Упругопластический удар массивного тела по прямоугольной пластине, лежащей на основании тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1.Постановка задачи удара по прямоугольной пластине.

§1.1. Интегральное уравнение Тимошенко в задаче удара по прямоугольной пластине.

§1.2. Различные модели местного смятия.

§1.3. Уравнения Тимошенко для различных моделей местного смятия.

Глава 2. Собственные колебания прямоугольной пластины для различных видов закрепления краев.

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Случай жесткого закрепления пластины по всему контуру.

§2.3. Пластина, у которой две смежные стороны жестко закреплены, а две другие шарнирно.

§2.4. Пластина, у которой две смежные стороны закреплены шарнирно, а две другие свободны от закреплений.

§2.5. Пластина, у которой две смежные стороны жестко закреплены, а две другие свободны от закреплений.

§2.6. Пластина, у которой все стороны свободны от закреплений.

Глава 3. Определение основных параметров удара для полупространства при различных моделях местного смятия.

§3.1. Модель жесткопластическая.

§3.2. Модель Герца.

§3.3. Упругопластическая модель.

§3.4. Модель Кильчевского.

Глава 4. Построение асимтотики основных параметров удара для бесконечной пластины при различных моделях местного смятия.

§4.1. Модель жесткопластическая.

§4.2. Модель Герца.

§4.3. Упругопластическая модель.

§4.4. Модель Кильчевского.

Глава 5. Численный анализ задачи удара массивного тела по прямоугольной пластине, лежащей на основании.

§5.1. Построение функции влияния для различных условий закрепления прямоугольной пластины.

§5.2. Метод численного решения.

§5.3. Собственные частоты колебаний жесткозакрепленной по контуру прямоугольной пластины.

§5.4. Собственные частоты колебаний прямоугольной пластины, у которой две смежные стороны закреплены жестко, а две другие шарнирно.

§5.5. Удар по бесконечной свободной пластине.

§5.6. Численная реализация задачи удара по пластине.

При эксплуатации многих современных сооружений, машин, механизмов и приборов возникает потребность в изучении ударных взаимодействий твердых тел. Многочисленные исследования показывают, что более 80% случаев выхода из строя машин и механизмов обусловлено процессом, происходящим в зоне контакта соприкасающихся твердых тел. Экспериментальные исследования ударных взаимодействий твердых тел связаны с большими материальными затратами. Теоретические решения позволяют сократить объем материальных вложений и определить рациональные границы экспериментальных исследований. В точной постановке задачи о неупругом соударении деформируемых тел приводят к нестационарным контактным задачам. Реальные материалы обладают сложным комплексом свойств и попытки учесть их все сразу делают решение задачи необозримым. В силу их сложности они решаются либо численно, либо приближенно. Исследование ударных процессов проводят по следующим основным направлениям:

1) изучаются внутренние закономерности процесса удара;

2) изучаются физико- механические свойства материалов в условиях динамического нагружения;

3) оценивается влияние импульсного нагружения на различные виды конструкций.

По указанным направлениям исследования проводятся как теоретически так и экспериментально. Первые работы в этой области принадлежат Галилею, Гюйгенсу, Валлису, Ньютону. Эти исследования опирались на модель абсолютно твердого тела. Но уже Ньютон видел несовершенство данной модели и ввел понятие коэффициента восстановления.

В 1850 году Кокс предложил элементарный способ определения динамических напряжений, возникающих в балке, находящейся под действием груза, падающего на балку с некоторой высоты. Идея метода заключается в приведении задачи о соударении упругих тел с бесконечным числом степеней свободы к задаче о соударении двух материальных точек или двух абсолютно твердых тел, движущихся поступательно. Расширение теории Кокса содержится в работе А. И. Маламента [125]. В 1882 году в работе "О контакте упругих тел" Герцем впервые была решена контактная статическая задача теории упругости и в квазистатической постановке исследована задача соударения упругих тел. Построение теории является квазистатическим в том смысле, что волновым движением принебрегается и считается, что для массивных тел деформация сосредоточена в зоне контакта, каждое тело движется со скоростью его центра масс. Согласно Герцу, зависимость между контактной силой и местным смятием имеет вид: а = константа к определяет физические и геометрические параметры тел в области контакта. Впервые были раскрыты внутренние закономерности процесса удара и определены основные характеристики: продолжительность удара, наибольшее значение силы контактного взаимодействия Ртах и местного смятия атах. В последующем изучение удара развивалось по двум направлениям: с одной стороны получила дальнейшие развитие классическая теория на основе модели абсолютного твердого тела, а с другой стороны делались попытки объединить классическое решение с волновым. В работе [188] Сире соединил подход Герца учета контактных деформаций и теорию Сен-Венана в расчете продольного удара стержней и получил результаты, хорошо совпадающие с экспериментом. История вопроса задачи поперечного удара по балке подробно изложена в [62]. В 1913 году С. П. Тимошенко перенес подход Сирса к расчету поперечного удара по балке. Он рассмотрел вынужденные колебания балки под действием упавшего на нее металлического шарика с учетом локального смятия в месте соприкосновения балки и шарика. Местное смятие было подчинено модели Герца. В результате С. П. Тимошенко удается вывести нелинейное уравнение, описывающее указанный процесс. Им же рыл предложен и численный метод решения этого уравнения. Громоздкий по тем временам метод решения указанной задачи широкого распространения в то время не получил. Однако решение этого уравнения показало возможность многократных соударений, пока не изменится знак скорости движения шарика. Данный факт впоследствии был проверен экспериментально. В дальнейшем появился ряд работ посвященных той же задаче, в которых авторы пытались с помощью различных упрощений и ограничений в теории Тимошенко получить уравнения, допускающие решение в общем виде. Вернигор В. Н. исследовал удар о балку на основе элементарной теории [31]. В работе [32] Вернигор В. Н. рассмотрел механические модели, хорошо апрок-симирующие поперечные колебания шарнирной и свободно закрепленной балок. Учет местного смятия ведется по теории Герца.

Полученное приближенное решение хорошо согласуется с решением Тимошенко. На основе модели "массивное тело на пружине" исследован удар по балке [21, 62]. Различные подходы к решению задач обусловлены, главным образом, скоростью соударения, физическими свойствами и геометрией тел, подверженных соударению. Сложность современных машин и механизмов требует разработки новых методов и уточнению старых теорий. Развитие теории квазистатического удара Тимощенко пошло по двум направлениям: уточнялось решение контактной задачи, исследовался удар по произвольным деформируемым системам (балкам,пластинам, оболочкам). В монографиях [99, 100] рассмотрены различные обобщения теорий Сирса, Герца и Тимошенко, связанные с применением интегрального преобразования Лапласа к уравнением динамики упругой среды. Основной недостаток рассмотренных методов обращения преобразования Лапаласа при помощи степенных рядов- это медленная сходимость полученных разложений. В [99, 100] в некоторых случаях удается сравнить результаты элементарных теорий с теорией Тимошенко.

В работе [53], на основе задачи наклонного удара абсолютно твердого цилиндра по упругому полупространству, предлагается метод решения плоских нестационарных контактных задач для гладких абсолютно твердых ударников и упругого полупространства. Решение основано на сведении задачи к системе функциональных уравнений с сингулярным оператором. В [54] рассматривается нестационарная контактная задача с изменяющейся областью контакта для тонкой цилиндрической оболочки и упругой полуплоскости. Для сверхзвукового этапа взаимодействия задача сведена к бесконечной системе интегродифференциальных уравнений относительно коэффициентов рядов Фурье разложения искомых функций. Вертикальный удар абсолютно жесткой сферы или цилиндра с заполнителем по упругому полупространству рассмотрен в [51]. В работе рассматриваются двумерные (осесимметрич-ная или плоская) нестационарные контактные задачи с подвижными границами для упругого анизотропного полупространства и ударника в виде абсолютно жесткой сферической (или круговой цилиндрической) оболочки с упругим заполнителем на сверхзвуковом участке взаимодействия. В. Д. Кубенко и В. Р. Богданов в [111] рассмотрели осесимметричную задачу удара оболочки об упругое полупространство. Авторы исследуют напряженно-деформированное состояние тонкостенной упругой сферической оболочки и упругого полупространства, возникающее в процессе их соударения. Рассматривается контактная задача с динамически изменяющейся областью контакта. Решение задачи основано на сведении исходных уравнений динамики системы оболочка-полупространство к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, проведена численная реализация задачи. В работах [115, 116] авторы исследуют ранний этап процесса ударного взаимодействия цилиндрического затупленного твердого тела достаточно общей формы с тонкой мембраной и тонкой упругой бесконечно протяженной пластиной конечной ширины, лежащих на поверхности сжимаемой жидкости.

В [49] рассматривается пространственная задача об ударе произвольным твердым телом о поверхность упругого полупространства. С использованием интегральных преобразований Фурье -Лапласа для начального этапа взаимодействия получены выражения для определения результирующих контактных сил и моментов. Осесимметричная задача об ударе жесткого тела по лежащей на поверхности сжимаемой жидкости тонкой упругой пластине исследована в [114]. В пределах области контакта тела с пластиной предполагается отсутствие явления отрыва поверхности тела от пластины и пластины от поверхности жидкости. Вне области контакта тела с пластиной предполагается равенство скорости нормальных перемещений срединной поверхности пластины и скорости деформирования поверхности жидкости. Движение пластины описывается уравнением динамики пластин на основе теории типа Тимошенко. В [67] рассматривается задача продольного удара. В упругом приближении решается осесимметричная задача о скользящем соударении стержня и бесконечной упругой пластины. Определяются контактные напряжения, волновое поле в пластине и время удара. Предполагается справедливость гипотез Кирхгофа для пластины, ее нормальные перемещения описываются изгибны-ми волнами, смещение стержня определяется продольной волной. Решение для контактных напряжений получено в квадратурах, зависимость напряжений от времени, а также времени удара от параметров задачи анализируется численно. В [71] асимтотическими методами нелинейной механики получены представления решения интегрального уравнения Тимошенко об ударе шара по стержню для всего спектра частот собственных колебаний стержня. Исследование удара шаром по круглой пластине методом интегрального соотношения С.П. Тимошенко, при учете местного смятия по модели Герца проведено в работе [149]. В [46] проведен численный анализ соударения разноплотных тел при ударе под углом. В задаче учитываются температурные эффекты, анализ проведен в рамках трехмерной теории несимметричного высокоскоростного контактного взаимодействия. В работах [123, 124] также исследуется удар при больших скоростях.

Корнеев А. И. и Николаев А. П. в [110] проводят расчет параметров рикошета при косом ударе упругопластического тела по жесткой преграде. В работе численным методом исследуется процесс рикошетирования деформируемых шара и цилиндра, материалы которых следуют модели сжимаемого упругопластического тела, от абсолютно жесткой преграды и строится простая аналитическая зависимость, связывающая угол и скорость отскока с углом и начальной скоростью удара. Теория Герца на случай более плотного касания тел была обобщена Штаерманом [173]. Зависи

2п мость местного смятия от контактной силы имеет вид: а = кР2п+1, при п — 1 соотношение переходит в зависимость Герца. В настоящее время в задачах используются различные уточнения решения Герца. При соударении тел действуют различные механизмы диссипации начальной кинетической энергии. Распространение упругих волн в той или иной мере имеет место при любом соударении тел и несет за собой минимальные потери, однако некоторая часть частиц будет слипаться в теле и реально, скорость отскока будет меньше скорости удара. В [187] изучаются потери излученной энергии за счет распространения упругих волн в случае соударения сферы с массивной подложкой. В [161] рассмотрен удар по балке с учетом сил инерции поворота и перезывания, а = кРп, с помощью метода, предложенного С. П. Тимошенко. Несмотря на общность данного подхода, инженерное использование его затруднено из-за аналитического определения параметров пик, так как даже при небольшой скорости удара, как правило, возникают пластические деформации, которые сильно затрудняют получение расчетных зависимостей. Н. А. Кильчевский систематизировал некоторые материалы, относящиеся к соударению упругих тел в [99, 100], и предложил упругопластическую модель местного смятия а = кР2/3 + фР. При статическом разружении а = кР2^+фРтах. к иф коэффициенты, характеризующие материалы соприкасающихся тел. Подтверждением линейной зависимости местного смятия от силы контактного взаимодействия при пластическом нагружении могут служить работы Н. Н. Давиденкова [62, 63], А. Ю. Ишлинского [81], Р. Шилдта [171]. Линейная зависимость при пластическом нагружении ипользуется в [42]. Получили широкое распространение эмпирические и полуэмпирические модели местного смятия в услових пластического удара, однако они не учитывают вытекание материала из под штампа [41]. Теория упругого удара Герца справедлива только при небольших скоростях, попытка учесть пластичекие деформации сделана в [177]. А. В. Крук и Д. Табор использовали для решения этой контактной задачи статический закон Мейера. Этот закон описывает проникание жестких сфер в плоские металлические поверхности и имеет вид [18]: Р = Nап, где Р-контактная сила, ЛГ, п- константы определяемые из эксперимента, а - радиус остаточного кратера.

В [4] решена задача о поперечном ударе груза по бесконечной балке с учетом деформаций в месте контакта. Метод решения основан на том, что теоретическая или экспериментальная зависимость между ударной силой и деформацией можно апроксими-ровать некоторой ломанной линией.

В работе [28] построен численный алгоритм расчета динамического контактного взаимодействия деформируемых тел с учетом трения Кулона. Приводятся результаты расчетов контактной задачи для упругопластического тела в двумерной постановке. В работах [153, 154] Тамуров Ю. Н., опираясь на работы [6, 94], рассматривает упругопластический удара шаром по трехслойной пластинке, лежащей на нелинейно-упругом основании, и по пластинке с физически нелинейным заполнителем. Решение задач представлено в виде функционального уравнения типа Тимошенко и графических зависимостей контактных сил. В [29] решается задача о поперечном ударе изотропным шаром по анизатропному полупространству. Работа [140] посвящена численному моделированию нестационарных термоупругопластических процессов, инициированных контактным взаимодействием осесимметричных или прямоугольных тел. Анализ численной информации позволил выявить основные закономерности напряженного и кинематического состояния многослойной плиты с полостями при ударе деформируемого индентора в форме цилиндра или прямоугольного бруса. В [142] исследуется появление ударных волн при ударе жесткого штампа по полупространству. Решение задачи удара жесткого штампа по полупространству получено методом "распада разрыва" Годунова в [159]. Осесимметричная контактная задача рассматривалась авторами в [79, 81, 171]. Усилиями авторов был разработан метод для решения задачи предельного равновесия произвольного выпуклого осесимметричного штампа в тех случаях, когда форма поверхности жесткопластического полупространства вне зоны контакта задана. В [79, 81] найдено, что изменение среднего давления до под пологим штампом мало. Царюк Л. Б. в [169] исследовал внедрение осесимметричного штампа в пластическое полупространство и изменение формы свободной поверхности пластической среды в процессе внедрения. Для пологого штампа с помощью предложенного метода можно в замкнутом виде определить изменение формы свободной поверхности. В работе [86] с помощью этого метода получено решения осесиммитричной контактной задачи идеальной пластичности с учетом вытекания, асимтотически точное решение для пологого штампа. Приведенный расчет показывает, что неучет вытекания материала из под штампа, может приводить к 20% погрешности решения. В [95] для исследования соударения жесткопластических тел вращения используется жесткопластическая модель местного смятия. В [85] жесткопластическая модель используется при расчете удара по бесконечной пластине.

В [133] получены общие выражения для определения основных параметров удара. Задача решена методом переменного масштаба. В [102, 103, 104] исследуется напряженно деформируемое состояние замкнутых упругих цилиндрических оболочек. Контактная задача падающего тела с оболочкой описывается при помощи уравнения С. П. Тимошенко на основе модели Герца местного смятия. В работах получены аналитические решения для нормальных кривизн замкнутой бесконечно длинной цилиндрической оболочки при импульсной нагрузке. С. А. Зегжда в [75, 78, 76, 77] исследовал упругий удар стержней, цилиндров, колец и кольца по балке. Удар при низкой скорости исследовался в [192]. В работе, на основе квазианалитического метода, проведен анализ динамического импульсного отклика упругой пластинки в ответ на удар летящей из пневматической пушки упругой пули. Пуля производит нормальный удар по жесткозакрепленной по двум противоположным сторонам границы. При помощи решения Буссинеска и преобразования Лапласа получена зависимость контактной силы пули и пластинки от времени. Проведено сравнение аналитических формул на основе теории Герца, с результатами данного подхода и с результатами эксперимента. Полученная формула лучше удовлетворяет экспериментальным данным. В [134] автор рассматривает поперечный удар массивного тела по тонкостенному стержню открытого профиля, имеющего одну ось симметрии, при различных условиях закрепления краев. Ищется функция влияния и на ее основе строится полное решение задачи с учетом локальных деформаций. В [189] проведены исследования задачи о соударении вертикально падающего шара с алюминиевой квадратной пластиной с поперечным сечением в виде "гребенки". Проведен анализ влияния анизотропии пластины и ее реблистой структуры на указанные величины, их теоретические значения подтверждены электрическими и оптическими методами.

Большое практическое значение представляет обобщение теории удара на нелинейный случай, так как формоизменение и деформации материала могут быть большими, в угловых точках деформации и напряжения в линейной теории неограничено растут. При осевом ударе конусом по поверхности упругое решение может быть реализовано только при угле развертки конуса близкого к 180°, при других значениях угла решение линейной теории имеет большою погрешность. Упругопластический удар двух тел одно из которых коническое рассмотрен в [84]. Однако класс нелинейных задач, решаемых в рамках нелинейной теории упругости сильно ограничен [2, 175]. Активно развиваются методы численного анализа процесса удара , такие как метод конечных разностей [178] и метод конечного элемента [184], граничных интегральных уравнений [168]. Использование этих численных схем вместе с классическими подходами позволило решить многие задачи пробивания [47, 128, 147, 150, 172, 176], проникания [10, 57, 58, ИЗ, 114, 155, 190, 191], внедрения [3, 106, 107, 126, 110]. В работе [186] разработан метод сосредоточенного параметра в задачах соударения. В [9, 65] при решении задач наклонного удара, рикошета [27, 57] реализуются различные численные схемы. Большое накопление экспериментального материала в [34], [65] позволило сделать некоторые качественные выводы: скорость деформирования материалов несущественно влияет на модуль упругости. Значительнее она влияет на предел текучести и прочности. Наиболее интенсивно динамический предел текучести увеличивается по сравнению со статическим при скоростях удара до 10 м/с. При последующем увеличении скорости интенсивность роста предела текучести падает. Метод определения динамического предела текучести материала на основе эксперимента Тейлора по соударению короткого цилиндрического стержня с жесткой стенкой отражен в работах [25, 180, 183]. Много работ посвящено упругому удару в негерцевской постановке. В [26] рассмотрен контакт и соударение двух упругих тел, растояние между поверхностями которых определяется произвольной положительно-однородной функцией. Явные решения не находятся, но делаются качественные выводы, в частности сделаны качественные выводы о теории местного смятия Герца. Исследования волновых процессов при нормальном упругом ударе шариков о толстые плиты проводятся в [185]. Вопросам распространения ударных волн посвящены работы [105, 139]. В [120] решена задача об ударе твердой сферы о массивную упругопластическую преграду , автор приводит метод расчета коэффициента восстановления скорости при ударе, времени соударения и максимальной деформации и нагрузки. А. И. Родионов в [141] изложил постановку удара твердого тела, имеющего сферическую поверхность контакта по упругому полупространству отличную от постановок Герца и Кильчевского, исходя из основных положений и уравнений теории упругости. В [86] в рамках теории Тимошенко рассматривается удар двух упругопластических неупрочняющихся тел. Решение задачи определяется статической контактной задачей, которая дает зависимость контактной силы Р от местного смятия а и уравнением движения тел под действием силы Р. Из этого уравнения определяется P(t). В задачах идеальной пластичности местное смятие растет монотонно с ростом силы контактного взаимодействия. Если P(t) меньше максимально достигнутого значения Ps(t) = sup P(t), величина а остается посто

0<т <t янной и равна a(Ps). При чисто пластическом смятии в отличии от упругопластического при постоянном местном смятии а может изменятся как угодно на отрезке 0 < P(t) < Ps(t). Это может привести к обстоятельствам , осложняющим реализацию численных методов. Приводится пример удара массивного пластического тела по бесконечной пластине, решение показывает, что процесс нагрузки может продолжаться бесконечно долго. В [86] также рассмотрены случаи динамического нагружения бесконечной пластины при ударе тела , имеющего в окрестности точки касания параболическую или коническую форму. Результаты работы [6] легли в основу работы [91]. Модель, предложенная в [6, 8], использовалась при расчете удара по бесконечным пластинам , лежащих на упругих основаниях различного типа [87, 88, 89, 90, 92, 143, 144, 145], по конечной жесткозакрепленной и свободноопертой прямоугольной пластинам в [13, 93] и по цилиндрической оболочке [94]. В [80] рассматривается влияние нелокальных динамических эффектов, возникающих при соударении двух одинаковых тел, на коэффициент восстановления. X. Ф. Кангур и И. Р. Клейс в [96] описали метод определения коэффициента восстановления при ударе и провели эксперименты в широком диапазоне скоростей, сравнили полученные результаты с расчетами по теории Герца. И. Г. Кадомцев в работе [83] провел сравнение своей модели, предложенной им в [82] с результатами опытов Кангура и Клейса, выяснилось, что эта теория лучше других сходится с опытными данными. Как и в [6, 8], на основе гипотез исходная задача о сжатии упругопластических тел сводится к комбинации упругой и жесткопластической задач. В явном виде построена зависимость местного смятия от силы контактного взаимодействия, являющаяся обобщением зависимостей из [6, 8] на случай более плотного касания и неквадратичного зазора между телами, учитывающая вытекание материала из под штампа.

Теория удара находит свое применение в задачах удара груза об лед. Существует несколько подходов в описании этого процесса. В [162] описываются общие, а [118] местные деформации ледяного покрова при ударе массивногго тела. Удар сферического тела об лед исследовался как теоретически, так и экспериментально в работах [69, 163, 164, 165, 166, 167].

Из приведенного обзора литературы следует, что задаче упруго-пластического удара по плитам, лежащих на различных основаниях, посвящено достаточно много работ. Исследуемая тема занимает далеко не последнее место в механике твердого тела. Вопросы, затрагиваемые в данных работах, могут найти широкое применение в технике. Некоторым вопросам удара по пластинам посвещена данная диссертация. Работа изложена в четырех главах.

Метод решения задачи упругопластического удара по пластине основан на нахождении динамической функции Грина, которая зависит от вида уравнения для движения точек пластины и от граничных условий для контура пластины. Чтобы найти функцию влияния, на первом этапе нужно рассмотреть задачу собственных колебаний пластины при различных условиях закрепления краев. Однако задача собственных колебаний пластины широко освещена в литературе только для определеного класса граничных условий, а именно, когда хотя бы две противоположные стороны прямоугольной пластины свободно оперты, но, как показывает практика, этим не исчерпывается все многообразие граничных условий. Глава 1 посвящена постановке задачи удара по прямоугольной пластине. Показан вывод интегрального уравнения Тимошенко. В 1.1-1.3 проводится обезразмеривание уравнения Тимошенко и приводятся различные модели зависимостей местного смятия от контактной силы. В главе 2 находятся и исследуются собственные колебания пластины для различных типов закрепления краев. Определение собственных частот колебаний прямоугольной пластины жесткозакрепленной по всему контуру представляет значительный интерес и до сих пор находились приближенно. С достаточной точностью это было сделано в работах С. Игуши [161]. В [161], используя метод Ритца, предложена система функций точно удовлетворяющим граничным условиям, но не ортогональных, решение прогиба пластины берется в виде двойного ряда по этим функциям и полученный двойной ряд подставляется в уравнение движения точек пластины; полученное выражение раскладывается в двойной ряд Фурье по синусам. Решением статических задач жесткозакрепленного контура занимался Тимошенко С. П. [158] . Решение Тимошенко основано на сведении решения задачи шарнирного опирания с ненулевыми моментами на краях пластии ны к задаче жесткого закрепления по всему контуру. Иенгар К. и Нарасимхан К. в [181] предложили решение статической задачи жесткозакрепленной пластины, основанное на использовании нормальных форм колебаний для балок, защемленных по краям. Функции и их четвертые производные ортогональны на отрезке [—1,1]. Вторые производные от этих функций раскладываются в ряд по этим функциям. Метод хорошо работает для задач устойчивости и может быть применим для нахождения собственных частот колебаний пластины. Голоскоков П.Г. в [43] для решения бигар-монического уравнения жесткозакрепленной по контуру пластины предложил использовать ортогональные полиномы Якоби. В. М. Даревский [60] предложил новый метод решения статических задач для жесткозакрепленной прямоугольной пластины, лежащей на основании Винклера. Функции получены комбинированием степенных и тригонометрических функций. Видно, что данный метод может быть применен для решения динамических задач с жесткозакрепленными по контуру прямоугольными пластинами. Однако, кроме решения бесконечной системы, для этого потребуется обратное численное преобразование Лапласа; ясно, что данный метод решения громоздкий и практически трудно применим. В представленной работе, наряду с известными ортонормированны-ми балочными функциями, удовлетворяющим условиям жесткого закрепления сторон, приводится вывод 7 различных ортонорми-рованных семейств функций, удовлетворяющих жесткому закреплению краев пластины и выражающихся через полиномы Геген-бауэра от эллиптических функций Якоби. Также приводится построение функции, выраженной через логарифм от произведения эллиптических дельта функций Якоби, которая также удовлетворяет условиям жесткого защемления краев и ортонормирована на указанном отрезке. Для новых и балочных функций считаются несколько первых частот. Полученные частоты сравнивается с приведенными в [161] и подсчитанными с помощью метода конечного элемента программой ANS YS. На примере балочных функций показана регулярность определителя для нахождения собственных частот. Тем самым показана обоснованность подхода первого приближения или диагональной асимтотики в определении частот. В 2.3 настоящей работы рассмотрен тип закрепления краев, когда два смежных края жестко закреплены, а два других шарнирно. Дан вывод четырех новых семейств ортонормированных функций, удовлетворяющих условим закрепления. Кроме этого приведены балочные ортонормированные функции, удовлетворяющие закреплению краев указанного типа. Проведено сравнение полученных собственных частот на основе новых и балочных функций с частотами, приведенными в [161], и с частотами, подсчитанными с помощью метода конечного элемента программой ANS YS. Показана возможность использования диагональной асимтотики.

В 2.4-2.6 предложен метод нахождения функций, удовлетворяющих свободному закреплению двух смежных краев пластины, для уравнения вида:

A2W-üj2W = у) (*)

Суть метода состоит в представлении функции прогиба в виде: ш/ \ ^ л fR м Мх д2ит{х) д2ип(у)\ W{x, у) = 2J Ат,п Вит{х)ип(у) Н--w I' (**) m,n=l V Öx J

21

Um(x) - (fim{x) + Pm(x), ^^ = k^fm(x) pm(x) -балочная функция, удовлетворяющая соответствующим граничным условиям. Рто(:с)-полином степини s < 8. Степень полинома определяется количеством поставленных граничных уравнений. 5-константа, выбираемая произвольно. Двойной ряд (**) подставляется в уравнение (*), левая и правая часть уравнения раскладывается в ряд по ортонормированной системе функций фт{х)ч>п{у)• Из полученной системы уравнений можно определить коэффициенты Ат.п разложения (**). Определитель этой системы, приравненый нулю, является уравнением относительно üj для нахождения собственных частот колебаний пластины. Определив коэффициенты Ат^п в разложении (**), можно выписать динамическую функцию Грина. В главах 3 и 4 для различных моделей местного смятия строятся асимтотики решения задачи удара по полупространству и бесконечной пластине. По данным асимто-тикам находятся основные параметры удара для рассмотренных моделей. Глава 5 посвящена построению динамической функции Грина задачи удара по прямоугольной пластине. Находятся сила контактного взаимодействия пластины и индентора Р = P{t). Считаются основные параметры удара по прямоугольной пластине при различных моделях местного смятия и различных условиях закрепления краев. Строятся графики этих зависимостей. Результаты диссертации докладывались на II, III, IV, VI международных конференциях в г. Ростове-на-Дону. На семинарах кафедры теории упругости в Ростовском госуниверситете в 1995-1999г. Часть результатов диссертации отражено в работах [14, 13, 15, 16, 17, 93].

В соместной работе [93] И. Г. Кадомцевым, С. А. Рухленко и диссертантом был проведен анализ упругопластического удара по прямоугольной пластине шарнирно закрепленой по всему контуру. В работах [14, 15] И. Г. Кадомцевым и диссертантом рассмотрена задача колебаний жесткозакрепленной по контуру прямоугольной пластины. Диссертантом предложен приближенный метод нахождения собственных частот. Указанный выше приближенный подход был применен для нахождения собственных частот прямоугольной пластины, у которой две смежные стороны закреплены жестко, а две другие шарнирно в [16]. В [13] диссертантом совместно с И. Г. Кадомцевым, которому принадлежит постановка задачи, был исследован упругопластический удар по прямоугольной пластине жесткозакрепленной по контуру при различных моделях местного смятия (модель Герца, модель Кильчевско-го, упругопластическая модель). В [17] было предложено семейство ортогональных функций удовлетворяющее условиям закрепления прямоугольной пластины, когда две смежные стороны закреплены жестко, а две другие шарнирно. Анализы полученных результатов в указанных работах в равной степени принадлежат обоим авторам.

Автор выражает глубокую признательность И. Г. Кадомцеву за оказанную помощь и внимание к работе.

Заключение

Итак, сформулируем основные результаты, полученнные в предложенной работе.

1. Для жесткого закрепления пластины по двум противоположным сторонам получено параметрическое семейство полных ортогональных функций, выраженных через ультрасферические функции Гегенбауэра от эллиптических функций Якоби, удовлетворяющих условиям закрепления. Определитель системы, составленный из указанных выше функций, имеет простой вид и распадается на определители по четным и нечетным индексам. Более того, в силу сильной регулярности системы, аналитическая диагональная ассимтотика ее близка к решению системы. Также получено параметрическое семейство ортонормированных функций, выраженных через функции Бесселя и модифицированные функции Бесселя 1-го рода, удовлетворяющие условиям жесткого закрепления по всему контуру. С помощью полученных функций были подсчитаны собственные частоты. Из указанных семейств выделены ортогональные функции, доставляющие минимум функционалу, приближенно определяющему собственные частоты для колебаний прямоугольной пластины. Сравнение полученных частот с известными решениями и расчетами с помощью комплекса АЫБУЗ показывает их незначительное расхождение.

2. Для закрепления пластины, когда две смежные стороны закреплены жестко, а две другие шарнирно получено параметрическое семейство полных ортогональных функций, выраженных через функции Бесселя. Из этого семейства выделены ортогональные функции, доставляющие минимум функционалу, приближенно определяющему собственные частоты для колебаний прямоугольной пластины. Проведено сравнение приближенного подхода определения собственных частот пластины с аналитическим, показана его высокая эффективность.

3. На базе указанного приближенного подхода были получены приближенные собственные функции и частоты для задачи колебаний пластины. Это дало возможность построить с достаточной степенью точности приближенную динамическую функцию влияния в явном виде и перейти к задаче упругопластического удара для указанных закреплений. Данный подход значительно облегчил исследование процесса удара.

4.Показано, что используемые в инженерных расчетах модели Герца и Кильчевского имеют крайне узкий диапазон применимости по скоростям соударения.

5. Для решения уравнения колебаний прямоугольных пластин с различными граничными условими, был разработан метод определения функций, удовлетворяющих произвольным условиям закрепления краев. В основе метода лежит представление функции прогиба в специальном виде, состоящем из комбинации балочных и степенных функций, точно удовлетворяющему условиям закрепления краев.

6. В результате исследования упругопластического удара массивного тела по прямоугольной пластине с различными условиями закрепления краев (шарнирное закрепление по контуру, жесткое закрепление по контуру, две смежные стороны закреплены жестко, а две другие шарнирно), а также с упругопластическим ударом по полупространству и бесконечной свободной пластине было выявлено, что неучет условий закрепления краев может приводить к значительным погрешностям.

7. Для бесконечной свободной пластины при использовании моделей местного смятия Герца, Кильчевского и упругопластической модели методом малого параметра в системе дифференциальных уравнений была построена асимготика для нахождения основных параметров удара.

8. Построенные в работе параметрические семейства ортогональных функций могут найти применение в задачах, где, изменяя параметр, можно получать хорошее приближения в функционалах, возникающих при решении различных уравнений математической физики.

1. Абрамовиц М. , Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, 1979. -830 с.

2. Агапов И. Е., Белогорцев А. М., Буренин А. А., Резунов А. В. Автомодельная задача об одномерном соударении двух полупространств из нелинейно- упругого материала // ПМТФ. -1989. -N 6. -с. 146 -150.

3. Агафонов А. В. Учет вязкости при дозвуковом внедрении твердого тела в изотропные преграды // ПМТФ. -1989. -N 6 . -с. 146-150.

4. Александрина Н. И. Поперечный удар груза о бесконечную балку // Моск. авиац. ин-т. -М., 1984. -13 с. -Деп. в ВИНИТИ 6.07.84 г., N 4814-В84.

5. Александров В. М. Контактное взаимодействие упругих тел с учетом зон локального разрушения. // Изв. РАН. МТТ. -1997. N 1. -с. 34-38.

6. Александров В. М., Кадомцев И. Г., Царюк Л. Б. Осесимме-трические контактные задачи для упругопластических тел// Трение и износ. 1984. Т.5. N1. С.16-26.

7. Александров В. М., Пожарский Д. А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. -М.:Изд-во " Факториал", 1998. -288 с.

8. Александров В. М., Ромалис Б. Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Наука, 1986. 174 с.

9. Бабицкий В. И. Теория виброударных систем (приближенные методы).- М.: Наука, 1978. -352с.

10. Багдаев А. Г., Ванцян А. А., Григорян М. С. Исследование особенности напряжений в анизатропной пластической среде при проникании конуса // Изв. АН Арм. ССР. Мех. -1989. -Т. 42, N 4. -с. 52-57.

11. Багреев В. В. Упругопластический удар массивных тел. // Труды МИИТ, 1964, вып. 193, с. 53-70.

12. Багреев В. В. К расчету изгибающего удара по бесконечным балкам и плитам на упругом основании // Изв. АН СССР. МТТ. -1966. -Т. 4. -с. 185-188.

13. Барановский Г. К, Кадомцев И. Г. Свободные колебания жесткозакрепленной прямоугольной пластины//Современные проблемы механики сплошной среды. Труды III Международной конференции, г.Ростов-на-Дону, МП "Книга", 1997, Т1, с.35-40.

14. Барановский Г. К., Кадомцев И. Г. Свободные колебания жесткозакрепленной прямоугольной пластины// Изв. РАН. МТТ. -2000. ^ 3. -с.170-178.

15. Барановский Г. К, Кадомцев И. Г. О некотором семействе ортогональных функций.//Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VI Международной конференции, г.Ростов-на-Дону.Издательство СКНЦ ВШ , 2001, Т2, с.36-40.

16. Батуев П. С., Голубков Ю. В., Ефремов А. К., Федосов А. А. Инженерные методы исследования ударных процессов. -М.: Машиностроение, 1977. -240 с.

17. Бахвалов Н. С. Численные методы. -М. : Наука, 1975. -632 с.

18. Бивин Ю. К. Косой удар твердого тела о грунт или воду. // Изв. АН СССР. МТТ. -1989. ^ 6. -с. 185-189.

19. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. -М: Высш. школа, 1980. -408 с.

20. Бейтмен Г. , Эрдейи А. Высшие трансендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М. Наука, 1965. -296 с.

21. Бейтмен Г. , Эрдейи А. Высшие трансендентные функции. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены М. Наука, 1965. -296 с.

22. Бейтмен Г. , Эрдейи А. Высшие трансендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука 1967. -300 с.

23. Богомолов А. Н., Горелъский В. А., Залепугин С. А., Хорее И. Е. Поведение тел вращения при динамическом контакте с жесткой стенкой // ПМТФ. -1986. -N 1. -с. 161-163.

24. Бородин Ф. М. Подобие в задачах контакта упругих тел. // Прикл. мат. и мех. -1983. -Т. 47. -с. 519-521.

25. Буланцев Г. М., Корнеев А. И., Николаев А. П. О рекошети-рование при ударе /Том. ун-т. -Томск, 1983. -16 с. -Деп. в ВИНИТИ 1.12.83 г., N 6443-В83.

26. Бычек О. В., Садовский В. М. К исследованию динамического контактного взаимодействия деформируемых тел. // ПМТФ., 1998., Т. 39., N 4.

27. Варданян В. В., Саркисян В. С. О поперечном упругом ударе изотропным шаром по анизатропному телу. / / Прикладная механика., 1970. т. 6, N 3, -с. 129-131.

28. Ваксман С. М., Курбацкий Е. Н. Определение контактной силы при интенсивном поперечном ударе по бесконечной балке. // Изв. ВНИИ гидротехн. -1986. -191. -с. 107-111, 118.

29. Вернигор В. Н. Исследование поперечного удара тела о балку на основе элементарной теории //Прикладная механика. -Л., 1977. -Вып. 3. -с. 103-109.

30. Вернигор В. Н. Приближенные модели балки при поперечном ударе //Прикладная механика. -Л., 1977. -Вып.З. -с 110-115.

31. Вилкова Г. А., Садырин А. И. К методике решения задач соударения упроугопластических тел //Прикладные проблемы прочности и пластичности. -1981. -с. 14-19.

32. Виноградов В. Н., Сорокин Г. М., Албагачиев А. Ю. Изнашивание при ударе. -М.: Машиностроение, 1982. -192с.

33. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. -М.: ГИФМЛ, 1960, -452 с.

34. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. -М.: Наука, 1967. -984 с.

35. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. -М.: Го-стехтеоретиздат, 1953. -264 с.

36. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязко-упругости. -М.: Наука, 1980. 304 с.

37. Галин JJ. А. Упругопластические задачи. -М.: Наука, 1984. -232с.

38. Голъдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяе-мых тел. -М.: Стойиздат, 1965. -448с.

39. Голъдсмит В. Удар и контактные явления при средних скоростях //Физика быстро протекающих процессов. -М.: Мир, 1971. -Т. 2.-е. 151-203.

40. Голоскоков П. Г. О вариционном методе Л. В. Кантаровича в задачах изгиба пластин//Тр. Ленинрадского ин-та вод. транспорта, вып. 140, 1973г., с. 80-88.

41. Гордиенко Б. А. Ударное выпучивание упругих систем // Изв. АНН СССР. МТТ. -1971. -N 4. -с. 109-115.

42. Горелъский В. А., Зелепугин С. А., Платова Т. М., Хорее И. Е. Численное исследование задачи контактирования плоских тел с пластиной при нессиметричном нагружении //Механика деформируемого твердого тела. -Томск, 1988. -с. 44-49.

43. Горелъский В. А., Зелепугин С. А., Сидоров В. Н. Численный анализ соударения разноплотных тел при ударе под углом. // Изв. РАН. МТТ. 1999. N 3. с. 45-54.

44. Горелъский В. А., Радченко А. В., Хорее И. Е. Кинетический механизм процесса пробивания двухслойных пластин / Изв. АН СССР. МТТ. -1988. -N 6. -с.185-189.

45. Горшков А. Г, Тарлаковский Д.В. Динамическая контактная задача для круговой цилиндрической оболочки и упруговогополупространства //Прочность пластин и оболочек при комбинированных воздействиях.-М., 1987. -с. 16-25.

46. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Результирующие реакции в пространственой задаче об ударе твердым телом по упругому полупространству //Изв. АН. СССР. МТТ. -1987. -N 5. -с. 9598.

47. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Динамические контактные задачи для абсолютно жестких тел и упругого полупространства //М.: Издательство МАИ. 1989. -48 с.

48. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Вертикальный удар абсолютно жесткой сферы или цилиндра с заполнителем по упругому полупространству. //Изв. РАН. МТТ. -1998. -N 5. -с. 98105.

49. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Удар цилиндрической оболочки по упругому полупространству.// Тр. XVI Гагаринских научных чтений по космонавтике и авиации, Москва, 1986, М., 1987. с. 165.

50. Горшков А. Г, Медведовский А. JI., Тарлаковский Д. В. Наклонный удар абсолютно твердого цилиндра по упругому полупространству.// Изв. РАН. МТТ. 1994. N 1. с. 27-37.

51. Горшков А. Г, Тарлаковский Д. В., Федотпенков Г. В. Плоская задача о вертикальном ударе цилиндрической оболочки по упругому полупространству. //Изв. РАН. МТТ. 2000. N 5. с. 151-158.

52. Градштейн И. С. , Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.:Физматгиз, 1962.

53. Гриднева В. А., Шахтмейстер Л. И. Исследование удара под углом методом "крупных частиц" //Вопр. мех. и прикл. мат. -Томск, 1983. -с.85-90.

54. Гулидов А. И. Численное моделирование отскока упругопла-стических тел в трехмерном случае // Числ. методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 7 Всес. конф. Миасс, 1-3 июля, 1981. -Новосибирск, 1982. -с. 71-79.

55. Гулидов А. И., Фомин В. М., Яненко Н. Н. Численное моделирование проникания тел упругопластическом приближении // Проблемы, мат. и мех. -Новосибирск, 1983. с. 71-81.

56. Гуссейн-Заде М. И. Удар по бесконечной пластинке, лежащей на упругом жидком полупространстве // Докл. АН СССР. -1957. -Т. 113, N 3. -с. 523-526.

57. Даревский В. М. Об одном методе решения уравнений с частными производными//Дифференциальные уравнения, 9, том IX, N 9.с. 1661-1672, 1973.

58. Даревский В. М. Изгиб прямоугольной пластинки со свободными краями, лежащей на упругом основании. //Изв. РАН. МТТ. 1997. N 6, с. 79-90.

59. Давиденков Н. Н. Об ударе груза о балку // АНН УССР. Ин-т строит, механики. Сб. трудов N 11. -К., 1949. -с. 73-82.

60. Давиденков Н. Н. Динамические испытания металлов. Д., М.: Глав. ред. лит-ры по черн. металлургии. -1934. -394 с.

61. Двайт Г. В. Таблицы интегралов и другие математические формулы. -М.: Наука, 1983 .-176 с.

62. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. -М.: Мир, 1989, -510 с.

63. Динник А. Н. Удар и сжатие упругих тел. -К.: Киев. Политехи, ин-т, 1909. -108 с.

64. Долматова Н. Г., Кожевников Е. Н. Контактные напряжения при осевом ударе упругого стержня об упругую пластину. // Изв. РАН. МТТ. 1996. N 6. с. 144-150.

65. Дьяконов В. П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах. -М.: Наука, 1989, -464 с.

66. Епифанов В. П. Разрушение льда при контактных взаимодействиях // Изв. АН СССР. МТТ. -1986. -N 6. -с. 177-185.

67. Жалнин В. А., Ивлев Д. ДМищенко В. С. О вдавливание кольцевого штампа в пластическое полупространство // ПМТФ. -1961. N 6. -с. 153-154.

68. Заика А. П., Слоновский Н. В. Об асимтотических представлениях решения интегрального уравнения Тимошенко теории поперечного удара. // ПММ. , Т. 57., вып. 4., 1993.

69. Запорожец В. В. К расчету изгибающего удара груза по пластине, лежащей на упругом основании / Днепропетр. инж.строит, ин-т. -Днепропетровск, 1986. -20с. -Деп. в Укр. НИИН-ТИ 25.09.86 г., N 2328 -Ук87.

70. Запорожец В. Б. К расчету изгибающего воздействия движущегося груза на пластину / Днепропетр. инж. -строит, ин-т. -Днепропетровск, 1987. -12 с. -Деп. в Укр. НИИНТИ 30.06.87 г. N 1780-Ук87.

71. Заппаров К. И., Кукуджанов В. Н. Решение нестацилнарных задач динамики упругопластической среды методом подвижных сеток // Числ. метод в механике тв. дефор. тела. -М., 1984. -с. 65-86.

72. Зегжда С. А. Приблеженная теория соударения стержней // Изв. АН СССР. МТТ. -1975. N 5. -с. 158-160.

73. Зегжда С. А. Соударение колец //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. -1986. -Вып. 1. -с. 77-83.

74. Зегжда С. А. Соударение кольца и балки // Прикл. мех.- Л., 1988. ^ 7. -с. 58-77.

75. Зегжда С. А. , Филиппов Н. Г. О соударении цилиндров вдоль их образующих // Вестн. Ленинрад. ун-та. Сер. 1. -1986. -Вып. 3. -с. 58-62.

76. Ивлев Д. Д., Непершин Р.И. Внедрение гладкого сферического штампа в жесткопластическое полупространство // Изв. АН СССР. МТТ. -1973. ^ 4. -с.159-166.

77. Ичишина Д. И., Чечелъницкая Е. Ф., Стоименов Л. Г. О влиянии поверхностных волн, вызванных ударом на коэффициентвосстановления. // Теор. и прикладная мех. 5 Нац. конгр., Варна, 23 -29 сент., 1985. Докл. Кн. 3. -София, 1985. -с. 60 -65.

78. Ишлинский А. Ю. Осесимметричная задача пластичности и проба Бринеля// ПММ. -19944. -Т. 8. Вып. 8. -с. 201-222.

79. Кадомцев И. Г. Модель местного смятия осесимметричных упругопластических тел с неквадратичным зазором //Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки. -1988. ^ 3. -с. 73-76.

80. Кадомцев И. Г. Определение коэффициента восстановления при упругопластическом соударении тел. // Изв. РАН. МТТ. 1991. N 6. с. 89-91.

81. Кадомцев И. Г. Осесимметричное упругопластическое соударение двух тел, одно из которых коническое. // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1990. N 4. с. 50-54.

82. Кадомцев И. Г., Кадомцева Е. Э. Определение прогибов пластины при пластическом ударе. //Исследование по расчету пластин и оболочек. -Ростов-на-Дону, 1986. -с. 53-57.

83. Кадомцев И. Г., Ковалъчук В. Е., Царюк Л. В. Теория удара С.П. Тимошенко при пластическом местном смятии //Труды 12 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, том 2. -Ереван: Издательство Ереванского университета, 1980. -с. 191-197.

84. Кадомцев И. Г., Рухленко С. А. Исследование функциии Грина в задаче удара массивного тела по бесконечной пластине, лежащей на жидком полупространстве // Исследование по расчету пластин и оболочек. Ростов-на-Дону, 1987. -с. 23-27.

85. Кадомцев И. Г., Рухленко С. А. Упругопластический удар массивного тела по бесконечной пластине, лежащей на жидком полупространстве / Ростовский университет. -Ростов-на-Дону, 1988. -23с. Деп. в ВИНИТИ 05.04.88 г., N 2589-В88.

86. Кадомцев И.Г., Рухленко С.А. Упругопластический удар тела по плавающей ледяной плите// Выездн. засед. по совр. про-бл. теории конт. взаимодействий, Ереван, 28 нояб.-2 дек., 1988: Тез. докл. -Ереван: Издательство АН Арм. ССР, 1988. -с. 66-68.

87. Кадомцев И. Г., Рухленко С. А. К теории удара С.П. Тимошенко /Ростовский университет. -Ростов-на-Дону, 1989. -12с. -Деп. в ВИНИТИ 16.10.89 г., N 6305-В89.

88. Кадомцев И. Г., Рухленко С. А. Удар массивного тела по бесконечной пластине, лежащей на жидком полупространстве, с учетом контактных явлений //Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки. -1989. ^ 3 -с. 22-29.

89. Кадомцев И. Г., Барановский Г. К., Рухленко С. А. Упругопластический удар массивного тела по прямоугольной пластине// Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки. -2000. -К 3. -с. 68-71.

90. Кадомцев И. Г., Фрейгейт М. Р. Упругопластический удар массивного тела по цилиндрической незамкнутой оболочке //Тр. 14 Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек, Кутаиси, 20-23 окт., 1987. Т. 2. -Тбилиси,1987.-е. 9-14.

91. Кадомцев И. Г., Царюк Л. Б. Соударение жестких тел вращения //Расчет оболочек и пластин. -Ростов-на-Дону, 1978. -с.189-194.

92. Кангур X. Ф., Клейс И. Р. Экспериментальное и расчетное определение коэффициента восстановления скорости при ударе // Изв. АН СССР. МТТ. -1988. -К 5. -с.182-185.

93. Кандауров В. И., Петров И. Б., Холодов А. С. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую преграду // ПМТФ. 1984. N 4, с. 132-139.

94. Каримов И. М. Аналитическое решение задачи о проникании ударника в полупространство // Физ. -техн. пробл. разаб. полезных ископаемых. -1983. -К 1. -с. 59-63.

95. Килъчевский Н. А. Теория соударений твердых тел.Л-М: Го-стехиздат, 1949. 255 с.

96. Килъчевский Н. А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар.К.: Наук, думка, 1976. 315 с.

97. Колесников Ю. В., Морозов Е. М., Суслов А. Г. Механика контактного взаимодействия. Киев: Наукова думка, 1989. 224 с.

98. Колодяжный А. В., Скоблик И. И. Локальное импульсное неосимметричное деформирование упругой цилиндрической оболочки // Пробл. машиностр. -Киев, 1987. -N 28. -с. 3-6.

99. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. -М.: Из-е иностр. лит., 1955. -192 с.

100. Кондауров В. И., Петров В. И. Численное исследование процесса внедрения жесткого цилиндра в упругопластическую преграду // Числ. методы в мех. тв. деформ. тела. -М., 1984. с. 115-132.

101. Кондауров В. И., Петров В. И., Холодов А. С. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую преграду // ПМТФ. -1984. -N 4. -с. 132139.

102. Коренев Б. Г. Ввведение в теорию бесселевых функций. -М.: Физматгиз, 1971. -288 с.

103. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.М.: Наука, 1984. 832 с.

104. Корнеев А. И., Николаев А. П. Расчет параметров рикошета при косом ударе упругопластического тела по жесткой преграде. // Изв. АН. МТТ. 1990. N 2. с. 140-144.

105. Кубенко В. Д., Богданов В. Р. Осесимметричная задача удара оболочки об упругое полупространство. // Прикладная механика, 1995, т. 31, N 10. с. 56-66.

106. Кубенко В. Д., Богданов В. Р. Плоская задача удара об упругое полупространство. // Прикладная механика, 1995, т. 31, N 6. с. 78-85.

107. Кубенко В. Д., Гавриленко В. В. Осесиммтеричная задача проникания тонких упругих сферическиих оболочек в сжимаемую жидкость //Прикл. мех. -1988. -Т. 24, N 4. -с. 63-74.

108. Кубенко В. Д., Гавриленко В. В. Осесимметричная задача об ударе жесткого тела по лежащей на поверхности сжимаемой жидкости тонкой упругой пластине. // Прикладная механика, 1991, т. 27, N 5.

109. Кубенко В. Д., Гавриленко В. В. Плоская задача об ударе твердого тела по лежащей на полупространстве сжимаемой жидкости тонкой мембране. // Прикладная механика, 1991, т. 27, N 4. -с 38-45.

110. Кубенко В. Д., Гавриленко В. В. Плоская задача об ударе жесткого тела по лежащей на поверхности сжимаемой жидкости тонкой упругой пластине. // Прикладная механика, 1991, т. 27, N 9. -с 59-65.

111. Кубенко В. Д., Попов С. Н. Плоская задача удара жесткого затупленного тела по лежащей на полупространстве сжимаемой жидкости тонкой мембранне. // Прикладная механика. -1988. -24, N 7. -с. 69-77.

112. Курдюмов В. А., Хейсин Д. Е. Гидродинамическая модель удара твердого тела о лед. // Прикл. механика. -1976. -т. 12, N 10. -с. 103-109.

113. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М: Высшая школа, 1965. -424с.

114. Ланков А. А. Проблема подобия при деформировании упру-гопластических сред сферой. Удар. /Калин, политех, ин-т. -Калинин, 1987. -175с. -Деп. ВИНИТИ 10.07.1987. N 4948 -В87.

115. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. Москва, 1951, -432с.

116. Лурье С. А. Изгиб прямоугольной ортотропной пластинки, защемленной по контуру// Изв. АН СССР, МТТ, 1982, N1, с.159-168.

117. Малама Ю. Г. Численное моделирование высокоскоростного удара по полубесконечной мешени // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. -1982 . -N 2. -с. 119-125.

118. Малама Ю. Г. Численное моделирование высокоскоростного удара при различных соотношениях плотностей ударника имишени // Физ. горения и взрыва. 1984. -т. 20, N 4. -с. 117121.

119. Маламент Л. И. Исследование поперечного удара с учетом упругопластического характера местной деформации металла./ / Вестник Военно-инженерной академии Красной Армии, N 29, 1940.

120. Меньшиков Г. П., Одинцов В. А., Чудов Л. А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту // Изв. АН. СССР. МТТ. -1976. -N 1. -с. 125-130.

121. Милейко С. Т. Феноменологическая модель пробивания // ПМТФ. -1981. -N 5-с. 140-142

122. Найда А. А. Оценка параметров разрушающих импульсных нагрузок для прямоугольных и круглых пластин / / Прикладная механика. -1982. -18, N 1. -с. 86-92.

123. Нестеренко В. В. К теории поперечных колебаний балки Тимошенко С. П. //ПММ., Том 57, вып. 4, 1993., -с. 83-91.

124. Николаенко Н. А. Удар по пластинке, лежащей на упругом основании // Сб. "Исследование по динамике сооружений", ЦНИИСК, вып. 1. -М.: Госстойиздат, 1961.

125. Никольский С. М. Курс математического анализа т1. М.: Наука, 1990.

126. Островерхое Н. П. Соударение упругопластических тел произвольной конфигурации в зоне контакта // Динамика мех. систем. -Киев, 1983. -с. 107-115.

127. Панов В. В. Удар сосредоточенной массы по тонкостенному стержню моносимметричного профиля // Изв. вузов. Ст-во и архит. -1989. -N11. -с. 45-50.

128. Писаренко Г. С. , Яковлев А. П. , Матвеев В. В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наукова Думка, 1988.-736с.

129. Пискунов В. Г., Федоренко Ю. М. Колебания слоистой плиты на упругом основании от сосредоточенного удара //Сопротивление материалов и теория сооружений. -Киев, 1981. 39. -с. 13-16.

130. Полоэюий Г. Н. Уравнение математической физики. Москва: Издательство "Высшая школа", 1964. -560 с.

131. Попов С. Н., Богданов В. Р. Вертикальный удар цилиндрической оболочки об упругое полупространство.// Деп. в ВИНИТИ 12.11.91., N 4260-В91.

132. Рахматулин X. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных и кратковременных нагрузках. -М.: Физматгиз, 1961. -399 с.

133. Римский В. К. Удар цилиндрического или прямоугольного индентора по термоупругопластической плите с полостями / / Изв. АН СССР. МТТ. -1987. -N 3. -с. 111-117.

134. Родионов А. И. О системе уравнений, описывающих удар твердого тела по упругому полупространству //Динамика мех. систем. -Новосибирск, 1981. -с. 159 -175.

135. Росихин Ю. А. Удар жесткого штампа по упругому полупространству // Прикл. мех. -К.,1986. -Т. 22, N 5. -с. 15-21.

136. Рухленко С. А. Упругопластический удар массивного тела по равномерно растянутой бесконечной пластине, лежащей на винклеровском основании / Ростовский университет. -Ростов-на-Дону, 1989. -10 с. -Деп. в ВИНИТИ 16.10.89. г., N 6306 -В89.

137. Рухленко С. А. Упругопластический удар по бесконечной пластине, лежащей на упругом жидком полупространстве // Числ. и аналит. методы решения задач строит, механики и теории упругости. -Ростов-на-Дону, 1989. -с. 65-74.

138. Рыжов Э. В., Колесников Ю. ВСуслов А. Г. Контактирование твердых тел при статических и динамических нагрузках. -Киев: Наук, думка, 1982. -172 с.

139. Сагомонян А. Я. Динамика пробивания преград. -М: Изд-во МГУ, 1988. -221 с.

140. Сагомонян А. Я. Удар жесткопластическим усеченным конусом по абсолютно твердой плоскости // Вестн. МГУ. Мат., мех. 1988. -N 4. -с. 37-45.

141. Слоновский Н. В., Заика А.П. Исследование удара шаром по круглой пластине методом интегрального соотношения С. П. Тимошенко. //Прикладная механика, 1993., Т. 29. , N 9.

142. Степанов Г. ВКоваленко А. В. Неупругий прогиб круглой пластины локальным импульсным давлением // Пробл. прочн., 1988. -N 4. -с. 29-31.

143. Степанов Г. В., Харченко В. В., Гурский В. Н., Улъченко А. М. Локальная деформация в тонких стальных пластинах при пробое // Пробл. прочн. -1988. N 10. -с. 69-73.

144. Смелянский В. А. Методика и экспериментальное исследование контактного удара. // Изв. АН СССР. МТТ. -1988. -N 3. -с. 175-178.

145. Тамуров Ю. Н. Упругопластический удар шаром по трехслойной пластинке с физически нелинейным заполнителем. //// Изв. РАН. МТТ. -1991. -N 3. -с. 127-133.

146. Тамуров Ю. Н. Упругий удар по трехслойной панели на нелинейно-упругом основании. // Материалоемкость и расчеты современных деталей машин. М. : ВЗПИ, 1987. -с. 13-21.

147. Тарлаковский Д. В. Вертикальный удар абсолютно твердой сферы с заполнителем по упругому полупространству / / Расчет на прочность и оптимизацию проектирования элементов авиационных конструкций -М., 1998. -с. 41-46.

148. Тарлаковский Д. В. Плоская задача об ударе цилиндрической оболочки по упругому полупространству. // Тр. 14 Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, Кутаиси, 2023 окт., 1987 г. Т. 2. Тбилиси, 1987. с. 471-476.

149. Тимошенко С. П.Колебания в инженерном деле. -М.: Наука, 1967. -444 с.

150. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки. М. : 1948. -460 с.

151. Утебаев М. Н. Численное решение нестационарной задачи о штампе на упругом полупространстве методом "распада разрыва" /Ред. ж. "Вест. АН КазССР". -Алма -Ата, 1986. -Юс. -Деп. в ВИНИТИ 14.08.86 г., N 5788-В86.

152. Федоров М.В. К расчету гибких упругопластических круглых пластинок под действием динамических нагрузок / Саратов, 1988. -22 с. -Деп. в ВИНИТИ 17.02.88 г., N 1283-В88.

153. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М. : Машиностроение, 1970. -736 с.162. it Хейсин Д. Е. Динамика ледянного покрова. -JL : Гидроме-теоиздат, 1967. -215с.

154. Храпатый Н. Г. Механизм разрушения ледяного покрова при ударе // Изв. вузов. Стр-во и архит. -1981. -N 12. -с. 104-109.

155. Храпагпый Н. Г., Березовский А. А. Неупругое соударение твердого шара со льдом //Гидротехн. сооруж. -Владивосток, 1981. -с. 80-84.

156. Храпагпый Н. Г., Березовский А. А. Внедрение твердого тела в лед // Труды Аркт. и Антаркт. НИИ. -1984. -Т. 386. -с. 55-62.

157. Храпатый Н. Г., Березовский А. А. Об ударе со средними скоростями // Гидротехн. сооруж. -Владивосток, 1985. -с. 5660.

158. Храпатый Н. Г., Цуприк В. Г. К вопросу расчета бесконечных плит на упругом основании на удар с учетом контактных явлений // Гидротехника и гидравлика. -Владивосток: Из-е Дальневост. ун-та, 1976. -Вып. 1. -с. 41-54.

159. Царюк Л. Б. О вдавливании выпуклого осесимметрично-го штампа в жестко-пластическое полупространство. -Изв. СКНЦ ВШ. -Ростов-на-Дону, 1973. -К 4. -с.89-92.

160. Чубаренко Б. В. Численное решение динамических задач теории упругости при воздействиях, описываемых во времени дельта-функцией Дирака // Соврем, вопр. мех. сплош. среды в геосейсм. исслед. -М., 1987. -с. 100-104.

161. Шилдт Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии //В кн.: Механика. -1957. -N 1. -С. 102-122.

162. Шитиков А. В., Еремеев А. ЛОдинокое В. И. Динамическая задача пробивки сферической оболочки абсолютно жестким цилиндром // Задачи мех. тв. тела и прогресс, процессы обраб. мет. далением. -Свердловск, 1987. -с. 51-70.

163. Штаерман И. Л. Контактная задача теории упругости. М. : Гостехиздат, 1949. -270 с.

164. Янке Е. , Эмде Ф. , Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. -344 с.

165. Ястребов В. П. Автомодельные задачи динамического осе-симметричного изгиба нелинейно-упругих пластин // ПМТФ. -1989. -N 5. -с. 128-135.

166. Duffey Т. A., Cheresh М. С., Sutherland S. Н. Experimental verification of scaling laws for punch-impact-loaded structures // Int. J/ Impact Eng. -1984. -V. 2, N 1. -p. 103-117.

167. Crook A. W. A Study of some impacts between Metal Bodies by a Piezoelectric Method // Proc. Roy. Lond. a. 212. 1952., pp. 377-390.

168. El-Raheb M., Wagner P. Wave propagation in a plate after impact by a projectile. //J. Acoust. Soc. Amer. -1987. v. 82, N 2. -p. 498 -505.

169. Hardy C., Baronet C. N., Tordion G. V. The elastic-plastic indention of a halt-space by a rigid sphere. // -International

170. Journal for Numerical Methods in Engineering, 1971, 3, pp. 451462.

171. Hutchings I. M., O'Brien T. J. Normal impact of metal projectilies against a rigid target at low velocites // Int. J. Mech. Sci. -1981. -v. 23, N 5. -p. 187 -192.

172. Iyengar K. T. S. , Narasimhan K. D. Buckling of rectangular plates with clamped and simply supported edges. Publications de L' Institut Mathematique, Nouvelle serie, 1965, v. 5 (19), pp. 161-165.

173. Inoue H., Shibuja H., Koizumi T., Fukuchi J. Measurement of impact force applid to a plate by the deconvolution method // XnxaKaii K3Hca, Journal NDI. -1988. -v. 37, N 2, -p. 188-189.

174. Jones S. E., Gillis Peter P. On the equalition of motion of the undeformed section of a Taylor impact specimen // J. Appl. Phys. -1987 . -v. 61, N 2. -p. 499 -502.

175. Jeng S. T., Goldsmith W., Kelly J. M. Effect of target bending in normal impact of a flat-ended cylindrical projectile near the ballistic limit // Int. J. Solids and siruct. -1988. -v. 24, N 12. -p. 1243-1266.

176. Koller M. G. Elastic impact of spheres on sandwich plates //ZAMP. -1986. -B. 37, N 2. -s. 256 269.

177. Lee Y., Hamilton J. F., Sullivan J. W. The lumped parameter method for elastic impact problems // Trans. ASME: J. Appl. Mech. -1983. -V. 50, N 4. -P. 823-827.

178. Reed J. Energy losses due to elastic wave propagation during an elastic impact. //J. Phys. -1985. -У. 18, N 12. -p. 2329 -2337.

179. Sears J. E. On longitudinal impact of metal rods with rounded ends. // Trans. Cambridge Philos. Soc., 1912., v.21, N 2, p. 49.

180. Streubel Reinhard The transvers impact on orthogonally stiffened plates, a simplified theory verified by optical methods. // Proc. Int. Conf. Exp. Mech., Beijing, Oct. 7-10, 1985. -Beijing, 1985. -p. 485 -490.

181. Woodward Raymond L. Penetration of semi-infinite metal targets by deforming projectiles // Int. J. Mech. Sci. 1982. -V. 24, N 2. -p. 73-87.

182. Wridth T. W. A survey of penetration methanics for long rods // Lect. Notes Eng. -1983. 1983. -N 3. -p. 85 -106.

183. Zhang Tao, Wang Duo. Study of impact on elastic plates with low velosity. // Харбин гун'е дасюэ сюэбао, J. Harbin Inst. Thechnol. -1989. -N 2. -p. 18-24.