Динамическая устойчивость пологих оболочек из вязкоупругих материалов

Азеев, Константин Викторович

Динамическая устойчивость пологих оболочек из вязкоупругих материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Азеев, Константин Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Тула МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Динамическая устойчивость пологих оболочек из вязкоупругих материалов»

Автореферат диссертации на тему "Динамическая устойчивость пологих оболочек из вязкоупругих материалов"

На правах рукописи

м/

АЗЕЕВ КОНСТАНТИН ВИКТОРОВИЧ

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2005

Диссертация выполнена на кафедре «Математическое моделирование» в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, доцент

Желтков Владимир Иванович

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Гордон Владимир Александрович

доктор физико-математических наук Пшеничнов Сергей Геннадьевич

Ведущая организация — Пермский государственный технический универ-

ситет

Защита диссертации состоится «31» января 2006 года в 14 00 на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, ГПС, проспект им. Ленина, 92,12-303.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан « 30.» декабря 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л. А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Оболочечные конструкции широко применяются в различных областях техники: аэрокосмической технике, авиа- и кораблестроении, строительстве. Несомненным преимуществом таких элементов конструкций является их малая материалоемкость, лучшее использование прочностных свойств материалов. Зачастую необходимая несущая способность достигается при использовании подкрепляющих элементов — так называемого силового набора. В аэрокосмической технике и кораблестроении это лонжероны и стрингеры, в строительстве - несущие стержневые системы. В этом случае оболочки заполняют промежутки между элементами силового набора и обеспечивают, во-первых, непроницаемость конструкций для окружающей жидкой или газообразной среды, и во-вторых, воспринимают часть силовых воздействий среды. Тем самым оболочка разделяется на ряд типичных элементов, отличающихся тем, что их размеры в плане малы по сравнению с радиусами кривизны; такие элементы называют панелями. Напряженно-деформированное состояние (НДС) панели (в рамках кинематических гипотез Кирхгоффа-Лява) разделяется на два состояния: безмоментное, характеризуемое равномерным распределением напряжений по толщине, и изгибное, в котором напряжения распределены антисимметрично по толщине. Внутренние силовые факторы, описывающие эти состояния — мембранные (иначе - цепные) силы и изгибающие и крутящие моменты. Из опыта эксплуатации оболочечных конструкций известно, что при действии сжимающих мембранных сил возможно явление потери устойчивости, заключающееся в том, что энергетически более выгодным при отсутствии поперечных воздействий оказывается некоторое деформированное состояние; развивающиеся в процессе перехода от начального к деформированному состоянию напряжения могут превысить разрушающее напряжение для материала. Тем самым определение значений мембранных сил, соответствующие потере устойчивости становится неотъемлемой частью расчетов оболочечных конструкций.

В настоящее время оболочечные конструкции часто изготавливаются из композитов с полимерной матрицей, которые отличаются от классических конструкционных материалов наличием реологических свойств: ползучести и релаксации. Они проявляются наиболее ярко при динамическом нагружении в форме затухания свободных колебаний. В оболочечных конструкциях из вязкоупругих материалов при действии сжимающих сил возможны различные ситуации: устойчивость начального состояния, т.е. возврат к нему после затухания колебаний, затухающие колебания вокруг одного деформированного состояния или переход от одного к другому деформированному состоянию ( прощелкивание). Все эти эффекты определяются переходными процессами; естественно, что в переходных процессах возможны напряжения, превышающие те, которые соответствуют деформированному состоянию.

Таким образом, определение критериев устойчивости пологих оболочек при динамическом нагружении и анализ переходных процессов является актуальной задачей.

Устойчивость оболочек привлекала внимание многих исследователей, среди которых следует отметить оригинальные труды С.П. Тимошенко. Среди множества

современных работ по динамике \ У^^ЙШЧРЙЗД) и пластин следует выде-

БИБЛИОТЕКА С.Пет (^пгл/

лить фундаментальные труды В.В. Болотина, в которых формулируется понятие устойчивости начального и деформированного состояний, приводятся математические модели, позволяющие анализировать динамику и устойчивость упругих деформируемых систем. В работы A.C. Вольмира содержат наиболее полное описание моделей и методов теории гибких оболочек. Современное состояние теории устойчивости оболочек изложено в работе П.Е. Товстика. Многие фундаментальные результаты получены С.А. Амбаруцумяном, И.А. Кийко, И.Г. Терегуловым, Р. Саусвеллом и многими другими исследователями.

Тем не менее, вопрос о влиянии реологических характеристик материалов исследован недостаточно. В связи с этим можно сформулировать цель работы: установление критерия появления развивающихся во времени прогибов шарнирно-опертой вязкоупругой цилиндрической панели и исследование переходных процессов при закритических значениях мембранных сил.

Задачи работы:

- формулировка математической модели пологой вязкоупругой цилиндрической панели, учитывающей влияние мембранных сил на деформации изгиба;

- формулировка критерия динамической устойчивости состояния панели;

- изучение переходных процессов при докритических и закритических значениях мембранных сил.

Методы исследования:

Используется метод модального разложения и частотный критерий устойчивости движений.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель вязкоупругой пологой цилиндрической панели, учитывающая влияние мембранных сил на деформации изгиба при динамических поперечных нагрузках;

- определение и исследование области устойчивости для описанной оболочки;

- анализ переходных процессов при действии мембранных сил и начальных возмущений по скорости или перемещению;

Научная новизна состоит в:

■ формулировке критериев устойчивости вязкоупругой оболочки, учитывающих свойства материала, характер приложения мембранных сил и поперечных нагрузок.

■ обобщении метода модального разложения на задачи свободных и вынужденных колебаний пологих оболочек при действии мембранных сил.

Практическая значимость работы заключается в следующих результатах:

■ формулировке конкретных вариантов критериев устойчивости для пологой цилиндрической панели;

■ исследовании влияния параметров ядра релаксации на критические значения мембранных сил при различных их сочетаниях.

Достоверность и надежность результатов обусловлена корректным применением методов динамики вязкоупругих тел, теории пологих оболочек, математической теории устойчивости.

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на международных и всероссийских научных конференциях и семинарах, в том числе:

■ 14 Международной зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 2005г.);

■ Международной конференции «Актуальные проблемы информатики, математики, механики» (г. Тула, 2005 г.)

■ Всероссийской конференции «Актуальные проблемы механики сплошных сред» (г. Пермь, 2005г.)

■ На семинаре по механике деформируемого твердого тела под рук. A.A. Маркина (Тула, 2005г.)

Публикации: по теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Работа содержит 38 рисунков, 1 таблицу. Общий объем диссертационной работы 121 страницы. Библиографический список включает 99 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, приведен краткий обзор текущего состояния рассматриваемых вопросов. Сформулированы цели и задачи данной работы. Приведена аннотация содержания диссертации.

В первом разделе рассмотрены известные теории и методы расчета пологих оболочек. Основа этих теорий заключается в том, что путем принятия некоторых гипотез трехмерная задача теории упругости сводится к двухмерной задаче о равновесии и деформации срединной поверхности, нагруженной системой усилий и моментов, статически эквивалентной системе нагрузок оболочки. Наиболее простой и употребительный вариант теории базируется на гипотезах Кирхгофа-Лява. Приводится известное решение Вольмира для динамической задачи пологой оболочки в аналитической форме при поперечных нагрузках.

Во втором разделе исследуется влияние возмущающих факторов на устойчивость движения материальной системы. Устойчивость в задачах механики деформируемого тела в терминах математической теории устойчивости (следуя В.В. Болотину) может быть интерпретирована как устойчивость «состояния покоя», за которое принимается начальная конфигурация: в ней отсутствует поле перемещений, напряжений, деформаций; если таковые возникают в результате приложения некоторых возмущающих факторов: начальных перемещений, скоростей, импульсных нагрузок, то начальное состояние называют устойчивым, если отклонения от него с течением времени становятся ненаблюдаемыми (бесконечно малыми). Отметим статическую постановку задач устойчивости по Эйлеру: в ней не рассматривается процесс перехода из начального состояния в деформированное, а определяется возможность возврата в начальное состояние после снятия возмущающих факторов. Сопоставляя концепции Ляпунова и Эйлера, можно утверждать, что если амплитуды отклонений

в задаче Эйлера не превосходят их начальных малых значений, то начальное состояние устойчиво по Ляпунову, но неустойчиво по Эйлеру.

Для решения задач динамики вязкоупругих тел применяется метод модального разложения, в соответствии с которым поле перемещений представляется разложением по формам свободных колебаний упругого тела. Коэффициенты разложения - функции времени - определяются из решения системы обыкновенных интег-ро-дифференциапьных уравнений. Оно представляется в виде интеграла Дюамеля, в котором определяющую роль играет матрица импульсно-переходных характеристик, каждая компонента которой есть сумма экспонент с комплексными показателями -корнями характеристического уравнения на время. Тогда устойчивость состояния тела определяется именно корнями уравнения: если все корни имеют положительную мнимую часть, то ИТТХ - затухающие гармонические осцилляторы или затухающие экспоненты и перемещения точек тела стремятся к нулю при неограниченном увеличении времени, что соответствует понятию асимптотической устойчивости недеформированного состояния в том смысле, что искажения формы тела, вызванные начальными возмущениями по перемещениям или скоростям с течением времени становятся ненаблюдаемыми. Этот результат можно интерпретировать как применение теорем Гурвица и Михайлова, которые накладывают ограничения на корни характеристического уравнения системы. В задачах для тонких тел — пластинок, оболочек - рассматривается работа мембранных сил на перемещениях изгиба; следовательно, в характеристическое уравнение динамики поперечных движений они будут входить как параметры и существенно влиять на его корни. Тогда критерий устойчивости будет представлять собой условие равенства нулю мнимой части хотя бы одного из корней характеристического уравнения; критические значения мембранных сил могут быть найдены из этого условия.

Используется вариационный метод решения задачи колебаний пологой оболочки, в основе которого лежат следующие гипотезы и предположения:

• Деформации предполагаются малыми, и компоненты тензора деформаций записываем с использованием формул Коши-Грина, в которых сохраняются только те нелинейные слагаемые, которые соответствуют квадратам углов поворота нормального волокна.

• Гипотезы Кирхгофа-Лява.

• Материал оболочки предполагается изотропным.

• Материал принимается линейно-вязкоупругим; конструкционные соотношения формулируются в виде линейно-

наследственного закона Больцмана.

• Рассматриваются только поперечные колебания.

• Принимаем следующие граничные условия на сторонах параллельных оси х и у соответственно Мху= 0, >с=0, Мух=0, что соответствует подвижным шар-

н ирным закреплениям по образующей и по касательной к меридиану и отсутствию прогибов по контуру.

Вместо уравнений равновесия используем вариационное уравнение Лагранжа

ш-т = о.

Под работой внешних 5№ сил понимаем работу сил инерции поступательного перемещения по нормали к срединной поверхности, тогда вариация запишется в виде:

а Ь

5№ = ||рЛ|5и'И',11 <1ус1х. о о

Выражение для потенциальной энергии деформаций № получим с использованием формулы Новожилова, вариация потенциальной энергии для плосконапряженного состояния имеет вид:

811 = |^еуВ,]8еь<1усЬс .

При нелинейной постановке задачи сохраняем нелинейные слагаемые (квадраты углов поворота нормали) только в вариации деформации.

После несложных преобразований из уравнения Лагранжа получаем два уравнения:

1. Вариационное уравнение для плосконапряженного состояния.

дУ,у

Вп 0 ' V

Ва В72 0

0 0 В». 0

Вп

Вгг О

4у<1х = о

2. Вариационное уравнение изгиба срединной поверхности оболочки.

а Ь т

0 0

А. 0

оа О» 0

0 0

В„ Вп 0

Вп Вп 0

0 0 в,г

V т Ва 0 "

А* К Ва Вп 0

0 0 0 В,г.

и,х

<*е„

Впи,х+В21у,у

Викх\и+ В2,ку\у О

О В,Л.м> + В„к„ у/

¿уЛх = О

Первые три слагаемых в вариационном уравнении изгиба определяют линейную постановку задачи изгиба панели, в которой влияние мембранных сил определяется ее кривизнами. Оставшиеся два слагаемых описывают геометрическую нелинейность, т.е. обусловлены учетом квадратов градиентов прогиба, первое из которых — потенциальная энергия мембранных сил плосконапряженного состояния, а второе - поправка к мембранным силам плоского напряженного состояния, за счет кривизны срединной поверхности.

При решении статически определимых задач можно считать известными начальные мембранные силы, возникающие, например, при монтаже панели. Определим мембранные силы следующим образом:

N„ =-

2R arcsin

; N = рЛ; ЛГЯ

где X - продольная сила, р - нормальное давление (сжимающие напряжения считаются положительными).

Представление для прогиба панели запишем в виде:

тогда вариационное уравнение изгиба, с учетом особенностей цилиндрической панели и принятыми представлениями мембранных сил и прогиба, а также вводя безразмерные параметры, получим более общее безразмерное уравнение, пригодное для любого упругого материала.

I У . дг'Гя- . "'У . 12 1 ■ 12*'ft-v2Y I wVr

J во со ее ее .

+ -JT-nZ S Z Z I4"" fccs(n,q, f )/iii{m, p, j)+4mpfsss(n, q, t)lccs(m, p, ф„а„ =

a v - v / «-irih '-i

»r

(cos(oti)-1Xcos(ot»)-1)' пгпт

О)

здесь функции 1ссз(п,д,1) и - интегралы от трехкратного произведения

тригонометрических функций.

Безразмерные параметры

Геометрические Физические нагрузки

Ь R h - = a,r = —,t} = -а а а с» г = с-* ра X р Еа Е

Решение уравнения (1) полностью определяется пятью безразмерными параметрами. Из общего вида уравнения колебаний видно, что даже при отсутствии осевой силы и давления моды колебаний взаимосвязаны за счет нелинейного слагаемого (суммы). Возбуждение по одной моде, например, при п = т = \ повлечет за собой и колебания по всем остальным модам, т.к. матрица системы модальных уравнений будет заполненной, а не диагональной, как в линейном случае.

Для учета вязкоупругих свойств материала используются наследственные соотношения Больцмана. Тензор ядер релаксации представлен выражением:

Rijkl = A')' Eykl

в котором y(t) = А ——■ <""' - модифицированное ядро релаксации Колтунова-Г(а)

Ржаницына, то есть принимается вырожденный случай поведения вязкоупругого тела.

Заменяя модуль упругости оператором Больцмана и пренебрегая нелинейным

слагаемым в уравнении (1), приходим к интегро-дифференциальному уравнению колебаний вязкоупругого тела:

я »Я Опт

где ^

I I

У I

(с08(яя)~ 1Хс<«(яго)-1) жгпт

2пгагсзщ —

2 2 2 я с т у/г

а2т]

Таким образом, задача сводится к системе обычных интегро-дифференциальных уравнений, решение которых находится с использованием интегрального преобразования Фурье. Решение в изображениях получается путем разрешения линейного уравнения.

4.(0 = -^(')-^(О)-^,, (0).^(г)+ Гш(/ -т>/г,

оригинал передаточной функции

для отыскания которой использована лемма Жордана:

Н<)= ^ = «¿Яе^И®*]^

¿л 4«. ¿-1

где - корни частотного уравнения.

Для ядра Колтунова-Ржаницына характеристическое уравнение имеет вид:

лг

(е+ьГ

где 1 =-, Х„

р р

* ххп Ш ___Г

а>1 ' " ш;

Опт (

уут £ = > Ьпт

пт

■Чпт Щпт

При а = 1 получим экспоненциальное ядро; тогда характеристическое уравнение преобразуется к кубическому уравнению. Вводя параметр нагружения оболочки Р = 1 - X - Ч* и опуская индексы пит для простоты записи, приходим к характеристическому уравнению, которое зависит только от параметра нагружения Р и вяз-коупругих свойств материала пологой панели А и £

г3-Щ-г2 -Р-г+%(Р-А)=0.

Отметим, что это уравнение универсально по отношению к геометрии оболочки, условиям закрепления и свойствам материала в рамках вырожденного вязкоупругого поведения: частота упругих свободных колебаний отражает геометрию и закрепления, а параметры А, £ - вязкоупругие свойства материала.

При аналитическом решении кубического уравнения с мнимыми коэффициентами возможны два вида корней: мнимые и комплексные; первым соответствуют апериодические движения, вторым — гармонические колебания, модулированные экспоненциальной функцией. Вещественная часть корней определяет частоту свободных колебаний, а мнимая - коэффициент затухания. Тогда асимптотически устойчивым будем называть такое состояние панели, для которого возможны только затухающие движения, т.е. все мнимые корни и мнимые части комплексных корней

положительны. Иными словами, для устойчивого состояния панели любые отклонения от начального состояния через достаточно большой промежуток времени становятся ненаблюдаемыми. Данное положение соответствует частотным критериям устойчивости Гурвица и Михайлова в теории управления и устойчивости движения. Будем называть критическим значение параметра нагрузки, при котором появляется либо отрицательный мнимый корень, либо становится отрицательной мнимая часть одного из комплексных корней.

Третий раздел посвящен отысканию критического значения параметра на-гружения Р. Для этого строились зависимости вещественных и мнимых корней характеристического уравнения от параметра нагружения Р при различных параметрах вязкоупругого материала. Корень г, изображен на рисунках тонкой линией, -линией средней толщины, а Хъ - жирной линией.

Рассматривая Рис. 1 и Рис. 2 можно видеть, что до определенного значения параметра нагружения Р имеют место гармонические незатухающие колебания. При значении Р<Р,р появляется чисто мнимый корень, соответствующий апериоди-

...... И-ДО) ——— ЬДО)

--ЩИ)

Рис. 2 А= 0.5 % = 0.1

Следует заметить, что критическое значение параметра нагружения определяет только «средний» корень — 7.2. Из Рис. 2, построенных для параметра А = 0,5, хо-

рошо видно, что координата точки пересечения оси Р мнимой частью корня Х2 равна параметру Л =0.5. Тогда критерий асимптотической устойчивости движений вяз-коупругой панели формулируется в виде:

1ш(22)> 0 -у Р> А, а критическое значение параметра нагрузки определяется из уравнения:

Ркр=А.

Аналитическое решение этого уравнения не представляется возможным. Численное решение уравнения, так же, как и графическое дает критическое значение параметра нагрузки, равное А.

Зона устойчивых колебаний определяется условием Р> А. Полученные критерии позволяют оценить устойчивым или неустойчивым будет движение пологой цилиндрической оболочки при различных сочетаниях осевой силы и давления.

Для окончательной формулировки критерия устойчивости раскроем выражение для параметра Р:

1 -Х-Г = А,

Вводя безразмерную сжимающую силу х и безразмерное давление р в виде:

п-Л-у2)Р

£(1 - А)аг' Р Е(\-А)'

получим безразмерное уравнение:

2 г . ( аЦ агт]

--""вШ - | -

\2гД\2я

4 21 2 М I 12

*У К+—I

-тгр

(2)

Таким образом, определено семейство прямых, определяющих область критических сжимающих сил и давления для разных мод. При заданном х* или р* наибольшее значение второго фактора, при котором возможны устойчивые поперечные движения, определяется уравнением (2).

При очень больших тип критическим значениям параметра Р соответствуют напряжения, превышающие предельные напряжения для материала (предел прочности или текучести, или иное напряжение, определяющее разрушение материала); но такие напряжения выходят за рамки основных предположений исследуемой нами модели пологой оболочки. Поэтому ограничимся рассмотрением только младших форм колебаний при небольших волновых числах т и п. Тогда на графиках, изображающих область устойчивых состояний, необходимо выделить область прочности материала. По энергетической теории прочности:

где апр - предельное напряжение для материала (предел текучести, предел прочности и т.п.).

Выражая напряжения через мембранные силы и вводя безразмерную сжимающую силу х' и безразмерное давление р*, получим:

■ »

4агс5шг — I 2агс8т~1

12г) 12г)

На Рис. За приведены прямые, определяющие критические значения параметров нагружения для разных мод; зона прочности материала показана в виде черного эллипса для усредненного композиционного материала (по данным «Композиционные материалы: Справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.; Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. - М.: Машиностроение, 1990. -512 с.»). Зона устойчивых состояний выделена серой заливкой. Следовательно, для а = 0.5 и г = 10 область устойчивости ограничивают три моды (и = 2,/я = 1;и=1,/и = 1ии=1,/я = 2); если значение параметра нагрузки соответствует пересечению луча

х* = кр*

с одной из прямых, то данная форма устойчива по Ляпунову; начальное состояние неустойчиво по Эйлеру. Тем самым критическое значение по Эйлеру параметра нагружения Р определяется пересечением указанного луча с прямой, соответствующей моде, критическая прямая для которой ближе всех к началу координат по направлению этого луча. Аналогичная картина наблюдается и для других параметров оболочки.

Зависимость критической области от геометрических параметров панели иллюстрируется Рис. 36. Известное решение Тимошенко для удлиненной пластинки, сжатой продольной нагрузкой в направлении длинной стороны, говорит, что количество полуволн по длине кратно ее удлинению Х=а/Ь\ тот же результат получаем из Рис. 3, двигаясь от начала координат вдоль оси х*.

Таким образом, сформулированный критерий устойчивости вязкоупругой панели позволяет построить область устойчивых состояний, границы которой не противоречат известным решениям.

В четвертом разделе рассматриваются особенности поперечных движений вязкоупругой оболочки при различных сочетаниях внешнего давления и осевой силы. Рассматриваются два основных режима действия независимых компонент мембранных сил: постоянное значение и импульсы прямоугольной формы с различными длительностями и задержкой друг относительно друга.

Записываются начальные условия для модальных коэффициентов а„т (?):

«»(О)= ¿«(0) =

Для исследования движений панели удобно ввести модальную передаточную функцию

К. И = I Г-1.Р ">¿»»11-Г )+Р.ш

и ее оригинал - модальную импульсно-переходную характеристику (ИПХ)

(

' 11*1,111-1 о-1, и»»2 1^1, т»3 п»2, ' п"2, т-2 п-2,т-3 1^3, т-1 о=3, т»=2 • п»3, ш-3 ' Предел про*

(б)

Бори

(а) а = 1 г = 5 т| = 0.05

3«

-1.5 10"* -1 КГ4-5 10~ь V 1 П) 1¥\1.5 3\ Л. •10"* 1 ■10"*

0 00

г>

1 - линия

а = 0.5 г= 10 Г| = 0.05

Безразмерное давление 2 - линия 3 - линия

а = 1 г = 20 Т1 = 0.05

а = 1/3 г = 20 т) = 0.05

Рис. 3. Критические зависимости осевой силы от давления.

Старое» ИПХ

-0М1

1г .....

2 ( 3 (

Врем ИПХ

С 1 0 [5 (2 0 !5

Вршх

ИПХ

В ( 1 0 12

Вреяя

Рис. 4 Колебания панели при режиме нагружения Р = 1.8-10'

иг

Кт (0 = 'X А^кЩПт )ехр {ч<°0пт*\ к=1

Д2*®Ои»я) =--1

®0лто

2, , ^ (°)| * йт

где / - мнимая единица, г* - корень характеристического уравнения, ш0 - частота упругих свободных колебаний.

Таким образом, исследование движений пологой оболочки при заданных геометрических характеристиках, свойствах материала, мембранных силах и начальных условиях сводится к двум этапам: определению корней характеристического уравнения и вычислению прогибов.

Фундаментальной характеристикой динамического поведения панели является семейство ее импульсно-переходных характеристик №пт(1), определяющее реакцию на начальные кинематические возмущения поперечным перемещением и его скоростью и на переходные процессы, развивающиеся при изменении внешних нагрузок. ИПХ панели полностью зависит от корней характеристического уравнения: наличие корня (или корней) с отрицательной мнимой частью приводит к возникновению расходящихся, неустойчивых движений. Изучение ИПХ позволит установить интервалы времени, в пределах которых прогибы панели остаются малыми.

Для исследования выбрана цилиндрическая панель из изотропного материала, мгновенные характеристики которого близки к стеклотекстолиту: Е0=3-1010 Па, у=0.3, р=2700 кг/м3. Универсальное ядро релаксации предполагается экспоненциальным; параметры ядра варьируются в ходе исследования. Размеры панели определены следующим образом: длина а=1м, относительная толщина г|=0.005, относительный радиус варьировался: г= 5; 10; 20. Мембранные силы характеризуются двумя безразмерными параметрами.

План исследований следующий: для заданной геометрии панели и свойств материала строится критическая область; внутри нее проводится луч из начала координат в точку предполагаемого закритического нагружения. На этом луче отмечаются точки пересечения с прямыми, определяющими границы устойчивых и неустойчивых состояний мод с различными волновыми числами пит. Затем для различных точек этого луча определяются ИПХ и их скорости, соответствующие различным модам.

ипх

Скорость ИПХ

дедллпг 2 0

[МШа

|Р 2 0

|1 1

П=1 И Ш = 1

Врюп Скорее» ИПХ

В 0 1 0 15 ( 2 0

п= 1 Р5 т=2

ипх

Врекя Скорость ИПХ

,0 В ОМ 015 О И

п= 1 т= 3

Времж

Рис. 5 Колебания панели при режиме нагружения Р = 2.0-10'

На Рис. 4 приведены ИПХ панели при Р — 1.8-10 "7; видно, что все моды будут устойчивыми, кроме п = 1 т = 3, следовательно движение панели в целом можно

считать неустойчивым.

На Рис. 5 приведены ИПХ панели при Р = 2.0-10 ~7, находящуюся после мод 1,3 и 1,2. На графиках ИПХ, представленных на Рис. 5 видно, что неустойчивыми будут моды 1,3 и 1,2, а все остальные - устойчивые.

Также рассмотрен вопрос об импульсно-переходной характеристике для моды, у которой соблюдается условие:

Р(п,т) = А,

то есть при движении по соответствующей линии, ограничивающей область устойчивости. На Рис. 6 приведен пример ИПХ для Р=А, Л=0.1, £,=0.1, шо=100 1/с.

ИПХ Скорост» ИПХ

м 3 1 1

V 1 5

Вран

Рис. 6. ИПХ для Р — А

Для иллюстрации этого эффекта рассчитано состояние панели с удлинением а/Ь =3 (а=1/3) для критического значения параметра х* при р*=0,при котором неустойчивой являлась единственная мода п=3, от= 1 (Рис. 3).

Рис. 7. Начальное и деформированное состояния панели для критического нагру-

жения продольной силой

Начальное возмущение задается в виде параболоида:

удовлетворяющего краевым условиям. Начальная скорость прогиба полагалась нулевой. Параметры ядра: Л =0.1, 4=0.1. Деформированное состояние соответствовало времени затухания колебаний: <=1.5с (Рис. 76). На рисунке отчетливо видно, что устойчивая форма панели отличается от исходной - по образующей три полуволны, в окружном направлении - одна.

Продолжая аналогичные исследования для разных режимов мембранных сил, приходим к выводу что, если взять точку за пределами устойчивой области, то панель будет терять устойчивость только по тем модам, которые пересекаются линией, соединяющая эту точку с началом координат. Причем наиболее быстро будет развиваться мода, точка пересечения критической прямой, которой наименее удалена от начала координат.

Основные выводы по работе:

1. Сформулированы общие положения исследования устойчивости пологих оболочек, основанные на определении устойчивости движения по Ляпунову, являющиеся частным случаем устойчивости деформированного состояния по В.В. Болотину. Для вязкоупругих оболочек устойчивость начального состояния оказывается асимптотически устойчивой.

2. Применение модального разложения позволило сформулировать критерий устойчивости вязкоупругой панели в форме, общей для любых вязкоупругих тел, у которых НДС зависит от некоторого параметра. Для оболочек, в срединной поверхности которых действуют только постоянные нормальные мембранные силы, этот критерий сводится к равенству параметра нагружения падению напряжения в опыте на релаксацию. Это положение справедливо, по крайней мере, для экспоненциального ядра при вырожденном вязкоупругом поведении материала. Критерий устойчивости определяет критическую область как условие положительности мнимых частей всех корней характеристического уравнения.

3. Применение этого критерия позволило определить область устойчивости вязкоупругой оболочки, граница которой представляет собой часть ломаной линии, каждое звено которой представляет собой прямую для некоторой моды колебаний. Второй границей области является условие статической прочности оболочки при действии только мембранных сил. Полученное решение в частном случае при нулевой окружной компоненте мембранных сил качественно совпадает с известным решением Тимошенко для удлиненной пластинки.

4. Показано, что при равенстве нулю одного из корней характеристического уравнения имеет место неустойчивость по Эйлеру: существует асимптотически устойчивое по Ляпунову деформированное состояние, вблизи которого происходят затухающие колебания; но начальное состояние при этом будет неустойчивым.

неограниченно возрастают. При критическом значении параметра нагружения устойчивое деформированное состояние будет соответствовать той форме, для которой выполняется условие равенства параметра нагружения его критическому значению. Все остальные формы колебаний затухают.

Публикации по теме работы:

1. Азеев К.В. Движения пологой оболочки при различных режимах нагружения // Тул. гос. ун-т. - Тула, 2005. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.12.2005, № 1620-В2005.

2. Азеев К.В. Критерии устойчивости вязкоупругой цилиндрической панели, прямоугольной в плане при свободных колебаниях. // В сб. «Актуальные проблемы информатики, математики, механики. Тезисы докладов.» - Тула, изд. ТулГУ, 2005. с. 5-8.

3. Азеев К.В. Область динамической устойчивости вязкоупругой пологой оболочки // Тул. гос. ун-т. - Тула, 2005. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.12.2005, № 1620-В2005.

4. Азеев К.В., Желтков В.И. Колебания вязкоупругой цилиндрической панели, прямоугольной в плане. //В сб. "14 зимняя школа по механике сплошных сред (тезисы докладов)". - Пермь, 2005. - с. 8.

5. Азеев К.В., Желтков В.И. Критерии динамической устойчивости вязкоупругой цилиндрической панели, прямоугольной в плане // Тул. гос. ун-т. - Тула, 2005. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.12.2005, № 1620-В2005.

6. Азеев К.В., Желтков В.И. Устойчивость пологой цилиндрической панели из вязкоупругого материала. //В сб. «Актуальные проблемы механики сплошных сред. Научная конференция. Тезисы». Екатеринбург. - УрО РАН, 2005. - с. 7-9.

20 0 6-773

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 26.12.05 Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,2 Уч.-изд. л. 0,9 Тираж 100 экз. Заказ 75

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Азеев, Константин Викторович

ВВЕДЕНИЕ.

1. Теории и методы расчета пологих оболочек.

1.1. Математическая модель оболочки.

1.2. Решение статической задачи пологой оболочки.

1.3. Решение динамической задачи пологой оболочки.

1.4. Выводы.

2. Метод решения задачи динамической устойчивости пологой вязкоупругой оболочки.

2.1. Формулировка понятия устойчивости и общая характеристика метода расчета состояний вязкоупругой оболочки.

2.2. Вариационный метод решения задачи пологой оболочки.

2.3. Задача о колебаниях шарнирно опертой цилиндрической, прямоугольной в плане панели.

2.4. Математическая модель вязкоупругой пологой оболочки.

2.5. Выводы.

3. Критерий устойчивости пологой вязкоупругой оболочки при постоянных К* мембранных силах.

3.1. Зависимость корней характеристического уравнения от параметров экспоненциального ядра.

3.2. Критическая область параметра нагружения.

3.3. Выводы.

4. Движения пологой оболочки при различных режимах нагружения.

4.1. Определение форм поперечных движений.

4.2. Импульсно-переходные характеристики панели при постоянных мембранных силах.

4.3. Выводы.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертация по механике, на тему "Динамическая устойчивость пологих оболочек из вязкоупругих материалов"

Роль расчетов на прочность и жесткость в современном машиностроении становится все более ответственной, а сами расчеты — все более сложными. Вопросы, связанные с расчетами элементов конструкций, рассматриваются в таких традиционных дисциплинах как "Сопротивление материалов", "Строительная механика", "Теория упругости" и т.д.

Многообразие методов проектирования и расчета сложных машин и сооружений, которыми изобилует современная техника, составляет одну из весьма актуальных проблем механики. Эти методы в настоящее время стремятся отразить такие особенности расчетов элементов конструкций как нестационарный температурный режим, переменные параметры упругости, возможную слоистую или армированною структуру, пластические деформации и деформации ползучести, причем при возможно более полном учете параметров как движения, так и геометрии исследуемых объектов. В большинстве случаев это осуществляется лишь с привлечением современных численных методов с последующей реализацией их на ЭВМ.

В различных областях техники широко применяются элементы конструкций, общей чертой которых является то, что материал заполняет область пространства, ограниченную двумя близко расположенными поверхностями. Такие тела называют оболочками; если упомянутые поверхности - плоскости, то тело называют пластинкой.

По характеру напряженного состояния, образующегося при изгибе пластинки, различают следующие три класса пластинок: жесткие, гибкие, абсолютно гибкие пластинки, или мембраны.

Пластинку называют жесткой, если можно без заметной погрешности считать срединный слой нейтральным или, иными словами, свободным от напряжений растяжения — сжатия. Подобное допущение характерно для обычной теории изгиба балок.

Гибкой называется пластинка, при расчете которой в пределах упругости наряду с чисто изгибными напряжениями необходимо учитывать напряжения, равномерно распределенные по толщине пластинки и называемые цепными или мембранными напряжениями. Так как цепные напряжения распространяются и на срединный слой пластинки, то их принято также называть напряжениями в срединной поверхности. Эти напряжения появляются во всех тех случаях, когда срединная поверхность пластинки переходит при изгибе в не-развертывающуюся поверхность.

Абсолютно гибкой пластинкой, или мембраной, называется пластинка, при исследовании упругой деформации которой можно пренебречь собственно изгибными напряжениями по сравнению с напряжениями в срединной поверхности. Для мембраны характерна, таким образом, равномерность распределения напряжений по толщине.

Жесткие пластинки применяются, как известно, во многих областях техники: в инженерных сооружениях (фундаментные плиты, безбалочные перекрытия), машиностроении (детали поршневых двигателей, плоские днища резервуаров) и т. д.

Широкое применение в машиностроении находят гибкие пластинки.

Так, например, участок плоской обшивки крыла самолета, подкрепленный продольными ребрами (стрингерами) и поперечными ребрами (нервюрами), можно рассматривать как гибкую пластинку. Учет цепных напряжений особенно важен для тонкой обшивки в сжатой зоне крыла, так как здесь обшивка может претерпеть потерю устойчивости и получить большие прогибы уже при эксплуатационной нагрузке. Расчет обшивки осложняется, если наряду с продольными силами приходится учитывать поперечную (воздушную) нагрузку.

Пластинки занимают большое место в кораблестроении. Обшивка днища корабля подвергается сжатию, участвуя в общем изгибе корпуса, и, вместе с тем, испытывает значительное давление воды; прогибы обшивки, как правило, сравнимы с ее толщиной. В определенных положениях корабля по отношению к гребням волн оказывается сжатой также палуба, причем настил палубы зачастую теряет устойчивость в упругой области; поэтому и здесь необходимо для расчета привлекать теорию гибких пластинок.

При проектировании балок с высокими тонкими стенками в строительных конструкциях стенку приходится рассчитывать как гибкую пластинку: здесь может произойти потеря устойчивости от сдвига с образованием наклонных выпучин.

Обшивка затворов в гидротехнических сооружениях воспринимает давление воды также как гибкая пластинка; это надо учитывать при определении несущей способности обшивки.

Круглые гибкие пластинки часто встречаются в приборостроении. Так, например, упругими чувствительными элементами манометрических приборов являются гофрированные мембраны — пластинки с начальной погибью, получающие значительные прогибы.

Наряду с пластинами широко применяются в различных отраслях техники оболочки. Например, подкрепленной замкнутой оболочкой является прочный корпус подводной лодки. Корпус парогенератора или турбины энергетической установки также рассчитывают как оболочку.

Цистерны, воздушные и газовые баллоны обычно представляют собой оболочки вращения цилиндрической, шаровой или каплевидной формы. Как оболочки рассматриваются строительные конструкции: перекрытия и купола всевозможных очертаний со значительными пролетами, а в конструкции самолета - криволинейные панели обшивки крыла и фюзеляжа и герметические кабины. При проектировании реактивных двигателей проводят расчет на устойчивость форсажной камеры, внешнего и внутреннего кожухов камеры сгорания. В корпусе надводного корабля необходимо обеспечить устойчивость криволинейных участков обшивки; в подводных лодках — обшивки корпуса, цилиндрических и сферических переборок.

Крупные резервуары, применяемые в химической промышленности, работают в некоторых случаях при избыточном внешнем давлении и также рассчитываются на устойчивость. В инженерных сооружениях находят применение пологие оболочки в виде перекрытий и покрытий; они должны обладать достаточной устойчивостью при статической нагрузке, а в сейсмических районах — и при динамическом нагружении.

Задачи на устойчивость оболочек представляют особый интерес для многих областей новой техники, а также для всех тех «устоявшихся» областей, в которых происходит внедрение облегченных конструкций и новых материалов. С расчетами на устойчивость оболочек различной формы: гладких и подкрепленных, изотропных и анизотропных, деформируемых в пределах и за пределами упругости, мы неизменно сталкиваемся прежде всего при конструировании летательных аппаратов и их двигателей. Около века тому назад И. Г. Бубнов отмечал, что корпус корабля почти целиком состоит из пластинок. Теперь мы можем сказать, что конструкция летательного аппарата состоит главным образом из оболочек. Криволинейные панели обшивки в этих конструкциях представляют собой пологие оболочки; вместе с тем, корпус летательного аппарата в целом можно рассматривать как подкрепленную оболочку. Запросами авиационной техники прежде всего и объясняется интенсивное развитие теории устойчивости оболочек в последнее время. Расчеты оболочек на устойчивость имеют существенное значение при проектировании надводных и подводных кораблей, тепловозов и вагонов, трубопроводов, резервуаров, куполов и покрытий в инженерных сооружениях и т. д.

Поведение оболочек при потере устойчивости существенно отличается от поведения стержней и пластинок. Выпучивание оболочек, как правило, сопровождается появлением не только напряжений изгиба, но и дополнительных напряжений в срединной поверхности (цепных напряжений), в то время как для стержней и пластинок мы могли учитывать только напряжения изгиба. Некоторая часть потенциала внешней нагрузки «расходуется» в случае оболочки на увеличение энергии изгиба, а другая часть — на изменение энергии срединной поверхности. Соотношение между этими величинами зависит от того, какую конфигурацию принимает оболочка при выпучивании.

Большое распространение оболочек объясняется их экономичностью по сравнению с равнопрочными конструкциями, состоящими из плоских пластин. Например, при одной и той же площади Т7 поперечного сечения сосуда и одинаковом постоянном внутреннем давлении наибольшие напряжения в стенке сосуда вдали от торцов при прямоугольной призматической форме (рис. Рис. 1 ,а) будут в несколько десятков раз больше, чем при цилиндрической форме (Рис. 1, б). Это обусловлено тем, что в пластинах, образующих прямоугольный сосуд, вследствие изгиба наблюдается большая неравномерность распределения напряжении, чем в цилиндрической оболочке.

Рис. 1

Условно, в зависимости от отношения толщины к оболочки к наименьшему радиусу Я кривизны ее срединной поверхности, различают два класса оболочек: толстые оболочки, у которых — > —;

Я 20 тонкие оболочки, у которых— < —.

Я 20 можно пренебречь по сравнению с единицей, не превышая обычную для технических расчетов погрешность в 5 % :

1±- = 1±— = 1±0,05.

Я 20

Большая часть оболочек, применяемых в машиностроении, относится к тонким оболочкам, однако основана на использовании достаточно сложного математического аппарата. Их теория построена в предположении, что материал изотропен, обладает идеальной упругостью, подчиняется закону Гука и перемещения точек оболочки малы по сравнению с ее толщиной. Кроме того, используются два допущения теории пластин:

1. о прямых нормалях, т. е. считается, что линейные элементы оболочки, нормальные к срединной поверхности, остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности;

2. об отсутствии поперечного давления, т. е. предполагается, что нормальные напряжения, перпендикулярные к срединной поверхности, пренебрежимо малы.

Можно классифицировать оболочки по виду поверхности.

Цилиндрическая и коническая поверхности принадлежат к поверхностям нулевой гауссовой кривизны: одна из главных кривизн здесь обращается в нуль. Существенная особенность поверхностей нулевой гауссовой кривизны состоит в том, что они являются развертывающимися, т. е. могут быть развернуты на плоскость без образования складок или разрывов; длины всех линий на поверхности остаются неизменными.

Цилиндрическую оболочку, поперечное сечение которой очерчено по окружности, называют круговой. Подобную оболочку будем считать замкнутой, если сечение ее представляет полную окружность, и открытой, если сечение составляет часть окружности.

Значение теории при современном состоянии науки и техники существенно расширилось. Если раньше теория пластин и оболочек решала в основном задачи рационального проектирования инженерных конструкций из готового материала, то сейчас не меньшую роль играют вопросы оптимального проектирования и изготовления материала конструкций. Путем вариации различных материалов, входящих в состав пластины или оболочки, их взаимного расположения по толщине и использования соответствующих технологических приемов создаются конструкции, обладающие высокими эксплуатационными характеристиками и низкой стоимостью.

Появление и широкое применение биметаллов, трехслойных и многослойных материалов, стеклопластиков и других полимерных материалов привело к необходимости создания методов расчета неоднородных конструкций. Из года в год растет число публикаций по расчету неоднородных конструкций. Особенно интенсивно разрабатываются вопросы расчета трехслойных пластин и оболочек.

Обилие публикации может создать такое впечатление, что проблема создания теории неоднородных пластин и оболочек решена. Однако это далеко не так. К настоящему времени развит целый ряд вариантов теории, базирующихся на различных гипотезах. Общая теория неоднородных упругих пластин и оболочек отсутствует. Неизвестна область наиболее рационального использования тех или иных вариантов теории.

Развитие общей теории тонких упругих пластин и оболочек идет по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным. Для решения этой проблемы предложено большое число методов, которые по классификации С. А. Амбарцумяна [13] могут быть объединены в три группы: метод гипотез, метод разложения общих уравнений теории упругости по толщине оболочки асимптотический метод

Все эти методы интенсивно развиваются, дополняя друг друга.

Преимущественное положение при построении технических теорий, предназначенных для практического расчета пластин и оболочек, занимает метод гипотез. Он позволяет получить наиболее простую математическую модель оболочки. Однако метод гипотез в том виде, в каком он обычно применяется, не обладает способностью непосредственной оценки точности построенных с его помощью теорий. Это приводит к тому, что для технических теорий, построенных с помощью метода гипотез, оказываются неизвестными пределы применимости.

Допустим, что к отрезку оболочки приложена поперечная нагрузка. При относительно малых нагрузках в оболочке будут возникать прежде всего цепные напряжения, равномерно распределенные по толщине оболочки. Здесь можно провести аналогию с аркой, воспринимающей поперечную нагрузку по преимуществу за счет осевых усилий (Рис. 2). Так как изгибные напряжения в оболочке будут сравнительно малы, то оболочку можно назвать безмоментной. В этом состоит существенная особенность оболочки по сравнению с плоской пластинкой: последняя воспринимает поперечную нагрузку при малых прогибах главным образом за счет напряжений собственно изгиба.

Если оболочка достаточно тонка, то при дальнейшем увеличении нагрузки она может получить упругие прогибы, сравнимые с толщиной. Тогда к напряжениям в срединной поверхности присоединятся сравнимые с ними по величине напряжения изгиба; напряженное состояние станет уже смешанным или моментным.

Таким образом, два различных напряженных состояния, имеющих место при малых нагрузках в случаях плоской пластинки и безмоментной оболочки,

Jui-li/

Рис.2 переходят для гибких пластинок и оболочек в единое — смешанное напряженное состояние. Из этого вытекает, что дифференциальные уравнения теории гибких пластинок и оболочек должны иметь общую структуру. Что касается пологих оболочек, то для них уже при малых нагрузках характерным является смешанное напряженное состояние.

В задачах устойчивости оболочек обычно можно считать, что в первоначальном равновесном положении оболочка работает как безмоментная. Однако при потере устойчивости сразу же возникают значительные напряжения изгиба. Как мы увидим в дальнейшем, оболочки теряют устойчивость, как правило, с образованием глубоких выпучин. Но при этом оболочку надо рассматривать как гибкую. Поэтому теория гибких оболочек должна найти практическое приложение во всех тех областях техники, для которых важным является расчет оболочек на устойчивость.

Выделим среди всех оболочек теперь особо пологие оболочки, имеющие малые кривизны. На Рис. 3 показаны примеры пологих оболочек, одна из которых является прямоугольной в плане, а другая — круговой в плане.

Условимся считать оболочку пологой, если стрела подъема Н не превышает 1/5 от наименьшего размера в плане. Пологие оболочки применяются в настоящее время все шире в строительных конструкциях; они входят также в конструкции летательных аппаратов, подводных лодок и т.д.

При исследовании пологих оболочек, находящихся под действием попе

Рис. 3 речных сил, приходится, как правило, считать напряженное состояние мо-ментным уже на первых ступенях нагружения. Если ограничиться определением напряженного состояния оболочки при малых прогибах, то его можно вести в рамках линейной теории. Различие между пологой оболочкой и плоской пластинкой скажется тогда лишь в том, что для оболочки надо учитывать дополнительные напряжения в срединной поверхности. Однако для расчета на устойчивость пологой оболочки важным является исследование больших прогибов с позиций нелинейной теории.

На Рис. 4 [35] изображены различные варианты диаграммы «нагрузка — стрела прогиба», которые являются характерными для пологих оболочек различной кривизны.

Рис.4

В случае весьма пологой оболочки параметр нагрузки ц монотонно возрастает с увеличением стрелы прогиба / (Рис. 4, а); диаграмма имеет при этом точку перегиба С, причем на первом участке ОС жесткость оболочки падает, а на втором возрастает. В случае, если начальная стрела подъема оболочки сравним, с толщиной, диаграмма получает предельную точку А (Рис. 4, б) здесь при известных условиях — когда нагрузка является «мертвой» — становится возможной потеря устойчивости, выражающаяся в прощелкивании оболочки к новому устойчивому равновесному состоянию. Далее, на Рис. 4,6 изображена диаграмма q(f), соответствующая оболочкам большой кривизны; падающая ветвь АВ неустойчивых состояний лежит вблизи начальной ветви ОА. На такого типа кривых прощелкивание становится возможным здесь при любом поведении нагрузки. Встречаются примеры, когда прогиб в центре оболочки на некотором этапе нагружения уменьшается и диаграмма д(/) становится петлеобразной (Рис. 4,г); это связано с изменением формы волнообразования.

В некоторых случаях прощелкивание пологих оболочек является необходимым их свойством (хлопающие мембраны в приборах). С другой стороны, для оболочек, служащих покрытиями в строительных конструкциях, и во многих других примерах явление прощелкивания недопустимо. Так или иначе для расчета пологих оболочек на устойчивость должны быть известны характерные точки диаграммы «нагрузка—прогиб».

При выводе основных зависимостей нелинейной теории пологих оболочек возможны два подхода: первый из них состоит в непосредственном использовании уравнений оболочек; другой подход заключается в рассмотрении оболочки как пластинки с начальной погибью.

Теория устойчивости оболочек привлекает к себе в последние годы наибольшее внимание, данной тематике посвящен ряд статей и монографий, опубликованных в нашей стране и за рубежом [1, 12, 13, 10, 11, 15, 16, 22, 32, 40, 41, 42,43,44,46, 55, 61, 63, 65, 72, 73, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 83, 91, 92, 93, 95].

Среди множества работ по динамике и устойчивости оболочек и пластин следует выделить фундаментальные труды В.В. Болотина [25, 24, 26], в которых формулируется понятие устойчивости начального и деформированного состояний, приводятся математические модели, позволяющие анализировать динамику и устойчивость упругих деформируемых систем. В работе А.С. Воль-мира [36] рассмотрены общие вопросы устойчивости упругих систем, а его монографии [34, 35] содержат наиболее полное описание моделей и методов теории гибких оболочек. Современное состояние теории устойчивости оболочек изложено в работе П.Е. Товстика [93].

Широкое применение ЭВМ к решению нелинейных задач по теории устойчивости оболочек позволило получить в последние годы уточненные значения нижних критических нагрузок. Многие публикации посвящены применению к расчетам оболочек методом конечных элементов [9, 19, 30, 37, 39, 55, 60, 69, 72, 82]. Конечноэлементные модели оболочек являются важной составной частью таких известных пакетов прочностных расчетов, как ЛИРА, КИПР-РС,

ANSYS, NASTRAN, COSMOS и др.

Обширное применение армированных материалов с их специфическими особенностями в различных областях современной техники потребовало всесторонне обоснованных подходов к расчетам на устойчивость оболочечных конструкций, выполненных из новых композитных материалов. В настоящее время при исследовании устойчивости элементов конструкций, в частности оболочек из композитных материалов, наметилось три основных направления.

Первое направление связано с исследованиями, выполненными в рамках классических одномерных и двумерных прикладных теорий. Эти исследования позволили получить многие важные результаты, использующиеся при проектировании различного рода сооружений и конструкций. В монографии [36] изложены основы классических теорий устойчивости элементов конструкций, решения конкретных задач. Для оболочечных конструкций, выполненных из традиционных изотропных материалов (в основном металлов), применение классических прикладных теорий устойчивости достаточно обоснованно. Однако для оболочек из композитных материалов с их специфическими свойствами, которые слабо или вообще не учитываются классическими теориями, при расчетах на устойчивость необходимы более строгие теории и подходы.

Ко второму направлению можно отнести исследования, проведенные на основании уточненных (типа С.П. Тимошенко, Е. Рейсснера, С.А. Амбарцумяна и др.) прикладных теорий стержней, пластин и оболочек. Эти теории построены путем введения соответствующих гипотез, менее жестких, чем классические, или при помощи других способов приведения трехмерных задач к двумерным. Уточненные теории позволяют в какой-то мере учитывать особенности армированных материалов, однако вопросы о точности и пределах применимости различных приближенных подходов при исследовании устойчивости оболочек, выполненных из современных композитных материалов, остаются при этом не выясненными.

К третьему направлению можно отнести работы, выполненные в трехмерной постановке без привлечения каких-либо гипотез. Такой подход позволяет решать задачи с сугубо трехмерным напряженным состоянием, задачи механики полимерных и армированных материалов и проводить расчет элементов конструкций из них, а также оценить погрешности и определить области применимости прикладных теорий в зависимости от физико-механических характеристик композитных материалов. Применительно к исследованию устойчивости композитных материалов и элементов конструкций из них строится на предположении о малости докритических деформаций [74]. Результаты, полученные в этом направлении, частично изложены в монографиях [43,44].

Впервые уравнения трехмерной теории упругой устойчивости при малых докритических деформациях получены Р.В. Саусвеллом. Выводу трехмерных уравнений упругой устойчивости и некоторым общим вопросам посвящены работы многих авторов. Рассмотренный подход имеет обширную область применения, включающую устойчивость толстостенных металлических конструкций и тонкостенных конструкций, изготовленных из сравнительно жестких материалов (стеклопластика, асбопластика, материалов, армированных волокнами бора, графита, сапфира и т. д.), устойчивость слоистых материалов и др.

В исследованиях третьего направления основные уравнения и граничные условия получаются в результате строгой линеаризации нелинейных уравнений, при этом параметры нагружения входят в уравнения. Решить такие уравнения в общем случае трудно, поэтому в некоторых публикациях использован приближенный подход [43]. При этом подходе применяются уравнения равновесия трехмерной линейной теории упругости, а параметр нагружения вводится в граничные условия.

Исследованиям динамической устойчивости деформируемых систем в последние годы посвящается большое количество монографий, журнальных статей, что вызвано характерным для современной техники значительным повышением скоростей и ускорений и относительным облегчением элементов машин и сооружений. В связи с этим возникла необходимость изучения поведения элементов конструкций при воздействии нагрузок, быстро изменяющихся во времени.

Характер изменения нагрузки во времени может быть самым различным. Например, импульсивно приложенное усилие быстро возрастает во времени по линейному (или нелинейному) закону и затем убывает с какой-либо скоростью или нагрузка возникает внезапно и имеет в начальный момент определенную величину, а затем постепенно убывает до нуля по тому или иному закону либо остается постоянной в течение некоторого времени. Особое место занимает воздействие собственно ударной нагрузки, передающейся на тело в течение весьма короткого промежутка времени.

Следует отметить одну важную особенность динамической устойчивости деформируемых систем оболочек. Если скорость возрастания нагрузки достаточна велика, то усилия в срединной поверхности оболочки могут достигнуть значительных величин, раньше чем прогибы станут заметными. В таком процессе нагрузка, вызывающая потерю устойчивости, может превзойти не только первую верхнюю критическую силу, но и более высокие критические значения. Поэтому здесь следует ожидать появления высших форм потери устойчивости. Эта особенность процесса быстрого нагружения имеет существенное значение, так как связана с повышением несущей способности оболочки.

Теоретические и экспериментальные исследования поведения оболочек при быстром нагружении показывают, что в некоторый момент происходит скачкообразное перемещение ее к равновесным положениям с большими прогибами, после чего начинаются нелинейные колебания вокруг новой равновесной формы. Этот процесс обычно называют динамическим выпучиванием или условно-динамической потерей устойчивости.

При исследовании поведения оболочки, подвергающейся воздействию динамической нагрузки, появляется необходимость учитывать инерцию масс оболочки при их перемещении как в радиальном направлении, так и в срединной поверхности.

Все задачи по динамической устойчивости деформируемых систем можно условно подразделить на следующие три класса [1].

• Задачи, в которых система находится под действием периодических сил. Возникающие в этом случае колебания называют параметрическими. В зависимости от характера параметрических колебаний система может быть динамически устойчива либо неустойчива. Понятие «динамическая устойчивость» обычно связывают с поведением конструкции под действием периодической силы.

• Задачи, в которых исследуется устойчивость неконсервативных систем и систем с сервосвязями.

• Задачи поведения системы, нагружаемой усилием, прилагаемым в виде импульса той или иной формы, а также под воздействием собственно ударной нагрузки.

Проведенный анализ литературных данных по теории оболочек показывает, что математическое моделирование оболочечных конструкций представляет существенную проблему механики деформируемого твердого тела. Практическая ценность исследований по устойчивости оболочек заключается в учете не только величины действующих нагрузок, но и законов их изменения во времени, что позволит уточнить несущую способность конструкции и более полно использовать прочностные свойства материала. и

Следует отметить, что широкое применение композиционных материалов приводит к необходимости учитывать свойства, специфические для композитов с полимерной матрицей - ползучесть и релаксацию. Общие вопросы теории линейной вязкоупругости рассматривались в фундаментальных работах [52, 57, 64, 87, 88]: подробно рассмотрены вопросы построения линейных и нелинейных наследственных соотношений между напряжениями и деформациями, взаимности таких соотношений, способы аналитического представления ядер ползучести и релаксации, методы решения статических и динамических задач. В работах [18, 49, 50, 51,38, 58, 59, 71, 81] рассмотрены прикладные вопросы теот рии вязкоупругости, в том числе построение дискретных моделей вязкоупругих тел.

Несмотря на огромное количество работ по теории оболочек, можно утверждать, что устойчивость динамических состояний вязкоупругих оболочек изучена недостаточно.

В связи с этим, а также с тем, что пологие оболочки из вязкоупругих материалов являются широко распространенными элементами конструкций, можно сформулировать цель работы: установление критерия появления развивающихся во времени прогибов шарнирно-опертой вязкоупругой цилиндрической панели и исследование переходных процессов при закритических значениях мембранных сил.

В первом разделе рассмотрены известные теории и методы расчета пологих оболочек. Основа этих теорий заключается в том, что путем принятия гипотез Кирхгоффа-Лява трехмерная задача теории упругости сводится к двухмерной задаче о равновесии и деформации срединной поверхности, нагруженной системой усилий и моментов, статически эквивалентной системе нагрузок оболочки. Описывается оболочка как математический объект, приводится известное решение A.C. Вольмира [35] динамической задачи пологой оболочки.

Во втором разделе формулируются понятия устойчивого и неустойчивого движения панели. Приводится постановка задачи, описываются принимаемые гипотезы и определения. На основании метода модального разложения, задача анализа устойчивости панели сводится к определению корней характеристического уравнения.

В третьем разделе производятся исследования влияния мембранных сил и параметров ядра релаксации материала на устойчивость движений оболочки. Анализ корней характеристического уравнения позволил сформулировать критерий устойчивости движения в зависимости от приложения мембранных сил. Определяется область устойчивого движения цилиндрической панели для разных вариантов нагружения, приводятся графики областей устойчивости для разных геометрических параметров панелей.

В четвертом разделе приводятся результаты исследований импульсно-переходных характеристик (ИПХ) панели при различных сочетаниях мембранных сил. Показано, что в закритических режимах часть ИПХ переходит от затухающих колебаний в развивающуюся экспоненту; при значении параметра нагрузки, равному критическому, панель совершает затухающие колебания вокруг устойчивого деформированного состояния.

В заключении формулируются основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ВЫВОДЫ

5. Исследование переходных процессов, происходящих в оболочке при потере устойчивости показало, что при закритических значениях параметра нагружения движение оболочки носит характер развивающейся экспоненты, вокруг которой совершаются затухающие колебания. При этом амплитуды прогибов неограниченно возрастают. При критическом значении параметра нагружения устойчивое деформированное состояние будет соответствовать той форме, для которой выполняется условие равенства параметра нагружения его критическому значению. Все остальные формы колебаний затухают.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Азеев, Константин Викторович, Тула

1. Агамиров В.Л. Динамические задачи нелинейной теории оболочек. М.: Наука, 1990.-272 с.

2. Азеев К.В. Движения пологой оболочки при различных режимах нагруже-ния // Тул. гос. ун-т. Тула, 2005. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.12.2005, № 1620-В2005.

3. Азеев К.В. Критерии устойчивости вязкоупругой цилиндрической панели, прямоугольной в плане при свободных колебаниях. // В сб. «Актуальные проблемы информатики, математики, механики. Тезисы докладов.» Тула, изд. ТулГУ, 2005. с. 5-8.

4. Азеев К.В. Критерии устойчивости вязкоупругой цилиндрической панели, прямоугольной в плане при свободных колебаниях. // В сб. «Актуальные проблемы информатики, математики, механики. Тезисы докладов.» Тула, изд. ТулГУ, 2005. с. 5-8.

5. Азеев К.В. Область динамической устойчивости вязкоупругой пологой оболочки // Тул. гос. ун-т. Тула, 2005. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.12.2005, № 1620-В2005.

6. Азеев К.В., Желтков В.И. Колебания вязкоупругой цилиндрической панели, прямоугольной в плане. //В сб. "14 зимняя школа по механике сплошных сред (тезисы докладов)". Пермь, 2005. - с. 8.

7. Азеев К.В., Желтков В.И. Критерии динамической устойчивости вязкоупругой цилиндрической панели, прямоугольной в плане // Тул. гос. ун-т. -Тула, 2005. 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.12.2005, № 1620-В2005.

8. Азеев К.В., Желтков В.И. Устойчивость пологой цилиндрической панели из вязкоупругого материала. //В сб. «Актуальные проблемы механики сплошных сред. Научная конференция. Тезисы». Екатеринбург . УрО РАН, 2005.-с. 7-9.

9. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.:Стройизд., 1983. - 488с.

10. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем.- М.: Машиностроение, 1978.-312с.

11. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.:Машиностр.,1984. - 264с.

12. Амбаруцумян С.А. Теория анизотропных пластинок. М.:Наука, 1967. -268с.

13. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-446 с.

14. Андреев А.И., Желтков В.И., Хромова Н.Г. О корнях характеристического уравнения динамики вязкоупругих тел. //Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998, т.4. вып. 2. - С.31-34.

15. Андреев JI.B. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами М.: Машиностроение, 1988.

16. Андреев JI.B. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации Москва: Наука, 1988.

17. Аранович И.Г. Лунц Г.Л. Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1968. -416с.

18. Барканов Е. Анализ частотного отклика в конструкциях с различными моделями демпфирования// Мех. композит, матер. 1997, №2. - С. 226-233.

19. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.:Мир, 1982. - 287с.

20. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений./В 2-х томах//Т.1 М.: Физматгиз, 1962. - 382с.

21. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.:Наука, 1975. - 767с.

22. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций. М. Машиностроение, 1977г. 488с.

23. Бобров Б.С. Вопросы теории и расчета полимерных конструкций на прочность и деформируемость. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 128 с.

24. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М., Гостехиз-дат, 1956. 600 с.

25. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости.- М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

26. Болотин В.В. Теория распределения собственных частот упругих тел и ее применение к задачам случайных колебаний. «Прикладная механика» т. 8,1972, вып. 4, с. 3-29.

27. Болотин В.В. Численный анализ устойчивости линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В кн.: Избранные проблемы прикладной механики. М., изд. ВИНИТИ, 1974, с. 155-166.

28. Бузовкин Е.А., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Реакция печатных плат на удары. //Вопросы специальной радиоэлектроники (сер.РЛТ), вып.5, 1992. -с.57-60.

29. Бутин П.Н. Применение тензометрии при исследовании деформированного состояния конструкций: Учебное пособие. -Йошкар-Ола: МарГУ, 1982 -105 с.

30. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М. Машиностроение, 1976.-278с.

31. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 623с.

32. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностр., 1984. 272с.

33. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М: Государственное издание технико-теоретической литературы, 1946. - 784с.

34. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М: Государственное издание технико-теоретической литературы, 1956. - 419с.35,36,37,38,39,40