Задача усиления и ремонта пластины с вырезом посредством накладки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Землянова Анна Юрьевна

ЗАДАЧА УСИЛЕНИЯ И РЕМОНТА ПЛАСТИНЫ С ВЫРЕЗОМ ПОСРЕДСТВОМ НАКЛАДКИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор Сильвестров Василий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Желтков Владимир Иванович кандидат физико-математических наук, доцент Чекмарев Георгий Евгеньевич

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится «14» июня 2005 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 в Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, ГСП, пр. Ленина, 92 (9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2005 г.

Ученый секретарь Лк

диссертационного совета ч Л.А. Толоконников

imí 95"

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению задачи уситения и ремонта бесконечной пластины с вырезом при помощи двумерной накладки, присоединенной к пластине жестко вдоль одной или нескольких кривых, в качестве которых могут выступать границы накладки и выреза или другие линии

Актуальность темы. Многие тонкостенные конструкции, в том числе и тонкие упругие пластины, содержат дефекты в виде отверстий и трещин, которые появляются в конструкции как в процессе изготовления, так и в процессе эксплуатации, например, в результате приложения интенсивных нагрузок или действия корроши Наличие отверстий в пластине вызывает концентрацию напряжений на границе отверстий и ведет, в конечном счете, к преждевременному выходу детали го строя На практике для подкрепления границ отверстий часто применяются так называемые ремонтные заплаты (двумерные накладки), соединенные с основной пластиной вдоль узких полос при помощи склеивания, сварки, часто расположенных заклепок и шурупов и т д В расчетах на прочность эти полосы в определенных рамках можно заменить линиями В свою очередь, ремонтные заплаты, вводимые для предотвращения разрушения, сами являются концентраторами напряжений, поэтому представляется актуальным исследование напряженного состояния пластин с отверстиями, подкрепленных двумерными накладками, и получение аналитических решений соответствующих задач теории упругости. Именно эту цель и преследует данная диссертационная работа.

В настоящее время достаточно полно изучено влияние одномерных (стрингеров или ребер жесткости) и двумерных накладок (ремонтных заплаток) на напряженное состояние пластин с дефектами в виде трещин Рассмотрены такие способы соединения, как дискретное соединение (в отдельных точках) и непрерывное соединение (вдоль отдельных линий или двумерных областей). Результаты этих исследований представлены в работах M П Саврука, В С Кравца, L R.F. Rose, С H Wang, G Dowrick, D G. Caitwright, F. Erdogan, К. Arm, L.M. Кеег, C.T. Lin, T Mura, T Swift, R A Mitchell, R M Wooley, D.J Chwirut и многих других авторов В отличие от пластин с трещинами, подкреплению вьфезов в пластинах посвящено значительно меньшее количество работ Задачи об усилении круглою или эллиптического отверстия в пластине при помощи ребер жесткости исследованы в работах А И Каландия, В M Александрова, С M Мхитаряна, Г H Савина, H П Флейшмана, Э И Григолюка, В M Толкачева, И Г. Арамановича, В И Тульчия и др Подкрепление круглых отверстий в пластине двумерными накладками, приклеенными к пластине вдоль своей поверхности, рассматривалось в работах H Engels, D Zakharov, W Beckcr, R.A Mitchell, R.M Wooley, D J Chwirut, P С Tse, K.J Lau, W H Wong и др. Исследования по ремонту пластин с отверстиями при помощи двумерных накладок, присоединенных к пластине вдоль отдельных линий, в настоящее время практически отсутствуют

Цель диссертационной работы. Разработка аналитических методов исследования напряженного состояния пластин с отверстиями, подкрепленных двумерными накладками, присоединенными к пластине вдоль одной или нескольких

кривых.

Методы исследования. Для решения конкретных задач в зависимости от формы выреза, накладки и линий соединения применяются методы степенных рядов, конформных отображений, матричной краевой задачи Римана и интегральных уравнений Основой для всех исследований служат формулы Колосова -Мусхелишвили, выражающие напряжения и смещения в пластине и накладке через аналитические функции (комплексные потенциалы) Для численного решения системы сингулярных интегральных уравнений, к которой сводится задача об усилении выреза произвольной формы посредством двумерной накладки, применяется метод механических квадратур

Научная новизна полученных результатов. Развитие методов плоской теории упругости применительно к задачам об усилении пластин с вырезами двумерными накладками, присоединенными к пластине вдоль некоторых кривых Решение в замкнутой форме задач о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки в случае различных способов соединения пластины с накладкой, о ремонте пластины с эллиптическим вырезом (в том числе и прямолинейной трещиной) при помощи конфокальной эллиптической накладки Исследование задачи ремонта выреза в пластине посредством двумерной накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы, в случае произвольной формы выреза и накладки, исследование задачи о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи мшн олистной круглой вставки того же радиуса, присоединенной к пластине вдоль всей граничной окружности или отдельных ее дуг Изучение напряженного состояния пластины и накладки на линиях соединения и границе выреза, нахождение параметров, характеризующих прочность системы «пластина - накладка» к разрушению (максимальных напряжений на линиях соединения и границе выреза, коэффициентов интенсивности напряжений в случае разомкнутых контуров).

Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задач и математических методов их решения, совпадением полученных решений в ряде частных случаев с известными решениями

Теоретическая ценность работы состоит в обосновании применимости методов плоской теории упругости к решению задач об усилении и ремонте пластин с вырезами при помощи двумерных накладок, присоединенных к пластине вдоль некоторых кривых

Практическую ценность представляют результаты решения ряда конкретных задач, формулы для параметров, характеризующих прочность системы «пластина. - накладка» к разрушению

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на Всероссийской научной конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001 2002), на Втором международном конгрессе студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука - третье тысячелетие» (Москва, 2002), на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л А Толоконникова на 'II V Всероссийских конференциях-

1 г«,**™» > I

| т Ш ««* *

' ----~---

фестивалях творчества студентов «Юность Большой Волги» (Чебоксары, 2000 -2003); на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004); на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2005, руководитель -профессор Маркин А. А ), на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2001-2005, руководитель - профессор Сильвестров В.В.),

Все приведенные в работе исследования проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 98-01-00308, 01-0100720, 04-01-00160).

Публикации. Основное содержание работы изложено в 20 работах, 8 из которых написаны в соавторстве с В В Сильвестровым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 30 параграфов, заключения и списка литературы из 138 наименований. Содержит 58 рисунков и 7 таблиц Общий объем работы 196 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, дан обзор литературы по затронутым вопросам, кратко изложено содержание работы. Перечислены основные предположения, сделанные при решении задач;

- пластина и накладка (или составляющие их листы в случае главы 4) являются тонкими, упругими, однородными и изотропными;

- все приложенные к пластине или накладке усилия расположены в срединной плоскости пластины и накладки и даны в расчете на единицу толщины пластины или накладки;

- пластина и накладка между собой не касаются или касаются без трения и взаимодействуют только через линию (линии) соединения;

- соединение пластины и накладки предполагается жестким, т е. на линии (линиях) соединения выполняются условия непрерывности смещений с разных сторон линии и условия равновесия точек линии;

- пространственный эффект концентрации напряжений на линии (линиях) соединения пластины и накладки и вблизи нее пренебрежимо мал; эффекты продольного изгиба пластины также пренебрежимо малы;

- система «пластина - накладка» находится в обобщенном плоском напряженном состоянии.

В первой главе рассматриваются различные варианты ремонта пластины с круговым вырезом при помощи круглой накладки, как в случае совпадающих центров выреза и накладки (концентрический случай), так и в случае, когда центры выреза и накладки находятся в разных точках (эксцентрический случай). Пластина и накладка, здесь и далее, имеют толщины, модули сдвига и коэффициента Пуассона h, ju, v н h^, /ja, v0 соответственно. На бесконечности пластины действуют заданные напряжения.

В § 1 дается механическая и математическая постановка задачи об усилении пластины S с круговым вырезом, занимающей область \z\>R, при помощи концентрической круглой накладки 50 |z|<i?0 {R присоединенной к пластине вдоль всей своей границы La '\z\=Ra На границе выреза L.\ z|= R действуют заданные нормальное и касательное напряжения

(сгг +1тгв)(1) = p(t), teL, а на линии соединения L0 выполняются условия жесткого соединения пластины и накладки

(U + /V)0(0 = (U + IV),(/) = {и+ iv)2 (0, Л0(о"г +iTrf))0(t) + h(ar +iTre)t(t) = h(arr +irri>)2(t), teL0,

где и + iv - вектор смещений, сгг, тгв - нормальное и касательное напряжения в полярных координатах, нижний индекс 0 соответствует накладке S0, индекс 1 -части St . R < | z |< R0 пластины, находящейся внутри линии соединения, индекс 2 - части S2 ■ | z |> R0 пластины, находящейся снаружи линии соединения

Считаем, что в системе «пластина - накладка» реализуется напряженное состояние, мало отличающееся от обобщенного плоского

При помощи формул Колосова - Мусхелишвили в полярных координатах задача сводится к нахождению 6 аналитических в областях Sk (к = 0,1, 2) функций Фк(г), Ц\ (z), удовлетворяющих краевым условиям

ф,(0 + Ф/Ô-Що-нЩо = р(0,__ /_

м.-'(г0Ф0(0 - Ф0(0 + гф'й(0 + г'^0(р)= КФ^О-Ф^О + /Ф[(() + /-w,(/) = = *Ф2 (0 - Ф J (t ) + (ф'2 (( ) +1-' fV2 (0, teL0,__

а.(ф0(о+фв(о - /фосо-ф, (/>+ф,(о - /ф; (о - rw, (о = = ф2(/) + ф2(0-гф'2(0-'-,^2(0- /б£о, a.=v*

В окрестности да функции Ф2(г), *?2 (г) имеют заданные представления

Ф2(г) = Г - Qz-1 + 0(z-2), ^(z) = Г + srgz"1 + 0(z~2), где постоянные Г, Г', Q выражаются через заданные на со напряжения и главный вектор усилий, приложенных к границе выреза

В § 2 путем представления комплексных потенциалов Ф*(г), Ч^ (z) в виде степенных рядов и разложения заданной функции p(t) в ряд Фурье получены конечные системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов степенных рядов Решения этих систем находятся в явной форме Приводятся достаточные условия на функцию р(1), при выполнении которых все проведенные операции со степенными рядами являются законными.

В § 3 проводится исследование напряженного состояния пластины и накладки в случае отсутствия нагрузок на границе выреза p(t) = 0. Приводятся формулы для нахождения напряжений в пластине и накладке, смещений точек линий L и L0 Показано, что экстремальные значения напряжений егг, ств на каждой окружности | z |= г в пластине и накладке достигаются при полярных углах в1 = - i arg Г' и 0г = - argT'), а напряжение гр„ - при 03 =|(л-2а^Г') и

б

= - } (тг + 2 а^ Г') Таким образом, значения полярных углов вк, к = 1,4, не зависят ни от полярного радиуса г, ни от упругих и геометрических параметров пластины и накладки, а зависят только от а^Г', т.е. от действующих на оо силовых параметров Приводятся графики смещений и напряжений в пластине и накладке на линиях Ь и £0, рассматривается зависимость напряжений от геометрических и упругих параметров.

ав !а _ __ шах \ав\!а

я/2 Зтс/4 Рис. 1

2

Г

На рис. 1 а сплошными линиями показаны деформации границ выреза Ь и накладки Ьд, а пунктирными линиями - исходные положения окружностей £ и Ьй до приложения нагрузок. На со пластаны действует нормальное напряжение сг" = а, остальные силовые параметры равны нулю На рис. 1 б для тех же нагрузок представлены графики нормального напряжения ав на границе выреза Ь. Сплошной линией показаны графики ае на границе выреза при усилении его накладкой, пунктирной линией - при отсутствии накладки. Напряжения а, и тгв на Ь равны нулю априори. Как следует из рисунка, в рассматриваемом примере наличие накладки уменьшает концентрацию напряжения егв на границе выреза в несколько раз. Расчеты проведены при следующих значениях параметров пластины и накладки: /¿ = 40МПа, ^ = 037, = 174.2МПа, у0=0.22, к = 2И0, Я0-2Я. На рис. 1 в приведены графики максимального по абсолютной величине значения растягивающего напряжения ад в пластине на границе выреза при усилении его накладкой в зависимости от отношения ц! рс0 модулей сдвига пластины и накладки. Значения остальных параметров те же самые. Линии 1 на рисунке - графики при нагружении пластины напряжением сг" = а, линии 2 - напряжением г" = а.

В отсутствие накладки тах | а9 \ на границе выреза равен За при ст" = а и равен 4о при х'„ = а. При сг' = сг максимальное значение ] сг91 достигается в точках с полярными углами в = ±л/2, а при т^-а - в точках с полярными углами

0 = ±я74 И0 = ±3я74.

В §§ 4-6 решается задача о концентрической круглой накладке па круглом вырезе в случае соединения пластины и накладки вдоль некоторой концентрической с границами накладки и выреза окружности, вообще говоря, не совпадающей с ними. В §§ 7-9 приводится решение задачи в случае соединения концентрической накладки с пластиной вдоль границы выреза и границы накладки одновре-

менао Обе задачи сводятся к решению конечных систем линейных уравнений, исследуется напряженное состояние в пластине и накладке, приводятся числовые примеры.

В § 10 рассматривается задача о ремонте бесконечной пластины S с круговым вырезом с границей I | z - z01= г при помощи эксцентрической круглой накладки S0 :\z\<Rb (R0 > r+\z01), присоединенной к пластине вдоль своей границы /0 : | z | = R0. На оо пластины и на границе выреза I действуют заданные напряжения, а на линии соединения /0 выполняются условия жесткого соединения пластины и накладки'

WX„+/r„)(0 = V(0, tel, (и + «'v)0 it) = (и +1 v), (i) = (и + iv)2 (г), t e l0, K(X„+iYn\(t) + h(JCn+iYn\(t) = KX„+iYn)1(t), tel,, где Xn и Y„ - горизонгалт.ная и вертикальная компонент вектора напряжений, действующих па касательную площадку к линии I или /0 в точке t, индексы 0, 1 и 2 соответствуют значениям того или иного параметра со стороны накладки S0, кольцевой части пластины, расположенной между окружностями I, 1й и части S2 пластины, расположенной вне окружности 10

Считаем, что в системе «пластина - накладка» реализуется обобщенное плоское напряженпое состояние, которое и требуется определить.

Для решения задачи в § 11 строится конформное отображение концентрического кругового кольца Я <| çr |< Ra (R = R$(c-z0)/(rc)) в плоскости вспомога-1ельной комплексной переменной ç на -эксцентрическое круговое кольцо \z-z0\>r, | Z |< Rq в плоскости z '

z = a>(ç)=Rt(ç + c)/(R20+cç), где постоянная с выражается через параметры z0, г, R0.

Комплексные потенциалы в новой переменной ç ищутся в виде

<P'o(.Ç) = ÎXoÇ-», о?"'

я=0 и=0 +«0 _ +00

vî(ç) = -Qfoç + > К (О = «б in? + ' Ç"6 5Г'

Я=—со +00

л=0

щ+сд [} + сд!Щ) s

где iS^ (¿ = 0,1,2) - прообразы областей Sk при конформном отображении z = а(д).

Для нахождения комплексных потенциалов имеем краевые условия

я

а(д)

К о <Ро (?) - —— <р'й\д)- (?) = М'

N

/А» ¿0 |?|=Д0> ¿ = 1,2

^ Г ——

®(<Г)

-К-1Г

4=1

Ы=1ц/к, деЬ0,

где интеграл берется по дуге окружности £ • | д |= И от точки = Я до точки д е £ против часовой стрелки, а С\ и С2 есть значения левых частей первого и третьего равенств в точках Я и Я0 соответственно

Подставляя представления комплексных потенциалов в краевые условия, задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов рядов Доказывается квазирегулярность полученной системы, приводится достаточное условие существования ее единственного ограниченного решения, обеспечивающее законность всех операций со степенными рядами, проведенных для решения задачи В § 12 проводится сравнение с частным случаем концентрической накладки, рассмотренным ранее в §§ 1 -3. Приводятся числовые расчеты; для приближенного решения бесконечпой системы линейных алгебраических уравнений применяется метод редукции.

В § 13 рассматривается задача о соединении эксцентрической круглой накладки с пластиной с круглым вырезом вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. В § 14 методом степенных рядов, используя конформное отображение, введенное в § 11, задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений Дается сравнение со случаем концентрического выреза (§§ 7 - 9), приводятся числовые расчеты (§ 15)

Вторая глава посвящена изучению напряженного состояния, возникающего в бесконечной пластине S с эллиптическим вырезом с границей I х2 / а2 + у2 / Ь1 =1, усиленным конфокально расположенной эллиптической накладкой с границей /0. х7 1а\ + у7 =1 (а0 > Ь0, а0>а, а2 -Ь2 =а% = с2), под действием заданных нагрузок, приложенных на бесконечности пластины и на границе выреза, если она не является линией соединения Рассматриваются два способа соединения пластины и накладки 1) только вдоль границы накладки и 2) вдоль границы выреза и границы накладки одновременно.

В § 1 рассматривается соединение пластины с накладкой вдоль границы накладки /0, на которой, как и ранее, выполняются условия жесткого соединения

С помощью функции Жуковского г = а>{д) = с(д + д~1)/2 перейдем от плоскости вспомогательной комплексной переменной д к плоскости комплексной переменной г. Функция 2 = со(д) осуществляет конформное отображение кругового кольца : 1 <[ д |< Яа (Я0 = (а0 + - сг ) / с ) на область с разрезом по отрезку [-с, с], кольца 5": <| ? [<^ (Л = (а + \1а2 -с2)/с) на область ^ и области :1Я 1> -^о ш область 52. При этом границе I выреза соответствует окружность

9

/, • 12 != Л (Я ¿1), линии соединения /с - окружность Ьй ,\д |= Я0 (В.0 >И).. а разрезу [-с, с] - единичная окружность | д |= 1. причем точкам х + Ю и х - ;0 на берегах разреза соответствуют точки д и д на верхней и нижней полуокружностях Ьпд > 0 к\д\=\, 1т£-<0 Вершины г = ±с разреза перейдут соответственно в точки д = ±1. Комплексные потенциалы в новой переменной д ищутся в виде

¿о

р;(д) = -д1пд+ ¿сп1д», у1'(д) = ,с<21пд + с1т + деЯ,';

= ^+ ¿с„я2д-»,

2

«Специальная» форма рядов для функций ц/"к(д) взята с целыо получения более простых уравнений для нахождения коэффициентов рядов.

При помощи формул Колосова - Мусхелишвили задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, проводится исследование полученной системы, доказывается ее квазирегулярность, приводится достаточное условие существования ее единственного ограниченного решения, обеспечивающего законность всех операций с рядами, проведенных при решении задачи На численных примерах рассматривается распределение напряжений в пластине и накладке в случае эллипгоческого выреза (§ 3) и предельном случае, когда эллиптический вырез вырождается в прямолинейную трещину (§ 4). В последнем случае напряжения в вершинах трещины имеют традиционную степенную особенность порядка и их интенсивность определяется двумя коэффициентами интенсивности напряжений к{, кг, для нахождения которых имеем

(*, -Л2)(±с) = И^лТс<р'х'(±\).

На рис. 2 изображены кривые (сплошные линии), в которые деформируются трещина / = [-с,с] и линия соединения 10. Пунктирные линии соответствуют исходным положениям линий /, /0. Графики построены при к = А0, а = с, а0 =1.1е, // = 73МПа, у = 0.42, =40МПа, у0 =0.37 На <х> пластина растягивается на-

го

пряжением егМПа, действующим под углом 45° к положительному направлению действительной оси при нулевых остальных силовых данных

к, Ца4с)

к2 На4с)

Рис 3

Расчеты показывают заметное уменьшение коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещины при подкреплении пластины накладкой На рис 3 приведены графики коэффициентов интенсивности напряжений в правой вершине трещины 2 = с в зависимости от угла а направления действия растягивающего напряжения сг1 =<г, приложенного на сю пластины при нулевых остальных силовых параметрах Пластина и накладка имеют одинаковую толщину И = й0 и а0/с = 1.1 На этих рисунках линия I соответствует пластине с упругими постоянными // = 73МПа, V- 0 42 и накладке с //0 = 40МПа, у0 =0.37, линия 2 -пластине с // = 40МПа, V = 0 37 и накладке с //0 = 73МПа, к0 = 0 42, линия 3 -пластине и накладке с одинаковыми ц = МПа, у=у0 - 0 42, а пунктирная

1(а4с)

линия - пластине с трещиной при отсутствии наладки

Замечено также ненулевое значение коэффициента кх при растяжении пластины вдоль трещины (а = 0 ), чего не наблюдается, например, в случае пластины с трещиной при отсутствии накладки, когда к] =0 независимо от упругих и геометрических параметров задачи Подтверждающие это графики зависимости кх от Д = а0/с приведены на рис 4.

В § 5 формулируется задача о конфокальной эллиптической накладке, присоединенной к пластине вдоль границы выреза и границы накладки одновременно Аналогичным образом задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе (§ 6), приводятся числовые расчеты (§ 7) На численных примерах исследуется зависимость напряжений от геометрических, упругих и силовых параметров

В третьей главе рассматривается усиление бесконечной пластины с вырезом произвольной формы при помощи накладки, также имеющей произвольную форму и присоединенной к пластине жестко вдоль всей своей границы Кривые Ь и

К

являющиеся границами выреза и накладки, предполагаются замкнутыми кон-

п

турами Ляпунова, не имеющими между собой общих точек Механическая постановка задачи дается в § 1 На бесконечности пластины и на границе выреза действуют заданные напряжения, а на линии соединения выполняются условия жесткого соединения'

(o-.+«r„X0=P(0. teL>

(и + ivy (t) = (и + ivy (0 = (и + iv); (t), t е L0, Kfr. +'ОоЧО + Л(а-„ +ir„y(t) = h(a„ +irn)'(t). teL0,

1де ст„ + i'r„ - вектор напряжений, действующих на касательную площадку к линии, верхний индекс «+» («-») соответствует предельному значению того или иного параметра слева (справа) от контура, контур L обходится по часовой стрелке, контур /,0 - против часовой стрелки, параметры с нижним индексом «О» соответствуют накладке, а параметры без нижнего индекса - пластине Функцию pit) считаем гельдеровской на кривой L.

В § 2 по методике М.П Саврука выводятся интегральные представления комплексных потенциалов через скачки напряжений и производных от смещений на границе выреза и границе накладки. При помощи формул Колосова - Мусхели-швили задача сводится к системе трех сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах L и ¿0 относительно трех неизвестных функций g'(t), leL,

и q(D, go (J), teL0.

r-f r-

ill.

Itx

g'(T)dT+ j In i

-tdt^

_1___к dît

т-t f-tdt

1

т-t dtN

q{r)dr +

f-t (f-'tfdt (K + \yl

g'(T)dr+ ~^~jg'(t)dt +

dt л{

■Pii О,

teL,

Л-rb

dt

(f-t)2 dt

q(r)dr =

к

T-t

1 dt

m

i ~ + ^ Л т-t т-t

f-idt

dP dt

'(r)ir+ --J

f . , (X- + 1)"1 с

q(T)dT + i-—i— J

1

т-t dt

m

т-t (r -ty dt

1 r-f dt f-t (f -tfdt/

\g'(f)dT +

q(r)dT +

^^¡uq(t)dl\ = i(KB+l)g-0(t), teL,,

1 1С

dt nlLo

'•(*•0 + 1ШО

♦¿.J

г-/

-i eft

2л- :

-1

_ r-f dt

т-t (f-tfdt

/

л(ка +1)

/

yo , *

r-f f •

t dt

q(r)dT +

i У1

тг(к-0 +1);

1

r-f

f - t (J- ty dt

q(T)dT = Q, teL0,

где лг = (3- у)/( 1 + у), к0 = (3 - у0)/(1 + у„), цй! ц, И. = й0 /Л , постоянные Г, I ' выражаются через заданные на ос пластины напряжения, постоянные (), М -через заданные на границе выреза нагрузки, а

г Л\ /2 / 2 ян2;

р2(О = «Г-Г-Г'^-к0

ш

1 1сЛ

- +--

/ IЖ

✓

\_t_dt_ I П Л

м л

н--=--

Л

Проводится исследование полученной системы на разрешимость. Доказыва-егся теорема единственности решения рассматриваемой задачи При помощи згой теоремы посредством сведения системы сингулярных интегральных уравнений к равносильной ей системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода доказывается ее однозначная разрешимость в классе функций, непрерывных по Гельдеру на соответствующих линиях В § 3 рассматриваются численные примеры Для приближенного решения системы синг> лярных интегральных уравнений применяется метод механических квадратур Рассматривается ряд примеров для различных форм границ выреза и накладки

В четвертой главе решается задача о ремонте кругового выреза радиуса Я в пластине при помощи многолистной круглой вставки, имеющей тог же радиус, что и вырез Многолистная вставка состоит из набора круглых пластин 5,, ., одинакового размера, наложенных друг на друга таким образом, что их границы совпадают Решение задачи проводится для более общего случая, когда пла-сшна также является многолистной, те состоит из бесконечных пластин 5т+1, Л'тт2, , 5'т+„ с круговым вырезом радиуса Я, наложенных друг на друга так, что границы вырезов во всех пластинах совпадают Пластина (у' = 1,т+п) имеет толщину модуль сдвига и коэффициент Пуассона \> 1. На бесконечности каждого из листов 8тгк {к = 1, п) действуют заданные напряжения и вращения В § 1 рассматривается соединение пластины с вставкой вдоль всей общей граничной окружности Ь | г |= Я Решение задачи строится методом степенных рядов Комплексные потенциалы имеют следующий вид

Ф,(2) = ^, |г|<Д, 7 = 1,2, ,т,

ФО) = Г* - <2кг4 + а^к)г'г,

+ Кт+к<2к2 +Ь_2 (т*к)2 2 3 + Ь ,4(т+к)г 4,

| г |> Л, к = 1,2,..,и, где Тк, У'к, <2к - известные константы, а постоянные а0;, Ь^, а_2(а+к), ,

^ Ь_4(м+к) найдены в явной форме. Приводятся выражения для напряжений

в каждом из листов пластины и вставки, а также для смещений на линии соединения, рассматриваются примеры

В § 2 дается постановка задачи в случае соединения многолистной пластины с многолистной вставкой только вдоль отдельных дуг = общей гра-

ничной окружности С ,\г\= Я На свободных от соединения частях границ I' = С \Ь пластин задаются значения нормальных N1(1) и касательных Тк(г) напряжений При помощи формул Колосова -Мусхелишвили задача приводится к матричной краевой задаче Римана, которая затем в § 3 сводится к т + п самостоятельным краевым задачам Римана, строится решение этих задач В § 4 даны выражения для коэффициентов интенсивности напряжений на концах дуг соединения Оказывается, что напряжения на концах дуг помимо традиционной степенной особенности порядка имеют еще и осциллирующую особенность порядка (/?, где р - некоторое действительное число; причем, в отличие от классического случая межфазной трещины, напряжения вблизи конца дуги соединения зависят от 2(от + п -1) коэффициентов интенсивности напряжений, которые при каждом конкретном значении к, как функционалы от исходных данных (упругих постоянных и толщин пластин, усилий на линии V и на бесконечности пластин ,

к = 1, п) линейно независимы между собой. В то же время, коэффициенты в разных пластинах линейно выражаются друг через друга. В § 5 дается сравнение частного случая задачи, когда пластина и вставка соединены вдоль всей граничной окружности, с результатами § 1 Рассматриваются примеры в случае соединения пластины и вставки, состоящей из двух листов, вдоль одной дуги или вдоль двух симметрических дуг Приводятся графики напряжений и коэффициентов интенсивности напряжений.

В заключении приведены основные результаты, полученные в данной диссертационной работе и выносимые на защиту

1 Аналитическое решение задачи об усилении и ремонте пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки, полностью покрывающей вырез и присоединенной к пластине одним из следующих трех способов- либо только вдоль границы накладки, либо вдоль некоторой концентрической с границами накладки и выреза окружности, либо вдоль границы накладки и границы выреза одновременно.

2 Аналитическое решение задачи о подкреплении пластины с круговым вырезом эксцентрической круглой накладкой, присоединенной к пластине либо только вдоль границы накладки, либо вдоль границы накладки и границы выреза одновременно

3 Аналитическое решение задачи о пластине с эллиптическим вырезом (в том числе, и с прямолинейной трещиной), подкрепленной конфокальной эллиптической накладкой, присоединенной к пластине либо только вдоль границы накладки, либо вдоль границы накладки и границы выреза одновременно

4 Построение и исследование системы сингулярных интегральных уравнений задачи усиления пластины с вырезом при помощи накладки, покрывающей вырез и присоединенной к пластине вдоль своей границы Вырез и накладка имеют произвольную форму, ограничивающие их кривые не пересекаются и являются кривыми Ляпунова

5. Решение в замкнутой форме задачи о ремонте кругового выреза в бесконечной пластине с помощью многолистной круглой вставки, присоединенной к пластине вдоль всей граничной окружности или только вдоль отдельных ее дуг. Мно-голистная вставка имеет ту же форму, что и вырез.

14

Основные реп тьтяты диссертации отра-кены в следующих работах

! Си /нкест/юс В В Зеи миова 1Ю Напряженное состояние системы у пругих пластин. соединенных вдоль окружности < Известия национальной Академии на-\к и искусств Чувашской Республики 2000. X» 4 С 54—60

2 Земшшхш I Ю Система круговых пластин, соединенных друг с другом вдоль дуг граничной окружности '' "I руды математического центра имени Н И Лобачевского Т 12 Лобачевские чтения - 2001 Казань Ил-во "ДАС", 2001 С 87

3 Си швеипров В В Зеичянова 4 Ю Упругое взаимодействие трех круговых пластин др>1 с друюм вдоль дуг обшей граничной окружности н Известия национальной Академии наук и искусств Чувашской Республики 2001 X? 5 2002 № 2 С 28-43

4 Земшнова I Ю Метод степенных рядов в задачах о круговой заплатке // Труды математического центра имени Н И Лобачевского Т 18' Лобачевские чтения - 2002 Казань'Казанское математическое общество, 2002 С 31-32

5 Зе\пиноаа ПО Анализ напряжений вблизи концов линии соединения пакета круговых гшастин '/ Математическое моделирование и краевые задачи. Труды двенадцатой межвузовской конференции Часть 1 Самара Самарский государственный! ехнический университет 2002 С 71-74

6 Зеишшма I Ю Взаимодействие системы упругих круговых пластин друг с трутом вдоль ду! граничной окружности II Сборник 1е!нсов участников Второго Между нарочного конгресса студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука третье тысячелетие»/У5ТМ'02 Часть 2 Москва «Профессионал». 2002. С 9 10.

7 Си ¡ыкипров В В . Зе\пянова .4 Ю Усиление пластинки с круглым отверстием с помощью заплатки, присоединенной вдоль концентрической окружности // Известия национальной Академии паук и искусств Чувашской Республики 2003 № 3 С. 57-72.

8 Земшноиа I Ю Об одном способе ремонта пластины с эллиптическим выре-гом '' Современные проблемы математики, механики, информатики' Тезисы докладов международной научной конференции Тула: Изд-во ТулГУ, 2003 С. 133— 136.

9. Зеимиова I 10 Математическое моделирование ремонта тонкостенных конструкций посредством заплатки // Республиканский конкурс научных работ молодых исс ¡едователей «Молодежь в научном обществе». Сборник материалов Чебоксары 2003 С. 14-27.

10. Си /ынчтров В В Зе\пянова ¡10 Ремонт пластины с круговым вырезом посредством заплатки // Прикладная механика и техническая физика 2004 Т 45 №4 С 176-183.

11 Си /ы,ее трое В В Земчянова 4 Ю Растяжение пласт ины с эллиптическим вырезом, усиленной софокусной эллиптической накладкой " Механика компош-ционных материалов и конструкций. 2004 Т 10. К" 4 С 577-595.

12 (. и пместрив ВВ. Земчянова -) Ю Некоторые модели ремонта пластин с вырезами посредством заплатки '/Труды III Всероссийской конференции по теории у пруI ости с международным участием Ростов-на-Дону 11овая книга, 2004. С

IR -8890

13. Землянова А Ю Об одном способе усиления пластины с прямолинейной трещиной // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды всероссийской научной конференции. Часть 1 Самара- Самарский государственный технический университет. 2004. С. 90-94.

14. Землянова А Ю Влияние конфокальной эллиптической накладки на напряженное состояние пластины с эллиптическим вырезом // Современные проблемы механики и прикладной математики. Сборник трудов международной школы-семинара Часть 1. Т. 1. Воронеж Воронежский государственный университет. 2004. С 247-249.

15. Зе\пянова А Ю Сравнительный анализ способов усиления пластины с эллиптическим вырезом посредством конфокальной эллиптической накладки // Труды Математического центра им Н И. Лобачевского Т 28 Модели механики сплошной среды Материалы XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды, Казань, 4-10 июля 2004 г. Казань- Изд-во Казанского математического общества, 2004. С. 82-86.

16 Зе\пянова А Ю Ремонт-пластины с круговым вырезом с помощью эксцентрической круглой накладки // Труды Математического центра имени Н.И Лобачевского. Т 25 Казанское математическое общество. Актуальные проблемы математики и механики. Материалы международной конференции. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2004 С 125-126

17. Зехпяиойа А Ю Применение метода конформных отображений для решения задачи о подкреплении кругового выреза эксцентрической крупой накладкой // Зимняя шкота по механике сплошных сред (четырнадцатая) Тезисы докладов. Екатеринбург УрО РАН, 2005. С. 27.

18 Земчяноьа / Ю О единственности решения задачи об усилении пластины с вырезом при помощи накладки // Математическое моделирование и краевые задачи Труды всероссийской научной конференции Часть 1 Самара Самарский государственный технический университет. 2005.

19 Зе к я нова -I Ю, Сильвестров В В Задача о круглой заплатке // Прикладная математика и механика. 2005. Т. 69. Вып 4.

20 Сичьпестров В В Зеилянова А Ю Задача об усилении пластины с эллиптическим вырезом посредством накладки // Проблемы механики деформируемых твердых тет и горных пород: М.: Физматлит, 2005

Формат 60x84/16 Объем 1,0 п.л. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано в типографии Чувашского государственного университета имени И.Н Ульянова 428015 Чебоксары. Московский проспект, 15

14769

Введение

Глава 1. Ремонт и усиление пластины с круговым вырезом при помощи круглой накладки

§ 1. Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы.

§ 2. Решение задачи.

§3. Исследование напряженного состояния и числовые расчеты.

§ 4. Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль концентрической окружности.

§ 5. Решение задачи.

§ 6. Исследование напряженного состояния и числовые расчеты.

§ 7. Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль границы выреза и границы накладки одновременно.

§8. Решение задачи.

§ 9. Исследование напряженного состояния и числовые примеры.

§ 10. Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи эксцентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы.

§ 11. Решение задачи.

§12. Частный случай и числовые расчеты.

§ 13. Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи эксцентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы и границы выреза.

§ 14. Решение задачи.,.

§ 15. Числовые расчеты.

Глава 2. Ремонт пластины с эллиптическим вырезом при помощи конфокальной эллиптической накладки

§ 1. Задача о ремонте пластины с •'■ эллиптическим вырезом при помощи конфокальной эллиптической накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы.

§2. Решение задачи.

§ 3. Распределение напряжений в пластине и накладке.

§ 4. Накладка на прямолинейной трещине.

§5. Задача о ремонте пластины с эллиптическим вырезом при помощи конфокальной эллиптической накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы и границы выреза.:.

§6. Решение задачи.

§ 7. Распределение напряжений в пластине и накладке.

Глава 3. Ремонт и усиление пластины с вырезом произвольной формы при помощи накладки

§1. Постановка задачи.

§2. Интегральные уравнения задачи.

§3. Числовые расчеты.

Глава 4. Ремонт кругового отверстия в пластине посредством многолистной круглой вставки

§ 1. Задача устранения кругового выреза в пластине посредством многолистной вставки, присоединенной к пластине вдоль всей границы выреза.

§ 2. Задача о многолистной круглой вставке, соединенной с пластиной вдоль дуг граничной окружности.

§ 3. Решение задачи.

§4. Коэффициенты интенсивности напряжений.

§5. Частные случаи и примеры.

Многие тонкостенные конструкции, в том числе и тонкие упругие пластины, содержат дефекты в виде отверстий и трещин, которые появляются в конструкции как в процессе изготовления, так и в процессе эксплуатации, например, в результате приложения интенсивных нагрузок или действия коррозии. Наличие отверстий в пластине вызывает концентрацию напряжений на границах отверстий и ведет, в конечном счете, к преждевременному выходу детали из строя. На практике для подкрепления границ отверстий часто применяются так называемые ремонтные заплаты (двумерные накладки), соединенные с основной пластиной ' вдоль узких полос при помощи склеивания, сварки, часто расположенных заклепок и шурупов и т. д. В расчетах на прочность эти полосы в определенных рамках можно заменить линиями. В свою очередь, ремонтные заплаты, вводимые для предотвращения разрушения, сами являются концентраторами напряжений, поэтому представляется актуальным исследование напряженного состояния пластин с отверстиями, подкрепленных двумерными накладками, и получение аналитических решений соответствующих задач теории упругости. Именно эту цель и преследует данная диссертационная работа.

Исследованию напряженного состояния пластин с дефектами в виде отверстий и трещин посвящено множество работ. В монографии Н.И. Мусхелишвили [30] рассмотрены первая и вторая основные задачи теории упругости для бесконечной пластины с круговым или эллиптическим отверстием, а также для областей, конформно отображаемых на круг. Полностью посвящена решению задач для пластин и оболочек с отверстиями монография Г.Н. Савина [44]. Рассматриваются задачи об одном или нескольких отверстиях в бесконечной плоскости или полуплоскости в случаях растяжения, сжатия, чистого сдвига, чистого изгиба. Для решения задач применяются методы плоской теории упругости, основанные на формулах Колосова - Мусхелишвили. Метод сингулярных интегральных уравнений используется при решении плоских задач теории упругости для многосвязных областей с отверстиями и трещинами в монографии М.П. Саврука [46]. В монографии Э.И. Григолюка, JI.A. Филыптинского [16] рассматриваются задачи для пластин и оболочек, ослабленных двоякопериодической системой одинаковых круглых отверстий. Различные задачи для пластин, ослабленных вырезами, рассматриваются также в книгах [8, 21, 24] и работах многих других авторов. Еще большее число работ посвящено изучению пластин и оболочек с трещинами. Упомянем только монографии Н.И. Мусхелишвили [30], В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышина [33], М.П. Саврука [46], J1.T. Бережницкого, М.В. Делявского, В.В. Панасюка [7], Г.П. Черепанова [80].

Остановимся на некоторых вопросах ремонта и усиления конструкций с дефектами в виде отверстий и трещин. Для этих целей довольно часто используются одномерные или двумерные накладки, присоединяемые к пластине дискретно (в отдельных точках) или непрерывно вдоль узких полос или двумерных областей.

Подкрепление тонкостенных конструкций при помощи одномерных накладок (стрингеров) особенно часто используется в авиастроении, когда нужно совместить максимальную прочность конструкции с ее минимальным весом. Исследованию напряженного состояния полуплоскости, плоскости и упругого клина с прикрепленными стрингерами посвящены работы [1, 2, 4-6, 10, 15, 20, 21, 29, 43, 81, 82, 86-88,. 99, .101]. Подкрепление пластин с трещинами при помощи стрингеров рассматривается в работах [21, 50, 51, 93, 95, 103, 104, 107, 111]. В случае пластины с трещиной к положительным результатам может привести также высверливание дополнительных разгружающих отверстий в вершинах трещины [34].

В монографии А.И. Каландия [21] рассматривается задача о бесконечной пластине с круговым отверстием, усиленной прямолинейным стрингером, непрерывно прикрепленным к ней в радиальном направлении и выходящим одним, концом на обвод отверстия. Задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое решается численно методом механических квадратур.

В работе И.Г. Арамановича [3] рассматривается распределение напряжений в изотропной полуплоскости, ослабленной круговым отверстием, в которое впаяно упругое круговое кольцо из инородного материала. Задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Полученная система квазирегулярна при как угодно сближенных границах области.

В работе В.И. Тульчия [73] рассматривается задача об изгибе изотропной плоскости с двумя подкрепленными круговыми отверстиями при однородной нагрузке на бесконечности. Подкрепляющие кольца рассматриваются как стержни с равными жесткостями на изгиб и кручение.

В монографии В.М. Александрова, С.М. Мхитаряна [1] рассматриваются задачи о бесконечной пластине с круговым отверстием, усиленным по обводу одной или двумя одинаковыми симметричными упругими кольцеобразными накладками, жестко сцепленными с пластиной. Задача о бесконечной пластинке с эллиптическим отверстием, подкрепленным ребром жесткости, изучается в монографии Г.Н. Савина, Н.П. Флейшмана [45].

В статье Wang Gul-Fang [117] решается задача о плоском напряженном состоянии пластины с круговым отверстием, подкрепленным упругим кольцом, под действием нормальных и касательных усилий. Решение задачи строится с использованием рядов Фурье и функций комплексного переменного. В замкнутой форме приводятся выражения для смещений и напряжений. Дается распределение напряжений вдоль контура отверстия.

В работе М.З. Вулицкого и И.Д. Суздальского [11] рассматривается пластина, содержащая периодическую систему круговых отверстий и периодическую систему стрингеров. К пластине приложены растягивающие усилия, направление которых совпадает с направлением стрингеров. Оценивается взаимное влияние стрингеров и отверстий. Задача приводится к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению. Результаты вычислений представлены для коэффициента концентрации напряжений на контуре отверстия в виде таблицы и для коэффициента интенсивности напряжений на конце стрингера в виде графика.

Наряду со стрингерами применяются двумерные накладки, приваренные, приклеенные или приклепанные к конструкции. Во многих случаях они, помимо подкрепления отверстий и трещин, могут обеспечивать также герметичность, местную прочность конструкции, защиту от коррозии и т.п., т.е. выполнять сразу несколько полезных функций.

Подкрепляющие свойства двумерных накладок достаточно полно исследованы в случае пластин с трещинами. Усиление пластин с трещинами при помощи дискретно присоединенных двумерных накладок рассмотрено в работах [85, 89, 94, 100].

В статье М.М. Ратвани [39] рассматривается задача усиления пластины с прямолинейной трещиной при помощи сплошной пластины, приклеенной к пластине с трещиной вдоль своей поверхности, с учетом имеющейся вокруг трещины отслойки эллиптической формы. Склеивающий слой моделируется как упругая пружина, работающая на сдвиг. Задача сводится к системе двух уравнений Фредгольма. Проводится сравнение с численным решением, полученным методом конечных элементов.

В статье С.Н. Wang, L.R.F. Rose [116] рассматривается бесконечная пластина с прямолинейной трещиной, усиленная приклеенной вдоль всей своей поверхности другой бесконечной пластиной. Полученная двухслойная пластина с трещиной в одном из слоев нагружена на бесконечности нормальными и касательными напряжениями, поверхность трещины свободна от напряжений. Задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма на конечном отрезке в случае, когда пластина с трещиной и подкрепляющая пластина изотропны и имеют одинаковый коэффициент Пуассона. Проводится параметрическое исследование полученного уравнения. В замкнутой форме получено асимптотическое значение коэффициента интенсивности напряжений для длинных трещин.

В работе G.J. Tsamasphyros и др. [114] рассматривается бесконечная пластина с центральной прямолинейной трещиной, подкрепленная эллиптической накладкой, приклеенной к пластине вдоль всей своей поверхности. Аналитическое решение задачи основано на математической модели L.R.F. Rose. Проводится сравнение с численным решением, полученным при помощи метода трехмерных конечных элементов.

В статье C.N. Duong, J. Yu [95] решается задача об усилении металлического листа с трещиной при помощи стрингеров и композитной накладки, приклеенной вдоль своей поверхности. Накладка может быть либо бесконечным ортотропным листом, либо бесконечной ортотропной полосой, расположенной перпендикулярно направлению трещины. Вокруг трещины предполагается существование области отслойки эллиптической формы. Задача решается при помощи метода совместности смещений с использованием методов теории функций комплексного переменного и метода интегрального преобразования Фурье. Показано, что влияние стрингеров на коэффициенты интенсивности напряжений несущественно для трещины полностью покрытой накладкой.

В работе В.И. Гришина, Т.К. Бегеева [17] рассматривается пластина с центральной прямолинейной трещиной, усиленная прямоугольной накладкой. Методом конечных элементов вычисляются коэффициенты интенсивности напряжений для различных способов соединения пластины и накладки: клеевого, заклепочного и клеезаклепочного. Установлено, что применение заклепочного соединения менее эффективно по сравнению с клеевым соединением, а при наличии клея заклепки практически не снижают коэффициенты интенсивности напряжений.

Некоторые другие способы ремонта пластин с трещинами при помощи накладок, приклеенных к пластине вдоль своих поверхностей, рассматриваются в работах [28, 89, 92, 97, 98,102, 108, 109,113, 118].

В работе М.П. Саврука, B.C. Кравца [49] предложен общий подход к решению задачи о подкреплении ограниченной пластины с трещинами двумерными накладками, упруго соединенными с основной пластиной вдоль своих контуров. При решении задачи используется метод сингулярных интегральных уравнений, развитый в двумерных краевых задачах математической теории трещин [33, 46]. Задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных скачков напряжений или производных от смещений на контурах трещин и границах накладок. Случай жесткого соединения по контуру подкрепляющей • двумерной накладки и бесконечной пластины с трещиной рассматривается в

48].

В работе Y.H. Chen, H.G. Hanh [91] • решается задача об усилении квадратной анизотропной пластины с центральной прямолинейной трещиной при помощи круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы. При помощи методов теории функций комплексного переменного приближенное решение задачи находится из решения конечных систем линейных алгебраических уравнений. Показано, что в подкрепленной пластине существенно уменьшаются коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещины. Близкая по постановке задача рассматривается также в [84].

В отличие от пластин с трещинами, подкреплению вырезов в пластинах I при помощи двумерных накладок посвящено значительно меньшее количество работ.

В работе Н. Engels, D. Zakharov, W. Becker [96] рассматривается усиление круглого отверстия в бесконечной анизотропной пластине с помощью двусторонних эллиптических кольцеобразных накладок произвольного размера, приклеенных к пластине вдоль своих поверхностей. Задача решается в замкнутой форме при помощи представления комплексных потенциалов в виде специальных рядов внутри и вне усиливаемой области. Проводится сравнение с решением, полученным численно методом конечных элементов.

В работе Р.С. Tse, K.J. Lau, W.H. Wong [115] исследуется усиление композитной панели с центральным круглым отверстием при помощи квадратной композитной накладки. Накладка имеет центральное круглое отверстие, совпадающее с отверстием в основной пластине, и приклеивается к пластине вдоль всей своей поверхности. Задача решается методом трехмерных конечных элементов.

В работе Р. Митчела, Р. Вули, Д. Чвирута [28] рассматриваются задачи об усилении пластины с круговым вырезом или с круговым вырезом и двумя симметричными трещинами, отходящими от краев отверстия в радиальном направлении, при помощи прямоугольной накладки, приклеенной к пластине вдоль своей поверхности. Для решения задач применяется метод конечных элементов.

Задачи теории упругости для многолистных пластинчатых конструкций, к которым могут быть отнесены и некоторые задачи, рассматриваемые в этой диссертационной работе, исследовались в работах [32, 41-43, 56, 57, 62, 66-71, 76-78,81].

В работах В.В. Сильвестрова и Г.Е. Чекмарева [56, 57, 66, 76-78] изучаются пакеты тонких бесконечных упругих пластин, соединенных между собой вдоль коллинеарных отрезков или вдоль дуг одной окружности. При заданных, вообще говоря, разных нагрузках на бесконечности каждой из пластин, исследуется напряженное состояние, мало отличающееся в каждой пластине от обобщенного плоского, находятся коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) вблизи концов отрезков и дуг соединения. Исследования основаны на использовании комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили и матричной краевой задачи Римана.

В работах В.В. Сильвестрова и А.В. Шумилова [67-71, 83] исследуются пакеты пластин, соединенных друг с другом вдоль одной окружности, концентрических окружностей, вдоль одной окружности и в отдельной точке, а также вдоль конечного числа разомкнутых кривых Ляпунова. В зависимости от вида кривой, вдоль которой пластины соединены между собой в пакет, используются методы матричной краевой задачи Римана, степенных рядов и интегральных уравнений. В результате, в замкнутой форме решена задача соединения тонких упругих пластин в пакет вдоль одной окружности и вдоль конечного числа концентрических окружностей. Исследовано напряженное состояние пластин и характер распределения напряжений на линиях соединения пластин. Решена явно задача соединения пластин в пакет вдоль окружности и в отдельной точке. Изучено' влияние точки соединения на распределение напряжений на линии соединения и обратно. Разработан метод решения задачи соединения пластин в пакет вдоль разомкнутых кривых. Доказана ее эквивалентность конечному числу задач теории упругости для отдельных, не связанных между собой, пластин с жесткими включениями вдоль линий соединения. Установлена связь между напряжениями и КИН в пластинах, находящихся в составе пакета, и соответствующими напряжениями и КИН в отдельных пластинах с жесткими включениями.

В работах В.В. Сильвестрова и И.А. Иванова [19, 63-65] рассматриваются периодические задачи теории упругости для пакетов, пластин, соединенных вдоль коллинеарных отрезков, вдоль коллинеарных отрезков и в отдельных точках и вдоль разомкнутых кривых Ляпунова.

Указанными авторами метод краевой задачи Римана в сочетании с другими методами используется также для исследования напряженного состояния и решения соответствующих задач теории упругости для других типов многолистных пластинчатых конструкций (поверхностей): многолистной римановой поверхности с разрезами, соединяющими ее точки ветвления, берега которой принадлежат крайним листам [52-55, 58]; конструкции со сквозными разрезами вдоль коллинеарных отрезков, образованной из нескольких пластин с одинаковыми разрезами путем наложения их друг на друга и соединения между собой отдельно верхних берегов соответствующих разрезов всех пластин и отдельно нижних берегов [59, 79] конструкции, образованной из нескольких пластин с одинаковыми коллинеарными разрезами, которые наложены друг на друга и соединены между собой только вдоль верхних берегов соответствующих разрезов (при этом нижние берега разрезов всех пластин никаким образом не контактируют между собой) [61, 75, 79]; слабоизогнутой винтовой поверхности [61].

В работе В.В. Сильвестрова [110] изучается многолистная пластинчатая конструкция со сквозным криволинейным разрезом, образованная путем наложения друг на друга нескольких одинаковых тонких однородных пластин с разрезами, одноименные берега которых соединены между собой. На берегах разреза задаются внешние усилия, а на бесконечности каждой пластины - напряжения, вращение и сосредоточенная сила, которые действуют в плоскостях пластин так, что все листы конструкции находятся в напряженном состоянии, мало отличающемся от обобщенного плоского. Методом интегральных уравнений устанавливается асимптотика напряжений вблизи концов разреза и находятся инвариантные Г-интегралы Черепанова. В отличие от одной отдельной пластины с разрезом, вблизи вершины которого интенсивность напряжений, имеющих степенную особенность порядка '/2, зависит от двух действительных КИН, на рассматриваемой конструкции вблизи вершины разреза напряжения, хотя и имеют степенную особенность порядка /4, но их интенсивность зависит от четырех КИН. В работе [60] указанным методом устанавливается порядок особенности напряжений вблизи вершины криволинейной щели в конструкции, образованной из двух бесконечных пластин, одна из которых разрезана вдоль заданной кривой, затем наложена и присоединена вдоль одного из берегов разреза к другой сплошной пластине.

Задачи, рассматриваемые в главе 4 данной диссертационной работы, можно также отнести к задачам о частично отсоединившемся круглом упругом включении в бесконечной пластине.

В работах P.B.N. Prasad, K.R.Y. Simha [105, 106] рассматриваются задачи об одной или двух трещинах между круглым упругим включением в бесконечной упругой пластине и самой пластиной. В определенных точках пластины действуют сосредоточенные силы, а на бесконечности - заданные напряжения. При помощи комплексных потенциалов Мусхелишвили задача сводится к краевой задаче Римана. Находятся коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин при различных напряжениях на бесконечности и различных размерах трещины.

В работе E.N. Theotokoglou, Е.Е. Theotokoglou [112] рассматривается задача взаимодействия частично отсоединившегося круглого упругого включения и прямолинейной, трещины в бесконечной пластине, подверженной действию заданных напряжений на бесконечности. Методом комплексных потенциалов Мусхелишвили задача сводится к одному сингулярному интегральному уравнению только по границе трещины. Интегральное уравнение решается методом механических квадратур. Находятся коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах прямолинейной и межфазной трещин.

Технологические проблемы, связанные с проектированием различных тонкостенных пластинчатых конструкций, и проблемы их прочности изучаются в книгах [27, 74]. .

Для исследования и решения задач теории упругости, рассматриваемых в данной диссертационной работе, используются методы степенных рядов, конформных отображений, матричной краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений. Суть этих методов применительно к классическим задачам теории упругости изложена в монографиях Н.И. Мусхелишвили [30], М.П. Саврука [46], А.И. Каландия [21], А.С. Космодамианского [24], Г.Я. Попова [37], В.З. Партона и П.И. Перлина [35, 36], В.В. Панасюка,

М.П. Саврука, А.П. Дацышина [33], JI.A. Толоконникова и В.Б. Пенькова [72] и других.

В данной диссертационной работе рассматривается задача усиления и ремонта бесконечной пластины с вырезом при помощи двумерной накладки, присоединенной к пластине жестко вдоль одной или нескольких кривых. В качестве кривых могут выступать границы накладки и выреза или другие линии. При решении задачи делаются следующие основные предположения:

- пластина и накладка (или составляющие их листы в случае главы 4) являются тонкими, упругими, однородными и изотропными;

- все приложенные к пластине или накладке усилия расположены в срединной плоскости пластины и накладки и даны в расчете на единицу толщины пластины или накладки;

- пластина и накладка между собой не касаются или касаются без трения и взаимодействуют только через линию (линии) соединения;

- соединение пластины и накладки предполагается жестким, т.е. на линии (линиях) соединения выполняются условия непрерывности смещений с разных сторон линии и условия равновесия точек линии;

- пространственный эффект концентрации напряжений на линии (линиях) соединения пластины и накладки и вблизи нее пренебрежимо мал; эффекты продольного изгиба пластины также пренебрежимо малы;

- система «пластина - накладка» находится в обобщенном плоском напряженном состоянии.

При указанных условиях напряжения и смещения в каждой из областей, на которые пластина и ■ накладка разбиваются линиями соединения, выражаются по формулам Колосова - Мусхелишвили [30] через две аналитические в соответствующих областях функции, которые и требуется найти.

В первой главе рассматриваются различные варианты ремонта пластины с круговым вырезом при помощи круглой накладки, как в случае совпадающих центров выреза и накладки (концентрический случай), так и в случае, когда центры выреза и накладки находятся в разных точках (эксцентрический случай).

В § 1 дается постановка задачи об усилении пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки большего радиуса, присоединенной к пластине вдоль всей своей границы. На бесконечности пластины и на границе выреза действуют заданные напряжения. При помощи формул Колосова - Мусхелишвили в полярных координатах данная задача сводится к нахождению шести функции (комплексных потенциалов). Путем представления комплексных потенциалов в виде степенных рядов, в § 2 получены конечные системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов этих рядов, решения которых найдены в явной форме. Исследование напряженного состояния в пластине и накладке проводится в § 3. Приводятся явные выражения для напряжений и смещений в пластине и накладке при отсутствии напряжений на границе выреза, находятся полярные углы, при которых напряжения в пластине и накладке достигают своих экстремальных значений. Рассматриваются примеры, приводятся графики зависимости напряжений от упругих и геометрических параметров задачи.

В §§ 4-6 решается задача о концентрической круглой накладке на круглом вырезе в случае соединения пластины и накладки вдоль. некоторой концентрической с границами накладки и выреза окружности, вообще говоря, не совпадающей с ними. В §§ 7-9 приводится решение задачи в случае соединения концентрической накладки с пластиной вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. Обе задачи сводятся к решению конечных систем линейных уравнений,-исследуется напряженное состояние в пластине и накладке, приводятся числовые примеры.

В § 10 исследуется задача об эксцентрической круглой накладке на круговом вырезе в бесконечной пластине, присоединенной к пластине вдоль всей своей границы. Для решения задачи используется конформное отображение концентрического кругового кольца в плоскости вспомогательной переменной на эксцентрическое круговое кольцо, образованное границами выреза и накладки. Данное отображение осуществляется дробно-линейной функцией [25] и его конкретный вид приведен в § 11. При помощй представления комплексных потенциалов в виде степенных рядов по введенной вспомогательной переменной задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов. Доказывается квазирегулярность полученной системы, приводится достаточное условие существования ее единственного ограниченного решения, обеспечивающего законность всех операций со степенными рядами, проведенных при решении задачи. В § 12 проводится сравнение с частным случаем концентрической накладки, рассмотренным ранее в §§ 1 - 3. Приводятся числовые расчеты; для приближенного решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений применяется метод редукции.

В § 13 рассматривается задача о соединении эксцентрической круглой накладки с пластиной с круглым вырезом вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. В § 14 методом степенных рядов, используя конформное отображение, введенное в § 11, задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Дается сравнение со случаем концентрического выреза (§§ 7 - 9), приводятся числовые расчеты (§ 15).

Вторая глава посвящена изучению напряженного состояния, возникающего в бесконечной пластине с эллиптическим вырезом, усиленным конфокально расположенной эллиптической накладкой, под действием заданных нагрузок, приложенных на бесконечности пластины и на границе выреза, если она не является линией соединения. В § 1 рассматривается соединение пластины с накладкой вдоль границы накладки. При помощи конформного отображения, осуществляемого функцией Жуковского [25, 30], и метода степенных рядов задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Проводится исследование полученной системы, доказывается ее квазирегулярность. На численных примерах рассматривается распределение напряжений в пластине и накладке в случае эллиптического выреза (§ 3) и предельном случае, когда эллиптический вырез вырождается в прямолинейную трещину (§ 4). Для последнего случая строятся графики коэффициентов интенсивности напряжений, исследуется их зависимость от напряжений, приложенных к бесконечности пластины, размера накладки, отношения модулей сдвига пластины и накладки. В § 5 формулируется задача о конфокальной эллиптической накладке, присоединенной к пластине вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. Задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе (§ 6), приводятся числовые расчеты (§7).

В третьей главе рассматривается усиление бесконечной пластины с вырезом произвольной формы при помощи накладки, также имеющей произвольную форму и присоединенной к пластине жестко вдоль всей своей границы. Кривые, являющиеся границами выреза и накладки, предполагаются замкнутыми контурами Ляпунова, не имеющими между собой общих точек. Механическая постановка задачи дается в § 1. На границе выреза и на бесконечности пластины действуют заданные напряжения, расположенные в плоскости пластины. В § 2 по методике М.П. Саврука [46] выводятся интегральные представления комплексных потенциалов через скачки напряжений и производных от смещений на границе выреза и границе накладки. При помощи формул Колосова - Мусхелишвили задача сводится к системе трех сингулярных интегральных уравнений. Проводится исследование полученной системы на разрешимость. Доказывается теорема единственности решения рассматриваемой задачи. При помощи этой теоремы посредством сведения системы сингулярных интегральных уравнений к равносильной ей системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода доказывается ее однозначная разрешимость. В § 3 рассматриваются численные примеры. Для приближенного решения системы сингулярных интегральных уравнений применяется метод механических квадратур [46]. Рассматривается ряд примеров для различных форм границ выреза и накладки.

В четвертой главе решается задача о ремонте кругового выреза в пластине при помощи многолистной круглой вставки, имеющей тот же размер, что и вырез. Многолистная вставка состоит из набора круглых пластин одинакового размера, имеющих, вообще говоря, разную толщину и разные упругие постоянные, и наложенных друг на друга таким образом, что их границы совпадают. Решение задачи проводится для более общего случая, когда пластина также является многолистной, т.е. состоит из бесконечных пластин с одинаковым круговым вырезом, наложенных друг на друга так, что границы вырезов во всех пластинах совпадают. На бесконечности каждого из листов, составляющих пластину, действуют заданные напряжения и вращения. В § 1 рассматривается соединение пластины с вставкой вдоль всей общей граничной окружности. Решение задачи строится методом степенных рядов, в явном виде выписываются выражения для комплексных потенциалов, приводятся выражения для напряжений в каждом из листов пластины и накладки, а также для смещений на линии соединения; рассматриваются примеры. В § 2 дается постановка задачи в случае соединения многолистной пластины с многолистной накладкой только вдоль отдельных дуг общей граничной окружности. На свободных от соединения частях границ задаются значения внешних напряжений. При помощи формул Колосова -Мусхелишвили задача приводится к матричной краевой задаче Римана, которая затем в § 3 сводится к самостоятельным краевым задачам Римана, строится решение этих задач. В § 4 даны выражения для коэффициентов интенсивности напряжений на концах дуг соединения. Оказывается, что напряжения на концах дуг помимо традиционной степенной особенности порядка Уг имеют еще и осциллирующую особенность порядка //?, где /? -некоторое действительное число; причем, в отличие от классического случая межфазной трещины, напряжения вблизи конца дуги соединения зависят от

2(m + n -1) коэффициентов интенсивности напряжений, где т - число листов во вставке, а п - в пластине. В § 5 дается сравнение частного случая задачи, когда пластина и вставка соединены вдоль всей граничной окружности, с результатами § 1. Рассматриваются примеры в случае соединения пластины и вставки, состоящей из двух листов, вдоль одной дуги или вдоль двух симметрических дуг. Приводятся графики напряжений и коэффициентов интенсивности напряжений.

Для некоторых случаев проведено сравнение полученных в диссертационной работе результатов с результатами других авторов или с результатами, полученными автором иными методами. Решение задачи § 1 главы 4 в случае т = п и одинаковых толщин и упругих постоянных hj = hj+m,

Vj = vJ+m, fUj = juj+m составляющих пластину и накладку листов совпадает с решением, полученным В.В. Сильвестровым, А.В. Шумиловым [67] для пакета бесконечных пластин, соединенных вдоль окружности. Результаты, полученные в § 3 той же главы для частного случая т = 2, п = 0 сопоставлены с результатами В.В. Сильвестрова, О.А. Андреевой [62]. В ряде частных случаев, результаты данной работы сравниваются между собой. Проведено сопоставление результатов, полученных в случае эксцентрической накладки при z0=0 с соответствующими результатами в случае концентрической накладки. Напряжения, вычисленные в главе 3 при помощи численного решения системы сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур в случаях круглой накладки на круглом вырезе и конфокальной эллиптической накладки на эллиптическом вырезе совпадают с соответствующими результатами глав 1 и 2 с точностью порядка Ю-10 - Ю-15.

Отдельные результаты и работа в целом докладывались на Всероссийской научной конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001, 2002); на Втором международном конгрессе студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука - третье тысячелетие» (Москва, 2002); на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 80-летию со дня рождения профессора JI.A. Толоконникова (Тула, 2003); на II - V Всероссийских конференциях-фестивалях творчества студентов «Юность Большой Волги» (Чебоксары, 2000 - 2003); на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004); на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2005, руководитель - профессор Маркин А.А.); на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2001-2005, руководитель -профессор Сильвестров В.В.).

Основные результаты . диссертационной работы отражены в 20 публикациях [119-138].

Все приведенные в работе исследования проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 98-01-00308, 0101-00720, 04-01-00160).

Автор выражает большую благодарность научному руководителю профессору В.В. Сильвестрову за постоянное внимание к работе и ценные советы.

Основные результаты, полученные .в данной диссертационной работе и выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение задачи об усилении и ремонте пластины с . круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки, полностью покрывающей вырез и присоединенной к пластине одним из. следующих трех способов: либо только вдоль границы накладки, либо вдоль некоторой концентрической с границами накладки и выреза окружности, либо вдоль границы накладки и границы выреза одновременно.

2. Аналитическое решение задачи о подкреплении. пластины с круговым вырезом эксцентрической круглой накладкой, присоединенной к пластине либо только вдоль границы накладки, либо вдоль границы накладки и границы выреза одновременно.

3. Аналитическое решение задачи о пластине с эллиптическим вырезом (в том числе, и с прямолинейной трещиной), подкрепленной конфокальной эллиптической накладкой, присоединенной к пластине либо только вдоль границы накладки, либо вдоль границы накладки и границы выреза одновременно.

4. Построение и исследование системы сингулярных интегральных уравнений задачи усиления пластины с вырезом при помощи накладки, покрывающей вырез и присоединенной к пластине вдоль своей границы. Вырез и накладка имеют произвольную форму, ограничивающие их кривые не пересекаются и являются кривыми Ляпунова. 5. Решение в замкнутой форме задачи о ремонте кругового выреза в бесконечной пластине с помощью многолистной круглой вставки, присоединенной к пластине вдоль всей граничной окружности или только вдоль отдельных ее дуг. Многолистная вставка имеет ту же форму, что и . вырез.

Для всех упомянутых выше задач исследовано напряженное состояние в пластине и накладке, получены аналитические формулы для параметров разрушения, рассмотрены конкретные числовые примеры.

Заключение

1. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М-.: Наука, 1983. 488 с.

2. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Взаимодействие полубесконечного стрингера с полуплоскостью и полосой при наличии трения и сцепления // Известия РАН. Механика твердого тела. 1993. № 4. С. 184-191.

3. Араманович И.Г. О распределении напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием // Доклады АН СССР. 1955. Т. 104. № 3. С. 372-375.

4. Арутюнян Н.Х. Контактная задача для полуплоскости с упругим креплением // Прикладная математика и механика. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 632-646.

5. Арутюнян М.Х., Мхитарян С.М. Периодическая контактная задача для полуплоскости с упругими накладками // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. Вып. 5. С. 813-843.

6. Банцури Р.Д. Контактная задача для клина с упругим креплением // Доклады АН СССР. 1973. Т. 211. № 4. С. 797-800.

7. Бережницкий J1.T., Делявский М.В., ПанасЮк В.В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. Киев: Наукова думка, 1969. 220 с.

8. Вайнберг Д.В. Концентрация напряжений в пластинах около отверстий и выкружек. Киев: Техника, 1969. 220 с.

9. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. 379 с.

10. Воробьев В.Л., Попов Г.Я. Контактная задача для упругой полуплоскости и сцепленного с ней'полу бесконечного упругого стержня // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34. Вып. 2. С. 354-359.

11. Вулицкий М.З., Суздальский И.Д. Периодическая задача о взаимодействии систем круговых отверстий и стрингеров // Прикладная механика и техническая физика. 1982. № 2. С. 159-162.

12. Габдулхаев Б.Г. Об одном общем квадратурном процессе и его применении к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений // Доклады АН СССР. 1968. Т. 179. № 3. С. 515-517.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

15. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. 411 с.

16. Григолюк Э.И., Филынтинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. 556 с.

17. Гришин В.И., Бегеев Т.К. Коэффициенты интенсивности напряжений в пластине с центральной поперечной трещиной, усиленной накладками из композитного материала // Механика композитных материалов. 1986. № 4. С. 696-700.

18. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. 287 с.

19. Иванов И.А. Задача соединения упругих пластин в пакет вдоль периодической системы кривых. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Чебоксары, 2002. 93 с.

20. Каландия А.И. О напряженном состоянии в пластинах, усиленных ребрами жесткости // Прикладная математика и механика. Т. 33. Вып. 3.1969. С. 538-543. .

21. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. 304 с.

22. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962. 708 с.

23. Корнейчук А.А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов. В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: Наука, 1964. С. 64-74.

24. Космодамианский А.С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступамй. Киев: Вища школа, 1975. 228 с.

25. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

26. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

27. Лизин В.Т., Пяткин В.А. Проектирование тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1976. 408 с.

28. Митчел Р., Вули Р., Чвирут Д. Исследование усиления тел с вырезами и трещинами накладками из композитного материала // Ракетная техника и космонавтика. 1975. Т. 13. № 7. С,-115-121.

29. Морарь Г.А., Попов Г.Я. К контактной задаче для полуплоскости с упругим конечным креплением // Прикладная математика и механика.1970. Т. 34. Вып. 3. С. 412-421.

30. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

31. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.511 с.

32. Нуллер Б.М. Контактные задачи для системы упругих полуплоскостей // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 2. С. 302-306.

33. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук, думка, 1976. 444 с.

34. Партон В.З. Механика разрушения: От теории к практике. М.: Наука, 1990. 240 с.

35. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

36. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981.688 с.

37. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

38. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. 493 с.

39. Ратвани М.М. Исследование напряжений в клеевых слоистых конструкциях, ослабленных трещинами // Ракетная техника и космонавтика. 1979. Т. 17. № 9. С. 77-85.

40. Рыбаков Л.С., Лукашина Н.В. Плоская контактная задача о дискретном взаимодействии пластин // Деп. в ВИНИТИ 24.10.80, N 4918-80 Деп. М., 1980.14 с.

41. Рыбаков Л.С., Лукашина Н.В. • Растяжение двух неограниченных пластин, соединенных между собой двумя параллельными периодическими рядами заклепок // Деп. в ВИНИТИ 21.07.81, N 3645-81 Деп. М., 1981. 14 с.

42. Рыбаков Л.С., Лукашина Н.В. Равномерное растяжение симметричного пакета из трех пластин, скрепленных несколькими периодическими рядами заклепок // Деп. в ВИНИТИ 16.05.88, N 3704-В88. М., 1988. 13 с.

43. Рыбаков Л.С., Черепанов Г.П. Дискретное взаимодействие пластины с полубесконечным стрингером // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. С. 322-328.

44. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888 с.

45. Савин Г.Н., Флейшман Н.П. Пластины и оболочки с ребрами жесткости. Киев: Наукова думка, 1964. 384 с.

46. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. 324 с.

47. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Киев: Наукова думка, 1988. 566 с. Механика разрушения и прочность материалов: Справ, пособие в 4-х томах. Т. 2.

48. Саврук М.П., Кравець B.C. Напружений стан шдкршлено1 накладкою пластини з трщиною // Физ.-хим. механика материалов. 1991. Т. 27. № 4. С. 68-74. •

49. Саврук М.П., Кравец B.C. Влияние подкрепляющих накладок на распределение напряжений в пластинах с трещинами // Прикладнаямеханика. 1993. Т. 29. № 3. С. 48-55.

50. Саврук М.П., Кравець B.C. Плоек! задач1 теорп пружност1 для шдкршлених пластин з трпцинами // Ф1з.-Х1м. мехашка матер1ал!в. 1995. Т. 31. №3. С. 68-83.

51. Саврук М.П., Кравец B.C. Подкрепление пластины с трещинами двумя системами взаимно перпендикулярных стрингеров // Прикладная механика. 1998. Т. 34. № 7. С. 64-72.

52. Сильвестров В.В. Основные задачи теории упругости для плоскости и многолистных поверхностей с разрезами. Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Чебоксары, 1991. 222 с.

53. Сильвестров В.В. Первая и вторая основные задачи теории упругости на двулистной римановой поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1986. С. 111-119.

54. Сильвестров В.В. Основная смешанная задача теории упругости на двулистной поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: , Изд-во Чувашского ун-та, 1989. С. 104-109.I

55. Сильвестров В.В. Основные задачи теории упругости на многолистной : римановой поверхности // Известия вузов. Математика. . 1990. N 2. С. 89-92.

56. Сильвестров В.В. Об упругом напряженном и деформированном состоянии вблизи пространственной трещины на двулистной поверхности // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 1. С. 123-131.

57. Сильвестров В.В. Упругое взаимодействие двух тонких бесконечных пластин, соединенных вдоль отрезков прямой // Прикладная механика. ' 1991. Т. 27. №9. С. 67-71.

58. Сильвестров В.В. Напряженно-деформированное состояние многолистной поверхности с разрезами // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 3. С. 493-499.

59. Сильвестров В.В. Напряженно-деформированное состояние многолистных пластинчатых конструкций // Известия РАН. Механика твердого тела. 1992. N 2. С. 124-135.,

60. Сильвестров В.В. О напряжениях вблизи вершины щели с одним ,; берегом в двулистной конструкции // Актуальные задачи математики и механики. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1995. С. 102-107.

61. Сильвестров В.В. Упругая слабойзогнутая винтовая поверхность // Известия Национальной Академии наук и искусств Чувашской Республики. 1996. N 6. С. 69-76.

62. Сильвестров В.В., Андреева О.А. Соединение двух упругих круговых пластин друг с другом вдоль дуг граничной окружности // Известия национальной Академии наук и искусств Чувашской Республики. 1999. №4. С. 53-61.

63. Сильвестров В.В., Иванов И.А. Растяжение двух упругих пластин, соединенных друг с другом вдоль периодической системы отрезков // Известия инженерно-технологической академии Чувашской Республики. 1999. № 1(2). С. 42-46.

64. Сильвестров В.В., Иванов И.А. Соединение упругих пластин в пакет вдоль периодической системы отрезков // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т. 42. № 4. С." 197-202;

65. Сильвестров В.В., Иванов И.А. Напряженное состояние пакета упругих пластин, соединенных вдоль периодической системы кривых // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. N 5. С. 141-152.

66. Сильвестров В.В., Чекмарев Г.Е. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль коллинеарных отрезков // Исследования по краевым задачам и их приложениям. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1992. С. 38-42.

67. Сильвестров В.В., Шумилов А.В. Соединение упругих пластин в пакет вдоль окружности // Известия Инженерно-технологической Академии Чувашской Республики. 1996. № 1. С. 68-79.

68. Сильвестров В.В., Шумилов А.В. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль концентрических окружностей // Известия Инженерно-технологической Академии Чувашской Республики. 1996. № 3-4. С. 142-148.

69. Сильвестров В.В., Шумилов А.В. Задача соединения упругих пластин в пакет вдоль кривых // Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. № 1.С. 165-170.

70. Сильвестров В.В., Шумилов А.В. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль окружности и в отдельной точке // Известия НАНИ Чувашской Республики. 1997. № 4. С.118-127.

71. Сильвестров В.В., Шумилов А.В. К. задаче соединения упругих пластин в пакет вдоль кривых // Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. № 5. С. 166-174.

72. Толоконников JI.A., Пеньков В.Б. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики. Тула: Изд-во ТВАИУ, 1997. 378 с.

73. Тульчш В. I. Згин безмежно1 пластинки, ослабленно1 двома круговыми отворами, гранищ яких шдкршлеш тонкими кшьцями // Доповда та повщомления. Льв1вскйй университет. 1957. Вып. 7. Ч. 3. С. 296-308.

74. Хертель Г. Тонкостенные конструкции. М.: Машиностроение, 1965. 527 с.

75. Чекмарев Г.Е. Краевые задачи теории упругости для многолистных пластинчатых конструкций. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Чебоксары, 1994.95 с.

76. Чекмарев Г.Е. Первая основная задача теории упругости для многолистной конструкции специального вида. Деп. в ВИНИТИ 30.07.90, N 4311-В90. Чебоксары, 1990. lie!

77. Чекмарев Г.Е. Упругий изгиб пакета тонких пластин, соединенных вдоль коллинеарных отрезков // Деп. в ВИНИТЙ 26.05.92. N 1753-В92. Чебоксары, 1992.10 с.

78. Чекмарев Г.Е. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль дуг окружностей // Молодые ученые науке. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1993. С. 14-16.

79. Чекмарев Г.Е. Упругий изгиб многолистных пластинчатых конструкций // Актуальные задачи математики и механики. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1995. С. 124-130.

80. Черепанов Г.П. Механика хрупкого .разрушения. • М.: Наука, 1974. 640 с.

81. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983.296 с.

82. Черепанов Г.П., Рыбаков JI.C. К расчету клепаных панелей // Прикладная механика. 1977. Т. 13. № 8. С. 3-7.

83. Шумилов А.В. Задача соединения упругих пластин в пакет вдоль кривых. Дис. канд. физ.-мат. наук. Чебоксары, 1998. 96 с.

84. Ann К., Barnes R.A. A circular plate attached to another cracked plate through circumferential welding // Proc. Int. Conf. Fract. Mech. And Technol. Hong Kong. 1977. V. 2. P. 1213-1226.

85. Bardzokas D., Exadaktylos G.E., Anastaselos G. The effect of stringers and patches on the stress intensities around cracks in the plates // Engineering Fracture Mechanics. 1996. V. 55. P. 935-955.

86. Benscoter S.U. Analysis of a single stiffener on an infinite sheet // Trans. ASME. Ser. E. Journal of Applied Mechanics. 1949. V. 16. № 3. P. 242-246.

87. Brown E.H. The diffusion of load from a stiffener into an infinite elastic sheet // Proc. of Roy. Soc. Mathematics and Physics. Sci. Ser. A. 1957. V. 239. № 1218. P. 296-310

88. Buell E.L. On the distribution of plane stress in semi-infinite plate with partially stiffened edge // Journal of Mathematics and Physics. 1948. V. 26. P. 223-233.

89. Chandra R., Guruprasad K. Numerical estimation of stress intensity factors in patched cracked plates // Engineering Fracture Mechanics. 1987. V. 27. № 5. P. 559-569.

90. Chawla M.M., Ramakrishnan T.R. Numerical evaluation of integrals of periodic functions with Cauchy and Poisson type kernels // Numerical Mathematics. 1974. V. 22. № 4. P. 317-323.

91. Chen Y.H., Hanh H.G. Interaction of a stiffener with a crack in an anisotropic sheet // Engineering Fracture Mechanics. 1989. V. 33. № 6. P. 887-895.

92. Chue C.H., Chang L.C., Tsai J.S. Bonded repair of plate with inclined central crack under biaxial loading // Composite Structures. 1994. V. 28. P. 39-45.

93. Dowrick G., Cartwright D.G., Rooke D.P. The effects of repair patches on thejstress distributions in a cracked sheet // Numer. Meth. Fract. Mech. Proc 2 Int. Conf. Swausea. 1980. P. 763-775.

94. Dowrick G., Cartwright D.G. Biaxial stress effects in a reinforced cracked sheet // J. Strain Anal. Eng. Des. 1984. V. 19. № 1. P. 61-69.

95. Duong C.N., Yu J. The stress intensity factor for a cracked stiffened sheet repaired with an adhesively bonded composite patch // International Journal of Fracture. 1997. V. 84. P. 37-60.

96. Engels H., Zakharov D., Becker W. The plane problem of an elliptically reinforced circular hole in an anisotropic plate or laminate // Archive of Applied Mathematics. 2001. V. 71. P. 601-612.

97. Erdogan F., Arin K. A sandwich plate with a part-through and debonding crack // Engineering Fracture Mechanics. 1972. V. 4. P. 449-458.

98. Keer L.M., Lin C.T., Mura T. Fracture analysis of adhesively bonded sheets // Translations of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1976. V. 98. № 4. P. 652-656.

99. Koiter W.T. On the diffusion of load from a stiffener into a sheet // Quart. Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1955. V. 8. P. 164-178.

100. Lee K.Y., Kim O.W. Stress intensity factor for sheet-reinforced and cracked plate subjected to remote normal stress // Engineering Fracture Mechanics. 1998. V. 61. P. 461-468.

101. Melan E. Ein Beitag zur Theorie geschweisster Verbindungen // Ing. Archiv. 1932. V. 3. S. 123-129.

102. Muller R., Fredell R. Analysis of multiple bonded patch interaction. Simple design guidelines for multiple bonded repairs in close proximity // Applied Composite Materials. 1999. V. 6. P. 217-237.

103. Nishimura T. Stress intensity factors for a cracked stiffened sheet with cracked stiffeners // Translations of ASME. Journal of Engineering Materials Technology. 1991. V. 113. P. 119-124.

104. Рое C.C. Stress-intensity factors for a cracked sheet with riveted and uniformly spaced stringers // NASA TR R-358. 1971. 62 p.

105. Prasad P.B.N., Simha K.R.Y. Interaction of interfacial arc cracks // International Journal of Fracture. 2002. V. 117. P. 39-62.

106. Prasad P.B.N., Simha K:R.Y. Interface crack around circular inclusion: SIF, kinking, debonding energetics // Engineering Fracture Mechanics. 2003. V. 70. P. 285-307.

107. Ratwani M.M., Wilhelm D.P. Influence of biaxial loading on analysis of cracked stiffened panels // Engineering Fracture Mechanics. 1979. V. 11. №3. P. 585-593.

108. Rose L.R.F. A cracked plate repaired by bonded reinforcements // International Journal of Fracture. 1982. V. 18. № 2. P. 135-144.

109. Rose L.R.F. Theoretical analysis of crack patching // Bonded Repair of Aircraft Structures. Martinus Nijhoff Publishers, 1988. P. 77-105.

110. Silvestrov V.V. Stress-strain state near a straight-through transverse crack tip in a special multi-sheet plate structure // International Journal of Fracture. 1997. V. 84. N3. P. 229-236.

111. Swift T. The effects of fastener flexibility and stiffener geometry on the stress intensity in stiffened cracked sheet // Prospects of Fracture Mechanics. Leyden. 1974. P. 419-436.

112. Theotokoglou E.N., Theotokoglou E.E. The interface crack along a circular inclusion interacting with a crack in the infinite matrix // International Journal of Fracture. 2002. V.l 16. P. 1-23.

113. Tsamasphyros G.J., Furnarakis N. K., Kanderakis G.N., Marioli-Riga Z.P. Computational analysis and optimization for smart patching repairs // Applied Composite Materials. 2003.V. 10. P. 141-148.

114. Tsamasphyros G.J., Kanderakis G.N., Karalekas D., Rapti D., Gdoutos E.E., Zacharopoulos D., Marioli-Riga Z.P. Study of composite patch repair by analytical and numerical methods // Fatigue Fract Engng Mater Struct. 2001. V. 24. P. 631-636.

115. Tse P.C., Lau K.J., Wong W.H. Stress and failure analysis of woven composite plates with adhesive patch reinforced circular hole // Composites. Part B: engineering. 2002. V. 33. P. 57-65.

116. Wang C.H., Rose L.R.F. Bonded repair of cracks under mixed mode loading // International Journal of Solids and Structures. 1998. V. 35. № 21. P. 27492773.

117. Wang Gul-Fang. Stress analysis of plates with a circular hole reinforced by flange reinforcing member // Applied Mathematics and Mechanics. 1987. V. 8. № 6. P. 569-588.

118. Umamaheswar Т., Singh R. Modeling of a patch repair to a thin cracked sheet. // Engineering Fracture Mechanics. 1999. V. 62. P. 267-289.

119. Землянова А.Ю. Система круговых пластин, соединенных друг с другом вдоль дуг граничной окружности. // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Т. 12: Лобачевские чтения 2001. Казань: Изд-во "ДАС", 2001. С. 87.

120. Землянова А.Ю. Метод степенных рядов в задачах о круговой заплатке // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Т. 18:

121. Лобачевские чтения 2002. Казань: Казанское математическое общество, 2002. С. 31-32.

122. Землянова А.Ю. Об одном способе ремонта пластины с эллиптическим вырезом // Современные проблемы математики, механики, -информатики: Тезисы докладов международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. С. 133-136.

123. Землянова А.Ю. Математическое моделирование ремонта тонкостенных конструкций посредством заплатки // Республиканский конкурс научных работ молодых исследователей «Молодежь в научном обществе»: Сборник материалов. Чебоксары. 2003. С. 14-27.

124. Землянова А.Ю. Об одном способе усиления пластины с прямолинейной трещиной // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды всероссийской научной конференции. Часть 1. Самара: Самарский государственный технический университет. 2004. С. 90-94.

125. Землянова А.Ю., Сильвестров В.В. Задача о круглой заплатке // Прикладная математика и механика. 2005. Т. 69. Вып. 4.

126. Сильвестров В.В., Землянова А.Ю. Напряженное состояние системы: упругих пластин, соединенных вдоль окружности // Известия национальной Академии наук и искусств Чувашской Республики. 2000. №4. С. 54-60.

127. Сильвестров В.В., Землянова А.Ю. Упругое взаимодействие трех круговых пластин друг с другом вдоль дуг общей граничной окружности // Известия национальной Академии' наук и искусств Чувашской Республики. 2001. № 5. 2002. № 2. С. 28-43.

128. Сильвестров В.В., Землянова А.Ю. Усиление пластинки с круглым отверстием с помощью заплатки, присоединенной вдоль концентрической окружности // Известия национальной Академии наук и искусств Чувашской Республики. 2003. № 3. С. 57-72.

129. Сильвестров В.В., Землянова А.Ю. Ремонт пластины с круговым вырезом посредством заплатки // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. № 4. С. 176-183.

130. Сильвестров В.В., Землянова А.Ю. Растяжение пластины с эллиптическим вырезом, усиленной софокусной эллиптической накладкой // Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. Т. 10. № 4. С. 577-595.

131. Сильвестров В.В., Землянова А.Ю. Некоторые модели ремонта пластин с вырезами посредством заплатки // Труды III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием. Ростов-на-Дону: Новая книга, 2004. С. 332-333.

132. Сильвестров В.В., Землянова А.Ю. Задача об усилении пластины с эллиптическим вырезом посредством накладки // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: М.: Физматлит, 2005.