Контактные задачи для бесконечной пластины, усиленной крестообразными накладками тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

0.'Ьгь'чиъь "тяиииъ гщпишгпь

\ 2 ДЕН »

!»цгпизи\| 'ШЧЫ» ОГтРЪЪЬ

^пъБинБизЬ'и щ-ичьг'иьг 'ишиам ЧЬРаТ-11Г,'иЬР1К пмьаизчиь иъчиг.?. иди 2,шгиг

Уши'ишц[1 тп I. [с1,) п 1.1|р 01.0^.04 - г]1|^пр1Гшд1[пг^ и^Ъц сГшрЛф |/Ь(ишЬ[11{ш

'^Ц^ш-^ш^Ьи'шиф^шЦш'И ц[11ппи ^ дпьЪ!»р[п рЬ^ЪшЬт.^ ({[ши/ЦиЛ! шиифбш'и^ 'iшJr|lГш'l^ 1ииЬ'1ш|[ипи_|ш1|

и пить г

Ь'ркш'и - 1УУ-1 '

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТОРОСЯН ДАВИД РУБЕНОВИЧ

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ УСИЛЕННОЙ КРЕСТООБРАЗНЫМИ НАКЛАДКАМИ

Специальность - 01.02.0^ - Механика деформируемого

твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-мэгвматических наук

Ереван - 1994-

Работа выполнена на кафедре механики сплошной среды Ереванского государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент ГРИГОРЯН Э.Х.

Официальные оппоненты: I. Доктор физико-математических

наук, профессор БАБЛОЯН А.А. 2. Кандидат физико-математических наук АГАШ К. Л.

Ведущая организация - Кнкенерный университет Армении.

Защита диссертации состоится " б " тэдд г. в

час., ауд. й 9-3. на заседании специализированного Совета К 055.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Ереванском государственном университете по адресу: 37504^, Ереван-49,-ул.А.Манукдаа,1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан " ^ " ^ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат бизико-математических

на5" Ш4-.

С.А.Джилавян

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ;

I

Диссертационная работа посвящена исследованию Ьдного класса контактных задач о передаче нагрузки от тонкостенных элементов в виде крестообразных, крестообразных и прямолинейных стрингеров (накладок) различных длин к упругой однородной бесконечной пластине.

Актуальность темы, Б последнее время бурное развитие получили контактные задачи о передаче нагрузки от тонкостенных элементов в виде стрингеров (накладок), включений и пластинок к массивным телам, которые представляют теоретический интерес и имеют практическое значение. Эти задачи, ъ райках принятых гипотез, учитывающих тонкостенность одного из контактирующих тел, сводятся к решению родственных математических задач, встречающихся при обсуждении классических контактных задач теории упругости, но вместе с тем, тре'буювдх отыскание новых эффективных методов их решения. Указанные задачи являются актуальными, поскольку они встречаются в современной технике при проектировании авиационных конструкций, при расчете фундаментов зданий, аэродромных и дорожных покрытий, при расчете на прочность композиционных материалов, в практике сварочных и клееных соединений и других областях прикладной механики, а разработанные при этом новые эффективные методы могут иметь свои применения в различных областях математической физики.

Поэтому исследование указанного круга задач, с целью разработки эффективных методик расчета полей напряжений и деформаций в массивных деформируемых телэх различных форм, подкрепленных или армированных тонкостенными элементами, представляет актуальную научную проблему.

Многие основополагающие результаты в этой области механики с большой' полнотой отрзкены в монографиях, обзорных статьях и фундаментальных работах Б.Л.Абрамяна, КЛ.Агаянэ, А.Я.Александрова, В.М.Александрова, Н.Х.Арутюняна, В.А.Бзбеико, Р.Д.Банцу-ри, А.А.Баблоянэ, И.М.Векуэ, И.П.Еоровича, Л.А.Галина, Э.И.Гри-голюка, Э.Х.Григоряна, Д.В.Грилицкого, В.И.Довноровичз, А.И. ' Калэндия, А.И Лурье, В.С.Макаряна, А.М.Мкртчяна, В.И.Моссаков-. ского, Н.И.Мусхепишвили, Б.М.Нуллера, Г.Я.Попова, В.С.Проценко, В.Л.Рвачева, А.И .Ростовцева, В.С.Саркисяна, В.М.Сейыова, В.М.

Толкачева, В.С.Тонояна, А.Ф.Улитко, Я.С.Уфлянда, Л.А.Филышш-ски, Г.П.Черепанова, С.С.Иагиняна, Д.Й.Шермана, И.Я.Ытаермана . и других исследователей.

Цель работа заключается б построении эффективных аналитических и вычислительных методов решения поставленных задач; в рамках принятых физических моделей для контактирующих элементов точное математическое ранение рассматриваемых задач при довольно оирокои диапазоне изменения физических и геометрических параметров; в получении простых расчетных формул для' ин-тенсивностей тангенциальных контактных сид, действующих под '. стрингерами.

Научная новизна. В работе исследован новый класс контактных задач о передаче нагрузки от тонкостенных элементов в виде крестообразным бесконечным, конечным, крестообразным и прямолинейным конечными стрингеров к массивным телам в виде упругой сплолно:! бесконечной пластины. Новизной является постановка исследуемых задач. Новизна содеркится так;;:е в методе решении задачи кэсзидего бесконечного крестообразного стрингера. Полученные в работе результаты и развитые методы могут быть успешно распространены на другие смешанные граничные задачи для бесконечных областей, встречающиеся в математической физике и механике сплолно!) среды. Для некоторых физико-механических и геометрических параметров контактирующих элементов выявлена харэк-. терние закономерности изменения тангенциальных контактных напряжении и по результатам вычислений построены графики.

•Практическая-ценность.Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы в различных областях машиностроения и строительства, при расчета и проектировании многих пншнергшх конструкций и деталек машин, взаимодействующих . с тонкостенными армирующими элементами, в измерительной технике и во многих других областях инженерной практики. Развитые в работе математические методы и способы их применения могут быть использованы и в других областях математической физики и .имеют теоретическую значимость.

!

Достоверность. При решении поставленных,задач применялись метод интегрального преобразования Фурье, ме(год факторизации, метод ортогональных многочленов Чебшева, методы теорий функций комплексного переменного и методы решения функционально-разностных уравнений. Полученные результаты в некоторых частных случаях сравнены с известными результатами.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач и строгостью примененного математического аппарата.

Апробация работы. Основные результаты работы регулярно докладывались на семинаре "Механика сплошной среды" кафедры механики сплошной среды Ереванского государственного университета, на традиционных ежегодных сессиях профессорско-преподавательского состава и аспирантов Ереванского госуниверситета (Ереван, 1989-1993 гг.); на общем сеиинаре Института Механики АН Республики Армения.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликованы 4 работ .

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и изложена на 118 страницах' машинописного некота. Работа содержит 12 рисунков ; 2.таблицы и список литературы-Iß5 наименований отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко определены цель, научная новизна и актуальность выполненной работы, дана история развития контактных задач, связанных с взаимодействием различных тонкостенных элементов разных форм и длин с упругими массивными телами.Приведен краткий обзор основных результатов и работ отечественных и зарубежных авторов, непосредственно связанных с проводимым исследованием, указан круг обсуждаемых вопросов и в компактной форме изложены основные результаты работы.

Первая глава посвящена построению функции влияния для упругой бесконечной пластины. .

В первом параграфе -этой главы приведены некоторые основ-

- б -

ныв соотношения плоской зэдэчи теории упругости.

Второй параграф посвящен построению функций влияния ддя упругой однородной бесконечной пластины. С помощью метода обобщенного интегрального преобразования Фурье построено аналитическое решение задачи.

Вторая глава. Е этой главе рассматривается контактная задача для упругой бесконечной пластины, усиленной двумя одинаковыми взаимно перпендикулярными бесконечными стрингерами или,что то ке самое,усиленной крестообразным бесконечным стрингером. Пластина деформируется под действием сил Р5"(х+а)£(<0, (35(у-а)5ЧяО , -

функция Дирзка), приложенных к крестообразному стрингеру,симмет' рично относительно его центра и направленных к центру стрингера или наоборот. Причем полагается, что стрингера достаточно узки. Зто позволяем считать, как следует из постановки задачи,что под стрингерами действуют только касательные напряжения,направленны вдоль соответствующими стрингерами. Как обычно, стрингер трактуется как одномерный упругий континуум, а для пластины, предполагается, что во время деформации она находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния. С помощью инте- ' трального преобразования Фурье решение поставленной задачи сводится к реаению системы функционально-разностных уравнений, относительно трансфорыантов Фурье контактных сил:

Кг (*) + ^ С*" = ^ К* (-1 < Угг,* <0) (2)

В (I) и (2) приняты следующие обозначения: _

а Р п Я й-

/1 — ---->

ЬсУи

с1и

Дается замкнутое решение система функционально-разностных уравнений (I) и (2). Получены асимптотические формулы, характеризующие поведения контактных сил в окрестности центра и далеких от него точках стрингера. В некоторых частных случаях осуществлена численная реализация полученных формул. Результаты вычислений приведены в виде графиков, показывающих ход изменения распределения интенсивности тангенциальных контактных сил в зависимости от уизичесних и геометрических параметров контактирующих пэр.

В частном случае решена задача для одного бесконечного стрингера. Получены* простые асимптотические уормулы, характеризующих поведения контактных сил в окрестности центра и далеких от него точках стрингера.

В третьей главе рассматриваются контактные задачи для упругой бесконечной пластины усиленной конечным крестообразным и прямолинейными конечными стрингерами.

В первом параграфе этой главы рассматривается контактная задача для упругой бесконечной пластины, усиленной крестообразным конечным стрингером, состоящий из дзух взаимно перпендикулярных, одинаковых стрингеров. Пластина деформируется под действием сил Р и Я' приложенных на бесконечности по горизонтальным и вертикальным направлениям соответственно. Как и в предыдущей главе считается, что стрингера настолько узки, что, под стрингерами действуют только те касательные напряжения, которые направлены вдоль соответствующих стрингеров.Для крестообразного стрингера принимается модель контакта по линии,т.е.считается,что контактные касательные усилия сосредоточены вдоль средней линии контактного участка,а для пластины считается,что она

находится в обобщенном плоском напряженном состоянии.'С помощью интегрального преобразования Фурье задача сводится к реши шло сингулярных интегральных уравнений с неподвижной особенностью в нуле," а зэтем к решению функциональных уравнений Бпнера-Хопфа:

К (4)

(-А<3<п,сх <0)

где приняты следующие обозначения

■bsvj - * г ?«*) s i -

кQ*=-Rs-R2>

a

R2 = -M— rJVj =

CO -

-ею

со

■,(K) Г nU\ /7г<*и

-со

( J (3-9X1+*) У а Е д* У

= ML. Г 1 - ^ ) до^

»

0х) и деформации точек пластины в, интервале (<г,оо),

у} и и1г) у)- горизонтальные и вертикальные перемещения точек пластины соответственно, а остальные величины описаны во второй глава.

Решение функциональных уравнений (3) и (4) строится сведением их к квазивполне регулярной совокупности бесконечных систем линейных алгебраических уравнений относительно вычетов трансформантов Фурье интенсивностей контактных усилил. Проведена численная реализация. Результаты вычислений приведены в виде графиков.-

В частном случае решена задача о передаче нагрузки конечного стрингера к упругой бесконечной пластине. Задача сзеденэ к решению функционального уравнения Бинера-Хопфэ. Решение функционального уравнения строится сведением ее к квазивполне регулярной совокупности бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

¿о втором параграфе этой главы вновь рассматривается задача для бесконечной пластины усиленной крестообразным конечным стрингером. Решение функциональных уравнений (3), (4) приведено к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода, ядро которого имеет логарифмическую особенность, решаемого методом -последовательных приближений.

Е третьем параграфе исследована контактная задача для бесконечной упругой пластины усиленной конечным крестообразным стрингером, состоящий из двух взаимно перпендикулярных, одинаковых стрингеров, а такке с конечными стрингерами, расположенными в горизонтальном и вертикальном направлении симметрично относительно крестообразного стрингера. Контактирующая пара (стрингер-пластина) деформируется под действием сил р и , приложенных на бесконечности по горизонтальным и вертикальным направлениям. Для стрингеров и пластины приняты те Ее модели,что и в первом параграфе этой главы. Задача с помощью метода факторизации и метода ортогональных многочленов Чебышевэ сводится к решению квазивполне регулярной совокупности бесконечным систем линейных алгебраических уравнений. В этой задаче такие получены численные результаты. Результаты иллюстрированы в виде графиков. \

- ю -

В частной случае решена задача для упругой бесконечной пластины усиленной с тремя конечными стрингерами. Задвча сводится к решению квазивполне регулярной совокупности бесконечных систем алгебраических уравнений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертационной работе поставлен и решен новый клэсс плоских контактных задач о взаимодействии тонкостенных элементов в виде крестообразным бесконечным, крестообразным конечным, крестообразным и прямолинейным конечными стрингеров к массивным телам в виде однородной упругой бесконечной пласти- ■ ны. В 'Точной математической постановке теории упругости, в рамках известных физических предположений относительно контактирующих пар в работе получены качественно новые результаты, отличающиеся от ранее полученных результатов, относящихся к задачам с однородным основанием, и в достаточно широком диапазоне изменения физических и геометрических параметров'исследован закон распределения тангенциальных контактных сил и взаимовлияние стрингеров меаду собой.

2. Рассматривается контактная задача'для упругой бесконечной пластины, усиленной крестообразным бесконечным стрингером.' С помощью преобразования Фурье задача сводится к решению системы функционально-разностных уравнений, относительно трансформантов Фурье контактных сил. Дается замкнутое решение этой системы функциональных уравнений. Получены асимптотические формулы, характеризующие поведения контактных сил в окрестности центра и далеких от него-точках стрингера. Проведена численная реализация полученных формул, по результатам которого для тангенциальных контактных сил построены графики, показывающие ход изменения интенсивности тангенциальных контактных сил в зависимости от уизичееких и геометрических характеристик.

В частном случае решена задача для одного бесконечного стрингера. Получены простые асимптотические формулы.

. . 3. Рассмотрена контактная задача для бесконечной упругой < • пластины, усиленной крестообразным конечным стрингером. Задача сводится к решению сингулярных интегральных уравнений с неподвижной особенностью в нуле, а затеи к решению функцио-

нэльных уравнений типа винерэ-Хопфз. Решение функциональных уравнений строится сведением их к квазивполне регулярной совокупности бесконечных систем линейных алгебраических уравнений относительно вычетов трансформантов Фурье интенсивностей контактных усилий. Проведена численная реализация полученных формул, по результатам которого построены графики. .

В частном случае решена задача о передаче нагрузки конечного стрингера к упругой бесконечной пластине. с

4. Вновь рассматривается задача для бесконечной пластины усиленной крестообразным конечным стрингером. Задача сведена

к решению фредгольмовского уравнения второго рода, ядро кото-' poro имеет логарифмическую особенность, решаемого методом последовательных приближений.

5. Рзссцотренз контактная зэдзчэ для бесконечной пластины, усиленной крестообразным и прямолинейными конечными .стрингера-, ми. Зздзчз о помочь® метода факторизации и метода ортогонзпь-• ных многочленов Чебышева сводится к решению квазивполне регулярной совокупности бесконечных систем алгебраических уравнений. Проведена численная реализация, по результатам которого построены графики.

В частном случае решена задача для упругой бесконечной пластины усиленной с тренья конечными стрингерами. Задача сводится к решению квазивполне регулярной.совокупности бесконечных систем алгебраических уравнений.

Основные результаты диссертационной работа опубликованы в следующих работах. я .

1. Григорян Э.Х., Торосян Л. Р. ¡Задета для упругой бесконечной

. пластины, усиленной крестообразным бесконечным стрингером." - Изв. ПАН Армении, Механика, 1ЭД4, 1-2, с.3-12.

2. Григорян ЭЛ., Торосян Д.Р. Контактная задача для упругой ••■ бесконечной пластины, усиленной крестообразным конечным , стрингером. - Изв. HAH Армении, Механика, 19П4, .'Г? 5-6,'

с.31-40.

3. Торосян Л.Р. Контактная задача для бесконечной пластины", усиленной крестообразным и прямолинейными конечными стрингерами. - Изв. HAH Армении, Механика, (в пеяати).

4. Торосян Д.Р. Контактная задача для упругой бесконечной пластины, усиленной взаимно перпендикулярными конечными стрингерами. - В сб.магериалов Международной научной конференции Прикладная и теоретическая механика". Ереван, 17-19 октября, 1994 г.

и 1Г » п Ф № и

ЦшЬ'иифпит.рщЛр \«|[1(11|шЬ t ш"1п|Ьр£ ^шГимЬп ^ияГшр 1|пЪ-

шиДргш [и1ц[1[1^1ф[1 т.и птАши^рШ-Р Jшll[^, Ьрр П1.»Ь-

I, ш\д|11р£ 1|Ьр£ш1[пр [иш^илЗЦ. , [иш^икЗк и пицдш-

<^¡1Ь 1(Ьр£ш|пр 1{Ьрищ[1рЪЬрт|:

^Ь^шюш'и^ги.^ ({(ипирЦфиЬ [и'и^р'иЬр!! [И-Ь^шЪ |Г|и[<1иГшиф({прЬ1> ^(11ГпрЦшЬ , прпЪр ^Чшрш^прпц^Ь\| иш|^шч (иш-

^ ш<!к 1|Ь р ш.^рЪЬр т( ш\л.[Ьр£ шпшйцш^шЪ иш^ 1[п\ш1<и1{>

^ шр пи/ЪЬгр^илГшр и1лш\|ш^ цшрц ^ и121|шр1|и>,|[1Ъ ршЪшйиЬр: ^¿цЬи 1|шк Цшш1ир1(шЬ ЬЪ ^и^фирк^р » прпЪд oqí^ПLpJШlГf

шггпиI ^ ЦпЧилш!| 1гшJ¡1Ъ 2П2шфпц ^ шрпиГ,Ы|р[1 ри^^тГиД! ^ри^Ц-

'Пшп^Ьр 67 Бцшрш^ш!!

1)ркшЪ[1 щЬтшЦшЬ '¡илЬицдирш'и^ , ^пмшсцр^Ъш,, тир^рш-шртш^риЫши: ЪрЬлЛ, и^.^ш^п кЛуиЛа 1т. 1: