Устойчивость тороидальных панелей и оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.А

I. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОРОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ В ЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ,

1.1. Основные соотношения линейной теории оболочек.

1.2. Основные соотношения для тороидальной оболочки кругового поперечного сечения.

1.3. Устойчивость тороидальной оболочки под действием равномерного внешнего давления.

1.4. Результаты расчетов.

II. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ТОРОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК И'ПАНЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОГО ВАРИАНТА ОБЩЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК.

2.1. Нелинейная деформация оболочки вращения в квадратичном приближении.

2.2. Нелинейная осесимметричная деформация оболочек вращения.

2.3. Каноническая система уравнений.

2.4. Лианеризованные уравнения равновесия.

2.5. Устойчивость оболочек.

2.6. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

2.7. Каноническая система уравнений.

2.8. Решение неоднородной краевой задачи для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

2.9. Решение однородной краевой задачи для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

2.10. Алгоритм определения критической нагрузки.

2.11. Результаты расчетов.

III. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ТОРОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК И ПАНЕ

ЛЕЙ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОГО ВАРИАНТА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК.

3.1. Исходные соотношения нелинейной теории пологих оболочек.

3.2. Нелинейная осесимметричная деформация пологих оболочек вращения.

3.3. Каноническая система уравнений.

3.4. Лианеризованные уравнения равновесия.

3.5. Устойчивость оболочек.

3.6. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

3.7. Каноническая система уравнений.

3.8. Результаты расчетов.

Проблема устойчивости тороидальных оболочек и панелей привлекает к себе пристальное внимание, так как замкнутые оболочки такого типа используются в космических аппаратах, подводных конструкциях и в других областях техники. Вместе с тем, различные участки трубопроводов в двигателях, элементы шасси представляют собой отрезки тороидальных конструкций того или иного сечения.

С геометрической точки зрения исследование таких оболочек представляет интерес в том отношении, что их срединная поверхность имеет участки как положительной, так и отрицательной гауссовой кривизны, поэтому форма потери устойчивости имеет особенности, которые трудно заранее предвидеть.

Впервые явление потери устойчивости оболочек изучалось экспериментально В.Фейрберном [53] , В.Е.Лилли &21 и А.Маллоком . Первые теоретические работы были выполнены Ф.В.Грасго-фом [65] , М.Брессом [521 и Ж.Х.Брайаном [53] . Интенсивно эта проблема начала развиваться с начала нашего века.

Первые фундаментальные результаты для оболочек конечных размеров были получены Р.Лоренцем

С.П.Тимошенко [37,3?]

Р.Саутуэллом 1831 в линейной постановке на основе статического критерия Эйлера

58].

Согласно этому критерию, критическая нагрузка системы определяется как наименьшая нагрузка, при которой наряду с исходной формой равновесия становится возможной смежная бесконечно близкая, но отличная от нее форма. С математической точки зрения в этом методе задача определения критического состояния системы заключается в нахождении собственных чисел и соответствующих им собственных векторов системы линейных дифференциальных уравнений. Собственные числа определяют критические нагрузки, собственные векторы - формы потери устойчивости. Зачастую бывает достаточно определить только первое собственное значение и соответствующий ему собственный вектор. Найденная таким образом нагрузка определяет момент разветвления форм равновесия и называется верхней критической нагрузкой.

Величина верхней критической нагрузки, полученная в первых теоретических работах, не подтвердилась экспериментально. Наблюдаемые в экспериментах критические нагрузки, как правило, были значительно меньше теоретических. Все дальнейшее развитие теории устойчивости оболочек было направлено на выявление причин этого расхождения.

В 1934 году Л.Х.Доннелл обратил внимание на важность учета нелинейных членов в геометрических соотношениях одного типа теории оболочек, [5?] . Основы геометрически нелинейной теории оболочек были заложены работой К.Маргерра , хотя идейные вопросы этой теории были обсуждены еще раньше в работах Навье, С.П.Тимошенко и Бицено. Нелинейная трактовка поведения оболочки при деформировании помогла глубже понять физику явления потери устойчивости.

Впервые вопрос устойчивости замкнутой тороидальной оболочки кругового поперечного сечения, подвергнутой действию равномерного внешнего давления, был рассмотрен в статьях О.Махнига № , £5] . Использовались линейные соотношения теории тонких упругих оболочек. Докритическое напряженное состояние предполагалось безмоментным. В первой работе изучались осесим-метричные и неосесимметричные формы потери устойчивости. Для замкнутой изотропной оболочки вращения, находящейся под действием осесимметричной нагрузки в уравнениях устойчивости обычно удается разделить переменные, т.е. перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Однако в уравнениях, полученных О.Махнигом, такого разделения переменных произвести нельзя и приходится решать систему дифференциальных уравнений в частных производных. Для ее решения автором был использован метод малого параметра, в котором за малый параметр было принято отношение Q/8 (где В - расстояние от оси вращения до центра поперечного сечения, Q - радиус поперечного сечения). В результате произведенных расчетов О.Махниг пришел к выводу о том, что осесимметричная форма потери устойчивости приводит к меньшей величине критической нагрузки, по сравнению с неосесиммет-ричной формой. Поэтому в более поздней работе [75] О.Махниг рассмотрел только осесимметричные формы выпучивания.

Обзор работ, выполненных О.Махнигом, дан в статье В.Т.Кой-тера [691 . Рецензент отмечает, что при определенном соотношении геометрических параметров тороидальной оболочки неосесим-метричное выпучивание может привести к снижению критического давления, по сравнению с осесимметричным выпучиванием. В.Т. Койтер указал, что принятый О.Махнигом вид разложения параметров, характеризующих выпучивание оболочки, по степеням малого параметра неприемлем для тороидальных оболочек с большим отношением о/6 . Кроме этого, из формулы для критической нагрузки, полученной О.Махнигом, невозможно получить предельный случай - величину критической нагрузки для бесконечно длинной цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением. Однако, несмотря на эти критические замечания, В.Т.Койтер делает вывод о том, что работу О.Махнига следует рассматривать как первый важный шаг в решении задачи устойчивости тора.

П.Ф.Джордан pi на основе линейной теории пологих оболочек провел ассимптотический расчет осесимметричного выпучивания тороидальной оболочки, нагруженной постоянным внешним давлением и осевой силой, приложенной по экваторам. Предполагалосьs что выпучивание происходит при такой величине внешнего давления, при которой осевая жесткость тора уменьшается до нуля. Было получено соотношение для критической нагрузки в зависимости от геометрических параметров тороидальной оболочки

Q* =■ ОЛЧЪЪ • Е « -здесь £ - модуль упругости материала оболочки, /и - коэффициент Пуассона, h. - толщина оболочки, В - расстояние от оси вращения до центра поперечного сечения, Q - радиус поперечного сечения.

Следует отметить, что при бесконечном увеличении значения параметра $ при сохранении остальными параметрами своего значения, т.е. в пределе для бесконечно длинной цилиндрической оболочки, согласно формуле П.Ф.Джордана, получаем значение критической нагрузки, равное нулю. Это свидетельствует о том, что формула может быть справедлива только в ограниченном диапазоне изменений геометрических параметров тороидальной оболочки.

Критические нагрузки, полученные по формуле П.Ф.Джордана, на порядок меньше соответствующих величин, полученных О.Махни-гом. В своих расчетах П.Ф.Джордан опирался на результаты работ А.А.Лиепенса &0, ,65,6?] .

В работах, выполненных Л.Х.Собелом под руководством В.Флюг-ге £8if 823^ решение линейных уравнений устойчивости тороидальных оболочек искалось путем разложения в тригонометрические ряды в кольцевом и меридиональном направлениях компонент перемещений, возникающих при выпучивании. Докритическое напряженное состояние предполагалось безмоментным. Рассматривались как осесимметричные, так и неосесимметричные формы потери устойчивости. Предполагалось, что выпучивание оболочки под действием равномерного внешнего давления происходит либо осесимметрично, либо с числом окружных волн, отличным от нуля. В каждом из этих случаев форма выпучивания меридионального круга может быть либо симметрична, либо кососимметрична относительно экваториальной плоскости тора. Эти две ситуации автор обозначил с помощью индексов, соответственно, £ и а . Таким образом, критическое давление, соответствующее данной форме выпучивания обозначалось

CJ*ns либо Cj.no . в работах показано, что величина близка к величине , остальные формы выпучивания соответствуют гораздо'большим значениям критической нагрузки. Согласно

Й-П 9 при значении параметра 6/а вплоть до 4 величина * tyoa является меньшей из этих двух величин, и, следовательно, именно она представляет критическое давление выпучивания. При двух больших значениях ?>/& , равных, соответственно, 8 и 20, * * величина по-прежнему близка к <j.as , хотя и несколько превышает эту последнюю величину.

Д.Бушнелл 55] рассмотрел аналогичную задачу с использованием нелинейных деформационных соотношений и пришел к выводу, что учет нелинейности приводит к незначительному количественному снижению величин критических нагрузок, по сравнению с результатами Л.Х.Собела. Отличие составило не более 7 -10

Т.И.Кошелева рассмотрела в линейной постановке задачу об устойчивости тора под действием равномерного внешнего давления!^] Исследовалась только осесимметричная форма потери устойчивости при регулярном волнообразовании вдоль дуги меридиана. Начальное напряженное состояние предполагалось безмоментным. Решение уравнений устойчивости искалось методом Бубнова. Были получены достаточно простые аналитические формулы для величины критического давления в зависимости от геометрических параметров рассматриваемой оболочки. В предельном случае, при в/а — получается хорошо известная формула для критического давления бесконечно длинной цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением. Вместе с тем критические нагрузки, вычисленные по формуле Т.И.Кошелевой, примерно в пять раз превосходят соответствующие величины критических нагрузок, полученные по формуле П.Ф.Джордана.

Ю.А.Федосов [59] в аналогичной постановке и аналогичным методом рассмотрел задачу о неосесимметричном выпучивании тора под действием равномерной внешней нагрузки. В результате расчетов им установлено, что минимальная критическая нагрузка соответствует осесимметричной форме потери устойчивости. Этот результат совпадает с результатам О.Махнига. В случае неосе-симметричной потери устойчивости минимальная критическая нагрузка соответствует образованию двух волн в окружном направлении. Причем, величина критической нагрузки неосесимметричной формы потери устойчивости близка по величине критической нагрузке осесимметричной формы потери устойчивости. Этот результат согласуется с выводами Л.Х.Собела. Однако при выводе основных соотношений в данной работе было использовано предположение о нерастяжимости меридиана, что привело к завышению величин критических нагрузок, по сравнению с результатами Т.И. Кошелевой, примерно на 25 %.

В период с 1969 по 1971 годы были опубликованы результаты экспериментальных работ Р.И.Кшнякина Б.О.Алмроса, Л.Х.

Собела, А.Р.Хантера [51] , Ю.А.Федосова ЙО] , Е.Ж.Фишловитца [6W , В.Ж.Норделла, Ж.Е.Крауфорда 1^] , Е.Л.Вилсона, Л.Р. Джонеса, Т.М.Хсуша

85] . Согласно данным экспериментальных работ, выпучивание оболочки носит осесимметричный характер. При значении внешней нагрузки, близкой к критической, в зонах, прилегающих к полюсам оболочки, отмечалось наличие существенно моментного напряженного состояния. По величинам критических нагрузок наблюдается хорошее согласование между результатами экспериментальных работ и теоретическими результатами Л.Х.Со-бела и П.Ф.Джордана. Причем, если величины критических нагрузок, вычисленные по формуле П.Ф.Джордана, лежат несколько ниже экспериментальных, то результаты расчетов Л.Х.Собела дают несколько завышенные значения критических нагрузок. Однако различие теоретических и экспериментальных результатов не превышает 10 - 15 %,

Основываясь на данных экспериментальных работ ЙО,-?9 }85] П.Ф.Джордан предложил поправку к своей формуле [683 , с целью лучшего согласования теоретических и экспериментальных результатов.

Ю.А.Федосов на основе технического варианта теории тонких упругих оболочек продолжил исследования устойчивости замкнутой тороидальной оболочки кругового поперечного сечения, подвергнутой действию равномерного внешнего давления [41 ,42 , 45]. Одновременно он продолжил проведение экспериментов с целью более тщательного изучения форм потери устойчивости тора. Во всех теоретических работах им была сохранена постановка, использованная в его первой работе, т.е. докритическое напряженное состояние предполагалось безмоментным. Также было сохранено предположение о нерастяжимости меридиана, что, как уже отмечалось, приводит к существенному завышению результатов. Исследовались нерегулярные формы выпучивания. Автору не удалось добиться удовлетворительного согласования теоретических и экспериментальных результатов. На основе численного исследования

Ю.А.Федосов сделал вывод о том, что тороидальные оболочки теряют устойчивость по осесимметричной форме при сохранении симметрии относительно экваториальной плоскости. В экспериментах, проведенных автором, такие формы потери устойчивости наблюдались. Ю.А.Федосов считает, что на форму потери устойчивости тороидальных оболочек существенное влияние оказывают такие факторы, как неравномерность приложения нагрузки, непостоянство толщины и неоднородность механических свойств материала оболочек. Любой из этих факторов может привести к искажению формы потери устойчивости.

Дальнейшее изучение поведения тороидальной оболочки было проведено в работах А.Н.Фролова и Т.И.Ходцевой [48, 251 . В этих работах использовался квадратичный вариант геометрически нелинейной теории тонких упругих непологих оболочек, разработанный Л.А.Шаповаловым ft 9] на основе общей нелинейной теории упругости, развитой В.В.Новожиловым ] # в этих работах для отыскания критических нагрузок и форм потери устойчивости использовался метод, предложенный в U5] . Этот метод основан на непосредственном численном интегрировании уравнений равновесия. При помощи метода сведения краевой задачи к задаче Ко-ши?решение сводилось к отысканию корней некоторого характеристического уравнения, вид которого зависел от принятых граничных условий. Для получения устойчивого процесса интегрирования применялся метод ортогональной прогонки С.К.Годунова U^l . Авторы пришли к выводу, что учет моментности и нелинейности докритического напряженного состояния вносит существенную поправку в величины критических нагрузок в сторону их снижения. Получено удовлетворительное согласование с результатами Л.Х. Собела и П.Ф.Джордана. Из представленных результатов следует, что тороидальная оболочка под действием равномерной внешней нагрузки теряет устойчивость по осесимметричной форме, обратно симметричной относительно экваториальной плоскости, независимо от величины параметра 8/Q . Авторы однако сделали оговорку, что данная форма выпучивания может возникнуть в результате возмущений численного счета, и что необходимо продолжить исследование этого вопроса.

В монографии ,171 в линейной постановке решена задача об устойчивости трехслойной тороидальной оболочки.

В статьях {Д , 12] методом продолжения решения по параметру исследовано закритическое поведение тороидальной оболочки нагруженной равномерным внешним давлением. Исследовано влияние переменности толщины на величину критической нагрузки. На основании результатов работ предшествующих авторов за форму потери устойчивости в этих работах принималась осесимметричная форма, обратно симметричная относительно экваториальной плоскости.

В работах [9 ,55] для определения критических нагрузок для замкнутой тороидальной оболочки кругового поперечного сечения, нагруженной равномерным внешним давлением, использовался метод конечных элементов. Качественно новых результатов получено не было.

Отдельные исследования по устойчивости тороидальных и то-росферических оболочек можно найти в работах Ю 7 iQ,

22, 24, 26, 36, SO, 6i, 62, ^8,80] в этих работах не получено результатов, качественно отличающихся от вышеизложенных.

Исследованию тороидальных панелей, подвергнутых действию равномерного внешнего давления, на устойчивость посвящены работы . В этих работах исследовались панели с параметром 6/а < 1 , т.е. панели близкие к цилиндрическим. Отмечено существенное влияние вида граничных условий, задаваемых на кромках панелей, на величину критической нагрузки. Однако результаты этих работ трудно сравнивать с работами по замкнутым тороидальным оболочкам, т.н. замкнутых тороидальных оболочек со значением параметра В/о < 1 не существует.

В работах Ю.А.Федосова Ьб ,4?] исследованы три типа тороидальных панелей, представляющих собой половины полного тора. Панели положительной и отрицательной гауссовой кривизны, полученные разрезом полного тора по полюсным окружностям, и панель двоякой гауссовой кривизны, полученная разрезом полного тора экваториальной плоскостью. Исследования проводились в постановке, использованной автором в предыдущих работах, т.е. были взяты основные соотношения технического варианта теории тонких оболочек, сохранено предположение о нерастяжимости меридиана. Сделанные в работе упрошающие решение предположения, как было установлено ранее, оказывают существенное влияние на величины критических нагрузок. На кромках панелей задавались условия шарнирного опирания. Другие виды граничных условий не рассматривались. Не было проведено исследование форм потери устойчивости тороидальных панелей.

Проведенный выше анализ основных работ по устойчивости круговых тороидальных оболочек и панелей, подвергнутых действию равномерного внешнего давления, показал, что в проблеме устойчивости этого класса оболочек имеется ряд нерешенных вопросов и вопросов, требующих уточнения.

Имеются противоречия в теоретических и в экспериментальных результатах по поводу форм потери устойчивости тороидальных оболочек, хотя по величинам критических нагрузок наблюдается достаточно хорошее согласование результатов. Большинство авторов считает, что тороидальная оболочка кругового поперечного сечения теряет устойчивость по одной из двух следующих форм: осесимметричной, относительно центральной оси, обратно симметричной относительно экваториальной плоскости, либо неосесиммет-ричной, с образованием двух волн в окружном направлении при сохранении симметрии относительно экваториальной плоскости. В работе Ю.А.Федосова получен еще один вариант формы потери устойчивости - осесимметричный, симметричный относительно экваториальной плоскости.

Различия в результатах являются, по-видимому, следствием использования различных вариантов теории тонких оболочек при решении вопросов устойчивости тороидальных оболочек. Так, JI.X. Собел проводил свои расчеты на основе неклассического варианта линейной теории тонких оболочек. П.Ф.Джордан исходил из линейной теории пологих оболочек. Ю.А.Федосов использовал в своих работах технический вариант теории тонких оболочек с введением дополнительных упрощающих предположений. Все вышеперечисленные авторы предполагали, что основное докритическое напряженное состояние тороидальной оболочки является безмоментным. Наконец, в работах А.Н.Фролова и Т.И.Ходцевой использовался квадратичный вариант общей нелинейной теории тонких оболочек с учетом моментности докритического напряженного состояния.

Недостаточно изучены вопросы устойчивости тороидальных панелей, в частности, не исследованы вопросы, связанные с формой потери устойчивости. Не изучена роль граничных условий, геометрических размеров, наличия подкрепляющих элементов на величины критических нагрузок и формы потери устойчивости панелей.

Исследования устойчивости замкнутых тороидальных оболочек кругового поперечного сечения на основе линейной теории тонких оболочек, начатые в работах Т.И.Кошелевой и Ю.А.Федосова, не показывают удовлетворительного соответствия расчетных критических нагрузок с экспериментальными.

Имеются единичные работы по изучению устойчивости тороидальных оболочек на основе нелинейной теории оболочек.

Основными целями настоящей работы являются:

1. Продолжить исследования устойчивости замкнутых тороидальных оболочек кругового поперечного сечения на основе линейной теории оболочек с целью получения более удовлетворительного согласования теоретических и экспериментальных результатов.

2. Провести исследование замкнутых тороидальных оболочек и тороидальных панелей на устойчивость с позиций различных вариантов геометрически нелинейной теории тонких оболочек.

Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе приводится постановка и решение задачи об устойчивости замкнутой тороидальной оболочки кругового поперечного сечения на основе линейной теории тонких упругих оболочек Кирхгофа-Лява Г231 .

Вторая глава содержит постановку и решение задач устойчивости тороидальных оболочек и панелей на основе квадратичного варианта нелинейной теории тонких оболочек. [SO-33]

В третьей главе; дана постановка и решение задач устойчивости тороидальных оболочек и панелей на основе квадратичного варианта нелинейной теории пологих оболочек.

Полученные результаты найдут применение в теории оболочек при решении ряда задач прочности и устойчивости обо-лочечных конструкций.

ЗАКЛОЧЕНИЕ

1. Решена задача устойчивости тороидальной оболочки кругового поперечного сечения, подвергнутой действию равномерного внешнего давления, на основе, линейной теории оболочек Кирхгофа-Лява. Полученные результаты лучше соответствуют экспериментальным значениям критических нагрузок, нежели известные, полученные в аналогичной постановке.

2. Решена задача устойчивости замкнутой тороидальной оболочки кругового поперечного сечения, подвергнутой действию рав^ номерного внешнего давления, на основе квадратичного варианта геометрически нелинейной теории непологих оболочек. Получено удовлетворительное согласование с результатами экспериментальных работ как по величинам критических нагрузок, так и поформам потери устойчивости. Предложена форма зависимости критической нагрузки от параметров, характеризующих геометрические размеры, в виде степенной функции.

3. Исследована устойчивость тороидальных панелей, подвергнутых действию равномерного внешнего давления. Определено влияние параметров, характеризующих форму и геометрические размеры тороидальных панелей, на величины критических нагрузок и формы потери устойчивости. Предложена форма зависимости критической нагрузки от геометрических параметров тороидальных панелей в виде степенной функции.

4. Установлено, что вид граничных условий оказывает существенное влияние на величины критических нагрузок и формы потери устойчивости для тороидальных панелей симметричного поперечного сечения относительно экваториальной плоскости тора.

Для панелей двоякой гауссовой кривизны это влияние незначительно.

5. Определено влияние жестких вставок на поведение тороидальных панелей. Получены зависимости критических нагрузок от величины и месторасположения жестких вставок. Установлено, что жесткие вставки не оказывают влияния на формы потери устойчивости,

6. Проведено исследование устойчивости тороидальных оболочек и панелей с позиций квадратичного варианта нелинейной теории пологих оболочек. Установлено, что величины критических нагрузок получающиеся в результате использования данного варианта теории оболочек можно трактовать как нижнюю границу реальных критических нагрузок.

1. Булыгин А.В. Устойчивость и осесимметричная деформация тороидальной оболочки под действием внешнего давления. Труды 1. всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Ленинград, 1973.

2. Булыгин А.В. Устойчивость тороидальной оболочки при действии внешнего давления. Труды Казанского авиационного института, 1973, № 160.

3. Булыгин А.В. К расчету наименьших собственных частот и форм колебаний тороидальных оболочек. Известия вузов. Авиационная техника, 1975, № 4.

4. Булыгин А.В., Алексеев А.А. Об устойчивости и закритических деформациях сегмента тороидальной оболочки под действием внешнего давления. Известия вузов. Авиационная техника, 1977, № 4, с. 24-29.

5. Булыгин А.В. Приложение квазиизгибания поверхности к расчету тороидальных оболочек. Механика твердого тела, I960, № 2,с. 160-167.

6. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теорииоболочек. Прикладная математика и механика, 1944, т. 8, № 2,с. 109-140.

7. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее применение в технике. М. Гостехтеоретиздат, 1949; Избранные труды. М. АН СССР, 1962, т. I, ч. III.

8. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М. Наука, 1967, 984 с.

9. Вольмир А.С., Хайрнасов К.З. Устойчивость тороидальных композитных оболочек. Механика композитных материалов, 1982, № 3, с. 454-459.

10. Гавеля С.П., Кононенко Н.И. Собственные колебания и волны на тороидальной оболочке. Прикладная механика. 1975, т II, № I.

11. Гайдайчук В.В., Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И. Ветвление решений нелинейных уравнений тороидальных оболочек при действии внешнего давления. Прикладная механика. 1978, т. 14, № 9, с. 38-45.

12. Гайдайчук В.В., Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И. Нелинейная устойчивость тороидальных оболочек переменной толщины при действии внешнего давления. Механика твердого тела. 1978,3, с. I07-113.

13. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Успехи математических наук. 1961, т. 16, № 3, с. I7I-I74.

14. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М. ГИТТЛ 1953, 544 с.

15. Григолюк Э.И., Мальцев В.П., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Об одном методе решения задач устойчивости и колебаний оболочек вращения. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1971, № I, с. 9-19.

16. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М. Машиностроение, 1973, 170 с.

17. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. Научные труды института механики МГУ. 1973, № 27, 216 с.

18. Григолюк З.И., Мамай В.И. О методах сведения краевой задачи к задаче Коши. Прикладные вопросы прочности и пластичности. 1979, с. 3-19.

19. Загубиженко П.А., Спиридонов И.Н. Устойчивость торообраз-ной оболочки при изгибе. Научные записки Днепропетровск©го государственного университета, 1959, т. 73, № 10, с. 1924.

20. Канторович JI.B. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла. Известия АН СССР, Отделение математических и естественных наук, 1933, № 5, с. 647652.

21. Канторович Л.В. 0 сходимости метода приведения к обыкновенн ным дифференциальным уравнениям. Доклады АН СССР, 1941, т. 30, № 7, с. 579-582.

22. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М. Машиностроение, 1975, 376 с.

23. Кошелева Т.И. Об устойчивости тороидальной оболочки. Прикладная механика, 1967, т. 3, № I, с. 55-61.

24. Кошелева Т.И., Мяченков В.И. Устойчивость тороидальных оболочек при локальных нагрузках. Прикладная механика, 1971, т. 7, № 4, с. 23-27.

25. Кошелева Т.И., Фролов А.Н. Устойчивость моментного состояния тороидальной оболочки. Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1973, № 3, с. 129-133.

26. Моношков А.Н., Пустин И.А. Прочность торовых оболочек и отводов при нагружении внутренним давлением. Проблемы прочности. 1980, № 5.

27. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к решению задач устойчивости упругого равновесия. Прикладная математика и механика, 1939, т. 2, № 4, с. 439-456.

28. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань. Таткнигоиздат, 1957.

29. Нетребко А.В. Об устойчивости тороидальных оболочек. Сб. Некоторые вопросы математики и механики. МГУ, 1983, с. 87-88.

30. Нетребко А.В. Устойчивость подкрепленных тороидальных панелей при внешнем радиальном давлении. Вестник МГУ, серия I, Математика и механика, 1983, № 2, с. 100-103.

31. Нетребко А.В. Устойчивость торообразных оболочек и панелей. Сб. Современные вопросы физики и приложения, 1984, с. 54.

32. Нетребко А.В. Некоторые задачи устойчивости подкрепленных панелей, подвергнутых действию внешнего давления. Отчет НИИ Механики МГУ, 1984, № 2914, 91 с. Инв. № ВНТИЦентра 02.84 0059625.

33. Нетребко А.В. Устойчивость тороидальных панелей при внешнем давлении. Сб. Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом. МГУ, 1984,

34. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М. Гостех-издат, 1948; Теория упругости. JI. Судпромгиз, 1958, 363 с.

35. Образцов И.Ф., Вольмир А.С. Тороидальные оболочки. Устойчивость и катастрофы. Доклады АН СССР, 1982, т. 262, № 5, с. 1086-1088.

36. Терегулов И.Г., Сибгатуллин Э.С. Определение несущей способности торообразной оболочки вращения на основе кинематическ кого метода. Известия вузов. Авиационная техника, 1979,4.

37. Тимошенко С.П. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрической оболочки. Вестник общества технологов, 1914, т. 21, с. 785-792; Известия Петроградского электротехнического института, 1914, т. 2, с. 267-287.

38. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М. Наука, 1971, с. 457-472.

39. Федосов Ю.А. Устойчивость замкнутой тороидальной оболочки кругового поперечного сечения. Сб. Гидроаэромеханика и теория упругости. Харьков, 1968, № 7, с. 94-100.

40. Федосов Ю.А. Экспериментальное исследование устойчивости тороидальных оболочек. Известия вузов. Авиационная техника. 1969, № 3, с. 154-157.

41. Федосов Ю.А. Об устойчивости тороидальной оболочки при внешнем давлении. Известия вузов. Авиационная техника. 1971, № 3, с. I08-III.

42. Федосов Ю.А. Об устойчивости тороидальной оболочки. Сб. Прочность и устойчивость авиационных конструкций. Машиностроение 1971, № 3.

43. Федосов Ю.А. К исследованию устойчивости тороидальной оболочки в малом. Известия вузов. Авиационная техника. 1974, № I, с. 77-81.

44. Федосов Ю.А. Об уточненном решении задачи устойчивости тороидальных оболочек. Сб. Расчеты на прочность. Машиностроение, 1976, № 17, с. 243-248.

45. Федосов Ю.А. Теоретическое и экспериментальное исследование устойчивости тороидальных оболочек при внешнем давлении. Известия вузов. Авиационная техника, 1977, № 4, с. 98-102.

46. Федосов Ю.А. Об устойчивости тороидальных оболочек и панелей при внешнем давлении. Тематический сборник научных трудов МАИ, 1979, № 491, с. 31-36.

47. Федосов Ю.А. Устойчивость тороидальных панелей при внешнем давлении. Известия вузов. Авиационная техника. 1979, № 4, с. 89-93.

48. Фролов А.Н., Ходцева Т.И. Исследование нелинейного поведения тороидальной оболочки при внешнем давлении. Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Тбилиси. 1975, т. I, с. 698-703.

49. Шаповалов J1.A. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек. Инженерный журнал Механика твердого тела, 1968, № I, с. 56-62.

50. Adachi J,, Benicek М. Buckling of torispherical sheila under internal pressure» Experimental mechanics, 1964, v. 4, n. 8, p. 217-222.

51. Almroth B.O., Sobel L.H., Hunter l.R. An experimental investigation of the buckling of toroidal shells. AIM Journal, 1969, v. 11, p. 2185-2186.

52. Bresse M. Cours de mechanique applique. P. 1, Paris, Mallet-Bachelier, Imprimeur-Libraire du Bureau des Longitudes, 1859.

53. Bryan G.H. On the stability of elastic system. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1889, v. 6, p. 199-210.

54. Bushnell D. Nonlinear axisymmetric behavior of shells of revolution. AIM Journal, 1967, v. 5» P« 432-439»

55. Bushnell D. Symmetric and nonsymmetric buckling of finitely deformed essentrically stiffened shells of revolution. AIM Journal, 1967, v. 5» P« 1455-1462.

56. Oonti S.D. Soc. Industr. and Appl. Math., 1966, v. 8, p. 309-321.

57. Donnell L.H. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending. Trans. ASMS, 1934, Ser. E, v. 56, p. 795-806.

58. Fairbairn W. On the resistanse of tubes to collapse.

59. Philos. Trans. Rou. Soc. London, 1858, v. 148, p. 389-414.

60. Fishlowitz E.G. Investigation of elastic stability of circular toroidal shells under uniform external pressure* NSRDC rept, 1972, n. 3338, Dept. of Navy, Naval Research and Development center, Washington. D.C.

61. Galletley G.D. Torisphericall «hell a caution to designers. Int. Encrg. Industry, Trans. Am. Soc. Mech. Engr. 1959, Series B, v. 81, p. 51-62.

62. George E.G. Plastic bifurcation buckling of toroidal shells. Technical note, 1979, p. 697-704.

63. Graihof F.W. Fairbairns Versuche uber dea Widerstand von Rohren gegen Zusammendruchung. YDI-Zeitshrift, 1859» B. 3, N. 8-9, S. 234-243.

64. Huthinson J.W. Initial post-buckling behavior of toroidal shell segments. Int. J. Solids Structures, 1967, v. 3. P. 97-115.65» Jordan P.F. Stresses and deformations of the thin walled pressurized torus. J. Aerosp. 1962, Sc. 29, p. 213-225.

65. Jordan P.P. Analytical and experimental investigation of pressurized toroidal shells. NASA CR-261, 1965.

66. Jordan P.F. Vibration and buckling of pressurized torus shells. AIAA Paper 66-445, 1966.

67. Jordan P.F. Buckling of toroidal shells under hydrostatic pressure. AIAA Journal, 1973, v. 11, n. 10, p. 1439-1441.

68. Koiter W.T. АРМ Rev. 5670 ( On the stability of torus shaped shells by 0. Machnig ) Applied Mechanics Reviews, 1964, v. 17, n. 10, p. 786.

69. Liepens A.A. Flexual vibrations of the prestressed t toroidal shell. NASA CR-296, 1965.

70. Machnig 0. tfber Stabilitatsprobleme von torusformigen Schalen. Wissenshaftliche Zeitschrift der Hochschule fur Verkehrswesen Dresden 4,1956, HEFT 2/3, p. 179-204.

71. Machnig 0. Uber die Stabilitat von torusformigen Schalen. Techn. Mitt. Krupp, Essen. 1963, B. 21, N. 4, S. 105-111.

72. Mallock A. Note on the instability of- tubes subjected to ehd pressure and on the folds in a flexible material, Proc. Roy. Soc., 1908, v. 81, n. A-549, p. 388-393.

73. Mescall J. Stability of thin torispherical shells under uniform internal pressure. NASA Technical Note D-1510, Collected papers on instability of shells structures. 1962.

74. Nordell W.J., Crawford J.E. Analysis of behavior of unstiffened toroidal shells. IASS Paper 4-4, Pasific Symposium on Hydromechanically Loaded Shells, 1971» Univ. of Hawaii, Honolulu, 1973, p. 91-96.

75. Shield R.T., Drucker D.C. Design of thin-walled torispherical and toriconical pressure-vessel heads. Int. Appl. Mech. Trans. Am. Soc. Mech. Engr. 83,1961, Series E, p. 292-297.

76. Sobel L.H, Stability of shells of revolution : General theory and application to the torus. Ph. D. Dissertation, Stanford university. 1965» also Flugge W., Sobel L.H. Lockheed Missiles and Space Co. TR-6-75-65-12, 1965.

77. Sobel L.H., Flugge W. Stability of toroidal shells under uniform external pressure. AIM Journal, 1967» v. 5»p. 425-431.

78. Southwell R. On the collapse of tubes by external pressure. P. 1, 2, 3. Philos. Mag. Ser. 6, 1913, v. 25, n. 159, p. 687-697, v. .26, n. 153, p. 502- 5Ю, 1915, v. 29, n. 169, p. 67-76.

79. Stein M., McElman J.A. Buckling of segments of toroidal shells. AIM Journal, 1965, v. 3, p. 1704- 1709.

80. Wilson E.L., Hsush T.M., Jones L.R. Nonlinear analysis of deep ocean structures. IASS Paper 5-7» Univ. of California, Berkley, Calif.