Применение вариационных неравенств к исследованию динамического деформирования упругопластических тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

п

V IV

.АКАДЕМИЯ НАУК РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ПРЕЗИДИУМ

На правах рукописи

Сздсшалтй Владимир Михайлович

УДК 539.374

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соисканпе ученой степени доктора физико - математических наук

Владивосток - 1995 г.

Работа выполнена в Вычислительном центре СО РАН, г. Красноярск

Официальные оппоненты:

доктор фпзико - математических яаук, профессор А. А. Бурешпз

доктор фпзико - математических наук, профессор А. С. Кравчуъ

доктор физико - математических наук, профессор А. М. Хлудне!

Ведущая организация:

Новосибирский государственный университет

Защита диссертации состоится " г. в часов на заседаншх диссертационного совета Д 002.06.0

по присуждению ученой степени доктора физико - математически наук в Институте автоматики и процессов управления ДВО РА1 при Президиуме ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул Радио 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан _г.

ч

Ученый секретарь днссертащтошюго сонета Д 002.06.07 кандидат физико - математических наук

" //

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Методы математического п численно) моделирования с использованием быстродействующих вычисли-¿лыхых систем получили широкое применение при решении науч-гтх п инженерных задач, связанных с исследованием напряженного нтоэтптя деформируемых сред и элементов конструкций, работаю-апс в у< товиях импульсного тгагружентгя в диапазоне необратимой 'формации. Основное, преимущество этих методов но сравнению с столом физического эксперимента состоит в возможности деталь-ого изучения протекающего процесса во времени при значительно еньшпх материальных затратах.

К narro тгцгму «ремекн для оппктия динамических процессов твердых телах разработаны. модели упруго - вяткогтластического сформирования, обладающие высокой точностью и учитывающие сальные механические эффекты. Эти моделп в известной степе-п вытеснили классические. В частности, моделп, основанные на сшотезах теории упругопластпческого течения Прандтля - Репсса. »казалось, что упруго - вязкопластпческие моделп приводятся к сигом;-,:.! уравнений в частных производных типа Коши - Ковалевской для них в большей степени обоснованы вопросы математической орректпостп, относительно просто решается проблема построения бобщенных решений с ударными волнами. Они легко обобщают-я на случай произвольных по величине необратимых деформаций и меют эффективную численную реализацию.

Тем не менее, интерес к теорпп Прандтля - Рейсса остает-а достаточно высоким, так как для практических целей точность пеленного решения в рамках этой теорпп часто оказывается удо-летворптельной. К тому же наиболее известные упруго - вязкопла-гические моделп с механической точки зрения, как и модель упру-опластического тела, не вполне совершенны, так как не описывают, апример, эффектов типа запаздывания текучести, а применение бо-ее сложных реологических моделей затрудните mAto из-за необходимости задания дополнительных постоянных, требуяндпх проведе-

ния специальных экспериментов. Наконец, являясь предельной дл вязкоупруго - вязкопластическнх моделей прп стремлении к пул: коэффициентов вязкости, теория упругопластического течения ош сывает асимптотическое поведение решений задач с вязкостью, по крайней мере в случае малых деформаций допускает построен! широкого класса точных решении, играющих большую роль прп т< стированин численных алгоритмов и отладке программ.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена вопроса применения вариационных неравенств к качественному анализу р шений и построению численных методов в динамических задача теории упругопластических сред.

Целью работы является исследование проблемы обобшеннь решений (проблемы описания сильных разрывов) для модели упру]

- идеальнопластическои среды Прандтля - Рейсса а модели сред] обладающей совместным изотропным и трансляционным упрочнен ем; разработка и апробация численных методов исследования, ад птпрованных к расчету разрывов; применение этих методов к реш кшо контактных задач импульсного деформирования слоистых шп на оправках.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются:

1. Формулировки моделей динамического деформирования уп гопластических тел в виде общего вариационного неравенства с л нейиым гиперболическим по Фрпдрихсу оператором (теория упруп идеальнопластического течения) и квазилинейным гшил>болпческ1 оператором (теория упрочнения).

2. Интегральное обобщение моделей, позволяющее в случ линейного оператора получать полную систему соотношений сил ного разрыва решения. Классификация упругопластических уда ных волн в теории течения при условии пластичности Треска - С

- Венана. Обоснование гипотезы регулярности сильного разры на основе анализа стационарной устойчивости упругопластическ ударных волн сдвига и продольных ударных волн в упрочняющей :реде с нелинейной диаграммой упрочнения.

3. Априорные опенки решений вариационных неравенств, из горых следует непрерывная зависимость от начальных данных рений задачи Кошп и краевых задач с диссипатпвнымп гргнпгчными ювиямп.

4. Общий подход к построению диссппатпвных разностных

для решения динамических задач теории таругопластического

ченпя. Численные алгоритмы корректировки решения, обобпхаю-

процедуру корректировки напряжений М. Л. Уплкивса.

5. Методика расчета динамического деформирования слоистых ругой ластаческих плит па оправках сложной формы с учетом тре-я л заранее неизвестных зонах контакта и в зонах расслоения, а кже алгоритмы численной реолизатгп уе.чояия контакта, постро-ные на основе вариацпопной формулировки.

Практическая ценность. Разработанная методика расче-слопстых плит на оправках применялась на стадии проектиро-нпя экспериментальных установок по испытанию металлических нструклпонных материалов на взрывостойкость и трещнностой-гть.

Приведенные в работе репгльтаты теоретических нсследова-гй дают представление о корректности постановки в рамках теории [ругопластипеского течения широкого класса прикладных задач [нампкп. Предложенные численные, методы и алгоритмы могут 1ть использованы при математическом моделировании дннамиче-ого деформирования материалов с нелинейными определяющими отношениями.

Результаты диссертации вошли в лекционные курсы кафедры Латематическое моделирование в механике'" Красноярского госунп-рситета п кафедры "Диагностика и безопасность технических сп-чем п инженерных сооружении" Красноярского государственного ясшгчсгхого университета.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, жладъдаичпсь на IX и XI Всесоюзных конференциях "Численные :тоды решения задач теории упругости и пластичности1' (Саратов.

1985 г., Волгоград, 1989 г.), Всесоюзной школе молодых ученых "В числительные методы и математическое моделирование" (дос. П. шенское, 1986 г.), УШ Всесоюзном симпозиуме по распространен) упругих и упругопластическт^х волн (Новосибирск, 1986 г.), Всесо» ной школе молодых ученых "Численные методы механики сплоти среды" (Абакан, 1989 г.), I и П Сибирских школах по современш проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибир 1988 г.; Якутск, 1990 г.), Ш Республиканской школе - семинаре 1 лодых ученых и специалистов по теоретической и прикладной ^ дромеханпке (Алушта, 1988 г.), Международной конференции дачи со свободными границами в механике сплошной среды" (Но: спбирск, 1991 г.), УШ Всесибирской школе по вычислительной ма матике (пос. Шушенское, 1993 г.), Международной конференции прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994 г. Международной конференции "Современные проблемы прикладз и вычислительной математики" (Новосибирск, 1995 г.), а также семинаре "Проблемы математического и численного моделирован] ВЦ СО РАН в г. Красноярске (руководитель - акад. Ю. й. Шок: 1988 г.; профессор В. В. Шапдуров, 1995 г.), семинаре по меха] ке деформируемого твердого тела в Институте гидродинамики ] М. А. Лаврентьева СО РАН (руководитель - профессор О. В. С нин, 1984 г.), семинаре кафедры механики деформируемого тверд тела в Новосибирском госуниверситетс (руководитель - акад. Е. Шемякин, 1984 г.; профессор Б. Д. Аннин, 1993 г.), семинаре "Бо шпе задачи математической физики" ВЦ СО РАН в г. Новосибир (руководитель - член - корреспондент РАН А. II. Коновалов, 1! г.), на семинаре по дшкшп'-я сплошной среды Института проб; механики РАН (руководители - профессор В. Н. Кукуджаноп, п фессор Н. В. Зволинскии, профессор А. Г. Куликовский и нрофео И. В. Симонов, 1990, 1995 г.г.), семинаре кафедры газовой и н новой динамики МГУ (руководитель - акад. РАН Е. И. Шемяк 190о г.), семинаре кафедры теории упругости Санкт - Петербурге го госунпверсптета (руководитель - член - корреспондент РАН Н.

1орозов, 1995 г.) п семинаре Института автоматики и процессов правления ДВО РАН (руководитель - акад. РАН В. П. Мясников).

Публикации. Основные результаты диссертант спублггко-апы в 17 печатных работа?; в научных журналах л сборниках.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, ппложения, заключения и списка литерат^-ры, изложенных па 259 ipaj;m;,\. включает 50 рисунков. Список цитируемой литературы :а 22 страницах содержит 18G наименований.

Краткое содержанке работы

Ро введении приведен обзор основных работ, посвяшенвых при-ишешж з"рпящ'пнных к< раьспстя в тядаччх механики деформттрур-юго твердого тела. В частности отмечено, что впервые варназпеп-[ые неравенства появились в известной работе А. Хаара п Т. Карма-ta (1909 г.), посвященной построению математической модели упру-опластичсской и сыпучей сред. В работе был предложен следующий фпвцпп: действительное поле напряжений, описывающее 'равнове-:не сред под действием заданной системы массовых и поверхностных ил. минимизирует функционал Каспип-гно на множестве статиче-•кп допустимых полек напряжений, удовлетворяющих системе ураз-юшш разноьеспя. граничным условиям в напряжениях п ограниченно в влле критерия наступления пластичности [критерия сдвигл •ыпучеп среди). как критерий пластичности формулируется

; терминах неравенств, то путем варьирования из -»того принципа >ыло получено не вариационное уравнение. а неравенство с произ-юльной допустимой вариацией напряжений.

Позднее, в работ»» Г. Генки, положившей начало деформапион-юп теории пластичности, на основе метода множителей Лагранжг. зыли полусны определяющие уравнения для срсл Хаара - Карман., л найдено основное противоречие модели, состоящее в том, что процесс разгрузки в таких средах, происходящий после необратимого цейормиропапня, приводит к исчезновению пластических составляющих тензора полных деформаций.

Формирование математической теории вариационных нер венств связано с задачей А. Спцьоринп (1933 г.) о равновесии пс действием заданной системы сил упругого тела, сопрнкасающего< без трения с плоским абсолютно жестким основанием (штампом), ^ торая сводится к минимизации функционала Лагранжа на множест] полей перемещений, удовлетворяющих геометрическому огракич ншо в области контакта. Задача Синьоршш была изучена Г. Фик рой, установившим условия существования и единственности реш нпя. Дальнейшее обобщение и развитие разработанные им метод исследования получили в трудах Г. Стампахкьп, Ж.-Л. Лпопса и 1 учеников.

Современное состояние теории дает достаточно простой а парат для доказательства теорем существования решений сложнь задач математической физики, специфика которых состоит в то чт .> одной из неизвестных величин, подлежащих определению в пр дсссе решения, является граница (например, граница зоны контак-' деформируемого тела и штампа, упругопластическая граница, ра делающая области упругой и неупрутой деформации и г. п.) и, кро: этого, предоставляет эффективный подход к конструированию пр ближенных и численных методов.

Целесообразность использования вариационных неравенств этих задачах объясняется тем, что неизвестная граница вхолаг формулировку задач лишь неявно, как граница, разделяющая облас решения на две части, в одпой из которых искомое решение являет внутренней точкой допустимого множества, а в другой - граничн его точкой. Таким образом, не требуется каких - либо апрпорш предположений относительно тоиолигкп грашщы и о

может быть пайдеиа сразу после нахождения решения задачи. К г жалешпо, это же свойство служит причиной, как правило, не сшн ком высокой точности определения границы при помощи числсшн алгоритмов, основанных на вариационной постановке.

Методы теории вариационных неравенств применялись к I следованию вопросов разрешимости задач механики деформируем»

ердого тела с неизвестной границей в работах Г. Фпкеры, Г. Дюво Ж .-Л. Лионса, X. Брезпса, К. Джонсона, А. С. Кравчука, А. М. туднсва, С. Б. Кукспна и др. авторов. Численные методы разматывались и применялись к решению упругопластическпх задач работах Р. Гловински, Ж.-Л. Лионса п Р. Тремольера, Н. В. Ба-гчука, В. М. Картвелишвили (см. библиографические списки мо-'графпц И. Главачска, Я. Гаслпнгера, И. Нечаса и Я. Ловишека 'ешеппс вариационных неравенств в механике", а также моногра-ш П. Панагнотопулоса "Неравенства в механике и их приложения, ыпуклые и невыпуклые функции энергии").

Во введении также отмечено, что в абсолютном большинстве [учасв в специальной лтггрра.ту ре рассматривались статпческпе или ¡азпстатические задачи.

В первой главе рассмотрены формулировки в виде варпацион-дх неравенств модели Прандтля - Рейсса упруго - пдеальнопла-•пческого тела п модели типа Кадашезича - Новожилова упрочня-щегося тела с нелинейным упрочнением общего вида при малых формациях элементов.

В первом параграфе предложена новая форма представления ютношенпй динамического деформирования упруго - идеальнопла-ттческих тел и упруго - пдеальнопластическпх пластин типа С. П. ¡шошенко в виде общего вариационного неравенства

(ит - и)(Ци) - д) > 0, и, и* £ К (1}

1я линейного гиперболического по Фрпдрихсу оператора

Ци) = Ли,, - £ В\е - С}и «=1

симметричной положительно - определенной матрицей А при про-)Вояных по времени п симметричными матрицами В5. при пропзвод-ых по пространственным переменным. Это представление основы-1стся на формулировке определяющих соотношений необратимого зформирования в виде принципа максимума скорости пластической (гссипащш энергии. В нем вектор и включает в себя компоненты

9

вектора скорости и тензора напряжений, дифференциальный опер тор Ь{и) совпадает с оператором соответствующей упругой модел а множество допустимых вариаций К задается физическим огран:

о

чением на напряжения - условием пластичности материала.

Во втором параграфе получено аналогичное представление д; соотношений, описывающих динамическое деформирование упро няющегося тела с произвольной (нелинейной) диаграммой упро нения. Рассматриваемая здесь модель совместного изотропного трансляционного упрочнения основывается на концепции разлож ния тензора напряжений в сумму тензоров микронапряженпй, с к торцми связано упрочнение материала, и дополнительных напр я» ний, обеспечивающих пластическую диссипацию энергии. Вопрос? построения такого рода моделей и пх теоретико - эксперпментальв му обоснованию посвящены работы Ю.И. Кадашевича и В.В. Ноа жилова, А. Ю. йшлпнского, Д.Д. йвлева, А. А. Вакуленко, Ю.Г. К роткпх и др. авторов.

В этом случае возникает вариационное неравенство

(и* - и)(ЛГ{ы) - д) > 0, и, и* £ К {

с квазилинейным гиперболическим оператором, который опреде.-ется через скалярные потенциалы Ф = Ф(и) пФ, = Ф4(и) как

дф) ■ » дф,{и) дф ЭФ,

^ ~ дй' Ш =

Кроме вариаций скоростей и напряжений в это неравенство вход вариации скалярного параметра, описывающего процесс цзотрош го упрочнения, и тензорногЗ парами гра, отвечающего за кпиемат ческое (трансляционное) упрочнение материала.

На основе неравенства Клаузиуса - Дюгсма исследована тера, динамическая корректность модели. Как частные случаи получе! вариационные неравенства для описания процессов распространен плоских волн сдвига и плоских продольных волн в однородных изотропных средах. Показано, что при выполнении условия строг выпуклости потенциала Ф{и), т. е. условия гиперболичности оис{

10

>ра Лт(и), диаграмма чистого сдвига монотонно возрастает неза-1гимо от конкретного типа упрочнения материала. Описав способ [редсления пластического потенциала как функции от параметров фочпенпя с использованием экспериментальных данных на чистый

1ВПГ.

В третьем параграфе при помощи метода регуляризации варп-шонного неравенства построена общая модель упруго - вязкопла-ичеекого дпппмического деформирования среды. Идея метода замечается н переходе от неравенства (2), записанного в эквпвалент-|й форме:

(V - и)(Х{и) -s) + ,SKiu) - (K{v) > О, ьш вектор без ка

;е и - произвольный вектор без каких - либо ограничении, а

если и Е К если и £ К

характеристическая функция множества К, к неравенству, полу-нному путем замены 6к («) гладкой функцией ß(u)f е (е - малый ;раметр), обладающей следующим свойством: ß(u) — 0 для и 6 К

;j(и) > 0 для и d К. Установлено, что если 8{и) = V^i" и")С1и — '), где С - симметричная положительно определенная матрица, а обозначает проекцию вектора и на множество К. то получаемая lkiim образом модель приводится к системе квазилинейных уравне-m

+ (3)

Показано, что при отсутствии упрочнения определяющие соот-■шенпя этой модели отвечают теории упруго - вязкопластпческого чения Шведова - Бингема. Доказана термодинамическая коррект->сть общей модели в смысле выполнения неравенства внутренней гссипации энергии.

Б последнем, четвертом параграфе первой главы рассматри-.ется вопрос о возможности математически корректного описания [адающего" участка диаграммы чистого сдвига в рамках теории чения. Здесь приводится модель вязкоупруто - вязкопластдческой

11

среды Щофплда и Скотт - Блера, реологическая схема которой сс держит два упругих, два вязких и пластический элементы и которая как показано в работе, в отличие от рассмотренных выше модсле при определенных ограничениях па параметры описывает явлен . запаздывания текучести, сопровождающееся увеличением и посл( дующим падением касательного напряжения с ростом деформацн при постоянной скорости сдвига.

Установлено, что система уравнений для описания сдвиговы волн в области вязкопластпческой деформации имеет гиперболпч» ский тип и обладает законом сохранения полной энергии.

Изучению запаздывания-текучести в случае одноосного раст; жения образца посвящены работы Ю. Н. Работнова и его ученшая Существуют специальные модели, описывающие это явление. Пр* блсмы, связанные с наличием "падающего" участка диаграммы, пы рок^ обсуждаются в литературе (В. В Клюшнпков, Л. В. Никптш Е. И.Рыжак и др.). В диссертационной работе делается акцент н принципиальную возможность моделирования такого участка, остг ваясь в рамках традиционного реологического подхода.

Вторая гава посвящена исследованию модели Прандтля - Ре сса. Изложенные в ней результаты опубликованы в работах [2, 9, К 17].

К настоящему времени модель Прандтля - Рейсса при м; лых деформациях достаточно хорошо изучена. В частности, М. \ Эстриным в 1960 г. установлена гиперболичность сг^темы ура; нений, отвечающей формулировке модели с условием нластпчност Мизсса на основе ассоциированного закона течения. В работах Ж Л. Лионса и С. Б. Куксина яри некиторн* лредполочс'лшях относз те л л но функций, входящих в граничные условия л начальные даг ные, доказаны теоремы существования и единственности решен» основных краевых задач. Цель исследований второй главы сост< иг в построении интегрального обобщения модели, позволяют« сформулировать понятие обобщенного решения и получить поляу систему соотношений, выполненных на поверхности сильного ра

ызза скоростей и напряжений.

Ранее проблема обобщенных решений в теории упругопласти-еского течения рассматривалась Манделей, сделавшим ошибочный ывод о неоднозначности описания поверхностей сильного разрыва ударных волн) в рамках этой теории. Полная система соотношений ильного разрыва была получена Г. И. Быковпевьш и Л. Д. Крето-ой с использованием гипотезы о максимальной пластической длссп-tannn энергга при переходе через разрыв. Решению этой проблемы юсвяшены также работы С. Б. Куксила, W. J. Drugan, Y. Shen.

В первом параграфе главы приведено интегрально« обобщение йриаццодного неравенства с линейным оператором в следующем вида

/ /(«* - v/2){~(xA) f + - > (4)

>jj{uL(u*} + («' - u)g}xduj1dt (2Q° = <? + Q').

G

>то обобщение эквивалентно исходному неравенству (I) на гладких >ешеннях и ве содержат производных от неизвестных функций. .С •■четом произвольности входящих в него варьируемых функций и* € i" и финитной- неотрицательной в обпаста определения решения G.

функции х = x(t>х) получено вариационное неравенство для скачка )ешеяю на поверхности сильного разрыва So:

(и* ~ ы°)£>{«] >0 (D = cA + jt v,B"), (5)

t=!

•де ti° = (и+ + и~)/2; и* € К - односторонние пределы решения на ?о, с > 0 - скорость распространения фронта разрыва в направлении гормали v,.

Во втором параграфе получены априорные оценки для глад-шх решений гиперболического вариационного неравенства (1) в характеристических коноидах оператора, хоторые в известном смысле -арантируют корректность постановки начальных данных (задачи Хошп) п дпссппатявных граничных условий задачи, а также доказы-зают конечность областей зависимости и влияния решений. Эти же

оценки установлены и при наличии произвольного числа поверх® стей разрыва, что свидетельствует о полноте системы соотношение вытекающей из неравенства (5).

Получена оценка, из которой следует, что энергетическая но] ма разности решений упругопластической и упруго - вязкопластич ской задач при одинаковых начальных данных (краевых условия: есть величина порядка квадратного корня из коэффициента вяз кос? и, таким образом, схремитса к нулю при его уменьшении.

Далее дано обоснование корректности сформулированного этой главе понятия обобщенного решения, включающего случай сш ного разрыва, в следующем смысле. Доказано, что если какая - ли последовательность гладких решений вариационного неравенства ( сходится по норме пространства £¡(G), то получаемая в пределе ( обязательно гладкая) вектор - функция является обобщенным реи нием, т. е. удовлетворяет неравенству (4). Показано, что если пост довательность гладких решений системы полулинейных уравнен с малым параметром, соответствующих модели упруго - вязкощ] стического деформирования, сходится по этой норме при стремлен параметра (коэффициента вязкости)'к нулю, то предельная функц также является обобщенным решением.

В третьем параграфе для модели динамического деформпро; шгя упруго - ндеальнопластичесшто тела с условием пластичное Мнзеса и условием Треска - Сен - Венана приведена полная класс фикация допустимых разрывных решений типа упруго.: ¡астичесь ударных волн. Установлено, что при условии пластичности Мпз< кроме упругих продольных и поперечных ударных волн существу: диссипатшшые разрывы, распространяющиеся со скоростью объ< ных волн с/ = \/рг1(А+ г/зр) (Р ~ плотность, A, ¡i - парамет Ламе).

Доказало, что при условии Треска - Сен - Венана выполняе свойство соосности тензоров напряжений, характеризующих сос яние элемента среды перед фронтом диссипатпзпого разрыва п его фр оптом. Показало, что для этой ыоделп возможны два кл

са диссипативных ударных волн, отвечающих состоянию неполной и полной пластичности и распространяющихся в одном из главных направлений тензора напряжении со скоростями с, = + ц) и

с/ соответственно. Кроме этого, допускаются квазипоперечные дис-сппатлвные ударные волны, движущиеся со скоростью

ст = ^р-!(ЗА + 2/1.)/'(4Л + 3^),

ориентация фронтов которых по отношентш к главным направлениям соосных тензоров напряжений с точностью до перестановки индексов задается формулами:

2 , 2А + //

''-24аТЗ? 1/3 =

На этих волнах разривнм как нормальные, так и касательные по отношению к фронтам напряжения.

В четвертом параграфе построены поля напряжений в задаче о распространении плоских продольных волн, вызванных мгновенным приложением постоянного нормального давления, в изначально сжатом в поперечном направлении упругопластическом полупространстве. Решение этой задачи при условии пластичности Мизеса содержит только одну движущуюся плоскость разрыла - упругий предвестник п примыкающую к пей центрированную простую волну, а при условии Треска - Сен - Венаиа - одну, две или три плоскости: упругий предвестник, волну неполной п полной пластичности, в зависимости от интенсивности прилагаемой нагр\-зки.

В третьей главе приведены рез\\тьтаты исследования общего вариационного иеравенства с квазилинейным оператором гиперболического типа, возникающего в моделях упрочняющихся сред. Материалы этой главы опубликованы з работах [8. 12, 14, 16].

В первом параграфе получены априорные оценки решений, пз которых вытекает единственность и непрерывная зависимость решения задачи Копт и краевых задач с днссипативнымп граничными условиями. Техника доказательства этих опенок переносится пз теория гиперболических систем квазилинейных уравнений.

15

Во втором параграфе построено интегральное обобщение ва риационпого неравенства (2):

//{-(Х«ЪР+ -'(«* - «)х<?}<м >

с 1=1

> //{-(«V - *)х,е + ы. - Ф.)х,. - (Л = Ё Фм - фд!

с «=1

Оказывается, что в случае нелинейного оператора не удаетс построить полную систему соотношений сильного разрыва аналс гично тому, как это было сделано в линейном случае. Метод инт« трального обобщения дает здесь необходимые ограничения на ска*; ки искомых функций при переходе через гиперповерхность разрыв в следующем виде

(«* - и°)И > -<г = с{<ра[и] - [ф]) + £«•,>] - [ф,])^, («

п

г = с<р + £ "Ж »=1

причем эти ограничения, вообще говоря, не позволяют выбрать едш ственного разрывного решения задачи.

Для решения проблемы выбора сформулировано дополнится] ное требование регулярности сильного разрыва: регулярным назь вается разрыв, на котором кроме вытекающего из (6) условия ре; лизусмости ¿>0, выполняется вариационное неравенство

(и* - «°)[г] > 0, и*, и± € К.

В третьем параграфе построены точные регулярные решен» задачи о распространении воли сдвига в упругопластическом пол; пространстве с нелинейной диаграммой упрочнения, имеющей у час' ки противоположной выпуклости. Показало, что при акгдвпом н; гружешш без разгрузки решение задачи определяется только видо диаграммы чистого сдвига и ае зависит от типа упрочнения мат риала.

Проблема выбора единствениого разрывного решения возш каст также при построении обобщенных решений в динамике газа

16

невыпуклым уравнением состояния. Она решается на основе метода вязкости (О. А. Олешшк, А. Д. Сидоренко, В. \Vcndroff и др.). В соответствии с этим методом класс реализуемых (устойчивых) ударных волн, описываемых моделью идеального газа, получается предельным переходом из последовательностей решений модели вязкого теплопроводного газа при стремлении к пулю коэффициентов вязко- ■ стп и теплопроводности. Аналогичный подход позволяет строить соотношения сального разрыва решения для гиперболических систем квазилинейных уравнений более общего вида (см. Рождественский Б. Л., Япснко Н. Н. "Системы квазилинейных уравнений").

Примоненле метода вязкостл к исследованию упругопластпче-ст ударямх волн сталкивается с необходимостью выбора вязко-упруго - зззкопластической коделп, адекватно огтсывааадей реот-гпчеекпе свойства среды. В четвертом параграфе на основе рассмотренных в первой главе моделей с двумя коэффициентами вязкости исследуются вопросы устойчивости ударных волн сдвпга и продольных ударных волн в упругопластической среде в рамках теорпп течения с изотропных! упрочнением.

Непосредственной подстановкой в систему уравнений, оппсы-' вающую распространение в направлении осп плоских воли сдвпга с отличными от нуля касательным напряжению.I сг13 д скоростью 1/3:

/и>з,< = спз,1 + А'оЧ и, ' йпз.* ~ /*(1'з,1 - >?,«)> (7)

в - 0(г;), = шах{0, сг13 - в}

(/¡о и Цр. - коэффициенты вязкостл Кельвина - Фойхта и Шведова - Бпш~сма, г] - пластическая составляющая сдвпга, зависящая от статического предела текучести 8) проверяется следующее свойство решений. Бели ?>з = ь3(у), а 13 — сг13(у), в = 0(у) - решение системы уравнений (7), зависящее от стационарной переменной у — с1 — хх, то г3(у/г), аи(у/е) ш ч(у/е) удовлетворяют аналогичной системе с параметрами вязкости и рре.

Поэтому предельный переход по вязкости в данном случае эквивалентен стремлению е 0, или -> оо, а исследование сходимо-

17

сти последовательности решений с исчезающей вязкостью сводится к анализу существования стационарных решений системы (7) с бесконечной областью определения — оо < у < оо н с конечными пределами при у —» ±оо.

Получаемые в результате предельного перехода по f скачкообразные функции, принимающие значения г^, при у > 0 п юГ,«тГ»,Ч~ при 2/ < 0, описывают стационарно устойчивую упруто-пластпческую ударную волну сдвига, движущуюся со скоростью с.

Такой способ исследования, предложенный при изучении ударных волн в газах И. М. Гельфандом, кроме (7) применен к модели распространения плоских продольных волн. Качественный анализ систем обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих стационарным вариантам моделей, позволил определить класс устойчивых решегпп и показал, что регулярные разрывные решения типа упругопластпческпх ударных волн устойчивы в смысле предельного перехода по коэффициентам вязкостп.

Ранее аналогичный подход к изучению упругопластпческпх п упруго - вязкопластпческих ударных волн в специальных нелинейных моделях применялся Я. А. Пачепским, В. Н. Кукуджановым, Б. А. Друяновым и Е. А. Святовой.

В этой же главе проведен анализ модели распространения сдвиговых волн в вязкоупруго - вязкопластической среде, в которой параметром упрочнения является работа пластической деформации сдвига (в = #'(ЛР), ¿Ар = сийц). Показано, что в случае строго выпуклой "вниз" диаграммы чистого сдвига эта модель определяет отличающийся класс стационарно устойчивых решений. Таким образом, при построении системы соотношений сильного разрыва для нелинейно упрочняющейся среды на основе метода вязкости существенную роль играет выбор базовой модели вязкоупруго - вязкопластпческого деформирования материала.

В четвертой главе рассматриваются способы конструирования численных методов решения динамических задач теории унругопла-стического течения на основе постановки в виде вариационных не-

равенств (1) и (2). Приведенные в ней результаты опубликованы в [7, 8, 10, 13].

Предлагаемый подход к решению проблемы весьма слабо разработан. Как правило, при построении численных методов решения задач динамики исходят из традиционной формулировки определяющих соотношений модели в виде ассоциированного закона течения, или, не останавливаясь па вопросах обоснования, используют процедуру корректировки напряжений, впервые предложенную М. Л. Уилккзсом. Сбзор исследований в этой области дан з работах В. Н. Кукуджанова и В. И. Кондауроэа.

Следует заметить, что формулировка модели на основе ассо-щшраьааЕОГо закона -гечеаая про разработке численных методов не является естественной. Во - первых, как. показало Кукуяжановым., система уравнений Прандтля - Рейсса непрпводима к дивергентной форме и ее нельзя обобщить в виде полной системы интегральных законов сохранения. Поэтому, исходя из этой системы затруднительно построение консервативных разностных схем сквозного счета, правильно списывающих сильные разрывы решения. Во - вторых, система ГГраадтля - Рсёсеа представляет собой систему кззазшаней-ьых уравнений, матрицы - коэффициенты которой по внешнему виду существенно различаются в упругой и пластической областях п цретерпсгашт разрыв первого рода па упруголластдческсх границах да же в случае непрерывных полей скоростей и напряжений. Это обстоятельство препятствует, например, применению се точно - характеристических методов, хорошо приспособленных к расчету решений гиперболических систем уравнений с гладкими козффцццен-■пает {Магомедоа К. М., Холодов А. С.). Наконец, при использовании зтой системы необходимо дополнительно обеспечивать зкгю.тяе-иле на дискретном уровне условия неотрицательности скорости пластической диссипации энергии, которое, по - видимому, служит для выбора единственного решения задачи, удовлетворяющего условиям -математической корректности.

Общая процедура построения численных методов исследаванш вариационных неравенств состоит из двух этапов: аппрокспмацш дифференциального оператора неравенства и аппроксимации ограничения. Как обычно, аппроксимация оператора L(u) предполагает его замену дискретным (разностным) аналогом Ьн{щ). На этапе аппроксимации ограничения указывается явное выражение для комбинации искомых сеточных значений решения й = 1/,{щ), удовлетворяющей ограничению задачи. После этого получается дискретное вариационное неравенство

(iíJ - Sh)(Lh{uh) - gh) > О, uj 6 К, (8)

к решению которого можно применить численные алгоритмы выпуклого программирования.

Теоретические вопросы, связанные с обоснованием такого под-1 хода, рассматривались в кн. Гловинскп Р., Лионе Ж.-Л., Тремо-льер Р. "Численное исследование вариационных неравенств".

В первом параграфе четвертой главы для одномерного вариационного неравенства с линейным оператором:

(u* -1t)(Aut - Buz) > 0, и, и* € К,

построен класс консервативных (диссппативных) разностных схем типа предиктор - корректор, диссипативные свойства которых определяются неотрицательной квадратичной формой, зависящей от искомого сеточного решения, с произвольными коэффициентами.

Основополагающая идея построения гяких схем состоит в аппроксимации вариационного неравенства дивергентного вида, при помощи которого производится интегральное обобщение модели:

и*(Ли,, - Bu*) > 1lz(uAu)¿ - 1/2(uJ3u)>r.

Показано, что схема, аппроксимирующая одновременно два приведенных здесь неравенства, характеризуется условием ¿д > 0, где

. _ г . . (иАи)1 - (иАи)*~1 1.. в .

4 - uhLh(uh) - i-'--Л.->— + _Л(илВил)

- дополнительная (схемная) скорость диссипации энергии (Л - ряз-пос1ная производная по пространственной переменной). На основе приема, предложенного при разработке численных методов решения дишгпгтткпх задач теории упругости Г. В. Ипаповым, выражение для представлено а виде квадратичной формы с"неотрицательно определенной матрицей V, задание которой шлводяет получат;, диссилативные схемы с определенным видом искусственной вяэко-гтп, обладающие свойством вычислительной устойчивости.

Указан алгоритм численной реализации схем, первый этап хо-торого состоит в расчете на один шаг по зремени вспомогательного г;4 рязиостной задачи, аппроксимирующей систему урньяе-ши! пшерооллчесгого тчпл Ь\а) — 0, а сторп« атаа а д:~х—тггт*р<'т-ке этого решения, включающей в себя процедуру вычисле.ши проекции определенной комбинации основного и вспомогательного решений на выиуклое множество допустимых вариаций. Рассмотрен рад конкретных способов корректировки, в частности, корректировка вида

и* = З—^а4 (0.5 < а < 1). (9)

а а- ~

3 упр2<топластпческих задачах этот алгоритм обеспечивает автоматическое выполнение в зоне необратимой деформащш условия пластичности и условия положительности скорости дшхппащш зыергин. Полученные способы корректировки решения представляют собой обобщение процедуры корректировки напряжений М. Л. Унлкшк I, но обладают по сравнению с этой процедурой меньшей дополнительной (схемной) диссипацией энергии ц большей точностью.

Во втором параграфе для иилюстрашш работоспособности алгоритмов приведены результаты сравнения точного решения задачи о распространении плоских продольных волн в упругопластическом полупространстве с начальными напряжениями при условии пластичности Мизоса и услошш Треска - Сеп - Венана и приближенных решений на основе трех схем с различными вариантами корректировки решения, в том числе с корректировкой Уилкянса.

В третьем параграфе способ построения дцссппатпвных разностных схем обобщен па случай неодномерного вариационного неравенства (1). Предложена процед}-ра расщепления по пространственным переменным разностной схемы с заранее заданным видом квадратичной формы, определяющей ее дпееппативные свойства, путем добавления к матрице О специальной кососнмметрпчной матрицы. Установлено, что такая процедура расщепления на первом эт;>-пе алгоритма (этапе определения вспомогательного решения системы уравнений) соответствует методу суммарной аппрокспмацпп н прц определенном выборе матрицы квадратичной формы приводит к хорошо известным схемам, основанным на аппроксимации С. К. Годунова.

В Четвертом параграфе для вариационного неравенства (2) с гзазплинейным гиперболическим оператором рассмотрен более об-' шип подход к конструированию численных алгоритмов, не использующий пдеи консервативности. Предложены простые способы корректировки решения, обеспечивающие устойчивость счета прп па-лггчпп устойчивости в схеме, аппроксимирующей соответствующую систему квазилинейных уравнений.

В пятом параграфе приведены результаты сравнения точных решений, полученных в третьей главе, п приближенных решений одномерной задачи о распространении волн сдвига в упрочняющейся упругопластической среде. Эти результаты демонстрируют надежность и эффективность предлагаемых численных алгоритмов* включающих этап совместной корректировки напряжений п параметров упрочнения.

В пятой главе описан алгоритм и приведены результаты численного решения в двумерной постановке задачн динамического деформирования слоистой упругопластической плиты на оправке сложной формы под действием импульсной нагрузки взрывного типа. По представленным в ней материалам опубликованы работы [1], [3] -[6], [21] п [15].

В первом параграфе предложена модель, описывающая процесс динамического деформирования отдельного слоя плиты при малых деформациях и произвольных по величине поворотах элементов. В основе этой модели лежит разложение тензора градиентов деформации , .

/1+«1Д «ii2 " - 0- ^ : = «•> i

R — «2,1 1 + и2,2 tí

I о 0 l + aui/xj

{щ - вектор перемещений, s = 0 или 1 - параметр симметрия), описывающего линейное преобразование объемного элемента плиты а-'-недеформировашшго состояния в деформированное, в произведение симметричного и ортогонального тензоров:

Ii — Q(7 4- Е), (10)

первый из которых (тензор I + E, отвечающий за деформацию) считается близким к единичному тензору, а второй (тензор поворота Q) - произвольным. Центральное место в модели занимает вариационное неравенство, отвечающее принципу максиммума скорости диссипации энергии:

(аЬ ai])((T4,i ~ - 2ßeij) > Ol /(-Sb S2,5з) < (11)

(здесь е = c¡¡5i¡ - скорость деформации объема, st - главные значения дезиатора напряжений). Выражения для скоростей деформации а уравнение эволюции угла поворота i? вытекают непосредственно из разложения (10):

ец = "1,1 ««i?+ U2,i sin i?, е22 = 1*2,2 cos ^ ~ yl,2 s'n (12)

v¡

езз~Я—, Ci2 — Vi 2COS I? + Ü22smi? + t? i,

X1 ■

^21 = v2,l COSI? — «1Д sinl? — = £<«2,1 - г*и) cos 1} - ! + 1*2,2) shi ö, (13)

система ур;шиеш!Й движения элемента плиты формулируется в терминах тензора напряжений Пиолы - Кирхгофа щ:

- тпд + П2.2 + s———, pvu ~ Г2|,1 + То2 2 + S—, (14)

XI

' Т\ 1 Г] 2 0 \ /СОЯ!?

Т21 Т22 0 I = I ¡¡Ыд со$$ 0 , о 0 \ 0 0 \)

'ап ап 0 \

<7)2 022 о . I о 0 азз / Во втором параграфе рассмотрены вариационные формулировки граничных условпп контакта плиты с оправкой п условий контакта соседних слоев после разрушения соединительных швов без учета трения в зонах контакта и с учетом тренпя по схеме Кулона. В частности, условия контакта нижнего слоя с оправкой формулируются в виде

(у\ - г>1)т12 4- - »>2)т22 < фдгеКК! ~ Ы)- (15)

Здесь индексы N и Т относятся к нормальному п касательному направлениям по отношению к поверхности оправкп, к - коэффициент трения, VI - произвольная вариация вектора скорости, удовлетворяющая ограничению

»г-ь^^^-Л, Д------—

(^2 = /»(^О - уравнение оправки, 5 -величина начального зазора), описывающему одновременно случаи касанпя и отхода поверхностей. Доказательство эквивалентности неравенства (15) п системы условий закона тренпя Кулона проведено на основе теоремы Куна - Так-кера, приведенной в приложенпп к диссертации. Аналогичные формулировки в задачах с трением рассматривались ранее в работах Г. Дюво, Ж.-Л. Лионса, А. С. Кравчука и других авторов.

В третьем параграфе описан алгоритм численного решения задачи, в котором аппроксимация дифференциального оператора выполнена в соответствии с идеей метода распада разрыва С. К. Го-. дунова.

Для численной реализации вариационных неравенств, соответствующих условиям контакта с трением, предложен п обоснован итерационный алгоритм, применяемый при решении задачи на каждом временном слое. Идея алгоритма состоит в "замораживании" выражения к\т//2\ на предыдущей итерации. Решение получаемого при этом варпвционного неравенства найдено в явной (достаточно

24

громоздкой) форме. Сходимость алгоритма доказывается на основе пришита сжимающих отображений.

- Предложенный алгоритм можно интерпретировать как ;1Лго-ритм корректировки решения при реализации условий контакта: первый его этап состоит в вычислении векторов скорости контактных поверхностей в случае их отхода (случай свободных границ), а второй - в пересчете этих векторов и последующем вычислении напряжений.

В четвертом параграфе представлены результаты расчетов деформирования однородных п двухслойных плит и пакетов, цель которых состояла а лге.трдованиц качественных особенностей динамического деформирования слоистых и квазислоггстых материален.

Показано, что остаточное деформированное состояние толстой плиты при осеспмметрцчном импульсном нагружеяпп в основном определяется интегральной величиной полного импульса внешнего давления, а не распределением давления по времени и пространственной координате, и, таким образом, обоснованно применение приближенных схем определения взрывной нагрузки.

В численных экспериментах псследован механизм появления зазоров между слоями двухслойного пакета, составленного пз однородных и разнородных материалов. На основе линейного критерия разрушения соединительного шва, который формулируется в терминах касательного и нормального напряжений на поверхности склейки:

|<7дгг| + <*<тцК <

(а и в„ характеристики соединения) выполнены расчеты расслоения киазислоистоп плиты под действием экспоненциально затухающего давления. Приведенные результаты демонстрируют основное достоинство квазислонстых материалов: при относительно малой интенсивности нагруженпя кваэислоистая плита имеет деформационные свойства, соответствующие однородной плпте эквивалентной' голшшшт. а при увеличении интенсивности происходит расслоение, которое цршюдпг к снижению опасного уровня изгибных деформа-

цпй, Ii, таким образом, предотвращает преждевременное разрушение.

В заключение параграфа рассмотрена схема динамического нагружения плиты, удерживаемой прижимной муфтой, при плоском деформированном состоянии, в которой существенное влияние в процессе деформирования оказывают силы трения, приводящие к уменьшению величины остаточного прогиба п перераспределению деформации.

В приложении изложены определения, теоремы и методы, используемые в работе без необходимых пояснений.

В первом параграфе приведены два критерия выпуклости функ ции и доказательство простой, но весьма полезной при конструировании выпуклых поверхностей текучести изотропных материалов теоремы Янга (W. Н. Yang) которая утверждает, что если функцш текучести выпукла п симметрична относительно главных напряжений, то она выпукла и в девятпмерном пространстве компонент тензора напряжений.

Во втором параграфе рассмотрены основные свойства параметризации Мпнковского и оператора проектирования на выпуклое множество в векторном пространстве. Эти свойства используются г первой, второй п третьей главах работы в связи с изучением моделег упруго - вязкопластического теченпя. А также приведен явный ки для оператора проектирования на выпуклое множество в простран стве напряжений, ограниченное поверхностью текучести Треска -Сен - Венана, который применяется при численном реализации алгоритмов корректировки решения.

Третий параграф посвящен теореме Куна - Таккера о суше ствованпп множителей Лагранжа в задаче выпуклого программирования. На основе этой теоремы установлена эквивалентность общеп вариационного неравенства в моделях динамического дефорылрова ния упругопластических тел и системы квазплпнейных уравнений отвечающей формулировке этих моделей на основе ассоциированной закона теченпя. ■

В четвертом параграфе изложен метод характеристик для решения уравнения Гамильтона - Якобп, играющего важную роль при получении априорных оценок для вариационного неравенства с гиперболическим оператором. Показано, что характеристические конуса для модели динамического деформирования упрочняющейся упру гопластической среды совпадают с конусами системы уравнения динамической теории упругости.

Заключение

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Г1р<»длп'Кеш> ¿аиегра.тьнод обобщение вариационного неравенства с линейным диффереашолыпгм оператором гнсср^слтг™-ского типа, на основе которого сформулировано понятие обобщенного решения динамических задач п получена полная система соотношений сильного разрыва в теорпп теченпя Прандтля - Рейсса, описывающей малые деформации упруго - идеальнопластического тела лрп произвольном выпуклом условии пластичности. Проведена клас-епфпкааия допустимых разрывов скоростей и напряжений (упруто-пластпчееких- ударных волн) в моделях теории течения с условиями шкшгзчкости Мнзеса а Треска - Сен - Веяаиа. Полнены точные автомодельные решения задали о распространении плоских продольных волн в предварительно напряженном полупространстве, демонстрирующие различие этих моделей.

2. Построено интегральное обобщение вариационного неравенства с квазилинейным оператором гиперболического типа, возникающего в моделях динамического деформирования упрочняющихся упругопластических сред, и получена система ограничений на возможные скачки скоростей, напряжений п параметров упрочнения на поверхностях разрыва. Для однозначного выбора разрывного решения вариационного неравенства с квазилинейным оператором сформулирован критерий регулярности сильного разрыва» На основе метода вязкости дано обоснование критерия регулярности в задачах о распространении ударных волп едппга тг продольных ударных волн

в упругопластнческой среде с нелинейной диаграммой упрочнения. Показано, что в случае строго выпуклой диаграммы класс стационарно устойчивых ударных волн существенно эавпепт от выбора базовой модели вязкоупруго - вязкопластического деформирования материала.

3. Разработаны новые численные алгоритмы сквозного счета для исследования задач дпиампкп упругопластическпх тел, допускающих постановку, в виде вариационных неравенств с гиперболическими операторами, которые сводятся к вычислению вспомогательного решения системы уравнений гиперболического типа на один слой по времени п последующей корректировке решения, обобщающей известную процедур}- корректировки напряжений М. Л. Упл-кпнеа. В одномерных задачах о распространении плоских цродоль-ных волн в предварительно напряженном полупространстве и волн сдвига в упрочняющейся упругопластпческой среде проведено сравнение численных и точных решений, демонстрирующее надежность п эффективность предлагаемых алгоритмов.

4. В задаче импульсного деформирования слоистой упругопластпческой плиты, установленной на оправке сложной формы, предложена математическая модель, описывающая процесс плоской п осе-симметричной деформации слоя прп произвольных поворотах элементов. Дана формулировка в виде вариационных неравенств условий контактного взаимодействия нижней поверхности плиты с оправ-^ кой и условии контакта в зонах расслоения с учетом трения по схеме Кулона. Разработан алгоритм численного решения задачл, включающий в себя этапы корректировки напряжений при реализации определяющих соотношений упругопластпчесього деформирования и корректировке скоростей в зонах контакта.

5. В численных экспериментах для двуслойной плнты и пакета исследованы основные качественные закономерности процесса расслоения квазислопстой плиты на массивной оправке под действием нагрузки взрывного типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] Садовский В.М. Динамическое деформирование круглой упруго-пластической плиты, лежащей на абсолютно жестком основании // Динамика сплошной среды. - Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1983. Вып. 61. - С. 107 - 112.

[2] Садовский В.М. О динамической корректности теории упруго -пдеальпоплаетического течеппя // Динамика сплошной среды. -Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1983. - Вып. 63. - С. 147 - 151.

[Л] Садовский В.М. Численное решение осеспмметричной динамической контактной задачи о деформировании пакета упругопластп-. ческпх плит // Деп. в ВИНИТИ, 1985. - N 5728 - 85ДЕП. - 69 с.

[1) Садовский В.М.. Линии Б .Д.", Баев-Л.В., Леонов В.П., Меиышг; кова Г.В. Осеспмметрпчное деформирование упругопластической плиты под действием взрывной нагрузкп // Динамика сплошной среды. - Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1986. - Вып. 62. - С. 114 - 125.

[5] Анппн Б.Д., Садовский В.М. Численное решение динамической контактной задачи о деформировании пакета упругопластнче-ских плит / / Динамика сплошной среды. - Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1936. - Вып. 75. - С. 27 - 36.

[6] Аннпп Б.Д., Садовский В.М. Динамика слоистых уиругопластп-ческих плит // Теория распространения вола в уиругих и упру-гопластичесхих средах. - Новосибирск: ИГД СО АН СССР, 1987. -С. ¿6- 60.

[7] Садовский В.М. Численное решение упругопластпческпх задач динамики на основе постановки в виде вариационных неравенств // Деп. в ВИНИТИ, 1989. - N 923 - В89. - 59 с.

[8] Садовский В.М. Вариационные и квазизаршщионные неравенства упругопластпческпх задач дпнампкп // Деп. в ВИНИТИ, 1990. - N 1780 - В90. - 45 с.

[9] Садовский В.М. Гиперболические вариационные неравенства в. задачах динамики упругопластпческпх тел // Прикл. математика и механика. - 1991. - Т. 55, N 6. - С. 1041 - 1048.

29

{10} Садовский B.M. Алгоритмы "корректировки" решения в задачах динамического деформирования упругопластнчеодах тел // Моделирование в механике сплошных сред. - Красноярск: Крас-нояр. ун - т, 1992. - С. 29 - 39.

[11] Annin B.D., Sadovsky V.M. A numerical analysis of laminated elastic - plastic plates under dynamic loading // Composites Science and Technology. - 1992. - V. 45. - P. 241 - 24G.

(12j Sadovskii V.M. To the problem of Constructing Weak Solutions in Dynamic Elasfcoplasticity // Int. Ser. Numerical Math. - 1992. - Y. 106. - P. 283 - 291.

[13] Sadovskii V.M. Algorithms of Solution Correction in Dynamic Elasto - plastic Problems // Modelling, Measurement. Control, B.

- 1993.-V..47, N4.-P. 1-10.

[14] Садовский B.M. К теории распространения упругопластпческих волн в упрочняющихся средах // Журн. прпкл. механики н техн. физики. - 1994. - N 5. - С. 166 - 172.

[15] Аннпн Б.Д., Садовскпй В.М. Алгоритмы корректировки решения в задачах динамического деформирования слоистых плит па оправках // Труды международной конференции по судостроению. Секция С. Прочность и надежность морских сооружений. -Саякт - Петербург, 1994. - С. 143 - 150.

[16] Садовский В.М. О стационарной устойчивости упругопластпческих ударных волн // Динамика сплошной среды. - Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1994. - Вып. .109. - С. 18 - 26.

[17] Садовский В.М. Упрутопластические у лирные волны при условии пластичности Треска - Сен - Венана // Научные исследования на математическом факультете. - Красноярский гос. ун - т

- Деп. в ВИНИТИ, 1995. N 1072 - В95. - С. 237 - 246.

$>. Ufj*