Численное решение двумерных упругоплпастических задач, допускающих постановку в виде вариационных неравенств тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Численное решение квазистатических задач с односторонними ограничениями.

1.1. Упругопластическое кручение стержня овального сечения.•. П

1.2. Упругопластическое кручение стержня прямоугольного сечения.

1.3. Контактная задача для упругой пластины.

Глава П. Численное решение динамических задач с односторонними ограничениями.

2.1. Постановка динамической контактной задачи

2.2. Корректность геометрически нелинейной задачи.

2.3. Численное решение геометрически линейной задачи.

2.4. Численное решение геометрически нелинейной задачи.

Глава Ш. Динамическое деформирование плиты под действием взрывной нагрузки

3.1. Постановка задачи. Метод определения давления от взрыва.

3.2. Численная реализация метода определения взрывной нагрузки.

3.3. Учет вязкопластической деформации плиты.

3.4. Результаты расчетов напряженно-деформированного состояния плиты.

В современной инженерной практике при исследовании неодномерной деформации упругопластических тел возникает целый ряд задач, специфика которых заключается в том, что одним из неизвестных, подлежащих определению в этих задачах является граница. Например, упругопластическая граница, разделяющая области упругой и пластической деформации; граница зоны контакта тела с абсолютно жестким основанием (штампом) или деформируемым телом и т.п. Как правило, аналитическое решение таких задач оказывается невозможным или, в наиболее простых случаях, когда заранее известна геометрия неизвестной границы, очень громоздки!,1т. Практическая важность задач приводит к необходимости поиска эффективных приближенных и численных методов их решения.

Особое место среда упругопластических задач с неизвестной границей занимает класс задач, допускающих постановку в виде вариационных неравенств [I] . Формальная суть такой постановки заключается в следующей системе соотношений: у си)* о; (ол)

АоаИи*-и) »о для всех -и*: ^ (11*) 6 О, где 41 - решение (вектор), у) в (14/) - заданная скалярная функция, /У('Ц) - дифференциальный оператор; точка означает обычное скалярное произведение векторов. Термин "вариационное неравенство" связан с тем, что в (0.2) входит вариация решения Ц* - Ц . Система неравенств (0.1), (0.2) может быть задана как в области решения задачи (тогда к ней добавляются некоторые граничные условия), так и на ее границе (в этом случае в области предполагается выполнение некоторой системы уравнений). Возможен и смешанный вариант, когда задача внутри области и на ее границе формулируется в виде неравенств типа (0.1), (0.2).

Рассматриваемая система неравенств содержит (одностороннее) ограничение на решение (0.1), поэтому часто задачи, допускающие формулировку в виде вариационных неравенств называют "односторонними" или "задачами с ограничениями" ("задачами с односторонними ограничениями").

В силу правила Лагранжа (0.2) равносильно следующей системе нелинейных уравнений

А(и)«-Ч>$' (о.з) где ф = 0 » если ^ (Ц) * 0 и £ 0 , если у (Ц) = 0 .

Таким образом, ограничение разбивает область, на которой задана система неравенств (0.1), (0.2) на две зоны. В одной из этих зон предполагается выполнение строгого неравенства ('Ц.) < 0 и системы уравнений А (Ц) = 0 > в другой - уравнения Ц (И) - О и системы (0.3) ( ф £-0 ) . При этом граница, разделяющая зоны, подлежит определению в процессе решения задачи.

Односторонние задачи теории упругости и пластичности можно классифицировать по типу ограничений на физические и геометрические. К задачам с физическими ограничениями относятся задачи с неизвестной упругопластической границей (ограничение определяется условием пластичности), с геометрическими - контактные задачи, ког да зона контакта заранее неизвестна (в данном случае ограничение формулируется в виде условия на смещения). При полном различии механической постановки эти два типа задач могут быть рассмотрены единообразно с позиции теории вариационных неравенств.

Появление теории вариационных неравенств связано с рассмотренной А. Синьорини в 1933 г. задачей о равновесии упругого тела, соприкасающегося без трения с абсолютно жестким основанием. В этой задаче в виде неравенств (0.1), (0.2) были поставлены граничные условия для системы уравнений Ламе (задача с геометричес

KiM ограничением на границе). Следует заметить, однако, что задачи с ограничениями в теории пластичности рассматривались раньше. Примером может служить вариационный принцип А. Хаара и Т. Кармана Щ (см. также работу Г. Генки [з] ).

Задача Сицьорини была исследована Г. Фикерой [4] , положившим начало теории (1963 г.). Дальнейшее обобщение и развитие теория вариационных неравенств получила в работах Г. Стампаккьи [б], Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи [б] , К.-Л. Лионса [7, в] и других авторов (см. список литературы монографии [7] ).

К настоящему времени разработаны эффективные численные методы решения вариационных неравенств, изложенные которых дано в монографии Р. Гловински, Ж.-Л. Лионса и Р. Тремольера [9] . В общих чертах эти методы сводятся к аппроксимации ограничения (0.1) и дифференциального оператора, входящего в (0.2) и последующему решению конечномерной задачи на основе алгоритмов нелинейного программирования [l0, Ii] .

Численные методы теории вариационных неравенств применялись к решению упругопластических задач квазистатики Н.В. Баничуком [12, 13] , A.C. Кравчуком с соавторами [14-1б] , В.ГЛ. Картвелиш-вилли [l7] , A.B. Вовкушевским [l8] и другими авторами. Обширная библиография зарубежных работ приведена в монографии [9] и обзоре [l9] . В задачах динамики численные методы, основанные на постановке в виде вариационных неравенств, предложены М.Л. Уилкин-сом [20] , Ю.Г. Коротких [2l] .

Вместе с тем для решения ряда односторонних упругопластических задач в последнее десятилетие развиты эффективные численные методы, не имеющие непосредственного отношения к постановке задач в виде неравенств. Такие методы, основанные на выделении неизвестной границы, предложены Б.Д. Анниным [22] , Д.М. Фаге[23], В.И. Малым, А.Б. Ефимовым и В.Н. Воробьевым [24] . В упругопластических задачах динамики численные методы, предполагающие разбиение области решения на зоны упругой и пластической деформации разработаны В.Н. Кукуджановым, В.И. Кондауровым [25] и другими авторами (см. обзорные работы [26, 27] ).

Данная работа посвящена численному решению двумерных упру-гопластических задач квазистатики и динамики, допускающих постановку в виде вариационных неравенств. В ней обобщены результаты исследований, проведенных за период с 1978 по 1984 г. и опубликованных в работах [30, 33-, 42, 57, 58, 71, 74] . Работа направлена на приложение методов теории вариационных'неравенств к решению упругопластических задач, выявление эффективности и необходимости их применения при решении задач с неизвестной границей,• а также на проведение конкретных расчетов, результаты которых имеют практическое применение.

Диссертационная работа состоит из настоящего введения, трех глав, заключения и приложения.

Первая глава посвящена численному решению квазистатических задач с односторонними ограничениями. Рассмотренные задачи - задача упругопластического кручения цилиндрического стержня и контактная задача для упругой пластины и абсолютно жесткого штампа, относятся к вариационным неравенствам с дифференциальными операторами эллиптического типа (оператором Лапласа и бигармоничес-ким оператором соответственно). Дана новая численная реализация метода, предложенного Б.Д. Анниным для решения задачи упруго-пластического кручения стержня овального сечения. Приведены зависимости скручивающего момента от угла закручивания для сечений близких к правильному треугольнику и квадрату. Аналогичные результаты получены для стержня прямоугольного сечения, когда пластические зоны развиваются лишь вблизи пары противоположных сторон, на основе метода прямых. В результате применения метода поточечной верхней релаксации к решению контактной задачи для пластины построены зоны контакта, соответствующие квадратной пластине и штампу в форме параболоида. Проведено сравнение численного и полуаналитического решений для круглой пластины и штампа, поверхность которого является поверхностью четвертого порядка (в данном случае зона контакта не имеет внутренних точек).

Вторая глава посвящена численному решению динамических задач с ограничениями. Здесь рассмотрены две осесимметричные контактные задачи для упругопластической плиты и абсолютно жесткого основания, постановка которых в виде вариационных неравенств содержит операторы гиперболического типа (линейный и квазилинейный операторы соответственно). В этих задачах краевые условия контакта также сформулированы в виде вариационных неравенств. Построен алгоритм решения геометрически линейной задачи (задачи с линейным оператором), позволяющий расчитывать разрывные решения. Подобный метод предложен для решения задачи с учетом произвольных по величине углов поворотов элементов плиты (задачи с квазилинейным гиперболическим оператором). На основе этих методов получены численные результаты, показывающие, что в широком диапазоне изменения внешней нагрузки остаточное деформированное состояние толстой плиты определяется величиной полного (суммарного) импульса нагрузки.

Третья глава посвящена численному исследованию процесса деформирования плиты, лежащей на массивном шайбообразном основании под действием давления от взрыва сферического заряда взрывчатого вещества, погруженного в жидкость. Для решения задачи разработана приближенная методика определения давления гидродинамической системы на плиту, основанная на результатах" расчетов детонации заряда и центрально-симметричного течения жидкости, связанного с распространением и отражением ударной волны. Описанный во второй главе численный метод решения геометрически нелинейной контактной задачи для плиты распространен на случай материала, чувствительного к скорости деформирования. На основе этих методик получен ряд результатов, выявляющих характер зависимости остаточного деформированного состояния плиты от радиуса скругления кромки контактной поверхности основания. Проведено сравнение расчетов, выполненных с учетом зависимости предела текучести от скорости диссипации энергии и для постоянного предела текучести.

В приложении излагаются результаты, обосновывающие корректность теории упруго-идеальнопластического течения в задачах динамики. Показано, что система уравнений и неравенств Прандтля--Рейса приводится к системе дивергентного вида. Получены соотношения сильного разрыва решения. Выведена энергетическая оценка разности двух решений, из которой следует корректность задачи Ко-ши. Этот.материал используется во второй главе работы при построении численного метода решения геометрически линейной задачи.

Автор считает своим долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю профессору Б.Д. Аннину, сотрудникам Института гидродинамики Л.В. Баеву и A.M. Хлудневу за постоянное внимание и помощь на всех этапах работы и сотрудникам Вычислительного центра (г. Красноярск) В.В. Ефремову и В.А. Щепановскому за обсуждение работы и ряд ценных советов.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Разработаны численные алгоритмы решения задачи упруго-пластического кручения стершей овального и прямоугольного сечений, основанные на выделении неизвестной границы и использующие априорную информацию о ее геометрии. Построен алгоритм решения контактной задачи для упругой пластины и абсолютно жесткого штампа по методу поточечной верхней релаксации с проекцией. Целесообу разность применения методов теории вариационных неравенств к решению последней задачи определяется сложностью геометрии границы зоны контакта.

2. Для численного решения динамической задачи о контакте упругопластической плиты и абсолютно жесткого основания предложен алгоритм, обеспечивающий выполнение физических и геометрических ограничений и условий неотрицательности скорости диссипации энергии и неотрицательности контактного давления, позволяющий расчитывать разрывные решения без введения искусственной вязкости. Построена система уравнений и неравенств, описывающая маше упругопластические деформации элементов плиты при произвольных величинах поворотов. Предложен численный алгоритм решения контактной задачи на основе этих соотношений.

3. Разработана методика расчета осесимметричного деформирования плиты, лежащей на массивном шайбообразном основании, под действием давления от взрыва сферического заряда взрывчатого вещества в жидкости.

4. На основе развитых методов:

- построены упругопластические границы и зависимости скручивающего момента от угла закручивания стержня для сечений, близких к правильному треугольнику и квадрату и стержня прямоугольного сечения;

- построены зоны контакта дом квадратной пластины и штампа в форме параболоида и круглой пластины и штампа, поверхность которого является поверхностью четвертого порядка (в этом случае зона контакта не имеет внутренних точек);

- в динамической контактной задаче проведены численные эксперименты, показывающие, что в широком диапазоне изменения внешней импульсной нагрузки остаточное деформированное состояние уп-ругопластической плиты определяется величиной полного импульса нагрузки;

- получены результаты решения контактной задачи о деформировании упруго-вязкопластической плиты под действием взрывной нагрузки, выявляющие зависимость деформированного состояния плиты от радиуса округления кромки контактной поверхности основания.

Проведено сравнение расчетов, выполненных по упруго-вязкопласти-ческой и упруго-идеальнопластической теориям.

Заключение

1. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и .физике. - М.; Наука, 1980. - 384 с.

2. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических' и сыпучих средах. В кн.; Теория пластичности /Под ред. Ю.Н. Работнова. - М.: изд-во иностр. лит., 1948,- с. 41-56.

3. Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений. В кн.: Теория пластичности /Под ред. Ю.Н. Работнова. - М.: изд-во иностр. лит., 1948, с. I14-135.

4. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости.-И.: Мир, 1974. 160 с.

5. Stampacchia &. SFoam.es foliniaixib шгиы -ffts sm ensmêtts tштыь. C.R. Acaoi . Sol., <1964, U. 258 , M 48 , p. W3 - .6. &ion.ô 3.-X., Stampacckta G. UmaKowif in-щшкЫЬЬ. Gomm. PmU Appt. îiutft., ^967 ,

6. U. £0, /г5, p. 495 ~ 549 .

7. Лионе Ж.-Л. Некоторые метода решения нежшейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587 с."

8. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972, - 416с.

9. Гловиысни Р.', Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследова- ' ние вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

10. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. - 520 с. .

11. Полак Э. Численные метода оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. - 376 с.

12. Баничук H.B. Расчет упругопластического кручения стержней методом локальных вариаций. Инж. журн.: Механика твердого тела, 1967, ß I, с. 145-148.

13. Баничук Н.Б. Численное решение задачи о прогибе пластинки, стесненной ограничениями. Инж. журн.: Механика твердого тела, 1967, 1Ь 4, с. 138-142.

14. Кравчук A.C., Васильев В.А. Численные метода решения контактной задачи для линейно и нелинейной упругих тел. Прикл. механика, 1980, т. 16, 11 6, с. 9-15.

15. Зайцев Е.А., Кравчук A.C. Решение на ЭВМ контактных задач вязкоупругости. Изв. АН СССР: Механика твердого тела, 1981, JS 4, с. 93-98.

16. Кравчук A.C., Сурсяков В.А. Численное решение геометрически нелинейных контактных задач. Докл. АН СССР, 1981, т. 259, йб, с. 1327-1329.

17. Картвелишвили В.М. Численное решение двух контактных задач для упругих пластин. Изв. АН СССР: Механика твердого тела, 1976, ß 6, с. 68-72.

18. Вовкушевский A.B. 0 решении контактных задач с трением. -Изв. ВЕШИТ им. Веденеева, 1980, т. 136, с. 9-12.

19. Sctm-tuteon А., £ЧоЧег т. ШиаНопаР in -e^uaMus in ptoLbiuity. Rtczni dmtopmnts .- SFüate ßfem. Поп-китч. Шик., Шp.63-85.

20. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений. В кн.: Вычислительные метода в гидродинамике. -"М.: Мир, 1967, с. 212—263.

21. Коротких Ю.Г. Численный метод исследования поведения упруго-пластических тел при импульсных воздействиях. В кн.: Распространение упругих и упругопластических волн /Материалы

22. У Всесоюзного симпозиума. Алма-Ата, 1973, с. 209-216.

23. Аннин Б.Д. Двумерные упругопластические задачи. Новосибирск: изд-во Новосиб. ун-та, 1968. - 120 с.

24. Фаге Д.М. Приближенное решение нелинейных задач с ограничениями для уравнений эллиптического типа /Дис. на соискание уч. степени кандидата физ.-мат. наук. Новосибирск: Вычисл. центр СО АН СССР, 1980. - 118 с.

25. Малый В.И., Ефимов A.B., Воробьев В.Н. 0 решении пространственных контактных задач теории упругости. Докл. АН СССР,1973, т. 209, Я 2, с. 316-319.

26. Кондауров В.И., Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач динамики упруго пластических сред. В кн.: Избранные проблемы прикладной механики. - М.: изд-во ВИНИТИ,1974, с. 421-430.

27. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела. В кн.: Проблемы динамики упругопластических сред /Новое в зарубежной науке. Механика. - М.: Мир, 1973, JS 5, с. 39-84.

28. Аннин Б.Д. Существование и единственность решения задачи упру гопластического кручения цилиндрического стержня овального сечения. Прикл. математика и механика, 1965, т. 29, вып. 5, с. 879-887.

29. Аннин Б.Д., Ильин В.П., Лебедев С.Б. Численное решение задачи упругопластического кручения. В кн.: Труды конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. - Новосибирск: изд-во Вычисл. центра СО АН1. СССР, 1969, с. 37-40.

30. Аннин Б.Д., Садовский В.М. О численном решении задачи упру-гопластического кручения цилиндрического стержня овалшого сечения. Динамика сплошной среда /Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1978, вып. 37, с. 18-26.

31. Фаге Д.М. Полуаналитический метод решения одной упругоплас-тической задачи. В кн.: Вариационно-разностные метода в математической физике /Материалы Всесоюзной конференции. -Новосибирск: изд-во Вычисл. центра СО АН СССР, 1978, с.• I29-141.

32. Фаге Д.М. Приближенное решение одной нелинейной задачи с ограничением для двумерного эллиптического уравнения. -Докл. АН СССР, 1980, т. 255, J&.3, с. 531-534.

33. Аннин Б.Д., Садовский В.М. Упругопластическое кручение стер-, жня прямоугольного сечения. Изв. АН СССР: Механика твердого тела, 1981, Ш 5, с. 182-185.

34. Tin,(j T.W. fUastic piastlc tcmion prö&tern1..-Aack. RclUOFt 1Пес(г. ancl An&lysis 71. V.Z5, У5 7 p. 3^2,-366 .

35. Ttng T.W. Siasiie plas-Kc tOTsioa ргоfeiern

36. I. ~ Aach. Ration Шеек, artci } -f369, тт.34, лгЗ, р.Ш

37. Баничук H.B., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Численное решение вариационных и краевых задач методом локальных вариаций. -Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1966, т. 6, № 6, с. 947-961.

38. Каплан A.A. О применении выпуклого программирования для решения некоторых нелинейных краевых задач. В кн.: Вариационно-разностные метода в математической физике /Под ред.

39. Г.И. Марчука. Новосибирск: изд-во Вычисл. центра СО АН СССР, 1973, с. 137-145.

40. Михлин С.Г. О приближенном решении односторонних вариационных задач. Изв. ВУЗов, В 2 (213), с. 45-58.

41. Галин Л.А. О давлении твердого тела на пластинку. Прикл. математика и механика, 1948, т. 12, вып. 3, с. 345-348.

42. Черепанов Г.П. Давление твердого тела на пластины и мембраны. Прикл. математика и механика, 1965, т. 29, вып. 2,с. 282-290.

43. Мирсалимов В.ГЛ. Об одной контактной задаче теории упругости. Прикл. механика, 1975, т. II, вып. 9, с. 122-125.

44. Садовский В.М. Численное решение задачи о контакте упругой пластинки и абсолютно твердого тела. В кн.: Материалы ХУШ Всесоюзной научной студенческой конференции. Математика. - Новосибирск: изд-во Новосиб. ун-та, 1980, с. 58-63.

45. Прагер М. Быстрый алгоритм решения уравнения Лапласа в круге. В кн.: Дифференциальные и интегродифференциальные уравнения /Под ред. Г.И. Марчука. Новосибирск: изд-во Вычиел. центра СО АН СССР, 1977, вып. I, с. 6-14.

46. Самарский A.A., Андреев В.Д. Разностные метода для эллилти-. ческих уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

47. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 544 с.

48. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 440 с.

49. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: Физматгиз, 1961, - 518 с.

50. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Гостехиздат, 1947, - 300 с.

51. Галин Л.А. Упругопластическое кручение стержней полигонального сечения. Прикл. математика и механика, 1944, т. 8, вып. 4, с. 307-322.

52. Фаддеева В.Н. Метод прямых в применении к некоторым краевымзадачам. Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова, т. 28 -М.: изд-во АН СССР, 1949, с, 73-103.

53. Шцп G. И. Thi mtikod of lines foi Poisson's щи&Иоп vTlîh mnilneax оъ £гее boundary coitdi

54. UoМгКитгММет., m8,£2.9,jf3, p. 329-344 ,

55. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969, - 606 с.

56. Леонов М.Я., Передерий В.Д. Жесткость при упругопластичес-ком кручении простых стершей. Прикл. математика и механика, 1983, Т. 47, вып. 6, с. 1025-1029.

57. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упругопластическая задача. -Новосибирск: Наука, 1983. 240 с.

58. CltttatU &. ТЯе-consHcUneol efctsUc Beam, -Iruccanica, 4913 p. .

59. Аннин Б.Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: изд-во Новосиб. ун-та, 1975. - 96 с.

60. Садовский В.М. Динамическое деформирование круглой упруго-пластической плиты, лежащей на абсолютно жестком основании. Динамика сплошной среда /йн-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1983, вып. 61, с. I07-II2.

61. Садовский В.М., Аннин Б.Д., Баев Л.В., Леонов В.П., Меньшикова Г.В. Осесимметричное деформирование упругопластической плиты под действием взрывной нагрузки. Динамика сплошной среда /йн-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1983, вып. 62, с. I14-125.

62. Ycmcj Ч1М. A ubejiil ihtoгш for сопйгисИкфccmffex yte£d Jiuisiion. Items. ASME 3. Appt. Шееk, ШО, p. 501- 305 .

63. Грантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576.с.

64. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. -М.: Мир, 1982. 488 с.

65. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Про-■ копов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. - 400 с.

66. Стернберг Г.1.1., Уолкер В.А. Расчет течений и распределения энергии при подводной детонации пентолитовой сферы. В кн.: Подводные и подземные взрывы. - М.: Мир, 1974, с. I2I-I5I.

67. Sympos.(Ittiemcii:.) on ^eton.-Walking., 4965, p. 2,7 -38.

68. Са1ларский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975. - 352 с.

69. Евстегнеев A.A., Шерноклетов М.В., Зубарев В.Н. Изэнтропи-ческое расширение и уравнение состояния продуктов взрыва тротила. Физика горения и взрыва, 1976, Ш 5, с.758-763.

70. Садовский В.М. Численное решение осесимметричной контактной задачи динамики упруго-вязкопластической плиты.

71. Информационно-оперативный материал (Прикладная математика) /Препринт Вычисл. центра СО АН СССР, Красноярск, 1984, J& I, с. 5-8.

72. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир,. 1978. - 310 с.

73. Степанов Г.В. Влияние скорости деформации на характеристики упругопластического деформирования металлических материалов. Журн. прикл. механики и техн. физики, 1982, JS I, с.150-156.

74. Садовский В.М. 0 динамической корректности теории упруго-идеалънопластического течения. Динамика сплошной среды /йн-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1983, вып. 63, с. I47-151»

75. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. И.: Наука, 1979. - 744 с.

76. Друянов Б.А. Обобщенные решения динамической теории пластичности и термопластичности. Докл. АН СССР, 1982, т. 267,й 5, с. 1073-1075.

77. Друянов Б.А. Обобщенные решения в теории пластичности. В кн.: Тезисы докладов УШ Всесоюзной конференции по прочности и пластичности. - Пермь: изд-во Ин-та механики сплошн. сред1. УЩ АН СССР, 1983, с. 59.•

78. Смирнов В.И. Курс высшей математики /Том 17, часть 2. М.: Наука, 1981. - 550 с.

79. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. - 392 с.1. УТВЕРЖДАЮт\Ш" В. А. Игнатовл J С) 11л О /11. ЩгУ} сентября 1984 г.радприятия п/я А-3700, шкор технических науко.руководителя1. АКТ

80. Начальник отделения, доктор технических наук1. О.Г.Соколов