Контактное взаимодействие пластин на упругом основании с жесткими телами

Егоров, Даниил Леонидович

Контактное взаимодействие пластин на упругом основании с жесткими телами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Егоров, Даниил Леонидович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Контактное взаимодействие пластин на упругом основании с жесткими телами»

Автореферат диссертации на тему "Контактное взаимодействие пластин на упругом основании с жесткими телами"

Егоров Даниил Леонидович

КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ПЛАСТИН НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С ЖЕСТКИМИ ТЕЛАМИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

- 8 ЛЕК 2011

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2011

005003875

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Кузнецов Сергей Аркадьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гурьянов Николай Георгиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Клейдман Ольга Владимировна

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Казанский национальный

исследовательский технологический университет»

Защита состоится 28 декабря 2011 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.11 при Казанском (Приволжском) федеральном университете, расположенном по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Саченков А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Задачи контактного взаимодействия представляют одну из важнейших областей современной механики деформируемого твердого тела. Составные части любой реальной конструкции взаимодействуют друг с другом, а также с другими объектами. Это может быть непосредственный контакт тел в результате прижатия к опоре, сварочного, болтового или клеевого соединения и т.д. Учесть влияние таких взаимодействий, а также определить область контакта, если она неизвестна, позволяет решение соответствующих контактных задач, что является важным этапом проектирования различных узлов конструкций, тем более что концентрация контактных напряжений может привести к разрушению материала.

Особую актуальность исследование механики контактного взаимодействия имеет в случае контакта тонкостенных элементов конструкций с упругими или жесткими телами, так как тонкостенные конструкции имеют высокую прочность и малый удельный вес, что делает их привлекательными для широкого использования в авиации, автомобилестроении, ракетной технике, строительстве и т.д. Однако, они слабо сопротивляются сосредоточенным нагрузкам, поэтому их обычно подкрепляют ребрами или малыми накладками.

Построение аналитического решения контактной задачи имеет большой теоретический и практический интерес, однако, связано с серьезными математическими трудностями и не всегда представляется возможным. Поэтому актуальной проблемой является разработка и совершенствование новых численных и численно-аналитических методик решения контактных задач.

Цель работы. Разработка универсальной и достаточно простой в использовании численно-аналитической методики решения задач контактного взаимодействия пластин на упругом основании с жесткими телами (штампами) и применение данной методики к решению новых контактных задач.

Научная новизна. Разработан новый метод решения двумерных статических задач контактного взаимодействия. Данный метод реализован в виде компьютерной программы, и с помощью нее впервые получены решения задач взаимодействия пластины на упругом основании со штампами различных форм: сектор, сектор кольца, прямоугольный штамп с вырезами, крестообразный штамп и т.д.

Практическая значимость. Представленная в работе численно-аналитическая методика может быть применена для решения задач контактного взаимодействия упругих и жестких тел, возникающих при моделировании реальных тонкостенных конструкций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается: корректной математической постановкой задачи; использованием при численном решении интегрального уравнения точного аналитического представления функции влияния; тщательным тестированием отдельных вычислительных модулей, реализующих алгоритм численного решения; - и подтверждается физической непротиворечивостью: поля распределения напряжений в каждой конкретной решенной задаче не содержат необъяснимых механических эффектов, а также совпадением картин распределения контактных напряжений в задаче для круглого

штампа с полями, полученными ранее С.А. Кузнецовым на основе аналитического решения уравнения контакта.

Личный вклад автора. Автор диссертации участвовал в разработке представленной в работе численной методики решения контактных задач, а также самостоятельно реализовал эту методику в виде компьютерной программы. Автору принадлежит постановка ряда новых контактных задач, их решение и анализ полученных результатов.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на итоговых конференциях Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, 2006-2011 гг.); международном семинаре, посвященном памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. A.B. Саченкова «Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек» (Казань, 2008 г.); Х-м, XII-м и ХШ-м международных семинарах «Супервычисления и математическое моделирование» (РФЯЦ-ВНИИЭФ, г. Саров, 2008 г., 2010 г., 2011 г.); Второй международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Казань, 2009 г.); молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2007 г., 2010 г.); международных студенческо-аспирантских форумах «Актуализация социально-экономического и естественно-научного образования в науке и предпринимательстве» (Казань, 2009 г., 2010 г.) и «Научная и информационно-аналитическая база инновационного предпринимательства» (Казань, 2011 г.); объединенном семинаре кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета и Лаборатории механики оболочек НИИММ им. Н.Г.Чеботарева КФУ (Казань, 2011); международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» (Зеле-нодольск, 2011 г.)

Публикации. По материалам диссертационной работы имеются 11 публикаций, в том числе 2 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ: 1 статья в «Ученых записках Казанского университета» и 1 статья в «Научно-техническом вестнике Поволжья», а также 6 других статей и 3 информативных тезисов докладов на международных и Всероссийских конференциях.

Структура диссертационной работы. Диссертация изложена на 101 странице, содержит 9 таблиц, 72 рисунка, список литературы включает 117 наименований. Работа содержит введение, 2 главы, раздел «Заключение» и список литературы. Во введении обоснована актуальность темы работы и представлен обзор публикаций по механике контактного взаимодействия, где основное внимание уделено работам, выполненным за последние годы. В первой главе представлена постановка задачи и основное разрешающее уравнение. Проведено построение функции влияния для решения уравнения изгиба круглой пластины. Подробно описана численно-аналитическая методика решения двумерных статических контактных задач, а также ее применение в различных частных случаях. Приведены результаты численных экспериментов на сходимость расчетной схемы. Вторая глава посвящена результатам решения конкретных контактных задач и их подробному обсуждению. Рассматриваются различные формы штампов, исследуется влияние условий на границе пластины (свободный край,

шарнирное закрепление, жесткая заделка), эксцентриситета положения штампа и угла его поворота.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Для решения контактных задач существует два основных приема:

1. уравнения равновесия решаются внутри области контакта и вне ее, а контактное давление определяется из условий стыковки решений на границе и поверхности контакта;

2. контактное давление определяется в результате построения и решения интегрального уравнения.

Первый прием во многих случаях сопряжен с достаточно большими математическими трудностями. Реализация второго приема представляет меньше сложностей, если построена функция Грина (функция влияния).

Важным этапом постановки и решения контактных задач теории пластин и оболочек является вопрос выбора соответствующей теории. Постановка контактных задач для тонкостенных элементов конструкций на основе классической теории Кирхгофа-Лява приводит к интегральным уравнениям контакта Фред-гольма 1 рода, задача отыскания решения которых является математически некорректной. Учет в области контакта сжимаемости нормали к срединной поверхности приводит задачу к уравнениям Фредгольма 2 рода и позволяет получить контактные напряжения, мало отличающиеся от напряжений, вычисляемых по точным уравнениям теории упругости. Согласно такой постановке задачи, условия контакта поверхности штампа и пластаны в области контакта П записываются в виде интегрального уравнения

Ка{а„р,)+ ||С(ар Д, , М^, = Да,, А), (а„ Д),^,,^) е а (1) п

Здесь оЧа,,/?,) - неизвестное контактное давление, С(аг,,Д,- функция влияния, к0 - коэффициент обжатия, И - толщина пластины, /(а„Д) - функция формы и жесткого смещения штампа, гг,,Д - некоторая система координат, связанная со штампом. Интеграл по области контакта О моделирует изгиб срединной поверхности пластины, ¿0а(а,,Д) - перемещения поверхности пластины в результате местного обжатия.

Геометрия взаимодействующих тел зачастую такова, что искать функцию влияния удобнее в системе координат аг,р2, связанной с пластиной, поскольку в этой системе координат проще сформулировать граничные условия для искомой функции и удовлетворить им.

Если функция влияния найдена и известны формулы перехода от системы координат аг,р2 к сг„Д, то алгоритм решения уравнения (1) заключается в следующем. Область контакта покрывается сеткой топологических прямоугольников, в каждом из которых проводится интегрирование с помощью квадратурной формулы Гаусса. Требуя выполнения условия контакта пластины и штампа в каждой квадратурной точке, сведем проблему определения значений контактного давления в узлах сетки к решению системы линейных алгебраических уравнений:

= (2) Здесь Л, - весовые множители квадратурной формулы Гаусса; Лв1,йд -количество фрагментов разбиения сетки по осям а, и р, соответственно; N -количество точек в квадратурной формуле Гаусса; = 1,2,..ЛГ; р = 1,2,.. йв1; <7 =

Таким образом, задача отыскания контактного давления будет решена, если построена функция влияния для данной формы пластины.

Рассмотрим случай круглой пластины радиуса Л, лежащей на упругом основании с одним коэффициентом постели к. Функция влияния для данной пластины является (при заданных граничных условиях) решением уравнения

У4С(г, <р, £ п) + ЛАС(г, <р,Ш = З(г-^р-л) (3)

где Л4 = ^, й= гу Е ~ модуль упругости, V - коэффициент Пуассона,

8(г-%,<р-т]) -5-функция Дирака.

Решение уравнения (3) ищется в виде ряда Фурье

С(г,<р,£,71) = ^'Оп(.г,£)со<<Р-Г1), (4)

л=0

где символ ^'означает, что при и=0 вводится коэффициент В интервале (-л, я) ¿-функция представима рядом Фурье

1 00

- 77) = -У'со$/?(«>-77) (5)

ятА

Подставив (4) и (5) в (3), получим уравнение

= 11 = 0,1... (6)

г2"

Лемма. Решение дифференциального уравнения вида

(V4 + Л4)Р(г, <р) - Ф(г, (р) (7)

можно представить в виде

Р(г,(р) = Рх(г,<р) + Рг{г,<р) (8)

где ^(г,<р) и Рг(г,<р) являются решениями уравнений

{V2 -1Хг)Р2{г>(р) = ^Ф{г,<Р) Лемма доказывается простой подстановкой решения (8) в уравнение (7).

С учетом леммы задача построения функции влияния сводится к двум уравнениям Бесселя

d2Gu 1 dG,n 2 1 с/ г\

-,-1-+--,+ од - - 2к?,„=- 2 ^(г - а (9)

ir г dr г hk nDl; v 7

d2G-,„ 1 dGln ,._2 я* 1 ^ч

С учетом условия ограниченности прогиба в центре пластины и особенности поведения цилиндрических функций при г —> 0, общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (6), записывается в виде

G0 =QJ„(fiÄr) + C2I„(-iiAr), где Ci и С2 - неизвестные константы.

Частные решения уравнений (9), (10) найдем с помощью интегрального преобразования Ганкеля, с учетом свойств которого, а также с учетом фильтрующих свойств ¿-функции, получим образы функций б,„, S2„. Обращая преобразование и складывая получившиеся оригиналы функций, будем иметь:

а (г n = о<гй4

n{r,i) 2Ä2D{v„(Äf)f„(Är)-u„(Äf)gn(Ar), £<r где и„ (z) = 6er„(z),v„(z) = -bein (z), /„ (г) = -hei, (г), g-„ (z) = (z) - функции Кельвина.

Таким образом, общее решение уравнения (6) есть

Постоянные интегрирования определяются из условий на контуре пластины при г- R.

Рассмотрим применение изложенной выше методики к решению конкретных задач. Пусть круглая пластина на упругом основании взаимодействует с плоским штампом, который имеет форму сектора кольца (рис. 1). Отметим, что при данном подходе частными случаями являются задачи для штампов в форме сектора, круга, а также в форме кольца.

Будем определять положение штампа с помощью эксцентриситета е, выбранного как расстояние от центра пластины О до точки 0\, которая является центром круга при öi = 0, а2 > 0, в\ = -л, в2 - я. Целесообразно в качестве выбрать полярную систему координатр,% с центром в точке Ох. Тогда имеем rco%<p = e+ pcos%, rsin^z>= psm%,

Уравнение контакта (1) принимает вид

егаг

K°iP>X)+ J ¡G(p,Z,4,n)<r(.£,n)Zd£dn = У.

о,

Тогда контактное давление в узлах сетки может быть определено из системы линейных алгебраических уравнений

Ckl)/ . / ßro^^tkn7!М^шА-Аi — У, k=1 /=1 1=1 7=1

где

т0=О

Рис. 1. Постановка задачи для случая Рис. 2. Постановка задачи для случая контакта круглой пластины и штампа в контакта круглой пластины и прямо-форме сектора кольца

угольного штампа с вырезом

Пусть штамп имеет прямоугольную форму (рис. 2). В качестве а„Д выберем декартову систему координат х^у с центром в точке 0{. Тогда

ГСО5<р = е + ХСО5в-у$т0, Г5\П(р = Х5\Пв + уС05в.

Уравнение контакта (1) принимает вид

ь, ьг

-Ь1 -Ь2

и задача отыскания контактного давления в узлах сетки сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений

= Г, (11)

*=1 '=> м

где <?ж, == £

т0= О

В работе рассмотрена возможность добавления вырезов в прямоугольный штамп, что позволяет решать задачи для штампов разнообразных форм. В случае, когда рассматривается штамп, имеющий вырезы, система (11) составляется с учетом отсутствия контактных напряжений внутри вырезов. Соответствующие слагаемые в ее уравнениях не должны участвовать. Таким образом, число неизвестных равно числу уравнений.

Анализ сходимости расчетной схемы проводился на основе численных экспериментов. Исследовалось влияние на конечный результат количества членов ряда функции Грина, а также детализации сетки. Результаты двух таких численных экспериментов, проведенных для задачи контакта пластины со штампом в форме

сектора (рис. 11) при условиях свободных краев пластины и е = 0.7 м, представлены в табл. 1,2.

Таблица 1. Влияние количества членов ряда функции Грина т на напряжения. Штамп в форме сектора (рис. 11). 5184 узловые точки.

т 23 30 40 50 70 100

Макс.налр., (МПа) 1.159-Ю3 1.155-Ю3 1.152-Ю3 1.150-Ю3 1.149-Ю3 1.148-Ю3

Изменение - -0.4% -0.3% -0.1% -0.1% -0.1%

Мин. напр., (МПа) -2.336-102 -2.264-Ю2 -2.128-102 -2.033-Ю2 -1.972-Ю2 -1.983-102

Изменение - -3.1% -6.0% -4.5% -3.0% 0.5%

Таблица 2. Влияние детализации сетки на напряжения. Штамп в форме сектора (рис. 11). т = 23.

Количество узлов

576 2304 5184 9216

Макс, напр., (МПа) 1.129-Ю3 1.152-Ю3 1.159-Ю3 1.163-103

Изменение - 2.0% 0.7% 0.3%

Мин. напр., (МПа) -2.333-102 -2.335-102 -2.336-102 -2.337-102

Изменение - 0.1% 0.0% 0.1%

При проведении расчетов было принято: Е = 2-Ю5 МПа, V = 0.3, к = 2-Ю8 Н/м3, И = 0.05 м, Л = 1 м, у = 0.005 м, количество точек Гаусса по каждой из координат равно 3 (аналогичные параметры расчетов были приняты и при решении остальных рассмотренных в работе задач).

Приведенные данные показывают, что по мере увеличения количества членов ряда функции Грина т максимальные и минимальные напряжения претерпевают все меньшие изменения. Аналогичным образом на конечные результаты влияет и сгущение сетки узлов. Таким образом, данные численных экспериментов позволяют сделать вывод о наличии сходимости расчетной схемы.

Представленный выше алгоритм численного решения контактных задач был реализован в виде двух компьютерных программ, работающих совместно. Первая программа содержит оконный интерфейс, работая с которым пользователь может установить исходные параметры расчета: механические характеристики, размеры штампа и пластины, эксцентриситет и ориентацию штампа на пластине, шаг разбиения сетки, положение вырезов в штампе, если они есть. После того, как исходные параметры установлены, программа производит построение сетки узлов и вычисляет в каждой ее точке значения функций Кельвина с учетом перехода от системы координат аг,р2 к системе координат а,,Д. Также производится вычисление функций Кельвина и их производных на границе пластины. Результаты всех вычислений записываются на жесткий диск, после чего запускается вторая

программа, непосредственно реализующая алгоритм решения контактной задачи. В начале своей работы данная программа считывает с жесткого диска результаты вычислений предыдущего этапа. После этого запускается алгоритм составления и решения системы линейных алгебраических уравнений (2). Полученные в результате значения контактного давления в узлах сетки записываются в файл в формате, пригодном для использования в программе визуализации.

С помощью представленной в работе численно-аналитической методики исследовалось распределение контактных напряжений в зависимости от формы штампа, эксцентриситета его положения, угла поворота и условий закрепления пластины. Поля распределения строились по безразмерным контактным напряжениям, которые вычислялись по формулам

<? («,,А)-------

где 5Ь - площадь области контакта, а Р- сила, которая дается выражением

Для штампов, имеющих форму, основой которой является сектор кольца, выражения для и Р принимают вид:

= р = в\)а{р,х)рс^х.

2 Щ

Для прямоугольных штампов с учетом вырезов

А ¿2

= 46,62 - 50, Р = | |сг(х, уУМу

где 5о - площадь вырезанных из штампа фрагментов.

Ниже на рис. 3-14 представлены поля распределения контактных напряжений для ряда частных случаев.

Рис. 3-5 иллюстрируют влияние условий на границе пластины в задаче для круглого штампа, центр которого находится на расстоянии е = 0.7 м от центра пластины. При условии жесткого закрепления (рис. 3) максимальные напряжения возникают в краевой зоне области контакта, обращенной в сторону границы пластины. Зона минимальных напряжений имеет смещение также в эту сторону. При условии свободного края (рис. 4), напротив, максимальные напряжения возникают в краевой зоне области контакта, обращенной к центру пластины. Зона минимальных напряжений также имеет смещение в этом направлении.

Рис. 3. Круглый штамп. Края пластины жестко закреплены, е = 0.7 м

Рис. 4. Круглый штамп. Края пластины свободны, е = 0.7 м

-0.06 о

Рис. 5. Круглый штамп. На краях пластины шарнирное закрепление, е = 0.7 м

Рис. 6. Круглый штамп. Края пластины жестко закреплены, е = 0.005 м

При условии шарнирного закрепления (рис. 5) картина распределения контактных напряжений имеет качественное сходство с картиной распределения в случае жесткой заделки.

Отметим, что во всех трех случаях имеет место симметрия в распределении контактных напряжений относительно прямой, проходящей через центры пластины и штампа.

На рис. 6 представлено решение задачи для круглого штампа, центр которого почти совпадает с центром пластины. Наблюдается осесимметричная картина. Изолинии равных напряжений представляют собой концентрические окружности. Максимальные напряжения наблюдаются на краю области контакта. По мере приближения к ее центру уровень напряжений снижается и в центре достигает минимальных значений.

Рис. 7-9 иллюстрируют влияние условий на границе пластины на распределение контактных напряжений в задаче для квадратного штампа.

Рис. 7. Квадратный штамп. Края плас- Рис. 8. Квадратный штамп. Края пластины жестко закреплены, е = 0.7 м тины свободны, е = 0.7 м

Рис. 9. Квадратный штамп. На краях пластины шарнирное закрепление, е = 0.7 м

-0X15 0 0,05

Рис. 10. Квадратный штамп. Края пластины жестко закреплены, е = 0.005 м

При условии жесткого закрепления (рис. 7) максимальные напряжения возникают в угловых зонах области контакта, расположенных ближе к краю пластины. Отметим, что зона минимальных напряжений смещена в этом же направлении. При условии свободного края (рис. 8) максимальные напряжения наблюдаются в угловых зонах, расположенных ближе к центру пластины. Контур зоны минимальных напряжений имеет вид сложной замкнутой кривой, большая часть которой также смещена по направлению к центру пластины.

В случае шарнирного закрепления пластины (рис. 9) наблюдается картина качественно сходная с картиной распределения при условии жесткой заделки. Максимальные напряжения наблюдаются в угловых зонах области контакта, которые находятся ближе к краю пластины. Зона минимальных напряжений имеет смещение также в эту сторону.

Отметим, что поля распределения для всех трех случаев обладают симметрией относительно оси абсцисс.

На рис. 10 представлено решение задачи для квадратного штампа, расположенного почти в центре пластины. В распределении контактных напряжений присутствует осевая симметрия. Максимальные напряжения наблюдаются в угловых зонах области контакта. Зона минимальных напряжений расположена в центре и имеет форму, близкую к окружности.

В массиве полученных в работе данных наблюдаются некоторые общие закономерности распределения контактных напряжений при взаимодействии пластины на упругом основании с жесткими штампами:

1. При условии жесткого закрепления пластины максимальные напряжения возникают в граничных зонах области контакта, которые расположены ближе к краю пластины. При условии свободного края, наоборот, максимальные напряжения возникают в граничных зонах, которые расположены ближе к центру пластины.

2. Если область контакта имеет угловые зоны, то именно в них при соответствующих граничных условиях наблюдается наибольшая концентрация напряжений.

3. Условия жесткого и шарнирного закрепления дают качественно близкие поля распределения контактных напряжений.

4. Когда центры пластины и штампа, имеющего оси симметрии, почти совпадают, распределение контактных напряжений имеет симметричный вид, причем его оси симметрии совпадают с осями симметрии штампа.

На рис. 11-14 в качестве демонстрации возможностей представленной в работе методики приводятся поля распределения напряжений для штампов различных форм при различных условиях закрепления и эксцентриситетах.

Рис. 13. Прямоугольный штамп с двумя Рис. 14. Квадратный штамп с двумя бо-произвольными вырезами внутри. На новыми вырезами. На краях пластины краях пластины жесткое закрепление, жесткое закрепление, е - 0.005 м е = 0.005 м

Отметим, что разработанная методика обладает достаточно широкими возможностями и при минимальной модификации может быть использована и для решения ряда других классов контактных задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Сформулируем основные результаты и выводы данного диссертационного исследования.

1. Разработан метод численно-аналитического решения статических двумерных задач контактного взаимодействия пластин на упругом основании с жесткими штампами.

2. Метод реализован в виде компьютерной программы и применен к решению задач взаимодействия круглых пластин на упругом основании с жесткими штампами различных форм.

3. Получены поля распределения контактных напряжений для широкого спектра частных случаев и исследована их зависимость от формы штампа, эксцентриситета его положения и угла поворота, а также от условий на границе пластины.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

В рецензируемых журналах из перечня ВАК Министерства образования и

науки РФ:

1. Егоров, Д.Л. Исследование контактного взаимодействия круглых пластин со штампами на основе численно-аналитической методики У Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов II Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. физ.-матем. науки. - 2010. - Т. 152, кн. 4. -С. 127-134.

2. Егоров, Д.Л. Контактное взаимодействие круглых пластин на упругом основании со штампами различных форм / Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов // Научно-технический вестник Поволжья. - 2011. - № 5. - С. 32-35.

В других изданиях:

3. Егоров, Д.Л. Контактная задача для круглой пластины, взаимодействующей с жестким штампом / Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Материалы VI молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007». - Казань: Казан, гос. ун-т, 2007. - Т. 36. -С. 75-76.

4. Егоров, Д.Л. Численно-аналитическое исследование контактного взаимодействия круглых пластин с жесткими штампами / Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов // Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек: Материалы международного семинара, посвященного памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В. Саченкова. - Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 2008. - С. 53-54.

5. Егоров, Д.Л. Численно аналитический метод решения контактных задач теории пластин / Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов // X Международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Тезисы. - Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2008. - С. 77-78.

6. Егоров, Д.Л. Решение контактной задачи для круглой пластины численно-аналитическим методом / Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Труды Второй международной конференции. - Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. - С. 159-161.

7. Егоров, Д.Л. Методика численного решения задач контактного взаимодействия пластин со штампами / Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов // Актуализация социально-экономического и естественно-научного образования в науке и предпринимательстве: Материалы II международного студенческо-аспирантского форума. - Казань: Отечество, 2009. - С. 42-46.

8. Егоров, Д.Л. Влияние угла поворота штампа на распределение контактных напряжений / Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Материалы IX молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2010». - Казань: Казан, гос. ун-т, 2010. - Т. 40. - С. 129-131.

9. Егоров, Д.Л. Влияние граничных условий и угла поворота штампа на распределение контактных напряжений / Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов // Актуализация социально-экономического и естественно-научного образования в науке и предпринимательстве: Материалы III международного студенческо-аспирантского форума. - Казань: Отечество, 2010. - С. 22-28.

10. Егоров, Д.Л. Влияние ориентации прямоугольного штампа при контакте с круглой пластиной / Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов // XII Международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование». - Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2011.-С. 173-181.

11. Егоров, Д.Л. Влияние формы штампа на распределение контактных напряжений У Д.Л. Егоров, С.А. Кузнецов // Научная и информационно-аналитическая база инновационного предпринимательства: Материалы IV международного сту-денческо-аспирантского форума. - Казань: «Печать-Сервис XXI век», 2011. - С. 354-359.

Подписано в печать 17.11.2011. Формат 60x84 Тираж 120 экз. Усл. печ. л. 1,0

Отпечатано в множительном центре Института истории АН РТ г. Казань, Кремль, подъезд 5 Тел. (843) 292-95-68,292-18-09

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Егоров, Даниил Леонидович

Введение.

Глава 1. Методика решения двумерных контактных задач.

1.1. Интегральное уравнение контакта.

1.2. Функция влияния.

1.3. Применение алгоритма численного решения.

1.4. Анализ сходимости расчетной схемы.

1.5. Программная реализация алгоритма.

Введение диссертация по механике, на тему "Контактное взаимодействие пластин на упругом основании с жесткими телами"

Особую актуальность исследование механики контактного взаимодействия имеет в случае контакта тонкостенных элементов конструкций с малыми элементами, нагружаемыми сосредоточенными силами. Ведь тонкостенные конструкции имеют высокую прочность и малый удельный вес, что делает их привлекательными для широкого использования в различных отраслях народного хозяйства. Однако они слабо сопротивляются сосредоточенным нагрузкам, поэтому их обычно подкрепляют ребрами или малыми накладками.

Начало теории контактных задач было положено в работах Г. Герца в конце XIX столетия. В них область контакта предполагается достаточно малой по сравнению с размерами контактирующих тел, что позволяет при построении ядер интегральных уравнений воспользоваться фундаментальным решением для полуплоскости или полупространства [78].

Существенное значение в развитии теории контактных задач имели работы Ф.П. Боудена и Д. Тейбора, в которых была отмечена важность учёта шероховатости поверхности контактирующих тел [112]. Среди зарубежных исследований в этом направлении также следует отметить работы Дж. Ф. Архарда, Дж. Г. Гринвуда, Дж. Б. П. Вильямсона [110, 113].

Большой вклад в развитие теории контактных взаимодействий внесли отечественные ученые, прежде всего, Л.А. Галин, И.Я. Штаерман, И.И. Ворович, В.М. Александров, В.И. Моссаковский, Ю.П. Артюхин, Э.И. Григолюк, В.М. Толкачев, Г .Я. Попов, М.В. Блох и др. [4, 14, 26, 29-31,76, 93, 107]. Подробный обзор основных результатов в развитии механики контактного взаимодействия в СССР содержится в книге Л.А. Галина [28].

Построение аналитического решения контактной задачи имеет большой теоретический и практический интерес, однако связано с серьезными математическими трудностями и не всегда представляется возможным. Зачастую условия контакта записываются в виде интегральных уравнений, которые могут быть разрешены аналитически лишь в ряде специальных случаев. Отметим работы [8, 14, 29], в которых представлены методы аналитического решения некоторых классов контактных задач.

С развитием информационных технологий приобрели актуальность численные методы, реализованные посредством компьютерных программ. Одними из наиболее мощных и широко распространенных методов приближенного решения задач теории пластин и оболочек являются метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ).

В МКЭ физическая область разбивается на подобласти (конечные элементы), зависимая переменная аппроксимируется функцией специального вида на каждом элементе. Подстановка аппроксимаций в определяющие уравнения приводит к системе уравнений, решив которую можно получить приближенное решение задачи [84]. Метод конечных элементов в контактных задачах основан на методе вариационных неравенств [14]. При условии отсутствия взаимопроникновения тел, на истинной области контакта и истинных смещениях поверхности тела достигается минимум полной энергии деформации [40].

Популярность МКЭ чрезвычайно велика. Множество прикладных программ, предназначенных для решения задач механики, реализуют именно этот метод. Например, ANSYS, Impact, ПК Лира, LS-DYNA и др. По методу конечных элементов и его применению в задачах механики опубликовано огромное количество работ, например, [2, 32-34, 54, 56, 74, 84, 90, 94, 96, 99, 114, 117].

В МГЭ, в отличие от МКЭ, дискретизации подвергается лишь граница исследуемой области. Производится переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области. Эти соотношения могут представлять граничные интегральные уравнения, либо выражаться некоторыми функционалами [21]. МГЭ в последние годы приобретает большую популярность, и количество работ, посвященных его применению, также достаточно велико. Отметим работы К. Бреббия, Ю.П. Артюхина, А.П. Грибова и др. [11-13, 22, 23, 35, 60, 71, 111, 115, 116].

Дадим краткий обзор работ по механике контактного взаимодействия, выполненных за последние годы. Основное внимание уделено задачам контакта жестких и упругих тел. Особо отметим книгу [25] под редакцией И.И. Воровича и В.М. Александрова, которая содержит весьма полный обзор основных достижений российских ученых в области решения контактных задач за двадцатипятилетний период.

В работах Чумариной О.В. с соавторами [15-17, 36, 106] представлена разработанная автором на основе НМГЭ методика решения задач изгиба мембран сложной формы под действием равномерно распределенной нагрузки. Также на основе НМГЭ автором разработан и реализован алгоритм решения двумерных контактных задач для мембран произвольной формы с неизвестной областью примыкания. Рассмотрены задачи контакта мембраны произвольной формы с наклонной плоскостью; круглой мембраны с параболическим штампом; мембраны с четырехугольной пирамидой. Рассмотрена задача изгиба мембраны произвольной формы, являющейся дном сосуда с жидкостью, под действием гидростатической нагрузки. Изучено контактное взаимодействие мембраны с жидкостью и поршнем.

В работах Аргатова И.И. [9, 10] рассматриваются контактные задачи для систем штампов. Также обсуждаются проблемы контакта шероховатых поверхностей.

Александровым В.М. и Калякиным A.A. [6] представлено основное двумерное интегральное уравнение, к которому сводятся контактные задачи для слоистого упругого полпространства. Рассмотрены случаи, когда область контакта - круг или бесконечная полоса. Авторами установлено, что в этих частных случаях основное двумерное интегральное уравнение переходит в систему одномерных интегральных уравнений для гармоник контактного давления, когда область контакта - круг, и в одно одномерное интегральное уравнение, когда область контакта - полоса.

В работе Солодова Н.В., Шевченко А. В. и Аленикова М.В. [101] рассмотрено решение контактной задачи при полном соприкосновении основания и штампа методом теории пластичности.

В работах Папковской О.Б. с соавторами [83, 86-88] исследованы контактные задачи изгиба ортотропной пластины с различными видами подкреплений: полубесконечным упругим ребром, упругой опорой типа винклерового основания и жесткой полубесконечной опорой (случаи симметричного и антисимметричного изгиба).

В работе Никоновой E.H. [82] изучаются задачи о вдавливании различных штампов в идеально-пластические тела и рассматривается вопрос определения предельных усилий при контакте.

Радаевым С.Ю. [95] исследовано предельное состояние анизотропного идеально-пластического полупространства при давлении жестких штампов и пирамид. Пространственные задачи решены при условии полной пластичности. Получены расчетные формулы, позволяющие определить предельную нагрузку, которая, в силу анизотропии материала, зависит от ориентации тела относительно осей анизотропии.

Для решения задачи контактного взаимодействия жесткого штампа с упругим полупространством в условиях плоской деформации в работе [27] Галазюк В. А. и Сулим Г.Т. предложили новую модель этой задачи и доказали, что произвольное вертикальное перемещение штампа может быть реализовано распределенной по некоторому закону компонентой вектора локального жесткого поворота.

Щербина И.В., Кагадий Т.С. и Павленко A.B. в работе [108] рассмотрели задачу о контактном взаимодействии ортотропного прямоугольника и плоского штампа.

Контактная задача для неодносвязной анизотропной полуплоскости (при условии отсутствия трения под штампом) решена Мехтиевым А.И. [75].

Мохель А. Н., Салганик Р. J1. и Федотов А. А. в работе [77] изучили задачу о контакте двух прижимаемых друг к другу полуограниченных тел, одно из которых абсолютно жёсткое. При этом граница одного из этих тел плоская, а граница другого шероховата и близка к плоской. Предполагается, что контакт между телами почти полный, сдвиговым взаимодействием между контактирующими телами пренебрегается.

В работах Манжирова A.B. [72] и Казакова К.Е. [52, 53] рассмотрены контактные задачи для тел с неоднородными покрытиями, а также задачи взаимодействия тел с покрытиями переменной толщины. Исследована проблема износа.

В работе Величко Е.В. и Приварникова А.К. [24] рассматривается задача вдавливания периодической системы одинаковых гладких штампов с плоскими подошвами в упругую многослойную плиту. Деформация плиты плоская. Интегральное уравнение решается приближенно.

На основе численной методики в работе Тарасова В.В. и Сивцева Н.С. [102] рассматривается способ определения площади и других параметров контакта шероховатых поверхностей упругих тел.

Кулиш Е.В. с соавторами в работах [66-68] исследовали контактные задачи прессовых полисоединений. Ими предложена методика численного расчета напряженно-деформированного состояния прессовых полисоединений на основе МКЭ, а также методика экспериментального исследования их нагрузочной способности. Получено решение многоконтактной задачи с учетом различных механических свойств материалов.

В работе [69], автором которой является Лукашевич A.A., представлена численная методика решения задач контактного взаимодействия сооружений с дискретными опорами, основанная на использовании контактных конечных элементов рамного типа. Модель учитывает кулоновское трение. Описанный в статье алгоритм применен для расчета реального сооружения.

В работе Ханян А.Г. [105] представлено решение плоских периодических контактных задач для упругой полосы методом коллокации по чебышевским узлам.

Работа Демкина Н.Б. и Измайлова В.В. [38] посвящена теоретическим и компьютерным моделям контакта поверхностей деталей машин. Учтено влияние качества материала и температурно-временного фактора на характеристики контакта.

В работе Колесникова В.И., Чебакова М.И. и Иваночкина П.Г. [57] рассматривается задача о контакте параболического штампа с двухслойной полосой, моделирующая фрикционный контакт тела с покрытием. Для решения интегрального уравнения использован специальный метод коллокаций. Получены распределения контактных напряжений внутри упругого покрытия и упругой подложки. Проанализировано влияние коэффициента трения и толщины покрытия.

В работах Кузнецова С.А. и Точкасовой М.А. [65, 104] на основе линейной теории пластин с учетом поперечного обжатия в области контакта дана постановка и решение задачи взаимодействия колеблющегося жесткого штампа с прямоугольной пластиной, находящейся в условиях цилиндрического изгиба. Функция влияния получена на основе уточненной теории пластин, учитывающей деформации поперечного сдвига и инерцию вращения.

В работе Сатаева В. Р. и Полякова А. А. [98] исследовалась проблема, возникающая при ремонте нефтегазопроводов, связанная с необходимостью устранения с наружной поверхности труб защитного изоляционного покрытия. Одним из эффективных методов очистки трубы от защитного покрытия является способ, основанный на предварительном охлаждении участка трубы до температуры хрупкости защитной пленки хладагентом и последующей механической обработке. Нанесение хладагента производится с помощью специальной спрейерной камеры, которая перемещается вдоль трубы на шасси, состоящих из 4 колес, имеющих форму диска. Таким образом, возникает задача контактного взаимодействия трубы и дисков, которая и рассмотрена в данной статье.

В работе Айзиковича С.М. с соавторами [3] исследуется внедрение осесимметричного штампа в неоднородное упругое полупространство. При решении контактной задачи используется двухсторонний асимптотический метод.

В работах Саламатовой В.Ю. с соавторами [5, 7, 97] изучены вопросы контактного взаимодействия упругих тел, нагруженных на бесконечности, с различными видами тонких накладок. Рассматривается применение полученных результатов к тензометрированию.

Hey Строева Н.В. в работах [79-81] рассматривает контактные задачи для упругих тел разных размерностей, а также проблему жестких включений. Исследуются вопросы строгого обоснования разрешимости таких задач.

В статье Печорской С.А. с соавторами [89] представлено аналитическое решение задачи контакта несущей стены многоэтажного здания и фундаментной плиты на упругом основании. Разработана модель, учитывающая податливость стены в своей плоскости и особенности деформирования плиты в областях передачи значительных нагрузок по малым площадкам.

В работе Максименко A.A., Котеневой Н.В. и Перфильевой А.Д. [70] рассматриваются условия возникновения упругопластических деформаций при контакте твердых тел. Представлены зависимости, позволяющие определить диапазон внедрения в случае контакта сферы с плоской поверхностью, а также в случае контакта поверхностей.

Поповым B.C. с соавторами в работе [92] исследована задача гидроупругих колебаний применительно к круглой пластине, взаимодействующей с твердым диском. Построена математическая модель рассматриваемой механической системы.

Работа [18], автором которой является Баничук Н.В., посвящена задаче оптимизации распределения контактного давления под жестким штампом, взаимодействующим с упругой средой, заполняющей полупространство. В качестве искомого в задаче выступает форма штампа, а роль минимизируемого функционала играет среднеквадратичное отклонение возникающего под штампом распределения контактного давления от некоторого заданного распределения. При этом величины суммарных сил и моментов, прикладываемых к штампу, предполагаются заранее известными. Проведено исследование задачи оптимизации для различных форм штампов в аналитическом виде.

В работе Пожарского Д.А. и Чебакова М.И. [91] решается задача о движении штампа при учете тепловыделения от трения между ним и упругой полосой большой толщины. Задача сводится к системе интегрального и интегро-дифференциального уравнений относительно контактного давления и контактной температуры. Для учета трения использован закон Кулона, предполагается, что коэффициент трения не зависит от температуры. Проведены расчеты контактных давлений и температур в зависимости от различных коэффициентов трения, скорости движения, вдавливающей силы, относительной толщины слоя и форм основания штампа.

Огар П.М. и Горохов Д.Б. в работе [85] предложили математические модели фрактальной шероховатой поверхности и контакта жесткой шероховатой поверхности с упругим полупространством. Получено выражение для определения фрактальной размерности эквивалентной шероховатой поверхности в зависимости от фрактальных размерностей контактирующих поверхностей и максимальных высот неровностей.

В работе Авджиевой Т.Б., Георгиева М.Н. и Николова Н.М. [1] представлена разработанная на базе МКЭ трехмерная модель контакта колеса и рельса, а также проанализировано влияние твердости контактирующих объектов на величину контактного объема.

В работе Солдатенкова И.А. [100] изучается задача о взаимном изнашивании волнистого штампа и упругой полосы, связанной с недеформируемым основанием. Аналитическое выражение для контактного давления сводится к нелинейной системе дифференциальных уравнений (которая в случае малого износа полосы становится линейной и допускает решение в явном виде). Получены условия, обеспечивающие герметичность при наличии трения и износа.

Представленный выше материал иллюстрирует теоретическую и практическую актуальность постановки и решения задач контактного взаимодействия. Важную роль при этом играет разработка новых методик численного и численно-аналитического решения таких задач.

Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается: корректной математической постановкой задачи; использованием при численном решении интегрального уравнения точного аналитического представления функции влияния; тщательным тестированием отдельных вычислительных модулей, реализующих алгоритм численного решения; - и подтверждается физической непротиворечивостью: поля распределения напряжений в каждой конкретной решенной задаче не содержат необъяснимых механических эффектов, а также совпадением картин распределения контактных напряжений в задаче для круглого штампа с полями, полученными ранее С.А. Кузнецовым на основе аналитического решения уравнения контакта.

Личный' вклад автора. Автор диссертации участвовал в разработке представленной в работе численной методики решения контактных задач, а также самостоятельно реализовал эту методику в виде компьютерной программы. Автору принадлежит постановка ряда новых контактных задач, их решение и анализ полученных результатов.

2009 г., 2010 г.) и «Научная и информационно-аналитическая база инновационного предпринимательства» (Казань, 2011 г.); объединенном семинаре кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета и Лаборатории механики оболочек НИИММ им. Н.Г.Чеботарева КФУ (Казань, 2011); международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» (Зеленодольск, 2011 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы имеются 11 публикаций, в том числе 2 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ: 1 статья в «Ученых записках Казанского университета» [41] и 1 статья в «Научно-техническом вестнике Поволжья» [42], а также 6 других статей [46-51] и 3 информативных тезисов докладов на международных и Всероссийских конференциях [43-45].

Структура диссертационной работы. Диссертация изложена на 101 странице, содержит 9 таблиц, 72 рисунка, список литературы включает 117 наименований. Работа содержит введение, 2 главы, раздел «Заключение» и список литературы. В главе I представлена постановка задачи и основное разрешающее уравнение. Проведено построение функции влияния для решения уравнения изгиба круглой пластины. Подробно описана численно-аналитическая методика решения двумерных статических контактных задач, а также ее применение в различных частных случаях. Приведены результаты численных экспериментов на сходимость расчетной схемы.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Заключение

Сформулируем основные результаты и выводы данного диссертационного исследования.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Егоров, Даниил Леонидович, Казань

1. Авджиева Т.Б., Георгиев М.Н., Николов Н.М. Контактное взаимодействие в паре «колесо - рельс» // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2010. - Т. 76. - № 8. - С. 54-57.

2. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций. М.: АСВ, 2000. - 152 с.

3. Айзикович С.М., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи для упругих оснований с функционально-градиентными покрытиями сложной структуры // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. - Т. 9., Вып. 4. - Ч. 2. - С. 3-8.

4. Александров В.М. Некоторые задачи для балок, пластинок и оболочек // Инж. журнал. 1965. - Т. 5, Вып. 4. - С. 782-785.

5. Александров В. М., Антонов В. К., Саламатова В.Ю. Осесимметричная контактная задача для упругого слоя с деформируемой накладкой // ПММ. 2008. - Т. 72, Вып. 2. - С. 322-327.

6. Александров В.М., Калякин A.A. Интегральные уравнения контактных задач для слоистого упругого полупространства // Вестн. МГУ. Сер. 1. -2005. -№3.~ С 67-69.

7. Александров В.М., Саламатова В.Ю. Контактная задача для полосовой накладки, взаимодействующей с упругим полупространством // ПММ. -2008. Т. 72, Вып. 4. - С. 678-680.

8. Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику контактных взаимодействий. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВР», 2007. - 114 с.

9. Аргатов И.И. Давление штампа с мелкозернистой границей на упругое основание // Прикладная механика и техническая физика. 2004. - Т. 45, №4.-С. 176-186.

10. Аргатов И.И., Дмитриев H.H. Основы теории упругого дискретного контакта. СПб: Политехника, 2003. - 233 с.

11. П.Артюхин Ю.П., Великанов П.Г. Метод аналогии A.B. Саченкова и непрямой МГЭ в решении задачи о больших прогибах ортотропных пластин и пологих оболочек // Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек. Казань, 2008. С. 22-24.

12. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Развитие метода граничных элементов в линейных и нелинейных задачах теории пластин и оболочек // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.З. -Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т, 1997. С. 3-9.

13. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. Казань: Фэн, 2002. - 199 с.

14. Артюхин Ю.П., Малкин С.А. Аналитические и численные методы решения интегральных уравнений в задачах упругого воздействия тел. -Казань: Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина, 2007. 292 с.

15. Артюхин Ю.П., Чумарина О.В. Контактная задача взаимодействия мембраны с жидкостью и штампом // Математическое моделирование и

16. Развитие контактных задач в СССР / Под ред. Л.А. Галина. -М.Наука, 1976.-493 с.

17. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехтеоретиздат, 1953. - 264 с.

18. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости при наличии износа // ПММ. 1976. - Т. 40.,Вып. 6. - С. 981 -986.

19. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоу пру гости. -М: Наука, 1980. 303 с.

20. Голованов А.И. Универсальный конечный элемент тонкой оболочки // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 25. Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т КНЦ АН СССР, 1990. - С. 66-83.

21. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: ДАС, 2001. - 301 с.

22. Голованов А.И., Сагдатуллин М.К. Нелинейная задача о гиперупругом деформировании полилинейного конечного элемента оболочки средней толщины // Известия учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. - № 4. - С. 39-49.

23. Грибов А.П., Столяров H.H., Куканов Н.И. Об одном алгоритме расчета пластин и пологих оболочек методом граничных элементов // Вестник УлГТУ. 2000. - № 2. - С. 47-54.

24. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Ортотропные пластины и пологие оболочки. Теория, методы решения краевых задач. Казань: Казанский государственный университет, 2002. - 112 с.

25. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004. - 424 с.

26. Кузнецов С. А. Неосесимметричная контактная задача для тонкой пластины, лежащей на упругом основании, при наличии износа // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1984. - № 17, Ч. II.-С. 96-103.

27. Кузнецов С. А. Статическое и динамическое контактное взаимодействие пластин и цилиндрических оболочек с жесткими телами // Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань, 1983. - 149 с.

28. Кузнецов С.А., Точкасова М.А. Контактное взаимодействие пластины и штампа при гармонических колебаниях // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2007. - Т. 36. -С. 125-128.

29. Кулиш Е.В. Методика экспериментального исследования нагрузочной способности прессовых полисоединений // Автоматизация и прогрессивные технологии: Труды V межотраслевой научно-технической конференции, Том I. Новоуральск: Изд-во НГТИ, 2007. - С. 136-139.

30. Кулиш Е.В., Турыгин Ю.В. Методика расчета прессовых полисоединений // Вестник машиностроения. 2007. - №9. - С. 9-11.

31. Кулиш Е.В., Турыгин Ю.В., Мага Д. Решение контактной задачи прессовых полисоединений. // Сборка в машиностроении и приборостроении. 2008. - №1. - С. 33-41.

32. Лукашевич A.A. Использование пошагового моделирования при решении задач с односторонними связями и трением кулона // Вестник ТОГУ. 2008. - №4 . - С. 127-138.

33. Максименко A.A., Котенева Н.В., Перфильева А.Д. Исследование нормальных напряжений при упругопластическом контактном взаимодействии // Ползуновский вестник. 2009. - № 1-2. - С. 264-266.

34. Малкин С.А. Решение контактных задач теории пластин и плоских негерцевских контактных задач методом граничных элементов // Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань: Казанский гос. ун-т, 2004. - 166 с.

35. Манжиров A.B., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: методы решения. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2000. -384 с.

36. Матвеев С.А., Зырякова С.А. Расчет плиты на упругом основании методом конечных элементов // Тезисы докладов II Международной научно-технической конференции "Автомобильные дороги Сибири". -Омск: Изд-во СибАДИ, 1998. С. 375-378.

37. Мехтиев А.И. Контактная задача для неодносвязной анизотропной полуплоскости // Естеств. и техн. науки. 2006. - №2. - С. 15-24.

38. Моссаковский В.И., Гудрамович B.C. Контактные задачи теории оболочек // Контактная прочность пространственных конструкций. Сб. статей. Киев: Наук, думка, 1976. - С. 3-40.

39. Мохель А. Н., Салганик Р. Л., Федотов А. А. Контактная задача теории упругости для полуограниченных тел с шероховатой границей при почти полном их контакте // Вестник Московского авиационного института. -2007. Т.14, № 4. - С. 119-126.

40. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

41. Неустроева Н.В. Контактная задача для упругих тел разных размерностей // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. 2008. -Т. 8, Вып. 4. - С. 60-75.

42. Кузнецов С. А. Неосесимметричная контактная задача для тонкой пластины, лежащей на упругом основании, при наличии износа // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1984.- № 17.-Ч. II.-С. 96-103.

43. Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н., Матюхин Ю.И., Хавин Г.Л. Задачи контаткного взаимодействия элементов конструкций.- Киев: Наук, думка, 1989. 232 с.

44. Пожарский Д.А., Чебаков М.И. Контактная задача о движущемся штампе при учете тепловыделения от трения // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. -2010,-№6.-С. 41-43.

45. Попов Г .Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 344 с.

46. Пыхалов A.A., Милов А.Е. Контактная задача статического и динамического анализа сборных роторов турбомашин. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2007. - 192 с.

47. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинатне, 1988.-284 с.

48. Саламатова В.Ю. Взаимодействие деформируемой накладки с напряженной полосой // Изв. РАН. МТТ, 2009. № 1. - С. 67-72.

49. Сегерлинд Л.Дж. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392 с.

50. Солдатенков И.А. Контактная задача для упругой полосы и волнистого штампа при наличии трения и износа // Прикладная математика и механика. 2011. - Т. 75, № 1. - С. 122-132.

51. Солодов Н.В., Шевченко А. В., Алеников М.В. Решение контактной задачи методом теории пластичности // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. -2005.-№ 10.-С. 474-477.

52. Тарасов В.В., Сивцев Н.С. Численное моделирование контакта шероховатых поверхностей // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2007. - № 1. - С. 160-165.

53. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1966. -626 с.

54. Ханян А.Г. Об одном методе решения периодических контактных задач для упругой полосы // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2008. - № 2. - С. 53-56.

55. Чумарина О.В. Контактные задачи взаимодействия мембраны сложной формы с жестким телом и жидкостью // Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань: Казанский гос. ун-т, 2001. - 149 с.

56. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М., JL: Гостехиздат, - 1949. - 270 с.

57. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Издательство «Наука», 1964. 344 с.

58. Archard J.F. Elastic deformation and the laws of friction // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1957,-V. 243, № 1233. - P.190-205.

59. Bezine G., Fortune D. Contact between plates by a new direct boundary integral equation formulation // Int. J. Solids and Struct. 1984. - V.20, №8. -P. 739-746.

60. Bowden F.P., Tabor D. The area of contact between stationary and between moving surfaces // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1939. - V. 169, № 938. - P. 391-413.

61. Greenwood J.A., Williamson J.B.P. Contact of nominally flat surfaces // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1966. - V. 295, № 1442. - P. 300-319.1011 ^M

62. Kratochuil J. Solution of contact problems for finite element method // Sta-vebn. cas. 1976. - V.24, № 5. - P. 380-389.

63. Masataka T. Introduction to boundary element method // J. Jap. Soc. Simulat. Technol. 1987. - V.6, №2. - P. 77-83.

64. Mochira M., Kamiwakida I. Numirical solution of plane stress problems by BEM // Kagoshima Techn. Coll. 1989. - №23. - P. 29-34.

65. Yagawa G., Hirayama H., Miyoshi A., Ando Y. Analysis of contact problem of shell structures using finite element method with penalty function // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1982. - A 48, №428. - P. 454-463.