Устойчивость несовершенных цилиндрических оболочек при неравномерном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ (краткий обзор по теме и основное содержание работы).

Глава L ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ.

§ 1. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы при неравномерном статическом нагружении.

§2. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы при динамическом нагружении.

§3. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы при свободных колебаниях,.

§4, Численное исследование сходимости метода И,Г. Бубнова.

Глава П. НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКОЙ ЦИЛИНДРР1 ЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ

ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ НАГРУЖЕНИИ.

§ 1, Применение метода И.Г. Бубнова.

§2, Решение системы нелинейных алгебраических уравнений.

§3. Обоснование достоверности результатов.

§4. Механические эффекты.

Выводы по главе.

Глава III. ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ГИБКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ

ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ НАГРУЖЕНИИ.

§ 1. Динамическая потеря устойчивости оболочки при действии прямоугольного импульса бесконечной продолжительности.

§2. Свободные колебания.

§3. Динамическая потеря устойчивости оболочки при действии прямоугольного импульса конечной продолжительности.

Выводы по главе.

Глава IV. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

НЕСОВЕРШЕННОЙ ГИБКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЙ В ВАРИАЦИЯХ.

Выводы по главе.

краткий обзор по теме и основное содержание работы)

Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования гибких оболочек показывают, что причиной несогласованности результатов теории и практики является наличие у реальных объектов начальных несовершенств формы, вызванных дефектами изготовления, транспортировки, монтажа и эксплуатации [5, 10, 27, 37, 43, 87, 88]. Так как, тонкие замкнутые цилиндрические оболочки являются одними из наиболее часто встречаюш;ихся в конструкциях элементов, то исследование влияния начальной погиби на статические и динамические характеристики цилиндрических оболочек имеет большое практическое значение.

Учет влияния малых неправильностей геометрической формы является важным при исследовании статической и динамической устойчивости, изучении собственных частот и форм колебаний оболочек, определении областей динамической неустойчивости, изучении свободных и вынужденных колебаний и других практически важных задач.

Все эти явления изучаются на основе нелинейной теории оболочек. Это объясняется тем, что в условиях, описываемых ею, работает большое количество оболочечных конструкций, применительно к которым линейная теория оказывается неправомочной.

Нелинейность» может иметь «геометрическое» происхождение (порождена нелинейной зависимостью деформаций и перемещений) и «физическое» происхождение (когда деформации лежат за пределами применимости закона Гука, то есть, нелинейно зависят от усилий). В ряде случаев «нелинейность» может быть вызвана сложным характером рассеяния энергии при колебаниях. В некоторых расчетных схемах имеет место также нелинейная инерционность. Применительно к тонким оболочкам главной, а потому и наиболее часто учитываемой в математических моделях является геометрическая нелинейность. Она обусловлена гибкостью этих оболочек, то есть относительно малой сопротивляемостью изгибанию. В результате этого при деформации под действием нагрузок гибкие оболочки получают перемещения, сравнимые с толщиной.

Дифференциальные уравнения нелинейной теории были ползЛены в тридцатых годах XX века: к классическому результату можно отнести дифференциальные уравнения пологих упругих тонких оболочек произвольного вида в квадратичном приближении, полученные Карлом Маргером в 1938 году. Однако, в первоначальном варианте, рассматривались лишь оболочки цилиндрической формы. Широкое практическое применение нелинейной теории оболочек, основанной на классических гипотезах, стало возможным благодаря усилиям Л. Доннелла [40], Х.М. Муштари и К.З.Галимова [32, 33, 79] и В.З. Власова [23], предложившим и обосновавшим простейший вариант теории пологих оболочек, то есть оболочек, для которых возможна приближенная замена метрики срединной поверхности метрикой плоскости. Впоследствии К. Маргер обобщил эту теорию на случай оболочек произвольной кривизны. Полученные таким образом уравнения, которые в литературе именуются уравнениями Доннелла-Муштари-Власова или Маргера-Власова, известны как уравнения теории гибких пологих оболочек.

В основе теории гибких пологих оболочек лежит гипотеза прямых недеформируемых нормалей Кирхгофа-Лява. Согласно этой гипотезе прямолинейные элементы оболочки, нормальные до деформации к срединной ее поверхности остаются прямолинейными, нормальными к деформированной срединной поверхности и сохраняют свою длину. Дополнительное допущение состоит в том, что нормальные напряжения на площадках, параллельных площадкам срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими нормальными напряжениями.

В рамках гипотезы поведение элемента оболочки сводится по существу к исследованию поведения ее срединной поверхности, то есть, от трехмерной задачи теории упругости переходят к двумерной. В связи с этим, возникает вопрос о погрешностях такого подхода и пределах применимости теории.

Теоретически и экспериментально установлено, что для решения задач статики теория применима, когда (к 1В)ЛА < 0,05, где К - радиус кривизны срединной поверхности, Ь. - толщина. Вопросы пригодности и непригодности теории при решении задач динамики рассмотрены в [50].

Строгое обоснование возможности использования уравнений Доннела-Муштари-Власова при исследовании нелинейного деформирования и колебаний, а, также, вопросы существования и единственности их решений даны в работах И.И. Воровича и В.И. Седенко [29, 91].

Эти уравнения широко используются в настоящее время при исследовании статической и динамической устойчивости и характеристик нелинейных колебаний оболочек [25, 26, 71, 76, 83].

Другие варианты геометрически нелинейной теории оболочек, которые используются при решении различных задач, рассматриваются в обзорах и работах [8, 32, 33, 36, 39, 50, 51, 98].

Если в процессе проектирования оболочечной конструкции обнаруживается, что критическая нагрузка конструкции чувствительна к начальным прогибам, то перед проектировщиком встает задача оценить, насколько возможные начальные прогибы уменьшат критическую нагрузку.

Простейший путь, который рекомендуется, заключается в использовании концепции нижней границы [1, 3, 7, 10, 43, 44, 89]. Критическая нагрузка, в соответствии с этим подходом, рассчитывается по формуле: где Р- допустимое значение нагрузки, - классическая критическая нагрузка для идеальной конструкции, у- «коэффициент понижения» (определяется по графикам и таблицам). Эмпирический коэффициент понижения подбирается таким образом, чтобы после умножения на него классической критической нагрузки получалась «нижняя граница» всех известных экспериментальных данных (Рис. 1).

Главной целью исследователей, использующих этот подход, является разработка улучшенного критерия по определению нижней границы критических нагрузок.

Например, V.L Weingarten, E.J. Morgan, P. Seide [7] предлагают использовать в качестве коэффициента ;к = —= 1-0,902( 1-еЛЛЛЛ) для

Ас1 определения нижней границы экспериментальных данных по устойчивости реальных изотропных цилиндров при сжатии (для ^/f<1500, где R,t -геометрические размеры оболочки).

В работах J. Arbocz и других авторов [1, 3] предложен улучшенный критерий РА<-РА, где РА - достижимая нагрузка выпучивания, РА нагрузка выпучивания идеальной конструкции, - коэффициент надежности, основанный на уточненном минимальном коэффициенте, F.S. - коэффициент безопасности. Р

Рс1

Ifi

0,5 О

Рис. 1. Результаты испытаний изотропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии [1].

Другой подход к проблеме влияния начальных несовершенств на устойчивость состоит в применении теории вероятностей.

Пионерской работой в этой области является работа В.В. Болотина [18], отправной точкой которой служит допущение о существовании функциональной зависимости критической нагрузки от вектора, характеризующего начальные несовершенства. Зная плотность вероятности этого вектора, можно определить плотность вероятности критической нагрузки. Конечным результатом такого исследования является надежность -вероятность того, что конструкция не потеряет устойчивость, если нагрузка меньше некоторой заданной величины.

Например, для цилиндрических оболочек при осевом сжатии предложен следующий порядок получения нижних границ критических нагрузок [87]:

1) Собрать обширный экспериментальный материал по начальным прогибам, характерным для различных технологических процессов производства оболочек.

2) Представить результаты измерений начальных прогибов в виде разложений по формам потери устойчивости соответствующих идеальных конструкций. В последующем коэффициенты Фурье этих разложений считаются случайными переменными.

3) Вычислить требуемые вероятностные характеристики (вектор математического ожидания и матрицу вариаций) начальных прогибов, свойственных данному процессу производства. Это достигается определением «средних для ансамбля» экспериментально найденных коэффициентов Фурье для малой выборки оболочек.

4) Смоделировать случайные начальные прогибы, т.е. «создать» большое количество оболочек с различными профилями начальных прогибов.

5) Построить гистограмму критических нагрузок для большого количества оболочек. Это предполагает определение критической нагрузки для каждой «созданной» оболочки с начальными прогибами.

6) Определить расчетным путем функцию надежности, соответствующую данному процессу производства.

1 А(%)АРтЬ(ЛЩ

0,5 Аа %0

Рис. 2. График функции надежности.

Надежность понимается как вероятность того, что случайное значение критической нагрузки Л превысит заданную величину X. Таким образом, ад = РгоЬ(Л>Я), где Я- нормированный параметр нагружения.

В соответствии с этим определением функция К{Х) может быть определена по гистограмме критических нагрузок (Рис. 2).

Знание функции надежности позволяет определить допустимое значение критической нагрузки для всей совокупности оболочек, изготовленных данным способом, как значение критической нагрузки, при котором достигается требуемый уровень надежности (например К=0,95).

Для построения единой кривой надежности в зависимости от желаемой точности требуется произвести от 100 до 10000 расчетов критических нагрузок для оболочек с начальными прогибами. А для определения коэффициентов понижения требуется обычно построить несколько кривых надежности.

Таким образом, оценка напряженно-деформированного состояния по этому методу требует больших временных затрат.

Большой обзор работ зарубежных авторов в этом направление дан в [87]. Среди работ отечественных авторов отметим работу В.И. Бастина, И.Ф. Ларионова, A.M. Тонконоженко [15], в которой рассматривается возможность вероятностной оценки несущей способности конструкций оболочечного типа под внутренним давлением, определяются возможные значения разрушающей нагрузки в пределах партии изделий с учетом наличия микродефектов.

В статье В.А. Ильина, Н.П. Овчарова, A.A. Сукалло [45] с помощью теории статистической регрессии исследуется зависимость критической нагрузки тонкостенных цилиндрических оболочек при осевом сжатии от параметров начальных несовершенств и приведены результаты прогнозирования критической нагрузки для серии испытанных оболочек.

В кандидатской диссертации А.Д. Горшкова [34], выполненной под руководством A.n. Филина, предложена вероятностная модель, описывающая несовершенства геометрической формы и материала элементов конструкций, базирующаяся на основе линейных уравнений. Разработан алгоритм реализации этой модели на основе метода конечных элементов, разработаны модели конечных элементов для расчета оболочек вращения с осесимметричными несовершенствами. В качестве тестовых примеров рассмотрены: круговая цилиндрическая оболочка с одним свободным и другим заделанным торцами под действием радиальной нагрузки на свободном конце; свободно опертая на обоих торцах круговая цилиндрическая оболочка под действием радиального давления. Исходными величинами являются вероятностные характеристики рассматриваемых несовершенств, например, математическое ожидание, дисперсия, функция плотности вероятности. По ним определяются вероятностные характеристики усилий и напряжений в конструкциях. Программный комплекс был разработан и успешно внедрен на промышленном предприятии для расчета НДС сильфонных компенсаторов.

Главным препятствием для успешного распространения вероятностного подхода является отсутствие обширного банка данных о начальных прогибах, характерных для различных способов производства, а также большое компьютерное время необходимое для полного анализа нелинейного докритического состояния и несупдей способности конструкции.

Поэтому большинство исследований устойчивости конструкций с несовершенствами формы ограничивается выявлением наиболее опасных для конструкции несовершенств, наиболее сильно сказывающихся на статической и динамической устойчивости. Для этих несовершенств определяются величины изменения статической и динамической критических нагрузок, собственных частот колебаний конструкции, областей динамической неустойчивости.

Этот подход к проблеме, как и вероятностный, нуждается в точных и эффективных аналитических и численных методах решения нелинейных задач статики и динамики. На сегодняшний день, математические методы, позволяющие исследовать нелинейные дифференциальные уравнения и получать аналитически точные решения, еще недостаточно разработаны. Поэтому ограничиваются получением приближенных аналитических решений или приближенных численных решений.

В обоих случаях, от нелинейных систем уравнений с распределенными параметрами переходят к системам с сосредоточенными параметрами. То есть, реальный оболочечный объект заменяют идеализированной дискретной физической моделью, такой, которая достаточно правильно отображала бы статические или динамические свойства исходного объекта и, в то же время, была бы в математическом отношении значительно проще его. Чаще других для сведения нелинейных распределенных систем к сосредоточенным моделям применяется методы Ритца, Бубнова - Галеркина, метод коллокаций, метод разложения решения по собственным формам порождающей линейной системы и некоторые другие.

Далее, к системам с сосредоточенными параметрами применяются различные асимптотические методы для получения приближенных аналитических решений или численные методы решения нелинейных систем, иногда используют комбинации первых и вторых методов.

При учете в уравнениях начальных несовершенств формы также используются разные способы, первый - рассмотрение начальных несовершенств в составе полного прогиба, второй - учет начальной погиби через измененную кривизну.

Этапы становления и развития нелинейной теории оболочек, обзоры по методам решения статических и динамических задач, различные подходы к учету начальных несовершенств формы представлены в книгах и статьях

A. C. Вольмира [24-27], И.И.Воровича [29, 30], Э.И. Григолюка и

B. В. Кабанова [37], Я.М. Григоренко [38] , Х.М. Муштари и К.З. Галимова [79], Л.С. Срубш;ика [93], А.П. Филина [101]. Обзор зарубежных работ представлен в статьях, входящих в сборник [87], а также в [4, 20]. В последние годы появилось много обзоров, посвященных современному состоянию проблемы нелинейного деформирования цилиндрических оболочек, например обзоры Г.Д. Гавриленко и Дж. Г. А. Кролла [31, 64], Я.М. Григоренко и В.И. Гуляева [39], В.Д. Кубенко и П.С. Ковальчука [69], В.В. Пикуля [84], A.B. Погорелова и В.И. Бабенко [86], В.К. Иноземцева и Н.Ф. Синевой [46].

Рассмотрим некоторые работы, посвященные статической и динамической устойчивости несовершенных цилиндрических оболочек.

В задачах статической устойчивости можно выделить два основных направления. Первое - это определение критических нагрузок и оценка несущей способности конструкций при задании некоторых определенных начальных несовершенств. Второе - это разработка методов расчета, позволяющих достаточно точно прогнозировать критические нагрузки, имея минимальную информацию о начальных прогибах.

Большинство имеющихся публикаций относятся к первому направлению. в работе С.Н. Кукуджанова [74] исследуется вопрос об устойчивости оболочек вращения, близких по форме к цилиндрическим, находящихся под совместным действием нормального давления, распределенного по боковой поверхности оболочки, и крутящих моментов, приложенных по торцам. Начальный прогиб учитывается через измененную кривизну, радиус 7? поперечного сечения оболочки определяется равенством

К = г + 3(л[1-л {г II) ], где г - радиус торцевого сечения, 5Л - максимальное отклонение; / - половина длины оболочки, Л - безразмерная продольная координата. Уравнение устойчивости получено на основе [26]. Решение ищется в виде: мл = со5Ялл[Алл8тп(л-/л) +ВА„со8п{<р~/А)]. Получены зависимости критических значений нормального и сдвигающего усилий от амплитуды начального несовершенства • Показано, что при фиксированном внешнем давлении для выпуклых оболочек по мере увеличения критическая сдвигающая нагрузка монотонно увеличивается, а для вогнутых оболочек по мере увеличения она уменьшается неравномерно,

В книге Л.Е. Андреева, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедева [12] изложен метод расчета нелинейных тонкостенных оболочек при неосесимметричной деформации. Используется вариационный подход к задаче устойчивости, в рассмотрение вводится полный функционал от функций усилий, моментов, деформаций, изменений кривизн и перемещений. Разрешающие дифференциальные уравнения ползЛены с помощью процедуры Л.В. Канторовича, которая является аналогом метода Ритца. Алгоритм решения нелинейной краевой задачи базируется на сочетании метода Ньютона, метода продолжения по параметру нагружения и теории ветвления обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений. Излагаются результаты исследований поведения и устойчивости широкого круга цилиндрических оболочечных конструкций. В частности, рассмотрены и несовершенные оболочки при равномерном внешнем давлении с регулярной начальной погибью Wo =WoA, sin—cos и 77, и локальной начальной погибью

WQ=WQAs.m—e ' cos и 77, где параметры г, к отвечают локальному закритическому решению. Построены зависимости прогиб - нагрузка для разных амплитуд регулярной начальной погиби, установлено, что при WQ > 4h полное нелинейное решение особых точек не имеет. Показано, что влияние локальной начальной погиби оказывается значительно более слабым, чем регулярной. Результаты расчета влияния начальной погиби на критические нагрузки по данной методике сравнивались с результатами, полученными по геометрическому методу A.B. Погорелова [85]. Отмечено, что они не согласуются, ни при малых, ни при больших значениях амплитуды начальной погиби.

В кандидатской диссертации В.И. Этокова [103] представлен метод исследования устойчивости несовершенных цилиндрических оболочек, основанный на геометрическом подходе. Рассмотрены гладкие и ребристые оболочки при осевом сжатии. Решение задачи проводится в 3 этапа: 1) расчет докритического НДС на основе технической теории цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами; 2) определение послекритического деформированного состояния с помощью геометрического метода A.B. Погорелова, позволяющего представить картину ромбовидной формы выпучивания; 3) определение нагрузки выпучивания. Начальный прогиб WQ рассматривался в виде двойного тригонометрического ряда, в котором коэффициенты определялись по формулам Эйлера. Если начальный прогиб задавался в виде таблицы, сформированной в результате замеров начальных прогибов реальной оболочки, то коэффициенты тригонометрического ряда определялись по формулам Бесселя. Приведено оптимальное число точек замера начальных прогибов в продольном и окружном направлениях, которые определяются областью критических гармоник: л

VllA/l--VA)VZ. 1 1/ л л л— М

Прогиб в деформированном состоянии оболочки определялся в виде: Л тлх . пу А тлх . опу А . n-sm — + sinА а пглх w = /iSinsin—+ bsin

В работах СМ. Бауэр [16], И.Ю. Тетерина [99], выполненных под руководством П.Е. Товстика, на основе общей нелинейной теории устойчивости Койтера [53] получены асимптотические формулы для верхней критической нагрузки несовершенной цилиндрической оболочки, находящейся под действием осевого сжатия и малого бокового давления. В [16] рассмотрены начальные несовершенства l)A(s,(p) = ^Q(s)-\-A^(^s)cosm(p,

2)<A(s,g)) = AQC0ss + лicoss/2cosm<p, также, исследовалось влияние высших гармоник в начальном прогибе <A(s,p) = (лQC0s2as+ l/2iHsmass'mfi<p +. + l/2(A,AAsmanssmfik(p. Для первых двух случаев решение нелинейных уравнений пологих оболочек получено, также, методом Фурье, критическая нагрузка определялась по энергетическому критерию устойчивости. Полные прогибы искались в виде, аналогичном представлению начального прогиба. В [99] получена асимптотическая формула для точки бифуркации осесимметричного равновесия тонкой упругой цилиндрической оболочки с учетом моментности докритического состояния, обусловленного краевой заделкой и локальной осесимметричной неправильностью формы, примыкающей к краю оболочки WQ = hc~ATjiA(s,g?), = 12(1 - vA), |/7|«1.

Интересные результаты были получены в работе А.С Пальчевского, В.Г. Кириченко [82], посвященной прогнозированию значения критической осевой силы для несовершенной цилиндрической оболочки. Задача решается на основе экспериментального подхода, основанного на анализе прогибов оболочки при п ступенях нагружения осевой силой (г = 0,1,.,и) с небольшим шагом

АЛ". При нагрузке NA'A измеряются полные прогибы wA'\ а при увеличении нагрузки на АЛА - дополнительные прогибы -и;}'А. При / = О, полные прогибы совпадают с начальными. Состояние оболочки после приложения нагрузки М'А'А + АМ описывается нелинейными уравнениями равновесия и совместности деформаций, полученными из уравнений [26]. Полный прогиб представлялся в f ть пь. nii rii, „,,А

J -:—плх-пу--. тт виде частичной суммы: w = /г Ъ¥шп Sm — -COS-А + Ylfmn Sin —лх ш§ ——

KjAxnA if) r 1-0 r j где m,A=3, =12. Для всех ступеней нагружения оболочек были определены величины = тах(СА„ ). Анализ результатов показал, что с приближением и нагрузки к критической в форме дополнительного прогиба присутствовали в основном гармоники с числом п, близким к тому числу вмятин, которое имело место при выпучивании оболочки.

В статье Д.В. Бабич, Л.А. Дериглазовой [13] исследовалось влияние начальных отклонений от идеальной формы цилиндрической оболочки радиуса R, длины L, толщины h на критические значения нагрузки при несимметричной форме потери устойчивости, путем учета их через геометрические параметры срединной поверхности (кривизны, параметры Ламе). Исследование ведется на основе линейной теории. Решение проводится с помощью вариационного принципа Э. Треффтца в сочетании с методом дискретной аппроксимации функционала вариационного уравнения. Рассматривались цилиндрические оболочки с произвольной конфигурацией образующей, численные расчеты проводились для оболочки с радиусом

- п ,. 7, • п л л О «г1 j г л: m а h параллели г = л + а/г sm лАхА. Здесь Я =-, I = L +--длина

4L оболочки, найденная с учетом отклонения от цилиндрической формы, m -волновое число, а - параметр варьирования амплитуды. Проведено исследование влияния начальной погиби с т = 1;2;3 различной амплитуды на критические нагрузки при осевом сжатии и радиальном давлении.

В работе [35] Е.А. Гоцуляк и C.B. Заболоцкий предлагают алгоритм для исследования влияния начальных несовершенств формы на критическую нагрузку. На первом этапе проводится конечноразностная дискретизация геометрически нелинейных соотношений общей теории тонких оболочек. Далее осуществляется численное редуцирование конечноразностного оператора с использованием автоматически построенных базисных векторов - решения линейной задачи статики и низших форм потери устойчивости. Начальные прогибы оболочки учитываются как возмущения решения и могут быть заданы в виде комбинации векторов базиса. Решения, полученные данным методом, сравнивается с результатами полученными методом конечных разностей и по методу Койтера [53]. Рассматривались бесконечная цилиндрическая панель, конечная цилиндрическая панель и коническая панель под действием равномерно распределенного внешнего давления. Начальный прогиб учитывался через измененный радиус кривизны R = RQ + aQ /hsinAAsinAA,

2b а где h - толщина панели, a,b - размеры в плане, хА,Х2 - координаты. По результатам сделан вывод о том, что для исследования бесконечной цилиндрической панели теория Койтера вполне пригодна, при цилиндрической панели конечной длины теория Койтера дает неудовлетворительную оценку чувствительности к несовершенствам. Исследовано влияние амплитуды несовершенства на критическую нагрузку. Для цилиндрической панели конечной длины при аА1к< 0,1 происходит понижение критической нагрузки, а при OTQ > 0,1 - повышение.

Н.П. Семенюк, Н.Б. Жукова в [92] сравнивают результаты расчетов несовершенной цилиндрической оболочки при осевом сжатии, полученные по методу Койтера и по приближенной асимптотической методике [2]. Особенностью методики [2] является то, что она позволяет находить не только предельные нагрузки несовершенной оболочки, но и нагрузки бифуркации при наличии только некоторых из несовершенств, соответствующих формам, взаимодействие которых учитывается. Рассматривалась устойчивость изотропных и слоистых композитных оболочек, исследование проводилось на основе варианта нелинейной теории типа Тимошенко. Выявлены некоторые детали взаимодействия осесимметричных и неосесимметричных начальных несовершенств. Показано, что осесимметричные начальные несовершенства оказывают основное влияние на критические нагрузки.

При исследовании упругой устойчивости оболочек широко применяется энергетический критерий устойчивости. К фундаментальным трудам в этой области можно отнести книги H.A. Алфутова [9] и Э.И. Григолюка, В.В. Кабанова [37].

Энергетический подход применительно к исследованию нелинейного деформирования и устойчивости круговых цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами формы рассмотрен в статье Л.П. Железнова и В.В. Кабанова [42]. Разработан алгоритм решения без ограничений на нагрузку и форму начальных и бифуркационных прогибов. Использован метод конечных элементов в перемещениях. Интересен рассмотренный в статье пример. Исследована устойчивость шарнирно опертой по торцам несовершенной круговой цилиндрической оболочки при неосесимметричном внешнем давлении, изменяющемся по закону А = (1 + AAs q)), оболочка имеет начальное несовершенство wq = (w с о s а 5 с / l ) cos/>a, где L - длина оболочки.

Представлена зависимость безразмерного параметра k А А q l от w* = wIh, где q - критическая амплитуда неоднородного давления, qg - верхнее критическое однородное давление. Построена зависимость от w* при нелинейном исходном напряженно-деформированном состоянии и при линейном исходном состоянии. С увеличением w* значение кА падает как для линейного, так и для нелинейного исходного напряженно-деформированного состояния. Но при нелинейном исходном состоянии значение кА значительно меньше, чем при линейном исходном состоянии и с ростом w* расхождение усиливается. Также показана зависимость кА от р, характеризующего изменяемость начального прогиба в окружном направлении. Качественно зависимости кА{р) при нелинейном и линейном исходном напряженнодеформированном состоянии совпадают. Но разница между значениями при нелинейном и линейном исходном состоянии значительная. Особенно сильное расхождение наблюдается при р = р* (р* - параметр волнообразования при однородном внешнем давлении), здесь кЛ, полученное при линейном исходном состоянии в два раза больше, чем аналогичное значение при нелинейном исходном напряженно-деформированном состоянии.

Во всех рассмотренных работах предполагается наличие полной картины начальной погиби, что весьма затруднительно для практики. При решении практических задач представляют интерес методы расчета, позволяющие достаточно точно и просто рассчитывать критические нагрузки на основе минимальной информации о начальной погиби.

Один из таких возможных методов оценки влияния начальных прогибов на устойчивость оболочек предлагается в работе А.Ю. Евкина и В.Л. Красовского [41]. Рассматривается замкнутая цилиндрическая оболочка, нагруженная равномерным внешним давлением. Сначала в работе экспериментально оценивалась применимость формул, полученных по методике Койтера [53] для начальной погиби, совпадающей с классической конфигурацией выпучивания. Получено хорошее согласование теоретических и экспериментальных результатов при малой амплитуде начальной погиби, при большой амплитуде формулы дают заниженную оценку критической нагрузки /Ц. Это естественно, поскольку подход Койтера основан на предположении малости величины 1-/1*, что соответствует малости амплитуды начальной погиби. Затем в работе строится решение задачи о закритическом положении равновесия оболочки при больших прогибах. Исходят из нелинейных уравнений гибких пологих оболочек в смешанной форме [26]. Использовался асимптотический метод решения в первых двух приближениях, что приводит к геометрической теории А.В. Погорелова [85]. Поэтому выражение для полной потенциальной энергии оболочки строилось в соответствии с методикой [85]. Варьируя это выражение, получили асимптотическую формулу для больших прогибов, далее производилось сраш,ивание асимптотических разложений для малых и больших прогибов с использованием аппроксимации Паде. В результате была получена зависимость параметра нагрузки от амплитуды прогиба закритической формы равновесия оболочки, которая использовалась для определения решения с учетом начальной погиби. Получена асимптотическая оценка для слзд1ая, когда начальная погибь близка к классической конфигурации выпучивания. Авторы считают, что наиболее характерным для реальных оболочек несовершенством является форма, инициируюпцая процесс выпучивания. Поэтому, предлагают свою методику «для прогнозирования критической нагрузки конкретных оболочек, для которых известны амплитуда наиболее суш;ественной погиби, а также начальные участки ее развития при нагружении оболочки малым давлением, не опасным с точки зрения ее выпучивания».

Анализ работ по статической устойчивости несовершенных цилиндрических оболочек показывает, что получены оценки влияния на критические нагрузки лишь простейших видов начальных несовершенств формы. Учет начальных несовершенств формы проводится, как правило, для случаев нагружения оболочки осевой нагрузкой или равномерным внешним давлением, влиянию начальной погиби при других видах нагружения уделено мало внимания. Возможности вычислительной техники долгое время позволяли решать нелинейные задачи лишь в малых приближениях. Для удовлетворительного согласования с экспериментальными результатами этого достаточно лишь в некоторых частных случаях нагружения оболочек. При современном уровне компьютерной техники представляется возможным решать задачи нелинейного деформирования в высших приближениях. Очевидно, что для практики представляют наибольший интерес работы. занимающиеся прогнозированием критических нагрузок при минимуме сведений о начальной погиби. Таких исследований еще очень мало.

При рассмотрении работ по динамической устойчивости несовершенных цилиндрических оболочек ограничимся направлениями, занимающимися изучением собственных и вынужденных колебаний.

Существенные результаты в области динамической устойчивости принадлежат A.C. Вольмиру [25, 28] и его последователям. В работах этого направления начальный прогиб wq = wo ( x,j ) трактуется как слагаемое, входящее в состав полного прогиба w (w = WQ + ; Wj - дополнительный или динамический прогиб). Функции и WQ представляются в виде, отражающем характер волнообразования оболочек при потере устойчивости [26], в настоящее время чаще всего используется двухмодовая аппроксимация прогиба.

В статье И.Г. Кильдибекова [49] рассматриваются собственные нелинейные колебания круговой цилиндрической оболочки, шарнирно закрепленной по торцам, находящейся под действием статических усилий осевого сжатия и распределенного по поверхности оболочки внешнего давления. Дополнительный прогиб аппроксимируется выражением, отражающим форму волнообразования срединной поверхности оболочки с образование ромбовидных вмятин в случае статического осевого сжатия [26]:

Щ= fi{t)smrxsinsy + f2{t)sm rx. Для формы начальных несовершенств принимается WQ = jAQsmrxsmsy + ДоЛш rx. Здесь г =-, s = — ,m - число полуволн по длине оболочки, п - число полных волн в окружном направлении. При решении используется метод Бубнова-Галеркина. Приведены амплитудно-частотные зависимости для различных параметров волнообразования. Показано, что эти зависимости могут иметь мягкий тип или более сложный тип, с начальным участком мягкого типа с последующим переходом к ветви жесткого типа. Показано, что начальная погибь рассмотренного типа влияет на амплитуду и частоту собственных колебаний и заметно увеличивает ассимметрию зависимости прогиба от времени в сторону отрицательных значений прогиба (от центра кривизны).

В работах В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчука, Т.С. Краснопольской, Н.П. Подчасова [52, 70, 71] изложены результаты теоретического анализа двухмодового деформирования цилиндрических оболочек, большое внимание уделяется начальным несовершенствам формы. При теоретических расчетах для представления собственных или вынужденных колебаний используются две аппроксимации прогиба: w = fA{t) cos sysmrx + f2It)smsysmrx + /з(?)8тАгх; w = fi(t) cos sy sin rx + f2(t) sin sy sin rx + —fAA(t) + f2(t))sinArx.

Первые два слагаемых представляют собой сопряженные формы собственных изгибных колебаний идеальной оболочки, соответствующие одним и тем же параметрам волнообразования s,r и одной и той же частоте. Третье слагаемое выражает специфику деформирования оболочки при больших прогибах «преимущественно во внутрь». В работах рассмотрены следующие начальные несовершенства формы: WQ= /osin — Х, WQ= fsinру + f2Q cospy,

WQ =(/iQsm>yy + f2QCossy)sinrx, WQ= feossysinrx + sin5);sinrx + /jQsinArx. Суммируя полученные результаты и обобщая результаты других исследований, авторы делают следующие выводы. При собственных колебаниях оболочки собственные частоты, соответствующие сопряженным собственным формам, с ростом амплитуд колебаний могут при одних условиях уменьшаться, при других - увеличиваться. То есть скелетные линии оболочки могут быть и мягкого, и жесткого типа, иногда наблюдается и более сложная картина изменения собственных частот. При наличии неосесимметричного начального прогиба (/ю a О или /20 a О, или/iq О и /20 a о ) происходит «расщепление» частот. Если /ю -> О и /20 a о, то частоты становятся равными частоте колебаний идеальной оболочки. Изменение параметра осесимметричного начального прогиба /зЛ не приводит к расстройке частот, частоты сопряженных изгибных форм изменяются на одну и ту же величину. В работах этих авторов рассматривается широкий круг вопросов. В области вынужденных колебаний, в частности, изучается поведение круговых цилиндрических оболочек при действии осевых периодических нагрузок. Делается попытка теоретически обосновать эффект «расширения» зон динамической неустойчивости влиянием начальных отклонений реальной оболочки от идеальной цилиндрической формы.

В работе И.Я. Амиро, Н.Я. Прокопенко [11] также используется двухмодовая аппроксимация прогиба при изучении свободных колебаний оболочки и колебаний под действием неравномерной гармонической нагрузки, приложенной к поверхности. Рассматривается идеальная цилиндрическая оболочка шарнирно опертая по торцам. Сравниваются скелетные кривые оболочки, полученные при одномодовом и двухмодовом представлении прогиба. В результате анализа свободных гармонических колебаний по двум собственным формам делается вывод о том, что колебания по двум собственным формам с обш(ей частотой могут иметь место лишь в некотором диапазоне частот. Вне этого диапазона гармонические свободные колебания реализуются только по одной из форм.

В работе СИ. Кукуджанова [73] исследуется влияние нормального давления (как внешнего, так и внутреннего) на форму волнообразования и величину наинизших собственных частот оболочек вращения, близких к цилиндрическим. Вопросы эти рассмотрены для оболочек средней длины, граничные условия соответствуют случаю свободного опирания. Образующая срединной поверхности оболочки определяется параболической функцией

Л(Л) = 1 + лл(г//)л. Радиус поперечного сечения срединной поверхности

К = г + ЗоЕ{<л), л = 21 г, д = дог11л, 2 - продольная координата, /- длина оболочки. Прогиб представляется в виде: = АсоъХлллт(рЛтсо1, = тлг11. т - параметр волнообразования. Наименьшей частоте соответствует т = 1. Показано, что при наличии отклонения оболочки от цилиндрической формы (порядок толщины) могут существенно изменяться низшие частоты и формы волнообразования соответствующей цилиндрической оболочки. Показано, что если безразмерный параметр, характеризующий максимальное отклонение от цилиндрической формы, ^5">О, то наименьшая частота возрастает, а при 3<0 - убывает в сравнении с наименьшей частотой идеальной цилиндрической оболочки. Причем, влияние малых отклонений на минимальные частоты усиливается по мере возрастания внешнего давления и ослабевает по мере возрастания внутреннего давления.

Докторская диссертация Г.С. Лейзеровича [76] посвящена изучению влияния начальных неправильностей формы на колебания круговых цилиндрических оболочек. Автор предлагает физический подход к построению динамической конечномерной модели тонкой круговой цилиндрической оболочки. Эта модель, в отличие от традиционной, позволяет удовлетворить всем граничным условиям задачи (в том числе, и тангенциальным). При традиционном подходе динамический прогиб аппроксимируется выражением

71]: где третье слагаемое выражает специфику деформирования оболочки при больших прогибах и характеризует преимущественное развитие прогиба по направлению к оси оболочки. Координата /з(/) представляет собой либо независимую координату, либо координату, определяемую из условия нерастяжимости контура оболочки и связанную, таким образом, с координатами f~(t) и /2(0- Это приводит в теоретическом анализе к мягкой скелетной кривой, качественно согласующуюся с опытными данными. Но такое представление /з(0 не удовлетворяет граничному условию шарнирного опирания оболочки по изгибающему моменту. Из-за этого, тангенциальные краевые условия задачи удовлетворяются не точно, а «в среднем». Поэтому, такая аппроксимация прогиба может быть использована для относительно длинных оболочек. Автором предлагается принципиально иной подход к построению нелинейной конечномерной модели идеальной оболочки. Считается, что возбуждение изгибных колебаний идеальной оболочки с большими амплитудами неизбежно приводит к возникновению радиальных колебаний, и наоборот. При физическом подходе третье слагаемое представляется осесимметричной функцией и определяется формами малых радиальных колебаний идеальной оболочки. Автор аппроксимирует прогиб оболочки с м'а(х,у) выражением м'(х,уА) = hAaA(t)sm А + а2(0со8 ру + а-А{$)\А\пах л- а:А(4)АшЪах}. При таком подходе не возникает проблем с удовлетворением краевых условий задачи. Показано, что связанные изгибно-радиальные колебания происходят около положения равновесия, смещенного по направлению к ее оси. Получающиеся скелетные кривые относятся к мягкому типу. Эти факты подтверждают адекватность физического подхода. Показано, что скелетная кривая, отвечающая традиционному решению, проходит выше скелетной кривой нового решения, то есть традиционный геометрический подход к проблеме приводит к завышению изгибной жесткости оболочки. На основе нового подхода в диссертации решен ряд задач о вынужденных и свободных колебаниях несовершенной цилиндрической оболочки.

Данный подход в краткой форме изложен, также, в статье [97] при исследовании собственных изгибных колебаний несовершенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки.

Рассмотренные работы показывают, что при усложнении модели, описывающей оболочку, выявляются все новые особенности поведения оболочки, как при свободных, так и при вынужденных колебаниях. Эти особенности вынуждают исследователей более полно описывать перемещения оболочки, сохраняя в аппроксимации прогиба все большее число членов. Следовательно, для описания нелинейного деформирования оболочки неизбежно приходим к необходимости представления ее системой с большим числом степеней свободы.

Многомерному анализу динамики цилиндрических оболочек посвящены работы [14, 19, 21, 28, 36, 54, 66, 67, 75, 81, 90, 94, 102, 104]. Чаще всего исследования проводятся на основе методов И.Г. Бубнова, конечных разностей и конечных элементов. Приведем те работы, в которых учитывается влияние начальных несовершенств формы оболочки.

В диссертации A.B. Очнева [81] представлен алгоритм для исследования динамической устойчивости упругой цилиндрической оболочки, имеющей несовершенства срединной поверхности. Оболочка шарнирно оперта по торцам и находится под действием осесимметричной системы динамических нагрузок: продольного краевого усилия и давления. В качестве начальных возмущений рассматривались прогибы оболочки и радиальные скорости точек срединной поверхности. В качестве постоянно действующих возмущающих факторов приняты несовершенства срединной поверхности оболочки. Возмущающие факторы и возмущения представлялись в виде разложений по формам собственных движений оболочки. Применяя процедуру Бубнова-Галеркина и проводя некоторые упрощения, уравнения возмущенного движения оболочки сводили к линеаризованной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложения прогиба по собственным формам колебаний оболочки. Исследование устойчивости и оценки решений полученной системы ОДУ проведены с помощью функций Ляпунова. Проводилась оценка наиболее быстро растущей формы собственных движений оболочки, считалось, что возмущающий фактор находится «в резонансе» с этой формой. Также, было построено решение системы ОДУ в виде сходящегося ряда по степеням коэффициентов разложения несовершенств формы срединной поверхности оболочки. На численных примерах проанализировано влияние параметров нагружения, начальных возмущений и несовершенств формы на величину оценок возмущений. При численных расчетах сохранялось 10 слагаемых в разложении прогиба.

В работе А.Ю. Василевского [21] на основе нелинейных уравнений движения гибких пологих оболочек в смешанной форме с учетом начальных несовершенств исследуется выпучивание цилиндрических оболочек под действием осевого сжатия. Исследования проводятся для различных граничных условий: шарнирного опирания, свободных торцов, скользяп];ей заделки торцов. Преложен алгоритм численного решения, использующий процедуру Хаболта, разложение Фурье, вариационный принцип Власова-Канторовича, методику с применением матриц дифференцирования A.B. Александрова. Создан программный комплекс, возможности которого проиллюстрированы на следующих случаях начальных несовершенств формы: 1)WQ(X,J) = WoSinmQЛxcosЛQj, где тА=1, HQ=3, WQ=0,5; m + l

-н'о=10-Л т 2 то есть, м?ААА распределены по нормальному закону, с преобладанием окружной гармоники с п = Ъ. При численных расчетах сохранялось 26 степеней свободы оболочки.

В основном, в работах посвященных многомерному анализу динамической устойчивости несовершенных оболочек, акцент делается на методике расчета, а различные виды несовершенств рассматриваются в качестве примеров демонстрации работы алгоритмов. Исследований, базирующихся на многомерных математических моделях и посвященных более глубокому анализу влияния начальных несовершенств на динамическую устойчивость оболочек, крайне мало.

В следующей работе, помимо методики расчета, приводятся и обобщаются результаты, полученные в ходе численного эксперимента, и делаются важные выводы о влиянии начальных несовершенств.

Е.А. Гоцуляк и Д.Э. Прусов [36] рассматривают динамическую устойчивость пологой арки и тороидальной панели с геометрическими несовершенствами, на примере которых демонстрируется качественное изменение временной структуры движения в момент потери устойчивости при динамическом нагружении и переходе от докритического к закритическому состоянию. Авторами выявлен важный эффект, который может служить критерием динамической потери устойчивости. Он состоит в том, что при нагрузках, не достигающих критического значения, происходит устойчивое колебание оболочки относительно равновесного состояния. Колебания при этом имеют хаотический характер. При достижении нагрузкой критического значения наступает явление потери устойчивости, в связи с которым хаотические колебания оболочки преобразовываются в гармонические (с большими - до 10 толщин - прогибами). Таким образом, в результате потери устойчивости происходит самоорганизация формы движения.

Помимо этого, в работе приводятся методика расчета, а также, выявлены некоторые эффекты динамического нагружения и влияния начальных несовершенств формы. Так для пологой арки построены графики зависимости прогиба от нагрузки для различных значений продолжительности действия импульса равномерного внешнего давления. Сделан вывод о том, что уменьшение продолжительности импульса отодвигает критическую нагрузку в сторону ее увеличения и сглаживает скачок прогиба. Несовершенство, заданное по кососимметричной форме с амплитудой в 0,25 толщины, приводит к 30% снижению критической нагрузки.

Анализ приведенных работ показывает, что учет влияния начальных несовершенств формы конструкций остается актуальным для статики и динамики оболочек. Теоретические исследования, которые касались этого вопроса, охватывают малый круг задач (в основном задачи на осевое сжатие и равномерное давление) и базируются в большинстве случаев на моделях с малым числом степеней свободы. На сегодняшний день ясно, что для полного описания закономерностей упругого деформирования и колебаний оболочек необходимо использовать многомерные математические модели. Большое практическое значение для проектирования конструкций имела бы информация о том, какие несовершенства могут максимально снизить статическую и динамическую устойчивость оболочек. Такие данные могут быть выявлены лишь в ходе широкого численного эксперимента на основе нелинейной теории.

Целью настоящей работы является исследование влияния начальных несовершенств формы на устойчивость цилиндрической оболочки при действии неравномерного статического и динамического внешнего давления и изучение ее нелинейных свободных колебаний на основе метода И.Г. Бубнова в высших приближениях.

Основные задачи исследования;

1. Разработка алгоритмов и комплекса программ для исследования статической и динамической устойчивости, а также, свободных колебаний несовершенной цилиндрической оболочки в геометрически нелинейной постановке, в высших приближениях.

2. Проведение численного эксперимента для исследования устойчивости оболочек с различными несовершенствами формы, геометрическими параметрами и при различных видах нагружения.

3. Выявление несовершенств, наиболее сильно снижающих устойчивость оболочки.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• исследована статическая потеря устойчивости несовершенной цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давления в геометрически нелинейной постановке методом И.Г. Бубнова в высших приближениях;

• исследована динамическая потеря устойчивости несовершенной цилиндрической оболочки при действии неравномерного по пространственным и временной координатам внешнего давления в геометрически нелинейной постановке методом И.Г. Бубнова в высших приближениях;

• проведен сравнительный анализ влияния начальных несовершенств разных видов при различных размерах площадки нагружения оболочки в задаче статики; исследовано влияние начальных несовершенств при различной продолжительности действия импульса внешнего давления в задаче динамики оболочки; выявлены несовершенства формы, наиболее сильно влияющие на устойчивость оболочки, и проанализированы причины этого;

• исследовано влияние начальных несовершенств на свободные колебания оболочки в геометрически нелинейной постановке методом И.Г. Бубнова в высших приближениях;

• исследована статическая устойчивость несовершенной цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давления методом Эйлера при линейном моментном докритическом состоянии.

Достоверностьрезультатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, исследованием сходимости методов, сравнением с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов, использование различных методов решения.

Практическая ценность диссертации состоит в решении конкретных задач, представляющих интерес для практики. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы в инженерных расчетах. Выявлены начальные несовершенства, наиболее сильно понижающие критическую нагрузку, что позволяет, имея минимальную информацию о начальных неправильностях формы, прогнозировать процент максимально возможного понижения критической нагрузки. На защиту выносятся; 1. Проблемы и анализ:

• статической устойчивости несовершенной цилиндрической оболочки при неравномерном внешнем давлении;

• динамической устойчивости несовершенной цилиндрической оболочки при неравномерном по пространственным и временной координатам внешнем давлении.

2. Результаты моделирования, позволяюш,ие:

• определять верхние и нижние статические критические нагрузки несовершенной цилиндрической оболочки в геометрически нелинейной постановке при неравномерном нагружении;

• определять динамическую критическую нагрузку несовершенной цилиндрической оболочки в геометрически нелинейной постановке при неравномерном по пространственным и временной координатам внешнем давлении;

• исследовать нелинейные свободные колебания;

• определять критическую нагрузку несовершенной цилиндрической оболочки при неравномерном нагружении по методу Эйлера при линейном моментном докритическом состоянии.

3. Анализ численных решений краевых и начально-краевых задач по исследованию статической и динамической устойчивости несовершенной цилиндрической оболочки и неравномерном нагружении.

Апробация работы

Об основных результатах работы докладывалось: на XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, СГТУ, 29 сентября - 4 октября 1997 г.), на Воронежской математической школе «Понтрягинские чтения - VIII» (Воронеж, ВГУ, 1997), на межвузовской научно-технической конференции «Математическое моделирование» (Саратов, СГТУ, февраль 1998, 1999, 2000, 2001), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 27 января - 4 февраля 1999г.), на VII ежегодной Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 24 - 29 января 2000 г.), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XI» (Воронеж, 3 - 9 мая 2000 г.), на X научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, СамГТУ, 30-3 1 мая 2000 г.), на межвузовской научной конференции «Современные проблемы нелинейной механики конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами» (Саратов, СГТУ, 16-17 марта 2000 г.), на XI научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, СамГТУ, 29-3 0 мая 2001 г.). Публикации

Основные положения диссертации опубликованы в работах [17, 55-63]. Объем и структура работы Диссертация общим объемом 177 страниц состоит из введения, четырех глав и заключения, включает 69 рисунков, 19 таблиц и список использованной литературы из 104 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Разработана методика анализа нелинейного деформирования замкнутой несовершенной цилиндрической оболочки при действии статического внешнего давления, равномерно распределенного по прямоугольной плош;адке.

Проведен численный эксперимент, в ходе которого был выявлен фактор, определяющий влияние начального несовершенства формы оболочки на критическую статическую нагрузку. Таким фактором является взаимное расположение начальных прогибов в исходной форме оболочки и прогибов в форме потери устойчивости идеальной оболочки при тех же параметрах нагружения.

Показано, что наиболее сильно понижают критическую статическую нагрузку несовершенства, обладающие следующими свойствами: 1)число волн в продольном и окружном направлениях такое же, что и у формы потери устойчивости идеальной оболочки при данных размерах площадки нагружения,

2) несовершенства повторяют ориентацию формы потери устойчивости,

3) максимальный прогиб в несовершенстве находится в точке, в которой наблюдается максимальный прогиб в форме потери устойчивости идеальной оболочки.

Определено, что среди несовершенств формы, отвечающих перечисленным требованиям, наибольшее понижающее влияние оказывает несовершенство WQ = sin глх cosj'y, где i, J задают количество волн по направляющей и образующей, совпадающее с аналогичными значениями в форме потери устойчивости, а. - максимальная амплитуда отклонения от правильной круговой формы. Номера i,j соответствуют индексам максимального по модулю коэффициента Ау в разложении в ряд (2.8) формы происходить при задании большего у . Знак должен совпадать со знаком .

Исходя из этого, появляется возможность прогнозировать величину максимально возможного понижения статической критической нагрузки при минимальной информации о форме начального несовершенства оболочки (известна только максимальная амплитуда прогиба). В частности, при Ку=112,5, 'к=\,5, у=0,3, Р=0,2 произвольные начальные несовершенства формы с максимальной амплитудой прогиба, равной 0,2/г, могут понизить критическую нагрузку при нагружении по прямоугольной площадке на 15% , а при нагружении по кольцу - на 17,5%.

Исследовано влияние начальных несовершенств формы на критическую статическую нагрузку при различных геометрических характеристиках оболочки и параметрах нагружения. С увеличением длины площадки нагружения влияние начальных несовершенств на критическую статическую нагрузку ослабевает на 1-2%). С увеличением относительной длины оболочки (параметр X) или относительной кривизны оболочки (параметр Ку) влияние несовершенств на критическую нагрузку понижается.

2. Исследованы нелинейные свободные колебания и динамическая устойчивость несовершенной оболочки при действии прямоугольного импульса неравномерного внешнего давления бесконечной и конечной продолжительности.

При воздействии на оболочку прямоугольного импульса внешней нагрузки бесконечной продолжительности изменение динамической критической нагрузки под влиянием начальных несовершенств определяется тем же фактором, что и в статике. Определяющим является расположение прогибов WQ относительно формы потери устойчивости идеальной оболочки. Это расположение определяет изменение критической нагрузки и при действии импульса конечной продолжительности, но при уменьшении времени действия импульса до некоторой определенной величины начинают воздействовать другие факторы и картина влияния начальных несовершенств на критическую динамическую нагрузку сильно изменяется. Например, несовершенства, которые повышали критическую нагрузку, могут при уменьшении продолжительности действия импульса до указанной величины вызывать понижение критической нагрузки. Исследование нелинейных свободных колебаний показало, что такие изменения во влиянии начальных несовершенств происходят при длительности импульса, приближающейся к периода малых свободных колебаний идеальной оболочки. При длительности импульса внешней нагрузки, большей Л периода малых свободных колебаний идеальной оболочки, наиболее сильно понижают критическую динамическую нагрузку несовершенства, совпадающие по числу волн в продольном и окружном направлениях с аналогичными величинами в форме потери устойчивости оболочки в статике, и одинаково ориентированные с формой потери устойчивости.

Показано, что возможно прогнозирование величины максимального понижения критической динамической нагрузки. В частности, установлено, что произвольные начальные несовершенства формы с амплитудой 0,2/г могут понизить критическую динамическую нагрузку при нагружении оболочки по прямоугольной площадке на 16%, а при нагружении по кольцу - на 21%) (для Ку=112,5, Х=1,5, у=0,3, Р=0,2, ГЛ„ = 0 ) ) .

Проанализировано влияние начальных несовершенств формы на характеристики свободных колебаний оболочки и установлена связь между изменением частоты малых свободных колебаний и изменением динамической критической нагрузки: уменьшению частоты малых свободных колебаний под влиянием начальных несовершенств формы соответствует уменьшение динамической критической нагрузки, и наоборот.

3. Исследована возможность использования для определения критических статических нагрузок несовершенных оболочек метода Эйлера (исходное состояние моментное и определяется по линейной теории). Проведено сравнение результатов, полученных на основе данного метода и

166 метода, основанного на нелинейных уравнениях статики. При нагружении идеальной оболочки по прямоугольной площадке метод Эйлера дает завышенные значения критических нагрузок по сравнению с результатами, полученными на основе нелинейных уравнений статики. При нагружении идеальной оболочки по кольцу результаты, полученные двумя указанными методами, хорошо согласуются. Отличие составляет 1,6%. Использование метода Эйлера в данном случае предпочтительнее, так как уменьшается число необходимых для решения параметров (не используются шаг изменения прогиба, координаты точки, в которой задается прогиб).

При определении критической нагрузки несовершенной оболочки наблюдается качественное согласование результатов, полученных двумя методами, но имеется количественное расхождение. Метод Эйлера с моментным исходным состоянием, определяемым по линейной теории, малочувствителен к начальным несовершенствам формы оболочки и показывает значительно меньшее отклонение от критической нагрузки идеальной оболочки, чем метод, основанный на нелинейных уравнениях статики.

1. Arbocz J., Hoi J.M.A.M. Collapse of axially compressed cylindrical shells with random imperfections // A1.A Journal. - 1991. - V.29. - №12. - P.2247-2256.

2. Byskov E., Hutchinson J.W. Mode Interaction in Axially stiffened Cylindrical Shells // AIAA journal. 1977. - V.15. - №7. - P.941-948.

3. Elishakoff I., Arbocz J. Reliability of axially compressed cylindrical shells with general nonsymmetric imperfections // AS ME Journal of Applied Mechanics. 1985. - №52. - P.122-128.

4. Koga T. Free Vibrations of Circular Cylindrical Shells // JSME Int. Journal. Ser.l. 1989. -V.32. -№3. -P.311-319.

5. Marcinowski J., Antoniak D. Stability of cylindrical panel. Experimental investigations and numerical analysis // Eng. Trans. 1994. - V.42. - №1-2. -P.61-74.

6. Shian A.C., Soong T.T., Roth R.S. Dynamic Buckling of Conical Shells with Imperfections // AIAA Journal. 1974. - V.12. - №6. - P.l 122-1132.

7. Weingarten V.J., Morgan E.J., Seide P. Elastic stability of thin-walled cylindrical and conical shells under axial compression // AIAA Journal. -1965.-№3.-P.500-505.

8. Алумяэ H.A. Переходные процессы деформации упругих оболочек и пластинок // Тр. VI Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966.-С.833-889.

9. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

10. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Экспериментальные исследования устойчивости ребристых оболочек (обзор) // Прикл. механика. 1996. -Т.32.-№9.-0.3-15.

11. Амиро И.Я., Прокопенко Н.Я. К исследованию нелинейных колебаний цилиндрических оболочек // Прикл. механика. 1997. - Т.ЗЗ. - №11. -С.63-70.

12. Андреев Л.В., 0бодан Н.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.,1988. -208 с.

13. Бабич Д.В., Дериглазова Л.А. 0б устойчивости оболочек вращения с малыми отклонениями от цилиндрической формы // Прикл. механика. -1984. Т.20. - №12. - С.106-108.

14. Бастин В.Н., Ларионов И.Ф., Тонконоженко A.M. К вероятностной оценке несущей способности оболочечных конструкций // Проблемы прочности. 1976. - №10. - С.72-74.

15. Бауэр СМ. Устойчивость близких к цилиндрическим оболочек вращения с учетом неправильностей их формы: Дис. . канд. физ.-мат. наук. -Ленинград, 1979. 117 с.

16. Болдырева H.A. Устойчивость гибкой несовершенной оболочки при произвольном нагружении // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронеж: ВГУ, 2001. - С.48-49.

17. Болотин В.В. Статистические методы в нелинейной теории упругих оболочек // Изв. АН СССР. 0ТН. 1958. - Т.З. - С.33-41.

18. Борисенко В.Г. Устойчивость установившихся вынужденных нелинейных колебаний пологих оболочек вращения: Дис. . канд. техн. наук. Киев,1989. 198 с.

19. Будянский Б., Хатчинсон Дж. Выпучивание: достижения и проблемы // Механика деформируемых твердых тел: направления развития. М.: Мир, 1983.-С.121-160.оболочек при динамическом нагружении: Дис. . канд. техн. наук. -Москва, 1988.-191 с.

20. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. - 266 с.

21. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

22. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. -419 с.

23. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

24. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Физматгиз, 1967.-984 с.

25. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. -880 с.

26. Вольмир A.C., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур: прикладные многоуровневые методы исследований. -М.: Машиностроение, 1989.-248 с.

27. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. - 376 с.

28. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в теории нелинейных колебаний пологих оболочек // Известия АН СССР. Сер. матем. 1957. -№21.-0.747-784.

29. Гавриленко Г.Д. Устойчивость гладких и ребристых оболочек вращения при неоднородном напряженно-деформированном состоянии (Обзор) // Прикл. механика. 1995. - Т.З 1. - №7. - С.3-25.

30. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1975. - 325 с.

31. Горшков А.Д. Напряженно-деформированное состояние тонкостенных конструкций с несовершенствами формы: Дис. . канд. техн. наук. -Санкт-Петербург, 1993. 160 с.

32. Гоцуляк Е.А., Заболоцкий СВ. К исследованию устойчивости оболочек с несовершенствами // Прикл. механика. 1990. - Т.26. - №4. - С.49-56.

33. Гоцуляк Е.А., Прусов Д.Э. Устойчивость оболочек при нестационарных нагружениях // Прикл. механика. 1997. - Т.ЗЗ. - №10. - С.59-66.

34. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -360 с.

35. Григоренко Я.М. Решение задач теории оболочек методами численного анализа // Прикл. механика. 1984. - Т.20. - №10. - С.3-22.

36. Григоренко Я.М., Гуляев В.И. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения (обзор) // Прикл. механика. 1991. - Т.27. - №10. -С.3-23.

37. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. - 568 с.

38. Евкин А.Ю., Красовский В.Л. Закритическое деформирование и оценка устойчивости реальных цилиндрических оболочек при внешнем давлении // Прикл. механика. 1991. - Т.27(37). - №3. - С.76-83.

39. Железнов Л.П., Кабанов В.В. Алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости круговых цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами формы // ПМТФ. 1989. - №4. -С.143-148.

40. Заруцкий В.А., Сивак В.Ф. Экспериментальные исследования устойчивости оболочек и прогнозирование критических нагрузок // Тр. XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин: В 3-х т. Саратов, 1997. - T.l. - С.3-7.

41. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. -Киев: Наукова думка, 1971. 136 с.

42. Кассель А.Ц., Хоббс P.E. Динамическая релаксация // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л., 1974. - Т.2. - С.259-274.

43. Кильдибеков И.Г. Исследование собственных нелинейных колебаний цилиндрической оболочки // Прикл. механика. 1977. -Т.13. - №11.-С.46-52.

44. Кильчевский H.A., Издебская Г.А., Кисилевская Л.М. Лекции по аналитической механики оболочек. К.: Выща шк., 1974. - 232 с.

45. Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С., Подчасов Н.П. О динамической неустойчивости круговых цилиндрических оболочек, имеющих начальную погибь // Прикл. механика. 1982. - Т. 18. - №3. - С.28-33

46. Койтер В.Т. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем // Период, сб. пер. иностр. ст., Сер.Механика. 1960. - №5. - С.99-110.

47. Коломоец A.A., Болдырева H.A. Изгиб цилиндрической оболочки неравномерным внешним давлением // Тр. XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин: В 3-х т. Саратов, 1997. -Т.1.-С.96-101.

48. Коломоец A.A., Болдырева H.A. Исследование устойчивости несовершенных цилиндрических оболочек // Сб. трудов XI межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». -Самара: СамГТУ, 2001. 4.1. - С.95-98.

49. Коломоец A.A., Болдырева H.A. Свободные колебания несовершенной гибкой цилиндрической оболочки // Тез. докл. Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж: ВГУ, 1999. - С. 103.

50. Коломоец A.A., Болдырева H.A. Статика и динамика цилиндрической оболочки при неравномерном нагружении // Понтрягинские чтения -VIII: Тез. докл. школы «Современные методы в теории краевых задач». -Воронеж: ВГУ, 1997. С.75.

51. Коломоец A.A., Болдырева H.A. Формы изгиба цилиндрической оболочки при неравномерном внешнем давлении. Саратов, 1996. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.05.96 г. №1547-В96.

52. Кролл Дж.Г.А., Гавриленко Т.Д. Метод уменьшенной жесткости в теории выпучивания гладких оболочек и классический анализ устойчивости (обзор) // Проблемы прочности. 1999. - №2. - С.45-66.

53. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. -Саратов: Изд-во СГУ, 1976. 216 с.

54. Крысько В.А., Кириченко A.B. 0 динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек // Нелинейная динамика механических и биологических систем: Межвуз. науч. сб. / СГТУ. -Саратов, 2000. С. 144-151.

55. Крысько В.А., Коломоец A.A., Рыжов С.А. Динамическая потеря устойчивости гибкой цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давления // Прикл. механика. 1990. - Т.26. -№2.-С.76-82.

56. Крысько В.А., Федоров П.Б. Потеря устойчивости гибких пологих оболочек прямоугольных в плане при тепловом ударе // Прикл. механика. 1980. - Т.16. - №5. - С.126-129.

57. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С. Нелинейные задачи колебаний тонких оболочек (0бзор) // Прикл. механика. 1998. - Т.34. - №8. - С.3-31.

58. Кузнецов Е.Б., Кулаков H.A., Шалашилин В.И. О действии динамических нагрузок на некоторые системы с прощелкиванием // Избранные проблемы прикладной механики. М.,1974. - С.429-443.

59. Кукуджанов СИ. О влиянии нормального давления на частоты собственных колебаний оболочек вращения близких к цилиндрическим // Изв. АН Механика твердого тела. 1996. - №6. - С.121-126.

60. Кукуджанов С.Н. Об устойчивости оболочек вращени, близких к цилиндрическим, при одновременном действии кручения и давления // Прикл. механика. 1992. - Т.28. - №7. - С.56-62.

61. Куцемако Д.А. Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при неосесимметричном внешнем давлении // Тр. XVUI Международной конференции по теории оболочек и пластин: В 3-х т. Саратов, 1997. -Т.1.-С.139-144.

62. Лейзерович Г.С. Влияние начальных неправильностей на колебания круговых цилиндрических оболочек: Автореф. дис. . д-ра техн. наук. -Комсомольск-на-Амуре, 2000. 38 с.

63. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М.: Мир, 1972.-587 с.

64. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Л.: Гостехиздат, 1950. - 471 с.

65. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория гибких оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. 432 с.

66. Никиреев В.М. К решению нелинейных уравнений строительной механики методом последовательных нагружении // Строительная механика и расчет сооружений. 1970. - №3. - С.61-62.

67. Пальчевский A.C., Кириченко В.Г. Прогнозирование критического значения осевой силы несовершенной цилиндрической оболочки // Прикл. механика. 1995. - Т.31. - №8. - С.48-53.

68. Петров В.В. Метод последовательных нагружении в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во СГУ, 1975. - 118 с.

69. Пикуль В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития // МТТ. 2000. - №2. - С.153.-168.

70. Погорелов A.B. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука, 1967. - 296 с.

71. Погорелов A.B., Бабенко В.И. Геометрические методы в теории устойчивости тонких оболочек (Обзор) // Прикл. механика. 1992. - Т.28. -№1 . -С.3-22.

72. Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика/ Под ред. Дж. Томпсона и Дж. Хаита: Пер. с англ. / Под ред. Э.И. Григолюка. М.: Наука., Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 424 с.

73. Прокопало Е.Ф. Экспериментальное исследование несуш;ей способности цилиндрических оболочек при внешнем давлении // Прикл. механика. -1990. Т.26. - №8. - С.114-116.

74. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник: в 3 т. М.: Машиностроение, 1968,-Т,2-3.

75. Рыжов С.А. Динамическое поведение и устойчивость замкнутых термочувствительных цилиндрических оболочек при неравномерном термосиловом нагружении: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1991. -238 с.

76. Срубщик Л.С. Выпучивание и послекритическое поведение оболочек. -Д.: Изд-во Ростовского университета, 1981. 96 с.

77. Тазюков Ф.Х. Устойчивость пластин и оболочек при импульсном нагружении: Дис канд. физ.-мат. наук. Казань, 1989. - 145 с.

78. Тараканов СИ. О сходимости метода "динамическая релаксация" в задачах нагружения упругих оболочек вращения // Вестник МГУ, Сер. 1, Математика и механика. 1984. - №5. - С.90-93.

79. Тараканов СИ. О сходимости метода Ричардсона в задачах нелинейной теории упругости // Вестник МГУ, Сер. 1, Математика и механика. -1983.-№1.-С.92-95.

80. Тарануха П.А., Лейзерович Г.С. О влиянии начальных неправильностей на собственные изгибные колебания тонких круговых цилиндрических оболочек // Изв. вузов. Строительство. 2001. - №1. - С.25-28.

81. Терегулов И.Г. Развитие нелинейной механики оболочек в трудах казанской школы // Mech. teoret. i stos. 1987. - T.25. - №4. - C.541-555.

82. Тетерин И.Ю. Устойчивость тонких оболочек вращения с учетом неправильностей их формы: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ленинград, 1983. - 124 с.

83. ЮО.Уилкинсон Р. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1976. - 390 с.

84. Филин A.n. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. - 384 с.

85. Чемлаев В.В. Устойчивость нелинейных вынужденных колебаний прямоугольных в плане пластин и пологих цилиндрических и сферических оболочек: Дис канд. техн. наук. Киев, 1986. - 173 с.177

86. Якушев Н.З. Особенности нелинейной динамики цилиндрических оболочек // Математические модели, методы решения и оптимальное проектирование гибких пластин и оболочек: Межвуз. кауч. сб. Саратов: Изд-во СГУ, 1988. - С.137-139.