Контактное взаимодействие накладок с упругими телами, нагруженными на бесконечности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА _

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра теории пластичности

На правах рукописи УДК 539.3

Саламатова Виктория Юрьевна

КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НАКЛАДОК С УПРУГИМИ ТЕЛАМИ, НАГРУЖЕННЫМИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 идр 20С9

Москва - 2009

003464543

Работа выполнена на кафедре'теории пластичности механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Александров Виктор Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Георгиевский Дмитрий Владимирович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Солдатенков Иван Алексеевич

Ведущая организация: Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Защита состоится «10» апреля 2009 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.91 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан «марта 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 501.001.91,

профессор

С.В. Шешенин

I. Общая характеристика работы

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

В механике деформируемого твердого тела центральное место занимают задачи контактных взаимодействий. Это обусловлено тем, что контакт является одним из основных способов приложения нагрузки к деформируемому телу. Величина контактных давлений очень важна для определения напряжений и перемещений. Развиваемые в теории контактных задач методы позволяют найти распределение давлений в местах контакта, и, таким образом, ответить на многие важные вопросы об участках концентрации напряжений, износостойкости и других факторах контактной прочности и жесткости.

В современной технике самое широкое применение нашли композиционные материалы, а также различные конструкции, усиленные или армированные тонкостенными элементами. Это привело к постановке контактных задач и поиску их решений для тел с тонкими покрытиями и прослойками. Данный класс задач является большой областью исследования теории контактных и смешанных задач механики деформируемого твердого тела и непосредственно связан с важными вопросами инженерной практики. К контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками относят как задачи о контакте тел, армированных тонкими покрытиями или прослойками, так и задачи о взаимодействии стрингеров (тонкостенные элементы типа накладок) и включений различных геометрических форм с массивными деформируемыми телами. Стрингеры и включения, также как разрезы и штампы, являются концентраторами напряжений, поэтому нахождение распределения напряжений в таких задачах имеет большое теоретическое и практическое значение.

Важно отметить, что немалую роль при исследовании контактных задач с тонкими покрытиями и прослойками играет учет тонкостенности элементов. Первые исследования о передаче нагрузки от тонкостенных элементов, лишенных изгибной жесткости, к массивным телам были представлены в работах Э. Мелана (1890-1963), Э. Рейсснера (1913-1996) и В. Т. Койтера (19141997). На протяжении последних лет изучению задач о равновесии упругих тел, содержащих абсолютно гибкие накладки, посвящено немало работ (основные результаты исследований в этой области представлены в книге В. М. Александрова, С. М. Мхитаряна), причем в ряде случаев предложены новые методы решения, которые представляют интерес и для исследования других задач математической физики при смешанных граничных условиях. Применение асимптотических и других аналитических методов делают возможным представить решение смешанной задачи и его локальные и интегральные характеристики явными формулами, удобными для качественного и количественного исследования.

Проблемы, возникающие в различных областях машиностроения и строительства- помимо упомянутых выше, - такие как проектирование различных тонкостенных конструкций, расчет фундаментов зданий, практика сварных

соединений, вопросы предотвращения роста трещин в конструкциях, вопросы тснзометрирования подводят к решению неклассических контактных задач. Поэтому актуальность темы диссертации обуславливается важностью изучения вопросов контактного взаимодействия тонкостенных элементов в виде накладок различных геометрических форм и покрытий с массивными деформируемыми телами в теоретическом и прикладном плане.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Целью диссертации является исследование вопросов о контактном взаимодействии тонких накладок с упругими телами, нагруженными на бесконечности, а именно, нахождение распределения касательных напряжений на поверхности упругих тел в области контакта. Определение закона изменения контактного касательного напряжения позволяет затем исследовать напряженно-деформированное состояние в упругих телах. В ходе работы были поставлены и решены следующие задачи:

1. контактные задачи о взаимодействии тонких жестких на растяжение, но абсолютно гибких накладок различных геометрических форм в плане (круглая, эллиптическая, кольцевая, прямоугольная) с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием;

2. плоская задача о контактном взаимодействии тонкой упругой абсолютно гибкой накладки с упругой полосой, нагруженной на бесконечности равномерным растягивающим усилием. Задача рассматривается в рамках плоской деформации. Полученные результаты используются для нахождения коэффициента искажения деформации низкомодульных материалов при их тензометрировании;

3. осесимметричная задача о растяжении упругого слоя, приложенными на бесконечности усилиями, при наличии на одной из его граней тонкой упругой накладки. Применение полученных результатов к вопросам тензометрирования.

Подобные задачи ранее изучались в работах Н. X. Арутюняна, В. М. Александрова, С. М. Мхитаряна, Г. А. Мораря, Г. Я. Попова, Б. И. Сметанина, Б. В. Соболя, А. С. Соловьева, В. М. Толкачева, S. W. Chewing, М. F. Beatty, P. Stehlin и др.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе использовались:

• интегральное преобразование Фурье и интегральное преобразования Хан-келя, чтобы свести поставленные задачи к интегральным уравнениям относительно неизвестных контактных :усилий;

• асимптотический метод «больших А» (построение асимптотических рядов при больших значениях характерных параметров задачи);

• метод специальных ортонормированных полиномов (основан на построении множества специальных многочленов, ортонормированных по отношению к дифференциальному оператору, который описывает деформацию упругой накладки);

• метод коллокаций Мультоппа-Каландия (позволяет после определенной дискретизации свести интегральное уравнение к системе линейных алгебраических уравнений).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

1. Получены формулы для контактного касательного напряжения в случае пространственной задачи о контактном взаимодействии тонкой узкой прямоугольной накладки конечной длины с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием, при различных значениях относительной толщины накладки. Считается, что между пластинкой и упругой средой осуществляется полное сцепление. Здесь были использованы предположение о распределении контактных напряжений, аналогичное предположению Л. А. Галина о распределении давления под накладкой в поперечном направлении при вдавливании узкой балки в упругое полупространство, и допущение, что накладка является жесткой на растяжение и не сопротивляется изгибу.

2. С помощью метода Мультоппа-Каландия удалось найти приближенное решение задачи о равновесии упругого полупространства, усиленного на границе тонкой кольцевой накладкой, которая является жесткой на растяжение, но не сопротивляется изгибным деформациям, а затем сравнить этот результат с полученным ранее асимптотическим решением.

3. С помощью асимптотического метода «больших А» и метода специальных ортонормированных полиномов в плоской и осесимметричной постановках были получены результаты для задачи о контактном взаимодействии тонкой упругой накладки, лишенной изгибной жесткости, с упругим слоем, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием. Между накладкой и верхней границей упругого слоя осуществляется полное сцепление. Определены контактные касательные напряжения, перемещения точек накладки и коэффициент искажения деформации границы слоя. Было показано, что при тензометрировании материалов с малым модулем упругости (например, менее 7ГПа) жесткость тензодатчика может оказывать значительное усиливающее воздействие.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ

В теоретическом плане практическая значимость работы заключается в изучении задач о контактном взаимодействии тонкостенных элементов с деформируемыми массивными телам, что вносит некоторый вклад во внутреннюю завершенность соответствующего раздела механики деформируемого твердого тела - контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. В случае задач с упругими накладками были исследованы вопросы о применении полученных результатов для учета погрешностей при тензомет-рировании низкомодульных материалов. ДОСТОВЕРНОСТЬ

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается строгостью математических постановок задач, корректным использованием аппарата теории интегральных уравнений, апробированностью применяемых численных методов, сопоставлением авторских решений с решениями, опубликованными в литературных источниках.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ

Вошедшие в диссертацию результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах: научная конференция «Ломоносовские чтения»(апрель 2004 г. и 16-25 апреля, 2007 г., Москва, Россия), на международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (27 августа - 1 сентября 2007 г., Саратов, Россия), на научном семинаре по механике сплошных сред им. Л. А. Галина (под рук. профессоров В. М. Александрова, В. Н. Кукуджанова, А. В. Манжирова, ИПМех РАН), на научно-исследовательском семинаре кафедры теории пластичности МГУ им. М. В. Ломоносова (под рук. профессоров В. М. Александрова, Е. В. Ломакина), на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов МГУ им.М.В.Ломоносова (под рук. профессора Б.Е. Победря), на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости МГУ им. М.В. Ломоносова (под рук. профессора И.А. Кийко).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 5 публикациях, список которых приведен в конце автореферата. Во всех работах постановка задачи принадлежит научному руководителю; автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат результаты выполненных исследований.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Работа изложена на 125 страницах машинописного текста без приложений и содержит 19 рисунков и 5 таблиц. Список литературы содержит 98 наименований.

II. Содержание диссертации

Во введении представлен обзор литературы по контактным задачам и основным методам их решения, приводится обзор публикаций по тематике дан-

ной диссертационной работы, дано краткое содержание всех глав диссертации.

Первая глава посвящена изучению задач о контактном взаимодействии тонких накладок различных геометрических в плане форм с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием, направленным параллельно границе полупространства. Предполагается, что накладки являются жесткими на растяжение и не сопротивляются изгибным деформациям. Во всех случаях считается, что между граничной плоскостью полупространства и накладкой осуществляется полное сцепление.

Исследование задачи о контактном взаимодействии тонкой накладки эллиптической формы с упругим полупространством (г < 0), нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием р, которое направлено одновременно параллельно двум координатным осям х к у, с помощью интегрального преобразования Фурье сводится к решению системы двумерных интегральных уравнений относительно неизвестных контактных касательных напряжений. В случае, когда упругое полупространство сцеплено с тонкой круглой накладкой и растягивается на бесконечности осесимметрич-ным равномерным усилием, используя интегральное преобразование Ханке-ля, проблема сводится к решению парного интегрального уравнения относительно неизвестного контактного касательного напряжения. Данные система интегральных уравнений и парное интегральное уравнение, как показано в работах [1], [2], имеют решения в замкнутом виде:

для эллиптической накладки безразмерные контактные касательные напряжения Txz, Туг имеют форму

Ах _ Ву

\Л - X2 — у2' "Z i/l - X2 - у2

Л =

__[Зие2 -4и + е2]{Е(е) - К(е)> + [ve4 - 2^е2 + е4]К(е)_

~2vT^eV + Щи + 1)Е2(е) + (е2 - 2)К(е)Е(е) + 1)(е2 - 1)К2(е))'

_ve2[E(e) - ЗК(с)] + (4г/ + е2)(К(е) - Е(е)]_

2(i/ + l)((i/ + 1)Е2(е) + (е2 - 2)К(е)Е(е) + (и - 1)(е2 - 1)К2(е))'

где v — коэффициент Пуассона полупространства, К(е), Е(е) — полные эллиптические интегралы первого и второго родов соответственно, е — эксцентриситет эллипса, который является в плане формой накладки;

для круглой накладки безразмерное контактное касательное напряжение имеет вид

(1 + 1^)7Гл/1 — Т-2'

где v — коэффициент Пуассона полупространства. Здесь (г, ip, z) — цилиндрическая система координат.

Исследование контактных задач о взаимодействии тонкой накладки эллиптической и круглой форм с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности, проводилось автором самостоятельно, и полученные решения были сравнены с известными ранее. Здесь результаты для данных задач приводятся для полноты картины.

В случае осесимметричной задачи о контактном взаимодействии упругого полупространства, нагруженного растягивающими усилиями на бесконечности, с тонкой жесткой на растяжение, абсолютно гибкой кольцевой накладкой при помощи метода «больших А» ранее в работе [3] было получено асимптотическое решение в виде ряда по геометрическому параметру, характеризующему отношение внешнего и внутреннего радиусов кольца. В данной работе задача также сводится к решению интегрального уравнения первого рода относительно неизвестного контактного касательного напряжения с ядром, имеющим логарифмическую особенность. Приближенное решение интегрального уравнения находится с помощью метода Мультоппа-Каландия и сравнивается с асимптотическим решением.

В табл. 1 приведены значения безразмерного контактного касательного напряжения ф{х), вычисленные по формулам при использовании асимптотического метода «больших А» (м.б.А) и с помощью метода Мультоппа-Каландия (метод М-К) при различных значениях геометрического параметра А, характеризующего отношение внешнего и внутреннего радиусов кольца (коэффициент Пуассона полупространства считается равным 0.3). Как видно из полученных результатов, разница при увеличении параметра А уменьшается, и результаты, полученные двумя способами, все более и более совпадают.

Задача о контактном взаимодействии тонкой жесткой на растяжение накладки, не сопротивляющейся изгибным деформациям, с основанием в виде узкого прямоугольника (Q = {(х,у): < а, < е}, aje 1) с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием р (направленным параллельно оси х), сведена к исследованию интегрального уравнения относительно неизвестного касательного напряжения т(х, у) в области контакта

/> £ (^Чг+т) - -Ш-w s «

где R — л/(£ — х)2 -f rf и v — коэффициент Пуассона полупространства.

Используем предположение, аналогичное предположению JI. А. Галина о распределении давления под накладкой в поперечном направлении при вдавливании узкой балки в упругое полупространство, а именно, что контактное

касательное напряжение имеет вид

Vе - у

Принимая во внимание последнее предположение, интегральное уравнение (1) сведется к решению интегрального уравнения первого рода относительно т(х) с ядром, имеющим логарифмическую особенность. Приближенное решение уравнения ищется с помощью модифицированного метода Мультоппа-Каландия. На рис. 1 приведены графики безразмерного контактного касательного напряжения на единицу длины накладки <р = т(х)/ра, учитывая нечетность функции, при различных значениях относительной ширины накладки. Можно видеть, что величина касательного контактного напряжения уменьшается при уменьшении относительной ширины накладки £1 — е/а.

ф(х)

А = 2 А = 4 А = 8

X метод М-К м.б.А метод М-К м.б.А метод М-К м.б.А

-0.8 0.392350 0.389509 1.181165 1.181065 2.731319 2.731314

-0.6 0.445916 0.444325 1.127275 1.127221 2.349919 2.349920

-0.4 0.561395 0.560493 1.223651 1.223625 2.331585 2.331586

-0.2 0.733224 0.732868 1.399219 1.399216 2.460418 2.460423

0 0.980324 0.980472 1.653763 1.653782 2.702234 2.702241

0.2 1.342134 1.342786 2.014612 2.014654 3.074658 3.074666

0.4 1.899185 1.900375 2.548552 2.548614 3.647182 3.647194

0.6 2.849270 2.851091 3.430336 3.430417 4.617313 4.617330

0.8 4.930910 4.933749 5.341247 5.341351 6.778649 6.778651

X гр(х)^/1 — х2

-1 0.142915 0.140684 0.539230 0.539155 1.412622 1.412617

1 3.811071 3.812948 3.723182 3.723219 4.463972 4.463967

Таблица 1. Значения безразмерного контактного касательного напряжения

ф(х) для задачи о взаимодействии кольцевой накладки с упругим полупространством, вычисленные с помощью метода Мультоппа-Каландия и асимптотического метода

Во второй главе были рассмотрены контактные задачи для упругого слоя, усиленного тонкой жесткой на растяжение, абсолютно гибкой накладкой.

В двух частях данной главы в плоской и осесимметричной постановках исследуется задача о контактном взаимодействии тонкой накладки с упругим слоем, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием, направленным параллельно границам слоя. Предполагается, что накладка жесткая на растяжение, но не сопротивляется изгибным деформациям, и между накладкой и верхней границей слоя осуществляется полное сцепление.

Нижняя граница слоя свободна от напряжений. С помощью интегрального преобразования Фурье в плоском случае и интегрального преобразования Ханкеля в осесимметричном, задача сводится к решению соответствующего интегрального уравнения первого рода с нерегулярным ядром относительно неизвестной функции контактного касательного напряжения. После выделения регулярной части ядра асимптотическое решение уравнений при больших значениях геометрического параметра задачи (относительная толщина слоя) находится с помощью метода «больших А».

В плоском случае безразмерное контактное касательное напряжение т(х) имеет вид

д0(х) = -х, дх{х) — 1.4507х,

д2{х) = -я(1.6650+ 1.7580а;2),

д3{х) = х(2.6Ш + 3.9186а;2 + 1.3682х4),

в осесимметричном - г (г)

тМ - 1 Л М 4- Мг) 4- /2(Г) 4- Ыг) . Мг)\ ,п(1\

/о(г) = -4г, /!(г) = 2.9135г,

/2(г) = —2г(—0.5494 4- 2.7470г2), /3(г) = -2.1221г,

/4(г) = 2г(—1.7569 + 2.4598г2 + 2.4598г4).

И в плоском случае, и в осесимметричном абсолютная величина контактного касательного напряжения уменьшается при уменьшении относительной толщины полосы, слоя соответственно.

В третьей главе рассматривались плоская и осесимметричная задачи о контактном взаимодействии тонкой упругой абсолютно гибкой накладки с упругим слоем и возможность приложения полученных результатов к вопросам тензометрирования.

В первой части исследовалась в условиях плоской деформации контактная задача для тонкой упругой накладки длины 2а с упругой полосой, нагруженной на бесконечности равномерным растягивающим усилием р, направленным параллельно границам полосы. Предполагается, что накладка сопротивляется растяжению и является абсолютно гибкой, и между накладкой и верхней границей полосы осуществляется полное сцепление. Нижняя граница полосы свободна от напряжений. Задача приведена к интегральному уравнению первого рода с нерегулярным ядром относительно неизвестного контактного касательного напряжения, которое решается вместе с дифференциальным уравнением, описывающим деформацию накладки. Система уравнений в обезразмеренном виде имеет форму

и'Цх) = kiT(x), h = г4(±1) = 0, щ( 0) = О,

Г T(i)de Г L(y) sin dv = 7гЛ(1 - 4(3:)), (|x| < 1),

aOi

(2) (3)

2/I202'

где u2{x) — горизонтальное перемещение точек накладки, т(х) — контактное касательное напряжение между нижней поверхностью накладки и верхней границей полосы, и h^ — толщина полосы и накладки соответственно, о — полудлина области контакта, G\,vi и (?2, — модуль сдвига и коэффициент Пуассона полосы и накладки соответственно.

Заметим, что для ядра уравнения L(u) верно следующее

2

L(u) ~ 1 + 0(е~2и) при и -» оо, L(u) ~ - + О(и) при и -> 0. (4)

Для нахождения решения задачи построена специальная система многочленов нечетных по а: и ортонормированных по отношению к дифференциальному оператору, описывающему деформацию накладки, с противоположным знаком, т.е.

Продольное перемещение точек накладки ищется в виде линейной комбинации этих полиномов щ(х) = XX: ЬьЯ^(х)- Учитывая линейность задачи, контактное касательное напряжение ищется в виде ряда с теми же коэффициентами т(х) = то(х) + 1 ЬкТ~к{х). Решение соответствующего интегрального уравнения второго рода относительно т^(х) ищется в виде ряда по отрицательным степеням геометрического параметра А, характеризующего относительную толщину полосы. В результате связывания решений интегрального и дифференциального уравнений относительно коэффициентов разложения продольного перемещения точек накладки получается бесконечная алгебраическая система уравнений для нахождения Ьт, приближенное решение которой находится с помощью метода редукции.

При тензометрировании низкомодульных материалов жесткость тензоре-зистора может оказывать значительное усиливающее воздействие, поэтому к величине деформации на поверхности детали, найденной из эксперимента, необходимо сделать поправку, учитывающую упрочняющее влияние датчика. Смоделируем деталь, к которой приклеен датчик, полосой с упругими характеристиками Ег, и толщины Нг, а тензодатчик - тонкой упругой накладкой с усредненными упругими характеристиками толщины /¡-2,

0, m ф п,

1, т = п.

(q«)'(±1) = 0.

длины 2а и измерительной базой 2ае. Здесь Е\, - модуль упругости полосы и иакладки соответственно. Тогда, используя описанный выше подход, после нахождения продольного перемещения точек накладки, можем найти коэффициент х, показывающий во сколько раз наличие накладки искажает деформацию границы полосы

(г1/2 V1

я — ео/е* = I / и'2{х)йх 1 = (2ы2(1/2)) если ае/а = 1/2, (5)

У"*/» ) .

где ео ~ неискаженная деформация границы полосы (в условиях плоской деформации), е» - средняя по длине тензочувствительного элемента деформация накладки. В табл. 2 приведены значения х при различных значениях к\ и А, значения для полуплоскости даны в последнем столбце.

А = 2 А = 4 А = 8 А = оо

А* = 4.0625(1?! = 1.2ГПа,г/1 = 0.4) 1.3264 1.2431 1.2248 1.2185

кг = 6.25(£а = 2ГПа, ^ ~ 0.3) 1.2080 1.1528 1.1407 1.1365

кг = 12.5(^1 = 4ГПа, ^ - 0.3) 1.1016 1.0731 1.0668 1.0647

= 35(^1 = 7ГПа, рг = 0.3) 1.0366 1.0260 1.0236 1.0229

кг = 62.5(^1 = 20ГПа, щ = 0.3) 1.0214 1.0152 1.0139 1.0137

Таблица 2. Значения коэффициента искажения деформации границы полосы к, вычисленные по формуле (5), когда Е2 = 8ГПа, 1/2 = 0.3, 2а = 6мм, /¡,2 = 0.06мм

В работах [4, 5] в условиях плоского напряженного состояния находился коэффициент ^ = е«/ео ~ коэффициент искажения деформации границы упругого полупространства, сцепленного с тонкой упругой накладкой и нагруженного на бесконечности равномерным растягивающим усилием. Результаты данных исследований были сравнены с соответствующими результатами, полученными при помощи подхода, описанного выше при соответствующей замене упругих постоянных; абсолютная разница не превосходит 0.2% (см. табл. 2а).

Е\ = 1.2ГПа /12 = 0.06мм 2а = 6мм, ае/а =1/2 ¿7 = 0.807 (0.806 [4])

2а = 12мм, ое/а = 1/2 «7 = 0.899 (0.899 [4])

2а — 12мм, ае/о = 1/4 ¿7 = 0.908 (0.907 (4])

/12 = 0.05мм 2а = 6мм, ае/а = 1/2 т? = 0.836 (0.836 [4])

/12 = 0.04мм г} = 0.867 (0.867 [4])

Лг = 0.03мм »7 = 0.899 (0.899 [4])

/г2 = 0.02мм ?7 = 0.932 (0.933 [4])

Ех = 4ГПа /12 = 0.06мм 2а = 6мм, ае/а =1/2 т) = 0.939 (0.939 [5])

Ег = 20ГПа /12 = 0.06мм 2а = 6мм, ае/а = 1/2 7} = 0.986 (0.988 15])

Таблица 2а. Значения коэфс )ициента искажения деформации т) (в скобках

указаны значения, полученные ранее в соответствующих работах), когда модуль упругости накладки £2 = 8ГПа

Рис. 2-3 показывают (графики приведены, учитывая нечетность функций и2{х) и т(х)), что при уменьшении параметра ki и постоянном значении Л (относительная толщина полосы) абсолютная величина контактного касательного напряжения увеличивается, а величина продольного перемещения точек накладки уменьшается. При сравнении значений касательного напряжения в области контакта и продольного перемещения точек накладки при одинаковом значении ki, но при различных А можно получить, что чем тоньше полоса (меньше А), тем меньше и абсолютная величина контактного касательного напряжения, и величина горизонтального перемещения точек накладки.

Во второй части данной главы рассматривалась осесимметричная задача о контактном взаимодействии круглой тонкой упругой накладки радиуса а с упругим слоем, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием, направленным параллельно границам слоя. Считается, что накладка сопротивляется растяжению и не сопротивляется изгибу, и между накладкой и верхней границей слоя осуществляется полное сцепление. Нижняя граница слоя свободна от напряжений. Также задача сведена к совместному решению интегрального уравнения первого рода с нерегулярным ядром и дифференциального уравнения, описывающего деформацию накладки. В обезразмеренном виде они имеют форму

¿(í¿[rU2(r)])=fe2T(r)' (¿ + 7)U2(r)L = 0'W2(0) = 0'

roo

r{p)pdp / L(/y\)Ji('jp)Ji(7Г)dj = -r + u2(r), (0 < r < 1), o Jo

sh2u-2u вха , hx Gx n.

L(u) = 0/, 2 -—> k2 = A = —, = -¡~-—,в2 =

2(бЬ2 и — и2)' 2в2Ъ2 а' (1-^)' (1-^)'

где и2(г) — радиальное перемещение точек накладки, г (г) — контактное касательное напряжение между нижней поверхностью накладки и верхней границей слоя, Н\ и к2 — толщина слоя и накладки соответственно, а — радиус области контакта, (З1, ^х и С2-, Щ — модуль сдвига и коэффициент Пуассона слоя и накладки соответственно.

Аналогично плоскому случаю, для решения задачи строится система нечетных по г специальных ортонормированных полиномов {<3п?(г)}, таких что

0, тп^п,

-/¿(ísMffwi)^')*-(s-?)<»<"

1, m — п:

= 0.

Г=1

Радиальное перемещение точек накладки ищется в виде линейной комбинации указанных полиномов, после чего находим решение интегрального

уравнения с помощью метода «больших А». И также, в результате связывания решений интегрального и дифференциального уравнений относительно коэффициентов разложения радиального перемещения точек накладки, получается бесконечная алгебраическая система уравнений, приближенное решение которой находится с помощью метода редукции. Зная коэффициенты разложения, можем найти радиальное перемещение точек накладки и контактное касательное напряжение.

Как и в плоском случае, из рис. 4-5 видно, что при уменьшении к2 и постоянном значении А абсолютная величина контактного касательного напряжения увеличивается, а величина радиального перемещения точек накладки уменьшается. При уменьшении относительной толщины слоя А и постоянном значении абсолютные величины контактного касательного напряжения и радиального перемещения точек накладки уменьшаются.

Аналогично плоской задаче найдем коэффициент, показывающий во сколько раз наличие накладки искажает деформацию границы слоя, по формуле

/ fU2 у

>c — £o/et=\8j u'2(r)rdr J , при ае/а = 1/2, (6)

где £о - неискаженная деформация границы слоя, е„ - средняя по площади элемента, радиус которого ае, деформация накладки.

В табл. 3 даны значения величины х, подсчитанные по формуле (6) при различных значениях параметров к% и A (Ei, vx - модуль упругости и коэффициент Пуассона упругого слоя, г/2 ~ модуль упругости и коэффициент Пуассона накладки).

А = 2 А = 4 А = 8 А = оо

к2 = 4.0625(£ù = 1.2ГПа,г/! = 0.4) 1.2812 1.2613 1.2581 1.2579

к2 = 6.25 (Ех = 2ГПа,^ = 0.3) 1.1749 1.1616 1.1598 1.1596

к2 = 12.5(£i = 4ГПа, = 0.3) 1.0814 1.0742 1.0727 1.0725

к2 = 35(£i = 7ГПа, vx = 0.3) 1.0285 1.0238 1.0228 1.0223

к2 = 62.5(£à = 20ГПа, ^ = 0.3) 1.0170 1.0126 1.0111 1.0110

Таблица 3. Значения коэффициента искажения деформации границы слоя х, вычисленные по формуле (6), когда Е<± — 8ГПа, = 0.3, 2а = бмм,

Н2 = 0.06мм

Для случая полупространства значения приведены в последнем столбце табл. 3.

Рис. 1. Графики безразмерного контактного касательного напряжения на единицу длины накладки ¡р(х) для задачи об упругом полупространстве, усиленном узкой прямоугольной накладкой, при различных значениях относительной ширины накладки £1: 1 — £1 — 0.1; 2 — £1 = 0.2; 3 — £Г1 = 0.3; 4 — е^ = 0.4; 5 — ех = 0.5

Рис. 2. Графики безразмерного продольного перемещения точек накладки и =. иг{х) для задачи об упругой полосе, усиленной упругой накладкой, при различных к = кх и А

Рис. 3. Графики безразмерного контактного касательного напряжения г (г) для задачи об упругой полосе, усиленной упругой накладкой, при различных значениях к = и Л

Рис. 4. Графики безразмерного радиального перемещения точек накладки и = «гМ для задачи об упругом слое, усиленном упругой накладкой, при различных к з и Л

Рис. 5. Графики безразмерного контактного касательного напряжения г (г) для задачи об упругом слое, усиленном упругой накладкой, при различных значениях к = и Л

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту:

1. Решение задачи о контактном взаимодействии упругого полупространства, нагруженного на бесконечности равномерным растягивающим усилием и сцепленного с тонкой жесткой на растяжение, абсолютно гибкой накладкой, имеющей в плане форму узкого прямоугольника сводится к исследованию интегрального уравнения первого рода, ядро которого имеет логарифмическую особенность. Приближенное решение уравнения ищется с помощью метода Мультоппа-Каландия.

2. Решение задачи о контактном взаимодействии упругого полупространства, нагруженного на бесконечности равномерным растягивающим усилием, с тонкой кольцевой накладкой с помощью метода Мультоппа-Каландия. Относительно накладки также предполагается, что она является жесткой на растяжение и абсолютно гибкой. Считается, что между упругим полупространством и накладкой осуществляется полное сцепление.

3. Для исследования плоской и осесимметричной задач об упругом слое, усиленном на одной из своих граней тонкой упругой накладкой, был предложен подход, основанный на методе «больших А» и методе специальных ортонормированных полиномов. Полученные результаты ис-

пользуются при изучении вопроса расчета погрешности при тензомет-рировании.

4. Проведен численный анализ коэффициента искажения деформации к в плоском и осесимметричном случаях. Было показано, что отклонение х от единицы может изменяться в пределах от 10% до 35% при тен-зометрировании материалов с малым модулем упругости (менее 7ГПа). Таким образом, при измерениях необходимо учитывать, что жесткость тензодатчика может оказывать значительное усиливающее воздействие.

Список цитируемой литературы

1. И. И. Ворович, В. М. Александров, В. А. Бабешко Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. с. 456

2. В. М. Александров, Е. В. Коваленко Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. с. 336

3. В. М. Александров, Б. И. Сметании, Б. В. Соболь Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматлит, 1993. с. 224

4. M. F. Beatty, S. W. Chewing Numerical Analysis of the Reinforcement Effect of a Strain Gage Applied to a Soft Material. Inter. J.Eng.Science, 1979, V. 17, p. 907-915

5. P. Stehlin Strain Distribution In and Around Strain Gauges. J. Strain Analysis, 1972, V. 7, № 3, p. 228-235

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работа«

1. В. М. Александров, В. К. Антонов, В. Ю. Саламатова Взаимодействие деформируемой накладки с напряженным полупространством // Изв.РАН. МТТ, 2007 г., №5, с. 91-98

2. В. М. Александров, В. Ю. Саламатова Плоская контактная задача для упругой полосы с упругой накладкой // Сб. материалов международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (27 августа - 1 сентября 2007 г., Саратов), с. 26-28

3. В. М. Александров, В. К. Антонов, В. Ю. Саламатова Осесимметричная контактная задача для упругого слоя с деформируемой накладкой // ПММ, 2008 г., т. 72, вып. 2, с. 322-327

4. В. М. Александров, В. Ю. Саламатова Контактная задача для полосовой накладки, взаимодействующей с упругим полупространством // ПММ, 2008 г., т. 72, вып. 4, с. 678-680

5. В.Ю. Саламатова Взаимодействие деформируемой накладки с напряженной полосой // Изв. РАН. МТТ, 2009г., № 1, с. 67-72

Подписано в печать ¿7<у. ОЗ. О Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж У00 экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

Введение 1

1 Упругое полупространство, усиленное накладкой 20

1.1 Упругая полуплоскость, усиленная накладкой конечной длины . 20

1.2 Упругое полупространство, усиленное круглой накладкой . 26

1.3 Упругое полупространство, усиленное эллиптической накладкой 34

1.4 Упругое полупространство, усиленное узкой прямоугольной накладкой .45

1.5 Упругое полупространство, усиленное кольцевой накладкой . . 55

2 Упругий слой, усиленный накладкой 63

2.1 Упругая полоса, усиленная накладкой конечной длины.63

2.2 Упругий слой, усиленный круглой накладкой.73

3 Упругий слой, усиленный упругой накладкой 83

3.1 Упругая полоса, усиленная упругой накладкой конечной длины 83

3.2 Упругий слой, усиленный круглой упругой накладкой.98

Контакт — один из основных способов приложения нагрузки к деформируемому телу, поэтому задачи механики контактных взаимодействий занимают центральное место в механике деформируемого твердого тела. Величина контактных давлений имеет важное значение для определения напряжений и перемещений. Методы, развиваемые в теории контактных задач, позволяют найти распределение давлений в местах контакта, и таким образом ответить на многие важные вопросы о местах концентрации напряжений, износостойкости и о других факторах контактной прочности и жесткости.

Основополагающими в теории механики контактных взаимодействий являются монографии И. Я. Штаермана [93], Л. А. Галина [70], К. Джонсона [75], В. М. Александрова и М. И. Чебакова [51]. Обзорная монография [88] освещает (до 1975 г.) фундаментальные результаты и методы в теории контактных задач; полный обзор методов решения задач механики контактных взаимодействий и основные достижения за последние годы в этой области механики деформируемого твердого тела представлен в книге [82].

Теория контактных задач находит широкое применение в машиностроении. Ведь, как известно, передача усилий в машинах происходит вследствие контактирования деталей, которые в большинстве случаев можно рассматривать как упругие тела. Немалое значение имеют вопросы разрушения материалов в области контакта и долговечность конструкций. Расчет прочности фундаментных сооружений, определение напряжений, возникающих под основаниями и фундаментами, также приводят к задачам об определении контактных давлений между основанием и фундаментной плитой и о нахождении осадок плиты. Достаточно часто используется модель изотропного упругого полупространства или модель многослойного упругого полупространства для описания основания. Появление конструктивных материалов, в состав которых входят полимеры, привело к рассмотрению контактных задач для вязкоупругих тел. Контактные задачи имеют важные приложения и в других областях прикладной механики.

Контактные задачи относят к так называемому классу задач механики сплошной среды со смешанными граничными условиями. Под смешанными задачами понимают те, в которых граница тел разбита на конечное число областей и на каждой из них заданы свои граничные условия. Классическая постановка контактной задачи подразумевает ряд упрощающих предположений: пренебрежение шероховатостью поверхностных слоев и их особыми физико-механическими свойствами и предположение о малости зоны контакта по сравнению с характерными размерами тел. Таким образом, задача в классической постановке сводится к решению некоторой задачи теории упругости со смешанными граничными условиями для изотропных однородных полупространства или полуплоскости. Методы теории функций комплексных переменных, развитые Н. И. Мусхелишвили и его учениками и основанные на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений, оказались весьма эффективными и нашли широкое применение в работах таких классиков, как Л. А. Галин, А. И. Каландия, С. Г. Михлин и др. Теория пространственных смешанных задач была исследована А. И. Лурье, И. Я. Штаерманом, Л. А. Галиным и др. Результаты работ, посвященных решению классических контактных задач, представлены в монографиях И. Я. Штаермана [93], А. И. Лурье [81], Я. С. Уфлянда [91], Н. И. Мусхелишвили [84], Л. А. Галина [70] и др.

Проблемы, возникающие в инженерной практике середины прошлого столетия, подводят к решению неклассических контактных задач, то есть к тем задачам контактного взаимодействия, где необходимо принимать во внимание микроструктуру контактирующих поверхностей, а также контактные задачи для неоднородных анизотропных сред. Можно выделить несколько направлений и методов решения в разработке неклассических смешанных задач.

В первом направлении, разрабатываемом Н. Н. Лебедевым, Я. С. Уфлян-дом, И. И. Воровичем, Ю. А. Устиновым и др., задача сводится к некоторым парным интегральным или тройным функциональным уравнениям (рядам, интегральным уравнениям), которые преобразуются к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Его решение находится каким-либо приближенным методом. Второе направление, развиваемое Н. X. Арутюняном, Б. Л. Абрамяном, С. М. Мхитаряном и др., заключается в непосредственном сведении краевой задачи к некоторой бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Другой метод — А. И. Лурье, Г. Я. Попов, Н. А. Ростовцев,

В. М. Александров и др. — также связан со сведением к бесконечной системе алгебраических уравнений и основан на разложении решения в ряд по специально выбранной системе ортогональных полиномов. Многочлены выбираются таким образом, чтобы получающиеся бесконечные системы уравнений были почти диагональным. Следующее, четвертое, направление характеризуется применением метода коллокации: контактное давление аппроксимируется конечным числом параметров, которые определяются из условия связи, накладываемого на перемещения в конечном числе точек области контакта. Развитие этого направления связано с работами И. Я. Штаермана, А. И. Ка-ландия, И. И. Воровича, В. М. Александрова, В. М. Фридмана и др. Обзоры работ по всем четырем направлениям были сделаны в свое время Г. Я. Поповым и Н. А. Ростовцевым [87], Б. Л. Абрамяном и А. Я. Александровым [1].

Стоит особо отметить асимптотические методы в механике контактных взаимодействий. Идея о применении последних возникает достаточно часто при решении сложных смешанных задач теории упругости, в которых, как правило, имеется несколько безразмерных геометрических или механических параметров, полностью определяющих задачу. Преимущества асимптотических методов состоят в их универсальности (могут быть использованы в случае плоских задач, пространственных, линейных и нелинейных) и в возможности получения решения смешанной задачи в простой аналитической форме, удобной для последующего качественного и количественного исследований. Асимптотические методы в механике контактных взаимодействий позволяют найти основные характеристики одной и той же задачи в нескольких формах, каждая из которых эффективна в своей области изменения параметров. Как правило, области эффективного применения таких решений перекрывают в общей сложности весь возможный диапазон изменения параметров.

Выделим некоторые из широко применяемых асимптотических методов. Первый из подходов основан на построении асимптотических рядов при больших значениях характерных параметров задачи. Этот метод получил название метода «больших Л». Метод «больших Л» был применен к решению осе-симметричной задачи о вдавливании штампа в упругий изотропный слой, лежащий без трения на жестком основании [68], был использован при решении неосесимметричных контактных задач для слоя [22] и задачи о кручении двухслойной упругой среды штампом [74], где решение ищется в виде ряда по параметру, характерезующему отношение толщины одного из слоев к радиусу штампа . Вообще, метод «больших Л» и различные его модификации применялись при решении ряда плоских и пространственных задач, например, в работах [69], [5], [9], [34], [77], [80]. Построение В. М. Александровым [11] логарифмически-степенной асимптотики позволило использовать метод «больших Л» для решения целого ряда новых задач [19], [45], [44], [64], [89] и др.

Но несмотря на свою эффективность, метод «больших Л» не может быть применен при малых значениях характерных параметров задачи. В этом случае В. М. Александровым [6] и несколько позже В. Т. Койтером [98] был построен метод «малых Л». Этот асимптотический подход основан на использовании метода Винера-Хопфа [85] и идеи приближенной факторизации Койтера [97]. При помощи метода «малых Л» был получен главный член асимптотики решения ряда смешанных задач [11], [9], [21], [42], [45], [67] и др.

В работах В. А. Бабешко [62], [63] предложен общий способ построения полной асимптотики при малых Л интегральных уравнений для некоторых контактных задач для слоя с полосовой и круговой линиями раздела граничных условий. Этот метод заключается в сведении интегральных уравнений к некоторым бесконечным системам линейных алгебраических уравнений и был применен в ряде работ.

В современной технике самое широкое применение нашли композиционные материалы, а также различные конструкции, усиленные или армированные тонкостенными элементами. Кроме того, возникла необходимость решать вопросы тензометрирования. Все это привело к постановке контактных задач и поиску их решений для тел с тонкими покрытиями и прослойками. Этот класс задач является большой областью исследования теории контактных и смешанных задач механики деформируемого твердого тела и непосредственно связан с важными вопросами инженерной практики. К контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками относят как задачи о контакте тел, армированных тонкими покрытиями или прослойками, так и задачи о взаимодействии стрингеров (тонкостенные элементы типа накладок) и включений различных геометрических форм с массивными деформируемыми телами. Стрингеры и включения, также как разрезы и штампы, являются концентраторами напряжений, поэтому нахождение распределения напряжений в таких задачах и разработка методов, направленных на снижение концентрации напряжений, имеют большое теоретическое и практическое значение.

В работе В. М. Александрова, С. М. Мхитаряна [36] представлены воедино результаты многих исследований по контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками. В [36] были выведены основные уравнения тонких покрытий и прослоек, при этом использовались строгие математические методы теории упругости и учитывалась тонкостенность покрытий и накладок. Также было проведено сравнение полученных уравнений с уравнениями известных механических моделей тонкостенных элементов и определены границы применения последних. Используя полученные результаты, контактные задачи, рассматриваемые в книге, сведены к сингулярным интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям, которые содержат характерные геометрические и физические параметры контактирующих тел. Исследована структура решений и применены асимптотические методы для нахождения приближенного решения уравнений. В книге исследуются и контактные задачи вязкоупругости для неоднородно-стареющих и нелинейно-стареющих тел.

Вообще, контактные задачи для тонкостенных элементов и массивных деформируемых тел можно разделить на два класса. К первому относятся задачи об изгибе тонкостенных элементов типа балок и плит на деформируемом основании; задачи о взаимодействии тонкостенных элементов, изгибной жесткостью которых можно пренебречь, с массивными телами относят ко второму классу.

Первые исследования по изучению задач второго класса были в работах Э. Мелана (1890-1963), Э. Рейсснера (1913-1996) и В. Т. Койтера (1914-1997) и советских ученых [88].

Важно отметить, что при решении контактных задач для абсолютно гибких тонкостенных элементов и массивных тел широкое применение находят аналитические методы, асимптотические методы и алгоритмы вычислительной математики, приводящие к численной реализации конечных результатов.

Отметим некоторые работы, посвященные изучению задач как первого класса, так и второго.

В работе [54] рассматривается контактная задача изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании общего вида. Задача нахождения прогиба у(х) и неизвестного контактного давления д(х) сводится к совместному решению дифференциального уравнения для прогиба плиты и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. Для решения задачи строится специальная система ор-тонормированных полиномов Сдп(х), и приближенное решение дифференциального уравнения ищется в виде линейной комбинации по этим полиномам У(х) ~ Ап(2п(х). В силу линейности задачи контактное давление также представляется в виде подобного ряда д(х) = АпЯп(%)- После подстановки разложений функции прогиба плиты и контактного давления в исходное интегральное уравнение и приравнивая выражения при АП1 можем получить интегральные уравнения относительно функции разложения дп(х). Была исследована структура ядер полученных уравнений и выражена логарифмическая особенность. Решение интегральных уравнений в классе абсолютно суммируемых функций ищется в форме дп(х) = (ш](х) -\-хш2(х))(у/1 — ж2)-1, где функции Ш((х) — четные и по крайней мере непрерывные. При достаточно большом значении характерного геометрического параметра задачи для приближенного определения Шг(х) предложено два способа сведения интегрального уравнения к линейной алгебраической системе. Один из них основан на представлении неизвестных функций Ш{(х) в виде интерполяционных многочленов Лагранжа по чебышевским узлам; второй способ — с помощью ортогональных полиномов Чебышева [65]. Подобным методом была рассмотрена осесимметричная контактная задача изгиба круглых плит на линейно-деформируемом основании [37]. Также задача об изгибе круглой изотропной пластины, лежащей на линейно-деформируемом основании, исследовалась в [92]. В данной работе задача была сведена к изучению парных интегральных уравнений, для решения которых используется метод однократной и двойной ортогонализации, и в качестве элементов разложения берутся формы собственных неосесимметричных колебаний круглой пластины со свободным краем. В [73] задача изгиба круглой плиты на упругом слое приводится к исследованию интегрального уравнению Фредгольма второго рода. Далее, заменяя ядро уравнения вырожденным с помощью разложения по полиномам Лежандра, задача сводится к решению алгебраической системы двух уравнений с двумя неизвестными. Также, задача изгиба симметрично нагруженной круглой упругой пластины на упругом слое, лежащем на жестком неподвижном основании была решена в [86]. Проблема была сведена к исследованию парного интегрального уравнения относительно неизвестной функции, определяющей контактное давление и прогиб пластинки.

В работе [38], также как и в [37], рассматривался изгиб круглой плиты на линейно-деформируемом основании, но уже с учетом деформации сдвига. Подобно подходу, приведенному в [37], для решения данной задачи строится специальная система ортонормированных многочленов и используется метод сведения интегрального уравнения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений путем разложения в ряды по собственным функциям главной части интегрального оператора.

Задачи цилиндрического изгиба пластин на неоднородном слое, причем закон изменения неоднородности по глубине в слое произволен, исследуются в [3]. Задача сводится к совместному решению дифференциального уравнения изгиба пластины и парного интегрального уравнения, связывающего контактные напряжения под пластиной и прогиб. Используется представление функции прогиба пластинки в виде ряда по формам собственных колебаний пластины при соответствующих граничных условиях, и задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.

Работа [8] посвящена контактной задаче о вдавливании гладкого симметричного (осесимметричного) жесткого штампа в балку бесконечной длины (в бесконечную пластину), лежащую на основании Фусса-Винклера. Из дифференциального уравнения изгиба балки (пластины) при соответствующих граничных условиях находятся функция изгиба балки (пластины), нормальное давление под штампом, сосредоточенная реакция, возникающая на границе зоны контакта, и связь между поступательным перемещением штампа и размером области контакта от величины прижимающей силы. В [40] рассматриваются задачи о вдавливании в бесконечную пластину Кирхгофа-Лява, лежащую на основании Фусса-Винклера, одного или двух ребер жесткости. В обоих случаях задачи были сведены к интегральным уравнениям первого рода относительно неизвестного контактного усилия. Исследуется структура ядра полученных уравнений, и приближенное решение ищется с помощью 1 метода «больших Л» в виде ряда по степеням Л21пЛ, где Л — а а — полудлина линии контакта, с1, э — жесткость пластины и основания соответственно.

В [23] рассматривается задача о цилиндрическом изгибе произвольной пластинки конечной ширины, лежащей без трения на упругом полупространстве. Считается, что в области контакта осуществлено полное сцепление. Задача описывается системой из дифференциального уравнения изгиба пластины и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. Путем интегрирования дифференциального уравнения при соответствующих граничных условиях, подстановки полученного выражения для прогиба в интегральное уравнение и обращения логарифмической части интегрального оператора, задача сводится к интегральному уравнению второго рода относительно контактного давления. Полученное уравнение предлагается решать методом последовательных приближений [65]. Другой подход к решению задачи заключается в сведении первоначальной системы из дифференциального уравнения и интегрального к интегро-дифференциальному уравнению относительно прогиба пластинки, и приближенное решение ищется с помощью специальных ортонормированных полиномов. Также, задача о цилиндрическом изгибе произвольной нормальной нагрузкой пластинки конечной ширины, лежащей на упругом полупространстве была рассмотрена в [47] с помощью метода «малых Л».

Работы [53], [52] рассматривают разные методы расчета изгиба цилиндрической оболочки на упругом цилиндре. Данная задача сводится к совместному решению дифференциального уравнения прогиба оболочки и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. В [53] после решения дифференциального уравнения при соответствующих граничных условиях найденная функция прогиба подставляется в интегральное уравнение, которое предлагается решать методом, подобным, что использовался для решения интегральных уравнений в [54] и описанным в [12]. Подход в [52] аналогичен описанному в работе [54], то есть приближенное решение дифференциального уравнения ищется с помощью специальной системы ортонормированных многочленов €}п{%) в виде у(х) = тогда в силу линейности задачи контактное давление также представляется в виде ряда д(х) = АпЧп{%)- Решение интегральных уравнений относительно дп(х) в классе абсолютно суммируемых функций ищется в форме Яп{х) = шп(х)(у/1 — х2)~1, где для функций шп(х) строятся интерполяционные многочлены Лагранжа по чебышевским узлам.

Задача продольной устойчивости балочных плит, лежащих на упругом полупространстве без трения при наличии двухсторонних связей, была впервые рассмотрена в работе [49]. Она была сведена к интегро-дифференциальному уравнению относительно прогиба плиты, и приближенное решение для прогиба предлагается искать в виде линейной комбинации по специальным ор-тонормированным полиномам. В [13] был исследован вопрос устойчивости бесконечной пластины (покрытия) под действием продольного усилия, находящейся в условиях цилиндрического изгиба в двухстороннем контакте с упругим слоем, защемленным по основанию. Было найдено критическое усилие потери устойчивости, причем при приближении свойств материала слоя к несжимаемому установлено увеличение критического усилия в случае замены упругого слоя эквивалентным основанием Фусса-Винклера. Эффект снижения величины критического усилия по сравнению с критическим усилием, рассчитанным с заменой упругого слоя эквивалентным основанием Фусса-Винклера при приближении свойств материала слоя к несжимаемому, также установлен в работе [25]. Подобно [13], данная работа посвящена вопросу устойчивости бесконечной пластины под действием продольного усилия, но уже в условиях осесимметричного изгиба, а не цилиндрического, в двухстороннем контакте с упругим слоем, защемленным по основанию.

В [39] при исследовании вопросов устойчивости в задаче для круглой пластины на линейно-деформируемом основании при наличии двухсторонних связей под действием продольных сжимающих усилий применяется аналогичный метод как и в работах [54], [37], [53], [52]. А именно, предлагается разложить по специальной системе ортонормированных полиномов функцию прогиба, в силу линейности задачи представить контактное давление в виде соответствующего ряда, и полученные интегральные уравнения решать методом сведения к бесконечной алгебраической системе с помощью ортогональных многочленов Лежандра.

В плоской, осесимметричной и пространственной постановках в [26] была исследована задача об устойчивости бесконечной плиты под действием продольных сжимающих усилий, находящейся в двухстороннем контакте с упругим несжимаемым полупространством, преднапряженным силами тяжести. В [27] рассматривался вопрос устойчивости в условиях двухстороннего контакта продольно сжатой бесконечной упругой плиты на двухслойном упругом основании, верхний слой которого описывается моделью изотропной сжимаемой упругой средой, нижним является изотропное несжимаемое преднапря-женное силами тяжести упругое полупространство. В [27] было показано, что значение критического усилия при полном сцеплении между плитой и основанием примерно в десять раз меньше в случае не учета сил трения между плитой и основанием.

В [35] была рассмотрена задача изгиба бесконечной тонкой пластинки, лежащей на гидравлическом основании, сосредоточенной силой. Считается, что материал пластинки несжимаем и описывается соотношениями, часто принимаемыми для описания напряженно-деформируемого состояния конструкций изо льда в условиях развитой установившейся ползучести, а именно, что интенсивности девиатора скоростей деформаций и девиатора напряжений связаны степенной зависимостью (закон Глена). Основание моделируется вязкоупругим винклеровским основанием. В работе были получены асимптотические разложения для прогиба при большом и малом времени. Подобная задача для ледяного покрова на гидравлическом основании при сосредоточенном воздействии, но в рамках нелинейной неустановившейся ползучести была рассмотрена в [57]. В [58] была рассмотрена плоская задача об установившейся ползучести ледяного покрова, лежащего на мерзлом грунте, при сосредоточенном воздействии. Считается, что материал покрова и материал грунта несжимаемы и описываются степенной зависимостью между интенсивностью скоростей деформаций сдвига и интенсивностью касательных напряжений с различными показателями нелинейности. Деформации грунта описываются моделью нелинейно ползучего винклеровского основания. Учитывая это и используя гипотезы Кирхгофа, задача в [58] сводится к нелинейному дифференциальному уравнению относительно скорости прогиба плиты. Приближенное решение полученного уравнения находится методом пристрелки.

Некоторые контактные задачи для тел с тонкими покрытиями в условиях нелинейной установившейся ползучести исследовались в [30], [18]. В данных работах были рассмотрены задачи о вдавливании без трения жесткого штампа в поверхность слоя, лежащего на гидравлическом основании, на стержневом основании, подстилаемым жестким основанием, или в упругий слой, лежащий на жестком основании и покрытый стержневым слоем. Физико-механические свойства слоя описываются уравнениями нелинейной теорией ползучести со степенной связью между интенсивностью девиатора скоростей деформаций и интенсивностью девиатора напряжений. Контактные задачи в [18] сведены к уравнениям, которые содержат интегральные операторы по координате и дифференциальные по времени. Во всех задачах получены асимптотические решения для контактного давления при малом и большом времени.

В [56] рассматривается задача о нелинейной неустановившейся ползучести ледяной плиты, частично покрывающей гидравлическое основание, моделируемое основанием Фусса-Винклера. Один из концов плиты жестко защемлен по длине, а другой нагружен перерезывающим усилием и изгибающим моментом. Для описания реологии льда использована зависимость между деформацией ползучести и напряжением, стоящим в некоторой степени под знаком временного оператора вольтеровского вида с неразностным ядром.

Задача была сведена к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению относительно изгибающего момента в плите, решение которого ищется в виде ряда по некоторому малому временному параметру.

В [17] были исследованы плоские задачи о вдавливании и движении штампа с постоянной скоростью вдоль поверхности слоя льда, лежащего на гидравлическом основании, и о квазистатическом вдавливании штампа в слой льда на гидравлическом основании. В случае движущегося штампа, задача решается в рамках теории упругости и сводится к интегральному уравнению первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. В зависимости от значений относительной толщины слоя строится асимптотическое решение задачи. Было показано, что для слоя большой толщины критической скоростью движения штампа будет скорость распространения волны Рэлея; в случае слоя малой толщины критическая скорость движения штампа превышает рэлеевскую. В случае квазистатического вдавливания штампа учитывается эффект ползучести слоя, и при больших значениях относительной толщины слоя приближенное решение задачи ищется с помощью принципа обобщенных перемещений. Для малых значений относительной толщины слоя решение задачи ищется в виде ряда, и получают асимптотику решения при большом времени.

Также плоские контактные задачи о динамическом взаимодействии упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку или тонкий слой идеальной жидкости были рассмотрены в [16]. В данной работе изучалась упругая полуплоскость, либо усиленная по всей границе тонкой накладкой, либо покрытая тонким слоем идеальной несжимаемой жидкости, и предполагалось, что штамп вдавливается без трения в границу накладки или слоя жидкости и при этом движется с постоянной скоростью вдоль этой границы. Задачи были сведены к интегральным уравнениям первого рода с сингулярными ядрами относительно неизвестного контактного давления. Была исследована структура решений, и при больших значениях безразмерного характерного параметра задачи асимптотическое решение задачи ищется с помощью метода «больших А».

Динамическая плоская контактная задача о движущемся жестком штампе с постоянной скоростью по границе тонкого покрытия слоя идеальной жидкости была изучена в [29]. Также штамп вдавливается в верхнюю грань покрытия, силы трения в области контакта предполагаются отсутствующими. Для описания покрытия пользуются моделью мембраны, а течение жидкости считается установившимся и потенциальным. Задача сведена к интегральному уравнению первого рода типа свертки, исследована структура ядра, и было показано, что полученное интегральное уравнение корректно разрешимо лишь в классе обобщенных функций медленного роста.

В работе [31] с помощью асимптотического анализа были выведены разрешающие уравнения пластин, описывающие внутреннее напряженно-деформируемое состояние и удобные при решении динамических контактных задач для тел с покрытиями. Также, используя асимптотический анализ решения первой основной задачи теории упругости для слоя, в [2] были выведены уточненные уравнения осесимметричного деформирования тонкостенных упругих элементов и уточненные уравнения деформирования тонких пластин в [79]. Полученные уравнения удобны при решении контактных задач для тел с покрытиями и содержат в себе как частный случай уравнения классических теорий.

В [14] рассматривается задача о вдавливании жесткого штампа в полуплоскость, состоящую из двух различных сред. Для определения нормального контактного давления из интегрального уравнения, к которому сводится данная смешанная контактная задача, предлагается несколько подходов: после аппроксимации ядра, решение уравнения ищется в виде ряда по степеням функционального параметра; с помощью метода «больших Л» решение ищется в виде ряда по степеням А-11пА; используется метод ортогональных многочленов и решение интегрального уравнения ищется в виде ряда по полиномам Чебышева; другой способ состоит в применении метода коллокаций по чебышевским узлам; и последний, задача решается с помощью двухстороннего асимптотического метода.

Модифицированный метод Мультоппа-Каландия [41] нашел широкое применение при решении интегральных уравнений первого рода с разностным ядром, имеющим логарифмическую особенность. Например, с его помощью была решена задача о взаимодействии упругой плоскости с круговым отверстием и упругого диска меньшего радиуса, когда их поверхности имеют тонкие усиливающие покрытия [55].

Вообще, многие контактные задачи теории упругости сводятся к уравнениям первого рода с разностным ядром, например контактные задачи для упругой полосы. В работе [10] изучаются интегральные уравнения именно такого типа. Исследуется структура ядра. Решение ищется в пространстве абсолютно суммируемых функций, и интегральное уравнение сводится к эк

Бивалентному интегральному уравнению второго рода. При больших значениях характерного геометрического параметра задачи для решения уравнения предложен метод последовательных приближений или метод «больших Л». Для произвольных значений характерного геометрического параметра полиномом аппроксимируется регулярная часть ядра, и решение ищется в виде соответствующего ряда; находится решение при малых значениях геометрического параметра. Указаны границы рационального использования каждого способа.

В работе [78] на примере контактной задачи о вдавливании штампа в упругую полосу, покрытую «винклеровскими» пружинами и лежащую без трения на жестком основании, исследуются интегральные уравнения второго рода на конечном интервале с разностными ядрами. К подобным уравнениям сводится ряд плоских контактных задач для линейно-деформируемого основания, поверхность которого усилена тонким упругим покрытием. В данной работе исследована структура ядра, показана разрешимость такого типа уравнений в классе ¿2 и построено решение в виде ряда Фурье по полиномам Лежандра. Динамический аналог задачи для упругой полосы, с покрытием винклеров-ского типа и лежащей на жестком основании, был рассмотрен в [32].

В [59] рассматривается плоская контактная задача для упругой полуплоскости с упругой накладкой конечной длины и постоянной толщины. Считается, что жесткость накладки на изгиб пренебрежимо мала, и к одному из её торцов приложено растягивающее усилие. Задача сводится к решению интегро-дифференциального уравнения типа Прандтля, из которого находится касательное напряжение в области контакта упругой накладки и границы полуплоскости. Задача для упругой полуплоскости с упругим конечным креплением также исследовалась в работе [83], в которой решение полученного интегро-дифференциального уравнения Прандтля сводили к бесконечной системе алгебраических уравнений с помощью метода ортогональных многочленов.

В работах [20] и [7] рассмотрены плоские контактные задачи о вдавливании жесткого штампа в упругую полосу, усиленную на границе тонким упругим покрытием. Причем в [20] упругая полоса лежит на жестком основании, в [7] — защемлена по основанию. Задачи сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. В [7] исследуется структура решения полученного интегрального уравнения и строится разрешающее интегральное уравнение. В [20] для решения интегрального уравнения используются различные асимптотические методы, а именно, аппроксимация ядра гиперболическим тангенсом, при соответствующих свойствах ядра; метод «больших Л» при больших значениях характерного геометрического параметра, метод приближенной факторизации Койтера — при малых значениях этого параметра.

В работе [50] исследуется плоская задача о контактном взаимодействии стрингера, деформируемого усилиями, с упругой полуплоскостью. В данной работе приводится вывод интегрального уравнения относительно контактных касательных напряжений между накладкой и полуплоскостью, исследована возможность построения асимптотического решения при большой и малой относительной жесткости накладки. Получено интегро-дифференциальное уравнение относительно деформации срединной плоскости, решение которого ищется с помощью специальной системы ортонормированных полиномов.

Как известно, решение задачи о полуплоскости с упругим креплением содержит особенности, которые характеризуют напряженное состояние в окрестности концов упругой накладки. В работе [33] для задач о полуплоскости с упругим креплением исследуется вопрос о решениях ограниченных на краях накладки. Было показано, что такие решения существуют в случаях, когда накладка соответствующим образом нагружена, и обращаются в нуль в соответствующих концевых точках. И в случае ограниченного решения на одном крае, и в случае ограниченного решения на двух краях исследуется интегро-дифференциальное уравнение, которое с помощью метода ортогональных многочленов сводится к решению бесконечной алгебраической системы.

В [48] была рассмотрена контактная задача для упругого полупространства, усиленного на поверхности тонкой круглой пластинкой, которая нагружена симметричным образом на верхней границе касательными усилиями. Решение задачи свелось к интегро-дифференциальному уравнению относительно радиального перемещения точек накладки. Была построена специальная система ортонормированных полиномов, с помощью которой находится приближенное решение для радиального перемещения, а по формуле, связывающей радиальное перемещение и касательное контактное напряжение, находится последнее.

Целью диссертации является исследование вопросов о контактном взаимодействии тонких накладок с упругими телами, нагруженными на бесконечности, а именно, нахождение распределения касательных напряжений на поверхности упругих тел в области контакта. Определение закона изменения контактного касательного напряжения позволяет затем исследовать напряженно-деформированное состояние в упругих телах. Приведем краткое изложение результатов, содержащихся в данной работе.

Первая глава посвящена изучению задач о контактном взаимодействии тонких накладок различных геометрических в плане форм с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием. Предполагается, что накладки являются жесткими на растяжение и не сопротивляются изгибным деформациям.

В первых двух частях в плоской и осесимметричной постановках была рассмотрена задача о контактном взаимодействии тонкой накладки с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием. Предполагается, что накладка является жесткой на растяжение и не сопротивляется изгибным деформациям, и между накладкой и границей полупространства осуществляется полное сцепление. С помощью стандартных методов операционного исчисления задачи были сведены к интегральным уравнениям относительно неизвестного контактного касательного напряжения. Аналитические решения полученных уравнений приводятся в [28]. Подобные задачи в другой постановке были рассмотрены в [90], [36].

Третья часть посвящена решению задачи о контактном взаимодействии жесткой на растяжение, но абсолютно гибкой накладки, имеющей в плане эллиптическую форму, с упругим полупространством при условии их полного сцепления. Упругое полупространство растягивается на бесконечности равномерно распределенными усилиями, направленными параллельно одновременно двум координатным осям. Задача была сведена к системе двумерных интегральных уравнений относительно неизвестных контактных касательных напряжений. Решение системы было получено в замкнутом виде [65]. Ранее подобная задача была исследована в [65], [43], [46]. В последней работе также рассматривались задачи о взаимодействии жесткой на растяжение, но абсолютно гибкой эллиптической накладки с упругим полупространством, когда накладка сдвигается касательной силой, проходящей под углом к её большей полуоси, и когда накладка скручивается моментом, ось которого перпендикулярна поверхности полупространства.

В четвертой часта изучалась задача о контактном взаимодействии тонкой накладки, не сопротивляющейся изгибным деформациям, но жесткой на растяжение, с основанием в виде узкого прямоугольника с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием, направленным параллельно границе полупространства. Считается, что между накладкой и упругой средой осуществляется полное сцепление. С помощью предположения, аналогичного предположению Л. А. Галина [71] о распределении давления под штампом в поперечном направлении, задача была сведена к интегральному уравнению первого рода с разностным ядром относительно неизвестного контактного касательного усилия. Полученное уравнение предлагается решить с помощью модифицированного метода Мультоппа-Каландия. Применяя данный метод, получены формулы для контактного касательного напряжения. Подобные задачи были рассмотрены другими методами в описанных ранее работах [36], [61].

В пятой части рассматривалась осесимметричиая контактная задача о равновесии упругого полупространства, усиленного на границе тонкой кольцевой накладкой. Считается, что накладка является жесткой на растяжение и не сопротивляется изгибу. На бесконечности к упругому полупространству приложены равномерные растягивающие усилия. Задача сводится к интегральному уравнению первого рода с сингулярным ядром относительно неизвестной функции распределения контактных касательных напряжений. Аналогичная задача для упругого полупространства с кольцевой областью граничных условий была рассмотрена в [43], [45], и при больших значениях параметра Л = 2(1п(6/а))-1, где а,Ъ- внутренний и внешний радиусы кольца соответственно, приближенное решение ищется с помощью метода «больших Л». В данной работе приближенное решение интегрального уравнения относительно неизвестного контактного касательного напряжения предлагается найти с помощью модифицированного метода Мультоппа-Каландия и сравнить с асимптотическим решением. В [45] были также рассмотрены случаи, когда упругое полупространство скручивается кольцевым штампом, жестко сцепленным с его граничной поверхностью, и случай вдавливания кольцевого штампа в упругое полупространство.

Во второй главе были рассмотрены контактные задачи для упругого слоя и упругой полосы, усиленных на одной из своих границ тонкой накладкой.

В двух частях данной главы в плоской и осесимметричной постановках исследуется задача о контактном взаимодействии тонкой накладки с упругим слоем, нагруженным па бесконечности равномерным растягивающим усилием, направленным параллельно границам слоя. Предполагается, что накладка жесткая на растяжение, но не сопротивляется изгибным деформациям, и между накладкой и границей слоя осуществляется полное сцепление. С помощью интегрального преобразования Фурье в плоском случае и интегрального преобразования Ханкеля в осесимметричном, задача сводится к решению соответствующего интегрального уравнения первого рода с нерегулярным ядром относительно неизвестной функции контактного касательного напряжения. Асимптотическое решение уравнений при больших значениях геометрического параметра задачи (относительная толщина слоя) находится с помощью метода «больших Л». Подобные задачи ранее исследовались в [4], [43], [36].

В третьей главе рассматривались плоская и осесимметричная задачи о контактном взаимодействии тонкой упругой абсолютно гибкой накладки с упругим слоем и возможность приложения полученных результатов к вопросам тензометрирования. Считается, что между накладкой и одной из границ слоя осуществляется полное сцепление.

В первой части исследовалась плоская контактная задача для тонкой упругой накладки с упругой полосой, нагруженной на бесконечности равномерным растягивающим усилием, направленным параллельно границам полосы. Во второй части рассматривалась осесимметричная задача о контактном взаимодействии тонкой упругой накладки с упругим слоем, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием. В обоих случаях предполагается, что накладка сопротивляется только растяжению (абсолютно гибкая). Задачи приведены к интегральным уравнениям первого рода с нерегулярными ядрами относительно неизвестного контактного касательного напряжения. Эти интегральные уравнения решаются совместно с дифференциальными уравнениями, описывающими продольные деформации накладок. Для нахождения решения задач построены специальные системы ортонормированных многочленов, по которым раскладываются продольные перемещения накладок. При больших значениях относительной толщины полосы (слоя) при помощи метода «больших Л» находятся решения интегральных уравнений, соответствующие указанным ортонормированным многочленам. В результате связывания решений интегральных и дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложений продольных перемещений накладок получаются бесконечные алгебраические системы уравнений. Приближенные решения этих систем находятся методом редукции, и определяется коэффициент искажения деформации полосы (слоя) вследствие наличия накладки. Подобные задачи исследовались ранее другими методами в [48], [24], [15], [44], [36], [43]. Задачи об упругой полуплоскости с упругими креплениями рассматривались в [59], [60].

В работе [24] был впервые исследован вопрос об упрочняющем влиянии тензопреобразователей в зоне наклейки для деталей из низкомодульных материалов. В данной работе была рассмотрена следующая контактная задача: к границе упругой полуплоскости, на бесконечности нагруженной равномерными растягивающими усилиями, жестко прикреплена абсолютно гибкая упругая накладка. Задача нахождения функции распределения касательного усилия в области контакта была сведена к решению интегрального уравнения Прандтля. Приближенное решение полученного интегрального уравнения ищется с помощью метода коллокаций, где в качестве точек коллокаций берутся корни полинома Чебышева. После нахождения решения находится е0 коэффициент искажения деформации к по формуле к = —, где £о — неискаженная деформация границы упругой полуплоскости, е* — искаженная деформация (средняя по длине деформация пластинки).

В [15] исследуется тот же вопрос, что и в работе [24], но тут уже тензодат-чик моделируется тонкой двухслойной пластинкой. Из уравнений, описывающих напряженно-деформируемое состояние двух тонкостенных элементов, из которых состоит пластина, определяется искаженная деформация через неизвестное контактное касательное напряжение между нижним слоем накладки и границей полуплоскости. Это напряжение находится из интегрального уравнения Прандтля, и можно вычислить поправочный коэффициент к показаниям датчика. В работах [94] , [96] с помощью теоретических расчетов установлено, что тензодатчик может оказывать значительное усиливающее воздействие при креплении его на материале с малым модулем упругости, например 7ГПа и менее. Экспериментальному анализу напряжений в пластмассовых изделиях посвящена работа [95].

Плоские задачи о растяжении упругой бесконечной полосы, усиленной на одной из границ тонкой упругой накладкой, и применение полученных результатов в вопросах тензометрирования, были рассмотрены и в [44]. Также считается, что полоса на бесконечности нагружена равномерными растягивающими усилиями. Между накладкой и поверхностью полосы осуществлено полное сцепление. Как и в работе [15], накладка рассматривается, как двухслойная тонкая пластинка при условии полного сцепления её слоев. И считается, что накладка сопротивляется растяжению, но не сопротивляется изгибным деформациям. Задачи сводятся к интегральным уравнениям относительно контактного касательного напряжения. При больших значениях относительной ширины полосы и относительно большой жесткости на растяжение верхней пластинки по сравнению с относительной жесткостью на растяжении полосы строится асимптотическое решение интегральных уравнений. Используя полученные результаты, можно найти коэффициент искажения деформации низкомодульных материалов при их тензометрировании.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту.

Проблемы, возникающие в различных областях машиностроения и строительства - помимо упомянутых выше, - такие как проектирование различных тонкостенных конструкций, практика сварных соединений, вопросы предотвращения роста трещин в конструкциях, вопросы тензометрирования, а также ряд задач из других отраслей прикладной механики подводят к решению неклассических контактных задач. Поэтому актуальность темы диссертации обуславливается важностью изучения вопросов контактного взаимодействия тонкостенных элементов в виде накладок различных геометрических форм и покрытий с массивными деформируемыми телами в теоретическом и прикладном плане.

Основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту:

1. Решение задачи о контактном взаимодействии упругого полупространства, нагруженного на бесконечности равномерным растягивающим усилием и сцепленного с тонкой жесткой на растяжение, абсолютно гибкой накладкой, имеющей в плане форму узкого прямоугольника сводится к исследованию интегрального уравнения первого рода, ядро которого имеет логарифмическую особенность. Приближенное решение уравнения ищется с помощью метода Мультоппа-Каландия.

2. Решение задачи о контактном взаимодействии упругого полупространства, нагруженного на бесконечности равномерным растягивающим усилием, с тонкой кольцевой накладкой с помощью метода Мультоппа-Каландия. Где относительно накладки также предполагается, что она является жесткой на растяжение и абсолютно гибкой. Считается, что между упругим полупространством и накладкой осуществляется полное сцепление.

3. Для исследования плоской и осесимметричной задач об упругом слое, усиленном на одной из своих граней тонкой упругой накладкой, был предложен подход, основанный на методе «больших А» и методе специальных ортонормированных полиномов. Полученные результаты используются при изучении вопроса расчета погрешности при тензомет-рировании.

4. Проведен численный анализ коэффициента искажения деформации к в плоском и осесимметричном случаях. Было показано, что отклонение и от единицы может изменяться в пределах от 10% до 35% при тен-зометрировании материалов с малым модулем упругости (менее 7ГПа). Таким образом, при измерениях необходимо учитывать, что жесткость тензодатчика может оказывать значительное усиливающее воздействие.

В заключение автор диссертационной работы хотел бы выразить огромную благодарность научному руководителю В.М. Александрову за предложенную интересную тему исследований, за постановку задач и помощь в работе.

Заключение

Таким образом были исследованы вопросы о контактном взаимодействии тонких накладок с упругими телами, нагруженными на бесконечности, что вносит определенный вклад во внутреннюю завершенность соответствующего раздела механики деформируемого твердого тела — контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками.

1. Б. Л. Абрамян, А. Я. Александров Осесимметричные задачи теории упругости. Тр. 1. Всес. съезда по теоретич. и прикл. механике, М.: Наука, 1966, вып. 3 "Механика твердого тела с. 7-37

2. В. И. Авилкин, В. М. Александров, Е. В. Коваленко Об использовании уточненных уравнений тонких покрытий в теории осесимметричных контактных задач для составных оснований. ПММ, 1985, т. 49, вып. 6, с. 1010-1018

3. С. М. Айзикович, И. С. Трубчик Изгиб пластин, лежащих на неоднородном основании. Тр. XIV Всес. конф. по теории оболочек и пластин, Кутаиси, 1987, т. 1, с. 47-52

4. В. М. Александров Асимптотические методы в задаче о взаимодействии жесктой накладки с упругой полосой — В сб.: "Асимптотические методы. Задачи и модели механики". Новосибирск: Наука, 1987, с. 176-189

5. В. М. Александров Асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости для иеклассических областей. — В сб.: "Концентрация напряжений". Киев: Наукова думка, 1968, вып. 2, с. 14-24

6. В. М. Александров К решению некоторых смешанных задач теории упругости. ПММ, 1963, т. 27, вып. 5, с. 970-972

7. В. М. Александров Контактная задача для упругой полосы с тонким усиливающим покрытием. Вестник МГУ, математика и механика, 2002, №4, с. 52-57

8. В. М. Александров Некоторые контактные задачи для балок, пластинок и оболочек. Инженерный журнал, 1965, т. 5, вып. 4, с. 782-785

9. В. М. Александров О плоских контактных задачах теории упругости при наличии сил трения и сцепления. ПММ, 1970, т. 34, вып. 2, с. 246-257

10. В. М. Александров О приближенном решении одного типа интегральных уравнений. ПММ, 1962, т. 26, вып. 5, с. 934-943

11. В. М. Александров Осесимметричная задача о действии кольцевого штампа на упругое полупространство. Изв. АН СССР. МТТ, 1967, №4, с. 108-116

12. В. М. Александров Осесимметричная задача для упругого бесконечного цилиндра. Изв. АН СССР. ОТН, механика и машиностроение, 1962, №5, с. 91-94

13. В. М. Александров Устойчивость системы покрытие-подложка при продольном сжатии покрытия. Изв. РАН. МТТ, 2001, №4, с. 76-79

14. В. М. Александров, С. М. Айзикович Распределение напряжений под ленточным фундаментом на неоднородном основании.— В сб.: "Исследования по теории сооружений М.: Стройиздат, 1987, т. 25, с. 82-92

15. В. М. Александров, 3. Г. Алпаидзе, С. А. Гришин, Б. А. Постников Расчет погрешности тензометрирования изделий из низкомодульных материалов. Изв. АН СССР. МТТ, 1988, №4, с. 114-117

16. В. М. Александров, Н. X. Арутюнян Взаимодействие движущегося упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку или тонкий слой идеальной жидкости. ПММ, 1978, т. 42, вып. 3, с. 475-485

17. В. М. Александров, Н. X. Арутюнян Некоторые вопросы механики ледяного покрова.— В кн.: "Современные проблемы механики и авиации М.: Машиностроение, 1982, с. 11-20

18. В. М. Александров, Н. X. Арутюнян О воздействии нагрузки и штампов на ледяной покров,— В сб.: "Механика и физика льдаМ.: Наука, 1983, с. 14-21

19. В. М. Александров, А. В. Белоконь Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его применение к контактным задачам для цилиндрических тел. ПММ, 1967, т. 31, вып. 4, с. 704-710

20. В. М. Александров, М. А. Броновец, Е. В. Коваленко Плоские контактные задачи для линейно-деформируемого основания с тонким усиливающим покрытием. Изв. АН "УССР. Прикл. механ., 1988, т. 24, №8, с. 60-67

21. В. М. Александров, И. И. Ворович Контактные задачи для упругого слоя малой толщины. ПММ, 1964, т. 28, вып. 2, с. 350-351

22. В. М. Александров, И. И. Ворович О действии штампа на упругий слой конечной толщины. ПММ, 1960, т. 24, вып. 2, с. 323-333

23. В. М. Александров, И. И. Ворович, М. Д. Солодовник Эффективное решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве. Изв. АН СССР. МТТ, 1973, №4, с. 129-138

24. В. М. Александров, Р. С. Галаджев, А. С. Соловьев К расчету погрешностей тензоизмерений. Измерительная техника, 1966, №2, с. 25-27

25. В. М. Александров, Д. И. Зарубов Осесимметричная задача об устойчивости системы покрытие-подложка. Экологический вестник НЦЧЭС, 2006, №4, с. 10-13

26. В. М. Александров, Д. И. Зарубов Устойчивость бесконечной плиты при продольном сжатии на несжимаемом преднапряженном силами тяжести упругом полупространстве. Изв. РАН. МТТ, 2006, №6, с. 61-70

27. В. М. Александров, Д. И. Зарубов Устойчивость продольно сжатой бесконечной упругой плиты на двухслойном упругом основании. Тр. X Между-нар. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону:Изд. Ростовского гос. ун-та, 2007, с. 18-20

28. В. М. Александров, Е. В. Коваленко Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. с. 336

29. В. М. Александров, Е. В. Коваленко Движение штампа по поверхности тонкого покрытия, лежащего на гидравлическом основании. ПММ, 1981, т. 45, вып. 4, с. 734-744

30. В. М. Александров, Е. В. Коваленко Некоторые контактные задачи установившейся нелинейной ползучести при наличии тонких покрытий. ПМТФ, 1983, №2,с. 121-130

31. В. М. Александров, Е. В. Коваленко Уточненные уравнения теории тонких пластин для динамических задач. Изв. АН УССР. Прикл. механ., 1994, т. 30, №6, с. 80-87

32. В. М. Александров, Е. В. Коваленко, С. М. Марченко О двух контактных задачах теории упругости для слоя с покрытием Винклеровского типа. Изв. АН УССР. Прикл. механ., 1983, т. 19, вып. 10, с. 47-54

33. В. М. Александров, Е. В. Коваленко, С. М. Мхитарян Исследование ограниченных решений в задаче о взаимодействии полуплоскости с упругими накладками. Изв. АН АрмССР, механика, 1978, т. 31, №1, с. 3-15

34. В. М. Александров, В. А. Кучеров Некоторые задачи о действии двух штампов на упругую полосу. Изв. АН СССР. МТТ, 1968,№4, с. 110-123

35. В. М. Александров, JI. М. Моносов, А. М. Цыбин, А. А. Шматкова Ползучесть ледяного покрова, лежащего на гидравлическом основании, при сосредоточенном воздействии. ПМТФ, 1987, №3,с. 154-159

36. В. М. Александров, С. М. Мхитарян Контактные задачи для тел с топкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983, с. 488

37. В. М. Александров, Г. Н. Павлик Изгиб круглой плиты на линейно-деформируемом основании. Изв. АН СССР. МТТ, 1977, №6, с. 102-107

38. В. М. Александров, Г. Н. Павлик Расчет круглой плиты на линейно-деформируемом основании с учетом деформации сдвига — В сб.: "Механика сплошной среды изд. Ростовского гос. ун-^га, 1982, с. 15-25

39. В. М. Александров, Г. Н. Павлик Устойчивость круглой пластинки на линейно-деформируемом основании при наличии двухсторонних связей под действием сжимающих усилий. Изв. АН АрмССР, механика, 1977, т. 30, №6,с. 53-57

40. В. М. Александров, Д. А. Пожарский Некоторые смешанные задачи теории изгиба пластин на упругом основании. ПММ, 1990, т. 54, вып. 1, с. 80-85

41. В. М. Александров, Б. JI. Ромалис Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986, с. 175

42. В. М. Александров, Б. И. Сметанин Равновесная трещина в слое малой толщины. ПММ, 1965, т. 29, вып. 4, с. 782-785

43. В. М. Александров, Б. И. Сметанин, Б. В. Соболь Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматлит, 1993, с. 224

44. В. М. Александров, А. С. Соловьев Некоторые смешанные плоские задачи теории упругости и их приложение к расчету погрешностей тензоиз-мерений. Изв. АН СССР. МТТ, 1970, №1, с. 122-129

45. В. М. Александров, А. С. Соловьев Некоторые смешаные задачи теории упругости. Изв. АН СССР. МТТ, 1969, №5, с. 120-130

46. В. М. Александров, А. С. Соловьев Некоторые пространственные смешанные задачи теории упругости. Изв. АН СССР. МТТ, 1966, №2, с. 135139

47. В. М. Александров, М. Д. Солодовник Асимптотическое решение задачи о цилиндричесом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве. Изв. АН УССР. Прикл. механ., 1974, т. 10, вып. 7, с. 77-83

48. В. М. Александров, М. Д. Солодовник О концентрации напряжений между круглой накладкой и упругим массивным телом.— В кн.: "Конструирование и производство траспортных машин". Харьков, 1976, вып. 8, с. 111-114

49. В. М. Александров, М. Д. Солодовник О продольной устойчивости балочных плит на упругом полупространстве при наличии двухсторонней связи.— В сб.: "Конструирование и производство транспортных машин Харьков, 1977, вып. 9, с. 124-126

50. В. М. Александров, М. И. Чебаков Введение в механику контактных взаимодействий. Ростов-на-Дону: Изд. ООО "ЦВВР2007, с. 114

51. В. М. Александров, Л. С. Шацких Изгиб цилиндрической оболочки конечной длины, насаженной с натягом на бесконечный упругий цилиндр. Тр. VIII Всес. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с. 23-27

52. В. М. Александров, Л. С. Шацких Новый метод расчета изгиба цилиндрической оболочки на упругом цилиндре. Изв. АН СССР. МТТ, 1974, №5, с. 163-166

53. В. М. Александров, Л. С. Шацких Универсальная программа расчета изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании. Тр. VII Всес. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1970, с. 46-51

54. В. М. Александров, А. А. Шматкова Контактная задача для подшипника скольжения с покрытиями. Изв. РАН. МТТ, 2002, №4, с. 26-29

55. В. М. Александров, А. А. Шматкова Нелинейная неустановившаяся ползучесть ледяной плиты на гидравлическом основании. ПММ, 1996, т. 60, вып. 4, с. 681-686

56. В. М. Александров, А. А. Шматкова Неустановившаяся ползучесть ледяного покрова, лежащего на гидравлическом основании при сосредоточенном воздействии. ПМТФ, 1990, №5, с. 132-138

57. В. М. Александров, А. А. Шматкова Установившаяся ползучесть ледяного покрова, лежащего на мерзлом грунте, при сосредоточенном воздействии. Изв. РАН. МТТ, 1998, №1, с. 48-53

58. Н. X. Арутюнян Контактная задача для полуплоскости с упругим креплением. ПММ, 1968, т. 32, вып. 4, с. 633-646

59. Н. X. Арутюнян, С. М. Мхитарян Некоторые контактные задачи для полуплоскости с частично скрепленными упругими накладками. Изв Ар-мАН, 1972, т. XXV,№2, с. 15-35

60. Н. X. Арутюнян, С. М. Мхитарян Некоторые контактные задачи для полупространства, усиленного упругими накладками. ПММ, 1972, т. 36, вып. 5, с. 770-787

61. В. А. Бабешко Об одном асимптотическом методе при решении интегральных уравнений теории упругости и математической физике. ПММ,1966, т. 30, вып. 4, с. 732-741

62. В. А. Бабешко Об одном эффективном методе решения некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физике. ПММ,1967, т. 31, вып. 1, с. 80-89

63. А. В. Белоконь Контактная задача о взаимодействии упругого диска с двумя различными жесткими штампами. ПММ, 1969, т. 33, вып. 1, с. 136— 143

64. И. И. Ворович, В. М. Александров, В. А. Бабешко Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974, с. 456

65. И. И. Ворович, Л. П. Лебедев Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. М.: Вузовская книга, 2000, с. 320

66. И. И. Ворович, О. М. Пенин, Г. Г. Пенина Сдвиг слоя с неровным основанием. Изв. АН СССР. МТТ, 1970, №2, с. 121-129

67. И. И. Ворович, Ю. А. Устинов О давлении штампа на слой конечной толщины. ПММ, 1959, т. 23, вып. 3, с. 445-455

68. И. И. Ворович, В. И. Юдович Удар круглого диска о жидкость конечной глубины. ПММ, 1957, т. 21, вып. 4, с. 525-532

69. Л. А. Галин Конактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953, с. 264

70. Л. А. Галин Контактные задачи упругости и вязкоу пру гости. М: Наука, 1980, с. 303

71. И. С. Грандштейн, И. М. Рыжик Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1962. 1100 с

72. В. Н. Гребенщиков Об изгибе круглой плиты, лежащей на упругом слое. Изв. АН СССР. МТТ, 1972, №3, с. 133-142

73. Д. В. Грилицкий Кручение двухслойной упругой среды. Прикладна механика, 1961, т. 7, вып. 1, с. 89-95

74. К. Джонсон Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989, с. 509

75. Л. В. Канторович, В. И. Крылов Приближенные методы высшего анализа. Л.-М.: Гостехиздат, 1949. с. 696

76. Я. М. Кизыма Контакнтые напряжения в случае сцепления кругового штампа с упругим слоем. Инженерный журнал, 1964, т. 4, вып. 2, с. 376382

77. Е. В. Коваленко Об эффективном методе решения контактных задач для линейно-деформируемого основания с тонким усиливающим покрытием. Изв. АН АрмССР, механика, 1979, т. 32, №2, с. 76-81

78. Е. В. Коваленко О контакте твердого тела с упругим полупространством через тонкое покрытие. ПММ, 1999, т. 63, вып. 1, с. 119-128

79. Ю. И. Кузьмин, Я. С. Уфлянд Контактная задача о сжатии упругого слоя двумя штампами. ПММ, 1967, т. 31, вып. 4, с. 711-715

80. А. И. Лурье Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиз-дат, 1955, с. 493

81. Механика контакнтых взаимодействий, под ред. И. И. Воровича, В. М. Александрова, М.: Физматлит, 2001, с. 672

82. Г. А. Морарь, Г. Я. Попов О контактной задаче для полуплоскости с упругим конечным креплением. ПММ, 1970, т. 34, вып. 3, с. 412-422

83. Н. И. Мусхелишвили Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966, с. 707

84. Б. Нобл Метод Винера-Хопфа. М: Изд. иностр. лит., 1962, с. 279

85. В. А. Пальмов Контактная задача о пластинке, лежащей на упругом слое. ПММ, 1960, т. 24, вып. 3, с. 416-422

86. Г. Я. Попов, Н. А. Ростовцев Контактные (смешанные) задачи теории упругости. Тр. II Всес. съезда по теоретич. и прикл. механике, М.: Наука, 1966, вып. 3 "Механика твердого тела с. 235-252

87. Развитие теории контактных задач в СССР, под ред. Л. А. Галина, М.: Наука, 1976, с. 493

88. Б. И. Сметанин Задача о растяжении упругого пространтсва, содержащего плоскую кольцевую щель. ПММ, 1968, т. 32, вып. 3, с. 458-463

89. В. М. Толкачев Передача нагрузки от стрингера конечной длины к бесконечной и полубесконечной пластине. Доклады АН СССР, 1964, т. 154, №4, с. 806-808

90. Я. С. Уфлянд Интегральные преобразования в задачах теории упругости Л.: Наука, 1967. 403 с.

91. А. И. Цейтлин Об изгибе круглой плиты, лежащей на линейно-деформируемом основании. Изв. АН СССР. МТТ, 1969, №1, с. 99-112

92. И. Я. Штаерман Контактная задача по теории упругости. M.-JL: ГИТТЛ, 1949, с. 270

93. М. F. Beatty, S. W. Chewing Numerical Analysis of the Reinforcement Effect of a Strain Gage Applied to a Soft Material. Inter.J.Eng.Science, 1979, V. 17, p. 907-915

94. С. C. Perry Strain-Gage Reinforcement Effects on Low-Modules Materials. Experimental Techniques, 1985, V. 9,№ 5, p. 25-27

95. P. Stehlin Strain Distribution In and Around Strain Gauges. J. Strain Analysis, 1972, V. 7, № 3, p. 228-235

96. W. T. Koiter Approximate solution of Wiener-Hopf type integral equations with applications. Proc.Konikl.Nederl.Akad.Wet., Ser. A, 1955, V. 58, №2, p. 257-258

97. W. T. Koiter Solution of some elasticite problems by asymptotic methods. — В сб.: "Приложение теории функций в механике сплошной среды". М.: Наука, 1965, т.1, с. 15-31