ХазановХ.С. 1. . Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов.- М.: Высшая школа, 1985.-329 с.

55. Одиноков Ю. Г., Одиноков А. Ю. 1. К определению нагрузок на тонкостенную конструкцию по параметрам ее напряженно-деформированного состояния // Авиационная техника. Изв. ВУЗов. 1984. № 4. с.53 58.

56. Пичугин В. С., Протасов В. Д., Степанычев Е. И. 1. . Деформативность и несущая способность оболочек, изготовленных на разжимной оправке // Мех. композ. мат., 1984. №2. с.279-282.

57. ПобедряБ.Е. 1. Механика композиционных материалов. М.: МГУ. 1984.-336с.

58. ПобедряБ.Е. 2. Особенности теории процессов для композитов//Мех. композ. мат., 1984. № 3. с.443 449.

59. Работное Ю.Н. 1. Элементы наследственной механики твердых тел // Главная редакция физико-математической литературы "Наука", М., 1977, 384 с.

60. Работное Ю.Н. 2. . Механика деформируемого твердого тела.-М.: Наука, 1979.-744 с.

61. Рикардс Р., Чате А. 1. . Идентификация механических свойств композитных материалов на основе планирования экспериментов // Мех. композ. мат., 1998. т.34. № 1. с.3-16 .

62. Сахабутдинов Ж.М. 1. . Анализ дискретных моделей движения точки. Казань: ИММ РАН, 1995.-196 с.

63. Сегерлинд Л. 1. . Применение метода конечных элементов.- М.: Мир, 1979.392 с.

64. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. 1 . . Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука. 1969.-512с.

65. Тазюков Б.Ф., Каюмов Р.А. 1. . Устойчивость сжатых пластин при импульсном нагружении // IV Респуб. науч.-практ. конф. мол. ученых и специалистов, Казань, 11-12 декабря 2001 г.: Тез. докл. Физ.-мат. направление. Казань: Изд-во "Мастер Лайн", 2002.-69 с.

66. Терегулов И. Г. 1 . Определяющие соотношения для физически нелинейных анизотропных и композитных оболочек при конечных деформациях // Изв. ВУЗов. Математика. 1985. № 5. с.ЗЗ 41, № 6. с.54 -62.

67. Терегулов И. Г. 2. . Конечные деформации тонких анизотропных и композитных оболочек и определяющие соотношения // Мех. композ. мат., 1987. № 4. с.654 660.

68. Терегулов И. Г. 3. . Асимптотический анализ и классификация оппределяющих соотношений для волокнистых композитов и анизотропных оболочек при конечных и неупругих деформациях // Докл. АН СССР. 1988. Т.302. №6. с. 1333 1336.

69. Терегулов И. Г. 4. . Определяющие соотношения для анизотропных и волокнисто-композитных оболочек при конечных деформациях // Мех. тв. тела, 1989. №3.с.167- 173.

70. Терегулов И. Г., Бутенко Ю. К, Каюмов Р. А. 1 . Определение жесткостных характеристик нелинейно-упругих композитных материалов // Ракетно-космическая техника. Серия VIII. Материаловедение. Мех. композ. мат. НПО "Композит", 1993. вып.2. с.17-28.

71. Терегулов И., Г., Каюмов Р. А., Бутенко Ю. И., Сафиуллин Д. X. 1. Определение механических характеристик композитов по результатам испытаний многослойных образцов // Мех. композ. мат., 1995. т.31. № 5. с.607-615.

72. Терегулов И. Г., Каюмов Р. А., Фахрутдинов И. X. 1. . Идентификация механических характеристик композитного материала по результатам испытаний оболочек вращения //Мех. композ. мат., 1998. т.34. №6. с.771-776.

73. Тетере Г. А., Крегерс А. Ф. 1 . Проблемы нелинейной механики композитов // Мех. композ. мат., 1993. т. 29. № 1. с.50 60. Тихонов А. 77., Арсенин В. Я. 1. . Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979.-285с.

74. Тихонов А. Н., Гончаровский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. 1. . Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука. 1983.-200с.

75. Тихонов А. Н., Калънер В. Д., Гласко В. Б. 1 . . Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990, 263с.

76. Тихонов А. Н., Уфимцев М. В. 1 . . Статистическая обработка результатов экспериментов. М.: МГУ. 1988.-174с.

77. Тукмаков A.JT. 1. . Нелинейные и хаотические колебания упругой панели // Изв. вузов. Авиационная техника.-1999.-№2.-С. 66-68.

78. Томпсон Дж. М. 1. . Неустойчивость и катастрофы в науке и технике.-М.: Мир, 1985.-254 с.

79. Тукмаков A.JI. 2. . Нелинейный эффект при динамической потере устойчивости панели по несимметричной форме // Изв. вузов. Авиационная техника.-1999.-№4.-С. 76-77.

80. Тукмаков A.JI. 3. . Сопоставление информации Шеннона, информации Тсаллиса и функции числа состояний системы при диагностике регулярных и хаотических режимов движения // Журнал технической физики.-2002.-Т.72.-Вып.7.-С. 137-140.

81. Упитис 3. Т., Удрис А. О. 1. Деформирование углепластика с перекрестным армированием ±45° при плоском напряженном состоянии // Мех. композ. мат., 1988. № 5. с.852- 861.

82. Феодосьев В. И. 1. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1979.-560с. Феодосьев В.И. 2. . Упругие элементы точного приборостроения.-М.: Оборонгиз, 1949.-343 с.

83. Фудзии Д., Дзако М. 1 . Механика композиционных материалов: Пер. с яп. М.: Мир, 1982.-232с.

84. Хайруллин М. X. 1 . .О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации // Док. АН СССР. 1988. т.299. №5. с. 11081111.

85. Цветков С. В., Зиновьев 77. А., Еремичев А. Н., Цыруль В. К, Бухарин В. Е., Бушуев Ю. Г. 1. . Деформирование и разрушение бороалюминия при сложном напряженном состоянии // Проблемы прочности. 1991. № 12. с. 29 35.

86. Шермергор Т. Д. 1. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977.-400с.

87. Юрлова Н.А. 1. . Об определении упругих постоянных материала оболочек вращения по косвенным данным // Тез. докл. III Всосоюзн. школы мол. уч. «Численные методы механики сплошной среды», п.Дюрсо, 27.05-1.06.1991.-Красноярск, 1991.-с. 165

88. Юрлова Н.А. 2. . Об одном варианте обратной задачи поиска механических характеристик оболочек вращения // Вестник 111 ГУ. Математика и прикладная математика. 1996. С.80-86.

89. Al-Salehi F. A. R., Al-Hassani S. T. S., Bastari N. M., Hinton M. J. 2. . Rate effects on aramid fibre/epoxy (KRP) tubes under hoop loading // Composites. 1990. vol. 24. № 9. pp. 894 917.

90. Fisher H. 1 . How to predict structural behaviour of R. P. Laminates // Mod. Plast., 1960, №6., pp.65-68.

91. Frederiksen P. S. 1 . Experimental procedure and results for the identification of elastic constants of thick orthotropic plates//J. Composite Materials. 1997. vol.31. №4. pp.360-382.

92. StalfordH.L. l.The EBM system identification technique and its application to high a/b modelling of aircraft // AIAA Atoms. Flight. Mech. Conf. Mass. 1981. pp. 619-625.

93. Tsai S. W., Wu E. M. 1. .A general theory of strength for anisotropic materials//Composite Materials. 1971. vol.5, pp.58-80.