Задача усиления составной упругой пластины кусочно-однородным стрингером тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Смирнов Александр Валериянович

ЗАДАЧА УСИЛЕНИЯ СОСТАВНОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫМ СТРИНГЕРОМ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

9 НЮН 2011

Чебоксары-2011

4849284

Работа выполнена на кафедре высшей математики в ГОУ ВПО «Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Сильвестров Василий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Маркин Алексей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент Ильина Ирина Игоревна

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН

Защита состоится « 1 » июля 2011 г. в 9 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.300.02 в Чувашском государственном педагогическом университете им. И.Я. Яковлева по адресу: 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

С.В. Тихонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке математического аппарата решения контактных задач теории пластин и его приложению к решению задачи усиления пластины, составленной из разных упругих материалов, кусочно-однородным стрингером, наложенным на линию соединения материалов или расположенным между пластинами. В ней строится точное аналитическое решение интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой, находится в замкнутой форме решение соответствующей контактной задачи теории пластин и определяются аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений в точке изменения жёсткости стрингера.

Актуальность работы. В различных областях техники, в частности, авиа- и судостроении широко используются тонкостенные конструкции, усиленные для увеличения их прочности тонкими узкими накладками (стрингерами) из более жёсткого материала. При изучении таких конструкций особое внимание уделяется определению контактных напряжений. Указанная задача обычно рассматривается в рамках классической теории упругости. Несмотря на то, что хорошо известно о существовании и единственности решений подобных задач, проблема построения самих решений задач, а также нахождения напряжений и смещений в конструкциях остаётся в общем случае нерешенной. В связи с этим остается актуальной как проблема разработки новых методов решения указанных типов задач, так и исследования напряженного состояния конкретных видов тонкостенных конструкций, в частности пластин, усиленных различными комбинациями стрингеров (рёбер жесткости).

Первые решения задачи о подкреплении упругой однородной пластины бесконечным, полубесконечным и конечным стрингером были получены Е. Меланом, Е. Бюеллем и С. Бенскотером соответственно. Р. Муки, Е. Стернберг, Г.Т. Сулим, Д.В. Грилицкий исследовали кусочно-однородную пластину с бесконечным или конечным включением на прямой линии раздела материалов. Н.Х. Арутюнян и С.М. Мхитарян рассмотрели две пластины, соединённые через полубесконечное тонкое упругое включение. Кусочно-однородный стрингер или комбинация нескольких стрингеров, присоединенных к однородной или кусочно-однородной пластине, рассмотрены Э.Х. Григоряном, Б.А. Мелтоняном, A.B. Керопяном, B.C. Саркисяном, Г.В. Оганесяном, P.A. Багдасаряном. В работах указанных авторов подкрепляющий элемент моделируется как прямолинейный стержень, работающий только на растяжение-сжатие и предполагается, что нормальные напряжения под стрингером исчезают. Учёт изгибной жёсткости стрингера приводит к более сложным уравнениям, полученным в работах К.С. Чобаняна, A.C. Хачикяна, М.П. Саврука, Д. В. Грилицкого, М. С. Дра-гана, В.К. Опанасовича, В.М. Александрова, С.М. Мхитаряна и др.

В основном, задача подкрепления упругой пластины стрингером сводится к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля. Методы решения этого уравнения зависят от промежутка, на котором оно задано. Точное аналитическое решение однородного уравнения на луче получено В. Койтером с помощью интегральных преобразований Меллина и Лапласа. А.И. Каландия построено аналитическое решение неоднородного уравнения на луче путём сведения его к краевой задаче Римана. И.Н. Векуа, В.М. Толкачёв, Г.Я. Попов, Г.А. Морарь решили уравнение Прандтля на отрезке путем сведения его к интегральному уравнению Фредгольма второго рода посредством регуляризации уравнения методом Карлемана-Векуа или путем сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Н.Х. Арутюнян, С.М. Мхитарян предложили методы решения уравнений на отрезке и луче с выделением в явном виде особенностей на концах контура интегрирования.

Цель работы: разработка математического аппарата решения задачи усиления пластины, составленной из различных упругих материалов, с помощью кусочно-однородного стрингера, наложенного на линию соединения материалов или расположенного между пластинами. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

— разработать метод решения интегро-дифференциально уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой, соответствующего краевой задаче для рассматриваемого объекта, и системы двух интегро-дифференциальных уравнений на луче;

— решить задачу о тонком кусочно-однородном стрингере, расположенном на линии соединения разных упругих пластин и полностью лишённом изгибной жёсткости; найти комплексные потенциалы, контактные напряжения и смещения точек пластин;

- решить задачу о тонком упругом кусочно-однородном включении, расположенном между двумя упругими материалами и абсолютно жёстком на изгиб;

- получить аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений в точке изменения жёсткости стрингера (включения) и исследовать их зависимости от упругих и геометрических параметров задачи.

Методика исследования. Представленные в диссертации исследования опираются на формулы Колосова-Мусхелишвили из плоской теории упругости, интегральное преобразование Меллина, теорию функциональных разностных уравнений и краевую задачу Римана на плоскости и на римановой поверхности.

Научная новизна полученных в диссертации результатов, которые и выносятся на защиту:

а) метод решения и само решение интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой;

б) решение в явной форме задачи о подкреплении составной упругой пластины кусочно-однородным стрингером в предположении отсутствия изгнбной жёсткости стрингера или отсутствия его изгиба; нахождение комплексных потенциалов, контактных напряжений и смещений точек пластины;

в) нахождение явных выражений коэффициентов интенсивности напряжений в точке изменения жёсткости стрингера и изучение их зависимости от упругих и геометрических параметров пластин и стрингера (включения).

Достоверность результатов работы подтверждается физической обоснованностью постановки задачи, строгим аналитическим характером их рассмотрения с использованием современного математического аппарата, сравнением полученных решений в ряде частных случаев с известными решениями.

Практическая значимость результатов определяется как развитием новых математических методов исследования контактных задач, так и реь зультатами решения самих задач, которые представляют интерес для инженерных приложений в машино-, авиа- и судостроении и позволяют оценить влияние кусочно-однородного стрингера (включения) на напряжённо-деформированное состояние составной бесконечной упругой пластины.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на VI молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2007), на XLVI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2008), на XXXIV и XXXV международных молодёжных научных конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 2008, 2009), на международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2009), на международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2009, 2010), на VIII всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России» (Москва, 2010), на II международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» (Дилижан, Армения, 2010), на семинаре кафедры высшей математики Российского государственного университета нефти и газа (Москва, 2009, 2011, руководитель - профессор Калинин В.В.), на научных семинарах по механике сплошной среды имени Л.А. Галина при институте проблем механики РАН (Москва, 2009, 2011, руководители - профессора В.М. Александров, В.Н. Кукуджанов, А.В. Манжиров), на семинаре по механике деформируемого твердого тела при Чувашском государственном педагогическом университете (руководители - профессора Д.Д. Ивлев, Б.Г. Миронов).

Результаты работы получены в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00038, 10-01-00103).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 14 печатных работ, 5 из которых в соавторстве с В.В. Сильвестровым, в том числе 4 статьи в журналах из перечня ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав и заключения. В тексте имеется 13 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 93 наименований. Общий объём работы составляет 94 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы. Приведён обзор литературы по соответствующей проблематике. Здесь же кратко сформулированы основные положения глав и параграфов диссертации.

В первой главе рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния упругой пластины, составленной из двух полубесконечных пластин, по линии соединения усиленной упругим кусочно-однородным стрингером, лишённым изгибной жёсткости. Напряжённо-деформированное состояние возникает под действием нагрузки, распределенной вдоль стрингера, сосредоточенных сил, приложенных к пластинам, и заданных значений напряжений на бесконечности. Строятся комплексные потенциалы, описывающие напряженное состояние составной пластины, вычисляются коэффициенты интенсивности напряжений в точке изменения жёсткости стрингера.

< \ \ \ \ \

Рис. 1. Стрингер, лишённый изгибной жёсткости

В §1 приводится механическая постановка задачи. Тонкая упругая кусочно-однородная пластина, составленная из двух полубесконечных пластин, усилена по линии соединения кусочно-однородным бесконечным упругим стрингером, составленным из двух соединенных друг с другом полубесконечных кусков, имеющих модули упругости , Ег, малые по-

перечные сечения , 52, и толщины , с12 соответственно. Пластины имеют толщины, коэффициенты Пуассона, модули сдвига А^.ц, и Л2,у2,ц2 (рис. 1). На внешнюю грань стрингера действуют продольные и поперечные распределенные усилия интенсивности т0(д:) и <у0(х) соответственно, к пластинам в конечном числе точек г = 2к приложены сосредоточенные силы Рь (к = 1,К ,п ), а на бесконечности заданы нормальные напряжения сг",а",, а",. Считаем, что стрингер присоединён к пластинам

идеально жёстко и симметрично относительно линии соединения пластин, абсолютно не сопротивляется изгибу (полностью лишён изгибной жёсткости) и работает только на растяжение-сжатие (модель одномерного упругого континуума); в пластинах реализуется обобщённое плоское напряжённое состояние; пространственные эффекты концентрации напряжений вблизи линии соединения пластин со стрингером пренебрежимо малы. Напряжения и вращение на бесконечности в самих пластинах ограничены, а в точке г = О они могут обращаться в бесконечность порядка меньше 1.

В задаче требуется определить комплексные потенциалы, описывающие напряжённо-деформированное состояние пластин, контактные напряжения под стрингером, и исследовать их поведение в точке изменения жёсткости стрингера.

В §2 поставленная задача подкрепления сводится к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на действительной оси.

Записывая уравнения равновесия для произвольного элемента стрингера (рис. 2) при малых параметрах /г„А2, с1г <!г, деля их левые и правые части на &х и устремляя Ддг к нулю, с учётом закона Гука получим уравнения

где т*, а* - касательные и нормальные контактные напряжения верхней и нижней пластины на линии раздела материалов, и - продольное смещение стрингера. Условие жёсткого контакта, связывающее горизонтальные и

Ах

А3г,;Дл- | Л,стг Ах

Рис. 2. Равновесие элемента стрингера

£.5,1/V) + 'VС« - V;« + = °> (-1)м* > о,

И,а*.(х)-1иа~г(х) + с1'к о0(х) = 0, к = 1,2,

(1)

вертикальные смещения в стрингере и в верхней и нижней пластинах, записывается в виде

{и + п)(х) = (и + п'У (х) = (и + (х), —со<х< +со. (2)

Уравнения (1), (2), рассматриваемые совместно с заданными значениями напряжений на бесконечности и сосредоточенных сил, приложенных к пластинам, а также с условием равновесия всего стрингера

■ |[А,т;(*)-й2т;(*)]А+}[</1т„(*)+^т0(-х)]л = о (3)

о

полностью определяют напряжённо-деформированное состояние в пластинах.

Посредством формул Колосова-Мусхелишвили

" - 00 < X < +СО,

<*:(х)-П1ХХ) = Ф; (Х)-Ф;(Х),

д=д/дх, (4)

2И101(«- + 1У-) = К2Ф1-(*) + Ф;(Х), К'=ТТ^7Д = 1'2

краевые условия (1), (2) заменяются эквивалентной им задачей сопряжения относительно кусочно-мероморфных функций (комплексных потенциалов) с линией разрыва на действительной оси. Подставляя формулы (4) в условие (2), получим равенство

|д2к,Ф;(х)-ц1Ф;(х) = ц1кгФ;(дг)-р2Ф;(х), -со<х <+со, (5) левая и правая части которого являются предельными значениями функции Д/г), мероморфной в комплексной плоскости и ограниченной на бесконечности. Вид функции Д. (г) полностью определяется значениями сосредоточенных сил, приложенных к пластинам, точками их приложения и значениями напряжений на бесконечности.

Подставляя формулы (4) в условие (1), выражая из равенства (5) предельные значения Ф2 О) через предельные значения Ф^.х) и функцию К,,(х), и вводя новую неизвестную функцию

£(Х) = _,■ ^(Х) + (X) + Ф-(*)] +

ц,к2 2цЛ Л (6)

+ + (-1)'-*>0, к =1,2,

получим краевое условие задачи Римана относительно функции Ф,(г):

(1 + 5к1)Ф;(^)-(1 + 5к^)Ф,"(л:) = ^М, (7)

где 5 = (цг/г2)/(ц1/;1). Решая задачу (7) и подставляя решение в формулу (6), непосредственно определяем 1т ^(.г) и приходим к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на действительной оси

= (-1)м*>0, к = 1,2

п 1 1-х

(8)

относительно непрерывно-дифференцируемой на действительных полуосях функции /(х), производная которой /'(•*) = Яе ё(х) удовлетворяет условию Прандтля на полуосях, имеет в точке х = О особенность порядка меньше 1 и исчезает на бесконечности.

Решению уравнения (8) в случае комплекснозначных функций /(х), Ь(х) и коэффициентов я„ а2 посвящена вторая глава диссертационной работы. В §3 приводятся упрощённые формулы, соответствующие случаю действительных функций и коэффициентов.

В §4 из поведения найденного решения уравнения (8) выводятся формулы, описывающие поведение контактных напряжений т*. и а* в окрестности нуля и бесконечности. Касательные контактные напряжения т*,

определяемые формулами (4), имеют логарифмическую особенность в нуле

\_( А-В [ кг(А + В % 2(1 + 5к, к,+5

1п|*|,

-, ч 1

2 и,

-В+к,(А-В)

х О,

1п | дг|,

1Сг+5 1 + 6к,

где А, В - действительные постоянные, определяемые в ходе решения задачи. Нормальные контактные напряжения а* имеют разрывы первого

рода в этой точке.

В §5 рассматриваются различные нагрузки, прикладываемые к стрингеру и пластинам. В случае, когда заданы только значения напряжений на бесконечности и никакие внешние силы не прикладываются, нормальные контактные напряжения а* постоянны и равны о", а касательные контактные напряжения отсутствуют.

Случаи, когда к стрингеру прикладывается распределённая продольная и поперечная экспоненциальная нагрузка, симметричная относительно х = 0, изображены на рисунке 3.

.—----N 1. .г..///';...........................

-1........\'|........ —-—"" - < /Р=О-;/Р

х/К

0.8 II

0.4

0.0 ■V''!

'— —.

0.4 а;п> ........... Тт....

0.8

х/%

Рис. 3. Контактные напряжения вблизи нуля 9

В обоих случаях в пластинах возникают как касательные, так и нормальные контактные напряжения. Обычно при продольной внешней нагрузке нормальные напряжения считаются малыми и не учитываются при расчётах, однако на рисунке 3 (слева) видно, что они могут достигать значений, сравнимых с касательными напряжениями. В случае поперечной внешней нагрузки (справа) нормальные контактные напряжения и вовсе превышают касательные напряжения на действительной оси, за исключением малой окрестности точки х = 0.

На рисунке 4 изображены графики касательных и контактных напряжений, когда к пластинам симметрично относительно стрингера приложены сосредоточенные силы на расстоянии А от точки изменения его жёсткости.

с/л

-Ч

V* - Л

:

Рис. 4. Контактные напряжения при различных значениях расстояния с/ : 1) </ = </„, 2) ¡1 = 2с10, 3) ¿/ = <Ц,,4) </ = 8</„.

При уменьшении расстояния с(, т.е. когда сосредоточенные силы приложены близко к стрингеру, контактные напряжения испытывают сильные возмущения вблизи нуля.

Наконец, были произведены расчёты в случаях, когда параметры пластин совпадают (однородная бесконечная пластина) или одна полубесконечная пластина отсутствует, и сравнены с уже известными решениями этих задач.

Во второй главе находится аналитическое решение интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на действительной оси

/(,)-«Ш£Ш = Ь{Х), -ООСС <+00,

п I 1-х (9)

а(х) = а,,х> 0, а(х) = аг,х< 0.

В §1 приводится математическая постановка задачи. Коэффициенты а„ а2, функция Ь(х), и искомая функция /'(*) в уравнении (9) предполагаются комплекснозначными. Искомая функция предполагается непрерывно-дифференцируемой на полуосях, а её производная /'(х) может иметь

особенность в нуле порядка меньше 1, и должна исчезать на бесконечности быстрее \/х.

В §2 рассматриваются два частных случая уравнения (9). В первом случае предполагается, что один из коэффициентов а],а1 равен нулю. Тогда уравнение принимает вид

ГЛОЛ

/W-£LJ= *>О.

к i t — x

7Г J t— Y

Метод решения данного уравнения во многом повторяет решение общего уравнения (9), приводимое в последующих параграфах, и сводит задачу к эквивалентной краевой задаче Римана. В случае а, =а2 уравнение (9) принимает вид

г/'(0 л я.! *-х

Посредством интегрального преобразования Фурье оно сводится к линейному алгебраическому уравнению первого порядка, которое затем и решается.

В §3 уравнение (9) посредством ввода новых функций /¡(х) = /(х), /,(д-) = -/(-•*), -*>0 записывается в виде системы, которая с помощью интегральных преобразований Меллина

Ft(s) = ]/;(х)х'-1ск, к = 1,2

сводится к системе разностных уравнений

F' (s) = ~at ctg ks F't (s -1) - ак (sin res)F][t (s -1) + B' (s), i = 1,2 (10) относительно F¿(s) = Ft(s)¡r(s) - аналитических в полосе 0 < Res < 2 функций, где F(s-) - гамма-функция Эйлера.

В §4 подбирается диагонализация, позволяющая разбить систему (10) на два отдельных уравнения. Система записывается в матричном виде

F(j) = G(í)F(j-l)+g(j), (11)

после чего коэффициент уравнения представляется в виде

G(5) = T(5)A(i)[r(5-l)]-', (12)

A(i) =

0 А2(5)/ {Т21(з) Ta(s)

Перемножая матрицы в равенстве (12), накладывая на коэффициенты матрицы Л(я) условия периодичности с периодом 1, а на коэффициенты матрицы Т(л) условия Г = с,7",. (5-1), где с. - некоторые постоянные, для определения функций Л,(5), Л, (5) получаем алгебраические уравнения второго порядка. Оказывается, что постоянные ся можно выбрать таким

образом (с„ =с12 =1, с,, =си =-1), чтобы функции Л, (я), Л Д .?) являлись однозначными ветвями одной двузначной функции. Полученная здесь днаго-нализация отличается от «классической» диагонализации и позволяет сильно упростить процесс решения. Система (11) разбивается на два отдельных уравнения

фД*) = Л,(5Ж(*-1) + МД*), ¿ = 1,2, (13)

однако для однозначности искомого вектора Г (.у) на функции ф,(у),ф,(5) накладываются дополнительные условия

ф;(а) = ф;(ст), ф~(о) = ф*(и), аеГ, (14)

где Г - система разрезов в л -плоскости, такая что функции, входящие в (18), однозначны в плоскости с разрезами Г .

Затем в 5 -плоскости выделяется полоса и -1 < Ие 5 < о , где со удовлетворяет условиям 1 < а < 1 + Ие г) или 2 - Яе г) < ш < 2, и конформно отображается на расширенную комплексную плоскость (рис. 5) функцией г = при этом левая и правая границы полосы переходят в левый

и правый берег разреза £ =[-1,1], а отрезок Г - в кривую у .

П: га-1<Т1е ,9<т ©

Г _)-,—:—-- -1—► ( 1

] 1+'/ 2-,, ■у 1 -10 1

ё. а

Рис. 5. Конформное отображение полосы П на х -плоскость

Посредством замены ф,($) = ф,(г(5)) равенства (13), (14) принимают вид

Ф;(О=МОФ;(О+МО, *=и,

ФГ(0 = Ф;(0, Ч>;(0 = ФК0, Склеивая крест-накрест два экземпляра г -плоскости, разрезанной вдоль у, получаем риманову поверхность 3!, определяемую алгебраической функцией и-2 =(г-г,)(г-г2), а условия (15) эквивалентны скалярной краевой задаче Римана на поверхности 9!

= (1,5)6^ (16) Решение задачи (16) в случае ц(Л^) з 0 даётся формулой

1 (1.4(1)1 (1.-9(1»

Х(г,и>) = еи'-", х0м»0 =-[\п\и,Ш1Г + п, [сПГ + п, Ыу,

(1.4(1)1

(1.-9(1)1

,„7 и' + Е, Л , . „ . ч

2Е, /-г'

Первый интеграл в формуле испытывает скачок на контуре интегрирования £ , равный , а два последующих интеграла испытывают скачки 27гш, и 2кт,. Соответственно, функция Х(г, IV) удовлетворяет однородному условию (16) и аналитична на остальной римановой поверхности. Ветви и целые числа л,,/?, определяются так, чтобы функция Х(2,и>) имела заданное поведение на концах контура интегрирования I, а отношение ц(г,1с)/Х(г,к>) имело лишь интегрируемые особенности на I.

Записывая в условии (16) функцию в виде , по-

лучим задачу «о скачке», из решения которого определяется искомая функция

В §6 исследуется поведение найденного решения интегро-дифференциального уравнения в окрестности нуля и на бесконечности. В окрестности нуля функция /'(х) имеет логарифмическую особенность, а на бесконечности убывает как 1/х1 г

В §7 рассматривается решение системы

Показывается, что в случае ап Ф ап и а21 Ф ап, её решение может быть также найдено методом, описанным в параграфах 3-5, однако искомые функции /,'(х) и /!(х) имеют степенные особенности порядка ст0 ±п0, где в зависимости от параметров ап,а12,ая,аа число ст0 принимает значения из отрезка [1/2,1].

Третья глава посвящена решению задачи о кусочно-однородном включении, расположенном между двумя полубесконечными пластинами. Включение в данном случае предполагается абсолютно жестким на изгиб.

В §1 приводится механическая постановка задачи. Две полубесконечные пластины с одинаковыми упругими характеристиками v, ц и толщиной /г соединены между собой вдоль действительной оси через кусочно-однородное включение, состоящее из двух различных однородных частей, расположенных на положительной и отрицательной полуосях и имеющих

(17)

(18)

модули упругости , , малое поперечное сечение 5 и толщину с1. К внешней грани включения приложено касательное усилие интенсивности тД.х). Предполагается, что пластины находятся в обобщенном плоском

напряженном состоянии, а включение рассматривается как одномерный упругий континуум, абсолютно жёсткий на изгиб. Пространственные эффекты концентрации напряжений вблизи линии соединения пластин с включением считаем пренебрежимо малыми.

В §2 производные от смещений и*, V* в пластинах на действительной оси и деформация ё в стрингере, входящие в краевые условия контакта

8и*/дх = дгг/дх = е, ду*/дх = д^/дх = О, (19)

выражаются через касательные и нормальные контактные напряжения т* и о* в пластинах. В результате, задача сводится к уравнению (9) относительно функции = Л при х>0 и /(■*)= при *<0. Остальные контактные напряжения выражаются через т* по формулам

1 ?С(/)Й»

<(*)= — —-, а;(х) = а,,(х), Тп.(х) =-тп,(х).

1-х

В §3 определяется поведение контактных напряжений в окрестности нуля и на бесконечности. Как и в задаче о стрингере, касательные контактные напряжения имеют логарифмическую особенность в нуле, а нормальные контактные напряжения - разрыв первого рода.

В §4 приводятся численные расчёты задачи при продольной экспоненциальной нагрузке. При этом полученные значения касательных контактных напряжений т*, совпадают с касательными напряжениями, полученными в задаче о стрингере; нормальные контактные напряжения ст* незначительно отличаются от нормальных контактных напряжений а„, найденных в первой главе.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Путём сведения к краевой задаче Римана на двулистной римановой поверхности впервые построены аналитические решения интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой и системы интегро-дифференциальных уравнений Прандтля на луче; исследовано их поведение вблизи нуля и на бесконечности.

2. Решена явно задача о тонком кусочно-однородном стрингере, расположенном на линии разных упругих пластин и полностью лишённом изгибной жёсткости.

3. Решена явно задача о тонком упругом кусочно-однородном включении в однородном упругом теле, абсолютно жёстком на изгиб.

4. Исследовано поведение контактных напряжений вблизи точки изменения жёсткости стрингера (включения), найдены аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений. Численными расчётами изучена их зависимость от упругих и геометрических параметров пластин и стрингера (включения).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

[1] Сильвестров В. В., Смирное А. В. Ннтегро-дпфференциалыюе уравнение Прандтля н контактная задача для кусочно-однородной пластины // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 6. С. 953-970.

[2] Сильвестров В. В., Смирной- А. В. Усиление тонкостенной конструкции по линии соединения материалов // Труды Российского государственного университета нефти и газа имени И. М. Губкина. Сборник научных статен по проблемам нефти н газа. 2010. № 3. С. 101-106.

[3] Сильвестров В. В., Смирнов А. В. Контактное взаимодействие двух упругих полубесконечных пластин через тонкое кусочно-однородное включение // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2011. № 1. С. 197-202.

[4] Сильвестров В. В., Смирнов А. В. Упругие напряжения в плоскости с тонкостенным кусочно-однородным включением при наличии сосредоточенных сил // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2011. № 2.

[5] Смирнов А. В. Об одной системе разностных уравнений // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 36. Лобачевские чтения — 2007: Материалы VI молодежной научной школы-конференции. Казань: Изд-во Казанск. матем. общества, 2007. С. 196-198.

[6] Смирнов А. В. Об усилении пластины кусочно-однородным стрингером // Материалы ХЬУ! международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2008. С. 169-170.

[7] Смирнов А. В. Напряженное состояние пластины, усиленной кусочно-однородным стрингером // XXXIV Гагаринские чтения: Научные труды международной молодежной научной конференции. М.: МАТИ, 2008. Т. 1. С. 195-196.

[8] Смирнов А. В. Интегро-дифференциальное уравнение задачи усиления пластины стрингером кусочно-постоянной толщины // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тезисы докладов международной конференции. Минск: ИМ НАНБ, 2009. С. 149-150.

[9] Смирнов А. В. Поведение контактных напряжений вблизи точки изменения ' толщины стрингера, наложенного на линию соединения различных пластин //

XXXV Гагаринские чтения: Тезисы докладов международной молодежной научной конференции. М.: МАТИ, 2009. Т. 3. С. 77-78.

[10] Смирнов А. В. Поведение контактных напряжений на границе упругого включения и кусочно-однородной плоскости // Современные проблемы математики, механики, информатики: Материалы международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 179-181.

[11] Сильвестров В. В., Смирнов А. В. Модель усиления тонкостенной конструкции по линии соединения материалов // Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России: Тезисы докладов VIII Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 80-летию Российского государственного университета нефти и газа имени И.М. Губкина. Часть II. М.: Издательский центр РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2010, С. 81.

[12] Смирнов А. В. Система двух интегро-дифференциальных уравнений на положительной полуоси // Труды 5-й международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений». Том 2. Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2010. С. 123-128.

[13] Смирнов А. В. Напряженное состояние кусочно-однородной пластины, подкрепленной двумя полубесконечными стрингерами // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Труды II международной конференции. Том 2. Ереван: Изд-во ЕГУАС, 2010. 2010. С. 155-159.

[14] Смирнов А. В. Решение задачи о полубесконечных пластинах, соединенных через упругое включение // Современные проблемы математики, механики, информатики: Материалы международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. С. 205-208.

Подписано в печать 23.05.2011. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № .

Отпечатано в отделе полиграфии

ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» 428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 38

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА О ТОНКОМ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ СТРИНГЕРЕ, НАЛОЖЕННОМ НА ЛИНИЮ СОЕДИНЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

§ 1. Постановка задачи.

§2. Интегро-дифференциальное уравнение задачи.

§3. Решение уравнения и задачи.

§4. Поведение напряжений вблизи точки изменения жесткости стрингера и на бесконечности.

§5. Численные расчеты.

ГЛАВА 2. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРАН-ДТЛЯ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

НА ОСИ.

§1. Уравнение и класс его решений.

§2. Частные случаи уравнения.

§3. Сведение уравнения к системе разностных уравнений.

§4. Краевая задача Римана на римановой поверхности.

§5. Решение задачи Римана.

§6. Решение интегро-дифференциального уравнения.

§7. Система двух интегро-дифференциальных уравнений Прантля на положительной полуоси.

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА О ВКЛЮЧЕНИИ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКОМ НА

ИЗГИБ.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Интегро-дифференциальное уравнение задачи.

§3. Поведение напряжений вблизи точки изменения жесткости включения и на бесконечности.

§4. Численные расчеты.

В различных областях техники, в частности, авиа- и судостроении широко используются тонкостенные конструкции, усиленные для увеличения их прочности тонкими узкими накладками (стрингерами) из более жесткого материала. При изучении таких конструкций особое внимание уделяется определению контактных напряжений. Указанная задача обычно рассматривается в рамках классической теории упругости. Несмотря на то, что хорошо известно о существовании и единственности решений подобных задач, проблема построения самих решений задач, а также нахождения напряжений и смещений в конструкциях остается в общем случае нерешенной. В связи с этим была и остается актуальной как проблема разработки новых методов решения указанных типов задач, так и исследования напряженного состояния конкретных видов тонкостенных конструкций, в частности пластин, усиленных различными комбинациями стрингеров (ребер жесткости).

Задачу подкрепления пластин ребрами жесткости изучали многие авторы. Достаточно полный обзор методов расчета пластин с непрерывно присоединенными ребрами жесткости можно найти в работах [4, 18, 48, 49, 69] и др. При этом подкрепляющий элемент моделировался различными способами. Это либо упругий прямолинейный (или криволинейный) стержень, работающий только на растяжение-сжатие, либо стержень, обладающий жесткостями на изгиб и растяжение-сжатие. На данный момент хорошо исследованы задачи усиления однородной пластины однородным стрингером и стрингером с непрерывно меняющейся жесткостью. Случай кусочно-однородного стрингера, жесткость которого меняется скачкообразно, изучен мало, и вовсе отсутствуют исследования, когда он расположен на линии соединения различных пластин.

Первая работа о расчете напряженно-деформированного состояния пластины,.подкрепленной стрингером (ребром жесткости), принадлежит Е. Мелану [72] и относится^ 1932 году. В ней рассмотрена однородная полубесконечная пластина, к краю которой жестко присоединен бесконечный стрингер, нагруженный продольной сосредоточенной силой. Решение Е. Мелана основывалось на представлении функции напряжений Эри, описывающей напряженное состояние в пластине [42], в виде интеграла Фурье, подобранного таким образом, чтобы нормальные контактные напряжения между пластиной и стрингером были равны нулю, а касательные контактные напряжения были симметричны относительно точки приложения сосредоточенной силы и исчезали на бесконечности. Первое условие следовало из предположения о том, что стрингер воспринимает только усилия растяжения-сжатия, а второе условие - из геометрических соображений. Используя условие жесткого контакта (равенство соответствующих деформаций в пластине и стрингере), Е. Мелан получил интегральное уравнение, обратив которое посредством косинус-преобразования Фурье, определил в явном виде искомую функцию. Тем же методом Е. Меланом была решена аналогичная задача о подкреплении бесконечной пластины.

Используя метод Мелана, в 1948 году Е. Бюель [68] нашел решение задачи о подкреплении полубесконечной пластины полубесконечным стрингером, нагруженным продольной сосредоточенной силой на конце. Отображая полуплоскость конформно на единичный полукруг, он искал функцию напряжений Эри в виде ряда Фурье и получил бесконечную систему линейных алгебраических уравнений. В указанной работе он нашел первые шесть членов разложения этой функции в ряд Фурье. Бесконечная пластина с полубесконечным ребром рассмотрена в работе Е. Брауна [67], в которой были использованы комплексные представления Колосова-Мусхелишвили [42] для напряжений. Плоскость «разрезалась» по линии присоединения ребра и отображалась на единичный круг. Комплексные напряжения Колосова-Мусхелишвили были представлены в виде рядов Тейлора, для коэффициентов которых была получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений.

В 1949 году С. Бенскотер [65] получил интегро-дифференциапьное уравнение, соответствующее подкреплению бесконечной пластины стрингером конечной длины и переменного сечения. Представив искомое решение в виде интерполяционного тригонометрического полинома Лагранжа по чебышевским узлам (метод Мультоппа [73]), он нашел приближенные решения задачи для случаев симметричного и асимметричного нагружений стрингера силами, приложенными к его концам.

С задачей о подкреплении пластин стрингерами тесно связана задача о тонких упругих включениях в пластине. Р. Муки и Е. Стернберг [75], Г.Т. Сулим и Д.В. Грилицкий [27, 28, 50, 51], Н.Х. Арутюнян и С.М. Мхитарян [7], A.C. Хачикян [54, 55] исследовали разными методами кусочно-однородные и однородные пластины с однородными включениями на прямой линии раздела материалов.

Р. Муки и Е. Стернберг [75] исследовали задачу передачи нагрузки между двумя соединенными внахлест непрерывно связанными упругими листами разной толщины, обладающими различными свойствами материала, и нагруженными в своей плоскости. Указанный выше анализ напряженного состояния сводился, в пределах теории обобщенного плоского напряженного состояния, к задаче упругого включения. Г.Т. Сулим и Д.В. Грилицкий рассматривали кусочно-однородную плоскость с тонкостенным упругим включением [51, 28] или периодической системой включений [27] конечной длины на линии раздела материалов. Напряженное состояние вызывалось действием на пластину системы сосредоточенных сил и заданными напряжениями на бесконечности. При предположении непрерывности смещений и нормальных контактных напряжений на берегах включения задача была сведена к интегро-дифференциальному уравнению, решение которого найдено приближенно в виде степенного ряда. Н.Х. Арутюнян и С.М. Мхитарян [7] рассмотрели две полубесконечные пластины, соединенные полубесконечной упругой накладкой. Так как в данном случае нельзя пренебрегать изгибным эффектом стрингера, они считали, что вследствие малости толщины накладки ее изменение незначительно, т. е. поперечная деформация стрингера пренебрежима мала. Авторы получили систему из интегрального и интегро-дифференциального уравнений, решение которых находилось с помощью интегрального преобразования; Мел-лина [52]. A.G. Хачикяном'решены задачи о равновесии двух однородных полубесконечных пластин, соединенных через упругое включение [54], и о равновесии однородной бесконечной пластины с тонким конечным включением [55], которые он свел к задачам линейного сопряжения аналитических функций [15, *

43].

Значительным шагом в развитии методов решения задач подкрепления стало использование обобщенных интегральных преобразований, с помощью которых ЭХ. Григоряном [20-22], Б.А. Мелтоняном [24], A.B. Керопяном [35, 36], В^С. Саркисяном [23], F.B. Оганесяном [25], P.A. Багдасаряном [10, 11] и другими авторами решены задачи для кусочно-однородных стрингеров или различных комбинаций однородных стрингеров; присоединенных к однородной или кусочно-однородной пластине. При этом, рассматривался либо- жесткий контакт между пластиной и стрингерами, либо контакт через слой клея [66]. Недавно П.В. Агабекян и К.Г. Гулян [1] нашли аналитическое решение контактной задачи для полубесконечной пластины, усиленной- двумя полубесконечными стрингерами^ параллельными границе пластины и находящимися на одной линии, а Р.Д. Банцури иг H.H. Шавлакадзе [12] рассмотрели; кусочно-однородную пластину, усиленную полубесконечным включением, "пересекающим, границу раздела под прямым углом и нагруженным тангенциальными силами. В: последнем случае задача сведена к системе двух интегро-дифференциальнах уравнений на полуоси, решение которой получено аналитически при условии; что жесткость включения изменяется по линейному закону.

Разные задачи определения напряженно-деформированного состояния пластин с упругими криволинейными/включениями канонической формы рассмотрены в работе [58]. В работе [79] для решения задач теории упругости в разнородных телах, содержащих включения, пустоты и трещины введен метод объемных интегральных уравнений. Исследованию напряженно-деформированного состояния-упругих тел с включениями, вырезами и трещинами посвящены работы [33, 40, 77] и др.

В вышеуказанных работах подкрепляющий элемент моделируется как прямолинейный стержень, работающий только на растяжение-сжатие [74]. Учет изгибной жесткости стрингера приводит к более сложным уравнениям, полученным в работах К.С. Чобаняна и А.С. Хачикяна [57], М.П Саврука [47], Д.В. Грилицкого, М.С. Драгана и В.К. Опанасовича [26], В.М. Александрова и С.М. Мхитаряна [4]. В работе [57] К.С. Чобанян и А.С. Хачикян рассмотрели произвольное упругое цилиндрическое включение и из уравнений плоской теории упругости получили условия, которым должны удовлетворять контактные напряжения и смещения, на границе включения при малых поперечных деформациях и малой толщине включения с учетом изгибной жесткости. В работе [47] из решения пространственной задачи теории упругости получены условия скачка перемещений й напряжений на контуре упругого включения переменной толщины. Дальнейшим развитием подхода [47] стали работы [51, 56]. В работах [26, 29] упругое включение в изотропной пластине моделировалось пластиной, один из размеров которой (ширина) намного меньше другого. На линиях контакта удовлетворялись условия полного механического сцепления и выводились условия, связывающие скачок перемещений на этих линиях с напряжениями на них. В.М. Александров и С.М; Мхитарян [4] рассмотрели бесконечную полосу малой ширины с учетом изгибной жесткости, к границам которой были приложены^ внешние усилия, и получили зависимости* между усредненными значениями смещений в полосе и напряжениями на ее границе.

Так как учет изгибной жесткости сильно усложняет задачу, обычно приходится вводить, дополнительные условия. Л.М. Куршин и И.Д. Суздальский в работе [37] рассмотрели конечное упругое включение в однородной плоскости с заданными напряжениями на бесконечности, но в отличие от других подобных работ, в предположении, что контактные напряжения равны на границах включения, а смещения испытывают скачок. Задача сведена к двум отдельным интегро-дифференцйальным уравнениям, которые решены приближенно методом Мультоппа [73]. При аналогичных допущениях решены задачи теории упругости для плоскости с заполненной трещиной [39] и с разными упругими включениями [2, 50]. О .В . Соткилава и Г.П. Черепанов [48] изучили равновесие нагруженной на бесконечности упругой плоскости с тонкими: упругими включениями, расположенными вдоль одной прямой; В данной работе авторы рассмотрели, три1 вида деформации: нормальный разрыв, поперечный сдвиг и продольный сдвиг. Считая, как и в работе [37], что контактные напряжения равны на сторонах включений, а смещения испытывают скачок, с помощью закона Гука и формул Колосова-Мусхелишвили [42] для каждого вида деформации получены дифференциальные уравнения одного и того-же типа относительно действительных и мнимых частей комплексных потенциалов. В работе отмечено, что в общем случае решение данного типа уравнений в замкнутом виде недостижимо, поэтому были рассмотрены частные случаи задачи , для одного включениями; периодической системы включенийразличной; формы. Указанные уравнения} сведены к краевой задаче, решение которой давалось модифицированной формул ой 'Келдыша-Седова [34].

В'Задачах покрепления особое внимание уделяетсяшоведению контактных, напряжений! вблизи особых точек и нахождению выражений для ¡ коэффициентов? интенсивности напряжений (КИН) в- этих точках. В случае жесткого контакта: между пластиной, и стрингером; касательные: контактные напряжения имеют степенную особенность порядка? 1/2 на концах стрингера [1, 12, 37, 65] и логарифмическую особенность в точках приложения сосредоточенных сил [22, 72] и в точках: изменения жесткости: кусочно-однородного? стрингера: [10, 11, 22]. 11ри наличии слоя клея между пластиной и стрингером [66] контактные напряжения ограничены:■ в точке изменения жесткости, стрингера [20] и на концах стрингера [23].

Математическим аппаратом для решенияшногих упомянутых выше задач, как и решаемой в данной диссертационной работе задачи усиления составной упругой пластины кусочно-однородным стрингером, служит интегро-дифференциальное уравнение Прандтля. В 1940 году Е. Рейсснер [76] исследовал напряженно-деформированное состояние полубесконечной пластины, усиленной конечным или полубесконечным стрингером переменного сечения, перпендикулярным к границе пластины и нагруженным сосредоточенной силой на конце, лежащем на границе пластины. Е. Рейсснер использовал равенство соответствующих деформаций в пластине и стрингере и получил интегро-дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции, ограниченной на конце, лежащем на границе пластины, и исчезающей на втором конце. Хотя интегро-дифференциальное уравнение им не было решено, автор указал на схожесть полученного уравнения с интегро-дифференциальным уравнением Прандтля задачи распределения аэродинамических сил крыла самолета, приближенный метод решения которого уже был известен к тому времени [16].

Методы решения уравнения Прандтля во многом зависят от промежутка, на котором оно задается, и коэффициента уравнения. Точное аналитическое решение однородного уравнения на луче было получено В. Койтером [70], который посредством интегрального преобразования Меллина [52] свел задачу сначала к разностному уравнению, а затем - к алгебраическому уравнению посредством интегрального преобразования Лапласа [52]. Решение неоднородного уравнения на луче было предложено А.И. Каландия [31, 32]. Им для.решения интегро-дифференциального уравнения использовался метод Винера-Хопфа [78]. Посредством интегрального преобразования Фурье уравнение сведено к краевой задаче Римана [15, 43], решение которой найдено в явном виде.

Решение уравнения Прандтля на отрезке путем сведения его к интегральному уравнению Фредгольма второго рода посредством аналитического продолжения интегральной части уравнения с отрезка в комплексную плоскость получено И.Н. Векуа [14]. В работах [3, 4, 18, 53] к этому уравнению применяется метод регуляризации по Карлемана-Векуа [43]. В работах [3, 8, 19, 41, 45] уравнение Прандтля на отрезке посредством разложения искомого решения в ряды по ортогональным системам многочленов Чебышева, Якоби и Лагранжа сведено к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, как правило, вполне регулярным.

В основном изучалось уравнение Прандтля с постоянным коэффициентом и сингулярным ядром Коши - . Одно уравнение с переменным коэффициентом решено в [4], которое посредством преобразования Фурье сведено к уравнению Фредгольма второго рода. Уравнение Прандтля с ядром с\&п(1-х)/2 на отрезке решено Ю.А. Антиповым [5] путем сведения его к I 1 я ' I матричной краевой задаче Римана. В работах [59-61] последнего автора с соавторами решены также другие типы интегро-дифференциальных уравнений, подобных уравнению Прандтля.

Многие аналитические методы решения интегро-дифференциальных уравнений оказываются неэффективными при непосредственных расчетах напряженного состояния конструкции из-за сложности требуемых в них вычислений. Поэтому разными авторами были предложены эффективные методы решения уравнения Прандтля. Н.Х. Арутюнян [6] с помощью формулы обращения интеграла типа Коши [43] перешел от интегро-дифференциального уравнения Прандтля на отрезке к интегро-дифференциальному уравнению с явно выделенными особенностями на концах контура интегрирования, решение которого, ограниченное на концах, взял в виде степенного ряда. С.М. Мхитарян [44] нашел решение уравнения Прандтля на луче, используя метод Винера-Хопфа [78], выделив при этом особенность на конце, стрингера, что позволило получить новое замкнутое решение контактной задачи для полубесконечного стрингера и представить основные механические характеристики задачи несложными формулами, удобными для численной реализации.

Данная диссертационная работа посвящена разработке математического аппарата решения задачи усиления пластины, составленной из разных упругих материалов, кусочно-однородным стрингером, наложенным на линию соединения материалов или расположенным между пластинами, а также решению самих задач и анализу их решений. Структурно работа делится на три главы.

В первой главе рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния упругой пластины, составленной из двух полубесконечных пластин, усиленной по линии соединения упругим кусочнооднородным стрингером в предположении, что стрингер лишен изгибной жестУ кости. Напряженно-деформированное состояние пластины и стрингера возникает под действием нагрузки, распределенной вдоль стрингера, сосредоточенных сил, приложенных к пластинам, и заданных напряжений на бесконечности.

Решение задачи ищется в классе напряжений, имеющих простые полюсы в точках приложения сосредоточенных сил, обращающихся в бесконечность порядка меньше 1 в точке изменения жесткости стрингера и имеющих заданные значения на бесконечности.

В § 1 ставится механическая задача и формулируются краевые условия, накладываемые на контактные напряжения, возникающие в пластинах вдоль линии соединения. Предполагается, что пластины находятся в обобщенном плоском напряженном состоянии, стрингер представляет собой одномерный упругий континуум без изгибной жесткости, а контакт между пластинами и стрингером - идеально жесткий. На касательные и нормальные контактные напряжения и смещения точек линии соединения пластин накладывается условие равновесия произвольной части стрингера, к противоположным граням которого приложены контактные напряжения, возникающие в пластинах, и условие равенства смещений пластин и стрингера на линии раздела материалов.

Поставленная задача в §2 сводится к интегро-дифференциальному уравнению Прантдля с кусочно-постоянным коэффициентом на действительной оси. Посредством формул Колосова-Мусхелишвили [42] физическая задача сводится к матричной краевой задаче Римана [15, 43] относительно комплексных потенциалов Ф^г), Ф2(Х) верхней и нижней пластин - кусочно-мероморфных функций комплексного переменного г = х + 1у с линией разрыва по действительной оси. При этом условие равенства смещений точек пластины и стрингера на линии их соединения позволяет выразить функцию Ф2(л) через Ф^), а условие равновесия приводит к интегро-дифференциальному уравнению относительно новой неизвестной действительной функции.

В §3 строится решение полученного интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным положительным коэффициентом на действительной оси. Так как нахождению решения указанного уравнения в более общем случае посвящена глава 2, здесь приводятся только результирующие формулы, упрощенные для случая положительных коэффициентов, и определяются искомые напряжения в пластине под стрингером.

В §4 исследуется поведение найденных касательных и нормальных контактных напряжений в точке изменения жесткости стрингера и на бесконечности. Как и во многих других похожих задачах, найденные касательные контактные напряжения имеют логарифмическую особенность в точке изменения жесткости стрингера и исчезают на бесконечности. Нормальные контактные напряжения в данном случае могут иметь разрыв первого рода в точке изменения жесткости.

В §5 приводятся результаты численных расчетов для нескольких типов нагрузок: когда заданы только напряжения на бесконечности, приложены только распределенные силы к стрингеру или только сосредоточенные силы к пластинам.

Во второй главе впервые находится аналитическое решение интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой.

В § 1 приводится решаемое далее уравнение, фиксируется класс искомых решений уравнения, накладываются условия на неоднородную часть уравнения.

В §2 разбираются два частных случая задачи, которые сводятся к более простому и изученному ранее интегро-дифференциальному уравнению Прандтля на действительной оси или полуоси.

В §3 интегро-дифференциальное уравнение Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом сводится к системе разностных уравнений посредством интегрального преобразования Меллина. Затем в §4 оно с помощью конформного отображения сводится к краевой задаче Римана на двулистной рима-новой поверхности, решение которой в классе функций, кусочно-аналитических на римановой поверхности и имеющих заданное поведение на концах линии разрыва, находится в §5.

В §6 находится решение исходного интегро-дифференциального уравнения и исследуется его поведение в особой точке и на бесконечности.

Интегро-дифференциальное уравнение Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на действительной оси является частным случаем системы ин-тегро-дифференциальных уравнений на полуоси, решение которой в общем случае находится в §7 аналогичным образом путем перехода к краевой задаче Римана на римановой поверхности.

Третья глава посвящена решению задачи о кусочно-однородном включении, расположенном между двумя полубесконечными пластинами. Главное отличие ее от задачи о стрингере состоит в том, что включение предполагается абсолютно жестким на изгиб, в то время как стрингер предполагался наоборот абсолютно несопротивляющимся изгибу. Данная задача снова сводится к описанному интегро-дифференциальному уравнению.

В § 1 приводится механическая постановка задачи о включении. В §2 изложен еще один метод сведения задачи к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля, в §3 приводится решение уравнения и исследуется поведение напряжений в окрестности точки изменения жесткости включения и на бесконечности. В §4 приводятся численные расчеты для случая экспоненциально распределенной нагрузки на включение.

Отдельные результаты и работа в целом докладывались на VI молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2007), на ХЬУ1 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2008), на XXXIV и XXXV международных молодёжных научных конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 2008,

2009), на международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2009), на международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2009, 2010), на VIII всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России» (Москва,

2010), на II международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» (Дилижан, Армения, 2010), на семинаре кафедры высшей математики Российского государственного университета нефти и газа (Москва, 2009, 2011, руководитель - профессор Калинин В.В.), на научных семинарах по механике сплошной среды имени JI.A. Галина при институте проблем механики РАН (Москва, 2009, 2011, руководители - профессора В.М. Александров, В.Н. Кукуджанов, A.B. Манжиров), на семинаре по механике деформируемого твердого тела при Чувашском государственном педагогическом университете (руководители - профессора Д.Д. Ивлев, Б.Г. Миронов).

Основные результаты диссертационной работы отражены в 14 публикациях [80-93], из которых четыре статьи [80-83] опубликованы в журналах из списка ВАК РФ.

Работа выполнялась в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00038, 10-01-00103).

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе и выносимые на защиту:

1) Путём сведения к краевой задаче Римана на двулистной римановой поверхности впервые построены аналитические решения интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой и системы интегро-дифференциальных уравнений Прандтля на луче; исследовано их поведение вблизи нуля и на бесконечности.

2) Решена явно задача о тонком кусочно-однородном стрингере, расположенном на линии разных упругих пластин и полностью лишённом изгибной жёсткости.

3) Решена явно задача о тонком упругом кусочно-однородном включении в однородном упругом теле, абсолютно жёстком на изгиб.

4) Исследовано поведение контактных напряжений вблизи точки изменения жёсткости стрингера (включения), найдены аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений. Численными расчётами изучена их зависимость от упругих и геометрических параметров пластин и стрингера (включения).

Заключение

1. Агабекян П.В., Гулян К.Г. Контактная задача для полубесконечной пластины, усиленной двумя полубесконечными накладками // Известия HAH Армении. Механика. 2009. Т. 62. № 4. С. 7-15.

2. Александров А.Я., Зиновьев Б.М. Приближенный метод решения плоских задач и пространственных задач теории упругости для тел с армирующими элементами и разрезами // В сб.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение. 1975. С. 15-25.

3. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука. 1986. 336 с.

4. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / под ред. Н.Х. Арутюняна. М.: Наука. 1983. 488 с.

5. Антипов Ю.А. Эффективное решение интегро-дифференциального уравнения типа Прандтля на отрезке и его приложение к контактным задачам для полосы // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 3. С. 146-155.

6. Арутюнян Н.Х. Контактная задача для полуплоскости с упругим креплением // Прикладная математика и механика. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 632646.

7. Арутюнян Н.Х., Мхитарян С.М. Некоторые контактные задачи для полуплоскости с частично скрепленными накладками // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. Вып. 5. С. 813-843.

8. Арутюнян Н.Х., Мхитарян С.М. Периодическая контактная задача для полуплоскости с упругими накладками // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. Вып. 5. С. 813-843.

9. Багдасарян P.A. Задача для кусочно-однородной бесконечной пластины, усиленной бесконечным кусочно-однородным стрингером // Известия HAH Армении. Механика. 2005. Т. 58. № 4. С. 15-21.

10. Багдасарян P.A. Задача для кусочно-однородной бесконечной пластины, усиленной двумя полубесконечными стрингерами // Известия HAH Армении. Механика. 2005. Т. 58. № 2. С. 65-72.

11. Банцури Р.Д., Шавлакадзе H.H. Контактная задача для кусочно-однородной плоскости с полубесконечным включением // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 655-662.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука. 1969. 343 с.

13. Векуа И.Н. Об интегро-дифференциальном уравнении Прандтля // Прикладная математика и механика. 1945. Т. 9\ Вып. 2. С. 143-150.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640 с.

15. Голубев В.В. Теория крыла аэроплана конечного размаха. М.: Труды ЦА-ГИ. 1931. Вып. 108. С. 1-350.

16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука. 1963. 1100 с.

17. Григолюк Э.И., Толкачёв В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение. 1980. 411 с.

18. Григолюк Э.И., Толкачёв В.М. Передача усилий от стрингера переменного сечения к пластине // Проблемы прочности. 1971. Вып. 9. С. 71-74.

19. Григорян Э.Х. Контактная задача для упругой полуплоскости, на границе которой приклеена бесконечная упругая кусочно-однородная накладка // Известия АН АССР. Механика. 1990. Т. 43. Вып. 4. С. 24-34.

20. Григорян Э.Х. Об одном подходе решения задач для упругой плоскости с бесконечным кусочно-однородным включением // Ученые записки ЕГУ. Естественные науки. 1985. № 2. С. 35-40.

21. Григорян Э.Х. Об одном эффективном методе решения одного класса смешанных задач теории упругости // Ученые записки ЕГУ. Естественные науки. 1979. № 2. С. 62-71.

22. Григорян Э.Х., Керопян A.B., Саркисян B.C. Контактная задача для упругой полуплоскости, граница которой усилена склеенными с ней полубесконечными накладками // Известия РАН. Механика твердого тела. 1992. № З.С. 180-184.

23. Григорян Э.Х., Мелтонян Б.А. Об одной задаче для упругой бесконечной пластины, усиленной полубесконечными стрингерами // Ученые записки ЕГУ. Естественные науки. 1984. № 3. С. 44^19.

24. Григорян Э.Х., Оганесян Г.В. Контактная задача для упругой кусочно-однородной бесконечной пластины, усиленной двумя параллельными различными бесконечными упругими стрингерами // Известия HAH Армении. Механика. 2009. Т. 62. № 3. С. 29^13.

25. Грилицкий Д.В., Драган М.С., Опанасович В.К. Изгиб плиты с прямолинейным тонкостенным включением // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1979. № 3. С. 83-88.

26. Грилицкий Д.В., Сулим Г.Т. Периодическая задача для упругой плоскости с тонкостенными включениями // Прикладная математика и механика. 1975. Т. 39. Вып. 3. С. 520-529.

27. Грилицкий Д.В., Сулим Г.Т. Упругие напряжения в плоскости с тонкостенным включением // Математические методы и физико-механические поля. 1975. Вып. 1. С. 41-48.

28. Драган М.С., Опанасович В.К. Напряженное состояние полосы (балки) с прямолинейным тонкостенным включением // Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. № 2. С. 342-348.

29. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гёльде-ровских классах на римановых поверхностях // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. Вып. 1.С. 113-179.

30. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука. 1973. 304 с.

31. Каландия А.И. О напряженном состоянии в пластинках, усиленных ребрами жесткости // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. Вып. 3. С. 538-543.

32. Канаун С.К. Тонкий дефект в однородной упругой среде // В кн: Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций. Ленинград: ЛИСИ. 1983. С. 75-84.

33. Келдыш М.В., Седов Л.И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций // Доклады АН СССР. 1937. Т. 16. № 1. 7-10.

34. Керопян A.B. Контактные задачи для упругой полуплоскости и бесконечной пластины, усиленных частично склеенными стрингерами // Ученые записки ЕГУ. Естественные науки. 2007. № 2. С. 35-44.

35. Куршин Л.М., Суздальский И.Д. Напряжения в плоскости с заполненной щелью//Прикладная механика. 1973. Т. 9. Вып. 10. С. 62-68.

36. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973. 749 с.

37. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука. 1999. 382 с.

38. Максименко В.Н. К контактной задаче для анизотропной пластины, подкрепленной ребром жесткости // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1981. № 1. С. 159-165.

39. Морарь Г.А., Попов Г.Я. К контактной задаче для полуплоскости с упругим конечным креплением // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34. Вып. 3. С. 412-421.

40. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. 707 с.

41. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.511 с.

42. Мхитарян С.М. Об одном новом подходе к решению задачи контактного взаимодействия между полубесконечным стрингером и полуплоскостью // Известия АН СССР. 1982. Т. 35. Вып. 5. С. 3-21.

43. Попов Г.Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. Вып. 3. С. 518-531.

44. Риекстыньш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Т. 2. Рига: Зи-натне. 1977. 464 с.

45. Саврук М.П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка. 1981. 324 с.

46. Соткилава О.В., Черепанов Г.П. Некоторые задачи неоднородной теории упругости // Прикладная математика и механика. 1974. Т. 38. Вып. 3. С. 537-550.

47. Стадник М.М. Интегродифференциальные уравнения трехмерной задачи теории упругости для тела с системой тонких включений // физико-химическая механика материалов. 1984. Т. 20. № 1. С. 15-21.

48. Сулим Г.Т. Концентрация напряжений возле тонкостенных линейных включений //Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 11. С. 82-89.

49. Сулим Г.Т., Грилицкий Д.В. Напряженное состояние кусочно-однородной плоскости с тонкостенным упругим включением конечной длины // Прикладная математика. 1972. Т. 8. Вып. 11. С. 58-65.

50. Титчмарш Э.Ч. Введение в теорию интегралов Фурье. M.-JL: Гостезсиздат, 1948.418 с.

51. Толкачев В.М. Передача нагрузки от стрингера конечной длины к бесконечной и полубесконечной пластине // Доклады АН СССР. 1964. Т. 154. №. 4. С. 806-808.

52. Хачикян А.С. Равновесие неоднородной упругой плоскости с тонкостенным упругим включением // Известия АН АССР. Механика. 1968. Т. 21. № 4. С. 20-29.

53. Хачикян А.С. Равновесие плоскости с тонкостенным упругим включением конечной длины // Известия АН АССР. Механика. 1970. Т. 23. № 3. С. 1421.

54. Черепанов Г.П., Кочеров Р.С., Соткилава О.В. Об одном трещиновидном дефекте в упругой плоскости // Прикладная математика. 1977. Т. 13. № 2. С. 48-52.

55. Чобанян К.С., Хачикян А.С. Плоское деформированное состояние упругого тела с тонкостенным гибким включением // Известия АН АССР. Механика. 1967. Т. 20. № 6. С. 19-29.

56. Шереметьев М.П. Пластинки с подкрепленным краем. Львов: Издательство Львовского университета. 1960. 258 с.

57. Antipov Y.A., Gao Н. Exact solution of integro-differential equations of diffusion along a grain boundary // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2000. Vol. 53. Pt. 4. P. 645-674.

58. Antipov Y.A., Chuang T.-J., Gao H. On the integro-differential equation associated with diffusive crack growth theory // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2003. Vol. 56. Pt. 2. P. 289-310.

59. Antipov Y.A., Schiavone P. Integro-differential equation of a finite crack in a strip with surface effects // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2011. Vol. 64. Pt. 1. P. 87-106.

60. Antipov Y.A., Silvestrov V.V. Second-order functional-difference equations. I: Method of the Riemann-Hilbert problem on Riemann surfaces // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2004. Vol. 57. Pt. 2. P. 267313.

61. Antipov Y.A., Silvestrov V.V. Second-order functional-difference equations. II: Scattering from a right-angled conductive wedge for E-polarization // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2004. Vol. 57. Pt. 2. P. 267-313.

62. Antipov Y.A., Silvestrov V.V. Vector functional-difference equation in electromagnetic scattering // IMA Journal of Applied Mathematics. 2004. Vol. 69. P. 27-69.

63. Benscoter S.U. Analysis of a single stiffener on an infinite sheet // Journal of Applied Mechanics. 1949. Vol. 16. No. 3. P. 242-246.

64. Benthem J.P. On the diffusion of a load from a semi-infinite stringer bonded to sheet // Contribution to the Theory of Aircraft Structures. Delft University Press. 1973. P. 117-134.

65. Erdogan F., Gupta G.D. Stresses near a flat inclusion in bonded dissimilar materials // International Journal of Solids and Structures. 1972. Vol. 8. No. 4'. P. 533-547.

66. Koiter W.T. On the Diffusion of Load From a Stiffener into a Sheet // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied'Mathematics. 1955. Vol. 8. No. 2. P. 164-178.

67. Lankaster P. Theory of Matrices. N.Y.: L.: Academic Press. 1969. 280 p.

68. Melan E. Ein Beitrag zur Theorie geschweisster Verbindungen // Ingeneieour Archiv. 1932. Vol. 3. No. 2. S. 123-129.

69. Multhopp H. Die Berechnung der Aufriebsverteilung von Tragglugeln // Luft-fahrtforschurg. 1938. Bd. 15. N. 4. S. 153 166.

70. Muki R., Sternberg E. On the Diffusion of Load From a Transverse Tension Bar Into a Semi-Infinite Elastic Sheet // ASME Journal of Applied Mechanics. Series E. 1968. Vol. 35. No. 4. P. 737-746.

71. Muki R., Sternberg E. On the stress analysis of overlapping bonded elastic sheets // International Journal of Solids and Structures. 1968. Vol. 4, No 1. P. 75-94.

72. Reissner E. Note on the Problem of the Distribution of Stress in a Thin Stiffened Elastic Sheet // Proceedings of the National Academy of Science. 1940. Vol. 26. P. 300-305.

73. Tao Fang-ming, Tang Ren-ji. The crack-inclusion interaction and the analysis of x singularity for the horizontal contact // Applied Mathematics and Mechanics.

74. English Edition. 2001. Vol. 22. No 5. P. 547-556.

75. Wiener N., Hopf E. Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1939. S. 696706.

76. Xiao Z.M., Chen В.J. Stress analysis for a Zener-Stroh crack integrating with a coated inclusion // International Journal of Solids and Structures. 2001. Vol. 38, №28-29. P. 5007-5018.

77. Сильвестров B.B., Смирнов A.B. Интегро-дифференциальное уравнение Прандтля и контактная задача для кусочно-однородной пластины // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 6. С. 953-970.

78. Сильвестров В.В., Смирнов A.B. Упругие напряжения в плоскости с тонкостенным кусочно-однородным включением при наличии сосредоточенных сил // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2011. № 2.

79. Смирнов A.B. Напряженное состояние пластины, усиленной кусочно-однородным стрингером // XXXIV Гагаринские чтения: Научные труды международной молодежной научной конференции. М.: МАТИ. 2008. Т. 1. С. 195-196.

80. Смирнов A.B. Интегро-дифференциальное уравнение задачи усиления пластины стрингером кусочно-постоянной толщины // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тезисы докладов международной конференции. Минск: ИМ НАНБ. 2009. С. 149-150.

81. Смирнов A.B. Система двух интегро-дифференциальных уравнений на положительной полуоси // Труды 5-й международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений». Том 2. Минск: Институт математики HAH Беларуси. 2010. С. 123-128.

82. Смирнов A.B. Напряженное состояние кусочно-однородной пластины, подкрепленной двумя полубесконечными стрингерами // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Труды II международной конференции. Том 2. Ереван: Издательство ЕГУАС. 2010. С. 155-159.