Анализ деформирования упругих композитных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

003060137

На правах рукописи

МОРОЗОВА Евгения Валерьевна

АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГИХ КОМПОЗИТНЫХ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН, КРУГОВЫХ И ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ КОЛЕЦ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

? 4 МАЙ 2087

НОВОСИБИРСК - 2007

003060137

Работа выполнена в Институте вычислительных технологии Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Голушко Сергей Кузьмич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Андреев Александр Николаевич

- доктор физико-математических наук Алехин Владимир Витальевич

Ведущая организация - Саратовский государственный

технический университет

Защита состоится « 25 » мая 2007 года в46~Р0 на заседании диссертационного совета Д 003 35 01 Института теоретической и прикладной механики СО РАН по адресу 630090, Новосибирск, ул Институтская, 4/1

Факс (383) 330-72-68 E-mail shulgmSitam nsc ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ СО РАН

Автореферат разослан _" апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003 35 01 доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Круглые пластины, круговые и эксцентрические кольца широко применяются в качестве важнейших элементов многих конструкций ответственного назначения в различных отраслях современной промышленности, в частности широко используются в конструкциях воздушных, морских и космических судов, различных типов двигателей, турбин, систем охлаждения, в медицине и тд Огромные перспективы по улучшению прочностных и эксплуатационных свойств пластин открыли композиционные материалы (КМ) В большинстве современных технологических процессов КМ создается одновременно с изготовлением самой конструкции, поэтому его физико-механические свойства заранее не известны, а их экспериментальное определение в полном объеме практически невозможно, что обуславливает важность теоретических исследований

Широкое распространение при расчете изотропных пластин вследствие своей простоты получила теория Кирхгофа - Лява Однако известно, что пластины из слоисто-волокнистых композиционных материалов, обладают ослабленным сопротивлением поперечным сдвигам и применение классической теории Кирхгофа - Лява для расчета многослойных пластин с ярко выраженной анизотропией слоев может привести к существенным погрешностям, и тем самым существенно снизить ценность полученных решений

К настоящему времени разработано большое количество уточненных теорий, различающихся между собой по структуре, широте охвата учитываемых факторов В такой ситуации важное значение приобретает вопрос о границах применимости используемых теорий и сопоставимости результатов, полученных при использовании различных теорий Системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающие напряженно-деформированное состояние (НДС) многослойных пластин, являются жесткими, а их решения имеют ярко выраженные краевые эффекты, что значительно усложняет их численное решение Поэтому весьма актуален вопрос выбора методов решения таких систем, обоснование их эффективности и достоверности получаемых с их помощью результатов

Возможность изменения внутренней структуры КМ открыла дополнительные возможности, по сравнению с однородными изотропными материалами, при решении задач рационального проектирования, так

как требуемый критерий рациональности может быть обеспечен не только за счет специального закона распределения толщины пластины, по и за счет структурных нараме1ров КМ Таким образом, увеличивается спектр рациональных решений и появляются более широкие возможности по реализации их на практике

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ заключается в исследовании особенностей деформирования круглых пластин, круговых и эксцентрических колец, выявлении зависимостей НДС от параметров КМ при использовании классической и ряда уточненных теорий в геометрически линейной и нелинейной постановках, решении задач рационального проектирования эксцентрических и круховых колец с равнонапряженной арматурой

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ определяется следующими результатами, которые выносятся на защиту

• Решены новые краевые задачи расчета НДС многослойных поли-армированных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец, проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и ряда уточненных теорий, различных структурных моделей КМ

• Исследовано влияние структурных и механических параметров КМ на поведение круглых пластин, круговых и эксцентрических колец и на уровень нагрузок их начального разрушения Найдены области параметров для которых результаты, полученные по различным теориям и моделям, отличаются несущественно и указаны области параметров, для которых использование уточненных теорий необходимо

• Получены аналитические решения задач изгиба многослойных круглых пластин и колец в уточненной постановке, позволившие провести сравнения численных решений, полученных методами сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации между собой, с аналитическими решениями, показавшие высокую степень совпадения результатов

• Решены задачи рационального проектирования эксцентрических и кольцевых пластин с равнонапряженной арматурой за счет специального выбора толщин слоев, углов и интенсивностей армирования Обеспечена достоверность полученных решений путем

расчета прямой задачи определения НДС с полученными рациональными параметрами Показана эффективность конструкций с рациональными параметрами

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Результаты работы могут служить основой при исследовании НДС и проектировании многослойных пластин, изготовленных из волокнистых композиционных материалов, используемых в конструкциях воздушных, морских и космических судов, различных типов двигателей, турбин и тд

Исследования выполнялись в соответствии с планами научно-исследовательских работ Института вычислительных технологий СО РАН по темам

• "Качественные и численные методы исследования нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01 99 00 10290),

• "Теоретические исследования моделей и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01 2 00 313336),

поддерживались грантами Федеральной целевой программы "Интеграция" (грант № 274), Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (№ НШ-2314 2003 1)

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, предельными переходами от моделей конструктивно-неоднородных анизотропных пластин к классическим моделям однородных изотропных конструкций, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением численных решений, полученных двумя принципиально различными численными методами

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах XXXVIII, XГ^ Международных научных студенческих конференциях (Новосибирск, 2000, 2002), Международной конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001), XVII, XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения

задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001, Кемерово, 2003, Бийск, 2005), VII научной конференции "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 2003), Международных конференциях "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Усть-Каменогорск 2003, Алматы, 2004, Павлодар, 2006)

В полном объеме материалы кандидатской диссертации докладывались и обсуждались на Семинаре "Прямые и обратные задачи механики композитов" (руководитель — д ф -м н CK Голушко, Новосибирск, 2006), Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" ИВТ СО РАН (руководители — академик Ю И Шокин и д ф -м н , профессор В М Ковеня, Новосибирск, 2006), Общеинститутском семинаре "Моделирование в механике" Института теоретической и прикладной механики СО РАН (руководитель - академик В М Фомин, Новосибирск, 2006)

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации было опубликовано 12 печатных работ, в том числе 9 статей в научных журналах и сборниках трудов конференций

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и приложения Общий объем диссертации составляет 196 стр , включая 70 рисунков и 22 таблицы Список литературы содержит 115 наименований

Автор считает своим долгом выразить глубокую и искреннюю признательность своему научному руководителю дф-мн Голушко Сергею Кузьмичу за всестороннюю поддержку на всех этапах выполнения работы

Автор благодарен своим коллегам к ф -м н Горшкову В В , к ф -м н Юрченко Ю В , Глотову П О , Голушко К С , Красникову Ю Н , Сибилеву В Н за ценные научные дискуссии и плодотворное обсуждение полученных результатов

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, приведен краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, изложено ее содержание по главам

Значительный вклад в развитие классической и уточненных теорий тонких пластин внесли С А Амбарцумян, А Н Андреев, И А Биргер, В В Болотин, ГА Ванин, Н К Галимов, А Л Гольденвейзер, Э И Гри-голюк, ГМ Куликов, С Г Лехницкий, А И Лурье, ХМ Муштари, Ю В Немировский, В В Новожилов, И Ф Образцов, С П Тимошенко, П П Чулков и др Решением задач рационального проектирования пластин занимались А С Григорьев, В П Багмутов, Ю А Боган, Г И Брызгалин, С Б Бушманов, В В Васильев, Ю В Немировский, И Ф Образцов, Ю Н Работнов, А П Янковский и другие

Первая глава диссертации посвящена постановке задачи расчета НДС и определения нагрузок начального разрушения тонких многослойных полиармированных пластин

В § 1 1 приведены соотношения пространственной теории упругости Для тонких пластин известны различные методы сведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной В частности, это методы асимптотического интегрирования уравнений задачи в пространственной постановке, основывающиеся на присутствии малого параметра (относительной толщины), а так же представления характеристик НДС в виде рядов по некоторым системам функций поперечной координаты с последующим получением соотношений для определения коэффициентов разложения

Более широкое распространение на практике получил метод гипотез, суть которого заключается в специальных предположениях о распределении некоторых компонент тензоров деформаций и напряжений по толщине многослойной пластины Можно выделить два основных подхода к формулированию системы гипотез для всего пакета слоев и для каждого слоя в отдельности

В § 1 2 рассматриваются системы гипотез Кирхгофа - Лява1, Тимошенко2, Андреева - Немировского3, принятые для всего пакета слоев и гипотезы Григолюка - Куликова4, принятые для каждого слоя в отдельности

'Новожилов В В Теория тонких оболочек Л Судпромгиз, 1951 — 344 с

2Григоренко Я М , Василенко А Т Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек М Наука, 1992 — 321 с

3Андреев А Н , Немировский Ю В Многослойные анизотропные оболочки и пластины Изгиб, устойчивость, колебания Новосибирск Наука, 2001 — 288 с

4Григолюк Э И , Куликов Г М Многослойные армированные оболочки Расчет пневматических шин - М Машиностроение, 1988 288 с

В рамках теории Кирхгофа - Лява используется гипотеза недефор-мируемой нормали Но пренебрежение поперечными сдвшами для многослойных композитных пластин, обладающих существенно различными характеристиками слоев, может привести к большим погрешностям При данном подходе порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений не зависит от количества слоев и равен 8

В теории Тимошенко используется гипотеза прямой линии Однако при использовании данной гипотезы отсутствует возможность учета сдвигов отдельно для каждого слоя В этом случае порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений равен 10

В рамках теории Андреева — Немировского дополнительный угол поворота нормали, отвечающий за сдвиг является некоторой непрерывно дифференцируемой функцией, коэффициенты которой в каждом слое зависят от механических характеристик этого слоя Такой подход позволяет учитывать сдвиги в каждом слое, при этом порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений не зависит от количества слоев и равен 12

В теории Григолюка - Куликова используется гипотеза "ломаной линии", когда для каждого отдельного слоя принимается гипотеза Тимошенко Таким образом, появляются дополнительные переменные, определяющие сдвиг в каждом слое, что приводит к зависимости порядка разрешающей системы дифференциальных уравнений от количества слоев (14), который равен 4М+6

В § 1 3 рассматриваются два подхода к определению физико-механических свойств композиционного материала феноменологический и структурный

В рамках первого подхода армированные материалы моделируются однородной анизотропной средой с эффективными физико-механическими характеристиками, которые определяются из эксперимента Поскольку КМ создается одновременно с конструкцией, то его характеристики будут в общем случае функциями координат, для определения которых необходимо проведение серии экспериментов для каждой точки конструкции, что практически невозможно реализовать Кроме того, такой подход не дает возможности оценить эффективность работы каждого элемента КМ

От этих недостатков свободен структурный подход, в рамках которого, физико-механические характеристики КМ выражаются через характеристики его компонент и структурные параметры В работе использу-

ются следующие структурные модели модель с одномерными волокнами5 (MOB), уточненная модель с одномерными волокнами6 (МОВУ), модель с двумерными волокнами7 (МДВ) и модель Болотина — Григо-люка8 (МБГ)

В рамках структурного подхода соотношения между осредненными напряжениями и деформациями в fc-м армированном слое имеют вид

°аа = ааа£оа + aaߣ00 + ßa3£a/3> аа0 ~ aa3Eac, + a03£00 + a33£a/3>

ТаЗ = Раа-уаз + pißlfez, (а, /? = 1, 2) (1)

где коэффициенты матрицы жесткости зависят от структурных и механических параметров композиционного материала

= ак^(Ек,Екп,ик,ик,сок,шк,и;ксп,фк), (А, ц = 1,2,3)

Pkaß = Piß №, К, vkc , vkn, , шк, шксп, фк)

В этих выражениях ака, akß, т*3, ека, ekaß, ekßß, fk3, 7^3 — компоненты тензоров напряжений и деформаций к-го слоя, Ек, Ек, vk, ик — модули Юнга и коэффициенты Пуассона материалов связующего и n-го семейства арматуры в к-м слое, ик, и>кп, uik — интенсивности армирования в поверхности и в направлении толщины оболочки для n-го семейства арматуры и связующего в армирующем слое, — угол укладки n-го семейства арматуры в к-м слое

В этом же параграфе приведен структурный критерий прочности9

М(асаа, acaßl т£з) = (ас*)2, М{р%а, <д, г°3) = «)2, (2)

5Немировский Ю В Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // Журн прикл механики и техн физики, 1969 № 6 С 81-89

6Немировский Ю В Уравнения изгиба и устойчивости армированных оболочек и пластин из вязкоупругого материала // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН Новосибирск, 1970 Вып 4 С 50-63

7Немировский Ю В К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров, 1972 № 5 С 861-873

8Григолюк Э И , Куликов Г М Многослойные армированные оболочки Расчет пневматических шин - М Машиностроение, 1988 288 с

9Андреев А Н , Немировский Ю В Многослойные анизотропные оболочки и пластины Изгиб, устойчивость, колебания Новосибирск Наука, 2001 — 288 с

где осаа, гтса(3, т£3, сг*, о%а, т£3, сг* — составляющие тензоров напряжений и пределов прочности связующего и армирующих элементов при растяжении,

М{оаа, аа0, та3) = а\х - сгп<722 + сг|2 + За^2 + 3т?3 + 3т223 (3)

Приведенные интенсивности напряжений в связующем и арматуре имеют вид

Ь*г = тах (4)

1 <к<К у ук

где значение г равное "с" соответствует величинам для связующего, г равное "а" — для арматуры, 14 — область занятая к-и слоем Начальное разрушение связующего или арматуры происходит, когда одна из соответствующих величин Ьб1 равна 1

Пусть рассматриваемая пластина собрана из К армированных волокнами слоев и нагружена системой внешних сил Р Нагрузки начального разрушения к-то слоя р(Л) и многослойной композитной пластины Р* определяются соотношениями

Р(А) = пипСР^Р^), Р* = шш Р(Л), (5)

с 1<к<К

здесь Р,'*1' соответствует значению интенсивности Ь,зс равного 1, Р^' — Ьва равного 1

В § 1 4 приведены результаты сравнения расчетных характеристик КМ с известными экспериментальными данными Показано, что результаты, полученные по МДВ и МБГ, хорошо соотносятся с экспериментальными данными, что позволяет эффективно использовать данные модели при исследовании НДС армированных пластин Модели с одномерными волокнами дают близкие к экспериментальным значения эффективной жесткости в направлении армирования и отличающиеся более чем на 50% в перпендикулярном Это позволяет эффективно использовать более простые модели с одно мерными волокнами при оценке прочности пластины с "запасом"

Во второй главе описаны используемые аналитические и численные методы решения задач теории упругости многослойных полиарми-рованных пластин

В § 2 1 описан метод разделения переменных, позволяющий свести краевую задачу вида

ду (а,/3) да

■т

т = О, М (6)

к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Здесь Ат(а,р) — матрица коэффициентов системы уравнений, {(а,/3) — вектор свободных членов, М — порядок максимальной производной по переменной /3 (при записи используется правило суммирования по немому индексу)

В качестве граничных условий по окружной координате /3 используются условия "склейки", условия по другой координате задаются соотношением

где ар € {оц, аг}, оц < аг — границы области решения задачи, 5 — порядок системы уравнений

При определении характеристик НДС искомые функции раскладываются в конечные ряды по тригонометрическому базису Оценивалось, какое количество членов ряда необходимо удержать, для получения заданной относительной разности между полученным решением и решениями с большим числом гармоник для различных значений эксцентриситета Например, для трехслойного эксцентрического кольца с отношением эксцентриситета <1 к радиусу Г\ равным 0 2 относительная разность не превышает 1% при удержании 4 гармоник, для ¿/г^ = 04 — при удержании 8 гармоник Показано, чем сильнее смещено отверстие, тем большее количество членов ряда необходимо удерживать для получения заданной относительной разности Это обусловлено более медленной сходимостью ряда, полученного при разложении свободного члена В § 2 2 приведены основные положения метода функционального нормирования10 В рамках которого устанавливаются общие подходы к построению удобных для вычисления фундаментальных систем решений (ФСР) задач теории пластин и оболочек Основу метода функционального нормирования составляют два последовательных шага

'"Виноградов Ю И , Меньков Г Б Метод функционального нормирования для краевых задач теории оболочек М Эдиториал УРСС, 2001 — 160 с

(ёр,у(ар,/3)) - дР(/3) = о, р= 1, ,5,

(7)

1) построение системы векторов-решений состоящей из ФСР однородной части системы дифференциальных уравнений и частного решения неоднородной системы с выделением доминирующих функций

2) нормирование построенной системы решений - деление каждого вектора-решения на максимальное значение его нормы

В результате получается система решений, которая приводит к хорошо обусловленной матрице системы линейных алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования при произвольных значениях независимого переменного и параметров, входящих в дифференциальные уравнения

Рассматриваемые в работе системы дифференциальных уравнений имеют высокий порядок, переменные коэффициенты, малые параметры Математически это приводит к наличию в фундаментальной системе решении быстро возрастающих и убывающих функций Такие системы уравнений принято называть жесткими, а соответствующие задачи — задачами с погранслоями

При решении полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений используются методы дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации

В §2 3 приведено краткое описание алгоритма11 метода дискретной ортогонализации, реализованного в пакете прикладных программ GMDO

В § 2 4 приведено краткое описание алгоритма метода сплайн-коллокации, реализованного в пакете прикладных программ COLSYS12

В § 2 5 проводится анализ эффективности используемых численных методов на примере полученного аналитического решения задачи изгиба круглой кольцевой пластины, собранной из нескольких изотропных слоев, симметричного относительно срединной поверхности строения, в рамках уточненной теории Андреева — Немировского ФСР имеет вид

П = аА- AbCthi^f) + AeCzK^^f) - c3r, (8)

г h h

w = Air2lnr + A2r2 + A3lnr + A4 + Аъса10{~-) + A6c4K0(~) - c5r4

11Голушко С К , Горшков В В , Юрченко ABO двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии, 2002 Т 7 №2 С 24-33

12Ascher U , Christiansen J , Rüssel R D Collocation software for boundary value ODEs // ACM Trans on Math Software, 1981 Vol 7 N 2 P 209-222

Здесь а2,с\, , — параметры, зависящие от механических и геометрических характеристик круглой пластины, А1, , Ав — произвольные постоянные В решении присутствуют быстровозрастающие и быст-роубывающие модифицированные функции Бесселя 1-го (/о, /1) и 2-го рода {Ко, К1), которые обуславливают наличие сильных краевых эффектов

Собственные числа разрешающей системы имеют вид

А1 = О, А2,3 = -1/г, А4 - 1/г, Л5,6 = ±^1/г2+а1/Л2

Жесткость полученной системы ОДУ будет возрастать при стремлении радиуса внутреннего отверстия пластины к нулю, что следует из увеличения спектрального радиуса задачи

Полученные аналитические решения позволили провести тестирование численных решений, полученных с помощью методом сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации, при значении спектрального радиуса задачи до 106, показавшие высокую степень совпадения результатов

Третья глава диссертации посвящена исследованию НДС многослойных композитных эксцентрических колец, находящихся в условиях сложного нагружения

В § 3 1 получены разрешающие системы уравнений задач растяжения и изгиба многослойных эксцентрических колец для теорий Кирхгофа — Лява и Андреева — Немировского в биполярной системе координат с использованием метода разделения переменных В общем случае задачи растяжения-изгиба порядки разрешающих систем дифференциальных уравнений равны 16/^ + 8 для теории Кирхгофа — Лява и 24N + 12 для теории Андреева — Немировского Если в качестве отсчетной поверхности выбрать срединную и рассматривать пластины симметричного относительно срединной поверхности строения, то разрешающая система уравнений распадается на две независимые подсистемы, описывающие задачу растяжения и задачу изгиба

В § 3 2 исследовано влияние выбора той или иной структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС Показано, что учет в модели с двумерными волокнами работы связующего между волокнами в армированном слое оказывает существенное влияние на оценку уровня напряжений в пластине

Для задачи растяжения-изгиба на рис 1 приведены зависимости

максимальных интенсивностей напряжений в связующем Bsc, арматуре Bsa и кинематических характеристик прогиба w и удлинения и от угла укладки арматуры во внешних слоях (±-0) углепластикового трехслойного эксцентрического кольца, во внутреннем слое которого волокна уложены по окружности 1-го координатного семейства Сплошные линии соответствуют результатам, полученным при использовании МДВ, пунктиром - MOB Выявлено, что модель с одномерными волокнами дает оценку уровня напряжений в арматуре и значений кинематических характеристик с "запасом" по отношению к МДВ Для связующего максимальная оценка получена в рамках МДВ, это обусловлено тем, что максимальные напряжения возникают в связующем между волокнами, а модель с одномерными волокнами их не учитывает

В § 3 3 проанализировано влияние выбора теории на расчетные характеристики НДС трехслойной эксцентрической пластины, находящейся в условиях сложного нагружения, при изменении угла армирования внешних слоев ±ф и смещения отверстия — эксцентриситета d

На рис 2 практически для всех изменяемых параметров ф, d значения Bsc и Bsa, рассчитанные по уточненной теории, больше Важно отметить, что наименьшее отличие между результатами, полученными по различным теориям, будет достигаться для областей структурных параметров, где уровень интенсивностей напряжений в элементах КМ минимален Максимальное отличие тем больше, чем больше эксцентриситет и уровень напряжений в пластине, для d = 0 4 оно составляет 60%

В § 3 4 исследовано влияние угла армирования слоев, величины экс-

Рис 2

центриситета, вида нагружения, радиуса внутреннего отверстия, толщины слоев на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

О О

Рис 3

На рис 3 приведены зависимости максимальных интенсивностей напряжений в арматуре Bsa и связующем Bsc от угла укладки арматуры во внешних слоях (±ф) и значения эксцентриситета d для кольца, нагруженного распределенным внешним давлением и растягивающим усилием на внешнем контуре Во внутреннем слое арматура уложена по окружностям 1-го координатного семейства

Выявлено, что чем больше эксцентриситет, тем больше влияние угла армирования на уровень напряжений в пластине Для областей структурных параметров, где уровень интенсивностей напряжений в элемен-

тах КМ близок к минимальному, будет минимально влияние степени смещенности отверстия

В § 3 5 исследовано влияние механических параметров КМ на вид НДС эксцентрического кольца На рис 4 приведены зависимости максимальных интенсивностей напряжений в пластине для различных композиционных материалов Линиям 1 соответствуют значения интенсивностей напряжений, рассчитанные для углепластиковой пластины, линиям 2 - стеклопластиковой, линиям 3 - магниевой с борными волокнами, линиям 4 - алюминиевой со стальными волокнами, линиям 5 -никелевой с вольфрамовыми волокнами

Рис 4

Выявлено, что чем больше отличие между механическими параметрами материалов (модулями Юнга), составляющих композит, тем сильнее влияние структурных параметров на уровень напряжений в пластине и кинематические характеристики Для углепластиковой пластины влияние достигает 4-х раз, а для пластины с никелевой матрицей и вольфрамовыми волокнами отличие составляет менее 1 5 раз В то же время качественный характер зависимости максимальных интенсивностей напряжений и кинематических характеристик для всех материалов одинаков

Четвертая глава посвящена анализу НДС многослойных армированных кольцевых и круглых пластин Рассматривались кольцевые пластины жестко защемленные на внутреннем контуре, нагруженные распределенным поперечным давлением и растягивающим усилием на внешнем крае, жестко защемленные на обоих контурах кольцевые плас-

тины, нагруженные распределенным поперечным давлением и круглые пластины с изотропными слоями, жестко защемленные на внешнем контуре, нагруженные распределенным поперечным давлением

В § 4 1 получены разрешающие системы уравнений задач растяжения - изгиба круглых и кольцевых пластин для теорий Андреева -Немировскою и Григолюка - Куликова в полярной системе координат В § 4 2 на примере однослойной кольцевой боралюминиевой композитной пластины исследовано влияние выбора структурной модели КМ на значения коэффициентов матрицы жесткости, компоненты тензора напряжений и интенсивности напряжений в компонентах КМ для различных углов укладки арматуры Показано, что значения коэффициентов, рассчитанные по моделям с одномерными волокнами, близки между собой, по МДВ и МБГ также достаточно близки для матрицы жесткости, но для поперечной сдвиговой податливости максимальные значения отличаются примерно на 34%

Проанализировано влияние выбора структурных моделей КМ на величины компонентов тензора напряжений и кинематических характеристик Показано, что при совпадении направлений армирования и на-гружения отличие между результатами, полученными по всем указанным выше структурным моделям КМ, отличаются незначительно (не более 5 — 7%) В случае рассогласования направлений армирования и нагружения отличие может достигать 500%, при этом максимальные значения получаются при использовании моделей с одномерными во-

Рис 5

На рис 5 приведены результаты расчета максимальных интенсив-

ностей напряжений для пластины, защемленной на обоих контурах, нагруженной поперечным давлением при изменении интенсивности армирования по толщине пластины lüz Арматура уложена по окружности

При использовании МДВ (линии 3) увеличение объемного содержания арматуры приводит к уменьшению интенсивностей напряжений в пластине, поскольку арматура воспринимает, соответственно, большую долю нагрузки Обратная тенденция наблюдается для MOB (линии 1) и МОВУ (линии 2), для которых при увеличении uiz снижается объемное содержание связующего, полностью отвечающего за прочность КМ в поперечном направлении

§ 4 3 посвящен анализу влияния выбора различных вариантов теории пластин на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок их начального разрушения

На рис 6 приведены графики распределения напряжений по толщине трехслойного кольца, нагруженного растягивающим усилием, при г = г 1 (внешний контур) Во внутреннем слое арматура уложена под углом 15°, во внешних по окружностям Кривые 1 соответствуют значениям, рассчитанным по теории Кирхгофа — Лява, 2 — Тимошенко, 3 — Андреева - Немировского, 4 — Григолюка - Куликова

Рис 6

Моделирование нагрузки, как растягивающего усилия, приложенного к нижней поверхности пластины, приводит к тому, что значительное влияние на уровни напряжений, полученные по различным теориям, оказывают структурные параметры нижнего слоя Учет сдвига отдельно в каждом слое для теории Григолюка - Куликова приводит к максимальным оценкам уровней напряжений в нижнем слое Интегральная

оценка сдвига для теории Андреева - Немировскою приводит к тому, что напряжения "распределяются" по толщине пластины они меньше для нижнего слоя, по сравнению с оценками, полученными по теории Григолюка - Куликова, и больше для среднего и верхнего Оценки уровня напряжений, полученные по теориям Кирхгофа - Лява и Тимошенко, минимальны для всех слоев пластины

В § 4 4 приведены результаты исследования влияния механических параметров КМ на вид НДС круглых пластин и колец Показано, что влияние структуры армирования на уровень максимальных напряжений в компонентах КМ может достигать для углепластика — до 9-ти раз и стеклопластика — до 6 5 раз, а для никель-вольфрама не превышает 1 4 раза

В § 4 5 исследуется влияние выбора схем армирования и типа волокон на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

На рис 7 приведены зависимости максимальных по толщине ин-тенсивностей напряжений в связующем и арматуре от радиальной координаты для волокон постоянного и переменного сечений при одинаковом объемном содержании арматуры Трехслойная углепластиковая пластина жестко защемлена на внутреннем контуре, нагружена распределенным внешним давлением и растягивающей нагрузкой по внешнему контуру Расчеты проведены при использовании теории Андреева -Немировского

Рис 7

Отличие между значениями интенсивностей напряжений в элементах КМ, рассчитанными для различных типов волокон, может дости-

гать 3 раз Необходимо отметить, что данное отличие будет получено при использовании в расчетах кольцевых КМ пластин, армированных волокнами постоянного сечения, эффективных физико-механических характеристик, полученных при испытании образцов с постоянной интенсивностью укладки волокон

Рассмотрены различные схемы укладки волокон логарифмическая спираль, спираль Архимеда, "спицы велосипеда" Исследованы механизмы начального разрушения

Выявлено, что при одинаковом объемном содержании арматуры нагрузка начального разрушения на растяжение больше для пластин, армированных волокнами переменного сечения (при условии постоянства интенсивности армирования на координатных линиях г = const) Для равномерно распределенного поперечного давления предпочтительно армирование волокнами постоянного сечения (рис 8а, Ь)

Логарифм спираль

Спираль Архимеда И Иг — \

• .\Vr "Спицы велосипеда"

... У

а Ь

Рис 8

Изменением структуры армирования можно повысить нагрузку начального разрушения до 3-х раз, выбором типа волокон и вида их укладки эффект может быть увеличен до 12 раз

Пятая глава посвящена решению задач рационального проектирования тонких круговых и эксцентрических колец с равнонапряженной арматурой

6 § 5 1, 5 2, 53 приведена постановка задачи рационального проектирования круглых пластин с круговым отверстием с равнонапряженной арматурой, выписаны условия совместности для задачи растяжения, получены аналитические решения

Исходя из положения, согласно которому все нагрузки восприни-

маются армирующим материалом, а связующее влияет в основном на равномерную передачу нагрузок на элементарные волокна, в качестве критерия рациональности для конструкций из волокнистых композитов часто используется требование равнонапряженности армирующих волокон Данный критерий, записанный для n-го семейства арматуры в k-м слое, имеет вид

4? cos2 фк + 42 sm2 фк + е[к2] cos фк sin фкп = e(nkJ,

где е^к} - некоторые, удовлетворяющие механическим требованиям константы

Уравнения, определяющие НДС тонкой армированной пластины, вместе с критерием рациональности составляют систему уравнений, переопределенную относитель?ю функций, описывающих напряженно-деформированное состояние кольца Разрешимость полученной системы уравнений в частных производных обеспечивается за счет параметров, определяющих толщину пластины, структуру и свойства ее материала Условия разрешимости, выписанные в биполярной системе координат, имеют вид

, i , ,9(йц + а12) _

(chai + cosq2)-¡г--h sina2(au - a22) = О,

oa\

{cha 1 + cosa2) —sha2(áu - Й22) = 0, 0Q2

где atJ - функции, зависящие от параметров проектирования отношения толщин слоев S/H, соотношения модулей Юнга компонент КМ пластины Е* /Е". Ек/Е°, коэффициентов Пуассона vkvkn / 1/? и объемных интенсивностей армирования шк

Для эксцентрических и круговых колец возможна реализация рационального проекта при постоянном угле армирования внешних слоев,

о i woн

задаваемом соотношением cos 2ф = ——, при окружном армировании

LOi 20

внутреннего слоя

Более сложную структуру имеет общее решение

1 1 г

cos^ф - С^ + В-1- + В2~,

где коэффициенты С, В\, В2 зависят от параметров проектирования

На рис 9 изображены схемы укладки арматуры во внешних слоях для трехслойных круговых и эксцентрических колец, во внутреннем слое арматура уложена вдоль окружностей

В § 5.4 проведен анализ достоверности и эффективности полученных рациональных решений Достоверность обеспечена дополнитель-

ным расчетом прямой задачи определения НДС пластины с найденными рациональными параметрами Эффективность полученных решений исследована путем сравнения значений интенсивностей напряжений в конструкциях с рациональными и нерациональными параметрами На рис 10 приведены результаты расчета нагрузок начального разрушения пластины с рациональными параметрами, при варьировании угла армирования

51 0.

Рис 10

Выявлено, что рациональный проект обеспечивает максимальный уровень нагрузок начального разрушения

Были проведены расчеты при использовании модели КМ с двумер-

ными волокнами Выявлено, что использование МДВ не вносит существенных изменений в характер зависимости напряжений в элементах КМ от радиальной координаты, но сильно влияет на уровень напряжений в связующем Это связано с учетом работы связующего материала, расположенного между волокнами На рис 11 приведены результаты па-

Рис 11

раметрического расчета при использовании MOB (сплошные линии) и МДВ (пунктирные линии) Прямыми линиями изображены максимальные уровни напряжений в пластине с рациональными параметрами Видно, что проект с рациональными углами армирования обеспечивает минимальный уровень напряжений, как для модели с одномерными, так и для модели с двумерными волокнами

В Приложении приведены полученные коэффициенты разрешающих систем дифференциальных уравнений для теорий Кирхгофа -Лява и Андреева - Немировского, относящихся к Главе 3

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы

1 Решены новые краевые задачи расчета НДС многослойных по-лиармированных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец Проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и ряда уточненных теорий в линейной и нелинейной постановках Исследовано влияние принятых гипотез на характер распределения компонент тензора напряжений, деформаций и смещений по толщине пластины Показано, что для интенсивностей напряжений в элементах композита и нагрузок начального разрушения отличие в результатах, полученных по теориям с учетом и без учета поперечного сдвига, может составлять при определенных схемах армирования и механических ха-

рактеристиках КМ от 2 до 5 раз, для прогибов и удлинений до 2-х раз Проведенный параметрический анализ выявил, что наименьшее отличие между результатами, полученными по различным теориям, будет достигаться для областей структурных параметров, где уровень интен-сивностей напряжений в элементах КМ минимален Найдены области изменения геометрических параметров пластин, механических и структурных параметров КМ, при которых различие между результатами, полученными по различным теориям, не превышает 5%

2 Выполнено исследование НДС слоистых армированных пластин при использовании различных структурных моделей КМ Показано, что степень влияния выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС существенно зависит от структурных и механических параметров КМ и может составлять от 5% до 500% Выявлено, что чем больше объемное содержание арматуры, тем значительнее влияние выбора модели КМ При этом использование более простой модели с одномерными волокнами позволяет с запасом оценивать характеристики НДС тогда, когда влияние выбора модели КМ значительно Наименьшее отличие между результатами, полученными по различным моделям КМ, будет при согласовании направлений нагружения и армирования

3 Выполнено комплексное исследовано влияния структурных и механических параметров КМ на поведение круглых пластин, круговых и эксцентрических колец и на уровень нагрузок их начального разрушения Выявлено, чем больше отличие между механическими характеристиками арматуры и связующего материала, тем больше влияние структурных параметров от 1 5 раз для металлокомпозитов, до 8 раз для углепластика Изменением структуры армирования, выбором типа волокон и вида их укладки можно увеличить нагрузку начального разрушения до 12 раз Выявлены различные механизмы разрушения пластин, определены области структурных и механических параметров для различных видов нагружения при которых начальное разрушение может происходить либо в арматуре, либо в связующем материале

4 Получены аналитические решения задач изгиба многослойных круглых пластин и колец при использовании уточненной теории Андреева - Немировского Проведены сравнения численных решений, полученных методами сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации между собой, с аналитическими решениями, показавшие высокую степень совпадения результатов Показано, что использование нерегулярных сеток, позволяет на 3—6 порядков уменьшить погрешность счета

5 Решены задачи рационального проектирования эксцентрических и кольцевых пластин с равнонапряженной арматурой за счег специального выбора толщин, углов и интенсивностей армирования при использовании структурной модели КМ с одномерными волокнами Показана возможность использования полученных рациональных решений для структурной модели с двумерными волокнами Достоверность полученных рациональных решений обеспечена путем пересчета прямой задачи с найденными рациональными параметрами

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях

1 Морозова Е В Расчет напряженно-деформированного состояния термоупругих дисков и пластин из композиционных материалов // Материалы XXXVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" Математика Часть 1 / Новосиб ун-т / Новосибирск, 2000 — С 69

2 Морозова Е.В. О способе расчета многослойных композитных пластин // Материалы XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" Математика / Новосиб гос университет / Новосибирск, 2002 — С 153154

3 Морозова Е.В Расчет многослойных круглых композитных пластин с нецентральным круговым отверстием // Тезисы Всероссийской научной конференции "Математика Механика Информатика" Челябинск, 2006 — С 58

4 Голушко С К , Морозова Е.В. Напряженно-деформированное состояние термоупругих композитных дисков // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН, Новосибирск, 25-26 декабря 2000 г / Т II Математическое моделирование — С 18-22

5 Голушко С К , Морозова Е.В. Анализ влияния структуры армирования на прочность трехслойной кольцевой композитной пластины // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности Тр XVIII Межресп конф , Кемерово, 1-3 июля 2003 г / Под ред В M Фомина Новосибирск, 2003 — С 47-55

6 Голушко С К , Морозова Е В Расчет напряженно-деформированного состояния круглых многослойных композитных пластин // Вычислительные технологии, 2003 Т 8 Ч IV — С 167-175

7 Голушко С К , Морозова Е В. Начальное разрушение кольцевых композитных пластин при учете поперечного сдвига // Тр VII Всерос науч конф "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" Красноярск, 2003 Т 1 - С 86-93

8 Голушко С К , Морозова Е В. Анализ влияния структурных параметров многослойной композитной пластины на вид ее напряженно-деформированного состояния // Вычислительные технологии, 2004 Т 9 Вестник КазНУ Серия математика, механика, информатика, 2004 № 3 Совместный выпуск — С 107-112

9 Голушко С К , Горшков В В , Морозова Е.В., Юрченко А В Многослойные цилиндрические оболочки сравнение решений для различных оболочечных теорий и пространственной теории упругости // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности Тр XIX Всерос конф , Бийск, 28-31 августа 2005 г / Под ред В М Фомина Новосибирск, 2005 — С 77-84

10 Голушко С К , Морозова Е.В. Влияние выбора модели композиционного материала на напряженно-деформированное состояние кольцевой пластины // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности Тр XIX Всерос конф , Бийск, 28-31 августа 2005 г / Под ред В М Фомина Новосибирск, 2005 — С 85-91

11 Голушко С К , Морозова Е.В., Юрченко ABO численном решении краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ Серия математика, механика, информатика, 2005 № 2 — С 12-26

12 Голушко С К , Морозова Е В. Многослойные эксцентрические кольца с равнонапряженной арматурой // Труды международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" I том - Павлодар, 2006 - С 323332

МОРОЗОВА Евгения Валерьевна

Анализ деформирования упругих

композитных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 23 04 2007 Формат бумаги 60 х 84 1/16

Тираж 100 экз Заказ № "¡¿ГО

ЗАО "РИЦ "Прайс-Курьер", 630090, г Новосибирск, пр Академика Лаврентьева, 6

Введение.

1 Основные соотношения теории упругих многослойных по-лиармированных пластин

1.1 Соотношения пространственной теории упругости.

1.2 Сведение трехмерных задач теории упругости к двумерным уравнениям теории пластин с помощью метода гипотез

1.2.1 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Кирхгофа - Лява.

4 1.2.2 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Тимошенко

1.2.3 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Андреева - Немировского

1.2.4 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Григолюка - Куликова

1.3 Структурные и феноменологические модели композиционного материала.

1.3.1 Структурные модели полиармированного слоя

1.3.2 Критерии прочности и начального разрушения

1.3.3 Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными

2 Аналитические и численные методы решения задач теории упругих многослойных полиармированных пластин

2.1 Сведение двумерных задач теории пластин к одномерным с помощью метода разделения переменных.

2.2 Метод функционального нормирования в задачах теории пластин.

2.3 Метод дискретной ортогонализации.

2.4 Метод сплайн-коллокации.

2.5 Анализ эффективности методов сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации.

2.5.1 Длинная слоистая прямоугольная пластина.

2.5.2 Кольцевая слоистая пластина.

3 Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных полиармированных эксцентрических колец

3.1 Получение разрешающей системы уравнений.

3.2 Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разру

I * шепия.

3.3 Влияние выбора теории пластин на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

3.4 Влияние геометрических и структурных параметров на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения.

3.5 Влияние механических параметров КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

4 Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных полиармированных круглых пластин и колец

4.1 Разрешающая система уравнений

4.2 Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

4.3 Влияние выбора теории пластин на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

4.4 Влияние механических параметров КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

4.5 Влияние схем армирования и типа волокон на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

5 Рациональное проектирование круглых и эксцентрических колец с равнонапряженной арматурой

5.1 Постановка задачи рационального проектирования

5.2 Получение условий разрешимости переопределенной системы дифференциальных уравнений.

5.3 Рациональные решения для эксцентрических и круговых колец 5.4 Анализ достоверности и эффективности полученных рациональных решений.

В современной технике все более широкое применение находят тонкостенные анизотропные пластины и оболочки. Ведущую роль они занимают в авиационной и ракетно-космической технике, судо- и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве.

В конструкциях ответственного назначения данные элементы подвергаются повышенному уровню термосиловых, радиационных, агрессивных химических и прочих видов нагрузок. Такие виды нагружения предъявляют высокие требования к материалу конструкции, который помимо высоких прочностных и жесткостных свойств должен обладать дополнительными качествами. Для удовлетворения перечисленным выше требованиям часто используются неоднородней композиционные материалы (КМ).

Характерной особенностью рассматриваемых материалов, отличающих их от традиционных сплавов, является то, что они создаются одновременно с изготовлением конструкции. При этом их механические характеристики, обуславливаемые схемой расположения армирующих элементов, могут изменяться в широких пределах, что позволяет получать конструкции с направленной анизотропией механических свойств, соответствующей спектру действующих нагрузок. Залогом успешной реализации больших потенциальных возможностей, заложенных в структуре композиционного материала и свойствах его компонент, является уровень информированности конструктора об этих возможностях, принципах конструирования и методах расчета. Кроме того, высокая стоимость как самих материалов, так и установок для натурных экспериментов, приводят к необходимости проведения предварительных численных расчетов, что позволяет существенно повысить эффективность использования как материальных, так и денежных ресурсов предприятий и научных центров.

Композит представляет собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов, с сохранением индивидуальности каждого отдельного компонента. Один из компонентов, обладающий непрерывностью по всему объему, называется матрицей или связующим, компонент прерывный, разделенный в объеме композиции, является усиливающим или армирующим. В волокнистых композитах высокопрочные волокна воспринимают основные напряжения, возникающие в композиции при действии внешних нагрузок, и обеспечивают жесткость и прочности композиции в направлении ориентации волокон.

Волокна должны удовлетворять комплексу эксплутационных и технологических требований. Это условия по прочности, жесткости и стабильности свойств в процессе эксплуатации. Технологические свойства волокон определяют возможность создания высокопроизводительных процессов изготовления изделий на их основе. Другим важным требованием к КМ является совместимость материала волокон с материалом матрицы. В качестве армирующих элементов используются стеклянные, углеродные, борные, органические, стальные, вольфрамовые и другие волокна. Механические свойства некоторых волокон приведены в табл. 1, где р, Е, а* — плотность, модуль упругости и предел прочности волокна.

Важным элементом КМ является связующее, которое обеспечивает монолитность композита, фиксирует форму изделия и взаимное расположение армирующих волокон, распределяет действующие напряжения по объему материала, обеспечивая равномерную нагрузку на волокна и ее перераспределение при разрушении части волокон.

Таким образом, можно выделить 2 типа требований, предъявляемых к современным связующим материалам. Первый тип, связанный с физико-механическими характеристиками, такими как жесткость, она должна обеспечить совместную работу армирующих волокон при различных видах нагружения, прочность, что особенно важно при сопротив

Таблица 1

Волокно / з р, кг/м Е, ГПа а*, ГПа

Стеклянное: ВМ1 2580 95 4.2

Е-стекло 2540 73.5 3.5

М-стекло 2890 110 3.5

Углеродное: ВМН-4 1710 250 1.43

Кулон 1900 400 2.0

Торнел-800 1800 273 5.74

Арамидные: СВМ 1430 120 2.3

Терлон 1450 150 3.4

Кевлар-49 1450 130 3.6

Борное 2600 400 3.7

Кремниевое 2500 720 1.0

Стальное 7800 200 3.5

Вольфрамовое 19300 410 3.3 леиии сдвиговым нагрузкам и сопротивление температурным нагрузкам.

Технологические требования к матрице определяются процессом создания КМ. Она должна обеспечить: возможность предварительного изготовления полуфабрикатов, хорошее смачивание волокна жидкой матрицей в процессе пропитки, качественное соединение слоев композита, создание высокой прочности соединения матрицы с волокном. Результатом этих требований будет обеспечение равномерного распределения волокон в матрице, максимально возможное сохранение прочностных свойств волокон, создание прочного взаимодействия на границе волокно - матрица.

В качестве связующего применяются термореактивные и термопластичные полимеры, углеродные, керамические и металлические матрицы. Механические свойства некоторых матриц приведены в табл. 2.

Задача расчета композитных элементов конструкций в общем виде при использовании уравнений пространственной теории упругости пред

Таблица 2

Матрица р, кг/м3 Е, ГПа о-*, МПа

Полиэфирная 1200 2.8 70.150

Фенолоформальдсгидная 12 00 10 70.125

Эпоксидная 1200 3.0 100.160

Полиамидная 1400 4.0 90.250

Термопластичная 1300 20 60.200

Алюминиевая 2700 70 300

Магниевая 1740 37-43 250 - 310

Титановая 4500 120 360 - 1020

Никелевая 8900 200 1250 ставляет собой очень сложную проблему. В настоящее время были получены решения для узких классов задач, в которых материал или изотропен или характеризуется эффективными физико-механическими постоянными, которые не зависят от геометрии конструкции.

При расчете тонкостенных элементов конструкций для которых механические характеристики материала существенным образом зависят от координат эффективно используются теории пластин, построенные на основе различных предположений о распределении компонент тензора деформаций и напряжений по толщине.

Использование композитных пластин в качестве несущих элементов в конструкциях ответственного назначения вызвали необходимость учета дополнительных факторов, в частности, ярко выраженную анизотропию деформативных свойств полиармированных материалов, а также ослабленное сопротивление многослойных конструкций трансверсальным деформациям. Это, в свою очередь, потребовало разработки неклассических вариантов теорий пластин и поставило перед специалистами принципиально новые задачи. Использование существенно различных статических и кинематических гипотез привело в результате к значительному разнообразию расчетных схем и систем уравнений.

Разработке классической теории для пластин и оболочек, характеризуемых эффективными механическими постоянными, посвящены работы: И.А. Биргера [102], A.JI. Гольденвейзера [43], С.Г. Лехницкого [75], А.И. Лурье [76], В.В. Новожилова [95], [94], С.П. Тимошенко, С.А. Вой-новского-Кригера [107] и других.

Обширная литература посвящена разработке теорий многослойных композитных пластин и оболочек и решению разнообразных конкретных задач. Результаты исследований представлены, в частности, в монографиях Н.А. Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова [1], С.А. Амбарцумя-на [2, 3, 4], А. Н. Андреева, Ю.В. Немировского [8], В.Л. Бажанова и др. [10], В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [15], Г.А. Ван Фо Фы [19], В.В. Васильева [20], Ш.К. Галимова [30], Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [46], Э.И. Григолюка, П.П. Чулкова [52], В.И. Королева [74], А.К. Малмейсте-ра, В.П. Тамужа, Г.А. Тетерса [77], Х.М. Муштари [82, 83], Ю.В. Немировского, Б.С. Резникова [90], И.Ф. Образцова, В.В. Васильева, В.А. Бу-накова [96], П.М. Огибалова, М.А. Колтунова [97], Пикуля В.В. [99,100], А.О. Рассказова [103] и др.

Методам расчета тонкостенных конструкций и решению конкретных задач на ЭВМ посвящены работы Н.В. Валишвили [18], Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [46], Э.И. Григолюка, В.И. Мамая [49], Я.М. Григорен-ко и др. [60], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко [62], Я.М. Григоренко, Н.Н. Крюкова [66[, Я.М. Григоренко, А.П. Мукоеда [67, 68], В.И. Григорьева, В.И. Мяченкова [69], В.И. Королева [74], А.В. Кармишина и др. [71], Р.Б. Рикардса [104] и др.

Можно выделить несколько направлений в развитии двумерных теорий пластин и оболочек.

К первому направлению относится подход, основанный на решении задач определения харакетристик НДС, при использовании классических гипотез Кирхгофа. Данная расчетная схема получила широкое распространение при расчете изотропных пластин вследствие своей простоты. Для тонких изотропных и слабо анизотропных пластин она является вполне приемлемой. Однако известно, что пластины из слоистоволокнистых композиционных материалов, обладают ослабленным сопротивлением поперечным сдвигам и применение классической теории Кирхгофа - Лява для расчета многослойных пластин с ярко выраженной анизотропией слоев может привести к существенным погрешностям, и тем самым существенно снизить ценность полученных решений.

Статическим и динамическим задачам расчета анизотропных слоистых пластин, базирующихся на гипотезах Кирхгофа-Лява, посвящена обширнейшая литература, которая подробно отражена в работах С.А. Амбарцумяна [2, 3, 4], Э.И. Григолюка, Ф.А. Когана [44], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко [62, 63, 64, 65] и др.

К настоящему времени разработано большое количество уточненных теорий, различающихся между собой по структуре, широте охвата учитываемых факторов. В работах второго направления развитие получили теории учитывающих поперечный сдвиг (и реже поперечные нормальные деформации и напряжения в слоях), на основе "интегральных" гипотез о характере распределения поперечных касательных напряжений и перемещений по толщине всего пакета слоев в целом. Преимуществом теорий данного напрявления является то, что порядок получающихся при решении систем уравнений не зависит от количества слоев. Широкое распространение получили теории, построенные на основе гипотезы "прямой линии" Тимошенко.

В настоящее время развивается подход, в рамках которого формулируются гипотезы о характере распределения поперечных напряжений по толщине слоев. Данный подход был использован при построении ряда теории С.А. Амбарцумяном [2, 3, 4].

В монографии А.Н. Андреева, Ю.В. Немировского [8] разработаны и приведены непротиворечивые с точки зрения вариационных принципов системы дифференциальных уравнений слоистых пластин и оболочек, установлены системы внутренних усилий, соответствующие принятым моделям деформирования, сформулированы корректные краевые условия, предложен и описан метод численного решения краевых задач неклассической теории многослойных оболочек — метод инвариантного погружения.

К третьему направлению относятся работы, в которых формулируются системы гипотез, позволяющие учитывать поперечный сдвиг, а нередко и поперечные нормальные деформации и напряжения в каждом слое отдельно. Порядок получающихся систем уравнений при этом зависит от числа слоев. Наиболее известными работами этого направления являются работы Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [46], Э.И. Григолюка, П.П. Чулкова [56, 57, 58] и В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [15]. Подробный анализ работ этого направления дан в обзоре Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [47].

Таким образом, развитие существующих и создание новых методов расчета многослойных полиармированных конструкций, анализ различных теорий и различных моделей композиционных материалов, определение границ их применимости является весьма важной и актуальной проблемой.

Использование композиционных материалов в изделиях современной техники приводит к необходимости учета выраженных анизотропных свойств армированного материала, что заставляет более тщательно подходить к выбору моделей КМ. В большинстве работ по расчету НДС композитных конструкций используется феноменологический подход для описания свойств композиционного материала [46, 49, 60, 62, 66, 67, 69] и др. Этот подход предполагает, что свойства материала постоянны для всей конструкции, однако в реальной конструкции эти свойства могут зависеть от координат пластины. К тому же использование этого подхода делает невозможным параметрический анализ НДС элементов конструкции от структуры армирования КМ, построение поверхностей прочности, так как требует экспериментального определения большого набора механических констант для различных по структуре материалов.

Использование феноменологических критериев прочности не позволяет определить механизмы разрушения композиционного материала и выявить, какой элемент КМ является наиболее слабым. От этих недостатков свободен структурный подход, в рамках которого, физико-механические характеристики КМ выражаются через характеристики его компонент и структурные параметры. В рамках данного подхода возникает ряд важных задач: сравнение результатов, полученных по различным структурным моделям КМ и исследование зависимости НДС конструкции от структурных и механических параметров КМ.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании особенностей деформирования круглых пластин, круговых и эксцентрических колец, выявлении зависимостей НДС от параметров КМ при использовании классической и ряда уточненных теорий в геометрически линейной и нелинейной постановках; решении задач рационального проектирования эксцентрических и круговых колец с равнонапряженной арматурой.

Научная новизна и значимость работы определяются следующими результатами, которые выносятся на защиту.

1. Решены новые краевые задачи расчета НДС многослойных полиармированных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец, проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и ряда уточненных теорий, различных структурных моделей КМ.

2. Исследовано влияние структурных и механических параметров КМ на поведение круглых пластин, круговых и эксцентрических колец и на уровень нагрузок их начального разрушения. Найдены области параметров для которых результаты, полученные по различным теориям и моделям, отличаются несущественно и указаны области параметров, для которых использование уточненных теорий необходимо.

3. Получены аналитические решения задач изгиба многослойных круглых пластин и колец в уточненной постановке, позволившие провести сравнения численных решений, полученных методами сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации между собой, с аналитическими решениями, показавшие высокую степень совпадения результатов.

4. Решены задачи рационального проектирования эксцентрических и кольцевых пластин с равнонапряженной арматурой за счет специального выбора толщин слоев, углов и интепсивностей армирования. Обеспечена достоверность полученных решений путем расчета прямой задачи определения НДС с полученными рациональными параметрами. Показана эффективность конструкций с рациональными параметрами.

Достоверность полученных численных результатов полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, предельными переходами от моделей конструктивно-неоднородных анизотропных пластин к классическим моделям однородных изотропных конструкций, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением численных решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XXXVIII, XL Международных научных студенческих конференциях (Новосибирск, 2000, 2002); Международной конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001); XVII, XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005); VII научной конференции "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 2003); Международных конференциях "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Усть-Каменогорск 2003; Алматы, 2004; Павлодар, 2006).

В полном объеме материалы кандидатской диссертации докладывались и обсуждались на Семинаре "Прямые и обратные задачи механики композитов" (руководитель — д.ф.-м.н. С.К. Голушко; Новосибирск, 2006); Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" ИВТ СО РАН (руководители — академик Ю.И. Шокин и д.ф.-м.н., профессор В.М. Ковеня; Новосибирск, 2006); Общеинститутском семинаре "Моделирование в механике" Института теоретической и прикладной механики СО РАН (руководитель - академик В.М. Фомин; Новосибирск, 2006).

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 12 печатных работ, в том числе 9 статей в научных журналах и сборниках трудов конференций [37] - [42], [78] - [80].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 196 стр., включая 70 рисунков и 22 таблицы. Список литературы содержит 115 наименований.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. Решены новые краевые задачи расчета НДС многослойных полиар-мированных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец. Проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и ряда уточненных теорий в линейной и нелинейной постановках. Исследовано влияние принятых гипотез на характер распределения компонент тензора напряжений, деформаций и смещений по толщине пластины. Показано, что для интенсивностей напряжений в элементах композита и нагрузок начального разрушения отличие в результатах, полученных по теориям с учетом и без учета поперечного сдвига, может составлять при определенных схемах армирования и механических характеристиках КМ от 2 до 5 раз, для прогибов и удлинений до 2-х раз. Проведенный параметрический анализ выявил, что наименьшее отличие между результатами, полученными по различным теориям, будет достигаться для областей структурных параметров, где уровень интенсивностей напряжений в элементах КМ минимален. Найдены области изменения геометрических параметров пластин, механических и структурных параметров КМ, при которых различие между результатами, полученными по различным теориям, не превышает 5%.

2. Выполнено исследование НДС слоистых армированных пластин при использовании различных структурных моделей КМ. Показано, что степень влияния выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС существенно зависит от структурных и механических параметров КМ и может составлять от 5% до 500%. Выявлено, что чем больше объемное содержание арматуры, тем значительнее влияние выбора модели КМ. При этом использование более простой модели с одномерными волокнами позволяет с запасом оценивать характеристики НДС тогда, когда влияние выбора модели КМ значительно. Наименьшее отличие между результатами, полученными по различным моделям КМ, будет при согласовании направлений нагружения и армирования.

3. Выполнено комплексное исследовано влияния структурных и механических параметров КМ на поведение круглых пластин, круговых и эксцентрических колец и на уровень нагрузок их начального разрушения. Выявлено, чем больше отличие между механическими характеристиками арматуры и связующего материала, тем больше влияние структурных параметров: от 1.5 раз для металлокомпози-тов, до 8 раз для углепластика. Изменением структуры армирования, выбором типа волокон и вида их укладки можно увеличить нагрузку начального разрушения до 12 раз. Выявлены различные механизмы разрушения пластин, определены области структурных и механических параметров для различных видов нагружения при которых начальное разрушение может происходить либо в арматуре, либо в связующем материале.

4. Получены аналитические решения задач изгиба многослойных круглых пластин и колец при использовании уточненной теории Андреева - Немировского. Проведены сравнения численных решений, полученных методами сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации между собой, с аналитическими решениями, показавшие высокую степень совпадения результатов. Показано, что использование нерегулярных сеток, позволяет на 3—6 порядков уменьшить погрешность счета.

5. Решены задачи рационального проектирования эксцентрических и кольцевых пластин с равнонапряженной арматурой за счет специального выбора толщин, углов и интенсивностей армирования при использовании структурной модели КМ с одномерными волокнами. Показана возможность использования полученных рациональных решений для структурной модели с двумерными волокнами. Достоверность полученных рациональных решений обеспечена путем пересчета прямой задачи с найденными рациональными параметрами.

1. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.

2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: ГИФМЛ, 1961. 384 с.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость, колебания. М.: Наука, 1967. — 266 с.

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.

5. Андреев С.В., Паймушип В.Н. Соотношения нелинейной теории трехслойных оболочек со слоями переменной толщины // Прикл. механика и техн. физика. 1993. Т. 34. № 3. С. 120-128.

6. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. К теории упругих многослойных• анизотропных оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, 1977. № 5. С. 87-96.

7. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. 288 с.

8. Багмутов В.П., Брызгалин Г.И. Согласованные проекты общего вида для армированных пластин и оболочек // Механика деформируемых сред. Куйбышев, 1978. Вып. 3. С. 136-142.

9. Бажанов B.JI. и др. Пластинки и оболочки из стеклопластиков. М.: Высшая школа, 1970. — 408 с.

10. И. Бидерман B.J1. Механика тонкостенных конструкций. М: Машиностроение, 1977. — 488 с.

11. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения. Москва, ГН-ТИ "Оборонгиз", 1961. 368 с.

12. Боган Ю.А., Немировский Ю.В. О распределении напряжений в упругой равнонапряженно-армированной пластине // Прикл. ме-хан., 1976. Т. 12. №7. С. 33-38.

13. Боган Ю.А., Немировский Ю.В. Плоская задача теории упругости для среды с двумя семействами равнонапряженной волокнистой арматуры // Прикл. матем. и механ., 1977. Т. 41. С. 150-159.

14. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. — 375 с.

15. Бушманов С.Б., Немировский Ю.В. Проектирование пластин, армированных равнонапряженными волокнами постоянного поперечного сечения // Механика композитных материалов, 1983. №2. С. 278-284.

16. Ван Фо Фы Г.А. Конструкции из армированных пластмасс. Киев: Технжа, 1971. 220 с.

17. Васильев В.В. Механика конструкций из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1988. — 269 с.

18. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Метод функционального нормирования для краевых задач теории оболочек. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 160 с.

19. Власов В.В. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.; JL: Гостехиздат, 1949. — 784 с.

20. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. 420 с.

21. Галимов Н.К. К теории тонких пологих оболочек с заполнителями при конечных прогибах // В сб. Нелинейная теория пластин и оболочек. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1962. С. 61-95.

22. Галимов Н.К. О применении полиномов Лежандра к построению уточненной теории трехслойных пластин и оболочек // В сб. Ис-след. по теории пластин и оболочек. Вып. 10. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1973. С. 371-385.

23. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. — 326 с.

24. Галимов Н.К. К построению уточненной теории средне го изгиба трехслойных пластин и оболочек // Статика и динамика оболочек. 1979. №12. С. 31-52.

25. Галимов Н.К. К построению уточненной нелинейной теории трехслойных пластин и оболочек // В сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 15. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1980. С. 57-70.

26. Галимов Н.К., Муштари Х.М. К теории трехслойных пластин и оболочек // В сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 2. Казань: Казанск. гос. ун-т. 1964. С. 35-47.

27. Галимов Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во ун-та, 1990. 136 с.

28. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук, 1961. Т. 16. № 3. С. 171-174.

29. Голушко С.К. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения Дис. . докт. физ.- мат. наук. Новосибирск, 2005.

30. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии, 2002. Т. 7. №2. С. 24-33.

31. Голушко С.К., Морозова Е.В. Напряженно-деформированное состояние термоупругих композитных дисков // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН, Новосибирск, 25-26 декабря 2000 г./ Т. И: Математическое моделирование. — С. 18-22.

32. Голушко С.К., Морозова Е.В. Расчет напряженно-деформированного состояния круглых многослойных композитных пластин // Вычислительные технологии, 2003. Т. 8. Ч. IV. — С. 167-175.

33. Голушко С.К., Морозова Е.В., Юрченко А.В. О численном решении краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика,2005. № 2. С. 12-26.

34. Голушко С.К., Морозова Е.В. Многослойные эксцентрические кольца с равнонапряженной арматурой // Труды международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании". I том. Павлодар, 2006. - С. 323-332.

35. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

36. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек //Прикл. мех. 1972. Т. 8. Вып. 6. С. 3-17.

37. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Методы исследования напряженно-деформированного состояния многослойных композитных оболо