Упругопластическое соударение тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

'?5 Г;-5 3?

министерство науки, высшей школы и технической политики российской федерации

московский институт электронного машиностроения

На правах рукописи

КАДОЩЕВ Игорь Григорьевич

УДК 539.3

УАРУГШЛАСТИЧЬХИОЕ СОУДАРЕНИЕ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 1992

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета Ростовского госуниверситета

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - член-корр. РАН, доктор физико-математических наук, профессор В.А.БАБЕШКО

- доктор физико-математических наук, профессор Б.Е.ШБВДЕЯ

- доктор физико-математических наук, профессор Л.А.ТОЛОКСННИКОВ

Ведущая организация: Институт Проблем Механики ?АН.

Защита диссертации состоится " 1 ^ " \JJ~z %_1992 р.

часов на заседании Специализированного Совета Д 063.68. ( * при Московском институте электронного машиностроения по адресу: 109028, Москва, Малая Пионерская ул., дом 12/3, ауд._.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИШ, Б.Вузовский пер., 3/12.

Ученый секретарь Специализированного совета Д 003.68.01 МИШ, доцент

З.М.Яганов

Актуальность исследования неупругого соударения определя-одной стороны практическими потребностями современней техники, а с другой - необходимостью теоретического объяснения наблюдаемых экспериментальных результатов.

Трудно указать какую-либо область техники, где бы ударже нагрузки не оказывали влияния на работоспособность маикн и конструкций.

Многочисленные исследования показывают, что более 8С/. случаев выхода из строя машин, механизмов и устройств обусловлено процессами, происходящими в зон контакта соприкасающихся твердых тел. Следует отметить, что экслеринентальные исследования ударных процессов сиязаны с большими материальными затратам, в то ремя как теоретические решения позволяют намного сократить их объем и обоснованно . гределить рациональную программу экспериментов.

В общей постановке задачи о неупругом соударении деферми-■ руемых тел, приводят к нестационарным контактны... задачам. Реаль- . ные. материалы обладают сложным- комплексом свойств и попытки учесть-их все сразу, чрезвычайно усложняем решение задачи. Это обстоятельство щ :велок интенсивному развитию численных методов решения задач удара. Однако, зачастую необходимая информация может быть получена при помощи достаточно простых моделей.

л

Цель исследования.- Разработка аналитических и аналитико-численных методов исследования неупругого соударения тел, заключающееся в построении достаточно простой, но в то же время адекватно отражавшей реальные процессы, мс"эли местного смятия в упругопластической контактной задаче и исследовании на базе этой модели процесса соударения упругопластических тел в диапазоне малых и средних скотэостей.

Научная новизна. Разработан метод, позволяющий при некоторых введенных допущениях с достаточной точностью построить аналитические решения упругопластической контактной задачи для параболического, конического степенных штампов.

На базе этих решений исследуется соударение упругопластиче с-ких массивных тел; удар массивного тела по свободной пластине, а так же по пластине, лежащей на различных основаниях: винкле-ровском безынерционном и инерционном, жидком полупространстве; удар массивного тела по сферической и цилиндрической оболочке.

Сравнение с ии-естными экспериментальными данными показывает, что теория удара, построенная на базе полученных решений, дает результаты, которые, в отличие-от других известных приближенных теорий, хорошо совпадают с экспериментальными данными в достаточно широком диапазоне скоростей соударения.

Практическое значение состоит в том, что разработанная теория мскет быть использована при расчете и конструировании инструментов и деталей мапг ч, исп-лтывающих ударш э нагрузки, в кехан-лке контактного разрушения. Решение упругопластических контактных задач может служить теоретической базой для дальнейшего совершенствования методов испытаний на твердость и определения основных характеристик материалов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались: на выездных^ заседаниях секции механики к.онтактнг: взаимодействий Межведомственного научного совета по трибологии при АН СССР, ГКНТ СССР и союзе НИО СССР ( Дрогобыч, 1984; Волгоград, 1986; Луцк, 1987; Ереван, 1988; Днепропетровск, 1989; Ростов-на-Дону,1990), П-1У Всесоюзных конференциях "Смешанные задачи механики твердого деформируемого тела" С Днепропетровск, 19.81; Харьков, 1985; Одесса, 1989): ХП и Х1У Всесоюзных конференциях по теории оболо-.

чс : и пластин ( Ереван, 1980; Кутаиси, 1987), У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механики ( Ташкент, 1986), на ряде республиканских и региональных конференций, а так?хе на семинарах: кафедр механики композитов и теории пластичности МГУ, кафедры теории упругости ЛГУ, межвузовском семинаре кафедры математического моделирования физико-механических систем МИЭМ; на семинаре ИПМ АН СССР по механике сплошной среды под рук. акад. 1 Арм.ССР Н.Х.Арутюняна и семинарах кафедры теории упругости Ростовского государственного университета под рук. акад. РАН Воро-вича И. И.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 работы. В автореферате приведен список 20 основных работ, отражают™ содержание диссертации.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 252 наименований и приложения, включающих 8'таблиц?-и 3? рисунков. Общий объем диссертации ¿76 м£>с$иц.

содержание работы

Во введении дана характеристика диссер1ационной работы, обоснована актуальность исследуемых задач, поставлена цель, приведен обзор литературы, связанной с темой диссертации, изложено краткое содержание.

Отмечается, что классическая теория квазистатического удара -упругих тел была заложена в работах Г.Герца, а волновая - в работах Г.Сен-Венаиа и Я.Буссинеска. Сире и С.П-Тимошенко объединили эти две теории рассмотрели задачи продольного и поперечного удара по стержню. Дальнейшее развитие этого подаода связано с работа-

ми В.Л.Бидермана, В.Гольдсмита, Н.Н.Давиденнова, А.Н.Динник?. К.А.Ккльчезскогс и других исследователей.

В большинстве рабст по квазистатическому удару считается, что местная деформация определяется из решения Герца или И.Я. Етаермака. - . • •

Исследованию упругого удара в негерцевской постановке посвящены работы £Л/1.Бородича, . М.Г.Горшкова, В.Д.Кубенко, Ю.А. Россихина, Д.А.Тарлаковского и других авторов.

3 сбп;ей постановке задача соударения тел приводит к исследованию сложных нестационарных краевых задач. Значительные дости-жекуя в отой области связаны с работами-В.М.Александрова,. В.А. Ьабешко, З.В.Болотина, Л.М.Бреховских, Н.М.Бородачева, И.И.Во-рсвича, А.Г.Горшкова, С.С.Григоряна,* Э.И.Григолюка, А.Н.Гузя, -И.А.КиГжо, В.Д.Кубенкс, В.Н.Кукуджанова, М.А.Лаврентьева, А.И. Лурье, Г.И.Петрашеня, Б.Е.Победой, В.Б.Поручикова, А.Х.Рахма тулина, В.Н.Сеймева, А.Я.Сагоманяна, Л.Е.Тсвстика, Л.А.Толокон-к.жоза, И.Г.Филиппова и другк. авторов. . •

Теории удара, использующие решение упругой контактной зада- -чи, и;:еют существенное ограничение по скорости. Так при ударе закалеигогм шариком радиуса I см по стальной детали уже при скорости 1 см/с появляются пластические деформации, а при скорости л0 см/с они оказывают заметное влияние на характеристики удара и решение, основанное ка теории Герца, рас. эдится с экспери-гентсм. Попытки учесть пластические.деформации в квазистатической тесрии удара предпринимались многими исследователями. Получили . пирокое распространение эмпирические и полуемпг^ические зависимости местного смятия от силы контакта., модель Н.А.Кильчевского. Сдиако, частые расхождения теоретических и экспериментальных дач-кях 1\чьух;дз.эт исследователей.ударных процессов базироваться преж-

де всего на экспериментальной основе.

В первой главе рассматриваются статические контактные задачи для упругопластического полупространства и на базе этих решений исследуются задачи соударения массивных тел.

В § I решается контактная задача для параболического штампа. Для получения аналитического решения принимается система гипотез, обоснованность которых подтверждается тем, что построенное решение хорошо согласуется с известными экспериментальными данными и численными решениями. Полученная зависимость между местным смятием cU и силой контактного взаимодействия Р для параболического штампа имеет вид

• В p3/i ; Р<> P(i) = Р*

Jr è

ai ~BfP2'*+ Jf(P*)-t p< P* ;

I.

рде b = З/СЮТ* 'Г c - à ¿"С*Е)"

Ъ ~ ) . £ = огку

Здесь P{ - контактная сила, начиная с которой в построенном решении начинают учитываться пластические деформации, R - радиус кривизны штампа, к = - пластическая константа материала,

у »5,7 в случае отсутствия трения между тэлами; р. характеризует вытекание материала из под штампа в процессе его внедрения ( для параболического штампа yS «0.33). Если ££ сила, начиная с которой появляются пластические деформации, то

Р<«18.6Р0

(I)

Р*> Рл Р*> Р,

Зависимость (I) сравнивается с известными численными решениями и другими моделями. Полученные результаты геометрически интерпретируются следующим образом. На плоскости

среднее давление под штампом, прямые I и П ( см.рис.1) соответствуют упругому и жесткопластическому решению. Кривая Ш получена численным решением сеточным методов упругопластической контактной задачи и ее можно считать точным решением. Она заметно отличается от ломаной X и П только в окрестности точки X < , соответствующей силе Рл . Сравнение с результатами экспериментов так же показывает, что заметнее отклонение вертикальных перемещений происходит именно в окрестности точки > Это совпадение

свидетельствует о том, что описанная модель хорошо отражает реальное поведение упругопластических материалов в процессе нагру-жения.

г

ш

х

Во многих случаях пластические деформации значительно превосходит упругие и на активной стадии удара последними можно пренебречь. В этом случае соударяющиеся тела можно считать жест-копластическими. В § 2 рассматривается более общий случай контактной пластической задач'-, а именно, когда зазор между телами является монотонно возрастающей функцией

дг-Е Агл

В этом случае зависимость С /' / имеет вид

сю и/2

«¿(Р) = £ Л„ Л» (я-р) р 1

Здесь коэффициенты, определяемые численно.

Таблица•I

(2)

I 1.5 • 2- 4 6 . 8 • 10 12 о=>

А»» 0.78 0.71' ,0.67 0.57 0.53 ' 0.51 0:50 0.49 . 0.45

Для штампа

г

- А г*

основные характеристики удара получены в явном виде

лак * На. ■*

/«■а*

'/г V

Р-, = л 1

2 Д <1-2 $

(3)

=

J

■л$

Из соотношений (3) видно, что отождествление глубины лунки с местным смятием ( ДЛ<=1) приводят в полуэмпирических теориях к погрешностям в определении основных параметров удара. Для сферического штампа ( ft ¡=2) эта погрешность равна 18%.

В § 3 рассмотрен упругопластический удар, получены уравнения для определения , Т . Численно расчитывались примеры известных экспериемнтов из книги Г.С.Батуева и др. "Инженерше методы исследования ударных процессов". Значения f^ten и Т, вычисленные с использованием моделей Герца, Кильчевского, жестко-пластической и упругопластической приведены в таблице 2. Сравнение приведенных результатов показывает, что теория упругоплас-тического удара, построенная на модели (I), дает значения, которые в отличие от других теорий хорошо совпадают с экспериментальными. Как видно из таблицы, при- » Р , хорошие результаты дает модель жесткопластического тела и основные характеристики удара легко определить по простым формулам. Для параболического

-I д

штампа 2 =0.5"/? X они имеют вид: 2 __, П f/A.

р [ »21*51? ] , м)

и о.е? v

г rmfz 0. 7 -г- -Я*o^w,,^

ой из важных характеристик процесса соударения тел является эффициент восстановления. В § 4 на базе построенной модели эеделяется коэффициент восстановления £ и теоретические зультаты сравниваются с экспериментальными данными других ав-зов. Коэффициент восстановления определяется тремя способами, рь первого заключается в том, что.на этапе внедрения упругие [юрмации не учитываются, а разгрузка определяется второй фор-юй зависимости (I). В этом случае для коэффициента восстанов-ш получена явная формула

_//«> ¿ís -ff2 S-/2 -i/i/

• fi = ¿57? m- R В -<ГТ 1С (5)

!сь ftl . - приведенная масса, E - приведенный модуль Юнга, I - приведенный радиус кривизны, G"r - наименьший предел участи, lf0 - относительная скорость сближения. Затем £ годится другим способом, определяя упругую энергию, накоплен-' ) в процессе внедрения. Решение получается.в эллиптических ин-'ралац перврго ,и второго рода. Третий способ численный. Все три гения дают ¿л'изкиё результаты и хорошо совпадают с результатами, яенриыентов.

В 5 б рассмотрено соударение упруг опластиче.скюс тел, одно которых коническое. Поетроет статическая. зависимость пругопластической задаче дяя конического штампа, которая имеет

i . . • .

¿ - С РГ) c^ ^f ^i^^^tl^^^ (6)

f - угол раствора коцус». Покавано, что для реальных: коничес-штаыпов пластические деформации нукно учитывать при любых .В отом случае основные характеристики удара вычисляются

по простым формулам

, ^ г /Л . 2

= ( f) ;

Сравнение экспериментальных данных и теоретических, посчитанных по формулам (7), показывает их хорошее совпадение. В § 6 построена упрутопластическая зависимость &¿ ( Pj для штампов вида

п *n i •

2 =г Лп г ; п> {

и получено уравнение для определения Ртах . В § 7 проведено исследование продольного удара по стержню. Показано, что решение с использованием зависимости (I) дает результаты, отличающиеся от экспериментальных та 2-6%, в товремя как теория Сирса, построенная на упругой модели Герца, дает завышенные значения

Р1У на 20-30%, а теория^ построеннаята упругопластическо{ модели Н.А.Кильчевского, дает заниженное значение ^V«* на 30-

Во второй главе диссертации рассмотрены задачи удара по .. свободной бесконечной пластине, а также по пластине, лежащей на винклеровском безынерционном и инерционном основании и на жидком полупространстве. j 8 посвящен исследованию пластической нормального удара тела по свободной пластине. (Читается, что общие перемещения пластины упругие, а местные, в зоне контакта -. жесткопластичеекие. В случае параболического штампа решение получено в явной форме, в смд^чае конического штампа, получены асю птотические решения, • которые хорошо стыкуются с численными. •

В § 9 рассмотрен упругопластический удар массивного тела по свободной пластине. Решение исходной задачи удара сводится к решению нелинейного интегрального уравнения относительно силы контактного взаимодействия Ъ

2 (8)

где - ускорение свободного падения, - функция влия-

,ния, то есть перемещение пластины в результате воздействия единичного' импульса

. Определив из

С8) РИ) , можно

найти перемещение тела 2- и пластины V

■ в (9)

V (I) ^[г, = | р: Щ / (I - г)

В случае бесконечной свободной пластины .

1(1) - (ЯЗгуУ; ^ , ■

где - плотность материала, к - толщина,'

- цилиндрическая жесткость пластины. Делается замена переменных

I « Кь I ; г = ; ог* ; ; Р -- к, Р

К^у.Сп.с)') с-ъЫ (10)

суть которой эаклшается в отношении парамэсровудара к их значениям при жесткопластическоы ударе по полупространству. Если от-

цустять надчерки над перемвн>"э!ми, то в безразмерном виде исхо, ная задача сводится к решению следующей системы

' t I

f ^т - i РШ1

«С Л

I - *

v = <зг 5 ) с

о

¿ = Pz * SUP

с* * 2.ri/lP + P) : ;>«'>,■ Я>П

где Лв /> /К, ; сг Г m > & \ £ ^'

- нормированная функция влияния. Проведено численное исследование удара тела по свободной плао тине. Результаты численного анализа приведены на рисунках 2,3 Основные характеристики удара даны в зависимости от а при pi личных С . Иэ рисунков видно, что при малых д на этапе нагружения с малой погрешность!) можно использовать решение же копластическопо удара, В $ 10 строятся приближенные решения ® дач жесткопластического удара. § II посвящен исследованию здц чи удара по бесконечной пластине, лежащей на винклеровском упругом и инерционном основании. С помощью преобразования Лапла строится и исследуется динамическая функция Грина, которая npi t = 0 имеет вид .

А* ; • ¿V * к,/-( ¿ър) • ,

Здесь ( ) - функция Бесселя нулевого порядка, Кв и К', коэффициенты упругости и инерционности винклеровского основания. Строятся приближенные решения,' дается оценка их эффективности. Приведен оделенный анализ задачи.

В § 12 рассматривается упругопластический удар по бесконечной пластине, лежащей на поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Построена и -иссаёдоЕана функция влияния, которая имеет вид: - .'. ^

о

(13)

а ) 9 >) ;

/> - №;= ^

где - плотность жидкости, - коэффициент упру-

гости основания ( сила Архимеда)* рв - интенсивность растягивающих ( ошащих)'усилий. Исследуются численно и приводятся

асимптотические формулы для основных характеристик жесткоплас-тического удара. В случае учета инерционности жидкого основания функция влияния

4 Г __

'ьц'Ф&гНц «4>

исследована численно и получены эффективные асимптотические формулы для больших

уа) = пЛ] Г>0--±[Г5-{)Т(12)--О.пг5

(15)

и малых значениях X

(16)

Используя (15) и (16), получены приближенные решения жестко-пластического удара, которые хорошо согласуются с численным ■ решением задачи. Сравнение полученных результатов с вкеперимен-тальными данными по удару груза о лед ( рис.4), показываем вф-фективность построенных решений, в то время как решения, пост-: роенные на основе моделей Герца и Кильчевского дают заметную погрешность. " ■

В § 13 исследуется удар по круглой пластине, лежащей на винклеровеком основании. С использование« преобразования Лапласа строится и исследуется функция влияния, которая имеет вид

£ (х) = Ал иг + Д, А; *лХпп: <г?)

Здесь 1а - радиус пластины, Ъ * \/I ) )

г. */г ■

10 I С > Хл = /¡аТТы1 ; - корни неко-

торого уравнения, А* известные коэффициенты. Первое слагаемое в (17) соответствует движению пластины как массивного тела, т.е. является нормированной функцией влияния для массивного тела, закрепленного на линейной пружине. Этот случай рассмотрен подробно. Исследованы основные параметры удара в жест-копластическом и упругопластическом случаях. Определены границы областей изменения параметров задачи для которой характерны повторные удары. В работе на графиках приведено изменение Я* а* глЛ% в зависимости от параметров задачи.

В третьей главе рассмотрен поперечный удар тела по сфери-' ческоцу куполу. В вершине купола происходит нормальный удар телом массы IV . Если обозначить перемещение тела -5 , а V радиальное перемещение оболочки в точке контакта, то считается справедливым зависимость

Местное смятие о1 . определяется соотношением (I). В § 14 исследуется случай, когда движение оболочки описывается безмомент-ными уравнениями, а в § 15 используется момента л теория, АЬимп-тотический анализ по малому параметру показывает, что нулевому приближению соответствует бёзмоментная теория. Для рассмотренно- . го численного примера графики:.

, расчитанные по моментной и безмоментной теории практически совпадали между собой и с решением для полупространства.

В четвертой главе исследован удар массивнопо тела по цилиндрической панели, движение последней описывалось уравнениями В.З.Власова и С.П.Тимошенко. Численный анализ показал, что отмечаются заметные различия в основных характеристиках удара,

вычисляемых с использованием различных моделей.

Можно отметить, что влияние коэффициента сдвига на основные характеристики удара незначительно. Параметры удара ^rwex. • "^mex » рассчитанные с использованием уравнений движения оболочки В.З.Власова и С.П.Тимошенко практически совпадают, однако, если проследить дальнейшее движение оболочки и тела, то наблюдается заметная разница в Pli) , и oJ (i) .

основные результаты и вывсщы .

Разработан метод, позволяющий при некоторых допущениях построить приближенные решения упругопластических контактных 3î в явном виде. . '

Для параболического штампа построена модель местного смяуия oi , зависяпря от силы контактного взаимодействия Р , ко-' торая применима при произвольной зависимости . Зависи-

мость cU ( Р) имеет достаточно простую структуру, но адекватна реальным процессам, обладает удовлетворительной точностью и'хорошо согласуется с известными експеряментальными и численными результатами.

На базе, построенной модели исследуется соударение упруго-пластических тел в диапазоне малых и средних скоростей. Основные характеристики удара, вычисленные с использованием предложенной теории, хорошо совпадают с акспериментами. В случае кесткоцлар-тического, удара основные характеристики определяются по прортцц формулам. ' ;

Получена простая форцула для коэффициента восстановление при упругопластическом соударении тел, Результаты расчетов шо совпадают с известцымк вкспериыентальными данными.

Для конического штампа построена модель местного сmti& ц

(й базе этой модели исследован упругопластический удар. Основные характеристики удара получены в явном виде и хорошо совпадают с известными экспериментальными данными.

Построена модель упругопластического местного смятия в случае плотного касания тел.

На базе построенных решений исследован удар массивного тела по свободной плите, а такжё по плите, лежащей на различных основаниях: жидком, винклеровском упругом и винклеровском инерционном. Построены асимптотические оценки параметров, для которых решение исходной задачи с' заданной точностью близко к решению жесткопласткческого удара по полупространству или по свободной плите. Последние решения получены в явном виде', Проведен численный анализ для различных диапазонов изменения параметров. Численно получены основные характеристики удара в виде графиков и таблиц. Отмечена хорошая стыковка численных и асимптотических решений. Исследован удар по сферическому куполу и цилиндрической панели, шарнирно опертых по контуру. Численно получены как форт импульсного нагружения, так и перешщения оболочек. Проведенное сравнение с решениями на базе других моделей показывает эффективность построенных решений.

Основные результаты диссертации-изложены в следующих рабо-

.тах:

1. Кадомцев И.Г., Царт Л.Б. Соударение жесткопластических тел вращения // Сб. Расчет оболочек и пластин. Ростов н/Д,1978, с.189-194.

2. Кадомцев И.Г., Ковальчук В.Е., Царюк Л.Б. .Теория С.П.Тимошенко при пластическом местном смятии // Труды ХП Всес.конф. по теории пластин и оболочек. Ереван, 1980. С.191-197.

3. Кадомцев И,Г. Модель цветного смятия оеесимметричных упругопластических тел // Тез. докл. П Всес.конф. смешан.задачи мех. деформ. тела. Днепропетровск, 1981. C.5I.

4. Александров В.М., Кадомцев И.Г., Царш Л.Б. Осесимметрич-шо контактные задачи для упругопластических тел //Доение и износ. 1984. Т.У, № I. С. 16-26,

5. Кадомцев И.Г., Кадомцева Е.Э., Царяк Л.Б. Соударение осесимиетричных упругопластических тел // Тез, докл. Ш Всес.конф. смеш. задачи мех. деформ. тела..Харьков,1985. С.200.

6. Кадомцев И.Г., Кадомцева Е.Э. Определение прогибов пластины при пластичесом ударе // 05. Исследование по расчету пластин и оболочек. Ростов н/Д, 1986. С.53-57.

7. Кадомцев И.Г. Удар конического штампа по упругопласти-чеекоыу полупространству // Аннот. докл. У1 Всес. съезда по тео-ретич. и прикл. механике. Ташкент, 1986. С.319.

8. Кадомцев И.Г. Контактная задача для упругопластических тел в случае их плотного касания // Материалы выездного заседания научного совета АН СССР по трению и!смазкам. Луцк, 19{У7_ С.22-24.

9. Кадомцев И.Г., Фрейгейт М.Р. Упругопластический удар массивного тела по цилиндрической незамкнутой оболочке // Труды Х1У Всес.конф. по теории пластин и оболочек. Кутаиси, 1987.Т.2. С.9-14. :

10. Кадомцев И.Г., Рухленко С.А. Исследование функции Грина в задаче удара массивного тела по бесконечной пластине, лежащей на жидком полупространстве // Сб. Исследования по расчету пластин и оболочак. Ростов н/Д, 1987. С.23-27.

11. Кадомцев И.Г. Модель местного смятия осесимиетричных упругопластических тел с неквадратичным зазором // Изв. СКНЦ ВШ,

естеств. науки, 1988, .№ 3. С.73-76.

12. Кадомцев И.Г., Фрейгейт М.Р. Удар массивного тела по сферическому куполу // Тез. докл. конференции " Динамические задачи механики сплошной среда". Краснодар, 1983. С.63-64.

13. Кадомцев И.Г., Фрейгейт М.Р. Удар массивного тела по юарнирно опертому сегменту сферической оболочки // 05: Числен, и аналитич. метдцы решения задач строительной механики и теории упругости. Ростов н/Д, 1989. С.23-29.

14. Кадомцев И.Г., фхленко С.А. Удар массивного тела по бесконечной пластине, лежашэй на жидком полупространстве, с учетом контактных явлений // Изв. СКНЦ ВШ, естеств. науки,1989,

№ 3,С.22-29.

15. Бублик С.А., Кадомцев И.Г. Продольный упругопластический удар тела по полубесконечному стержню. // Тез. докл. 1У Всес. конф. смет, задачи механики деформ. тела. Одесса,1989_С_58.

16. Кадомцев И.Г. Осесимметричное упругопластическое соударение двух тел, одно из которых коническое // Иэв, СКНЦ ВШ, естеств.науки, 1990, № 4. С.50-54.

17. Кадомцев И.Г., Фрейгейт М.Р. Исследование удара массивного тела по цилиндрической оболочке с учетом местных упруго-пластических дефорамций // Соврем, проблемы механики контактных взаимодействий. Днепропетровск, ДГУ, 1990. C.I04-I05. '

18. Кадомцев И.Г. Определение коэффициента восстановления при упругопластическом соударении тел // Изв. АН СССР, ШТ,1991, № 6.. С.89-91.

19. Кадомцев И.Г., Фрейгейт М.Р. Удар массивного тела по шар-нирно опертому сферическому куполу // Проблемы прочности, 1991, Jf9.C.57-59.

20. Бублик С.А., Кадомцев И.Г. К вопросу о продольном ударе тела по стержню // ПМТФ,1992,№ Г. С. 123-125.

-Таблица 2

Значение максимальной- силы и времени внедрения для различных теорий к эксперимента в случае параболического штампа

Материал т гг — СМ V. 1- /-- .! Результате т-^Ькелеоимента Ж.-П. теория У.-П. теория Теория Герца Теооия Кильчевского

Н/С, 10МПа ^-п© * * Ю-*Н 10 !Н С— Рглы • 10'* И т • 3 10 с И 46* С. ги»«. - Т •

Д1-Т ! 20 6.3 3.65 2.747 3.355 0.35 3.512 0.327 3.238 0.37 у. 745 0.28 2.378 у 0.51

13.1 1.73 1.196 0.49 1.347 0.26 1.186 0.32 1.503 0.28 0.859 0.44

2.22 1.952 0^36 1.729 0.26 1.543 0.31 2.027 0.26 1.121 0.43

3.84 2.865 0.27 1.39 0.26 2.74 0.31 3.912 0.24 2.008 0.41

5.2 3.973 0.24 4.05 0.26 3.754 0.29 5.629 0.22 2.762 0.41

4.86 4.2 1.928 0.197(1.989 0.16 1.791 0.19 2.403 0.156 1.304 0.26

5.56 2.521 0.16 2.634 0.16 2.403 0.18 3.365 0.148 1-726 0.25

6.5 3.002 0.15 3.079 0.16 2.828 0.18 4.058 0.143 2.072 0,25

Алш 6 16.5 1.96 10.3 0.17 10.96 0.24 10.32 0.15С 16.77 0.11 7.657 0.21

25 7.2 20.84 0.36 22.13 0.-36 20.53 0.41 30.92 0.31 15.12 0.56

2.7 30.73 0.308 26.74 0.36 24.98 0.41 38.81 0.29 18.45 0.56

Свинец 72 25 7.3 0.067 4.047 2.09 4.046 2.04 4.029 2.06 18.24 0.53 3.218 2.59

пил )l