Смешанный гибридный метод конечных элементов и метод декомпозиции области для вариационных неравенств второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Игнатьева Марина Александровна

СМЕШАННЫЙ ГИБРИДНЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ ДЛЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань — 2004

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова — Ленина".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Лапин Александр Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Карчевский Михаил Миронович

доктор физико-математических наук, профессор Чижонков Евгений Владимирович

Ведущая организация: Институт вычислительной математики РАН,

г. Москва

Защита диссертации состоится 2004 г. в 14 часов

на заседании диссертационного совета К 212.081.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова — Ленина (420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. 217).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова — Ленина.

Автореферат разослан

" се.нту.р^/'Р 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

Агачев Ю. Р.

¿ODS"-Ч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория вариационных неравенств является интенсивно развивающейся областью нелинейного анализа, сформировавшейся к настоящему времени как самостоятельная дисциплина и занимающей важное место в математике и механике. В виде вариационных неравенств формулируются задачи математической физики со свободными границами, описывающие, например, фильтрацию жидкости в пористой среде, пластические и вязко-пластические деформации, контакт упругих тел, фазовые переходы.

Широко используемым методом решения задач математической физики является метод конечных элементов (МКЭ). Несмотря на то, что этот метод в достаточной степени теоретически разработан, остается много проблем его эффективного использования при решении прикладных задач, в особенности задач большой размерности, нелинейных задач и т. д.

Одной из проблем при использовании МКЭ является проблема повышения точности численного решения. В некоторых случаях повысить точность аппроксимации удается за счет применения смешанного и смешанного гибридного МКЭ.

Смешанные и смешанные гибридные формулировки краевых задач с дифференциальными операторами второго порядка позволяют применять МКЭ с одновременной аппроксимацией искомой функции и ее градиента. Это дает возможность находить градиент решения более точно по сравнению с приемом численного дифференцирования уже найденного решения задачи. Таким образом, в прикладных задачах, где интерес представляют также градиенты решения, смешанные МКЭ являются важным инструментом численного решения.

В результате аппроксимации вариационных неравенств, как в классической, так и в смешанной гибридной постановке, получаются, как правило, сеточные вариационные неравенства большой размерности и возникает другая проблема, связанная с необходимостью построения эффективных итерационных методов их решения.

Построение быстрых итерационных методов численной реализации схем МКЭ для линейных уравнений большей частью основывается на построении спектрально эквивалентных предобусловливателей для матриц соответствующих сеточных схем.

В работе Ю. А. Кузнецова1 построен спектрально эквивалентный предо-бусловливатель для матрицы уравнения, к которому сводится решение смешанной гибридной аппроксимации линейного эллиптического уравнения при применении элементов низкого порядка. В качестве предобусловливателя выступает сеточный оператор Лапласа на более мелкой сетке. В настоящей диссертационной работе эти результаты обобщены на случай вариационных

Kuznetaov Yu. A. Spectrally equivalent preconditioned for mixed hybrid discretizations of diffusion equations on distorted meshes / Yu. A. Kuznetsov // J. Numer. Math. - 2003. - V. 11. - P. 61-74.

3

РОС НАЦИОНАЛЬНА«; БИБЛИОТЕКА }

ИОТЕКА

неравенств с ограничениями на границе или внутри области, что позволяет построить итерационный метод, в котором сеточный оператор Лапласа является предобусловливателем. Следует однако отметить, что реализация каждого шага этого метода состоит в решении сеточного вариационного неравенства с сеточным оператором Лапласа и, тем самым, эффективность построенного метода зависит от эффективности соответствующей двухступенчатой процедуры его реализации. Для решения уравнения с оператором Лапласа разработаны эффективные методы и имеется готовое программное обеспечение, в то время как для рассматриваемого случая вариационного неравенства этого сказать нельзя.

В диссертации предложен эффективный итерационный метод решения классической (не смешанной) схемы МКЭ для вариационных неравенств с ограничениями на границе области, который в свою очередь применен для построения двухступенчатого итерационного метода решения построенной смешанной гибридной схемы МКЭ для задачи Синьорини.

Другим способом построения эффективных итерационных методов является использование метода декомпозиции области, который приобрел в последнее время большую популярность в связи с развитием параллельных вычислений. Особенностью метода является то, что он позволяет свести решение исходной сеточной задачи к решению подзадач меньшей алгебраической размерности, которые связаны между собой некоторым условием в небольшом числе точек (на линиях разрезов области). Решение задач в подобластях может осуществляться параллельно.

Еще одним аргументом в пользу применения метода декомпозиции области в случае задач со свободными границами является следующий. Как правило, на основе некоторой априорной информации можно выделить подобласти, содержащие свободную границу, причем размеры этих подобластей могут быть достаточно малы по сравнению со всей областью, в которой отыскивается решение краевой задачи. При соответствующем разбиении области на подобласти мы приходим к необходимости решать в большой подобласти краевую задачу для уравнения и лишь в малой подобласти — задачу с ограничениями. Кроме того, в подобластях, содержащих свободную границу, можно применять аппроксимации на мелкой сетке, если в результате решения задачи нужно достаточно точно определять положение свободной границы.

Таким образом, данная работа, посвященная построению и исследованию смешанных гибридных МКЭ для вариационных неравенств, а также разработке эффективных методов решения как смешанных гибридных, так и классических аппроксимаций вариационных неравенств, является актуальной.

Целями работы являются:

1. Построение схем смешанного гибридного МКЭ для вариационных неравенств с дифференциальными операторами второго порядка.

2. Конструирование алгоритмов решения вариационных неравенств на

основе метода декомпозиции области.

3. Разработка и исследование численных методов решения конечномерных уравнений, полученных в результате аппроксимации рассматриваемых задач.

4. Проведение вычислительных экспериментов и анализ их результатов.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем.

1. Построены и исследованы смешанные гибридные схемы МКЭ для эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на решение внутри или на границе области. Сконструированы эффективные итерационные методы их численной реализации.

2. Для задачи о препятствии построены сеточные схемы на основе метода декомпозиции области с неналегающими подобластями и несогласованными сетками в подобластях. Для численной реализации схем теоретически исследованы и численно реализованы итерационные схемы расщепления.

3. Построена смешанная гибридная схема для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией. Для ее решения применен метод, разработанный для решения эллиптических вариационных неравенств.

4. Построены и численно исследованы схемы типа предиктор-корректор для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией.

Достоверность полученных теоретических результатов обеспечивается строгими доказательствами сформулированных утверждений. Достоверность числовых расчетов подтверждена совпадением результатов с известными.

Научное и практическое значение работы. Работа носит, в основном,

теоретический характер. Разработанные итерационные методы вносят вклад в развитие численных методов решения нелинейных задач. Вместе с тем, разработанные методы использованы при численном решении задачи Стефана с предписанной конвекцией, моделирующей процесс непрерывной выплавки металлов. Предложенные подходы, методы и алгоритмы могут быть использованы при решении и других прикладных задач.

На защиту выносятся следующие результаты диссертационной работы:

1. Смешанные гибридные постановки эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на решение внутри или на границе области, обоснование их эквивалентности исходным дифференциальным постановкам.

2. Обоснование итерационного метода решения построенных сеточных схем смешанных гибридных элементов, оценка скорости его сходимости.

3. Сеточные схемы для задачи о препятствии, построенные на несогласованных сетках на основе декомпозиции области с неналегающими подобластями; обоснование сходимости итерационного метода Дугласа — Рэкфорда для построенных схем.

4. Смешанная гибридная схема конечных элементов для полудискретной задачи Стефана с предписанной конвекцией и обоснование итерационного метода ее решения.

5. Схемы типа предиктор-корректор для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета; на семинарах Отделения математического моделирования НИИММ им. Н. Г. Чеботарева КГУ; на Всероссийской молодежной научной школе-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре, г. Казань, 4-11 декабря 1997 г.; Всероссийской школе-конференции 'Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", г. Казань, 13 - 18 сентября 1999 г.; Первом и Втором российско-финском семинарах "Численные методы для задач непрерывной выплавки и смежных проблем", г. Казань, 14 - 18 апреля 2001 г. и И - 15 июля 2003 г.; Международной молодежной школе-конференции "Iterative methods and matrix computations", г. Ростов-на-Дону, 2-9 июня 2002 г.; Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач", г. Казань, 27 июня - 1 июля 2003 г.; Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", г. Москва, 16 - 22 мая 2004 г.; Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики", г. Казань, 27 июня - 2 июля 2004 г.

В целом диссертация была доложена на совместном семинаре Кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета и Отдела вычислительной математики НИИММ им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

Публикации. Основные результаты изложены в 7 работах. В совместных работах автор принимал участие на всех этапах исследования, непосредственно автору принадлежат описание вычислительных экспериментов и анализ их результатов.

Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Библиография включает 96 наименований. Общий объем диссертации составляет 145 страниц, включая 21 таблицу и 16 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан обзор литературы по теме исследования, определены цели и задачи исследования, приведена структура диссертации.

Первая глава содержит обзор известных сведений по тематике работы. Рассмотрена общая формулировка вариационного неравенства, примерами которого являются все задачи, рассматриваемые в диссертации. Приведены результаты о существовании, единственности и гладкости решений эллиптических вариационных неравенств. Рассмотрены классические схемы МКЭ первого порядка. Дана постановка задачи Стефана с предписанной конвекцией, приведен результат о существовании ее решения. Также приведены некоторые сведения о пространствах Соболева, из теории максимально монотонных операторов и выпуклого анализа.

Вторая глава посвящена смешанным гибридным схемам для эллиптических вариационных неравенств и итерационным методам их решения.

В п. 2.1 рассмотрен смешанный гибридный метод для класса задач с ограничениями на искомую функцию на границе области, построены сеточные схемы и исследован итерационный метод их решения. Основные идеи подробно изложены на примере задачи Синьорини.

_ Пусть fi С К", п ^ 2, — область с кусочно-гладкой границей дП = Гд1 иГлг U Г с, где Г/з, Глг и Гс — непересекающиеся части <90, и mes Гд ^ О Определим также подпространство V = {и € и(х) = 0 п. вс. на Гд]

пространства Соболева первого порядка Я1 (fi) и выпуклое замкнутое множество К = {и е V\ и(х) ^ Оп. вс. на Гс}. Задача Синьорини состоит ъ отыскании функции «€ К, такой, что выполняется неравенство

где / € ¿2(О) — известная функция. Известно, что задача (1) имеет единственное решение и € Я2(О).

Даны смешанная формулировка задачи, в которой неизвестными являются две функции: искомая функция и и ее градиент v = Уи; и смешанная гибпидная постановки задачи Синыгойни. в котооой присутствуют той неиз-

J

(1)

п

fi

Гу П Гс}, где Л = П«; и через Гу обозначена общая сторона элемен-

тов е\ и ву Предположим, что дС1 состоит из з отрезков, которые обозначим Гх,... ,1У Пересечение дв{ с ^ = 1, в обозначим через Г,г = 1 ,т, ] = 1, в и пусть для j = 1,вх, вх < 8 составляют Гдг и Гс, в то время как к = в! + 1, в составляют Гд.

Пусть далее V = (ух, ..., ут), и = («х,...,ит) и билинейные формы ¿М : V х V М, @ : [/ XV—>К определены равенствами

™ г ™ г

Ж (у, ЛУ) = 2_] I V* • vfidx, = 22 I Щ Wída;,

<=1 I 1=1 I

т т *

1 у ■'А

и задан линейный функционал

т . = £ /

1=11

Смешанная гибридная постановка сформулирована следующим образом: найти тройку (у, и, А) € V х и х удовлетворяющую соотношениям

+ = 0 V € V,

= V <?£{/, (2)

Доказана следующая теорема об эквивалентности смешанной гибридной постановки исходной.

Теорема 1. Задача Синъорини (1) и смешанная гибридная задача (2) эквивалентны в следующем смысле:

если и — решение (1), то тройка (у, и, А) является решением (2), где щ = «| — сужение и на е.{, V< = "Чщ п. вс. на е^ и Ау — щ п. вс. на Гу ;

обратно, если (у, и, А) — решение задачи (2), то функция и = (их,..., ит), щ -- и\е., является решением задачи (1) и = Vи п. вс. на е,-, А^ = и п. вс. на Гц.

Из теоремы на основании известного факта о существовании и единственности решения задачи Синьорини (1) следует существование единственного решения смешанной гибридной постановки.

Построена аппроксимация смешанной гибридной схемы с использованием конечных элементов низкого порядка, а именно, вектор-функции и е II и А € Л аппроксимированы вектор-функциями с постоянными компонентами. Для аппроксимации у использовано пространство Равьяра - Тома Шо

функций v = (vi,..., ут), таких, что нормальная составляющая v,- • Пу компоненты Vi на каждой из сторон Гу элемента е,- является константой.

Аппроксимация задачи (2) записана в виде так называемого "конденсированного" конечномерного включения относительно вектора степеней свободы конечномерной аппроксимации функции А:

БХ + СХэР. (3)

Известно, что матрица 5 является симметричной положительно определенной матрицей, С — субдифференциал индикаторной функции множества ограничений на вектор А — является многозначным максимально монотонным диагональным оператором. Отсюда следует существование единственного решения задачи (3).

Далее предполагается С К2. Известно, что в случае квадратной сетки с шагом Л матрица Б спектрально эквивалентна дополнению Шура 5[д для пятиточечного оператора Лапласа, построенного на сетке с шагом /г/2:

< < Р^лИ) (4)

где положительные константы а и /? не зависят от Л, а размерность пространства равна размерности вектора А. Доказана

Теорема 2. Итерационный метод д»+1_ \п

БА--— + 5А" + СХп+1 э Г (5)

т

сходится при т € (0, 2//3) и для оптимального значения т = 2/(а + (3) справедлива следующая оценка:

(5Л(А"+х - А), Ап+1 - А)1/2 ^ — А), А" — Х)1'\

где а,/3 — константы спектральной эквивалентности 5 и ¿Уд-

Одна итерация метода (5) равносильна решению конечномерного включения с сеточным оператором Лапласа.

Приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие, что число итераций предложенного метода не зависит от шага сетки и скорость сходимости метода для включения (3) такая же, как и в случае решения методом (5) уравнения Пуассона,

Для решения классической аппроксимации МКЭ задачи Синьорини со стандартной пятиточечной аппроксимацией эллиптической части построен и исследован эффективный двуступенчатый итерационный метод. Идея построенного метода опирается на то, что ограничения на искомую функцию

присутствуют лишь в точках границы. Это позволяет построить итерационный процесс, на каждой итерации которого нужно решать, во-первых, линейное уравнение во всей области, для чего можно применять известные эффективные методы, как, например, метод Фурье или многосеточный метод, и, во-вторых, конечномерное включение малой, по сравнению со всей областью, алгебраической размерности.

Число операций, необходимых для реализации предложенного метода, оценено величиной порядка £>(/г~21п21/к). Построенный метод может быть использован при осуществлении итерации метода (5).

Приведены результаты вычислительных экспериментов по реализации метода (5) с использованием в качестве внутреннего итерационного процесса построенного двуступенчатого метода.

В п. 2.2 построена смешанная гибридная схема для задачи о препятствии внутри области:

и е К : ! УиУ(д - и)<Ьг > п п

где К = {и € #¿(0)1 и(х) > 0 п. вс. в П} и / € Известно, чртз един-

ственное решение задачи и & Н2(П). Смешанная гибридная формулировка в этом случае следующая: найти тройку (v, и, А) € V х М^ х Л, такую, что

'Л?(V, м^) + Щи, лу) + #(А, = 0 € V,

Уд € Лф, (?)

= 0 Уме Л,

где М^ = {и £ и\ щ ^ 0 п. вс. на е,}. Сформулирована и доказана теорема об эквивалентности задач (6) и (7), аналогичная теореме 1.

Аппроксимация задачи (7) также проведена аналогично задаче Синьори-ни и после аппроксимации конденсированное включение записано в виде

Бр + Ср, Э Г, (8)

где Д = (й, А)т, 5 — симметричная положительно определенная матрица, С — субдифференциал индикаторной функции множества ограничений = = («6 И*«! щ ^ 0 для всех г}- В этом случае для матрицы 5" включения (8) также справедлива оценка вида (4), откуда следует, что скорость сходимости итерационного процесса (5) для решения включения (8) не зависит от Л. Однако в этом случае оценка (4) несколько хуже. А именно, в случае квадратных сеток для задачи Синьорини а = 1, (3 = 3, в то время как для задачи о препятствии а = 1, (3 = 6. Следовательно, при решении этих двух задач методом (5) с заданной точностью для задачи о препятствии нужно сделать больше итераций.

Приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие полученные теоретические результаты.

Третья глава посвящена разработке сеточных схем для задачи о препятствии на основе метода декомпозиции области.

В области ПсК2 рассмотрена задача о препятствии, причем предполагается, что известна область $12 С О, в которой находится свободная граница.

В п. 3.1 дана постановка задачи минимизации: найти функцию и € К, доставляющую минимум функционалу

где / е К = {и € и(х) > 0 для п. вс. х £

Пусть = Г2 \ й2,

Ц = {щ е Н1 (П<) | щ(х) = 0 для п. вс. х € дГ^ПдП, ¿ = 1,2},

— {(^ъ^г) £ И х У2 | «^яОЬ = для п. вс. х £ Я},

К2 = {и2 € У2 | и2(х) > 0 для п. вс. х £ П2}, М = {(мь^г) £ К\ П К2},

где 5 = ШхПШг- Тогда задача (9) может быть сформулирована эквивалентным образом: найти пару функций («1,^2) £ М, доставляющую минимум функционалу

V(«i,t)2) £ V\ х У2. Здесь 1м — индикаторная функция множества М.

В предположении, что Л = (0,1) х (0,1), Q2 = (0.5,1) х (0,1), построена аппроксимация вариационного неравенства (11) на несогласованных сетках. А именно, в области fij построена квадратная сетка с шагом Я, в области Пг ~ квадратная сетка с шагом h — Н/т, где т > 0 — произвольное целое число. Функции в (11) аппроксимированы кусочно-билинейными и непрерывными функциями на соответствующих сетках, для вычисления интегралов использована составная квадратурная формула трапеций. Множество М аппроксимировано множеством

(9)

В п. 3.2 задача (10) записана в виде вариационного неравенства

Mh = {(uift,u2ft) £ V\h X v2h\ U2h(x) > 0, ulh\s = W2ftls}>

11

где Уц, С VI — пространства кусочно-билинейных непрерывных функций, билинейных на каждой из ячеек сетки.

Показано, что аппроксимацию задачи (11) можно записать в матрично-векторной форме:

где Сг и Ск — субдифференциалы индикаторных функций множеств ограничений на векторы узловых параметров в Пг и на £ соответственно, А{ — сеточная аппроксимация оператора Лапласа в подобласти с условием Неймана на границе 5 и условием Дирихле на границе \ 5.

После соответствующих обозначений задача (12) записана в виде

Ай + СйЭ/ (13)

с симметричной и положительно определенной матрицей А и максимально монотонным диагональным оператором С. Здесь й = {й\,йг)т, / = (/1,/г)т.

Свойства матрицы А и оператора С обеспечивают существование единственного решения включения (13).

Для решения включения (13) исследованы возможность применения и вопросы реализации схемы расщепления

(£Г1(йп+1/а - й") + Айп + С(й"+1/2) Э /, . .

| В(йп+1 - йп) = йп+]/2 _ йп, ^ '

где в качестве И выбрана диагональная матрица итерационных параметров Б = сИа§(т1,..., п, Т2,... ,Т2), такая, что задача в каждой подобласти имеет свой итерационный параметр г< > 0, С(йп+1) = (С(и?+1), С(гг"+1), • • ■)•

Реализация первого шага метода сводится к нахождению значений «1 и «2 во внутренних точках подобластей по явным формулам. Показано, что для нахождения значений «1 на границе 5 получим систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей (при любом т), решив которую, найдем значения иг при помощи линейной интерполяции. Второй шаг метода (14) при выборе матрицы В в блочно-диагональном виде состоит в решении двух несвязных систем по подобластям, которое может осуществляться параллельно. Вычислительные эксперименты были проведены для случая В = Е + Б А, что соответствует схеме Дугласа - Рэкфорда.

В этом случае (А — положительно определенная матрица, С — максимально монотонный оператор) известны оценки скорости сходимости метода Дугласа - Рэкфорда и оптимальные итерационные параметры.

В п. 3.3 ограничения «1 = и2 на разрезе 5 учтены с помощью множителей Лагранжа А. От задачи минимизации (10) осуществлен переход к задаче

поиска седловой точки лагранжиана : (иь щ, А) 6 14 х К% х Ь2{Б) —►

и2, А) = + 72Ы + J А(«1 - «2)^5. (15)

Известно, что критерием седловой точки лагранжиана (15) являются соотношения

J+ !Аг^сГ = J/ху^Х е И, (16)

— К2)с1Г > У /2(^2 — и2)(£г £ К2, (17)

П2 5 Пг

Г(щ - щ)уЛТ = 0 Ум е £а(5). (18)

В области Г2 построена сетка, как описано в п. 3.2, и проведена аппроксимация задачи (16) - (18). При этом, для аппроксимации щ и «2 использованы пространства кусочно-билинейных непрерывных функций на соответствующих сетках и для аппроксимации множителей Лагранжа А использовано пространство следов функций из Уън на 5. При вычислении интегралов использована составная квадратурная формула трапеций, причем, для вычисления интеграла по границе 5 использована квадратурная формула на сетке с мелким шагом Л. В итоге аппроксимация записана в матрично-векторном виде

Ау + Су Э /, (19)

где

* = А)г, /= (/,о)г го)'

Таким образом, в отличие от случая, рассмотренного в п. 3.2, получено включение, в котором матрица А является лишь положительно полуопределенной, а не положительно определенной, и существование единственного решения включения (19) не следует из общей теории. Доказана

Теорема 3. Решение включения (19) существует и единственно. Для решения (19) применена схема Дугласа - Рекфорда

ГЦ-\Е + ОС)Г+1'2 Э Р-у + /- Ау", ш

В(г+1-уп) = Г+1/2-Г,

(

где

/ Ei + nAi О —T\F\ \

B = E + DÂ = О Е2+т2А2 -t2F2 (21)

\ -r3if -r3if Es )

и D = diag(ri,...,ri, Г2,..., т2, т3,..., тз), ^ — единичные матрицы соответствующих размерностей. В этом случае теоретические оценки скорости сходимости и оптимальные итерационные параметры метода Дугласа - Рэкфорда неизвестны. В работе приведено обобщение на случай переменных итерационных параметров по подобластям результатов P. L. Lions и В. Mercier2 о сходимости метода Дугласа - Рэкфорда для суммы двух максимально монотонных операторов.

Реализация первого шага метода (20) сводится к нахождению значений «1, Û2, А по явным формулам, а второй шаг, в отличие от случая п. 3.2, представляет собой связную, через значения Лп+1, систему

' {Ex + - й?) + riFi(Ân+1 - Â") = щ+у2 - fi? в wiU si,

< {E2 + т2А2)(й2+2 + t2F2(Â"+1 - Л") = «2+1/2 - Щ в w2Us2,

Ân+1 - xn - t3f?(ûï+1 - 6?) - r3if (6?+1 - щ) = Ân+1/2 - Л" на s2,

где через wit i = 1,2, обозначены множества внутренних сеточных узлов в подобластях fi*, s* — множества узлов соответствующей сетки на S.

Для того, чтобы получить систему несвязных задач, предложено выбрать матрицу В в (20), например, в виде

Ei + TiAi О О I 0 Е2 + т2А2 О -т31? -r3F? Е3

(22)

Тогда на втором шаге метода (20) получим систему несвязных задач по подобластям, решив которые, найдем Л"+1:

'(El + n¿i)(ü?+1 - ü?) = ñí+1/2 - Щ в ц>! U si,

(Е2 + т2А2){й^2 - «5) = м£+1/2 - Щ В ш2 U 52,

Л-+1 - Л" - т31f (ÛÏ+1 - Щ) - r3if(û?+1 - «5) = Лп+1/2 - Л" на s2.

В п. 3.4 приведены результаты вычислительных экспериментов, где сравнивались числа итераций метода расщепления для решения схемы с множителями Лагранжа (19) при В = E+DA и при выборе матрицы В в виде (22), и схемы без множителей (13) при различных начальных приближениях. На основании результатов экспериментов сделаны следующие выводы:

'Lions P. L. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators / P. L. Lions, B. Mercier // SIAM J. Numer. Anal. - 1979. - V. 16. - P. 964-979.

1. В случае гладкого начального приближения, согласованного с граничными условиями, методы ведут себя одинаково.

2. Метод с множителями Лагранжа менее чувствителен к выбору начального приближения.

3. В случае схемы с множителями Лагранжа нужно дополнительно подбирать итерационный параметр 73 для А. Параметры т\ и Тч во всех случаях выбирались как теоретически оптимальные для задачи (13) и из вычислительных экспериментов можно сделать вывод, что они близки к оптимальным также в методе Дугласа - Рэкфорда для задачи (19).

4. Выбор матрицы В в виде (21) или (22) дает одинаковые числа итераций схемы расщепления, но в последнем случае получается система несвязных задач по подобластям.

Четвертая глава посвящена решению двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией.

_ Пусть П С К", п > 2, — область с кусочно-гладкой границей = Г^и иГ^, где Гд и Гдг — непересекающиеся части дО, и теэ Гд ф 0. Задачу Стефана формально можно записать следующим образом: найти пару (и(х, £), 7(3;, ¿)), такую, что

где п — единичный вектор внешней нормали, v = const > 0, z, g и 70 — заданные функции. Также считаем, что график функции Я : Ж1 —» R1 монотонно возрастает и содержит вертикальный сегмент и предполагаем, что функция Н однозначна в точках Гр.

Задача (23) является математической моделью процесса охлаждения слитка металла при непрерывной выплавке. Здесь и соответствует температуре металла, Н(и) — энтальпии, a v — скорость движения слитка в направлении х\. Функция энтальпии имеет скачок, например, для меди.

Известно, что если g G L2(T,n), 70 G Н(щ) для некоторого щ € Lx(fl), и 3 zq € L2(0, Т; Я*(П)), такая что zq = z на Ед, то существует единственное обобщенное решение задачи (23).

На временном отрезке [0,Т] построена равномерная сетка с шагом г и проведена полудискретизация задачи при помощи аппроксимации

в<Э = Пх (0,Т],

на Ed = Гд х (0,Т],

на HN = TNx (0, Т],

в Q, в й,

и = z(x, t)

i ди

(23)

7(я,t) £ H(u(x,t))

7(х,0) = 7о(х)

После дискретизации по времени рассматриваемая задача Стефана на каждом временном слое может быть записана в следующем поточечном виде:

' -Ли + Си Э / в П,

и = г на Го, /г,е\

ди ^

0^ = 9 наГ„,

где Си = Н{и)/т — многозначный максимально монотонный оператор.

В п. 4.1 рассмотрен смешанный гибридный МКЭ для задачи (25). Кроме обозначений, введенных в главе 2, использованы следующие. Определена билинейная форма Ж : II х I/ —► К,

= Е / ™ах> «=11

и линейные формы

" г ™ ^ г

&{<1) = Е / £(ц) = ¿2 Е / «=1 £ «=1 ¿=1г

г'

»» О л

и=Е Е / ^. -^г.

<=1 А=81+!г^

Обобщенной смешанной гибридной формулировкой задачи (25) является следующая задача: найти (и, v, А, 7) € {/ х V х Л х [/, такую, что

'^(у^ + ^и^ + ^А,™-) = гМ Уш е V,

«(«, V) - ЛГ7) = V? € СТ.

= Л,

[7(и) е Си,

(26)

где Си = (Н(и\)/т,...,Н(ит)/т) для и е ¡7.

Смешанная гибридная постановка (26) и задача (25) эквивалентны.

Аналогично главе 2 проведена аппроксимация задачи (26) и получено конденсированное включение с матрицей, совпадающей с матрицей включения (8) для задачи о препятствии, и максимально монотонным оператором. Отсюда сделан вывод, что результаты о сходимости метода (5) : справедливы и при решении задачи Стефана на каждом временном слое. Приведены результаты численной реализации метода, показывающие, что число итераций метода (5) не зависит от шага сетки.

В п. 4.2 для задачи Стефана (23) предложены и численно исследованы схемы расщепления типа предиктор-корректор, построенные на основе декомпозиции области. Здесь рассмотрен случай П с К3.

Пусть в области П построена равномерная сетка с шагом h. Неявная сеточная схема для задачи (23) с использованием аппроксимации (24) и стандартного семиточечного шаблона для аппроксимации оператора Лапласа может быть записана на фиксированном временном слое tn+i — (п + 1 )т в виде

+i _ + Ай"+1 = 0, 7n+1 е Н(йп+1), (27)

т

где А — конечно-разностная аппроксимация оператора Лапласа с соответствующими краевыми условиями, 7" — вектор с координатами 7"_= 7(^1— —ту,х2,хз,тп), 7(2;) е Н(и(х)) и через Н(йп+1) обозначен вектор Я(й"+1) =

Наряду со схемой (27) рассмотрены схемы с расщеплением оператора А на сумму операторов А = А\ + А2 вида

' I(^»+i/2 _ у) + Агй"^2 + А2йп = 0, 7п+1/2 € Н{йп+1'\

<■ т (28)

(т™+1 - 7") + Aii2п+1/2 + А2йп+Х = 0, f+1 е Я(йп+1).

т

Предложены два способа выбора операторов Ai и А2) основанные на декомпозиции исходной области.

Рассмотрен случай П = (0, ¿1) х (0, £2) х (0, £3) и произведена декомпозиция области плоскостью S = {ж : х\ = const}, которая проходит через линии сетки в направлениях х2 и хз. Обозначим через 6s характеристическую функцию плоскости S, т. е. сеточная функция ¿s(x) = 1 для х £ 5 П Q, тогда как Ss(x) = 0 для других сеточных точек. Здесь через и обозначено множество сеточных точек, включая точки, лежащие на границе области П.

Схема 1. Явный предиктор - неявный корректор (EPIC). Возьмем операторы в виде А\ = (1 — <5s)/4 и А2 = 8$А. В этом случае реализация схемы (28) состоит из следующих шагов:

1. Предиктор: вычисление й"+1/2 и 7П+1/2 на границе S с использованием явной схемы:

1(у,+1/2 _у») + Лйп = 0, 7п+,/2 6 Я(iin+1/2); т

2. Основной шаг: решение несвязной системы задач в подобластях

1(^+1/2 _ 7») + Айп+1/2 = 0) ^n+1/2 G я(йп+1/а) в щ, г = 1,2 (29)

Т

с условиями Дирихле на границе S, вычисленными на шаге 1. Решение этих задач может осуществляться независимо друг от друга;

3. Корректор: решение двумерной задачи на S. Во внутренних точках (ih,jh, kh) — х £ S уравнения записываются следующим образом:

п+1/2 п+1/2

1(7»+1 _ 7П) _ дг21зИ«+1 + |и»+1 = ^W + ^W г+1 е H(un+1),

где Аг213и = иХз12+иХз1а, 7П - соответствующая координата вектора 7.

Отметим, что схема ЕРЮ без шага "корректор" является лишь условно устойчивой.

Схема 2. Неявный предиктор - явный корректор (1РЕС). Положив в (28) Ащ ~ —¿5ИЦ11 и = А — Лг, получим схему, реализация которой состоит из следующих шагов:

1. Предиктор: решение неявной двумерной сеточной задачи на которая для внутренних точек 5 имеет вид

1(7П+1/2 _ 7") _ Д^Х+1/2 = 7п+1/2 6 н(ип+1/2);

2. Основной шаг (совпадает с предыдущей схемой): решение задач (29) в подобластях;

3. Корректор: уточнение значений й, 7 на по формулам

1 о 1("+1/2 , п+1/2

1(7п+1_7п) + ^ип+1 = 7«+1 е Н(ип+1).

Проведено численное сравнение построенных схем с неявной схемой (27). Численно показана безусловная устойчивость построенных схем.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены смешанные гибридные постановки эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на решение внутри или на границе области, обоснована их эквивалентность исходным дифференциальным постановкам. Построены схемы смешанного гибридного метода конечных элементов низкого порядка аппроксимации. Обоснован итерационный метод решения построенных схем и получены оценки скорости сходимости метода. Построен и исследован эффективный итерационный метод решения классической схемы МКЭ для задачи Синьорини.

2. На основе метода декомпозиции области построены сеточные схемы для задачи о препятствии. Обоснована сходимость итерационного метода Дугласа - Рэкфорда для построенных схем, обсуждены алгоритмы его реализации.

3. Построена смешанная гибридная схема для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией. Предложен и обоснован итерационный метод ее решения.

4. Построены и численно исследованы схемы расщепления типа предиктор-корректор для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией. Численно показана безусловная устойчивость схем.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Игнатьева М. А Совместное использование итерационной схемы расщепления и метода декомпозиции области при решении эллиптических вариационных неравенств / М. А. Игнатьева // Матер. Всеросс. молодежной науч. шк.-конф. по матем. моделированию, геометрии и алгебре. — Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 1998. — С. 61-65.

[2] Игнатьева М. А. Решение сеточных вариационных неравенств, построенных на основе метода декомпозиции области с неналегающими подобластями / М. А. Игнатьева // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казан, матем. об-во. - Казань: УНИПРЕСС, 1998. - С. 228-232.

[3] Игнатьева М. А. О методе решения двумерной задачи теплопроводности с фазовым переходом / М. А. Игнатьева // Матер, шк.-конф.: Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. — Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 1999. — С. 107-108.

[4] Ignatieva M. A. A domain decomposition method for Stefan problem with prescribed convection / M. A. Ignatieva // Iterative methods and matrix computations. The International Summer School. — Rostov-on-Don, 2002. — P. 401-407.

[5] Игнатьева М. А. Применение смешанных гибридных элементов при решении эллиптических односторонних краевых задач / М. А. Игнатьева, Ю. А. Кузнецов, А. В. Лапин // Матер. II Всеросс. молодежной науч. шк. -конф. "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач". — Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2003. — С. 128-140.

[6] Ignatieva M. A. Mixed hybrid finite element scheme for Stefan problem with prescribed convection / M. A. Ignatieva, A. V. Lapin // Lobachevskii J. Math.- 2003.- V. 13.- P. 15-24.- (http://ljm.ksu.ru/voll3/ila.htm).

[7] Ignatieva M. A. Iterative solution of a mixed hybrid finite element scheme for the Signorini problem / M. A. Ignatieva, A. V. Lapin // Сотр. Meth. in Appl. Math. - 2004. - V. 4, No. 2. - P. 180-191.

»1 80 5 2

РНБ Русский фонд

2005-4 16375

Лицензия на полиграфическую деятельность №0128 от 08.06.98г. выдана Министерством информации и печати Республики Татарстан Подписано в печать 22.09.2004 г. Форм. бум. 60x84 1/16. Печ. л.1,25. Тираж 120. Заказ 207.

Минитипография института проблем информатики АН РТ 420012, Казань, ул.Чехова, 36.

Введение

1 Обзор известных результатов

1.1 Формулировка вариационного неравенства.

1.2 Функциональные пространства.

1.3 Примеры вариационных неравенств.

1.4 Теоремы существования, единственности и гладкости . 30 ^ 1.5 Задача Стефана.

1.6 Монотонные операторы и выпуклые функции.

1.7 Аппроксимации вариационных неравенств

1.7.1 Аппроксимация задачи о препятствии.

1.7.2 Аппроксимация задачи Синьорини.

1.7.3 Аппроксимация контактной задачи.

1.7.4 Алгебраические формулировки сеточных вариационных неравенств. 1.7.5 Аппроксимация задачи Стефана.

1.8 Некоторые итерационные методы.

1.8.1 Метод верхней релаксации

1.8.2 Методы расщепления

1.9 Задача с седловым оператором для вариационных неравенств.

Смешанные гибридные методы для эллиптических вариационных неравенств

2.1 Смешанная гибридная схема для задачи Синьорини.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Смешанная гибридная постановка.

2.1.3 Аппроксимация.

2.1.4 Итерационный метод

2.1.5 Численные результаты.

2.1.6 Метод решения конечноэлементной схемы для задачи Синьорини.

2.1.7 Численные результаты.

2.2 Задача с ограничениями во внутренних точках области

2.2.1 Смешанная гибридная постановка.

2.2.2 Аппроксимация.

2.2.3 Численные результаты

Метод декомпозиции области для задачи о препятствии

3.1 Постановка задачи.

3.2 Эквивалентная задача с суммой двух максимально монотонных операторов.

3.2.1 Аппроксимация.

3.2.2 Метод расщепления.

3.3 Метод декомпозиции области с использованием функции Лагранжа

3.3.1 Аппроксимация.

3.3.2 Метод расщепления.

3.3.3 Другие варианты выбора предобусловливателя

3.4 Численные результаты.

4 Решение задачи Стефана с предписанной конвекцией

4.1 Смешанная гибридная схема

4.1.1 Математическая модель.

4.1.2 Смешанная гибридная формулировка задачи

4.1.3 Аппроксимация.

4.1.4 Численные результаты ф 4.2 Декомпозиция области в задаче Стефана.

4.2.1 Схемы предиктор-корректор.

4.2.2 Численные результаты.

Обозначения

Rn — евклидово пространство n-мерных вещественных векторов

О, — область, т. е. открытое подмножество в Жп дО, — граница области Q

Ck(Q) — множество к раз дифференцируемых в Г2 функций

О) — пространство бесконечно дифференцируемых финитных в области ft функций

LP(Q) — пространство Лебега вещественных измеримых функций, интегрируемых с р-й степенью в области Q

W™(£t) — пространство Соболева таких функций, что все их обобщенные производные до порядка т включительно принадлежат Lp

Hm{Q) =

Я*(П) ={иеН1(П)| 4^ = 0} mes (Q) — мера Лебега области Q int Q — множество внутренних точек ГI

Ct — замыкание О

D(A) — область определения оператора А : V —► V*, D(A) = {xeV\ Ахф 0}

R(A) — область значений оператора А : V —► V*, R(A) = {у € V*\ D{A) :уеАх} graph А — график оператора А : V —► V*, graph А = {(ж, у) eV xV*\xe D(A), у € Ах}

D(t£>) — эффективная область функционала (р : V —> К. U {+оо},

D(y>) = {a; G V| <р(х) < +оо} 1к — индикаторная функция множества К dtp — субдифференциал (множество субградиентов) выпуклого полунепрерывного снизу функционала <р

Ker А — ядро матрицы А, Кег А = {ж : Ах = 0}

Im А — образ матрицы A, Im А = {у : 3 х такой, что у = Ах}

Е — единичная матрица п. в. — почти всюду, почти все пн. сн. — полунепрерывный снизу

Теория вариационных неравенств является интенсивно развивающейся областью нелинейного анализа, сформировавшейся к настоящему времени как самостоятельная дисциплина и занимающей важное место в математике и механике. В виде вариационных неравенств формулируются задачи математической физики со свободными границами, описывающие, например, фильтрацию жидкости в пористой среде, пластические и вязко-пластические деформации, контакт упругих тел, фазовые переходы.

Начало теоретическому исследованию вариационных неравенств положили работы G. Fichera [51], J.-L. Lions и G. Spampaccia [58], Н. Brezis [36]. Подробное изложение теории вариационных неравенств и ее применения к решению различных прикладных задач можно найти в книгах Ж.-Л. Лионса [18], Г. Дюво и Ж.-Л. Лионса [7], А. Фридмана [29], Д. Киндерлерера и Г. Стампаккьи [13].

Одним из наиболее широко используемых методов решения задач математической физики является метод конечных элементов (МКЭ). Теория МКЭ изложена, например, в работах О. К. Зенкевича [8], Г. Стренга и Дж. Фикса [26], Ф. Сьярле [27]. Несмотря на то, что этот метод в достаточной степени теоретически разработан, остается много проблем его эффективного использования при решении прикладных задач, в особенности, задач большой размерности, нелинейных задач и т. д.

Основными проблемами при использовании МКЭ являются проблемы повышения точности численного решения и эффективности реализации построенных сеточных схем. Смешанные и смешанные гибридные МКЭ позволяют повысить точность нахождения градиентов решения.

В диссертации рассмотрены смешанные формулировки некоторых вариационных неравенств, которые отличаются от исходных тем, что содержат две неизвестные функции — вводится новая переменная, являющаяся градиентом решения задачи. Гибридная постановка основана на разбиении области, в которой отыскивается решение, на некоторые подобласти, после чего задача формулируется относительно следующих двух неизвестных: значений искомой функции во внутренних точках элементов и ее значений на границах элементов. Таким образом, по своей идее гибридный метод близок методу декомпозиции области, про который будет сказано ниже. Смешанная гибридная формулировка основана на объединении двух упомянутых подходов.

Смешанные и смешанные гибридные формулировки краевых задач позволяют применять МКЭ с одновременной аппроксимацией искомой функции и ее градиента. Это позволяет находить градиент решения более точно по сравнению с приемом численного дифференцирования уже найденного решения задачи. Следовательно, в прикладных задачах, где интерес представляют также градиенты решения, смешанные МКЭ являются важным инструментом численного решения.

Теория смешанных и гибридных МКЭ достаточно полно развита для линейных краевых задач (см. монографии F. Brezzi и М. Fortin [38], J. Е. Roberts и J. М. Thomas [83] и библиографии в них). Существенные результаты по сходимости и точности схем таких конечных элементов получены для нелинейных эллиптических уравнений в работах F. A. Milner [71], F. A. Milner и E.-J. Park [72], Е.-J. Park [79], М. Lee и F. A. Milner [65], F. A. Milner и М. Suri [73], М. Farhloul [49], Z. Chen [40] и других.

Смешанные и гибридные МКЭ для задачи Синьорини и контактных задач исследованы J. Haslinger и I. Hlav&cek [52], P. Coorevits, P. Hild и J.-P. Pelle [42], Р. Coorevits, P. Hild, К. Lhalouani и Т. Sassi [74], L. Baillet и Т. Sassi [32], В. F. Belgacem и Y. Renard [35], R. Hassani, P. Hild, I. R. Ionescu и N.-D. Sakki [75]. В перечисленных работах исследована точность методов при наличии предположений о регулярности решений. Получены априорные и апостериорные оценки погрешности решения и проведены численные исследования.

Результаты, касающиеся смешанных гибридных методов для вариационных задач, рассматриваемых в диссертации, являются новыми.

В результате аппроксимации вариационных неравенств, как в классической, так и в смешанной гибридной постановке, получаются, как правило, сеточные вариационные неравенства большой размерности и возникает проблема, связанная с необходимостью построения эффективных итерационных методов их решения.

Построение быстрых итерационных методов численной реализации схем МКЭ для линейных уравнений большей частью основывается на построении "хороших" предобусловливателей для матриц соответствующих сеточных схем. Предобусловливание может быть как явное, когда строятся спектрально эквивалентные матрицы для матрицы сеточной схемы, допускающие эффективное обращение, так и неявное. К последнему классу относятся многосеточные методы и методы декомпозиции области.

В работе Ю. А. Кузнецова [60] построен спектрально эквивалентный предобусловливатель для матрицы уравнения, к которому сводится решение смешанной гибридной аппроксимации линейного эллиптического уравнения при применении элементов первого порядка. В качестве пре-добусловливателя выступает сеточный оператор Лапласа на более мелкой сетке. В настоящей работе построены смешанные гибридные схемы первого порядка для эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на искомую функцию на границе (например, задача Синьорини) или внутри области (задача о препятствии), предложен и исследован итерационный метод их решения.

В результате так называемой процедуры конденсации (исключения из смешанной гибридной схемы двух неизвестных) соответствующие схемы МКЭ сводятся к сеточным вариационным неравенствам относительно вспомогательных переменных (по существу, множителей Лагранжа) с симметричной положительно определенной матрицей. В [60] показано, что эта матрица спектрально эквивалентна дополнению Шура сеточного оператора Лапласа на более мелкой сетке, что позволяет построить итерационные методы, где сеточный оператор Лапласа является предо-бусловливателем. Метод сходится со скоростью, не зависящей от шага сетки. Следует однако отметить, что реализация каждой итерации этого метода состоит в решении вариационного неравенства с сеточным оператором Лапласа и, тем самым, эффективность построенного метода зависит от способа двухступенчатой процедуры его реализации. Для решения уравнения с оператором Лапласа разработаны быстрые методы и имеется готовое программное обеспечение, в то время как для рассматриваемого случая вариационного неравенства этого сказать нельзя. В диссертации предложен эффективный итерационный метод решения классической (не смешанной) схемы МКЭ для задачи Синьорини, который в свою очередь применен для построения двухступенчатого итерационного метода решения смешанной гибридной схемы МКЭ для задачи Синьорини.

Методы декомпозиции области — это класс методов, основанных на разделении (декомпозиции) области, в которой нужно решить задачу, на подобласти. Особенностью метода является то, что он позволяет свести решение исходной сеточной задачи к решению подзадач, которые имеют меньшую алгебраическую размерность и связаны между собой некоторыми условиями на линиях разрезов области. Таким образом, строится итерационный процесс, на одной итерации которого нужно решать задачи в подобластях. Методы декомпозиции области делятся на методы с налегающими подобластями и методы без налегания. В данной работе рассматриваются только методы с неналегающими подобластями.

Мотивацией применения декомпозиции области может быть сложная геометрия исходной области, использование различных математических моделей и аппроксимаций в подобластях, возможность использования прямых методов в подобластях. В последнее время метод декомпозиции области приобрел большую популярность в связи с развитием вычислительных систем с параллельной архитектурой. При реализации метода на многопроцессорных компьютерах итерации организуются таким образом, что решение задач в подобластях осуществляется параллельно, за счет чего достигается выигрыш во времени вычислений.

В настоящее время наибольшее развитие получили методы декомпозиции области для эллиптических уравнений второго порядка (см., например, работы В. И. Агошкова [1], A. Quarteroni [80], A. Quarteroni, J. Periaux, Ю. Кузнецова и О. В. Widlund [45], В. Smith, P. Bj0rstad и W. Gropp [87], P. Le Tallec [66]).

Как уже было отмечено, использование явных предобусловливате-лей для вариационных неравенств, как правило, не приводит к желаемому результату эффективной численной реализации конечномерных вариационных неравенств, поскольку построенные с их помощью итерационные методы снова требуют решения некоторых вариационных неравенств на каждой итерации, а эта задача по трудоемкости решения может быть сравнима с исходной. В то же время, метод декомпозиции области для задач с ограничениями, как с налегающими, так и с неналегающими подобластями, может привести к эффективно реализуемым алгоритмам.

Дополнительным аргументом в пользу применения метода декомпозиции области в случае задач со свободными границами является следующий. Как правило, на основе некоторой априорной информации можно выделить подобласти, содержащие свободную границу, причем размеры этих подобластей могут быть достаточно малы по сравнению со всей областью, в которой отыскивается решение краевой задачи. При соответствующем разбиении области на подобласти мы приходим к необходимости решать в большой подобласти краевую задачу для уравнения и лишь в малой подобласти, содержащей свободную границу, — задачу с ограничениями. Коме того, в подобластях, содержащих свободную границу, можно применять сеточные аппроксимации на мелкой сетке, если особый интерес представляет положение свободной границы.

В диссертации на примере задачи о препятствии внутри области с известной локализацией свободной границы рассмотрены схемы декомпозиции области без налегания с несогласованными сетками, предложены некоторые подходы к их решению и проанализированы результаты вычислительных экспериментов.

Отдельная глава настоящей работы посвящена задаче Стефана с предписанной конвекцией в энтальпийной постановке, моделирующей процесс непрерывной выплавки металла.

Формулировка задачи Стефана (при отсутствии конвекции) с введением функции энтальпии и обоснование существования и единственности обобщенного решения исследовались, например, в работах О. А. Олей-ник [20], О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и Н. Н. Уральцевой [14], Е. Magenes [69] и А. М. Мейерманова [19]. Исследованию сходимости конечномерной аппроксимации задачи Стефана и точности сеточных схем посвящены работы Ф. П. Васильева [4], Б. М. Будака, Е. Н. Соловьевой и А. Б. Успенского [3], А. А. Самарского и Б. Д. Моисеенко [23], Р. П. Федоренко [28], Е. Magenes [69], R. Е. White [92], R; Н. Nochetto [76],

С. М. Eliott [48], R. Н. Nochetto и С. Verdi [77], М. Paolini, G. Sacchi и С. Verdi [78], С. Verdi [90]. В этих работах, в частности, исследованы неявные сеточные схемы как для исходной задачи, т. е. без введения функции энтальпии, [90,92], так и для задачи Стефана в энтальпийной постановке с использованием регуляризации разрывной функции энтальпии [3,28,76,77].

Задача Стефана с предписанной конвекцией в классической постановке была изучена A. Fasano, М. Primicerio и L. Rubenstein [50]. Существование и единственность слабого решения исследованы в работах A. Visintin [91], J. Rulla [86], F. Yi и Y. Qiu [94].

Важным частным случаем задачи Стефана с предписанной конвекцией, когда перенос осуществляется в одном направлении, является задача о непрерывной выплавке, моделирующая процесс охлаждения и затвердевания металла (см. J. Rulla [86], М. Makela, Т. Mannikko и Н. Schramm [70], S. Louhenkilpi, Е. Laitinen и R. Nieminen [68]). Существование и единственность обобщенного решения двухфазной задачи о непрерывной выплавке были исследованы F. Yi и J. F. Rodrigues [84,85,93].

Традиционно используемые методы решения задачи Стефана с предписанной конвекцией основаны на применении классического МКЭ по пространственным переменным. Аппроксимации задачи непрерывной выплавки посвящены работы Z. Chen [39], Z. Chen и L. Jiang [41], А. Лапина, Е. Laitinen и J. Pieska [62]. Для аппроксимации конвективного члена и производной по времени используются следующие схемы: аппроксимации с использованием характеристик дифференциального оператора [39,46], полуявные схемы, в которых значение конвективного члена берется с предыдущего временного слоя [41], и неявные сеточные аппроксимации [62].

Поскольку в прикладных задачах требуется, как правило, определять не только температурное поле, но и тепловые потоки, смешанные методы конечных элементов имеют большое практическое значение при решении задачи Стефана.

В диссертационной работе построена и решена смешанная гибридная схема для полудискретной задачи Стефана. Полудискретизация проведена методом характеристик.

Для решения задачи Стефана в настоящей работе также применены методы декомпозиции области. В отличие от других задач, рассматриваемых в диссертации, задача Стефана является нестационарной. При приближенном решении нестационарных задач математической физики могут быть использованы, так: называемые, безытерационные варианты метода декомпозиции, отличающиеся от традиционных тем, что на каждом временном слое осуществляется лишь один шаг метода декомпозиции. Возможность применения безытерационного метода обусловлена тем, что при переходе на новый расчетный слой мы, как правило, уже располагаем хорошим приближением к решению. Отсюда следует, что область применения таких схем ограничена задачами, решение которых слабо изменяется во времени.

Безытерационные методы решения параболических уравнений были исследованы, например, М. Dryja [47] и Ю. М. Лаевским [15]. Методы, предложенные в этих работах, представляют собой схемы с дробными шагами, когда нахождение решения на текущем временном слое осуществляется за два шага. Если ограничиться рассмотрением двух подобластей, то последовательность получения решения выглядит следующим образом: на первом шаге решается неявная схема в одной из подобластей, после чего на втором шаге решается неявная схема во второй подобласти, с использованием значения, вычисленного на первом шаге, для определения граничных условий на разрезе. Однако, как отмечено М. Dryja, его метод в общем случае не обладает достаточной точностью. Что касается метода, построенного Ю. М. Лаевским, в случае декомпозиции более чем на две подобласти метод становится неустойчивым и погрешность имеет порядок единицы.

Ю. А. Кузнецов предложил использовать для решения параболического уравнения, так называемую явно-неявную схему [59], суть которой состоит в следующем. На разрезе (общей границе подобластей) вычисляется значение искомой функции по явной схеме (этот шаг назван предиктором). Затем осуществляется решение неявных схем в подобластях, причем в каждой подобласти граничные условия дополняются уже найденными значениями на разрезе. Альтернативная версия явно-неявной схемы была предложена С. N. Dawson, Q. Du и Т. F. Dupont [44].

В работах Y. Zhuang и Х.-Н. Sun [95,96] были предложены различные варианты стабилизации методов, рассмотренных в [44,59]. Смысл стабилизации заключается в уменьшении погрешности, вызванной явным предиктором. Показано, что стабилизированные варианты методов обладают более хорошей устойчивостью по сравнению с исходными.

В работах W. Rivera и J. Zhu [81] и W. Rivera, J. Zhu и D. Huddleston [82] при решении одномерного теплового уравнения предложено к схеме Ю. А. Кузнецова применить так называемый "неявный корректор". Устойчивость полученной схемы численно сравнена с устойчивостью некоторых других известных схем. Из экспериментов следует безусловная устойчивость построенной схемы.

Близкими по тематике к этому вопросу являются работы А. А. Самарского и П. Н. Вабищевича [21], П. Н. Вабищевича [89], А. А. Самарского, П. Н. Вабищевича и П. П. Матуса [22], в которых развита теория так называемых регионально-аддитивных схем (схем расщепления с декомпозицией области) для линейных задач диффузии и конвекции-диффузии. Доказана устойчивость схем и получены оценки погрешности.

Существенным отличием задачи, рассматриваемой в диссертации, от задач, которым посвящены упомянутые выше работы, является ее нелинейность. В частности, технику исследования из [21,22,89] в этом случае применить не удается из-за негладкости решения. Построенные в настоящей работе схемы для задачи Стефана с предписанной конвекцией развивают идеи работ [81,82]. Полученные схемы трактуются как схемы с расщеплением сеточного оператора, аппроксимирующего эллиптическую часть уравнения. Полученные в диссертационной работе результаты существенным образом опираются на результаты работы А. В. Лапина и J. Pieska [64], обобщая их на трехмерный случай.

Целями работы являются:

1. Построение схем смешанных гибридных конечных элементов для вариационных неравенств с дифференциальными операторами второго порядка.

2. Построение алгоритмов решения вариационных неравенств на основе метода декомпозиции области.

3. Разработка и исследование численных методов решения конечномерных уравнений, полученных в результате аппроксимации рассматриваемых задач.

4. Проведение численных экспериментов и анализ их результатов.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем.

1. Построены и исследованы смешанные гибридные схемы МКЭ для эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на решение внутри или на границе области. Сконструированы эффективные итерационные методы их численной реализации.

2. Для задачи о препятствии построены сеточные схемы на основе метода декомпозиции области с неналегающими подобластями и несогласованными сетками в подобластях. Для построенных схем теоретически исследованы и численно реализованы итерационные схемы расщепления.

3. Построена смешанная гибридная схема для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией. Для ее решения применен метод, разработанный в данной работе для решения эллиптических вариационных неравенств.

4. Построены и численно исследованы схемы типа предиктор-корректор для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими доказательствами сформулированных утверждений. Достоверность численных расчетов подтверждается хорошим совпадением результатов вычислений с известными решениями тестовых задач.

Научное и практическое значение работы. Работа носит, в основном, теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в развитие численных методов решения нелинейных задач. Вместе с тем, разработанные методы использованы при численном решении задачи Стефана с предписанной конвекцией, моделирующей процесс непрерывной выплавки металла. Предложенные подходы, методы и алгоритмы могут быть использованы при решении и других прикладных задач.

Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

1. Агошков В. И. Методы разделения области в задачах математической физики / В. И. Агошков // Вычислительные процессы и системы. Вып. 8.- М.: Наука, 1991.- С. 4-51.

2. Бесов О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. — М.: Наука, 1975.

3. Будак Б. М. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана / Б. М. Будак, Е. Н. Соловьева, А. Б. Успенский // ЖВМ и МФ. 1965. - Т. 5, № 5. - С. 828-840.

4. Васильев Ф. П. Разностный метод решения задач типа Стефана для квазилинейного параболического уравнения с разрывными коэффициентами / Ф. П. Васильев // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157, № 6. - С. 1280-1283.

5. Воеводин В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. — М.: Наука, 1984. 320 с.

6. Гловински Р. Численное исследование вариационных неравенств: пер. с франц. / Р. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. — М.: Мир, 1979. 576 с.

7. Дюво Г. Неравенства в механике и физике: пер. с франц. / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. М.: Наука, 1980. - 384 с.

8. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике / O.K. Зенкевич. — М.: Мир, 1975.

9. Игнатьева М. А. О методе решения двумерной задачи теплопроводности с фазовым переходом / М. А. Игнатьева // Матер, шк.-конф.: Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. — Каг зань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 1999. — С. 107-108.

10. Киндерлерер Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения: пер. с англ. / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. — М.: Мир, 1983.

11. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

12. Лаевский Ю. М. Об одном алгоритме декомпозиции области без налегания подобластей решения параболических уравнений / Ю. М. Лаевский // ЖВМ и МФ. 1992. - Т. 32, № 11. - С. 17441755.

13. Лапин А. В. Методы типа релаксации для суммы квадратичного и выпуклого функционалов / А. В. Лапин // Изв ВУЗов. Математика. 1993. - Т. 15, № 8. - С. 30-39.

14. Лапин А. В. Итерационные схемы расщепления для вариационных неравенств / А. В. Лапин, Д. О. Соловьев. — Новосибирск, 1988. — 24 с. — (Препр./ АН СССР Сибирское отделение. Вычислительный центр).

15. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. — М.: Мир, 1972.

16. Мейерманов А. М. Задача Стефана / А. М. Мейерманов. — Новосибирск: Наука, 1986.

17. Олейник О. А. Об одном методе решения общей задачи Стефана / О. А. Олейник // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 135, № 5. - С. 10541057.

18. Самарский А. А. Факторизованные регионально-аддитивные схемыдля задач конвекции-диффузии / А. А. Самарский, П. Н. Вабище-вич // Докл. АН России. 1996. - Т. 346, № 6. - С. 742-745.

19. Самарский А. А. Разностные схемы с операторными множителями / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус. — Минск, 1998. — 442 с.

20. Самарский А. А. Экономичная схема сквозного счёта для многомерной задачи Стефана / А. А. Самарский, Б. Д. Моисеенко j j ЖВМ и МФ. 1965. - Т. 5, № 5. - С. 816-827.

21. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. — М.: Наука, 1978. — 591 с.

22. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. JI. Соболев. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.

23. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Д. Фикс. М.: Мир, 1977. — 349 с.

24. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: пер. с англ. / Ф. Сьярле. — М.: Мир, 1980. — 512 с.

25. Федоренко Р. П. Разностная схема для задачи Стефана / Р. П. Фе-доренко // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 5. - С. 1339-1344.

26. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами: пер. с англ. / А. Фридман. — М.: Наука, 1982. — 536 с.

27. Экланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы: пер. с англ. / И. Экланд, Р. Темам. — М.: Мир, 1979. — 399 с.

28. Adams R. A. Sobolev spaces / R. A. Adams. — Academic Press, 1975.

29. Baillet L. Simulations numeriques de differentes methodes d'elements finis pour les problemes de contact avec frottement / L. Baillet, T. Sas-si // C. R. Acad. Sci., Paris. 2003. - V. 331, No. 11. - P. 789-796.

30. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces / V. Barbu. — Nordhoff Intern. Publ., 1976.

31. Belgacem B. F. Numerical simulation of some variational inequalities arisen from unilateral contact problems by the finite element methods / B. F. Belgacem // SI AM J. Numer. Anal 2000.- V. 37, No. 4.-P. 1198-1216.

32. Belgacem B. F. Hybrid finite element methods for the Signorini problem / B. F. Belgacem, Y. Renard // Math. Comput.— 2003.- V. 72, No. 243.-P. 1117-1145.

33. Brezis H. Problemes unilateraux / H. Brezis // J. de Math. Pures et Applicuees. 1972. - V. 51. - P. 1-168.

34. Brezis H. Sur la regularite de la solution d'inequations elliptiques / H. Brezis, G. Stampacchia // Bull. Soc. Math. France.— 1968.— V. 96.-P. 153-180.

35. Brezzi F. Mixed and hybrid finite element methods / F. Brezzi, M. Fortin. — New-York: Springer Verlag, 1991.

36. Chen Z. Numerical Methods for Free Boundary Problems (International Series of Numerical Mathematics 99) / Z. Chen // Numerical solutions of a two-phase continuous casting problem / Ed. by P. Neittaanmaki. — Basel: Birkhauser, 1991.- P. 103-121.

37. Chen Z. Expanded mixed finite element methods for linear second orderelliptic problems I, II / Z. Chen // M2AN. — 1998.- V. 32, No. 4.-P. 479-499, 500-520.

38. Chen Z. Approximation of a two phase continuous casting problem / Z. Chen, L. Jiang // J. Part. Diff. Equations. 1998. - V. 11. - P. 5972.

39. Coorevits P. A posteriori error estimation for unilateral contact withmatching and non-matching meshes / P. Coorevits, P. Hild, J.-P. Pelle // J. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2000. - V. 186, No. 1. — P. 6583.

40. Dawson C. N. A finite difference domain decomposition algorithm for numerical solution of the heat equation / C. N. Dawson, Q. Du, T. F. Dupont // Math, of Computation. 1991. - V. 57. - P. 63-71.

41. Domain decomposition methods in science and engineering / A. Quar-teroni, J. Periaux, Yu. Kuznetsov, О. B. Widlund. — Providence: AMS, 1994.

42. Dryja M. Substructuring methods for parabolic problems / M. Dryja // Proc. of the Fourth Int. Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations.— Philadelphia: SIAM, 1991. — P. 264-271.

43. Eliott С. M. Error analysis of the enthalpy method for the Stefan problem / С. M. Eliott // IMA J. Numer. Anal- 1987. V. 7. - P. 61-71.

44. Farhloul M. A mixed finite element method for a nonlinear Dirichlet problem / M. Farhloul // IMA J. of Numer. Anal. — 1998. V. 18. — P. 121-132.

45. Fasano A. A model for heat conduction with a free boundary in a concentrated capacity / A. Fasano, M. Primicerio, L. Rubenstein // J. Inst. Math. Appl. 1980. - V. 26. - P. 327-347.

46. Fichera G. Problemi elastostatici con vinsoli unilaterali: il problema di signorino con ambigue condizioni al contorno / G. Fichera // Atti Acc. Naz. Lincei Mem. Ser. 1964. - V. 8, No. 7. - P. 71-140.

47. Haslinger J. Approximation of the Signorini problem with friction by a mixed finite element method / J. Haslinger, I. Hlavacek // J. Math. Anal. Appl. 1982. - V. 86. - P. 99-122.

48. Hoppe R. H. W. A globally convergent multi-grid algorithm for moving boundary problems of two-phase Stefan type / R. H. W. Hoppe // IMA J. of Numerical Analysis. — 1993. — V. 13. P. 235-253.

49. Hoppe R. H. W. Multi-grid solution of two coupled Stefan equations arising in induction heating of large steel slabs / R. H. W. Hoppe, R. Ko-rnhuber // Int. J. for Numer. Meth. in Engineering. — 1990. — V. 30. — P. 779-801.

50. Ignatieva M. A. A domain decomposition method for Stefan problem with prescribed convection / M. A. Ignatieva // Iterative methods andmatrix computations. The International Summer School. — Rostov-on-Don, 2002.-P. 401-407.

51. Ignatieva M. A. Mixed hybrid finite element scheme for Stefan problem with prescribed convection / M. A. Ignatieva, A. V. Lapin-// Lobachevskii J. Math. 2003.- V. 13.- P. 15-24.— (http://ljm.ksu.ru/voll3/ila.htm).

52. Ignatieva M. A. Iterative solution of a mixed hybrid finite element scheme for the Signorini problem / M. A. Ignatieva, A. V. Lapin // Сотр. Meth. in Appl. Math. 2004. - V. 4, No. 2. - P. 180-191.

53. J.-L. Lions J.-L. Variational inequalities / J.-L. J.-L. Lions, G. Stam-pacchia // Comm. Pure Appl. Math. 1967. - V. 20. — P. 449-461.

54. Kuznetsov Yu. A. New algorithms for approximate realization of implicit difference schemes / Yu. A. Kuznetsov // Sov. J. Numer. Anal, and Math. Model. 1988. - V. 3. - P. 99-114.

55. Kuznetsov Yu. A. Spectrally equivalent preconditioners for mixed hybrid discretizations of diffusion equations on distorted meshes / Yu. A. Kuznetsov // J. Numer. Math. 2003. - V. 11. - P. 61-74.

56. Kuznetsov Yu. New mixed finite element methods on polygonal and polyhedral meshes / Yu. Kuznetsov, S. Repin // Russian J. Numer. Anal. Math. Modeling. 2003. - V. 18, No. 3. - P. 261-278.

57. Laitinen E. Mesh approximation and iterative solution of the continuous casting problem / E. Laitinen, A. Lapin, J. Pieska // ENUMATH 99 / Ed. by P. Neittaanmaki, T. Tiihonean, P. Tarvainen. — Singapore: World Scientific, 2000. P. 601-617.

58. Lapin A. Semi-implicit mesh scheme and splitting iterative methods for the solution of continuous casting problem: Preprint / A. Lapin, E. Laitinen. — Oulu, Finland: University of Oulu, 1999.

59. Lapin A. On the parallel domain decomposition algorithms for time-dependent problems / A. Lapin, J. Pieska // Lobachevskii J. of Math.— 2002. V. 10. - P. 27-44.

60. Lee M. Mixed finite element methods for nonlinear elliptic problems: the p-version / M. Lee, F. A. Milner // Numer. Meth. for Part. Diff. Eq. — 1996.-V. 12.-P. 729-741.

61. Le Tallec P. Domain decomposition methods in computational mechanics / P. Le Tallec // Comput. Mechanics Advances. — 1994.— V. 1.— P. 121-220.

62. Lions P. L. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators / P. L. Lions, B. Mercier // SIAM J. Numer. Anal. 1979. - V. 16. -P. 964-979.

63. Louhenkilpi S. Real-time simulation of heat transfer in continuous casting / S. Louhenkilpi, E. Laitinen, R. Nieminen // Metallurgical Trans. B. 1996. - V. 24B. - P. 685-693.

64. Magenes E. Problemi di Stefan bifase in piu variabili speziali / E. Ma-genes // V.S.A.F.A. Catania, Le Matematichle.— 1981.— V. 36.— P. 65-108.

65. Makela M. Applications of nonsmooth optimization methods to continuous casting of steel: Rep. 421 / M. Makela, T. Mannikko, H. Schramm: Math.Ins., Univ. Bayreuth., 1993.

66. Milner F. A. Mixed finite element methods for quasilinear second-order elliptic problems / F. A. Milner j I Math. Сотр.— 1985.— V. 44.— P. 303-320.

67. Milner F. A. A mixed finite element method for a strongly nonlinear second order elliptic problem / F. A. Milner, E.-J. Park // Math. Сотр. — 1995. V. 64. - P. 973-988.

68. Milner F. A. Mixed quasilinear second-order elliptic problems: the p-version / F. A. Milner, M. Suri // M2AN. — 1992.- V. 26.- P. 913931.

69. Mixed finite element methods for unilateral problems: Convergence analysis and numerical studies / P. Coorevits, P. Hild, K. Lhalouani, T. Sas-si // Math. Comput.- 2002.- V. 71, No. 237.- P. 1-25.

70. A mixed finite element method and solution multiplicity for Coulomb frictional contact / R. Hassani, P. Hild, I. R. Ionescu, N.-D. Sakki // J. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2003. - V. 192, No. 41-42. — P. 517-531.

71. Nochetto R. H. Error estimates for two-phase Stefan problems in several space variables, I: Linear boundary conditions / R. H. Nochetto // Calcolo. 1985. - V. 22. - P. 457-499.

72. Nochetto R. H. Approximation of degenerate parabolic problems using numerical integration: Publ. 505 / R. H. Nochetto, C. Verdi. — Pavia: I.A.N., 1986.

73. Paolini M. Finite element approximations of singular parabolic problems: Publ. 565 / M. Paolini, G. Sacchi, C. Verdi. Pavia: I.A.N., 1987.

74. Park E.-J. Mixed finite element methods for nonlinear second order elliptic problems / E.-J. Park // SIAM J. Numer. Anal — 1995. — V. 32. —P. 865-885.

75. Quarteroni A. Domain decomposition and parallel processing for the numerical solution of partial differential equations / A. Quarteroni // Survey on Mathematics for Industry. — 1991. — V. 1. — P. 75-118.

76. Roberts J. E. Mixed and hybrid methods / J. E. Roberts, J. M. Thomas // Numer. Anal- 1991.- V. II.- P. 523-639.

77. Rodrigues J. F. Variational methods in the Stefan problem / J. F. Ro-drigues // Lect. notes in math. — Springer Verlag, 1994. — P. 149-212.

78. Rodrigues J. F. On a two-phase continuous casting Stefan problem with nonlinear flux / J. F. Rodrigues, F. Yi // Euro. J. Appl Math. — 1990. — No. 1. P. 259-278.

79. Rulla J. Weak solutions to Stefan problems with prescribed convection / J. Rulla 11 SIAM J. Math. Anal 1987. - V. 18. - P. 1784-1800.

80. Smith В. Domain decomposition. Parallel multilevel method for elliptic partial differential equations / B. Smith, P. Bj0rstad, W. Gropp. — Cambridge University Press, 1996.

81. Tseng P. Further applications of a splitting algorithm to decomposition in variational inequalities and convex programming / P. Tseng // Math. Programming. 1990. - V. 48. - P. 249-263.

82. Vabishchevich P. N. Parallel domain decomposition algorithms for time-dependent problems of mathematical physics / P. N. Vabishchevich // Advances in Numer. Meth. and Appl.— Singapore: World Scientific, 1994.-P. 293-299.

83. Verdi C. Optimal error estimates for an approximation of degenerate parabolic problems / C. Verdi // Numer. Funct. Anal. Optim. — 1987. — V. 9. P. 657-670.

84. Visintin A. General free boundary evolution problems in several space dimensions / A. Visintin // J. Math. Anal. Appl. — 1983. — V. 95. — P. 117-143.

85. White R. E. An enthalpy formulation of the Stefan problem / R. E. White // SIAM J. Numer. Anal- 1982.- V. 19.- P. 11291157.

86. Yi F. An evolutionary continuous casting problem of two-phase and its periodic behaviour / F. Yi // J. Part. Diff. Eq. 1989. - V. 2. — P. 7-22.

87. Yi F. On Stefan problem with prescribed convection / F. Yi, Y. Qiu // Mathematica Acta Scientia. — 1992. — V. 2, No. 14. — P. 153-166.

88. Zhuang У. A domain decomposition based parallel solver for time dependent differential equations / Y. Zhuang, X.-H. Sun // 9th SIAM Conf. on Parallel Processing for Scientific Computing. — 1999.

89. Zhuang Y. Stabilized explicit-implicit domain decomposition methods for the numerical solution of parabolic equations / Y. Zhuang, X.-H. Sun // SIAM J. Sci. Comput. 2002. - V. 24, No. 1. - P. 335-358.