Динамический упругопластический контакт индентора и сферической оболочки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Бирюков Дмитрий Георгиевич

ДИНАМИЧЕСКИЙ У ЛРУ ГОПЛ АСТИЧ ЕСКИЙ КОНТАКТ ИНДЕНТОРА И СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2005

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета Ростовского государственного

университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кадомцев Игорь Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Селезнев Михаил Георгиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Фрейгейт Михаил Рудольфович

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН

2005

г. в

/Г®

Защита состоится «___________

■аседании диссертационного совета Д 212.208.06 по

час. на физико-

математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. 'Р.Зорге, 5, РГУ, механико-магематический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского Iосударственного университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « » 2005 г.

Ученый секретарь . ^

диссертационного совета '/ЪьсО Боев Н.В.

Общая характеристика работы.

Цель работы - исследование контактного взаимодействия инденторов различной формы с шарнирно закрепленной сферической оболочкой при осесимметричном и неосесимметричном соударении, нахождение основных параметров удара, определение области применимости различных моделей ударного взаимодействия.

Актуальность темы диссертации. Исследование неупругого соударения тел относится к числу наиболее актуальных проблем динамики контактного взаимодействия и имеет большое научное и прикладное значение. Важность решения задач упругопластического соударения определяется, с одной стороны, практическими потребностями современной техники, с другой необходимостью теоретического объяснения результатов экспериментов.

Большой интерес для разнообразных исследований представляют собой элементы конструкций, имеющие сферическую форму. Необходимость решения задач деформирования, прочности, статической и динамической устойчивости сферических оболочек объясняется, прежде всего, тем, что они являются основными элементами конструкций, применяемых в авиационной и ракетной технике, в подводных аппаратах, корпусах энергетических установок.

Проведение экспериментов в целях исследования ударных процессов связано со значительными материальными и временными затратами. Получение теоретических решений позволяет сократить их объем и обоснованно определить рациональную программу экспериментов.

Методы исследования. В работе использованы методы математической теории упругости, асимптотические методы, аппарат дифференциальных и интегральных уравнений, а также специальных функций математической физики, численные методы решения интегральных уравнений.

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена эффективностью квазистатического подхода для решения задач соударения тел при малых и средних скорое¡ях. использованием решения статической упругопластической контактной задачи, учитывающего вытекание материала из-под ударника, хорошим совпадением с имеющимися экспериментаЬцн10НАЦ]В4ШМ141|Ма ¡также стремлением решений к иявестным предель 1ым

Научная новизна. В настоящей работе предложен метод исследования задач осесимметричного и нсосесимметричного удара массивного тела по сегменту сферической оболочки, шарнирно закрепленной по контуру. Построены нелинейные интегральные уравнения, проведено их численное решение. Проанализированы результаты, полученные с помощью различных моделей местного смятия. Впервые найдено решение задачи неосесимметричного соударения конического и параболического ударников со сферической оболочкой с учетом граничных условий. Обосновано использование уравнений безмоментной теории сферических оболочек в динамических задачах при определенных условиях закрепления.

Практическая ценность. Полученные в работе решения могут быть использованы при инженерных расчетах имеющих сферическую форму конструкций, находящихся под воздействием точечных кратковременных нагрузок, а также при моделировании процессов соударений тел и определении основных параметров удара

Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседании III Школы-семинара «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, 15-19 ноября 2004 г.), а также нз семинарах кафедры теории упругости РГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяги работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, трех приложений. Общий объем - 117 страниц, список литературы включает 80 наименований, приложения содержат 3) рисунок

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой задачи, изложены некоторые аспекты иссчсдования ударных взаимодействий, проведен обзор публикаций, связанных с темой диссертации, обозначены цели исследования, приведено краткое содержание диссертации.

Отмечается, что классическая теория квазисташческого соударения упругих тел базируется на решении упруюй контактной задачи, предложенном Г.Герцем Сире объединил теорию удара Герца с волновой теорией, рассмотрев продольное соударение стержней.

С.П.Тимошенко использовал подход Сирса при исследовании поперечного соударения массивного гела и балки. Дальнейшее развитие теории квазистатического удара с учетом еолновых явлений связано с работами А.Н.Динника, Н.А.Кильчевского, Н Н.Давиденкова и других.

Решению различных задач соударения массивного тела и упругих систем посвящены работы С.А.Зегжды, А.И.Лурье, А.П.Филлипова и других ученых. Упругий удар в негерцевской постановке рассматривали Ф.М.Бородич, А.Г Горшков, В.Д.Кубенко, Д.ВЛ'арлаковский и другие.

В общей постановке задача соударения тел приводит к исследованию сложных нестационарных краевых задач. Значительные результаты в этой области получены такими учеными, как

B.М.Александров, В.А.Бабешко, И.И.Ворович, А.Г.Горшков, А.ИЛурье, Б.Е.Победря, А.Я.Сагомонян, И.Г.Фнлиппов и другие.

В большинстве работ по квазистатическому удару считается, что местное смятие определяется из решения Г.Герца или И.Я.Штаермана. Однако такой подход имеет существенные ограничения по максимальной скорости соударения, что объясняется появлением значительных пластических деформаций при больших скоростях. Попытки учесть эги деформации предпринимались многими исследователями. Широкое распространение получили эмпирические и полуэмпирические зависимости местного смятия от контактной силы.

Рассмотрению неупругого со} дарения при решении квазистатической задачи посвящены работы В.М.Александрова, Г.С.Батуева, Ю.В.Голубкова, Н Н.Давиденкова. А К.Ефремова, П.Г.Кадомцева, Н.А.Кильчевского, Х.Ф Кангура, И.Р.Клейса,

C.А.Рухленко, А.А.Федосова, М.Р.Фрейгейт. Л.Б Царюка и других авторов.

Из приведенного обзора следует. что рассмотрение упругопластического соударения массивного тела и сферической оболочки явпяется актуальной задачей механики деформируемого твердого тела. Некоторые вопросы этой задачи рассмотрены в диссертационной работе.

В первой главе решается задача об определении контактной силы при осесимметричном упр> гопластическом ударе индентора параболической или конической формы по сферической оболочке, шарнирно закрепленной по контуру. Общие перемещения оболочки

считаются упругими, а местные в зоне контакта тела с оболочкой утругопластическими. Скорость соударения считается меньше счорости распространения в материалах упругих возмущений.

Вводится географическая система координат: Х] - ç, х2 - 0 {ç -у ! ол широты, 0 - угол долготы).

11а основе работ С.П.Тимошенко перемещение ударника s в точке к JH i акта представляется в виде суммы

s = w + a, (1)

ne w-- радиальное перемещение оболочки в точке контакта, а -v ест ное смятие.

Перемещение ударника находится из следующей задачи Коши ms = -P{t), S(0) = 0, ¿(0) = V0,

гае P(t) - искомая контактная сила, V0 - начальная скорость ударника, m - его масса. Отсюда

s(t) - V0t - m J JP(t2 )dtxdt2. (2)

oo

Для отыскания радиального смещения оболочки w в точке контакта используются безмоментные уравнения движения сферической оболочки, к которым применяется интегральное преобразование Лапласа по времени t.

Смещение оболочки w представляется в виде ряда по полиномам J ежандра, удовлетворяющим граничным условиям. Нагрузка от сосредоточенной силы P(t)ô{ç) акже раскладывается в ряд по полиномам Лежандра.

В результате, после перехода от изображений функций к ори1 иналам, перемещение оболочки записывается в виде C1-i/2ï г 00

Г) = TTZFTT^-7 ) s ьт ^ (Г -

- г, ) + L2n sin ù)2 (г - г, ))Р2„+1 (cos 8хф)(1 г,, i че Д (И ; (cos 0\(р) - полиномы Лежандра, <рй - угол раствора купола оболочки.

Для определения местного смятия в pa6oie используется } пругопластическая модель для параболического ударника (см. 1 > M Александров, И Г.Кадомцев, Л.Б.Царюк. Осесимметричные

контактные задачи для упругопластических тел // Трение и износ, 1984. № 1.С. 16-26)

гър21Ъ. Pnn<Pl. f >0

dP dt

а =

V>2/3 + ^CPraax), -77 < о

{\ + 0)сРт +(\- p)Pd, — >0

dt

dP

(3)

•^rnax >

где b = R-V3{3/(4E))2n , E = Е,Е2{(\-у2)Ег+{\-у22)Еху\

Px=z\lR!(AE)f, х = Л = 5.7,

ap(Pmn) = d-^)Pim(2zRp) Д^/Г1-/^, l-/?=0.67,

-1

pJ

bf = Rt

l,3(3/(4£)r3,

d = (2ZRyl.

Также используются жесткопластическая модель, модели Г.Герца, Н.А.Кильчевского.

Для конического >ддрника применяются модель И.Я.Штаермана и упругопластическая модель местного смятия (см. И.Г.Кадомцев. Осесимметричное упругопластическое соударение двух тел, одно из которых коническое Н Известия СКНЦ Bill, Естественные науки, 1990. №4. С. 50-54), имеющая вид

сР

1/2

а=<

dP dt

>0

(PZ)],2E;]+a„

dP

(4)

<0

pmax' dt

где с - ctg/(l - S)Z~b2 + (l + 2(S-\Vn)XmE-1, ¿> = 0.22,

ap max = 0 - $){ртш 1 x) '2 (ctg/ ~ 21К лЕ)) .

После подстановки в уравнение (1) смещений s. w и местного смятия а приходим к нелинейном} интегральному уравнению относительно контактной сипы P(t), которое решаем-численно с помощью итерационной схемы.

На рисунках 1 и 2 приведены графики зависимостей ,

голученные для случая удара телом массы т = 250«', имеющего форму шарика радиуса Я2 = 2 см (графики 1 - 4) или конуса (графики 5 и 6), по сферической оболочке радиуса = 1 м, толщиной А = 1 см Г!ри начальной скорости соударения У0 = 0.5м/с. При этом на первом

рисунке угол раствора конуса ударника 2у = 165°, на втором -

я

?.у — 179°. Угол раствора купола оболочки <рй - —. Материал - сталь.

Первый рисунок отображает общий вид зависимостей, полученных с помощью различных моделей местного смятия, второй отображает характерное сближение зависимостей, полученных с помощью модели Штаермана (график 5) и упругопластической модели для конуса (график 6), при стремлении угла раствора 2у к я.

На основе полученных данных делается вывод о применимости различных моделей местного смятия. Так, модель Г.Герца удовлетворительна при малых скоростях соударения. Жесткопластическая модель, наоборот, дает хорошие результаты при больших скоростях (У0 >\0м/с). Модель Н.А.Кильчевского дает

значительные погрешности по всем параметрам удара. Модель И.Я.Штаермана можно использовать только при углах раствора конуса 1у близких к я. При этом результаты, полученные с помощью упругопластических моделей (3) и (4), хорошо совпадают с известными экспериментальными данными.

Во второй главе рассмотрена задача неосесимметричного нормального упругопластического удара конического и параболического ударников по шарнирно закрепленному с ферическому куполу.

Удар происходит в точке с координатами (^,0). Перемещение > длрника л1 сохраняет вид (2). Месшое смятие определяется на основе \ пругопластических моделей (3) и(4).

Радиальное смещение оболочки м> в точке контак 1а под действием на)рузки от сосредоточенной силы Р{$)3(<р — д\)б{в- 0) находится и? оедаоменгных несимметричных уравнений движения сферической оболочки Решение уравнений отыскивается в виде рядов по

присоединенным функциям Лежандра первого рода. В

пространстве преобразований Лапласа коэффициенты рядов представляются в виде асимптотического разложения по малому

параметру s - р , где р - параметр преобразования Лапласа

*>2п+ы(Р) = + W\n+\n/ + ™2п+шS + 0(е3).

В результате исходная система уравнений разбивается на более простые системы, состоящие из уравнений при одинаковых степенях е. Решение каждой из систем позволяет определить коэффициенты

W2n+lm •

Окончательно после перехода к оршиналам функций с учетом первых трех членов радиальное смещение оболочки w имеет вид

1 _ г со п

w{cp, в, т) = --— --j X I (4п + 3) X

27ihExRx (1 - cos <рй) 5 и=0«, о

Jb^\-2rn)\|/»(г)((г-г)-|(1 + ^)(г-г)з)р2» (CQS^ )х

(2 п +1 + 2 ту. 3!

х , (cosдх(р) cos(т 0)dг,.

где P22^,(cos^) присоединенные функции Лежандра первого рода.

Получаемое после подстановки в уравнение (1) смещений s , w и б? нелинейное интегральное уравнение решается с помощью итерационного метода.

Проводится численный анализ решения. На рисунках 3 и 4 представлены зависимости Р{1), полученные для

неосесимметричного удара при различных значениях угла ^ (графики 3 - 6) в сравнении с результатами для осесимметричного удара (график 1) и удара по полупространству (график 2). Рисунок 3 отображает картину удара шариком радиуса Я2 =2 см при скорости

V0=\m/c, рисунок 4 - конусом с углом раствора 2/ = 135° при скорости V0 =10м/с . На пятом рисунке представлены зависимости P(t), полученные с помощью упругопласгичеекой модели (4) при разных значениях угла 2/'(график 1 - 175°. график 2 155°, график 3

105°) для удара коническим индентором при F0=10Wc и (рх - 0.01 рад.

Как видно из рисунков, при стремлении угла (рх к нулю зависимости P(t), полученные для неосесимметричного удара, стремятся к зависимостям для осесимметричного удара. При стремлении q\ к то есть при приближении точки удара к месту

:акрепления, происходит сближение результатов, полученных для неосесимметричного удара и удара по упругопластическому полупространству. При этом, максимальное значение контактной силы, вычисленное для случая удара по упругопластическому полупространству на основе моделей (3) и (4), с точностью до 3% с овпадает с известными экспериментальными данными (см. 1 .С.Батуев, Ю.В.Голубков, А.К.Ефремов, А.А.Федосов. Инженерные методы исследования ударных процессов. - М.: Машиностроение, 977).

В третьей главе обосновывается правомерность использования безмоментных уравнений при решении динамической задачи. Для ною поставленная во второй главе задача неосесимметричного >пругопластического удара решается на основе уравнений В.З.Власова дтя сферической оболочки.

При определении местного смятия используются упругопластические модели (3) и (4). Перемещение ударника s выражается формулой (2).

Решение уравнений движения оболочки с целью определения ралиального перемещения оболочки w проводится в пространстве чрсобразований Лапласа асимптотическим методом разложения

искомых величин по параметру £- р~2 с использованием трисоединенных функций Лежандра первого рода.

В пространстве оригиналов получено выражение для смещения збо точки w с учетом первых двух чтенов

Мр,0J) = - —2—--- Л X (4и + 3))---—-f X

2щрк(\ - cos<Pq) о„ 0m=o (2и -+ 1 + 2ту

/ PitOit- ) Pit ■ (cos <P:) , (cos 3 Ф) m 0)dt,.

Полученное из (1) после подстановки у, w и а нелинейное интегральное уравнение относительно контактной силы P{t) решается численно итерационным методом.

Проводится сравнение полученных результатов с результатами второй главы. На рисунках 3 и 4 приведены графики зависимостей, полученных с помощью уравнений Власова (графики 3' - 6'), в сравнении с графиками, полученными на основе безмоментной теории (графики 3 - 6). На рисунке 3 приведены зависимости P(t) для случая

ударника в форме шарика радиуса R2 = 2см при скорости соударения V0=\mIc , на рисунке 4 - для случая конического ударника при

скорости соударения Г0=10м/с и растворе конуса 2/ = 135°. Из

рисунков видно, что расхождение не превышает 1%, из чего делается вывод о возможности использования уравнений безмоментной теории в динамических задачах при определенных случаях закрепления оболочки.

Также отмечается стремление результатов к предельным случаям осесимметричного удара и удара по полупространству при стремлении точки контакта к вершине купола оболочки и к закреплению, что говорит о верно выбранном пути исследования.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Исследовано решение задачи осесиммегричного удара параболического и конического инденторов по шарнирно закрепленной сферической оболочке для различных моделей местною смятия: Герца, Кильчевского, Штаермана, жесткопластической модели, упругопластических моделей. Полученные результаты свидетельствуют о том, что модели Герца, Кильчевского и Штаермана могут приводить к значительным погрешностям, в то время как упругопластические модели (3) и (4) дают хорошее совпадение с экспериментом на всем рассмотренном диапазоне скоростей.

2. Впервые получено решение задачи неосесимметричного упругопластического соударения конического и параболического ударников с шарнирно закрепленной сферической оболочкой Проведен численный анализ решения при движении точки кош акта по

\ еридиану сферической оболочки. Отмечено хорошее

совпадение с предельными случаями.

3. В случае неосесимметричного удара зависимости контактной силы от времени, рассчитанные с помощью уравнений безмоментной теории оболочек и уравнений В.З.Власова, практически совпадают, чю говорит о возможности использования безмоментной теории при дальнейших исследованиях динамических задач.

Публикации по теме диссертации.

1 Бирюков Д.Г. Неосесимметричный упругопластический контакт конического тела и сферической оболочки // Труды аспирантов и соискателей РГУ. Т. 10. Ростов-на-Дону, 2004. С. 8-10.

2 Бирюков ДГ Неосесимметричное соударение конического ударника и сферической оболочки // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III Школы-семинара. Ростов на-Дону, 2004. С. 42-44

г. Бирюков ДГ, Кадомцев ИГ. Динамический упругопластический контакт ударника и сферической оболочки // ПМТФ, 2002. Т. 43. № 5. С. 171-175.

4 Бирюков Д Г, Кадомцев И.Г. Неосесимметричный динамический упруюнластический контакт параболического ударника и сферической оболочки // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение № 11, 2004. С. 35-41.

Бирюков ДГ, Кадомцев ИГ Упругопластический пеосесиммегрнчный удар параболического тела по сферической оболочке//ПМТФ, 2005. Т. 46. № i.e. 181-186.

1, <, 10 -

1 модель Герца 3 модель Кильчевского 5 модель Шгаермана

2 - жесткопластическая модень 4 - упругопластическая модель 6 - упругопласшческая модель (кои\<.)

осесимметричньтй удар 2 удар по полупространству

S 4 5, 6 - безмоментные уравнения 3', 4', 5', 6'- уравнения Власова

У ■ (рх - 0.004,4' - ^ =0.01 рад

\ У - <Р\ = 0.1 рад 6, 6' - (рх = 0.9рад

№ 1 1 6 7 О

Бирюков Дмитрий I

РНБ Русский фонд

2006-4 7554

ДИНАМИЧЕСКИЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ КОНТАКТ ИНДЕНТОРА И СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Подписано в печать 14.05.2005г. Печать RISO. Бумага офсетная 80 г/м2 Гарнитура Times New Roman Cyr Тираж 100 экз. Отпечатано с оригинал-макета в типографии ООО «Кописервис». 344019, г. Ростов-на-Дону, ул. 2-я линия 17/6 Г телефон 8-904-506-3?-41 (E-mail: kcc01(a)/naiLru, copyservise@bk.ru)

Введение

1 Осесимметричный удар тела по сферической незамкнутой оболочке.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Модели местного смятия.

1.3 Алгоритм численного решения.

1.4 Численный анализ решения.

2 Неосесимметричный удар тела по сферической незамкнутой оболочке (безмоментные уравнения).

2.1 Постановка задачи.

2.2 Асимптотическое построение решения.

2.3 Численный анализ решения.

3 Неосесимметричный удар тела по сферической незамкнутой оболочке (уравнения В.З.Власова).

3.1 Постановка задачи.

3.2 Асимптотическое построение решения.

3.3 Численный анализ решения.

Изучение ударных процессов относится к числу наиболее актуальных проблем прикладной механики, связанных с исследованием поведения различных конструкций под воздействием интенсивных импульсных нагрузок, возникающих при эксплуатации сооружений, машин, механизмов, приборов.

Задачи соударения упругопластических тел имеют большое практическое и теоретическое значение. Важность их решения определяется, с одной сторонЕ>г, практическими потребностями современной техники, с другой — необходимостью теоретического объяснения наблюдаемых экспериментальных результатов.

Следует отметить, что экспериментальные исследования ударных процессов связаны с большими материальными затратами и длительным временем обработки экспериментальных данных, в то время как теоретические решения позволяют намного сократить их объем и обоснованно определить рациональную программу экспериментов.

Таким образом, разработка математических моделей удара и создание теоретических основ динамики контактного взаимодействия ударников различной формы с элементами конструкций представляют значительный научный и практический интерес.

Исследования ударных процессов проводят по следующим основным направлениям: изучаются внутренние закономерности процесса удара; исследуются физико-механические свойства материалов в условиях динамического нагружения; оценивается влияние импульсного нагружения на различные конструкции.

Задачи, связанные с указанными направлениями, решались различными исследователями как теоретически, так и экспериментально. Первые работы в этой области принадлежат основоположникам классической механики Леонардо да Винчи, Галилею, Гюйгенсу, Лейбницу. Ими процесс динамического взаимодействия двух тел рассматривался как мгновенный и оценивался лишь конечный результат удара — изменение скоростей тел; в связи с этой задачей Декартом было введено понятие количества движения. Ныотон сформулировал основные законы механики и при рассмотрении удара впервые использовал понятие коэффициента восстановления.

В дальнейшем изучение удара развивалось по двум направлениям: с одной стороны, получила развитие классическая теория на основе механики твердого тела, а с другой — делались попытки объединить классические решения с волновыми; последние же базируются на использовании законов механики сплошной среды.

В 1882 году Г.Герц предложил решение упругой контактной задачи, ставшее впоследствии основой классической теории удара упругих тел. Он полагал, что "комбинируя статическое сжатие в частях тел, лежащих непосредственно у места соприкасания, с общими уравнениями движения для остальных частей тел, мы, вероятно, могли бы получить закон для удара тел любой формы" [79]. Г.Герц впервые выполнил достаточно полный анализ напряжений, возникающих при контакте упругих тел, а также сформулировал условия, которым должны удовлетворять нормальные перемещения на поверхностях тел. Основные гипотезы, выдвинутые Герцем, актуальны и сегодня для решения контактных задач.

Классическая теория Герца удара упругих тел без трения вытекает непосредственно из его статической теории контакта. Следует отметить, что эта теория является квазистатической — волновыми движениями пренебрегают и считается, что для массивных тел деформации сосредоточены в окрестности зоны контакта, а каждое тело движется со скоростью его центра масс.

Герц считал, что при ударе статическая зависимость сх{Р) между местным упругим смятием а и контактным усилием Р сохраняет свою силу и имеет вид а = кРг'\ где к определяется физическими и геометрическими параметрами тел в области контакта.

С помощью теории Герца были впервые раскрыты некоторые внутренние закономерности упругого удара — длительность, а также максимальные значения контактной силы Ртах и местной деформации О-тах

И.Я.Штаермап [77] существенно дополнил теорию Герца, решив ряд контактных задач для случаев более плотного касания упругих тел. Им была получена следующая зависимость между контактным усилием Р и местным упругим смятием се ъ , 2п+1

Р = п > 1.

При П = 1 данное соотношение переходит в зависимость Герца.

Однако многочисленные экспериментальные работы показали, что теория Герца справедлива только в случае малых скоростей соударения. А.Н.Динник [29] получил хорошее совпадение экспериментальных и теоретических данных для соударения стальных шаров, худшее — для цинковых и неудовлетворительное — для свинцовых. Основная причина расхождений связана с появлением пластических деформаций, которые совершенно не отражены в упругой модели Герца. Более того, часто пластические деформации значительно превосходят упругие и на активной стадии нагружения последними можно пренебречь.

Следует, однако, отметить, что наличие пластических деформаций не изменяет основных предпосылок теории Герца.

Дальнейшее развитие квазистатического удара продолжил Сире. Он впервые исследовал волновые явления при продольном соударении стержней с закругленными торцами, учитывая местное смятие с помощью теории Герца, и получил результаты, хорошо совпадающие с экспериментальными [80].

С.П.Тимошенко использовал подход Сирса при исследовании поперечного удара тела но балке [71]. Предложенное им решение учитывает вынужденные колебания балки под действием ударяющего ее тела, смещение тела и балки относительно друг друга, определяемое местным смятием в точке контакта. Для нахождения местного смятия использовалась зависимость Герца. Полученное С.П.Тимошенко нелинейное интегральное уравнение относительно контактной силы -Р(^), описывающее соударение тела и балки, легко переносится на случаи соударений более сложных объектов и позволяет использовать различные модели местного смятия. В работе проведено численное решение данного интегрального уравнения, на основе которого сделан вывод о возможности многократного контакта соударяющихся тел, что позднее было подтверждено экспериментально.

Впоследствии многие исследователи обращали свое внимание на данную задачу, пытаясь получить аналитическое решение. При этом использовалось решение, полученное С.П.Тимошенко, на которое накладывались различные ограничения и допущения, позволявшие получить уравнения, разрешаемые в общем виде. Так В.Н.Вернигор исследовал удар тела о балку па основе элементарной теории [14], рассмотрел [15] механические модели, с достаточной точностью апрок-симирующие поперечные колебания балок. Полученные результаты хорошо согласуются с точным решением этой задачи, построенным С.П.Тимошенко.

По теории С.П.Тимошенко задачи о соударении массивного и гибкого тела можно разбить на три более простые задачи: задачу о движении массивного тела под действием силы контактного взаимодействия, задачу об определении местных деформаций и задачу движения гибкого тела. При этом сила контактного взаимодействия P(t) определяется из нелинейного интегрального уравнения вида t

J G(t - r)P{t)dr + a{P(t)) = VQt, о где Vq — скорость сближения тел в момент соударения, G — G\ + динамическая функция влияния, G\, G2 — функции Грина динамических задач для первого и второго тела.

Построению, исследованию и применению в задачах ударного взаимодействия функций влияния линейных деформируемых систем посвящены работы М.И.Гуссейн-Заде, С.А.Зегжды, А.И.Лурье, Н.А.Ни-колаенко, А.П.Филиппова и других.

Решение задачи удара по бесконечной пластине впервые было дано А.И.Лурье [57], построившим функции Грина для свободной пластины и пластины, лежащей на упругом основании Винклера.

В работе М.И.Гуссейн-Заде [24] рассмотрено действие точечного импульса на безграничную пластину, лежащую на упругом жидком полупространстве.

Опираясь на работы А.И.Лурье, А.П.Филиппов в [72] рассмотрел задачи удара массивного тела по шарпирпо опертой прямоугольной и свободной круглой пластинам, лежащим на винклеровском основании. Решение этих задач получено с помощью интегрального преобразования Лапласа и асимптотических представлений.

В [31] рассмотрена задача о соударении цилиндров. Используемая неявно приближенная функция влияния для цилиндров выражается через дельта-функцию. Предполагается, что любое усилие передается боковой поверхностью цилиндра через жесткую плоскую поверхность. При этом деформация цилиндра в процессе его движения пропорциональна прикладываемой силе.

В работе Н.А.Николаенко [02] приведены решения задач о вертикальных колебаниях тонкой бесконечной плиты, лежащей на упругом весомом и невесомом полупространстве. Удар рассматривается как движение упругой поверхности плиты с присоединенной массой.

Все теории удара, использующие решение упругой контактной задачи, имеют существенные ограничения по максимальной скорости соударения тел. Появление значительных пластических деформаций при больших скоростях приводит к тому, что результаты эксперимента не совпадают с результатами теории упругого квазистатического удара. Дальнейшее развитие механики контактных взаимодействий связано главным образом с отказом от некоторых налагаемых теорией Герца ограничений. Широкое распространение получили эмпирические и феноменологические упругопластические зависимости местного смятия сУ. от контактной силы Р(

Попытка учесть пластические деформации была сделана в работах А.В.Крука и Д.Табора, которые использовали для решения контактной задачи статический закон Мейера. Этот закон описывает проникновение жестких сфер в плоские металлические поверхности и имеет вид - Иап, где Р — контактное усилие, а — радиус остаточного кратера, N и П — постоянные эмпирические величины. Однако данный подход невозможно использовать для тел произвольной формы в зоне контакта.

Н.А.Кильчевский [46], использовав зависимости Герца и Штаерма-на, получил приближенные выражения для закона изменения контактной силы P(t) при ударе в виде бесконечных рядов с помощью методов операторного исчисления. Им была предложена упругопластиче-ская модель сх(Р), в которой упругая деформация подчиняется закону Герца, а пластическая линейно зависит от контактного усилия, т.е. а = ai+а2 = кР2/3 + при статическом разгружепии а = kP2'2* + хРтах.

Линейную зависимость пластической деформации от контактной силы подтверждают эксперименты А.Ю.Ишлинского [34] и Н.Н.Дави-денкова [25, 26].

В работе Х.Ф.Кангура и И.Р.Клейса [44] описан метод и приведены некоторые результаты по определению коэффициента восстановления в широком диапазоне скоростей удара, а также рассмотрены возможности его расчетного определения.

При негерцевском законе местного смятия Н.Н.Кравченко [53] исследовал механизм отскока шарика от плоской поверхности и определил связь между прочностными и упругими характеристиками среды при определении прочностных свойств по методу Шора.

А.И.Родионов [65] рассмотрел задачу об ударе твердого сферического тела но упругопластическому полупространству. В работе использованы основные уравнения теории упругости в форме, отличной от постановок задач Г.Герца и Н.А.Кильчевского.

В работе Н.П.Островерхова [63] в упругопластической постановке методом переменного масштаба решена задача типа Герца. Рассмотрены частные случаи соударения остроугольных тел. Получены выражения для определения основных параметров удара.

Рассмотрению осесиммстричной задачи пластичности посвящены работы [30, 34, 75]. Предложен метод решения задачи о предельном равновесии произвольного выпуклого осесимметричного штампа в случае, когда известна форма свободной поверхности жесткопластическо-го полупространства вне зоны контакта. А.Ю.Ишлинским [34] также установлено, что изменение среднего давления под пологим штампом в процессе его внедрения незначительно.

Внедрение осесимметричного штампа в пластическое полупространство исследовано Л.Б.Царюком в [74]. Рассмотрено изменение формы свободной поверхности пластической среды в процессе внедрения и метод его определения в замкнутом виде в случае пологого штампа. Решение произвольной осесимметричной контактной задачи идеальной пластичности с учетом вытекания приведено в работе [37].

В [1] рассмотрена квазистатическая осесимметричная задача о контактном взаимодействии упругопластических тел, имеющих в точке контакта параболическую форму. Предложенная в ней модель, с помощью которой можно аналитически определить зависимость местного смятия (X от -Р(£), позволяет получить результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными и известными численными данными. В отличие от эмпирических и феноменологических зависимостей Су(Р), рассматривавшихся ранее, данная модель применима для всех значений Р{Ь), учитывает вытекание ¿материала из-под штампа в процессе внедрения. Результаты работы были использованы при исследовании удара массивного тела но сферическим [6, 7, 8, 9, 10, 40] и цилиндрическим [30, 41, 42] оболочкам, а также при исследовании удара массивного тела по бесконечным [38] и конечным [39] упругим пластинам, лежащим на различных основаниях.

В работе [35] предложена феноменологическая модель для определения зависимости местного смятия СХ от контактной силы -Р(^) в случае взаимодействия упругопластических тел, одно из которых коническое. На основе ряда гипотез исходная задача о сжатии упругопластических тел сведена к комбинации упругой [77] и жесткопластиче-ской [74] задач. Полученная зависимость &(Р) учитывает изменение свободной поверхности тел вследствие вытекания материала и хорошо согласуется с экспериментальными данными [5]. На основе этой модели в работах [б, 7, 8] проведено исследование соударения массивного конического тела и сферической оболочки.

В последние десятилетия резко возросла актуальность проблем деформирования, устойчивости, прочности оболочек сферической и цилиндрической форм при кратковременных импульсных и ударных нагрузках. Это прежде всего связано с тем, что такие оболочки являются основными элементами конструкций, применяемых в авиациониой и ракетной технике, в подводных аппаратах, в корпусах различных энергетических установок, в трубопроводах. Следствием является появление большого количества работ, в которых исследуются задачи об упругом и неунругом ударе массивного тела по сферическим и цилиндрическим оболочкам.

В.С.Саркисян и В.В.Варданян [13] рассмотрели удар шара по цилиндрической панели, используя уравнения технической теории оболочек и унругоиластическую модель местного смятия, предложенную Н.А.Кильчевским. Ф.М.Бородич [12] исследовал контакт специального типа соударяющихся тел и использовал в решении автомодельность задачи. Явных решений найти не удалось, но получены качественные выводы. В работе А.Г.Горшкова и Д.В.Тарлаковского [20] рассмотрен динамический контакт упругой бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства. В [21, 22] приведены методы построения точных решений при ударе абсолютно жестким телом, ограниченным гладкой криволинейной поверхностью, но упругому полупространству. Проведено исследование только начальной стадии удара, когда граница контакта расширяется со сверхзвуковой скоростью. Получены квадратурные формулы для определения контактных напряжений в плоской задаче и проведены расчеты для различных частных случаев. В.А. Смелянский в [67] исследовал ударное взаимодействие массивного тела со сферическими и цилиндрическими оболочками. Получены основные характеристики и закономерности процесса соударения. В экспериментальных и теоретических работах А.В.Колодяжного и И.И.Скоблика [47, 48, 49] приведены результаты исследования напряженно-деформируемого состояния замкнутых упругих цилиндрических оболочек конечной длины ири контакте с падающим телом на основе функционального уравнения С.П.Тимошенко. Сближение тела с оболочкой при сжатии в месте контакта определяется зависимостью Герца. Получены аналитические решения для нормальных смещений и кривизн замкнутой бесконечно длинной цилиндрической оболочки при локальном импульсном нагру-жении. Двумерная задача поведения шарнирно опертой цилиндрической оболочки ири действии несимметричной нагрузки рассмотрена П.З.Луговым и В.Ф.Мейшем в работе [56]. Решение задачи получено с помощью асимптотического метода малого параметра.

Вместе с развитием аналитических методов решения задач соударения в настоящее время используются и специальные численные методы: метод конечных разностей [64], конечных элементов [11], граничных интегральных уравнений [73] и другие численные схемы. Благодаря стремительному развитию компьютерной техники, это позволило решить многие задачи проникания [3, 23, 45, 54, 55, 70], внедрения [50, 51, 60] и пробивания [19, 61, 66, 69, 76]. Активно исследуется высокоскоростной удар [58, 59], для изучения которого широко применяются гидродинамические модельные представления [32, 33].

Как видим из приведенного краткого обзора, анализ упругого и унругопластического соударения тел различной формы является важной задачей современной механики.

В настоящей работе рассмотрены некоторые вопросы динамического контактного взаимодействия массивного тела со сферической оболочкой. Содержание работы изложено в трех главах.

В первой главе рассмотрено осесимметричное упругопластическое соударение параболического и конического инденторов со сферическим куполом, шарнирпо опертым но контуру. Решение для оболочки получено на основе уравнений безмоментной теории с использованием прямого и обратного преобразований Лапласа. Проведено численное сравнение результатов, полученных с помощью различных моделей местного смятия.

Во второй главе рассмотрена задача о неосесимметричном контакте ударника со сферической оболочкой. В качестве основных уравнений для оболочки взяты безмоментные уравнения движения сферической оболочки с учетом несимметричных членов. Использовано интегральное преобразование Лапласа. Решение для оболочки получено с помощью асимптотического метода разложения по малому параметру. При определении контактной силы использованы упругопластические модели для конического и параболического ударников. Выявлено стремление полученных результатов к предельным случаям — случаю осе-симметричиого удара и случаю удара по полупространству.

Третья глава посвящена рассмотрению неосесимметричного удара в случае, когда за основу берутся уравнения В.З.Власова для сферической оболочки. Полученное с помощью преобразования Лапласа и асимптотического метода решение сравнивается с результатами второй главы. Отмечается их хорошое совпадение (отклонение не превышает 1-2%). Также наблюдается стремление к предельным случаям. Исследование проведено на основе упругопластических моделей для конического и параболического инденторов.

Основные результаты диссертации изложены в работах [6, 7, 8, 9, 10]. Работы [8, 9, 10] написаны в соавторстве с И.Г.Кадомцевым, которому принадлежат постановки задач. Анализ полученных аналитических и численных результатов в равной степени принадлежит обоим соавторам.

Заключение.

Сформулируем основные результаты проведенного исследования.

Исследовано решение задачи осесимметричного упругопластическо-го соударения параболического и конического инденторов и шарнир-но закрепленного сферического купола на основе безмоментной теории оболочек. Проведен анализ результатов, полученных с помощью нескольких моделей местного смятия, и сравнение с имеющимися экспериментальными данными. Показано, что часто используемые модели Герца, Кильчевского и Штаермана имеют достаточно узкий диапазон применимости но скорости соударения, поэтому при расчетах предпочтение следует отдавать упругопластическим моделям.

Впервые решена задача неосесимметричного соударения конического и параболического ударников со сферической оболочкой. Исследовано поведение силы контактного взаимодействия при движении точки удара по меридиану оболочки. Показано, что основные параметры неосесимметричного удара, рассчитанные с помощью безмоментных уравнений движения сферической оболочки и уравнений В.З.Власова, практически совпадают. Приоритетным считается использование безмоментной теории ввиду простого вида основных уравнений.

При расчете неосесимметричного контакта получено хорошее совпадение с предельными случаями — ударом по полупространству и осесимметричным ударом, что говорит о верно выбранном пути исследования. При этом максимальное значение контактной силы, полученное с помощью упругопластических моделей местного смятия, в случае удара по полупространству с точностью до 3% совпадает с известными экспериментальными данными [5].

1. Александров В.М., Кадомцев И.Г., Царюк Л.Б. Осесимметрич-ные контактные задачи для упругопластических тел. // Трение и износ, 1984. №1. С. 16-20.

2. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 174 с.

3. Багдаев А.Г., Вапцян A.A., Григорян М.С. Исследование особенности напряжений в анизотропной пластической среде при проникании конуса // Изв. АН Арм.ССР. Мех, 1989. Т.43. №4. С. 52-57.

4. Багреев В.В. Унругоиластический удар массивных тел. // Труды МИИТ, 1964. Вып. 193. С. 53-70.

5. Багпуев Г.С., Голубков Ю.В., Ефремов А.К., Федосов A.A. Инженерные методы исследования ударных процессов. М.: Машиностроение, 1977. 240 с.

6. Бирюков Д.Г. Неосесимметричный упругопластический контакт конического тела и сферической оболочки // Труды аспирантов и соискателей РГУ. Т.10. Ростов-на-Дону, 2004. С. 8-10.

7. Бирюков Д.Г. Неосесимметричное соударение конического ударника и сферической оболочки // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III Школы-семинара. Ростов-на-Дону, 2004. С. 42-44.

8. Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. Динамический упругопластический контакт ударника и сферической оболочки // ПМТФ, 2002. Т.43. №5. С. 171-175.

9. Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. Неосесимметричпый динамический упругопластический контакт параболического ударника и сферической оболочки // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение № 11, 2004. С. 35-41.

10. Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. Упругопластический неосесимметричпый удар параболического тела по сферической оболочке // ПМТФ, 2005. T.4G. №1. С. 181-186.

11. Богомолов А.Н., Горелъский В.А., Зелепугин С.А., Хорее И.Е. Поведение тел вращения при динамическом контакте с жесткой стенкой // ПМТФ, 1986. №1. С. 161-163.

12. Бородин Ф.М. Подобие в задаче контакта упругих тел // Прикл. мат. и мех., 1983. Т.47. С. 519-531.

13. Варданян В.В., Саркисян B.C. Поперечный упругопластический удар шаром по круговой цилиндрической оболочке // Уч. зап. Ерев. ун-та, 1980. №2. С. 31-35.

14. Вериигор В.Н. Исследование поперечного удара тела о балку на основе элементарной теории // Прикл. мех., 1977. Вып. 3. С. 103109.

15. Вериигор В.Н. Приближенные модели балки при поперечном ударе // Прикл. мех., 1977. Вып. 3. С. 110-115.

16. Вибрации в технике. Под ред. Болотина В.В. T.l. М.: Машиностроение, 1978. 310 с.

17. Гобсои Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. Пер. с англ. М.: Изд. иностр. лит-ры, 1952. 476 с.

18. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Госте-хиздат, 1953. 544 с.

19. Горельский В.А., Радченко А.В., Хорее И.Е. Кинетический механизм процесса пробивания двухслойных пластин // Изв. АН СССР. МТТ, 1988. Ш. С. 185-189.

20. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамическая контактная задача для круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства // Прочн. пластин и оболочек при комбинир. воздействиях. М., 1987. С. 16-25.

21. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Результирующие реакции в пространственной задаче об ударе твердым телом по упругому полупространству // Изв. АН СССР. МТТ, 1987. №5. С. 95-98.

22. Горшков А.Г, Тарлаковский Д. В. Динамические контактные задачи для абсолютно жестких тел и упругого полупространства. М.: Изд-во МАИ, 1989. 48 с.

23. Гулидов А.И., Фомин В.М., Яиепко H.H. Численное моделирование проникания тел в упругопластическом приближении // Пробл. мат. и мех. Новосибирск, 1983. С. 71-81.

24. Гуссейн-Задс М.И. Удар по бесконечной пластинке, лежащей па упругом жидком полупространстве // Докл. АН СССР, 1957. Т.113. т. С. 523-526.

25. Давиденков H.H. Об ударе груза о балку // АН УССР. Ин-т строит. механики. Сб. трудов №11. Киев, 1949. С. 73-82.

26. Давиденков H.H. Динамические испытания металлов. JL, М.: Глав. ред. лит-ры но черн. мет, 1934. 394 с.

27. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Физматгиз, 1960. 208 с.

28. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. Пер. с англ. М.: Иноиздат, 1948. 260 с.

29. Диппик А.Н. Удар и сжатие упругих тел. Киев: Киев, политехи, ин-т, 1909. 108 с.

30. Жалпип В.А., Ивлев Д.Д., Мищенко B.C. О вдавливании кольцевого штампа в пластическое полупространство // ПМТФ, 1961. №6. С. 153-154.

31. Зсгэюда С.А., Филиппов И.Г. О соударении цилиндров вдоль их образующих // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1, 1986. Вып. 3. С. 5862.

32. Златии H.A., Кожушко A.A. Гидродинамические модельные представления в теории высокоскоростного взаимодействия твердых тел и границы их применимости // Журп. техн. физ, 1982. Т.52. №2. С. 330-334.

33. Златии H.A., Коэюушко A.A., Рыкова И.И. Экспериментальная оценка границ применимости гидродинамической модели к процессу соударения твердых тел // Физ. горения и взрыва, 1989. Т.25. №. С. 141-142.

34. Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача пластичности и проба Бринеля // ПММ, 1944. Т.8. Вып. 8. С. 201-222.

35. Кадомцев И.Г. Осесимметричное упругопластическое соударение двух тел, одно из которых коническое // Известия СКНЦ ВШ, Естественные науки, 1990. №4. С. 50-54.

36. Кадомцева Н.И. Упругопластичвский удар конического инденто-ра по цилиндрической панели // Легкие строительные конструкции. Ростов-на-Дону: Рост. гос. строит, ун.-т. С. 99-106.

37. Кадомцев И.Г., Ковальчук В.Е., Царюк Л.Б. Теория удара С.П.Тимошенко при пластическом местном смятии // Тр. XII Все-союз. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во Ерев. ун-та, 1980. Т.2. С. 191-197.

38. Кадомцев И.Г., Рухлепко С.А. Удар массивного тела по бесконечной пластине, лежащей на жидком полупространстве, с учетом контактных явлений // Известия СКНЦ ВШ, Естественные науки, 1989. №3. С. 22-29.

39. Кадомцев И.Г., Фрейгейт М.Р. Удар массивного тела по шарнир-ио опертому сферическому куполу // Проблемы прочности, 1991. №.9. С. 57-59.

40. Кадомцев И.Г., Фрейгейт М.Р. Уиругопластический удар массивного тела ио цилиндрической незамкнутой оболочке // Труды XIV Всес. конф. по теории пластин и оболочек. Кутаиси, 1987. Т.2. С. 9-14.

41. Кадомцев И.Г., Царюк Л.Б. Соударение жесткопластических тел вращения // Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Дону, 1978. С. 189-194.

42. Каигур Х.Ф., Клейс И.Р. Экспериментальное и расчетное определение коэффициента восстановления скорости при ударе // Изв. АН СССР. МТТ, 1988. №5. С. 182-185.

43. Каримов И.М. Аналитическое решение задачи о проникании ударника в полупространство // Физ.-техн. пробл. разраб. полезных ископаемых, 1983. №1. С. 59-63.

44. Кгыьчевский H.A. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. Киев: Наукова Думка, 1976. 315 с.

45. Колодяэюиый А.Б., Скоблик И.И. Локальное импульсное неосе-симметричное деформирование упругой цилиндрической оболочки // Пробл. машиностр. Киев, 1987. №28. С. 3-6.

46. Колодяэюиый A.B., Скоблик И.И. Теоретическое и экспериментальное исследование нестационарного деформирования цилиндрических оболочек при ударных и импульсных воздействиях // Теория распр. волн в упруг, и упругопл. средах. Новосибирск, 1987. С. 124-125.

47. Кондауров В.И., Петров В.И. Численное исследование процесса внедрения жесткого цилиндра в упругопластическую преграду // Числ. методы в мех. тв. деформир. тела. М., 1984. С. 115-132.

48. Кондауров В.И., Петров В.И., Холодов A.C. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую преграду // ПМТФ, 1984. №4. С. 132-139

49. Кори Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 832 с.

50. Кравченко K.M. О механизме отскока шарика от плоской поверхности // Аэрофиз. и геокосм, исслед. М., 1982. С. 86-88.

51. Кубенко В.Д., Гаврнлепко В. В. Осесимметричная задача проникания тонких упругих сферических оболочек в сжимаемую жидкость // Прикл. мех., 1988. Т.24. №4. С. 63-74.

52. Кубенко В.Д., Попов С.Н. Плоская задача удара жесткого затупленного тела о поверхность упругого полупространства // Прикл. мех., 1988. Т.24. №7. С. 69-77.

53. Луговой П.З., Мети В.Ф. Об использовании асимптотического метода для решения задач динамики оболочек // Прикл. мех., 1987. Т.23. т. С. 38-44.

54. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М., JL: Гостехиздат, 1950. 431 с.

55. Малама Ю.Г Численное моделирование высокоскоростного удара по полубесконечной мишени // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1982. №. С. 119-125.

56. Малама Ю.Г. Численное моделирование высокоскоростного удара при различных соотношениях плотностей ударника и мишени // Физ. горения и взрыва, 1984. Т.20. №4. С. 117-121.

57. СО. Меньшиков Г.П., Одинцов В.А., Чудов Л.А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту // Изв. АН СССР. МТТ, 1976. т. С. 125-130.

58. Милейко С.Т., Саркисян O.A. Феноменологическая модель пробивания // ПМТФ, 1981. №5. С. 140-142.

59. Николаенко H.A. Удар по пластинке, лежащей на упругом основании // Сб. "Исследования по динамике сооружений", ЦНИИСК. Вып. 1. М.: Госстройиздат, 1961.

60. Островерхое Н.П. Соударение уиругоиластических тел произвольной конфигурации в зоне контакта // Динамика мех. систем. Киев, 1983. С. 107-115.

61. Родионов А.И. О системе уравнений, описывающих удар твердого тела по упругому полупространству // Динамика мех. систем. Новосибирск, 1981. С. 169-176.

62. Сагомонян А.Я. Динамика пробивания преград. М.: Изд-во МГУ, 1988. 221 с.

63. Смеляпский В.А. Методика и экспериментальное исследование контактного удара // Изв. АН СССР. МТТ, 1988. №3. С. 175-178.

64. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Под ред. Диткина В.А., Карамзиной JI.H. М.: Наука, 1979. 832 с.

65. Степанов Г.В., Харченко В.В., Гурский В.В., Улъченко A.M. Локальная деформация в топких стальных пластииах при пробое // Пробл. прочности, 1988. №10. С. 69-73.

66. Тарлаковский Д.В. Вертикальный удар абсолютно твердой сферы с заполнителем по упругому полупространству // Расч. на прочн. и оптим. проектир. элементов авиац. конструкций. М., 1988. С. 4146."

67. Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций. М.: Наука, 1975. 370 с.

68. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 736 с.

69. Царюк JI.B. О вдавливаиии выпуклого осесимметричного штампа в жесткопластическое полупространство // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки, 1973. №4. С. 89-92.

70. Шилд Р. Т. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии // В кн.: Механика. М., 1957. №1. С. 102-122.

71. Шитиков A.B., Еремеев А.Л., Одинокое В.И. Динамическая задача пробивки сферической оболочки абсолютно жестким цилиндром // Задачи мех. тв. тела и прогресс, процессы обраб. мет. давлением. Свердловск, 1987. С. 61-70.

72. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М., JL: Гостехиздат, 1949. 270 с.

73. Hardy C., Baronet C.N., Tordion G.V. The Elastic-plastic Indentation of a Half-space by a Rigid Sphere. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1971. №3. P. 451-4G2.

74. Hertz H.R. Die Prinzipien der Mechanik. Leipzig, J.A.Barth, 1894. 312 S.

75. Sears J.E. On the longitudinal impact of metal rods with rounded ends. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1908. Vol. 21. №. PP. 49-105.